ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE DI STRUMENTI ELEMENTARI (parte 2)

ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE

DI STRUMENTI ELEMENTARI(parte 2)

FUNZIONE DI TRASFERIMENTOFUNZIONE DI TRASFERIMENTO

Se come funzione in ingresso si considera la funzione impulsivaUNITARIA di DIRAC, la cui L-trasformata vale 1, allora si può definire la funzione di trasferimento come:

La Gu(s), L-trasformata della risposta gu(t), può essere scritta come somma di due termini: Gu(s)=Gul(s)+Guf(s)

n

r

rr

m

r

rri

ulu

sa

sbsGsGsG

0

0

)()()(

)(DGuf

n

r

rr

m

r

rr

i

uf

sa

sb

sG

sGsT

0

0

)(

)()( Condizioni iniziali

tutte pari a 0

Se si considera un strumento soggetto ad ingresso armonico con andamento sinusoidale, allora si può definire la funzione di trasferimentosinusoidale, sostituendo s con i, come

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidaleFUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale

n

r

rr

m

r

rr

i

uf

ia

ib

iG

iGiT

0

0

)(

)()(

Per gli strumenti e, più in generale, i sistemi che si analizzeranno,si assume n mT(i) è una funzione complessa del tipo:

)Im()Re()( iiiiT

1)

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidaleFUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale

La funzione di trasferimento sinusoidale può essere posta nella forma:

)]([)()( ieMiT

Dove: 22 )][Im()][Re()()( iiiTM

)Re(

)Im()(

arctg

Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode

Il diagramma di Bode è quello comunemente più usato e nella forma chevede le ascisse rappresentate come log(), le ordinate come 20 log|M|.I logaritmi sono in base dieci pertanto nelle ascisse si avranno decadi inordinata Decibel [dB]

La funzione di trasferimento (si veda eq. 1), ricavate le radici a numeratoree a denominatore, può essere sempre fattorializzata nella forma:

'

1

'

1

'2

1 1

2

)'(

1'

'2'

)'1(

12)1()(

)()'(

)(

s

k

t

k nkk

nkk

s

k

t

k nkk

nkk

k

k

k

k

iii

iiii

KiT


I termini che compaiono nella precedente relazione hanno il seguentesignificato:

)'()( i

0

0

a

bK Sensibilità statica

Radici con molteplicità e ’, rispettivamente per NUM. E DENOM.

)(

)1(k

ki

)'(

)'1(k

ki

k

nkk

nk

ii

12

2

Radici con molteplicità k e ’k rispettivamente per NUM. e DENOM.

k

nkk

nk

ii'2

1'

'2'

Coppie di radici complesse coniugate con molteplicità k e ’k rispettivamente per NUM. E DENOM.


In generale, quindi, la funzione di trasferimento può essere semprerappresentata come:

)(......)()()( 21 iTiTiTiT z

Dove z = s + t + s’ + t’ + - ’ :

Il modulo della funzione di trasferimento sarà:

)(......)()()()( 21 iTiTiTMiT z

Introducendo la relazione in dB:

)(log......)(log)(log20)(log20 21 iTiTiTM z

Il modulo della funzione di trasferimento si traccerà sul diagrammadi Bode e sarà ottenuto come somma di ciascun contributo


Come si rappresentano i contributi di ciascun termine?

0

0

a

bK Sensibilità statica

Contributo nullo alla fase


Il modulo nel diagramma logaritmico è una retta che passa per l’origine, inclinata di ( - ’)*20 [dB]/decade. L’eq. Di tale retta è:

Fase: retta parallela alle ascisse con eq:

)'()( i

)log(20)'()( M

2)'(


Modulo:Il diagramma asintotico del modulo è costituito da due rette, che si intersecano nel p.to di rottura log(1/) e che si ottengono dalla relazione

)]log(20)log(20[log20 M

2)(1log20log20 M

per 1k

per 1k

0log20 M

Diagramma asintotico del modulo per >0 e <0Il modulo in corrispondenza dei p.ti di rottura, passa per+3 dB e -3 dB

)(

)1(k

ki

Termini del tipo

+3 dB

-3 dB

rappresenta la molteplicità


FASEsi hanno due asintoti, uno che coincide con l’asse delle ascisseed uno con ordinata pari a

)(

)1(k

ki

Diagramma asintotico della fase per >0 e <0

Termini del tipo

2



Moduloper ogni termine a numeratore o a denominatore si hanno due asintoti, uno che coincide con l’asse delle ascisse ed l’altro (con segno + o -, rispetticamente pernumeratore e denominatore) che si ottiengono da:

Termini del tipok

nkk

nk

ii

12

2

2

1

222

2120log20

nkk

nk

LogM


0log20 Mper 0

)]log()[log(40log20 nM per


Diagramma asintotico del modulo

Termini del tipok

nkk

nk

ii

12

2

Log(n)p.to di rottura

Log()

20Log(M)

40 [dB]

Log(10n)

Pendenza40 [dB/decade]per = +1

Pendenza- 40 [dB/decade]per = -1

-40 [dB]


Log()

Log(10n)

20Log(M)


Diagramma asintotico della fase

Termini del tipok

nkk

nk

ii

12

2


Log()

2

Log(10n)

= per = +1

2

1

2

n

narctg


Log()

Log(10n)

= - per = -1

-2

-


Per =0.6-0.7,il diagramma asintotico della fasepuò essere tracciato analogamente ai termini (1+i)

Termini del tipok

nkk

nk

ii

12

2


Log()

2

Log(10n)

= per = +1

2

1

2

n

narctg


Log()

Log(10n)

= - per = -1

-2

-

Log(0.1n)

Log(0.1n)

ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di una funzione di trasferimentouna funzione di trasferimento

642

118

1010)10(

)1010()(

ii

iiiT

Si raccolgono i termini conformemente a quelli noti:

)(i0

0

a

bK

)1( ki

12

2

nkk

nk

ii

110

210

)1.01(

)101(10

11010

10)1.01(10

)101(10)(

3

2

3

3

26

26

38

ii

i

ii

ii

iiiT

ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di una funzione di trasferimentouna funzione di trasferimento

Si calcolano i valori noti e i punti di rottura per ciascun termine:

110

210

)1.01(

)101(10)(

3

2

3

3

ii

i

iiiT

I°: 10K ][20)log(20 dBK

II°: )101( 3 i 310 31

log

III°: )1.01( i 1.0 11

log

IV°: 1000n 3log n

110

210 3

2

3

ii

P.ti di rottura

Diagramma asintotico del modulo e della fase tracciati in classe

ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE DI STRUMENTI ELEMENTARI (parte 2)

Documents

Transcript of ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE DI STRUMENTI ELEMENTARI (parte 2)