Rev. 7marzo2005AppuntidiAlgebraAstrattaBasilioBonaDipartimentodiAutomaticaeInformaticaPolitecnicodiTorino11.1 IntroduzioneLostudioastrattodei gruppi, necessario, adesempio, percaratterizzarelanozionedi rotazione utilizzata in robotica, in cinematica e nella computer vision, come purelenozioni di spaziovettoriale, di spazioproiettivoedellealgebrevettoriali, richie-de unintroduzione preliminare alle strutture algebriche pi` u generali. In particolare,partiremo dalle denizioni di gruppoide, monoide, gruppo, anelloe campo, per inqua-drareteoricamentelestrutturealgebricheastratteinununicoschemaconcettuale.Il lettoreinteressatopotr`atrovarematerialedi approfondimentoin[4], [5] e[6]; inInternet, il sito[1] rappresentaunbuonpuntodi partenzapercercaredenizioni,esempi, materiale storico e bibliograco sullAlgebra Astratta.1.2 GruppoideUngruppoide (ininglesegrupoid)`eunadellestrutturealgebrichepi` ugenerali, evienedescrittocome (; , consistenteinuninsieme (di elementi qualsiasi ediunoperazionebinariaooperatorebinario,indicatadalsimbolo ,chenonsirichie-deessere, ingenerale, neassociativa, necommutativa, masolochiusarispettoaglielementi di (, ossiasea, b (, allora anchea b = c (.Loperatore non `e assimilabile ad una somma o ad un prodotto, in quanto pu`oessere qualcosa di molto generale,come loperazione di concatenazione tra stringhe,il massimo comun divisore tra due interi, il resto di una divisione, la proiezione in unsottospazio geometrico eccetera. Tuttavia quando `e riconducibile ad una somma, ilgruppoide si dice additivo, mentre se `e riconducibile ad un prodotto, il gruppoidesi dice moltiplicativo.Le propriet`a di un gruppoide sono comunque troppo generali per essere di qualcheinteresse; occorre arricchire la struttura algebrica con altri assiomi.1.3 SemigruppoNel semigruppo si introduce la propriet`a associativa delloperazione . Un semigruppoo gruppoide associativo (in inglese semigroup) `e un gruppoide (; in cui loperatore`e associativo, ossiasea, b, c (, alloraa (b c) = (a b) cNon `e richiesta la presenza di un elemento neutro, come accade per il monoide, o diun elemento identit`a, come invece accade per il gruppo.1.4 MonoideNel denire un monoide si aggiunge agli assiomi del semigruppo quello di esistenza diun elemento neutro nei confronti delloperazione .2Un monoide (in inglese monoid) `e un semigruppo /; , u dotato di un elementoneutro(o elemento identit`ao elemento unit`a) rispetto alloperazione , indicato conu, tale chea /, a u = u a = a.Spessolelementoneutrovieneindicatoconil simbolo0seloperazione `ericon-ducibileallasomma, oppureconil simbolo1seloperazione `ericonducibilealprodotto. Qui nonsi ipotizzaancoralesistenzadi unelementoinverso, cheinveceviene introdotto tra gli assiomi che deniscono il gruppo.1.5 GruppoIl gruppo (in inglese group) ( `e una struttura algebrica denita dagli assiomi del mo-noide, ai quali si aggiunge quello dellesistenza dellelemento inverso. Questa propriet`arende il gruppo sucientemente ricco di struttura per rappresentare numerosi entimatematici alla base della sica matematica e dellingegneria.Un gruppo `e un monoide (; , u, a1, dotato dellelemento inversoa1:a (esiste un elementoa1, detto inversodia, tale chea a1= a1 a = u.In particolare, sea a1= u, linverso si dice destro, se invecea1 a = u, linversosi dice sinistro.Se loperatore `e la somma, linverso dia si indica pi` u comunemente con a; seinvece `e il prodotto, linverso dia si indica cona1.La presenza dellinverso fa s` che ogni gruppo debba contenere almeno un elemento.Gruppo Commutativo Un gruppo ( si dice commutativo oppure abeliano, in ono-re del matematico norvegese Niels Abel (18021829), se gli argomenti delloperazione possono commutare, ossiaa, b (, a b = b a.In questo caso, linverso destro coincide con linverso sinistro.EsempiGli insiemi Z, Q, ReC, rispettivamentedei numeri interi, razionali, reali ecomplessi,formanoungruppocommutativorispettoalloperazionedisomma,dove +.Gli insiemi Q, ReCrispettivamente dei numeri razionali, reali e com-plessi nonnulli, formanoungruppocommutativorispettoalloperazione dimoltiplicazione, dove .Linsieme GL(n, R) delle matrici n ninvertibili, formanoungruppononcommutativo rispetto al prodotto matriciale.LinsiemeSXdi tutte le trasformazioni biiettive di un insiemeXin s`e stesso,formano un gruppo non commutativo rispetto alloperazione di composizionedelle trasformazioni; ovvero (f g)(x) = f(g(x)).3Le rotazioni in uno spazio tridimensionale formano un gruppo non commutativorispetto al prodotto matriciale. Tale gruppo `e detto gruppo(speciale)dirota-zione (ortonormale). e si indica conSO(3) =

R R33[ RTR = I, det R = +1

In inglese, si chiama Special Orthonormal group of dimension 3.1.6 AnelloUnanello(ininglesering) /`eunsistema /; +, di elementi a /, condueoperazioni+e ,chiamatesomma(oaddizione)eprodotto(omoltiplicazione),chesoddisfano i seguenti due assiomi:1. /, + `e un gruppo commutativo con elemento neutro indicato con 0, che vienechiamato gruppo additivo dellanello.2. /, `e un semigruppo.Questi assiomi implicano le seguenti propriet`a:propriet`a associativa rispetto alla somma:a, b, c /, (a + b) + c = a + (b + c)propriet`a commutativa rispetto alla somma:a, b /, a + b = b + aesistenza dellelemento neutro o identit`a rispetto alla somma:0 / a /, 0 + a = a + 0 = aesistenza dellelemento inverso rispetto alla somma:a / (a) /, a + (a) = (a) + a = 0propriet`a associativa rispetto al prodotto:a, b, c /, a(bc) = (ab)cpropriet`a distributiva del prodotto rispetto alla somma:a, b, c /, a(b + c) = (ab) + (ac)Un anello contiene sempre almeno un elemento.Pu`oessereinteressanteelencarelepropriet`achenonsonopossedutedaglianelli[6]:41. non `e richiesto che un anello possieda un elemento neutro o identit`a rispetto alprodotto. Se lo possiede, esso prende il nome di unit`a;2. nonsi esigelavalidit`adi alcunassiomadei quozienti; inparticolarese /`edotatodi unit`a, nonsi esigecheunelementononnulloa ,=0siadotatodiinverso (destro, sinistro o bilaterale);3. non si postula la propriet`a commutativa del prodotto;4. non si postula alcuna legge di annullamento del prodotto1: possono cio`e esistereanellidotatidielementi a ,= 0talicheab = 0,oppureba = 0perqualcheb ,= 0; questo implica anche che, seab =ac, non necessariamenteb =c. Sidice chea `e un divisore(sinistro) dello zero, essendob = a1 0, e cheb dividea destralo zero, essendoa = 0b1.5. nonsi richiedecheunelementononnulloa ,=0siadotatodi unelementoinverso.EsempiSi pensi allafamiliarealgebradellematrici, dovenonvaleingeneralelapropriet`a commutativa, dove esistono elementi non invertibili e dove `e possibiletrovare elementi non nulli il cui prodotto fornisce un elemento nullo; inoltre si sache in generaleAB = ACnon implicaB = C. Quindi linsieme delle matriciquadrate M Rnn, con n 2, forma un anello non commutativo con divisoridello zero [6, pag. 179].Linsiemedegliinteri Zformaunanello Z, +, conidentit`a,cheper`onon `eun anello di divisione (vedi Sezione 1.7).SiamuninteroemZ= n Z[ m dividensialinsiemedeimultipliinteridim. Allora mZ, +, `e un anello, ma privo dellidentit`a a meno che non siam = 1.1.7 CorpoSi denisce corpo un anello /, tale che nellinsieme / = /0 (ossia quando / siastato privato dellelemento nullo2) ogni equazione a x = b, oppure ya = b, ammettaalmeno una soluzionex = a1 