Alla Professoressa Chiarini e ai ragazzi della II A per l ... filein un esperienza di insegnamento...

Alla Professoressa Chiarini

e ai ragazzi della II A

per l’entusiasmo con cui

mi hanno accolta . . .

Introduzione

Il lavoro presentato in questa tesi e il frutto dell’attivita di tirocinio da

me svolta, nell’ambito della Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento

Secondario, presso l’istituto di istruzione secondaria liceo scientifico “Nicolo

Copernico” di Bologna, classe II A ad indirizzo P.N.I. Tale attivita consiste

in un esperienza di insegnamento della matematica riguardante le equazioni

di secondo grado.

L’esposizione di questo lavoro e articolata in quattro capitoli e una conclu-

sione.

Nel primo capitolo si riportano delle considerazioni teoriche sui principali

argomenti legati alle equazioni di secondo grado. Ho ritenuto opportuno

attuare alcuni richiami algebrici su anelli, campi, polinomi. Si definiscono i

concetti di radicali ed equazioni algebriche. Argomenti che poi, operando una

trasposizione didattica, sono stati introdotti alla classe nel corso del tirocinio.

Nel secondo capitolo ho scelto di affrontare specifici aspetti delle equazioni

sia di primo che di secondo grado. Mi sono soffermata sulla dimostrazione

della formula risolutiva cercando di evidenziare che le soluzioni non sempre

appartengono al campo di partenza. Ho anche ritenuto opportuno citare

alcuni problemi geometrici di secondo grado che possono essere risolti con

semplici costruzioni geometriche o “sintetiche”.

Nel terzo capitolo si presenta il percorso previsto nel progetto di tirocinio

i

ii INTRODUZIONE

e si motiva la scelta dell’organizzazione dei contenuti.

Il quarto capitolo e un’analisi dell’esperienza di insegnamento nella classe

con particolare attenzione sia alle reazioni e alle difficolta incontrate dagli

alunni sia alle strategie adottate per risolverle. Vengono inoltre mostrati ed

analizzati i risultati ottenuti nelle due prove scritte svolte dagli studenti.

La conclusione finale e un insieme di riflessioni sui vantaggi apportati dalla

Scuola di Specializzazione al mio lavoro di insegnante.

Completano la tesi alcuni allegati.

Indice

Introduzione i

1 Richiami di algebra 1

1.1 Richiami su anelli, campi, polinomi . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Equazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Equazioni di primo e secondo grado - Cenni sulle equazioni

di grado superiore al secondo 7

2.1 Equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Problemi geometrici di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Cenni sulle equazioni algebriche di grado ≥ 3 . . . . . . . . . . 12

3 Presentazione del progetto 14

3.1 Scelta del percorso da fare in classe . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Presentazione del progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione 21

4.1 Situazione della classe: analisi del test di ingresso . . . . . . . 21

4.2 Riflessioni sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado . . 24

4.3 Analisi degli errori della prima verifica sommativa . . . . . . . 27

4.4 Parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iii

iv INDICE

4.5 Riflessioni sui problemi riconducibili ad equazioni di secondo

grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.6 Analisi degli errori della seconda verifica sommativa . . . . . . 36

4.7 Valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Conclusioni 45

A Progetto di tirocinio 49

A.1 Finalita dell’insegnamento della matematica . . . . . . . . . . 49

A.2 Strategie d’insegnamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.3 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.4 Organizzazione dei contenuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.5 Valutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

B Test prerequisiti e verifiche sommative 67

B.1 Test prerequisiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B.2 Prima verifica sommativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B.3 Seconda verifica sommativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bibliografia 75

Capitolo 1

Richiami di algebra

1.1 Richiami su anelli, campi, polinomi

Alcuni insiemi sono le fondamenta dell’algebra, tra queste possiamo citare

gli anelli e i campi.

Un anello e un insieme munito di due operazioni, dette addizione e molti-

plicazione, modellato sugli aspetti algebrici degli interi, per questo motivo

ne costituisce una generalizzazione. Un insieme non vuoto A e un anello se,

definite due operazioni: addizione (+) e moltiplicazione (·), tali operazioni

godono di alcune proprieta:

• L’insieme A e chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione;

a + b ∈ A e a · b ∈ A ∀a, b ∈ A

• Per l’addizione vale la proprieta commutativa:

a + b = b + a ∀a, b ∈ A

• Vale la proprieta associativa dell’addizione e della moltiplicazione:

(a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ A

• Esiste un unico elemento 0 detto neutro rispetto all’addizione tale che:

1

2 1. Richiami di algebra

a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ A

• Esiste un unico opposto (rispetto a zero) di a ∈ A, notato −a:

a + (−a) = 0 ∀a ∈ A

• Valgono le leggi distributive della moltiplicazione rispetto all’addizione:

a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ A

(b + c) · a = b · a + c · a ∀a, b, c ∈ A

• In un anello risulta sempre 0 · a = a · 0 = 0

Se, per la moltiplicazione, esiste l’elemento neutro 1: a · 1 = 1 · a = a

∀a ∈ A, allora l’anello e detto anello con unita o unitario. Inoltre, l’anello A

si dira commutativo se vale la proprieta commutativa della moltiplicazione:

a · b = b · a ∀a, b ∈ A.

In base alle definizioni precedenti risulta che l’insieme Z = {...,−1, 0, 1, ...},munito delle ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione, e un anello

commutativo con unita. Anche gli insiemi dei razionali e dei reali sono anelli

commutativi con unita, ma in essi vale qualcosa di piu; sono campi, a norma

della definizione seguente.

Un campo e un anello commutativo unitario in cui, ogni elemento diverso da

zero, e invertibile rispetto a 1.

Esempi :

Gli insiemi Q ed R costituiti rispettivamente dai numeri razionali e reali

sono campi.

Anche l’insieme dei numeri complessi C = R+iR = {a+ib|a, b ∈ R, i2 = −1}e un campo.

1.1 Richiami su anelli, campi, polinomi 3

Sebbene gli anelli costituiscano una generalizzazione dell’anello Z, alcune

proprieta di Z non sono necessariamente valide in un anello qualunque. Ad

esempio, l’anello Z/6Z (interi modulo 6) e un anello in cui si ha a · b = 0

senza che a oppure b siano nulli; in un campo cio non accade, come si vede

moltiplicando per a−1, b−1 (inversi rispettivi di a, b).

Se il prodotto di due elementi a, b non nulli, di un anello commutativo, e zero

allora a si chiama divisore dello zero. Un anello commutativo in cui l’unico

divisore dello zero e l’elemento nullo si dice dominio di integrita. Poiche un

elemento invertibile non e mai un divisore dello zero allora ogni campo e un

dominio di integrita.

Spesso durante gli anni di scuola, media e superiore abbiamo operato con

polinomi. Essi possono essere considerati elementi di un certo anello: anello

dei polinomi.

Si vuole, appunto, introdurre ora l’anello dei polinomi nell’indeterminata X

a coefficienti in A, notato A[X].

Sia A un anello e sia X una lettera (simbolo) non appartenente ad A. Un

polinomio nell’indeterminata X a coefficienti in A e un’espressione formale

del tipo

f(X) = a0 + a1X + ... + anXn ai ∈ A an �= 0

dove n e un intero non negativo e a0, a1, ..., an, denominati coefficienti di

f(X), sono elementi di A. Se ai = 0, l’addendo aiXi puo essere omesso nella

scrittura di f(X).

Due elementi dell’insieme dei polinomi A[X] sono considerati uguali se e solo

se i loro coefficienti sono ordinatamente uguali; in altri termini, se

p(X) = a0 + a1X + ... + amXm e q(X) = b0 + b1X + ... + bnXn

sono elementi di A[X], allora p(X) = p(X) ⇔ ai = bi ∀i ≥ 0. Il

polinomio con tutti i coefficienti nulli si indica con 0 e si chiama polinomio

nullo.

Il polinomio con i coefficienti di grado tutti nulli si dice costante.


Per addizionare due polinomi si addizionano i coefficienti e si raccolgono i

termini ottenuti: se


sono elementi di A[X] allora p(X) + q(X) = c0 + c1X + ... + ctXt dove

ci = ai + bi ∀i.

La moltiplicazione e definita in questo modo: siano


elementi di A[X] allora p(X)(X) = c0 + c1X + ... + ckXk dove ct = atb0 +

at−1b1 + ... + a0bt.

A[X] risulta un anello commutativo con unita. Rispetto alle operazioni de-

finite sopra. Inoltre A[X] e un dominio di integrita se e solo se tale e A.

Sia f(X) = a0 + a1X + ... + anXn con an �= 0, un polinomio non nullo.

L’intero n si chiama grado di f(X) e si denota con ∂f(X). Quindi il grado

di un polinomio e il piu grande intero i per il quale l’i-esimo coefficiente non

e 0. Al polinomio nullo non si attribuisce un grado.

1.2 Radicali

Siano A, B anelli commutativi tali che A ⊆ B e sia b ∈ A. Sia n ∈ N. Si

dice che b e un radicale n-esimo di a ∈ A se bn = a ∈ A, in tal caso si usa la

notazione b = n√

a e se n = 2, si scrive semplicemente b =√

a.

Se il minimo intero n tale che bn ∈ A e 2 (rispettivamente 3) si dice che b e un

radicale quadratico ( rispettivamente cubico). Se b e un radicale quadratico

di a, tale e anche −b.

Se b e un radicale n-esimo di a ∈ A b e anche una soluzione in B dell’e-

quazione algebrica Xn − a = 0 dove Xn − a ∈ A[X].

Esempi:

• √2 e un radicale quadratico di 2 perche (

√2)2 = 2 ∈ R.

1.3 Equazioni algebriche 5

• Sia a ∈ A allora 3√

a e un radicale cubico su A. Infatti, ( 3√

a)3 = a ∈ A

• √−1 e un radicale quadratico di −1 in C in quanto (√−1)2 = i2

Si vedra nel capitolo 2 che ogni equazione algebrica di secondo grado e sempre

risolubile con radicali quadratici.

Se a ∈ A non ammette radicali quadratici (o n-esimi) in A, si puo dimostrare

che esistono sempre sopracampi B di A contenenti i radicali siffatti.

1.3 Equazioni algebriche

Consideriamo, nell’anello dei polinomi A[X] a coefficienti in A, un poli-

nomio f(X) ∈ A[X]. Ricercare una soluzione di un’equazione nell’indeter-

minata X significa trovare un anello B che sia un ampliamento di A, in altri

termini trovare un sopranello B di A (B ⊇ A), nel quale il polinomio abbia

una soluzione.

Sia f(X) = a0 +a1X + ...+anXn ∈ A[X] e sia b ∈ B, dove B e un sopranello

di A. Si dice che b e una radice di f(X) se a0 + a1X + ... + anXn = 0 e, in

tal caso, si dice altresı che b e una soluzione dell’equazione algebrica

f(X) = a0 + a1X + ... + anXn = 0

Se an �= 0, si dice che n e il grado dell’equazione f(X) = a0+a1X+...+anXn.

Se b ∈ B e radice di f(X), allora in B[X], (X − b)|f(X), e si dice che b e

una radice di molteplicita m se (X − b)m|f(X) ma (X − b)m+1|f(X) e falsa.

In un dato campo, un polinomio di grado n ≥ 0 ha al piu n soluzioni. Una

soluzione con molteplicita m verra contata come m soluzioni coincidenti.

Esempi:

• Si puo vedere che√

2 e −√2 risolvono (o sono soluzioni) l’equazione

X2 − 2 = 0.

Infatti, seguendo la definizione data in precedenza si ottiene rispettiva-

mente (√

2)2 − 2 = 2 − 2 = 0 e (−√2)2 − 2 = 2 − 2 = 0;


• Sia X2 + 1 = 0 un’equazione a coefficienti in R. Ricercare le soluzioni

dell’equazione significa considerare l’anello C ampliamento di R in cui

l’equazione ha soluzioni.

In questo caso si ha i2 + 1 = −1 + 1 = 0 e (−i)2 + 1 = −1 + 1 = 0

quindi i e −i sono radici dell’equazione.

• Allo stesso modo si vede che (√

2)−1 e (√

3)−1 sono soluzioni dell’e-

quazione algebrica√

6X2 − (√

2 +√

3)X + 1 = 0. Infatti, sostituendo i

valori (√

2)−1 e (√

3)−1 al posto della lettera X nell’equazione si ottiene

rispettivamente:√6[(

√2)−1]2 − (

√2 +

√3)(

√2)−1 + 1 =

√6(√

2)−2 − (1 +√

3√2) + 1 =

√6

2− 1 −

√6

2+ 1 = 0

√6[(

√3)−1]2 − (

√2 +

√3)(

√3)−1 + 1 =

√6(√

3)−2 − (√

2√3

+ 1) + 1 =√

63−

√6

3− 1 + 1 = 0

• x = −1 e una soluzione contata con molteplicita 2 dell’equazione

(x + 1)2 = 0. Infatti, x = −1 e soluzione dell’equazione poiche, sosti-

tuendo il valore −1 nell’equazione, si ottiene (−1+1)2 = 0. Inoltre, ha

molteplicita 2 perche (x + 1)2|(x + 1)2, ma (x + 1)3|(x + 1)2 e falsa.

Capitolo 2

Equazioni di primo e secondo

grado - Cenni sulle equazioni di

grado superiore al secondo

2.1 Equazioni di primo grado

Sia k un campo e sia: a, b ∈ k e a �= 0. Allora un’ equazione di primo

grado ha la forma f(X) = aX + b = 0. Un’equazione di questo tipo ha una

unica soluzione x = − ba

in k, che si ottiene subito da f(X) = 0, moltiplican-

do ambo i membri dell’equazione per a−1.

Esempio:

L’equazione 2X + 3 = 0, a coefficienti nel campo Q ha l’unica soluzione

x = −32.

Si vedra che un’equazione di secondo grado puo essere risolta riconducendosi

a due equazioni di primo grado

7

82. Equazioni di primo e secondo grado - Cenni sulle equazioni di


2.2 Equazioni di secondo grado

L’equazione generale di secondo grado (ovvero espressa nella forma nor-

male generalizzata) ha la seguente forma:

aX2 + bX + c = 0 con a �= 0 (2.1)

dove aX2 + bX + c e un polinomio nell’indeterminata X di grado due a coef-

ficienti nel campo k.

