Strumenti: modelli e caratteristiche dinamiche · h coefficiente di scambio termico ... sebbene...

1

Strumenti:modelli e caratteristiche dinamiche

Argomenti:

modelli dinamici di ordine 0, 1 e 2;

esempi della fenomenologia fisica;

caratteristiche dinamiche degli strumenti di ordine 0, 1 e 2;

comparazione delle caratteristiche dinamiche.

1

Modelli dinamici

1 0 1 0... ...n m

n o o o m i i in m

d d d dA q A q A q B q B q B q

dt dt dt dt+ + + = + + +

Nel caso più generale il legame ingresso-uscita di un sistema dinamico può essere scritto nella forma:

L’uso di tale formulazione per modellare uno strumento prevede un solo termine in ingresso, l’ingresso di misura desiderato:

Si definisce ordine dello strumento la differenza tra l’ordine massimo e quello minimo di derivazione della variabile d’uscita, qo .

I modelli utilizzati per la descrizione del comportamento dinamico di uno strumento sono sempre a coefficienti costanti e di ordine zero, primoo secondo.

Tale descrizione è solo un’approssimazione del reale comportamento dello strumento che risulta da un lato rappresentativa nei limiti dettati dalle condizioni di utilizzo e dall’altro ne fissa il campo di impiego.

1 0...n x

n o o o x in x

d d dA q A q A q B q

dt dt dt+ + + =

2

2

Strumento di ordine zero:

Modelli dinamici

0 ...oA q =

Strumento del primo ordine:1 0 ...o oA q A q+ =

Strumento del secondo ordine:2 1 0 ...o o oA q A q A q+ + =

E’ necessaria una metodologia di analisi che permetta di comprendere le modalità di funzionamento del «sistema dinamico strumento»; i passi che seguiremo sono:

• Scelta di forzanti significative (gradino, rampa, sinusoide) per il calcolo della risposta

• Calcolo della risposta: Integrale particolare (dipendente dal caso specifico) e generale (dipendente dall’equazione omogenea ass.)

L’importanza di questo tipo di analisi è legata alla possibilità di definire sistematicamente i parametri che caratterizzano ciascun modello, e capire come valutarli in relazione all’utilizzo che ne potremmo fare

2 1 ...o oA q A q+ =

3

1

1 1 0

1

1

( ... )n n i

n n o i i

o i

o i

o

i

A s A s A s A q B s q

(s)q (s)q

q (s) (s)q

qH (s) (s)

q

!!

!

!

+ + + + =

=

=

= =

A B

A B

A B

Modelli dinamici

4

Utilizzando l’operatore di Laplace cambiamo il dominio in cui stiamo operando passando da quello del tempo a quello delle frequenze (per chiarezza usiamo il simbolo " per individuare una funzione della frequenza).

I termini derivativi si trasformano in potenze di esponente pari all’ordine di derivazione e l’espressione della funzione di trasferimento si semplifica divenendo un rapporto tra ingresso e uscita:

La funzione di trasferimento dello strumento diviene:

3

Identificazione delle equazioni costitutive

5

Analisi fenomenologica e scrittura delle equazioni costitutive

SV

OV

Nella relazione ingresso-uscita dello strumento non compare nessun termine differenziato rispetto al tempo, quindi si tratta di uno strumento di ordine 0.

Il guadagno G è costante in frequenza:

La funzione di trasferimento concepita analizzando esclusivamente il comportamento elettrico è però utilizzabile solo entro i limiti di validità dell’ipotesi di disaccoppiamento con quello meccanico:

• non si è considerato che il potenziometro è in realtà un corpo elastico con infiniti gradi di libertà. Cioè si è assunto che la dinamica interna dello strumento sia a frequenze abbastanza elevate, rispetto a quelle di impiego, da poter essere considerato rigido nel campo di utilizzo.

Ordine 0: il potenziometro

SO

VV x Gx

L= =

( ) ( )OV s G x s=

6

Abbiamo già analizzato il principio di funzionamento da un punto di vista statico. Valutiamo la possibile esistenza di un effetto dinamico.