b oppurey = ba1. Si pu`o dimostrare che / `e ungruppo.Possonoesisterecorpicommutativiecorpinoncommutativi; questiultimisonochiamati anche corpi sghembi, mentre i corpi commutativi sono conosciuti pi` u comu-nemente come campi. In inglese i corpi prendono anche il nome di anelli di divisione(division ring) o campi sghembi (skew eld).Tra gli esempi di corpi non commutativi o sghembi si possono citare i quaternioni.1laleggediannullamentodelprodottostabilisceche,datob = 0,sea b = 0,siaa = 0.2segueche Adevecontenerealmenodueelementi.51.8 CampoSe agli assiomi di un anello si aggiunge, con alcune cautele, lassioma dellesistenza diun elemento inverso anche per loperazione di prodotto, si ottiene il campo.Uncampo(iningleseeld) T`eunsistema T; +, di elementi Tedueoperazioni+e ,chiamatesomma(oaddizione)eprodotto(omoltiplicazione),chesoddisfa i seguenti tre assiomi:1. T, + `e un gruppo commutativo con elemento neutro indicato con 0. Il gruppoT, + `e detto gruppo additivodel campo.2. T, `e un gruppo commutativo con unit`au,indicata con il simbolo 1,doveT = T 0. Il gruppo T, `e detto gruppo moltiplicativodel campo.3. vale la propriet`a distributiva dirispetto a +, ossia, dati, , Tsi ha:( + ) = + che, per altro, era gi`a compresa tra gli assiomi degli anelli.Una denizione alternativa `e la seguente: un campo `e un anello di divisione (o camposghembo), con gruppo moltiplicativo commutativo.Si pu`oosservare, comeanticipatonellaSezione1.7, cheuncampo`euncorpocommutativo, sia per la somma, sia per il prodotto.Linverso rispetto alla somma si indica con ,mentre linverso rispetto al pro-dotto si indica con1.Esempi Tragli esempi pi` ucomuni di corpi si trovanoil corpodei numeri reali,indicati con Reil corpodei numeri complessi, indicati con C, noncheil corpodeinumeri razionali Q. Inquesti casi il genericoelementodi questi corpi prendeilnome di scalare, rispettivamente reale o complesso.1.9 AlgebraLa parola algebraderiva dal titolo Hisab al-jabr wal-muqabala di un trattato do-vutoal matematicopersianoMuhammedibnMusaAl-Khwarizmi3(circa780-850)che trattava per la prima volta metodi algebrici.Nelluso moderno, la parola assume diversi signicati, che possono riassumersi neiseguenti:1. Algebraintesacomemateriachesi insegnanellescuolemedieinferiori esu-periori, distinguendoladallageometria, echetrattadi equazioni polinomiali,funzioni di unaopi` uvariabili, di massimi eminimi ecc. Lasi chiamaanchealgebra elementare o aritmetica.2. Lalgebra che studia il sistema dei numeri e le loro propriet`a, utilizzando i con-cettidigruppo, anello, coomologia, teoriadegliinvariantiecc. Essaprendeilnome di algebra astratta.3ilcuinomedistortodiedeorigineallaparolaalgoritmo.63. Lalgebracheindica, pi` utecnicamente, unaparticolarestrutturaformale: inparticolareunospaziovettorialedenitosuuncampo, conunoperatorepro-dotto.Anoi interessail terzosignicatoequindi, perdenireformalmenteunalgebra, `enecessario denire prima il concetto di spazio vettoriale.7Capitolo2SpazieAlgebreVettorialiPassiamo ora a denire la struttura di uno spazio vettoriale, i cui elementi rappresen-tanoleentit`api` uinteressantiedutiliperlostudiodellameccanica,dellelettroma-gnetismo e, in generale, di molti settori della sica classica e moderna.2.1 SpaziVettorialiDatouncampoqualsiasi T, lospaziovettoriale (ininglesevectorspace)V(T), `elinsieme di quegli elementi, chiamati vettori , che indicheremo dora in avanti con unalettera minuscola in grassetto, come ad esempiov.I vettori soddisfano le seguenti propriet`a assiomatiche:1. `e denita loperazione +, detta somma vettoriale, tale che V(T); + forma ungruppo abeliano; lelemento identit`a `e chiamato 0;2. per