91977919-Misure-Elettriche

Misure Elettriche

Piero Malcovati

2 marzo 2012

Indice

Elenco delle Figure 9

Elenco delle Tabelle 17

Elenco delle Abbreviazioni 19

Elenco dei Simboli 21

1 Concetti Generali 291.1 Scopo di una Misurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Sistema Internazionale di Unita di Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati . . . . . 331.4 Alcune Nozioni di Statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.1 Distribuzione Normale (o Gaussiana) . . . . . . . . . . . . . . . 421.4.2 Distribuzione di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4.3 Distribuzione Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5 Incertezza di Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.5.1 Incertezza di Misura di Tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.5.2 Incertezza di Misura di Tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.3 Incertezza Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.5.4 Incertezza Estesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.5.5 Espressione dei Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.5.6 Riferibilita delle Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 Campioni di Laboratorio 572.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Campioni di Forza Elettromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3 Sorgenti di Tensione Campione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4 Campioni di Resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5 Campioni di Capacita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6 Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . 662.7 Campioni di Intervallo di Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Piero Malcovati, Misure Elettriche 3

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3 Catene di Misura 733.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 Richiami sulla Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2.1 Proprieta della Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.2 Risoluzione di Equazioni Differenziali . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 Funzione di Trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.1 Sistemi del Primo Ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.2 Sistemi del Secondo Ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . 813.5 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Strumenti Analogici 894.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Classe di Precisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio . 914.4 Strumenti a Conversione Magnetoelettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5 Strumenti a Conversione Elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Strumenti a Conversione Elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Strumenti ad Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.8 Contatori ad Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5 Misure Industriali con Strumenti Analogici 1135.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Misure in Corrente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2.1 Misure di Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.2 Misure di Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.3 Misure di Resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.4 Misure di Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Misure di Tensione in Corrente Alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Misure di Corrente in Corrente Alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale . . . . . . 125

5.5.1 Misure di Potenza Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.5.2 Misure di Potenza Reattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.5.3 Misure di Potenza Apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.5.4 Misure di Fattore di Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5.5 Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della Corrente . . 134

5.6 Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale . . . . . . . 1365.6.1 Misure di Potenza Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.6.2 Misure di Potenza Reattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.6.3 Misure di Potenza Apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.7 Misure in Regime Non-Sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.7.1 Misure di Tensione e Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.7.2 Misure di Potenza Attiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4 Piero Malcovati, Misure Elettriche

Indice

5.7.3 Misure di Potenza Reattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7.4 Misure di Potenza Apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.7.5 Teoria di Budeanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.8 Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo . . . . . . . . . . . . . 1565.8.1 Apparecchio di Epstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.8.2 Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale . . . . . . 1605.8.3 Separazione delle Perdite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.8.4 Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale . . . 1635.8.5 Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica . . . . . . 166

6 Metodi di Ponte 1696.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.2 Ponte di Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.3 Doppio Ponte di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.4 Metodi di Ponte in Corrente Alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.4.1 Principio dei Ponti in Corrente Alternata . . . . . . . . . . . . . . 1756.4.2 Ponte di Schering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.4.3 Misure su Condensatori di Capacita Elevata . . . . . . . . . . . . 1796.4.4 Misure in Alta Tensione e Regolazione dei Potenziali . . . . . . . 1816.4.5 Ponti Automatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7 Conversione Analogico-Digitale 1857.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.3 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.4 Blocchi Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.4.1 Comparatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.4.2 Contatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.4.3 Convertitore D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

7.5 Convertitori A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.5.1 Convertitore A/D a Dente di Sega o a Rampa Lineare . . . . . . . 1977.5.2 Convertitore A/D a Doppia Rampa Lineare . . . . . . . . . . . . 1977.5.3 Convertitore A/D Incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.5.4 Convertitore A/D ad Approssimazioni Successive . . . . . . . . . 2027.5.5 Convertitore A/D Flash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.5.6 Convertitore A/D Pipeline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8 Strumenti Digitali 2078.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2 Multimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.3 Wattmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.4 Strumenti per la Misura di Tempo e Frequenza . . . . . . . . . . . . . . . 212

8.4.1 Strumenti per la Misura di Frequenza e Periodo . . . . . . . . . . 212


Indice

8.4.2 Strumenti per la Misura di Intervalli di Tempo . . . . . . . . . . . 2148.5 Incertezza di Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9 Trasformatori di Misura 2199.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.2 Trasformatore di Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.2.1 Caratteristiche Nominali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.2.2 TA per Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.2.3 TA per Protezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.2.4 TA a Piu Rapporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.3 Trasformatore di Tensione Induttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.3.1 Caratteristiche Nominali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.3.2 TVI per Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.3.3 TVI per Protezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.3.4 TVI a Piu Rapporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.4 Trasformatore Combinato di Tensione e Corrente . . . . . . . . . . . . . 2369.5 Trasformatore di Tensione Capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

9.5.1 Caratteristiche Nominali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.5.2 TVC per Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.5.3 TVC per Protezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.5.4 TVC a Piu Rapporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.6 Taratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419.6.1 Taratura di un TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2429.6.2 Taratura di un TVI o di un TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.7 Diagramma di Moellinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.8 Incertezza di Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.9 Misure di Tensione Residua in Sistemi Trifase . . . . . . . . . . . . . . . 2489.10 Misure di Potenza in Sistemi Monofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

10 Oscilloscopi 25910.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25910.2 Tubo a Raggi Catodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

10.2.1 Cannone Elettronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26010.2.2 Placchette di Deflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410.2.3 Schermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

10.3 Base dei Tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.3.1 Modalita Triggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.3.2 Modalita Auto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26810.3.3 Modalita Single-Sweep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

10.4 Canale Verticale (Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.5 Canale Orizzontale (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27010.6 Oscilloscopio a Doppia Traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

10.6.1 Modalita Alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272


Indice

10.6.2 Modalita Chopped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.7 Oscilloscopio Digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.8 Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

11 Sensori e Trasduttori 27911.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27911.2 Sensori Attivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

11.2.1 Termocoppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.2.2 Sensori Fotoelettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.2.3 Sensori Piezoelettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28311.2.4 Sensori ad Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

11.3 Sensori Passivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.3.1 Termometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.3.2 Estensimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28711.3.3 Sensori Capacitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.3.4 Sensori Induttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

A Grandezze Fondamentali 299

B Identificazione degli Strumenti 307

Indice Analitico 311


Elenco delle Figure

1.1 Tipici diagrammi di distribuzione della densita di probabilita . . . . . . 361.2 Tipico diagramma di probabilita cumulata da −∞ a x . . . . . . . . . . 371.3 Tipico diagramma di probabilita cumulata da x a∞ . . . . . . . . . . . 381.4 Costruzione del diagramma di distribuzione della densita di probabilita

in un caso pratico con un numero limitato di risultati . . . . . . . . . . . 381.5 Costruzione del diagramma di distribuzione della densita di probabilita

in un caso pratico con un numero maggiore di risultati . . . . . . . . . . 391.6 Media, mediana e moda per tre diverse distribuzioni della densita di

probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7 Andamento della distribuzione di Gauss con µ = 5 e σ = 2 . . . . . . . 421.8 Andamento della funzione densita di probabilita della distribuzione t di

Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.9 Andamento della funzione densita di probabilita della distribuzione uni-

forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1 Pila Weston di tipo saturo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Caratteristica tensione-corrente di un diodo Zener . . . . . . . . . . . . 602.3 Circuito base di impiego di un diodo Zener . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Tensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da uno

stadio in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5 Campione di resistenza con quattro terminali . . . . . . . . . . . . . . . 622.6 Campione di resistenza con avvolgimento bifilare . . . . . . . . . . . . 632.7 Campione di resistenza variabile realizzata con una cassetta a spine . . . 632.8 Diagramma vettoriale di un condensatore reale . . . . . . . . . . . . . . 642.9 Circuiti equivalenti di un condensatore reale . . . . . . . . . . . . . . . 652.10 Campione di capacita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.11 Campione di capacita variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.12 Campione di capacita per alta tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.13 Campione di capacita a gas compresso con elettrodi (anelli) di guardia . 672.14 Campione di induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.15 Campione di mutua induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.16 Campione di mutua induttanza variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.17 Schema semplificato di un oscillatore a fascio di cesio . . . . . . . . . . 70


Elenco delle Figure

2.18 Schema costruttivo e circuito equivalente di un risuonatore al quarzo . . 712.19 Schema di principio di un oscillatore al quarzo . . . . . . . . . . . . . . 72

3.1 Schema generale di una catena di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 Ascissa di convergenza per la trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . 743.3 Risoluzione di equazioni differenziali nel dominio del tempo o nel do-

minio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4 Rappresentazione della funzione δ di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5 Esempio di funzioni di trasferimento in un circuito elettrico . . . . . . . 793.6 Esempio di sistema del primo ordine: circuito RC . . . . . . . . . . . . 793.7 Risposta al gradino unitario di un sistema del primo ordine . . . . . . . 803.8 Risposta alla rampa di un sistema del primo ordine . . . . . . . . . . . . 813.9 Risposta al gradino unitario di un sistema del secondo ordine . . . . . . 823.10 Massima sovraelongazione nella risposta al gradino unitario in un siste-

ma del secondo ordine in funzione del parametro γ . . . . . . . . . . . . 823.11 Calcolo del tempo di risposta in un sistema del secondo ordine . . . . . 833.12 Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine

passa-basso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.13 Circuito RC passa-alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.14 Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine

passa-alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1 Indice degli strumenti analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2 Andamento temporale della posizione dell’indice in funzione del valore

di γ da 0 a 1.6 con passi di 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 Strumento a conversione magnetoelettrica . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4 Voltmetro magnetoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5 Principio di funzionamento di uno strumento a conversione elettroma-

gnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Strumento a conversione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Strumento a conversione elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Andamento temporale della coppia motrice in uno strumento a conver-

sione elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.9 Strumento elettrodinamico utilizzato come wattmetro . . . . . . . . . . 1004.10 Strumento elettrodinamico utilizzato come varmetro . . . . . . . . . . . 1004.11 Strumento elettrodinamico utilizzato come amperometro . . . . . . . . . 1014.12 Strumento elettrodinamico utilizzato come voltmetro . . . . . . . . . . 1024.13 Strumento a induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.14 Distribuzione dei flussi e delle correnti in uno strumento a induzione . . 1034.15 Rotazione del disco di uno strumento a induzione . . . . . . . . . . . . 1044.16 Diagramma vettoriale in uno strumento a induzione . . . . . . . . . . . 1044.17 Correzione dello sfasamento in uno strumento a induzione . . . . . . . . 1054.18 Contatore a induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


Elenco delle Figure

4.19 Diagramma vettoriale in un contatore a induzione . . . . . . . . . . . . 1074.20 Curva di errore di un contatore a induzione . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.21 Dispositivi di taratura in un contatore a induzione . . . . . . . . . . . . 1104.22 Compensazione della regolazione di velocita al piccolo carico in un

contatore a induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1 Voltmetro magnetoelettrico con resistenza addizionale . . . . . . . . . . 1145.2 Voltmetro magnetoelettrico con diverse portate . . . . . . . . . . . . . . 1155.3 Amperometro con derivatore (shunt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Amperometro magnetoelettrico con derivatore (shunt) a piu portate . . . 1175.5 Misura di resistenza con metodo voltamperometrico . . . . . . . . . . . 1185.6 Misura di resistenza con metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . 1205.7 Voltmetro sensibile al valore medio sul semiperiodo di una tensione

alternata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.8 Voltmetro sensibile al valore di cresta di una tensione alternata . . . . . 1245.9 Amperometro elettromagnetico con due portate . . . . . . . . . . . . . 1255.10 Andamenti della potenza istantanea e della potenza media in funzione

del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.11 Possibili inserzioni del wattmetro per misure di potenza attiva in sistemi

monofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.12 Diagramma vettoriale relativo a misure di potenza attiva in sistemi mo-

nofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.13 Schema di inserzione di un varmetro monofase . . . . . . . . . . . . . . 1305.14 Schemi per la misura della potenza reattiva in sistemi monofase in regi-

me sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.15 Schemi per la misura della potenza apparente in sistemi monofase in

regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.16 Misura di potenza attiva in un sistema trifase a quattro fili . . . . . . . . 1375.17 Misura di potenza attiva in un sistema trifase a tre fili . . . . . . . . . . 1385.18 Diagramma vettoriale relativo all’inserzione di Aron per la misura della

potenza attiva in un sistema trifase a tre fili . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.19 Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase

a tre fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.20 Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase

a tre fili in funzione della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.21 Inserzione di un wattmetro per la misura della potenza reattiva in sistemi

trifase simmetrici ed equilibrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.22 Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase

simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.23 Inserzione di Barbagelata per la misura della potenza reattiva in sistemi

trifase simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.24 Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase

simmetrici in funzione della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150


Elenco delle Figure

5.25 Tensione, corrente e potenza istantanea in caso si forma d’onda di ten-sione sinusoidale e forma d’onda di corrente non-sinusoidale . . . . . . 153

5.26 Ciclo di isteresi di un materiale magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.27 Andamento dei campi B e H in presenza di isteresi e saturazione nel

materiale magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.28 Apparecchio di Epstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.29 Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein 1595.30 Ripartizione delle perdite in un materiale magnetico . . . . . . . . . . . 1625.31 Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein

con tensione non-sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.32 Interpolazione grafica per la determinazione del valore delle perdite alla

induzione magnetica di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.33 Interpolazione grafica per la determinazione del valore efficace della

tensione corrispondente alla induzione magnetica di riferimento . . . . . 1655.34 Andamento di tensione e induzione magnetica nel circuito per la misura

del valore massimo dell’induzione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.1 Ponte di Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.2 Doppio ponte di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.3 Schema di principio di un ponte in corrente alternata . . . . . . . . . . . 1766.4 Ponte di Schering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.5 Ponte di Schering per capacita elevate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.6 Circuito equivalente del ponte di Schering per capacita elevate . . . . . 1806.7 Ponte di Schering con capacita parassite . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.8 Ponte di Schering con compensazione dell’effetto delle capacita paras-

site (metodo delle terre di Wagner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.9 Ponte automatico per la misura di capacita e fattore di perdita . . . . . . 183

7.1 Compromesso tra risoluzione e frequenza di campionamento . . . . . . 1867.2 Campionamento ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.3 Spettro del segnale campionato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.4 Fenomeno dell’aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.5 Principio di funzionamento del sample-and-hold . . . . . . . . . . . . . 1897.6 Quantizzazione di un segnale analogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.7 Principio di funzionamento di un comparatore . . . . . . . . . . . . . . 1927.8 Contatore di impulsi asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.9 Contatore di impulsi sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.10 Convertitore D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.11 Convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare . . . . . . . . . . . . 1987.12 Convertitore A/D a doppia rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.13 Convertitore A/D incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.14 Convertitore A/D ad approssimazioni successive . . . . . . . . . . . . . 202


Elenco delle Figure

7.15 Principio di funzionamento di un convertitore A/D ad approssimazionisuccessive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.16 Convertitore A/D flash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.17 Convertitore A/D pipeline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.1 Schema a blocchi di un generico strumento digitale . . . . . . . . . . . 2088.2 Multimetro digitale “palmare” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.3 Multimetro digitale da banco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.4 Calcolo del valore efficace nel dominio digitale . . . . . . . . . . . . . . 2108.5 Finestre di Hamming, Hanning e Blackman-Harris . . . . . . . . . . . . 2118.6 Wattmetro digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128.7 Strumento digitale per misure di frequenza e periodo . . . . . . . . . . . 2138.8 Incertezza nel conteggio in misurazioni di frequenza e periodo . . . . . 2158.9 Strumento digitale per misure di intervalli di tempo . . . . . . . . . . . 2158.10 Incertezza sulla definizione dell’intervallo di tempo (“walk”) . . . . . . 2168.11 Metodo del verniero temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.1 Schema di inserzione e circuito equivalente del TA . . . . . . . . . . . . 2219.2 Diagramma vettoriale di un TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.3 TA utilizzati su reti a media (a) e bassa (b) tensione . . . . . . . . . . . 2259.4 Andamento delle correnti secondaria (i2), primaria (i1) e magnetizzante

(i0) in un TA quando il nucleo e in saturazione . . . . . . . . . . . . . . 2279.5 TA con avvolgimento primario diviso in due sezioni connesse in serie

(a) o in parallelo (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.6 TA con un avvolgimento primario e tre avvolgimenti secondari (tre nu-

clei magnetici distinti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.7 Schema di inserzione e circuito equivalente dei TVI . . . . . . . . . . . 2309.8 Diagramma vettoriale di un TVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.9 TVI utilizzati su reti a media tensione per (a) inserzione tra fasi e (b)

inserzione verso terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.10 TVI con avvolgimento secondario diviso in due sezioni connesse in serie

(a) o in parallelo (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.11 Schema di principio (a) e circuito equivalente secondo Thevenin (b) di

un TVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.12 Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TA in classe 0.5 con

prestazione 20 VA, per reti a media tensione . . . . . . . . . . . . . . . 2419.13 Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TVI in classe 0.5 con

prestazione 60 VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2429.14 Schema utilizzato per la taratura di un TA . . . . . . . . . . . . . . . . 2429.15 Schema utilizzato per la taratura di un TVI o di un TVC . . . . . . . . . 2449.16 Diagramma di Moellinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2479.17 Schema di inserzione di tre TVI monofase per misurare la tensione residua249


Elenco delle Figure

9.18 Formazione della tensione residua VR nel caso di guasto monofase a terranetto della fase 3 dello schema di Figura 9.17 . . . . . . . . . . . . . . . 250

9.19 Schema per la misura di potenza in un sistema monofase con trasforma-tori di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

9.20 Diagramma vettoriale delle grandezze in gioco in una misura di potenzacon trasformatori di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

10.1 Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale 26010.2 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio con base dei tempi . . . . 26110.3 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio in modalita XY . . . . . . 26210.4 Tubo a raggi catodici (CRT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.5 Interdizione del fascio elettronico tra una scansione e l’altra dello scher-

mo tramite griglia di controllo (a) o placchette di spegnimento (b) . . . . 26410.6 Comportamento dello schermo colpito dal fascio di elettroni . . . . . . . 26510.7 Schema a blocchi della base dei tempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.8 Forme d’onda della base dei tempi in modalita di funzionamento triggered26710.9 Schema a blocchi semplificato della base dei tempi in modalita auto . . . 26810.10 Schema a blocchi del canale verticale (Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.11 Schema a blocchi del canale orizzontale (X) . . . . . . . . . . . . . . . 27010.12 Schema a blocchi del canale verticale (Y) di un oscilloscopio a doppia

traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27110.13 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in moda-

lita alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.14 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in moda-

lita chopped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27410.15 Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale . . . . . . . . 27510.16 Convertitore A/D per oscilloscopi a larga banda . . . . . . . . . . . . . 27610.17 Circuito equivalente del probe dell’oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . 277

11.1 Trasduttori, sensori e attuatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27911.2 Circuiti equivalenti di un sensore attivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.3 Termocoppia con circuito di lettura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28111.4 Forza elettromotrice in funzione della temperatura per le termocoppie

citate in Tabella 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.5 Effetto fotoelettrico in un fotodiodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28311.6 Circuito per la lettura di sensori piezoelettrici . . . . . . . . . . . . . . . 28411.7 Sensore ad effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28411.8 Circuito equivalente di un sensore passivo . . . . . . . . . . . . . . . . 28611.9 Termometro a resistenza di platino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28611.10 Sensore di temperatura a diodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.11 Estensimetro a filo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.12 Estensimetro in configurazione a semi-ponte . . . . . . . . . . . . . . . 29011.13 Circuito di lettura per un estensimetro in configurazione a semi-ponte . . 292


Elenco delle Figure

11.14 Sensore capacitivo differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.15 Circuito per la lettura di sensori capacitivi . . . . . . . . . . . . . . . . 29411.16 Esempio di accelerometro capacitivo MEMS . . . . . . . . . . . . . . . 29611.17 Sensore induttivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296


Elenco delle Tabelle

1.1 Grandezze fondamentali, supplementari e derivate e relative unita di misura 311.2 Multipli e sottomultipli decimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3 Area della distribuzione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4 Area della distribuzione t di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.5 Espressioni dell’incertezza tipo composta assoluta . . . . . . . . . . . . 521.6 Espressioni dell’incertezza tipo composta relativa . . . . . . . . . . . . 52

3.1 Trasformate di Laplace per alcune funzioni di comune impiego . . . . . 763.2 Impedenze simboliche equivalenti di resistenze, induttanze e capacita . . 83

9.1 Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) peri TA per misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.2 Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) peri TA per misura per applicazioni speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.3 Limiti dell’errore di corrente (rapporto), dell’errore d’angolo (fase) edell’errore composto per i TA per protezione . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.4 Valori normali del fattore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.5 Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per

i TVI per misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.6 Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per

i TVI per protezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.7 Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per

i TVC per misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.8 Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per

i TVC per protezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.9 Errori di rapporto e di fase di un trasformatore di misura al 100% e al

25% della prestazione nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

11.1 Termocoppie di comune impiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.2 Espressione della capacita in funzione dei parametri geometrici per di-

versi tipi di condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293


Elenco delle Abbreviazioni

A/D Analogico-Digitale

CEE Comunita Economica Europea

CEI Comitato Elettrotecnico Italiano

CENELEC Comite Europeen de Normalisation Electrotechnique

CRT Tubo a Raggi Catodici

D/A Digitale-Analogico

DCF77 Deutschland Long-Wave Signal Frankfurt 77

EN Norme Europee

IEC International Electrotechnical Commission

INRIM Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica

MEMS Micro-Electro-Mechanical System

SI Sistema Internazionale

SIT Servizio Italiano Taratura

TA Trasformatore di Corrente

TVI Trasformatore di Tensione Induttivo

TVA Trasformatore Combinato di Tensione e Corrente

TVC Trasformatore di Tensione Capacitivo


Elenco dei Simboli

A Sezione

A Ampere

B Induzione magnetica

BS Banda del segnale

C Capacita

C Coulomb

CP Cifra di perdita

Cm Coppia motrice

Cp Capacita equivalente parallelo di un condensatore reale

Cr Coppia antagonista

Cs Capacita equivalente serie di un condensatore reale

Cs Coppia smorzante

D Potenza reattiva deformante

∆ Semi-ampiezza della distribuzione uniforme

E Forza elettromotrice

E- Exa- (×1018)

ENOB Risoluzione effettiva

F Forza

Φ Flusso dell’induzione magnetica

F Farad


Elenco dei Simboli

F (x) Funzione di probabilita cumulata diretta di una distribuzione probabilistica

Γ (x) Funzione gamma di Eulero

G- Giga- (×109)

G (x) Funzione di probabilita cumulata inversa di una distribuzione probabilistica

G f Gauge factor

H Campo magnetico

H Henry

Hz Hertz

I Corrente

I Valore efficace della corrente

I1,N Corrente primaria nominale di un trasformatore di corrente

I2,N Corrente secondaria nominale di un trasformatore di corrente

IC Valore di cresta o massimo della corrente

= Parte immaginaria

J Momento di inerzia

J Joule

K Kelvin

L Induttanza

L Trasformata di Laplace

M Mutua induttanza

M- Mega- (×106)

N Costante della coppia di smorzamento

N Newton

Nbit Risoluzione

Nc Costante di un contatore a induzione

Ω Ohm


Elenco dei Simboli

P Potenza attiva

P- Peta- (×1015)

PI Perdite

per isteresi magnetica

PP Perdite per correnti parassite

Pa Pascal

Q Potenza reattiva

R Resistenza

Rp Resistenza equivalente parallelo di un condensatore reale

Rs Resistenza equivalente serie di un condensatore reale

< Parte reale

S Potenza apparente

S Siemens

SNR Rapporto segnale-rumore

T Periodo

T Temperatura assoluta

T Tesla

T- Tera- (×1012)

TS Intervallo di campionamento

U Incertezza di misura estesa assoluta

U Incertezza di misura estesa relativa

V Tensione

V Valore efficace della tensione

V Volt

V1,N Tensione primaria nominale di un trasformatore di tensione

V2,N Tensione secondaria nominale di un trasformatore di tensione


Elenco dei Simboli

VC Valore di cresta o massimo della tensione

Vm Valore medio sul semiperiodo della tensione

W Energia

W Watt

X Reattanza

Xm Media aritmetica di una serie di dati

Z Impedenza

Z Variabile normalizzata con distribuzione gaussiana

a Costante della coppia antagonista

α Deviazione dell’indice

a- Atto- (×10−18)

c Velocita della luce

c- Centi- (×10−2)

cd Candela

cos (ϕ) Fattore di potenza

d Diametro

δ Angolo di perdita

d- Deci- (×10−1)

dB Decibel

δQ Intervallo di quantizzazione

da- Deca- (×101)

ε Errore

η Peso specifico

εQ Errore di quantizzazione

εTA Errore di fase di un trasformatore di corrente

εTV Errore di fase di un trasformatore di tensione


Elenco dei Simboli

εc,T A Errore composto di un trasformatore di corrente

ηTA Errore di rapporto di un trasformatore di corrente

ηTV Errore di rapporto di un trasformatore di tensione

f Frequenza

ϕ Sfasamento

f- Femto- (×10−15)

f (x) Funzione densita di probabilita di una distribuzione probabilistica

fS Frequenza di campionamento

γ Fattore di smorzamento

h Costante di Planck

h- Etto- (×102)

j Variabile complessa (√−1)

k Costante di Boltzmann

κ Coefficiente di temperatura

k- Kilo- (×103)

kA Potere moltiplicatore dello shunt

kV Potere moltiplicatore della resistenza addizionale

kTA,N Rapporto di trasformazione nominale di un trasformatore di corrente

kTA,S Rapporto spire di un trasformatore di corrente

kTA Rapporto di trasformazione reale di un trasformatore di corrente

kTV,N Rapporto di trasformazione nominale di un trasformatore di tensione

kTV,S Rapporto spire di un trasformatore di tensione

kTV Rapporto di trasformazione reale di un trasformatore di tensione

ka Costante amperometrica

kv Costante voltmetrica

kg Kilogrammo


Elenco dei Simboli

l Lunghezza

λ Lunghezza d’onda

lm Lumen

lx Lux

m Massa

µ Media di una distribuzione probabilistica

m Metro

µ- Micro- (×10−6)

m- Milli- (×10−3)

mol Mole

n Coefficiente di Steinmetz

ν Numero di gradi di liberta della distribuzione t di Student

νeff Numero di gradi di liberta effettivi della distribuzione t di Student

n- Nano- (×10−9)

ng Numero di giri

ns Numero di spire

ν Modulo di Poisson

ω Pulsazione angolare

ω0 Pulsazione caratteristica

p- Pico- (×10−12)

ppm Parti per milione (10−6)

q Carica dell’elettrone

rad Radiante

ρ Resistivita elettrica

s Scarto tipo di una serie di dati

s Variabile di Laplace


Elenco dei Simboli

σ Deviazione standard di una distribuzione probabilistica

σ2 Varianza di una distribuzione probabilistica

σµ Deviazione standard delle medie di serie di dati

s Secondo

s2 Scarto quadratico medio di una serie di dati

sµ Scarto tipo delle medie di serie di dati

s2µ Scarto quadratico medio delle medie di serie di dati

st Steradiante

t Tempo

t Variabile normalizzata con distribuzione t di Student

τ Costante di tempo

tan (δ) Fattore di perdita

τr Tempo di risposta

u Incertezza di misura tipo assoluta

u Incertezza di misura tipo relativa

wb Weber


Capitolo 1

Concetti Generali

1.1 Scopo di una MisurazioneIn senso generale, misurare significa stabilire il rapporto fra la grandezza in esame e la suaunita di misura, cioe fra una grandezza e una quantita di riferimento, con essa omogenea(per esempio lunghezza paragonata a lunghezza o resistenza elettrica a resistenza elettri-ca). Una misurazione puo riguardare un solo misurando, oppure piu misurandi, per cuiessa puo risultare piu o meno complessa. La misurazione e, quindi, il processo necessarioper determinare il suddetto rapporto, mentre la misura e il risultato della misurazione.

Per esprimere il valore di una grandezza fisica si usano due simboli: un numero euna lettera. La lettera rappresenta il simbolo dell’unita di misura scelta, mentre il numeroesprime il rapporto tra la grandezza in esame e la quantita definita come unita di misura.Ad esempio, l’unita di misura della lunghezza e il metro, che si indica con la lettera “m”:scrivere 8 m significa indicare una lunghezza pari a otto volte l’unita di misura.

Le diverse unita di misura necessarie per le diverse grandezze (lunghezza, resisten-za elettrica, tempo, volume, pressione, eccetera) formano un sistema di unita di misura.In un sistema di unita di misura vengono assunte come assolute o fondamentali alcunegrandezze, indipendenti tra loro e nel numero piu piccolo possibile, definendone le unitadi misura. Tutte le altre unita di misura del sistema, che vengono dette unita derivate,si ricavano da quelle fondamentali. Per fare un esempio, la lunghezza l e una grandezzafondamentale, mentre l’area, essendo il prodotto di due lunghezze (l× l = l2), rappresentauna grandezza derivata.

1.2 Sistema Internazionale di Unita di MisuraIl sistema di unita di misura attualmente in vigore e il SI. Esso e basato su sette grandezzefondamentali e due supplementari. In particolare, lunghezza, massa, intervallo di tempo,intensita di corrente elettrica, intervallo di temperatura, intensita luminosa e quantita dimateria sono le unita fondamentali, mentre angolo piano e angolo solido sono le unitasupplementari.


1. Concetti Generali

La Tabella 1.1 riporta le grandezze fondamentali, supplementari e le principali gran-dezze derivate del SI, con il nome e il simbolo della loro unita.

Le unita del SI sono unita legali in Italia, in forza del Decreto del Presidente dellaRepubblica n 802 del 12/08/1982, emanato in attuazione della Direttiva n 80/181 dellaComunita Economica Europea (CEE), di cui l’Italia e parte. L’impiego di unita di misuradi vecchi sistemi non e, pertanto, corretto e deve, percio, essere abbandonato.

Nell’Appendice A sono riportate le definizioni delle grandezze fondamentali e, inmodo dettagliato, le grandezze del SI, unitamente alle loro unita di misura. Sono, inoltre,riportate le unita di misura che, pur non comprese nel SI, sono ammesse o transitoriamentetollerate.

L’uso delle sole unita di misura del SI non risulta sempre pratico, per cui e necessariol’impiego di multipli e sottomultipli decimali, formati mediante i prefissi indicati in Ta-bella 1.2. Il prefisso, unito al simbolo dell’unita di misura, forma il simbolo del multiploo sottomultiplo di quella unita. Esso puo essere utilizzato direttamente, oppure combinatocon i simboli di altre unita di misura. Ad esempio,

1 mm2 = 10−6 m2, 1 kV = 103 V, 1 mm/s = 10−3 m/s. (1.1)

Per esprimere il valore numerico di una grandezza e consigliabile l’uso dei multipli esottomultipli, in modo che il valore numerico stesso risulti compreso tra 0.1 e 1000. Peresempio, conviene scrivere 6.25 mm, oppure 6.25×10−3 m, invece di 0.00625 m. I prefissihanno anche un nome e un simbolo, cosı come indicato in Tabella 1.2. Per la grafia sonovalide le seguenti regole:• i nomi delle unita di misura devono essere scritti con caratteri minuscoli, compresa

la lettera iniziale, e senza punto finale (ad esempio volt e non Volt), e, quandoderivano da nome proprio, restano invariati al plurale;

• l’unita di misura, quando accompagna il relativo valore numerico, deve essereespressa mediante il suo simbolo, che deve essere scritto dopo il valore numericosenza punto finale;

• l’uso dei simboli e ammesso solo quando essi sono preceduti da valore numerico;diversamente si deve scrivere il nome dell’unita di misura per esteso;

• il simbolo dei multipli e sottomultipli di una unita si scrive facendo precedere ilprefisso al simbolo dell’unita, senza interporre un punto o uno spazio, mentre ilsimbolo delle unita derivate, prodotto di due o piu unita, deve essere scritto inter-ponendo, tra i simboli delle unita componenti, il punto di moltiplicazione o unospazio, come, ad esempio,

Nm oppure N ·m; (1.2)

• qualora l’unita derivi dal quoziente di due altre unita, il simbolo e formato interpo-nendo fra il simbolo a numeratore e quello a denominatore un tratto obliquo o lariga di frazione o usando gli esponenti negativi, come, per esempio,

m/s2 oppurems2 oppure m · s−2. (1.3)


1.2. Sistema Internazionale di Unita di Misura

Grandezza Unita SINome dell’Unita Simbolo dell’Unita

FondamentaliLunghezza metro mMassa kilogrammo kgIntervallo di tempo secondo sCorrente elettrica ampere AIntervallo di temperatura kelvin KIntensita luminosa candela cdQuantita di sostanza mole molSupplementariAngolo piano radiante radAngolo solido steradiante stDerivateFrequenza hertz HzForza newton NPressione, tensione meccanica pascal PaLavoro, energia, quantita di calore joule JPotenza watt WCarica elettrica coulomb CPotenziale elettrico, tensione elettrica, forzaelettromotrice

volt V

Capacita elettrica farad FResistenza elettrica ohm Ω

Conduttanza elettrica siemens SFlusso di induzione magnetica weber WbInduzione magnetica tesla TInduttanza propria, induttanza mutua henry HFlusso luminoso lumen lmIlluminamento lux lx

Tabella 1.1: Grandezze fondamentali, supplementari e derivate e relative unita di misura



Fattore di Moltiplicazione PrefissoNome Simbolo

1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 etto h101 deca da10−1 deci d10−2 centi c10−3 milli m10−6 micro µ

10−9 nano n10−12 pico p10−15 femto f10−18 atto a

Tabella 1.2: Multipli e sottomultipli decimali


1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati

1.3 Impostazione di una Misurazione e Interpretazionedei Risultati

Il misurando e la specifica quantita oggetto di misurazione (ad esempio, la resistenza elet-trica di un conduttore a 20 C). Quando si specifica un misurando, puo essere necessarioincludere riferimenti ad altre quantita, quali tempo, temperatura, pressione e cosı via. L’o-biettivo della misurazione e di determinare una stima del valore del misurando nel modopiu appropriato.

La scelta del metodo di misura, che puo essere fatta dall’operatore o stabilita da unanorma, e di fondamentale importanza. Si tenga presente che, anche dovendo operaresullo stesso tipo di misurando (ad esempio, una potenza elettrica o una temperatura), lesue specifiche caratteristiche possono imporre l’uso di un metodo ed escluderne altri. Inuna misura elettrica, un metodo puo differire da un altro per le caratteristiche del circuitorealizzato e per gli strumenti impiegati.

Il risultato di una misurazione (o misura) deve essere interpretato, in quanto general-mente esso si discosta dal “valore vero” del misurando, per ragioni legate al metodo eagli strumenti usati, nonche alle condizioni in cui la misura viene effettuata. E, innanzi-tutto, da osservare che il termine di “valore vero” deve essere considerato in senso lato,in quanto si deve ammettere che, essendo la sua determinazione comunque ottenuta dauna misurazione, esso e in realta sempre incognito. Il ricorso ad un metodo e a strumentidi caratteristiche misuristiche piu pregiate puo consentire di ottenere risultati migliori diquelli forniti da un sistema piu scadente, ma l’approccio al problema non cambia.

Nella interpretazione dei risultati di una misurazione, si deve tenere presente che gliscarti rispetto al “valore vero” dipendono:• da errori grossolani commessi dall’operatore, per esempio, nella lettura di uno

strumento o nella sua errata inserzione e cosı via;• da scarti di segno costante, che, se noti o determinabili mediante un processo logico,

vengono definiti effetti sistematici;• da eventi casuali, quali l’interpretazione delle indicazioni di uno strumento a indice,

l’effetto della temperatura, la presenza di disturbi non individuabili e cosı via.Gli errori grossolani sono in generale di ampiezza tale da essere facilmente ricono-

scibili. Quando si opera su un solo misurando, il rischio di errori grossolani puo esserepraticamente eliminato effettuando misure ripetute, ricorrendo, eventualmente, a operato-ri diversi. Gli effetti sistematici noti o determinabili sono, generalmente, legati al metodoe agli strumenti usati e, molte volte, possono essere corretti. Una volta ripuliti i risultatidagli eventuali errori grossolani e dagli effetti sistematici, si deve passare alla valutazionedegli effetti degli eventi casuali.

Quando, nelle stesse condizioni, si ripete piu volte la misurazione di una stessa gran-dezza, si ottengono, in generale, risultati diversi. Cio non significa necessariamente chela grandezza sia cambiata, ma piuttosto che le indicazioni dello strumento utilizzato sonovariate per cause accidentali o che la loro lettura e stata effettuata in modo imperfettodall’operatore. Un esempio tipico e la misurazione di una distanza mediante bindella



centimetrata. La stessa operazione, ripetuta piu volte dallo stesso operatore o da operato-ri differenti, fornisce risultati prossimi tra loro ma diversi. Un altro esempio puo esserequello della misurazione ripetuta del periodo di un pendolo, effettuata con un cronometro.Di fronte a questa situazione, l’operatore si deve porre due domande:• quale e il valore piu attendibile del misurando?• quale e il significato da dare agli scarti riscontrati?

La risposta a tali domande si trova generalmente applicando metodi probabilistici, basatisull’uso della statistica.

La miglior stima del valore del misurando, che varia casualmente e per cui n osser-vazioni indipendenti xk sono state ottenute nelle stesse condizioni di misura, e la mediaaritmetica Xm delle n osservazioni,

Xm =1n

n∑k=1

xk. (1.4)

Si intuisce immediatamente che il valore di Xm e tanto piu attendibile, quanto maggiore eil numero delle misure effettuate.

Le singole misure scartano dalla media delle quantita x1 − Xm, x2 − Xm, eccetera,per effetto di fattori di influenza casuali. Gli scarti assumono valori tanto piu grandi,quanto piu dispersi tra loro sono i dati originali. La qualita della misura sara, quindi,tanto migliore, quanto piu piccoli sono tali scarti rispetto alla media. Nasce, percio, lanecessita di dare una valutazione quantitativa di questa qualita, utilizzando un criterioconvenzionale.

L’incertezza di misura e un parametro, associato con il risultato di una misurazione,che caratterizza la dispersione dei valori che potrebbero essere ragionevolmente attribuitial misurando. Analizzando le condizioni e il processo di misura, ci si puo rendere contoche le cause di aleatorieta del risultato finale di una misurazione sono diverse e, a volte,complesse, quali:• definizione incompleta del misurando;• conoscenza o misura inadeguata degli effetti delle condizioni ambientali;• effetti sistematici non noti nella indicazione degli strumenti analogici;• risoluzione finita di strumenti a indicazione discreta;• valori delle costanti e di altri parametri, ottenuti da fonti esterne ed usati nell’algo-

ritmo di riduzione dei dati;• variazioni del misurando in ripetute osservazioni, effettuate in condizioni apparen-

temente identiche;• imperfetta correzione di effetti sistematici, legati al metodo di misura usato.In un rapporto di prova si dichiara, normalmente, un unico valore come stima del valo-

re del misurando, a cui viene associata un’incertezza, opportunamente definita e calcolata.In generale, si scrivera che il valore della grandezza da misurare X e dato dalla sua stimaXm, gravata dall’incertezza U (tale lettera e l’iniziale della parola inglese “uncertainty”,che significa per l’appunto “incertezza”),

X = Xm ± U. (1.5)


1.4. Alcune Nozioni di Statistica

L’incertezza di misura U puo anche essere espressa in forma relativa,

U =UXm. (1.6)

Il concetto di incertezza, come attributo quantificabile di una misura, e relativamenterecente, sebbene errore e analisi dell’errore siano stati, a lungo, una parte importantedella scienza della metrologia. Si riconosce che, quando tutti gli effetti noti sono stativalutati e sono state apportate le correzioni appropriate, rimane ancora un’incertezza circala correttezza del risultato, cioe un dubbio su quanto il risultato della misura rappresentiil valore della quantita cercata.

Nell’incertezza del risultato di una misura possono generalmente essere individua-ti diversi componenti, che per comodita possono essere raggruppati in due categorie, aseconda del modo in cui l’incertezza stessa viene stimata:• quelli che vengono valutati applicando metodi statistici, partendo da una serie di

misure ripetute (incertezza di tipo A);• quelli che vengono valutati con altri mezzi (incertezza di tipo B).

Non esiste alcuna corrispondenza tra la classificazione dei componenti nelle categorie Ao B, se non quella di indicare due diversi criteri di valutazione dell’incertezza.

In pratica, il livello di accuratezza richiesto nella stima dell’incertezza e l’incertezzastessa possono essere anche molto diversi, a seconda dello scopo e del livello della misura.

1.4 Alcune Nozioni di StatisticaPer poter applicare i metodi statistici, necessari alla determinazione dell’incertezza dimisura, e opportuno introdurre alcune definizioni. Si definisce probabilita di un evento,il rapporto tra il numero di casi favorevoli a tale evento e il numero di casi possibili.Piu precisamente, si definisce probabilita di ottenere da un esperimento un certo risultato,definito da un certo valore y, assunto dalla variabile casuale che caratterizza l’esperimentostesso, il rapporto tra la misura dell’insieme dei risultati che forniscono il valore y e lamisura dell’insieme comprendente tutti i risultati possibili relativi all’esperimento.

Ad esempio, se si lancia un dado da gioco, la probabilita di ottenere il numero quattroe 1/6. Se si lanciano due dadi, lo stesso numero ha probabilita di verificarsi pari a 1/12(combinazioni 2+2, 3+1, 1+3). Se si effettua un numero di lanci ripetuti di un solo dado,ad esempio un centinaio, si constata che tutti i possibili valori (da 1 a 6) si presentano conla stessa frequenza. Diversa e la situazione nel caso di lancio ripetuto di due dadi, inquanto i possibili valori (da 2 a 12) hanno diverse probabilita di verificarsi.

Un qualunque evento casuale e, quindi, caratterizzato da una distribuzione probabi-listica, che ne determina le proprieta statistiche. Ad una distribuzione probabilistica esempre associata una funzione densita di probabilita, che esprima la probabilita che lavariabile casuale che caratterizza l’evento assuma un determinato valore. Se l’evento hacome variabile casuale una grandezza misurabile, che puo assumere, almeno in linea teo-rica, tutti i valori possibili, la funzione densita di probabilita assume andamento continuo,



f(x)

x

f(x)

x

Figura 1.1: Tipici diagrammi di distribuzione della densita di probabilita

anziche discreto come negli esempi precedenti. La funzione densita di probabilita del-l’evento definito dalla variabile casuale x si indica con f (x). In Figura 1.1 sono riportatidue diagrammi tipici, che rappresentano f (x) in funzione di x. Si noti che il primo di essipresenta simmetria rispetto al valore centrale, a differenza del secondo.

Un’altra curva di interesse si puo ottenere esprimendo la probabilita cumulata F (x) infunzione della variabile casuale (Figura 1.2). La funzione F (x) rappresenta la probabilitadi ottenere tutti i valori inferiori o uguali a x ed e analiticamente rappresentata da

F (x) =

∫ x

−∞

f (x) dx. (1.7)

Si noti che f (x) tende a zero sia per x→ ∞, sia per x→ −∞ e, quindi,

limx→∞

F (x) =

∫ ∞

−∞

f (x) dx = 1. (1.8)



0

0.5

1

F(x)

xXm

Figura 1.2: Tipico diagramma di probabilita cumulata da −∞ a x

Alternativamente, si puo definire la funzione G (x) (Figura 1.3), che rappresenta la proba-bilita di ottenere tutti i valori superiori o uguali a x ed e analiticamente rappresentata da

G (x) =

∫ ∞

xf (x) dx. (1.9)

E ovvia la relazione

G (x) = 1 − F (x) . (1.10)

Sotto l’aspetto applicativo, si puo osservare che, normalmente, si ha a disposizione unnumero limitato di risultati e che la loro rappresentazione grafica puo essere fatta ricorren-do ad istogrammi del tipo indicato in Figura 1.4, che si riferisce al caso di una distribuzio-ne simmetrica. La curva reale si ottiene per interpolazione tra le altezze delle canne checostituiscono l’istogramma. Se si prende un campione piu grande, l’istogramma risultaquello di Figura 1.5, che e ovviamente piu prossimo alla distribuzione reale.

Si presenta ora il problema di caratterizzare una distribuzione probabilistica con ilminimo numero di parametri. In Figura 1.6 sono rappresentate tre distribuzioni, di cuivengono definite le seguenti grandezze:• media: rappresenta la somma delle varie osservazioni divisa per il numero del-

le osservazioni stesse; la media µ per una certa distribuzione probabilistica vieneottenuta pesando ogni valore x con la corrispondente densita di probabilita f (x),

µ =

∫ ∞

−∞

x f (x) dx; (1.11)

• mediana: e definita dal valore dell’osservazione che divide in due parti uguali l’in-sieme ordinato delle osservazioni (se il numero delle osservazioni e pari, e la media



0

0.5

1G(x)

xXm

Figura 1.3: Tipico diagramma di probabilita cumulata da x a∞

f(x)

x

Figura 1.4: Costruzione del diagramma di distribuzione della densita di probabilita inun caso pratico con un numero limitato di risultati



f(x)

x

Figura 1.5: Costruzione del diagramma di distribuzione della densita di probabilita inun caso pratico con un numero maggiore di risultati

dei due valori piu vicini, se il numero e dispari, il valore dell’osservazione centrale),ovvero, il valore della variabile casuale x, per cui

F (x) = G (x) = 0.5; (1.12)

• moda: e il valore dell’osservazione che si verifica piu frequentemente.Dal punto di vista pratico, avendo a disposizione un numero limitato di risultati, la mediaµ della distribuzione, che caratterizza la variabile casuale x, puo essere stimata utilizzandola media aritmetica Xm delle osservazioni xk,

Xm =1n

n∑k=1

xk. (1.13)

Si puo dimostrare che

limn→∞

Xm = µ. (1.14)

Un altro parametro interessante di una distribuzione probabilistica caratterizza, invece,la dispersione della distribuzione attorno al valore medio µ. E ovvio che, quanto menola distribuzione sara dispersa, tanto piu i risultati dell’esperimento saranno raggruppatiattorno a µ. Per quantificare la dispersione si utilizza il parametro σ2, ottenuto pesandoogni valore di (x − µ)2 con la funzione densita di probabilita f (x),

σ2 =

∫ ∞

−∞

(x − µ)2 f (x) dx. (1.15)

Il parametro σ2 e detto varianza della distribuzione. La sua radice quadrata,

σ =

√∫ ∞

−∞

(x − µ)2 f (x) dx, (1.16)



Jf(

x)

xJ

J

J

f(x)

xJ

J

J

f(x)

x

Med

ia, M

oda,

Med

iana

Med

ia

Mod

a

Med

iana

Mod

a

Med

iana

Med

ia

Normale

Figura 1.6: Media, mediana e moda per tre diverse distribuzioni della densita diprobabilita



prende il nome di deviazione standard della distribuzione. Dal punto di vista pratico,avendo a disposizione un numero limitato di risultati, la varianza σ2 della distribuzione,che caratterizza la variabile casuale x, puo essere stimata utilizzando lo scarto quadraticomedio s2 delle osservazioni xk attorno alla media aritmetica Xm,

s2 =1

n − 1

n∑k=1

(xk − Xm)2 . (1.17)

Analogamente, la deviazione standard σ della distribuzione puo essere stimata usando loscarto tipo s, definito come la radice quadrata positiva dello scarto quadratico medio,

s =

√√1

n − 1

n∑k=1

(xk − Xm)2. (1.18)

Si puo dimostrare che

limn→∞

s2 = σ2 e limn→∞

s = σ. (1.19)

Quando si ha a disposizione un numero limitato di risultati, assumono particolareinteresse lo scarto quadratico medio s2

µ e lo scarto tipo sµ della media aritmetica Xm, dati,rispettivamente, da

s2µ =

s2

n, (1.20)

sµ =s√

n. (1.21)

Questi parametri sono indicativi degli scarti tra le stime Xm della media µ, ottenute dadiverse sequenze di dati, appartenenti ad una stessa distribuzione probabilistica. Ovvia-mente,

limn→∞

s2µ = 0 e lim

n→∞sµ = 0. (1.22)

Il parametro σµ rappresenta la deviazione standard della distribuzione probabilistica dellemedie Xm e, analogamente a quanto visto per sµ, esso e dato da

σµ =σ√

n. (1.23)

Risulta immediato verificare che

limn→∞

σµ = 0. (1.24)



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(x)

x

Figura 1.7: Andamento della distribuzione di Gauss con µ = 5 e σ = 2

1.4.1 Distribuzione Normale (o Gaussiana)Tra le varie distribuzioni, ha un posto particolarmente rilevante la cosı detta distribuzionenormale (o di Gauss), la cui funzione densita di probabilita e definita da

f (x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 . (1.25)

Questa distribuzione ha valore medio µ, deviazione standard σ ed e simmetrica rispetto aµ. Essa e caratterizzata dalle seguenti probabilita cumulate:• F (µ − σ < x < µ + σ) = 0.683;• F (µ − 2σ < x < µ + 2σ) = 0.957;• F (µ − 3σ < x < µ + 3σ) = 0.997.

Per cui, si assume comunemente che il valore x di una variabile casuale, caratterizzatadalla distribuzione normale, e, in generale, compreso nell’intervallo ±3σ attorno al va-lore medio. Nel grafico di Figura 1.7 e rappresentato l’andamento della distribuzione diprobabilita in cui µ = 5 e σ = 2, che equivale alla funzione

f (x) =1

2√

2πe−

(x−5)28 . (1.26)

La distribuzione normale e, quindi, completamente definita da due parametri: la media ela varianza o la deviazione standard.

L’importanza della distribuzione normale risiede nel fatto che un notevole numero difenomeni naturali sono normalmente distribuiti. Si citano, ad esempio, l’altezza ed ilpeso degli individui, gli errori nella misura della lunghezza di un’asta metallica o di unatensione elettrica e cosı via.



La complessita della (1.25) ha suggerito il ricorso a tabelle in cui sono riportati para-metri di validita generale. Una variabile casuale e detta normalizzata, quando essa e statatrasformata in modo da avere media nulla e deviazione standard unitaria. Uno dei piuimportanti teoremi della statistica dimostra che, se x e una variabile casuale con media µe deviazione standard σ, allora la variabile

Z =x − µσ

(1.27)

presenta valore medio nullo e deviazione standard uguale a 1. Una variabile con questecaratteristiche e detta normalizzata e viene solitamente indicata con Z.