Per risolvere la suddetta equazione si ricorre al noto procedimento di “com-

pletamento ai quadrati”.

Si ha:

aX2 + bX + c = a

(X2 +

b

aX +

c

a

)= a

(X2 +

b

aX +

b2

4a2− b2

4a2+

c

a

)⇔

a

[(X +

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

]

Si pone adesso = b2−4ac (∈ k) e si indicano con√, −√ i due radicali

quadratici di (certamente esistenti in un opportuno sopracampo K di k).

Si dice che e il discriminante dell’equazione (2.1).

Si ha allora:

aX2 + bX + c = 0 ⇔ a

[(X +

b

2a

)2

− 4a2

]=

a

[(X +

b

2a

)2

−(√

2a

)2]= a

(X +

b

2a+

√2a

)(X +

b

2a−

√2a

)= 0

Dove l’ultimo prodotto e nullo se e solo se si annulla uno dei fattori di primo

grado in X; si ottengono pertanto le due soluzioni X1, X2 di aX2 + bX + c

espresse dalla nota formula

X1 =−b −√

b2 − 4ac

2ae X2 =

−b +√

b2 − 4ac

2a(2.2)

Le equazioni trattate a scuola sono a coefficienti reali; si suppone cioe k = R.

Quindi, se < 0, il trinomio aX2 + bX + c ha lo stesso segno di a (positivo

2.3 Problemi geometrici di secondo grado 9

o negativo) e l’equazione di secondo grado, non ha radici in R. Invece, nel

caso in cui il discriminante e positivo oppure nullo allora si ottengono due

soluzioni reali distinte se > 0 e coincidenti se = 0.

Nota: Nel campo complesso C = R × iR = {a + ib|a, b ∈ R, i2 = −1}si ottengono sempre due soluzioni per ogni equazione di secondo grado a

coefficienti in C.

2.3 Problemi geometrici di secondo grado

Vi sono numerosi problemi di geometria piana per la cui risoluzione viene

spontanea l’introduzione di due incognite x, y (che indicano le misure di due

segmenti da determinare) collegate da due equazioni a coefficienti reali: una

di primo grado in x e y del tipo:

ax + by + c = 0

e una di secondo grado del tipo:

dx2 + exy + fy2 + ... = 0

E’ chiaro che esprimendo x (rispettivamente y) in funzione di y (rispettiva-

mente x) mediante la prima equazione, e sostituendo quindi nella seconda, si

perviene ad un’equazione di secondo grado in una incognita (y oppure x) che

puo essere risolta utilizzando la formula espressa nel paragrafo 2.2 in modo

da ottenere altresı la risoluzione del problema geometrico originario, che puo

essere denominato appunto: problema geometrico di secondo grado.

Un esempio particolarmente semplice e significativo in proposito e il seguente:

costruire un triangolo rettangolo nota l’ipotenusa a e la somma b

dei due cateti.



Indicati con x ed y i due cateti incogniti, si ottiene il seguente sistema:{x + y = b

x2 + y2 = a2

che, per sostituzione ottenuta utilizzando la prima equazione:

{y = b − x

x2 + (b − x)2 = a2⇒

{y = b − x

x2 + b2 + x2 − 2bx = a2⇒

{y = b − x

2x2 − 2bx + b2 − a2 = 0

Conduce all’equazione di secondo grado 2x2−2bx+b2−a2 = 0. Si ottengono

due soluzioni se e solo se = b2 − 2(b2 − a2) = 2a2 − b2 ≥ 0. Supposta

valida tale condizione si determina dapprima il cateto x e poi mediante la

prima equazione anche il cateto y. In tal modo, data la simmetria (a meno di

congruenza) di x, y si perviene ad un unico triangolo rettangolo soddisfacente

i requisiti posti.

Si puo notare che nei problemi geometrici di secondo grado, i segmenti inco-

gniti si possono sempre costruire con riga e compasso.

Infatti, dati tre segmenti di misure rispettive a, b, c, le soluzioni dell’equazione

ax2+bx+c = 0 sono misure di segmenti costruibili con riga e compasso come

si puo dedurre da facili generalizzazioni dei seguenti esempi:

1. Dati a, b ∈ R, il segmento x =b

a, si ottiene da:

a : b = 1 : x

ricorrendo al teorema di Talete

2.3 Problemi geometrici di secondo grado 11

2. Analogamente, per il segmento x = ab si ricorre a:

1 : a = b : x

3. Dato a ∈ R, il segmento di misura√

a si ottiene da una semicircon-

ferenza di diametro AB = 1 + a che interseca in D la perpendicolare

condotta dal punto C di AB tale che AC misura 1. Si ha, dal secondo

teorema di Euclide sui triangoli rettangoli: CD2 = AC ·CB = 1 ·a = a,

onde CD =√

a.

Nel caso del particolare problema geometrico, relativo alla costruzione di

un triangolo rettangolo nota l’ipotenusa a e la somma b dei due cateti, si

puo ricorrere anche a una costruzione geometrica “sintetica”. Sia P il punto

di intersezione dell’ipotenusa BC del triangolo rettangolo isoscele di cateti

AB = AC = b con la circonferenza di centro A e raggio a ≥ b√

2

2.



Se H e il piede della perpendicolare condotta da P ad AB, posto AH = x,

BH = PH = y si ha appunto: x + y = b, x2 + y2 = a2.

2.4 Cenni sulle equazioni algebriche di grado

≥ 3

Nel corso del sedicesimo secolo S. Dal Ferro e G. Cardano hanno deter-

minato la formula risolutiva per l’equazione algebrica generale di grado 3,

espressa mediante radicali quadratici e cubici. Successivamente, L. Ferrari

ha mostrato che anche le equazioni di quarto grado possono essere risolte

tramite successivi radicali quadratici e cubici.

Invece, se n ≥ 5, l’equazione generale di grado n non e risolubile per radicali

(Teorema di Ruffini-Abel).

Un risultato di carattere generale sull’equazioni algebriche a coefficienti nel

campo complesso C e costituito dal teorema fondamentale dell’algebra (

D’Alembert- Gauss): Ogni equazione algebrica f(X) = 0 di grado n a coef-

ficienti complessi ha almeno una soluzione in C e quindi f(X) si spezza in

2.4 Cenni sulle equazioni algebriche di grado ≥ 3 13

un prodotto di fattori lineari in C[X]. In altre parole: il campo Q e algebri-

camente chiuso.

Si puo dimostrare che se K e un campo qualsiasi, esiste sempre un campo algebricamente chiuso contenente K.

Capitolo 3

Presentazione del progetto

3.1 Scelta del percorso da fare in classe

Prima di affrontare la costruzione di un percorso sulle equazioni di secon-

do grado, ho approfondito le mie conoscenze sull’argomento. E’ per questo

che ho scelto di premettere una trattazione teorica delle equazioni alla pre-

sentazione del progetto di tirocinio. Questo mi ha aiutata a comprendere

quali potevano essere i punti piu “spigolosi” del percorso didattico da in-

traprendere.

L’insegnante deve filtrare il sapere da insegnare anche dal punto di vista epi-

stemologico. Esso influenza il rapporto tra insegnante e sapere matematico.

Lo sviluppo storico-epistemologico della disciplina puo aiutare il docente a

comprendere le difficolta incontrate dagli studenti.

Risolvere equazioni di primo e di secondo grado puo sembrare un compito

abbastanza semplice per una persona che conosce i rudimenti dell’algebra.

Un’analisi dello sviluppo storico dell’algebra evidenzia un lungo e difficile

percorso di crescita di questa disciplina, durato diversi secoli e riguardante

dibattiti tra culture matematiche di popoli diversi. Una lettura attenta del

quadro storico mostra un decollo lento e difficoltoso dell’algebra rispetto alla

geometria ed un difficile “rapporto” con l’aritmetica che e tuttora oggetto

di dibattito. A tal proposito vorrei citare l’esame epistemologico - didattico

14

3.1 Scelta del percorso da fare in classe 15

compiuto da Chevallard; egli osserva che “l’aritmetica si oppone all’algebra

come l’orale allo scritto...L’aritmetica produce un discorso in cui sono inca-

stonati dei ragionamenti, l’algebra riduce il ragionamento al calcolo.” [1]. In

conclusione l’algebra puo superare l’aritmetica solo attraverso l’introduzione

dei parametri. Per questo motivo Newton nell’opera Aritmetica Universalis

arriva alla conclusione che “l’aritmetica e indispensabile per tutte le operazio-

ni dell’algebra, che solo la loro unione forma la scienza completa del calcolo”

[1].

Lo sviluppo storico della disciplina e le difficolta degli studenti, confermano

la tesi di Piaget che afferma che le difficolta incontrate da generazioni di

matematici possono essere molto vicine a quelle sperimentate dagli allievi.

Lo studio della storia dell’algebra e delle relazioni di questa con le altre disci-

pline quali la geometria e l’aritmetica, ad esempio, e in continua evoluzione.

Tantissimi sono infatti gli storici che si occupano di analizzare lo sviluppo

dell’algebra cercando di delineare un quadro di riferimento generale ed indi-

viduando le varie tappe fondamentali per lo sviluppo del pensiero algebrico.

L’apprendimento dell’algebra, e in generale di tutta la matematica, permette

di possedere tecniche e metodi utili per capire dove si trovano i nodi impor-

tanti, l’essenza di un problema. Fornisce, quindi, criteri per comprendere

concetti ed influenza anche l’organizzazione del pensiero.

“Agli alunni viene spiegato che in algebra, diversamente dall’aritmetica, la

quantita sconosciuta puo essere assunta come conosciuta e, attraverso la no-

tazione simbolica, e possibile scrivere un’espressione (equazione) che descrive

le relazioni tra gli oggetti in gioco nel problema e conduce, per mezzo del cal-

colo, alla soluzione del problema stesso”.[1]

Tradizionalmente l’approccio alle equazioni viene effettuato prima di intro-

durre il concetto di funzione; anche io ho scelto di effettuare una trattazione

“classica” delle equazioni per rimanere in linea con le scelte compiute in

precedenza dalla tutor. Questa impostazione didattica, pur essendo efficace,

puo creare misconcezioni. Anna Sfard nell’articolo “Sulla doppia natura delle

concezioni matematiche: riflessioni su processi e oggetti come diverse facce

16 3. Presentazione del progetto

di una stessa medaglia” 1 evidenzia come gli alunni applicano le regole di

manipolazione simbolica, senza essere in grado di motivare o giustificare le

operazioni compiute. Esse appaiono come regole piu o meno arbitrarie. In

particolare, nelle equazioni di secondo grado, la formula risolutiva, ottenuta

alla fine di una serie di semplici operazioni, viene imparata a memoria. Per

evitare l’applicazione automatica e sistematica della formula, quasi magica,

ho scelto, in accordo con la tutor, di iniziare il percorso sulle equazioni di se-

condo grado, passando attraverso la classificazione delle equazioni di secondo

grado incomplete senza dare formule risolutive preconfezionate, ma cercando,

utilizzando esempi numerici, di arrivare caso per caso alla soluzione richiesta

e, solo alla fine, fornire la soluzione generalizzata.

La presentazione di formule generalizzate sicuramente fornisce un metodo

risolutivo, ma racchiude in se molti ostacoli, tra cui il fatto che le radici

ottenute non appartengono necessariamente al campo dei coefficienti della

equazione. Nella parte teorica analizzata precedentemente ho parlato di am-

pliamenti di campi, che permettono di trovare sempre le due soluzioni richie-

ste.

Come si puo far capire ai propri alunni che le soluzioni sono sempre due,

ma che nel caso reale puo accadere che vi siano soluzioni non accettabili o

soluzioni reali e coincidenti? A tal fine ho pensato di programmare un’applet

che mi aiutasse ad analizzare i risultati ottenuti dal calcolo delle soluzioni.

Il punto nevralgico e quello di calcolare il discriminante con l’ausilio del

software e vedere che tipo di numero si ottiene sostituendolo nella formula

risolutiva; si deve evidenziare il fatto che se il discriminante e negativo le

soluzioni appartengono al campo C piu ampio di R, in altre parole non vi

sono soluzioni in R, mentre se il discriminante e positivo le due soluzioni

sono reali. Infine, se il discriminante e nullo, le soluzioni coincidono. In

questo caso e opportuno far capire agli allievi perche ci sono comunque due

soluzioni. Per far cio, si puo, una volta calcolate le soluzioni, scomporre il

1A.Sfard, On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes

and abjects as different sides of the same coins, Educational Studies in Mathematics

3.2 Presentazione del progetto 17

polinomio che rappresenta l’equazione, come il prodotto di due polinomi di

primo grado, ed applicare la nota legge di annullamento del prodotto che in

realta e valida solo perche operiamo in un campo.

Una volta affrontati i punti nevralgici riguardanti la ricerca delle soluzioni

di un’equazione di secondo grado vorrei analizzare altri punti importanti del

progetto riguardanti i problemi.

Le equazioni di secondo grado sono un ottimo strumento per risolvere una

determinata famiglia di problemi. Quando risolviamo un problema, non fac-

ciamo altro che mettere in formula una situazione. Questo e un compito

delicato e difficile che prevede la scelta delle variabili e la successiva scrittura

delle formule adeguate. Una persona che ha gia compiuto le tappe fonda-

mentali per lo sviluppo del pensiero algebrico e in grado di scegliere le lettere

in modo opportuno per il tipo di problema da risolvere riuscendo a vedere

prima del tempo le relazioni importanti del problema. Tale processo si chia-

ma nominalizzazione. Uno studente riesce facilmente ad assegnare un nome

ad un ente matematico, ma la capacita di riconoscere proprieta nel nome

assegnato diventa cruciale nel processo di costruzione dell’espressione che in-

terpreta la situazione problematica in gioco. Una volta scritta l’espressione

viene modificata attraverso manipolazioni simboliche al fine di mostrare al-

cune proprieta che non risultano evidenti nell’espressione di partenza.

La nominalizzazione e l’accettabilita delle soluzioni saranno argomenti gia

trattati in precedenza dalla tutor, quindi mi preoccupero solo di scegliere in

modo opportuno i testi dei problemi.