4

Ordine 1: il termometro

Sensibilità statica =>(guadagno a regime)

1G =

Costante di tempo =>mc

hA# =

Studiamo un altro strumento di largo impiego, il termometro.Definiamo alcuni parametri utili:

Ta temperatura ambienteTi temperatura internah coefficiente di scambio termicom massa del materiale del bulbo

(trascurabile la massa del materiale nella colonna) c calore specifico del materiale del bulbo t tempoA superficie di scambio termico

( 1)

1( )

1

i i a i a

i

a

T T T s T T

TG s

T s

# #

#

+ = $ + =

= =+

( )a i iq hA T T mcT= ! = L’equazione di equilibrio dei flussi è:

Equazione dinamica (primo ordine): i i amc T hA T hA T+ =

7

Ordine 2: accelerometro

Consideriamo un sensore di accelerazione a massa sismica.

Lo strumento è rappresentabile da un modello dinamico elementare a 1 grado di libertà: massa, molla e smorzatore: l’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso di accelerazione applicato all’accelerometro.

L’accelerazione imposta dal movimento della base, agendo sulla massa con una forza d’inerzia pari a f=Ma, flette la barretta.

Come indicatore dell’effetto della forza è concettualmente utilizzabile la posizione dell’estremo (in termini reali è meglio un trasduttore facilmente miniaturizzabile).

Occorre analizzare l’equazione di equilibrio dinamico.

Spostamento relativo della

massa (u)

Spostamento

della base (v)

8

Massa sismica

Rigidezza della trave

Ma

Ku

5

u - Movimento relativo della massa sismicav - Movimento della base

In frequenza l’accelerazione della base è a(s)=s2v.

Si assume che solo l’elemento di reazione elastica sia deformabile

Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertàche modella un solo aspetto della dinamica interna: la dinamica più

lenta dell’oggetto accelerometro, la sola di interesse metrologico

2

2

( )0

d v u duM C Ku

dt dt

++ + =

Ordine 2: accelerometro

Equazione di equilibrio dinamico nel tempo: u

v

2 2

2

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( / / )

u sMs Cs K u s M s v s M a s

a s s C Ms K M+ + = ! = ! = !

+ +

9

Ordine 2: accelerometro, modello dinamico

2 22 1 0 2

22

2

2

( )

: :

con

o i

o i

o i

-1

A s A s A q B s q

(s)q B s q

Uscita q Ingresso a s q

Uscita (s) Ingresso (s) B

+ + =

=

=

= % =

A

H H A

Allora:

sensibilità statica (guadagno a regime ad s nullo): 2

0

B MG

A K= =

pulsazione propria: 0

2

n

A K

A M& = =

coefficiente di smorzamento: 1

0 22 2

A C

A A KM' = =

I parametri caratteristici sono:

2( )Ms Cs K u Ma+ + = !

10

6

Ordine 2: accelerometro, modello dinamico

Diagrammi tipici di risposta in frequenza di un accelerometro:

10-1

100

10-1

100

101

Frequenza adimensionale

Am

pie

zza

0.7

0.1

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0.05

0.100.7


Fase

11

Ordine 2: sismografo

Consideriamo un sensore di spostamento a massa sismica.

L’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso che è lo spostamento applicato al contenitore dell’accelerometro.

Il movimento, variabile nel tempo, impone un’accelerazione che agendo sulla massa sotto forma di una forza d’inerzia, deforma il supporto elastico.

Un trasduttore di posizione rileva lo spostamento relativo della massa rispetto alla base.

Misura dello spostamento relativo della massa (u)

Spostamento della base (v)

12

Massa sismica

Rigidezza complessiva

7

u - Movimento relativo della massa sismicav - Movimento della base

L’ingresso del sistema è direttamente il movimento della base v.

Equazione dinamica di secondo ordine ad un grado di libertà(massa, molla e smorzatore) che, come sempre, trascura la dinamica a frequenze superiori dell’oggetto.

2

2

( )0

d v u duM C Ku

dt dt

++ + =

Equazione di equilibrio dinamico: u

v

2

2

22 ( )

( )( ) ( / / )

u sMs Cs K u Ms v

v s s C Ms K M

s+ + = ! = !

