LE MATEMATICHE del ‘900: La perdita della certezza

Filippo Spagnolo

La Matematica o le Matematiche?

Il Paradigma della Matematica fino a Kant e per tutto l’800.La riorganizzazione dei linguaggi matematici e “Le Matematiche” (1°momento di perdita della certezza). Le correnti filosofiche del formalismo, logicismo, intuizionismo e costruttivismo.2° momento di perdita della certezza: la deduzione, l’esistenza, la verità. Tarski e Gödel.

Il paradigma della matematica sino alla seconda metà dell’ottocento era

rappresentato dalla Geometria Euclidea.

Geometria come prima

rappresentaziondel mondo fisic

Geometria come modellodella logicabivalente

Geometriacome sistema

ipotetico-dedutt

GeometriaEuclidea

Il paradigma della geometria Euclidea…

La Geometria Euclidea come sistema ipotetico-deduttivo. Messaggio recepito a partire dalla fine dell’ottocento. Hilbert lo riprende per rifondare la Geometria Euclidea. I Bourbakisti ne hanno fatto un programma per la classificazione delle matematiche negli anni trenta mutuato dai concetti di invariante e struttura. Questa interpretazione della Geometria Euclidea corrisponde a quello che oggi la comunitàmatematica definisce come Modelli Sintattici e Modelli semantici.

La Geometria Euclidea come prima rappresentazione del mondo fisico: questo è anche il messaggio recuperato da Platone;

La Geometria Euclideacome modello della logica bivalente e quindi modello di riferimento dell’argomentare nella cultura occidentale: il messaggio di Aristotele;

La riorganizzazione dei linguaggi matematici all’inizio del Novecento. Le scuole di pensiero rispetto alle

riflessioni sul “linguaggio” ed alla nozione di “infinito”.

Logicismo: La Matematica si riconduce alla Logica.

Nel 1884 Frege pone il problema della fondazione dei numeri Naturali tentando di dimostrare il carattere analitico dei giudizi aritmetici entrando in contrasto con Kant (giudizi sintetici a-priori: proposizioni della matematica; giudizi analitici: Logica). Frege ha avuto il merito di avere stabilito, per la prima volta, un legame tra Matematica e Logica. Il Logicismo venne poi affrontato da Russell il quale mise in evidenza il famoso Paradosso sugli Insiemi rivedendo il lavoro di Frege e che tentò di superare attraverso la Teoria dei Tipi. Nella teoria ramificata dei Tipi non si può parlare di numeri Reali che soddisfino ad una certa condizione ma soltanto di tutti i Reali di un dato ordine che soddisfano quella condizione. Il tentativo del Logicismo non riesce a fornire una sistematizzazione delle matematiche. Lo studio della Logica era ancora agli inizi. Elementi caratterizzanti il Logicismo:accettazione dell’infinito in atto;uso indiscriminato della dimostrazione per assurdo.

Formalismo: In questa corrente Hilbertè l’esponente più significativo.

Effettua una rifondazione critica degli Elementi di Euclide[1] evidenziandone l’aspetto ipotetico-deduttivo. La novità importante è quella di avere inserito la “dimostrazione” negli oggetti matematici. Va anche inserita la “Teoria assiomatica degli Insiemi” [2]. L’infinito diviene un assioma. Si esclude il Paradosso di Russell sull’Insieme di tutti gli Insiemi ma non si riesce a definire i transfiniti di Cantor. L’introduzione di un assioma che permetta la potenza (ultraprodotto) consentirà successivamente di poter definire i transfiniti. Vi è sempre la difficoltà di poter definire livelli logico-linguistici via via più ampi.

[1]D. Hilbert, I fondamenti della geometria, Feltrinelli, Milano, 1970.[2]P.J. Cohen, La teoria degli insiemi e l’ipotesi del continuo, Feltrinelli, Milano, 1973.

Intuizionismo: L’esponente di spicco di questa corrente fu Brouwer il quale accettava una

Matematica finitista.

non accettazione delle dimostrazioni per assurdo (negazione del principio del terzo escluso);non accettazione dell’infinito in atto.Questa corrente ha avuto il pregio di mettere in evidenza quelle parti di matematica che potevano essere costruite seguendo i due principi suddetti. Numerosi sono stati i matematici che hanno seguito questa impostazione. Le osservazioni di Brouwer erano legate al fatto che l’accettare questi principi portava a contraddizioni in alcuni settori della matematica. Evidentemente l’accettazione dei due principi invece porta a strumenti dimostrativi più veloci ed a volte più eleganti. Le teorie di Cantor e Dedekind non venivano accettate. Una posizione contemporanea dell’intuizionismo è il Costruttivismo. Una definizione costruttiva si baserà sull’enumerazione di alcuni procedimenti riconosciuti come costruttivi, che non facciano cioè ricorso all’infinito attuale. Quindi una definizione costruttiva sarà ostensiva. Il contributo contemporaneo al costruttivismo avviene attraverso la precisazione di insieme decidibile, insieme numerabile, funzione computabile, mettendo in evidenza le loro relazioni. I sistemi formali della logica moderna si muovono quasi tutti a livello costruttivo come ad esempio le ricerche sulla ricorsività.