3.2 Presentazione del progetto

Il progetto, inserito come allegato, non ha subito modifiche sostanziali nel

corso della sua attuazione ed e rimasto aderente alla formulazione iniziale.

Lo scopo del progetto e quello di far acquisire, attraverso l’uso dell’algebra,

capacita risolutive di problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado,

cercando di rendere stimolante un argomento usuale del curriculum scolasti-


co.

Ho scelto di trattare alcuni problemi sull’applicazione dei teoremi di Pitagora

e di Euclide, introducendo opportunamente la mediazione del registro lin-

guistico, grafico, geometrico e algebrico. Ho cercato di stimolare l’attenzione

proponendo problemi di tipo geometrico (Bombelli), algebrico (Babilonesi).

Prima di passare alla descrizione delle fasi vorrei enunciare sia gli obiettivi

che i prerequisiti:

Obiettivi

Riconoscere un’equazione di secondo grado;

Classificare le equazioni di secondo grado in spurie, pure e complete;

Verificare se un dato valore e o non e soluzione di un’equazione di secondo

grado;

Ridurre in forma normale un’equazione;

Risolvere le equazioni di secondo grado spurie, pure;

Risolvere le equazioni di secondo grado complete;

Discutere il numero delle soluzioni in base al segno del discriminante;

Conoscere le relazioni tra radici e coefficienti di un’equazione di secondo gra-

do;

Applicare il teorema di Cartesio;

Scomporre, quando e possibile, un trinomio di secondo grado;

Risolvere equazioni fratte riconducibili ad equazioni di secondo grado;

Determinare il valore del parametro in modo che le radici dell’equazione sod-

disfino particolari condizioni;

Risolvere problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado.

Prerequisiti

L’alunno, al fine di saper risolvere equazioni e problemi di secondo grado,

dovra possedere le seguenti conoscenze:

3.2 Presentazione del progetto 19

- Conoscere la definizione di polinomio e di grado di un polinomio;

- Moltiplicare, addizionare, sottrarre, dividere, elevare a potenza monomi

e polinomi;

- Eseguire un raccoglimento;

- Riconoscere prodotti notevoli, in particolare il quadrato di un binomio;

- Scomporre un polinomio;

- Calcolare il m.c.m di polinomi;

- Sapere qual e il significato d’incognita e d’equazione;

- Sapere cosa significa “trovare l’insieme delle soluzioni di un’equazione”;

- Conoscere e saper applicare i principi d’equivalenza delle equazioni;

- Conoscere e saper applicare la legge d’annullamento del prodotto;

- Riconoscere equazioni fratte;

- Riconoscere il campo d’esistenza di frazioni algebriche;

- Conoscere la differenza tra parametro ed incognita;

- Conoscere la definizione di equazione determinata, indeterminata e

impossibile;

- Conoscere la definizione di radice aritmetica n-esima di un numero

(positivo);

- Conoscere le principali proprieta dei radicali aritmetici;

- Portare fuori e dentro il segno di radice.


Le fasi sono tre e si articolano nel seguente modo: nella prima vi e la verifica

dei prerequisiti attraverso un test a risposte chiuse da correggere e discutere

insieme ai ragazzi.

Nella seconda la classificazione delle equazioni di secondo grado incomplete

e complete con i procedimenti risolutivi. In particolar modo mi soffermero

sulla discussione dell’accettabilita delle soluzioni ottenute.

Impareremo a scomporre un trinomio di secondo grado e analizzeremo le

relazioni tra le soluzioni ed i coefficienti di una equazione di secondo grado.

Enuncero e dimostrero la regola di Cartesio.

Faremo alcuni esercizi sulle equazioni numeriche fratte ricorrendo alle gia

acquisite conoscenze al riguardo.

La seconda fase si concludera con una verifica sommativa.

La terza fase riguardera le equazioni parametriche e i problemi riconducibili

alle equazioni di secondo grado. Anche questa fase si concludera con una

verifica sommativa.

Capitolo 4

Attuazione del progetto di

tirocinio e valutazione

4.1 Situazione della classe: analisi del test di

ingresso

L’attivita di tirocinio, osservativo e attivo, si svolge nella classe II A, in-

dirizzo P.N.I, del Liceo Scientifico Nicolo Copernico.

Nel dare attuazione alla fase operativa, si e tenuto conto delle osservazioni

effettuate durante un periodo di presenza in classe durato circa tre mesi, in

cui si sono evidenziate le principali caratteristiche in ambito sociale e co-

gnitivo che hanno successivamente determinato la scelta di alcune strategie

didattiche.

In questa fase ho potuto osservare il metodo adoperato dalla tutor. Que-

sta ultima presenta definizioni e proprieta mediante alcuni esercizi guida o

esempi, svolti sia da lei che dagli alunni, mentre impiega lezioni frontali per

dimostrazioni ed alcuni approfondimenti.

L’intervento didattico in classe si e inserito all’inizio del secondo quadrimestre,

dopo che la tutor aveva affrontato i radicali. Nel corso della prima lezione

di tirocinio “attivo”, dopo una breve presentazione alla classe del percorso

da affrontare e degli obiettivi da raggiungere, ho proposto un test a risposta

21

22 4. Attuazione del progetto di tirocinio e valutazione

chiusa per valutare alcuni prerequisiti dei ragazzi, in vista dello studio delle

equazioni di secondo grado. Ho concesso un tempo di circa trenta minuti per

lo svolgimento. La reazione degli studenti e stata di protesta: tutti conte-

stavano il fatto che non fossero stati avvisati per prepararsi adeguatamente;

li ho tranquillizzati sul fatto che la prova fosse di tipo non valutativo e si e

comunque sollecitato il loro massimo impegno nello svolgimento.

Nel seguente istogramma sono riportati i risultati del test: sull’asse delle

ascisse sono indicati i numeri degli esercizi proposti e sull’asse delle ordinate

il numero di alunni che hanno sbagliato un determinato esercizio.

Dalla lettura del grafico si deduce che la domanda numero 15 ha provocato

piu errori, ben dieci su diciotto alunni hanno sbagliato la risposta. Il quesito

in questione chiedeva di riconoscere tra quattro quali fossero i radicali che

si possono calcolare in R. Tutti hanno eliminato 3√−8 poiche il radicando e

negativo, senza tener conto dell’indice dispari della radice.

Il numero 13 era un esercizio di riconoscimento di errori:

individua nella risoluzione dell’equazionex2 − 4

x − 1= x−2x + 1

x − 1eventuali errori:

x2 − 4

x − 1=

x(x − 1) − (2x + 1)

x − 1C.E.x �= 1

4.1 Situazione della classe: analisi del test di ingresso 23

x2 − 4 = x2 − x − 2x − 1 ⇒ 3x = 3 l’equazione ha un’unica soluzione x = 1.

In questo caso ci sono stati diversi tipi di sbagli; alcuni hanno dichiarato

che l’esercizio era esatto, altri hanno cercato di scomporre ad ogni costo il

numeratore. Tipico esempio di contratto didattico: se ci e stato detto di

ricercare degli errori ci saranno sicuramente.

Anche dall’analisi delle risposte nell’esercizio 12 si evince la mancata rottura

del contratto didattico. Il testo era:

data l’equazione2 − 3x

2 + 3x=

3x + 2

3x − 2− 1 individua, senza fare calcoli, l’in-

sieme delle soluzioni.

Tra le possibili risposte i ragazzi potevano scegliere:

• S =

{2

3

};

• S =

{0;

2

3

};

• S =

{−2

3;2

3

};

• nessuna delle precedenti.

In questo caso ci sono state scene curiose, alcuni hanno iniziato a fare i cal-

coli sui propri banchi e hanno continuato anche se richiamati, altri hanno

fatto i calcoli sul foglio e poi li hanno cancellati, ma ciononostante otto per-

sone si sono rifiutate di dare la risposta esatta: “nessuna delle precedenti”.

Secondo quello che ho potuto osservare in classe molti, ingannati dal contrat-

to didattico, hanno cercato a tutti i costi di trovare una risposta numerica

ad un quesito che richiedeva di trovare dei numeri che corrispondessero alle

soluzioni dell’equazione di partenza.

Nell’esercizio numero quattro gli allievi dovevano riconoscere tra cinque espres-

sioni quale rappresentava il testo della situazione problematica presentata in

precedenza. La messa in formula e un processo lento e delicato che richiama


anche il processo di nominalizzazione. Uno dei principali problemi nell’ap-

prendimento dell’algebra e dato da questioni di interpretazioni. Il processo

di nominalizzazione consiste nell’interpretare il testo del problema in modo

da evidenziare il protagonista della storia.

4.2 Riflessioni sulla risoluzione delle equazioni

di secondo grado

Dopo aver effettuato la correzione del questionario, poiche avevo a di-

sposizione due ore, ho iniziato la mia prima lezione sulla classificazione e

risoluzione delle equazioni di secondo grado. Mi sono impegnata affinche le

procedure e le tecniche di risoluzione introdotte venissero utilizzate in modo

consapevole, per lo meno nella risoluzione degli esercizi proposti. Inoltre, ho

sempre tentato di spronare gli studenti ad avere senso critico nei confronti di

cio che veniva loro proposto e li ho aiutati a cogliere alcune analogie strut-

turali e a sviluppare capacita, seppur minime, di previsione delle soluzioni.

Per raggiungere tali obiettivi, ho introdotto alla classe alcuni argomenti in

modo problematico e ho cercato di fornire agli studenti diversi stimoli, cer-

cando di coinvolgerli in prima persona nella costruzione dei concetti. Al fine

di consolidare gli argomenti introdotti, ho proposto agli studenti esercizi non

troppo complicati dal punto di vista computazionale, in modo tale da con-

centrare la loro attenzione sull’analisi dei processi piuttosto che sui calcoli.

Molti degli esercizi assegnati sono stati svolti in classe. Il registro utilizzato

e stato prevalentemente quello algebrico.

Dal momento che non esistevano i necessari prerequisiti di geometria analitica

non e stata affrontata, di conseguenza, la risoluzione grafica di un’equazione.

Pertanto, non ho potuto servirmi del registro grafico, come speravo. Dovendo

basare le mie lezioni su un registro quasi esclusivamente algebrico, rischiavo

di enfatizzare in maniera eccessiva l’aspetto algoritmico della risoluzione delle

equazioni di secondo grado, percio non ho iniziato il percorso didattico, per

esempio, introducendo la formula risolutiva a partire dalla sua definizione, al

4.2 Riflessioni sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado 25

fine di evitare che l’allievo fosse portato a risolvere le equazioni senza dare

“senso” alle operazioni che stava svolgendo. In tal caso si potrebbero avere

conseguenze a volte disastrose. Per evitare cio, la ricerca delle soluzioni di

equazioni di secondo grado, sia incomplete, sia complete, e avvenuta in pri-

ma battuta, cercando di indurre gli studenti a sfruttare le conoscenze che

avevano acquisito in precedenza.

A tal proposito vorrei riportare alcune considerazioni sulle discussioni avve-

nute in aula; nel pensare agli esercizi da proporre in classe avevo preventivato,

eventualmente, anche alcune difficolta. Pensavo infatti, che risolvere un’e-

quazione del tipo x2 + 25 = 0 potesse presentare degli ostacoli ma cio non e

accaduto. Avendo eseguito le adeguate trasformazioni algebriche ed ottenuto

la seguente espressione x2 = −25, i ragazzi hanno risposto immediatamente

che l’uguaglianza era impossibile. Per indurli a ragionare ulteriormente ho

chiesto se fosse stato possibile, cambiando qualcosa nell’equazione di parten-

za, ottenere un’equazione determinata e non impossibile. Con mio grande

stupore Alessandro ha risposto che “semplicemente si poteva cambiare il se-

gno”. Ho chiesto ad Alessandro di eseguire questo procedimento alla lavagna.

In questo caso e emerso un ostacolo non previsto: x2 = 25 ⇒ x = 5. Ho

chiesto ad Alessandro quale fosse la domanda implicita dell’uguaglianza da

lui ottenuta. La risposta e stata esatta: “significa ricercare quei valori della

x tali che elevati al quadrato mi diano 25”, poi riguardando l’espressione ha

aggiunto “devo scrivere ±”. Alla fine, ragionando insieme, siamo giunti al

risultato finale x1 = −5, x2 = 5.

Nel caso delle equazioni spurie ho osservato anche una certa difficolta ad

applicare la legge di annullamento del prodotto. Ad esempio, eseguivano

correttamente i passaggi dei raccoglimenti: x2 + 5x = 0 =⇒ x(x + 5) = 0,

ma dimenticavano la soluzione x = 0.

Quando abbiamo iniziato a studiare le equazioni di secondo grado complete,

sono partita da un esempio di equazione, riconducibile a (ax + b)2 = c,

cosicche l’esercizio consisteva nel ricercare valori della variabile x tali che il

binomio elevato al quadrato potesse soddisfare l’uguaglianza. In questo modo


i ragazzi hanno potuto sfruttare i processi visti in precedenza e le conoscenze

di cui erano gia in possesso.

Successivamente ho proposto equazioni il cui trinomio non contenesse quadrati

di binomi, ma che fosse facilmente riconducibile ad essi, cosicche ho potu-

to presentare la formula risolutiva come soluzione dell’equazione generale

ax2 + bx + c = 0 ottenuta con il “completamento al quadrato” del trinomio

come ho gia fatto vedere nel capitolo 2 paragrafo 2.2.

Dopo questa fase in cui mi sono occupata della classificazione e risoluzione

delle equazioni di secondo grado, incomplete e complete, ho notato che i

ragazzi mi guardavano stralunati e cosı ho chiesto se fosse tutto chiaro. Fe-

derico ha avuto il coraggio di chiedere se ogni volta dovevano fare i comple-

tamenti per risolvere le equazioni. Li ho tranquillizzati dicendo che potevano

applicare direttamente la formula risolutiva finale. Nelle lezioni successive ab-

biamo fatto molti esercizi di consolidamento alla lavagna ed ho notato che,

cosa che avevo osservato anche nella fase osservativa del mio tirocinio, gli stu-

denti stessi richiedono una schematizzazione precisa di tutti i passaggi che

devono affrontare: riduzione a forma normale, classificazione dell’equazione,

applicazione della formula relativa ai vari casi.