+ +

Ordine 2: sismografo

13

Ordine 2: sismografo, modello dinamico

sensibilità statica (guadagno a regime ad s elevato): 2

2

1B M

GA M

!= = = !

pulsazione propria: 0

2

n

A K

A M& = =


0 22 2

A C

A A KM' = =

I parametri caratteristici sono:

2 22 1 0 2

2

2

1 2

2

: :

( )

con

o i

o i

o i

Uscita q u Ingresso q v

A s A s A q B s q

(s)q B s q

Uscita (s) Ingresso (s) B s!

= =

+ + =

=

= % =

A

H H A

2

2( )

u s M

v Ms Cs K= !

+ +

14

L’equazione di equilibrio dinamico è la STESSA dell’accelerometro: il sistema è sempre sensibile all’accelerazione MA l’ingresso desiderato è lo spostamento. Quindi:

8

Ordine 2: sismografo, modello dinamico

La funzione di trasferimento del sismografo è completamente diversa da quella di uno accelerometro a causa della presenza di poli e zeri.

Il guadagno di regime si ha per frequenze di lavoro superiori a quella propria del sistema.

G costanteper f>fn

Per frequenze basse la massa sismica si muove come la base (u=0).

Per frequenze elevate la massa sismica rimane ferma e il movimento relativo coincide con quello della base (u=-v). L’uscita è in questa situazione in contro fase rispetto all’ingresso (G=-1).

Frequenza normalizzata 15

Dal Modello dinamico al Modello metrologico

16

9

Modello dinamico Vs Modello metrologico

Le equazioni che abbiamo scritto descrivono il comportamento dinamico del sistema “strumento”

Per ottenere il modello metrologico, cioè quello che potremo usare per ottenere la misura, è necessario introdurre il principio di trasduzione

Questa operazione ha senso solo dopo che nell’equazione di equilibrio i termini legati alla dinamica interna sono diventati trascurabili; nel caso dell’accelerometro:

Il termine fornisce le forze elastiche agenti sul piezo:

Principio di trasduzione meccanico/elettrico

Otteniamo infine la sensibilità di progetto,o nominale, dello strumento

Piezo ElV C F=

( )

1El

Piezo

Piezo

F V MaC

V MC a

= =

=

Mu Cu Ku Ma+ + = Ku Ma=

18

ElF Ku=Ku

Modello dinamico Vs Modello metrologico

Nel caso di un sismografo:

Utilizzando un LVDT, di sensibilità , per la misura dello spostamento avremo:

Uscita elettrica

Equazione di trasformazione meccanico/elettrico

Otteniamo infine la sensibilità di progetto,o nominale, dello strumento:

Out

LVDT

Out LVDT

VKu K Ms

S

MV S s

K

= =

=

Mu Cu Ku Ms+ + = Ku Ms=

19

Out LVDTV S u=

LVDTS

10

Analisi della risposta dinamica

20

Strumento di ordine zero

0 0o iA q B q=

Sensibilità statica (guadagno a regime): 0

0

BG

A=

Legame ingresso-uscita:o iq Gq=

Uno strumento di ordine 0 rappresenta lo strumento ideale dal punto di vista della risposta dinamica poiché quest’ultima è totalmente assente.

Dal momento che il legame ingresso uscita è algebrico, non ha importanza la variazione nel tempo dell’ingresso, l’uscita seguirà perfettamente l’ingresso, senza distorsione o ritardo di fase.

Lo strumento avrà un rapporto fra uscita ed ingresso sempre pari a quello di regime.

Equazione caratteristica:

0

0

o i i

Bq q Gq

A= = Equazione normalizzata:

21

11


io b

xe E

L=Esempio: potenziometro

Esempio: estensimetro

Attenzione: sebbene l’estensimetro abbia sempre un modello di ordine zero una cella di carico che lo utilizza per realizzare un trasduttore di forza esibisce in genere un comportamento del 2° ordine.

E’ importante in questo caso non confondere il modello dinamico complessivo dello strumento cella con quello del suo componente, estensimetro, che legge la deformazione.

