Capitolo1Concettifondamentali1.1 CennisullaTeoriadegliInsiemiLoscopodi questasezione`edi darequel minimodi Teoriadegli Insieminecessarioperilnostrolavoroediintrodurrelanotazionedibase.InMatematicaesistonodei concetti detti primitivi chenonsonodeni-bili; tali sono, peresempioingeometria, i concetti di punto, rettaepiano.Unaltro di questi concetti `e quello di insieme, cio`e una collezione di oggetti oenti di qualsiasi specie presi con un dato criterio. Cos` parliamo dellinsiemedegliabitantidellaProvinciadiLodiolinsiemeNdeinumerinaturalicio`edei numeri 0, 1, 2, 3, . . . .1Gli insiemi sonocaratterizzati daunaopi` upro-priet`a;cos` diciamocheunelementoxappartieneaduninsiemeAquandoxhala(le)propriet`acaratterizzante(i)A. Peresempio, supponiamocheAsialinsiemedei numeri naturali caratterizzati dallapropriet`aPdi esseredispari;scriveremoquestoinsiemeinformaconcisacomesegueA = {n N |ndispari } qui le graette { } stanno a indicare che abbiamo uninsieme,il simbolo ci dice che lelemento n appartiene allinsieme N ed il simbolo | si traduce contaleche. Disopraabbiamoadoperatoinmodointuitivoancheilsimbolo= (ugualea). Comesivedr` api` uavanti,avolte`enecessarioprecisarecosasiintendaconilconcettodiuguaglianza.Nellinsieme dei numeri naturali si possono fare due operazioni algebricheimportanti: la somma + e la moltiplicazione . Queste godono di importantipropriet`a;cominciamoconlasomma.1In questo corso assumiamo il concetto di numero naturale come intuitivo; tuttavia ladenizione rigorosa di numero naturale `e tuttaltro che semplice; infatti, solo verso la nedel secolo 19o, il matematico tedesco Gottlob Frege riusci a ricongiungere lidea di numeronaturale alla teoria degli insiemi.12 CAPITOLO1. CONCETTIFONDAMENTALIS1 (Commutativit`a)Perqualsiasi a, b N, a + b=b + a. Sostituendolespressione per qualsiasi con il simbolo logico , possiamo riscriverelapropriet`adicommutativit` anellaformaconcisa(a, b N)a +b = b +a.S2 (Associativit`a)(a, b, c N)(a +b) + c = a + (b +c).S3 (a N)a + 0 = 0 +a = a.Perlamoltiplicazionevalgonoleseguentipropriet`a:M1 (Commutativit`a)(a, b N)a b = b a.M2 (Associativit`a)(a, b, c N)(a b) c = a (b c).M3 (a N)a 1 = 1 a = a.LedueoperazionisonocollegatetradilorodallaPropriet`aDistributiva: (a, b, c N)a (b +c) = (a b) +(a c).Partendo dai numeri naturali e con laiuto della somma, possiamo denirealtri numeri: datounnumeronaturalequalsiasi a, deniamoil negativodi a(anchedettoinversoadditivodi a)comeluniconumeroxtalechea +x =x +a =0;linversodia `eanchedenotatoconilsimbolo a. Perunaquestionedi completezzatroviamoconvenientescrivereesplicitamentelapropriet`acheogniinterohauninverso:S4 (a Z)a + (a) = 0.Questa propriet`a dovrebbe essere letta assieme alle propriet`a S1, S2 e S3 deinaturaliscritteprima.Si osservi che con questa denizione abbiamo costruito un insieme Z pi` ugrandediNedabbiamoestesoladenizionedisommaaglielementidiZ.LinsiemeZdettoinsiemedei numeri interi `epi` ugrandedi Nnelsensoche(a N)a Z.SimbolicamentescriviamoN ZeleggiamoN`econtenutoinZ. Ingen-erale,diciamocheuninsiemeA`econtenutoinuninsiemeB(ocheA`eunsottoinsiemediB)se,esoltantose(a A)a B;simbolicamente,A B (a A)a B(ilsimbolost`aperse,esoltantose).1.1. CENNISULLATEORIADEGLIINSIEMI 3Orasiamoincondizionididenireluguaglianzadiinsiemi: dueinsiemiAeBsonouguali(scriviamoA=B) A BeB A.SiaCunsottoinsiemedi uninsiemeB; linsiemedierenzadi BeC`eperdenizionelinsiemeB \ C ={x B|x C}dove `e la negazione del simbolo logico e vuol dire che x non `e un elementodi Coinaltreparole, xnonappartieneaC. Diamounesempioconcretodelladierenzadidueinsiemi: consideriamolinsiemedeinumeriinteriZesia {0} il sottoinsieme di Z costituito dal solo elemento 0 Z; allora, Z\{0}`elinsiemedeinumeriinteridiversida0.SianoAeBdueinsiemidati;deniamogliinsiemi1. intersezioneA B ={x|x Aex B},2. unioneA

