LE MATRICI - Corso di Algebra Lineare e Geometria
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LE MATRICI Un importante esempio di struttura algebrica su cui si basano le tecniche dell'algebra lineare è quello delle matrici.
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LE MATRICI
Un importante esempio di struttura algebrica su cui si basano le tecniche dell'algebra lineare è quello delle matrici.
DefinizioneSia k un campo. Una tabella del tipo:
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
. . . . . .. . . . . .
am1 am2 . . . amn
dove gli aij ∈ k si dice matrice di tipo m × n su k. L’insieme delle matricim × n su k si indica con km,n.
(a11, a12, . . . , a1n), (a21, a22, . . . , a2n),. . . ,(am1, am2, . . . , amn) sono mn-uple di elementi di k dette righe della matrice.
(a11, a21, . . . , am1), (a12, a22, . . . , am2),. . . ,(a1n, a2n, . . . , amn) sono nm-uple di elementi di k dette colonne della matrice.
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Una matrice si indica anche con A = (aij) 1 ≤ i ≤ m1 ≤ j ≤ n
o A = (aij) o ancora:
A =
R1R2. . .Rm
o A =(
C1 C2 . . . Cn).
Se m = n, la matrice A si dirà quadrata di ordine n.
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DefinizioneUna matrice quadrata A ∈ kn,n si dice diagonale se aij = 0 per i 6= j , cioè:
A =
a11 0 . . . 00 a22 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . ann
.
DefinizioneSia A = (aij) ∈ km,n. Si chiama trasposta di A la matrice di kn,m ottenutascambiando aij con aji per ogni i , j , cioè tA = (aji).
ProposizioneSia A ∈ km,n. Allora:1. t(tA) = A
2. t(A + B) = tA + tB.
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DefinizioneUna matrice A è detta simmetrica se tA = A. È detta antisimmetrica setA = −A.
OPERAZIONI NELL'INSIEME DELLE MATRICI
DefinizioneSiano A = (aij) e B = (bij) matrici di km,n. Diremo somma tra A e B lamatrice:
A + B = (aij + bij), ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,
cioè la matrice ottenuta sommando gli elementi di A e di B che stannonella stessa riga e colonna.
Proposizionekm,n è un gruppo abeliano rispetto alla somma.
1. Somma
Dotiamo km,n di un prodotto
esterno.
Se
b
∈ K e A = (aij) ∈ km,n,
poniamo:b · A = (b · aij),
cioè:
b
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
. . . . . .. . . . . .
am1 am2 . . . amn
=
b · a11 b · a12 . . . b · a1nb · a21 b · a22 . . . b · a2n
. . . . . .. . . . . .
b · am1 b · am2 . . . b · amn
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2. Prodotto per uno scalare (o prodotto esterno)
Determinante di una matrice
Il determinante di una matrice è un numero e si definisce solo per le matriciquadrate, cioè quelle che hanno lo stesso numero di righe e di colonne.
SiaA =
(a11 a12a21 a22
)una matrice quadrata di ordine 2. Allora il determinante di A, che si indicacon detA o |A|, è il numero:
detA = |A| =∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
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Sia
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
una matrice quadrata di ordine 3. Il determinante di A è il numero:
|A| = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32.
Ci sono due metodi mnemonici, dovuti a Sarrus, per ricordare la regola:
|A| =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
− a11 a12 a13
a21 a22 a23a31 a32 a33
|A| =
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32−
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
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Teorema (Primo teorema di Laplace)Sia A = (aij) una matrice quadrata di ordine n. La somma dei prodottidegli elementi di una riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebriciè uguale al determinante di A, cioè:
|A| =n∑
j=1aijAij ∀i = 1, . . . , n
(|A| =
n∑i=1
aijAij ∀j = 1, . . . , n)
Il seguente risultato ci fornisce una regola di calcolo per il determinante di una matrice di ordine n.