1

R

k R(

)=

22


io b

xe E

L=

Esempio: potenziometro

23

Risposta alla rampa

Risposta al gradino Risposta ad ingresso generico

Risposta in frequenza

12

( )1

o

i

q GH s

q s#= =

+

Strumento del primo ordine

Legame ingresso-uscita:

Sensibilità statica (guadagno a regime):

Equazione caratteristica:

Equazione normalizzata:

24

1 0 0o o iA q A q B q+ =

01

0 0

o o i

o o i

BAq q q

A A

q q Gq#

+ =

+ =

0

0

[ / ]out in

BG u u

A=

Costante di tempo:1

0

[ ]A

tA

# =

Funzione di trasferimento:

Esempio: termometro

Strumento del primo ordine: risposta a gradino

0 per 0oq t += =_( 1) o i STEPs q Gq# + = Condizioni iniziali:

_

_ _

t

o gen

o par i STEP

q Ce

q G q

#!

=

=

integrale generale

integrale particolare

Applicando le condizioni iniziali: _ (1 )t

o i STEPq Kq e #!

= !

In forma adimensionale:

_

(1 )t

o

i STEP

qe

Gq#

!

= !

Errore di misura:o

m i

qe q

G= !

Soluzione data da due parti:

25

13

Strumento del primo ordine: risposta a gradino

Minore è la costante di tempo, #, maggiore è la prontezza dello strumento ovvero l’uscita raggiunge il valore asintotico in un tempo più breve.

Come desumibile dai grafici di destra dove il tempo è stato normalizzato rispetto a #, dopo un tempo pari a 4 # la risposta ha raggiunto il 98% della risposta statica e può essere ormai definita a regime.

( )_ 1t

o i STEPq Gq e #!= !

26


La determinazione sperimentale della costante di tempo può essere fatta a partire dalla risposta a gradino. Riscrivendo opportunamente l’equazione abbiamo:

( )_

1to

i STEP

qe

Gq#!= ! 1

t

o

iSTEP

qe

Gq#

!

! =

Ponendo: e passando ai logaritmi: (a=b*t)1

ln z t#

= !_

1 o

i STEP

qz

Gq= !

#

1! t

Acquisti sperimentalmente i dati di ingresso e uscita in diversi istanti temporali si può quindi procedere con una regressione lineare. La pendenza della retta ottenuta è l’inverso della costante di tempo.

Questa procedura risulta molto più semplice che non andare a stimare la costante di tempo in base alla convergenza della risposta e va sempre preferita ad essa.

28

ln z

14

Strumento del primo ordine: risposta in frequenza

In forma adimensionale:

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

&#

A/(GA )0

Fase+1

1

2

1( ) : tan ( )

( ) 1

o

i

qj A

Gq& * &#

&#

! = = ! +

29

*


Sensibilità statica =>(guadagno a regime)

1G =

Costante di tempo =>mc

hA# =

Esempio: il termometro

Ta temperatura ambienteTi temperatura internah coefficiente di scambio termicom massa del materiale del bulbo

(trascurabile la massa del materiale nella colonna) c calore specifico del materiale del bulbo t tempoA Superficie di scambio termico

( )a i iq hA T T mcT= ! = L’equazione di equilibrio dei flussi è:

30

i i a

i i a

mc T hA T hA T

T T T#

+ =

+ =

15

Come si può operare per avere una costante di tempo piccola?E’ ovvio che i termini al denominatore devono essere i più grandi possibile, mentre quelli al numeratore devono essere i più piccoli.