Esistono quindi tabelle che danno i valori dell’area sottesa dalla distribuzione normaledella variabile Z. Un esempio e riportato in Tabella 1.3.

f(Z)

Z

A(Z)

Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z)0 0.00000 1 0.34134 2 0.47725 3 0.49865

0.01 0.00399 1.01 0.34375 2.01 0.47778 3.01 0.498690.02 0.00798 1.02 0.34614 2.02 0.47831 3.02 0.498740.03 0.01197 1.03 0.34849 2.03 0.47882 3.03 0.498780.04 0.01595 1.04 0.35083 2.04 0.47932 3.04 0.498820.05 0.01994 1.05 0.35314 2.05 0.47982 3.05 0.498860.06 0.02392 1.06 0.35543 2.06 0.48030 3.06 0.498890.07 0.02790 1.07 0.35769 2.07 0.48077 3.07 0.498930.08 0.03188 1.08 0.35993 2.08 0.48124 3.08 0.498960.09 0.03586 1.09 0.36214 2.09 0.48169 3.09 0.499000.1 0.03983 1.1 0.36433 2.1 0.48214 3.1 0.49903

0.11 0.04380 1.11 0.36650 2.11 0.48257 3.11 0.499060.12 0.04776 1.12 0.36864 2.12 0.48300 3.12 0.499100.13 0.05172 1.13 0.37076 2.13 0.48341 3.13 0.499130.14 0.05567 1.14 0.37286 2.14 0.48382 3.14 0.499160.15 0.05962 1.15 0.37493 2.15 0.48422 3.15 0.49918

Continua. . .



f(Z)

Z

A(Z)

Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z)0.16 0.06356 1.16 0.37698 2.16 0.48461 3.16 0.499210.17 0.06749 1.17 0.37900 2.17 0.48500 3.17 0.499240.18 0.07142 1.18 0.38100 2.18 0.48537 3.18 0.499260.19 0.07535 1.19 0.38298 2.19 0.48574 3.19 0.499290.2 0.07926 1.2 0.38493 2.2 0.48610 3.2 0.49931

0.21 0.08317 1.21 0.38686 2.21 0.48645 3.21 0.499340.22 0.08706 1.22 0.38877 2.22 0.48679 3.22 0.499360.23 0.09095 1.23 0.39065 2.23 0.48713 3.23 0.499380.24 0.09483 1.24 0.39251 2.24 0.48745 3.24 0.499400.25 0.09871 1.25 0.39435 2.25 0.48778 3.25 0.499420.26 0.10257 1.26 0.39617 2.26 0.48809 3.26 0.499440.27 0.10642 1.27 0.39796 2.27 0.48840 3.27 0.499460.28 0.11026 1.28 0.39973 2.28 0.48870 3.28 0.499480.29 0.11409 1.29 0.40147 2.29 0.48899 3.29 0.499500.3 0.11791 1.3 0.40320 2.3 0.48928 3.3 0.49952

0.31 0.12172 1.31 0.40490 2.31 0.48956 3.31 0.499530.32 0.12552 1.32 0.40658 2.32 0.48983 3.32 0.499550.33 0.12930 1.33 0.40824 2.33 0.49010 3.33 0.499570.34 0.13307 1.34 0.40988 2.34 0.49036 3.34 0.499580.35 0.13683 1.35 0.41149 2.35 0.49061 3.35 0.499600.36 0.14058 1.36 0.41308 2.36 0.49086 3.36 0.499610.37 0.14431 1.37 0.41466 2.37 0.49111 3.37 0.499620.38 0.14803 1.38 0.41621 2.38 0.49134 3.38 0.499640.39 0.15173 1.39 0.41774 2.39 0.49158 3.39 0.499650.4 0.15542 1.4 0.41924 2.4 0.49180 3.4 0.49966

0.41 0.15910 1.41 0.42073 2.41 0.49202 3.41 0.499680.42 0.16276 1.42 0.42220 2.42 0.49224 3.42 0.49969

Continua. . .



f(Z)

Z

A(Z)

Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z)0.43 0.16640 1.43 0.42364 2.43 0.49245 3.43 0.499700.44 0.17003 1.44 0.42507 2.44 0.49266 3.44 0.499710.45 0.17364 1.45 0.42647 2.45 0.49286 3.45 0.499720.46 0.17724 1.46 0.42785 2.46 0.49305 3.46 0.499730.47 0.18082 1.47 0.42922 2.47 0.49324 3.47 0.499740.48 0.18439 1.48 0.43056 2.48 0.49343 3.48 0.499750.49 0.18793 1.49 0.43189 2.49 0.49361 3.49 0.499760.5 0.19146 1.5 0.43319 2.5 0.49379 3.5 0.49977

0.51 0.19497 1.51 0.43448 2.51 0.49396 3.51 0.499780.52 0.19847 1.52 0.43574 2.52 0.49413 3.52 0.499780.53 0.20194 1.53 0.43699 2.53 0.49430 3.53 0.499790.54 0.20540 1.54 0.43822 2.54 0.49446 3.54 0.499800.55 0.20884 1.55 0.43943 2.55 0.49461 3.55 0.499810.56 0.21226 1.56 0.44062 2.56 0.49477 3.56 0.499810.57 0.21566 1.57 0.44179 2.57 0.49492 3.57 0.499820.58 0.21904 1.58 0.44295 2.58 0.49506 3.58 0.499830.59 0.22240 1.59 0.44408 2.59 0.49520 3.59 0.499830.6 0.22575 1.6 0.44520 2.6 0.49534 3.6 0.49984

0.61 0.22907 1.61 0.44630 2.61 0.49547 3.61 0.499850.62 0.23237 1.62 0.44738 2.62 0.49560 3.62 0.499850.63 0.23565 1.63 0.44845 2.63 0.49573 3.63 0.499860.64 0.23891 1.64 0.44950 2.64 0.49585 3.64 0.499860.65 0.24215 1.65 0.45053 2.65 0.49598 3.65 0.499870.66 0.24537 1.66 0.45154 2.66 0.49609 3.66 0.499870.67 0.24857 1.67 0.45254 2.67 0.49621 3.67 0.499880.68 0.25175 1.68 0.45352 2.68 0.49632 3.68 0.499880.69 0.25490 1.69 0.45449 2.69 0.49643 3.69 0.49989

Continua. . .



f(Z)

Z

A(Z)

Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z)0.7 0.25804 1.7 0.45543 2.7 0.49653 3.7 0.49989

0.71 0.26115 1.71 0.45637 2.71 0.49664 3.71 0.499900.72 0.26424 1.72 0.45728 2.72 0.49674 3.72 0.499900.73 0.26730 1.73 0.45818 2.73 0.49683 3.73 0.499900.74 0.27035 1.74 0.45907 2.74 0.49693 3.74 0.499910.75 0.27337 1.75 0.45994 2.75 0.49702 3.75 0.499910.76 0.27637 1.76 0.46080 2.76 0.49711 3.76 0.499920.77 0.27935 1.77 0.46164 2.77 0.49720 3.77 0.499920.78 0.28230 1.78 0.46246 2.78 0.49728 3.78 0.499920.79 0.28524 1.79 0.46327 2.79 0.49736 3.79 0.499920.8 0.28814 1.8 0.46407 2.8 0.49744 3.8 0.49993

0.81 0.29103 1.81 0.46485 2.81 0.49752 3.81 0.499930.82 0.29389 1.82 0.46562 2.82 0.49760 3.82 0.499930.83 0.29673 1.83 0.46638 2.83 0.49767 3.83 0.499940.84 0.29955 1.84 0.46712 2.84 0.49774 3.84 0.499940.85 0.30234 1.85 0.46784 2.85 0.49781 3.85 0.499940.86 0.30511 1.86 0.46856 2.86 0.49788 3.86 0.499940.87 0.30785 1.87 0.46926 2.87 0.49795 3.87 0.499950.88 0.31057 1.88 0.46995 2.88 0.49801 3.88 0.499950.89 0.31327 1.89 0.47062 2.89 0.49807 3.89 0.499950.9 0.31594 1.9 0.47128 2.9 0.49813 3.9 0.49995

0.91 0.31859 1.91 0.47193 2.91 0.49819 3.91 0.499950.92 0.32121 1.92 0.47257 2.92 0.49825 3.92 0.499960.93 0.32381 1.93 0.47320 2.93 0.49831 3.93 0.499960.94 0.32639 1.94 0.47381 2.94 0.49836 3.94 0.499960.95 0.32894 1.95 0.47441 2.95 0.49841 3.95 0.499960.96 0.33147 1.96 0.47500 2.96 0.49846 3.96 0.49996

Continua. . .



f(Z)

Z

A(Z)

Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z) Z A (Z)0.97 0.33398 1.97 0.47558 2.97 0.49851 3.97 0.499960.98 0.33646 1.98 0.47615 2.98 0.49856 3.98 0.499970.99 0.33891 1.99 0.47670 2.99 0.49861 3.99 0.49997

Tabella 1.3: Area della distribuzione normale

1.4.2 Distribuzione di StudentNella pratica, per ragioni di tempo e di costo, le misurazioni presentano sempre una serielimitata di valori. La variabile, che razionalizza esattamente i valori di serie limitate, estata studiata da Student ed e data da

t =Xm − xs/√

n, (1.28)

dove Xm rappresenta la media aritmetica delle n misurazioni ed e una stima della media µdella distribuzione, mentre s e lo scarto tipo della serie di misurazioni ed e una stima delladeviazione standard σ della distribuzione. L’espressione a denominatore della (1.28) e loscarto tipo della media sµ.

La funzione densita di probabilita della distribuzione t di Student f (t, ν) e data da

f (t, ν) =1√πν

Γ(ν+1

2

)Γ(ν2

) (1 +

t2

ν

)−(ν+1)/2

, (1.29)

dove −∞ < t < ∞, ν > 0 sono i gradi di liberta e

Γ (n) =

∫ ∞

0xn−1e−xdx, (1.30)

con n > 0.La distribuzione t di Student ha andamento analogo alla distribuzione normale, ma e

meno appuntita, come si nota dal grafico di Figura 1.8. Per ogni valore di ν = n − 1, conn ≥ 2, esiste una funzione densita di probabilita di t. La Tabella 1.4 riporta, per un buonnumero di valori di n, i valori di t corrispondenti a diversi livelli di probabilita.

1.4.3 Distribuzione UniformeUn caso particolare di distribuzione probabilistica e rappresentato dalla distribuzioneuniforme, la cui funzione densita di probabilita e rappresentata in Figura 1.9. Per la



00.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(t)

t

Normale

ν = 1

ν = 6

Figura 1.8: Andamento della funzione densita di probabilita della distribuzione t diStudent

Gradi di Liberta Valori di t con Probabilita pν 68.27% 90.00% 95.00% 95.45% 99.00% 99.73%1 1.840 6.310 12.710 13.970 63.660 235.8002 1.320 2.920 4.300 4.530 9.920 19.2103 1.200 2.350 3.180 3.310 5.840 9.2204 1.140 2.130 2.780 2.870 4.600 6.6205 1.110 2.020 2.570 2.650 4.030 5.5106 1.090 1.940 2.450 2.520 3.710 4.9007 1.080 1.890 2.360 2.430 3.500 4.5308 1.070 1.860 2.310 2.370 3.360 4.2809 1.060 1.830 2.260 2.320 3.250 4.090

10 1.050 1.810 2.230 2.280 3.170 3.96015 1.030 1.750 2.130 2.180 2.950 3.59020 1.030 1.720 2.090 2.130 2.850 3.42030 1.020 1.700 2.040 2.090 2.750 3.27040 1.010 1.680 2.020 2.060 2.700 3.20050 1.010 1.680 2.010 2.050 2.680 3.160

1.000 1.645 1.960 2.000 2.576 3.000

Tabella 1.4: Area della distribuzione t di Student


1.5. Incertezza di Misura

x

f(x)

μ + Δμ

1/(2Δ)

μ – Δ

Figura 1.9: Andamento della funzione densita di probabilita della distribuzione uniforme

distribuzione uniforme, vale f (x) = 12∆

per |x − µ| ≤ ∆

f (x) = 0 per |x − µ| > ∆. (1.31)

Pertanto, la distribuzione uniforme avra media µ e varianza pari a

σ2 =

∫ ∞

−∞

(x − µ)2 f (x) dx =

∫ ∆

−∆

(x − µ)2

2∆dx =

∆2

3. (1.32)

La deviazione standard, quindi, sara data da

σ =∆√

3. (1.33)

1.5 Incertezza di MisuraCome gia menzionato nel Paragrafo 1.3, l’incertezza di misura puo essere determinatain due modi (incertezza di tipo A e incertezza di tipo B). La differenza fra incertezza ditipo A e incertezza di tipo B risiede solo nella procedura con cui l’incertezza stessa vienestimata, mentre il significato da attribuire all’incertezza stessa e lo stesso nei due casi.

1.5.1 Incertezza di Misura di Tipo AL’incertezza di tipo A prevede la determinazione dell’incertezza in base alla interpreta-zione, con metodi statistici, di una serie di misure ripetute dello stesso misurando. Perquantificare le differenze fra le diverse misure xk e, quindi, l’incertezza di misura da asso-ciare alla singola misura xk, si ricorre allo scarto quadratico medio s2, stima della varianza



σ2 della distribuzione di probabilita di x, dato dalla (1.17), oppure allo scarto tipo s, stimadella deviazione standard σ della distribuzione di probabilita di x, dato dalla (1.18).

Entrambi i parametri citati possono essere usati per indicare l’incertezza di misura,ma, in generale, si preferisce usare lo scarto tipo, in quanto espresso nella stessa unitadi misura del misurando. Lo scarto tipo puo essere espresso in valore assoluto, in valorerelativo o in valore relativo percentuale. Si parlera, allora, di scarto tipo assoluto, di scartotipo relativo e di scarto tipo percentuale.

Ai fini dei confronti tra i risultati di serie di misure ripetute, delle quali e nota la sti-ma piu attendibile del misurando Xm, dato dalla (1.4), risulta utile esprimere l’incertezzadi misura tramite lo scarto quadratico medio delle medie s2

µ, stima della varianza delladistribuzione delle medie, dato dalla (1.20), o lo scarto tipo delle medie sµ, stima del-la deviazione standard della distribuzione delle medie, dato dalla (1.21). Per la stessaragione sopra riportata, si preferisce generalmente utilizzare il parametro sµ.

L’incertezza di misura, definita tramite il parametro s oppure il parametro sµ, prendeil nome di incertezza tipo e si indica con u. Nel caso in cui si consideri una distribuzioneprobabilistica normale, l’intervallo ±u copre il 68.3% dei casi.

Nel caso di incertezza di tipo A, quindi, l’incertezza tipo u, da associare alla singolamisurazione xk, risulta essere lo scarto tipo s, mentre l’incertezza tipo u, da associare allamedia aritmetica delle misure (miglior stima del misurando) Xm, risulta essere lo scartotipo delle medie sµ, ovvero,

u (xk) = s, (1.34)

u (Xm) = sµ =s√

n, (1.35)

dove n e il numero di misure considerato.

1.5.2 Incertezza di Misura di Tipo B

La stima dell’incertezza di tipo B deve essere determinata valutando tutte le informazioniottenibili, relative alla variabilita dei risultati e, quindi, alla loro distribuzione probabi-listica. Queste informazioni possono includere precedenti dati di misura, specifiche deicostruttori degli strumenti e dati di taratura degli stessi, oltre che dati di incertezza suimateriali in uso, riscontrabili nella manualistica.

Le modalita di determinazione dell’incertezza possono, quindi, variare a seconda del-le circostanze. In ogni caso, pero, l’incertezza di tipo B prevede la conoscenza a prioridella distribuzione probabilistica associata ai risultati della misurazione. Analogamentea quanto fatto per l’incertezza di tipo A, pertanto, per quantificare l’incertezza di misu-ra, si ricorre alla varianza della distribuzione σ2, definita dalla (1.15), o alla deviazionestandard della distribuzione σ, definita dalla (1.16). Per la stessa ragione discussa prece-dentemente, per quantificare l’incertezza di misura, si preferisce utilizzare la deviazionestandard.

Nel caso di misurazioni ripetute, in cui la miglior stima del misurando e data dallamedia aritmetica delle misure Xm, analogamente a quanto visto per l’incertezza di tipo



A, l’incertezza di misura viene quantificata usando il parametro σµ (deviazione standarddella distribuzione delle medie), dato dalla (1.23).

Anche in questo caso, l’incertezza di misura, definita tramite il parametro σ o il pa-rametro σµ, prende il nome di incertezza tipo e si indica con u. Se la distribuzione enormale, l’intervallo ±u, anche in questo caso, ovviamente, copre il 68.3% dei casi. Nelcaso in cui si utilizzi una distribuzione uniforme, la deviazione standard σ puo esserericavata facilmente utilizzando la (1.33).

Nel caso di incertezza di tipo B, quindi, l’incertezza tipo u, da associare alla singolamisurazione x, risulta essere la deviazione standard della distribuzione σ, mentre l’in-certezza tipo u, da associare alla media aritmetica delle misure Xm, nel caso di misureripetute, risulta essere la deviazione standard della distribuzione delle medie σµ, ovvero,

u (x) = σ, (1.36)

u (Xm) = σµ =σ√

n, (1.37)

dove n e il numero di misure considerato.

1.5.3 Incertezza CompostaIn molti casi, le incertezze di misura, ottenute sui singoli componenti di un sistema di mi-sura complesso, devono essere combinate tra loro, per determinare l’incertezza comples-siva (incertezza composta), che grava sulla misurazione. Se il risultato della misurazione(y) e ottenuto dall’elaborazione di risultati di piu misure indipendenti tra loro (xi), cioe

y = f (x1, x2, · · · , xi, · · · , xn) , (1.38)

l’incertezza che grava sulla stima del misurando finale (incertezza composta) e legata alleincertezze che gravano sulle singole quantita xi. L’incertezza tipo composta, espressa invalore assoluto, e data da

u (y) =

√√n∑

i=1

(∂ f∂xi

)2

u (xi)2, (1.39)

dove u (xi) sono le incertezze tipo (di tipo A o di tipo B), che gravano sulle diverse quantitaxi, di cui e funzione il misurando finale.

Nella Tabella 1.5 e riportato il risultato che si ottiene dalla (1.39) per alcuni casi parti-colari, in cui, per semplicita, si e supposto che il misurando non sia funzione di piu di trecomponenti.

Nella Tabella 1.6 sono, invece, riportate, per alcuni casi particolari, le espressionidell’incertezza tipo composta relativa,

u (y) =u (y)

y, (1.40)

in funzione delle singole incertezze tipo relative u (xi).Per chiarire meglio il procedimento di calcolo dell’incertezza composta, si possono

considerare due semplici esempi.



Funzione Incertezza Composta Assoluta

y = A + B u (y) =√

u (A)2 + u (B)2

y = A − B u (y) =√

u (A)2 + u (B)2

y = k · A u (y) = k · u (A)

y = A · B u (y) =√

B2u (A)2 + A2u (B)2

y =AB

u (y) =

√1B2 u (A)2 +

A2

B4 u (B)2

y = An u (y) = n · An−1 · u (A)

y = A + B + C u (y) =√

u (A)2 + u (B)2 + u (C)2

Tabella 1.5: Espressioni dell’incertezza tipo composta assoluta

Funzione Incertezza Composta Relativa

y = A + B u (y) =

√A2u (A)2 + B2u (B)2

(A + B)2

y = A − B u (y) =

√A2u (A)2 + B2u (B)2

(A − B)2

y = k · A u (y) = u (A)

y = A · B u (y) =√

u (A)2 + u (B)2

y =AB

u (y) =√

u (A)2 + u (B)2

y = An u (y) = n · u (A)

y = A · B ·C u (y) =√

u (A)2 + u (B)2 + u (C)2

Tabella 1.6: Espressioni dell’incertezza tipo composta relativa



• Y = A + BLe grandezze misurate sono Am = A ± u (A) e Bm = B ± u (B).L’incertezza assoluta della somma e, quindi,

u (A + B) =

√[∂ (A + B)

∂Au (A)

]2

+

[∂ (A + B)

∂Bu (B)

]2

=

√u (A)2 + u (B)2. (1.41)

L’incertezza relativa e, invece, data da

u (A + B) =u (A + B)

A + B=

√A2u (A)2 + B2u (B)2

(A + B)2 . (1.42)

L’incertezza relativa e, quindi, pesata dal valore delle due grandezze in gioco e,nella espressione di u (A + B), ha maggior peso la grandezza di maggiore ampiezza.

• Y = A · BLe grandezze misurate sono Am = A ± u (A) e Bm = B ± u (B).L’incertezza assoluta del prodotto risulta

u (A · B) =

√[∂ (AB)∂A

u (A)]2

+

[∂ (AB)∂B

u (B)]2

=

√B2u (A)2 + A2u (B)2. (1.43)

L’incertezza assoluta e, quindi, pesata dal valore delle due grandezze in gioco e,nella espressione di u (A · B), ha maggior peso la grandezza di maggiore ampiezza.Per l’incertezza relativa, invece, si ottiene

u (A · B) =u (A · B)

A · B=

√u (A)2 + u (B)2. (1.44)

Come curiosita, si noti che, utilizzando la (1.39) nel caso in cui y = f (x1, x2, · · · , xn)sia la media aritmetica di n misure tutte affette da incertezza u (x), ovvero,

y = Xm =1n

n∑k=1

xk, (1.45)

si ottieneu (y) = u (Xm) =

u (x)√

n, (1.46)

ovvero, lo stesso risultato previsto dalla (1.37).Nel caso in cui si consideri una misurazione complessa del tipo y = f (x1, x2, · · · , xn) e

si voglia utilizzare la distribuzione t di Student, la formula di Welch-Satterhwaite permettedi calcolare il numero di gradi di liberta effettivi di y

νeff =u (y)4∑

i

[∂y∂xi

u (xi)]4/νi

. (1.47)



Da cui, se ∂y/∂xi = 1,

νeff =u (y)4∑i[4/νi

] . (1.48)

Se il valore di νeff calcolato non e intero, deve essere arrotondato all’intero inferiore piuprossimo.

1.5.4 Incertezza Estesa

Nel campo delle misure e raccomandabile che l’incertezza estesa U (y), riportata in uncertificato o in un rapporto, sia ottenuta moltiplicando l’incertezza tipo composta u (y) perun opportuno fattore di copertura k,

U (y) = k · u (y) , (1.49)

o in forma relativa,U (y) = k · u (y) , (1.50)

in modo che l’incertezza dichiarata definisca un intervallo entro il quale si possa ritene-re compreso con probabilita elevata il “valore vero” del misurando. Questa probabilitaprende il nome di livello di confidenza.

L’associazione dell’intervallo ±U, definito come sopra, con uno specifico livello diconfidenza, e, quindi, la scelta del valore di k, richiede l’assunzione implicita del tipo didistribuzione statistica delle stime y della grandezza Y . In campo internazionale, e statodeciso di adottare, se non diversamente prescritto, il fattore di copertura k = 2. Se, comedi solito avviene, la distribuzione puo essere considerata normale (gaussiana), cio associai limiti dell’incertezza estesa dati, da U, a un livello di confidenza approssimativamenteuguale al 95%.

Nel caso in cui si utilizzi una distribuzione normale, l’incertezza estesa U (y), con undato livello di confidenza p, si determina ricavando dalla Tabella 1.3 il valore di Z checorrisponde a p = 2A (Z), secondo la relazione

U (y) = k · u (y) = Z · u (y) . (1.51)

In questo caso, risulta, quindi, un fattore di copertura dato da k = Z.L’espressione dell’incertezza estesa, utilizzando la distribuzione t di Student, si ottiene

dalla (1.28) ed e data daU (y) = k · u (y) = t · u (y) , (1.52)

dove il valore della variabile t di Student e riportato in Tabella 1.4 per vari livelli di pro-babilita e in corrispondenza a ν = νeff gradi di liberta, secondo la (1.47), per misurazionicomplesse, o ν = n − 1, nel caso di misurazioni dirette. In questo caso, risulta, quindi, unfattore di copertura dato da k = t.



1.5.5 Espressione dei Risultati

Nello scrivere il risultato numerico di una misura, si deve sempre tenere presente il gradodi approssimazione con cui esso e stato ottenuto, per non indicare cifre assolutamenteprive di significato, come spesso si tende a fare, quando il risultato numerico e frutto dielaborazioni e calcoli.

L’incertezza estesa della misura deve essere espressa con due cifre significative. Peresempio, U (y) = 0.10 V, oppure U (y) = 3.1 A, oppure U (y) = 10 Ω, oppure U (y) =

110 W. Espressioni come U (y) = 114 W, oppure U (y) = 13.1 Ω, hanno tre cifresignificative e, quindi, vanno arrotondate a U (y) = 110 W, oppure U (y) = 13 Ω.

Il risultato della misurazione deve poi essere espresso allineando le cifre decimalidel risultato stesso con quelle dell’incertezza estesa, arrotondando o aggiungendo ze-ri, a seconda dei casi. Cosı, per esempio, facendo riferimento ai casi precedentemen-te riportati, si potra avere: V = 102.55 ± 0.10 V, oppure I = 17.3 ± 3.1 A, oppureR = 107±10 Ω, oppure P = 1030±110 W. Espressioni come P = 1035±110 W, oppureR = 107.3 ± 10 Ω, risultano avere troppe cifre significative nel risultato e devono esserearrotondate a P = 1030 ± 110 W, oppure R = 107 ± 10 Ω.

1.5.6 Riferibilita delle Misure

Gli strumenti impiegati per effettuare misurazioni nei diversi campi delle attivita tecnichee tecnologiche odierne sono tarati rispetto alle corrispondenti unita di misura (volt, ohm,secondo, metro, eccetera). Per ridurre al minimo o perlomeno entro valori accettabili,a seconda dei diversi scopi, i possibili gradi di arbitrarieta degli apparecchi di misurache si usano, nei paesi piu industrializzati esistono laboratori, ai quali e stato affidato ilcompito di conservare, mediante campioni, materiali o esperienze rigorosamente definite,le unita di misura legali. Queste unita di misura corrispondono a quelle definite dal SI,entro incertezze che i laboratori nazionali curano di ridurre a valori sempre piu piccoli,mediante continui lavori di ricerca metrologica.

In Italia, questi compiti sono assegnati all’Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica(INRIM). Per fare in modo che tutti gli apparecchi usati in un paese siano tarati in unitadi misura legali, o come si dice, riferite alle unita legali, occorre che essi siano confrontaticon i campioni delle unita legali.

Poiche un confronto singolo diretto comporterebbe, come facilmente immaginabile,un lavoro enorme, la riferibilita alle unita legali si attua mediante catene di confronti, dicui solo il primo anello, effettuabile di tanto in tanto dallo stesso laboratorio nazionale,e un confronto diretto. L’organizzazione di questi confronti e, quindi, la riferibilita diqualsiasi apparecchio di misura alle unita legali e affidata, in Italia, al Servizio ItalianoTaratura (SIT), che consiste in una rete di centri di taratura, dei quali viene accertata, rico-nosciuta e verificata la capacita metrologica in settori di misura ben definiti, ad esempio,tensioni, correnti, potenze, temperature e cosı via.

Il compito di verificare le capacita metrologiche dei centri di taratura e affidato agliistituti metrologici nazionali (in Italia, l’INRIM). I centri di taratura sono riconosciuti



idonei a emettere certificati garantiti dal SIT a livello nazionale, in cui sono chiaramentespecificate le incertezze di misura del centro, per le varie grandezze, rispetto alle unita dimisura legali.


Capitolo 2

Campioni di Laboratorio

2.1 Generalita

Il problema della riferibilita delle misure, a cui si e fatto cenno nel Paragrafo 1.5.6, vie-ne normalmente affrontato attraverso una catena di confronti, diretti o indiretti, a partiredalle unita di misura legali (campioni primari). Per questo scopo, e necessario utilizzareun certo numero di campioni secondari, da verificare periodicamente presso i centri spe-cializzati e riconosciuti, in modo da mantenere la catena di riferibita rispetto alle unita dimisura legali. Ai campioni secondari, detti campioni di laboratorio, si fa riferimento pertutti gli altri strumenti di impiego comune.

Poiche, in pratica, e impossibile mantenere un campione di corrente, che e la grandez-za fondamentale elettrica del SI, si ricorre solitamente a campioni di tensione e a campionipassivi (di resistenza, di capacita e di induttanza).

2.2 Campioni di Forza Elettromotrice

Il classico campione di forza elettromotrice e la pila Weston, nelle due versioni: satura enon satura. Il contenitore di una pila di tipo saturo e un recipiente di vetro neutro, a formadi “H”, con saldati alle due estremita inferiori degli elettrodi di platino, come illustratoin Figura 2.1. L’anodo della pila e costituito da mercurio, depolarizzato da uno stratodi solfato mercuroso, mescolato con cristalli finissimi di solfato di cadmio. Il catododella pila e un’amalgama di cadmio. Uno strato di grossi cristalli di solfato di cadmioricopre le superfici dell’amalgama e del solfato mercuroso. Il contenitore e poi riempitodi elettrolita (soluzione satura di solfato di cadmio), sino a coprire interamente il bracciotrasversale della “H”, le cui estremita superiori sono poi accuratamente sigillate. La forzaelettromotrice della pila satura e di 1.01865 V a 20 C.

La pila di tipo non saturo e simile alla precedente, ma l’elettrolita e una soluzionedi solfato di cadmio non satura a temperatura ambiente (mancano i grossi cristalli dicadmio). La forza elettromotrice della pila non satura e intorno a 1.0193 V a 20 C.


2. Campioni di Laboratorio

Aria

Soluzione Solfato di Cadmio

Cristalli Solfato di Cadmio

Pasta Solfato Mercuroso eSolfato di Cadmio

MercurioAmalgama di Cadmio

Figura 2.1: Pila Weston di tipo saturo

La variazione della concentrazione dell’elettrolita con la temperatura rende la for-za elettromotrice della pila satura leggermente variabile con la temperatura stessa. Nelcampo di temperatura da 0 C a 40 C, la variazione di forza elettromotrice e di circa40 mV/K. La pila non satura ha un coefficiente di temperatura molto inferiore, dell’or-dine di 3 mV/K. La resistenza interna di una pila campione e intorno a un migliaio diohm.

La pila Weston si polarizza quando eroga corrente, compromettendo la stabilita delvalore della forza elettromotrice. Essa deve, quindi, essere sempre impiegata in circuitidi misura che non richiedano corrente superiore a 100 mA per qualche secondo. Le pileWeston sature presentano, se correttamente impiegate, elevati valori di stabilita nel tempo:i migliori esemplari variano solo di frazioni di microvolt all’anno, mentre pile di normaleproduzione presentano, in genere, un decremento annuo contenuto in 5 mV.

Le pile non sature hanno stabilita inferiore e, mediamente, presentano un decrementoannuo di 30 mV ÷ 50 mV, rispetto al valore di forza elettromotrice iniziale. Le pilecampione poste in vendita dalle case costruttrici sono munite di un certificato, che fornisceil valore della tensione generata a una determinata temperatura e la relativa incertezza,rispetto al gruppo di pile del laboratorio che ha rilasciato il certificato stesso. In genere, ilvalore di incertezza tiene conto anche dell’instabilita per un periodo di uno o cinque anni,valutata per esperienza su numerosi esemplari di pile.

Per le pile di tipo saturo l’incertezza e di 1 ppm÷5 ppm, se comprendente l’instabilitaannua, e sino a 100 ppm, se comprendente l’instabilita quinquennale. Per quelle di tiponon saturo essa e pari a 50 ppm e 200 ppm per i due casi.

Le pile Weston di tipo non saturo sono piu facilmente trasportabili e maneggevoli, inquanto munite di setti porosi, che dividono i loro componenti e li mantengono in sito.Inoltre, come si e visto, esse hanno un coefficiente di temperatura abbastanza ridotto e,quindi, non necessitano di essere mantenute in contenitori termostatici.


2.3. Sorgenti di Tensione Campione

2.3 Sorgenti di Tensione CampioneSi chiamano sorgenti di tensione campione quei particolari stabilizzatori in corrente conti-nua, che forniscono ai loro morsetti di uscita, ai capi di una resistenza, una tensione aventequalita paragonabili alla forza elettromotrice di una pila campione: elevata costanza neltempo, rispetto alla temperatura e alla sorgente di alimentazione dello stabilizzatore.

Le sorgenti in oggetto sono nate dall’esigenza di poter disporre di sorgenti campionepiu robuste delle tradizionali pile Weston. Per tali sorgenti, si sfruttano, di solito, le pro-prieta dei diodi Zener. I diodi Zener sono diodi al silicio che, nella zona negativa dellaloro caratteristica I = f (V), presentano un valore di tensione Vz, al di la del quale lacorrente inversa aumenta notevolmente per piccoli incrementi di tensione. La caratteri-stica diviene, infatti, una retta quasi parallela all’asse delle ordinate, come illustrato inFigura 2.2. La resistenza differenziale del diodo, data da

Rd =dVz

dIz, (2.1)

assume valori dell’ordine di qualche decina di ohm.I valori di Vz sono dell’ordine di qualche volt. Il coefficiente di temperatura dei diodi

Zener ha la singolarita di annullarsi per un determinato valore di Vz; nei diodi Zenerparticolarmente studiati per le sorgenti campione, il coefficiente di temperatura viene resoprossimo a zero per una certa gamma di valori di Vz.

Il circuito base di impiego di un diodo Zener, illustrato in Figura 2.3, e molto sem-plice: una tensione continua non stabilizzata VE e applicata al diodo, avente resistenzadifferenziale Rd, attraverso un resistore RV . Ai capi del resistore RU , si ottiene la ten-sione stabilizzata VU . Il fattore di stabilizzazione S del circuito, cioe il rapporto tra unavariazione di VE e la conseguente variazione di VU , e dato dalla relazione

S =dVE

VE

VU

dVU=

VU

VE

(1 +

RV

Rd

), (2.2)

dove S puo raggiungere, in pratica, valori intorno a 100.Per ottenere valori piu elevati, e necessario porre in cascata piu stadi di stabilizzazione:

con tre stadi si possono raggiungere valori notevoli di S , intorno a 70000. Questo significache, per una variazione di VE di ±10%, la variazione conseguente di VU rimane compresaentro ±0.01%.

Valori del fattore di stabilizzazione ancora piu elevati, con impiego di un numerominore di diodi Zener, si possono ottenere con schemi a ponte. La Figura 2.4 rappresentauna sorgente di tensione campione basata su un ponte a due diodi, preceduto da uno stadiobase. Si puo dimostrare che, se per il ponte vale la relazione

R1 = R2 = Rd1 = Rd2, (2.3)

la tensione d’uscita assume l’espressione

VU =Vz1 + Vz2

2RU

RU + Rd1, (2.4)



I

V

Vz

Iz

Figura 2.2: Caratteristica tensione-corrente di un diodo Zener

RU

RV

VE VU

Figura 2.3: Circuito base di impiego di un diodo Zener


2.4. Campioni di Resistenza

R2

RV

VE

VU

Z1 R1

Z2

RU

Figura 2.4: Tensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da unostadio in cascata

la quale mostra come VU sia indipendente dalla tensione d’ingresso e dalle resistenze cheformano il ponte. Il fattore di stabilizzazione di tale schema sarebbe teoricamente infinito,ma, in realta, risulta dell’ordine di 200000.

Il coefficiente di temperatura di queste sorgenti di tensione campione e molto piccolo,inferiore a 0.01% K−1.

2.4 Campioni di ResistenzaUna seconda grandezza elettrica, che si presta facilmente ad essere rappresentata con uncampione fisico, e la resistenza. I campioni di resistenza devono presentare un’elevatastabilita in funzione della temperatura e del tempo. I materiali che si possono impiegareper ottenere questi requisiti non sono molti.

La manganina e la lega piu pregiata, formata da rame (84%), manganese (12%) enichel (4%), con questi dati nominali:• resistivita: 0.43 Ωmm2/m;• coefficiente di Seebeck: +1 µV/K rispetto al rame tra 0 C e 100 C;• coefficiente di dilatazione: 0.000016 K−1;• punto di fusione: 960 C.

La variazione di resistivita della manganina in funzione della temperatura, tra 10 C e30 C, risulta 10 ppm/K.

Si usano anche altre leghe, meno pregiate, a base di nichel (75%), cromo (20%),alluminio (2.5%) e rame (2.5%), che hanno diverse denominazioni commerciali. Lecaratteristiche nominali della lega karma, per esempio, sono le seguenti:• resistivita: 1.33 Ωmm2/m;• coefficiente di Seebeck: +0.5 µV/K rispetto al rame;• coefficiente di dilatazione: 0.000014 K−1;• punto di fusione: 1400 C.

La variazione di resistivita di queste leghe in funzione della temperatura e dello stessoordine di grandezza di quella della manganina.



RC RC

V

RI

Figura 2.5: Campione di resistenza con quattro terminali

Molto diffusa e anche la costantana (rame, nichel, manganese), che ha caratteristichemolto simili alla manganina, ma un coefficiente di Seebeck rispetto al rame molto piuelevata, 40 µV/K. Per questo, essa viene usata per resistori di pregio minore e di valorepiuttosto elevato (maggiore di 100 Ω).

I resistori campione sono costituiti da una certa lunghezza di filo o piattina di man-ganina, avvolta su un supporto rinchiuso in una custodia metallica. I resistori avvolti confilo hanno valori da 1 Ω a 100 kΩ, secondo le potenze di 10, mentre resistori di valoreinferiore (generalmente da 0.1 Ω a 0.1 mΩ) sono avvolti con piattina.

I resistori campione hanno quattro morsetti: due per addurre corrente, due per prele-vare tensione e delimitare, cosı, esattamente il valore di resistenza R, come illustrato inFigura 2.5. Solo i resistori di valore elevato hanno, talvolta, solo due morsetti, in quantola resistenza dei blocchetti terminali (RC) puo ritenersi trascurabile, rispetto a quella delresistore (R).

Il supporto per l’avvolgimento del filo e solitamente un cilindro di ottone, ricopertoda un sottile strato isolante, in modo da facilitare la dissipazione del calore, prodotto dalpassaggio di corrente nel resistore. Per questa ragione, frequentemente, la custodia delresistore e riempita di olio.

Se un resistore deve essere impiegato per misure in corrente alternata, esso deve pre-sentare un valore di reattanza (X) trascurabile. L’impedenza di un resistore di questo tipoviene, solitamente, definita in termini di resistenza R e di costante di tempo τ, essendo

τ =LR, (2.5)

dove L rappresenta un’induttanza “equivalente” residua. Per ottenere valori di τ moltopiccoli (10−6 s ÷ 10−8 s), si impiegano svariati metodi. Il metodo piu diffuso e l’avvolgi-mento bifilare, nel quale il filo resistivo, di lunghezza l, viene ripiegato in due, partendodal punto l/2, e avvolto, mantenendo vicine o addirittura intrecciate le due meta, comeillustrato in Figura 2.6. Poiche le due meta del filo vengono percorse in senso oppostodalla corrente di misura, i flussi dell’induzione magnetica da questa prodotti tendono adannullarsi, ottenendo, in definitiva, un valore di induttanza molto piccolo.

Se l’avvolgimento bifilare e formato con un filo di lunghezza notevole, puo non esseretrascurabile la capacita tra le due meta del filo stesso. Con i valori di lunghezza di filonormalmente usati per i resistori, si ha in genere una prevalenza di induttanza, per valori di


2.4. Campioni di Resistenza

Figura 2.6: Campione di resistenza con avvolgimento bifilare

Figura 2.7: Campione di resistenza variabile realizzata con una cassetta a spine

resistenza R < 100 Ω, e una prevalenza di capacita, per valori di R > 100 Ω. Per ovviarea questo inconveniente, si usano avvolgimenti formati da piu sezioni di resistenza, postein serie o parallelo. Per esempio, per R > 100 Ω, si usano n sezioni di resistenza di valoreR/n poste in serie: in questo caso, l’induttanza totale rimane pressoche uguale, ma vienenotevolmente diminuita la capacita dell’avvolgimento.

Altri metodi di avvolgimento sono quelli di Chaperon, di Curtis e Grover e di Ayrtone Perry.

Quando e necessario disporre di campioni di resistenza variabile, si ricorre alle cas-sette di resistori, generalmente di legno e con coperchio di materiale isolante, dal qualesporgono i comandi per la variazione del valore totale di resistenza del circuito.

Un tipo comune di resistenza campione variabile e la cassetta a spine, nella quale ogniresistore singolo ha i capi collegati a due blocchetti di ottone disposti sopra al coperchio.Inserendo delle spine fra blocchetti adiacenti, si effettuano i collegamenti, includendo ocortocircuitando i resistori, a seconda della disposizione, come illustrato in Figura 2.7.Una cassetta con 16 resistori di valore rispettivamente 1 Ω, 2 Ω, 2 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 20 Ω,20 Ω, 50 Ω, 100 Ω, 200 Ω, 200 Ω, 500 Ω, 1000 Ω, 2000 Ω, 2000 Ω e 5000 Ω, disposti inserie, permette di realizzare qualsiasi valore intero di resistenza da 1 Ω a 11110 Ω.



Im

Re

V

I

ϕ

δ

Figura 2.8: Diagramma vettoriale di un condensatore reale

2.5 Campioni di Capacita

Un condensatore reale presenta, inevitabilmente, differenze di comportamento agli effettiesterni, rispetto al condensatore ideale, caratterizzato da I = ωCV , schematizzabili sottoforma di potenza attiva dissipata. La dissipazione di potenza attiva avviene tipicamente:• per conduzione, in quanto il dielettrico non e perfetto e la resistivita non e infinita;• per isteresi dielettrica nei materiali polari, poiche la polarizzazione delle molecole

avviene a spese di una certa energia;• per effetto Joule nei collegamenti e nelle armature;• per ossidazione delle armature;• per effetti di bordo;• per scariche parziali, legate alla eterogeneita del materiale.

Dal diagramma vettoriale mostrato in Figura 2.8, emerge che lo scostamento dalle condi-zioni di funzionamento ideali puo essere espresso dal valore della tangente dell’angolo diperdita, chiamato fattore di perdita, definito da

tan (δ) =PQ, (2.6)

dove P e Q esprimono la potenza attiva e reattiva, assorbite da un condensatore reale.E evidente che, quanto piu ci si approssima alle condizioni ideali, tanto piu piccola e

P, cosı come tan (δ). I circuiti equivalenti di un condensatore reale, riportati in Figura 2.9,permettono di scrivere, nel caso serie,

tan (δ) = ωCsR, (2.7)

e, nel caso parallelo,

tan (δ) =GωCp

. (2.8)


2.5. Campioni di Capacita

G Cp

Circuito EquivalenteParallelo

R

Cs

Circuito EquivalenteSerie

Figura 2.9: Circuiti equivalenti di un condensatore reale

I parametri nei due schemi, ovviamente, non sono gli stessi. Per il circuito equivalenteparallelo, si puo scrivere

Y = G + jωCp, (2.9)

mentre, per il circuito equivalente serie, si ottiene

Z =1Y

=1

G + jωCp=

GG2 + ω2C2

p− j

ωCp

G2 + ω2C2p

= R − j1ωCs

. (2.10)

Ai morsetti esterni del condensatore, i due schemi devono essere perfettamente equiva-lenti. Tenuto conto della natura dei fenomeni, si preferisce, solitamente, fare riferimentoall’equivalente parallelo. Se si considera che l’angolo di perdita e sempre molto piccolo,si puo, peraltro, rilevare che la capacita equivalente serie e praticamente uguale alla capa-cita equivalente parallelo. Infatti, essendo G ωCp, il termine immaginario della (2.9)coincide con l’inverso del termine immaginario della (2.10), ovvero, Cp Cs = C.

Gran parte delle cause di dissipazione e da attribuirsi al materiale dielettrico, per cui, iminimi valori dell’angolo di perdita (dell’ordine di 10−5) si ottengono con isolanti gassosi,notoriamente poco dissipativi. In tal modo, si realizzano capacita fino a 0.001 µF, pertensioni fino a 10 kV, con coefficienti di temperatura dell’ordine di 2 × 10−12 K−1.

I condensatori campione sono costituiti da due serie di armature metalliche, fra le qualie interposto un isolante. Nella forma piu comune, si tratta di fogli alternati, sovrappostinel seguente ordine (chiamando A e B i due morsetti terminali): armatura A – isolante –armatura B – isolante – armatura A – isolante – armatura B, eccetera, come illustrato inFigura 2.10.

Per capacita maggiori, si deve ricorrere ai dielettrici solidi: essi hanno rigidita dielet-trica notevolmente piu elevata, a scapito sia del coefficiente di temperatura, sia dell’angolodi perdita, il cui valore sale fino a 10−4.

Gruppi di condensatori, cosı costruiti, vengono riuniti in cassette a spine, che permet-tono il loro inserimento in parallelo per aumentare la capacita complessiva. Condensatori



A B

Figura 2.10: Campione di capacita

Figura 2.11: Campione di capacita variabile

in aria sono di uso molto comune, quando si richiede la variazione continua della ca-pacita. In tal caso, si ha una serie di armature fisse, fra le quali sono interposte quellemobili, meccanicamente collegate fra di loro e all’albero di comando, come illustrato inFigura 2.11. Durante la rotazione, varia la superficie affacciata fra le armature e cambia,quindi, la capacita. La legge di variazione dipende dal profilo assegnato alle armature.

Quando si debbono eseguire misure in alta tensione, si usano dei condensatori cam-pione in gas compresso (Figura 2.12), che possono sopportare tensioni anche di diversecentinaia di kilovolt. L’uso del gas compresso come dielettrico offre i vantaggi di unapiu elevata rigidita dielettrica, di minime perdite e di stabilita nel tempo. I gas piu fre-quentemente usati sono l’azoto e l’anidride carbonica, compressi a 1 MPa ÷ 1.5 MPa.Le armature di un condensatore presentano, sempre, capacita parassite rispetto ad ogniconduttore circostante. Per limitarne gli effetti e per avere capacita costante con la ten-sione, si muniscono i condensatori di elettrodi (anelli) di guardia. Una delle disposizionipreferite e schematizzata in Figura 2.13. Il morsetto 3 permette l’accesso all’elettrododi guardia, che minimizza l’effetto di bordo. Affinche l’anello di guardia sia efficace, enecessario che il suo potenziale sia prossimo a quello dell’elettrodo. Pertanto, il morsettodi alta tensione sara, indubbiamente, il morsetto l, mentre il morsetto 2 ed il morsetto 3andranno mantenuti a potenziali prossimi a quello di terra.

2.6 Campioni di Induttanza e Mutua InduttanzaGli induttori campione sono costituiti da filo avvolto su un supporto di materiale isolante,per evitare il formarsi di correnti di Foucault. La bobina viene racchiusa in una scato-


2.6. Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza

Figura 2.12: Campione di capacita per alta tensione

1

2 3

Figura 2.13: Campione di capacita a gas compresso con elettrodi (anelli) di guardia



Figura 2.14: Campione di induttanza

Figura 2.15: Campione di mutua induttanza

la, pure isolante, dalla quale sporgono i terminali dell’avvolgimento, come illustrato inFigura 2.14. Nell’impiego di questi campioni, bisogna tenere presente che, per quanto iconduttori siano abbondantemente dimensionati, la resistenza ohmica non e mai nulla edil suo valore deve essere considerato nella valutazione dei parametri del circuito.

In modo analogo, sono realizzati i campioni di mutua induttanza, costituiti da dueavvolgimenti concentrici, terminanti su quattro morsetti. Un mutuo induttore, costituitoda due avvolgimenti concatenati strettamente fra di loro per minimizzare i flussi dispersi,presenta quattro morsetti, due per ciascun avvolgimento, come mostrato in Figura 2.15,fra i quali si determina la ben nota relazione

E1 = jMI2 e E2 = jMI1, (2.11)

dove E1 e I1 sono, rispettivamente, la forza elettromotrice e la corrente del primo avvol-gimento, E2 e I2 sono, rispettivamente, la forza elettromotrice e la corrente del secondoavvolgimento e M e il coefficiente di mutua induzione, proporzionale al prodotto delnumero di spire dei due avvolgimenti.

Qualora si connettano fra loro un morsetto del primo avvolgimento e uno del secondoavvolgimento, l’induttanza totale della serie cosı costruita sara

L = L1 + L2 ± 2M. (2.12)

L’alternanza del segno dipende dal verso di circolazione della corrente in un avvolgimentorispetto all’altro. Cosı, il medesimo dispositivo puo essere impiegato sia come induttore,sia come mutuo induttore.


2.7. Campioni di Intervallo di Tempo

Figura 2.16: Campione di mutua induttanza variabile

Qualora si vogliano realizzare induttanze o mutue induttanze variabili, e necessariopermettere la rotazione reciproca degli assi delle bobine, come mostrato in Figura 2.16.Il valore massimo dell’induttanza (o della mutua induttanza) si ha per α = 0, mentre ilmassimo negativo di M si ha per α = 180. La precisione, ottenibile con simili dispositivi,e abbastanza limitata, considerando la notevole entita dei flussi dispersi.

2.7 Campioni di Intervallo di Tempo

Costruire un campione di intervallo di tempo significa poter disporre di una sorgente disegnali, preferibilmente elettrici, aventi periodo predeterminabile, stabile nel tempo e conla temperatura di impiego, di piccolo ingombro ed elevata affidabilita.

I primi campioni di intervallo di tempo, basati essenzialmente sul moto degli astri,furono utilizzati gia in epoca preistorica. Nel 1875 fu adottato, come riferimento interna-zionale, il “secondo di giorno solare medio”, determinato in base ad osservazioni astro-nomiche ed, in particolare, alla rotazione della Terra su se stessa. Gli orologi (perlopiumeccanici) venivano utilizzati solo per conservare, tra una osservazione e la successiva,l’unita di intervallo di tempo.

I generatori di oscillazioni, che sono alla base di tutti i campioni di intervallo tem-po, sono ancora oggi di natura prevalentemente meccanica, salvo il ricorso a fenomeniatomici, in tecnologie particolarmente raffinate e costose, che sono utilizzati per la rea-lizzazione dei campioni primari. E ben noto che l’atomo di una qualsiasi sostanza puoassumere un certo numero di stati eccitati ben determinati, caratteristici dell’elemento alquale esso appartiene. Passando da un livello di energia ad un altro, corrispondenti aciascuno di questi stati, l’atomo cede energia quando passa ad un livello inferiore e, alcontrario, ne assorbe quando passa al livello superiore. Questo cambiamento di livello otransizione da luogo all’emissione o all’assorbimento di una radiazione elettromagnetica,la cui frequenza e direttamente proporzionale alla quantita di energia ed e determinabilecon grande precisione. Tecnicamente, si sono rivelati molto adatti a essere utilizzati come“oscillatori” gli atomi di idrogeno, rubidio e cesio.



Fornetto di Generazione di Atomi Equamente

Distribuiti

Uscita AtomiScartati

Cavità Risonante

Rivelatore

Atomi di Cesio nel Livello Energetico Inferiore

Atomi di Cesio nel Livello Energetico Superiore

(b) S

N S

N

(d)

(e)

(f)

(a) (c)

Circuito diControllo

Ioni di Cesio

Magnete diSelezione

Oscillatorea Microonde

Uscita AtomiScartati

VCXO

Uscita a 5 MHz

Figura 2.17: Schema semplificato di un oscillatore a fascio di cesio

Il segnale di riferimento del secondo, derivato da questi oscillatori, e caratterizzato dauna accuratezza che, nei migliori campioni al cesio, e almeno diecimila volte migliore diquella raggiungibile con le osservazioni astronomiche. Proprio su una transizione naturaledel cesio e basata l’attuale definizione dell’unita di intervallo di tempo, il secondo. Taledefinizione, adottata in tutto il mondo fin dal 1967, a seguito delle decisioni prese dalla 13a

Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure, e cosı formulata: “il secondo e l’intervallo ditempo che contiene 9192631770 periodi della radiazione corrispondente alla transizionetra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di cesio 133”.