Si e evidenziata una netta difficolta nell’applicare la formula risolutiva ri-

dotta. Le obiezioni mosse sono state sull’inutilita di imparare un’ulteriore

formula: “Tanto il risultato e lo stesso”. Per convincerli dell’utilita della

formula ridotta ho proposto esercizi che, svolti con la formula risolutiva stan-

dard, portavano a calcoli laboriosi, anche se penso di non averli convinti del

tutto.

Nel corso della lezione svolta in laboratorio con l’ausilio dell’applet si e acce-

sa un’altra discussione. Infatti, l’applet forniva la possibilita di inserire a

caso i coefficienti per calcolare il discriminante dell’equazione cosı ottenu-

ta. Tra questi anche i coefficienti che riconducevano ad equazioni pure e

spurie. Quando ho affrontato la risoluzione di questo tipo di equazioni, non

ho parlato di discriminante quindi i ragazzi mi hanno chiesto se fosse possibile

applicare la formula risolutiva di un’ equazione completa ad una incompleta.

4.3 Analisi degli errori della prima verifica sommativa 27

Da queste domande si evidenzia ancora una volta l’influenza del contratto

didattico: una volta fornito un metodo risolutivo si puo applicare solo quello.

Una parte molto importante, e forse la piu delicata, della trasposizione di-

dattica e stata la discussione del numero e tipo di soluzioni. In accordo con

la tutor ho menzionato il teorema fondamentale dell’algebra, sottolineando il

fatto che le soluzioni sono due se siamo nel campo complesso, ma che nel cam-

po reale ci sono dei casi in cui non possiamo accettare le soluzioni. Quindi ho

detto ai ragazzi che, in generale, in una equazione di grado n ci sono “al piu”

n radici. Nonostante i discorsi teorici preliminari, un ostacolo evidente si e

presentato, quando, nella discussione sul numero delle radici, si e presentato

il caso in cui le soluzioni sono reali e coincidenti. Questi ostacoli si sareb-

bero potuti superare meglio, se avessi potuto sfruttare il registro grafico. In

tal modo avrei potuto far vedere agli studenti perche diciamo “due soluzioni

coincidenti” invece di “una sola soluzione”. Senza questi “strumenti”, gli

studenti hanno legato il numero delle soluzioni unicamente al fatto che l’e-

quazione e di secondo grado, senza ottenere una giustificazione adeguata.

Ho cercato comunque di dare anche una motivazione algebrica a tutto cio.

Ad esempio, (x + 3)2 = 0 si puo scomporre come il prodotto di fattori linea-

ri: (x + 3)(x + 3) = 0, quindi per la legge di annullamento del prodotto si

ottengono due soluzioni reali e coincidenti. I risultati non sono stati molto

efficaci. Il caso x2 = 0 ha destato non poche perplessita; anche dopo aver

scritto x2 = x · x = 0 e applicato la legge di annullamento del prodotto

continuavano a dire che “la” soluzione era zero.

4.3 Analisi degli errori della prima verifica

sommativa

A circa meta percorso e stata proposta alla classe una verifica sommativa

della durata di un’ora per saggiare la comprensione dei principali argomenti

trattati.


Il primo esercizio, diviso in tre punti, chiedeva di classificare e risolvere le

equazioni proposte. Gli errori piu ricorrenti sono legati a lacune precedenti;

ad esempio, molti hanno sbagliato il calcolo di un quadrato di un binomio

oppure hanno dimenticato il doppio prodotto oppure hanno compiuto errori

legati all’applicazione del primo principio di equivalenza sbagliando i segni.

In particolare volevo segnalare il seguente errore:

4.3 Analisi degli errori della prima verifica sommativa 29

Il ragazzo ha trovato le condizioni di esistenza ma non ha fatto il minimo

comune multiplo; ha sommato semplicemente i termini +9−3, semplificando,

non si capisce bene perche, il denominatore.

Vorrei anche segnalare i seguenti protocolli: Nel primo e nel secondo gli

alunni hanno classificato ed operato manipolazioni corrette ma entrambi non

hanno gestito bene il segno. Il secondo caso e molto interessante poiche

l’alunno in questione ha dimostrato di aver studiato la parte teorica ed ha ri-

conosciuto la presenza di due soluzioni, ma non si e reso conto che le soluzioni

da lui trovate non erano due e soprattutto non erano opposte.

Ci sono stati solo due errori nell’applicazione delle formule risolutive; nel

primo si evidenzia una certa confusione tra la formula risolutiva generale e

quella ridotta. A tal proposito vorrei dire che, anche durante le esercitazioni

in classe, si e evidenziata una netta difficolta nell’applicare la formula riso-

lutiva ridotta e soprattutto alcuni la ritenevano inutile, solo un elemento in

piu da studiare.

Vorrei sottolineare il protocollo di Lorenzo:


L’alunno ha applicato erroneamente la formula risolutiva ad una equazione

incompleta. Se avesse applicato la formula correttamente avrebbe trovato le

soluzioni corrette, ma avrebbe impiegato un dispendio maggiore di calcoli

dovendo operare dei raccoglimenti per non ritrovarsi con dei radicali doppi

nella formula finale.

L’esercizio due richiedeva di discutere le soluzioni che si possono ottenere da

un’equazione pura.

Il protocollo in questione evidenzia un errore di interpretazione dei sim-

boli. In effetti quando in un’espressione si trova un segno negativo, auto-

maticamente si pensa ad un numero che sara negativo; in questo caso pero il

segno meno doveva essere interpretato come un segno che indica di cambiare

il segno del numero ottenuto dal rapporto tra c e a.

Il problema numero tre richiedeva di semplificare un’espressione utilizzando

la scomposizione di un trinomio. Solo tre persone hanno avuto delle diffi-

colta nel risolverlo. Mi ha incuriosito il particolare raccoglimento compiuto

da Riccardo:

In effetti poteva fare un raccoglimento, ma doveva raccogliere la radice di tre

4.4 Parametri 31

ed ottenere (3 − 1)√

3 da cui 2√

3.

L’esercizio cinque richiedeva di risolvere le equazioni fratte proposte. Nel

punto b le soluzioni non erano accettabili mentre nel punto a si potevano

accettare. Gli errori riscontrati in questi esercizi sono di tipo algebrico che

ho gia evidenziato con protocolli in altri esercizi.

4.4 Parametri

Lo studio delle equazioni serve a determinare quei particolari valori che,

attribuiti alle lettere, trasformano le uguaglianze in identita numeriche. In

tal caso le lettere assumono il nome di incognite ed i valori sono le soluzioni

delle equazioni.

Quando si scrive un’equazione si e abituati ad utilizzare come incognite la

lettera x o al massimo la y ma vi sono anche altre lettere che possono essere

inserite in una equazione. Se le lettere in questione rappresentano numeri

fissi si chiamano costanti e si indicano con le lettere a,b,c...

Se si richiede di determinare una di queste costanti in modo tale che sia sod-

disfatta una certa condizione, allora questa lettera prende il nome di para-

metro. In generale un parametro si indica con la lettera k. Spesso quando

si utilizza un’altra lettera, ad esempio la lettera m oppure n, le equazioni

parametriche vengono confuse con quelle letterali.

Provando a chiedere il significato di incognita ai ragazzi, ho riscontrato che

questo concetto era chiaro ma lo era meno quello di parametro, anche se era

stato trattato durante lo studio delle equazioni di primo grado. In realta vi

era una certa confusione tra equazioni parametriche e equazioni letterali.


In accordo con la tutor, non abbiamo trattato le equazioni letterali di secondo

grado, ma comunque prima di iniziare le lezioni sulle equazioni parametriche

ho ribadito la differenza tra parametro e lettera soffermandomi sul fatto che

un’equazione letterale in realta rappresenta infinite equazioni ottenute facen-

do variare il valore delle lettere. Anche un’equazione parametrica rappresenta

infinite equazioni; si tratta di determinare particolari valori del parametro in

modo che le soluzioni soddisfino determinate condizioni.

Durante il percorso formativo sono stati affrontati solo pochi casi riconducibili

alle equazioni parametriche, in quanto il programma non prevede lo svolgi-

mento delle disequazioni che verranno introdotte solo al terzo anno.

Su suggerimento della tutor ho presentato una sequenza di passi successivi

da seguire per risolvere le equazioni parametriche. Il primo passo era quello

di calcolare, anche se non richiesto, il discriminante e poi la somma ed il

prodotto delle soluzioni. Poiche i ragazzi non erano in grado di stabilire il

segno del discriminante, una volta trovati i valori del parametro ho detto loro

di andare a sostituire tali valori nel discriminante per verificare l’accettabilita

delle soluzioni.

E’ stato proposto di trovare i valori del parametro in modo da soddisfare

alcune condizioni:

• che una soluzione sia nulla;

• che le soluzioni siano opposte, reciproche, antireciproche;

• che una soluzione sia uguale ad un determinato valore;

• che le soluzioni siano coincidenti;

• che la somma degli inversi delle soluzioni sia un determinato valore;

• che la somma dei quadrati e dei cubi delle soluzioni sia uguale ad un

determinato valore;

• che la somma dei reciproci dei quadrati e dei cubi delle soluzioni sia

uguale ad un determinato valore.

4.5 Riflessioni sui problemi riconducibili ad equazioni di secondogrado 33

Nella risoluzione delle equazioni non ci sono stati problemi; l’unica cosa

da segnalare e che gli allievi non sempre verificavano l’accettabilita delle

soluzioni.

4.5 Riflessioni sui problemi riconducibili ad

equazioni di secondo grado

Affrontare problemi non e, generalmente, una cosa semplice. Non ci sono

di solito procedure atte a dare una risposta immediata. Si puo procedere in

modo euristico fornendo argomentazioni ne definitive ne rigorose, ma plau-

sibili per il problema proposto. L’insegnante, pero, deve tenere ben presente

il fatto che un ragionamento euristico non puo sostituire, neppure parzial-

mente, la procedura corretta. Quando lo studente si trova a risolvere un

problema, lo fa in ambito scolastico, cio innesca una serie di clausole del

contratto didattico, in particolare, la delega formale; l’allievo legge il testo

del problema e cerca l’operazione che lo risolve. Il suo compito e quello di

trasformare in linguaggio aritmetico o algebrico il testo; in altre parole si

delega la risoluzione del problema all’algoritmo che permette di trovare la

soluzione.

Spesso e utile, nel percorso didattico, utilizzare problemi tratti dalla realta

(interesse, problemi geometrici...). Essi permettono di coinvolgere diretta-

mente gli studenti. Lo scopo e quello di operare in contesti che interessano,

perche derivanti da fenomeni in parte conosciuti, per passare dalla realta

alla sua astrazione simbolica, introducendo gradualmente il linguaggio della

matematica, in modo che gli studenti arrivino a percepire le formule non

piu come ricette, ma come parte fondamentale di un linguaggio che ha il

vantaggio della concisione e della non equivocita. L’utilizzo del linguaggio

algebrico amplia il modo di concepire l’attivita risolutiva, in quanto fornisce

gli strumenti necessari per affrontare la soluzione dei problemi genericamente

e non piu nei casi particolari.

Risolvere un problema assume il significato di ricerca di un modello risolu-


tivo. La parola chiave e creare un modello matematico, in altre parole, il

modo di passare da una situazione concreta, conosciuta solo intuitivamente

o sperimentalmente, ad un insieme di schemi formalizzati (equazioni alge-

briche, equazioni differenziali, ecc...) che la descrivono quantitativamente e

che consentono, anche con l’aiuto odierno del computer, di simularne il com-

portamento e di formulare previsioni, da verificare poi sul campo. Possiamo

concludere che se si opera con problemi tratti dalla realta vi e la necessita di

schematizzare, modellizzare e di interpretare i risultati ottenuti.

Nel progettare il mio intervento sulle equazioni di secondo grado ho cercato

di tenere ben presente che l’obiettivo finale era quello di utilizzare gli sche-

mi formalizzati per risolvere problemi. Naturalmente, nel fare cio, ho anche

dovuto trovare una mediazione tra le mie personali convinzioni e le caratteri-

stiche dell’insegnamento cui i ragazzi erano abituati. Nella fase riguardante

i problemi, ho modificato parzialmente il percorso da me scelto, in quanto

la tutor mi ha fatto presente l’esigenza di affrontare soprattutto problemi

di tipo geometrico sull’applicazione dei teoremi di Euclide, di similitudine e

sul teorema di Pitagora. Questa particolare scelta e stata dettata dal fatto

che alla fine di Maggio gli alunni sarebbero stati sottoposti ad un esame di

fine anno sugli argomenti citati in precedenza. In questa ottica ho cercato di

proporre attivita di classe in preparazione a questo “pseudo” esame, focaliz-

zando la mia attenzione sulla scelta dei testi e sulle procedure risolutive dei

problemi da presentare.

I primi problemi proposti sono stati di tipo algebrico; ad esempio, si richiede-

va di trovare la somma ed il prodotto delle soluzioni data un’equazione e

viceversa. In questa fase non ci sono stati particolari difficolta poiche, nel-

la presentazione delle equazioni parametriche, avevo affrontato gia in parte

l’argomento.

Come ho detto in precedenza, il resto dell’attivita si e basata sulla risoluzione

di problemi geometrici. In questo caso ho cercato di rendere stimolante l’at-

tivita risolutiva proponendo, con poco successo, un lavoro di gruppo. Il mio

scopo era quello di confrontare i metodi risolutivi di un medesimo proble-

4.5 Riflessioni sui problemi riconducibili ad equazioni di secondogrado 35

ma, ma questo tipo di approccio ha portato pochi frutti. Dopo aver dato

loro il tempo necessario per risolvere i problemi proposti, abbiamo iniziato

la correzione alla lavagna, ma i ragazzi hanno collaborato poco e quando ho

chiesto loro se effettivamente avessero utilizzato gli stessi processi risolutivi,

mi hanno risposto evasivamente di sı.

Le risposte che si danno ad un problema (anche non di matematica) devono

essere ragionevoli, rispettose del buon senso. Per questo motivo, oltre ai soliti

problemi in cui si scarta una soluzione perche negativa, ho proposto problemi

con vari tipi di soluzioni. Il caso che ha suscitato piu scalpore e stato quando

ho suggerito di risolvere un problema le cui soluzioni erano entrambe accetta-

bili. Gli allievi, abituati a risolvere in un certo modo i problemi, sembravano

smarriti. Mi ha particolarmente colpito il commento di Simone “adesso!?

