Il numero e il processo del contareAlcune riflessioni teoriche

Università degli Studi di PalermoScienze della Formazione

Filippo Spagnolo

Benedetto Di Paola

AvvertenzaAvvertenza

Tutto ciò che segue viene Tutto ciò che segue viene presentato solo in maniera presentato solo in maniera schematica come traccia schematica come traccia degli argomenti trattati degli argomenti trattati

durante il corso.durante il corso.

Esistono, secondo Alan Bishop[1], sei attività fondamentali: •universali•necessarie per lo sviluppo delle competenze matematiche:

CONTARE – usare modi sistematici di confronto, ordinamento, ecc. di quantità e fenomeni discreti.

LOCALIZZARE – esplorare l’ambiente spaziale, concettualizzare e simbolizzare l’ambiente con modelli, schemi, ecc.

MISURARE – quantificare proprietà con lo scopo di confronto, ordinamento, ecc. (quantità continue)

“DESIGNING” – creare una forma o un progetto per un oggetto o per una parte dello spazio ambiente.

GIOCARE – concepire o affrontare giochi con regole.SPIEGARE – dar conto dell’esistenza di fenomeni di vario tipo.

[1] Bishop. A. J., Mathematical Enculturation, Kluwer Academic Publishers (1991).

Il concetto di numero

L'acquisizione di tale concetto avviene a livelli sempre più elevati di interiorizzazione e di astrazione come riferiscono i programmi ministeriali, che ne raccomandano la presentazione attraverso una pluralità di approcci, i quali rappresentano altrettanti itinerari mentali e didattici e che si possono così sintetizzare:

APPROCCIO CARDINALE

APPROCCIO ORDINALE

APPROCCIO GEOMETRICO

APPROCIO RICORSIVO

Non si tratta di stabilire quali delle concezioni sia più valida da un punto di vista matematico, ma piuttosto focalizzare l'attenzione su ciò che il bambino sa già ed avviarlo alla concezione del numero in modo pluralistico.

I quattro percorsi che portano all’acquisizione del numero naturale non sono da intendersi come strade separate ed autonome.

Quando infatti si deve rispondere alla domanda “QUANTI SONO” è necessario contare gli oggetti, ma nel momento stesso in cui si contano, si vanno via via ordinando (aspetto ordinale) e si procede nella conta aggiungendo uno in più (aspetto ricorsivo).

L’idea di numero è quindi molto complessa ed ha uno sviluppo lento, graduale, naturale, vario, che deve essere favorito dall’insegnante partendo da esperienze concrete, vissute.

“I concetti non si insegnano, tutto quello che si può fare è di creare, presentare le situazioni e le esperienze che aiuteranno i fanciulli a formarli”

[Dienes e Goldindg]

Il concetto di numero Contare

La procedura del contare esige il possesso contemporaneo delle seguenti abilità:

1) conoscere i nomi dei numerali in ordine esatto (sequenza verbale numerica);2) sapere toccare (indicare o guardare) ciascun elemento di un insieme una e una sola volta(enumerazione non numerica);3) saper coordinare in un’attività motoria complessa ma unitaria le due precedenti abilità(verbale e motoria).

Riguardo alla prima: l’allievo impara dapprima (a memoria) i primi numeri e successivamente ripetendo e ascoltando riesce ad individuare la struttura che gli permette di costruire da solo la sequenza.

La seconda abilità si manifesta quando l’allievo sa organizzare lo spazio percettivo e lo esplora in maniera sistematica senza omissioni o ripetizioni.

La terza abilità: coordinazione dell’azione del prendere in considerazione gli oggetti (toccandoli, guardandoli, ..) ed esprimere verbalmente la sequenza numerica. Far corrispondere quindi ad ogni numero pronunciato un oggetto individuato.

“[…] Contare: attribuire un numero, esaminare (una data collezione di oggetti) allo scopo di determinare il suo numero CARDINALE.

In tal senso, contare un insieme di oggetti significa porre questi in corrispondenza biunivoca con un segmento iniziale dei numeri Naturali.

Il significato di contare è diverso da quello di calcolare […]”

Dizionario Collins della Matematica, Gremese Editore, (1998).

Cosa significa contare, per un bambino?

Emettere una successione di suoni, per imitazione. Accade che la filastrocca dei numeri sia frammentaria, lacunosa o con sovrapposizioni;

Questi suoni spesso vengono associati con dei movimenti del corpi. Alcuni giochi sono molto importanti perché favoriscono questa associazione tra suono e movimento (piccoli salti, battere una volta le mani...)

Poi si ha una corrispondenza sempre più precisa tra suoni ed oggetti.Creazione di giochi in cui ad esempio quando si fa la “conta”, ad ogni suono pronunciato si deve far corrispondere uno dei bambini che partecipano al gioco...

Finalmente arriva il contare vero e proprio, in cui gli oggetti da contare vengono passati in rassegna, ad esempio mettendoli in fila oppure passandoli da un recipiente all’altro.

Secondo Karen Wynn (1992), i bambini adoperano, nell’operazione di conteggio, lo stesso meccanismo di alcune altre specie animali.