B ={x|x Ae/ox B},3. prodotto(cartesiano)A B ={(a, b)|a Aeb B}.Segli insiemi AeBnonhannoelementi incomunediciamocheA B`evuotoescriviamoA B =.Unarelazione dauninsieme Aaduninsieme B`e semplicemente unsottoinsiemeR A B; se(a, b) Rdiciamochelelementoa A`einrelazione con lelemento b B(scriviamo anche aRb invece di (a, b) R). IldominiodiR `elinsiemedom(R) = {a A|(b B)aRb}(quiilsimbolo signicaesiste)elaportatadiR `elinsiemepor(R) = {b B|(a A)aRb}.Unarelazionedi equivalenzainuninsiemeA`eunarelazioneRdaAasestessoperlaqualevalgonoleseguentipropriet`a:1. Riessivit`a: (a A)aRa,2. Simmetria: aRb bRa(silegga: seaRballorabRa),3. Transitivit`a: aRbebRc aRc.Perqualsiasi a A, laclassedi equivalenzaadellelementoadeterminatadallarelazionediequivalenzaR `elinsiemea = {x A|aRx} A.4 CAPITOLO1. CONCETTIFONDAMENTALIOsserviamosubitochesedueelementiaebpresiarbitrariamenteinAnonsonoequivalenti tramiteRscriviamoaRbequi Rindicalanegazionedellapropriet`aRalloraa b = .Infatti, sea b = alloraesisterebbeunelementox A|xRaexRb. Lepropriet`a di simmetria e transitivit`a ci dicono allora che aRb contrariamenteallipotesifattasuaeb. VogliamoancheosservarechelinsiemeAsiscrivenellaformaA=_aAa.Infatti:(a A)a a a _aAa A _aAae(x _aAa)(a A)x a x A.Conquestoabbiamodimostratoilseguenterisultato:Teorema1.1.1UnarelazionediequivalenzaRinuninsiemeAdeterminaunapartizionediAinclassidiequivalenzadisgiunte.DenotiamoconA/RlinsiemedelleclassidiequivalenzadenitedaRinA;linsiemeA/R `eanchedettoinsiemequozientediAperR.Nellinsiemedegli interi esisteunaltraoperazioneimportante: ladivi-sione. Dati a, b Z, diciamocheadivideb(ocheb`edivisibilepera)seesisteq Ztalecheb =a q (q`edettoquoziente). Per esempio, 54`edivisibileper9manonlo`eper5. Adottiamolanotazionea|bperdirecheadivideb. SiosservicheilconcettodidivisioneappenaintrodottodenisceunarelazioneinZ, larelazionedi divisibilit`a; questarelazione`eriessivaetransitivacomesi pu`ofacilmentedimostrare, manon`esimmetrica(a|beb|a a=b). Franonmoltovedremocomesi pu`oottenereunarelazionedi equivalenzapartendodalladivisione(conresto). Primaper`oosserviamo che possiamo ordinare linsieme Z: diciamo che lintero a `e pi` ugrandedellinterob(notazione: a>b)sea + (b)=a b N \ {0}.2InquestomodoscriviamolinsiemeZnellaforma{. . . 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}etradueelementi,ilpi` ugrande `equellochesitrovapi` uadestra. Gliinteriatali chea>0sonogli interi positivi. Perconcluderequesteosservazionisullordinamentodegliinteriosserviamoleseguentipropriet`a:2Se includiamo lo zero, cio`e sea b N allora diciamo chea `e pi` u grande o uguale ab e scriviamoa b.1.1. CENNISULLATEORIADEGLIINSIEMI 5O1 Lasommadidueinteripositivi `euninteropositivo.O2 Ilprodottodidueinteripositivi `euninteropositivo.O3 (a Z) vale soltanto una delle alternative seguenti: (i) a > 0, (ii) a =0, (a) > 0.Questetrepropriet`acaratterizzanoZcomeinsiemeordinato.Orariprendiamoinostriduenumeri54e5;il5nondivideil54per`o sta10voltenel 54cio`e, 10 5=50e11 5=55con55>54>50; infatti,possiamo scrivere 54 = 10 5+4. Con questo esordio scriviamo la seguentedenizione: adivideconrestolinterobseesistonodueinteri qertali chea>r 0eb=a q + r; linteror`edettorestodelladivisionedi bpera. Naturalmente, ser =0, alloraa|b. Inuncorsorigorosodi Algebrasidimostra che la divisione con resto `e sempre possibile nellinsieme degli interiecheilquozienteedilrestosonodeterminatiinmodounico(cf. [?]).Oratorniamoallenostrerelazioni di equivalenza. Siaa>0unnumeronaturale ssato. Diciamoche due interi b e c sonoequivalenti moduloaescriviamob c(moda), senelladivisionedi becper aotteniamoilmedesimorestor. Ladimostrazionedel fattochelequivalenzamoduloa`eunarelazionedi equivalenza`elasciataagli Esercizi. Nellesempionumericodatosopravediamochelequivalenza(mod. 5)produceunapartizionediZincinqueclassidisgiunte: 0,1,2,3e4.Una funzione fda un insieme A ad un insieme B(scriviamo f: A B)`eunarelazionedaAaBcondominioAcheassegnaadognielementodiAununicoelementodiB. Diamoalcuniesempidifunzioni.Lasommadinumerinaturali `eunafunzione+ : NN Ncheassociaadognicoppiadinumerinaturali(p, q)ilnumeronaturalep +q(osservazione: ((p, q), (r, s) NN)(p, q) = (r, s)p = qer = s).Unafunzionef: A Bdetermina(ed `edeterminata)dallinsiemeIns(f) A B ={(x, f(x)) A B|x Ae(x, f(x)) = (y, f(y)) x = y}.Unafunzionef: A B`einiettiva(risp. suriettiva)quandoadueelementiqualsiasi di A, f facorrisponderedueelementi distinti di B(risp. quandoperqualsiasi elementob Besisteunelementoa Atalechef(a)=b).Unafunzionef:A Bchesiaalmedesimotempoiniettivaesuriettiva`edettabiiezione. Insimboli,f: A Biniettivase(x, y A)f(x) = f(y) x = y,6 CAPITOLO1. CONCETTIFONDAMENTALIf: A Bsuriettivase(b B)(a A)f(a) = b.1.2 Numerirazionali;numerirealiPer denizione, linsieme Q dei numeri razionali `e linsieme di tutte le coppie(p, q) Z Ztalicheq= 0econlaseguentedenizionediuguaglianza:(p, q) = (r, s) ps = qr.Per dirlo con altre parole, osserviamo che la relazione di uguaglianza appenadenita `e in eetti una relazione di equivalenza nellinsieme Z(Z\ {0});dunque,Q `elinsiemequozienteQ = (Z (Z \ {0}))/ (cfr. Teorema1.1.1).ConsideriamoilsottoinsiemeQ1={(p, 1)|p Z}diQ;lafunzionef: Z Q1, z (z, 1)`eunabiiezioneecos` possiamoidenticare Zalsottoinsieme Q1diQeperabusodilinguaggioscriviamoZ Q. Possiamooraestendereledenizionidisommaemoltiplicazionedegliinteriairazionali:+ : QQ Q((p, q), (r, s) Q)(p, q) + (r, s) = (ps +rq, qs) : QQ Q((p, q), (r, s) Q)(p, q) (r, s) = (pr, qs).Il verboestenderecheabbiamousatodi sopranon`estatopresoacaso:infatti, le funzioni + : QQ Q e : QQ Q applicate al sottoinsiemeZ Zdannoluogoaesattamentelasommaelamoltiplicazionesugliinteri.Abbiamo scritto i razionali come coppie di numeri interi (a, b), con b= 0;tuttaviairazionalisonoscrittinormalmenteinformafrazionaleab. Dorainpoiadotteremoquestascritturaperirazionali.Osserviamocheseb|a, cio`ea=b q per uncertointeroq, allorailrazionaleabcoincideconlinteroq.Un intero p `e detto primo se divisibile soltanto per se stesso e per lunit`a 1;per esempio, i numeri 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 sono primi. Non si conoscono tutti1.2. NUMERIRAZIONALI;NUMERIREALI 7iprimienonabbiamotuttoraunalgoritmochecipermettadiindividuarei numeri primi; tuttavia, sappiamogi`adallantichit` agreca, cheunnumeronaturalepu`oesserescrittoinmanieraunicacomeprodottodi potenzediprimi. Cos` peresempio630 = 2 325 7, 5577 = 3 11 132.Questo fatto ci serve per capire che esistono numeri che non sono razionali; aquestaconclusioneeranogi`aarrivatiPitagoraedisuoiseguaci,versoil530A.C.! Vediamolargomento. Prendiamounquadratodilato1ecalcoliamola lunguezza d di una delle sue diagonali; per il noto teorema di Pitagora suitriangoli rettangoli d2= 2 e dunque, d =2. Supponiamo che d sia razionale,cio`ed=pq. Allora,p2=2q2. Ora2divide2q2eperci`o2dividep2; acausadelladecomposizionedi unnumeroinpotenzedi primi sopraaccennata, 2divide p2(o sta in p2) un numero pari di volte; ne segue che 2 deve per forzadividereq2unnumeropari di volteeperci`o2divide2q2=p2unnumerodispari di volte (quelle pari in cui divide q2pi` u una volta dovuto al fattore 2)contradicendo la conclusione anteriore che 2 sta in p2un numero pari di volte!Unnumerochenonsiail quozientedi duenumeri interi comeappunto`eilcaso di2 `e detto numero irrazionale. Cosa sappiamo sui numeri irrazionali?Tanto, e poco! Ad esempio, sappiamo che esistono inniti numeri irrazionaliper`o non li conosciamo tutti; sappiamo che il numero = C/d il quozientedellalunghezzadiunacirconferenzaperilsuodiametro`eirrazionale,manonsappiamotuttoraseil numero2siaonoirrazionale! Per fortunac`eunaltromododi studiaregli irrazionali, basatosullascritturadecimaledeinumeri. Unqualsiasinumeronaturalesiscrive(inmodounivoco)comecombinazionelinearedipotenzeinterenon-negativedelnumero10(dieci)acoecientinellinsieme {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};cos` ilnumero537104 = 5 105+ 3 104+ 7 103+ 1 102+ 0 101+ 4 100Abbiamocos` scrittoi numeri interi inbase 10. Inquestomodoi nu-meri interi sonoguardati comepolinomi eleregoledellalgebraelementareci permettonodi farei calcoli inmanieraecace; inaltreparole, possiamofacilmentesommare,moltiplicareedividereinumerifraloroecos`iottenereancheunarappresentazionedecimaledeirazionali. Peresempio,13= 0, 3333...,81435= 23, 2571428571428571...In queste rappresentazioni notiamo che esiste un gruppo di numeri (periodo)che si ripete continuamente: in 0, 333... il numro 3 `e ripetuto indenitamente;in23, 2571428571428... il gruppo571428`eripetutoadinnitum; questo8 CAPITOLO1. CONCETTIFONDAMENTALIfenomenoaccadesempreperil quozientedi dueinteri, cio`eperi razionali.Daltrocanto,inumeriirrazionalinonhannoquestocomportamento:= 3, 14159265358979323846....,2 = 1, 4142....in questi numeri non possiamo trovare un periodo che si ripeta! Non diamo ladimostrazionediquestenostreaermazioni;lostudentepotr`aincontrarleinaltri corsi o in testi pi` u specializzati. Ad ogni modo, le terremo per buone e ceneserviremopercostruirelarettareale. Intantodeniamolinsiemedeinu-merirealiR come lunione dellinsieme Q dei numeri razionali e dellinsiemeIdeinumeriirrazionali: R = Q I.`EevidentecheQ I = . Abbiamolaseguentesuccessionediinsiemi:N Z Q RRicordiamoche linsieme Q`e munitodi due operazioni fondamentali: lasommaedlamoltiplicazione;questecoincidonoconleoperazionedisommaemoltiplicazionedei razionali scritti nellalororappresentazionedecimaleecos` estendiamolasomma, lamoltiplicazioneeleloroinverse(dierenzaedivisione)ancheai reali. Persemplicarelanotazionescriveremoabinvecedia bperqualsiasia, b R. Ricapitoliamoquantodetto: linsiemeRdeinumerireali `edotatodidueoperazioni+ : RR R, : RR Rconleseguentipropriet`a:APropriet`a Associativa: (a, b, c R) (a +b) +c = a +(b +c) e (ab)c =a(bc).CPropriet`aCommutativa: (a, b R)a +b = b +aeab = ba.NEsistenzadiunelementoneutro: (a R)a + 0=0 + a=aea1=1a = a.IAEsistenzadellinversoadditivo: (a R)( a R)a + (a) = 0.IMEsistenza dellinverso moltiplicativo: (a R|a= 0)(a1 R) aa1=1.DPropriet`aDistributiva: (a, b, c R)a(b +c) = ab +ac.Nota: Linversoadditivo a(risp. moltiplicativoa1)di qualsiasi realea`eunico.1.2. NUMERIRAZIONALI;NUMERIREALI 9Linsieme dei razionali Q con le sue operazioni di somma e moltiplicazionegodedellestessepropriet`a; questesonolepropriet`achecaratterizzanouncampo; in questo senso parliamo del campo Q dei razionali e del campo R deireali.Lidea di numero reale che abbiamo presentato sopra ha un carattere pocoformale; il primo a formulare una teoria completa e soddisfacente dei numerireali fuil matematicotedescoJuliusWilhelmRichardDedekindtramitelanozione di partizione del campo razionale; qui non faremo una presentazionedellateoriadi Dedekindmafaremounapiccolaincursioneal concettodiordinamentodeirazionalicheappuntostaallabasedellavorodiDedekind.Similmenteaquantosuccedeconlinsiemedegliinteri,ilcamporazionale`eordinato; inaltreparole, inQpossiamodenirea>beedimostrarechevalgono le propriet`a O1, O2 e O3 della sezione 1.1. Dimostriamo formalmentequestofattonelteoremaseguente.Teorema1.2.1Il campoQdeirazionali`eordinato.DimostrazionePerdenizione, diciamocheab>0 ab>0. Ricor-diamocheab=cdad=cb. Moltiplichiamoi duelati delleguaglianzaad=cbper bdper ottenere(ab)d2=(cd)b2. Siccomeab>0ed2>0iduelatidellultimauguaglianzasonopositivi;inparticolare,da(cd)b2> 0eb2>0concludiamochecd>0, cio`eseunarappresentazionedi unnumerocomplesso `e positiva nel senso da noi denito, tutte le altre lo sono! In questomodo vediamo che la nostra denizione `e indipendente dal rappresentante; ilconcettodipositivit`acheabbiamodatoperirazionali `ebendenito.Ora dimostriamo O1: siano datiab> 0 ecd> 0. Vogliamo dimostrare cheab+cd=ad +bcbd> 0, ossia(ad + bc)bd > 0.Abbiamoleineguaglianzeab > 0, cd > 0 abd2> 0, cdb2> 0edunque,bd(ad +bc) = abd2+cdb2> 0.LasciamoladimostrazionediO2eO3acaricodellostudente. 2Anche il camporeale`e ordinato; assumeremoquestofattocome verosenzaentrarenelmeritodelledimostrazioni.10 CAPITOLO1. CONCETTIFONDAMENTALI1.3 NumericomplessiIl campo dei numeri reali pu`o essere esteso ad un campo pi` u ampio. Come nelcaso dei razionali e reali, generiamo questo nuovo insieme numerico cercandodidareunsignicatoadunaparticolareoperazionecheingeneralenonpu`oessere fatta nellinsieme di partenza. Nel caso presente cerchiamo di dare unsignicatoallaradicequadratadi unnumeronegativo: perdenizione, laradicequadratadi unrealepositivok`eunnumerorealextalechex2=k(chiaramente, se x ha questa propriet`a, anche x deve averla). Daltro cantosappiamocheil quadratodi unnumerorealediversodazero`esempreunnumeropositivoepertanto, lapropriet`ax2=knonpu`oesserevalidaperqualsiasi x=0ek 0LequazioneP(x) = 0haduesoluzionirealidistinte:x0= b +b24ac2aex1= b b24ac2a;Casob: < 0P(x) = 0haduesoluzionicomplessedatedaiduenumericomplessiconiugatix0= b +ib2+ 4ac2aex1= x0== b ib2+ 4ac2a;Casoc: = 0inquestocasoabbiamoladecomposizioneP(x) = ax2+bx +c = a(x b2a)(x b2a) = a(x b2a)2(cio`eilpolinomio1aP(x)`eunquadratoperfetto)elasoluzioneb2acompareduevolte.14 CAPITOLO1. CONCETTIFONDAMENTALIInsintesi, lequazioneax2+ bx + c=0haduesoluzioni reali (uguali odistinte)oduesoluzionicomplesseconiugatedatedallaformulax = b b24ac2a; (1.1)acausadellaformulaanterioresi dicecheax2+ bx + c=0`erisolubileperradicali.1.3.2 EquazioniditerzogradoComeperleequazioni algebrichedi secondogrado, ancheleequazioni delterzogradosonorisolubliperradicali. Vediamocome.Siadatalequazioneax3+bx2+cx +d = 0con a = 0. Possiamo assumere senza perdita di generalit`a che lequazione siadeltipox3+bx2+cx +d = 0.Orafacciamolasostituzionex = y b/3perottenerelequazioney3+py + q= 0; (1.2)aquestopuntofacciamolasostituzionediVi`ete4y= z p3z(1.3)perottenerelequazionez3p327z3+q= 0edunque,dopomultiplicazioneperz3,lequazionez6+qz3p327= 0. (1.4)Orafacciamolasostituzionez3= w;questaciportaallequazionew2+qw p327= 0 (1.5)4Fran cois Vi`ete, matematicofrancesenatoaFontenay-le-Comtenel 1540, mortoaParigi nel 1603.1.4. COORDINATECARTESIANE 15chesipu`orisolvereperradicalimediante1.1:w = q2 q24+p327edunque,z3= q2 q24+p327. (1.6)Questedueequazioni dannoluogoasei soluzioni tramitelaformuladi deMoivre(lesoluzionisonoinfattiugualidueadueecos` abbiamoeettiva-mente solo tre soluzioni) che devono essere riportate nelluguaglianza 1.3 pertrovareivaloridiy;inne,troviamolesoluzionidix3+bx2+ cx + d = 0facendolasostituzioney= x + b/3.1.4 CoordinatecartesianeNellaSezione1.2abbiamodescritto(inmodononrigoroso) il concettodinumeroreale. Oravediamocomeil camporealepossaesseremessoincor-rispondenzabiunivocaconipuntidiunaretta. Scegliamoduepuntidiunarettaorizzontaler; chiameremo0il puntoasinistrae1quellodi destra; ilpunto0`edettoorigineedil punto1unit`a. Ladistanzatrai punti 0e1`elaunit`adi distanza. Partendodallorigineemuovendoci nellarettaversodestra,segnamoipuntichedistano2,3,4,. . .unit`adimisurada0(questoprocesso pu`o essere fatto con un semplice compasso);i punti segnati rappre-senteranno i numeri naturali 2, 3, 4, . . . (il numero 1 `e in corrispondenza conil punto1). Oramuoviamoci sullarettaversosinistra, semprepartendoda0,esegnamoipuntidistanti1,2,3,4,. . .unit`ada0: questipuntirappre-sentano gli interi negativi. In questo modo abbiamo messo in corrispondenzabiunivocauncertosottoinsiemedi punti dellarettaegli elementi di Z(ilnaturale0 `eincorrispondenzaconlorigine).Arrivati qui osserviamocheconunregoloeduncompassopossiamodi-videreil segmentodeterminatodaduepunti consecutivi indieci segmentiuguali; inquestomodopossiamosegnare sullarettacerti numeri razion-ali: peresempio, il razionale125=2 +410. Inverit` apossiamosegnaresullarettail puntocorrispondenteaqualsiasi numerodecimaleapattodi con-cordarechequalsiasi segmentosullarettapossaesseredivisoindieci partiuguali,perpiccolocheessosia! Peresempio,vogliamosegnareilpuntocor-rispondentea=3, 141592 . . .: primaosserviamoche30oaquellodi vsek= |v||w| cos()dove = (v,w) `elangolodeterminatodaivettori v,wcon0 .Leseguenti propriet`adel prodottoscalaresonoconseguenzeimmediatedelladenizione:PS1 (v V (R3)) < v,

0 >== 0;PS2 (v,w V (R3)) < v,w>=< w, v>(ilprodottoscalare`ecommuta-tivo);1Abbiamo scritto la parole unitari perche tali vettori hanno lunghezza 1.32 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEPS3 (v,w V (R3))(k R) < kv,w >=< v, kw >= k < v,w >;PS4 (v V (R3)) < v, v >= |v|2.Teorema2.2.1Due vettori non nulli ve w di V (R3)) sono ortogonali lunoallaltro< v,w >= 0.Dimostrazione Condizione necessaria : supponiamo che v sia perpendico-lare a w (notazione: v w). Allora, cos() = 0 e dalla denizione deduciamoche< v,w >= 0.Condizionesuciente: qui lipotesi`eche< v,w>=0; siccomei duevet-tori nonsononulli,v| =0ew|=0; ladenizionedi prodottoscalareci faconcluderechecos() = 0eperci`o = /2. 2Molte volte ci conviene interpretare il prodotto scalare tramite il concettodiproiezionediunvettoresuunaltro. Siano v=

ABe w =

ACduevettoridati, con angolo tra di loro. Dal punto B tracciamo una perpendicolare allaretta AC; questa retta taglia ACin un punto C

. Deniamo la proiezionedivsu wcomeilnumeroproj w(v) = dAC

dovedAC `eladistanzatraipuntiAeC

e=_1 seC

latoAC1 seC

latooppostoaACGeometricamenteabbiamolaproiezionedelsegmentoABsullarettaperAnelladirezionediwmunitadel segnopositivose0 = |v||w| cos() = |w|proj w(v).Laproiezioneprojv(w) `edenitainmodoanalogo;siosserviche|w|proj w(v) = |v|projv(w).Le propriet`aPS1, PS2, PS3e PS4sonocompletate daunapropriet`adistributivadel prodottoscalarerelativamenteallasommadi vettori. Peralleggerireunp`olanotazione, dorainpoiprenderemoirappresentantideinostri vettori con origine nel punto O R3, origine del sistema di coordinatecartesiane. Adotteremoanchelaconvenzionedi scrivereunvettoreconlamedesimaletteralatinaminuscoladel terminedel suorappresentante: a=

OA.2.2. PRODOTTOSCALARE 33Teorema2.2.2(Propriet`adistributiva)(a,

b, c V (R3)) = + .Dimostrazione Sia

d =a+

b =

OD. Siano A, Be D tre piani perpendi-colari alla retta r per O nella direzione di c e che contengano rispettivamente,ipuntiA,BeD. SianoA

= A r, B

= B reD

= D rleintersezioni dei trepiani conr. Laproiezione(consegno)del segmentoorientato