Come si fa? Andiamo avanti con un solo valore?”.

Questo problema e stato scelto per evidenziare che non e importante solo

porsi in modo critico di fronte ai problemi, ma anche comprendere che, con-

trariamente a quanto si crede comunemente, in matematica non c’e un solo

modo per risolvere i problemi.

In un altro caso, arrivati alla soluzione apparentemente accettabile, bisogna-

va effettuare una discussione sostituendo i risultati raggiunti e ottenendo, in

un caso, un assurdo. Questo tipo di problema ha suscitato negli allievi molte

difficolta poiche, per ricercare l’assurdo, dovevano attingere alle conoscenze

precostituite. In questi casi sono dovuta intervenire per condurre il ragiona-

mento nella direzione voluta.

Tra i vari problemi proposti vorrei citare il seguente:

Nel triangolo rettangolo ABC, il punto M dell’ipotenusa AC dista 6cm da

A. La perpendicolare in M ad AC interseca il cateto BC nel punto N che

dista 3cm da B e 5cm da C. Determinare il perimetro del triangolo ABC.


Nell’affrontare questo problema, Federico non ha avuto difficolta con la

nominalizzazione ma nello scrivere le proporzioni. Egli ha applicato il primo

criterio di similitudine riconoscendo e segnando sulla figura gli angoli uguali,

ma abituato ad attuare un procedimento meccanico ha scritto:

AC : MC = AB : MN = BC : NC.

Federico ha riconosciuto gli angoli uguali ma non ha messo nel modo corretto

i lati omologhi in proporzione. Secondo la mia osservazione, l’errore e da

attribuire alla scorretta interpretazione dei dati e alla errata lettura della

figura.

4.6 Analisi degli errori della seconda verifica

sommativa

Alla fine del percorso e stata proposta alla classe una verifica sommativa

della durata di due ore per saggiare la comprensione delle equazioni parame-

triche e della risoluzione dei problemi. La verifica si articola in cinque quesiti,

di cui uno facoltativo. Come si evince dal seguente istogramma l’esercizio

facoltativo, in quanto tale, e stato affrontato solo da tre persone e comunque

non in modo esatto.

4.6 Analisi degli errori della seconda verifica sommativa 37

Il primo esercizio, diviso in sei punti, chiedeva di determinare i valori del

parametro k in modo da soddisfare alcune condizioni richieste. Gli altri era-

no problemi; il primo sull’applicazione del teorema di Pitagora, gli altri sia

sul teorema di Pitagora che sui teoremi di similitudine e Euclide.

Nel primo esercizio, come si vede dall’istogramma hanno svolto la parte com-

putazionale in modo corretto ma poi hanno dimenticato la verifica dell’ac-

cettabilita delle soluzioni percio l’esercizio risulta parzialmente corretto.


Vorrei segnalare anche alcuni errori che si sono gia presentati nella verifica

precedente. In particolare sul calcolo del quadrato di un binomio:

Come detto gia in precedenza la formula ridotta e stata poco accettata e non

sempre utilizzata. A tal proposito vorrei segnalare i seguenti protocolli anche

se privi di errori:

4.6 Analisi degli errori della seconda verifica sommativa 39

Il secondo quesito e stato impostato correttamente da tutti ma risulta

ugualmente per la maggior parte incompleto e parzialmente corretto per la

presenza di errori di calcolo che hanno impedito il corretto svolgimento op-

pure hanno causato l’interruzione del procedimento di risoluzione. A questo

proposito vorrei segnalare il protocollo di Angelica:

La ragazza ha semplificato l’indice della radice con l’esponente di a.

Il terzo problema non ha provocato particolari errori ed e stato svolto corret-

tamente da nove allievi. Questo problema era molto simile a quello gia se-

gnalato nel paragrafo precedente, ciononostante cinque persone non lo hanno

portato a termine. Le difficolta incontrate dai due ragazzi che hanno eseguito

in modo errato il problema sono da attribuire alla scorretta interpretazione

del testo che ha avuto come conseguenza una traduzione nel registro grafico

totalmente sbagliata.


L’asse del segmento AB del triangolo ABC rettangolo in C e diventato uno

strano asse del segmento AC. Dico strano perche dalla figura si evince che

non solo il segmento, che dovrebbe rappresentare l’asse non e perpendicolare,

ma non passa neanche per il punto medio del segmento.

Nel secondo caso H e il punto medio del segmento ma non risulta il piede

della perpendicolare.

In entrambi i casi la rappresentazione grafica ha provocato lo scorretto svol-

gimento del problema.

Vorrei segnalare il protocollo di Thomas per il problema quattro:

I dati sono inesatti e la risoluzione incompleta.

4.7 Valutazione 41

Il quinto problema era facoltativo poiche richiedeva l’impostazione di un si-

stema di secondo grado in due incognite e quindi, in accordo con la tutor, ho

deciso di valutarlo solo se positivo.

4.7 Valutazione

“Il termine valutazione ha due accezioni una generica, riconducibile a pre-

visione, stima, apprezzamento,...ed una pedagogica che recita: <<Acquisizione

di dati e informazioni che permettono di verificare l’efficacia di un intervento

educativo e il profitto di un allievo>>” [4]. Dunque la verifica dell’attivita

di insegnamento apprendimento e di fondamentale importanza, perche per-

mette al docente di individuare le eventuali cause dell’insuccesso scolastico


e all’allievo di rendersi conto se effettivamente ha raggiunto gli obiettivi ri-

chiesti e di colmare eventuali lacune.

Attraverso l’analisi sia dei dati raccolti dalle osservazioni fatte in classe sia

dai risultati dei compiti (orali o scritti) si riesce ad avere un quadro chiaro e

dettagliato dei punti deboli o forti di ogni singolo alunno. Conoscere tutto

cio puo aiutare l’insegnante a fare scelte adeguate alla classe sia in relazione

alla trasposizione didattica che alla ingegneria didattica.

L’importanza della valutazione non e quella di dare un voto, ma di comuni-

care agli allievi cio che e importante, anche se nella maggior parte dei casi

alla parola valutazione si associa un voto.

E’ importante far capire agli allievi che non si valutano solo i risultati (prodot-

ti) ma i processi; per questo bisogna utilizzare un sistema di valutazione atto

a valutare entrambi.

La valutazione non e quindi solo un voto dato alla fine di una verifica, ma

ha il compito di fornire agli studenti la consapevolezza del proprio apprendi-

mento e di valutare l’efficacia dell’azione didattica.

Ci sono vari metodi e criteri di valutazione; ad esempio, quando si osserva

un allievo mentre svolge attivita in ambito matematico si possono ricavare,

chiedendo spiegazioni sui procedimenti effettuati, anche informazioni relative

ai processi mentali in atto. Questo metodo e efficace sia per ragazzi in diffi-

colta che per quelli che non lo sono.

Si possono utilizzare anche dati ricavati da elaborati scritti. Mi sto riferen-

do non solo alle classiche verifiche ma anche ad elaborati scritti meno con-

venzionali; i piu famosi sono i TEPs, testi scritti su questioni matematiche

elaborate in modo autonomo.

Come detto in precedenza la valutazione ha il compito di comunicare agli

studenti cio che si ritiene importante. Si puo fare cio, privilegiando i processi

e non i risultati, assegnando un voto (o punteggio) ai veri passi dei processi

di risoluzione dei problemi. Non ultime sono le prove tradizionali: inter-

rogazioni, compiti in classe, test di vario tipo. Esse sono una buona fonte

per ricavare informazioni; bisogna pero, attuarle con intelligenza secondo un

4.7 Valutazione 43

preciso obiettivo.

Sulla base di queste premesse, durante il tirocinio, la valutazione e stata ef-

fettuata in due modi: in primis interpellando continuamente gli studenti e

chiamandoli spesso alla lavagna a svolgere esercizi. Successivamente con due

verifiche sommative.

Tali verifiche mi hanno permesso di fornire agli studenti gli ‘strumenti” per

una reale presa di coscienza su quanto e come avessero appreso l’argomento

trattato, su come fosse opportuno procedere per colmare eventuali lacune e

di fornire a me stessa un riscontro sull’efficacia della mia azione didattica in

modo da perfezionarne la strategia.

L’analisi dei protocolli scritti e delle affermazioni degli alunni mi ha consenti-

to di comprendere in modo puntuale tentativi, errori, misconcetti, stereotipi,

difficolta nel controllo del significato. Una volta corrette, le verifiche sono

state riconsegnate agli studenti munite di un commento scritto, in cui sono

stati proposti suggerimenti e consigli per superare quegli ostacoli che avevano

condotto gli studenti a commettere certi errori.

Alla consegna e correzione di tali verifiche, l’attenzione degli allievi si e ca-

talizzata sui voti, lasciando un ruolo del tutto marginale alla riflessione sui

propri errori. Il voto appare agli studenti come qualcosa di definitivo. In

realta non lo e, rappresenta il grado di preparazione di uno studente, ovvero

indica quanto lo studente sa. Nel momento in cui l’insegnante assegna un

voto, mette al corrente le Istituzioni (scolastiche, familiari, ecc.) sullo stato

di formazione dell’allievo.

L’insegnante dovrebbe porre l’attenzione su cio che lo studente non sa e

preoccuparsi di valutare il suo processo formativo, individuando le cause di

eventuali difficolta, discutendo con gli allievi sugli errori commessi, rifletten-

do egli stesso sulla propria strategia didattica, chiarendo infine all’allievo il

livello di qualita raggiunto nella sua evoluzione conoscitiva.

L’attivita di interpretazione dei protocolli degli studenti e dunque un passag-

gio molto delicato del percorso didattico. In essi, infatti, si trovano differenti

modi di scritture matematiche, elaborate spesso con un linguaggio personaliz-


zato. E qui che diventa importante la capacita dell’insegnante di individuare

(e far individuare) le interpretazioni corrette, selezionando le traduzioni er-

rate, ambigue, ridondanti, fuorvianti, fantasiose, e cosı via.

In entrambe le verifiche ho valutato sia l’utilizzo delle strategie messe in atto

dall’allievo per risolvere l’esercizio, sia il criterio di risoluzione.

I criteri di valutazione sono stati chiariti agli studenti affinche risultassero

oggettivi e coerenti.

L’assegnazione dei punteggi, e stata concordata assieme alla tutor.

Negli istogrammi che seguono sono stati riportati i punteggi, corrispondenti

ai voti assegnati, ottenuti dagli studenti nelle due verifiche.

Conclusioni

Essere un insegnante e un compito molto difficile e non sempre avere le

conoscenze sulla materia da insegnare implica di saperle insegnare. Partendo

dal presupposto che non ci sono, neanche in questo caso, ricette preconfezio-

nate per diventare un insegnante si deve comunque riconoscere l’importanza

della formazione degli insegnanti.

Aver frequentato questa Scuola di Specializzazione (SSIS) mi ha permesso

di acquisire non solo le necessarie competenze disciplinari sui fondamenti

storico-epistemologici della materia, ma anche conoscenze psico-pedagogiche

necessarie al futuro insegnante.

Avendo conseguito la laurea in matematica con indirizzo didattico avevo gia

alcune competenze sulla didattica della matematica, ma questa scuola mi ha

consentito di approfondirne alcuni aspetti. In particolare, mi ha permesso di

acquisire la giusta consapevolezza dell’importanza che il ruolo di insegnante

riveste, sia per la crescita degli studenti, sia per lo sviluppo della societa di

cui faccio parte.

Questi due anni sono stati un’occasione che mi ha consentito di capire cosa

vuol dire insegnare ed apprendere, di mettermi alla prova, di sperimentare

ed accrescere la mia capacita di progettazione di attivita didattiche, di valu-

tazione e di collaborazione all’interno di un gruppo di colleghi.

In questi anni ho frequentato la scuola di specializzazione e contemporanea-

mente ho intrapreso la mia avventura da insegnante. Sono entrata per la

prima volta all’istituto di istruzione secondaria di primo grado S. Giuseppe il

19 novembre del 2005 per poi iniziare il mio lavoro da insegnante due giorni

45

46 CONCLUSIONI

dopo. Trovarmi per la prima volta in aula e stato bruttissimo; oltre a sen-

tirmi spaesata, mi sentivo forse ancora un po’ troppo alunna. Ho comunque

cercato di mettere in pratica cio che gia avevo imparato durante gli anni di

universita.

Sicuramente sarebbe stato utile essere gia al secondo anno della SSIS in quan-

to progettare le lezioni non e stato per niente facile. Conoscevo gia i concetti

di trasposizione ed ingegneria didattica, di prerequisiti, avevo assistito a si-

mulazioni di vita d’aula ma non avevo mai pensato criticamente a tutto cio.

La stesura del progetto di tirocinio mi ha fatto rendere conto che non e pos-

sibile preparare le lezioni da affrontare in classe come se fossero un indice

degli argomenti da trattare in quel determinato giorno. Condurre gli alunni

al raggiungimento di determinati obiettivi richiede, da parte dell’insegnante,

la capacita di riconoscere la natura degli ostacoli che incontrano gli studenti

e il possesso delle metodologie che occorrono per attuare strategie mirate al

superamento di tali ostacoli.

L’iter proposto dalla SSIS e un iter professionalizzante, che contribuisce ad

arricchire la formazione dei nuovi insegnanti. In questa ottica il tirocinio e

concepito come momento di attuazione delle competenze acquisite, dell’or-

ganizzazione del lavoro, dove il protagonista e l’intero gruppo classe. Non

solo perche le attivita sono rivolte agli studenti ma anche perche ogni classe

e diversa dalle altre, quindi si deve tenere presente anche il contesto in cui si

opera. Bisogna considerare la classe come una minisocieta, dove ogni allievo

ha un ruolo ben preciso anche se non sempre e facile gestire le dinamiche che

si instaurano in questa gerarchia.

Quando ho svolto la mia attivita di tirocinio, attivo e passivo, sulla base delle

osservazioni precedenti, ho cercato di carpire, analizzando i comportamenti

della tutor, i segreti o gli approcci che si possono avere operando in clas-

si diverse. Ho notato che classi, apparentemente piu “rumorose” stimolano

l’attivita del docente. Un docente che ottiene collaborazione, anche se poco

ordinata, riesce ad instaurare un dialogo continuo e riesce anche ad analiz-

zare gli ostacoli che si sono formati seduta stante.

