Coefficiente di trasmissione del calore per convezione...

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Coefficiente di trasmissione del calore per convezione – Metodo dell’analisi

dimensionale

ing. Simona Bartocci e-mail: [email protected]

Coefficiente di scambio termico per convezione

La potenza termica scambiata per convezione tra una superficie e un fluido può essere valutata con

la relazione di Newton

La valutazione del coefficiente di scambio termico è difficile poiché è funzione della

fluidodinamica, delle proprietà termiche del fluido e della geometria del sistema. Il suo valore

numerico in generale non è uniforme sulla superficie e dipende dal punto in cui si misura la

temperatura del fluido. Il coefficiente convettivo dipende:

1. forma ed estensione della superficie di scambio, per il deflusso esterno, o della sezione di

deflusso nel caso di deflusso interno, lunghezza caratteristica L o diametro equivalente D

2. condizioni fluidodinamiche medie nella posizione d’interesse:

- velocità media w

3. proprietà fisiche del fluido che influenzano direttamente il campo di moto del fluido:

- densità, la viscosità dinamica,

- il trasporto di calore:

- conduttività termica e calore specifico cp.

Coefficiente di scambio termico per convezione

Per la determinazione del coefficiente di scambio termico convettivo sono utilizzabili 4 metodi

generali:

1. Analisi Dimensionale combinata con esperimenti

2. Soluzione matematica esatta delle equazioni dello strato limite

3. Studio approssimato dello strato limite con metodi integrali

4. Analogia tra il trasporto di calore e, materia e quantità di moto

Tutti e quattro queste tecniche hanno contribuito alla comprensione dello scambio termico per

convezione.

L’analisi dimensionale è semplice da un punto di vista matematico ed ha trovato un vasto campo di

applicazione. La principale limitazione è che i risultati ottenuti non sono completi e del tutto inutili

senza dati sperimentali.

Un altro limite è legato al fatto che non da alcuna informazione sulla natura del fenomeno. Infatti

per applicare l’analisi dimensionale è necessario conoscere precedentemente quali variabili

influenzano il fenomeno ed il successo, o il fallimento, del metodo dipende dalla opportuna scelta

di queste variabili. E’ necessario quindi disporre di una teoria preliminare o avere una completa

comprensione fisica del fenomeno prima di usare l’analisi dimensionale.

Analisi dimensionale

Quando si studia un particolare fenomeno fisico occorre considerare un certo numero di grandezze

che sono in qualche modo interessate dal fenomeno.

GRANDEZZE

Le grandezze che vengono definite direttamente e indipendentemente dalle altre vengono dette

fondamentali e le loro unità di misura costituiscono le unità fondamentali; le altre grandezze, la cui

definizione viene fatta in funzione di quelle fondamentali, sono dette derivate, e così pure le sue

unità di misura.

DIMENSIONE DI UNA GRANDEZZA

Si chiama dimensione di una grandezza derivata rispetto ad una grandezza fondamentale

l’esponente della potenza di questa grandezza fondamentale cui la grandezza derivata è

proporzionale

OGNI LEGGE FISICA può essere espressa mediante una relazione fra le varie grandezze

interessate, relazione che si può immaginare risolta (a parte le eventuali difficoltà analitiche)

rispetto ad una di tali n grandezze, che chiameremo y, la quale risulta essere espressa in funzione

delle altre x1, x2, …xn-1

y=f(x1, x2, …xn-1 )


TEOREMA DI BUCKINGMAN

Ogni legge fisica può essere espressa in funzione di un certo numero di parametri

adimensionali.

Occorre a questo scopo un numero di parametri adimensionali Pk che sia

almeno uguale al numero n delle grandezze che intervengono nel

fenomeno in questione meno quello m delle grandezze fondamentali scelte

per definirle, cioè (n-m) parametri adimensionali.

Quindi in virtù di questo teorema la relazione precedente può essere scritta nel seguente

modo:

P=F(P1;P2….Pn-m-1)


TEOREMA DI BUCKINGMAN

Per servirsi di questo metodo occorre:

1. Stabilire quali sono le grandezze fisiche che intervengono in modo essenziale nel

problema in esame;

2. Determinare i raggruppamenti adimensionali di tali grandezze, in base ai quali si può

esprimere la legge del fenomeno in esame;

3. Effettuare una serie di esperienze, facendo assumere via via valori diversi alle varie

grandezze, e correlare i dati sperimentali calcolando per ogni esperienza i valori che i

parametri adimensionali assumono in quel caso particolare

I risultati possono essere sintetizzati in diagrammi o tabelle che

stabiliscono una relazione fra i vari parametri adimensionali,

relazione che rappresenta la legge del fenomeno studiato


L’UTILITA’ DELL’ANALISI DIMENSIONALE nello studio dei fenomeni fisici

proviene da due fatti

1. Il teorema di Buckingman consente di ridurre da n ad n-m il numero dei parametri

da considerare per rappresentare la legge del fenomeno

2. Mediante l’uso dei parametri adimensionali, è possibile estendere l’applicazione dei

dati dell’esperienza anche a situazioni non direttamente sperimentate


IL METODO DEGLI INDICI

Il compito dell’analisi dimensionale è quello di determinare quali sono i raggruppamenti

adimensionali delle variabili fisiche, in base ai quali può essere espressa la legge del

fenomeno che si vuole studiare. Tali parametri rientrano tutti certamente nella forma

generale di gruppo:

cioè un prodotto di tutte le n grandezze x1; x2….xn che interessano il fenomeno,

ciascuna elevata ad un esponente (indice) incognito, il quale deve essere determinato

servendosi della condizione che l’intero gruppo deve risultare adimensionale rispetto a

ciascuna delle grandezze fondamentali.