ADche rappresenta

b `e uguale a projc(

b) (i segmenti orientati OBeADsonoequipollenti);daltrolato,projc(a) + projc(

AD) = projc(

d)edunque,projc(

d) = projc(a) + projc(

b).Inquestomodo,= |c|projc(

d) = |c|projc(a) +|c|projc(

b) == + .2Siccomeilprodottoscalare `ecommutativo,nesegueche= + .Aquestopuntoci conviene ragionare daunpuntodi vistaalgebrico.Ricordiamoci che i vettori

i,

j e

k formano una base di V (R3) cio`e, un vettorequalsiasi si esprime in modo unico come combinazione lineare con coecientireali dei vettori dellabase. Oranotiamocheinvistadellapropriet`aPS4edelTeorema2.2.1= 1, = 1, < k,

k >= 1= 0, = 0e = 0.La Propriet`a distributiva ora interviene per farci vedere che il prodottoscalarediduevettoriarbitrari v = (a1, a2, a3)e w = (b1, b2, b3) `edatoda< v,w >= a1b1 +a2b2 +a3b3.34 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEComeapplicazionecalcoliamoil cosenodellangolodi duevettoriv=(a1, a2, a3)e w = (b1, b2, b3): siccome< v,w >= |v||w| cos()irisultatianterioricidiconochecos() =a1b1 +a2b2 + a3b3_a21 +a22 + a23_b21 + b22 +b23.2.3 ProdottoVettorialeUnaltra operazione nellinsieme V (R3) `e data dal cosiddetto prodottovetto-riale : V (R3) V (R3) V (R3), (v,w) v wdenitanelmodoseguente: comealsolito,sialangolo0 denitodaivettori ve w;allora,v w = |v||w| sin() udove u `e un vettore unitario perpendicolare al piano dei vettori v,win modochelaterna(v,w, u) soddislaregoladel cavatappi (vedereSezione1.4).Osserviamo che siccome la funzione sin() 0 per tutti i valori di compresitra 0 e , il coeciente |v||w| sin() 0 e perci`o v w e u hanno il medesimosenso.Le propriet`a seguenti si dimostrano facilmente dalla denizione del prodot-tovettoriale:PV1 (v V (R3)) v

0 =

0 v =

0;PV2 (v,w V (R3)) v w = w v(ilprodottovettorialenon `ecommu-tativo);PV3 (v,w V (R3))(k R)(kv) w = v (kw) = k(v w).La propriet`a distributiva (valida per il prodotto scalare) `e anche presentenel prodotto vettoriale ma la sua dimostrazione `e un tantino pi` u dicile. Percominciare, osserviamo che la lunghezza del vettore v w `e data dal numeropositivo|v||w| sin()2.3. PRODOTTOVETTORIALE 35esiccome |v| sin()non`ealtrochelaltezzadel parallelogrammodi basewdeterminatodaivettori ve w,nesegueche |v w| `elareaditaleparallelo-grammo. Ilprodottotriplo di tre vettori arbitrari u, v,w V (R3) `e il numeroreale< u, v w >= |u||v w| cos()dove `e langolo tra i vettori u e v w(si noti che 0 ). Se u e v wsonovettorinonnulli< u, v w >= 0cos() = 0 = /2u, v,wsonocomplanari.Escludendo questo caso, i vettori u, v,w (ossia, i loro rappresentanti con orig-ine comune) formano un parallelepipedo di base v,w e lato u di cui |u|| cos()|`elaltezza;siccome |v w| `elareadelparallelogrammo v,w,| < u, v w > | =volumedelpapallelepipedo u, v,w.Daquestultimofattoconcludiamoche| < u, v w > | = | < w, u v > |perche questi due numeri positivi rappresentano il volume del medesimo par-allelepipedo. Inverit` aposiamofareunpassoinpi` u: possiamodimostrareche< u, v w >=< w, u v>.Infatti, facciamo un disegno rappresentante i tre vettori in questione; il pianov,wdivideR3induesemispazi,Sv,wchecontieneilvettore v wedilsuooppostoSoppv,w. Analogamente, il pianou, vdivideR3induesemispazi, Su,vche contiene il vettore uv ed il suo opposto Soppu,v. Ora si osservi che u Sv,w(risp. u Soppv,w)se,esoltantose,w Su,v(risp.w Soppu,v). Questofattocipermette di concludere che cos(u, vw) e cos(w, uv) sono ambedue positivioambeduenegativi.Conquestaosservazioneelacommutativit`adel prodottoscalarearrivi-amoallaseguenteconclusione:PT(u, v,w V (R3))< u, v w >=< w, u v >=< v,w u >.Teorema2.3.1(Propriet`adistributivadel prodottovettoriale)(u, v,w V (R3))u (v + w) = u v +u w.36 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEDimostrazionePrendiamoilvettore

t = u (v + w) u v u wecalcoliamoilprodottoscalare< t,

t >= |

t|2conlaiutodellapropriet`aPTedelladistributivit`adelprodottoscalare. Abbiamo=== == == + = 0.Ma |

t| = 0

t = 0edunque,u (v + w) = u v +u wcomevolevamodimostrare. 2Per concludere questa nostra presentazione fortemente geometrica delprodottovettoriale, osserviamochesiccomesin() =0 =0, ,duevettori nonnulliv,whannoprodottovettorialenullose, esoltantose,sonoparalleli(hannolamedesimadirezione). Dunque,(v V (R3)) v v= v

v= 0;inparticolare,

i

i =

j

j= k

k = 0.Leseguentiuguaglianzesidimostranofacilmente:

i

j= k,

j

k =

i,

k

i =

j,

j

i =

k,

k

j=

i,

i

k =

j.Orapassiamoaguardareil prodottovettorialealgebricamente. Calco-liamoil prodottovettorialedi duevettori arbitrari v=(a1, a2, a3)ew=(b1, b2, b3). Per fare questo, scriviamo i due vettori come combinazioni linearideivettoridellabasecanonica:v= a1

i +a2

j +a3

ke w = b1

i +b2

j +b3

k;acausadellapropriet`adistributivadel prodottovettoriale(Teorema2.3.1)concludiamochev w = (a2b3a3b2)

i (a1b3a3b1)

j + (a1b2a2b1)

k2.4. APPLICAZIONI 37ossia,v w = (a2b3a3b2, a3b1a1b3, a1b2a2b1).Il lettore`epregatodi osservarechedaccordoconlaregoladi calcolodeldeterminantediunamatricequadraditrerigheetrecolonne,possiamoscriverev w = det___

i

j

ka1a2a3b1b2b3___.Ancheil prodottotriplohaunasuaformulazionealgebricaelementare:infatti,datiivettoria = (a1, a2, a3),

b = (b1, b2, b3)e c = (c1, c2, c3),unsemplicecalcolocipermettediscrivere= det___a1a2a3b1b2b3c1c2c3___.2.4 ApplicazioniIn questa sezione si faranno alcune applicazioni dei vettori reali alla geometriaeuclidea.I punti, le rette edi piani sonoenti primitivi dellageometriae cometali nonsi denisconoesplicitamente. Inunacostruzionesistematicadel-lageometriaeuclideaessi vengonoindividuatidaalcune loropropriet`acaratteristiche dette assiomi, considerate come verit`a non dimostrabili; comeesempicitiamoiseguenti:DuepuntidistintiAeBdeterminanosempreunarettar = AB.Tre punti A,Be Cnon situati in una medesima retta determinano sempreunpiano= ABC.Seduepunti AeBdi unarettar appartengonoadunpiano, alloraqualsiasipuntodellarettarappartienealpiano.Se due piani e hanno un punto A in comune, allora e hanno al menounsecondopuntoincomune.Setrepunti appartengonoadunaretta, unoesoltantounodei punti sitrovatraglialtridue.38 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEInunpianopossiamotracciaredaunpuntoA, nonapparteneteadunarettar,unaedunasolarettaschenonintersecalarettar;larettas`elaparallelaadrpassanteperA(AssiomadiEuclide).GliassiomiriportatidisoprasonotrattidallavorodelmatematicotedescoDavidHilbert(1862-1943)suifondamentidellageometria[3]. Noiabbiamogi`afattousoimplicitamentedi questi assiomi, adandoci allanostraintu-izioneeaci`ocheabbiamoimparatonellescuolemedieesuperiori, quandoabbiamointrodottolanozionedivettore.Cominciamoperstudiarevettorialmentelarettar=ABdenitadaduepuntidistintiA, B R3. RicordiamoallettorecheunpuntoarbitrarioA R3denisceunvettore a =

OA. Sinoticheperqualsiasinumerorealem, il termineCdel vettorec=a + m(

b a)si trovanellarettarcio`e, ipunti A, BeCsonoallineati; inparticolare, perqualsiasi 0 m 1, ilpuntoC`eunpuntodel segmentoAB(conC=Asem=0eC=Bsem=1). Reciprocamente, supponiamocheC r. Alloraesisteunnumerorealemperilquale

AC= m

AB. Sesommiamoilvettore a =

OAaambiilatidiquestauguaglianzaotteniamo

OA +

AC=

OA + m

ABedaquesta,c =a+m(

ba); lultima equazione vettoriale pu`o essere riscritta nella formac = (1 m)a +m

b(siosserviesplicitamentechelasommadeicoecientidiae

b `eugualea1). LeosservazioniprecedentidimostranoilseguenteTeorema2.4.1CondizionenecessariaesucientepercheunpuntoCR3appartengaallarettar=AB`echeesistanoduenumeri reali , con + = 1e c = a +

b.Leequazionic =a + m(

b a) (2.1)c = a +

bcon, Re + = 1 (2.2)sonodueformedellaequazionevettorialedellarettar = AB.Possiamofare usodel Teorema2.4.1per ottenere le coordinate di unpunto qualsiasi della retta r = AB, con A = (a1, a2, a3) e B= (b1, b2, b3); peresempioseC`eilpuntomediodelsegmentoAB,c =12a +12

b = (a1 +b12, a2 +b22, a3 + b32). (2.3)Ingenerale,seC= (x, y, z)lequazione2.1diventa(x, y, z) = (a1, a2, a3) +m(b1a1, b2a2, b3a3)edunquex = a1 + m(b1a1), y= a2 + m(b2a2), z= a3 +m(b3a3) (2.4)equestesonoleequazioniparametrichedellarettaAB.2.4. APPLICAZIONI 39Teorema2.4.2(Teoremadi Pitagora) SiaABCuntriangoloconangolorettonel verticeC. Allora,|AB|2= |BC|2+|CA|2.DimostrazioneConsideriamoi vettori a =

BC,

b =

CAec =

BA.Allora,

b =c aedunque|

b|2== |a|2+|c|22 .Malultimoaddendo `enulloperche (a, c) = /2. 2Illettoredovrebberivedereladimostrazioneclassicadelteorema!Teorema2.4.3La somma delle lunghezze di due lati di un triangolo `emaggioredellalunghezzadel terzolato.DimostrazionePrendiamountriangolodi vertici A, B, Cedi vettoria =

BC,

b =

CAe c =

BA =a +

b;comeperilTeorema2.4.2|c|2= |a|2+|

b|2+ 2|a||

b| cos(

(a,

b));siccome (a,

b)= 0, abbiamo|c|2< |a|2+|

b|2+ 2|a||

b| = (|a| +|

b|)2edunque|c| < |a| +|

b|.2Teorema2.4.4Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto Pcheledividenellaragione1 : 2.DimostrazioneSianoA, Be Ci vertici del nostrotriangoloe sianoM1 AB, M2 BCeM3 ACi punti medi dei trelati del triangolo.VogliamodimostrarecheAM2 BM3 CM1= PeM1PCP=M2PAP=M3PBP=12.40 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEPrendiamo i vettori a,

b, c,m1,m2em3; dal Teorema 2.4.1 concludiamo che m1=12a +12

b, (2.5) m2=12

b +12c, (2.6) m3=12c +12a. (2.7)Pereliminazionedi

bdalleequazioni2.5e2.6otteniamo2m1 +c = 2m2 +aepereliminazionedi cda2.6e2.7,2m2 +a = 2m3 +

b;questedueultimeequazionidiviseper3cipermettonodiscrivereche p =23 m1 +13c =23 m2 +13a =23 m3 +13

b.AcausadelTeorema2.4.1,concludiamodallequazione p =23 m1 +13ccheilpuntoP AM2;analogamente,lealtreuguaglianzecipermettonodiconcluderecheP BM3eP CM1. Daltraparte,possiamoscrivere p =23 m1 +13c = m1 +13(c m1)edaquestoconcludiamochePsi trovaaunadistanzaugualea13dCM1daM1edunqueM1PCP=12;glialtriduecasisonodimostratiinmodosimile. 2Teorema2.4.5Lediagonali di unparallelogrammosi incontranonel loropuntomedio.2.4. APPLICAZIONI 41Dimostrazione Siano A, B, Ce D i vertici del parallelogrammo. Siccomei lati opposti del parallelogrammo sono paralleli `e immediato che

ba =c

dedaquestauguaglianzaconcludiamoche p =12

b +12

d =12a +12ccio`e, le diagonali si incontrano in un punto Pche infatti `e il loro punto mediodallaformula2.3. 2Teorema2.4.6La mediana alla base di un triangolo isocele `e perpendicolareallabase.Dimostrazione Siano A, B i vertici della base del triangolo, Msia il puntomedioeOsiailterzovertice. Daci`ocheabbiamovistoinprecedenza, m =12a +12

bedunque,ilprodottoscalare< m,

b a >=12(|

b|2|a|2) = 0perch`e |

b| = |a|. Inaltreparole,m

b a. 2Teorema2.4.7Langoloiscrittoinunsemicerchio`eunangoloretto.Dimostrazione Consideriamo un semicerchio di centro O, diametro ABesemicirconferenza ; sia C . Vogliamo dimostrare che langolo (BC, AC) =/2. IpuntiA,BeCdannoluogoaivettoria =

OA,

b =

OB= a, c =

OC,

AC=c ae

BC=c +a.Siccome== 0equesti vettori nonsononulli, concludiamoche

(BC, AC)=/2(vedereCorollario??). 242 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALETeorema2.4.8(Leggedeiseni)SiaABCuntriangolodiangoli = (BA, AC), = (AB, BC), = (AC, CB);allora|CB|sin()=|AC|sin()=|AB|sin().Dimostrazione Prendiamo i vettori u =

CB,v=

ACe w =

AB; si osserviche w = u +v. Sappiamoche w w =

0;daltrolato, w w = w (u +v) = w u + w vedunque,|w||u| sin() = |w||v| sin().Daquestultimauguaglianzasiconcludeche|CB|sin()=|AC|sin().Laltrauguaglianzadellenunciatosidimostrainmodosimile. 2Il prossimo risultato`e una generalizzazione del notissimo Teorema diPitagora.Teorema2.4.9(Leggedei coseni)SiaABCuntriangoloconangolo=