CONCLUSIONI 47

Sicuramente lavorare in una scuola media non e la stessa cosa e non sempre

si possono gestire in modo costruttivo delle discussioni soprattutto a causa

delle implicazioni psicologiche.

Infatti, a quella eta, le reazioni sono difficili da controllare e a volte capita

che gli studenti entrino in conflitto con l’insegnante; inoltre hanno bisogno

di essere guidati maggiormente anche nelle cose pratiche.

La Scuola di Specializzazione mi ha offerto la possibilita di disporre di un am-

pio patrimonio di risultati, di esperienze che hanno arricchito ulteriormente

la mia formazione e mi hanno consentito di operare nelle classi in cui insegno

con maggiore consapevolezza. Infatti, durante il tirocinio passivo, special-

mente durante le ore di osservazione in I I, ho potuto osservare e toccare con

mano le misconcezioni che si possono formare durante gli anni precedenti di

studio. Ho cosı potuto modificare le scelte adoperate nel proporre ai miei

allievi di scuola media alcuni argomenti. Infatti, avere un quadro piu ampio

delle difficolta che i miei allievi potranno incontrare in un futuro non tanto

lontano mi ha reso piu consapevole dell’importanza di alcuni argomenti e mi

ha permesso anche di scegliere quali argomenti trattare e quali no; oppure

su quali insistere maggiormente.

Concludo affermando che questa esperienza mi e sicuramente tornata utile

nel campo lavorativo ma che comunque insegnare non e per niente facile.

Appendice A

Progetto di tirocinio

A.1 Finalita dell’insegnamento della matema-

tica

Idiosincrasia 1 questo termine, anche se un po’ forte, e sicuramente ap-

propriato per descrivere il rapporto tra le persone e la matematica. E un

fatto accertato, a livello capillare, in ogni parte del mondo e nella stragrande

maggioranza delle culture umane, che la matematica suscita sentimenti molto

differenti tra loro: si puo amare, ignorare o odiare la matematica. Purtroppo,

o per fortuna, molti la odiano o sono indifferenti nei confronti di questa di-

sciplina. A tutti coloro che invece hanno instaurato un rapporto d’amore con

la matematica o sono attratti da essa (studenti del corso di laurea, professori

di liceo o docenti universitari) e capitato di sentirsi dire con costernazione

dopo aver dichiarato di studiare od insegnare matematica: << oh mio Dio...io

sono negato per la matematica >> - << Allora sai fare bene i conti? >> o cose

1s.f. 1. Manifestazione di ipersensibilita allergica nei confronti di varie sostanze, fre-

quentemente farmaci, che insorge al primo contatto con esse. 2. estens. (lett.). Incompa-

tibilita o ripugnanza esasperata, [dal gr. idiosyncrasıa comp. di ıdios ’proprio’ e synkrasis

’mescolanza (di umori)’: cioe ’di temperamento particolare’].

Fonte: Dizionario della lingua italiana, G. Devoto, G.C. Oli - Ed. Dizionari Le Monnier -

Aprile 1979

49

50 A Progetto di tirocinio

simili. Ai piu fortunati capitano commenti di esorcismo del tipo << Matema-

tica?! Una disciplina affascinante >> oppure di ascoltare storie piu o meno

fantasiose su analogie tra matematica e le arti, o simili.

Nel bene o nel male la matematica e una disciplina la cui percezione popolare

e fortemente mistificata, deformata dal timore che suscita e dai dolorosi ri-

cordi del periodo scolastico. Analizzando il mio curricolo scolastico del liceo

posso dire di aver sempre prediletto le materie scientifiche, ma nel corso di

questi anni ho semplicemente imparato una serie di processi algoritmici ed

una serie di metodi per giungere al risultato corretto. Quando ho deciso di

frequentare la facolta di matematica, ho scoperto una disciplina diversa che

nel corso degli anni ha modificato il mio modo di vedere il mondo circostante,

insomma mi sono accorta che questa materia di studio e differente da come

la conoscevo e che studiandola ho acquisito una mentalita cosiddetta “mate-

matica”. Studiare matematica permette di possedere tecniche e metodi utili

per capire dove si trovano i nodi importanti, l’essenza di un problema.

Spesso nelle scuole si mira a fornire ai ragazzi solo una competenza in mate-

matica e non una competenza matematica.

Nel primo caso l’allievo si appropria di quella parte di saperi che gli permet-

teranno di fare un dignitoso ingresso in societa. Questo tipo di competenza e

legata all’ambito scolare e in generale porta l’allievo a rinunciare a farsi cari-

co del proprio apprendimento, egli si limita ad ascoltare cio che l’insegnante

propone.

Nel secondo entra in gioco l’individuo, non solo lo studente, che vede, in-

terpreta e si comporta in senso matematico. Una persona che ha raggiunto

competenze matematiche ha un atteggiamento analitico o sintetico nei con-

fronti di una situazione problematica.

A mio avviso la scuola deve optare al raggiungimento di entrambe le com-

petenze, privilegiando la competenza matematica. Questa ultima non si ap-

prende in modo spontaneo ne implicito pertanto il processo di insegnamen-

to/apprendimento deve comprendere questa visione matematica del mondo.

E l’insegnante stesso che deve possedere, oltre alla conoscenza della disciplina

A.2 Strategie d’insegnamento 51

e delle teorie didattiche specifiche, le competenze matematiche necessaria al

conseguimento della mentalita matematica.

Ma quanti insegnanti la posseggono? E quanti ritengono piu importanti le

competenze matematiche piuttosto che quelle in matematica?

A.2 Strategie d’insegnamento

Se lo scopo e quello di raggiungere competenze in matematica e matemati-

che, privilegiando queste ultime, bisogna attuare una trasposizione didattica

adeguata.

Le competenze influenzano l’aspetto cognitivo (conoscenza della disciplina),

affettivo (disposizione, volonta, desiderio di rispondere ad una sollecitazione

esterna o interna) e la tendenza di azione (persistenza, continuita, sollecitu-

dine); quindi quando si parla di competenze ci si riferisce alla persona. Di

conseguenza non si puo solo trasmettere “sapere”, ma si devono valorizzare

le necessita, le curiosita e la voglia di sapere dell’allievo. Spesso la curiosita

e l’entusiasmo presenti negli allievi “ancora giovani” (fino ai 12 anni) viene

spenta dall’insegnamento. A mio avviso per impedire cio si deve contestua-

lizzare la matematica. Molti pensano che questa disciplina sia sempre esistita

senza mai evolversi. La matematica in fondo non e tutto cio che si trova nel

libro di testo? I nostri nonni, i nostri genitori non hanno, forse, le nostre

stesse capacita in matematica?

Solo questo non basta: per non spegnere l’interesse degli allievi bisogna an-

che porre attenzione ai loro processi di apprendimento; se si conoscono le

dinamiche cognitive si possono condurre gli studenti nella direzione giusta,

“organizzare lo sviluppo curricolare sulla base dei processi e non solo dei

prodotti.” [2]. Puo essere utile privilegiare situazioni a-didattiche che rispon-

dano a problemi sentiti dall’allievo. Ogni alunno ha, infatti, una sua realta,

che ci puo aiutare a rendere la scuola un luogo meno avulso da interessi. Inol-

tre il lavoro di aula deve proseguire fuori dai tempi e dagli spazi scolastici.

Abbiamo gia detto che lo scopo finale dell’insegnamento della matematica


e raggiungere una competenza matematica. Questo e un obiettivo a lungo

termine, che consente agli allievi di essere autonomi nel selezionare dalle loro

conoscenze quelle adatte alla risoluzione di situazioni problematiche.

Sul piano pratico, per avere successo bisogna costruire situazioni in cui l’al-

lievo sia stimolato e messo in condizione di voler conoscere. In altre parole

situazioni centrate su nuclei fondanti, cioe su contenuti che costituiscono il

cardine, il cuore attorno al quale raccogliere possibili altri saperi.

Strategie d’insegnamento finalizzate alla classe in cui sara svolto

il tirocinio

A seguito di quanto detto in precedenza cerchero di definire strategie d’inse-

gnamento adatte agli studenti con cui andro a lavorare, considerando anche

i vincoli che esporro di seguito.

L’argomento che trattero, le equazioni di secondo grado, verra affrontato

privilegiando il registro algebrico, poiche la programmazione non contiene

argomenti di geometria analitica. Il rischio maggiore nell’utilizzare il registro

algebrico e quello di far passare il messaggio che risolvere equazioni sia solo

applicare la formula risolutiva, annullando completamente il loro rapporto

con la realta. E per questo che nella fase riguardante i problemi proporro

non solo problemi di tipo algebrico (trova due numeri la cui somma e il cui

prodotto e...) e geometrico, ma anche problemi riconducibili alla vita quo-

tidiana (ad esempio sul calcolo dell’interesse).

Affrontare problemi non e, generalmente, una cosa semplice. Non ci sono di

solito procedure atte a dare una risposta immediata. “Ma deve esserci pero

un terreno preparato per affrontare i problemi con profitto: le conoscenze

disciplinari necessarie e, soprattutto, lo spirito giusto di chi vuol affrontare

lo scontro (culturale) in campo aperto e senza una ricetta precostituita. Si

puo iniziare con argomentazioni che non pretendono di essere ne definitive

ne rigorose ma soltanto provvisorie e “plausibili” per il problema considerato

A.2 Strategie d’insegnamento 53

(procedimento euristico) tenendo ben presente il fatto, da parte dell’inse-

gnante, che un ragionamento euristico non puo sostituire, neppure parzial-

mente, la procedura corretta.”[3] Un modo per affrontare un problema e

quello di formulare una congettura. Essa si puo paragonare ad un “matton-

cino” necessario per costruire la soluzione. Per valicare una congettura si

puo seguire uno schema di George Polya:

a) La congettura tiene in considerazione tutti i dati e tutte le informazioni

del problema. E la stessa situazione quando, dovendo dimostrare un

teorema, ci si rende conto di aver effettivamente utilizzato tutte le

ipotesi.

b) La congettura e in grado di fornire un legame fra i dati del problema e

l’incognita. Dal tunnel iniziale si inizia a vedere un primo barlume di

luce.

c) La congettura mostra caratteristiche che sono state spesso utili per

ottenere la soluzione di problemi dello stesso tipo. Buon segno!

d) La congettura e simile a quella utilizzata per affrontare con succes-

so problemi analoghi. Ancora buon segno, purche le analogie siano

veramente tali.

e) La congettura ha funzionato per risolvere un problema-caso particolare

del problema dato. Ancora una volta non si puo che essere incoraggiati

e pensare di essere sulla buona strada.

f) La congettura e in grado di dare una risposta ad alcuni punti del proble-

ma in questione, visto come una sequenza di “passi” successivi. Siamo

sul crinale positivo della ricerca della soluzione: ne abbiamo trovata una

particolare o abbiamo trovato un “pezzo”. Si tratta di continuare[3]

I problemi tratti dalla realta (interesse, problemi geometrici...) permettono

di coinvolgere direttamente gli studenti. “Operare in contesti che interes-

sano, perche derivanti da fenomeni in parte conosciuti, puo essere un attivo


strumento di lavoro e di stimolo per passare dalla realta alla sua astrazione

simbolica, introducendo gradualmente il linguaggio della matematica, in mo-

do che gli studenti arrivino a percepire che le formule non appaiono piu come

ricette, ma sono parte fondamentale di un linguaggio che ha il vantaggio della

concisione e della non equivocita. [...] La parola chiave e modello matemati-

co, cioe la nozione che descrive in termini corretti il modo di passare da una

situazione concreta, conosciuta solo intuitivamente o sperimentalmente, ad

un insieme di schemi formalizzati (equazioni algebriche, equazioni differen-

ziali, ecc...) che la descrivono quantitativamente e che consentono, anche con

l’aiuto odierno del computer, di simularne il comportamento e di formula-

re previsioni, da verificare poi sul campo, sulla sua evoluzione.”[3] Quando

si opera con problemi tratti dalla realta vi e la necessita di schematizzare,

modellizzare e di interpretare i risultati ottenuti.

Le risposte che si danno ad un problema (anche non di matematica) devono

essere ragionevoli, rispettose del buon senso. Per questo motivo proporro

problemi dove una soluzione si scarta perche negativa oppure problemi in cui

le soluzioni sono entrambe positive, ma una non e accettabile.

Cerchero di creare situazioni d’aula a-didattiche con l’ausilio di strumenti

informatici (gli applet java) molto semplici, ma che mi permetteranno di

creare un “laboratorio di matematica”. In altre parole gli alunni dovranno

fare esperimenti e ricavare, attraverso la lettura di dati, informazioni utili

per poter congetturare.

L’applet permettera agli studenti di inserire i valori dei coefficienti dell’e-

quazione di secondo grado per ricavare immediatamente il valore del discri-

minante e successivamente di calcolare il valore delle soluzioni. Sfruttero

i risultati ottenuti dal calcolo del discriminante per focalizzare l’attenzione

degli studenti sui seguenti casi: delta minore di zero e delta uguale a zero; e il

calcolo delle soluzioni per capire in quale insieme numerico stiamo operando

(soluzioni reali) e come sono le soluzioni (distinte, coincidenti oppure imma-

ginarie).

Ricorrero anche a lezioni frontali che saranno comunque dialogate e interat-

A.3 Vincoli 55

tive.

Per quel che riguarda l’organizzazione dei contenuti, seguiro il libro di testo.

Gli esercizi e i problemi proposti saranno presi dal libro di testo, ma anche

da altre fonti e presentate su schede preparate in precedenza.

A.3 Vincoli

La scuola in cui svolgero il tirocinio e il liceo scientifico N. Copernico di

Bologna. Offre tre indirizzi di studio, ciascuno dei quali consente di esaurire

l’obbligo scolastico previsto dalla legge vigente. I corsi di studio si suddi-

vidono in un biennio propedeutico e nel successivo triennio. Gli obiettivi

del biennio sono centrati sul consolidamento delle abilita di studio (capacita

d’ascolto, lettura e comprensione di un testo, comunicazione sia scritta che

orale delle conoscenze acquisite) e sull’acquisizione di conoscenze propedeu-

tiche alla prosecuzione degli studi.