Quando le grandezze da cui il fenomeno dipende sono numerose, come nel caso della

convezione è conveniente utilizzare il METODO DEGLI INDICI, che consente di

determinare in modo sistematico tutti i parametri adimensionali occorrenti.



ESEMPIO:

Si vogliono determinare i possibili raggruppamenti adimensionali di quattro grandezze:

1. Veolocità u

2. Dimensione geometrica (lunghezza l)

3. Densità δ

4. Viscosità dinamica μ

Che intervengono in tutti i problemi di moto dei fluidi reali

La formula generale di gruppo si scrive nel seguente modo:

Trattandosi di un problema di natura meccanica, le grandezze fondamentali sono tre: la

lunghezza L, massa M e tempo τ

Si ricaverà quindi un solo parametro adimensionale in quanto n-m=4-3=1



Le equazioni dimensionali delle 4 grandezze che ci interessano, in funzione delle tre

fondamentali, sono come è noto:

[u]= [ L•τ-1 ]

[l]= [ L ]

[δ]= [ M•L-3 ]

[μ]= [ M• L-1•τ-1 ]

Sostituendo queste espressioni nella precedente si ottiene

Cioè



Se il gruppo deve risultare adimensionale, occorre che i tre componenti di L,M, τ siano

tutti identicamente nulli. Occorre che siano soddisfatte contemporaneamente le tre

relazioni lineari tra gli indici:

Il sistema delle tre equazioni lineari contiene quattro incognite; esso può perciò essere

risolto esprimendo tre degli indici incogniti in funzione del quarto, ad esempio i3, cui si

possono assegnare valori arbitrari. Si trova così:



Pertanto al relazione sopra diventa

Il parametro adimensionale cercato è dunque il numero di Reynolds:

In conclusione, l’analisi ci consente di affermare che, in un qualunque problema di moto

dei fluidi reali, il numero di Reynolds è uno dei parametri adimensionali da considerare.


In casi complessi i gruppi adimensionali che ci interessano possono essere trovati con il

seguente procedimento

1. Stabilito l’elenco delle n grandezze fisiche da cui si ritiene che il fenomeno dipenda,

si scrive la forma generale di gruppo lasciando indeterminati gli indici

2. Si scrivono le equazioni dimensionali delle suddette grandezze fisiche in funzione

delle m grandezze fondamentali

3. Si sostituiscono tali espressioni nella forma generale di gruppo in modo tale da

ottenere un prodotto di potenze delle grandezze fondamentali: gli esponenti delle

potenze sono espressioni lineari negli indici incogniti i1…in

4. Si impone la considerazione che il gruppo abbia dimensione zero rispetto a tutte le

grandezze fondamentali, cioè si eguagliano a zero le suddette espressioni lineari

negli indici i. Si ottiene così un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite i. Ad

(n-m) indici possono essere assegnati valori arbitrari, dopo di che gli altri restano

determinati risolvendo il sistema. Infine si trova una espressione che assume la forma

di un prodotto di (n-m) parametri adimensionali elevati ad altrettanti indici arbitrari. I

parametri in questione sono quelli cercati.


APPLICAZIONE DELL’ANALISI DIMENSIONALE ALLA CONVEZIONE TERMICA

Nel caso della convezione termica il problema fondamentale consiste nel trovare

un’espressione per il fattore di convezione hc.

1. Consideriamo le grandezze fisiche che influenzano il fenomeno:

- Dimensione geometrica, l

- Velocità del fluido, u

- Viscosità, μ

- Densità, δ

- Conduttività termica interna λ

- Calore specifico, c

- Coefficiente di dilatazione termica per accelerazione di gravità, (ag)

- Differenza di temperatura della superficie del corpo scaldante (o raffreddante) e la

temperatura del fluido, θ

- Fattore di convezione, hc

2. Consideriamo le grandezze fondamentali:

Lunghezza (L), massa (M), tempo (τ), temperatura (T), quantità di calore (Q)

IL NUMERO DI PARAMETRI ADIMENSIONALI E’ (9-5)=4



La forma generale di gruppo comprende 9 grandezze che intervengono nello studio della

convezione termica, quindi:

Si considerano a questo punto le equazioni dimensionali delle 5 grandezze fondamentali:

M, L, T, Q e τ



Sostituendo le equazioni dimensionali della forma generale di gruppo si ha:

Affinché P sia adimensionale è necessario che gli esponenti di ciascuna dimensione siano

nulli.