(BA, AC). Allora,|BC|2= |AB|2+|AC|22|AB||AC| cos().DimostrazioneComenel teoremaprecedenteprendiamoi vettori u=

CB,v=

ACe w=

AB;allorau = w vOracalcoliamoilprodottoscalarede uconsestesso:< u, u >=< w v,w v >=|v|2+|w|22 < v,w >= |v|2+|w|22|v||w| cos()edaquestaequazionetroviamoilrisultato. 22.5. TRASLAZIONIEROTAZIONI 432.5 TraslazionieRotazioniNelCapitolo3cipreoccuperemodicapirequaliequazionialgebrichedisec-ondogradoinx, yrappresentanounaconicaepi` uprecisamente,chetipodiconica. Perarrivareaquestoultimoobiettivosar`anecessariomodicareleequazioni in modo da ottenere una equazione di secondo grado di cui conosci-amolacurva;ci`osiottienemediantecambiamentidelsistemadicoordinatecartesiane. In seguito studieremo questi cambiamenti di coordinate;siccomefaremoragionamentisimiliancheperlesuperciquadriche(vedereilCapi-tolo4), tantovalestudiaresubitoi cambiamenti dei sistemi di coordinatenellospaziotridimensionale.ConsideriamolospazioR3assieme adunsuosistema(ortogonale) dicoordinatecartesianeOx, Oy, Oz. SiaO

=(k, , m) unpuntoarbitrariodi R3, origine di unnuovo sistema (ortogonale) di coordinate cartesianeO

x

, O

y

, O

z

intal modochei piani O

x

y

, O

y

z

eO

x

z

sianoparal-leli rispettivamenteai piani Oxy, OyzeOxz. SeunpuntoPdellospazioha coordinate(x, y, z) nelsistema originale ecoordinate (x

, y

, z

) nelnuovosistema,allora `efacilecapirechex

= x k, y

= y , z

= z m,oequivalentemente,x = x

+k, y= y

+, z= z

+m.OraprendiamoR3conduesistemi ortogonali di coordinatecartesianeOx, Oy, OzeOx

, Oy

, Oz

(iduehannolamedesimaorigine). Siano

i,

j,

kivettoriunitaridibasenelprimo sistemae i

,

j

, k

quellidelsecondo. Sinoticheunvettorearbitrario vdiV (R3)pu`oesserescrittointerminidellabase{

i,

j,

k}comev=< v,

i >

i+ < v,

j>

j+ < v,

k > k.Dunqueivettori i

,

j

, k

sipossonoscriverecomesegue:

i

=< i

,

i >

i+ < i

,

j>

j+ < i

,

k > k,

j

=< j

,

i >

i+ < j

,

j>

j+ < j

,

k > ke

k

=

i+

j+ k.Riscriviamoquestosistemanellaforma___

i

= a11

i +a12

j + a13

k

j

= a21

i +a22

j +a23

k

k

= a31

i + a32

j +a33

k(2.8)44 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEerileviamoesplicitamentelamatriceR =___a11a12a13a21a22a23a31a32a33___ (2.9)chechiamiamodimatricedirotazione. Siccome==< k,

k >= 1==< k,

i >= 0e le medesime relazioni valgono per i vettori

i

,

j

e

k

perche il sistemaOx

, Oy

, Oz

`eortogonale,otteniamoleequazionia211 + a212 +a213= 1a221 +a222 +a223= 1a231 +a232 +a233= 1a11a21 +a12a22 +a13a23= 0a11a31 +a12a32 +a13a33= 0a21a31 +a22a32 + a23a33= 0(2.10)ossia,ivettorilecuicomponentisonoglielementidellerighediAicosid-dettivettoririghediAsonoortonormalitradiloro,cio`eognivettorerigahalunghezza1eduevettoririghedistintisonoperpendicolaritraloro. Perquestomotivo lamatrice A `edettaortogonale;infatti,cos` sonodettetuttelematriciicuivettoririghe(ocolonne)sonoortonormali.Sia ATla trasposta della matrice A (ricordiamo che ATsi ottiene scriven-dolerighediAcomecolonnediAT). Allora,dalleequazioni2.10concludi-amocheAAT= ATA = I3ecio`e,A `einvertibileehaperinversalamatriceAT.Ricordando che prendiamo sempre i nostri sistemi di coordinate in modoche gli assi siano perpendicolari tra loro e con lorientamento dato dalla regoladel cavatappi e ricordando anche le caratterizzazioni del prodotto triplo di trevettoricomevolumeecomedeterminante,concludiamocheildeterminantedella matrice di rotazione 2.9 `e uguale a 1: infatti, i vettori ortonormali i

,

j

e

k

determinanounparallelepipedodivolume1edaltrolato,< i

,

j

k

>= det___a11a12a13a21a22a23a31a32a33___ = det(A).Raccogliamogliultimirisultatiinununicoteorema:2.5. TRASLAZIONIEROTAZIONI 45Teorema2.5.1SiaR =___a11a12a13a21a22a23a31a32a33___unamatricedirotazione. Alloravalgonoiseguentirisultati:1. ivettoririghedi Rhannolunghezza1esonoortogonalitradiloro;2. det R = 1;3. R`einvertibilee R1= RT.SiaPunpuntoarbitrariodi R3. SupponiamochePabbiacoordinate(x, y, z)nelsistemaOx, Oy, Oz;qualisarannolesuecoordinatenelsistemaOx

, Oy

, Oz

? Comeentegeometricoilvettore p=

OPnondipendedallasceltadelsistemadicoordinateperR3marelativamenteallebasi {

i,

j,

k}e{

i

,

j

, k

}hacoordinatediverse;cos`, p = x

i + y

j + z

ke p = x

i

+y

j

+z

k

.Daquestultimacombinazionelineareotteniamox

=, y

=, z

=,edalleequazioni2.8concludiamochex

= a11x + a12y +a13zy

= a21x +a22y + a23zz

= a31x +a32y +a33zossia,___x

y

z

___ =___a11a12a13a21a22a23a31a32a33______xyz___Nel pianoR2lecoseprocedonoinmanieraanaloga. SiaOx, Oyunsis-temadi coordinateortogonali esiadatounpuntoO

=(k, ) R2; oraprendiamo un nuovo sistema (ortogonale) di coordinate cartesiane O

x

, O

y

intal modochegli assi O

x

, O

y

sianoparalleli rispettivamenteagli assiOx,Oy. SeunpuntoPdelpianohacoordinate(x, y)nelsistemaoriginaleecoordinate(x

, y

)nelnuovosistema,allora `efacilecapirechex

= x k, y

= y ,46 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEoequivalentemente,x = x

+ k, y= y

+.Ora prendiamo R2con due sistemi ortogonali di coordinate cartesiane conlamedesimaorigineOx, OyeOx

, Oy

. Siano i,

j i vettori unitari di basenelprimosistemae i

,

j

quellidelsecondo. Comenelcasotridimensionale,scriviamoivettori i

,

j

nellaforma

i

=< i

,

i >

i+ < i

,

j>

j,

j

=< j

,

i >

i+ < j

,

j>

j.Riscriviamoquestosistemanellaforma_

i

= a11

i + a12

j

j

= a21

i +a22

j(2.11)erileviamoesplicitamentelamatricedirotazioneA =_a11a12a21a22_(2.12)Ancheinquestocasoa211 + a212= 1a221 + a222= 1a11a21 +a12a22= 0ossia, i vettori righedi Asonoortonormali tradi loroedunque, AAT=ATA=I2. Anchenel casobidimensionale, det(A)=1. Infatti, pensiamoallarotazionenelpianocomeunarotazionenellospazioattornoallasse Oz;alloraabbiamoleequazionivettoriali___

i

= a11

i + a12

j + 0

k

j

= a21

i +a22

j + 0

k

k

= 0

i + 0

j + 1

k(2.13)dallequalipossiamoestrarrelamatriceB=___a11a120a21a2200 0 1___.Comeperilcason = 3,< i

,

j

k

>= det(B) = 12.5. TRASLAZIONIEROTAZIONI 47esiccomedet(B) = det(A),concludiamochedet(A) = 1.Sia Pun punto arbitrario di R2con coordinate (x, y) nel sistema Ox, Oyecoordinate(x

, y

)nelsistemaOx

, Oy

. Comenelcasopi` ugeneralex

= a11x +a12yy

= a21x +a22yossia,_x

y

_=_a11a12a21a22__xy_Facciamo unesempio specico. Supponiamo ruotare il pianoOx, Oyattornoalloriginenelsensoanti-orariodiunangolo;allora,_

i

= cos

i + sin

j

j

= sin

i + cos

jdondeconcludiamocheunpuntoPdicoordinate(x, y)nelsistemaOx, Oyhacoordinate_x

= xcos +y sin y

= xsin +y cos nel sistema Ox

, Oy

; i valori di x, y in termini di x

, y

sono dati dalleequazioni_x = x

cos y

sin y= x

sin +y

cos (2.14)Teorema2.5.2Traslazionierotazioniconservanodistanzeeangoli.DimostrazioneVogliamodimostarechetraslazioni erotazioni manten-gono la lunghezza dei vettori e gli angoli tra essi. Cominciamo con le traslazioni.SiaunatraslazionediR3datadalleequazionix = x

+k, y= y

+, z= z

+ m.Sia v un vettore rappresentato dal segmento orientato

OAcon A = (a1, a2, a3).Allora trasformatalesegmentonel segmentoorientato(

OA)di estremiO

=(k, , m)eA

=(a1 + k, a2 + , a3 + m); dunque(

OA)= voinaltreparole,letraslazionimantengonoivettori.SiaoraunarotazionedenitadallamatriceortonormaleA =___a11a12a13a21a22a23a31a32a33___.48 CAPITOLO2. ALGEBRAVETTORIALEDato v= (a1, a2, a3),abbiamo(v) =(a11a1 +a12a2 + a13a3, a21a1 + a22a2 +a23a2, a31a1 +a32a2 +a33a3)efacendoiconti,otteniamo|(v)|2= a21 +a22 + a23= |v|2.Pi` ugeneralmente,facendoicontisivedecheunarotazionenonalterailprodottoscalarediduevettori,cio`e< (v), (w) >=< v,w >eperci`o< (v), (w) >|(v)||(w)|=< v,w >|v||w|= cos dove `elangolotra ve w. 2Capitolo3Curvealgebrichepiane3.1 CurvepianeIn questo capitolo studieremo le gure piane denite come luoghi geometricidi tutti i punti di R2chesianosoluzioni di unaequazionealgebricarealef(x, y) = 0. Questiluoghisonodetticurve(algebriche)piane.Cominciamoperfarealcuneconsiderazionigeneralisullecurvepiane. Sichiamaordinedi unacurvail gradodel polinomiocheladetermina. Seunpolinomio f(x, y) si scrive come prodotto di due polinomi di gradi 1 comef(x, y) = g(x, y)h(x, y)lacurvapianadenitadaf(x, y)=0si decomponecomelunionedellecurvedeterminatedag(x, y)=0eh(x, y)=0, dettecomponentidi. Peresempio,lacurvadiordine3denitadallequazionex3y3+x2(1 y) +y2(1 + x) x + y 1 = (x y + 1)(x2+y21) = 0hacomecomponentilacurvadenitadallequazionex2+ y21 = 0equelladenitadax y + 1 = 0.Sinotichequesteduecurvesiincontranoinduepunti: (1, 0)e(0, 1). Lacurvadiordine2datadax2+y22xy + 2x 2y + 1 = (x y + 1)2= 0hacome(unica)componentelacurvax y+ 1=0cheper`odeveesserecontataduevolte.4950 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEOradiamolenunciatodi unteoremache haavutomoltaimportanzaperlaGeometriaAlgebrica, dovecomparesottovarieformeequivalenti; ladimostrazione di questo teorema sfugge agli scopi di questo corso per`o il suocontenuto `ediinteresseperilnostrolavoro;illettorecuriosopotr`atrovarneunadimostrazionein[7].Teorema3.1.1(TeoremadiBezout)1Duecurvealgebrichediordini menchehannopi` udimnpuntiincomunehannounacomponentecomune.Trattandosi dellaricercadi punti comuni aduecurvealgebrichepiane(cio`e dei punti del piano che soddisfano simultaneamente due equazioni alge-briche reali in due variabili) il risultato va interpretato nel campo complessoe con i dovuti riguardi per le cosiddette multiplicit`a di intersezione. Facciamounesempiosemplice. Siadatadallequazionex2+y2= 1esiarunacurvadiequazionex k = 0. Allora1. se 1 < k < 1, r = (k, 1 k2);2. sek < 1ok > 1, r = (k, ik21);3. sek = 1(resp. k = 1), r = (1, 0)resp.(1, 0)maognunadiquesteintersezionideveesserecontata2voltecio`e,ogniintersezionehamolteplicit`a2.Ora cominceremo a studiare alcune curve speciali di R2: le rette e le cosid-detteconicheossia: circonferenza, parabola, ellisseeiperbole. Nel capitolosuccessivostudieremoleconichedalpuntodivistapuramentegeometrico.1Etienne Bezout, Nemours 1730 Les Basses-Loges (Fontainebleau) 1783.3.1. CURVEPIANE 513.1.1 RetteConsideriamo il piano R2munito di un sistema ortogonale di coordinate Ox,Oy. Osserviamo subito che le equazioni 2.1 e 2.2 si trasferiscono naturalmenteal pianoR2; questovale anche per le equazioni parametriche: dati A=(a1, a2)eB= (b1, b2)larettar = ABhaleequazioniparametrichex = a1 + m(b1a1), y= a2 +m(b2a2). (3.1)Facciamounanalisi pi` uaprofonditadi queste equazioni parametriche.Percominciare, supponiamochea1=b1; inquestocasoil vettore b a=(0, b2 a2)`eparalleloalvettore j(cio`eallasseOy)elequazionex a1=0caratterizzatutti i punti di r. Analogamente, sea2=b2, larettar`erappresentata dallequazione y a2= 0. Supponiamo nalmente che a1 = b1ea2 =b2(non`epossibileaveresimultaneamentea1=b1ea2=b2perchesiamopartitidapuntidistintiAeB). Inquestocasoabbiamom =x a1b1a1=y a2b2a2;scrivendoa = b2a2, b = a1b1ec = a2(b1a1) a1(b2a2)otteniamolequazionelineareinxeyax + by +c = 0.Itrecasiconsideraticimostranocheleequazioniparametrichediunarettaperduepunti distinti possonoesseretrasformateinunaequazionelineare(concoecientireali)ax + by + c = 0conalmenounotraa, b= 0.Reciprocamente,siadataunaequazionelineareinx, yconcoecientirealiax +by +c = 0; (3.2)dimostriamo che i punti (x, y) del piano che soddisfano lequazione apparten-gono tutti ad una retta. Supponiamo per ora che a, b e c siano tutti e tre nonnulli. Sey= 0lequazione3.2implicaax + c =0elecoordinatedelpuntoA = (c/a, 0)soddisfano3.2;sex = 0,sonolecoordinatediB= (0, c/b)asoddisfare3.2. Oracalcoliamolequazionevettorialedellarettar=AB:essa `e(x, y) = (ca, 0) + m(ca, cb)52 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEoinformaparametrica,x +ca= mca, y= mcbequindi, eliminandolamtraledueotteniamolequazioneax + by + c=0checoincideconlequazionedata. Icasi incui a=0oppureb=0(non`epossibile avere ambedue a = 0 e b = 0) sono discussi in modo analogo; si notichesea = 0abbiamounarettaparallelaaOx,seb = 0laretta`eparallelaallasseOyesec = 0larettapassaperilpuntoorigineO.Aquestopuntovogliamoosservareesplicitamenteil vettoren=(a, b)ottenutodaicoecientidixeynellequazioneax + by + c = 0diunarettardiR2`eperpendicolarealladirezionedellaretta;infatti:1. a = 0 rOxe n = (0, b) Oxeperci`o n r;2. b = 0 rOye n = (a, 0) Oyeperci`o n r;3. a = 0, b = 0, c = 0 r passa per lorigine e contiene il punto (1, a/b);ilvettore v= (1, a/b)halamedesimadirezionedire< n, v>= 0edunque n r;4. a =0, b =0, c =0 rincontraOxin(c/a, 0)eOyin(0, c/b); ilvettore v= (c/a, c/b) `enelladirezionedire< n, v>= 0.Esistanoaltrimodiperdarelequazionediunarettanelpiano.Rettaperunpuntoeinunadirezionedata-Sonodati A=(a1, a2)en=(a, b). SeX= (x, y) rivettori