In Figura 2.17 viene illustrato lo schema semplificato di un oscillatore a fascio dicesio. Il fornetto (a), riscaldato a circa 90 C, emette un fascio di atomi di cesio, unifor-memente distribuiti nei sedici livelli energetici. Il selettore magnetico (b) attua la primaselezione, garantendo l’immissione nella cavita risonante del livello energetico inferiore(F = 3, mF = 0). Nell’interno della cavita risonante (c), grazie all’interazione con ilsegnale a microonde, avviene la transizione al livello superiore (F = 4, mF = 0), chein uscita viene indirizzata sul rivelatore dal selettore magnetico (d). La rivelazione dellivello energetico superiore e affidata ad un filo incandescente (e), in grado di produrre unsegnale elettrico, proporzionale alla quantita di atomi incidenti. Un circuito di controlloprovvedera, in funzione del segnale rivelato, a generare un segnale di errore, utilizzato percontrollare l’osillatore comandato in tensione ( f ), che a sua volta costituisce la sorgentedell’oscillatore a microonde.


2.7. Campioni di Intervallo di Tempo

(a) (b)

Cp

L R

C

Figura 2.18: Schema costruttivo e circuito equivalente di un risuonatore al quarzo

La maggior parte dei campioni di intervallo di tempo da laboratorio sono realizzatitramite risuonatori al quarzo. Il funzionamento dei risuonatori al quarzo si basa sull’effet-to piezoelettrico, che determina un legame, biunivoco e definito, fra deformazione e forzaelettromotrice, applicate e generate alle facce di cristalli di particolare natura, fra i qualiil quarzo e l’esponente tipico e di minor costo.

Lo schema costruttivo generale di un risuonatore al quarzo e riportato in Figura 2.18a,ove una lamina di materiale piezoelettrico, tagliata da una massa cristallina, secondo pianiparalleli opportunamente orientali rispetto agli assi cristallografici, e interposta fra dueelettrodi, alimentati elettricamente alla frequenza di risonanza meccanica della laminastessa.

E evidente che le condizioni di risonanza (frequenza elettrica di eccitazione uguale allafrequenza meccanica di vibrazione) vanno mantenute e rese stabili nel tempo. Le frequen-ze di risonanza serie ( fs) e parallelo ( fp) di un cristallo di quarzo si possono determinareusando il circuito equivalente di Figura 2.18b e risultano

fs =1

2π√

LC, (2.13)

fp =

√1 + C

Cp

2π√

LCp. (2.14)

Lo schema di principio di un oscillatore al quarzo e mostrato in Figura 2.19. As-sunto il circuito equivalente del risuonatore Q, riportato in Figura 2.18b, e ricordandoche l’impedenza equivalente di un circuito risonante e minima in condizioni di risonanza(∣∣∣Zeq

∣∣∣ = R), l’oscillatore al quarzo si puo considerare in funzionamento stabile solo in unadelle condizioni di risonanza di Q.

La stabilita in frequenza ottenuta e di 10−8 Hz; il campo coperto va da 5 kHz a100 MHz circa, con limitazioni dovute all’eccessivo aumento delle dimensioni verso ilbasso, ed alla fragilita delle piastrine verso l’alto.

Una caratteristica peculiare dei campioni di intervallo di tempo, che li differenziada tutti gli altri campioni, e la possibilita di essere trasmessi a distanza, permettendo



R

Q

VU

Figura 2.19: Schema di principio di un oscillatore al quarzo

quindi di effettuare confronti tra diversi campioni, senza la necessita di portarli fisica-mente nello stesso luogo. La trasmissione avviene tramite radiazioni elettromagnetiche,la cui frequenza e agganciata a un campione di tempo primario. Per esempio, con lostandard Deutschland Long-Wave Signal Frankfurt 77 (DCF77), utilizzato dalla maggiorparte degli orologi radio-controllati in Europa, la trasmissione avviene a 77.5 kHz.


Capitolo 3

Catene di Misura

3.1 Generalita

Nel corso di una misurazione, il segnale che rappresenta la grandezza da misurare vienetrattato in modo da poter esprimere la misura con uno o piu valori numerici o di fornirneuna appropriata rappresentazione. Il complesso degli elementi interposti, per otteneredetta rappresentazione, costituisce una catena di misura, come illustrato in Figura 3.1. Lacatena di misura piu semplice e costituita da un solo strumento, ma e assai frequente ilricorso a catene piu complesse. In termini piu generali, si puo anche pensare che il singolostrumento sia, dal punto di vista funzionale, assimilabile ad una catena di misura.

Il tipo di trattamento del segnale puo variare in relazione alla natura e all’ampiezzadella grandezza in esame, nonche al tipo di misura che si desidera condurre. E, comunque,importante conseguire l’univocita della relazione tra la rappresentazione in uscita dellagrandezza e il segnale che la rappresenta in ingresso.

Il caso piu semplice di elaborazione del segnale e quello per il quale i due segnali iningresso e in uscita della catena sono della stessa natura e sono tra loro legati da un fattoredi conversione (y = k · x). Sono, tuttavia, assai frequenti anche casi in cui si ha a chefare con funzioni piu complesse, ad esempio relazioni di fase tra grandezze sinusoidali,oppure in cui le grandezze in ingresso e uscita sono di diversa natura.

Me(t) u(t)

Figura 3.1: Schema generale di una catena di misura


3. Catene di Misura

α

j ω

c

Ascissa diConvergenza

Figura 3.2: Ascissa di convergenza per la trasformata di Laplace

3.2 Richiami sulla Trasformata di LaplaceData una funzione f (t), definita nel dominio del tempo per t > 0 e identicamente nullaper t < 0, si definisce “Trasformata di Laplace” della f (t) una funzione F (s), definita neldominio della variabile complessa s = α + jω,

F (s) =

∫ ∞

0f (t) e−stdt = L

[f (t)

]. (3.1)

Poiche la funzione F (s) si ottiene con un integrale esteso ad un intervallo infinito, essapuo convergere o non convergere.

Data una trasformata di Laplace F (s), i valori di s che rendono infinito il modulodi F (s) si dicono poli, mentre i valori di s che annullano F (s) si dicono zeri. Si puodimostrare che, se l’integrale che definisce F (s) converge per s0 = α+ jω, esso convergeanche per ogni valore di s la cui parte reale e maggiore di α. L’estremo inferiore deivalori di per cui l’integrale converge si dice ascissa di convergenza c, come illustrato inFigura 3.2.

Con la trasformata di Laplace si e stabilita una corrispondenza univoca tra funzionireali di variabili reali trasformabili e funzioni complesse di variabile complessa. E anchepossibile applicare il procedimento inverso e, cioe, calcolare f (t), quando e nota F (s)(antitrasformata di Laplace). Si ha allora

f (t) =1

2π j

∫ α+ jω

α− jωF (s) estds = L −1 [F (s)] , (3.2)


3.2. Richiami sulla Trasformata di Laplace

dove l’integrazione e effettuata lungo una retta parallela all’asse immaginario di ascissa(α > 0). La corrispondenza tra f (t) e F (s) e biunivoca.

La funzione F (s) puo sempre essere ricondotta a una funzione razionale, del tipo

F (s) =a0 + a1s + a2s2 + · · · + amsm

b0 + b1s + b2s2 + · · · + bnsn . (3.3)

Nel caso in cui il grado m del polinomio al numeratore fosse maggiore del grado n delpolinomio al denominatore, si puo effettuare il quoziente tra i due polinomi, ottenendouna funzione

F (s) = A (s) + B (s) , (3.4)

nella quale B (s) e del tipo descritto dalla (3.3), mentre A (s) e un polinomio, che ha comeantitrasformata la funzione di Dirac (o sue derivate).

Dato che l’uso diretto dell’integrale di trasformazione (3.1) e di antitrasformazio-ne (3.2) e complicato, si ricorre ad apposite tabelle, che riportano le coppie funzione-trasformata di uso piu comune. Prima di ricorrere a dette tabelle, puo essere convenientescomporre la funzione razionale in s in una serie di termini semplici, usando lo sviluppodi Heavyside.

3.2.1 Proprieta della Trasformata di LaplaceLa trasformata di Laplace gode delle seguenti proprieta:• Linearita:

L[k1 f1 (t) + k2 f2 (t)

]= k1L

[f1 (t)

]+ k2L

[f2 (t)

]. (3.5)

• Traslazione nel dominio del tempo: se F (s) = L[f (t)

], allora

L[f (t − τ)

]= e−sτF (s) . (3.6)

• Traslazione nel dominio di Laplace: se F (s) = L[f (t)

], allora

L[eat f (t)

]= F (s − a) . (3.7)

• Derivazione nel dominio di Laplace: se F (s) = L[f (t)

], allora

L[t f (t)

]= −

dF (s)ds

. (3.8)

• Derivazione nel dominio del tempo: se F (s) = L[f (t)

], allora

L

[d f (t)

dt

]= sF (s) − f (0) . (3.9)

Se la funzione f (t) e discontinua per t = 0, ad f (0) occorre sostituire

f(0+) = lim

t→0+f (t) . (3.10)

La formula di derivazione e iterabile e puo, quindi, essere utile per il calcolo dellatrasformata di una qualunque derivata della funzione f (t), nota la sua trasformataF (s).


3. Catene di Misura

Funzione Trasformata di LaplaceImpulso: δ (t) 1

Scalino: sca (t)1s

Rampa: ram (t) = tsca (t)1s2

Parabola: par (t) = t2sca (t)1s3

Esponenziale: e−atsca (t)1

s + a

Seno: sin (ωt) sca (t)ω

s2 + ω2

Coseno: cos (ωt) sca (t)s

s2 + ω2

Tabella 3.1: Trasformate di Laplace per alcune funzioni di comune impiego

• Teorema del valore iniziale: se F (s) = L[f (t)

], allora

f(0+) = lim

s→∞sF (s) . (3.11)

• Teorema del valore finale: se F (s) = L[f (t)

]e F (s) ha poli solo a parte reale

negativa e nell’origine (ma non su altri punti dell’asse immaginario o nel semipianoa parte reale positiva), allora

limt→∞

f (t) = lims→0

sF (s) . (3.12)

Nella Tabella 3.1 sono riportate le trasformate, per alcune delle funzioni d’uso piu fre-quente.

3.2.2 Risoluzione di Equazioni DifferenzialiMediante la trasformata di Laplace, e possibile ridurre la risoluzione di equazioni differen-ziali lineari ed a coefficienti costanti alla risoluzione di equazioni algebriche, utilizzandoil seguente procedimento:• mediante la trasformata di Laplace, il sistema di equazioni da risolvere viene tra-

sferito dal dominio del tempo al dominio di Laplace, ottenendo, in virtu della (3.9),un sistema di equazioni algebriche equivalente, in cui l’incognita e la trasformatadi Laplace dell’incognita di partenza;

• si risolve il problema equivalente nel dominio di Laplace, determinando la trasfor-mata dell’incognita del problema originale;

• si ritorna nel dominio del tempo, mediante l’antitrasformata di Laplace.


3.3. Funzione di Trasferimento

Problema

Metodi Risolutivi diEquazioni Differenziali

Soluzione delProblema

Trsasformazione Antitrasformazione

ProblemaEquivalente

Metodi Risolutivi diEquazioni Algebriche

Soluzione delProblema Equivalente

Dominio di Laplaceo

Dominio del Tempo

Figura 3.3: Risoluzione di equazioni differenziali nel dominio del tempo o nel dominio diLaplace

Il problema potrebbe essere risolto anche direttamente restando nel dominio del tempo.Si pongono, cosı, le due alternative, illustrate in Figura 3.3. Il procedimento che passaattraverso il dominio di Laplace e utilizzato nei casi in cui la trasformata del segnale diingresso e una funzione razionale.

3.3 Funzione di TrasferimentoDato un sistema lineare, con un ingresso ed una uscita, si dice “funzione di trasferimento”G (s) il rapporto tra la trasformata di Laplace del segnale di uscita U (s) e la trasformatadi Laplace del segnale di ingresso E (s), quando il sistema ha condizioni iniziali nulle,

G (s) =U (s)E (s)

. (3.13)

La funzione G (s) ha il significato fisico di trasformata di Laplace della risposta delsistema ad un segnale di ingresso di tipo impulsivo (δ di Dirac), la cui trasformata e uguale


3. Catene di Misura

Tempo

Ampiezza

τ

1/τ

Figura 3.4: Rappresentazione della funzione δ di Dirac

a 1. Si ricorda che la funzione di Dirac e rappresentabile con un rettangolo δ (t) di durataτ e altezza 1/τ e, quindi, di area 1. Se si fa tendere τ a 0, mantenendo l’area uguale a 1,l’ordinata 1/τ tende a infinito, come illustrato in Figura 3.4.

Si osserva che la risposta di un sistema ad una funzione impulsiva puo essere ottenuta,sia pure con difficolta, anche per via sperimentale. E, pero, in generale, piu semplice pro-durre l’eccitazione al gradino unitario (fronte infinitamente ripido e poi valore costanteunitario), che altro non e che l’integrale dell’impulso di Dirac. La trasformata di Laplacedella risposta al gradino, moltiplicata per il fattore s, da ancora la funzione di trasferimen-to G (s). Si ricordi che la funzione di trasferimento e una caratteristica del sistema ed eindipendente dal segnale di ingresso.

In un circuito elettrico si hanno, tipicamente, piu funzioni di trasferimento a secondadel punto in cui si applica la forzante E (s) e del punto in cui si rileva il segnale di uscitaU (s). Per rendersene conto, basta osservare il circuito di Figura 3.5, nel quale senzacambiare la posizione della forzante, si assume una volta come uscita U1 (s) e la secondaU2 (s).

In generale, i sistemi reali piu significativi presentano funzioni di trasferimento di duetipi:• sistemi del primo ordine, in cui

G (s) =µ

1 + sτ; (3.14)

• sistemi del secondo ordine, in cui

G (s) =µ

1 +2γω0

s + 1ω2

0s2. (3.15)


3.3. Funzione di Trasferimento

e(t)

u1(t)

u2(t)R C

Figura 3.5: Esempio di funzioni di trasferimento in un circuito elettrico

e(t) u(t)R C

Figura 3.6: Esempio di sistema del primo ordine: circuito RC

In entrambi i casi la G (s) e caratterizzata da G (0) = µ, cioe il sistema trasferisce, senzaalterazioni, un segnale di ingresso costante nel tempo, moltiplicandolo per il guadagnoµ. Poiche µ e costante, l’analisi delle due funzioni puo essere fatta utilizzando la formaridotta, ponendo µ = 1.

3.3.1 Sistemi del Primo OrdineSi analizza ora la funzione di trasferimento G (s) per i sistemi del primo ordine che, dalpunto di vista elettrico, possono essere rappresentati con un circuito, in cui ci sono resi-stenze R e induttanze L, ma non capacita C, oppure resistenze R e capacita C, ma noninduttanze L. Il parametro τ e detto costante di tempo e definisce completamente il si-stema. Ad esempio, per il circuito di Figura 3.6, la costante di tempo e τ = RC (insecondi).

Si esamina ora il caso in cui il seganle di ingresso e (t) e un gradino unitario, cioe,e (t) = 0 per t < 0 e e (t) = 1 per t > 0. Trasformando nel dominio di Laplace, si ottiene

E (s) =1s, (3.16)

per cui si ha

U (s) = E (s) G (s) =1

1 + sτ1s. (3.17)

Per determinare il segnale di uscita nel dominio del tempo u (t), bisogna antitrasformarela U (s). Conviene applicare il teorema di Heavyside, che consente di suddividere lafunzione in piu termini di tipo piu semplice,

U (s) =1

1 + sτ1s

=1s−

1/τ1 + sτ

=1s−

11/τ + s

. (3.18)


3. Catene di Misura

τ0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Ampiezza

Tempo

Figura 3.7: Risposta al gradino unitario di un sistema del primo ordine

Si puo ora facilmente antitrasformare, ottenendo

u (t) = L −1 [U (s)] = 1 − e−t/τ. (3.19)

In Figura 3.7 e riportata in grafico questa funzione, confrontata con il gradino unitario.Si noti il significato geometrico di τ, che e la sottotangente, riferita all’ordinata e (t) = 1,della funzione u (t). Essa rappresenta:• il tempo dopo il quale u (t) = 0.632 = e−1;• l’area compresa tra le due curve (tempo di risposta).Se si considera, invece, la funzione a rampa e (t) = k · t, la risposta e ancora una

rampa, con ritardo costante τ rispetto alla rampa applicata, dopo un tempo abbastanzagrande rispetto a τ, come illustrato in Figura 3.8.

3.3.2 Sistemi del Secondo OrdineSi passa ora ad esaminare la funzione di trasferimento ridotta (µ = 1) per sistemi delsecondo ordine,

G (s) =1

1 +2γω0

s + 1ω2

0s2, (3.20)

nella quale γ rappresenta il fattore adimensionale di smorzamento, mentre ω0 rappresentala pulsazione caratteristica del sistema.


3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace

Ampiezza

Tempo

τ

Figura 3.8: Risposta alla rampa di un sistema del primo ordine

Si consideri ora il comportamento dinamico, applicando un gradino unitario. A se-conda se γ > 1, γ = 1 o γ < 1, la risposta sara aperiodica, critica o oscillatoria, comemostrato in Figura 3.9. L’ampiezza massima della sovraelongazione e data da

UM = 1 + e−

πγ√

1−γ2 , (3.21)

che e pure una funzione di γ, come evidenziato in Figura 3.10.Per i sistemi del secondo ordine, ha ancora significato il tempo di risposta (τr), come

e stato definito per i sistemi del primo ordine. Nel caso di risposta oscillatoria, il tempodi risposta si calcola sommando algebricamente le aree (τr = τ1 − τ2 + τ3 − τ4), comeindicato in Figura 3.11.

3.4 Metodo Simbolico per la Trasformata di LaplaceIl metodo simbolico permette di passare immediatamente dalla funzione e (t) alla funzioneE (s), tenendo presente i teoremi di derivazione e integrazione della trasformata di Lapla-ce. In un circuito elettrico, i componenti R, C e L possono essere sostituiti con impedenzesimboliche equivalenti:

Resistenze→ R, Capacita→1

sC, Induttanze→ sL. (3.22)

Si veda in proposito la Tabella 3.2.


3. Catene di Misura

Am

piez

za

Tempo

γ = 2

γ = 1

γ < 1

E(t)

Figura 3.9: Risposta al gradino unitario di un sistema del secondo ordine

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Ampiezza

γ

Figura 3.10: Massima sovraelongazione nella risposta al gradino unitario in un sistemadel secondo ordine in funzione del parametro γ


3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ampiezza

Tempo

τ1

τ2

τ3

τ4

Figura 3.11: Calcolo del tempo di risposta in un sistema del secondo ordine

Componente DominioTempo Frequenza

Resistenzav (t)i (t)

= RV (s)I (s)

= R

Capacita i (t) = Cdv (t)

dtV (s)I (s)

=1

sC

Induttanza v (t) = Ldi (t)

dtV (s)I (s)

= sL

Tabella 3.2: Impedenze simboliche equivalenti di resistenze, induttanze e capacita


3. Catene di Misura

3.5 Trasformata di Laplace in Regime SinusoidaleIn un sistema lineare a parametri concentrati, la risposta a una eccitazione sinusoidale eancora una sinusoide, con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase diverse, come eben noto dallo studio dei circuiti in corrente alternata.

Si puo dimostrare che, in generale, l’ampiezza della sinusoide in uscita si ottienemoltiplicando il segnale in ingresso per il modulo della funzione di trasferimento, cal-colato ponendo s = jω, dove ω = 2π f e uguale alla pulsazione della sinusoide di in-gresso ( f e la frequenza della sinusoide di ingresso), mentre lo sfasamento e determinatodall’argomento di G ( jω).

Dal punto di vista sperimentale, e molto piu comodo determinare la risposta in regimesinusoidale che all’impulso di Dirac o al gradino unitario, in quanto esistono generatoridi funzioni sinusoidali a frequenza variabile molto semplici. Nel caso in cui tutti glizeri e tutti i poli della funzione di trasferimento si trovino nel semipiano negativo delpiano complesso, l’ampiezza e la fase della risposta in frequenza e, percio, il modulo el’argomento di G ( jω) possono essere facilmente determinati. Si consideri quale esempiola funzione di trasferimento

G (s) =1

1 + sτ, (3.23)

con un ingresso sinusoidale e (t) = sin (ωt). La funzione di trasferimento G ( jω) assumela forma

G ( jω) =1

1 + jωτ, (3.24)

il cui modulo e dato da

|G ( jω)| =∣∣∣∣∣ 11 + jωτ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 11 + ω2τ2 − j

τ

1 + ω2τ2

∣∣∣∣∣ =

√1 + ω2τ2(1 + ω2τ2)2 =

1√

1 + ω2τ2. (3.25)

Normalmente, esso viene espresso in decibel (dB) e risulta, quindi, dato da

|G ( jω)|dB = 20 log[|G ( jω)|

]= 20 log

(1

√1 + ω2τ2

). (3.26)

L’argomento di G ( jω) e, invece, dato da

ϕ = arctan (ωτ) . (3.27)

Se ωτ 1, si ottiene |G ( jω)| 1 e ϕ −ωτ. Il segnale di uscita ha, quindi, la stessaampiezza del segnale di ingresso, ma e in ritardo di ωτ. Se, invece, ωτ 1, si ottiene|G ( jω)| 1/ (ωτ) e ϕ −π/2, cioe, il sistema funziona da integratore approssimato(le due onde sono sfasate di 1/4 di periodo). Poiche il circuito facilita la trasmissionedelle frequenze basse, esso si comporta come un filtro passa-basso. La rappresentazionegrafica del modulo e dell’argomento di G ( jω) e riportata in Figura 3.12. Questi andamenticorrispondono a quelli di un circuito elettrico del tipo indicato in Figura 3.6.


3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale

0

0.5

1M

odul

o

Frequenza

-90

-45

0

Fase

Frequenza

-25-20

-15-10

-5

0

Mod

ulo

[dB

]

Frequenza - Scala Logaritmica

-90

-45

0

Fase


Figura 3.12: Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordinepassa-basso


3. Catene di Misura

e(t) u(t)C R

Figura 3.13: Circuito RC passa-alto

Se si considera invece il circuito riportato in Figura 3.13, la funzione di trasferimentoe data da

G (s) =sτ

1 + sτ. (3.28)

Se si calcolano il modulo e la fase in regime sinusoidale, si ottiene

|G ( jω)| =ωτ

√1 + ω2τ2

, (3.29)

|G ( jω)|dB = 20 log(

ωτ√

1 + ω2τ2

), (3.30)

ϕ = arctan(

1ωτ

). (3.31)

Queste funzioni hanno l’andamento riportato in Figura 3.14. Per ωτ 1, si ottiene|G ( jω)| ωτ e ϕ π/2, mentre per ωτ 1, si ottiene |G ( jω)| 1 e ϕ ωτ. Questocircuito si comporta come un derivatore approssimato. Poiche il circuito trasmette lefrequenze piu elevate, esso agisce da filtro passa-alto.


3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale

0

0.5

1M

odul

o

Frequenza

0

45

90

Fase

Frequenza

-40

-30

-20

-10

0

Mod

ulo

[dB

]


0

45

90

Fase


Figura 3.14: Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordinepassa-alto


Capitolo 4

Strumenti Analogici

4.1 GeneralitaTra tutte le classificazioni possibili, per gli strumenti analogici, conviene fare riferimentoa quella per tipo di conversione:• magnetoelettrica;• elettromagnetica;• elettrodinamica;• ad induzione;• termica.

Le caratteristiche degli strumenti analogici sono riportate sulla targa attraverso dei sim-boli. I simboli piu importanti sono riportati nell’Appendice B.

Negli strumenti analogici, la grandezza di uscita e generalmente la deviazione ango-lare di un indice, solidale con un equipaggio, che, per effetto della grandezza incognita, eforzato a ruotare intorno ad un asse.

L’equipaggio mobile e sottoposto ad una coppia motrice, funzione della grandezzasotto misura. Affinche lo strumento possa fornire un’indicazione in condizioni di equili-brio statico, con l’indice fermo in una posizione univocamente corrispondente alla entitadel misurando, sull’equipaggio mobile dovra agire anche una coppia antagonista, funzio-ne crescente della deviazione, di solito di natura elastica. Per smorzare le oscillazioniintorno alla posizione di equilibrio, sempre presenti con coppie antagoniste di tipo ela-stico, deve essere prevista una coppia smorzante, funzione della derivata della grandezzasotto misura, di solito di natura viscosa, che riduce la durata del transitorio meccanico.Purtroppo, e presente anche una coppia d’attrito, che si cerca di minimizzare, poicheattribuisce insensibilita e imprecisione allo strumento.

La portata di uno strumento analogico e la grandezza che, applicata ai suoi morsetti,fa arrestare l’indice in corrispondenza del fondo scala. La scala di uno strumento analo-gico e la suddivisione dell’arco di cerchio che puo essere percorso dall’indice. Essa e,solitamente, tracciata in divisioni e numerata, in modo da consentire una facile lettura.L’indice degli strumenti piu pregiati e a coltello o a filo e, sotto di esso, e previsto unospecchio, che consente di ridurre l’errore di parallasse che si commette nella lettura, co-


4. Strumenti Analogici

Figura 4.1: Indice degli strumenti analogici

me illustrato in Figura 4.1. Uno strumento puo avere piu di una portata e la lettura noncorrisponde, necessariamente, alla ampiezza della grandezza sotto misura, ma e a questalegata linearmente, secondo una costante. La costante di uno strumento e il rapporto trala grandezza di fondo scala e il numero di divisioni della scala. Nel caso di strumento apiu portate, si avranno tante costanti, quante sono le portate. Per pervenire al valore dellagrandezza misurata, la lettura, fatta sulla scala, deve essere moltiplicata per la costante.

4.2 Classe di Precisione

La precisione di uno strumento e definita dai limiti dell’errore espresso in percento diun valore convenzionale. Il valore convenzionale coincide, quasi sempre, con il valo-re di fondo scala, cioe, con la portata. Per quanto riguarda la precisione, gli strumentisono suddivisi in classi, contraddistinte da un numero, detto indice di classe. Le clas-si previste dalle norme del Comitato Elettrotecnico Italiano (CEI), mutuate dalle normedell’International Electrotechnical Commission (IEC), sono:• Classe 0.05, errore inferiore allo 0.05% del fondo scala;• Classe 0.1, errore inferiore allo 0.1% del fondo scala;• Classe 0.2, errore inferiore allo 0.2% del fondo scala;• Classe 0.3, errore inferiore allo 0.3% del fondo scala;• Classe 0.5, errore inferiore allo 0.5% del fondo scala;• Classe 1, errore inferiore allo 1% del fondo scala;• Classe 1.5, errore inferiore allo 1.5% del fondo scala;• Classe 2.5, errore inferiore allo 2.5% del fondo scala;• Classe 3, errore inferiore allo 3% del fondo scala.

Questi indici rappresentano i limiti di errore percentuale, che uno strumento, appartenen-te ad una certa classe, non deve superare, al fondo scala, in determinate condizioni diriferimento, indicate dal costruttore oppure specificate dalle norme.

L’errore assoluto dello strumento, in qualunque punto della scala, non deve esseresuperiore a

ε =Classe · Portata

100. (4.1)


4.3. Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio

Ad esempio, un amperometro di classe 0.2, con portata 5 A, in qualunque punto dellascala, non deve avere un errore assoluto superiore a

ε =0.2 · 5100

= ±0.01 A. (4.2)

Per una data lettura, l’errore relativo dello strumento risulta

ε =Classe · Portata

100 · Lettura. (4.3)

Dalla (4.3), si evince che l’errore relativo ε e tanto maggiore, quanto piu piccola e lalettura rispetto al fondo scala (portata). E, quindi, sempre consigliabile scegliere oppor-tanamente la portata, in modo da ottenere una lettura vicina al fondo scala, dove ε risultaminimo.

Le condizioni di riferimento per la classe di precisione riguardano la temperaturaambiente, la posizione dello strumento, il suo orientamento rispetto al campo magneti-co terrestre, eventuali valori di induzione magnetica esterna, la frequenza della corren-te in misura (se si tratta di corrente alternata), eccetera. Facendo variare queste con-dizioni, entro i limiti indicati dalle norme, l’errore d’indicazione dello strumento nondeve ulteriormente variare oltre il limite stabilito dalla classe. Ad esempio, nel caso diun amperometro di classe 0.2, con portata 5 A, i limiti di variazione della temperaturaambiente sono di ±10 C, intorno alla temperatura di riferimento di 20 C. L’errore as-soluto dello strumento, a 30 C oppure a 10 C, non dovra, percio, essere superiore a0.01 + 0.01 = ±0.02 A.

L’incertezza tipo assoluta, che possiamo attribuire a uno strumento di una data classedi precisione, si ottiene assumendo una distribuzione uniforme (rettangolare) dell’errore,delimitata dai limiti di classe e, utilizzando la (1.33), risulta

u =ε√

3=

Classe · Portata

100√

3. (4.4)

Conseguentemente, l’incertezza tipo relativa risulta data da

u =ε√

3=

Classe · Portata

100√

3 · Lettura. (4.5)

4.3 Comportamento degli Strumenti in Regime Staziona-rio e in Transitorio

Quando ad uno strumento analogico viene applicata una coppia motrice costante, l’in-dice tende a porsi in movimento ed a raggiungere la condizione d’equilibrio stabile, percui si verifica la uguaglianza tra coppia motrice e coppia resistente (o antagonista). Lospostamento dell’indice e retto dalla equazione del moto, nella quale per semplicita si etrascurata la coppia di attrito,

Jd2α

dt2 + Ndαdt

+ aα = Cm, (4.6)



dove J e il momento di inerzia dell’equipaggio, N e la costante della coppia di smorza-mento, a e la costante della coppia antagonista, α e la deviazione dell’indice dello stru-mento, Cm e la coppia motrice, supposta indipendente da α, e t e il tempo. Si tratta di unaequazione differenziale del secondo ordine, che puo essere risolta, rispetto all’incognitaα, con il metodo della trasformata di Laplace, ricordando che α = 0 per t = 0. Si ottieneuna funzione di trasferimento, G (s) = α (s) /Cm (s), del secondo ordine, data dalla (3.15),caratterizzata dalla pulsazione di risonanza del sistema,

ω0 =

√aJ, (4.7)

e dal fattore di smorzamento,

γ =N

2√

aJ. (4.8)

L’indice assumera, quindi, la posizione di regime dopo un certo tempo e lo spostamentodell’indice potra essere oscillante, smorzato o aperiodico, a seconda del valore di γ, comeillustrato in Figura 4.2. Negli strumenti analogici, normalmente, si fa in modo che siaγ = 0.7÷0.8, per cui l’indice supera, sia pur di poco, la posizione di equilibrio, oscillandobrevemente intorno a questa.

Quanto e stato esposto, assumendo, per semplicita, Cm costante, puo essere, facilmen-te, esteso al caso di coppia motrice variabile nel tempo. Ad esempio, nel caso di coppiaimpressa sinusoidale, di pulsazione ω, se si fa in modo che ω ω0, la deviazione del-l’indice seguira e riprodurra, senza inerzia, la coppia motrice istantanea applicata. Nelcaso, invece, in cui ω ω0, l’indice dello strumento non e in grado di seguire l’anda-mento della grandezza e rimane fermo sulla posizione di zero. Se la coppia motrice fossevariabile, con valore medio non nullo, l’indice devierebbe in ragione del valore medio.

4.4 Strumenti a Conversione MagnetoelettricaL’equipaggio mobile di uno strumento magnetoelettrico e costituito da una bobina ret-tangolare in filo di rame sottile, avvolta su un nucleo ferromagnetico di forma cilindrica,immerso nel campo magnetico generato da un magnete permanente. Le espansioni po-lari del magnete sono sagomate in modo da avere traferro costante, come illustrato inFigura 4.3.

Se la bobina e percorsa da corrente I, sui suoi lati attivi si esercita una coppia motriceCm, data da

Cm = BnsdlI = kI, (4.9)

dove B e l’induzione magnetica, ns e il numero delle spire della bobina, l e la lunghezzadella bobina, d e il diametro della bobina. Tale coppia e contrastata da una coppia antago-nista Cr, di natura elastica (una molla o i fili stessi di adduzione della corrente alla bobina,tesi fra due vincoli), che vale

Cr = aα, (4.10)


4.4. Strumenti a Conversione Magnetoelettrica

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

α/α

0

t/T0

γ = 0

γ = 1.6

Figura 4.2: Andamento temporale della posizione dell’indice in funzione del valore di γda 0 a 1.6 con passi di 0.2

1) Magnete Permanente2) Espansioni3) Bobina Mobile4) Nucleo Interno5) Molla Antagonista6) Dispositivo di Messa a Zero7) Indice8) Contrappesi dell'Indice

Figura 4.3: Strumento a conversione magnetoelettrica



AV

I R

Figura 4.4: Voltmetro magnetoelettrico

dove α e l’angolo di rotazione della bobina e a e la costante della molla. In condizioni diequilibrio, deve valere

Cm = Cr, (4.11)

da cuiα =

Bnsdla

I = kaI, (4.12)

in cui ka e detta costante amperometrica dello strumento. Come si vede, il legame fra αed I e lineare, per cui lineare e anche la scala di lettura. Lo strumento magnetoelettricofornisce, quindi, una indicazione quando il valore medio delle grandezze non e nullo e,quindi, e tipicamente utilizzato per le misure in corrente continua.

Nella fase transitoria del passaggio della posizione α = 0, alla posizione α = kaI, labobina si muove con velocita angolare dα/dt. Poiche i lati attivi della bobina si muovonocon velocita (d/2) (dα/dt), entro il campo magnetico costante descritto dal vettore B, nellabobina viene indotta una forza elettromotrice

E = Bldnsdαdt. (4.13)

Se la bobina possiede una resistenza propria Rg ed e chiusa su un circuito di resistenza R,si determina una corrente

Is =E

Rg + R, (4.14)

che si sovrappone a quella applicata e che da luogo ad una coppia smorzante, data da

Cs = BldnsIs =B2l2d2n2

s

Rg + Rdαdt

= Ndαdt. (4.15)

Tale coppia smorzante e nulla per R = ∞ (strumento a circuito aperto) e massima perR = 0 (strumento in corto circuito). Essa e nulla anche ad indice fermo.

Come esempio, consideriamo un voltmetro magnetoelettrico. Esso e costituito dauna struttura del tipo di quella illustrata in Figura 4.3, ma in serie alla bobina mobileviene posta una resistenza R, come mostrato in Figura 4.4. La deviazione dell’indice eproporzionale alla corrente che circola nella bobina ed e, quindi, data da

α = kaI = kaVR

= kvV, (4.16)


4.5. Strumenti a Conversione Elettromagnetica

Figura 4.5: Principio di funzionamento di uno strumento a conversione elettromagnetica

dove kv e la costante voltmentrica dello strumento. Variando il valore della resistenza R,e possibile ottenere, con lo stesso strumento, diverse portate e diverse costanti kv.

4.5 Strumenti a Conversione ElettromagneticaNegli strumenti a conversione elettromagnetica, detti anche a ferro mobile, il campo ma-gnetico e generato da una bobina fissa, entro la quale si muove un pezzo di ferro dolce,variamente sagomato, che determina la deviazione di un indice su una scala, come illu-strato in Figura 4.5. L’energia magnetica in gioco, nel sistema fisico chiuso definito daiconfini dello strumento, e data da

W =12

L (α) I2, (4.17)

dove L (α) e l’induttanza della bobina, che dipende dalla posizione del nucleo, cioe, delladeviazione α. Il nucleo viene attirato entro la bobina e, in assenza di coppia antagonista,raggiungerebbe la posizione per cui e massima l’energia magnetica immagazzinata delsistema.

La coppia motrice che insorge e data da

Cm =12

dL (α)dα

I2. (4.18)

Poiche il fenomeno descritto avviene indipendentemente dalla legge di variazione neltempo della corrente, questi strumenti possono funzionare sia in corrente continua, siain corrente alternata (entro certi limiti di frequenza), sia come voltmetri, sia come am-perometri. La legge di variazione di L con α puo essere predeterminata, modellandoopportunamente il pezzo di ferro dolce, per cui si puo ottenere una scala di lettura pros-sima alla lineare, anche se nella formula la corrente compare al quadrato. Se la bobinae eccitata con corrente alternata, la coppia motrice risulta proporzionale al valore effica-ce, sia pure non rigorosamente. Le parti mobili non sono interessate da corrente, per cuiquesti strumenti sono semplici e robusti. La precisione conseguibile e confrontabile conquella degli strumenti magnetoelettrici.



1) Bobina2) Nucleo Fisso3) Nucleo Mobile4) Molla Antagonista5) Dispositivo di Messa a Zero6) Smorzatore ad Aria

Figura 4.6: Strumento a conversione elettromagnetica

Una variante costruttiva di rilievo, praticamente la piu usata, consiste nell’utilizzarecome fonte di coppia motrice, non piu l’attrazione, bensı la repulsione tra corpi magnetiz-zati per induzione, come illustrato in Figura 4.6. La massima induttanza si ha quando ledue lamine (una mobile e l’altra fissa), magneticamente polarizzate in maniera omologa,si trovano alla massima distanza.

4.6 Strumenti a Conversione ElettrodinamicaGli strumenti a conversione elettrodinamica sono costituiti da due bobine, l’una fissa,di solito sdoppiata, e l’altra mobile, collegata all’indice, come illustrato in Figura 4.7.L’energia magnetica in gioco vale

W =12

L f I2f +

12

LmI2m + M (α) I f Im, (4.19)

dove L f , Lm e M (α) sono, rispettivamente, i coefficienti di autoinduzione e mutua indu-zione delle bobine. Derivando rispetto ad α, si ottiene l’espressione della coppia motrice,data da

Cm (α) = I f ImdM (α)

dα. (4.20)

L’andamento di M (α) in funzione di α e sinusoidale, ma, se le deviazioni non eccedono i45 intorno alla posizione ove la coppia e massima (assi delle bobine ortogonali), si puoritenere che M vari linearmente con α, per cui,

dM (α)dα

= k, (4.21)

e, pertanto,


4.6. Strumenti a Conversione Elettrodinamica

Figura 4.7: Strumento a conversione elettrodinamica

Cm = kI f Im. (4.22)

Se la coppia antagonista e di natura elastica (Cr = aα), all’equilibrio sara Cm = Cr,cioe, kI f Im = aα, da cui

α =ka

I f Im. (4.23)

Questa espressione e valida per i valori istantanei e, se le correnti sono continue, ladeviazione risulta costante.

In regime sinusoidale, se I f e Im sono isofrequenziali e sfasate dell’angolo ϕ, risulta I f = IC, f sin (ωt)

Im = IC,m sin (ωt + ϕ). (4.24)

La coppia motrice e, quindi, data da

Cm (t) = kIC, f IC,m

2[cos (ϕ) − cos (2ωt + ϕ)

], (4.25)

che nel tempo assume l’andamento indicato in Figura 4.8. La (4.25) puo essere dimostrataagevolmente procedendo a ritroso. Infatti,

12

[cos (b) − cos (2a + b)] =12

[cos (b) − cos (2a) cos (b) + sin (2a) sin (b)] =

=12[1 − cos (2a)] cos (b) + sin (2a) sin (b) =

=12

[1 − cos2 (a) + sin2 (a)

]cos (b) + 2 sin (a) sin (b) cos (a)

=

=12

[2 cos (b) sin2 (a) + 2 sin (b) sin (a) cos (a)

]=

= sin (a) [cos (b) sin (a) + sin (b) cos (a)] = sin (a) sin (a + b) .

(4.26)



Ampiezza

Tempo

V(t)I(t)

Cm(t)

Figura 4.8: Andamento temporale della coppia motrice in uno strumento a conversioneelettrodinamica



Dalla (4.25) risulta che la coppia istantanea e costituita da un termine costante e daun termine sinusoidale, di pulsazione doppia, rispetto quella delle grandezze impresse.Introducendo per le correnti i valori efficaci al posto dei valori massimi, si ottiene

Cm (t) = kI f Im[cos (ϕ) − cos (2ωt + ϕ)

]. (4.27)

Si puo osservare che il valore medio di questa funzione e proporzionale al prodotto scalaredelle due grandezze vettoriali, ~I f e ~Im,

Cm (t) = k~I f~Im. (4.28)

Si puo agevolmente dimostrare che, nel caso di correnti di frequenza diversa, il valoremedio risulta nullo. Per grandezze periodiche non sinusoidali, il valore medio della coppiacorrisponde alla somma dei valori medi dei prodotti relativi ad armoniche corrispondenti.

Uno strumento del tipo descritto e detto elettrodinamometro e deve considerarsi unostrumento per corrente alternata, adatto per diverse applicazioni. Si deve osservare che, inbase a quanto e stato esposto nel Paragrafo 3.3.2, le caratteristiche dell’equipaggio mobile,in relazione alla frequenza delle correnti, determinano il comportamento dello strumen-to in transitorio. Se la pulsazione della grandezza da misurare e molto piccola rispettoalla pulsazione caratteristica propria dell’equipaggio, quest’ultimo e in grado di seguirel’andamento della coppia istantanea e, potendosi ritenere la deviazione proporzionale allacoppia, la deviazione dell’indice risulta di tipo oscillatorio, con asse di oscillazione sulvalore medio. In caso contrario, la deviazione dell’indice risulta stabilmente posizionatasul valore medio.

Se si fa in modo che I f corrisponda alla corrente I di un circuito e Im sia proporzionalee in fase con la tensione V del circuito stesso, la coppia media risulta

Cm = kVI cos (ϕ) . (4.29)

La proporzionalita tra tensione V e Im puo essere, molto semplicemente, ottenuta ponen-do, in serie alla bobina mobile, una resistenza di adeguato valore di tipo antiinduttivo(Paragrafo 2.4). Lo strumento assume, allora, il nome di wattmetro e lo schema di prin-cipio e quello riportato in Figura 4.9. In tale applicazione, la bobina fissa e costituita dapoche spire di grande sezione, mentre la bobina mobile e realizzata con molte spire di filosottile.

In linea di principio, qualunque wattmetro puo essere trasformato in varmetro: bastache Im sia in quadratura con V . In queste condizioni, si ha, infatti, una coppia motricemedia, data da

Cm = kVI cos (ϕ − 90) = kVI sin (ϕ) . (4.30)

Si puo adottare lo schema indicato in Figura 4.10, per il qualeIV =

V

Z + ZmRZm+R

Im = IVR

Zm + R= V

RZZm + ZmR + ZR

. (4.31)



V

I

R

Figura 4.9: Strumento elettrodinamico utilizzato come wattmetro

V

If

RIm

Z

Zm

Figura 4.10: Strumento elettrodinamico utilizzato come varmetro



If

Im

I

Figura 4.11: Strumento elettrodinamico utilizzato come amperometro

Perche Im sia in quadratura con V , basta che sia nulla la parte reale del coefficiente di Vnella (4.31), cioe,

R == (Z)= (Zm) −< (Z)< (Zm)

< (Z)< (Zm). (4.32)

E stabilito, cosı, un legame che, se rispettato, rende possibile la misura diretta di

Q = k~Im~I f = ~V × ~I. (4.33)

Si osserva che il comportamento di un varmetro cosı realizzato e corretto solo per una bendeterminata frequenza.

Attualmente, meno frequente e l’impiego di uno strumento elettrodinamico come am-perometro, potendo la bobina fissa fungere da derivatore per la bobina mobile, comeillustrato in Figura 4.11. Sara, dunque,

Im = IZ f

Z f + Zm

I f = IZm

Z f + Zm

α = kImI f = kZ f Zm(

Z f + Zm

)2 I2 = kaI2

. (4.34)

La scala di lettura risulta, in questo caso, quadratica. Ancora da rilevare, e l’influenzache puo avere la frequenza sulla precisione dell’indicazione, in quanto essa influisce sulvalore delle impedenze.

Lo strumento elettrodinamico puo anche essere usato come voltmetro, come illustratoin Figura 4.12. Detta Z l’impedenza equivalente della serie tra bobina fissa, bobina mobilee resistore addizionale, si ottiene

α = k1Z2 V2 = kvV2. (4.35)

Se l’impedenza Z e sostanzialmente resistiva, l’indicazione e, entro certi limiti, indipen-dente dalla frequenza. In questo caso, anche la bobina fissa e realizzata con molte spiredi filo sottile. La scala dello strumento e quadratica.



V

Im = IfR

Figura 4.12: Strumento elettrodinamico utilizzato come voltmetro

Figura 4.13: Strumento a induzione

4.7 Strumenti ad InduzioneGli strumenti ad induzione funzionano in base al fenomeno dell’induzione elettromagne-tica e, per questo motivo, possono essere utilizzati esclusivamente per misure in correntealternata. Anche se, in linea di principio, si possono realizzare voltmetri e amperometri,la tipica applicazione degli strumenti a induzione e quella del contatore di energia, che eun wattmetro integratore.

Il wattmetro ad induzione e costituito da un disco di rame o di alluminio, imperniatosu due pietre dure, che porta la molla antagonista e l’indice. Il disco puo ruotare fra leespansioni polari di due elettromagneti, i cui avvolgimenti sono percorsi, rispettivamente,dalla corrente di misura e da una corrente proporzionale alla tensione del circuito, comeillustrato in Figura 4.13. La corrente Iv, che fluisce nell’elettromagnete 1, produce un flus-so Φv, che attraversa il disco e vi genera una forza elettromotrice indotta, che da luogo,a sua volta, alle correnti parassite I1, cosı come la corrente Ia, che fluisce nell’elettroma-gnete 2, produce un flusso Φa, dando luogo a una forza elettromotrice indotta nel disco ealle relative correnti parassite I2. Come e noto, fra un flusso magnetico ed una correnteelettrica, si esercita una azione meccanica, ossia, si generano delle forze. L’azione suldisco si esercita per effetto del flusso Φv sulla corrente I2 e del flusso Φa sulla corrente I1.Poiche le correnti circolano nel disco ed i flussi fuoriescono dai magneti, che sono fissi, le


4.7. Strumenti ad Induzione

Figura 4.14: Distribuzione dei flussi e delle correnti in uno strumento a induzione

forze che si generano sulle correnti agiscono anche sul disco, che e sollecitato a muoversi,contrastato dalla molla antagonista. Lo schema di distribuzione dei flussi e delle correntie indicato in Figura 4.14, dove ai flussi perpendicolari al piano del disco corrispondono lecorrenti con andamento circolare intorno all’asse dei circuiti magnetici.

Per rendersi piu chiaramente conto del funzionamento del wattmetro ad induzione,conviene esaminare le grandezze in gioco in un istante qualsiasi, ad esempio, quando lacorrente Iv e positiva e sta diminuendo, mentre la corrente Ia e pure positiva, ma sta au-mentando. La corrente Iv, che sta diminuendo, induce sul disco una corrente I1, direttanello stesso senso (per la legge di Lenz tende ad opporsi alla diminuzione del flusso). Lacorrente Ia, che sta aumentando, induce invece sul disco una corrente I2, diretta in sensocontrario (che si oppone all’aumento del flusso). In base alle leggi delle azioni elettro-meccaniche, la I2 reagisce con il flusso Φv e da luogo ad una forza F1, che si puo scinderein due componenti: una perpendicolare ed una tangente al disco. La componente tangenteal disco di F1 tende a far ruotare il disco stesso e altrettanto fa la componente tangenteal disco della forza F2, prodotta dall’interazione tra la corrente indotta I1 ed il flusso Φa.Facendo riferimento alla Figura 4.15, l’azione combinata delle due forze produce la rota-zione del disco, come indicato dalla freccia, se le due correnti hanno andamento diverso(una crescente e l’altra decrescente). Se entrambe le correnti, invece, sono crescenti odecrescenti, ovvero, in fase, le due forze generate risultano uguali e contrarie ed il disconon si muove.

Si puo quindi riassumere dicendo che la coppia Cm, che si genera nel disco, per effettodell’interazione fra le correnti Ia e Iv, che percorrono gli elettromagneti, e le componen-ti in quadratura delle correnti indotte I1 ed I2 sul disco stesso, e proporzionale al senodell’angolo di sfasamento fra le correnti,

Cm = k1ΦvΦa sin (ζ) = k2IvIa sin (ζ) . (4.36)

In uno dei due avvolgimenti, collegato in serie, puo essere inviata direttamente la correnteI del circuito (Ia = I), mentre l’altro, posto in parallelo, puo essere sottoposto alla tensione



Figura 4.15: Rotazione del disco di uno strumento a induzione

V

Ia

Φa

Iv

Φvβ

ζ

ζ

ε

ϕ

Figura 4.16: Diagramma vettoriale in uno strumento a induzione

del circuito, attraverso un’impedenza Z (il valore della corrente Iv sara, percio, Iv = V/Z).Poiche il circuito voltmetrico presenta induttanza elevata, la corrente Iv e sfasata rispettoalla tensione V applicata di un angolo assai prossimo a 90. Facendo riferimento al dia-gramma vettoriale di Figura 4.16, se si indica con ϕ lo sfasamento tra la tensione V e lacorrente I impresse, si ottiene

ζ = β − ϕ. (4.37)

La (4.37) si puo, quindi, scrivere come

Cm = k2VZ

I sin (β − ϕ) . (4.38)

Se si fa in modo che sia β = 90, si ottiene

Cm = k3IaV sin (90 − ϕ) = k3IaV cos (ϕ) = k3P. (4.39)

Uno strumento ad induzione del tipo descritto puo, quindi, fornire una deviazione(angolo di rotazione del disco) proporzionale alla potenza attiva che transita nel circuito.


4.7. Strumenti ad Induzione

D

A

Φ1 Φ2

Φ ⎧⎨⎩

Figura 4.17: Correzione dello sfasamento in uno strumento a induzione

Non potendo essere la resistenza del circuito voltmetrico nulla, per ottenere lo sfasamen-to richiesto tra tensione e corrente nella bobina voltmetrica, si deve ricorrere ad artificicircuitali. Il sistema piu usato e quello di collocare un anellino metallico in corto circuitoattorno al magnete, come illustrato in Figura 4.17, ed, inoltre, di fare sporgere il nucleodell’elettromagnete rispetto al disco, in modo che una parte del flusso si chiuda senzainteressare il disco rotante. Per effetto delle correnti indotte in questo anellino, e possi-bile avere uno sfasamento, tra flusso e corrente, anche superiore a 90. Cio permette, fral’altro, di compensare anche lo sfasamento che si produce nell’avvolgimento amperome-trico per effetto della sua induttanza e che, altrimenti, darebbe luogo ad un errore di fase.Negli strumenti piu semplici, l’anello viene sostituito da un dischetto metallico, che vieneapplicato in posizione eccentrica al di sotto di una espansione polare: il comportamento eanalogo a quello visto per l’anello.

Caratteristica peculiare degli strumenti a induzione e la stretta dipendenza dalla fre-quenza, in quanto dalla frequenza dipendono sia i valori delle forze elettromotrici indotte,sia quelli delle impedenze. Si tratta, tuttavia, di strumenti assai robusti, che possono sop-portare forti sovraccarichi momentanei (la molla antagonista non e percorsa da corrente)e la loro scala si puo sviluppare, a piacere, per quasi tutta la circonferenza. Essi non so-no caratterizzati da autosmorzamento delle oscillazioni, per cui, sulla periferia del disco,viene applicato anche un magnete permanente, come illustrato in Figura 4.13, che genera,durante il movimento, delle correnti indotte, le quali hanno l’effetto smorzante desiderato.



Figura 4.18: Contatore a induzione

4.8 Contatori ad InduzioneIl contatore ad induzione deriva direttamente dal wattmetro ad induzione, ma esso e privodella molla antagonista, per cui il disco e libero di ruotare, trascinando il numeratore,come illustrato in Figura 4.18. Con il disco in rotazione, il magnete permanente provocauna coppia frenante, proporzionale alla velocita angolare, in quanto le correnti, da essoindotte nel disco, sono proporzionali alla velocita di rotazione del disco stesso. Poichela potenza e proporzionale alla velocita angolare del disco, il numero di giri compiuti daldisco stesso risulta proporzionale all’energia transitata.