Nella mente di ogni individuo agisce un meccanismo a contatore che emette dei battiti ad intervalli costanti. I battiti così emessi vengono passati ad un accumulatore ogni volta che una nuova entità deve essere contata. La percezione della numerosità corrisponde alla numerazione alla quale è arrivato il contatore.

Il meccanismo a contatore non ha nulla a che vedere con il nome del numero (uno, due, tre ...) il quale deve essere appreso e, in qualche modo, associato al contatore. E' necessario perciò un adeguato periodo di tempo per coordinare tra loro la rappresentazione del numero (sia essa verbale o grafica) e il contatore interno. Soltanto dopo il bambino sarà in grado di contare in modo automatico utilizzando l'output verbale.[1]

[1] I DISTURBI DEL CALCOLO: Lo sviluppo delle abilità di calcolo dai tre ai sei anni e i suoi disturbi, Roberto Iozzino  http://www.geocities.com/Athens/Crete/2429/calcolo.html Gli esperimenti della Wynn sono ampiamente descritti anche nei capitoli II e III de Il gene della

matematica, K. Devlin, Longanesi & C. Milano 2002.

Il contributo di R. Gelman e C.R. Il contributo di R. Gelman e C.R. Gallistel (1978)Gallistel (1978)

La rappresentazione mentale dei numeriLa rappresentazione mentale dei numeri

Modello McCloskeyModello McCloskey

Il contributo di R. Gelman e C. R. Gallistel (1978)

Gran parte delle ricerche pubblicate negli ultimi anni sulle conoscenze aritmetiche del bambino, trovano le loro basi teoriche nel libro The child’s understanding of number, pubblicato da Rochel Gelman e C.R.Gallistel nel 1978.

I cinque principi che governano e definiscono il processo del contare.

Il principio di iniettività (the one-one principle)

Il principio dell’ordine stabile (the stable-order principale)

Il principio di astrazione (the abstraction principale)

Il principio di cardinalità (the Cardinal Principle)

Il principio di irrilevanza dell’ordine (the order-irrelevance principle)

Il principio di iniettività (the one-one principle)

Il principio di iniettività richiede il coordinamento ritmico dei processi di ripartizione e di etichettamento eseguiti “in fase” durante tutto il loro uso.

Per ripartizione si intende la conservazione passo dopo passo di due categorie di oggetti: quelli che devono essere contati e quelli che sono già stati contati.

Gli oggetti devono essere trasferiti (o mentalmente o fisicamente) dalla categoria da etichettare alla categoria dei già etichettati.

Le diverse etichette tipicamente usate dagli adulti sono le parole del contare (numerali). Ma, come abbiamo già visto, le etichette possono essere anche diverse. Per un bambino piccolo che sta appropriandosi del processo del contare, non è affatto ovvio che le etichette debbano corrispondere completamente alle tradizionali parole del contare.

Quando un oggetto è trasferito dalla categoria degli oggetti da contare alla categoria contata, si deve “prelevare” (mettere da parte) una diversa etichetta dall’insieme delle etichette mentali.

Quali possono essere allora strategie utili per un bambino per il Quali possono essere allora strategie utili per un bambino per il coordinamento?coordinamento?

Una di tali strategie potrebbe essere di indicare ogni oggetto mentre è contato.

Indicare può servire per segnare il prelievo di una etichetta (specialmente se accade mentre è verbalizzato un numerale) e nello stesso tempo aiuta il bambino a ripartire gli oggetti che sono stati contati da quelli che non sono ancora stati contati.

La tendenza dei bambini ad indicare quando contano, conferma l’importanza che essi attribuiscono al principio di iniettività nel coordinamento dei due processi di ripartizione e di etichettamento. Nel principio di iniettività c’è possibilità di tre diversi tipi di errori:

errori nel processo di ripartizione: un oggetto compare più di una volta o manca del tutto; errori nel processo di prelievo dell’etichetta: usare la stessa etichetta due volte; fallimento nel coordinamento dei due processi.

Potter M. C. & Levy e. I. (1968), Spatial enumeration without counting, Child Development,39: 265-273.

Anche se il bambino riesce ad utilizzare i numerali come etichette, non possiamo concludere che lui conosca necessariamente la procedura del contare.

Il bambino deve dimostrare almeno l’uso di un principio ulteriore (il principio dell’ordine stabile) nel quale le etichette utilizzate per etichettare gli oggetti di uno schieramento devono essere ordinate o scelte in un ordine stabile cioè ripetibile.

Questo principio richiede l’uso di una lista stabile lunga quanto il numero degli oggetti presenti nello schieramento

In altre parole, una parte significativa dello sviluppo delle abilità numeriche riguarda il bisogno di risolvere le difficoltà pratiche poste dal principio dell’ordine stabile (memorizzazione).

La misura in cui i bambini piccoli aderiscono a questo principio è connessa con le dimensioni dell’insieme.

Il principio dell’ordine stabile (the stable-order principle)

Il principio di cardinalità (the Cardinal Principle)

I due precedenti principi coinvolgono la selezione delle etichette e l’applicazione delle etichette agli oggetti di un insieme.

