ALGEBRA

Difficoltà di apprendimento e

Problemi didattici

Esempi di difficoltà• Non si applicano le conoscenze computazionali

algebriche (anche buone…) al problem solving• Spesso le formule hanno per gli allievi significati

"inventati", anche pseudo-coerenti…• Non sanno usare l'algebra come strumento per

comprendere, individuare e comunicare correlazioni, svelare relazioni strutturali,… ma solo come uno strumento di "calcolo"

• In ogni caso lo studente non si sente "padrone" del procedimento

Ciò che distingue l'algebra in modo essenziale dall'aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma nell'individuare il sistema delle operazioni da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una formula; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l'algebra come l'arte di determinare le incognite come funzioni di quantità note o che si considerano tali.

(Lagrange)

TRE Assi concettuali

• Linguaggio naturale Struttura simbolica

• Semantica Sintassi

• Aspetto relazionale Aspetto procedurale

Linguaggio naturale Struttura simbolica

• Nella scuola dell’obbligo è spesso il linguaggio a guidare il pensiero:

“Se un etto di prosciutto costa 3.50 euro quanto costano 3 etti?” :

3,50 [:1] x 3 = 10,50.

2x+3=7 x= 2 .

• Oltre un certo livello non funziona più:

“Se 2/3 di una certa quantità sono pari a 3,50, quanto valgono 4/7 della stessa quantità ?”:

3,50 : (2/3) x (4/7) = 3.

2x+3=5x-6 x= 3 .

Sintassi Semantica• Nel linguaggio naturale (e in quasi tutte le altre

materie scolastiche…) il controllo semantico è essenziale e viene naturale.

• In algebra è spesso la sintassi a guidare, la semantica segue !

Es. Il gioco dell’indovino• La sintassi invece è importnate, a volte permette

“scoperte” che la semantica non consente

Es. Il quadrato magico

INDOVINARE UN NUMERO– Pensate un numero 6

– Moltiplicate per 5 30

– Sommate 3 33

– Moltiplicate per 4 132

– Aggiungete 12 144

– Moltiplicate per 5 720

Ora ditemi il risultato ed io indovinerò il numero che avete pensato 720 6

x 5x 5x + 3 4(5x+3) = 20x+12 20x + 12 + 12 = 20x + 24 5(20x+24)=100x+120

QUADRATO MAGICO

Somma = 15

5

4 2

QUADRATO MAGICO

8 1 6

3 5 7

4 9 2

QUADRATO MAGICO

Somma =S , ma a,b,c, S qualsiasi ?

b

a c

QUADRATO MAGICO

S = (b+c-a) + b + (a+b-c) = 3b

3

S-b-c

2

S-a-b

4

S-(S-b-c)-a=

b+c-a

b

5

S-(S-a-b)-c=

a+b-c

a

1

S-a-c c

Aspetto relazionale Aspetto procedurale

• Variabile • Costante• Incognita• Parametro...• E’ collegato alla classica differenziazione analisi

sintesi

Es. Dimostrazione geometrica o algebrica che

(a+b)2= a2+b2+2ab

Es. Risoluzione e verifica di un’equazione.

Formalismo algebrico

• Funzione stenografica

tremila più quattromila fa settemila 3000+4000=7000

la velocità di un corpo a un dato istante t0 è pari al limite del rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, quando tale intervallo di tempo tende a 0 in prossimità di t0 v(t0) = s'(t0)

Formalismo algebrico

• Funzione di sintesi e generalizzazione

criteri di divisibilità,

per ogni numero dispari (n2-1) è divisibile

per 8,

polinomio di Taylor d una generica funzione

Formalismo algebrico• Funzione di trasformazione

partendo dalla formula Cn= Cn-1 +i Cn-1 , si ricava agevolmente per induzione che

Cn=(i+1)n C0 , da cui è facile ricavare un dato in funzione dell'altro…

(C0 e Cn rappresentano il capitale iniziale e quello al tempo n, dato l'interesse unitario i)

formule di derivazione

Esempi di errori• Deviazioni nell'uso o nella verbalizzazione

del formalismo (uso del segno = : per es. 75:2=37,5+12,5=50 …, limite "di" x tendente a… , sommatoria "di" x che va da… a … di…)

• Errori formali (es. di segno in equazioni, prodotto, parentesi,…)

