Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1poincare.unile.it/campiti/tracce/2016am1.pdf ·...

Michele Campiti

Prove scritte di

Analisi Matematica eGeometria 1Ingegneria Industriale

a.a. 2015–2016

x

y

f

g

0

1

La funzione seno e la funzione esponenziale

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica e Geometria 1” per Ingegneria Industriale,

Facolta di Ingegneria, Universita del Salento

1

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I18 gennaio 2016, A

1) Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra-fico:

f(x) =sinx

2 sinx− 1.

2) Risolvere la seguente equazione:

zz − 1 + i = 0 .

3) (Analisi Matematica e Geometria I) Calcolare il seguente limite

limx→+∞

π − arctanx√x log x

.

4) (Analisi Matematica e Geometria I) Si discutano le soluzioni delsistema lineare:

x+ y − z = 1 ,2x+ 3y + kz = 3 ,x+ ky + 3z = 2 .

3) (Analisi Matematica I) Studiare la convergenza della seguente serienumerica:

+∞∑n=0

(−1)nn3 + 1

n2 + n!.

4) (Analisi Matematica I) Calcolare il seguente integrale definito:∫ π/2

0cos2 7x sin 3x dx .

2

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I18 gennaio 2016, B


f(x) =cosx

2 cosx− 1.


z2 + zz − 9 + 3i = 0 .


limx→1

arccosx

log x log(1− x).


x+ y − z = 1 ,3x+ 2y + kz = 3 ,kx+ y + 3z = 2 .


+∞∑n=0

(−1)nn4 + 2n3

nn.


0sin3 x dx .

3

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I19 gennaio 2016, A


f(x) = log

∣∣∣∣ |x| − 1

x

∣∣∣∣ .


zz + z − 1 + i = 0 .


limx→0

ex2 − 1− x2

(cosx− 1)2.


x+ y + 2z = 4 ,2x+ 2y + 4z = k ,3x+ y + z = k .


+∞∑n=0

(−1)n2n+

√n+ 3

n3 +√n

.


0cos3 x dx .

4

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I19 gennaio 2016, B


f(x) = log

∣∣∣∣ x

|x| − 1

∣∣∣∣ .


zz + 2z − 4i = 0 .


limx→0

x2 − 2x+ 2 log(1 + x)

ex3 − 1.


x+ z = 1 ,kx+ y + z = 1− k ,y + (1− k)y = 1 .


+∞∑n=0

(−1)nen

n!.


0sin2 8x cos 3x dx .

5

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I1 febbraio 2016, A


f(x) = ||x| − |x− 1|| .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguenteequazione:

z + z − i|z|2 = 1− i .

3) Calcolare il seguente limite

limx→0

(1 + sin2 x)3/2 − 1

x− log(1 + x).

Analisi Matematica e Geometria I

4) Si considerino le matrici:

A =

2 3 00 1 61 1 30 1 1

, B =

−2 1 01 0 6−1 5 1

.

Si calcoli la matrice prodotto A ·B e se ne determini il rango.

Analisi Matematica I

4) Calcolare il seguente integrale definito:∫ π/2

0

sin 2x

2− cos2 xdx .

6

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I1 febbraio 2016, B


f(x) = ||x+ 2| − |x− 1|| .


z − z + 2|z|2 = 1 + i .


limx→0

(1 + tan3 x)1/2 − 1

x− tanx.



A =

2 1 00 1 41 1 20 2 1

, B =

−1 2 02 0 3−1 2 1

.




0

sin 2x

2− sin2 xdx .

7

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I2 febbraio 2016, A


f(x) =∣∣x2 − |x− 2|

∣∣ .



limx→0

2√1 + x− 2− x

ex2 − 1.

3) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia B = {b1, b2, b3, b4}una base di V . Determinare dimensione e una base del sottospazio Wdi V generato dai vettori:

v1 = b4 − b3 + b1, v2 = 2b2 + b3 − b4, v3 = 2b1 + 2b2 + b4 − b3.

Completare poi la base trovata ad una base di V .

4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice:

A =

−2 0 0 00 −2 −6 −60 0 3 30 0 −2 −2

.


2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguenteequazione:

z · z4 − 1 = 0 .