Indirizzo Scientifico e P.N.I. il Piano Nazionale per l’Informatica che,

potenziando l’area scientifica con l’introduzione di elementi di Informatica e

anticipando lo studio della Fisica fin dal biennio con un’attivita soprattutto

sperimentale, rende piu attuale il corso di studi tradizionale. L’obiettivo prin-

cipale e quello di fornire ai ragazzi una formazione equilibrata sia nell’ambito

scientifico che in quello umanistico.

Indirizzo Matematico Informatico: Nel biennio, alle abilita di base si

affianca l’obiettivo di fornire agli studenti, oltre ai contenuti disciplinari speci-

fici, metodi e strumenti della scienza attraverso le attivita di laboratorio. Nel

triennio le materie dell’area comune (italiano, inglese, storia, filosofia e sto-

ria dell’arte) hanno l’obiettivo di fornire un’ampia preparazione culturale di

tipo liceale e sviluppare un uso appropriato della lingua. Tra le materie af-

frontate, la filosofia assume un ruolo rilevante in quanto materia cerniera tra

l’area linguistico/umanistica e l’area scientifica. Per questo motivo, all’in-


terno dello studio della filosofia, e sviluppata una riflessione sui fondamenti

della conoscenza e sul ruolo che le materie scientifiche hanno storicamente

avuto nella cultura e nel mondo attuale.

Indirizzo Linguistico L’indirizzo linguistico trae la sua peculiarita dalla

presenza di tre lingue straniere e dalla metodologia che ne caratterizza l’in-

segnamento. L’uso delle tre lingue e finalizzato sia all’acquisizione di compe-

tenze linguistiche e comunicative sia alla conoscenza della storia, letteratura

e civilta. La presenza del latino permette, in particolare, tanto una migliore

analisi delle lingue moderne nelle loro strutture quanto una piu viva sensi-

bilizzazione alla storicita delle lingue. Per le lezioni di lingua straniera ci si

avvale anche di un lettore di madrelingua. L’attivita integrativa degli scambi

educativi con classi corrispondenti di paesi stranieri ha in questo indirizzo

lo scopo di fornire ai ragazzi una conoscenza diretta della lingua viva, della

cultura e della civilta degli altri paesi.

L’istituto dispone di due laboratori linguistici, un laboratorio di chimica,

uno di biologia, due di fisica, due di informatica, un’aula per le esperien-

ze di scienze della terra e di ottica; una sala proiezioni, un’aula video; una

palestra attrezzata per l’attivita contemporanea di tre squadre e una sala per

il potenziamento muscolare; una biblioteca che dispone di volumi e svariate

riviste utili per l’approfondimento di studenti e insegnanti in relazione alle

varie aree disciplinari; Un’aula attrezzata per allievi non vedenti con attrez-

zature e materiale softwaretiflologici.

Inoltre, a seconda delle necessita individuate, possono configurarsi attivita di

recupero come corsi pomeridiani rivolti a gruppi di studenti delle singole classi

o di classi parallele o di livello di apprendimento, attivita (sempre pomeridia-

ne) di sportello formativo inteso come opportunita di colloquio individuale

o di piccoli gruppi di studenti con gli insegnanti, o attivita individualizzate

durante le ore di lezione.

Il mio intervento didattico si svolgera in una classe seconda di indirizzo P.N.I.

A.3 Vincoli 57

La classe e composta da diciassette alunni, e omogenea e solo pochi studenti

raggiungono valutazioni eccellenti. Gli allievi sono interessati alla disciplina,

ma intervengono poco durante lo svolgimento delle lezioni, per questo motivo

devono essere continuamente stimolati e interrogati.

Vorrei far notare che la Tutor non tratta ne le equazioni letterali di secondo

grado ne le disequazioni, inoltre la programmazione non prevede argomenti

di geometria analitica.

Per lo svolgimento delle lezioni nelle classi seconde dell’indirizzo P.N.I, la Tu-

tor ha a disposizione cinque ore settimanali di cui una di informatica. Svolge

anche attivita di sportello su richiesta degli alunni, per colmare eventuali

lacune.

La Tutor svolge lezioni frontali coinvolgendo spesso gli studenti e dedica

molto tempo alla correzione degli esercizi che fa svolgere alla lavagna. Il

libro di testo adottato e Matematica per il biennio delle superiori M.R. Per-

sano Riboldi, Zanoli Juvemilia.

Prerequisiti

L’alunno, al fine di saper risolvere equazioni e problemi di secondo grado,

dovra possedere le seguenti conoscenze:

- Conoscere la definizione di polinomio e di grado di un polinomio;

- Moltiplicare, addizionare, sottrarre, dividere, elevare a potenza monomi

e polinomi;

- Eseguire un raccoglimento;

- Riconoscere prodotti notevoli, in particolare il quadrato di un binomio;

- Scomporre un polinomio;

- Calcolare il m.c.m di polinomi;

- Sapere qual e il significato d’incognita e d’equazione;


- Sapere cosa significa “trovare l’insieme delle soluzioni di un’equazione”;

- Conoscere e saper applicare i principi d’equivalenza delle equazioni;

- Conoscere e saper applicare la legge d’annullamento del prodotto;

- Riconoscere equazioni fratte;

- Riconoscere il campo d’esistenza di frazioni algebriche;

- Conoscere la differenza tra parametro ed incognita;

- Conoscere la definizione di equazione determinata, indeterminata e

impossibile;

- Conoscere la definizione di radice aritmetica n-esima di un numero

(positivo);

- Conoscere le principali proprieta dei radicali aritmetici;

- Portare fuori e dentro il segno di radice.

Finalita: Acquisire, attraverso l’uso dell’algebra, capacita risolutive di

problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado.

Obiettivi

Riconoscere un’equazione di secondo grado;

Classificare le equazioni di secondo grado in spurie, pure e complete;

Verificare se un dato valore e o non e soluzione di un’equazione di secondo

grado;

Ridurre in forma normale un’equazione;

Risolvere le equazioni di secondo grado spurie, pure;

Risolvere le equazioni di secondo grado complete;

Discutere il numero delle soluzioni in base al segno del discriminante;

Conoscere le relazioni tra radici e coefficienti di un’equazione di secondo gra-

do;

A.4 Organizzazione dei contenuti 59

Applicare il teorema di Cartesio; Scomporre, quando e possibile, un trinomio

di secondo grado;

Risolvere equazioni fratte riconducibili ad equazioni di secondo grado;

Determinare il valore del parametro in modo che le radici dell’equazione sod-

disfino particolari condizioni;

Risolvere problemi riconducibili ad equazioni di secondo grado.

A.4 Organizzazione dei contenuti

FASE 1: VERIFICA DEI PREREQUISITI: La verifica consistera in un que-

stionario con domande chiuse sul significato di incognita, parametro,

soluzione di un equazione, sulla definizione e sulle proprieta delle radi-

ci, riconoscere equazioni fratte e i corrispondenti campi di esistenza,

riconoscere tra piu scelte quale sia l’m.c.m giusto, stabilire se i principi

di equivalenza sono stati applicati in modo corretto.

DISCUSSIONE DEI QUESTIONARI: In questa fase si chiariranno gli

eventuali dubbi.

FASE 2: CLASSIFICAZIONE: Saranno forniti agli studenti esempi di equazioni

di secondo grado spurie e pure. Lo scopo e quello di guidare gli al-

lievi nella risoluzione delle equazioni senza fornire prima una formula

risolutiva generale. Gli esempi in questione saranno del tipo:

47x2 = 0; x2 − x = 0; x2 + 5 = 0

Una volta scritte le equazioni alla lavagna invitero gli alunni a riflettere

sul significato di “soluzione” e sul grado delle equazioni. Vorrei rilevare,

presentando il teorema fondamentale dell’algebra, che le radici possono

essere due distinte oppure due coincidenti oppure possono non esistere.

A questo punto presenterei la forma normale di un’equazione algebrica


completa di secondo grado nell’incognita x:

ax2 + bx + c = 0

per confrontarla con gli esempi forniti, attraverso i quali definire le

equazioni spurie (a �= 0; b �= 0; c = 0) e pure (a �= 0; b =

0; c = 0) soffermandomi, poi sul caso particolare a �= 0; b = 0;

c = 0. Dopodiche farei notare che il coefficiente deve essere in ogni

caso diverso da zero, altrimenti l’equazione si abbassa di grado. Com-

pletate queste riflessioni, si fornira uno schema riassuntivo scrivendo

le equazioni monomie, pure e spurie in forma generale con le relative

condizioni.

EQUAZIONI PURE E SPURIE: Finita la classificazione si procedera

ad una analisi delle soluzioni. Per le equazioni spurie chiedero agli

studenti di applicare la legge di annullamento del prodotto e faro os-

servare che esistono sempre due soluzioni, una delle quali e zero. Per

le equazioni pure ricorrero ai principi di equivalenza e ai radicali. Gli

alunni a questo punto del loro percorso scolastico sapranno che non si

puo estrarre la radice quadrata di un numero negativo e quindi si trat-

tera di sottolineare che non sempre ci sono soluzioni nel campo reale.

In altre parole l’equazione pura puo essere impossibile in R.

EQUAZIONE COMPLETA: FORMULA RISOLUTIVA E DISCRIMI-

NANTE: In questo caso la lezione sara frontale. Lo scopo sara quello

di trovare una strategia risolutiva per le equazioni complete. Daro la

dimostrazione della formula risolutiva e definiro il discriminante, sot-

tolineando che, quando e negativo, l’equazione non ha soluzioni reali.

Prima di presentare la forma risolutiva ridotta farei delle esercitazioni

in classe per consolidare il metodo di risoluzione.

ESISTENZA DELLE SOLUZIONI E SEGNO DEL DISCRIMINAN-

TE: In questa fase mi avvarro di strumenti informatici poiche vorrei che


gli alunni risolvessero un numero molto cospicuo di equazioni. Adope-

rero applet java poiche la classe e di indirizzo P.N.I e dovra program-

mare nel suddetto linguaggio nel corso del triennio e perche queste

applicazioni possono essere usate senza alcun prerequisito. L’applet e

un’applicazione attiva che permette allo studente di interagire con il

computer. In particolare, realizzero un applet che dara la possibilita

agli studenti di inserire i coefficienti e di ottenere il calcolo del discri-

minante e delle soluzioni in tempi diversi, in modo da poter discutere

prima sul discriminante e poi sulle soluzioni. I risultati verranno vi-

sualizzati in forma tabulare. La scelta del registro tabulare permettera

agli studenti di leggere i dati e verificare che al variare del discriminante

avremo casi in cui le soluzioni saranno reali e distinte, reali ed uguali

oppure non ci saranno soluzioni reali.

SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO, RE-

LAZIONI TRA LE SOLUZIONI ED I COEFFICIENTI DI UNA EQUA-

ZIONE DI SECONDO GRADO E LA REGOLA DI CARTESIO: Gli

studenti, in realta hanno gia scomposto alcuni trinomi di secondo gra-

do ed in particolare sanno scomporre il trinomio speciale x2 + sx + p a

coefficienti interi, con s = x1 + x2 p = x1 · x2. Alcune volte pero non

e facile determinare, anche se esistono. E necessario cercare le radici

dell’equazione ad esso associata. Attraverso lezioni guidate, nell’ipotesi

in cui il discriminante non sia negativo, si arrivera alla relazione tra le

soluzioni x1, x2 ed i coefficienti a, b, c

(x1 + x2 = − b

a; x1 · x2 =

c

a

).

Note queste relazioni si dimostrera che ax2+bx+c = a(x−x1)·(x−x2).

Inoltre, sempre sfruttando le relazioni suddette e conoscendo i segni dei

coefficienti, arriveremo a stabilire, enunciando il teorema dei segni di

Cartesio, i segni delle radici senza risolvere le equazioni.

EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE: Dopo che la classe avra preso

dimestichezza nella risoluzione delle equazioni di secondo grado, pos-


siamo passare alle equazioni fratte. Poiche, in questo tipo di equazioni,

non introdurremo alcun elemento teorico nuovo faremo delle eserci-

tazioni in classe e chiamero alla lavagna uno degli alunni per la riso-

luzione. Ribadiremo i concetto di condizione di esistenza delle singole

frazioni e la discussione per escludere gli eventuali valori che annullano

anche un solo denominatore.

CONTROLLO: si proporra una verifica sommativa, che verra successi-

vamente corretta in classe;

FASE 3: EQUAZIONI PARAMETRICHE: Si svolgera un ripasso della definizio-

ne di equazione parametrica. In una equazione di secondo grado para-

metrica ridotta in forma normale non si devono ricercare le soluzioni

bensı quei valori del parametro che verificano alcune condizioni. In

particolare ci occuperemo di stabilire per quali valori del parametro la

somma delle soluzioni e s, oppure il prodotto delle soluzioni e p, dove

p e s sono valori noti, oppure ci occuperemo di stabilire quando una

soluzione e nulla, quando sono una l’inversa dell’altra oppure una l’op-

posta dell’altra.

RISOLUZIONE DI PROBLEMI: Si proveranno a risolvere problemi

riconducibili ad equazioni di secondo grado sia di tipo algebrico che di

tipo geometrico.

UN ACCENNO STORICO: In questa fase vorrei sottolineare che fin

dai tempi dei Babilonesi vi sono tracce di algebra, anche se priva di

un’efficace espressione simbolica delle tecniche algebriche. Infatti nel-

l’algebra babilonese non esisteva alcun strumento simbolico completo,

solo in qualche caso l’incognita veniva indicata mediante simboli spe-

ciali. Ad esempio, per indicare incognite di primo, secondo e terzo


grado utilizzavano rispettivamente i termini lunghezza, area, volume.

Ma i matematici babilonesi sembravano consapevoli del valore esclusi-

vamente indicativo di tali termini.

ESEMPIO DI RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO

GRADO: I babilonesi erano in grado di risolvere equazioni di secondo

grado, anche se non avevano uno studio sistematico e generale delle

equazioni; per questo motivo esaminavano i singoli casi. Sono frequenti

gli esempi in cui venivano impiegate equazioni di secondo grado per la

risoluzione di problemi di vario tipo. In particolare venivano conside-

rate questioni come quelle di determinare due numeri conoscendone la

somma ed il prodotto . Riportiamo un esempio di risoluzione di un’e-

quazione di secondo grado, naturalmente la notazione impiegata sara

moderna.