ogni scalare Te ogni vettore v V(T), esiste un vettore (prodotto perscalare)v V(T);3. per ogni, Te ogniv, w V(T) valgono le seguenti propriet`a:propriet`a associativa rispetto al prodotto per scalare:(v) = ()vpropriet`a distributiva rispetto alla somma vettoriale:(v +w) = v + wpropriet`a distributiva rispetto al prodotto per scalare:( + )v = v + vEsistenza dellidentit`a rispetto al prodotto per scalare:1(v) = v; v8Se T = R, lo spazio vettoriale `e detto reale, mentre se T = C, `e detto complesso.Abbiamo detto che gli elementi di uno spazio vettoriale si chiamano vettori; nondobbiamo commettere lerrore di identicare questi generici elementi con i vettori acui siamo abituati, cio`e i classici segmenti orientati nello spazio, dotati di direzione,modulo e verso.Adesempio, lameccanicaquantisticaconsideravettorilematrici reali 22eleindicaconilsimbolo [v); talimatricinonpresentanoneunadirezione, neunalunghezza, tuttaviaobbedisconoagli assiomi chedenisconolospaziovettorialeequindi possono essere a ragione deniti vettori1.Tuttoci`opremesso, lesempioclassicodispaziovettorialereale `equellorappre-sentatodan-pledi reali, Vn(R) =Rn; inquesti casi unelemento(vettore)vienerappresentato per componentiv =v1v2...vn, v Rn, vi RPoichelepropriet`a(3) induconounastrutturalineare sullospazioV, essovieneindicato anche con il termine di spazio vettoriale lineare o semplicemente spazio lineare(iningleselinearvectorspaceosemplicementelinearspace). Inoltre, comesi pu`onotare, tra gli assiomi non compare alcuna operazione di prodotto.Per questo motivo la strutturadello spazio vettoriale, ossia linsieme di propriet`ache derivano dagli assiomi, non permette di denire concetti geometrici quali langolo ola distanza, che invece sono impliciti nella denizione puramente geometrica di vettore.Per consentire di denire tali concetti `e necessario dotare lo spazio vettoriale di unastruttura quadratica o metrica. Lintroduzione di una metrica in uno spazio vettorialegenera unalgebra che rende possibile lesecuzione di calcoli su oggetti geometrici. Lametrica pi` u comune `e quella indotta dalla denizione di prodotto scalare.Prima di passare alle denizioni dei vari prodotti, riassumiamo brevemente alcunepropriet`a delle funzioni lineari.2.2 FunzioniLineariDati due spazi vettoriali U(T) e V(T), che per comodit`a assumiamo deniti entrambisullo stesso campo T, una funzione L : U V si dice lineare, se per ognia, b U e Tvalgono i seguenti assiomiL(a +b) = L(a) +L(b) = La +LbL(a) = L(a) = La(2.1)Una funzione lineare L : U U viene chiamata anche operatorelineare,trasforma-zione lineareoppure endomorsmo(in inglese endomorphism).Linsieme di tutte le funzioni lineari L : U V forma uno spazio lineare L(T).1Inrealt`a,qualunquematrice Rmno Cmnpu`oesserepensatacomeunalistadimnelementiequindirappresentabilecomeunvettorein Vmn(R)o Vmn(C),vediTeorema2.2.1.9Linsieme delle funzioni lineari L : U U forma un anello, indicato con il simboloEnd(U).Ricordiamoinnechequalsiasifunzionelineareda Ua V `erappresentabileconuna matrice M Rmn, dove m e n sono le dimensioni (vedere pi` u oltre la denizionedi dimensione) rispettivamente di V e U.IndipendenzalineareBaseDimensioneDati n vettori qualsiasi ai V(T), un vettore generico v V(T) `e detto combinazionelinearedi a1, a2, . . . , an se esso pu`o essere scritto comev = 1a1 + 2a2 + nancon i T. Linsieme di vettori a1, a2, . . . , an `e detto linearmente indipendente senessun elemento ai pu`o essere scritto come combinazione lineare dei restanti aj, j ,= i.In altre parole, lunica soluzione dellequazione1a1 + 2a2 + nan = 0`e quella con1 = 2 == n = 0.datalacombinazionelinearev=1a1 + 2a2 +nan, setutti i vettori aisono linearmente indipendenti, allora gli scalari isono unici e prendono il nome dicoordinateo componenti div.Le combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti a1, a2, . . . , ak,conk n, formano un sottospazio S(T) V(T). Si dice che questo sottospazio `e copertoo descritto(in inglese spanned) da a1, a2, . . . , ak.Ogni insieme di vettori a1, a2, . . . , an che risulti linearmente indipendente, for-ma una basein V. Tutte le basi in V hanno lo stesso numero di elementi (nel nostrocason),equestonumeroprendeilnomedidimensionedellospazioesiindicacondim(V).FunzioneiniettivaLa funzione o trasformazione f: A B, tra due insiemi generici A e B si dice essereiniettiva(in inglese injectiveoppure one-to-one function) sea,b A, f(a) = f(b) implica a = bossiaadogni elementodellimmagine Adellafunzionecorrispondeunoedunsoloelemento del dominioBdella funzione.FunzionesuriettivaLa funzione o trasformazione f: A B, tra due insiemi generici A e B si dice esseresuriettiva(in inglese surjectiveoppure onto function) sef(A) = Bossialatrasformazionedel dominiodellafunzionecopre (ininglesespans)ovverocoincide integralmente con lintera immagine.10FunzionebiiettivaLa funzione o trasformazione f: A B, tra due insiemi generici A e B si dice esserebiiettiva(in inglese one-to-one correspondence) sef`e contemporaneamente iniettivae suriettiva.MorsmoPrendiamoduestrutturealgebrichedellostessotipouniversale(come, adesempio,duegruppi, dueanelli, oduealgebre), Ae }. Deniamomorsmounagenericatrasformazione tra Ae }.IsomorsmoLisomorsmo `e un morsmo biiettivo.In particolare, dati due spazi vettoriali U(T) e V(T), deniti sullo stesso campo T,questi si dicono isomor, se tra loro sussiste un isomorsmo (in inglese isomorphism),ovvero se esiste una trasformazione lineare biiettivafu : vi = fuui tra vettoriui Ue vettorivi V tale chefu(1u1 + 2u2) = 1fu(u1) + 2fu(u2)esimilmenteesisteunatrasformazionelinearebiiettivafv: ui=fvvitravettorivi V e vettoriui U tale chefv(1v1 + 2v2) = 1fv(v1) + 2fv(v2)Un isomorsmo `e dunque una trasformazione biiettiva che conserva tutte le relazionilineari e conseguentemente la struttura algebrica degli spazi vettoriali coinvolti.Possiamo ora stabilire, senza dimostrarlo, il seguente teorema:Teorema2.2.1Ognispaziovettorialeandimensioni Vn(T)denitosul campo T`e isomorfo allo spazio Tndellen-ple di scalari del campo T.Se T=R, questoteoremapermettedi aermarechepossiamoconcentrarelanostraattenzionesullen-pledireali, senzaperdereingeneralit`a, percheognialtrotipodi vettoresar`aisomorfoaquesteultime. Infatti lisomorsmoconservaleoperazioni e conserva pure gli assiomi (vedi [6, pag. 74]).EndomorsmoLendomorsmo `e un morsmo suriettivo da Aa A, cio`e in se stesso.AutomorsmoLautomorsmo `e un isomorsmo da Aa A, cio`e in se stesso.112.2.1 ProdottoScalareoInternoAbbiamovistocheladenizoneassiomaticadi spaziovettorialenoncomprendeladenizione di un prodotto, e che invece per calcolare con enti geometrici `e necessariointrodurre una struttura quadratica o metrica; una delle metriche pi` u comuni `e quelladerivata dal prodotto scalare o interno tra vettori.Dati due vettori reali a, b V(R), il prodotto scalare o interno (in inglese scalaroinner product) a b `e un numero reale che pu`o venire denito sia in modo geometricosia in modo analitico (per componenti):denizione geometrica: ab = |a| |b|cos (2.2)denizione analitica: ab =

kakbk = aTb (2.3)dove, (0 180)`elangolocompresotraaeb. Ladenizionegeometricaimplica di aver preventivamente denito il concetto di angolo e di lunghezza, mentrenellapproccioanaliticolalunghezzaovverolanorma(ininglesenorm)pu`oesseredenita come grandezza derivata dal prodotto scalare|a| = aa =