3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

+∞∑n=0

(−1)n(n+ 1) sinn

n3 + 6.


0

sin 2x√sin2 x+ 1

dx .

8

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I2 febbraio 2016, B


f(x) =∣∣x2 + 4− |x|

∣∣ .



limx→0

4√x+ 4− 8− x√

sin(x4).

3) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia B = {b1, b2, b3, b4}una base di V . Determinare dimensione e una base del sottospazio Wdi V generato dai vettori:

v1 = b4 − b3 + b1, v2 = 2b2 + b3 − b4, v3 = 2b1 + 2b2 + b4 − b3.

Completare poi la base trovata ad una base di V .


A =

−2 0 0 00 −2 −6 −60 0 3 30 0 −2 −2

.



z4 · z − 1 = 0 .


+∞∑n=0

(−1)nn2 cosn

n4 + 2.

4) Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

1

log x

x√

log2 x+ 1dx .

9

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I22 febbraio 2016, A


f(x) =√

|1− x2|3 .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguenteequazione: (

z

i+

i

z

)(z3 − i

)= 0 .


limx→0

ex cosx− 1√1 + x cosx− 1

.



A =

3 −1 00 1 41 1 30 1 1

, B =

−1 1 11 0 2−1 0 1

.



4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin 2x cos 5x dx .

10

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I22 febbraio 2016, B


f(x) =√

|1− x|3 .

2) Determinare i numeri complessi z ∈ C che soddisfano la seguenteequazione: (

z

i+

i

z

)(z3 + i

)= 0 .


limx→0

ex√1 + x− 1

ex cosx− 1.



A =

1 0 −11 0 21 1 20 −1 1

, B =

−1 1 11 0 2−1 0 1

.



4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin 5x cos 2x dx .

11

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I23 febbraio 2016, A


f(x) = e−x/(x2+1) .



limx→0

ex log(e+ x)− cosx

sinx.

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:x+ y − z = 1,2x+ 3y + az = 3,x+ ay + 3z = 2.


A =

2 −3 0−1 0 0−1 1 1

.



z2 − 5z + 6 = 0 .


+∞∑n=1

(−1)nlog n

n2 + 1.

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫log x

log3 x+ 1

1

xdx .

12

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I23 febbraio 2016, B


f(x) = e−x/(x2−1) .



limx→0

ex cosx− log(e+ x)

tanx.

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:x− y + z = 1,2x+ ay + 3z = 3,x+ 3y + az = 2.


A =

−1 −3 0−1 0 00 1 1

.



z2 − 7z + 6 = 0 .


+∞∑n=1

(−1)nn log n

n3 + 1.

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫log2 x

log3 x− 1

1

xdx .

13

Corso di Studi in Ingegneria Industriale - BrindisiAnalisi Matematica I per studenti fuori corso)12 aprile 2016, A


f(x) =|x(x− 1)|x+ 2

.


limx→0

e(x2) − cosx

sinx.

3) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫ex

e3x − e2xdx .

14

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I7 giugno 2016, A


f(x) = arcsinx

x2 − 2.


z2z + 1 = 0 .


limx→0

x log(1 + x)− sin2 x

1− cosx.


4) Discutere il seguente sistema lineare:y + z = 0,x+ y + 2z = 0,2y + 3z = 0,3x+ y + 5z = 5.


4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x3

(x2 + 1)xdx .

15

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I7 giugno 2016, B


f(x) = arcsinx

x2 − 2.


z2z + 1 = 0 .


limx→0

sinx log(1 + x)− x2

tan2 x.


4) Discutere il seguente sistema lineare:y + z = 0,x+ y + 2z = 0,2y + 3z = 0,3x+ y + 5z = 7.



(x2 − 1)xdx .

16

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I8 giugno 2016, A


f(x) =

√x

x2 − 1.



limx→0

ex cosx− 2x

x.

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:x+ ky + 2z = 1x+ y + 3z = 22x+ ky + z = 13x+ 2ky + 3z = 2.

4) Determinare i valori di k per cui l’applicazione lineare f : R3 → R3

f(x, y, z) = (x+ 2y, 2x+ ky + z,−x+ 2y + kz),

ammetta inversa.