Trovare i due numeri a,b sapendo che la loro somma e 8 ed il

loro prodotto e 12 Le posizioni sono:

a = 4 + δ; eb = 4 − δ infattia + b = 8

Sapendo che a · b = 12 si ottiene sostituendo

a · b = (4 + δ) · (4 − δ) = 12 ⇒ 16 − δ2 = 12

. Ed otteniamo, considerando solo le radici positive, poiche i babilonesi

non avevano i numeri negativi

δ2 = 4 ⇒ δ = 2

da cui

a = 4 + δ = 6; b = 4 − δ = 2


ALTRI ESEMPI:

- L’esempio in questione (Bombelli in l’algebra, 1572) chiede di uti-

lizzare l’area dello gnomone, che e la parte della figura evidenziata

in grigio, per risolvere l’equazione x2 + bx = c.

Lo gnomone ha area x2 + bx uguale alla differenza dell’area del

quadrato costruito sull’ipotenusa

(x +

b

2

)e quella del quadrato

costruito sul cateto

(b

2

). Se x2 + bx = c2, costruito il triangolo

rettangolo di ipotenusa

(x +

b

2

)e cateto

(b

2

)l’altro cateto vale

c (per il teorema di Pitagora) e quindi noti b e c si puo costruire

l’ipotenusa

(x +

b

2

)da cui si ricava x.

- PROBLEMI RELATIVI AL CALCOLO DI UN INTERESSE: Lo

scopo e quello di trovare la somma in danaro, da restituire o da

ricevere dopo un determinato periodo di tempo. Per facilitare la

A.5 Valutazione 65

comprensione del problema utilizzeremo l’interesse annuo e per

ricorrere alle equazioni di secondo grado faremo riferimento alla

capitalizzazione composta. Ad esempio, dopo aver spiegato che,

se il tasso di interesse annuale e i, l’interesse maturato dopo un

anno e I = C · i possiamo, dato un capitale iniziale, calcolare

l’interesse su quel capitale dopo due anni: dopo il primo anno il

capitale finale sara C1 = C + I1 = C + C · i.Alla fine del secondo anno si avra:

C2 = C1 + I2 = C + C · i + (C + C · i) · i = C + 2C · i + C · i2

o anche C(1+ i)2. Se si conoscono il capitale finale C2 e il capitale

iniziale C, si potra ricavare il tasso i impostando l’equazione di

secondo grado C2 = C(1 + i)

CONTROLLO: Verifica sommativa finale relativa alle equazioni para-

metriche e alla risoluzione di problemi di secondo grado. In particolare

ci occuperemo, per le equazioni parametriche, di stabilire per quali va-

lori del parametro la somma delle soluzioni e s, oppure il prodotto delle

soluzioni e p, dove p e s sono valori noti, oppure ci occuperemo di sta-

bilire quando una soluzione e nulla, quando sono una l’inversa dell’altra

oppure una l’opposta dell’altra oppure quando la somma dei quadrati

o dei cubi delle soluzioni e un certo valore; per i problemi, si trattera

di applicare i teoremi di Euclide, Pitagora e i criteri di similitudine.

A.5 Valutazione

“Il termine valutazione ha due accezioni una generica, riconducibile a pre-

visione, stima, apprezzamento,...ed una pedagogica che recita: <<Acquisizione

di dati e informazioni che permettono di verificare l’efficacia di un intervento

educativo e il profitto di un allievo>>”[4]. Dunque la verifica dell’attivita di

insegnamento apprendimento e di fondamentale importanza perche permette

66 A Allegato B

al docente di individuare le eventuali cause dell’insuccesso scolastico e all’al-

lievo di rendersi conto se effettivamente ha raggiunto gli obiettivi richiesti e

eventualmente colmare le lacune.

La valutazione sommativa serve per cosı dire a “tirare le somme” di un de-

terminato lavoro. E un tipo di valutazione che vuole sintetizzare i diversi

apprendimenti specifici e verificare se sono stati raggiunti gli obiettivi. Spes-

so e legata ad un voto oppure ad un aggettivo, e serve anche per comunicare

con la famiglia.

Le verifiche sommative saranno due: una sulle tecniche di risoluzione delle

equazioni di secondo grado e l’altra sulla risoluzione di problemi riconducibili

ad equazioni di secondo grado. In previsione della prova verranno effettuate

esercitazioni in classe per recuperare le eventuali lacune.

Per la valutazione si terra conto anche degli interventi e dell’impegno per-

sonale dell’allievo a questo scopo utilizzero la tecnica dell’osservazione del-

l’allievo durante l’attivita di apprendimento. “Questa tecnica si presta per

valutare come l’allievo si muove di fronte ad una situazione nuova, nella ne-

cessita di dover analizzare, tentare, prendere decisioni, intuire, dedurre”. I

criteri di valutazione saranno esplicitati agli alunni in modo chiaro.

Vorrei concludere con le parole della Prof.ssa M.I. Fandino Pinilla

“La valutazione non e ristretta ad un punto o a una certa azione, ma e attua-

ta lungo tutto l’arco del processo di insegnamento-apprendimento, dato che e

essa stessa come parte integrante di tale processo. La valutazione e dunque

continua e globale”.[4]

Appendice B

Test prerequisiti e verifiche

sommative

B.1 Test prerequisiti

NOME.............COGNOME....................CLASSE...............DATA........

1. Nell’equazione 6x=3 il termine noto e

A) 6

B) 3

C) la x

D) lo 0

E)6

3

67

68 B Allegato B

2. L’equazione ax=b con a=0 b>0 oppure b<0

A) e determinata

B) e indeterminata

C) e impossibile

D) non e un’equazione

E) e un’identita

3. Le equazioni: 3x=6; 2x-1=x+3;

A) sono equivalenti

B) non sono equivalenti

4. Quanti sono i ragazzi di un club sportivo se la meta di questi

pratica il tennis, 1/4 il nuoto, 1/9 la ginnastica ritmica e 5 il

basket se ognuno pratica un solo sport?

A) x + 2 + 4x − 9x = 5

B) x − 2x − 4x − 9x = 5

C) x − x2− 1

4x − 1

9x = 5

D) x2− 1

4x − 1

9x = 5 + x

E) x − x2− 1

4x − 1

9x = 5 − x

5. L’uguaglianza 3x-1=4 rappresenta:

A) un’identita

B) una uguaglianza letterale

C) un’equazione

D) una proporzione

B.1 Test prerequisiti 69

6. Che cosa si intende per identita

A) una uguaglianza che risulta verificata solo per determinati valori

delle lettere che vi compaiono

B) una uguaglianza letterale qualsiasi

C) una uguaglianza che risulta verificata per qualsiasi valore delle

lettere che vi compaiono

D) una uguaglianza che risulta verificata per qualsiasi valore delle let-

tere che vi compaiono purche tali valori appartengano all’insieme

dei numeri naturali

E) una uguaglianza che risulta verificata solo per determinati valo-

ri delle lettere che vi compaiono purche tali valori appartengano

all’insieme dei numeri naturali

7. L’equazione 4=2x-x-x

A) e indeterminata

B) e impossibile e indeterminata

C) e impossibile

D) e determinata

E) non e una equazione ma e un’identita

8. L’equazione ax=b con a,b=0

A) e determinata

B) e indeterminata

C) e impossibile

D) non e un’equazione

E) e un’identita

70 B Allegato B

9. L’uguaglianza 11x-3x=8x rappresenta

A) un’identita

B) una uguaglianza letterale

C) un’equazione

D) una proporzione

10. Il primo principio di equivalenza ci consente di:

A) spostare un termine da un membro all’altro pur di cambiargli il

segno

B) di aggiungere solo al primo membro un termine positivo

C) di annullare i termini uguali in uno stesso membro

11. Il secondo principio di equivalenza ci consente di:

A) moltiplicare primo e secondo membro per una stessa quantita

diversa da zero

B) di moltiplicare primo e secondo membro per una quantita uguale

a zero

C) di dividere primo e secondo membro per una stessa quantita uguale

a zero

D) di moltiplicare primo e secondo membro per numeri arbitrari e

diversi tra loro

12. Data l’equazione2 − 3x

2 + 3x=

3x + 2

3x − 2− 1 individua, senza fare

calcoli l’insieme delle soluzioni

A) S =

{2

3

};

B.1 Test prerequisiti 71

B) S =

{0;

2

3

};

C) S =

{−2

3;2

3

};

D) nessuna delle precedenti.

13. individua nella risoluzione dell’equazionex2 − 4

x − 1= x − 2x + 1

x − 1eventuali errori:

x2 − 4

x − 1=

x(x − 1) − (2x + 1)

x − 1C.E.x �= 1

x2−4 = x2−x−2x−1 ⇒ 3x = 3 l’equazione ha un’unica soluzione x = 1.

14. Indica quali tra queste sono equazioni fratte

A)a + b + 5

abx− 2

ab − b2= 0

B)a + b + 5

ab− 2

ab − b2

C) 25

(x − 2

5x

)− 25

3x =

[5x(m − 1) − 5]

3

15. Quali radicali puoi calcolare in R

A) 3√

8

B) 4√

16

C) 4√−1

D) 3√−8

16. Riconosci quale e il m.c.m giusto tra:

[(a + b)2]; a + b + x; a + b − x;

72 B Allegato B

A) (a + b)2 + x2

B) (a + b + x)2

C) a2 + 2ab + b2 − x2

17. Trovare il campo di esistenza di una equazione fratta significa

A) eliminare i denominatori

B) moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il m.c.m tra i

denominatori

C) escludere tutti quei valori dell’incognita che annullano i denomi-

natori

B.2 Prima verifica sommativa 73

B.2 Prima verifica sommativa

1. Risolvi e classifica le seguenti equazioni di secondo grado

a)(√

2x +√

5)2 = (2√

3 − 2x)2 − 7

b)(x√

2 − 3)2 + 5

5 − 2x√

2= 5

c)x(x −√2) = x(1 −√

2) + 2 +√

2

2. Spiega perche l’equazione pura ax2 + c = 0 non e sempre possibile nei

reali ed indica le soluzioni

3. Semplifica utilizzando la scomposizione di un trinomio di secondo grado

x2 − 3√

3x + 6

x2 − 12

4. Quando un’equazione di secondo grado completa ha soluzioni reali e

coincidenti? Quando reali e distinte?

5. Risolvi le seguenti equazioni fratte:

a)x + 3

√3

x − 3√

3+

x − 3√

3

x + 3√

3− 1 =

√3(x + 27

√3) + 2(

√3 − x)

x2 − 27

b)3 + x

x − 3+

x2 − 3

3 − x= −2

74 B Allegato B

B.3 Seconda verifica sommativa

1. Nell’equazione: x2 + (5k + 1)x + 9k = 0 determina k in modo che

a) le soluzioni siano reali e coincidenti b

b) la somma dei reciproci delle soluzioni sia 1/2

c) le soluzioni siano reciproche

d) una soluzione sia nulla

e) le soluzioni siano opposte

f) 2x2 = x1 + 1

2. In un rombo la diagonale maggiore supera di 4a quella minore. Sapen-

do che l’area del rombo e 6a2 calcola l’altezza del rombo.

3. Nel triangolo rettangolo ABC rettangolo in C, l’ipotenusa misura 4√

5cm.

Determinare il perimetro del triangolo sapendo che l’asse del segmen-

to AB interseca il cateto maggiore AC nel punto D che dista 3cm da C.

4. Nel triangolo isoscele ABC di base AB, il lato BC supera di 5a la

misura della meta di AB. Sul prolungamento della base AB, dalla

parte di B, si consideri un punto P in modo che sia BP = 10a. Sapen-

do che il triangolo APC e rettangolo in C, calcolare il perimetro e l’area

del triangolo ABC.

5. Nel trapezio ABCD rettangolo in A e D, la base minore CD e 8cm

ed il punto E di AD dista 16cm da D. La parallela ad AB condotta

da E, interseca BC nel punto F distante 20cm da C. Determinare

il perimetro del trapezio assegnato sapendo che la sua area e 310cm2.

(Facoltativo)

Bibliografia

[1] B. D’Amore, Elementi di didattica della matematica. Pitagora Editrice

Bologna, 1999.

[2] B. D’Amore, J.D. Godino, G.Arrigo, M.I. Fandino Pinilla, Competenze

in matematica. Pitagora Editrice Bologna, 2003.

[3] UMI 2003, nucleo “Risolvere e Porsi problemi”.

[4] M.I. Fandino Pinilla, Curricolo e valutazione. Pitagora Editrice Bologna,

2002.

[5] A. Barella, L. Brogonzoli, Insegnare oggi: guida operativa. Tramontana,

1990

[6] G.T. Bagni, Problemi di secondo grado nella matematica antica. Ar-

ticolo tratto da: Journal for the Intercultural and Interdisciplinary

Archaeology, 2003

[7] R.Ricci, Algebra e Cabri-geometre, tratto da quaderni di

CABRIRRSAE, n◦ 5

[8] A.Vistoli, Note di Algebra

[9] I.N Herstein, Algebra. Editori Riuniti Roma, 1995

75

Ringraziamenti

Vorrei ringraziare tutte le persone che mi hanno auitata a concludere

questo lungo e difficile percorso formativo.

Vorrei ringraziare la Professoressa Zucchini per la pazienza e la costanza

con cui mi ha seguito, per tutte le volte che mi ha spronato per portare

a termine nei tempi giusti e nel modo giusto tutti gli impegni di questo

anno di tirocinio. Vorrei ringraziare il Professor Salmon fonte inesauribile

di sapere, per la sua gentilezza e disponibilita. Vorrei ringraziare di nuovo

la Professoressa Chiarini, che e stata per me un ottimo modello da seguire.

Grazie a tutti i ragazzi della II A che hanno ascoltato e assimilato le mie

spiegazioni.

Grazie a tutti!

Alla Professoressa Chiarini e ai ragazzi della II A per l ... filein un esperienza di insegnamento...

Documents

Transcript of Alla Professoressa Chiarini e ai ragazzi della II A per l ... filein un esperienza di insegnamento...