Non tutte le variabili in gioco sono però indipendenti, per es. la superficie del bulbo e la massa del fluido di misura. Nelle ipotesi adottate, indicando con r il raggio del bulbo, assunto sferico per semplicità, poiché:

La costante di tempo diventa:

Quindi un intervento diretto ad aumentare la superficie esterna attraverso l’incremento del raggio, con lo scopo di diminuire la costante di tempo, in realtà porta al suo incremento, in quanto il volume aumenta più rapidamente della superficie


3

23 3

mc r c rc

hA h r h

+, +#

,= = =

3 244

3m r A r+, ,= =

31

Strumento del secondo ordine

iooo qBqA

dt

dqA

dt

qdA 0012

2

2 =++

sensibilità statica (guadagno a regime, s=0): 0

0

BG

A=

pulsazione propria o naturale: 2

0

A

An =&


1

2 AA

A='

I parametri caratteristici sono tre:

Per lo strumento di secondo ordine:

32

[ ]1

/m NK

[ ] /K

rad sM

2

B

K M

2

2 1 0 0

2

0

( ) ( ) ( )

( )

o i

i

q qs A sA A s B s

s M sB K x f

+ + =

+ + =

16


2

2

21 o i

n n

s sq Gq

'

& &

+ + =

La funzione di trasferimento è:

Sostituendo i parametri caratteristici nell’equazione fondamentale:

2

2

( )2

1

o

i

n n

q Gs

s sq '

& &

=

+ +

33

Strumento del secondo ordine: risposta al gradino

Condizioni iniziali: +== 0per 0 tdt

dqo

2

2

21 o iSTEP

n n

s sq G q

'

& &

+ + =

+== 0per 0 tqo

op iSTEPq G q=Integrale particolare

36

Integrale Generale assume una delle tre possibili forme, in funzione della tipologia delle radici dell’equazione caratteristica:

reali e distinte (sistema sovrasmorzato)

reali ripetute (sistema criticamente smorzato)

complesse (sistema sottosmorzato)

17

Strumento del secondo ordine: risposta a gradino

Le tre funzioni di trasferimento, per i diversi livelli di smorzamento, diventano:

2 22 2

( 1) ( 1)

2 2

1 11 1

2 1 2 1

n nt to

iSTEP

qe e

Gq

' ' & ' ' &' ' ' ''

' '

! + ! ! ! !+ ! ! !> = ! + +

! !

1 (1 ) 1nton

iSTEP

qt e

Gq

&' & != = ! + +

2

21 sin( 1 ) 1

1

nt

on

iSTEP

q et

Gq

'&

' ' & -'

!

< = ! ! + +!

21 1 '- != !sin

37


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

N periodi

Ris

post

a p

osi

zione

Risposta di un sistema a frequenza naturale unitaria

Sovrasmorzato 1.5Smorz. critico 1.0Sottosmorzato 0.2

38

18

Sistema sovrasmorzato.

Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 2.5 – 3.0 volte il periodo naturale (Tnaturale=1/fnaturale=2,/&naturale).


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

N periodi

Ris

post

a n

orm

aliz

zata

PosizioneVelocitàAccelerazione

39


Sistema sottosmorzato.

Gli effetti dinamici possono essere considerati esauriti dopo 4-4.5 volte il periodo naturale.


0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

N periodi

Risp

osta

norm

alizz

ata

PosizioneVelocitàAccelerazione

40


19

Osservazioni:

poiché dopo un certo numero di periodi caratteristici, dipendenti dal valore dello smorzamento, gli effetti dinamici sono trascurabili, si può dire che trascorso un certo lasso di tempo, la risposta può essere considerata statica ovvero ;

&n è un’indicazione diretta della velocità di risposta dello strumento: per un determinato smorzamento, raddoppiando &n si dimezza il tempo di risposta, dato che il prodotto &n t raggiunge lo stesso valore in metà del tempo;

il concetto di velocità di risposta nel dominio del tempo è il duale di quello di banda passante nel dominio della frequenza. Più uno strumento ha un’alta velocità di risposta, ovvero di convergenza ai valori asintotici, più sarà in grado di leggere correttamente segnali con veloci variazioni temporali ovvero ad alte frequenze.


41

op iSTEPq G q=

Osservazioni (segue):

un aumento dello smorzamento riduce le oscillazioni ma rallenta la risposta nel senso che la prima intersezione al valore a regime viene ritardata. Un’indicazione numerica della rapidità della risposta è data dal settling time ovvero il tempo che il segnale d’uscita impiega per rientrare in una banda di ampiezza definita attorno al valore asintotico (error band), per non uscirne più.