Il diagramma vettoriale completo delle grandezze in gioco nel contatore e rappresen-tato in Figura 4.19. Nel circuito voltmetrico, la corrente Iv e sfasata in ritardo rispetto allatensione V di quasi un quarto di periodo. Questa corrente produce, nel circuito magneticodi tensione, un flusso Φv, ad essa proporzionale, e sfasato in ritardo di un piccolo angoloδv, a causa delle perdite nel circuito magnetico,

Φv = k1V. (4.40)

Il flusso Φv induce nel disco forze elettromotrici Ev, proporzionali ad esso ed alla pulsa-zione ω, e, quindi, delle correnti indotte.

La corrente I del circuito di corrente, che supponiamo sfasata di un angolo ϕ rispettoalla tensione V , percorre la bobina amperometrica e genera un flusso Φi, pari a

Φi = k2I, (4.41)

sfasato in ritardo rispetto a I di un piccolo angolo δi, a causa le perdite nel circuito magne-tico. Questo flusso induce nel disco delle forze elettromotrici, che, a loro volta, generanodelle correnti.

La coppia motrice, risultante delle due coppie parziali prodotte dai due avvolgimenti,trascurando δv e δi, puo essere espressa come

Cm = K1ΦvΦi sin (β − ϕ) . (4.42)


4.8. Contatori ad Induzione

V I

Φi

Φv

Iv

Ev

Ei

90˚

90˚

β

ϕ

δi

δv

Figura 4.19: Diagramma vettoriale in un contatore a induzione



Infine, facendo in modo che l’angolo a fra la tensione V applicata alla bobina voltmetricae la corrente Iv che la percorre sia di β = 90, la (4.42) si trasforma in

Cm = K1ΦvΦi sin (90 − ϕ) = K1ΦvΦi cos (ϕ) . (4.43)

La coppia motrice agente sull’equipaggio mobile del contatore e, quindi, proporzionaleal prodotto dei flussi voltmetrico e amperometrico, secondo una costante empirica K1.

Alla formazione della coppia antagonista concorrono piu fenomeni. Il disco in rota-zione taglia il flusso ΦF costante, esistente nel traferro del magnete permanente (magnetefreno). Nel disco si inducono, quindi, delle forze elettromotrici, proporzionali al valoredel flusso ΦF ed alla velocita angolare ωd del disco. Proporzionali alla forza elettromotri-ce e alla velocita angolare, sono anche le correnti indotte che, reagendo col flusso, dannoluogo ad una coppia frenante del tipo

CF = k3ωdΦ2F . (4.44)

Le correnti indotte nel rotore dal flusso voltmetrico e dal flusso amperometrico dannoluogo alla coppia motrice, ma, reagendo coi flussi che le hanno provocate, danno ancheorigine a due coppie frenanti, date da

CFv = k4ωdΦ2v , (4.45)

CFi = k5ωdΦ2i . (4.46)

Non si deve poi dimenticare la presenza di una coppia di attrito meccanico (CA), che,salvo allo spunto, in prima approssimazione, puo essere considerata proporzionale allavelocita angolare del rotore,

CA = k6ωd. (4.47)

La coppia antagonista globale e formata dalla somma di tutti i contributi parziali e, cioe,

Cr = CF + CFv + CFi + CA. (4.48)

All’equilibrio fra coppia motrice e coppia antagoniste Cm = Cr, la velocita angolaredell’equipaggio mobile e data da

ωd = K2ΦvΦi cos (ϕ) , (4.49)

ovvero,ωd = NcVI cos (ϕ) = NcP, (4.50)

nella quale Nc e una costante e P e la potenza attiva. Introducendo il tempo t nei duetermini della (4.50), si ottiene

ωdt = NcPt. (4.51)

Risolvendo rispetto a W = Pt, che e l’energia del circuito, si ottiene

W =ng

Nc. (4.52)


4.8. Contatori ad Induzione

3

2

1

0

–1

50 100 150 200 250 300 350 400

V = 220 Vf = 50 HzT = 20˚ Ccosϕ = 1cosϕ = 0.5 ritardo

ε [%

]

I/In [%]

Figura 4.20: Curva di errore di un contatore a induzione

L’energia misurata da un contatore e, quindi, uguale al numero ng di giri del disco, divisoper la sua costante Nc, quest’ultima solitamente espressa in giri/kWh.

Le principali cause di errore nei contatori a induzione sono:• la non-linearita dei circuiti voltmetrico e amperometrico;• la coppia frenante dovuta ai flussi voltmetrico e amperometrico;• la coppia di attrito;• il fattore di potenza del circuito;• la frequenza;• la forma d’onda della tensione e corrente;• la temperatura.

L’errore globale di un contatore, in funzione del carico, a tensione, frequenza e fattoredi potenza costanti, assume l’andamento indicato in Figura 4.20. Per correggere la curvad’errore e avvicinarla, nel miglior modo possibile, all’asse di zero, il contatore, disponedi particolari dispositivi, indicati in Figura 4.21.

L’aggiustamento delle velocita a pieno carico si effettua variando il flusso del magnetefreno che attraversa il disco, per mezzo di un sistema meccanico a vite (a). In alternativa,si puo anche ricorrere ad uno shunt magnetico.

Il dispositivo per la regolazione di fase puo essere previsto sul circuito magnetico dicorrente o sul circuito magnetico di tensione. Il dispositivo di regolazione posto sul cir-cuito magnetico di corrente e costituito da un piccolo avvolgimento, disposto sul nucleodell’avvolgimento amperometrico, chiuso su una resistenza variabile, generalmente, unfilo doppio di nichel-cromo, munito di un cursore (b). In questo avvolgimento si indu-ce una corrente, che tende a modificare la fase del flusso amperometrico risultante. Il



a) Regolazione Velocità Pieno Caricob) Regolazione di Fasec) Regolazione Velocità Piccolo Caricod) Regolazione Velocità Sovraccaricoe) Fermo di Tensione

Figura 4.21: Dispositivi di taratura in un contatore a induzione

dispositivo di regolazione posto sul circuito magnetico di tensione puo essere costituitoda:• un avvolgimento, attraversato da tutto il flusso voltmetrico e funzionante in modo

perfettamente analogo a quello descritto per il circuito di corrente;• lamine metalliche, introdotte in traferri presenti sul circuito magnetico (c).Il dispositivo di regolazione di velocita al piccolo carico e necessario per compensare

la coppia di attrito, che, per basse velocita di rotazione, non e piu trascurabile rispettoalla coppia motrice. Il dispositivo di regolazione produce, in effetti, una piccola coppiamotrice supplementare, facendo reagire col flusso voltmetrico le correnti indotte nel discoda un piccolo flusso voltmetrico, derivato dal principale e sfasato rispetto ad esso, comeillustrato in Figura 4.22.

Il dispositivo per la regolazione di velocita in sovraccarico e necessario, in quantoi moderni contatori sono sovraccaricabili sino a 3 ÷ 4 volte il valore nominale di targa.Esso e, generalmente, costituito da uno shunt magnetico saturabile, derivato sul circuitomagnetico della bobina di corrente e formato da due parti, una fissa ed una mobile (d). Levariazioni della posizione reciproca fra parte fissa e parte mobile regolano l’intensita delflusso derivato e, quindi, la coppia del contatore nella zona di sovraccarico.

Il dispositivo di regolazione di velocita al piccolo carico serve anche per vincere lacoppia d’attrito di primo distacco. Poiche il dispositivo di avviamento agisce sul flussovoltmetrico, anche con carico nullo, e, quindi, il disco si metterebbe in rotazione anche inassenza di energia, i contatori sono muniti di un fermo di tensione, costituito da due sottililinguette sporgenti, una dall’albero del disco e una dal magnete voltmetrico, che, quandovengono a trovarsi a distanza ravvicinata, costituiscono un blocco (e).


Figura 4.22: Compensazione della regolazione di velocita al piccolo carico in uncontatore a induzione

Capitolo 5

Misure Industriali con StrumentiAnalogici

5.1 Generalita

Le misure di tipo industriale sono quelle che si effettuano per il rilievo di grandezze suapparati, macchine ed impianti, al fine di verificarne le condizioni di funzionamento o larispondenza a specifiche tecniche. Le misure di tipo industriale consentono, in genere, in-certezze relativamente piu elevate di quelle che si ammettono nelle misure di laboratorio.Gran parte delle misure sono indirette, in quanto la stima del misurando viene ottenutadalla elaborazione delle indicazioni di due o piu strumenti. Le misure industriali posso-no essere effettuate con strumenti elettromeccanici analogici o con strumenti elettronicianalogici e digitali, con numerose possibili alternative.

Al giorno d’oggi gli strumenti elettromeccanici analogici tendono a essere rimpiazzatida strumenti digitali. Tuttavia, le problematiche legate all’uso degli strumenti analogicisono utili per evidenziare aspetti che, con l’uso di strumenti digitali, si tende a trascurare.Pertanto, conviene fare riferimento a misure effettuate con strumenti elettromeccanici ana-logici, considerando che le argomentazioni e i metodi trattati valgono anche per le misureeffettuate con strumenti digitali, benche alcuni aspetti diventino di secondaria importanza.

5.2 Misure in Corrente Continua

Le misure in corrente continua possono riguardare tensioni, correnti, resistenze e potenze.Le misure di resistenza e potenza sono indirette in quanto ottenute dalla elaborazione delleindicazioni di piu strumenti. Nella misure di tensione, corrente, resistenza e potenza inregime permanente (corrente continua), eseguite utilizzando strumenti magnetoelettrici(Paragrafo 4.4), si presuppone che l’oggetto sottoposto a misura sia lineare (indipendentedal valore delle grandezze in gioco) e non sia polarizzabile (per cui sono escluse misuresu semiconduttori e liquidi).


5. Misure Industriali con Strumenti Analogici

V

I R

r V0VR V

Figura 5.1: Voltmetro magnetoelettrico con resistenza addizionale

5.2.1 Misure di TensionePer la misura di tensioni continue si puo ricorrere all’uso di un voltmetro indicatore di tipomagnetoelettrico (Paragrafo 4.4). Poiche la bobina mobile dello strumento e realizzatacon filo sottile di rame, la cui resistivita e funzione della temperatura, in serie alla bobinaviene sempre montato un resistore a filo (Paragrafo 2.4) di materiale avente coefficiente ditemperatura trascurabile (manganina) e di valore piu elevato di quello della bobina stessa,in modo che il valore di fondo scala venga raggiunto con un ben definito valore di tensione(per esempio 50 mV). La bobina con in serie il resistore in manganina presenta, allora,una resistenza globale r, che prende il nome di resistenza interna dello strumento ed edell’ordine delle decine di ohm.

Se lo strumento deve essere predisposto per misurare tensioni piu elevate di quella de-terminata da r, si pone in serie ad r una ulteriore resistenza R, detta resistenza addizionale,secondo lo schema rappresentato in Figura 5.1. Si puo allora scrivere la relazione

V = V0 + VR = (R + r) I0 =r + R

rV0. (5.1)

La tensione applicata V e legata alla tensione V0 letta dallo strumento dal coefficiente

kV =r + R

r, (5.2)

che e detto potere moltiplicatore della resistenza addizionale.Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso sono, spesso, montate

piu resistenze addizionali in serie commutabili, in modo da poter disporre di piu portate(piu poteri moltiplicatori), come illustrato in Figura 5.2. Normalmente non si superanoper ragioni di sicurezza i 600 V con 3 o 4 portate. Ad ogni portata e associata la costantestrumentale k per la quale si deve moltiplicare la lettura per ottenere la grandezza cercata,data da

k =Portata

Numero di Divisioni(5.3)

e, quindi,VM = kVdiv, (5.4)

dove Vdiv denota la lettura in divisioni dello strumento.


5.2. Misure in Corrente Continua

V

I R1 R2 R3

*

P1

P2 P3

Figura 5.2: Voltmetro magnetoelettrico con diverse portate

I voltmetri magnetoelettrici possono appartenere a classi di precisione anche fino a0.1. Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza tipo che gravasulla misura si ricava direttamente dalla (4.4) e risulta, quindi,

u (VM) =Classe · Portata

100√

3. (5.5)

L’incertezza tipo relativa, ricavata dalla (4.5), e, invece, data da

u (VM) =Classe · Portata

100√

3VM

. (5.6)

Per determinare l’incertezza estesa U (VM), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

V = VM ± U (VM) , (5.7)

dove VM e dato dalla (5.4). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.2.2 Misure di CorrentePer la misura di correnti continue si possono utilizzare strumenti magnetoelettrici (Para-grafo 4.4), ma poiche la corrente che puo essere sopportata dalla bobina mobile e moltopiccola (qualche milliampere), e solitamente necessario ricorrere all’impiego di derivatori(shunt), secondo lo schema di principio di Figura 5.3. La resistenza interna dello strumen-to r e costituita dalla serie della resistenza propria della bobina e di una resistenza a filoin manganina (Paragrafo 2.4), in modo da rendere r il piu possibile indipendente dallatemperatura. Si possono scrivere le relazioni S IS = rI0

I = IS + I0

, (5.8)



IS

I

S r A

I0

Figura 5.3: Amperometro con derivatore (shunt)

da cui si ricavaI =

r + SS

I0. (5.9)

La corrente da misurare I e legata alla corrente I0 che attraversa lo strumento dal coeffi-ciente

kA =r + S

S, (5.10)

detto potere moltiplicatore dello shunt.Con l’artificio descritto, uno stesso strumento puo essere impiegato per misurare cor-

renti da pochi milliampere fino a diverse migliaia di ampere, precisando che esso deveessere tarato assieme ai propri shunt. Per facilitare l’impiego dello strumento, all’inter-no dello stesso shunt sono, spesso, montate piu resistenze in serie commutabili, in mododa poter disporre di piu portate (piu poteri moltiplicatori), come illustrato in Figura 5.4.Ad ogni portata e associata la costante strumentale k, per la quale si deve moltiplicare lalettura per ottenere la grandezza cercata, data da

k =Portata

Numero di Divisioni(5.11)

e, quindi,IM = kIdiv, (5.12)

dove Idiv denota la lettura in divisioni dello strumento.La classe di precisione di un amperometro magnetoelettrico puo essere elevata (classe

0.1 o 0.2). Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza tipo chegrava sulla misura si ricava direttamente dalla (4.4) e risulta, quindi,

u (IM) =Classe · Portata

100√

3. (5.13)


u (IM) =Classe · Portata

100√

3IM

. (5.14)

Per determinare l’incertezza estesa U (IM), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportu-namente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Bisogna porre attenzione agli



I

S3

*

AS2

S1

P1

P2

P3

Figura 5.4: Amperometro magnetoelettrico con derivatore (shunt) a piu portate

effetti delle connessioni tra shunt e strumento, che possono incidere sulla accuratezzadella misura, se la loro resistenza non e trascurabile rispetto a quella interna dello stru-mento (che e solitamente dell’ordine di qualche ohm). In tal caso, la misura risulta affettada errore sistematico (di segno noto, si misura in meno), ma non definito in ampiezza.Di conseguenza, risulta aumentata l’incertezza che grava sulla misura. Il risultato dellamisurazione sara, quindi,

I = IM ± U (IM) , (5.15)

dove IM e dato dalla (5.12). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.2.3 Misure di Resistenza

Uno dei metodi piu semplici per effettuare misure di resistenza e il metodo voltampero-metrico, che prevede l’impiego di due strumenti magnetoelettrici (Paragrafo 4.4), un volt-metro e un amperometro. Si possono realizzare in alternativa i due schemi rappresentatiin Figura 5.5.

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle del-l’amperometro. Risulta immediato constatare che, mentre il voltmetro e alimentato esat-tamente dalla tensione ai capi dell’oggetto RU , del quale si vuole determinare il valore diresistenza, la corrente misurata dall’amperometro e la somma di quella che circola nell’u-tilizzatore e di quella assorbita dal voltmetro (autoconsumo). Nella misura di corrente sicommette, quindi, un errore di tipo sistematico dovuto all’autoconsumo del voltmetro. Sipossono, infatti, scrivere le relazioni VM = VU

IM = IU + IV

. (5.16)



A

V

V UV

I M

R A

R V

A

V

V

I M I U

I V R A

R V

R U

V M

V A

V M

V U R U

Figura 5.5: Misura di resistenza con metodo voltamperometrico

La resistenza incognita RU e data da

RU =VU

IU, (5.17)

mentre, invece, si misura la resistenza RM data da

RM =VU

IM=

VU

IU + IV. (5.18)

Quindi, essendoIU < IM, (5.19)

appare evidente che si commette un errore sistematico di segno negativo (si misura inmeno). L’errore e tanto minore, quanto minore e il valore di IV . In pratica, invece di RU ,si misura il parallelo tra RV (resistenza interna del voltmetro, RV = VU/IV) e RU , per cuiil valore di resistenza incognito risulta

RU =RVRM

RV − RM. (5.20)

Si osservi che, se RV → ∞, si ottiene RU = RM.In modo analogo si puo trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del volt-

metro. Risulta immediato constatare che, mentre l’amperometro e percorso esattamentedalla corrente che fluisce nell’oggetto RU , del quale si vuole determinare il valore di resi-stenza, la tensione ai capi del voltmetro e la somma di quella ai capi dell’utilizzatore e del-la caduta di tensione sull’amperometro (autoconsumo). Nella misura di tensione si com-mette, quindi, un errore di tipo sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro. Sipossono scrivere le relazioni VM = VU + VA

IM = IU

. (5.21)



La resistenza misurata risulta, quindi,

RM =VU

IM=

VU + VA

IU= RU + RA, (5.22)

dove RA = VA/IU e la resistenza interna dell’amperometro. Si osservi che, se RA → 0, siottiene RU = RM. Il valore della resistenza incognita e dato da

RU = RM − RA. (5.23)

L’errore sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro e positivo (si misura inpiu). Esso e tanto minore, quanto piu piccolo e il valore di RA rispetto a quello dellaresistenza da misurare.

La scelta dello schema da utilizzare non e arbitraria e ci si deve orientare verso lo sche-ma con voltmetro a valle per la misura delle resistenze di basso valore (sotto i 10 Ω) e alloschema con amperometro a valle per la misura di resistenze elevate (oltre i 1000 Ω). Nelcampo intermedio, possono essere valide entrambe le alternative. Si osserva, infine, che,se si effettua la misura senza correggere l’errore sistematico, e come se si operasse construmenti di classe inferiore, in quanto l’errore sistematico viene, in pratica, inglobato inquello attribuito al caso, aumentando quindi l’incertezza. In ogni occasione, e necessariovalutare l’opportunita o meno di effettuare la correzione dell’errore sistematico. L’incer-tezza che grava sulla stima della resistenza del misurando deve essere valutata in base alleincertezze tipo relative a tensione e corrente, determinando, quindi, l’incertezza compostacon le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3.

In particolare, assumendo come modello del misurando

RU =VM

IM, (5.24)

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, iltermine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura diresistenza risulta

u (RU) =

√u (VM)2 + u (IM)2, (5.25)

dove u (VM) e u (IM) sono date, rispettivamente, dalla (5.6) e dalla (5.14). L’incertezzatipo assoluta risulta, quindi,

u (RU) = u (RU) RU . (5.26)

Per determinare l’incertezza estesa U (RU), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

R = RU ± U (RU) , (5.27)

dove RU e dato dalla (5.20) o dalla (5.23), a seconda dello schema utilizzato. Per deter-minare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorreseguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.



Rx Rk

I I

VV

VkVx

Figura 5.6: Misura di resistenza con metodo del confronto

Una variante del metodo voltamperometrico, particolarmente adatta per la misura diresistenze di valore ridotto, e il cosiddetto metodo del confronto, basato sullo schemariportato in Figura 5.6. Questo metodo si basa sul confronto tra le cadute di tensione pro-vocate dal resistore incognito Rx e da un resistore campione Rk, dotati di quattro terminali(due di tensione e due di corrente), collegati in serie fra loro attraverso i terminali di cor-rente e facenti capo alla sorgente di alimentazione. Ai terminali di tensione di questi dueresistori sono connessi due voltmetri, che misurano le cadute di tensione Vx e Vk ai capi,rispettivamente, di Rx e Rk. Considerando che le resistenze sono connesse in serie, vale larelazione

Vx

Rx=

Vk

Rk, (5.28)

da cui si ricavaRx =

Vx

VkRk. (5.29)

Un resistore variabile viene generalmente inserito nel circuito in serie alla sorgente dialimentazione: esso funge da regolatore della corrente che circola attraverso Rx e Rk, datoche si tratta, in genere, di resistenze molto basse. Compatibilmente con l’esigenza di nonprovocare un riscaldamento di questi due resistori, la corrente deve essere mantenuta alvalore piu elevato possibile, poiche in tal modo sono maggiori le cadute di tensione suRx e Rk, che, come si e visto, sono le grandezze che vengono valutate dai voltmetri. Sinoti che Vx e Vk e, quindi, la misura di resistenza risultano, in prima approssimazione,indipendenti dalle resistenze di contatto, in quanto attraverso i terminali di tensione diRx e Rk fluiscono correnti estremamente ridotte (molto minori della corrente I che fluisceattraverso i terminali di corrente).

L’incertezza tipo relativa sulla misura di resistenza risulta

u (Rx) =

√u (Vx)2 + u (Vk)2 + u (Rk)2, (5.30)

dove u (Vx) e u (Vk) sono date dalla (5.6), mentre u (Rk) e l’incertezza tipo relativa della re-sistenza campione. L’accuratezza di Rk viene, normalmente, espressa in termine di classe



di precisione (data in percentuale) con distribuzione rettangolare. Pertanto, l’incertezzatipo di Rk e data da

u (Rk) =Classe

100√

3. (5.31)

L’incertezza tipo assoluta sulla misura di resistenza risulta, quindi,

u (Rx) = u (Rx) Rx. (5.32)

Per determinare l’incertezza estesa U (Rx), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

R = Rx ± U (Rx) , (5.33)

dove Rx e dato dalla (5.29). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.2.4 Misure di PotenzaUno dei metodi piu comuni per effettuare misure di potenza in circuiti in corrente continuaprevede l’impiego di un voltmetro e di un amperometro magnetoelettrici (Paragrafo 4.4).Si possono realizzare in alternativa i due schemi rappresentati in Figura 5.5.

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle del-l’amperometro. La potenza da misurare e data da

PU = VU IU . (5.34)

Considerando che valgono la (5.16) e la (5.34), la potenza misurata risulta

PM = VU IM = VU (IU + IV) = PU +V2

U

RV, (5.35)

nella quale RV denota la resistenza interna del voltmetro. Appare evidente che l’erroresistematico e positivo (si misura in piu) ed e tanto minore, quanto piu elevato e il valoredi RV (il voltmetro ideale e quello con RV → ∞). L’errore sistematico puo essere corretto,se e nota RV , tramite la relazione

PU = PM −V2

U

RV. (5.36)

In modo analogo, si puo trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del volt-metro. Considerando che valgono la (5.21) e la (5.34), la potenza misurata e data da

PM = VMIU = (VU + VA) IU = PU + I2URA, (5.37)

nella quale RA denota la resistenza interna dell’amperometro. L’errore sistematico che sicommette e positivo (si misura in piu) ed e tanto minore, quanto piu piccolo e il valore



di RA (l’amperometro ideale e quello con RA → 0). Il valore della potenza misurata puoessere corretto, se e nota RA, tramite la relazione

PU = PM − I2URA. (5.38)

L’incertezza che grava sulla stima della potenza deve essere valutata in base alle in-certezze tipo relative a tensione e corrente, determinando, quindi, l’incertezza compostacon le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3.

In particolare, assumendo come modello del misurando

PU = VMIM, (5.39)

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, iltermine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura dipotenza risulta

u (PU) =

√u (VM)2 + u (IM)2, (5.40)


u (PU) = u (PU) PU . (5.41)

Per determinare l’incertezza estesa U (PU), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

P = PU ± U (PU) , (5.42)

dove PU e dato dalla (5.36) o dalla (5.38), a seconda dello schema utilizzato. Per deter-minare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorreseguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.3 Misure di Tensione in Corrente AlternataDi una tensione alternata presentano significato tre valori: il valore efficace, il valoremedio sul semiperiodo e il valore di cresta (o valore massimo), la cui importanza varia aseconda del fenomeno in esame. I rapporti tra i tre valori citati, se la forma d’onda dellatensione e sinusoidale, assumono valori costanti e definiti. Infatti, valgono le relazioni

VC =√

2V e Vm =2√

2π

V, (5.43)

essendo• V il valore efficace;• VC il valore di cresta o valore massimo, V/VC = 1/

√2 0.707 e detto fattore di

cresta;• Vm il valore medio sul semiperiodo, V/Vm = π/

(2√

2) 1.11 e detto fattore di

forma.


5.3. Misure di Tensione in Corrente Alternata

Vi Vu

V

Tensione

Tempo

Vi

Vu

Figura 5.7: Voltmetro sensibile al valore medio sul semiperiodo di una tensionealternata

Per misurare il valore efficace di tensioni alternate (sinusoidali o meno) si puo ricorre-re a strumenti indicatori di tipo elettromagnetico (Paragrafo 4.5). Analogamente a quantoesposto per le misure in corrente continua (Paragrafo 5.2.1), alla parte fondamentale dellostrumento vengono aggiunte resistenze addizionali per ottenere piu portate (e quindi piucostanti). Lo schema che si impiega e lo stesso di Figura 5.2. Le portate tipiche varianoda alcune decine ad alcune centinaia di volt. Per misurare tensioni piu elevate si puo ri-correre alla interposizione di un TVI o di un TVC (descritti nel Capitolo 9). Le tipicheclassi di precisione sono 0.2 e 0.5.

Per misurare il valore medio sul semiperiodo di tensioni alternate (il valore medio diuna grandezza alternata esteso ad un intero periodo e nullo per definizione), si puo ricor-rere all’uso di uno strumento magnetoelettrico (Paragrafo 4.4), preceduto da un raddrizza-tore. Lo schema di principio e illustrato in Figura 5.7. Per effetto del raddrizzatore, nellabobina mobile dello strumento magnetoelettrico fluisce una corrente unidirezionale perio-dica, per cui, se la pulsazione di risonanza dell’equipaggio mobile ω0, definita dalla (4.7),e notevolmente piu bassa della pulsazione della tensione da misurare (ω = 2π f ), la devia-zione dell’indice risulta proporzionale al valore medio sul semiperiodo della tensione iningresso (Vm). Infatti,

Vm =2T

∫ T/2

0VC sin (ωt) dt, (5.44)

dove VC e il valore di cresta della tensione, T = 2π/ω il periodo e t il tempo. Sugli stru-menti concepiti per misurare il valore medio sul semiperiodo della tensione, la scala e disolito tracciata tenendo conto del fattore di forma π/

(2√

2)

relativo ad un’onda sinusoi-dale, in modo che la lettura dello strumento corrisponda al valore efficace della tensionesinusoidale che ha valore medio sul semiperiodo uguale a quello della tensione misura-ta (taratura in valore efficace). La presenza dei raddrizzatori fa sı che questi strumentiabbiano classe di precisione non migliore di 0.5.



Vi VuIi = Id

Vd

C V

Figura 5.8: Voltmetro sensibile al valore di cresta di una tensione alternata

Il valore di cresta di una tensione alternata puo essere misurato, sotto certe condizio-ni, ancora con uno strumento magnetoelettrico (Paragrafo 4.4), utilizzando lo schema diFigura 5.8. Un condensatore, connesso alla tensione di ingresso Vi attraverso un diodo,tende a caricarsi al valore di cresta di Vi (a meno della caduta di tensione Vd dul dio-do). Considerando la resistenza interna R dello strumento magnetoelettrico e la capacitaC del condensatore, se il prodotto RC risulta notevolmente superiore alla durata del pe-riodo T = 1/ f = 2π/ω di Vi, il condensatore si scarica poco durante il tempo in cui latensione non e al valore di cresta. Di conseguenza, l’indicazione dello strumento risultapraticamente proporzionale al valore di cresta stesso.

Per la determinazione dell’incertezza tipo che grava su una misura di tensione in cor-rente alternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, valgono la (5.5) e la(5.6). Per determinare l’incertezza estesa U (VM), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo op-portunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

V = VM ± U (VM) . (5.45)

Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.4 Misure di Corrente in Corrente Alternata

Per la misura delle correnti alternate e, in generale, richiesto il valore efficace I, per cui sipuo ricorrere all’impiego di strumenti elettromagnetici (Paragrafo 4.5). Negli amperome-tri elettromagnetici, la bobina viene realizzata con poche spire di sezione relativamenteelevata. Molte volte la bobina e suddivisa in due parti uguali che possono essere collegatein serie o in parallelo, per ottenere cosı uno strumento con due portate, come schema-ticamente indicato in Figura 5.9. Gli amperometri elettromagnetici hanno normalmenteportate non superiori a 10 A. Per misurare correnti piu elevate si puo ricorrere alla inter-posizione di un TA (descritto nel Capitolo 9), in quanto l’uso di shunt non e possibile perla presenza di parametri non puramente ohmici. Per misure di laboratorio fino a 500 Hz,sono abbastanza diffusi amperometri elettromagnetici in classe 0.2 e 0.5.

Per la determinazione dell’incertezza tipo che grava su una misura di corrente in cor-rente alternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, valgono la (5.13)


5.5. Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale

I

I

I

IConnessione in Serie Connessione in Parallelo

I I

I/2

I/2

Figura 5.9: Amperometro elettromagnetico con due portate

e la (5.14). Per determinare l’incertezza estesa U (IM), si ricorre poi alla (1.49), sce-gliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato dellamisurazione sara, quindi,

I = IM ± U (IM) . (5.46)


5.5 Misure di Potenza in Sistemi Monofase in RegimeSinusoidale

In un circuito monofase in regime sinusoidale, la potenza istantanea (p) e uguale alprodotto dei valori istantanei di tensione (v) e corrente (i),

p = vi = VC sin (ωt) IC sin (ωt + ϕ) , (5.47)

nella quale VC e IC sono i valori di cresta delle grandezze in gioco, ω la pulsazione, ϕl’angolo di sfasamento esistente tra le due grandezze (ritardo della corrente sulla tensione)e t il tempo. Sviluppando il prodotto, si ottiene la relazione

p = VI cos (ϕ) + VI sin (2ωt + ϕ) , (5.48)

nella quale V e I rappresentano, rispettivamente, i valori efficaci di tensione e corrente.Dalla (5.48) si rileva che la potenza istantanea e formata da un termine costante

VI cos (ϕ) e da un termine sinusoidale con pulsazione doppia VI sin (2ωt + ϕ). La po-tenza attiva P e, per definizione, il valore medio di p sul periodo, ovvero il primo terminedella (5.48), in quanto il secondo termine ha valore medio sul periodo nullo. Risulta,pertanto,

P = VI cos (ϕ) . (5.49)

Gli andamenti nel tempo della potenza istantanea e della potenza media sono rappresentatiFigura 5.10.



Ten

sion

e, C

orre

nte,

Pot

enza

Tempo

vi p

P

Tv = Ti = 2 Tp

Figura 5.10: Andamenti della potenza istantanea e della potenza media in funzione deltempo

5.5.1 Misure di Potenza Attiva

Lo strumento analogico classico per la misura della potenza attiva e il wattmetro elet-trodinamico, che fornisce una indicazione proporzionale al valore medio della potenzaistantanea (Paragrafo 4.6). Alla bobina fissa viene inviata la corrente (amperometrica),mentre la bobina mobile e sottoposta alla tensione (voltmetrica). La Figura 5.11 illustrale due possibili inserzioni. I wattmetri da laboratorio hanno solitamente la bobina am-perometrica realizzata con poche spire di sezione relativamente elevata, suddivisa in dueparti uguali, che possono essere messe in serie o parallelo (due portate amperometriche).La bobina voltmetrica e invece costituita da molte spire di sezione ridotta, associate alla

V

IU

RV

W

U VU

RA

V

IU

RV

W

U VU

RA

I I

Figura 5.11: Possibili inserzioni del wattmetro per misure di potenza attiva in sistemimonofase



quale vi sono piu resistenze addizionali (piu portate voltmetriche). Ad ogni combinazio-ne tra le portate amperometrica e voltmetrica corrisponde una portata wattmetrica, datadal prodotto tra la portata amperometrica e la portata voltmetrica. La costante (k) dellostrumento e determinata dal rapporto tra la portata wattmetrica e il numero delle divisionidella scala

k =Portata

Numero di Divisioni. (5.50)

La potenza attiva misurata e, quindi, data da

PM = kPdiv, (5.51)

dove Pdiv denota la lettura in divisioni dello strumento.La misura effettuata con il wattmetro e affetta da errore sistematico, la cui entita dipen-

de dall’autoconsumo dello strumento e il cui segno e sempre positivo (si misura semprein piu). Con riferimento alla Figura 5.11, nel caso in cui la voltmetrica e derivata a valledell’amperometrica, si puo osservare, in analogia con quanto esposto a proposito dellemisure in corrente continua (Paragrafo 5.2.4), che la tensione applicata allo strumentoe esattamente quella esistente ai morsetti dell’utilizzatore, mentre la corrente che flui-sce nello strumento comprende anche la quota parte assorbita dalla bobina voltmetrica.Il wattmetro misura, quindi, una potenza (PM) piu grande di quella realmente assorbitadall’utilizzatore (PU), secondo la relazione

PM = PU +V2

U

RV, (5.52)

con un errore sistematico relativo dato da

ε% = 100V2

U/RV

PU. (5.53)

Il valore di PU si puo trovare immediatamente, se e noto il valore di RV (correzionedell’errore sistematico), utilizzando la relazione

PU = PM −V2

U

RV. (5.54)

Analogamente, si puo trattare lo schema che prevede l’amperometrica inserita a valledella voltmetrica. Anche in questo caso il wattmetro misura in piu, secondo la relazione

PM = PU + I2URA, (5.55)

con un errore sistematico relativo dato da

ε% = 100I2URA

PU. (5.56)

L’errore sistematico puo essere corretto, se si conosce il valore di RA, utilizzando larelazione

PU = PM − I2URA. (5.57)



V

I

ϕIV

θ

Figura 5.12: Diagramma vettoriale relativo a misure di potenza attiva in sistemimonofase

Si noti che, a differenza di RV , la resistenza RA non e indipendente dalla temperatura,in quanto la bobina amperometrica e realizzata in rame. Si deve, infine, osservare chela (5.54) e la (5.57) sono sempre valide anche quando, ad esempio, nel circuito sono ingioco potenze reattive.

Un’altra causa di errore sistematico, che e pero di difficile valutazione, e dovuta alfatto che il circuito voltmetrico non e puramente resistivo (prevale in genere l’effetto in-duttivo della bobina voltmetrica), per cui la corrente nello stesso non e perfettamente infase con la tensione. Un altro parametro, che puo portare a errori dello stesso tipo, e lamutua induttanza esistente tra le due bobine. Anche se nella costruzione degli strumenti sifa in modo di ridurre al minimo queste sorgenti di errore, si deve considerare, in linea ge-nerale, la situazione rappresentata dal diagramma vettoriale di Figura 5.12. Prescindendodagli autoconsumi, la potenza misurata risulta

PM = VI cos (ϕ − θ) , (5.58)

essendo θ l’angolo tra la tensione applicata alla voltmetrica e la relativa corrente. Svilup-pando, si ottiene

PM = VI cos (ϕ) cos (θ) + VI sin (ϕ) sin (θ) . (5.59)

Essendo l’angolo θ molto piccolo, si puo assumere cos (θ) = 1, per cui, semplificando, siricava

PM = VI cos (ϕ) + VI sin (ϕ) sin (θ) = PU[1 + tan (ϕ) sin (θ)

]. (5.60)

L’errore sistematico percentuale risulta, quindi,

ε% = 100PM − PU

PU= 100 tan (ϕ) sin (θ) . (5.61)



L’errore sistematico che si commette non dipende solo dallo strumento ma anche dallecaratteristiche del circuito (sarebbe nullo per ϕ = 0 e infinito per ϕ = 90). Risulta,pertanto, che le misure a basso fattore di potenza possono risultare critiche per quantoriguarda l’accuratezza raggiungibile. Ad esempio, per cos(ϕ) = 0.05 si ha

tan (ϕ) 1

cos (ϕ)= 20. (5.62)

Se l’errore proprio di fase θ del wattmetro fosse pari a 0.002 rad (0.2 crad), l’errore si-stematico sulla misura di potenza sarebbe pari al 4% (di valore positivo se il misurandoe induttivo, negativo se e capacitivo). Poiche il valore di θ non e noto e non e neppurecostante, e impossibile procedere alla correzione dei risultati, per cui il problema finisceper ricadere nella valutazione dell’incertezza da associare al risultato della misurazione.

Si deve anche rilevare che per bassi valori di cos (ϕ), la deviazione dell’indice dellostrumento, date le portate voltmetrica e amperometrica, risulta molto ridotta, per cui l’er-rore relativo dello strumento, ε, dato dalla (4.3), risulta elevato. Assumendo di avere valo-ri di tensione e corrente pari, rispettivamente, alle portate voltmentrica e amperometrica,risulta

ε =Classe

100 cos (ϕ). (5.63)

Per ovviare a questo inconveniente, si puo ricorrere all’uso di wattmetri per basso cos (ϕ),che sono strumenti piu pregiati, nei quali la coppia antagonista e ridotta, in modo chela portata wattmetrica dello strumento sia pure ridotta, mantenendo inalterate le portatevoltmetrica e amperometrica. Ad esempio, un wattmetro per cos (ϕ) = 0.2 si porta afondo scala con una potenza attiva pari a 1/5 di quella corrispondente al prodotto VI,essendo V la portata voltmetrica e I quella amperometrica. La portata wattmetrica di unwattmetro per un dato cos (ϕ) risulta, quindi, VI cos (ϕ). Il valore di cos (ϕ), se diverso da1, e normalmente indicato sullo strumento.

I wattmetri elettrodinamici possono appartenere a classi di precisione anche fino a0.1. Date la classe di precisione dello strumento e la portata, trascurando, in quantopraticamente ininuente, il termine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipoche grava sulla misura si ricava direttamente dalla (4.4) e risulta, quindi,

u (PU) = u (PM) =Classe · Portata

100√

3. (5.64)


u (PU) = u (PM) =Classe · Portata

100√

3PU

. (5.65)

Per determinare l’incertezza estesa U (PU), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

P = PU ± U (PU) , (5.66)



V

var

U

I

V

var

U

I

Figura 5.13: Schema di inserzione di un varmetro monofase

A

V

VUV RA

RV

RA,WRV,W

A W

V

V

W

I

VM

U

IM IM

VM

UVU

U IU

Figura 5.14: Schemi per la misura della potenza reattiva in sistemi monofase in regimesinusoidale

dove PU e dato dalla (5.54) o dalla (5.57), a seconda dello schema di inserzione utilizzato.Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.5.2 Misure di Potenza ReattivaQuando le grandezze sono sinusoidali, la determinazione della potenza reattiva potrebbeessere, in linea di principio, effettuata ricorrendo ad un varmetro (Paragrafo 4.6), inseritosecondo uno degli schemi illustrati in Figura 5.13. Tuttavia, gli artifici circuitali utilizzatiper realizzare un varmetro di questo tipo garantiscono una misura corretta solo per unaben determinata frequenza.

Pertanto, generalmente, la determinazione della potenza reattiva Q viene effettuataper via indiretta, utilizzando uno degli schemi indicati in Figura 5.14, ed elaborando leindicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro (sono quindi necessari tre strumenti).Con entrambi gli schemi, la potenza reattiva risulta data da

QU =

√(VMIM)2

− P2M, (5.67)



A

V

VUV RA

A

V

V

I

VM

U

IM IM

VM

UVU

U IU

Figura 5.15: Schemi per la misura della potenza apparente in sistemi monofase inregime sinusoidale

dove PM e la potenza attiva fornita dal wattmetro, mentre VM e IM sono, rispettivamen-te, la tensione misurata dal voltmetro e la corrente misurata dall’amperometro. Questamisurazione non e affetta da errori sistematici dovuti agli autoconsumi, in quanto essicontribuiscono solo alla potenza attiva.

L’incertezza che grava sulla misura della potenza reattiva deve essere valutata inbase alle incertezze tipo relative a tensione, corrente e potenza, determinando, quindi,l’incertezza composta con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3.

In particolare, assumendo come modello del misurando la (5.67) l’incertezza tipoassoluta sulla misura di potenza reattiva risulta

u (QU) =

√P2

Mu (PM)2

V2MI2

M − P2M

+I4

MV2Mu (VM)2

V2MI2

M − P2M

+V4

MI2Mu (IM)2

V2MI2

M − P2M

, (5.68)

dove u (VM), u (IM) e u (PM) sono date, rispettivamente, dalla (5.5), dalla (5.13) e dalla(5.64). Per determinare l’incertezza estesa U (QU), si ricorre poi alla (1.49), sceglien-do opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato dellamisurazione sara, quindi,

Q = QU ± U (QU) . (5.69)


5.5.3 Misure di Potenza ApparentePoiche non esiste uno strumento analogico capace di fornire direttamente la potenza ap-parente S , occorre utilizzare uno degli schemi indicati in Figura 5.15. La grandezza damisurare viene ottenuta dal prodotto delle indicazioni di voltmetro (VM) e amperometro(IM),

S M = VMIM. (5.70)



In linea di principio, questa misurazione e affetta da errore sistematico. In molti casi,tuttavia, l’errore sistematico non viene corretto, in quanto la potenza apparente presentaimportanza notevolmente ridotta rispetto alla potenza attiva.

Per poter correggere l’errore sistematico nella misura di potenza apparente, occorreconoscere l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente dell’oggetto sotto misura, ovvero,occorre misurare anche la potenza attiva e la potenza reattiva, ricorrendo a uno deglischemi indicati in Figura 5.14. La potenza attiva corretta, in questo caso, a seconda delloschema di inserzione utilizzato, e data da

PU = PM −V2

U

RV−

V2U

RV,W, (5.71)

dove RV e RV,W sono, rispettivamente, le resistenze interne del voltmetro e delle voltme-triche del wattmetro, oppure

PU = PM − I2URA − I2

URA,W , (5.72)

dove RA e RA,W sono, rispettivamente, le resistenze interne dell’amperometro e delleamperometriche del wattmetro. La potenza apparente corretta e, quindi, data da

S U =

√P2

U + Q2U , (5.73)

dove QU e la potenza reattiva data dalla (5.67). Nel caso in cui si utilizzi l’inserzionecon le voltmetriche del wattmetro e il voltmetro inseriti a valle dell’amperometro e delleamperometriche del wattmetro, la tensione misurata e effettivamente la tensione ai capidell’utilizzatore (VU = VM), mentre la corrente che fluisce nell’utilizzatore e data da

IU =S U

VM, (5.74)

dove S U e data dalla (5.73). Invece, nel caso in cui si utilizzi l’inserzione con le volt-metriche del wattmetro e il voltmetro inseriti a monte dell’amperometro e delle ampe-rometriche del wattmetro, la corrente misurata e effettivamente la corrente che fluiscenell’utilizzatore (IU = IM), mentre la tensione ai capi dell’utilizzatore e data da

VU =S U

IM, (5.75)

dove S U e ancora data dalla (5.73).L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente deve essere valutata come

incertezza composta con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3. In particolare, assumendocome modello del misurando

S U = VMIM, (5.76)

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, iltermine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura dipotenza apparente risulta

u (S U) =

√u (VM)2 + u (IM)2, (5.77)




u (S U) = u (S U) S U . (5.78)Per determinare l’incertezza estesa U (S U), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

S = S U ± U (S U) , (5.79)dove S U e dato dalla (5.73). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.5.4 Misure di Fattore di PotenzaPer la misura del fattore di potenza, occorre utilizzare uno degli schemi di Figura 5.14,utilizzando le indicazioni di wattmetro (PM), amperometro (IM) e voltmetro (VM). Inquesto caso, il fattore di potenza e dato da

cos (ϕM) =PM

S M=

PM

VMIM. (5.80)

Questa misura e affetta da errore sistematico, per via degli autoconsumi degli strumenti.Il fattore di potenza corretto, utilizzando la (5.73) e la (5.71) o la (5.72), a seconda delloschema di inserzione utilizzato, risulta dato da

cos (ϕU) =PU

S U. (5.81)

L’incertezza che grava sulla misura di fattore di potenza deve essere valutata comeincertezza composta con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3. In particolare, assumendocome modello del misurando

cos (ϕU) =PM

VMIM, (5.82)

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, iltermine di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa sulla misura difattore di potenza risulta

u[cos (ϕU)

]=

√u (VM)2 + u (IM)2 + u (PM)2, (5.83)

dove u (VM), u (IM) e u (PM) sono date, rispettivamente, dalla (5.6), dalla (5.14) e dalla(5.65). L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,

u[cos (ϕU)

]= u

[cos (ϕU)

]cos (ϕU) . (5.84)

Per determinare l’incertezza estesa U[cos (ϕU)

], si ricorre poi alla (1.49), scegliendo op-

portunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

cos (ϕ) = cos (ϕU) ± U[cos (ϕU)

], (5.85)

dove cos (ϕU) e dato dalla (5.81). Per determinare il numero di cifre significative da utiliz-zare nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.



5.5.5 Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della CorrenteLe misure di potenza, soprattutto in ambito industriale, vengono spesso richieste in fun-zione della tensione (piu frequentemente) o della corrente (piu raramente), ovvero, si ri-chiede di misurare le potenze (attiva, reattiva e apparente) assorbite da un utilizzatore perun certo valore di tensione o di corrente. In questo caso, la misura puo essere comunqueeffettuata utilizzando uno degli schemi di inserzione riportati in Figura 5.14, ma i risultatidevono poi essere riportati al valore di tensione (VR) o di corrente (IR) di riferimento.

Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la tensione, i valori della potenza attiva,apparente e reattiva, riportati alla tensione VR, sono, rispettivamente, dati da

PR = PUV2

R

V2U

, (5.86)

S R = S UV2

R

V2U

, (5.87)

QR = QUV2

R

V2U

, (5.88)

dove VU e la tensione misurata dal voltmetro oppure la tensione corretta, data dalla (5.75),a seconda dello schema di inserzione utilizzato, PU e la potenza attiva corretta, data dalla(5.71) o dalla (5.72), a seconda dello schema di inserzione utilizzato, S U e la potenza ap-parente corretta, data dalla (5.73) e QU e la potenza reattiva, data dalla (5.67). Utilizzandole regole indicate nel Paragrafo 1.5.3 e assumendo come modelli del misurandi

PR = PMV2

R

V2M

, (5.89)

S R = S MV2

R

V2M

, (5.90)

QR = QUV2

R

V2M

, (5.91)

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, i ter-mini di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa che grava sulle misuredi potenza attiva e apparente risulta, rispettivamente,

u (PR) =

√u (PM)2 + 4u (VM)2, (5.92)

u (S R) =

√u (VM)2 + u (IM)2, (5.93)

dove u (VM), u (IM) e u (PM) sono date dalla (5.6), dalla (5.14) e dalla (5.65). L’incertezzatipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente risulta, quindi, rispettivamente,pari a

u (PR) = u (PR) PR, (5.94)



u (S R) = u (S R) S R, (5.95)

mentre l’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva e data da

u (QR) =

√√√√√P2

MV8Ru (PM)2

V8MQ2

R

+I2

MV8Ru (IM)2

V4MQ2

R

+

(4P2

MV4R

V5M−

2I2MV4

RV3

M

)2u (VM)2

4Q2R

, (5.96)

dove u (VM), u (IM) e u (PM) sono date dalla (5.5), dalla (5.13) e dalla (5.64). Per determi-nare le incertezze estese U (PR), U (S R) e U (QR), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo op-portunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

P = PR ± U (PR) , (5.97)

S = S R ± U (S R) , (5.98)

Q = QR ± U (QR) , (5.99)

dove PR, S R e QR sono dati, rispettivamente, dalla (5.86), dalla (5.87) e dalla (5.88). Perdeterminare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la corrente, i valori della potenza attiva,apparente e reattiva, riportati alla corrente IR, sono, rispettivamente, dati da

PR = PUI2R

I2U

, (5.100)

S R = S UI2R

I2U

, (5.101)

QR = QUI2R

I2U

, (5.102)

dove IU e la corrente misurata dall’amperometro oppure la corrente corretta, data dalla(5.74), a seconda dello schema di inserzione utilizzato, PU e la potenza attiva corretta,data dalla (5.71) o dalla (5.72), a seconda dello schema di inserzione utilizzato, S U ela potenza apparente corretta, data dalla (5.73) e QU e la potenza reattiva, data dalla(5.67). Utilizzando le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3 e assumendo come modelli delmisurandi

PR = PMI2R

I2M

, (5.103)

S R = S MI2R

I2M

, (5.104)

QR = QUI2R

I2M

, (5.105)



ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, i ter-mini di correzione dell’errore sistematico, l’incertezza tipo relativa che grava sulle misuredi potenza attiva e apparente risulta, rispettivamente,

u (PR) =

√u (PM)2 + 4u (IM)2, (5.106)

u (S R) =

√u (VM)2 + u (IM)2, (5.107)

dove u (VM), u (IM) e u (PM) sono date dalla (5.6), dalla (5.14) e dalla (5.65). L’incertezzatipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente risulta, quindi, rispettivamente,pari a

u (PR) = u (PR) PR, (5.108)

u (S R) = u (S R) S R, (5.109)

mentre l’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva e data da

u (QR) =

√√√√√P2

MI8Ru (PM)2

I8MQ2

R

+V2

MI8Ru (VM)2

I4MQ2

R

+

(4P2

M I4R

I5M−

2V2M I4

RI3M

)2u (IM)2

4Q2R

, (5.110)

dove u (VM), u (IM) e u (PM) sono date dalla (5.5), dalla (5.13) e dalla (5.64). Per determi-nare le incertezze estese U (PR), U (S R) e U (QR), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo op-portunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

P = PR ± U (PR) , (5.111)

S = S R ± U (S R) , (5.112)

Q = QR ± U (QR) . (5.113)

dove PR, S R e QR sono dati, rispettivamente, dalla (5.100), dalla (5.101) e dalla (5.102).Per determinare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.6 Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Si-nusoidale

Per trattare le misure di potenza in sistemi polifase, conviene, per semplicita, fare rife-rimento a sistemi trifase, che peraltro sono i piu diffusi, per poi generalizzare i risultatiottenuti, estendendoli a sistemi aventi un numero di fasi qualunque. In un sistema trifase,l’oggetto sotto misura puo essere collegato a triangolo o a stella, oppure essere costituitoda piu carichi misti in parallelo (anche monofase), mentre il sistema di alimentazione puoessere a tre o quattro fili.