ka2k = aTa (2.4)e langolo come = cos1

aa|a| |b|

La metrica `e dunque denita a partire dal prodotto scalare e si chiamano spazi Euclideio Cartesiani quelli per cui vale la metrica (2.4).Il prodotto scalarenon corrisponde al prodotto che appare nella denizione digruppo; infatti il prodotto scalare opera su due vettori e genera uno scalare, mentreil prodotto genera un vettore.Il prodotto scalare soddisfa i seguenti assiomiPropriet`a distributiva rispetto alla somma:(a +b)c = ac +bcPropriet`a distributiva rispetto al prodotto per scalare:(ab) = (a)b = a(b)Propriet`a commutativa:ab = baPositivit`a:aa > 0, a ,= 0Nota Spesso il prodotto scalare tra a e b viene indicato con aTb, come in (2.3), maio preferisco indicarlo con il pi` u generale a b per mettere in evidenza il suo signicatogeometrico.122.2.2 AlgebraVettorialeDatouncampo T, unalgebravettoriale(ininglesevectoralgebraolinearalgebra)`eunospaziolineare(vettoriale) V(T)dotatodi unoperatore(prodotto)bilineare2travettori, cheindicheremoconil genericosimbolo , echeobbedisceal seguenteassioma: dato Tea, b V, risulta(a b) = (a) b = a (b)Esistononumerosealgebre, dellequali circa200sonostatedimostrateessereauto-consistenti; traquestecitiamo, oltreallalgebradellematrici, lalgebradi Cliord,lalgebradi Lieelalgebradei quaternioni, chesonoutili nellostudiaregli aspettigeometrici e cinematici della robotica e della computer vision.Ingeneraleil prodotto noncoincideconil prodottointernointrodottoprece-dentemente, perche questultimo non `e un prodotto tra vettori che dia come risultatoun vettore. Tuttavia il prodotto scalare si dimostra dotato di suciente struttura darisultare utile per la maggior parte delle applicazioni necessarie al calcolo geometrico.Un altro prodotto comunemente utilizzato nella sica `e il prodotto esterno, che per`ovale solo in spazi vettoriali a dimensione 3. Come vedremo, le propriet`a del prodottoesterno non sono ancora quelle che si vorrebbero possedute da un generico prodottotravettori, matuttaviaanchessosvolgeunafunzioneessenzialenelladescrizionedellacinematicaedelladinamicadei manipolatori, nonch`edi numerosepropriet`adellelettromagnetismo.2.2.3 ProdottoVettorialeoEsternoDati due vettori x =

x1x2x3

Tey =

y1y2y3

T, con x, y R3, il prodottovettorialeo esterno(in inglese outero external o vector product)x y `e un vettoreche soddisfa le relazioni seguenti3:z = x y =x2y3 x3y2x3y1 x1y3x1y2 x2y1(2.5)La(2.5)pu`oesserescrittacomeprodottodellamatriceantisimmetricaS(x)perilvettorey:x y =0 x3x2x30 x1x2x10y = S(x)y (2.6)Le propriet`a delle matrici antisimmetriche e i loro utilizzi sono descritte pi` u avanti,nella Sezione 2.2.4.La norma del prodotto esterno vale|z| = |x| |y|sin (2.7)2bilineare signica lineare rispetto a entrambi gli operandi. Questa propriet`a implica lapropriet`a distributiva; in altre parole la propriet`a distributiva `e implicita in unalgebra (vedi (2.2.1)).3perilprodottoesterno utilizzeremoilsimbolo ,che `e moltocomune nella letteraturadiorigineanglosassone;testiitalianiusanopi` uspessoilsimbolo .13dove`elangolotraiduevettori xeymisuratosulpianoxy; ladirezionedi z`eortogonale al piano,il verso `e dato dallapplicazione della regola della mano destra,che individua lasse e il verso di rotazione necessario a portarex suycompiendo larotazione di angolo minimo.Il prodotto vettoriale soddisfa le seguenti propriet`a:Propriet`a non commutativa o anticommutativa:x y = (y x)Propriet`a distributiva rispetto alla somma:x (y +z) = (x y)Propriet`a distributiva rispetto al prodotto per scalare:(x y) = (x) y = x (y)Propriet`a non associativa:x (y z) ,= (x y) zDati tre