AXe nsonoparalleli;dunqueabbiamoleequazioniparametriche:x = a1 + ma, y = a2 +mb.Rettaperunpuntoeperpendicolareadunadirezionedata-Sonodati A=(a1, a2)e n = (a, b). Allora

AX n < (x a1, y a2), (a, b) >= 0edunque,ax +by + (aa1ba2) = 0.Retta perpendicolare ad una direzione data e ad una distanza data dallorigine-Sian=(a, b)unvettoredato. Cerchiamolequazionedi unarettarchesiaperpendicolarealladirezionedi nechesi trovi adunadistanzad>0dallorigineO. Sia c = (x, y)unvettorediR2. Allora,= |n||c| cos(

(n, c)) =3.1. CURVEPIANE 53=a2+b2projn(c);daltrolato,= ax +byeperci`o,ax + by=a2+b2projn(c).Ora i punti Cdel piano che appartengono ad una tale retta devono soddisfarela condizione |projn(c)| =d e siccome il numero projn(c) pu`o essere positivoonegativo,abbiamoduepossibilisoluzioni:ax + by +da2+b2= 0ax + by da2+b2= 0Sianodatiunarettar R2diequazioneax +by +c = 0edunpuntoA=(a1, a2) R2talecheA r. Ci proponiamodi calcolareladistanzatraAer. LarettanperAeperpendicolarearhaequazioniparametrichex = a1 + ma, y= a2 +mb;sostituendo questi valori per x e ynellequazione della retta abbiamo a(a1 +ma) + b(a2 +mb) + c = 0edunquem = aa1 +ba2 + ca2+ b2(ildenominatorenonpu`oesserenullo). Allorar n = B= (a1aa1 +ba2 +ca2+b2a, a2aa1 + ba2 +ca2+b2b)LadistanzatraAeB(cio`e,ladistanzatraAer) `edatadalnumerod = |aa1 +ba2 + c|1a2+b2.3.1.2 LacirconferenzaSianodati unpuntoC R2edunnumerorealepositivor; linsiemedeipuntiP R2talichedPC=r`elacirconferenzadicentroCeraggior. Siusa anche dire che la circonferenza di centro Ce raggio r `e il luogo geometricodeipuntidiR2lacuidistanzaaC`er.54 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANELaformapi` usemplicedellequazionedellacirconferenzasiottienepren-dendoil centroCcomeoriginedel sistemaortogonaledi coordinatecarte-siane: alloraP _x2+ y2= rossiax2+y2= r2.Questa `elequazionecanonicadellacirconferenza.AnchelequazionedellacirconferenzadiraggiorecentroC= (c1, c2)siottienebanalmenteed `e(x c1)2+ (y c2)2= r2.SupponiamocheCabbialecoordinate(c1, c2);allora,P= (x, y) dPC=_(x c1)2+ (y c2)2= rossia,(x c1)2+ (y c2)2= r2oequivalentemente,x2+y22xc12yc2 + c21 + c22r2= 0.Comesipu`oconstataredallultimaequazione,lequazionediunacircon-ferenzanellecondizionidate `eunaequazionequadratica(disecondogrado)in x e ysenza termine misto in xye con i coecienti di x2e y2uguali a 1.Inversamente,supponiamodiaverelequazionex2+y2+dx + ey + f= 0 (3.3)con e, d, fnumeri reali arbitrari. Aermiamo che tale equazione rappresentaunacirconferenzapurched2+ e2 4f >0! Perdimostrarequestanostraaermazionetrasformiamolequazioneconilmetododel completamentodeiquadrati: osserviamoche3.3 `eequivalenteallequazionex2+dx +d24+y2+ ey +e24= f+d24+e24ossia,(x +d4)2+ (y +e4)2=14(d2+e24f)rappresentaunacirconferenzadicentro(d/2, e/2)eraggior = 1/2_d2+e24f.3.1. CURVEPIANE 55Sappiamodallageometriaelementarechetrepuntideterminanounacir-conferenza;vediamoconunsempliceesempiocomoci`oaccade. SianodatiipuntiA = (1, 1),B= (0, 3)eC= (1, 0). PrendiamoisegmentiABeACeilororispettivipuntimediM1= (1/2, 2)eM2= (0, 1/2). Leretter1er2passanti per M1e M2e perpendicolari ai segmenti ABe ACrispettivamentesi incontrano nel centro della circonferenza Zperche le distanze da Zai puntiA,BeCsonouguali. Leequazionidiquesterettesonor1: 2x 4y + 7 = 0r2: 4x 2y + 1 = 0;il loropuntodi incontro`eZ=(1/2, 3/2) e ladistanzadi ZaA, peresempio, `eugualea_5/2. Dunquetroviamochelacirconferenzapassanteperitrepuntidatihaequazionex2+ y2+x 3y= 0.Daltrolato`epossibilefareunragionamentopuramentealgebricopertrovarelequazionedellacirconferenzaper i punti A, BeC. Infatti, im-ponendochelecoordinati di tali punti soddisni lequazionegeneraledellacirconferenza3.3otteniamoilsistemalineare___d + e +f= 23e +f= 9d +f= 1chehapersoluzione(unica)d=1,e= 3ef=0dondeconcludiamochelequazione3.3diventax2+ y2+ x 3y= 0.3.1.3 LaparabolaUnaparabola`eilluogogeometricodeipuntidelpianoR2chesonoequidis-tantidaunarettaedunpuntodiR2;larettad `eladirettriceedilpuntoF`eilfuocodellaparabola.Per trovare una equazione che rappresenti canonicamente una parabolaprocediamo nel modo seguente: sia p > 0 la distanza dal fuoco alla direttrice;prendiamounsistemaortogonaledicoordinatecartesianexOyinR2intalmodocheF= (p/2, 0)edabbiaequazionex +p/2 = 0. Allora,dPF= dPd_(x p/2)2+y2= |x + p/2|56 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEedunque,x2px +p24+y2= x2+px +p24ecos` abbiamounaequazionecanonicadellaparabola.y2= 2px, p > 0.Ilpunto(0, 0)`eilverticedellaparabolaelasseOx`edettoassedisim-metria,questo perche,dato un qualsiasi punto (xo, yo) della parabola,ancheilpunto(xo, yo)appartieneallaparabola.Ci sonoaltretrepossibili posizioni per laparabolaeperci`o, altretreequazioni canoniche; per esempio, se prendiamo il punto (p/2, 0) per fuocoelarettax p/2 = 0comedirettrice,troviamolequazioney2= 2px, p > 0;lealtreduepossibilit`asono:x2= 2py, p > 0,x2= 2py, p > 0.3.1.4 LellisseLellisse`eil luogogeometricodei punti del pianotali chelasommadelledistanze da due punti ssi `e costante. Questi due punti ssi sono detti fuochi.Ladenizionehasensosoltantonel casoincui questacostantesiapi` ugrande della distanza tra i fuochi. Per ottenere lequazione canonica dellellisseprendiamounsistemadicoordinateaventeperasseorizzontaleOxlarettapassanteperiduefuochiFedF

eperorigineilpuntomediodelsegmentoFF

. Dunquei fuochi avrannocoordinateF=(c, 0)eF

=(c, 0). Sia2a > 0 la costante data. La denizione ora ci dice che P= (x, y) `e un puntodellellissese,esoltantose_(x c)2+y2+_(x +c)2+y2= 2a.Setrasferiamounodeiradicaliadestraeprendiamoilquadratodeiduelatidelluguaglianzaotteniamo(x c)2+y2= 4a24a_(x +c)2+ y2+ (x +c)2+ y2;facendoicontiotteniamo_(x + c)2+y2= a +cax.3.1. CURVEPIANE 57Calcoliamonuovamenteiquadratidiambiilatiperottenere(x +c)2+y2= a2+ 2cx +c2a2x2epertanto,x2a2+y2a2c2= 1.Siccome a > cpossiamoprendereilnumeroreale b =a2c2elequazioneanteriorediventax2a2+y2b2= 1,unaformacanonicadellequazionedellellisse. Daquestaequazioneosservi-amo che la nostra ellisse interseca lasse Ox nei punti A = (a, 0), A

= (a, 0)e(acausadelTeoremadiPitagora)incontralasseOyneipuntiB=(0, b)eB

=(0, b). Il segmentoA

A(risp. B

B)`edettoassemaggiore(risp.asseminore)dellellisse;lintersezionedellassemaggioreconlasseminore `eilcentrodellellisse. Sinotichelassemaggiore(risp. asseminore) `eunassedi simmetrianel sensocheseunponto(xo, yo)appartieneallellisseanche(xo, yo)(risp. (xo, yo))appartienneallellisse. Ilcentrodellellisse`ecen-trodi simmetriadellaguranel sensochedatounqualsiasi punto(xo, yo)dellellisse,ilpunto(xo, yo) `eanchenellagura.SinoticheseprendessimoipuntiF= (0, c)eF

= (0, c)comefuochi,avremmolequazionecanonicax2b2+y2a2= 1Finalmente,ilquozientee =ca`edettoeccentricit`adellellisse;chiaramente0 < e < 1.Ritorniamo per un momento alla denizione della parabola per ricordareche questa gura piana `e denita come il luogo geometrico dei punti Ple cuidistanzeadunpuntoFedunarettadsonouguali;inaltreparole,dPFdPd= 1.Consideriamolellisse Edi equazionecanonicacomesopra, confuochi F=(c, 0),F

= (c, 0)eprendiamoleretteded

diequazionix ae= 0ex +ae= 0rispettivamente. Vogliamodimostrareilseguente58 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANETeorema3.1.2P EdPFdPd= eoppureP EdPF

dPd

= e.DimostrazioneCondizionenecessaria:P E dPF/dPd= eSupponiamocheP= (x, y)soddislequazionedellellisse;allora,(a2c2)x2+ a2y2= a2(a2c2)edaquestaotteniamoc2x2+a4= a2c2+a2y2+a2x2. (3.4)OradPFdPd=_(x c)2+ y2|x a2/c|eperci`oprendendoiquadratidiambiilatiesemplicandootteniamo(dPFdPd)2=c2[x22cx +c2+ y2]c2x22a2cx +a4;sostituendolespressionec2x2+ a4neldenominatorediquestauguaglianzaperilsuovalorein3.4siha(dPFdPd)2=c2[x22cx +c2+y2]a2[x22cx +c2+y2]= (ca)2eperci`odPFdPd= e.Condizionesuciente: dPF/dPd= e P ELacondizionecidiceche_(x c)2+y2= e|x a2/c|.Prendendoiquadratideiduelatidellespressioneesemplicandootteniamochex2a2+y2b2= 1ossiaP E.RisulatianaloghisiottengonoperilfuocoF

eladirettriced

. 23.1. CURVEPIANE 593.1.5 LiperboleLiperbole `e il luogo geometrico dei punti del piano tali che la dierenza delledistanzedaduepuntissidettifuochi `eunacostantepositiva.Comeperlellisse, prendiamounsistemadi coordinateaventeperasseorizzontale Ox la retta passante per i due fuochi Fed F

e per origine il puntomediodel segmentoFF

. SianoF=(c, 0)eF

=(c, 0)lecoordinatedeifuochi e sia 2a > 0 la costante data. La denizione ora ci dice che P= (x, y)`eunpuntodelliperbolese,esoltantose_(x c)2+y2_(x +c)2+ y2= 2a.Trasferendounradicaleadestraequadrandoilatiotteniamo(x c)2+y2= (x +c)2+ y24a_(x + c)2+y2+ 4a2chesitrasformanelluguaglianza4a_(x +c)2+ y2= 4a2+ 4cx;dividendoiduelatiper4aequadrandonuovamenteotteniamox2+ 2cx +c2+y2= a2+ 2cx +c2a2x2ossia,(c2a2 1)x2y2= c2a2edividendoperc2a2otteniamox2a2 y2c2a2= 1.Oradimostriamochec>a. PrendiamountriangoloPFF

ilcuiverticeP`e un punto della nostra iperbole. Sia d1(risp. d2) la lunghezza del segmentoPF(risp. PF