5.6. Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale

I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

N

O

Figura 5.16: Misura di potenza attiva in un sistema trifase a quattro fili

5.6.1 Misure di Potenza AttivaUn sistema trifase e a quattro fili quando si e in presenza di neutro attivo, come illustratoin Figura 5.16. In questo caso, la potenza attiva si ottiene come somma delle potenzerelative a ciascuna delle fasi. Dette E1, E2 ed E3 le tensioni di fase e I1, I2 e I3 le correntidi linea, sfasate rispetto alle tensioni di fase degli angoli ϕ1, ϕ2 e ϕ3, la potenza attiva edata da

P = E1I1 cos (ϕ1) + E2I2 cos (ϕ2) + E3I3 cos (ϕ3) . (5.114)

Per i sistemi trifase a tre fili con collegamento a stella, la potenza attiva si ottienesempre come somma delle potenze relative a ciascuna delle fasi, come indicato per isistemi a quattro fili, utilizzando la (5.114). Per i sistemi trifase a tre fili con collegamentoa triangolo, invece, la potenza attiva e data da

P = V1I1 cos (ϕ1) + V2I2 cos (ϕ2) + V3I3 cos (ϕ3) , (5.115)

dove V1, V2 e V3 sono le tensioni concatenate e I1, I2 e I3 le correnti di fase, sfasate rispettoalle tensioni concatenate degli angoli ϕ1, ϕ2 e ϕ3.

Si vuole ora dimostrare che la potenza attiva nei sistemi trifase a tre fili puo esseremisurata con solo due wattmetri. Per semplicita, si fa riferimento ad un circuito collegato



I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

O

(a)

I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

O

(b)

O´

Figura 5.17: Misura di potenza attiva in un sistema trifase a tre fili

a stella, anche se la dimostrazione e i risultati hanno validita generale. Se si modificalo schema di Figura 5.17a in quello di Figura 5.17b, separando cioe il centro stella dellevoltmetriche da quello del carico, si ha, in generale, che i due centri stella non coinci-dono elettricamente. Cio puo essere dovuto a dissimmetrie nelle impedenze a valle dellasezione di misura o nelle resistenze addizionali dei wattmetri. Facendo riferimento al dia-gramma vettoriale di Figura 5.18, la somma delle indicazioni dei tre wattmetri puo esserescritta come

P =(~E1 − ~H

)· ~I1 +

(~E2 − ~H

)· ~I2 +

(~E3 − ~H

)· ~I3, (5.116)

avendo indicato con ~H il vettore di tensione esistente tra i due centri stella. Sviluppandosi ottiene

P = ~E1 · ~I1 + ~E2 · ~I2 + ~E3 · ~I3 − ~H ·(~I1 + ~I2 + ~I3

). (5.117)

Essendo il sistema a tre fili, la somma vettoriale delle correnti e per definizione nulla,ovvero

~I1 + ~I2 + ~I3 = 0, (5.118)

per cui la potenza misurata coincide con quella assorbita dal carico, data dalla (5.114).A questo punto, e possibile collegare il centro stella delle voltmetriche dei tre watt-

metri ad una delle fasi, per esempio la fase 3. La tensione applicata alle voltmentriche



O

1

23V23

V31 V12E1

E3

E2

O´

HI1

ϕ1

I2 ϕ2

I3

ϕ3

E3´

E1´

E2´

Figura 5.18: Diagramma vettoriale relativo all’inserzione di Aron per la misura dellapotenza attiva in un sistema trifase a tre fili

del wattmetro W3, quindi, diverra nulla, mentre alle voltmetriche dei wattmetri W1 e W2

sara applicata la tensione concatenata, invece della tensione di fase. Si otterra, allora, loschema di Figura 5.19, che prende il nome di inserzione di Aron. In questo caso, si puoscrivere

P =(~E1 − ~E3

)· ~I1 +

(~E2 − ~E3

)· ~I2 +

(~E3 − ~E3

)· ~I3. (5.119)

L’ultimo termine della (5.119) e evidentemente nullo e, pertanto, si ottiene

P = ~E1 · ~I1 + ~E2 · ~I2 + ~E3 ·(−~I1 − ~I2

), (5.120)

che, essendo~I3 = −~I1 − ~I2, (5.121)

diventaP = ~E1 · ~I1 + ~E2 · ~I2 + ~E3 · ~I3, (5.122)

ovvero,P = P1 + P2, (5.123)

dove P1 e P2 sono rispettivamente le letture dei wattmetri W1 e W2, come volevasi dimo-strare.

Da quanto sopra esposto deriva un importante conclusione di validita generale: lapotenza attiva in un circuito ad N fili puo essere misurata con N − 1 wattmetri. Questaconclusione e valida per qualsiasi sistema polifase (incluso il monofase che ha due fili eper il quale la misura di potenza si effettua con un wattmetro), anche se non simmetriconelle tensioni e non equilibrato nelle correnti.

La misura effettuata con l’inserzione di Aron puo comportare che un wattmetro for-nisca indicazione negativa, per cui essa deve essere sottratta dall’indicazione dell’altro



I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3 Z33

O

Figura 5.19: Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase atre fili

wattmetro. Infatti, per un sistema simmetrico ed equilibrato, facendo riferimento aldiagramma vettoriale di Figura 5.18, si puo scrivere

P1 = V31I1 cos (ϕ1 − 30) = VI cos (ϕ − 30)P2 = V32I2 cos (ϕ2 + 30) = VI cos (ϕ + 30) . (5.124)

Sviluppando, si ottieneP1 = VI cos (ϕ) cos (30) + VI sin (ϕ) sin (30)P2 = VI cos (ϕ) cos (30) − VI sin (ϕ) sin (30) . (5.125)

Imponendo P2 = 0, si ricava

tan (ϕ) =1

tan (30)=√

3, (5.126)

e, quindi, si ottiene cos (ϕ) = 0.5. Utilizzando la (5.125), per un sistema simmetrico edequilibrato e possibile ricavare cos (ϕ) da P1 e P2. Infatti, dividendo membro a membrola (5.125), si ottiene

P1

P2=

cos (ϕ) cos (30) + sin (ϕ) sin (30)cos (ϕ) cos (30) − sin (ϕ) sin (30)

, (5.127)

ovvero,cos (ϕ) cos (30) (P1 − P2) = sin (ϕ) sin (30) (P1 + P2) , (5.128)



da cuitan (ϕ) =

√3

P1 − P2

P1 + P2, (5.129)

e, quindi,

cos (ϕ) = cos[arctan

(√

3P1 − P2

P1 + P2

)]. (5.130)

In un sistema polifase, quindi, la potenza attiva assorbita dal carico U e data da

PU =

M∑i=1

PU,i, (5.131)

dove PU,i e la lettura di ciascuno degli M wattmetri utilizzati (normalmente M = N − 1,dove N e il numero di fili), su cui e stata effettuata la correzione dell’errore sistemati-co dovuto agli autoconsumi, utilizzando la (5.54) o la (5.57), a seconda dell’inserzioneutilizzata per i wattmetri stessi.

Per il calcolo dell’incertezza, si utilizzano le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3,assumendo come modello del misurando

PU =

M∑i=1

PM,i, (5.132)

dove PM,i sono le letture dei wattmetri, ovvero trascurando, in quanto praticamente inin-fluenti per il calcolo dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico. L’in-certezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza attiva risulta

u (PU) =

√√M∑

i=1

u(PM,i

)2, (5.133)

dove ciascun termine u(PM,i

)e dato dalla (5.64). Per determinare l’incertezza estesa

U (PU), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e ilfattore di copertura. Il risultato della misurazione sara, quindi,

P = PU ± U (PU) , (5.134)

dove PU e dato dalla (5.131). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

Nel caso in cui il circuito abbia un fattore di potenza molto basso, l’inserzione di Aroncade in difetto, in quanto dalla (5.125) si evince che le letture dei due wattmetri sono pocodiverse tra loro, prossime alla meta del fondo scala e di segno opposto. Considerando la(5.133), quindi, l’incertezza tipo relativa, u (PU) = u (PU) /PU , risulta molto elevata, inquanto PU = PM,1 + PM,2 → 0. Poiche l’uso di wattmetri a basso cos (ϕ) non e adattoper lo schema di Figura 5.19, in quanto entrambi i wattmetri vedono cos (ϕ) 0.5, per lamisura si deve ricorrere a tre wattmetri (o in generale a N wattmetri per un sistema a N



W1

V1 V3

Z11

W2

Z22

Z33

OV2

Figura 5.20: Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase atre fili in funzione della tensione

fili), misurando le potenze di ogni fase e sommandole. In questo caso l’uso di wattmetria basso cos (ϕ) e possibile, poiche i wattmetri vedono il cos (ϕ) effettivo del carico.

Nel caso in cui venga richiesta una misura si potenza in funzione della tensione (insistemi polifase, normalmente, non si eseguono misure in funzione della corrente), uti-lizzando lo schema di Figura 5.20, la potenza attiva, riportata alla tensione di riferimentoVR, risulta

PR = PUV2

R

V2M

, (5.135)

dove PU e dato dalla (5.131). Siccome viene fornito un solo valore di VR, si assumeimplicitamente che il sistema sia simmetrico e, pertanto, il valore di VM nella (5.135)deve essere calcolato come valore medio delle tre letture dei voltmetri, ovvero,

VM =VM,1 + VM,2 + VM,3

3. (5.136)

Utilizzando le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3, l’incertezza tipo relativa che gravasulla potenza attiva riportata alla tensione VR risulta

u (PR) =

√u (PU)2 + 4u (VM)2, (5.137)

dove u (PU) = u (PU) /PU , con u (PU) data dalla (5.133). Considerando che le letturedei voltmetri saranno, inevitabilmente, diverse tra loro, per determinare u (VM) occorre,innanzitutto, determinare lo scarto tipo delle tre misure, s

(VM,i

), utilizzando la (1.18),



e l’incertezza tipo assoluta dei voltmetri, u(VM,i

), utilizzando la (5.5), assumendo per

semplicita i tre voltmetri uguali. Se risulta che s(VM,i

)> u

(VM,i

), allora

u (VM) =s(VM,i

)√

3, (5.138)

ovvero, benche il sistema non risulti effettivamente simmetrico, in quanto lo scarto trale tre tensioni misurate dai voltmetri eccede i limiti definiti dall’incertezza di misura deivoltmetri stessi, si assume comunque il sistema simmetrico (non si puo fare altrimen-ti), ma si ricava l’incertezza di VM dallo scarto tipo delle tensioni misurate, che risultamaggiore dell’incertezza di misura dei voltmetri (in sostanza si assume che vi siano altrifattori, oltre all’incertezza dei voltmetri, che determinano lo scarto tra le tensioni). Se,invece, risulta che s

(VM,i

)≤ u

(VM,i

), allora

u (VM) =

√3u

(VM,i

)2

3=

u(VM,i

)√

3, (5.139)

in quanto il sistema e effettivamente simmetrico. L’incertezza tipo relativa u (VM) risulta,quindi,

u (VM) =u (VM)

VM, (5.140)

dove VM e dato dalla (5.136). L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza attivarisulta pari a

u (PR) = u (PR) PR. (5.141)

Per determinare l’incertezza estesa U (PR), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

P = PR ± U (PR) , (5.142)

dove PR e dato dalla (5.135). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.6.2 Misure di Potenza ReattivaPer misurare la potenza reattiva in un generico sistema trifase a tre fili, occorre inserire unvoltmetro, un amperometro e un wattmetro su ciascun ramo del carico, procedendo poi,per ciascun ramo, come indicato nel Paragrafo 5.5.2 per i sistemi monofase. La potenzareattiva complessiva sara, quindi, data da

QU =

M∑i=1

QU,i, (5.143)

dove M e il numero di rami del carico considerati, mentre ciascun termine QU,i e datodalla (5.67). Per esempio, se il carico e connesso a stella, occorre inserire le voltmetriche



Wc

Z11

Z22

Z33

OO

1

23

E1

E3 E2

Iϕ

90˚ – ϕ

V = V23

Figura 5.21: Inserzione di un wattmetro per la misura della potenza reattiva in sistemitrifase simmetrici ed equilibrati

dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei wattmetri e gliamperometri sulle correnti di linea, mentre, se il carico e connesso a triangolo, occorreinserire le voltmetriche dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le ampero-metriche dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase (in questi casi M = 3 perun sistema trifase a tre fili).

L’incertezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza reattiva, in questo caso,risulta

u (QU) =

√√M∑

i=1

u(QU,i

)2, (5.144)

dove i vari termini u(QU,i

)sono dati dalla (5.68). Per determinare l’incertezza estesa

U (QU), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e ilfattore di copertura. Il risultato della misurazione sara, quindi,

Q = QU ± U (QU) . (5.145)


In sistemi simmetrici ed equilibrati, e possibile misurare la potenza reattiva utilizzan-do un solo wattmetro, inserito come indicato in Figura 5.21. La potenza misurata dalwattmetro risulta, infatti,

P = VI cos (90 − ϕ) = VI sin (ϕ) , (5.146)



dove V e la tensione concatenata e I la corrente di linea. Conseguentemente, considerandoche, per definizione, la potenza reattiva Q = 3EI sin (ϕ) e che E = V/

√3, si ricava

QU =√

3PU , (5.147)

dove PU e la potenza letta sul wattmetro, su cui e stata effettuata la correzione dell’erroresistematico dovuto agli autoconsumi, utilizzando la (5.54) o la (5.57), a seconda dell’in-serzione utilizzata per il wattmetro stesso. Questo metodo, che presuppone le condizionidi simmetria ed equilibrio del sistema, puo essere utilizzato solamente per misure indi-cative (ad esempio sui quadri di centrale). Per misure di precisione, non si puo infattipresumere che le condizioni richieste siano verificate.

L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in questo caso,utilizzando come modello del misurando

QU =√

3PM, (5.148)

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, itermini di correzione dell’errore sistematico, risulta

u (QU) =√

3u (PM) , (5.149)

dove u (PM) e data dalla (5.64). Per determinare l’incertezza estesa U (QU), si ricorre poialla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Ilrisultato della misurazione sara, quindi,

Q = QU ± U (QU) , (5.150)

dove QU e dato dalla (5.147). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

In un sistema trifase a tre fili, nel caso di carico arbitrario ma tensioni simmetriche, perla misura della potenza reattiva si puo ricorrere alla inserzione di Righi o dei tre wattmetri,illustrata in Figura 5.22. Essa viene realizzata inserendo due strumenti secondo lo schemadi Aron (Figura 5.19) ed il terzo con la bobina amperometrica sulla fase rimasta libera ela voltmetrica derivata fra le due altre fasi. In un sistema trifase simmetrico si ha che

P = ~E1 · ~I1 + ~E2 · ~I2 + ~E3 · ~I3 =

= ~E1 · ~I1 + ~E2 ·(−~I1 − ~I3

)+ ~E3 · ~I3 =

=(~E1 − ~E2

)· ~I1 +

(~E2 − ~E2

)· ~I2 +

(~E3 − ~E2

)· ~I3 =

= ~V12 · ~I1 + ~V32 · ~I3 =

= VI1 cos (ϕ1 + 30) + VI3 cos (ϕ3 − 30) ,

(5.151)

mentre

Q = ~E1 × ~I1 + ~E2 × ~I2 + ~E3 × ~I3 =

= ~E1 × ~I1 + ~E2 ×(−~I1 − ~I3

)+ ~E3 × ~I3 =

=(~E1 − ~E2

)× ~I1 +

(~E2 − ~E2

)× ~I2 +

(~E3 − ~E2

)× ~I3 =

= ~V12 × ~I1 + ~V32 × ~I3 =

= VI1 sin (ϕ1 + 30) + VI3 sin (ϕ3 − 30) ,

(5.152)



Wa

Z11

Wb

Z22

Wc

Z33

O

Figura 5.22: Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifasesimmetrici

dove V12 = V32 = V13 = V sono le tensioni concatenate, I1, I2 e I3 sono le correnti di lineae ϕ1, ϕ2 e ϕ3 gli sfasamenti tra le tensioni di fase E1 = E2 = E3 = E e le correnti di linea.Pertanto, indicando con Pa, Pb e Pc le indicazioni dei tre wattmetri, si ottiene

Pa = VI1 cos (ϕ1 − 30)Pb = VI2 cos (ϕ2 + 30)Pc = VI3 cos (ϕ3 − 90)

. (5.153)

Sommando Pa e Pc, si ricava

Pa + Pc = VI1 cos (ϕ1 − 30) + VI3 cos (ϕ3 − 90) . (5.154)

Sostituendo

cos (ϕ1 − 30) = cos (ϕ1 + 30 − 60) =

= cos (ϕ1 + 30) cos (60) + sin (ϕ1 + 30) sin (60) =

=12

cos (ϕ1 + 30) +

√3

2sin (ϕ1 + 30) ,

(5.155)

e

cos (ϕ3 − 90) = cos (ϕ3 − 30 − 60) =

= cos (ϕ3 − 30) cos (60) + sin (ϕ3 − 30) sin (60) =

=12

cos (ϕ3 − 30) +

√3

2sin (ϕ3 − 30) ,

(5.156)



si ottiene

Pa + Pc = VI1

12

cos (ϕ1 + 30) +

√3

2sin (ϕ1 + 30)

+

+VI3

12

cos (ϕ3 − 30) +

√3

2sin (ϕ3 − 30)

=

=12

[VI1 cos (ϕ1 + 30) + VI3 cos (ϕ3 − 30)

]+

+

√3

2[VI1 sin (ϕ1 + 30) + VI3 sin (ϕ3 − 30)

].

(5.157)

Sostituendo la (5.151) e la (5.152) nella (5.157), si ottiene

Pa + Pc =12

P +

√3

2Q. (5.158)

Ricordando che, secondo la (5.123), P = Pa + Pb, si puo scrivere

Pa + Pc =12

(Pa + Pb) +

√3

2Q, (5.159)

e, quindi, la potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore U risulta

Q =Pa − Pb + 2Pc

√3

. (5.160)

La misura risulta affetta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi dei wattmetri. Lapotenza reattiva corretta risulta, quindi,

QU =PU,a − PU,b + 2PU,c

√3

, (5.161)

dove PU,a, PU,b e PU,c sono dati dalla (5.54) o dalla (5.57), a seconda dell’inserzioneutilizzata per i wattmetri stessi.


QU =PM,a − PM,b + 2PM,c

√3

, (5.162)


u (QU) =1√

3

√u(PM,a

)2+ u

(PM,b

)2+ 4u

(PM,c

)2, (5.163)

dove u(PM,a

), u

(PM,b

)e u

(PM,c

)sono date dalla (5.64). Per determinare l’incertezza

estesa U (QU), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenzae il fattore di copertura. Il risultato della misurazione sara, quindi,

Q = QU ± U (QU) , (5.164)




Una variante dell’inserzione Righi e la cosiddetta inserzione Barbagelata, tramite laquale e possibile determinare la potenza reattiva in un sistema trifase a tre fili simmetrico,utilizzando due coppie di letture successive di due wattmetri (quattro misure di potenza),inseriti come indicato in Figura 5.23. La prima coppia di letture viene ottenuta dai dueWattmetri inseriti secondo Aron, mentre la seconda coppia di letture viene ottenuta daglistessi due wattmetri in inserzione simmetrica. E facile dimostrare, facendo riferimentoalla Figura 5.22, che

Pc = P′2 − P′1. (5.165)

Infatti, si puo scrivere

P′2 − P′1 = ~V21 · ~I2 − ~V12 · ~I1 = −~V12 · ~I2 − ~V12 · ~I1 = ~V12 ·(−~I1 − ~I2

)= ~V12 · ~I3 = Pc. (5.166)

Quindi, ponendo Pa = P1, Pb = P2 e Pc = P′2 − P′1, si puo utilizzare la (5.160) perdeterminare la potenza reattiva Q.

La misura risulta affetta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi dei wattmetri.La potenza reattiva corretta risulta, quindi, data da

QU =PU,1 − PU,2 + 2

(P′U,2 − P′U,1

)√

3, (5.167)

dove PU,1, PU,2 e P′U,1 e P′U,2 sono dati dalla (5.54) o dalla (5.57), a seconda dell’inserzioneutilizzata per i wattmetri stessi.


QU =PM,1 − PM,2 + 2

(P′M,2 − P′M,1

)√

3, (5.168)


u (QU) =1√

3

√u(PM,1

)2+ u

(PM,2

)2+ 4u

(P′M,2

)2+ 4u

(P′M,1

)2, (5.169)

dove u(PM,1

), u

(PM,2

), u

(P′M,1

)e u

(P′M,2

)sono date dalla (5.64). Per determinare l’in-

certezza estesa U (QU), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello diconfidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazione sara, quindi,

Q = QU ± U (QU) , (5.170)




I1

R1

W1

Z11

Lettura 1

P1

P2

P1’

P2’

I2

R2

W2

Z22

I3 Z33

O

I1

R1

W1

Z11

Lettura 2

I2

R2

W2

Z22

I3 Z33

O

Figura 5.23: Inserzione di Barbagelata per la misura della potenza reattiva in sistemitrifase simmetrici



Wa

V1 V3

Z11

Wb

Z22

Z33

OV2

Wc

Figura 5.24: Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifasesimmetrici in funzione della tensione

Nel caso in cui venga richiesta una misura si potenza reattiva in funzione della ten-sione, utilizzando lo schema di Figura 5.24, la potenza reattiva, riportata alla tensione diriferimento VR, risulta

QR = QUV2

R

V2M

, (5.171)

dove QU e dato dalla (5.161). Il valore di VM nella (5.171) deve essere calcolato tramitela (5.136). Utilizzando le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3, l’incertezza tipo relativa chegrava sulla potenza reattiva riportata alla tensione VR risulta

u (QR) =

√u (QU)2 + 4u (VM)2, (5.172)

dove u (QU) = u (QU) /QU , con u (QU) data dalla (5.163), mentre u (VM) e data dalla(5.140). L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza reattiva risulta pari a

u (QR) = u (QR) QR. (5.173)

Per determinare l’incertezza estesa U (QR), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

Q = QR ± U (QR) , (5.174)

dove QR e dato dalla (5.171). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.



5.6.3 Misure di Potenza ApparentePer misurare la potenza apparente in un generico sistema trifase a tre fili, occorre inserireun voltmetro, un amperometro e un wattmetro su ciascun ramo del carico, procedendo poi,per ciascun ramo, come indicato nel Paragrafo 5.5.3 per i sistemi monofase. La potenzaapparente complessiva sara, quindi, data da

S U =

√√√ M∑i=1

PU,i

2

+

M∑i=1

QU,i

2

, (5.175)

dove M e il numero di rami del carico considerati, ciascun termine PU,i e dato dalla (5.54)o dalla (5.57), a seconda dell’inserzione utilizzata per i wattmetri, e ciascun termine QU,i edato dalla (5.67). Per esempio, se il carico e connesso a stella, occorre inserire le voltme-triche dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei wattmetri egli amperometri sulle correnti di linea, mentre, se il carico e connesso a triangolo, occorreinserire le voltmetriche dei wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le ampero-metriche dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase (in questi casi M = 3 perun sistema trifase a tre fili).

Se il sistema e simmetrico, e possibile misurare la potenza apparente utilizzando l’in-serzione di Righi, illustrata in Figura 5.24, o analogamente l’inserzione di Barbagelata.In questo caso, la potenza apparente e data da

S U =

√P2

U + Q2U , (5.176)

dove PU e dato dalla (5.131), considerando P1 = Pa e P2 = Pb, mentre QU e dato dalla(5.161).

L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza apparente, in questo caso,risulta

u (S U) =

√√√(PU +

QU√3

)2u(PM,a

)2

S 2U

+

(PU −

QU√3

)2u(PM,b

)2

S 2U

+4Q2

Uu(PM,c

)2

3S 2U

, (5.177)

dove u(PM,a

), u

(PM,b

)e u

(PM,c

)sono date dalla (5.64). Per determinare l’incertezza

estesa U (S U), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenzae il fattore di copertura. Il risultato della misurazione sara, quindi,

S = S U ± U (S U) , (5.178)


Qualora sia richiesta una misura di potenza apparente in funzione della tensione VR,risulta

S R = S UV2

R

V2M

, (5.179)



dove S U e dato dalla (5.176), mentre VM e dato dalla (5.136). L’incertezza tipo relativache grava sulla misura di potenza apparente, in questo caso, risulta

u (S R) =

√u (S U)2 + 4u (VM)2, (5.180)

dove u (S U) = u (S U) /S U , con u (S U) data dalla (5.177), mentre u (VM) e data dalla(5.140). L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza apparente risulta pari a

u (S R) = u (S R) S R. (5.181)

Per determinare l’incertezza estesa U (S R), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

S = S R ± U (S R) , (5.182)


5.7 Misure in Regime Non-Sinusoidale

Si consideri un circuito in cui la tensione o la corrente o entrambe le grandezze sianoperiodiche con frequenza f , ma non siano sinusoidali. Se ciascun segnale viene scompo-sto in serie di Fourier, si ottengono tanti termini di tipo sinusoidale, detti armoniche, confrequenza pari ai multipli interi di f , ma ampiezza e fase diverse. Non necessariamentetutte le armoniche sono presenti, anzi nella maggioranza dei casi avviene esattamente ilcontrario. La potenza istantanea (p) e sempre uguale al prodotto dei valori istantanei ditensione (v) e corrente (i), qualunque sia la forma dei segnali

p = vi =

∞∑k=0

VC,k sin (kωt)

∞∑k=0

IC,k sin (kωt + ϕk)

, (5.183)

dove ω = 2π f , mentre VC,k e IC,k sono, rispettivamente, i valori di cresta delle armonichedi tensione e corrente, mentre ϕk e lo sfasamento tra le armoniche di indice k di tensionee corrente. Se si sviluppa il prodotto, si ottiene un numero di termini molto elevato (acausa dei prodotti incrociati). A titolo d’esempio, in Figura 5.25 sono stati tracciati idiagrammi di tensione, corrente e potenza istantanee per casi di tensione sinusoidale edi corrente distorta. In Figura 5.25a la corrente ha un’armonica di terzo ordine, mentrein Figura 5.25b la corrente ha un’armonica di quinto ordine. In entrambi i casi, il valoremedio della potenza istantanea e nullo, stando a significare che non transita potenza attiva.Il fatto che siano in gioco correnti e tensioni, pero, implica che nel sistema e in giocopotenza reattiva.


5.7. Misure in Regime Non-Sinusoidale

Ten

sion

e, C

orre

nte,

Pot

enza

Tempo

v

i p

P

Ten

sion

e, C

orre

nte,

Pot

enza

Tempo

v

ip

P

(a)

(b)

Figura 5.25: Tensione, corrente e potenza istantanea in caso si forma d’onda di tensionesinusoidale e forma d’onda di corrente non-sinusoidale



5.7.1 Misure di Tensione e Corrente

Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoidali. En-trambe le grandezze possono essere espresse tramite sviluppo in serie di Fourier, comeevidenziato nella (5.183). Il valore efficace della tensione viene definito come

V =

√√∞∑

i=0

V2i , (5.184)

dove Vi sono i valori efficaci delle singole armoniche di tensione, mentre il valore efficacedella corrente viene definito come

I =

√√∞∑

i=0

I2i , (5.185)

dove Ii sono i valori efficaci delle singole armoniche di corrente.Nei voltmetri o negli amperometri elettromagnetici (Paragrafo 4.5), ogni armonica

di tensione o di corrente produce una coppia motrice Cm,i proporzionale al quadrato delvalore efficace dell’armonica stessa e l’equipaggio mobile e globalmente sollecitato dallasomma delle singole coppie Cm,i. Ne consegue che il voltmetro o l’amperometro sonosempre in grado di fornire l’indicazione corretta del valore efficace di tensione o corrente(almeno nel campo delle frequenze industriali).

5.7.2 Misure di Potenza Attiva

Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoidali. Lapotenza attiva, facendo riferimento alla (5.183), viene definita come

P =

∞∑i=0

ViIi cos (ϕi) , (5.186)

dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente.La potenza attiva e quindi costituita dalla sommatoria dei prodotti scalari (in senso vetto-riale) di tutte le combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali aventi la stessa frequenzae secondo il relativo angolo di sfasamento, considerando anche eventuali componenticostanti (in questo caso ϕ0 = 0).

Nei wattmetri elettrodinamici (Paragrafo 4.6), ogni contributo ViIi cos (ϕi) produceuna coppia motrice Cm,i e l’equipaggio mobile e globalmente sollecitato dalla sommadelle singole coppie Cm,i. Ne consegue che il wattmetro e sempre in grado di fornirel’indicazione corretta della potenza attiva in gioco nel circuito su cui si effettua la misura(almeno nel campo delle frequenze industriali). In un sistema polifase a N fili, la misuradi potenza attiva puo sempre essere effettuata con N − 1 wattmetri.


5.7. Misure in Regime Non-Sinusoidale

5.7.3 Misure di Potenza ReattivaSi consideri ancora un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoida-li. Anche per la potenza reattiva si possono definire i contributi delle diverse coppie diarmoniche isofrequenziali di tensione e corrente,

Q =

∞∑i=0

ViIi sin (ϕi) , (5.187)

dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente.La potenza reattiva Q e, quindi, costituita dalla sommatoria dei prodotti vettoriali di tuttele combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo ilrelativo angolo di sfasamento (eventuali componenti costanti danno contributo nullo inquanto ϕ0 = 0).

5.7.4 Misure di Potenza ApparenteE generalmente accettato considerare, convenzionalmente, come potenza apparente, an-che in un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano sinusoidali, il prodottodei valori efficaci di tensione V e corrente I

S = VI =

√√∞∑

i=0

V2i

∞∑i=0

I2i , (5.188)

dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente.Tale definizione non ha un chiaro significato fisico. Infatti, confrontando la (5.188) con la(5.186) e la (5.187), si puo verificare che

S 2 > P2 + Q2, (5.189)

in quanto, ne la (5.186), ne la (5.187) tengono conto dei prodotti tra i termini non isofre-quenziali della (5.183),

Dik = VC,i sin (iωt) IC,k sin (kωt + ϕk) , (5.190)

con i , k, che, invece, sono presenti nella (5.188). Esistono diverse teorie per interpretarei termini aggiuntivi presenti nel bilancio delle potenze in regime non-sinusoidale, tra lequali vale le pena di citare, oltre alla teoria di Budeanu, che e la piu diffusa, anche la teoriadi Shepherd e Zakikhani, la teoria di Sharon e la teoria di Czarnescki.

5.7.5 Teoria di BudeanuBudeanu esprime la potenza apparente S , data dalla (5.188), mediante tre componentimutuamente ortogonali: la potenza attiva P, data dalla (5.186), la potenza reattiva Q, data



Figura 5.26: Ciclo di isteresi di un materiale magnetico

dalla (5.187) e la potenza reattiva deformante D, definita come

D =

√√∞∑

m=0

∞∑k=0

[V2

k I2m + V2

mI2k − 2VkVmIkIm cos (ϕk − ϕm)

]con m , k, (5.191)

dove Vi e Ii sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di tensione e corrente,mentre ϕi sono gli sfasamenti tra le armoniche di indice i di tensione e corrente. Lapotenza reattiva deformante D assume valore nullo quando tutte le armoniche di correntesono proporzionali a quelle di tensione e quando tutti gli sfasamenti relativi ϕi sono uguali.Si puo dimostrare che

S 2 = (VI)2 = P2 + Q2 + D2, (5.192)

dove V e I sono, rispettivamente, i valori efficaci di tensione e corrente. La potenzareattiva deformante non ha alcun significato fisico, anche se viene associata alla potenzareattiva.

5.8 Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo InduttivoQuando le misure di potenza devono essere effettuate su circuiti non-lineari, si deve porreparticolare attenzione alla interpretazione dei risultati ottenuti, come discusso nel Para-grafo 5.7. Per chiarire i concetti, conviene fare riferimento ad una classica misurazioneche viene effettuata per determinare la cifra di perdita dei lamierini magnetici utilizzatinelle macchine elettriche, nelle quali essi sono sottoposti a magnetizzazione alternata. Isuddetti lamierini presentano una caratteristica B = f (H) non-lineare e dipendente dallevicissitudini a cui gli stessi vengono sottoposti (cicli di isteresi), come si puo notare inFigura 5.26. Si deve anche tenere presente che essendo B e H interdipendenti, risultache se B e sinusoidale non lo puo essere H e viceversa. Il primo caso e il piu comune ecorrisponde, ad esempio, all’alimentazione del circuito elettrico con tensione sinusoidale


5.8. Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo

Figura 5.27: Andamento dei campi B e H in presenza di isteresi e saturazione nelmateriale magnetico

impressa, per cui anche l’induzione magnetica B risulta sinusoidale, mentre la forma delcampo H (che e poi quella della corrente nel circuito) e appuntita. Se e, invece, sinusoi-dale H (corrente sinusoidale impressa), la forma di B risulta appiattita, come illustrato inFigura 5.27.

La potenza magnetizzante (induttiva) perde allora significato preciso, appunto percheB ed H non sono entrambe sinusoidali. In tal caso, considerando B sinusoidale, si puo,convenzionalmente, fare riferimento al valore efficace HE ed assumere come potenzamagnetizzante specifica per unita di volume

QV =√

2π f BHE, (5.193)

e per unita di massa

QM =

√2πη

f BHE, (5.194)

dove η e la densita di massa (o peso specifico) e f e la frequenza.Un secondo importante problema riguarda le perdite nel materiale magnetico, che

sono da attribuire a due fenomeni distinti: l’isteresi e le correnti parassite. A causa delfenomeno di isteresi, durante la magnetizzazione viene fornita al materiale una energia,che non e poi interamente restituita durante la smagnetizzazione. L’energia perduta, chesi trasforma in calore, e rappresentata, in una certa scala e per unita di volume, dall’areadel ciclo di isteresi. Si puo, percio, scrivere

W =

∫ Bmax

Bmin

HdB, (5.195)

dove Bmin e Bmax sono, rispettivamente il valore minimo e massimo dell’induzione magne-tica. Poiche W e l’energia dissipata per ogni ciclo, per passare alla potenza basta tenereconto della frequenza. Si e soliti esprimere le perdite per isteresi PI con una relazione deltipo

PI = kI f Bn, (5.196)

dove kI e una costante e n un parametro, detto coefficiente di Steinmetz, che varia tra 1.5 e2.5 con l’induzione magnetica stessa. Per limitare le perdite per isteresi il lamierino vieneottenuto da una lega ferro-silicio, con silicio intorno al 3.5%.



Un’altra sorgente di perdite e dovuta al fatto che, per la presenza di un flusso dell’in-duzione magnetica alternato, nello stesso materiale magnetico si inducono forze elettro-motrici. Essendo poi il materiale un buon conduttore elettrico, si ha la circolazione dicorrenti parassite. Le perdite per correnti parassite sono proporzionali ai quadrati di indu-zione magnetica, frequenza e spessore del lamierino, nonche inversamente proporzionalialla resistivita del materiale. Per limitare le perdite per correnti parassite, i circuiti ma-gnetici vengono laminati e si ricorre a leghe che permettono di aumentare la resistivita.L’isolamento superficiale dei lamierini e oggi ottenuto per ossidazione diretta, durante ilprocesso produttivo. Analogamente a quanto detto per le perdite per isteresi, si puo usare,per le perdite per correnti parassite PP, una espressione del tipo

PP = kP f 2B2, (5.197)

dove kP e una costante.Le perdite totali nel circuito magnetico possono, quindi, essere espresse come

PU = kI f Bn + kP f 2B2. (5.198)

Normalmente, per quantificare le perdite in un materiale magnetico, viene utilizzata lacifra di perdita, data da

CP =PU

m, (5.199)

che rappresenta la potenza dissipata per unita di massa m da un materiale magnetico,quando uniformemente eccitato a prefissati valori di induzione magnetica (B) e di fre-quenza ( f ). A titolo indicativo si puo ricordare che, per f = 50 Hz e B = 1.5 T, la cifra diperdita puo variare da 0.8 W/kg a 2.0 W/kg. I valori piu bassi sono quelli dei lamierini acristalli orientati, usati nei trasformatori di potenza.

5.8.1 Apparecchio di EpsteinL’apparecchio di Epstein viene utilizzato per determinare la cifra di perdita dei lamierinimagnetici. L’apparecchio si presenta come indicato in Figura 5.28. Lungo i tubi esternisono avvolti, insieme ed uniformemente, in modo da simulare un solenoide, due avvolgi-menti detti, rispettivamente, primario e secondario. Ciascun avvolgimento e costituito daun predeterminato numero di spire (normalmente 600 spire).

Per la prova si sceglie una prefissata massa di lamierini (normalmente 10 kg), tagliatiin strisce di lunghezza e larghezza pure prefissate (500 mm e 30 mm, rispettivamente).Le strisce cosı ottenute devono essere disposte nei tubi in modo che i giunti che si for-mano all’esterno siano alternati e stretti, cosı da ridurre l’effetto dei traferri. Il circuitoutilizzato per la misura e rappresentato in Figura 5.29. Esso e caratterizzato dal fatto cheil voltmetro e la voltmetrica del wattmetro sono connessi all’avvolgimento secondariodell’apparecchio di Epstein, ottenendo cosı due importanti vantaggi:• si escludono dalla misura della potenza le perdite dovute alla resistenza dell’avvol-

gimento alimentato (primario);



Figura 5.28: Apparecchio di Epstein

WA

~V

f

Figura 5.29: Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein



• la forza elettromotrice indotta al secondario e direttamente legata all’induzionemagnetica nel materiale, che e la grandezza che interessa.

Per la misura, si devono utilizzare strumenti di buona qualita, che consentano di misurarela tensione, la potenza, la corrente e la frequenza, preferibilmente di tipo digitale, inquanto caratterizzati da autoconsumo trascurabile. Si deve anche tenere conto del fattoche il circuito risulta fortemente induttivo, per cui e necessario l’impiego di un wattmetroadatto per basso fattore di potenza.

Per l’alimentazione del circuito, occorre una sorgente che, per il momento, si consi-dera in grado di fornire una tensione perfettamente sinusoidale.

5.8.2 Misura della Cifra di Perdita con Tensione SinusoidalePer determinare la cifra di perdita, si deve, innanzitutto, determinare la sezione A delpacco di lamierini, per cui, detti m la massa dei lamierini, η il peso specifico del materialemagnetico ed l la lunghezza totale del circuito magnetico, si ottiene

A =mηl, (5.200)

nella quale si puo assumere m = 10 kg, η = 7.6 kg/dm3 e l = 2.0 m.Poiche lo scopo della misura e di determinare la cifra di perdita all’induzione magne-

tica BR e alla frequenza fR, occorre calcolare la tensione VR che deve apparire ai terminalidel secondario per i valori prescelti di BR ed fR, che risulta

VR =√

2πns fRBRA, (5.201)

nella quale ns = 600 e il numero delle spire dell’apparecchio. Le misure vengono, quin-di, condotte rilevando un certo numero di valori di potenza assorbita, in funzione dellatensione a frequenza costante, ed effettuando l’interpolazione grafica dei punti risultanti,in modo da escludere eventuali letture affette da errori grossolani. Al valore di tensionedato dalla (5.201), si determina, quindi, la potenza misurata PM. Se l’autoconsumo dellevoltmetriche del wattmetro e del voltmetro non e trascurabile, si deve utilizzare la (5.71)per ottenere il valore della potenza corretta PU . Il valore della cifra di perdita CP,U e dato,infine, da

CP,U =PU

m. (5.202)

L’incertezza che grava sulla misura di cifra di perdita deve essere valutata come in-certezza composta, con le regole indicate nel Paragrafo 1.5.3. In particolare, assumendocome modello del misurando

CP,U =PM

mV2

R

V2M

= PM2m (πns fRBR)2

(ηlVM)2 , (5.203)

ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo dell’incertezza, iltermine di correzione dell’errore sistematico, assumendo una dipendenza quadratica del-la potenza dissipata dall’induzione magnetica e, quindi, dalla tensione VM (si assume il



coefficiente di Steinmetz n = 2) e trascurando la dipendenza della cifra di perdita dallafrequenza (si assume f = fR), l’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perditarisulta

u(CP,U

)=

√u (PM)2 + u (m)2 + 4u (η)2 + 4u (l)2 + 4u (VM)2, (5.204)

dove u (PM) e u (VM) sono date, rispettivamente, dalla (5.65) e dalla (5.6). Le incertezzesulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso specifico u (η) possono, generalmente,essere trascurate. L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,

u(CP,U

)= u

(CP,U

)CP,U . (5.205)

Per determinare l’incertezza estesa U(CP,U

), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-

tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

CP = CP,U ± U(CP,U

), (5.206)

dove CP,U e dato dalla (5.202). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

5.8.3 Separazione delle PerditeSe si desidera effettuare la separazione delle perdite tra perdite per isteresi e perditeper correnti parassite, partendo dalla (5.198), si possono esprimere le perdite per ciclo(energia)

WU =PU

f= kI Bn + kP f B2. (5.207)

La (5.207) rappresenta una retta in funzione della frequenza, per cui, con misure in funzio-ne di f , a induzione magnetica costante B = BR, si puo ottenere la ripartizione desiderata,come illustrato in Figura 5.30. Il valore di PU corrispondente all’induzione magnetica BR,per ogni valore di f , deve essere determinato secondo le modalita indicate nel Paragra-fo 5.8.2 (interpolazione grafica e correzione dell’errore sistematico dovuto agli autocon-sumi degli strumenti). Sono necessarie almeno due misure a diversi valori di frequenzaper poter operare la ripartizione delle perdite. I valori dei coefficienti kI e kP risultano

kI =WU | f =0

BnR

, (5.208)

kP =WU | f = fR − WU | f =0

B2R fR

, (5.209)

dove BR e il valore di induzione magnetica di riferimento e fR e il valore della frequenza diriferimento. Alternativamente, considerando che il valore di n non e tipicamente noto, sipossono determinare i coefficienti αI e αP, che esprimono, rispettivamente, la frazione diperdite da attribuire all’isteresi e la frazione di perdite da attribuire alle correnti parassite,dati da



WU

f

kPfB2

kIBn

Figura 5.30: Ripartizione delle perdite in un materiale magnetico

αI =WU | f =0 fR

PU, (5.210)

αP =

(WU | f = fR − WU | f =0

)fR

PU. (5.211)

A questo punto, noti i coefficienti αI e αP, e possibile tenere conto anche della di-pendenza della cifra di perdita dalla frequenza nel calcolo dell’incertezza. Il modello delmisurando da utilizzare per il calcolo dell’incertezza che grava sulla misura della cifra diperdita, dato dalla (5.203), infatti, puo essere modificato in

CP,U = PM

(αI

fR

fM+ αP

f 2R

f 2M

)2m (πns fRBR)2

(ηlVM)2 , (5.212)

dove fM e la frequenza misurata. L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita,assumendo fM = fR, ma considerando l’incertezza tipo relativa sulla misura di frequenzau ( fM), sapendo che αI + αP = 1 e trascurando le incertezze sulla massa u (m), sullalunghezza u (l) e sul peso specifico u (η), risulta

u(CP,U

)=

√u (PM)2 + 4u (VM)2 + (αI + 2αP)2 u ( fM)2, (5.213)

dove u (PM) e u (VM) sono date, rispettivamente, dalla (5.65) e dalla (5.6). L’incertezzatipo assoluta risulta, quindi,

u(CP,U

)= u

(CP,U

)CP,U . (5.214)




CP = CP,U ± U(CP,U

), (5.215)




5.8.4 Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale

In laboratorio ci si trova, a volte, a dover effettuare la misura della cifra di perdita conuna sorgente di tensione che presenta una forma d’onda non perfettamente sinusoidale.Questo e dovuto, nella maggior parte dei casi, al fatto che, a causa della non-linearita dellarelazione B = f (H) nel materiale, la corrente che circola nell’avvolgimento primariodell’apparecchio di Epstein non e sinusoidale. Pertanto, in presenza di una resistenza nonnulla in serie alla sorgente di tensione (resistenza interna della sorgente e resistenza deicavi), la tensione effettivamente applicata all’avvolgimento primario dell’apparecchio diEpstein risulta essere, a sua volta, non-sinusoidale.

Le perdite per isteresi e per correnti parassite che si manifestano nel materiale, seguo-no leggi diverse:• le perdite per isteresi sono funzione del valore di cresta dell’induzione magnetica

BC, in conseguenza del fatto che dipendono dal ciclo di isteresi e, in aggiunta,l’esponente di Steinmetz e variabile con l’induzione magnetica stessa;

• le perdite per correnti parassite sono, per la legge di Joule, proporzionali al quadra-to del valore efficace delle tensioni indotte nei lamierini e dipendono, quindi, dalvalore efficace dell’induzione magnetica BE.

Ne consegue che, se la tensione non e sinusoidale, non e piu possibile effettuare di-rettamente l’interpolazione grafica delle misure effettuate, per determinare le perdite incorrispondenza del valore di induzione magnetica di riferimento BR. Con tensione non-sunusoidale, infatti, risulta che BE , BC/

√2 e, quindi, utilizzando lo schema di Fi-

gura 5.29, in cui si misura il valore efficace della tensione, legato al valore efficacedell’induzione magnetica BE, il valore di BC non e determinabile.

Sarebbe, quindi, necessario disporre di uno strumento in grado di misurare il valoremassimo dell’induzione magnetica (o una grandezza proporzionale a questa), in aggiuntaal voltmetro a valore efficace. Nel Paragrafo 5.8.5, si dimostrera che il valore massimodell’induzione magnetica e proporzionale al valore medio sul semiperiodo della tensioneindotta (Vm). Pertanto, occorre inserire nel circuito anche un voltmetro a valore medio,come indicato in Figura 5.31. Il voltmetro a valore medio e generalmente tarato in valoreefficace e fornisce, quindi, il valore π/

(2√

2)

Vm 1.11Vm. Per l’esecuzione delle misuresi procede come indicato nel Paragrafo 5.8.2, prendendo come riferimento le indicazionidel voltmetro a valore medio. In questo modo, si riportano correttamente per via graficaalla tensione VR = π/

(2√

2)

Vm, ovvero all’induzione magnetica BR = BC/√

2, le per-dite per isteresi, ma non quelle per correnti parassite, che sono proporzionali al valoreefficace della tensione V , π/

(2√

2)

Vm. Il contrario avverrebbe se si prendessero comeriferimento le indicazione del voltmetro a valore efficace. Conviene esprimere i risultatiin funzione della tensione fornita dal voltmetro a valore medio, in quanto l’esponente diSteinmetz non e costante (si opera ad induzione magnetica massima costante). Dalla in-terpolazione grafica si ottiene il valore, riportato a BR = BC/

√2, delle perdite complessive

PM, come illustrato in Figura 5.32. Se l’autoconsumo delle voltmetriche del wattmetroe dei voltmetri non e trascurabile, si deve utilizzare la (5.71) per ottenere il valore dellapotenza corretta PU .



WA

~VmVE

f

Figura 5.31: Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epsteincon tensione non-sinusoidale

P M

1.11 Vm

PM

VR

Figura 5.32: Interpolazione grafica per la determinazione del valore delle perdite allainduzione magnetica di riferimento



V

1.11 Vm

VR,E

VR

Figura 5.33: Interpolazione grafica per la determinazione del valore efficace dellatensione corrispondente alla induzione magnetica di riferimento

Per poter procedere alla correzione dei risultati e riportarli al caso di onda sinusoidale,e necessario procedere alla suddivisione delle perdite, come illustrato nel Paragrafo 5.8.3.Una volta determinati i coefficienti αI e αP, e possibile riportare le perdite per correntiparassite al valore corretto di tensione e, quindi, di induzione magnetica, tenendo contodel fatto che le perdite per correnti parassite dipendono dal quadrato del valore efficacedell’induzione magnetica stessa. Le perdite corrette sono date da

PC = αIPU + αPPUV2

R

V2R,E

, (5.216)

dove VR,E e il valore efficace della tensione che corrisponde a VR = π/(2√

2)

Vm, rica-vato per via grafica, come illustrato in Figura 5.33 (in regime sinusoidale VR,E = VR).Nel caso in cui non sia possibile determinare sperimentalmente αI e αP, per esempioperche non e possibile effettuare misure in funzione della frequenza, si usa assumere,convenzionalmente, αI = αP = 0.5. La cifra di perdita corretta risulta, quindi,

CP,U =PC

m. (5.217)

Per il calcolo dell’incertezza di misura si assume come modello del misurando la(5.212), trascurando, in quanto ininfluente per il calcolo dell’incertezza, anche la cor-rezione dell’errore dovuto alla tensione non-sinusoidale. L’incertezza tipo relativa sullamisura di cifra di perdita u

(CP,U

)e data, quindi, dalla (5.213). Anche in questo caso,



Ten

sion

e, C

orre

nte

Tempo

b

e T/2Vm

BC

–BC

Figura 5.34: Andamento di tensione e induzione magnetica nel circuito per la misura delvalore massimo dell’induzione magnetica

le incertezze sulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso specifico u (η) possono,generalmente, essere trascurate. L’incertezza tipo assoluta risulta, pertanto,

u(CP,U

)= u

(CP,U

)CP,U . (5.218)




CP = CP,U ± U(CP,U

), (5.219)


5.8.5 Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica

In diversi tipi di misure industriali che coinvolgono grandezze magnetiche, come peresempio nella misura della cifra di perdita di un materiale magnetico tramite l’apparec-chio di Epstein (Paragrafo 5.8.1 e Paragrafo 5.8.4), si rende necessario determinare ilvalore di cresta dell’induzione magnetica BC. Si puo dimostrare che BC e proporzionaleal valore medio della tensione indotta Vm, purche la forma d’onda della induzione magne-tica passi per lo zero due volte per periodo. Si considerino le forme d’onda riportate inFigura 5.34, che rappresentano i valori istantanei dell’induzione magnetica b e della forzaelettromotrice di autoinduzione o indotta e. Si puo allora scrivere



e = −nsdφdt

= −nsdbdt

A, (5.220)

dove φ = bA e il valore istantaneo del flusso dell’induzione magnetica, ns e il numero dispire considerato e A e la sezione dei circuito magnetico, da cui si ricava

edt = −nsAdb. (5.221)

Il valore medio della tensione Vm riferito al semiperiodo, misurato ad esempio con unvoltmetro magnetoelettrico (Paragrafo 4.4), collegato come indicato in Figura 5.7, e datoda

Vm =2T

∫ T/2

0edt =

2T

∫ BC

−BC

−nsAdb = −2nsA

T2BC = −4nsA f BC, (5.222)

avendo indicato con T il periodo, con f la frequenza e con BC il valore di cresta dell’in-duzione magnetica. Questa relazione e valida in quanto la forza elettromotrice indotta enulla quando e nulla la derivata dell’induzione magnetica, ovvero, quando quest’ultima emassima.

Si tenga presente che, se il voltmetro a valore medio e tarato in valore efficace performa d’onda sinusoidale, la lettura del voltmetro sara

V = 1.11Vm = −4.44nsA f BC. (5.223)


Capitolo 6

Metodi di Ponte

6.1 Generalita

Prendono il nome di metodi di ponte alcuni metodi di misura basati su reti di resistori,induttori e condensatori, in cui il componente da misurare rappresenta il componente in-cognito, mentre gli altri elementi sono noti. Per il funzionamento dei ponti sono necessariuna sorgente di alimentazione (in corrente continua o in corrente alternata) e uno stru-mento di zero. Quando il ponte e in equilibrio, ossia quando due punti della rete sono allostesso potenziale, si puo calcolare il valore dell’elemento incognito, applicando semplicirelazioni matematiche che legano i valori degli elementi noti della rete.