Ottengo così 5 equazioni lineari negli indici ik.



Si hanno così 5 equazioni e 9 incognite. Il sistema può essere risolto in funzione di 4 dei 9

indici.

Le grandezze scelte sono: hc, u, (ag), c

Si risolve il sistema in funzione di questi 4 indici e si ottengono le seguenti espressioni dei

rimanenti 5 indici:

Con tali valori degli indici, la forma generale di gruppo diviene



Ossia

L’analisi dimensionale permette di concludere che la trasmissione del calore per convezione

può essere studiata mediante una relazione fra i 4 parametri adimensionali, Nu, Pr, Gr, Re.

In molti casi si può esprimere tale legge nella forma suggerita dall’analisi degli indici, cioè:

Dove le 4 costanti devono essere determinate utilizzando i risultati sperimentali, mediante un

metodo di interpolazione


SIGNIFICATO DEI PARAMETRI ADIMENSIONALI

1. Numero di NUSSELT (Nu)

Rapporto fra la quantità di calore trasmesso per convezione e la quantità di calore trasmesso

per sola conduzione.

2. Numero di PRANDTL (Pr)

Rapporto fra viscosità cinematica (𝜈) che regola la trasmissione della quantità di moto per

effetto della viscosità in presenza di un gradiente di velocità e la diffusività termica (D) che

regola la trasmissione di calore per sola diffusione termica (conduzione termica) quando esiste

un gradiente di temperatura


SIGNIFICATO DEI PARAMETRI ADIMENSIONALI

3. Numero di REYNOLDS (Re)

Può essere interpretato come il rapporto fra la quantità di moto che attraversa l’unità di area

nell’unità di tempo unitario (δu2) e la forza d’attrito viscoso per unità di area (μ u/l) che

compensa la quantità di moto.

Non contiene alcuna grandezza termica

2. NUMERO DI GRASHOF (Gr)

Rapporto fra forza di gravità per unità di area, dovuta alla differenza di densità provocata dalla

differenza di temperatura e forza d’attrito viscoso per unità di area.


Dall’analisi dimensionale si è potuto mostrare che il fenomeno della convezione può essere

rappresentato mediante la relazione che esprime il numero di Nu in funzione di altri tre

parametri: Re, Gr e Pr.

Nei problemi concreti è quasi sempre possibile dedurre informazioni che consentono di

ridurre a tre, e talvolta a due soltanto, il numero dei parametri indipendenti che occorre

effettivamente considerare.

In particolare:

a) CONVEZIONE FORZATA

È in generale lecito trascurare l’effetto della gravità rispetto ai moti imposti

Ne segue che per la determinazione del numero di Nusselt e quindi del

fattore di convezione hc il numero di Grashof ha scarsa importanza

rispetto al numero di Reynolds.

I parametri da considerare si riducono quindi a tre: Nu, Re e Pr


b) CONVEZIONE NATURALE

La velocità dei moti in seno al fluido in questo caso non sono il risultato di cause esterne

meccaniche, come nella convezione forzata, ma sono invece una conseguenza delle stesse

cause termiche che determinano la trasmissione del calore; la velocità non va perciò

considerata come variabile indipendente quindi non lo è neppure Re.

I parametri da considerare quindi sono: Nu, Pr e Gr.

c) Quando il fluido che si considera è un gas, il numero di Pr, che contiene solo grandezze

caratteristiche del fluido, risulta assai poco variabile da un gas all’altro (varia poco anche

con la temperatura). Pertanto tale numero può non essere considerato come variabile.

- Nel caso di CONVEZIONE FORZATA NEI GAS il problema può

essere trattato considerando i parametri Nu e Re

- Nel caso di CONVEZIONE NATURALE NEI GAS si considerano solo

Nu e Gr


Si esaminano ora i casi accennati confrontando le conclusioni dell’analisi dimensionale,

assistita dall’esperienza, con le osservazioni precedentemente effettuate.

CONVEZIONE FORZATA

È importante Re.

Il moto è laminare se Re<1500-2000, è turbolento se Re è maggiore di qualche migliaio.

Quindi

Nu= f(Re;Pr)

Se i moti sono turbolenti, in un condotto, questa relazione può essere posta nella forma

Nu= A*Re0.8*Prn

Con n=0.3-0.4 e A=costante

Per i gas Pr è quasi costate: si ha Pr=0.37 per i gas monoatomici, Pr=0.7 per i biatomici e

Pr=0.8 per i triatomici


CONVEZIONE NATURALE

Nu= f(Gr;Pr)

E può essere espresso nella forma

Nu= A*(Gr*Pr) n

- Il valore della costante A dipende dalla disposizione geometrica generale (forma,

orientamento delle superfici limite)

- Se il valore di (Gr*Pr) è molto piccolo, non si hanno affatto moti convettivi. Se ha valori

intermedi (10^4<Gr*Pr<10^8) si ha moto laminare ed n è circa ¼.

Per valori più grandi (10^9<Gr*Pr<10^12) il moto è turbolento ed n è circa 1/3.

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