Il valore ottimale dello smorzamento dipende dalla banda di settlingtime scelta: scegliendo ad esempio il 10%, lo smorzamento che garantisce il più rapido raggiungimento della condizione a regime, ovvero il minor settling time, è pari a 0.6.

Tale condizione viene raggiunta in circa 2.4/ &n secondi (vedere diagramma successivo).

Strumento del secondo ordine: settling time

42

20

Error band del 10%

2.4

Strumento del secondo ordine: settling time

43Settling time al 10%

Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza

2( )

2 1

o

i

n n

Gq

jq&

& ' &

& &

=

! + +

22

2 2

2

1( )

1 4

o

i

n n

G

q

q& -

& ' &

& &

= . ! +

&

&

&

&'

-n

n

!= ! 2

tan 1

44

Forma complessa:

Ampiezza: Fase:

21

Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza

Osservazioni:

aumentando la frequenza propria, aumenta l’ampiezza dell’intervallo di frequenze per il quale la risposta si mantiene piatta (banda passante), di conseguenza una frequenza propria elevata è indispensabile per misurare ingressi ad alta frequenza;

il valore ottimale di smorzamento è funzione sia dalla risposta in ampiezza che da quella in fase: la più estesa zona di ampiezza costante in frequenza si ottiene per valore di smorzamento che variano tra 0.6 e 0.7;

un angolo di fase nullo è impossibile da ottenere: la cosa importante è che il segnale in uscita riproduca la forma di quello in ingresso ovvero non introduca distorsione. Questo risultato, come già visto, si ottiene con uno sfasamento lineare che genera solo un ritardo ma non una distorsione. Ancora una volta uno smorzamento compreso tra 0.6 e 0.7 garantisce il più ampio range di frequenza in cui la fase varia linearmente.

45


Con parametri caratteristici:

2 2( ) Out InMs Cs K x Ms x+ + =

sensibilità statica (guadagno a regime a s=0): [ ]1

/G m NK

=

pulsazione propria: [ ] /n

Krad s

M& =

coefficiente di smorzamento 2

C

K M' =

46

Nell’ambito della sperimentazione, con particolare riferimento ai sensori accelerometrici, spesso i termini dell’equazione caratteristica del sistema del secondo ordine vengono sostituiti con le grandezze meccaniche corrispondenti:

22

Esempio: accelerometro piezoelettrico

Confronto di caratteristiche di strumenti di secondo ordine

La massa sismica (rigida) è appoggiata al piezelettrico, la cui rigidezza funge da molla elastica

Valori tipici:

Massa sismica n g Rigidezza elevata

(Epiezo/ 80000 N/mm2)

Smorzamento % / 0

Frequenza di risonanza: n kHzMassa

Rigidezza (0 EA/t)(n>20)

47

Esempio: accelerometro

piezoresistivo a lamina


La massa sismica (rigida) è montata sulla barretta elastica (si tratta di un «modello», nella realtà la geometria può essere profondamente diversa)

Valori tipici:

Massa sismica g Rigidezza bassa

Smorzamento % / 0,7

Frequenza di risonanza: n kHz

Massa

K 0 EI/L3

(n < 1)48

23


Risposte tipiche

Definizione caratteristiche utili; Modulo(A/A0)/1

Banda passante reale

10-1

100

10-1

100

101


Am

pie

zza

0.7

0.1

0.05

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0.05

0.100.7


Fase

Piezoceramico

Piezoresistivo

49

Confronto di caratteristiche di strumenti di secondo ordineConfronto di due strumenti: #1 1000Hz, 0.7 #2 20000Hz, 0.05

Definizione caratteristiche utili: Errore(Modulo(A/A0)) / 0.01

Banda passante con 1% di errore sul guadagno: 255 e 1995 Hz

cioè 25.5 e 10.0% della rispettiva frequenza di risonanza

5010

3

0.95

1

1.05

-1%

+1%

100

101

102

103

104

105

106

0.5

1

1.5

2

1995Hz (10.0%FR)

255Hz (25.5%FR)

Basso smorzamento

Alto smorzamento

Deviazione 1%

Deviazione 1%

Accelerometro piezoceramico

Accelerometro piezoresistivo

FRFR

24

Identificazione sperimentale della funzione di trasferimento

52

Funzione di trasferimento: identificazione sperimentale

Il modello dinamico può essere identificato sperimentalmente quando sia difficile riuscirci con analisi più elementari.