2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano il seguentesistema di equazioni: {

Re (z(z + i)) ≤ 2Im (z) ≥ 0 .


+∞∑n=2

(−1)nsin 1/n

n log n.


(x+ 1)(x2 + 1)dx .

17

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I8 giugno 2016, B


f(x) =

√x2 − 1

x.



limx→0

√1 + x cosx− ex

x.

3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare:kx+ 2y + (k + 1)z = 0x+ (k + 3)y = 0(k − 1)x− (k + 5)y − (k + 1)z = 0.

4) Determinare i valori di k per cui l’applicazione lineare f : R3 → R2

f(x, y, z) = (k2x+ y, kx+ y − (k − 1)z),

non e suriettiva.


2) Si determinino i numeri complessi z ∈ C che soddisfano il seguentesistema di equazioni: {

Re (z(z + i)) ≤ 2Im (z) ≥ 0 .


+∞∑n=2

(−1)nn+ 1

(n3 + 1) log n.


x4 − 1dx .

18

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I21 giugno 2016, A


f(x) = arctan

√x

x− 1.


Re (z2) · Im (z2) = 0 .


limx→+∞

√x3 + 1

2xarctan

1

x.


4) Discutere il seguente sistema lineare:(k − 1)y + 3z = 1,kx− 21y − 2z = −4,−x+ 5y + z = 1.


4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sinx sin 2x

1 + sin3 xdx .

19

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I21 giugno 2016, B


f(x) = arctan

√x− 1

x.


|z|2 + (Im z)2 = 0 .


limx→+∞

2x

x2 + 1log

(1 +

1√x

).


4) Discutere il seguente sistema lineare:(k − 1)y + 3z = 1,kx− 21y − 2z = −4,−x+ 5y + z = 1.


4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cosx cos 2x

1 + sin3 xdx .

20

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I22 giugno 2016, A


f(x) = logx2 − 1

x.


limx→+∞

(arctan

√x− π

2

)3

√x4 + 1

x3 + 2.


3) Determinare i valori del parametro reale k tali che il sistemax+ y + kz = 2

3x+ 4y + 2z = k

2x+ 3y − z = 1

abbia, rispettivamente, una unica soluzione, nessuna soluzione o piudi una soluzione.

4) Determinare autovalori e autospazi della matrice: A =

1 −3 33 −5 36 −6 4



+∞∑n=2

(−1)n log n log

(1 +

1

n

).


(x+ 1)2(x2 + 1)dx .

21

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I22 giugno 2016, B


f(x) = − logx

x2 − 1.


limx→+∞

√x3 + 1

x+ 2arccos

x

x+ 1.


3) Discutere l’esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, alvariare del parametro reale k. Determinare, ove esistano, le soluzioni.

x+ y + kz = 1

x+ ky + z = 1

kx+ y + z = 1

4) Determinare autovalori e autospazi della matrice: B =

−3 1 −1−7 5 −1−6 6 −2

.



+∞∑n=2

(−1)n log n log

(1 +

1

n

).


(x+ 1)2(x2 + 1)dx .

22

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I5 luglio 2016, A


f(x) = xex−1x .


z2 +Re z = 20 .


3) Discutere il seguente sistema lineare:(k − 1)x+ 3z = 9,25x− ky + 2z = −9,5x− y + z = 8.


3) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫log2 x

x(log3 x+ 1)dx .

23

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I20 luglio 2016, A


f(x) = log(1 + arctanx) .



limx→0+

2−√1 + x2 − cosx

x4.

3) Siaf : R4 → R3

f(x, y, z, w) = (x+ ky + w, kx+ 4y + 2w, x+ z + w).

Si determini il sotto spazio nucleo di f , e se ne calcoli una base.


1 1 03 3 −19 9 −2

.


2) Si determinino le radici terze del numero complesso:

z =(i+ 1)3(

√3 + 1)6

i− 1.


+∞∑n=2

(−1)n1

log narctan

1

n.

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫log x+ 1

log3 x− 1

1

xdx .

24

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I20 luglio 2016, B


f(x) = log(−1 + arctanx) .



limx→0

2− log(e(1 + x2))− cos(√2x)

x4.

3) Siaf : R4 → R3

f(x, y, z, w) = (x+ ky + w, kx+ 4y + 3w, x+ z + w).