Il principio di cardinalità afferma che l’etichetta finale della serie ha un significato speciale. Questa etichetta, a differenza delle precedenti, rappresenta una proprietà dell’intero insieme: il numero cardinale dell’insieme cioè il numero degli oggetti dell’insieme.

Secondo gli autori, il principio di cardinalità ha una relazione di tipo evolutivo col principio di iniettività e il principio dell’ordine stabile.

Il principio di cardinalità, presuppone gli altri due e si sviluppa quindi più tardi.

Il principio di astrazione (the abstraction principle)

Il principio di astrazione afferma che i precedenti principi possono essere applicati a tutti gli schieramenti o collezioni di entità senza alcuna distinzione tra le entità fisiche e non fisiche.

I tre principi appena enunciati descrivono il funzionamento “processo del contare”. Essi sono principi su “come contare”. Il quarto principio evidenziato garantisce una sorta di generalità dei primi tre.

Se i bambini piccoli siano consapevoli che il contare può essere applicato ad oggetti non-fisici, o a puri prodotti dell’immaginazione, o ad insiemi di oggetti eterogenei, è una questione aperta .

- Ginzburg H. (1977), Children’s arithmetic. New York: Van Nostrand. - Gast H. (1957), Der Umgang mit Zahlen und Zahlgebilden in der Fruhen Kindheit, Zeitschrift fur Psychologie, 161: 1-90.

“[…] la forte dipendenza dalla composizione e disposizione era […]evidente nella loro capacità di cogliere direttamente una piccola numerosità e nel loro contare serialmente numerosità più grandi. Il conteggio è possibile per i bambini di 3/4 anni solo quando le cose da contare sono uguali ad un altro e sistemate in gruppi vicino l’un l’altro o in una fila omogenea. Ogni variazione nel materiale o nella sistemazione, ha l’effetto che i bambini contino secondo le relazioni ovvie che possono essere comprese immediatamente. Cioè elementi che variano nella composizione materiale o nelle qualità (come il colore) non sono inclusi nel conteggio; uno schieramento irregolare degli oggetti e la presenza di relazioni naturali tra gli oggetti portano ad una rottura del ritmo regolare del conteggio stesso […]”.

(Gast, 1957, pag.66).

Non importa come conti!!Non importa come conti!!

Il principio di irrilevanza dell’ordine di conteggio assicura che l’ordine nel quale gli oggetti sono etichettati è irrilevante così come quale etichetta viene assegnata ad ogni oggetto e viceversa.

Dato uno schieramento lineare di oggetti differenti sistemati da sinistra verso destra, definire un oggetto “uno” in una prima conta ed un secondo oggetto “uno” in un’altra conta è perfettamente la stessa cosa.

Un bambino che comprende l’irrilevanza dell’ordine di conteggio deve (in modo coscio o inconscio) percepire/comprendere:- l’oggetto contato come una “cosa” piuttosto che un “uno” o un “due” (principio di astrazione); - che le etichette verbali sono arbitrarie e assegnate temporaneamente agli oggetti e non appartengono agli oggetti una volta che il conteggio è finito; - il numero cardinale dell’insieme contato risulta sempre lo stesso, a prescindere dall’ordine del conteggio.

Il principio di irrilevanza dell’ordine (the order-irrelevance principle)

A volte è difficile stabilire una sottile distinzione tra i principi dell’astrazione dei numeri e i principi del ragionamento con i numeri.

Quest’ultimo principio ha a che fare non solo con la nostre abilità di contare ma anche con la nostra comprensione di alcune proprietà dei numeri.

Quali sono le basi neuropsicologiche della nostra capacità di utilizzare i numeri?Come sono rappresentati i numeri nella nostra mente? E come facciamo ad eseguire calcoli mentali più o meno complessi?

Ricerca su: “Intelligenza matematica (Numerical cognition)”

Metodologie di indagine della psicologia sperimentale

Tecniche di Neuroimmagine funzionale

Sistemi principali (almeno per il contesto culturale occidentale) di espressione numerica:

Le parole-numero

Numeri arabi

La rappresentazione mentale dei numeri

In entrambi i sistemi gli elementi si combinano attraverso speciali regole sintattiche (leggere il numero 2 nel numero 24 come “venti”) per denotare i numeri di grandezze arbitrarie.

Tre significati differenti in relazione al contesto:

-Numerosità (aspetto cardinale di un insieme secondo la definizione classica di Frege-Russel);- Posizione seriale;- Etichetta sganciata dalla grandezza e dalla sequenza (numero di telefono, calale TV…).

Come per il linguaggio verbale, bisogna quindi distinguere tra SIGNIFICATO (aspetto semantico) di un numero e FORMA (sintassi)

L’esistenza di rappresentazioni visuo-spaziali dei numeri è nota dalla fine del XIX secolo. Gli sudi di F. Galton mettono in evidenza la possibilità di un’immagine visiva dei numeri, disposti su una linea orientata da sinistra a destra, nota come linea numerica mentale che interviene anche, seppur in maniera indiretta, nell’operazione del contare.

“Arithmetic is multifactor skill, including verbal, spatial, memory, and executive function abilities.”