Il Logico e Filosofo della matematica Hao Wangsostiene che sono confluiti, nella seconda metà del

‘900 (neopositivismo logico), nella metalogica:Metodo Assiomatico. Nel programma formalista si analizzano le questioni di completezza e coerenza che verranno chiamati metamatematica (o teoria della dimostrazione). In questa parte saranno poi studiati i Modelli Sintattici e i Modelli Astratti (rifondazione dei Bourbakisti delle Matematiche sulla base semantica degli insiemi).Logica Calcolo dei predicati del 1° ordine[1]. Teoria assiomatica degli insiemi (calcolo predicativo di ordine superiore). Studio dei sistemi formali e linguaggi formali in generale. Semiotica Scienza generale dei segni e dei linguaggi strutturata in tre parti: Sintassi (si studiano le relazioni tra le espressioni); semantica (si analizzano le espressioni e i loro significati); pragmatica (si interpretano i segni con riferimento quindi a chi usa il linguaggio). Sintassi e Semantica sono studiate all’interno della comunità dei Logici e Matematici, la Pragmatica, di difficile trattazione formale, non viene presa in considerazione in questocontesto.

[1] La logica predicativa del 1° ordine usa quantificatori limitati alle variabili individuali: ∃, ∀ riferiti a singoli oggetti matematici.La logica predicativa del 2° ordine usa quantificazioni di variabili predicative e/o funzionali. Due specie di variabili: 1) varia sugli elementi delle strutture; 2) varia su sottoinsiemi delle strutture. I linguaggi infinitari sono inclusi (es. l’analisi classica).

1° risultato parziale riguardante la riorganizzazione dei fondamenti della matematica (crisi dei

fondamenti): Le matematiche e non la Matematica.

Kurt Friedrich Gödel(Brno 1906 - Princeton 1978).

Problema sintattico: Sino a che punto possiamo essere certi delle nostre deduzioni in un sistema formale ben definito?Problema semantico: Quale è il significato di “vero” in un sistema formale?

I passi del ragionamento di Gödelsono i seguenti:

Si costruisce una formula aritmetica G che rappresenta la proposizione metamatematica: “la formula G non é dimostrabile”. Le espressioni di una teoria formalizzata sono trasformate attraverso sequenze di prodotti di numeri primi, per cui ad ogni espressione corrisponde un numero di Gödel. Quindi le espressioni metamatematiche diventano proposizioni aritmetiche e quindi formalizzabili.Si dimostra che G è dimostrabile se e solo se “non G” è dimostrabile.Si dimostra che G è una formula aritmeticamente vera (nel senso che afferma che ogni intero possiede una certa proprietà aritmetica, che può essere esattamente definita ed è posseduta da qualsiasi intero assegnato).

1° Teorema di Gödel:

Dato che G è vera e nello stesso tempo indecidibile possiamo concludere che l’Aritmetica non è completa. (anche se si potessero aggiungere altri assiomi, si può sempre costruire un’altra formula vera ma indecidibile).

2° Teorema di Gödel:

Non è possibile dimostrare l’autocompatibilità dell’aritmetica con gli strumenti dell’aritmetica stessa. (Ogni sistema sufficientemente potente, assiomatizzabile è incapace di dimostrare una proposizione la quale esprima, in modo canonico, la coerenza del sistema)

Conseguenze dei teoremi di Gödel

Possiamo capire la nostra mente o il nostro cervello?Possiamo simulare con un computer la nostra mente o il nostro cervello?Che relazione esiste tra verità e computabilità?Vi sono interpretazioni del teorema di Gödel in altre discipline?