); da una nota propriet`a dei triangoli (vedere il Teorema 2.4.3)2c +d2> d1e2c +d1> d2eperci`o2c > d1d2, 2c > d2d1ossia,2c > |d1d2|;daltrolato, |d1d2| = 2aeallora2c > 2acio`e,c > a.Questoci permettedi prendereil numerorealeb=c2a2esostituendo60 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEquestovalore nellequazione delliperbole troviamonalmente laseguenteformacanonicadellequazionedelliperbole:x2a2 y2b2= 1.Comenelcasodellellisse, seprendessimoifuochiF=(0, c)eF

=(0, c)avremmolequazioney2a2 x2b2= 1.Larettapassanteperi duefuochi FeF

`elassetrasverso; laperpen-dicolareaquestassepassanteperilpuntomediodelsegmentoFF

`elasseconiugato; nalmente, lintersezione di questi due assi `e il centro delliperbole.Comenel casodellellisse, gli assi sonoassi di simmetriaedil centro`eunverocentrodisimmetriaperlagura.Leccentricit`adelliperbole `eilquozientee =ca;inquestocasoe > 1.Comeperlellisse,liperbole Idiequazionex2a2 y2b2= 1haduedirettrici: leretteded

diequazionix ae= 0ex +ae= 0rispettivamente. Come per la parabola e la ellisse abbiamo il seguenterisultato:Teorema3.1.3P IdPFdPd= eoppureP IdPF

dPd

= e.DimostrazioneLadimostrazione`eperfettamenteanalogaaquelladelTeorema3.1.2ed `elasciatacomeesercitazione. 23.2. GEOMETRIAGRECA 613.2 LeconichenellageometriagrecaInquestasezionestudieremoleconichedal puntodi vistageometricocio`e,faremo una incursione in quella straordinaria parte della scienza che fu appun-to la geometria greca. Fu Menacheo,allievo di Platone,che verso il 350 a.C.inizi`o lo studio sistematico delle curve piane si ottengono come lintersezionedi unconocircolarerettodi R3conunpianochenonpassaperil suover-tice.2Menacheoarriv`oalleconichenel tentativodi risolvereil problemadiDeloossia,ilproblemadelladuplicazionedelcubo(datouncubodispigolopertantodi volume V=3costruireuncubodi spigolo

di volume2V).3ConsideriamolospazioR3divisoinduepartidalpianoorizzontale R2esiaaunarettaperpendicolareaR2; siaoragunarettacheintersecaanelpuntoV efacenteunangolocona,0 < < /2. Orafacciamoruotaregattornoadainmodochelangolononsialterimai;lagura Cottenuta `eundoppioconodiapertura,generatricegeverticeV (attenzione: larettaverticale a non `e parte del doppio cono!). Chiameremo falde i coni di C: pi` uprecisamente, faldasuperiore e faldainferiore. Sia R3un piano che noncontieneilverticeV . Prenderemoinconsiderazionetrecasi:1. `eperpendicolareallassea;2. geparallelaal pianoequestoincontrail doppioconoinunasolafalda;3. incontraildoppioconoinambelefalde.Caso 1 Sia = Clintersezione del piano con il cono; sia Cil punto diintersezionediconlassedirotazionea. Siccomeilcono C`eottenutoperrotazione della generatrice gintorno allasse, il punto A = g descrive unacirconferenzadicentroCecontenutainechecoincidecon. Pi` uavantiriprenderemoildiscorsosullacirconferenza.Caso2Supponiamocheincontri il doppiocononellafaldainferiore. Ilpiano verticale

determinato dalle rette a e g incontra in una retta g

par-allela a g e interseca il doppio cono in una seconda retta g

; sia W= g

g

.`Efacile costruire nel piano

una circonferenza con centro O nellasse a e chesiatangentealleretteg,g

eg

: infatti,a `elabisettricedellangolo (g, g

)2Nella geometria greca i coni era visti come solidi e perci`o le sezioni di un cono con unpianoerano,perigeometrigreci,dellesuperciepianelimitatedacurve(curvechenoioggi chiamiamo propriamente coniche).3IlproblemadelladuplicazionedelcubosichiamaancheproblemadiDelopercheEratostene, inunaletteraal reTolomeoIII, disseesserestatopropostodalloracolodiApollo agli abitanti della citt`a di Delo.62 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEconverticeV ; costruendolabisettricebdellangolo

(g

, g

)converticeWotteniamoil centroO=a bdellanostracirconferenza; nalmentedaOtracciamoleperpendicolarip,p

ep

ag,g

eg

rispettivamenteottenendoi punti Q=p g, F=p

g

eQ

=p

g

chesono, rispettivamente, ipunti di tangenzadelleretteg, g

eg

conlacirconferenza. Ruotandoattornoallasseaotteniamounasferache `etangentealpianonelpuntoF. Questasfera `eanchetangenteallafaldainferioredeldoppioconoinunacirconferenza1contenutainunpianoorizzontale

checontienei puntiQeQ

; osserviamochelangoloformatodae

`eugualea/2 .SiaPunpuntodellintersezione C. LarettaPV `econtenutain C; siaT= PV 1. Siccome PVe PFsono tangenti a in Te Frispettivamente,isegmentiPFePThannougualelunghezzaossia,dPF= dPT.SiaoraP1laproiezioneortogonalediPsulpiano

. IltriangoloPTP1hagliangoli

(TPP1) = e (PP1T) = /2edunque,perlaleggedeiseni(vedereTeorema2.4.8),PP1sin(/2 )= PTcio`e,dPP1cos()= dPT= dPF.Daltro lato, siano d =

e Dla proiezione ortogonale del punto Psullarettad. IltriangoloPP1Dhagliangoli

(PP1D) = /2e (PDP1) = /2 enuovamenteperlaleggedeiseni,dPP1cos()= dPd;indenitiva,dPFdPd= 1.Lacurvapianaottenutacomeintersezionedel cono C edel piano`elaparabola di fuoco F e direttrice d; i suoi punti sono caratterizzati dallapropriet`aP C dPFdPd= 1.3.2. GEOMETRIAGRECA 63Oraosserviamochelarettag

=

(ricordiamoche

`eilpianode-terminato dalle rette a e g) incontra la retta gin un punto Ue la retta g

nelpunto W; questi due punti appartengono allintersezione C. Cos` abbiamoun triangolo UV Wnel quale possiamo iscrivere una circonferenza con cen-tro O a; daltro lato, abbiamo anche una gura formata dal segmento UWe dalle semi-rette che non contengono Ve partono da Ue Wrispettivamentenelledirezionidigeg

;sia

lacirconferenzaconcentroO

aetangenteaUWeallesemi-retteappenadescritte. Questecirconferenzedannoluogoaduesferee

chesonotangenti al pianonei punti (fuochi)FeF

rispettivamente. Inquestacostruzionetroviamoanchelerette(direttrici)d =

ed

=

1dove

1`eilpianoorizzontaledellacirconferenzadatadallintersezione

C.Limitiamoci, per ora a studiare la situazione relativamente al fuoco Fedalla direttrice d. Sia langolo tra i piani e

. Come nel Caso 1 abbiamo:dPP1cos()= dPFdPP1sin()= dPdedunque,dPFdPd=sin()cos()=sin()sin(/2 ).Nelle condizioni date il quozientesin()cos() `e una costante e; per giunta, /2 >eperci`o0 < e < 1.Considerazioni analoghe possono essere fatte relativamente al fuoco F

edalladirettriced

. Lacurva C `elellissedifuochiF,F

edirettricid,d

;isuoipuntisonocaratterizzatidallapropriet`aP C dPFdPd=dPF

dPd

= e, 0 < e < 1.Lacostantee `edettaeccentricit`adellellisse.Caso3 Lasciamo questo caso al lettore come esercitazione; ci limitiamo adosservare che procedendo come nei due casi anteriori troveremo due sfere e

situate in due falde distinte, nonche due fuochi e due direttrici; nalmente,64 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEleccentricit`a e `e maggiore di 1. La gura ottenuta `e liperbole caratterizzatadaP C dPFdPd=dPF

dPd

= e, e > 1.`E interessante notare che per Menacheo la circonferenza non aveva legamiconleconicheperch`elui studi`oquestegureintersecandounconoconunpianoperpendicolareadunageneratrice,dunqueottenendounaparabolase = /4, una ellisse se < /4 ed una iperbola se > /4 (Menacheo potevaottenereunacirconferenzasolose=0,maintalcasolacirconferenzaharaggionullo).Orariprendiamolenostreconsiderazioni sullacirconferenza. Comeab-biamovistoquestagurageometricapu`oessereottenutacomeintersezionedi unpianoconunconodi asseaegeneratricegpurchesiaperpendi-colareada. Possiamodirechelacirconferenzaprovienedaunaellisseconi duefuochi coincidenti; madovesi trovanoledirettrici? Perdareunasp-iegazionedicomestannolecosefacciamounsaltoindietro,allaSezione??eprecisamente, alladenizionedi eccentricit` a. Ricordiamochelaparabolahaeccentricit`ae=1, echeperlellisse(risp. iperbola)leccentricit` avale0 0: allorailluogodeipuntidelpianochesoddisfanolequazione3.6 `e:(i)unaellissese14D2/A +14E2/C F> 0,(ii)ilpunto(k, )se14D2/A +14E2/C F= 0,(iii)linsiemevuotose14D2/A +14E2/C F< 0,(iv)unacirconferenzaseA = Ce14D2/A +14E2/C F> 0;66 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANE2. AC< 0: illuogogeometricodenitoda3.6 `e:(v)unaiperbolese14D2/A +14E2/C F = 0,(vi)linsiemedenitodalleduerette_|A|x

_|C|y

= 0,_|A|x

+_|C|y

= 0passantiperlorigine,se14D2/A +14E2/C F= 0;Neicasi(ii)e(vi)diciamochelaconica `edegenere.Esempio1-Studiarelacurvapianadiequazione9x2+ 25y2+ 18x 100y 116 = 0.Conlatraslazionex

= x + 1, y

= y 2lequazionediventax225+y29= 1cherappresentaunaellissi.Esempio2-Illuogodellequazione3x2+y2+ 5 = 0`evuotoperchelasommaditrefattoripositivenonpu`omaiesserenulla.CasoB- B=0eunodei duecoecienti AoCsianullo(diciamo, peresempio,cheC= 0);abbiamolequazioneAx2+Dx + Ey +F= 0.Facciamoilcambiamentodivariabilix = x

+k, y= y

perottenerelequazioneAx2+ (2Ak + D)x

+Ey

+ Ak2+ Dk + F= 0eimponendoluguaglianza2Ak + D = 0abbiamoAx2+ Ey

D2/4A + F= 0.SeE= 0allorax2= D2/4A F3.3. CLASSIFICAZIONEDELLECONICHE 67ecosiabbiamolinsiemevuotoseD2/4A F< 0oilprodottodellerettex

_D2/4A F= 0ex

+_D2/4A F= 0(conicadegenerata);altrimenti,seE = 0facciamolatraslazionex

= x

, y

= y

+1E(D2/4A F)perottenerelequazioneAx2= Ey

diunaparabolaconverticenellorigine.Esempio3-Perlequazionex2+ 4x + 4y + 4 = 0facciamolatraslazionex = x

2, y

= yperottenerex2= 4y

,equazionediunaparabola.CasoC-B = 0.Vogliamodimostrare che`e possibile fare unarotazione conveniente diangolodel sistemadi coordinateinmodoafarescomparireil fattoreconxy,ritornandocos` aicasiAeB.Infatti,consideriamolarotazione_x = x

cos y

sin y= x

sin +y

cos (cfr. Equazioni 2.14, Sezione2.5); sostituendoquesti valori nellequazione3.5otteniamolequazioneA(x

cos y

sin )2+B(x

cos y

sin )(x

sin +y

cos )++C(x

sin +y

cos )2+D(x

cos y

sin )+E(x

sin +y

cos ) +F= 0.Dopoledovutesemplicazioniotteniamolequazione[Acos2 +Bsin cos +C sin2]x2+ (3.7)[2(C A) sin cos +B(cos2 sin2)]x

y

+68 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANE[Asin2 Bsin cos +C cos2]y2+[Dcos + E sin ]x

+ [Dsin +E cos ]y

+F= 0.Ilnostroobiettivo `equelloditrovareunangolotaleche2(C A) sin cos +B(cos2 sin2) = 0.Daltrolato `esaputochesin 2 = 2 sin cos , cos 2 = cos2 sin2edunque,lultimauguaglianzasiscrive(C A) sin 2 +Bcos 2 = 0ossia,cot 2 =A CB. (3.8)Ricapitolando,perunaequazionequadraticaarbitrariaAx2+Bxy +Cy2+Dx +Ey + F= 0esistesempreunarotazionedi assi concentrodi rotazioneOdi unangolo, 0 0eA = C;(iii)unaiperbolese I2< 0.DimostrazioneTrasformiamolequazioneAx2+ Bxy + Cy2+Dx +Ey + F= 0inunaequazionedel tipo3.7tramiteunarotazionedi angolo. Dal Teo-rema3.3.1sappiamoche I2noncambianellanuovaequazione;daltrolato,scegliamo in modo che cot 2 = (AC)/B in modo a eliminare il coecientedelterminemisto. InquestomodoabbiamocheAC= AC 14B2= I2ecos` il segnodi AC`eugualeaquellodi I2; lanalisi sullaclassicazionedelle curve piane di equazione 3.5 con il coeciente del termine misto ugualeazerofattanelprincipiodellasezionecipermettediconcluderelaveracit`adelrisultatoenunciato. 2Nella sezione ?? abbiamo visto che lellisse e liperbole hanno un centro disimmetria (infatti, in quella sezione abbiamo le coniche con le loro equazionicanoniche e il centrodi simmetriadellellisse e delliperbole coincide conlorigine del sistemadi coordinate). Oravogliamodimostrare il seguenterisultato:Teorema3.3.3Il luogogeometricodenitodallequazioneAx2+Bxy +Cy2+ Dx +Ey + F= 0hauncentrodisimmetriaI2 = 0.Dimostrazione Facciamo una traslazione del sistema di coordinate tramiteleequazionix = x