• Difficoltà di direzione del lavoro

risolvere x(x2+3x-5)+3(x2+3x-5)x2=0

• Uso di una stessa lettera per indicare variabili diverse

nel linguaggio naturale :"Un trapezio è equivalente alla metà di un rettangolo tale che…" o (peggio ancora) "Il numero dei divisori del numero 60 è il massimo numero di divisori fra tutti i sistemi di divisori di ogni numero minore di 100, e questa può essere stata la ragione della scelta del numero 60 come base di un sistema di numerazione…"

• Estensione indebita di proprietà

(a+b)2= a2+b2 in analogia con 2(a+b)=2a+2b, oppure similmente f(x+h)=f(x)+f(h)

• Mancanza di collegamento fra una data formula o simbolo algebrico e l'oggetto rappresentato (anche nelle applicazioni alla scienza o alla fisica)

• Mancanza di consapevolezza e controllo sui meccanismi di trasformazione (da qui l'incapacità di capire che due formule diverse esprimono la stessa quantità o la disponibilità a passaggi acritici e semplificazioni…)

Abilità algebriche “auspicabili” (1)

• analizzare un'espressione algebrica per fare stime approssimative degli schemi che emergeranno nella loro rappresentazione numerica e grafica

• saper eseguire confronti (argomentati…) degli ordini di grandezza per funzioni con regole del tipo k, k2,k3,…

Abilità algebriche “auspicabili” (2)

• saper analizzare una tabella di valori o il grafico di una funzione per

- interpretare condizioni enunciate verbalmente

- identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che corrisponda a tale tabella o tale grafico

Abilità algebriche “auspicabili” (3)

• analizzare le operazioni da eseguire e predire la probabile forma del risultato (o viceversa, analizzare il risultato per individuarne la correttezza…)

• determinare quale fra le diverse forme potrebbe essere la più adatta per rispondere a una certa domanda.

E le abilità "più basse", quelle computazionali di base?

Senso dell'algebra calcolo algebrico

• Non è "dimostrato" alcun rapporto diretto causa-effetto fra i due: non si se uno provochi l'altro e quale….

• E' però certo il fallimento di una pratica di non integrazione fra i due, trascurando la costruzione del senso dei simboli matematici, cioè del nesso fra segni e concetti, provocando un approccio squilibrato alla matematica.

Senso dell'algebra calcolo algebrico

• Puntare sul "senso", sui concetti significa sperare [troppo ?] in un adeguamento automatico del linguaggio simbolico ai concetti.

• Puntare sulla prassi di calcolo significa sperare [vanamente ?] che dall'uso continuo delle competenze segniche nasca (da sé ?) un'acquisizione dei concetti retrostanti.

L'algebra è un codice convenzionale, ma non arbitrario, in quanto è un prodotto culturale e condiviso. La comprensione del codice algebrico coinvolge aspetti cognitivi corrispondenti ai "meccanismi di comprensione delle regole del gioco". In generale si apprende un codice convenzionale solo a livello di mediazione sociale: afferro una regola in quanto interiorizzo le funzioni di un sistema notazionale socialmente condiviso.

• apprendimento di un linguaggio di programmazione o di un software

• bottega d'arte rinascimentale…

Spunti per una “bottega algebrica”• Situazioni ricche e stimolanti usando anche

una calcolatrice o un software (dato un grafico o una tabella, costruire una formula…)

• Invitare a discutere la sequenza di passaggi, il loro senso,…

• Provocare discussioni

• Ristrutturare il "contratto didattico": non solo costruire "identità" ma "identità false", passaggi "sbagliati",…

Problema 1

• Si consideri un rettangolo. Come cambia la sua area se si aumenta un lato del 10% e si diminuisce l'altro del 10% ?

Problema 2

• È noto [in generale agli studenti…] cosa rappresenti l'equazione y=mx+n e cosa si ottenga se pongo m=2 ed n=3: la retta y=2x+3 …. Ma cosa succede se in y=mx+n pongo y=2 e x=3 ? Cosa rappresenta 2=m3+n ?

Problema 3

• Dimostrare che dato un numero di quattro cifre, facendo la differenza fra esso e il suo "trasposto" (quello con le stesse cifre scritte in ordine inverso), si ottiene sempre un numero divisibile per 11.

• [Più in generale, dimostrare un qualunque criterio di divisibilità]

Problema 4

• Decidere la tariffa più conveniente per il proprio telefonino