Il teorema di incompletezza di GödelIl teorema di indecidibilità di ChurchIl teorema della fermata di TuringIl teorema della verità di Tarski

concorrono ad affermare che:“Andare alla ricerca della conoscenza di se stessi significa intraprendere un viaggio...che sarà sempre incompleto, che non può essere tracciato su nessuna mappa, che non finirà mai e che non può essere descritto”“Se una persona non si contraddice mai, ciò dipende dal fatto che non dice niente”

Conseguenze dei teoremi di Gödel

Possiamo capire la nostra mente o il nostro cervello?Possiamo simulare con un computer la nostra mente o il nostro cervello?Che relazione esiste tra verità e computabilità?Vi sono interpretazioni del teorema di Gödel in altre discipline?

Conseguenze dei teoremi di Gödel

Possiamo capire la nostra mente o il nostro cervello?Possiamo simulare con un computer la nostra mente o il nostro cervello?Che relazione esiste tra verità e computabilità?Vi sono interpretazioni del teorema di Gödel in altre discipline?

Omaggio a Gödel(di Hans Magnus Enzensberger)

Di Münchhausen il teoremail cavallo, la palude e il ciuffo,ciò affascina sì, ma non scordare:Münchhausen era un bugiardo.Di Gödel il teorema a vistasi presenta poco appariscente,ma tu rifletti:Gödel ha ragione.“In ogni sistema a sufficienza riccosi possono formulare proposizioniche all’interno dello stesso sistemanon sono dimostrabili né refutabili,a meno che non sia inconsistente il sistema stesso”.Tu puoi la tua lingua descriverlacon la stessa tua lingua, ma non del

tutto.Tu puoi il tuo cervelloesplorarlo col tuo stesso cervello,ma non del tutto.Eccetera.Ogni concepibile sistema per dimostrargiusto se stesso deve trascenderee dunque distruggersi.

“Sistema sufficientemente ricco o no:libertà di contraddizione è fenomenodi coerenza, o contraddizione di termini.(Certezza=inconsistenza)Ogni concepibile cavaliere,come anche Münchhausen,anche tu dunque sei un sistemadi una palude sufficientemente ricca.E un subsistema di questo sistemasubsistema è il tuo ciuffo in capo,come un ascensore per riformisti e bugiardi.In ogni sistema sufficientemente ricco,dunque anche in questa palude,si possono formulare proposizioniche all’interno dello stesso sistemanon sono dimostrabili né refutabili.Afferra questi enunciati e tira!

Dai manoscritti inediti di Gödel:prove dell’esistenza di Dio[1].

Ragionamento basato sulle proprietà “positive” e “negative” di Leibniz.

Assioma 1 Una proprietà è positiva se e soltanto se la sua negazione è negativa.Assioma Una proprietà è positiva se contiene necessariamente una proprietà positiva.Teorema 1 Una proprietà positiva è logicamente coerente (cioè, può avere esempi).Definizione Una cosa è simile a Dio se e soltanto se possiede tutte le proprietà positive.Assioma 3 Essere simile a Dio è una proprietà positiva.Assioma 4 Essere una proprietà positiva è un fatto logico e quindi necessario.Definizione Una proprietà P è l(essenza di x se e soltanto se x ha la proprietà P

e P è necessariamente minimale.Teorema 2 S x è simile a Dio, allora il fatto di essere simile a Dio è lessenza di x.Definizione x esiste necessariamente se ha una proprietà essenziale.Assioma 5 Essere necessariamente esistente è simile a Dio.Teorema 3 Deve esserci qualche x tale che x è simile a Dio.

[1] John D. Barrow, La luna nel pozzo cosmico, Adelphi, Milano, 1994. (pagg.209-211)

TARSKI (Varsavia 1901 - 1983 )La semantica è la disciplina che tratta di “certe relazioni fra le

espressioni di un linguaggi e gli oggetti” ai quali quelle espressioni si riferiscono.

“Il padre della patria” designa (denota) G. WashingtonLa neve soddisfa la funzione proposizionale (la condizione) “x è

bianco”L’equazione “2x=1” definisce (determina univocamente) il numero

1/2La parola “verità” esprime la proprietà (o denota una classe) di certe espressioni cioè degli enunciati. Allora tale “verità” èstrettamente legata alla corrispondenza con la realtà.

L’enunciato “la neve è bianca” è vero se, e solo se, la neve è bianca.linguaggio oggetto metalinguaggio

Il metalinguaggio deve essere più ricco del linguaggio per permettere l’esatta definizione di verità.

… Tarski

Il linguaggio naturale, il più potente mezzo linguistico di espressione di cui disponiamo, è semanticamente chiuso; da ciò deriva per il teorema di TARSKI l’impossibilità di una definizione non contraddittoria del concetto di verità per il linguaggio stesso.(Il linguaggio naturale non è completamente formalizzabile quindi la frase va considerata non completamente prescrittiva)Tarski afferma che non è possibile stabilire una rigorosa semantica (teoria del significato). Si può al massimo considerare linguaggi formalizzati che si discostassero il “meno possibile” dal linguaggio naturale e a questi linguaggi di approssimazione applicare la teoria sopra esposta.