Il metodo parte dalla definizione della funzione di trasferimento di un sistema nel dominio della frequenza ovvero il rapporto della trasformata dell’uscita e dell’ingresso.

Una procedura elementare, prevede:

l’acquisizione delle storie temporali di ingresso e uscita;

il calcolo delle trasformate di Fourier dei due segnali;

la determinazione della funzione di trasferimento come rapporto tra uscita ed ingresso calcolato ad ogni frequenza;

la rappresentazione dei diagrammi di ampiezza e fase.

La procedura richiede di essere resa più sofisticata, in modo da essere più accurata e robusta per far fronte alle varie casistiche:

Contemporaneità delle misure

Applicazione di medie per riduzione rumore53

25


Esempio: come distinguere un sistema del 2° ordine fortemente smorzato da uno del 1°?

L’analisi dell’ampiezza della funzione di trasferimento non dice molto: la sola differenza rilevabile è la pendenza oltre il ginocchio .

Più rappresentativa risulta essere il diagramma della fase: nel sistema del 2° ordine, in corrispondenza della risonanza, si ha un valore pari a 90° che tende a 180° all’aumentare della frequenza.

Tale comportamento è assai diverso nel sistema di 1° ordine

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% xx uscita campionata

% xf ingresso campionato

% Fs frequenza di campionamento

tx=fft(xx)/length(xx)*Fs;

tf=fft(xf)/length(xx)*Fs;

n=length(xf)/2;

figure

ttf=tx(1:n)./tf(1:n); % calcolo (elementare) FdT

subplot(211)

loglog(ff,sqrt(abs(ttf)))

ylabel('Ampiezza'),title('Funzione di trasferimento')

fase=atan2(imag(ttf),real(ttf))/pi*180;, fase(1)=0;

subplot(212),plot(ff,fase),ylabel('Fase')

55

26

Validità dei Modelli dinamici

Da ricordare che i modelli dinamici hanno un limite di validità:

Si assume che tutta la dinamica sia descritta dal grado di libertà utilizzato ai fini metrologici

Questo è vero se le frequenze caratteristiche ad esso associate sono ben separate da quelle del trasduttore (es la cassa)

Per la maggior parte dei trasduttori ciò non è un problema: es. non ha senso utilizzare uno strumento come l’accelerometro vicino o oltre la risonanza.

In altri casi ciò non è vero: il trasduttore di spostamento sismico il iene utilizzato al di sopra della frequenza di progetto con una banda nominalmente infinita (G=1 per f$1)

In questo caso il limite di impiego sarà dato da altre caratteristiche dinamiche, es del contenitore o delle molle di appoggio, che possono far deviare il comportamento dello strumento dal quello del modello metrologico.

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Cosa sappiamo e/o sappiamo fare…

Disponiamo di un metodo per discutere il funzionamento dinamico di uno strumento a partire dalla fisica che lo modella.

Abbiamo individuato alcune tipologie di strumento basandoci sulla struttura delle equazioni che ne descrivono il funzionamento.

Abbiamo caratterizzato ogni tipologia di strumento con alcuni parametri utili per la sintesi delle caratteristiche dinamiche dello strumento

Abbiamo analizzato i comportamenti dinamici per alcuni ingressi tipici, la cui risposta evidenzia elementi utili per la scelta di uno strumento.

Le caratteristiche dinamiche rivestono un ruolo in fase di progettazione dell’esperimento in base ad esigenze di compatibilità e di garanzia del comportamento metrologicamente corretto.

57

27

Domande?

58

Approfondimenti: risposte ad ingressi standard

59

28

Strumento del primo ordine: risposta alla rampa

_

0 0

0

i o

i

i SLOPE

q q tq

q t t

= = 2= 3

_o o i SLOPEq q Gq t# + = Sostituendo:

Ingresso a rampa:

Applicando le condizioni iniziali: 0 per 0oq t += =

_

t

o genq Ce #!