+ k, y= y

+;sostituendoquesti valori di xeynellequazionegeneraleefacendoi contiarriviamoalleequazioneAx2+ Bx

y

+Cy2+ (B + 2Ak + D)x

+ (2C + Bk +E)y

+74 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANE+(Ak2+Bk + C2+ Dk +E +F) = 0Oraosserviamocheilsistemalinearenellevariabilike_B + 2Ak = D2C +Bk = Ehaunasoluzione(unica) ildeterminantedellamatricedeicoecienti`enonbanale,ossiaB24AC = 0.La soluzione del sistema lineare fornisce le coordinate del centro di simmetria;infatti, dando a k edi valori ottenuti come soluzioni del sistema, lequazionegeneralediventaAx2+Bx

y

+Cy2+ (Ak2+Bk + C2+ Dk +E + F) = 0e questa ha un centro di simmetria: (x

, y

) `e soluzione di questultimaequazione (x

, y

) `esoluzione. 2Ora vediamo conunesempio come possiamo usare gli invarianti perclassicarerapidamenteunaconica. Riprendiamolesempio5,ossia6x2+ 24xy y212x + 26y + 11 = 0lacuimatrice `eC=___6 12 612 1 136 13 11___edunque,I1= 5, I2= 150, I3= 6 750.Siccome I2 =0laconica`eacentroedunque(amenodi degenerazione)`eunaellisseounaiperbole;conquestosappiamochedopounatraslazioneeduna eventuale rotazione la matrice associata si riduce ad una matrice del tipo___A 0 00 C 00 0 F___conAC = 0. AlloraabbiamoI1= A +C, I2= AC, I3= ACF3.4. CONICHEEALGEBRALINEARE 75edunque,facendoicalcoliotteniamoA =_1510C=_ 1015F= 30donde(scrivendox, y invecedi x, y comenellesempio) concludiamochelequazionecanonicadellacurva `e15x210y2+ 30 = 0oppure10x2+ 15y2+ 30 = 0cheinambiicasirappresentanoiperboli.Il lettoresi domander`acomespiegarequestadoppiarappresentazione.Ebbene,laprimasiottienedallequazione6x2+ 24x

y

y2+ 30 = 0tramitelarotazionediangololacuimatrice `eR =_4/5 3/53/5 4/5_in quanto che la seconda si ottiene con una rotazione di angolo ben pi` u ampio,cio`e/2 + .3.4 La classicazione delle coniche tramite lalgebralineareCominciamo per riscrivere lequazione generale di una curva del secondoordineAx2+Bxy +Cy2+ Dx +Ey + F= 0 (3.12)nellaformaa11x2+ 2a12xy + a22y2+ 2a13x + 2a23y +a33= 0, (3.13)cona11= A, 2a12= B, a22= C,76 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANE2a13= D, 2a23= Eea33= F.Laformamatricialedellequazione3.24 `eXTCX= 0 (3.14)incuiX=___xy1___eC=___a11a12a13a12a22a23a13a23a33___`elamatricedeicoecientidi.Abbiamodenitoi vettori reali aduedimensioni partendodaconcettipuramente geometrici e abbiamo anche osservato che possiamo rappresentaretalivettoritramitecoppiedinumerireali. Inquestasezioneinostrivettorisarranorappresentatidamatricireali;dunque,unvettorev = (x, y) V (R2)siscriver` anormalmentenellaformamatricialev=_xy_.AquestopuntoosserviamocheunamatricerealeA =_a11a12a21a22_agiscelinearmentesullospaziovettorialeV (R2)rasformandovettoriinvet-tori: pi` uprecisamente,ilprodottomatriciale_a11a12a21a22__xy_=_a11x +a12ya21x + a22y_denisceunafunzioneA : V (R2) V (R2)taleche(, R)(v,w V (R2))A(v +w) = A(v) + A(w). (3.15)3.4. CONICHEEALGEBRALINEARE 77Ilvettore v +w `e detto combinazionelineare deivettori ve w;la matriceA, consideratacomefunzione, `edettatrasformazionelineare. Lasciamoallettoreilcompitodidimostrare4.15.Vogliamo ora studiare il seguente problema: sia data una (2 2)-matriceA; `epossibiletrovareunnumeroreale =0edunvettorenon-nullov V (R2)talicheA(v) = v? (3.16)Siosservichelequazione4.16siscriveinformamatricialecomesegue:_a11a12a21a22__xy_= _xy_ossia_a11a12a21a22__xy_=_ 00 __xy_.Daquestaequazionericaviamolequazionematriciale_a11 a12a21a22__xy_=_00_cheequivalealsistemalineareomogeneo_(a11)x +a12y= 0a21x + (a22)y= 0(3.17)Orauntalesistemahasoluzioninonbanalise,esoltantosedet A = 0;sviluppandoil determinante, otteniamounequazionealgebricadel secondogradoin2(a11 + a22) a12a21= 0 (3.18)dettapolinomiocaratteristicodi A.Le radici dellequazione 4.18 sono gli autovalori di A: unvettore vcorrispondente adunaradice di 4.18`e unautovettore di A. Inteorialequazionecaratteristicapotrebbeaveresoluzioni complessecheanoi noninteresserebbero; perci`oci limiteremoastudiareil casoincui A`esimmet-rica(ossia A= AT, latraspostadi A)perch`eperunamatricesimmetricadistintadaunmultiplodellamatricebanaleI2sidimostracheleradicidelsuopolinomiocaratteristicosonoreali (vedereTeorema3.4.1); daltronde,78 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEsiamoancheinteressati astudiarei polinomi caratteristici di matrici sim-metricheperch`elematricidelleconichesonosimmetriche. Inparticolare,ciinteressiamoallasottomatriceQ =_a11a12a12a22_dellamatrice Cdi3.24.Teorema3.4.1UnamatricerealesimmetricaA =_a11a12a12a22_che nonsia unmultiplo della matrice identit`aI2ha due autovalori realidistinti.DimostrazioneLeradicidelpolinomiocaratteristico2(a11 + a22) + det A = 0di Asonodatedallaformula = 1/2[(a11 +a22) _(a11 + a22)24 det A].Sinoticheildiscriminante = (a11 + a22)24 det A = (a11a22)2+ 4a212 0perchesommadi quadrati; daltrolato, =0soltantonel casoincui lamatrice A = I. 2Lemma3.4.2SianodatelematriciX=_x1x2_,Y=_y1y2_e A = (aij)i,j=1,2.Allora,YTAX= XTATY.DimostrazioneCominciamoperosservarecheYTAX=2

i=1(2

j=1aijxj)yi3.4. CONICHEEALGEBRALINEARE 79eXTATY=2

j=1(2

i=1ajiyi)xjLapropriet`acommutativadeinumerirealidimostrailrisultato. 2Sinotichese A `esimmetricaalloravaleYTAX= XTAY. (3.19)Teorema3.4.3AssumiamochelamatricerealeA = (aij)i,j=1,2siasimmetricaecheesianodueautovalori(reali)distintidi A. Alloragli autovettorivevassociati aquesti dueautovalori sonoperpendicolaritraloro.DimostrazioneSi vuoledimostrareche=0. Aquestoscopoosserviamoche< v, A(v) >=< v, v>= < v, v>.Daltrolato,ilLemma3.4.2tradottoinlinguaggiovettorialecidiceche< v, A(v) >=< v, AT(v) >;siccome A = AT,< v, AT(v) >=< v, A(v) >= < v, v>edunque,( ) < v, v>= 0.Maperipotesi = 0edunque< v, v>= 0.2Oraapplichiamoi risultati precedenti allaclassicazionedelleconiche.Siaunaconicadiequazionea11x2+ 2a12xy +a22y2+ 2a13x + 2a23y +a33= 0.80 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEComealsolitoindichiamocon Clamatricediecon Qlasottomatricedeisuoiterminiquadratici. Ricordiamoallettorechesedet Q = I2 = 0laconicahauncentrodi simmetria(vedereTeorema3.3.3). Partiamodaquestocaso. Facciamounatraslazionedel sistemadi coordinatexOyinmodochelorigineO

delnuovosistemax

O

y

siacoincidenteconilcentrodi (naturalmente, gli assi O

x

e O

y

sonoparalleli agli assi Oxe Oy,rispettivamente. Conquestoeliminiamoidueterminilinearielamatrice CsitrasformainunamatriceC

=___a11a120a12a2200 f___(lesottomatrici dei termini quadratici di Ce C

coincidono; vedereladi-mostrazionedelTeorema3.3.1). Cisonoduecasidaconsiderare.Caso 1- Q=rI2. Dividendo f per r, se necessario, possiamo infattiassumere che Q = I2; dunque, possiamo scrivere lequazione di nella formax2+y2= f/r.Sef/r 0allora `eunacirconferenzadiraggio_f/rriferitaalsistemax

O

y

.Caso2- Q = rI2. PerilTeorema3.4.1 Qhadueautovaloridistintie;per il Teorema 3.4.3, gli autovettori ve vassociati sono perpendicolari tradiloro. Sia Rla(2 2)-matriceicuivettoricolonnasonoivettoriunitaric1= v/|v| e c2= v/|v|;osserviamo che siccome c1e c2sono ortonormali,lamatrice R `edirotazione.Perlepropriet`adegliautovettorieautovaloridi QabbiamoQR = R_ 00 _ossia,larotazionedimatrice Rsulsistemax

O

y

trasformalequazionea11x2+ 2a12x

y

+a22y2+f= 0dellaconica(relativaalsistemadicoordinatex

O

y

)nellequazionex2+y2+ f= 03.5. FASCI 81equestacipermettediclassicarefacilmente.Ci mancastudiareil casoincui nonhauncentrodi simmetria, ossiaquandodet Q=0. Sappiamoche`eunaparabola; il problema`equellodi trovaregli assi relativamenteai quali lequazionedi assumelaformacanonica. Siccomeil determinantedi Q`enullo, Q =rI2edunque Qhadua autovalori distinti e e due autovettori (unitari) ce cortogonali traloro. Questi ultimi producono una matrice di rotazione che impieghiamo pereliminare leventuale termine misto (in xy). Pi` u precisamente: prendiamo la3 3-matricedirotazioneR =_cc00 0 1_;aquestopuntosostituiamolamatriceX=___xy1___permatrice RXecos` lequazionematricialediossiaXTCX= 0assumelaforma(RX)TC(RX) = XT___ 0 a0 ba b a33___X.Orausiamoil metododellacompletazione dei quadratiper eliminare iterminilineari.3.5 FasciInquestasezioneparleremodifascidiretteediconiche;questiciserviran-noperintrodurrelecosiddettecoordinateomogeneeeperrisolvrenumerosiproblemi.3.5.1 FascidiretteCominciamoconunesempionumerico. Sianodatelerettediequazioni2x + 4y 1 = 03x y + 12 = 082 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEQuesteduerettedebbonoincontrarsiperch`eilorovettorinormalir = (2, 4),

r

= (3, 1)nonsono paralleli. Ma quale `e il punto di intersezione? Per ottenerlo,moltiplichiamolasecondaequazione per 4e sommiamolaallaprimaperottenere14x + 47 = 0cio`e, x = 47/14; sostituendo x della prima equazione per 47/14 otteniamoy=27/14(seavessimosostituitoxdellasecondaequazioneper 47/14eavessimo fatto i conti per trovare il valore di y, avremmo trovato il medesimorisultato: y= 27/14). Ivalorix = 47/14ey= 27/14soddisfanoambedueleequazionieperci`o,ilpunto(x, y) = (47/14, 27/14)`ecomunealleduerette.Passiamoalcasogenerale. Sianodateleretter : ax +by +c = 0r

: a

x + b

y +c

= 0esupponiamocheirispettivivettorinormalir = (a, b),

r

= (a

, b

)nonsianoparalleli. Pertrovareil puntodi intersezioneP=r r

multi-plichiamolequazionedirper a

,quelladir

peraefacciamoladdizionedelledueequazioniperottenere(ab

a

b)y= a

c ac

.Orapossiamocalcolareypurcheab

a

b = det_a ba

b

_= 0.PerarrivareaquestofattodimostriamoilseguenteLemma3.5.1Dueretter : ax +by +c = 0r

: a

x + b

y +c

= 0nonsonoparallele det_a ba

b

_= 0.3.5. FASCI 83Dimostrazione Consideriamo il piano R2immerso in R3tramite lidenticazionedeipunti(x, y) R2e(x, y, 0) R3. Oraprendiamoivettorinonparallelir = (a, b, 0),

r

= (a

, b

, 0)eosserviamocher

r

= det_a ba

b

_

k=

O(vedereSezione2.3). 2Dunquey=a

c ac

ab

a

b.Inmanieraperfettamenteanalogaotteniamox =b

c bc

ab

a

b.Possiamodescriverelasoluzione(x, y)intermini di certematrici edeiloro determinanti (vedere la Sezione 1.5).4Infatti, consideriamo il sistema diequazioni lineari(lineari perchetutteleequazioni coinvoltesonodel primogrado)ax +by= ca

x + b

y= c

eosserviamochex =det_ c bc

b

_det_a ba

b

_ey=det_a ca

c

_det_a ba

b

_SiaP= (x0, y0)ilpuntodiintersezionedidueretter : ax + by +c = 0r

: a

x + b

y +c

= 0;4Questo tema sar`a ripreso pi` u a lungo nellAppendice A di questo capitolo.84 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANElinsieme di tutte le rette del piano che passano per il punto P`e detto fascio dirette per P. Algebricamente, tale fascio `e rappresentato da una combinazionelineare(ax + by +c) + (a

x +b

y +c

) = 0nellaquale, sonoduenumerirealitaliche2+ 2= 0. Unaqualunquerettadelfascio `edatadaunaequazione(a +a