6.2 Ponte di Wheatstone

Il ponte di Wheatstone e costituito da quattro resistori, disposti come i lati di un quadrila-tero (Figura 6.1), le cui diagonali sono costituite rispettivamente da una sorgente di forzaelettromotrice (sorgente di alimentazione) e da uno strumento di zero (galvanometro, G).Le resistenze Ra, Rb ed Rc hanno valore noto, mentre Rx e la resistenza in esame. In basealla polarita della sorgente di alimentazione, si puo sapere a priori il verso di circolazionedella corrente nei due rami A-B-C e A-D-C; non e, invece, noto a priori il senso dellacorrente che attraversa il galvanometro, percorrendo la diagonale B-D, poiche esso di-pende dalla differenza di potenziale fra i due nodi B e D. In particolare, la corrente saranulla se B e D si trovano al medesimo potenziale: questa e la condizione di equilibrio delponte che si deve ricercare. L’assenza di corrente sul lato B-D si verifica per mezzo delgalvanometro G. Il ponte di Wheatstone e, infatti, un metodo di riduzione a zero.

In condizioni di equilibrio, con B e D allo stesso potenziale, senza passaggio di cor-rente nel galvanometro, se si applica il primo principio di Kirchhoff ai nodi B e D, siottiene Ia = Ix

Ib = Ic

. (6.1)


6. Metodi di Ponte

E

A

B

C

D

R

G

c Rb

Rx Ra

Rg

Figura 6.1: Ponte di Wheatstone

Se si applica ora il secondo principio di Kirchhoff alle maglie A-B-D e B-C-D, si ottiene RaIa = RbIb

RxIx = RcIc

. (6.2)

Si puo, quindi, scrivere Ra

Rb=

Ib

Ia

Rx

Rc=

Ic

Ix

. (6.3)

Dividendo membro a membro la (6.1), si ottiene

Ib

Ia=

Ic

Ix. (6.4)

Combinando la (6.3) con la (6.4), si ricava

Ra

Rb=

Rx

Rc. (6.5)

La resistenza incognita risulta, quindi, data da

Rx = RcRa

Rb. (6.6)

Questa espressione, quando il ponte e in equilibrio, permette di conoscere il valore del-la resistenza incognita una volta noti i valori delle altre tre resistenze inserite nel ponte.


6.3. Doppio Ponte di Thomson

Si noti che nella (6.6) non compaiono ne le correnti circolanti, ne la forza elettromotri-ce (che non occorre quindi conoscere), ne la resistenza della diagonale comprendente ilgalvanometro (Rg).

I lati A-B e A-D vengono chiamati bracci del ponte (resistori Ra ed Rb), mentre illato B-C e chiamato lato di paragone (resistore Rc). La misura si effettua collegando ilresistore incognito al ponte e regolando i bracci ed il lato di paragone, costituiti da resistorivariabili, fino al raggiungimento della condizione di equilibrio.

La condizione di maggior sensibilita del ponte si ottiene facendo in modo che Ra edRx, cosı come Rb ed Rc, abbiano all’incirca il medesimo valore. La condizione idealesarebbe che tutte e quattro le resistenze avessero valori uguali o perlomeno molto vicini.L’incertezza di misura di questi ponti e minima, quando si misurano resistenze di valoremedio, comprese fra qualche ohm e qualche decina di kiloohm. Utilizzando la (6.6) comemodello del misurando e date le incertezze tipo relative delle resistenze note del ponteu (Ra), u (Rb) e u (Rc), l’incertezza tipo composta relativa (Paragrafo 1.5.3) della resistenzaincognita Rx risulta

u (Rx) =

√u (Ra)2 + u (Rb)2 + u (Rc)2. (6.7)

Alternativamente, quando si utilizzano ponti di Wheatston commerciali, di cui il costrut-tore fornisce la classe di precisione, l’incertezza tipo relativa e data da

u (Rx) =Classe

100√

3. (6.8)

L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,

u (Rx) = u (Rx) Rx. (6.9)

Per determinare l’incertezza estesa U (Rx), si ricorre poi alla (1.49), scegliendo oppor-tunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato della misurazionesara, quindi,

R = Rx ± U (Rx) , (6.10)

dove Rx e dato dalla (6.6). Per determinare il numero cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

6.3 Doppio Ponte di ThomsonIl ponte di Wheatstone non si presta alla misura di resistenze molto piccole, poiche lapresenza delle resistenze di contatto, con valori dello stesso ordine di grandezza delle re-sistenze da misurare, sarebbe fonte di errori sistemativi non noti di entita troppo elevata.Per queste resistenze viene, invece, impiegato, spesso, il doppio ponte di Thomson, il qua-le ha la caratteristica fondamentale di fornire una indicazione indipendente da eventualivariazioni di corrente nel circuito sul quale e inserita la resistenza in prova (Figura 6.2) epure indipendente, entro certi limiti, dalle resistenze di collegamento e di contatto.


6. Metodi di Ponte

R Ra

Rx

Rg

Rk

Ra´ Rb´ b

Ia Ib

I

G

a´ Ib´

I I

A

B

D F

E

Figura 6.2: Doppio ponte di Thomson

Il metodo del doppio ponte di Thomson si basa sul confronto tra le cadute di tensioneprovocate dal resistore incognito Rx e da un resistore campione Rk, dotati di quattro ter-minali (due di tensione e due di corrente), collegati in serie fra loro attraverso i terminalidi corrente e facenti capo alla sorgente di alimentazione del ponte. Ai terminali di ten-sione di questi due resistori sono collegati i fili che portano ai resistori Ra, R′a, Rb ed R′bdel ponte, fra i quali e inserito lo strumento di zero (galvanometro, G). I resistori Ra, R′a,Rb ed R′b hanno generalmente un valore superiore a quello di Rx e di Rk e sono di valorevariabile (tipicamente tra 0.1 Ω e 10 kΩ). Poiche normalmente Ra = R′a e Rb = R′b, icomandi di Ra ed R′a, a regolazione continua, sono abbinati meccanicamente in modo chele due resistenze abbiano sempre il medesimo valore. Lo stesso vale per Rb ed R′b, la cuiregolazione e, tipicamente, a scatti.

Per l’azzeramento del ponte si procede scegliendo un valore opportuno per le due re-sistenze Rb e R′b (tipicamente, se Rk ed Rx sono dello stesso ordine di grandezza, si sceglieRb = R′b = Ra,max, dove Ra,max e il massimo valore possibile per Ra e R′a), dopo di che siregolano Ra ed R′a. Se non si raggiunge l’azzeramento, oppure se si ottengono poche cifresignificative per il valore di Rx, si variano i valori di Rb ed R′b. Quando il galvanometrosegna zero (ponte in equilibrio), in esso non circola corrente e, quindi, attraverso Ra eRb circola la medesima corrente, come pure attraverso R′a ed R′b. Applicando il secondoprincipio di Kirchhoff alle maglie A-B-C-D ed A-B-E-F e tenendo conto del senso delle


6.3. Doppio Ponte di Thomson

correnti su ciascun lato, si puo scrivere RaIa − R′aI′a − RxI = 0

RbIb − R′bI′b − RkI = 0, (6.11)

ossia RxI = RaIa − R′aI′a

RkI = RbIb − R′bI′b. (6.12)

Dividendo membro a membro la (6.12), si ottiene

Rx

Rk=

RaIa − R′aI′aRbIb − R′bI′b

. (6.13)

Ricordando ora che si era posta come condizione di funzionamento del ponte Ra = R′a edRb = R′b, la (6.13) diventa

Rx

Rk=

Ra(Ia − I′a

)Rb

(Ib − I′b

) . (6.14)

Quando il ponte e in equilibrio, Ia = Ib e I′a = I′b, per cui, si ottiene

Rx = RkRa

Rb. (6.15)

Un resistore variabile viene generalmente inserito nel circuito, in serie alla sorgente dialimentazione: esso funge da regolatore della corrente che circola attraverso Rx e Rk, datoche si tratta, in genere, di resistenze molto basse. Compatibilmente con l’esigenza di nonprovocare un riscaldamento di questi due resistori, la corrente deve essere mantenuta alvalore piu elevato possibile, poiche in tal modo sono maggiori le cadute di tensione su Rx

e Rk, che, come si e visto, sono le grandezze che vengono valutate dal ponte per eseguirela misura. Inoltre e opportuno cercare di mantenere elevato il valore della resistenzadei quattro lati del ponte, poiche in tal modo si riduce l’errore dovuto alle resistenze dicontatto.

Utilizzando la (6.13) come modello del misurando e date le incertezze tipo relati-ve delle resistenze note del ponte e della resistenza campione u (Ra), u (Rb) e u (Rk),l’incertezza tipo composta relativa (Paragrafo 1.5.3) della resistenza incognita Rx risulta

u (Rx) =

√u (Ra)2 + u (Rb)2 + u (Rk)2. (6.16)

Alternativamente, quando si utilizza un doppio ponte di Thomson commerciale, di cui ilcostruttore fornisce la classe di precisione, l’incertezza tipo relativa e data da

u (Rx) =

√(Classe

100√

3

)2

+ u (Rk)2, (6.17)


6. Metodi di Ponte

in cui u (Rk) e la incertezza tipo relativa della resistenza campione esterna al ponte. L’ac-curatezza di Rk viene, normalmente, espressa in termine di classe di precisione (data inpercentuale) con distribuzione rettangolare. Pertanto, l’incertezza tipo di Rk e data da

u (Rk) =Classe

100√

3. (6.18)

L’incertezza tipo assoluta della resistenza incognita risulta, quindi,

u (Rx) = u (Rx) Rx. (6.19)

Qualora si misurino resistori realizzati con materiali, come il rame, caratterizzati da unelevato coefficiente di temperatura κ, occorre specificare la temperatura T per cui e de-terminato il valore di resistenza. Qualora la misura sia effettuata a una temperatura TM,diversa da T , inoltre, occorre correggere il valore misurato in modo da riportarlo allatemperatura desiderata. Il valore di resistenza corretta risulta, quindi, dato da

Rx|T = Rx [1 + κ (T − TM)] . (6.20)

Ovviamente, anche nel calcolo dell’incertezza occorre tener conto della dipendenza dellaresistenza dalla temperatura. Quindi, utilizzando la (6.20) come modello del misurando,l’incertezza tipo relativa risulta

u (Rx|T ) =

√u (Rx)2 + u [1 + κ (T − TM)]2, (6.21)

in cui u (Rx) e dato dalla (6.16) o dalla (6.17), mentre

u [1 + κ (T − TM)] =u [1 + κ (T − TM)]

1 + κ (T − TM)=

κu (TM)1 + κ (T − TM)

, (6.22)

dove u (TM) e l’incertezza tipo assoluta associata alla temperatura misurata. Pertanto, siottiene

u (Rx|T ) =

√u (Rx)2 +

[κu (TM)

1 + κ (T − TM)

]2

. (6.23)

Per determinare l’incertezza estesa U (Rx) o U (Rx|T ), si ricorre poi alla (1.49), sceglien-do opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Il risultato dellamisurazione sara, quindi,

R = Rx ± U (Rx) , (6.24)

oppureR|T = Rx|T ± U (Rx|T ) , (6.25)

dove Rx o Rx|T sono dati dalla (6.13) o dalla (6.20). Per determinare il numero cifresignificative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportatenel Paragrafo 1.5.5.


6.4. Metodi di Ponte in Corrente Alternata

6.4 Metodi di Ponte in Corrente Alternata

Le misure di capacita e fattore di perdita tan (δ), definito nel Paragrafo 2.5, sono estre-mamente importanti per determinare la qualita dei materiali isolanti utilizzati in correntealternata. La determinazione di tan (δ), generalmente in funzione della tensione e a fre-quenza costante, puo in linea di principio essere effettuata con metodi di ponte o conmetodi wattmetrici. Quando la tensione di prova e elevata e tan (δ) piuttosto piccolo,normalmente, si utilizzano metodi di ponte in corrente alternata. E tuttavia importantericordare che, almeno in linea di principio, la potenza dissipata in un materiale isolantesottoposto a campo alternato puo essere determinata anche con altri metodi.

Come gia precisato nel Paragrafo 2.5, il fattore di perdita dipende dalla tensione, dallafrequenza e, in misura a volte molto rilevante, dalla temperatura. Si tenga presente cheil tempo di applicazione della tensione di prova puo pure influire sul valore di tan (δ).Nella conduzione delle misure e, quindi, necessario fare molta attenzione a queste gran-dezze che devono essere scrupolosamente annotate. Per quanto riguarda la temperatura, enecessario ricordare che la massa dell’oggetto in prova puo richiedere un tempo conside-revole per raggiungere il regime termico (anche alcune ore). E, quindi, opportuno seguirecon molta cura quanto prescritto in proposito.

Un altro aspetto, che puo rivestire una certa importanza in questo tipo di misura, el’effetto dei bordi delle armature del condensatore da misurare. Esso si manifesta con unaumento di tan (δ), per effetto delle correnti superficiali e della deformazione del campoelettrico, con la formazione di piccoli volumi in cui la forza elettrica (gradiente) e moltointensa. In certi casi (ad esempio prove su brevi spezzoni di cavo, giunti e terminali), puoessere necessario predisporre anelli di guardia, come si fa per i condensatori campione(Figura 2.13).

6.4.1 Principio dei Ponti in Corrente Alternata

Si consideri lo schema di Figura 6.3 e si supponga di alimentare il sistema con una ten-sione sinusoidale di ampiezza e frequenza costanti. I rami del ponte sono costituiti daimpedenze generiche, al limite pure resistenze, capacita o induttanze. Lo strumento dizero G e sensibile alla corrente alternata e da indicazione nulla quando il ponte e in equi-librio, cioe quando i punti B e C sono allo stesso potenziale e, quindi, lo strumento non eattraversato da corrente.

Delle quattro impedenze, che costituiscono i bracci del ponte, se ne consideri unaincognita e le altre note e, in parte, regolabili. Variando il valore di queste impedenze,e possibile ottenere le condizioni di equilibrio sopra menzionate. Sempre esaminando laFigura 6.3, si puo dedurre che, in equilibrio, le correnti nelle impedenze Zx e Z3 sonouguali tra loro (Ix,3) e cosı pure le correnti nelle impedenze Z2 e Z4 (I2,4). Si puo, allora,scrivere

~Zx~Ix,3 = ~Z2~I2,4

~Z3~Ix,3 = ~Z4~I2,4

. (6.26)


6. Metodi di Ponte

G

Zx Z2

Z3 Z4

A

B

D

C~

Figura 6.3: Schema di principio di un ponte in corrente alternata

Dividendo membro a membro, si ottiene

~Zx

~Z3

=~Z2

~Z4

. (6.27)

Nella (6.26) e nella (6.27) le frecce sopra i simboli stanno ad indicare che si parla di gran-dezze vettoriali e non scalari. Le grandezze diverrebbero scalari solo se i quattro braccidel ponte fossero costituiti da un solo tipo di componente (sole resistenze, sole capacita osole induttanze). Si puo osservare che entrambi i rapporti ~Zx/~Z3 e ~Z2/~Z4 sono, in generale,rappresentabili con numeri complessi, costituiti da parte reale e parte immaginaria. Neconsegue che, per essere uguali, i due membri della (6.27) devono avere uguali le partireali e le parti immaginarie, ovvero,

<

~Zx

~Z3

= <

~Z2

~Z4

=

~Zx

~Z3

= =

~Z2

~Z4

. (6.28)

Conseguentemente, per permettere di determinare agevolmente la condizione di equilibriodel ponte, e preferibile che lo strumento di zero G sia in grado di misurare separatamentela parte reale e la parte immaginaria della corrente che fluisce tra i nodi C e B.

6.4.2 Ponte di ScheringIl ponte di Schering viene impiegato in corrente alternata per misure di capacita e tan (δ).Esso e adatto anche per misure in alta tensione. Lo schema di principio del ponte di



G

Rx CN

R3

R4

A

B

D

C~

C4

Cx

Figura 6.4: Ponte di Schering

Schering e rappresentato in Figura 6.4. Il ramo contenente Rx e Cx rappresenta l’impe-denza incognita, espressa tramite il circuito equivalente serie. Questa scelta e arbitraria,in quanto si sarebbe potuto utilizzare indifferentemente il circuito equivalente parallelo,oppure altri schemi anche piu complessi, purche equivalenti all’impedenza incognita. Ilramo CN rappresenta una capacita pura di valore noto e fisso (condensatore campione).Le resistenze R3 e R4 sono regolabili a gradini, cosı come C4. Agendo su questi parametri,e possibile raggiungere la condizione di equilibrio del ponte, che e data da

1R3

(Rx − j

1ωCx

)= − j

1ωCN

(1R4

+ jωC4

). (6.29)

Con alcune semplificazioni, si ottiene

Rx

R3− j

1ωR3Cx

=C4

CN− j

1ωR4CN

. (6.30)

La (6.30) e soddisfatta solo se sono uguali le parti reali,

Rx

R3=

C4

CN, (6.31)

e le parti immaginarie,1

R3Cx=

1R4CN

, (6.32)

dei due membri. Si puo osservare, innanzitutto, che l’equilibrio del ponte non dipendedalla frequenza. Inoltre, la (6.31) non contiene R4, mentre la (6.32) non contiene C4.


6. Metodi di Ponte

Scelto un valore di R3, quindi, e possibile agire indipendentemente su R4 e C4 per azzerarela parte reale e la parte immaginaria della corrente che fluisce nello strumento di zero, inmodo da trovare facilmente la condizione di equilibrio del ponte. Dalla (6.31) si ottieneimmediatamente

Cx =R4

R3CN , (6.33)

mentre dalla (6.32) si ricava

Rx =C4

CNR3. (6.34)

Si deve, pero, osservare che si preferisce normalmente esprimere le perdite non conRx, ma con tan (δ). Utilizzando la (2.7), si ottiene

tan (δ) = RxωCx. (6.35)

Se si sostituiscono ora nella (6.35) l’espressione di Cx, data dalla (6.33), e l’espressionedi Rx, data dalla (6.34), si ottiene

tan (δ) = ωR4C4. (6.36)

Le due espressioni risolutive del ponte in termini di Cx e tan (δ) sono, quindi, date dalla(6.33) e dalla (6.36). Si puo osservare che il valore di tan (δ) e indipendente dal tipo dischema equivalente assunto per Zx. Inoltre, normalmente, essendo tan (δ) molto piccolo,anche il valore di Cx risulta indipendente dallo schema equivalente scelto per Zx.

Nel ponte di Schering lo strumento di zero G gioca un ruolo importante. Nelle versionipiu moderne, esso e di tipo elettronico con indicazione analogica o digitale. Si trattadi uno strumento selettivo in frequenza, accordato sulla frequenza della sorgente usataper le prove, in grado di fornire separatamente il valore della parte reale e della parteimmaginaria della corrente che lo attraversa.

Utilizzando la (6.33) e la (6.36) come modelli del misurando e date le incertezze tiporelative dei componenti noti del ponte e del condensatore campione u (R3), u (R4), u (C4)e u (CN), nonche l’incertezza tipo relativa della frequenza u ( f ) = u (ω), l’incertezza tipocomposta relativa (Paragrafo 1.5.3) della capacita incognita Cx risulta

u (Cx) =

√u (R4)2 + u (R3)2 + u (CN)2, (6.37)

mentre l’incertezza tipo relativa di tan (δ) e data da

u [tan (δ)] =

√u (R4)2 + u (C4)2 + u (ω)2. (6.38)

Alternativamente, quando si utilizza un ponte di Schering commerciale, di cui il costrut-tore fornisce la classe di precisione, l’incertezza tipo relativa per Cx e tan (δ) e data,rispettivamente, da

u (Cx) =

√(Classe

100√

3

)2

+ u (CN)2, (6.39)



u [tan (δ)] =

√(Classe

100√

3

)2

+ u (ω)2, (6.40)

in cui u (CN) e la incertezza tipo relativa del condensatore campione esterno al ponte eu ( f ) = u (ω) e l’incertezza tipo relativa della frequenza, che, peraltro, nella maggiorparte dei casi e trascurabile. L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi,

u (Cx) = u (Cx) Cx, (6.41)

per Cx, eu [tan (δ)] = u [tan (δ)] tan (δ) , (6.42)

per tan (δ). Per determinare le incertezze estese U (Cx) e U [tan (δ)], si ricorre poi alla(1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. Ilrisultato della misurazione sara, quindi,

C = Cx ± U (Cx) , (6.43)

tan (δ)| f = tan (δ) ± U [tan (δ)] , (6.44)

dove Cx e tan (δ) sono dati, rispettivamente, dalla (6.33) e dalla (6.36), mentre f evi-denzia la frequenza a cui e stata effettuata la misura. Per determinare il numero cifresignificative da utilizzare nell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportatenel Paragrafo 1.5.5.

6.4.3 Misure su Condensatori di Capacita ElevataQuando si effettuano misure su condensatori (ad esempio pezzature di cavi) di capacitaelevata in alta tensione, e necessario modificare lo schema originale del ponte di Scheringdi Figura 6.4, in quanto la resistenza R3 non e in grado di portare la corrente che circolain Cx. Si deve allora inserire uno shunt, che derivi buona parte della corrente. In pratica,si realizza lo schema di Figura 6.5, nel quale con s e indicata la resistenza letta su unfilo resistivo (normalmente da 1 Ω), sul quale il cursore si puo spostare per ricercare lacondizione di equilibrio del ponte.

La soluzione del circuito e piu complessa di quella descritta nel Paragrafo 6.4.2, inquanto si deve trasformare la maglia B-G-T di Figura 6.5 da triangolo a stella, per ottenerelo schema equivalente di Figura 6.6. In questo schema, e presente una resistenza r′ in serieal galvanometro, che non influisce sulla misura, una resistenza r′′ in serie al condensatoreCx, che teoricamente va ad influire sul valore di tan (δ) misurato dal ponte, e una resistenzar′′′, che e quella che interessa per determinare il valore di Cx. All’atto pratico, dati ivalori delle resistenze in gioco, la situazione e meno critica di quanto teoricamente appaia.Tralasciando le dimostrazioni, si arriva alle formule risolutive, tenendo conto che il pontee stato realizzato in modo tale che sia N + Rv + s = 100 Ω. Per il fattore di perdita, siottiene

tan (δ) = ωR4

(C4 −CN

100 − N − sR3 + s

), (6.45)


6. Metodi di Ponte

G

Rx

~

Cx

Rv

s

R3

N

CN

R4 C4

B

G

T

Figura 6.5: Ponte di Schering per capacita elevate

G

Rx

~

Cx

r´´

r´´´

CN

R4 C4

r´G

B

T

Figura 6.6: Circuito equivalente del ponte di Schering per capacita elevate



G

Rx

~

Cx CN

R4 C4R3

C1 C2

C0

Figura 6.7: Ponte di Schering con capacita parassite

che senza errori sensibili si puo ritenere ancora uguale a

tan (δ) ωR4C4. (6.46)

Per quanto riguarda la capacita Cx si ha, invece,

Cx =C4R4 (100 + R3)

N (R3 + s), (6.47)

dove Cx risulta espressa con la stessa unita di misura con cui e data CN , con tutte leresistenze espresse in ohm.

6.4.4 Misure in Alta Tensione e Regolazione dei PotenzialiQuando si effettuano misure di capacita o tan (δ) in alta tensione, bisogna prendere qual-che precauzione per tenere conto delle capacita parassite in gioco, che sono particolar-mente significative a causa dei collegamenti, inevitabilmente lunghi, necessari per la rea-lizzazione del ponte di Schering. Nello schema di Figura 6.7 sono state messe in evidenzatre capacita parassite, e precisamente:• la capacita tra il cavo di collegamento tra Cx e R3 e la terra (C1);• la capacita tra il cavo di collegamento tra CN e R4 e la terra (C2);• la capacita tra l’armatura di bassa tensione del condensatore CN e gli anelli di

guardia (C0).Durante la misura, e bene che dette capacita parassite abbiano un valore definito, percui e preferibile realizzare i collegamenti con cavetti schermati. La capacita C1 risultain parallelo a R3, mentre C2 e C0 risultano in parallelo a C4. Quindi, i valori di tan (δ)dovrebbero essere corretti sommando a C4 i valori di C2 e C0 e poi detraendo il valoreR3C1. Come si vede l’uso del ponte tende a complicarsi.


6. Metodi di Ponte

G

Rx

~

Cx CN

R4 C4R3

C1 C2

C0

~

Figura 6.8: Ponte di Schering con compensazione dell’effetto delle capacita parassite(metodo delle terre di Wagner)

Esiste, pero, la possibilita di eliminare gli effetti di C1, C2 e C0, usando un cavo adoppia schermatura, ponendo a terra la schermatura esterna e portando al potenziale dellostrumento di zero (G) quella interna. Cio puo essere fatto utilizzando una sorgente ditensione ausiliaria, regolabile in ampiezza e fase (regolatore di potenziale), come sche-matizzato in Figura 6.8. Quando lo schermo intermedio e allo stesso potenziale dellostrumento di zero, la corrente assorbita delle capacita parassite non e piu fornita del pon-te, ma della sorgente di tensione ausiliaria utilizzata. In questo modo, le capacita parassitenon influenzano piu la misura. Questa soluzione prende il nome di metodo delle terre diWagner. Nei ponti piu moderni, la regolazione del potenziale viene fatta automaticamentemediante un apposito dispositivo.

6.4.5 Ponti Automatici

Il principio di funzionamento di un ponte automatico e illustrato in Figura 6.9. Il con-densatore da misurare Cx (e quindi eventualmente anche un cavo) e comparato con uncondensatore campione CN , per mezzo di un TA differenziale (descritto nel Capitolo 9) dielevata precisione. I due avvolgimenti primari N1 e N2 di questo TA costituiscono i ramiinferiori del ponte, rispettivamente, dal lato di Cx e di CN . Sul lato secondario del TA, unavvolgimento (NI) e collegato allo strumento di zero, mentre gli avvolgimenti ausiliari N4

e N3 servono ad ottenere la condizione di equilibrio del ponte, rispettivamente, per Cx etan (δ). La corrente che fluisce negli avvolgimenti N3 e N4 puo essere variata in modulo efase a partire da una replica della corrente che fluisce in N2, ottenuta tramite un altro TA(TA).

I due avvolgimenti primari N1 ed N2, nonche gli avvolgimenti ausiliari N3 e N4 in-ducono dei flussi magnetici nel nucleo. La combinazione tra questi flussi magnetici da



Microcomputer

Strumentodi Zero

TA

Cx CNtan(δ)

N1

NI

N2

N4 N3

G1α

G290° β

A D

Figura 6.9: Ponte automatico per la misura di capacita e fattore di perdita


6. Metodi di Ponte

luogo a un flusso di corrente nell’avvolgimento NI , connesso allo strumento di zero. Talecorrente risulta nulla allorche il ponte e in equilibrio, vale a dire quando i flussi magneticiprodotti da N1, N2, N3 e N4 si compensano in modulo e fase. In base alle informazionifornite dallo strumento di zero, per raggiungere la condizione di equilibrio del ponte, ilmicrocomputer agisce sul numero di spire di N2 e sullo sfasamento α per quanto riguardaCx, nonche sullo sfasamento β e sul guadagno G2, per quanto riguarda tan (δ). Il numerodi spire dell’avvolgimento N1 puo essere variato dal microcomputer in base all’ordine digrandezza della capacita Cx.

I valori di Cx e di tan (δ), nonche della tensione di prova, sono calcolati a partire daiparametri di regolazione e vengono indicati su un monitor alla fine di ciascun ciclo diequilibratura. Il metodo descritto, che facilita notevolmente il compito degli operatori, eanche adatto per prove su cavi, o spezzoni di cavo. Per mezzo della tastiera e del monitor,l’operatore puo programmare l’apparecchio, introducendo i valori della capacita campio-ne CN e l’ordine di grandezza della capacita Cx (in modo da ridurre il tempo necessarioper raggiungere l’equilibrio). Normalmente, l’apparecchio viene inserito direttamente pervalori di corrente inferiori a 10÷ 15 A, altrimenti si utilizza un TA esterno, il cui rapportodi trasformazione deve essere fornito in fase di programmazione.


Capitolo 7

Conversione Analogico-Digitale

7.1 GeneralitaLa conversione A/D e il processo di trasformazione di una grandezza analogica, continuanel tempo e in ampiezza, in una grandezza digitale, discreta nel tempo e in ampiezza. Unconvertitore A/D richiede, quindi, due processi di discretizzazione: un processo di discre-tizzazione nel dominio del tempo, che prende il nome di campionamento, e un processodi discretizzazione in ampiezza, che prende il nome di quantizzazione. La frequenza fS ,con cui vengono prelevati i campioni del segnale di ingresso, prende il nome di frequenzadi campionamento, mentre il numero Nbit di bit, con cui viene rappresentata la grandezzadigitale di uscita dopo la quantizzazione, prende il nome di risoluzione ed e un indicedella precisione con cui viene effettuata la conversione A/D stessa. Maggiore e Nbit, piupreciso risulta, infatti, il convertitore A/D.

Esistono numerose tecniche circuitali per effettuare la conversione A/D. In generale,le diverse tecniche permettono di ottenere un’elevata risoluzione, con bassa frequenza dicampionamento, oppure una bassa risoluzione, con una elevata frequenza di campiona-mento (il contenuto informativo per unita di tempo resta, grossomodo, costante), comeillustrato in Figura 7.1. A seconda dei casi, quindi, occorre scegliere la tecnica di con-versione A/D, che garantisce il miglior compromesso tra frequenza di campionamento erisoluzione.

7.2 CampionamentoIl campionamento trasforma una grandezza variabile nel tempo in modo continuo, in unagrandezza definita solo in ben determinati istanti di tempo, come illustrato in Figura 7.2.Nel campionamento, un segnale analogico, che varia in funzione del tempo, viene molti-plicato per una sequenza di segnali di tipo impulsivo, di ampiezza costante (ad esempio,unitaria), che si ripetono con frequenza costante fS . Il periodo TS = 1/ fS e detto interval-lo di campionamento. Il risultato che si ottiene dal prodotto e rappresentato, ovviamente,da una serie di impulsi, modulati in ampiezza. Dal punto di vista matematico, il segnale


7. Conversione Analogico-Digitale

16 bit12 bit8 bit

100 kHz

10 kHz

1 kHz

100 Hz

Cam

pion

amen

to

Risoluzione

Figura 7.1: Compromesso tra risoluzione e frequenza di campionamento

campionato x∗ (t) e dato da

x∗ (t) =

∞∑i=0

x (t) δ (t − iTS ) , (7.1)

dove δ (t) e l’impulso di Dirac. Una sequenza infinita di impulsi di Dirac, essendo unsegnale periodico di frequenza fS , puo essere sviluppato in serie di Fourier e, quindi,

∞∑i=0

δ (t − iTS ) =1

TS

∞∑i=0

e ji2π fS t. (7.2)

La trasformata di Laplace (Paragrafo 3.2) di una sequenza infinita di impulsi di Diracrisulta, quindi,

L

∞∑i=−∞

δ (t − iTS )

=

∞∑i=−∞

e−isTS =1

TS

∞∑i=−∞

δ (s − ji2π fS ) . (7.3)

Pertanto, la trasformata di Laplace X∗ (s) di x∗ (t) risulta

X∗ (s) = L [x∗ (t)] =

∞∑i=−∞

x (iTS ) e−isTS =

∞∑i=−∞

X (s − ji2π fS ) , (7.4)

dove X (s) e la trasformata di Laplace di x (t). Dalla (7.4) si evince che lo spettro delsegnale campionato e costituito dalla sovrapposizione di infinite repliche dello spettro delsegnale tempo-continuo, come illustrato in Figura 7.3. Vale, quindi, il teorema di Shannono del campionamento, secondo il quale il campionamento di un segnale tempo-continuo,


7.2. Campionamento

t

t

t

Segnale AnalogicoTempo Continuo

Impulsi di Campionamento

Segnale AnalogicoCampionato

X(t

)S(

t)X

S(t) TS

Figura 7.2: Campionamento ideale



fB fSS

Spettro del Segnale Tempo-Continuo

fB fSS

Spettro del Segnale Campionato

2 fS 3 fS 4 fS 5 fS

Figura 7.3: Spettro del segnale campionato

fB fSS

Spettro del Segnale Tempo-Continuo

fB fSS

Spettro del Segnale Campionato

2 fS 3 fS 4 fS 5 fS

Figura 7.4: Fenomeno dell’aliasing

con banda finita BS , non porta ad alcuna perdita di informazione, purche si utilizzi unafrequenza di campionamento fS ≥ 2BS . La massima banda di un segnale, che puo esserecampionato a frequenza fS , senza perdita di informazione, BS = fS /2, prende il nome difrequenza di Nyquist.

Qualora si campioni a frequenza fS un segnale con componenti spettrali a frequenzaf > fS /2, insorge il cosiddetto fenomeno di “aliasing”, per cui le componenti spettrali afrequenza f > fS /2 vengono ripiegate nella banda da 0 a fS /2, andandosi a sovrapporrealle componenti spettrali gia presenti in questa banda, come illustrato in Figura 7.4. Insostanza, le componenti spettrali del segnale tempo-continuo a frequenza f = i fS ± f0,con f0 < fS /2, per effetto del campionamento, si sovrappongono alle componenti spettralia frequenza f0, risultando indistinguibili e portando a un’inevitabile perdita di informa-zione. Per ovviare a questo inconveniente, generalmente, prima del campionamento unsegnale tempo-continuo viene filtrato, in modo da rimuovere tutte le componenti spet-trali a frequenza f > fS /2. Il filtro utilizzato a questo scopo prende il nome di filtroanti-aliasing.


7.3. Quantizzazione

C

S1

S2Vi

VU

VU

t

TS

Figura 7.5: Principio di funzionamento del sample-and-hold

In pratica, non e possibile generare una funzione di Dirac, ma solo impulsi di duratafinita. Pertanto, normalmente, si usano sistemi di campionamento, detti “sample-and-hold”, il cui principio di funzionamento e illustrato in Figura 7.5. In questo circuito, ilcondensatore C viene caricato al valore del segnale di ingresso Vi, tramite l’interrutto-re S 1 (sample). Dopo un intervallo di tempo pari a TS /2, l’interruttore S 1 viene apertoe il condensatore C mantiene (hold), per un tempo pari ancora a TS /2, il valore dellatensione di ingresso, presente all’apertura dell’interruttore S 1. Prima di richiudere l’inter-ruttore S 1, per passare al campione successivo, il condensatore C viene scaricato tramitel’interruttore S 2.

7.3 QuantizzazioneIl processo di discretizzazione in ampiezza o quantizzazione, a differenza del campio-namento, porta, inevitabilmente, ad una perdita di informazione. Il segnale quantizzato,infatti, e, per definizione, rappresentato da un numero finito di bit (Nbit), che identificano2Nbit intervalli di quantizzazione δQ, ciascuno di ampiezza data da

δQ =∆

2Nbit, (7.5)



Vin

Nou

t

ΔIntervallo di Quantizzazione (δQ)

i

0

2 – 1N

Figura 7.6: Quantizzazione di un segnale analogico

dove ∆ denota l’ampiezza massima del segnale o fondo scala (tipicamente, il massimo se-gnale va da −∆/2 a +∆/2), come illustrato in Figura 7.6. Pertanto, tutti i livelli analogicicompresi in un particolare intervallo δQ, dopo la quantizzazione, risultano indistinguibili,provocando la perdita di informazione. La differenza tra il segnale di ingresso e il segnalequantizzato prende il nome di errore di quantizzazione εQ. L’entita dell’errore di quantiz-zazione risulta tanto minore, quanto maggiore e la risoluzione del quantizzatore, definitadal numero Nbit di bit in uscita. In particolare, si avra −δQ/2 ≤ εQ ≤ +δQ/2.

L’errore di quantizzazione puo essere considerato una variabile casuale, sotto le se-guenti ipotesi:• l’errore di quantizzazione, entro ciascun intervallo di quantizzazione, ha funzione

densita di probabilita uniforme;• tutti gli intervalli di quantizzazione hanno la medesima ampiezza, sufficientemente

ridotta;• l’errore di quantizzazione non e correlato al segnale di ingresso.

Queste ipotesi, sono, generalmente, soddisfatte nella pratica, considerando che i segna-li analogici sono, normalmente, affetti da altre forme di rumore elettronico, con anda-mento casuale. Sotto queste ipotesi, la funzione densita di probabilita dell’errore diquantizzazione risulta f

(εQ

)=

1δQ, per − δQ/2 ≤ εQ ≤ +δQ/2

f(εQ

)= 0, altrimenti

. (7.6)

L’incertezza dovuta all’errore di quantizzazione, data dalla deviazione standard di εQ,utilizzando la (1.33), risulta, quindi,

u(εQ

)=

δQ√

12. (7.7)


7.4. Blocchi Base

E possibile, a questo punto, definire il rapporto segnale-rumore (SNR), dato dal rapportotra il valore efficace di un segnale sinusoidale, con ampiezza pari a ∆/2, e l’incertezzadovuta all’errore di quantizzazione,

SNR =∆

2√

2u(εQ

) =∆√

3

δQ√

2=

2NBit√

3√

2. (7.8)

Esprimendo la (7.8) in decibel, si ottiene

SNR|dB = 6.02NBit + 1.76. (7.9)

Dalla (7.8) si evince che il SNR e la risoluzione sono legati e, quindi, rappresentano dueparametri alternativi per esprimere la precisione di un convertitore A/D. Qualora, oltreall’errore di quantizzazione, vi siano altre fonti di incertezza nella conversione A/D, co-me, per esempio, altre sorgenti di rumore elettronico, risulta conveniente esprimere laprecisione effettiva del convertitore A/D tramite il SNR, introducendo, pero, a denomina-tore della (7.8), l’incertezza composta, ottenuta combinando tutti i diversi contributi conla (1.39). Dato il SNR cosı ottenuto, si puo definire la risoluzione effettiva, ovvero, ilnumero di bit effettivi (ENOB) del convertitore A/D, come

ENOB =SNR|dB

6.02− 1.76. (7.10)

Il ENOB rappresenta la risoluzione di un convertitore A/D ideale, affetto solo dall’in-certezza dovuta all’errore di quantizzazione, avente lo stesso SNR del convertitore A/Dconsiderato.

7.4 Blocchi BasePrima di considerare alcune tecniche di conversione A/D, particolarmente adatte per glistrumenti di misura, e utile esaminare alcuni blocchi base di uso comune nei convertitoriA/D. La maggior parte delle tecniche di conversione A/D si basano, infatti, su diversecombinazioni di questi blocchi base elementari.

7.4.1 ComparatoreIn ogni convertitore A/D e presente almeno un comparatore. Per illustrare, a livello qua-litativo, il principio di funzionamento di un comparatore, si supponga che la grandezza diingresso abbia l’andamento descritto nel diagramma di Figura 7.7. Un comparatore ricevein ingresso un segnale analogico Vi (t) e fornisce in uscita un segnale digitale a singolo bitVU (t) di livello logico “0”, se Vi (t) < VT , oppure di livello logico “1”, se Vi (t) ≥ VT . Latensione di riferimento VT prende il nome di tensione di soglia. Il comparatore costituisce,quindi, un quantizzatore con risoluzione di un bit.

L’incertezza legata all’operazione di comparazione dipende dalla sensibilita del com-paratore, cioe, dalla minima differenza tra Vi (t) e VT , che determina la commutazione del



t

t

Vi(t)

VU(t)

VT

0

1

Figura 7.7: Principio di funzionamento di un comparatore

livello del segnale di uscita, dall’offset del comparatore, nonche dalla rapidita di rispostadel comparatore stesso. La tecnologia attuale impiega nei comparatori circuiti amplifica-tori ad alto guadagno, con ingresso differenziale, sotto forma di circuiti integrati e, quindi,molto stabili e sensibili, con buona velocita di risposta.

7.4.2 Contatore

Nella conversione A/D, hanno un ruolo importante i sistemi di conteggio degli impulsi(contatori di impulsi). Per questi sistemi si ricorre, solitamente, all’uso di catene di flip-flop (FF), collegati in cascata. Per comprendere, qualitativamente, il funzionamento diun contatore di impulsi, si puo fare riferimento allo schema di Figura 7.8, nella quale, persemplicita, vengono considerati solo tre flip-flop (contatore a 3 bit).

Il primo impulso, inviato in ingresso al primo flip-flop (IN), provoca la transizione diQ1, che passa dal livello logico “0” al livello logico “1”, mentre Q2 e Q3 restano invariati.Quando un secondo impulso viene applicato in ingresso, Q1 passa dal livello logico “1” allivello logico “0”, Q2 passa dal livello logico “0” al livello logico “1” e Q3 resta invariato.Per ogni impulso successivo, applicato in ingresso, il primo flip-flop cambia la sua uscita,mentre gli altri flip-flop cambiano la loro uscita solo in corrispondenza di una transizione“1”-“0” dell’uscita del flip-flop precedente. Si puo osservare che, in ragione del mecca-nismo descritto, la catena di flip-flop e in grado di contare fino a 23 = 8 impulsi e che laparola digitale Q3Q2Q1 rappresenta la codifica binaria del numero di impulsi ricevuti.


7.4. Blocchi Base

D

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FF

IN

Reset

Q1 Q2 Q3

1 2 3 4 5 6 7 8 9IN

Q1

Q2

Q3

0

Figura 7.8: Contatore di impulsi asincrono



Piu generalmente, un contatore con una cascata di N flip-flop puo contare fino a 2N

impulsi. Un gruppo di flip-flop, collegati funzionalmente come in Figura 7.8, costituisceun modulo del contatore. E evidente che piu moduli possono essere posti in cascata,per incrementare il fondo scala del contatore stesso. Se due moduli con N e M flip-flop, rispettivamente, vengono posti in cascata, il contatore risultante puo contare 2N+M

impulsi.Il contatore di Figura 7.8 prende il nome di contatore asincrono, in quanto ciascun

flip-flop, a parte il primo, riceve come ingresso di clock (Ck) il bit di uscita negato del flip-flop precedente. Conseguentemente, in presenza di ritardi di propagazione nei flip-flop,le transizioni dei diversi bit di uscita Qi non avverranno contemporaneamente. Siccomequesti ritardi, soprattutto quando si devono contare impulsi a frequenza elevata, possonoportare a problemi di sincronizzazione, spesso, si ricorre al contatore sincrono, illustratoin Figura 7.9, in cui gli impulsi da contare sono inviati, contemporaneamente, a tutti i flip-flop, provocando, cosı, la commutazione contemporanea di tutti i bit di uscita. Dal puntodi vista funzionale, il contatore sincrono e del tutto equivalente al contatore asincrono.Nel contatore sincrono sono, pero, necessarie delle porte logiche per interconnettere traloro i flip-flop.

Nei contatori e, generalmente, previsto un dispositivo di azzeramento (Reset), checonsente, automaticamente o manualmente, di riportare ogni modulo alle condizioni ini-ziali.

7.4.3 Convertitore D/APer la realizzazione di convertitori A/D, sono, frequentemente, necessari dei convertitoriDigitale-Analogico (D/A). La conversione D/A rappresenta, ovviamente, l’operazioneinversa della conversione A/D. Per effettuare la conversione D/A di una parola digitaleD, rappresentata con Nbit bit (D = bNbit−1 · · · b0), occorre assegnare, a ciascuno dei 2Nbit

possibili valori di D, un valore analogico di tensione (VU) o di corrente (IU), secondo larelazione

VU =Vr

2Nbit

Nbit−1∑i=0

bi2i, (7.11)

oppure

IU =Ir

2Nbit

Nbit−1∑i=0

bi2i, (7.12)

dove Vr e Ir rappresentano, rispettivamente, i valori di fondo scala di tensione o di corren-te.

Un esempio di convertitore D/A e illustrato nello schema a blocchi di Figura 7.10, nelquale si riconoscono:• una sorgente di tensione continua di riferimento Vr, fortemente stabilizzata;• Nbit interruttori analogici;• Nbit resistori di precisione, con valori pesati secondo le potenze di 2;• un amplificatore operazionale, configurato come sommatore.


7.4. Blocchi Base

D

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FF

IN

Reset

Q1 Q2 Q3

1 2 3 4 5 6 7 8 9IN

Q1

Q2

Q3

0

Figura 7.9: Contatore di impulsi sincrono



20 R

2–1 R

2–2 R

2–(N – 1) R

R

VU

Vr

RegistroIN

Figura 7.10: Convertitore D/A

Gli interruttori analogici devono essere comandati dai bit bi della parola digitale da con-vertire. Per effetto della massa virtuale dell’amplificatore operazionale, in ciascuno degliNbit resistori di precisione, fluisce una corrente

Ii =Vr

2−iR, (7.13)

se il rispettivo interruttore e chiuso, oppure Ii = 0, se il rispettivo interruttore e aperto, coni = 0, · · · ,Nbit − 1. Sulla resistenza R, connessa in retroazione intorno all’amplificatoreoperazionale, fluisce una corrente data dalla somma delle correnti Ii e, quindi, la tensionedi uscita del circuito VU , risulta data dalla (7.11).

7.5 Convertitori A/D

Per realizzare un convertitore A/D con Nbit bit di risoluzione, occorre in linea di principio,confrontare il segnale di ingresso con 2Nbit valori di riferimento, uno per ogni intervallo diquantizzazione. Questi confronti possono essere effettuati in parallelo, tutti contempora-neamente, o in serie, uno dopo l’altro, o, ancora, utilizzando combinazioni serie-parallelo.Le diverse tecniche di conversione A/D si differenziano proprio in base al metodo utilizza-to per effettuare i confronti necessari, che, tra l’altro, determina anche la risoluzione rag-giungibile e la frequenza di campionamento utilizzabile, secondo l’andamento riportatoin Figura 7.1.


7.5. Convertitori A/D

7.5.1 Convertitore A/D a Dente di Sega o a Rampa Lineare

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare e illustratoin Figura 7.11. La tensione di ingresso Vi viene confrontata, tramite un comparatore, conuna tensione a dente di sega VS = kt. La tensione di uscita del comparatore VC si trovaal livello logico “1”, fintanto che Vi > VS , mentre passa al livello logico “0”, non appenaVi ≤ VS . Un contatore di impulsi determina il numero di impulsi di clock, di periodo TCk,contenuti nell’intervallo di tempo ∆T , in cui la tensione VC si trova al livello logico “1”,fornendo in uscita una parola digitale D a Nbit bit, data da

D =∆TTCk

=Vi

kTCk. (7.14)

La risoluzione del convertitore A/D e, essenzialmente, determinata dalla pendenza deldente di sega k e dal periodo TCk del clock utilizzato. In particolare, per aumentare larisoluzione, occorre ridurre, il piu possibile, sia k sia TCk. Supponendo di utilizzare lamassima frequenza di clock possibile (TCk minimo), quindi, il tempo massimo necessarioper effettuare una conversione A/D, dato da

∆Tmax =Vi,max

k= 2NbitTCk, (7.15)

cresce al crescere della risoluzione richiesta (k diminuisce).La linearita e la precisione della conversione A/D dipendono dalla linearita del dente

di sega e dalla costanza del periodo del clock. Nella maggioranza dei casi, la pendenzadella rampa, prodotta dal generatore di dente di sega, rappresenta il contributo dominanteall’incertezza del convertitore A/D (oltre, ovviamente, all’errore di quantizzazione), inquanto essa dipende, tipicamente, da una costante di tempo τ = RC, difficile da controllarecon precisione.

In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversioneA/D a Nbit bit, sono effettuati in serie.

7.5.2 Convertitore A/D a Doppia Rampa Lineare

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a doppia rampa lineare e illustrato in Figu-ra 7.12. Questo convertitore A/D e basato sullo stesso principio di funzionamento delconvertitore A/D a dente di sega, ma e in grado di raggiungere prestazioni nettamente mi-gliori, in quanto il risultato della conversione A/D viene reso indipendente dalla costantedi tempo τ = RC, utilizzata per generare la rampa lineare.

Il ciclo di conversione di un convertitore A/D a doppia rampa lineare e diviso in duefasi distinte. In una prima fase, tramite un integratore, viene generata una rampa, conpendenza proporzionale al segnale di ingresso, data da

VR =Vi

RCt = k1t. (7.16)



Generatore diDente di Sega

Vi

Comparatore

Reset

VS

VC

ContatoreCkR

Clock

D

A Vi

VS

VCCk

t

t

ΔT

TCk

D

Figura 7.11: Convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare



Vi

ContatoreCk

RD

t

t

T1

–Vr

R CComparatore

Clock

Logica diControllo

Enable

EOC

Reset

Reset

Enable

Switch

Vm1

Vm2

ΔT1

ΔT2

Segnale di Ingresso Vi Segnale di Riferimento Vr

D1

D2

k1k2

Dmax

TCk

VRS1

S2

Figura 7.12: Convertitore A/D a doppia rampa



All’inizio della seconda fase, dopo un intervallo di tempo prefissato T1, l’interruttoreS 1 viene commutato, connettendo l’ingresso dell’integratore alla tensione −Vr. L’uscitadell’integratore, che nel frattempo ha raggiunto il valore

VR,max = Vm =Vi

RCT1 = k1T1, (7.17)

inizia, quindi, a scendere ed e data da

VR = Vm −Vr

RCt = Vm − k2t. (7.18)

Contemporaneamente, viene abilitato, tramite il segnale Enable, un contatore di impulsi,pilotato da un opportuno segnale di clock (Clock), di periodo TCk. Quando la tensione VR

raggiunge lo zero, il comparatore cambia stato ed il conteggio viene fermato. L’intervallodi tempo, necessario a scaricare completamente la capacita C, risulta pari a

∆T =Vm

k2=

k1T1

k2=

ViRC T1

VrRC

=Vi

VrT1. (7.19)

Dalla (7.19), si puo notare come il valore di ∆T sia indipendente dalla costante di tempoτ = RC. Scegliendo T1 = 2NbitTCk, il codice digitale, che si ottiene in uscita al convertitoreA/D, risulta

D =∆TTCk

=ViT1

VrTCk=

Vi

Vr2Nbit . (7.20)

La precisione del convertitore A/D, quindi, in questo caso, dipende solo dalla preci-sione con cui si realizza la tensione di riferimento Vr, mentre la dipendenza dal periododel clock TCk e dalla costante di tempo τ = RC viene eliminata. Questo miglioramentodella precisione del convertitore A/D viene ottenuto a spese di un periodo di conversionepiu lungo, che non in un convertitore A/D a dente di sega. Il tempo necessario per ottenereil codice digitale in uscita risulta, infatti, pari a

∆Tmax = 2NbitTCk + 2NbitTCk = 2Nbit+1TCk. (7.21)

L’interruttore S 2, controllato dal segnale Reset, permette di azzerare l’uscita dell’inte-gratore, prima di iniziare un ciclo di conversione. Contestualmente, viene azzerato ancheil contatore. Un’opportuna logica di controllo si occupa di generare tutti i segnali ne-cessari al funzionamento del convertitore A/D (Reset, Enable, Switch). Il segnale EOC,fornito dal contatore alla logica di controllo, viene utilizzato per identificate l’istante ditempo T1.

Anche in questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conver-sione A/D a Nbit bit, sono effettuati in serie.