vettorix, y, z, si denisce prodotto triploil prodotto esterno triplo nonassociativo, ossia:x (y z) = (xz) y (xy) z(x y) z = (xz) y (yz) x(2.8)Dati tre vettorix, y, z, vale inoltre la seguente relazione:(x y)z = (z y)x (2.9)2.2.4 MatriciantisimmetricheAvendo introdotto in (2.6) la matrice antisimmetricaS(x), ne deniamo ora alcunepropriet`a.Data una matrice quadrata S Rnn, essa `e antisimmetrica se e solo se soddisfaalla seguente relazione:S +ST= ODato uno spazio vettoriale R3ed un vettore generico u R3, esiste sempre unamatrice antisimmetrica associata adu, indicata conS(u), denita comeS(u) =0 u3u2u30 u1u2u10eviceversa, dataunaqualsiasi matriceantisimmetrica SR33`esemprepossibile associare ad essa un vettoreu R3, denito comeu =s32s13s21=s23s13s1214La propriet`a di antisimmetria comporta la seguente identit`a:ST(u) = S(u) = S(u) (2.10)Le matrici antisimmetriche soddisfano la propriet`a di linearit`a; dati due scalari1, 2 R, vale la propriet`aS(1u1 + 2u2) = S(1u1) +S(2u2) = 1S(u1) + 2S(u2) (2.11)Dati due vettori qualsiasiv eu, si ha la seguente propriet`a:S(u)v = u v (2.12)e quindi S(u) pu`o essere interpretata come loperatore (u) e viceversa. Spessola matriceS(u) viene indicata comeu.Dati due vettori qualsiasiv eu, vale la seguente propriet`a:S(u)v = S(v)uLa matriceS(u)S(u) = S2(u) `e simmetrica e verica la relazione seguente:S2(u) = uuT|u|2I (2.13)Autovalori eautovettori di matrici antisimmetriche Datalamatriceanti-simmetricaS(u) i suoi autovalori sono immaginari o nulli:1 = 0, 2,3 = j |u|Lautovettore relativo allautovalore 1 vale u; gli altri due autovettori sono complessiconiugati.2.3 AltriProdottiVettorialiComeabbiamovistonelleSezioni precedenti, il prodottoscalare `eunprodottotravettori che per`o genera uno scalare, mentre il prodotto vettoriale `e denito solo nellospazio R3. Manca quindi ancora una denizione generale delloperatore introdottonella denizione di algebra vettoriale, che valga genericamente nello spazio Rn.Nasceperci`olanecessit`adidenireunprodottoa btravettoricheobbediscaallamaggiorpartedelleregoledellamoltiplicazioneordinaria, ovveroalmenolepropriet` a di essere associativo e distributivo, mentre la propriet`a di commutativit`a non`e ritenuta essenziale. Si richiede invece che venga preservata la norma nel prodotto,ossia |a b| = |a| |b|, dove il prodotto delle norme `e il consueto prodotto tra scalari.Sono stati deniti in passato prodotti tra vettori che soddisfano questi requisiti.Disolitoessivengonotrascuratineitestielementaridialgebralineare. Traquesti,un qualche interesse per le loro applicazioni nella cinematica teorica e nella computervision, oltreche nella sica quantistica, rivestono il prodotto di Hamilton e il prodottodi Cliord.152.3.1 ProdottodiHamiltonIl prodottodi Hamiltontrovalasuagiusticazionenellambitodelladenizionediprodotto tra quaternioni [2, 3]. Qui ci limitiamo a denire tale prodotto come quelvettorec ottenuto dai vettoria eb nel modo seguentec = a b = ab +a b (2.14)Questo prodotto ha ora solo pi` u un signicato storico, in quanto presenta la spiacevolecaratteristica di fornire un numero negativo come risultato del prodotto di un vettoreper se stessoa a = aa +a a = |a|2(2.15)Esso fu presto abbandonato in favore di altri pi` u semplici e utili,come i precedentiprodotti interno ed esterno, oppure pi` u generali dal punto di vista geometrico, comeil prodotto di Cliord.2.3.2 ProdottodiCliord`Estatodimostratocheunprodottovettorialechepermettadi soddisfaregli stessiassiomi del prodottotraduenumeri reali, ossialadistributivit`a, lassociativit`aelacommutativit`a, nonesisteinspazi vettoriali condimensioni n 3; sesi lasciacadere lassioma della