Il risultato che si ottiene non dipende dalla particolare riga o colonna scelta.
Teorema (Secondo teorema di Laplace)Sia A = (aij) una matrice quadrata di ordine n. La somma dei prodottidegli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici diun’altra riga o (colonna) è uguale a 0, cioè:
n∑j=1
aijAhj = 0 ∀i 6= h
( n∑i=1
aijAik ∀j 6= k)
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=0
ProposizioneSia A ∈ kn,n.1. |A| = |tA|.2. Se una riga (o colonna) di A è nulla =⇒ |A| = 0.3. Se A′ è una matrice ottenuta da A scambiando due sue righe (o
colonne) ⇐⇒ |A′| = −|A|.4. Se due righe (o colonne) di A sono uguali =⇒ |A| = 0.5. Se la riga Ri di A è del tipo Ri = R ′i + R ′′i , allora:
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
R1...
R ′i + R ′′i...Rn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
R1...R ′i...Rn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
R1...R ′′i...Rn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
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Proprietà dei determinanti
6. Se la colonna Ci di A è del tipo Ci = C ′i + C ′′i , allora:
|A| =∣∣∣ C1 . . . C ′i + C ′′i . . . Cn
∣∣∣ =
=∣∣∣ C1 . . . C ′i . . . Cn
∣∣∣+ ∣∣∣ C1 . . . C ′′i . . . Cn∣∣∣ .
7. Sia λ ∈ k. Allora: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
R1...λRi...Rn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
R1...Ri...Rn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣e ∣∣∣ C1 . . . λCi . . . Cn
∣∣∣ = λ∣∣∣ C1 . . . Ci . . . Cn
∣∣∣
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8. Se A ha due righe (o colonne) proporzionali =⇒ |A| = 0.
Teorema (Teorema di Binet)Siano A,B ∈ kn,n. Allora il determinante della matrice A · B è il prodottodei determinanti delle due matrici, cioè:
|A · B| = |A| · |B|.
DefinizioneLa matrice quadrata
I =
1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . .
. . . . . .0 0 . . . 1
∈ kn,n
è detta matrice identica di ordine n. Essa è tale che, se A ∈ kn,n, allora:
A · I = I · A = A.
DefinizioneUna matrice A ∈ kn,n è detta invertibile se esiste una matrice B ∈ kn,n taleche:
A · B = B · A = I.
B è detta matrice inversa di A e si indica anche con A−1.
DefinizioneSia A ∈ kn,n. Chiamiamo matrice aggiunta di A la matrice Aa avente inogni posto (i , j) il complemento algebrico di posto (i , j):
Aa = (Aij).
TeoremaUna matrice A ∈ kn,n è invertibile ⇐⇒ |A| 6= 0. In tal caso, la matriceinversa di A è:
A−1 = 1|A|
tAa.
DIMOSTRAZIONE.49 / 57
Matrice inversa
DIMOSTRAZIONE
VICEVERSA:
Riduzione per righe e calcolo del rangoDefinizioneUna matrice A = (aij) si dice ridotta per righe (o colonne) se in ogni riga(o colonna) non nulla esiste un elemento ahk 6= 0 tale che ajk = 0 per ognij > h, cioè al di sotto del quale vi sono solo zeri (o ahj = 0 per ogni j > k,cioè alla destra del quale compaiono solo zeri). Gli elementi ahk 6= 0 (unoper ogni riga non nulla) sono detti speciali.Sia A ∈ km,n una matrice e Siano R1, . . . ,Rm le sue righe. La riduzioneper righe permette di passare da una matrice A ad una matrice A′ ridottaper righe, in modo che ρ(A) = ρ(A′).
Le operazioni, dette elementari, sulla matrice A che consentono di nonalterare il suo rango sono:
I scambio di due righeI moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, cioè Ri 7−→ λRiI sostituzione di una riga con la somma della riga stessa e di un
multiplo di un’altra riga, cioè Ri 7−→ Ri + λRj .46 / 57
ESEMPIO
Le matrici 32
40
59
52
61
70e -
-< <F F sono dello stesso tipo, perché entrambe sono
formate da 2 righe e 3 colonne.