Si determini il sotto spazio nucleo di f , e se ne calcoli una base.


1 1 03 3 −19 11 −2

.


2) Si determinino le radici terze del numero complesso:

z =(i+ 1)3(

√3 + 1)6

i− 1.


+∞∑n=2

(−1)n1

log narctan

1

n.

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫log x+ 1

log3 x− 1

1

xdx .

25

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di BrindisiProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I2 settembre 2016, A


f(x) = 3√(x+ 1)2(x− 1) .


i(Im z)2 + |z|2 = 4(1 + i) .


3) Calcolare il rango della matrice:1 1 1 11 1 −1 11 1 −1 −11 1 1 −1


3) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin3 x cos6 x dx .

26

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I6 settembre 2016, A


f(x) = arctanx2

x− 1.


limx→+∞

x2 log

(1 +

1

x

)arctan

1

xlog x .


3) Si considerino i sottospazi di R3:

V1 = ⟨(1, 2,−4)⟩ , V2 = ⟨(−2, 0, 1)⟩ .

a) Determinare i sottospazi V1 ∩ V2 e V1 + V2.

b) Si dica se il vettore e2 = (0, 1, 0) appartiene a V1 + V2.

c) Si dica se il vettore −4e1 − 4e2 + 9e3 appartiene a V1 + V2.

4) Si consideri la matrice reale:

A =

k k − 1 k0 2k − 2 01 k − 1 2− k

.

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determinino i valori di k per cui A e invertibile.



+∞∑n=2

(−1)nlog3 n

n2.

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos 3x sin 5x dx .

27

Cenni sulla soluzione – 6 settembre 2016, A

1) La funzione e definita in R \ {1} e non presenta simmetrie ne periodi-cita. Si ha

f(x) ≥ 0 ⇔ (x > 1) ∨ (x = 0) , f(x) ≤ 0 ⇔ (x < 1) .

Vi e una sola intersezione con gli assi nel punto (0, 0).

La funzione e continua e inoltre

limx→1−

f(x) = −π

2, lim

x→1+f(x) =

π

2,

limx→+∞

f(x) =π

2, lim

x→−∞f(x) = −π

2.

Quindi non vi sono asintoti verticali mentre vi sono un asintoto oriz-zontale a destra di equazione y = π/2 e un asintoto orizzontale asinistra di equazione y = −π/2.

La funzione e derivabile infinite volte in R \ {1} e si ha

f ′(x) =x(x− 2)

x4 + (x− 1)2, f ′′(x) = −2(x5 − 3x4 − x+ 1)

(x4 + (x− 1)2)2.

La derivata prima e positiva in ] − ∞, 0] ∪ [2,+∞[ ed e negativa in[0, 1[∪]1, 2]. Quindi f e strettamente crescente negli intervalli ]−∞, 0]e [2,+∞[ ed e strettamente decrescente negli intervalli [0, 1[ e ]1, 2]. Ilpunto 0 e di massimo relativo e il punto 2 e di minimo relativo conf(2) = arctan 4.

Viene evitato lo studio del segno della derivata seconda in quanto piucomplesso.

2) Utilizzando i limiti notevoli si ha

limx→+∞

x2 log

(1 +

1

x

)arctan

1

xlog x

= limx→+∞

x2log

(1 + 1

x

)1x

arctan 1x

1x

1

x

1

xlog x

= limx→+∞

x21

x

1

xlog x = lim

x→+∞log x = +∞ .

3) I vettori v1 = (1, 2,−4) e v2 = (−2, 0, 1) sono linearmente indipendentiin quanto la matrice (

1 2 −4−2 0 1

)

28

-1 1x

-

Π

2

Π

2

y

Figura 1: Grafico di f(x) = arctan x2

x−1

ha rango 2. Quindi V1 ∩ V2 = {0}. Poiche v1 e v2 sono linearmenteindipendenti e devono appartenere entrambi a V1+V2 allora V1+V2 =⟨v1, v2⟩.Conseguentemente un vettore v appartiene a V1+V2 se e solo si esprimecome combinazione lineare di v1 e v2 e quindi se e solo se la matrice v1

v2v

ha rango minore di 3, cioe il suo determinante e uguale a 0.