=Integrale generale:

_ _ ( )o par i SLOPEq Gq t #= !Integrale particolare:

_ ( )t

o i SLOPEq Ce Gq t# #!

= + ! _ ( )t

o i SLOPEq Gq e t## #!

= + !

60


Possiamo scrivere l’errore di misura come:

Errore in transitorio Errore a regime

( )t

om i i SLOPE i SLOPE i SLOPE i SLOPE

qe q q t q e q t q

G## #

! = ! = ! + !

, ,

_ _

m t m ss

t

m i SLOPE i SLOPE

e e

e q e q## #!

= ! +

G

61

29


L’errore a regime è proporzionale alla costante di tempo.

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Strumento del primo ordine: risposta all’impulso

Funzione impulso di intensità A (p(t)=A/T):0

lim ( )T

A p t$

=

Fino al tempo T la risposta è analoga a quella a gradino:

( 1) o i

GAs q Gq

T# + = =

Fino al tempo T anche la condizione al contorno è identica, quindi la soluzione diventa: (1 )

t

o

GAq e

T#

!

= !

La soluzione è valida fino al tempo T, dove vale: (1 )T

o t T

GAq e

T#

!

== !

63

30


Per t>T abbiamo: ( 1) 0o is q Gq# + = =

E quindi:(1 )

TT

o T

GA eq Ce C

Te

##

#

!!

!

!= =

E quindi la risposta risulta: _ _ ( )o par i SLOPEq Gq t #= !

64


65

Andamento p(t) Andamento q0 per T=T0

Andamento q0 per T=T0/2 Andamento q0 per T=T0/k, k→∞

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Strumento di secondo ordine: risposta alla rampa

2

2

21 o iSLOPE

n n

s sq G q t

'

& &

+ + =

Con condizioni iniziali:+== 0per 0 t

dt

dqo+== 0per 0 tqo

Le tre funzioni di trasferimento, in funzione ', diventano quindi:

2 22 2 2 2

( 1) ( 1)

2 2

2 1 2 1 2 1 2 121

4 1 4 1

n nt to iSLOPEiSLOPE

n

q qq t e e

G

' ' & ' ' &' ' ' ' ' ''

& ' ' ' '

! + ! ! + ! ! ! ! + ! ! = ! + + ! !

12

12tan

2

2

!

!=

'

''-

21 (1 )

2nto iSLOPE n

iSLOPE

n

q q tq t e

G

& &

&!

= ! ! +

2

2

21 sin( 1

2 1

nt

o iSLOPEiSLOPE n

n

q q eq t t

G

'&'' & -

& ' '

! = ! ! ! + !

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Strumento di secondo ordine: risposta alla rampa

,

2 iSLOPEm ss

n

qe

'

&=

Errore a regime:

Sia l’errore a regime che il ritardo possono essere ridotti diminuendo lo smorzamento, a scapito di oscillazioni di ampiezza maggiore, o aumentando la frequenza naturale.

Ritardo a regime: ,

2m ss

n

'#

&=

67

32

Strumento di secondo ordine: risposta all’impulso

2

2

21 0o

n n

s sq

'

& &

+ + =

Con condizioni iniziali:+== 0per 2 tKA

dt

dqn

o &+== 0per 0 tqo

( )2 2( 1) ( 1)

2

1

2 1

n nt to

n

qe e

G A

' ' & ' ' &

& '

! + ! ! ! != !!

nton

n

qte

G A

&&&

!=

2

2

1sin( 1 )

1

nton

n

qe t

G A

'& ' && '

!= !!

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L’impulso ad un modello dinamico del secondo ordine può essere fornito non mediante una forza ma attraverso delle opportune condizioni iniziali:

Le tre funzioni di trasferimento, in funzione ', diventano:

Strumento di secondo ordine: risposta all’impulso

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Strumenti: modelli e caratteristiche dinamiche · h coefficiente di scambio termico ... sebbene...

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