Due matrici dello stesso tipo sono uguali se gli elementi corrispondenti sono uguali.
ESEMPIO
Le matrici ::
13 1
31
6 30
12
2 14 4
20e- - -
-< <F F
sono uguali.
Due matrici dello stesso tipo sono opposte quando gli elementi corrispondenti sono opposti.
ESEMPIO
Le matrici 12
31
20
12
31
20e- -
- -
-< <F F sono opposte.
Matrici particolariDEFINIZIONE
Matrice nullaUna matrice è nulla se tutti i suoi elementi sono uguali a 0.
La matrice nulla si indica con il simbolo O oppure Omn se si vuole precisare il numero delle righe e delle colonne.
DEFINIZIONE
Matrice rigaUna matrice formata da una sola riga si chiama matrice riga o vettore riga.
DEFINIZIONE
Matrice colonnaUna matrice formata da una sola colonna si chiama matrice colonna o vet-tore colonna.
● La matrice opposta di Asi indica con - A.
●
000
000
000
> H è una matrice
nulla.
● La matrice[1 3 -2 4]
è una matrice riga.
● La matrice
2145
-
-
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
è una
matrice colonna.
ESEMPIO
La matrice <0110
00
01F è rettangolare, perché è formata da 2 righe e 4 colonne.
La matrice 082
121
034
> H è quadrata, perché è formata da 3 righe e 3 colonne.
ESEMPI ED ESERCIZI
ESEMPIO
126
435
1
5
321
1 12 46 5
4 33 25 1
021
754
4-
-
+
-
-
=
-
- +
-
+
+
- +
=
-
> > > >H H H HLa differenza di due matrici si può definire come somma della prima matrice con l’opposta della seconda:
A - B = A + (- B).
Poiché il risultato di un’addizione fra matrici dello stesso tipo è ancora una matri-ce dello stesso tipo, l’addizione è un’operazione interna nell’insieme delle matrici dello stesso tipo.
ESEMPIO
126
435
1
5
321
126
435
114
145
321
26
11 6-
-
-
-
= -
-
-
-
-
-
-
-
- + => > > > >H H H H HLe proprietà dell’addizioneL’addizione fra matrici dello stesso tipo gode delle seguenti proprietà:
• proprietà associativa:
A + (B + C) = (A + B) + C;
• proprietà commutativa:
A + B = B + A;
• ammette come elemento neutro la matrice nulla dello stesso tipo:
A + 0 = 0 + A = A
per ogni matrice A.
La moltiplicazione di una matriceper un numero reale
ESEMPIO
3 25
14
03 15
06 312 9$
-
-
- -
-
-=< <F F
OPERAZIONI CON LE MATRICI L’addizione e la sottrazione
La moltiplicazione di una matrice rigaper una matrice colonna
ESEMPIO
Calcoliamo il prodotto di una matrice riga di 3 elementi per una matrice colonna, sempre di 3 elementi:
[ ( )] [ ]2 0 1342
2 3 0 4 1 2 4$ $ $ $
-
= + + - =5 >? H .
Il risultato è la matrice [4], di ordine 1.
La moltiplicazione di una matrice m � nper una matrice n � p
ESEMPIO
Calcoliamo il prodotto fra una matrice 2 � 3 e una matrice 3 � 4.Scriviamo la matrice prodotto 2 � 4 con gli elementi generici:
aa
aa
aa
aa
21
02
13
150
011
342
023
11
21
12
22
13
23
14
24$
- --
-
=< > =F H G.