commutativit`a, si pu`o denire un nuovo tipo di prodotto, dettoprodotto di Cliord, dal nome del matematico inglese William Cliord (1845-79) cheper primo lo introdusse. Esso consente di estendere a spazi vettoriali Rn, conn > 3,il prodotto esterno denito al Paragrafo 2.2.3.Limitiamoci in un primo momento, per semplicit`a, al piano R2, convenzionalmentedenitocomequellogeneratodai dueversori i e j. Dati duevettori nel piano,a = a1i + a2j, eb = b1i + b2j, il prodotto di Cliord viene denito come:a b = a1b1 + a2b2 + (a1b2 a2b1)e12 = ab + (a1b2 a2b1)e12(2.16)dove`estatointrodottoil nuovoentematematicoe12, chiamatobivettore. Esso`edenitocomelarea(dotatadi segno)del parallelogrammocompresotraiej; inuncerto senso `e analogoalprodottoesternoij,salvo il fattoche questultimo `einterpretato come vettore ortogonale al piano denito dai ej, mentre il bivettore `eda interpretarsi come una pezza (in inglese patch) o meglio un tassello del pianostesso, come illustrato in Fig. 2.1.Lestensione di questo prodotto allo spazio R3si ottiene assumendo che sia veri-cata la seguente identit`a:c c = c2= ccSe poi consideriamo il generico vettore sommac = a +b, otteniamo:(a +b) (a +b) = (a +b)(a +b) (2.17)da cui segue, per la propriet`a distributiva applicata ai due termini delluguaglianzaa a +a b +b a +b b = aa +ab +ba +bb (2.18)16ij12e i jij12e i jFigura 2.1: Il bivettoree12nel piano R3.e considerando la commutativit`a del prodotto interno e che aa = a a e bb = b bsegue:a b +b a = 2ab (2.19)e quindia b = 2ab b a (2.20)Il lettore interessato pu`o fare riferimento al testo [7] per ulteriori approfondimenti.17Bibliograa[1] mathworld.wolfram.com/algebra.html.[2] B. Bona. Modellistica dei Robot Industriali.[3] M.J. Crowe.[4] J.A. Gallian. Contemporary Abstract Algebra. Houghton Miin Company, 2002.[5] J.D. Lispon. Elements of AlgebraandAlgebraicComputing. Addison-Wesley,1981.[6] L. Lombardo-Radice. Istituzioni di Algebra Astratta. Feltrinelli, 1965.[7] P. Lounesto. Cliord Algebras and Spinors. Cambridge University Press, secondedition, 2001.18Indice1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Gruppoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Semigruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Monoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 SpazieAlgebreVettoriali 82.1 Spazi Vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Funzioni Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Prodotto Scalare o Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Algebra Vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Prodotto Vettoriale o Esterno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4 Matrici antisimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Altri Prodotti Vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Prodotto di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Prodotto di Cliord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619Elencodellegure2.1 Il bivettoree12nel piano R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1720Indiceanaliticoalgebra vettoriale, 13anello, 4automorsmo, 11base, 10bivettore, 16campo, 6combinazione lineare, 10corpocommutativo, 6dimensione, 10distanza, 9divisore dello zero, 5elemento neutro, 3endomorsmo, 9, 11funzionebiiettiva, 11iniettiva, 10suriettiva, 10gruppo, 3abeliano, 3speciale ortonormale di rotazione, 4gruppoide, 2additivo, 2associativo, 2moltiplicativo, 2isomorsmo, 11lineareindipendenza, 10metrica, 9monoide, 3morsmo, 11norma, 12operatore lineare, 9prodottodi Cliord, 16di Hamilton, 16scalare, 12triplo, 14vettoriale, 13semigruppo, 2spaziolineare, 9vettoriale, 8vettore, 8componenti di, 1021