∫ Latch

Ck

Vi

Integratore Comparatore

–

+

Reset

Contatore

Reset

DQU

+Vr

Nbit

–Vr

Vf

Figura 7.13: Convertitore A/D incrementale

7.5.3 Convertitore A/D Incrementale

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D incrementale e illustrato in Figura 7.13. Glielementi costitutivi di questo tipo di convertitore A/D sono gli stessi presenti in un con-vertitore a doppia rampa lineare, ovvero, un integratore, un comparatore e un contatore.Il principio di funzionamento e, tuttavia, diverso. In un convertitore A/D incrementale, lagrandezza in uscita all’integratore U (kTCk), al tempo kTCk, dove TCk = 1/ fCk e il periododel segnale di clock Ck, e data da

U (0) = Vi

U (kTCk) = U [(k − 1) TCk] +[Vi − (−1)Q[(k−1)TCk]+1 Vr

]U

(2NbitTCk

)= U

[(2Nbit − 1

)TCk

]− (−1)Q[(2Nbit−1)TCk]+1 Vr

, (7.22)

dove Vi e la tensione di ingresso e Q (kTCk) e il bit di uscita del comparatore, che puoassumere i valori “0” o “1”. In pratica, in ogni periodo di clock (indice k), il comparatoreverifica il segno del segnale di uscita dell’integratore U (kTCk), determinando se al colpodi clock successivo la tensione di riferimento Vr deve essere sommata, per U (kTCk) < 0,o sottratta, per U (kTCk) ≥ 0, al segnale di ingresso Vi. Durante il primo periodo di clock,viene integrato solo il segnale di ingresso, mentre, durante l’ultimo periodo di clock, vieneintegrato solo il segnale

V f

(2NbitTCk

)= (−1)Q[(2Nbit−1)TCk]+1 Vr. (7.23)

Trattandosi di un anello di reazione negativa, con elevato guadagno per le basse frequenze,per via dell’integratore, il segnale V f (kTCk) tende ad uguagliare, in media, il segnale diingresso Vi. Pertanto, il contatore di impulsi, accumulando il segnale digitale Q (kTCk),legato a V f (kTCk), a meno della tensione Vr, dopo 2Nbit periodi di clock, fornisce in uscita



Vi

ΦCk

S&H

DAC

Nbit

Registro adApprossimazioni

Successive

+

–

Comparatore

Vr

ΦS

D

Figura 7.14: Convertitore A/D ad approssimazioni successive

una parola digitale D, data da

D =

2Nbit−1∑k=0

Q (kTCk) = 2Nbit Q = 2NbitV f

Vr= 2Nbit

Vi

Vr, (7.24)

dove Q denota il valore medio di Q (kTCk), mentre V f e il valore medio di V f (kTCk).Ovviamente, il tempo di conversione risulta pari a 2NbitTCk. Il segnale Reset permette

di azzerare l’integratore e il contatore prima di ogni conversione. La precisione del con-vertitore A/D, in questo caso, dipende solo dalla precisione con cui si realizza la tensionedi riferimento Vr.

Anche in questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conver-sione A/D a Nbit bit, sono effettuati in serie.

7.5.4 Convertitore A/D ad Approssimazioni SuccessiveLo schema a blocchi di un convertitore A/D ad approssimazioni successive e illustratoin Figura 7.14. Il circuito e costituito da un sample-and-hold (S&H), un comparatore,un convertitore D/A (DAC) e un blocco digitale, denominato registro ad approssimazio-ni successive (SAR). Il principio di funzionamento di questo convertitore A/D e basatosul metodo delle bisezioni, che permette di determinare la parola digitale a Nbit bit, cherappresenta il segnale di ingresso, in Nbit periodi di clock.

All’inizio di ogni ciclo di conversione, il segnale di ingresso Vi viene campionato dalS&H. Successivamente, come illustrato in Figura 7.15, il segnale di ingresso viene con-frontato con la tensione analogica fornita dal DAC, che corrisponde al bit piu significativo.Se il segnale di ingresso e di ampiezza inferiore rispetto al segnale fornito dal DAC, si-gnifica che il bit piu significativo della parola digitale di uscita D deve essere posto a “0”,altrimenti, significa che esso deve essere posto a “1”. Una volta stabilito il valore del



1 0 0 0 0 0 0 0. . .

1 1 0 0 0 0 0 0. . .

1 1 1 0 0 0 0 0. . .

1 1 0 1 0 0 0 0. . .

1 1 0 1 1 0 0 0. . .

S

S

N

S

N

Registro ad Approssimazioni Successive

MSB LSB

CK 2

CK 3

CK 4

CK 5

CK 6

Conferma?

1 1 0 1 0 1 0 0. . .CK 7 ?

Ipotizzato

Confermato

0 0 0 0 0 0 0 0. . .CK 1

Figura 7.15: Principio di funzionamento di un convertitore A/D ad approssimazionisuccessive

bit piu significativo, esso viene memorizzato dal SAR e mantenuto. Si passa, quindi, albit successivo, confrontando la tensione fornita dal DAC con il segnale di ingresso. Inbase alla decisione del comparatore, si stabilisce se il bit in questione deve essere “0” o“1”, memorizzando poi il risultato nel SAR. Si procede in questo modo per Nbit periodi diclock, fino a che non vengono determinati tutti i bit. Ovviamente, il tempo di conversionerisulta pari a NbitTCk.

I convertitori A/D ad approssimazioni successive, a parita di frequenza di clock, sononotevolmente piu veloci, rispetto ai convertitori A/D a rampa lineare o incrementali. Tut-tavia, essi presentano un’incertezza maggiore, legata alla precisione con cui si riesconoa realizzare le tensioni di uscita del DAC. In questo caso, infatti, invece di una sola ten-sione di riferimento Vr, devono essere generate Nbit tensioni di riferimento, che devonoessere in rapporto tra loro precisamente come le potenze di 2. Con i convertitori A/D adapprossimazioni successive e, pertanto, molto difficile superare i 12 bit di precisione.

In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversioneA/D a Nbit bit, sono effettuati utilizzando una combinazione serie-parallelo.

7.5.5 Convertitore A/D Flash

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D flash e illustrato in Figura 7.16. Il segnaledi ingresso, in un convertitore A/D flash a Nbit bit, viene confrontato con 2Nbit tensioni diriferimento, tipicamente generate con una stringa resistiva, realizzata con 2Nbit resistori Rd,tramite 2Nbit −1 comparatori. Le tensioni di riferimento corrispondono ai limiti dei singoliintervalli di quantizzazione. In uscita ai comparatori, si ottengono 2Nbit − 1 segnali digitalia singolo bit bi. Tutti i bi corrispondenti a comparatori, la cui tensione di riferimento e



D

Nbit

Nbit – 1

Nbit – 2

Nbit – 3

Rd

Rd

Rd

Rd/2

Rd/2

b0

b1

b

b

b

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

Con

vert

itore

da

Cod

ice

Term

omet

rico

a C

odic

e B

inar

io

Vr Vi

Figura 7.16: Convertitore A/D flash



Vi ADC+

Residuo

ADC+

Residuo

ADC+

Residuo

1 2 k

Nbit,1 Nbit,2

Nbit

Nbit,k

Residuo

Campione (n – k – 1)Campione (n – 1)Campione n

Logica di Ricombinazione

D

Figura 7.17: Convertitore A/D pipeline

inferiore al segnale di ingresso, saranno a “0”, mentre gli altri saranno a “1”. Si ottiene,quindi, una rappresentazione digitale del segnale di ingresso, secondo un codice detto ter-mometrico (per l’ovvia analogia con un termometro a mercurio). Il codice termometricopuo poi essere convertito, tramite un semplice circuito logico, in un codice binario, inmodo da ottenere la parola digitale di uscita D.

I convertitori A/D flash possono raggiungere velocita di conversione molto elevate, inquanto richiedono un solo periodo di clock per fornire la parola digitale di uscita. Tuttavia,per via della presenza di un numero elevato di componenti (2Nbit resistori Rd e 2Nbit − 1comparatori), ciascuno con le sue tolleranze e non-idealita, l’incertezza associata a questiconvertitori risulta elevata. Inoltre, si puo notare come la complessita del circuito crescaesponenzialmente con la risoluzione. Pertanto, la risoluzione massima raggiungibile conconvertitori A/D flash risulta dell’ordine di 6 bit.

In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversioneA/D a Nbit bit, sono effettuati in parallelo.

7.5.6 Convertitore A/D Pipeline

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D pipeline e illustrato in Figura 7.17. Il conver-titore A/D pipeline sfrutta il principio della catena di montaggio. In pratica, il segnale diingresso Vi viene convertito, in passi successivi, da k stadi posti in cascata. Mentre il pri-mo stadio elabora il campione corrente del segnale di ingresso, il secondo stadio elaboraulteriormente il campione, gia elaborato dal primo stadio nel periodo di clock precedente,e cosı via, fino all’ultimo stadio. Ciascuno degli stadi produce un sottoinsieme Nbit,k degliNbit bit, che compongono la parola digitale di uscita D. Il convertitore pipeline, pertanto,



a parte una latenza iniziale di k periodi di clock (kTCk), fornisce in uscita una nuova paroladigitale per ogni periodo di clock (TCk), come il convertitore flash.

Ciascuno dei k stadi del convertitore A/D pipeline converte in digitale il proprio se-gnale di ingresso, con una data risoluzione (Nbit,k), e fornisce in uscita la corrispondenteparola digitale a Nbit,k bit, nonche un residuo, che dovra essere poi convertito dallo sta-dio successivo. Il residuo si ottiene moltiplicando per 2Nbit,k la differenza tra il segnale diingresso dello stadio e il segnale di uscita a Nbit,k bit, convertito in analogico da un conver-titore D/A. Il residuo e, quindi, sostanzialmente, l’errore di quantizzazione introdotto daciascuno stadio nella conversione A/D a Nbit,k bit. I bit ottenuti in uscita dai diversi stadivengono poi riallineati tramite opportuni registri, in modo da costituire la parola digitaledi uscita D, corrispondente a ogni campione del segnale di ingresso. La risoluzione diun convertitore pipeline risulta limitata dall’accuratezza con cui si riescono a realizzarei fattori 2Nbit,k , necessari per generare il residuo, nonche dalla precisione dei convertitoriA/D e D/A, presenti nei singoli stadi. La massima risoluzione ottenibile si aggira intornoa 12 bit.

In questo caso, i 2Nbit confronti, idealmente necessari per ottenere una conversioneA/D a Nbit bit, sono effettuati utilizzando una combinazione serie-parallelo.


Capitolo 8

Strumenti Digitali

8.1 Generalita

Negli strumenti indicatori digitali, la lettura della grandezza da misurare e espressa in for-ma numerica, attraverso un certo numero di cifre (digit). Quanto sia piu comodo leggeredirettamente il valore cercato, invece di ricavarlo dalla posizione di un indice su una scala,come nel caso degli strumenti analogici, e sensazione comunemente acquisita.

L’indicazione sotto forma numerica permette sia di aumentare considerevolmente lavelocita di lettura, sia di eliminare l’errore umano nella valutazione del dato. Inoltre, congli strumenti digitali e possibile pilotare direttamente sistemi di memorizzazione, di stam-pa, di registrazione magnetica, o interfacciarsi direttamente con un personal computer, inmodo da realizzare sistemi di misura complessi.

Lo schema a blocchi di un generico strumento digitale e illustrato in Figura 8.1. Essoe costituito dai seguenti blocchi funzionali:

• Condizionamento Analogico: elabora in modo analogico i segnali di ingresso, inmodo da renderli compatibili con i Convertitori A/D; puo contenere amplificato-ri, filtri, convertitori corrente/tensione, convertitori da corrente alternata a correntecontinua;

• Convertitori A/D: convertono i segnali analogici in segnali digitali (Capitolo 7);• Microprocessore: elabora l’informazione digitale, in modo da fornire l’informazio-

ne numerica corretta, con la opportuna unita di misura;• Base dei Tempi (Clock): fornisce la corretta temporizzazione al Microprocessore e

ai Convertitori A/D;• Memoria: memorizza i dati;• Output: converte i risultati della misurazione in un formato leggibile per l’utente;

puo essere un display numerico o un monitor.

Il numero dei blocchi e la loro interconnessione varia con la funzione dello strumento econ la sua classe di precisione.


8. Strumenti Digitali

CondizionamentoAnalogico

Ingr

essi

Ana

logi

ci

ConvertitoriA/D

Riferimento

Microprocessore Output

Base dei Tempi(Clock)

Memoria

Figura 8.1: Schema a blocchi di un generico strumento digitale

8.2 Multimetri

I multimetri sono strumenti che, sfruttando i vantaggi della tecnologia digitale, permetto-no di misurare diverse grandezze, sia in corrente continua, sia in corrente alternata (tipica-mente, tensione, corrente e resistenza). Essi sono realizzati secondo lo schema a blocchidi Figura 8.1 e possono avere diverse forme e dimensioni, a seconda dell’uso a cui sonodestinati, come illustrato in Figura 8.2 (multimetro portatile “palmare”) e in in Figura 8.3(multimetro da banco).

Per funzionare come voltmetro, il multimetro utilizza direttamente il convertitore A/D,per tradurre la tensione di ingresso, eventualmente amplificata o attenuata dai circuiti ana-logici di condizionamento, in forma digitale. Quando opera come amperometro, invece,il multimetro sfrutta un convertitore corrente/tensione, per trasformare la corrente di in-gresso in una tensione di ampiezza adeguata per essere convertita in forma digitale dalconvertitore A/D. Il convertitore corrente/tensione puo essere una semplice resistenza(shunt) oppure un circuito piu complesso, basato su amplificatori operazionali.

Per funzionare come ohmmetro, il multimetro dispone di una sorgente interna di cor-rente costante e tarata, che viene fatta fluire nel resistore da misurare, producendo, all’in-gresso del convertitore A/D, una caduta di tensione proporzionale al valore di resistenza.Il valore numerico in uscita al convertitore A/D viene elaborato dal microprocessore, inmodo da determinare il corretto valore di resistenza. Il multimetro, in questo caso, misurala resistenza tramite il metodo voltamperometrico (Paragrafo 5.2.3).

Per le misure in corrente alternata, i multimetri piu semplici dispongono di un circuitoraddrizzatore (eventualmente a valle del convertitore corrente/tensione, per le misure dicorrente) e misurano, tramite il convertitore A/D, il valore medio sul semiperiodo dellatensione (Paragrafo 5.3). Il dato di misura, in questo caso, viene espresso in valore efficacemoltiplicandolo automaticamente per il fattore di forma 1.11, supponendo la grandezzasinusoidale. Il risultato e, percio, corretto, solo se la forma d’onda della tensione o dellacorrente non presenta distorsioni.


8.2. Multimetri

Figura 8.2: Multimetro digitale “palmare”

Figura 8.3: Multimetro digitale da banco



V1V2

Vn

v(t)

t

Figura 8.4: Calcolo del valore efficace nel dominio digitale

I multimetri piu moderni, invece, calcolano il valore efficace della grandezza da mi-surare direttamente nel dominio digitale. Con il convertitore A/D si effettua il campio-namento della forma d’onda di tensione (eventualmente ottenuta dal convertitore cor-rente/tensione, per le misure di corrente), ottenendo un certo numero di campioni dellatensione v (t), periodica con periodo T (V1,V2, · · · ,Vn), come illustrato in Figura 8.4. Ilmicroprocessore dello strumento viene, quindi, usato per eseguire il calcolo del valoreefficace V della tensione, in base alla definizione

V =

√1T

∫ T

0v (t)2 dt, (8.1)

che, considerando il segnale campionato risulta

V =

√∑ni=1 V2

i

n, (8.2)

a condizione che gli n campioni considerati coprano un numero intero k di periodi Tdella tensione v (t), ovvero nTS = kT . Se questa condizione non e verificata, il valoreottenuto risulta errato. Per ovviare a questo inconveniente, in genere, la sequenza dicampioni viene pesata con una opportuna “finestra” w1,w2, · · · ,wn (finestratura), in mododa rendere trascurabile il contributo dei campioni all’inizio e alla fine della sequenza. Trale finestre piu utilizzate vale la pena di citare la finestra di Hamming, la finestra di Hanninge la finestra di Blackman-Harris, illustrate in Figura 8.5. Se si utilizza una finestra wi, la(8.2) diviene

V =

√∑ni=1 V2

i wi∑ni=1 wi

. (8.3)


8.3. Wattmetri

0 8 16 24 32 40 48 56 640

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Campione (i)

wi

HanningHammingBlackman-Harris

Figura 8.5: Finestre di Hamming, Hanning e Blackman-Harris

8.3 WattmetriI wattmetri digitali o analizzatori di potenza sono strumenti che permettono di misuraretutti i parametri legati alla potenza in gioco in un sistema monofase o trifase (potenzaattiva, potenza reattiva, potenza apparente, fattore di potenza, tensione e corrente). Essisono realizzati secondo lo schema a blocchi di Figura 8.1 e sfruttano due convertitoriA/D per acquisire simultaneamente un certo numero di campioni della tensione v (t) e,tramite un convertitore corrente/tensione, della corrente i (t) del circuito (V1,V2, · · · ,Vn

e I1, I2, · · · , In). Il microprocessore effettua poi il calcolo della potenza istantanea neldominio del tempo e, quindi, della potenza attiva, che risulta data da

P =

∑ni=1 ViIi

n. (8.4)

Anche in questo caso, gli n campioni considerati devono coprire un numero intero diperiodi delle grandezze in gioco e, quindi, per evitare errori, si utilizza una finestra wi. Lapotenza attiva risulta, quindi,

P =

∑ni=1 ViIiwi∑n

i=1 wi. (8.5)

I valori efficaci della tensione V e della corrente I, determinati tramite la (8.2) o la (8.3),vengono utilizzati per calcolare la potenza apparente

S = VI, (8.6)



Figura 8.6: Wattmetro digitale

la potenza reattivaQ =

√S 2 − P2 (8.7)

e il fattore di potenza

cos (ϕ) =PS. (8.8)

Gli analizzatori di potenza piu moderni permettono anche di effettuare un’analisi ar-monica delle grandezze in gioco, qualora si lavori in regime non-sinusoidale (Paragra-fo 5.7). In questo caso, lo strumento fornisce i valori di potenza attiva, potenza reattiva,potenza apparente, fattore di potenza, tensione e corrente per ogni armonica presente,nonche i valori complessivi. In Figura 8.6 e riportato il pannello frontale di un tipicowattmetro digitale.

8.4 Strumenti per la Misura di Tempo e FrequenzaGli strumenti digitali per la misura di frequenze o intervalli di tempo confrontano unafrequenza o un intervallo di tempo incogniti con una frequenza o un intervallo di temponoti. L’accuratezza della misura dipende essenzialmente dalla stabilita della frequenza odell’intervallo di tempo noto, cioe dalla precisione e stabilita della base dei tempi dellostrumento.

8.4.1 Strumenti per la Misura di Frequenza e PeriodoLo schema a blocchi di uno strumento per la misura di frequenza o periodo e illustratoin Figura 8.7. Esso e costituito da una base dei tempi (Clock), un circuito di condiziona-mento del segnale di ingresso (Formatore), un interruttore (Gate), un contatore di impulsi(Contatore) e un dispositivo di interfaccia col mondo esterno (Output). Il blocco Forma-tore ha il compito di trasformare il segnale di ingresso in un onda quadra adatta ad essereutilizzata per comandare il Gate e il Contatore.


8.4. Strumenti per la Misura di Tempo e Frequenza

Formatore

Clock

Ingr

esso

Contatore Output

GateA

B

A

B

TB

TA

Misurazione di Frequenza

Formatore

Clock

Ingr

esso

Contatore Output

GateA

B

A

B

TB

TA

Misurazione di Periodo

Figura 8.7: Strumento digitale per misure di frequenza e periodo



Nel caso di misurazione di frequenza, lo strumento conta il numero di periodi N delsegnale di ingresso (A, con periodo TA e frequenza fA) compresi in un periodo del segnaledi riferimento (B, con periodo TB e frequenza fB). Il numero N e dato da

N =TB

TA=

fA

fB. (8.9)

Se TB = 1 s, N rappresenta direttamente la frequenza del segnale di ingresso. In questocaso la risoluzione della misurazione e tanto piu elevata quanto piu alta e la frequenza delsegnale di ingresso rispetto a quella del segnale di riferimento.

Nel caso di misurazione di periodo lo strumento conta il numero di periodi N delsegnale di riferimento (A, con periodo TA) compresi in un periodo del segnale di ingresso(B, con periodo TB). Il numero N e dato da

N =TB

TA. (8.10)

Se TA = 1 s, N rappresenta direttamente il periodo del segnale di ingresso. In questocaso la risoluzione della misurazione e tanto piu elevata quanto piu alta e la frequenza delsegnale di riferimento rispetto a quella del segnale di ingresso.

In generale, per ottenere una misurazione di frequenza con una buona risoluzione con-viene adottare una misurazione di periodo per frequenze fino a 100 kHz e una misurazionedi frequenza per frequenze superiori. In aggiunta, va ricordato che in entrambi i casi esi-ste una ambiguita naturale di ±1 sull’ultima cifra significativa del conteggio, dovuta allosfasamento esistente fra segnale di ingresso e segnale di riferimento, come illustrato inFigura 8.8. Altri elementi di incertezza nelle misurazioni di periodo e frequenza sonol’incertezza della frequenza del segnale di riferimento e eventuali errori introdotti dal cir-cuito Formatore nel condizionamento del segnale di ingresso. Se nello schema a blocchidi Figura 8.7 si sostituisce alla base dei tempi (Clock) un secondo ingresso con un secon-do circuito Formatore, si esegue la misura del rapporto esistente fra le frequenze dei duesegnali di ingresso.

8.4.2 Strumenti per la Misura di Intervalli di TempoLa misurazione di intervalli di tempo e concettualmente simile alla misurazione di fre-quenza e periodo, come illustrato in Figura 8.9. Tuttavia, in una misurazione di intervallodi tempo, il periodo TB viene definito dalla combinazione di due impulsi ottenuti tra-mite due circuiti Formatori (sostanzialmente dei comparatori) a partire da due segnalidi ingresso, che definiscono gli istanti di inizio (Start) e di fine (Stop) dell’intervallo ditempo.

Il numero di periodi N del segnale di riferimento (A), compresi nell’intervallo ditempo considerato (B), e dato da

N =TB

TA=

∆tTA. (8.11)


8.4. Strumenti per la Misura di Tempo e Frequenza

N = 25

N = 24

t

B

A1

A2

Figura 8.8: Incertezza nel conteggio in misurazioni di frequenza e periodo

Formatore Contatore Output

Gat

eB

A

A

B

TB = Δt

TA

Formatore

VStart

VStop

Clock

Gen

erat

ore

di Δ

tStart

StopStart

Stop

Figura 8.9: Strumento digitale per misure di intervalli di tempo



Am

piez

ze

t

A1

A2

t1

t2

Soglia

tp

Area di Incertezza

Figura 8.10: Incertezza sulla definizione dell’intervallo di tempo (“walk”)

In questo caso, oltre agli elementi di incertezza gia citati per le misurazioni di frequenzae periodo, occorre anche tener conto dell’incertezza con cui vengono generati dai circuitiFormatore gli impulsi di Start e Stop, la quale, tra l’altro, dipende dall’ampiezza deisegnali VStart e VStop, ovvero dall’entita degli eventi corrispondenti (fenomeno di “walk”),come illustrato in Figura 8.10.

La risoluzione ottenibile in misurazioni di intervalli di tempo dipende ovviamentedalla frequenza utilizzata per il conteggio ( fA = 1/TA). Tanto piu alta e fA, tanto maggioree la risoluzione. Risulta, pertanto, difficile effettuare misurazioni precise di intervalli ditempo piccoli (inferiori al nanosecondo), in quanto non e possibile utilizzare frequenzefA sufficientemente elevate. In questi casi, quindi, si ricorre al metodo del “vernierotemporale”, illustrato in Figura 8.11, in cui si utilizzano due contatori pilotati da segnalidi clock con frequenze leggermente diverse tra di loro ( f1 e f2 = f1 + ∆ f ). All’istantetStart viene fatto partire il contatore a frequenza f1 (Contatore 1), mentre all’istante tStop

viene fatto partire il contatore a frequenza f2 (Contatore 2). Il conteggio di entrambi icontatori viene poi fermato quando gli impulsi di entrambi i segnali di clock si verificanocontemporaneamente (tm). Nell’intervallo di tempo ∆t = tStop − tStart, il Contatore 1 contan1 impulsi, mentre tra tStop e tm i due contatori contano, rispettivamente, n′1 e n2 impulsi.Pertanto, vale la relazione

tStart +n1

f1+

n′1f1

= tStop +n2

f2. (8.12)

Sviluppando, si ottiene

∆t = tStop − tStart =n1

f1+

n′1f1−

n2

f2. (8.13)



ttmtStoptStart

Δt

n1 n1´

n2

T1 = 1/f1

T2 = 1/f2

Figura 8.11: Metodo del verniero temporale

Se ∆ f f1, n′1 n2 e, quindi,

∆t =n1

f1+

n2

f1−

n2

f1 + ∆ f=

n1

f1+ n2

[∆ f

f1 ( f1 + ∆ f )

]

n1

f1+

n2∆ ff 21

. (8.14)

Il primo termine della (8.14) rappresenta una misura grossolana dell’intervallo di tempo∆t, mentre il secondo temine rappresenta un raffinamento della misura. La risoluzionecomplessiva che si ottiene e la stessa che si otterrebbe usando una frequenza circa paria f 2

1 . L’incertezza misura in questo caso e determinata dagli stessi fattori citati in pre-cedenza con, in aggiunta, l’incertezza sulla rilevazione dell’istante tm, in cui fermare ilconteggio.

8.5 Incertezza di MisuraI limiti di precisione (accuratezza) di uno strumento digitale vengono solitamente espressicon due valori percentuali, uno riferito alla lettura (εL) e uno alla portata (εP). L’erroreassoluto dello strumento (ε) viene, quindi, determinato come

ε = ± (εL · Lettura + εP · Portata) . (8.15)

Per i wattmetri digitali, oltre ai valori di εL e εP, viene generalmente fornito anche ilparametro εϕ, che tiene conto dell’errore di fase tra tensione e corrente, introdotto dalwattmetro stesso. Considerando la (5.61), l’errore assoluto dello strumento (ε) diviene,quindi,

ε = ±[εL · Lettura + εP · Portata + εϕ · Portata · tan (ϕ)

], (8.16)

dove ϕ e l’angolo di sfasamento tra tensione e corrente. I valori di εL, εP e εϕ sono, gene-ralmente, reperibili sul manuale dello strumento. L’incertezza tipo assoluta, assumendodistribuzione rettangolare, risulta

u =ε√

3, (8.17)



mentre l’incertezza tipo relativa e data da

u =ε

Lettura ·√

3. (8.18)

Ad esempio, considerando un multimetro, utilizzato come voltmetro in corrente con-tinua, con portata pari a 300 mV, lettura pari a 250.0000 mV, εL = 30 ppm e εP = 8 ppm,ε risulta

ε = ±(30 × 10−6 · 250 mV + 8 × 10−6 · 300 mV

)= 7.5 µV. (8.19)

L’incertezza tipo assoluta e relativa risultano, quindi, rispettivamente,

u =7.5 µV√

3= 4.33 µV, (8.20)

u =7.5 µV

250 mV ·√

3= 17.32 ppm. (8.21)


Capitolo 9

Trasformatori di Misura

9.1 Generalita

I trasformatori di misura sono condizionatori di segnale di tipo elettromagnetico che, in-seriti su sistemi funzionanti in corrente alternata, permettono di riprodurre la grandezzasotto misura (tensione o corrente), secondo uno determinato fattore di scala e senza ap-prezzabile scostamento di fase. I trasformatori di misura dispongono, percio, di almenodue avvolgimenti (primario e secondario), ciascuno dei quali con almeno due terminali.La grandezza da misurare viene applicata ai terminali del primario, mentre ai terminalidel secondario vengono collegati gli strumenti di misura o gli apparati di protezione, checostituiscono la prestazione dell’apparecchio.

I trasformatori di misura sono apparecchi che sui sistemi ad alta tensione assolvonoanche l’importante funzione di separare dielettricamente l’avvolgimento secondario daquello primario, che puo essere a tensione elevata. Principalmente concepiti per funzio-nare in regime semistazionario (cioe con grandezze alternate), essi possono assicurareanche buoni requisiti in funzionamento transitorio, quando destinati ad alimentare ap-parecchi di protezione. Esistono diversi tipi di trasformatori di misura, a seconda dellafunzione svolta e del principio di funzionamento:• Trasformatore di Corrente (TA);• Trasformatore di Tensione Induttivo (TVI);• Trasformatore Combinato di Tensione e Corrente (TVA);• Trasformatore di Tensione Capacitivo (TVC).

Ciascun tipo di apparecchio puo essere destinato ad alimentare strumenti di misura oppureapparecchi di protezione, in quanto i requisiti richiesti nei due casi sono diversi. Soventesi usano trasformatori di misura con piu di due avvolgimenti, destinati a svolgere funzionidiverse (misura o protezione), o che, pur avendo due soli avvolgimenti, possono svolgerecontemporaneamente, sia pure con qualche limitazione, le due funzioni.

Per regolamentare le caratteristiche e le prestazioni dei trasformatori di misura e irapporti tra costruttori e acquirenti, sono state messe a punto e sono disponibili diversenorme della IEC e del Comite Europeen de Normalisation Electrotechnique (CENELEC).


9. Trasformatori di Misura

Le norme emesse dal CENELEC, Norme Europee (EN), sono automaticamente traspostein norme nazionali dal CEI.

9.2 Trasformatore di Corrente

Il TA, nella sua forma piu semplice, e costituito da due avvolgimenti (primario e secon-dario), tra loro isolati, avvolti intorno a un nucleo magnetico. L’avvolgimento primariodeve essere attraversato dalla corrente da misurare e, quindi, collegato in serie nel circui-to, mentre l’avvolgimento secondario deve alimentare gli strumenti di misura o le appa-recchiature di protezione. I circuiti alimentati dal TA, inclusi i cavetti di collegamento,costituiscono la “prestazione” del TA, che ne condiziona le prestazioni misuristiche.

Lo schema di inserzione del TA e rappresentato in Figura 9.1, assieme al modellocircuitale che ne descrive il funzionamento. In Figura 9.2 e invece riportato il diagrammavettoriale delle grandezze elettriche in gioco. Con E2 e stata rappresentata la forza elettro-motrice indotta nel secondario, necessaria per far circolare la corrente I2 negli apparecchialimentati. Tale forza elettromotrice e prodotta dal flusso magnetico che si stabilisce nelnucleo magnetico, a sua volta creato da una quota parte della corrente primaria I1. Lacomponente magnetizzante I0 cambia di valore al variare della corrente primaria e dellaprestazione collegata al secondario e non e sinusoidale, a causa della caratteristica di ma-gnetizzazione del circuito magnetico. La somma vettoriale della corrente I2 rovesciata emoltiplicata per il rapporto di trasformazione kTA,N e della componente magnetizzante I0

rappresenta la corrente primaria I1. Piu precisamente, in ogni istante deve essere verificatala relazione

N1~I1 = N2~I2 + N1~I0, (9.1)

dove N1 e N2 rappresentano, rispettivamente, il numero delle spire degli avvolgimentiprimario e secondario. Dividendo per N1, si ottiene

~I1 =N2

N1

~I2 + ~I0 = kTA,S ~I2 + ~I0, (9.2)

avendo indicato con kTA,S il rapporto tra il numero delle spire del secondario e il numerodi spire del primario. Si tenga presente che nel diagramma vettoriale di Figura 9.2 nonsono rispettate le proporzioni reali tra i moduli dei vettori (I0 e molto piu grande di quantosi verifica in realta). La corrente primaria I1 e impressa dal sistema (o puo essere conside-rata tale), per cui il diagramma vettoriale di Figura 9.2 cambia al variare di I1 stessa. Lacondizione di funzionamento ideale di un TA e quella con l’avvolgimento secondario incortocircuito. A secondario aperto, la corrente primaria diventa tutta magnetizzante, percui la tensione indotta nel secondario puo assumere valori molto elevati (anche migliaia divolt). La non-linearita della componente magnetizzante fa sı che il rapporto tra i modulidelle correnti primaria e secondaria, e quindi il rapporto di trasformazione reale del TA(kTA), non si mantenga costante. Inoltre, la corrente secondaria rovesciata non e esatta-mente in fase con la corrente primaria. Esaminando lo schema di Figura 9.1, si nota che,


9.2. Trasformatore di Corrente

Z1Z2

I2

I1

I0

Y0

N2N1Primario Secondario

A

I1: Corrente primariaI2: Corrente secondariaI0: Quota della corrente primaria utilizzata per la magnetizzazione del nucleo magneticoN1: Numero delle spire primarieN2: Numero delle spire secondarieZ1: Impedenza di dispersione del primarioZ2: Impedenza di dispersione del secondarioY0: Ammettenza equivalenteA: Prestazione alimentata

AA

A

Figura 9.1: Schema di inserzione e circuito equivalente del TA



I1

I2

–kTA

,N I 2

I0

E2

0 Φ

εTA

ηTA

ψ

I1: Corrente primaria

I2: Corrente secondaria

I0: Corrente magnetizzante

kTA,N: Rapporto di trasformazione nominale

E2: Forza elettromotrice indotta nel secondario

εTA: Errore d’angolo

Φ: Flusso magnetico nel nucleo

ηTA: Errore di rapporto (valore assoluto)ψ: Angolo di sfasamento della prestazione

Figura 9.2: Diagramma vettoriale di un TA



ai fini funzionali, la resistenza e l’induttanza di dispersione dell’avvolgimento primariosono prive di influenza (essendo la corrente primaria impressa).

L’errore di rapporto (o di corrente) di un TA e l’errore che il TA introduce nella misuradel modulo di una corrente sinusoidale, quando il rapporto di trasformazione si allontanada quello nominale. Esso, definito in forma percentuale e in conformita con la normativavigente, risulta dato da

ηTA =

(kTA,N I2 − I1

)100

I1, (9.3)

dove kTA,N e il rapporto di trasformazione nominale, I1 la corrente primaria e I2 la correntesecondaria. Per via dell’errore di rapporto, kTA risulta diverso dal rapporto di trasforma-zione nominale (kTA,N), che a sua volta, generalmente, non coincide con il rapporto tra lespire degli avvolgimenti (kTA,S ), come indicato dalla (9.2).

Si definisce errore d’angolo (o di fase) di un TA la differenza di fase tra la correnteprimaria e la corrente secondaria, assumendo il verso dei vettori in modo che l’angolo sianullo per un trasformatore ideale. Nel diagramma vettoriale di Figura 9.2, la differenzadi fase suddetta e rappresentata dall’angolo εTA. L’errore d’angolo e convenzionalmenteconsiderato positivo allorche il vettore della corrente secondaria rovesciata risulta in anti-cipo rispetto a quello della corrente primaria. L’errore d’angolo e usualmente espresso incentiradianti o in minuti. Tenendo presente che per angoli molto piccoli l’espressione diεTA in radianti puo essere confusa con la corrispondente funzione sin (εTA), l’errore di fasepuo anche essere indicato con 100 sin (εTA).

Le definizioni degli errori di rapporto e di fase valgono rigorosamente solo se le cor-renti primaria e secondaria sono sinusoidali (non sarebbe altrimenti possibile tracciare ildiagramma vettoriale). Questa condizione e generalmente verificata, salvo nel caso dimisure di correnti fortemente distorte.

9.2.1 Caratteristiche Nominali

Ogni TA e caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali, che ne definiscono lafunzionalita. La frequenza nominale e quella a cui tutte le caratteristiche funzionali sonoriferite e per la quale il TA e stato dimensionato. Essa viene considerata costante, salvocasi eccezionali.

La corrente primaria nominale (I1,N) e quella a cui sono riferiti gli errori di rapporto edi fase e i limiti di sovratemperatura ammessi. Si assegnano normalmente valori interi (adesempio 10 A, 20 A, 100 A, 500 A, 1000 A, 5000 A). La corrente secondaria nominale(I2,N) viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchiature da alimentare esono normalizzati i valori di 5 A, 2 A, 1 A (il valore piu frequentemente usato e 5 A). Ilrapporto di trasformazione nominale e dato dal rapporto tra la corrente primaria nominalee la corrente secondaria nominale (kTA,N = I1,N/I2,N).

La prestazione nominale e il valore di prestazione a cui si fa riferimento per definirei limiti della classe di precisione. Essa si esprime in siemens o in voltampere riferitialla corrente secondaria nominale. La classe di precisione, che definisce i limiti massimi



dell’errore di rapporto e di fase, assume significato diverso a seconda se il TA e destinatoad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione.

I TA sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati agli avvolgimentiprimario e secondario (il primo molto piu importante del secondo), in relazione alle ca-ratteristiche della rete su cui essi possono essere impiegati. Il livello di isolamento delprimario puo imporre particolari soluzioni costruttive, che possono incidere in misuranotevole sulle prestazioni misuristiche. Infatti, al crescere della tensione del sistema sulquale il TA deve essere installato, e necessario aumentare la distanza tra gli avvolgimentie verso massa, introducendo anche una maggior quantita di isolante. Il sistema isolanteprincipale tra primario e secondario puo essere costituito da:• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri per le basse

tensioni;• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente

l’uso di carta impregnata di olio minerale);• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o gas compresso (normalmente esa-

fluoruro di zolfo) per l’alta tensione; l’involucro per questi TA e solitamente diporcellana per consentire l’installazione all’esterno.

Ogni TA deve essere in grado di sopportare, sotto gli aspetti termico e dinamico,correnti elevate per tempi brevi, in caso di guasto (cortocircuiti in rete). Si individuanocosı la corrente termica di breve durata nominale e la corrente dinamica nominale. Lacorrente dinamica nominale, espressa con il valore di picco, corrisponde normalmente a2.5 volte la corrente termica di breve durata nominale, espressa in valore efficace. None raro che queste correnti siano dell’ordine di 100 volte la corrente nominale, mentre ladurata che si considera convenzionalmente e di 1 s.

Le principali caratteristiche del TA devono essere riportate sulla targa, applicata inmodo visibile su di esso, mentre i morsetti primari e secondari devono essere contrasse-gnati senza ambiguita. Sulla targa e anche indicata la norma secondo il quale il TA e statoprogettato, in modo da consentire di risalire alle prescrizioni che, per ragioni di spazio,non possono essere riportate. In Figura 9.3 sono rappresentati due diversi TA destinati adimpianti a media e bassa tensione (le dimensioni non sono in proporzione reale).

9.2.2 TA per MisuraI TA per misura sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzatidalla classe di precisione, che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore dirapporto che il TA non deve superare con prestazione compresa tra il 25% e il 100% dellaprestazione nominale, con fattore di potenza cos (ψ) = 0.8 ritardo (per certe particolariapplicazioni il fattore di potenza della prestazione puo essere unitario).

Le classi di precisione normalizzate per i TA sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limitidi errore di rapporto e di fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati inTabella 9.1 e Tabella 9.2. Si noti che gli errori relativi di rapporto e di fase tendonoa crescere con il diminuire della percentuale della corrente nominale. I limiti di erroresono prescritti per un campo di corrente compreso tra il 5% e il 120% della corrente



(a) (b)

Figura 9.3: TA utilizzati su reti a media (a) e bassa (b) tensione



ClasseErrore di Corrente (Rapporto) Errore d’Angolo (Fase)in Funzione della Percentuale in Funzione della Percentualedella Corrente Nominale [%] della Corrente Nominale [crad]

5 20 100 120 5 20 100 1200.1 ±0.4 ±0.2 ±0.1 ±0.1 ±0.45 ±0.24 ±0.15 ±0.150.2 ±0.75 ±0.35 ±0.2 ±0.2 ±0.9 ±0.45 ±0.3 ±0.30.5 ±1.5 ±0.75 ±0.5 ±0.5 ±2.7 ±1.35 ±0.9 ±0.91.0 ±3.0 ±1.5 ±1.0 ±1.0 ±5.4 ±2.7 ±1.8 ±1.8

Tabella 9.1: Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per iTA per misura

ClasseErrore di Corrente (Rapporto) Errore d’Angolo (Fase)in Funzione della Percentuale in Funzione della Percentualedella Corrente Nominale [%] della Corrente Nominale [crad]1 5 20 100 120 1 5 20 100 120

0.2S ±0.75 ±0.35 ±0.2 ±0.2 ±0.2 ±0.9 ±0.45 ±0.3 ±0.3 ±0.30.5S ±1.5 ±0.75 ±0.5 ±0.5 ±0.5 ±2.7 ±1.35 ±0.9 ±0.9 ±0.9

Tabella 9.2: Limiti dell’errore di corrente (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per iTA per misura per applicazioni speciali

nominale, con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazione nominale. Lenorme impongono ulteriori requisiti di precisione nel caso di particolari applicazioni (adesempio, misure di grandi quantita di energia scambiate tra societa elettriche).

La prestazione nominale puo essere compresa tra 5 VA e 30 VA, con fattore di potenzapari a 0.8 ritardo, con tendenza verso i valori piu bassi, essendo sempre piu diffusa latendenza ad usare apparecchiature elettroniche, il cui autoconsumo e molto modesto (ilcosto di un TA e fortemente influenzato, a parita di altre condizioni, dal valore dellaprestazione nominale).

Al fine di garantire una certa protezione per gli strumenti alimentati in caso di elevatesovracorrenti, e opportuno che il nucleo magnetico del TA entri in saturazione. Viene,percio, prescritto un coefficiente di sicurezza che limita il valore della corrente in casodi guasto a 10 volte la corrente nominale. Per ottenere TA con elevate prestazioni mi-suristiche, sono importanti le caratteristiche del materiale magnetico utilizzato ed il suogrado di sfruttamento (induzione di lavoro), nonche un buon accoppiamento tra primarioe secondario. Per ottenere i migliori risultati il prodotto N1I1 alla corrente nominale deveessere di almeno 800 A, mentre l’induzione di lavoro non deve superare 0.3 T. Per i TAdi precisione piu elevata si utilizzano leghe ferromagnetiche speciali, che presentano ca-ratteristiche B-H molto ripide con saturazione molto netta (caratteristica di forma quasirettangolare).



i1

i2i0

Figura 9.4: Andamento delle correnti secondaria (i2), primaria (i1) e magnetizzante (i0)in un TA quando il nucleo e in saturazione

9.2.3 TA per Protezione

La funzione dei TA per protezione si differenzia sostanzialmente da quelli per misura,in quanto per i TA per protezione e richiesto il rispetto dei limiti di errore fino a valoridi corrente pari a 10 volte la corrente nominale (corrente limite primaria nominale), alloscopo di assicurare un minimo di precisione anche in presenza di correnti elevate, comequelle di cortocircuito.

Per quanto riguarda il comportamento in transitorio alle correnti elevate, essendo lacomponente magnetizzante della corrente fortemente distorta per effetto della saturazione,per caratterizzare il comportamento del TA non e piu possibile fare ricorso al diagrammavettoriale di Figura 9.2 per definire gli errori di rapporto e di fase. Si definisce, quindi,convenzionalmente l’errore composto εc,T A, dato da

εc,T A =100I1

√1T

∫ T

0

(kTA,Ni2 − i1

)2 dt, (9.4)

dove kTA,N e il rapporto di trasformazione nominale, I1 e il valore efficace della correnteprimaria, i1 e il valore istantaneo della corrente primaria, i2 e il valore istantaneo dellacorrente secondaria e T = 1/ f e il periodo. L’andamento delle correnti in presenza dionde non sinusoidali e illustrato in Figura 9.4.

Nei TA per protezione viene richiesto il rispetto dei limiti di errore indicati in Tabel-la 9.3 che, come si vede, corrispondono a classi di precisione piuttosto scadenti. Nei TAper protezione, il nucleo magnetico non e piu realizzato con leghe speciali, ma con nor-mali lamierini in lega ferro-silicio, la cui caratteristica di magnetizzazione presenta unasaturazione meno marcata e piu progressiva. Esso deve essere dimensionato per consen-tire una buona risposta anche per correnti elevate (il nucleo non deve saturare). I limitidell’errore composto alla corrente limite nominale vengono generalmente verificati conprove a prestazione aumentata, in modo da aumentare la forza elettromotrice indotta sulsecondario e simulare le condizioni di sovracorrente.



Classe

Errore di Corrente Errore d’Angolo Errore Composto(Rapporto) (Fase) alla Corrente

alla Corrente alla Corrente LimiteNominale [%] Nominale [crad] Nominale [%]

5P ±1 ±1.8 510P ±3 – 10

Tabella 9.3: Limiti dell’errore di corrente (rapporto), dell’errore d’angolo (fase) edell’errore composto per i TA per protezione

(a) (b)

A A

I1 I1

Figura 9.5: TA con avvolgimento primario diviso in due sezioni connesse in serie (a) oin parallelo (b)

9.2.4 TA a Piu Rapporti

Per allargare il campo di impiego dei singoli TA, si ricorre sovente a TA a piu rapporti.Per mantenere le stesse caratteristiche di precisione, la migliore soluzione consiste nelsuddividere l’avvolgimento primario in due sezioni, che possono essere collegate in serieo in parallelo, come illustrato in Figura 9.5. Il TA e in questo modo caratterizzato dadue correnti primarie nominali, una doppia dell’altra, per le quali si ha lo stesso valore diforza magnetomotrice totale. In queste condizioni gli errori di rapporto e di fase restanoinvariati, a parita di valore percentuale della corrente nominale.

In alcuni casi, peraltro piuttosto rari, le sezioni sono addirittura sei, con la possibilitadi ottenere tre rapporti di trasformazione nominali. Per ottenere TA a piu rapporti, si puoanche agire sul numero di spire dell’avvolgimento primario. Tuttavia, questa soluzionetrova giustificazione solamente per TA con correnti primarie nominali modeste (non oltrei 50 A) e viene a volte usata sui sistemi a bassa tensione.

La soluzione di agire sull’avvolgimento secondario, cambiandone il numero di spire efacendo cosı lavorare a differenti induzioni il nucleo magnetico, e pure a volte utilizzata,


9.3. Trasformatore di Tensione Induttivo

S1 S2 S3

I1P

Figura 9.6: TA con un avvolgimento primario e tre avvolgimenti secondari (tre nucleimagnetici distinti)

anche se sconsigliabile, in quanto le caratteristiche di precisione risultano compromesseo penalizzate da una eccessiva riduzione della prestazione nominale.

Nei TA da utilizzare su reti ad alta tensione, per ragioni economiche, e possibile mon-tare nello stesso involucro piu nuclei magnetici con caratteristiche diverse, ad esempioper misura e protezione. Questa soluzione prevede per il TA un solo avvolgimento pri-mario che eccita tanti nuclei quanti sono gli avvolgimenti secondari, come illustrato inFigura 9.6.

9.3 Trasformatore di Tensione Induttivo

Il TVI, nella sua forma piu semplice, e dotato di due avvolgimenti (primario e secon-dario), tra loro isolati, e da un nucleo magnetico attorno al quale gli avvolgimenti sonoavvolti. La tensione da misurare deve essere applicata ai terminali dell’avvolgimento pri-mario, che deve essere quindi collegato in derivazione nel circuito, mentre ai terminalidell’avvolgimento secondario devono essere connessi gli strumenti di misura o le appa-recchiature di protezione da alimentare. I circuiti alimentati dal secondario del trasforma-tore di tensione, costituiscono la prestazione del TVI. Lo schema tipico di inserzione delTVI e illustrato in Figura 9.7, assieme al modello circuitale che puo essere utilizzato perdiscutere il funzionamento del TVI.

In Figura 9.8 e riportato il diagramma vettoriale delle grandezze elettriche in giocoin un TVI. Con E2 e stata rappresentata la forza elettromotrice indotta nel secondario,mentre I2 e la corrente assorbita dalla prestazione. La forza elettromotrice E2 e prodottadal flusso magnetico Φ che si stabilisce nel nucleo magnetico, a sua volta creato dallacorrente magnetizzante I0, fornita dalla rete di alimentazione. La corrente primaria com-plessiva I1 e rappresentata dalla somma vettoriale della corrente magnetizzante I0 e dellacorrente secondaria I2 riportata a primario secondo il rapporto inverso delle spire dei dueavvolgimenti. Le correnti secondaria e primaria producono a loro volta cadute di tensionesulle rispettive impedenze di dispersione, provocando variazioni del rapporto di trasfor-mazione reale del TVI (kTV), in funzione della tensione e della prestazione. Poiche nel



Z1

V1 V2

I1

N1 N2

I0

Y0

I2

Z2

V

V1: Tensione primaria

V2: Tensione secondaria

I0: Corrente magnetizzante

I1: Corrente primaria

I2: Corrente secondaria

N1: Numero delle spire primarie

N2: Numero delle spire secondarie

Z1: Impedenza di dispersione del primario

Z2: Impedenza di dispersione del secondario

Y0: Ammettenza equivalente

V: Prestazione alimentata

V

Figura 9.7: Schema di inserzione e circuito equivalente dei TVI



A

B

Z2 I2

Z1 I1

I2

I1

–I 2 N 2/N1

V2

V1

E2

I0

E 1 = –

E 2 N1/

N2

–KTV,N V2

0

–εTV

ηTV

ψ

V1: Tensione primariaV2: Tensione secondariaE1: Forza elettromotrice primariaE2: Forza elettromotrice secondariaZ1: Impedenza primariaZ2: Impedenza secondariakTV,N: Rapporto di trasformazione nominaleΦ: Flusso magnetico nel nucleoI1: Corrente primariaI2: Corrente secondariaI0: Corrente magnetizzanteεTV: Errore d’angoloηTV: Errore di rapporto (valore assoluto)ψ: Angolo di sfasamento della prestazione

Φ

Figura 9.8: Diagramma vettoriale di un TVI



circuito la tensione primaria e impressa (o puo essere considerata tale), la condizione difunzionamento ideale di un TVI e quella con secondario aperto.

L’errore di rapporto (o di tensione) di un TVI e l’errore che il TVI introduce nellamisura del modulo di una tensione sinusoidale, quando il rapporto di trasformazione siallontana da quello nominale. Esso, definito in forma percentuale e in conformita con lanormativa vigente, risulta dato da

ηTV =

(kTV,NV2 − V1

)100

V1, (9.5)

dove kTV,N e il rapporto di trasformazione nominale, V1 la tensione primaria e V2 la ten-sione secondaria. Per via dell’errore di rapporto, kTV risulta diverso dal rapporto di tra-sformazione nominale (kTV,N), che a sua volta, generalmente, non coincide con il rapportotra le spire degli avvolgimenti (kTV,S = N1/N2)

Si definisce errore di angolo (o di fase) di un TVI la differenza di fase tra la tensioniprimaria e la tensione secondaria, assumendo il senso dei vettori in modo che l’angolo sianullo per un trasformatore ideale. Nel diagramma vettoriale di Figura 9.8 la differenzadi fase suddetta e rappresentata dall’angolo εTV. L’errore d’angolo e considerato positivoallorche il vettore della tensione secondaria rovesciata risulta in anticipo rispetto a quellodella tensione primaria. L’errore d’angolo e usualmente espresso in centiradianti o inminuti. Tenendo presente che per angoli molto piccoli l’espressione di εTV in radianti puoessere confusa con la corrispondente funzione sin (εTV), l’errore di fase puo anche essereindicato con 100 sin (εTV).

Le definizioni degli errori di rapporto e di fase valgono rigorosamente solo se le ten-sioni primaria e secondaria sono sinusoidali (non sarebbe altrimenti possibile tracciare ildiagramma vettoriale). Questa condizione e piu facilmente verificata per i TVI che per iTA, in quanto la componente magnetizzante della corrente primaria non e molto distor-ta (si lavora a induzione molto bassa, non oltre 0.5 T in corrispondenza della tensionenominale).


Ogni TVI e caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali, che ne definisconola funzionalita. La frequenza nominale e quella a cui tutte le caratteristiche funzionalisono riferite e per la quale il TVI e stato dimensionato. Essa viene considerata costante,salvo casi eccezionali.