Determiniamo gli elementi della prima riga della matrice prodotto, molti-plicando la prima riga della prima matrice per tutte le colonne della seconda matrice.
a b cdef
a d b e c f
$
$ $ $
=
+ +=
R
T
SSSS
56
V
X
WWWW
?@
MATRICI E DETERMINANTI
Calcoliamo a11:
[ ] [ ]2 0 10
2 0 5 1 015 1 2$ $ $ $= + + =5 >? H .
Quindi a11 = 2. Analogamente, si ottiene: a12 = 1, a13 = 4 e a14 = 3.
Gli elementi della prima riga della matrice prodotto sono: 2, 1, 4, 3.
Determiniamo gli elementi della seconda riga della matrice prodotto, molti-plicando la seconda riga della prima matrice per tutte le colonne della secon-da matrice. Calcoliamo a21:
[ ]150
1 2 3 11$ =- - -5 >? H .
Quindi a21 = - 11. Analogamente: a22 = 5, a23 = - 17 e a24 = 5.
Gli elementi della seconda riga sono: - 11, 5, - 17, 5.
Possiamo scrivere:
21
02
13
150
011
342
023
211
15
417
35$
- --
-
=- -
< > <F H F.
Le proprietà della moltiplicazioneIn generale, la moltiplicazione fra matrici quadrate non è commutativa.
ESEMPIO
Consideriamo le seguenti matrici quadrate 2 � 2:
11
02
20
10,A B=
-
-=< <F F
Calcoliamo i prodotti:
,A B B A 0 022
11
3 2$ $=
-
-=
-< <F F.Quindi: A $ B ! B $ A .
Enunciamo le proprietà di cui gode la moltiplicazione fra matrici:
• proprietà associativa:
(A $ B) $ C = A $ (B $ C);
• proprietà distributiva (a sinistra e a destra) della moltiplicazione rispetto all’ad-dizione:
A $ (B + C) = A $ B + A $ C ; (A + B) $ C = A $ C + B $ C .
MATRICI E DETERMINANTI
DEFINIZIONE
Determinante di una matrice di ordine 2Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale alla differenza fra il prodotto dei dueelementi della diagonale principale e il prodotto dei due elementi della diagonale secondaria.
a bc d a • d − b • c=
ESEMPIO
51
37 5 7 3 ( 1) 32det 5
137 $ $
-
-=
-
-=- - - =-< F .
Il determinante di una matrice di ordine 3Il determinante di una matrice di ordine 3 si può calcolare con la regola di Sarrus.
ESEMPIO
Calcoliamo il seguente determinante,
312
143
253
,
servendoci della regola di Sarrus, come illustrato nella figura 2.
� Figura 2g
3
1
2
1
4
3
2
5
3
3
1
2
36 + 10 + 6 = 52
1
4
3
3
1
2
1
4
3
2
5
3
3
1
2
1
4
3
a. Ricopiamo a destra deldeterminante i termini delleprime due colonne dellamatrice.
= 52 − 64 = − 12
b. Moltiplichiamo i terminilungo la diagonaleprincipale e lungo le duediagonali parallele a essa;scriviamo i prodotti e lisommiamo.
c. Ripetiamo il procedimentomoltiplicando i terminilungo la diagonalesecondaria e lungo le duediagonali parallele a essa;scriviamo i prodotti e lisommiamo.
d. Il determinante è ugualealla differenza fra la primae la seconda somma diprodotti.
3
1
2
1
4
3
3
1
2
1
4
3
2
5
3
16 + 45 + 3 = 64
3
1
2
1
4
3
2
5
3
=
MATRICI E DETERMINANTI
In generale, per una matrice qualsiasi A di ordine 3 lo schema è il seguente:
�� � � � �aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
11
21
31
12
22
32
13
23
33
11
21
31
12
22
32
e otteniamo che det A vale:
a a a a a a a a a a a a a a a a a a11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33+ + - - - .
|A|Si calcola il determinante di A:
3
2
______
______
riga
riga
Libro di Esercizi - Vol 1 Cap 1 pag 7-26 (Bonacini - Cinquegrani -Marino)