)x + (b +b

)y + (c +c

) = 0. (3.20)La domanda che ora uno si pone naturalmente `e: come interpretare questeideenel casi incui redr

sianoparallele? Percominciare, i vettorire

r

sonoparallelieperci`o,esistet Rtaleche

r

= tr,ossia,a

= ta, b

= tb.Inquestocasolequazione3.20diventaa( +t)x + b( +t)y + c +c

= 0eperci`o, abbiamounacollezionedi retteparallele, anchessadettafascio(di retteparallele). Lerettedi untalefasciosonocaratterizzatedal fattochetuttehannolamedesimadirezione,quelladelvettore v=(b, a);talirettenonsi incontranoinR2daccordocongli assiomi di Euclide, masipotrebbepensaredifarleincontrareinunpuntodiunaestensioneidealediR2. Questosi pu`ofareintroducendolecosiddettecoordinateomogeneedelpiano. Nellinsieme R3di tutte le terne di numeri reali (x1, x2, x3) con almenounodeinumerixi = 0, i = 1, 2, 3prendiamolarelazionediequivalenza(x1, x2, x3) (x

1, x

2, x

3)(k R)|x

i= kxi, i = 1, 2, 3;linsieme quoziente R3/ `e il pianoproiettivoreale RP2. Le classi di equiv-alenza[x1, x2, x3] sonopuntidi RP2. Si noti cheesisteunacorrispondenzabiunivocatraipuntidiR2elinsiemedeglielementi[x1, x2, x3] RP2conx3 = 0,datadallafunzione : R2 RP2, (x, y) [x, y, 1];inquestosensopossiamoconsiderareR2comeunsottoinsiemediRP2. Unpuntodel tipo[x1, x2, 0]`edettopuntoimpropriodi R2; linsiemedi tutti ipuntiimproprii[x1, x2, 0] `elarettaimpropriadiR2.Ora vogliamo sapere quale sia il luogo geometricodei punti di RP2chesoddisfanounaequazionelinearedeltipoax1 + bx2 +cx3= 03.5. FASCI 85con a, b, c R. Chiaramente il punto [b, a, 0] appartiene a ; oltre a questo,sex3= 0tuttiipuntidellarettaax +by +c = 0conx = x1/x3ey= x2/x3sonoanchessiin. Cos`,lequazioneax1 + bx2 + cx3= 0rappresentaunaretta(appuntolarettaax + by + c = 0diR2)pi` uilpuntoimproprio[b, a, 0]datodalladirezionedellarettaax + by +c = 0.Ritonandoalproblemadicomeinterpretareilfasciodiretteparallelea( +t)x +b( +t)y + c +c

= 0possiamooradirechequesto `eunverofascioa( +t)x1 +b( +t)x2 + (c +c

)x3= 0direttediRP2passantiperilpuntoimproprio[b, a, 0].3.5.2 FascidiConicheNella prima parte di questa sezione abbiamo parlato di fasci di rette; in parti-colare, ci siamo serviti dei fasci di retter parallele per introdurre il concetto dipuntoimproprio. Oravogliamostudiareifascidiconiche,nonconlintuitodiintrodurrenuoviconcettimaconlideadiservircenecomemetodoperladeterminazione di una conica data da un certo numero di punti o condizioni.Si ricordacheci voglianotrepunti nonalineati per costruireunacir-conferenzache li contenga; inparticolare, abbiamorisoltoquel problemaalgebricamenteprendendolequazionegenericadellacirconferenzax2+ y2+dx + ey +f= 0imponendo la condizione che le coordinate dei punti la soddisno, costruendounsistemalineareditreequazioninellevariabilid, eeflacuisoluzioneciforniscei dati necessari perottenerelequazionerichiesta. Si osservi cheinverit` adovremmoaverescrittolequazionegenericaa11x2+a22y2+ 2a13x +a23y +a33= 0cona11=a22eperci`oconquattroincognite(appuntolea11, a13, a23ea33)cosacherichiedetrecondizioni perlasuasoluzione. Perladeterminazionediunaconicaingenerale,lequazionegenericachetrattiamo `edeltipoa11x2+ 2a12xy +a22y2+ 2a13x + 2a23y +a33= 0 (3.21)86 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEoppurea11x21 + 2a12x1yx2a22x22 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 +a33x23= 0nel casoincui consideriamocoordinateomogenee(cio`e, vogliamolavorareanche con i punti impropri). Ora le variabili in gioco sono sei e cos` abbiamobisognodi cinquepunti (tredei quali presi arbitrariamentenonsianomaialineati)perdeterminarle!Facciamounesempionumerico. Determinarelaconicapassanteper ipuntiA = (2, 0), B= (0, 1), C= (2, 0), D = (0, 1), E= (1, 1).Imponendo la condizione che questipuntisoddisno lequazione 3.21otteni-amoilsistemalineare___a22 + 2a23 +a33= 0a222a23 +a33= 04a11 + 4a13 +a33= 04a114a13 +a33= 0a112a12 +a22 + 2a132a23 + a33= 0di cinqueequazioni asei variabili; dunquedandounvaloreadunadi esse,diciamoa33=1, otteniamoi valori a11= 1/4, a12= 1/4, a22= 1,a13= a23= 0ecos` abbiamolaconicadiequazionex2+xy + 4y24 = 0.Inseguitoproponiamounaltrometodo, basatosullacostruzionedi unappositofasciodiconiche.Sianodateleconichee

diequazioniomogeneeXTCX= 0XTC

X= 0rispettivamente. Per il Teorema di Bezout 3.1.1 le due coniche si intersecanoinquattropunti, diciamoA, B, CeD(presi insensolato: punti propri,improprioimmaginari). ConsideriamooralacombinazionelineareXTCX+XTC

X= 0; (3.22)questanuovaequazionepu`oesserescrittanellaformaXT(C +C

)X= 03.6. CONICHE RETTE 87incuilamatriceD = C +C

`esimmetrica,comeillettorepu`ofacilmentecostatare. Dunque,lequazione3.22rappresentaunaconicaper qualsiasi valori dati ai parametri e ;lequazione3.22 `elequazionedelfasciodiconichepassanteperipuntibaseA,B,CeD.OrariprendiamoilproblemadideterminarelaconicapassanteperA = (2, 0), B= (0, 1), C= (2, 0), D = (0, 1), E= (1, 1).IpuntiA,B,CeDdeterminanoquattrorettediequazionir1: x 2y + 2 = 0r2: x + 2y 2 = 0r3: x 2y 2 = 0r4: x + 2y + 2 = 0equestedenisconodueconichedegenerate(x 2y + 2)(x 2y 2) = 0, (x + 2y 2)(x + 2y + 2) = 0passantiperiquattropuntiA,B,CeDepertanto,componentidelfasciodiconiche(x 2y + 2)(x 2y 2) + (x + 2y 2)(x + 2y + 2) = 0dibaseA,B,CeD. ManoivogliamolaconicadiquelfasciochecontengaE= (1, 1), cosa che per = 1 risulta in = 3/5. Facendo i conti otteniamolaconicax2+xy + 4y24 = 0.3.6 IntersezionidiconicheconretteCominciamo per riscrivere lequazione generale di una curva del secondoordineAx2+Bxy +Cy2+Dx +Ey +F= 0 (3.23)incoordinateomogeneeenellaformaa11x21 + 2a12x1x2 + a22x22 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 +a33x23= 0, (3.24)cona11= A, 2a12= B, a22= C,88 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANE2a13= D, 2a23= Eea33= F.Lequazione3.24siscriveinformamatricialeXTCX= 0. (3.25)incuiX=___x1x2x3___eC=___a11a12a13a12a22a23a13a23a33___`elamatricedeicoecientidi.Ora prendiamo una retta r che passa per un punto Z di coordinate omoge-nee [z1, z2, z3] e nella direzione di un vettore v= (k, ) = 0. Se identichiamola direzione val punto improprio [k, , 0], lequazione parametrica della rettarinformamatriciale `e___x1x2x3___ =___z1z2z3___ + m___k

0___. (3.26)ConlanotazioneX=___x1x2x3___ , Z=___z1z2z3___eK =___k

0___lequazione3.26dellarettardiventaX= Z +mK.Dunque,unpuntoX rappartieneallaconica3.24(Z + mK)TC (Z +mK) = 0,ossia,m2KTCK + 2mKTCZ +ZTCZ= 0 (3.27)(vedereilLemma3.4.2).Questa equazione di secondo grado nellincognita m da molte informazionisullaposizionerelativadire. Infatti,lequazionepu`oavere3.6. CONICHE RETTE 891. zerosoluzioni reali (cio`e, hadue soluzioni complesse coniugate): larettanonintersecalaconica;2. unasoluzionereale: larettar`etangentea;3. duesoluzionireali: laretta `esecantea,4. innitesoluzioni reali (quandoi trecoecienti sononulli): r`eparteintegrantedellaconica.Per capire meglio queste nostre dichiarazioni si rende necessaria unaanalisiaccuratadi3.27;cos` dividiamoladiscussioneinvaricasi.CasoI:KTCK = 0, KTCZ= 0e ZTCZ= 0.Allora 3.27 ha una soluzione m=0 (che indica il fatto Zgi`aevidenziatoda ZTCZ= 0)eanchelasoluzionem = 2KTCZKTCKchedaluogoal puntoY rlecui coordinateomogeneesonodenitedallequazionematriciale___x1x2x3___ =___z1z2z3___ 2KTCZKTCK___k

0___.Larettar`eallorasecantea.CasoII:KTCK = 0, KTCZ= 0eZTCZ= 0.Lequazionedisecondogradonellavariabilemm2KTCK + 2mKTCZ +ZTCZ= 0haunaradicedoppiam = 0eperci`oilpunto Z deveesserecontatoduevolte;dunquelarettar`etangenteanelpuntoZ.Quale sarebbe lequazione della tangente a in Z?La condizione KTCZ=0sitraducenellequazione(a11z1 +a12z2 +a13z3)k + (a12z1 + a22z2 +a23z3) = 0. (3.28)nellevariabilik, chenonpossonoambedueesserenulle,trattandosidellecoordinatediunvettoredirezionenonnullo v;abbiamoduepossibilit`a:90 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANE(i)Almenounodeicoecientidikef1= a11z1 +a12z2 + a13z3f2= a12z1 +a22z2 +a23z3`ediversodazero. Prendiamolarettatdiequazioneomogeneaf1x1 + f2x2 + f3x3= 0conf3= a13z1 + a23z2 +a33z3. Siccomef1z1 +f2z2 +f3z3= ZTCZ= 0 (3.29)il punto Z t; daltro lato, il vettore w = (f1, f2) `e perpendicolare alla rettat ed al vettore v (vedere lequazione 3.28). Dunque la retta t `e nella direzionedi v;siccomeZ t,larettatcoincideconlarettarelequazionef1x1 +f2x2 +f3x3= 0ossia(a11z1+a12z2+a13z3)x1+(a12z1+a22z2+a23z3)x2+(a13z1+a23z2+a33z3)x3= 0(3.30)`elequazionedellarettatangenteapassanteperZ.(ii)Iduecoecientif1ef2sononulli.Siccomeil puntoZ=[z1, z2, z3]`eunpuntoproprio, laterzacoordinataz3 = 0edunque,da3.29concludiamochef3= a13z1 +a23z2 + a33z3= 0Tuttoci`ociportaadunsistemaomogeneoditreequazioniatrevariabili___a11z1 +a12z2 +a13z3= 0a12z1 + a22z2 +a23z3= 0a13z1 +a23z2 +a33z3= 0nelqualelavariabilez3= 0. Ci`o `epossibile I3= det C= 0.Inquestocasolaconica `edettadegenere.CasoIII:KTCK = 0, KTCZ = 0e ZTCZ= 0.3.6. CONICHE RETTE 91Lacondizione KTCK=0ci dicecheil puntoimproprio[k, , 0] appartieneallaconicadiequazione3.24;inoltre,lacondizionesignicachek2a11 + 2ka12 + 2a22= 0. (3.31)Unanalisi dellequazione3.31ci permettedi riconoscereleconichecheintersecanolarettaimpropria. Peresempio, facciamolipotesi che =0ea11 = 0;allora,scrivendok/ = t,abbiamot =1a11[a12_a212a11a22]Questaequazionehaduesoluzionidistinteintsea212a11a22> 0;siccomea212 a11a22= I2,lacurva`eunaiperbole(cfr. Teorema3.3.2).IlTeoremaappenacitatocidicecheunaiperbolehaduepuntiimpropri.Illettorepu`overicarefacilmentechelellissex2a2+y2b2= 1, (3.32)nonhapuntiimproprimentrelaparabolay2= 2px, p > 0 (3.33)haunsolopuntoimproprio: [1, 0, 0].Nelcasoinconsiderazionelequazione3.27diventa2mKTCZ= 0chehaunasolasoluzionem=0edunque, oltreadunpuntoimproprio, larettarintersecalaconica(iperboleoparabola)nelpunto(proprio)Z.CasoIV:KTCK = 0, KTCZ= 0e ZTCZ= 0.Lacondizione KTCK=0ci dicechestiamolavorandoconunaiperboleodunaparabola. Lasecondacondizione,ossiaKTCZ= 0`evalidasoloperliperbole;seaggiungiamoaquesteduecondizionilipotesiZTCZ = 0, vediamo che lequazione 3.27 non `e valida, e perci`o nessun puntopropriodelleretter(trovatetramite3.31)incontraliperbole; questofatto92 CAPITOLO3. CURVEALGEBRICHEPIANEedil Teoremadi Bezoutci permettonodi concluderecheciascunodei duepunti impropri intersezione delle due rette r con liperbole deve essere contatoduevolteo,inaltreparole,lerettersonotangentialliperboleperipuntiimpropri. Questeduerettesonoleasintotealliperbole.Leasintotealliperbolex2a2 y2b2= 1sonolerettedatedalleequazionibax y= 0.Perlaparabolay2= 2px, p > 0lasituazione `eunpodiversa: infattiquestaequazionesoddisfalaprimamanonlasecondadelletrecondizionievidenziatenela CasoIV;ci`ononostantepossiamodirechelaparabolahaunaasintota: larettaimpropriax3=0.Infatti,questaretta haununico punto diintersezione conlaparabola,ossiailpunto[1, 0, 0]eperci`o `etangenteallaconicainquelpunto.CasoV:KTCK = 0, KTCZ= 0e ZTCZ= 0.Inquestocaso,oltrealleequazioni3.31e3.28,abbiamoa11z21 + 2a12z1z2 + a22z22 + 2a13z1z3 + 2a23z2z3 +a33z