Per quanto riguarda il vettore e2 = (0, 1, 0), il determinante dellamatrice 1 2 −4

−2 0 10 1 0

e 7 e quindi tale vettore non appartiene a V1 + V2.

Per quanto riguarda il vettore −4e1 − 4e2 + 9e3 = (−4,−4, 9), ildeterminante della matrice 1 2 −4

−2 0 1−4 −4 9

e 0 e quindi tale vettore appartiene a V1 + V2.

4) Il determinante della matrice:

A =

k k − 1 k0 2k − 2 01 k − 1 2− k

.

29

e −2k(k− 1)2 e quindi e diverso da 0 se e solo se k = 0 e k = 1. Segueche se k = 0 e k = 1 la matrice e invertibile e il suo rango e 3.

Se k = 0 si ottiene la matrice

A =

0 −1 00 −2 01 −1 2

.

che non e invertibile ed ha rango 2.

Infine se k = 1 si ottiene la matrice

A =

1 0 10 0 01 0 1

.

che non e invertibile ed ha rango 1.

30

Corso di Studi in Ingegneria Industrialesede di LecceProva scritta di Analisi Matematica e Geometria I6 settembre 2016, B


f(x) = arctanx− 1

x2.


limx→+∞

x2 log

(cos

1

x

)log x .


3) Si considerino i sottospazi di R3:

V1 = ⟨(1, 2,−4)⟩ , V2 = ⟨(−2, 0, 1)⟩ .

a) Determinare i sottospazi V1 ∩ V2 e V1 + V2.

b) Si dica se il vettore e2 = (0, 1, 0) appartiene a V1 + V2.

c) Si dica se il vettore −4e1 − 4e2 + 9e3 appartiene a V1 + V2.

4) Si consideri la matrice reale:

A =

k k − 1 k0 2k − 2 01 k − 1 2− k

.

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determinino i valori di k per cui A e invertibile.



+∞∑n=2

(−1)nlog3 n

n2.

4) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos 3x sin 5x dx .

31

Cenni sulla soluzione – 6 settembre 2016, B

1) La funzione e definita in R \ {0} e non presenta simmetrie ne periodi-cita. Si ha

f(x) ≥ 0 ⇔ (x ≥ 1) , f(x) ≤ 0 ⇔ (x < 0) ∨ (0 < x ≤ 1) .

Vi e una sola intersezione con gli assi nel punto (1, 0).

La funzione e continua e inoltre

limx→0

f(x) = −π

2, lim

x→+∞f(x) =

π

2, lim

x→−∞f(x) = −π

2.

Quindi non vi sono asintoti verticali (il punto 0 e una singolarita eli-minabile mentre vi e un asintoto orizzontale a destra e sinistra diequazione y = 0.

La funzione e derivabile infinite volte in R \ {1} e si ha

f ′(x) = − x(x− 2)

x4 + (x− 1)2, f ′′(x) =

2(x5 − 3x4 − x+ 1)

(x4 + (x− 1)2)2.

La derivata prima e positiva in ]0, 2] ed e negativa in ]−∞, 0[∪[2,+∞[.Quindi f e strettamente crescente nell’intervallo [0, 2] ed e strettamentedecrescente negli intervalli ]−∞, 0[ e [2,+∞[. Il punto 2 e di massimorelativo (e anche assoluto) con f(2) = arctan 1/4.

Viene evitato lo studio del segno della derivata seconda in quanto piucomplesso.

1 2x

-

Π

2

arrctan 1�4

y

Figura 2: Grafico di f(x) = arctan x−1x2

32

2) Utilizzando i limiti notevoli si ha

limx→+∞

x2 log

(cos

1

x

)log x

= limx→+∞

x2log

(1 +

(cos 1

x − 1))

cos 1x − 1

cos 1x − 11x2

1

x2log x

= −1

2lim

x→+∞log x = −∞ .

3) Vedasi la soluzione della traccia A.

4) Vedasi la soluzione della traccia A.

Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1poincare.unile.it/campiti/tracce/2016am1.pdf ·...

Documents

Transcript of Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1poincare.unile.it/campiti/tracce/2016am1.pdf ·...