Alcune osservazioni di logica

COERENZA: Un sistema T è non contraddittorio (o coerente) quando non esiste una proposizione α che ¬α siano teoremi di T. Altrimenti T è contraddittorio (o incoerente). Questo equivale a dire che esiste un enunciato non dimostrabile.

COMPLETEZZA (sistema di regole): Ogni affermazione che sia conseguenza logica di altre è derivabile da esse con trasformazioni basate solo sulle regole. ∀p, o p o ¬p sono conseguenza logica degli assiomi.

CATEGORICITA’ (teoria categorica): ogni teoria non contraddittoria (da cui non si possono derivare contraddizioni con le regole logiche) ha un modello, una realizzazione.

Tutti i modelli sono isomorfi?L’incompletezza → la non categoricità in quanto la proposizione

indecidibile non ti permette di parlare di non contraddittorietà.

KantGeometria e Aritmetica sono sintetiche a-priori:ampliano le nostre conoscenze mediante costruzioni

mentali;7+5=12 sintetico in quanto il 12 viene aggiunto.

l’a-priori viene argomentato dalle dimostrazioni geometriche che si sviluppano indipendentemente dall’esperienza. L’Abbagnanoporta esempi relativi a due linguaggi differenti: la geometria Euclidea è formalizzata, l’Aritmetica no (saranno Frege e Peano che la formalizzeranno). Si può dimostrare formalmente che 7+5=12 ma questo è un risultato del ‘900.

Geometria spazio formalizzatoAritmetica tempo non formalizzato

Frege (1848-1895)riporta l’aritmetica alla logicaI numeri sono proprietà di entità logicamente costruite

“oggetti logici”: l’insieme numerico e la corrispondenza biunivoca.

Rapporto senso-significato:Il triangolo di Frege rappresenta il riferimento più importante:

SENSO (Sinn)

Denotazione di Denotazione di un’espressione(Zeichen) un’espressione cui l’oggetto si

riferisce (Bedeutung)

… Frege6x+3 e 3(2x+1), esprimono una regola diversa ma denotano la stessa funzione, cioè lo stesso insieme di coppie ordinate;Le due equazioni, da risolvere in R, (x+7)2=x e x2 +x+3=0 denotano lo stesso oggetto (l’insieme vuoto) ma hanno senso diverso[1];Nel linguaggio matematico e nel Linguaggio naturale vi sono molte espressioni che hanno sensi diversi ed uguale denotazione;La denotazione riguarda gli aspetti estensionali di un’espressione, mentre il senso riguarda i suoi aspetti intenzionali. In algebra la denotazione di un’espressione simbolica è l’insieme numerico, eventualmente vuoto, rappresentato dall’espressione;Esiste anche un senso algebrico che è l’esplicitazione del modo in cui il denotato può essere ottenuto attraverso l’applicazione di regole computazionali;Viene definito senso contestualizzato il fatto che un’espressione simbolica può assumere significati all’interno di un dominio di conoscenza. Questo dominio può riguardare linguaggi matematici diversi dall’algebra e/o situazioni concrete come risolvere problemi, matematizzaresituazioni, descrivere fenomeni ecc.;Il senso algebrico ed il senso contestualizzato hanno un carattere oggettivo in quanto risultano inglobati nel codice e nella cultura socialmente condivisi da una comunità;

[1] “La denotazione di un’espressione simbolica in algebra, è l’insieme numerico, eventualmente vuoto, rappresentato dall’espressione. Tale insieme risulta determinato oltre che dall’espressione simbolica anche dall’universo numerico in cui l’espressione viene considerata.” (Arzarello op. cit, p. 37)

… Frege

Nel caso particolare se le equazioni vengono considerate in C (Insieme dei Numeri Complessi) esse denotano rispettivamente gli insiemi: .Senso e denotazione sono gli ingredienti giusti cui guardare, ma sono utili solo per darci alcune istantanee delle difficoltà algebriche, non per ricostruire l’intero film.

L’insieme che ha se stesso come elemento:

Paradosso di Russell: Si definiscono regolari gli insiemi che non contengono se stessi come elementi. Sia R l'insieme di tutti e solo gli insiemi regolari. R èregolare ?Se R è regolare deve essere contenuto in se stesso e quindi deve essere irregolare e viceversa.