La tensione primaria nominale (V1,N) e quella a cui sono riferiti gli errori di rapportoe di fase e i limiti di sovratemperatura ammessi. Si assegnano normalmente valori interi,corrispondenti alle tensioni nominali delle reti, divisi per

√3, quando i TVI sono pro-

gettati per essere inseriti tra fase e terra (ad esempio, 1000 V, 20000 V, 100000/√

3 V,400000/

√3 V). La tensione secondaria nominale (V2,N) viene scelta in relazione alle ca-

ratteristiche delle apparecchiature da alimentare e sono normalizzati i valori di 100 V,100/

√3 V, 100/3 V a seconda del tipo di applicazione (piu raramente, in Nord-America,



Fattore di Tensione Durata Collegamento dell’Avvolgimento Primario eNominale Condizioni di Messa a Terra della Rete

1.2 ∞ Tra le fasi in qualsiasi rete

1.2 ∞Tra il centro stella del trasformatore e la terrain qualsiasi rete

1.2 ∞ Tra fase e terra in reti con neutro1.5 30 s effettivamente a terra1.2 ∞ Tra fase e terra in reti con neutro non effettivamente1.9 30 s a terra e eliminazione automatica del guasto a terra

Tra fase e terra in reti con neutro isolato o1.2 ∞ in reti collegate a terra mediante bobina1.9 8 h d’estinzione senza eliminazione

automatica del guasto a terra

Tabella 9.4: Valori normali del fattore di tensione

si hanno i valori 110 V, 110/√

3 V, 110/3 V, e qualche volta anche 200 V). Il rappor-to di trasformazione nominale e dato dal rapporto tra la tensione primaria nominale e latensione secondaria nominale (kTV,N = V1,N/V2,N).

La prestazione nominale e il valore di prestazione a cui si fa riferimento per definirei limiti della classe di precisione. Essa si esprime in ohm o in voltampere riferiti allatensione secondaria nominale. La classe di precisione, che definisce i limiti massimidell’errore di rapporto e di fase, assume significato diverso a seconda se il TVI e destinatoad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione.

I TVI sono caratterizzati anche dal fattore di tensione nominale, che rappresenta latensione che esso deve poter sopportare per un tempo definito, quando in servizio si ve-rificano condizioni anormali di funzionamento (ad esempio, nel caso di guasto a terra diuna fase). I valori normali del fattore di tensione sono riportati in Tabella 9.4.

I TVI sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati agli avvolgimentiprimario e secondario (il primo molto piu importante del secondo), in relazione alle ca-ratteristiche della rete su cui essi possono essere impiegati. Il livello di isolamento delprimario puo imporre particolari soluzioni costruttive, che possono incidere in misuranotevole sulle prestazioni misuristiche. Infatti, al crescere della tensione del sistema sulquale il TVI deve essere installato, e necessario aumentare la distanza tra gli avvolgimentie verso massa, introducendo anche una maggior quantita di isolante. Il sistema isolanteprincipale tra primario e secondario puo essere costituito da:• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri per le basse

tensioni;• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente

l’uso di carta impregnata di olio minerale);• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o gas compresso (normalmente esa-

fluoruro di zolfo) per l’alta tensione; l’involucro per questi TVI e solitamente di



(a) (b)

Figura 9.9: TVI utilizzati su reti a media tensione per (a) inserzione tra fasi e (b)inserzione verso terra

porcellana per consentire l’installazione all’esterno.Ogni TVI deve essere in grado di sopportare, senza danneggiarsi, cortocircuiti diretti

ai morsetti secondari, quando alimentato alla tensione primaria nominale, per la durata di1 s. Questa prescrizione non e particolarmente severa, considerando il dimensionamentoimposto per altri requisiti, a differenza di quanto avviene per i TA.

Le principali caratteristiche del TVI devono essere riportate sulla targa, applicata inmodo visibile su di esso, mentre i morsetti primari e secondari devono essere contras-segnati senza ambiguita. Sulla targa e anche indicata la norma secondo il quale il TVIe stato progettato, in modo da consentire di risalire alle prescrizioni che, per ragioni dispazio, non possono essere riportate. In Figura 9.9 sono rappresentati due diversi TVIdestinati ad impianti a media tensione.

9.3.2 TVI per Misura

I TVI per misura sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzatidalla classe di precisione, che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore dirapporto che il TVI non deve superare con prestazione compresa tra il 25% e il 100% dellaprestazione nominale, con fattore di potenza cos (ψ) = 0.8 ritardo (per certe particolariapplicazioni il fattore di potenza della prestazione puo essere unitario).

Le classi di precisione normalizzate per i TVI sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti dierrore di rapporto e di fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati in Ta-bella 9.5. I limiti di errore sono prescritti per un campo di tensione compreso tra l’80%e il 120% della tensione nominale, con prestazione compresa tra il 25% e il 100% dellaprestazione nominale. Anche per i TVI le norme prevedono ulteriori requisiti di precisio-



Classe Errore di Tensione (Rapporto) [%] Errore d’Angolo (Fase) [crad]0.1 ±0.1 ±0.150.2 ±0.2 ±0.30.5 ±0.5 ±0.61.0 ±1.0 ±1.23.0 ±3.0 —

Tabella 9.5: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per iTVI per misura

Classe Errore di Tensione (Rapporto) [%] Errore d’Angolo (Fase) [crad]3P ±3.0 ±3.56P ±6.0 ±7.0

Tabella 9.6: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per iTVI per protezione

ne nel caso di particolari applicazioni (ad esempio, misure di grandi quantita di energiascambiate tra societa elettriche).

Poiche il nucleo magnetico nei TVI lavora con induzione di poco variabile, le carat-teristiche del materiale magnetico utilizzato sono meno importanti che per i TA, per cui,generalmente, il nucleo e realizzato con normali lamierini magnetici in lega ferro-silicio.

9.3.3 TVI per Protezione

La funzione dei TVI per protezione e quella di alimentare sistemi di protezione, rispettan-do i limiti di errore anche per tensioni molto inferiori alla tensione nominale. Le classi diprecisione normalizzate per i TVI per protezione sono 3P e 6P, con il seguente significato:• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVI con

prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazione nominale, per tensionicomprese tra il 5% della tensione nominale e la tensione nominale moltiplicata perfattore di tensione nominale, dato dalla Tabella 9.4;

• la lettera P sta ad indicare che il TVI e per protezione.I TVI per protezione devono rispettare i limiti per gli errori di rapporto e di fase indicatiin Tabella 9.6. Qualche volta viene prescritto anche il rispetto di prescrizioni sugli erroridi rapporto e di fase del TVI per protezione al 2% della tensione nominale, con valoriper i limiti doppi rispetto a quelli indicati in Tabella 9.6. Dal punto di vista costruttivo, ilnucleo magnetico in un TVI per protezione e molto simile a quello di un TVI per misura.



(a) (b)

Figura 9.10: TVI con avvolgimento secondario diviso in due sezioni connesse in serie(a) o in parallelo (b)

9.3.4 TVI a Piu RapportiPer allargare il campo di impiego dei singoli TVI si puo ricorrere a TVI a piu rapporti,anche se in misura meno frequente che per i TA. In pratica, per mantenere le stesse ca-ratteristiche di precisione, la migliore soluzione consiste nel suddividere l’avvolgimentosecondario in due sezioni, che possono essere collegate in serie o in parallelo. Il trasfor-matore e, in questo modo, caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio100 V e 200 V, come illustrato in Figura 9.10.

Assai rari sono i casi in cui si suddivide l’avvolgimento primario, sul quale, limitata-mente ai trasformatori per bassa tensione, si possono eventualmente prevedere delle prese,agendo cosı sul numero di spire utili. Un altro interessante aspetto da considerare riguardala possibilita di montare sullo stesso nucleo piu avvolgimenti secondari, ciascuno con lapropria funzione (misura o protezione). In queste condizioni, le caratteristiche di erroresi influenzano tra di loro in quanto l’avvolgimento primario e comune.

Una soluzione costruttiva abbastanza utilizzata e quella dei TVI trifase per reti a mediatensione, in cui tre TVI monofase vengono inclusi in un unico involucro, riducendo cosı icosti.

9.4 Trasformatore Combinato di Tensione e CorrentePer i trasformatori destinati ad impianti ad alta tensione e funzionanti all’aperto, si ricorrea volte ai TVA, nei quali, nello stesso involucro ceramico, sono contenuti due apparecchi:un TA e un TVI. Questa soluzione, che consente la riduzione dei costi di primo acquisto(un solo involucro isolante) e di impianto (minore spazio occupato), e poco praticata inEuropa. In questi apparecchi e, infatti, elevato il rischio di interferenza tra i due sistemielettromagnetici per cui le norme IEC prescrivono delle prove atte a verificare che queste


9.5. Trasformatore di Tensione Capacitivo

C1

C1

C2

A

B D

D

V

V

(b)

(a)

VS

VSVC

VTH

V1,NL

L

C

C

TVI

TVI

C2

Figura 9.11: Schema di principio (a) e circuito equivalente secondo Thevenin (b) di unTVC

interferenze risultino trascurabili. Esistono due possibili schemi di collegamento tra i dueapparecchi, che prevedono alternativamente il TA a monte o a valle del TVI (il primoschema e solitamente preferito).

9.5 Trasformatore di Tensione Capacitivo

I TVC trovano largo impiego nei sistemi ad alta tensione (da 100 kV in su), in quantomeno costosi dei corrispondenti TVI. Il vantaggio economico deriva anche dal fatto chei TVC possono essere utilizzati per la trasmissione di segnali per telecomando tra sotto-stazioni vicine, impiegando come condensatore di accoppiamento il divisore di tensionecapacitivo che fa parte del TVC stesso.

Lo schema elettrico di principio di un TVC e riportato in Figura 9.11, in cui sonorappresentati solo i componenti principali. Il divisore capacitivo, che consente di ridurrela tensione da misurare ad un valore compreso tra 10 kV e 15 kV, presenta un fattore di



scala kC dato da

kC =C1

C1 + C2, (9.6)

dove C1 e C2 sono rispettivamente le capacita della sezione di alta tensione e di bassatensione del divisore. La tensione primaria nominale del TVC e normalmente quelladella rete sulla quale esso deve essere inserito, divisa per

√3, in quanto il TVC viene

sempre inserito tra fase e terra. Il reattore induttivo L e realizzato con un avvolgimentomontato su un nucleo magnetico e deve presentare una resistenza per quanto possibilepiccola (per semplicita questa resistenza puo essere considerata nulla). Il TVI connessoa valle del reattore ha una tensione primaria nominale pari a VC = V1,NkC, mentre latensione secondaria nominale VS e normalmente pari a 100/

√3 V o a 100/3 V, a seconda

dell’applicazione.Per studiare il funzionamento del TVC conviene applicare al circuito di Figura 9.11a

il teorema di Thevenin. La tensione di Thevenin e allora quella che si manifesta tra i nodiA e B (VTH = VC), mentre lo schema equivalente che si ottiene e riportato in Figura 9.11b.Nella reattanza XL e compresa anche l’impedenza di corto circuito del trasformatore indut-tivo, che viene per il resto considerato ideale. Si deduce facilmente che, se alla frequenzadi lavoro si verifica la condizione XL = −XC, il sistema e in condizioni di risonanza seriee, pertanto, ai capi del TVI si ottiene la tensione VTH = VC.

Il comportamento del TVC risulta fortemente influenzato dalle variazioni di frequen-za. Le caratteristiche di precisione dei TVC sono inoltre influenzate da varie cause:• i condensatori del divisore non sono perfetti, in quanto possono variare di capacita

per effetto della temperatura (cambia il fattore di scala del divisore) e presentano uncerto angolo di perdita, che influenza i parametri del circuito di Thevenin;

• l’induttore non e puro per cui si dovrebbe mettere in conto la sua resistenza e icontributi dissipativi del circuito magnetico;

• il TVI non e ideale e presenta propri errori di rapporto e di fase.L’induttore e il TVI, che costituiscono l’unita elettromagnetica, sono montati in un con-tenitore sigillato pieno di olio isolante.

Le definizioni degli errori di rapporto e di fase di un TVC sono le stesse indicate peri TVI nel Paragrafo 9.3. Anche per i TVC il rapporto di trasformazione nominale (kTV,N)non coincide generalmente con il rapporto di trasformazione reale (kTV).

Nei TVC, particolare cura deve essere posta nel prevenire o limitare i fenomeni oscil-latori che si verificano durante i transitori di tensione che, in alcuni casi, possono darluogo a fenomeni di ferro-risonanza. Il transitorio piu gravoso e rappresentato dall’aper-tura di un cortocircuito netto ai morsetti secondari. Per questa ragione, si devono inseriredei dispositivi di smorzamento delle oscillazioni, come spinterometri o filtri. In partico-lare, se si provoca un cortocircuito tra i nodi C e D del circuito di Figura 9.11b, senzaopportune protezioni, la corrente risulterebbe limitata solamente dai parametri dissipativie, quindi, i condensatori e l’induttanza verrebbero interessati da correnti e tensioni moltoelevate. Inoltre, essendo l’induttanza non lineare per la presenza del ferro, si possonoinnescare ferro-risonanze. Un altro transitorio durante il quale si puo verificare il non cor-retto funzionamento del TVC e il brusco cortocircuito del primario, in seguito al quale la


9.5. Trasformatore di Tensione Capacitivo

tensione secondaria non si estingue immediatamente, per cui puo risultare compromessoil corretto intervento delle protezioni alimentate.


La frequenza nominale, a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite, e per i TVC difondamentale importanza, a causa della dipendenza dalla frequenza stessa dei fenomenidi risonanza necessari per il corretto funzionamento del TVC stesso. Alla tensione pri-maria nominale (V1,N) si assegnano normalmente valori interi corrispondenti alle tensioninominali delle reti, divisi per

√3, in quanto l’inserzione e tra fase e terra (ad esempio,

100000/√

3 V o 400000/√

3 V). La tensione secondaria nominale (V2,N) viene sceltain relazione alle caratteristiche delle apparecchiature da alimentare e sono normalizzatii valori 100/

√3 V e 100/3 V (qualche volta 200/

√3 V). Il rapporto di trasformazio-

ne nominale (kTV,N) e dato dal rapporto tra la tensione primaria nominale e la tensionesecondaria nominale.

Come per i TVI, la prestazione nominale e quella a cui si fa riferimento per definire ilimiti della classe di precisione. Le prestazioni nominali normali sono comprese tra 10 VAe 100 VA. Il fattore di tensione nominale, come per i TVI, rappresenta la tensione che ilTVC deve poter sopportare per un tempo definito, quando in servizio si verificano con-dizioni anormali di funzionamento. I valori normali del fattore di tensione sono riportatiin Tabella 9.4. La classe di precisione assume diverso significato a seconda se il TVC edestinato ad alimentare strumenti di misura o apparecchi di protezione. I TVC sono anchecaratterizzati dai livelli di isolamento assegnati al divisore capacitivo e all’avvolgimentosecondario.

9.5.2 TVC per Misura

I TVC per misura sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzatidalla classe di precisione, che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore dirapporto che l’apparecchio non deve superare con prestazione compresa tra il 25% e il100% della prestazione nominale, con fattore di potenza cos (ψ) = 0.8 ritardo (per certeparticolari applicazioni il fattore di potenza della prestazione puo essere unitario). Leclassi di precisione normalizzate sono 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto edi fase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati in Tabella 9.7. I limiti dierrore sono prescritti per un campo di tensione limitato tra l’80% e il 120% della tensionenominale, con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazione nominale.

In pratica, si riescono a realizzare TVC per misura in classe 0.5, che garantiscono irequisiti di precisione indicati in Tabella 9.7, purche le variazioni di frequenza risultinocontenute entro ±0.25 Hz. I requisiti di precisione per i TVC in classe 0.2 sono raggiungi-bili solamente in laboratorio, in quanto in servizio si verificano condizioni ambientali cheinfluiscono sugli errori (per esempio, inquinamento atmosferico superficiale, temperaturaambiente, funzionamento sotto pioggia), sui cui effetti non si hanno informazioni precise.



Classe Errore di Tensione (Rapporto) [%] Errore d’Angolo (Fase) [crad]0.2 ±0.2 ±0.30.5 ±0.5 ±0.61.0 ±1.0 ±1.23.0 ±3.0 —

Tabella 9.7: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per iTVC per misura

ClasseErrore di Tensione (Rapporto) Errore d’Angolo (Fase)in Funzione della Percentuale in Funzione della Percentualedella Tensione Nominale [%] della Tensione Nominale [crad]

2 5 100 X 2 5 100 X3P ±6.0 ±3.0 ±3.0 ±3.0 ±7.0 ±3.5 ±3.5 ±3.56P ±12.0 ±6.0 ±6.0 ±6.0 ±14.0 ±7.0 ±7.0 ±7.0

X e il fattore di tensione nominale riportato in Tabella 9.4 moltiplicato per 100

Tabella 9.8: Limiti dell’errore di tensione (rapporto) e dell’errore d’angolo (fase) per iTVC per protezione

9.5.3 TVC per Protezione

La funzione dei TVC per protezione e quella di alimentare sistemi di protezione, rispet-tando i limiti di errore anche per tensioni molto inferiori alla tensione nominale. Leclassi di precisione normalizzate per i TVC per protezione sono 3P e 6P, con il seguentesignificato:• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVC alla

tensione nominale con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della prestazionenominale;

• la lettera P sta ad indicare che il TVC e per protezione.I TVC per protezione devono rispettare i limiti per gli errori di rapporto e di fase indicatiin Tabella 9.8.

9.5.4 TVC a Piu Rapporti

Per allargare il campo di impiego dei singoli TVC si puo ricorrere a TVC a due rapporti,dividendo l’avvolgimento secondario in due sezioni, che possono essere collegate in serieo in parallelo, analogamente a quanto previsto per i TVI (Figura 9.10). Il TVC e, inquesto modo, caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio 100/

√3 V

e 200/√

3 V.


9.6. Taratura

+1.0

–1.0

+0.5

–0.5

0

0 20

I1/I1,N [%]

20 VA

20 VA

5 VA

5 VA

40 60 80 100 120

100 sin(εΤΑ)

ηT

A, 100 s

in(ε

TA)

ηTA

Figura 9.12: Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TA in classe 0.5 conprestazione 20 VA, per reti a media tensione

9.6 TaraturaLa classe di precisione dei trasformatori di misura determina il campo di variazione de-gli errori di rapporto e di fase, non il loro valore effettivo. Nel caso in cui si voglianoconoscere i valori effettivi degli errori di rapporto e di fase, in modo da poter correggeregli effetti degli errori stessi sulle misure, occorre sottoporre i trasformatori di misura ataratura. La taratura viene, generalmente, effettuata in fase di collaudo e puo poi esse-re ripetuta, se necessario, in qualunque momento. Nella taratura al collaudo gli effettivivalori degli errori di rapporto e di fase vengono, di norma, determinati in funzione dellacorrente o della tensione primaria, per i valori di prestazione corrispondenti al 25% e al100% della prestazione nominale con cos (ψ) = 0.8 ritardo. Alternativamente, e possibilerichiedere la taratura dei trasformatori di misura in condizioni di lavoro specifiche, sia intermini di tensione o corrente, sia in termini di prestazione. Quando un trasformatore dimisura viene sottoposto a taratura in un centro certificato (per esempio dal SIT), il centrodi taratura fornisce un documento, detto certificato di taratura, che riporta i valori deglierrori di rapporto e di fase, ηTV|TA e εTV|TA), in funzione della percentuale della tensione odella corrente nominale, per diversi valori di prestazione, nonche l’incertezza di misuracon cui i valori degli errori sono stati determinati, u

(ηTV|TA

)e u

(εTV|TA

). I dati vengono

generalmente forniti sia in forma grafica sia in forma tabellare.L’andamento tipico degli errori di rapporto e di fase, riportato sul certificato di taratura

di un TA di classe 0.5 con prestazione nominale di 20 VA, in funzione della percentualedella corrente nominale e della prestazione, e illustrato in Figura 9.12. L’andamento tipicodegli errori di rapporto e di fase, riportato sul certificato di taratura di un TVI o di unTVC di classe 0.5 con prestazione nominale di 60 VA, in funzione della percentuale dellatensione nominale e della prestazione, e, invece, illustrato in Figura 9.13.



+0.8

–0.8

+0.4

–0.4

+0.2

–0.2

+0.6

–0.6

0

V1/V

1,N [%]

15 VA

15 VA60 VA

60 VA

8070 90 100 110 120 130

100 sin(εTV)

ηTV

ηT

V, 100 s

in(ε

TV)

Figura 9.13: Andamento dell’errore di rapporto e di fase per un TVI in classe 0.5 conprestazione 60 VA

I1

I2 I2,C

TA in esame TA campione

Comparatore

Figura 9.14: Schema utilizzato per la taratura di un TA

9.6.1 Taratura di un TAPer la taratura di un TA, si utilizza, generalmente, lo schema riportato in Figura 9.14. Lacorrente I1, generata da una sorgente di corrente programmabile, viene fatta fluire negliavvolgimenti primari del TA in esame e di un TA campione, connessi in serie. Il TAcampione deve avere la stessa corrente primaria nominale, la stessa corrente secondarianominale e lo stesso rapporto di trasformazione nominale (kTA,N) del TA in esame, macaratteristiche di precisione superiori. Le correnti secondarie del TA in esame e del TAcampione, I2 e I2,C, vengono confrontate tramite un apparecchio, detto comparatore, ingrado di determinare la differenza tra i moduli e tra le fasi delle due correnti.

La differenza tra i moduli delle correnti, risulta

∆I = I2 − I2,C =I1

kTA−

I1

kTA,C, (9.7)


9.6. Taratura

dove kTA e kTA,C sono, rispettivamente, i rapporti di trasformazione del TA in esame e delTA campione. Utilizzando la (9.3), si ottiene

∆I =I1

kTA,N

(1 +

ηTA

100

)−

I1

kTA,N

(1 +

ηTA,C

100

), (9.8)

dove ηTA e ηTA,C sono, rispettivamente, gli errori di rapporto del TA in esame e del TAcampione. Assumendo noto il valore di ηTA,C (tipicamente si puo assumere ηTA,C = 0), siricava

ηTA =100kTA,N∆I

I1+ ηTA,C. (9.9)

L’incertezza di misura relativa all’errore di rapporto del TA in esame, quindi, utilizzandola (1.39), risulta

u (ηTA) =

√u(ηTA,C

)2+

(100kTA,N∆I

)2

I41

u (I1)2 +

(100kTA,N

I1

)2

u (∆I)2, (9.10)

dove u(ηTA,C

)e l’incertezza tipo assoluta dell’errore di rapporto del TA campione, u (I1)

e l’incertezza tipo assoluta del generatore di corrente e u (∆I) e l’incertezza tipo assolutadel comparatore. I valori di u

(ηTA,C

), u (I1) e u (∆I) sono, in genere, forniti dai costruttori

degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppure come errore o classe di preci-sione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumendo distribuzione rettangolare,secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per

√3 (Paragrafo 4.2, Paragrafo 8.5,

Paragrafo 9.8).La differenza tra le fasi delle correnti, risulta

θI = εTA − εTA,C, (9.11)

dove εTA e εTA,C sono, rispettivamente, gli errori di fase del TA in esame e del TA campione.Assumendo noto il valore di εTA,C (tipicamente si puo assumere εTA,C = 0), si ricava

εTA = θI + εTA,C. (9.12)

L’incertezza di misura relativa all’errore di fase del TA in esame, quindi, utilizzando la(1.39), risulta

u (εTA) =

√u(εTA,C

)2+ u (θI)2, (9.13)

dove u(εTA,C

)e l’incertezza tipo assoluta dell’errore di fase del TA campione e u (θI) e l’in-

certezza tipo assoluta del comparatore. I valori di u(εTA,C

)e u (θI) sono, in genere, forniti

dai costruttori degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppure come errore oclasse di precisione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumendo distribuzionerettangolare, secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per

√3 (Paragrafo 4.2,

Paragrafo 8.5, Paragrafo 9.8).



V1

V2 V2,C

TVI o TVC in esame TVI o TVC campione

Comparatore

Figura 9.15: Schema utilizzato per la taratura di un TVI o di un TVC

9.6.2 Taratura di un TVI o di un TVCPer la taratura di un TVI o di un TVC, si utilizza, generalmente, lo schema riportato inFigura 9.15. La tensione V1, generata da una sorgente di tensione programmabile, vieneapplicata agli avvolgimenti primari del TVI o del TVC in esame e di un TVI o di un TVCcampione, connessi in parallelo. Il TVI o il TVC campione deve avere la stessa tensioneprimaria nominale, la stessa tensione secondaria nominale e lo stesso rapporto di trasfor-mazione nominale (kTV,N) del TVI o del TVC in esame, ma caratteristiche di precisionesuperiori. Le tensioni secondarie del TVI o del TVC in esame e del TVI o del TVC cam-pione, V2 e V2,C, vengono confrontate tramite un apparecchio, detto comparatore, in gradodi determinare la differenza tra i moduli e tra le fasi delle due tensioni.

La differenza tra i moduli delle tensioni, risulta

∆V = V2 − V2,C =V1

kTV−

V1

kTV,C, (9.14)

dove kTV e kTV,C sono, rispettivamente, i rapporti di trasformazione del TVI o del TVC inesame e del TVI o del TVC campione. Utilizzando la (9.5), si ottiene

∆V =V1

kTV,N

(1 +

ηTV

100

)−

V1

kTV,N

(1 +

ηTV,C

100

), (9.15)

dove ηTV e ηTV,C sono, rispettivamente, gli errori di rapporto del TVI o del TVC in esamee del TVI o del TVC campione. Assumendo noto il valore di ηTV,C (tipicamente si puoassumere ηTV,C = 0), si ricava

ηTV =100kTV,N∆V

V1+ ηTV,C. (9.16)

L’incertezza di misura relativa all’errore di rapporto del TVI o del TVC in esame, quindi,utilizzando la (1.39), risulta

u (ηTV) =

√u(ηTV,C

)2+

(100kTV,N∆V

)2

V41

u (V1)2 +

(100kTV,N

V1

)2

u (∆V)2, (9.17)


9.7. Diagramma di Moellinger

dove u(ηTV,C

)e l’incertezza tipo assoluta dell’errore di rapporto del TVI o del TVC cam-

pione, u (V1) e l’incertezza tipo assoluta del generatore di tensione e u (∆V) e l’incertezzatipo assoluta del comparatore. I valori di u

(ηTV,C

), u (V1) e u (∆V) sono, in genere, forniti

dai costruttori degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppure come errore oclasse di precisione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumendo distribuzionerettangolare, secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per

√3 (Paragrafo 4.2,

Paragrafo 8.5, Paragrafo 9.8).La differenza tra le fasi delle tensioni, risulta

θV = εTV − εTV,C, (9.18)

dove εTV e εTV,C sono, rispettivamente, gli errori di fase del TVI o del TVC in esame e delTVI o del TVC campione. Assumendo noto il valore di εTV,C (tipicamente si puo assumereεTV,C = 0), si ricava

εTV = θV + εTV,C. (9.19)

L’incertezza di misura relativa all’errore di fase del TVI o del TVC in esame, quindi,utilizzando la (1.39), risulta

u (εTV) =

√u(εTV,C

)2+ u (θV)2, (9.20)

dove u(εTV,C

)e l’incertezza tipo assoluta dell’errore di fase del TVI o del TVC campione

e u (θV) e l’incertezza tipo assoluta del comparatore. I valori di u(εTV,C

)e u (θV) sono, in

genere, forniti dai costruttori degli apparecchi, direttamente come incertezza tipo, oppurecome errore o classe di precisione, nel qual caso, per ottenere l’incertezza tipo, assumen-do distribuzione rettangolare, secondo la (1.33), occorre dividere i valori forniti per

√3

(Paragrafo 4.2, Paragrafo 8.5, Paragrafo 9.8).

9.7 Diagramma di MoellingerQuando i trasformatori di misura vengono sottoposti a taratura, gli effettivi valori deglierrori di rapporto e di fase vengono determinati in funzione della corrente o della tensioneprimaria, per i valori di prestazione corrispondenti al 25% e al 100% della prestazionenominale con cos (ψ) = 0.8 ritardo. Quando si effettuano misure di grande precisione (adesempio misura delle perdite su circuiti a basso fattore di potenza), puo essere necessarioconoscere gli errori di rapporto e di fase in condizioni di prestazione diverse da quelleper cui e stata effettuata la taratura. In questi casi, si puo procedere ad una nuova tara-tura dei trasformatori nelle condizioni che interessano, ma, cosı facendo, si complicanole procedure di prova, soprattutto in termini di tempo e di costi. Si puo allora ricorrereai diagrammi di Moellinger, che consentono di determinare gli errori per qualsiasi valo-re di prestazione, noti i valori degli errori di rapporto e di fase per le prestazioni usatenella taratura. Questi diagrammi si basano sull’assunzione che il modello equivalentedell’apparecchio considerato si comporti linearmente al variare della prestazione, entro



Percentuale della Tensione o Errori Prestazionedella Corrente Nominale [%] ηTV|TA 100 sin (εTV|TA

) Modulo [VA] cos (ψ)100 +0.32 +0.12 20 1100 −0.350 −0.09 5 1

Tabella 9.9: Errori di rapporto e di fase di un trasformatore di misura al 100% e al 25%della prestazione nominale

limiti non eccedenti la prestazione nominale, per ogni data condizione di alimentazionedel primario.

Si consideri, per esempio, un trasformatore di misura che alla taratura presenti gli er-rori riportati in Tabella 9.9. Per un determinato valore di tensione o corrente, ad esempiola tensione o la corrente nominale, i valori degli errori vengono riportati su un diagram-ma cartesiano, con in ordinata gli errori di fase 100 sin

(εTV|TA

)e in ascissa gli errori di

rapporto ηTV|TA. Vengono, in questo modo, definiti due punti A e B come illustrato in Fi-gura 9.16. Il segmento che unisce i punti A e B individua gli errori di fase e rapporto allatensione considerata, per prestazioni aventi lo stesso valore di cos (ψ) e modulo arbitrario(il modulo della prestazione varia linearmente tra i punti A e B). Il punto corrispondentea prestazione nulla (punto O) puo essere facilmente determinato per estrapolazione, pro-lungando il segmento AB in proporzione. Per prestazioni con valore di cos (ψ) diverso daquello per cui si hanno a disposizione i dati, si ruota il segmento OA, prendendo comecentro il punto O e muovendosi in senso antiorario se ψ cresce ed in senso antiorario seψ diminuisce, ottenendo cosı i valori di ηTV|TA e εTV|TA. Per quanto riguarda l’incertezzadi misura, si assumono, in generale, per u

(ηTV|TA

)e u

(εTV|TA

)i valori di incertezza tipo

assoluta degli errori di rapporto e di fase forniti dal certificato di taratura di partenza.

9.8 Incertezza di Misura

Quando si effettuano misurazioni utilizzando trasformatori di misura, occorre tener contodegli errori di rapporto e di fase dei trasformatori stessi, nonche dell’incertezza di misuracon cui gli errori di rapporto e di fase sono stati determinati. Nella pratica, per ciascuntrasformatore di misura utilizzato, si possono presentare due diverse situazioni:• si ha a disposizione il certificato di taratura del trasformatore di misura e, quindi, si

conoscono i valori degli errori di rapporto e di fase nelle condizioni di utilizzo deltrasformatore, nonche la relativa incertezza di misura;

• non si ha a disposizione il certificato di taratura e si conosce solo la classe diprecisione del trasformatore di misura.

Nel caso in cui si abbia a disposizione il certificato di taratura, gli errori di rapportoe di fase del trasformatore di misura e la relativa incertezza si ottengono direttamente dalcertificato di taratura. Se le condizioni di lavoro del trasformatore di misura, in termini diprestazione, sono differenti da quelle per cui e stata effettuata la taratura, per determinare i



O B

A

A: Punto al 100% della prestazione nominale cos(ψ) = 1B: Punto al 25% della prestazione nominale cos(ψ) = 1O: Punto a prestazione nullaψ: Generico argomento della prestazione

ψ

+1.0

0.5

–0.5

–1.0–1 –0.5 +1+0.50

100

sin(ε T

V|T

A)

0

ηTV|TA

Figura 9.16: Diagramma di Moellinger



valori degli errori di rapporto e di fase e la relativa incertezza, si puo ricorrere ai diagram-mi di Moellinger, come descritto nel Paragrafo 9.7. In ogni caso, in questa situazione,si conoscono i valori di ηTV, εTV, u (ηTV) e u (εTV) oppure di ηTA, εTA, u (ηTA) e u (εTA), chepossono essere direttamente utilizzati per l’elaborazione dei risultati della misurazione.

Nel caso in cui non si abbia a disposizione il certificato di taratura, il valore deglierrori di rapporto e fase non e noto, per cui si assume ηTV = εTV = 0 oppure ηTA = εTA =

0. Il campo di variazione degli errori di rapporto e di fase, identificato dalla classe diprecisione, viene, invece, utilizzato per determinare i valori di u (ηTV) e u (εTV) oppure diu (ηTA) e u (εTA). Per i TVI e i TVC, nota la classe di precisione, dalla Tabella 9.5 o dallaTabella 9.7 si ottengono i campi di variazione di ηTV e εTV, ε (ηTV) e ε (εTV). Assumendoper ε (ηTV) e ε (εTV) una distribuzione rettangolare, si ricorre alla (1.33) per determinare lerelative incertezze tipo assolute, ottenendo

u (ηTV) =ε (ηTV)√

3

u (εTV) =ε (εTV)√

3

. (9.21)

Per i TA, nota la classe di precisione e la percentuale della corrente nominale a cui ilTA lavora, dalla Tabella 9.1 o dalla Tabella 9.2 per interpolazione lineare si ottengonoi campi di variazione di ηTA e εTA, ε (ηTA) e ε (εTA). In particolare, indicando con I1%,i ivalori della percentuale della corrente nominale presenti in Tabella 9.1 o in Tabella 9.2 econ I1% = 100 · I1/I1,N la percentuale della corrente nominale a cui il TA lavora, occorreidentificare i valori I1%,k e I1%,l tali per cui I1%,k ≤ I1% ≤ I1%,l. Per interpolazione, quindi,si ottiene

ε (ηTA) = εk (ηTA) +(I1% − I1%,k

) εl (ηTA) − εk (ηTA)I1%,l − I1%,k

ε (εTA) = εk (εTA) +(I1% − I1%,k

) εl (εTA) − εk (εTA)I1%,l − I1%,k

, (9.22)

dove εk (ηTA), εl (ηTA), εk (εTA) e εl (εTA) sono, rispettivamente, i campi di variazione deglierrori di rapporto e di angolo, corrispondenti a I1%,k e I1%,l in Tabella 9.1 o Tabella 9.2.Assumendo per ε (ηTA) e ε (εTA) una distribuzione rettangolare, si ricorre alla (1.33) perdeterminare le relative incertezze tipo assolute, ottenendo

u (ηTA) =ε (ηTA)√

3

u (εTA) =ε (εTA)√

3

. (9.23)

9.9 Misure di Tensione Residua in Sistemi TrifasePer l’alimentazione di particolari protezioni di terra su sistemi funzionanti con neutroisolato, si ricorre a volte all’impiego di tre TVI monofase con i primari collegati a stella


9.10. Misure di Potenza in Sistemi Monofase

1

2

3

VP

Figura 9.17: Schema di inserzione di tre TVI monofase per misurare la tensione residua

ed i secondari a triangolo aperto, secondo lo schema di Figura 9.17. Tra i terminali apertidel triangolo (tensione VP), la tensione e nulla quando il sistema e in condizioni normalidi funzionamento, mentre assume un valore diverso da zero quando una fase va a terra.

Il diagramma vettoriale di Figura 9.18 illustra quanto avviene in caso di guasto mo-nofase a terra netto della fase 3. In caso di guasto, la tensione E3 diviene nulla (E3,G = 0),mentre le tensioni E1 ed E2 diventano, rispettivamente, E1,G = E1

√3 ed E2,G = E2

√3.

Conseguentemente, la tensione residua VR risulta data da

VR = EG

√3 = 3E, (9.24)

dove EG = E1,G = E2,G e E = E1 = E2 = E3. La tensione primaria nominale dei TVI deve,quindi, essere pari alla tensione nominale della rete considerata, divisa per

√3 (V1,N = E,

per esempio, V1,N = 100000/√

3 V). La tensione secondaria nominale dei TVI, invece,per garantire in condizione di guasto una tensione

VP = VR/kTV,N = 3V2,N , (9.25)

sufficiente ad attivare la protezione (tipicamente 100 V), risulta V2,N = VP/3 (per esempio,V2,N = 100/3 V).

9.10 Misure di Potenza in Sistemi MonofaseLo schema circuitale che si utilizza per effettuare misure di potenza in sistemi monofasecon trasformatori di misura e illustrato in Figura 9.19. In questo schema, il TVI o il TVCe inserito in parallelo al carico, mentre il TA e inserito in serie al circuito, a monte delTVI o del TVC. E possibile anche realizzare lo schema duale, con il TA inserito a valle



1

E1

E1,G

E2,GE2 E3

VR

1

2

2

3

0

Figura 9.18: Formazione della tensione residua VR nel caso di guasto monofase a terranetto della fase 3 dello schema di Figura 9.17

VU

VP

IP

IM

TATV U

A W V

Figura 9.19: Schema per la misura di potenza in un sistema monofase con trasformatoridi misura



VPε TV

VU

IU

ϕUϕP

IP

εTA

Figura 9.20: Diagramma vettoriale delle grandezze in gioco in una misura di potenzacon trasformatori di misura

del TVI o del TVC, ma questa soluzione non viene, in genere, utilizzata per i motiviillustrati nel Paragrafo 5.5. Il voltmetro e le voltmetriche del wattmetro sono connesse alsecondario del TVI o del TVC, mentre l’amperometro e le amperometriche del wattmetrosono connesse al secondario del TA. Le letture degli strumenti, se necassario, devonoessere corrette per eliminare gli errori sistematici dovuti agli autoconsumi degli strumenti,come descritto nel Paragrafo 5.5. In particolare, a seconda dello schema utilizzato, tramitela (5.71) o la (5.72), la (5.74) o la (5.75) e la (5.81), a partire dai valori misurati (PM, IM

e VM), si ottengono i dati corretti, PU , IU , VU e cos (ϕU).La potenza attiva PP assorbita dal carico, tenendo conto della presenza dei trasforma-

tori di misura, quindi, facendo riferimento al diagramma vettoriale di Figura 9.20, risulta

PP = VPIP cos (ϕP) =kTV,N

1 +ηTV

100

VUkTA,N

1 +ηTA

100

IU cos (ϕU + εTA − εTV) , (9.26)

dove kTA,N e kTV,N sono i rapporti di trasformazione nominali del TA e del TVI o del TVC,mentre ηTA, εTA, ηTV e εTV sono, rispettivamente, gli errori di rapporto e gli errori di fase delTA e del TVI o del TVC, determinati come descritto nel Paragrafo 9.8. Gli angoli ϕ, εTA eεTV devono essere considerati con il proprio segno (ϕ > 0 per carichi induttivi e ϕ < 0 per



carichi capacitivi). In Figura 9.20, gli angoli sono positivi secondo le convenzioni vigenti.Sviluppando il temine cos (ϕU + εTA − εTV), si ottiene

PP =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU IU[cos (ϕU) cos (εTA − εTV) − sin (ϕU) sin (εTA − εTV)

], (9.27)

ovvero, considerando che cos (εTA − εTV) 1 e sin (εTA − εTV) εTA − εTV,

PP =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU IU cos (ϕU)[1 − tan (ϕU) (εTA − εTV)

]. (9.28)

Considerando che PU = VU IU cos (ϕU), si ricava

PP =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

PU[1 − tan (ϕU) (εTA − εTV)

]. (9.29)

Analogamente, per la potenza reattiva QP, si ottiene

QP = VPIP sin (ϕP) =kTV,N

1 +ηTV

100

VUkTA,N

1 +ηTA

100

IU sin (ϕU + εTA − εTV) . (9.30)

Sviluppando il temine sin (ϕU + εTA − εTV), si ottiene

QP =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU IU[cos (ϕU) sin (εTA − εTV) + sin (ϕU) cos (εTA − εTV)

], (9.31)

ovvero, considerando che cos (εTA − εTV) 1 e sin (εTA − εTV) εTA − εTV,

QP =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU IU sin (ϕU)[1 + cot (ϕU) (εTA − εTV)

]. (9.32)

Considerando che QU = VU IU sin (ϕU) =

√V2

U I2U − P2

U , si ricava

QP =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

QU[1 + cot (ϕU) (εTA − εTV)

]. (9.33)

La potenza apparente S P risulta

S P =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU IU , (9.34)

mentre il fattore di potenza cos (ϕP) e dato da

cos (ϕP) = cos (ϕU)[1 − tan (ϕU) (εTA − εTV)

]. (9.35)



L’incertezza che grava sulla misura di potenza attiva deve essere valutata come incer-tezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordando che tan (ϕU) = QU/PU ,si ottiene

u (PP) =

[∂PP

∂PUu (PU)

]2

+

[∂PP

∂VUu (VU)

]2

+

[∂PP

∂IUu (IU)

]2

+

+

[∂PP

∂ηTAu (ηTA)

]2

+

[∂PP

∂ηTVu (ηTV)

]2

+

[∂PP

∂εTAu (εTA)

]2

+

+

[∂PP

∂εTVu (εTV)

]2

12

, (9.36)

dove ∣∣∣∣∣∂PP

∂PU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

PU (εTA − εTV) + QU

QU, (9.37)

∣∣∣∣∣∂PP

∂VU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU I2U (εTA − εTV)

QU, (9.38)

∣∣∣∣∣∂PP

∂IU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

V2U IU (εTA − εTV)

QU, (9.39)

∣∣∣∣∣ ∂PP

∂ηTA

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100(1 +

ηTA

100

)2

kTV,N

1 +ηTV

100

[PU − QU (εTA − εTV)] , (9.40)

∣∣∣∣∣ ∂PP

∂ηTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

100(1 +

ηTV

100

)2 [PU − QU (εTA − εTV)] , (9.41)

∣∣∣∣∣∂PP

∂εTA

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ ∂PP

∂εTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

QU =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

PU tan (ϕU) . (9.42)

L’incertezza che grava sulla misura di potenza reattiva deve essere valutata comeincertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordando che cot (ϕU) =

PU/QU , si ottiene

u (QP) =

[∂QP

∂PUu (PU)

]2

+

[∂QP

∂VUu (VU)

]2

+

[∂QP

∂IUu (IU)

]2

+

+

[∂QP

∂ηTAu (ηTA)

]2

+

[∂QP

∂ηTVu (ηTV)

]2

+

[∂QP

∂εTAu (εTA)

]2

+

+

[∂QP

∂εTVu (εTV)

]2

12

, (9.43)



dove ∣∣∣∣∣∂QP

∂PU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

PU − QU (εTA − εTV)QU

, (9.44)

∣∣∣∣∣∂QP

∂VU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU I2U (εTA − εTV)

QU, (9.45)

∣∣∣∣∣∂QP

∂IU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

V2U IU (εTA − εTV)

QU, (9.46)

∣∣∣∣∣∂QP

∂ηTA

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100(1 +

ηTA

100

)2

kTV,N

1 +ηTV

100

[PU (εTA − εTV) + QU] , (9.47)

∣∣∣∣∣∂QP

∂ηTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

100(1 +

ηTV

100

)2 [PU (εTA − εTV) + QU] , (9.48)

∣∣∣∣∣∂QP

∂εTA

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∂QP

∂εTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

PU =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

QU cot (ϕU) . (9.49)

L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente deve essere valutata comeincertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, si ottiene

u (S P) =

√[∂S P

∂VUu (VU)

]2

+

[∂S P

∂IUu (IU)

]2

+

[∂S P

∂ηTAu (ηTA)

]2

+

[∂S P

∂ηTVu (ηTV)

]2

, (9.50)

dove ∣∣∣∣∣∂S P

∂VU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

IU , (9.51)

∣∣∣∣∣∂S P

∂IU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

1 +ηTV

100

VU , (9.52)

∣∣∣∣∣ ∂S P

∂ηTA

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100(1 +

ηTA

100

)2

kTV,N

1 +ηTV

100

VU IU , (9.53)

∣∣∣∣∣ ∂S P

∂ηTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

1 +ηTA

100

kTV,N

100(1 +

ηTV

100

)2 VU IU . (9.54)



L’incertezza che grava sulla misura di fattore di potenza deve essere valutata comeincertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, si ottiene

u[cos (ϕP)

]=

[∂ cos (ϕP)∂PU

u (PU)]2

+

[∂ cos (ϕP)∂VU

u (VU)]2

+

+

[∂ cos (ϕP)∂IU

u (IU)]2

+

[∂ cos (ϕP)∂εTA

u (εTA)]2

+

+

[∂ cos (ϕP)∂εTV

u (εTV)]2

12

, (9.55)

dove ∣∣∣∣∣∂ cos (ϕP)∂PU

∣∣∣∣∣ =PU (εTA − εTV) + QU

VU IU QU, (9.56)

∣∣∣∣∣∂ cos (ϕP)∂VU

∣∣∣∣∣ =P2

U (εTA − εTV) + PU QU

V2U IU QU

, (9.57)

∣∣∣∣∣∂ cos (ϕP)∂IU

∣∣∣∣∣ =P2

U (εTA − εTV) + PU QU

VU I2U QU

, (9.58)

∣∣∣∣∣∂ cos (ϕP)∂εTA

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∂ cos (ϕP)∂εTV

∣∣∣∣∣ =QU

VU IU=

PU tan (ϕU)VU IU

. (9.59)

I valori di u (PU), u (VU) e u (IU) sono dati, rispettivamente, dalla (5.64), dalla (5.5)e dalla (5.13) per gli strumenti analogici, oppure dalla (8.17) per gli strumenti digita-li, mentre i valori di u (ηTA), u (εTA), u (ηTV) e u (εTV) si determinano come descritto nelParagrafo 9.8.

Per determinare le incertezze estese U (PP), U (QP), U (S P) e U[cos (ϕP)

], si ricorre

poi alla (1.49), scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura.I risultati della misurazione saranno, quindi,

P = PP ± U (PP) , (9.60)

Q = QP ± U (QP) , (9.61)

S = S P ± U (S P) , (9.62)

cos (ϕ) = cos (ϕP) ± U[cos (ϕP)

], (9.63)

dove PP, QP, S P e cos (ϕP) sono dati, rispettivamente, dalla (9.29), dalla (9.33), dal-la (9.34) e dalla (9.35). Per determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato, occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.



Nel caso in cui venga richiesta una misura di potenza in funzione della tensione (nor-malmente in media o alta tensione non vengono effettuate misure in funzione della cor-rente), si utilizza comunque lo schema di Figura 9.19. Le espressioni della potenza attiva,della potenza reattiva e della potenza apparente, pero, diventano

PR =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,NPU

[1 − tan (ϕU) (εTA − εTV)

] ( VR

VU

)2

, (9.64)

QR =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,NQU

[1 + cot (ϕU) (εTA − εTV)

] ( VR

VU

)2

, (9.65)

S R =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N

IU

VUV2

R. (9.66)

Per il fattore di potenza, invece, rimane valida la (9.35).L’incertezza che grava sulla misura di potenza attiva in funzione della tensione deve

essere valutata come incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordandoche tan (ϕU) = QU/PU , si ottiene

u (PR) =

[∂PR

∂PUu (PU)

]2

+

[∂PR

∂VUu (VU)

]2

+

[∂PR

∂IUu (IU)

]2

+

+

[∂PR

∂ηTAu (ηTA)

]2

+

[∂PR

∂ηTVu (ηTV)

]2

+

[∂PR

∂εTAu (εTA)

]2

+

+

[∂PR

∂εTVu (εTV)

]2

12

, (9.67)

dove ∣∣∣∣∣ ∂PR

∂PU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N


QU

(VR

VU

)2

, (9.68)

∣∣∣∣∣∂PR

∂VU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N

2PU QU −(2Q2

U − V2U I2

U

)(εTA − εTV)

VU QU

(VR

VU

)2

, (9.69)

∣∣∣∣∣∂PR

∂IU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N

IU (εTA − εTV)QU

V2R, (9.70)

∣∣∣∣∣ ∂PR

∂ηTA

∣∣∣∣∣ =kTA,N

(100 + ηTA)2

100 + ηTV

kTV,N[PU − QU (εTA − εTV)]

(VR

VU

)2

, (9.71)

∣∣∣∣∣ ∂PR

∂ηTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

PU − QU (εTA − εTV)kTV,N

(VR

VU

)2

, (9.72)



∣∣∣∣∣∂PR

∂εTA

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ ∂PR

∂εTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,NQU

(VR

VU

)2

=

=kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,NPU tan (ϕU)

(VR

VU

)2 . (9.73)

L’incertezza che grava sulla misura di potenza reattiva in funzione della tensione deveessere valutata come incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, ricordandoche cot (ϕU) = PU/QU , si ottiene

u (QR) =

[∂QR

∂PUu (PU)

]2

+

[∂QR

∂VUu (VU)

]2

+

[∂QR

∂IUu (IU)

]2

+

+

[∂QR

∂ηTAu (ηTA)

]2

+

[∂QR

∂ηTVu (ηTV)

]2

+

[∂QR

∂εTAu (εTA)

]2

+

+

[∂QR

∂εTVu (εTV)

]2

12

, (9.74)

dove ∣∣∣∣∣∂QR

∂PU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N

PU − QU (εTA − εTV)QU

(VR

VU

)2

, (9.75)

∣∣∣∣∣∂QR

∂VU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N

2Q2U − V2

U I2U + 2PU QU (εTA − εTV)

VU QU

(VR

VU

)2

, (9.76)

∣∣∣∣∣∂QR

∂IU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N

IU

QUV2

R, (9.77)

∣∣∣∣∣∂QR

∂ηTA

∣∣∣∣∣ =kTA,N

(100 + ηTA)2

100 + ηTV

kTV,N[PU (εTA − εTV) + QU]

(VR

VU

)2

, (9.78)

∣∣∣∣∣ ∂QR

∂ηTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA


kTV,N

(VR

VU

)2

, (9.79)

∣∣∣∣∣∂QR

∂εTA

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∂QR

∂εTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,NPU

(VR

VU

)2

=

=kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,NQU cot (ϕU)

(VR

VU

)2 . (9.80)

L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente in funzione della tensionedeve essere valutata come incertezza composta, utilizzando la (1.39). In particolare, siottiene

u (S R) =

√[∂S R

∂VUu (VU)

]2

+

[∂S R

∂IUu (IU)

]2

+

[∂S R

∂ηTAu (ηTA)

]2

+

[∂S R

∂ηTVu (ηTV)

]2

, (9.81)



dove ∣∣∣∣∣∂S R

∂VU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,NIU

(VR

VU

)2

, (9.82)

∣∣∣∣∣∂S R

∂IU

∣∣∣∣∣ =kTA,N

100 + ηTA

100 + ηTV

kTV,N

V2R

VU, (9.83)

∣∣∣∣∣ ∂S R

∂ηTA

∣∣∣∣∣ =kTA,N

(100 + ηTA)2

100 + ηTV

kTV,N

IU

VUV2

R, (9.84)

∣∣∣∣∣ ∂S R

∂ηTV

∣∣∣∣∣ =kTA,N

(100 + ηTA)2

IU

kTV,NVUV2

R. (9.85)

I valori di u (PU), u (VU) e u (IU) sono dati, rispettivamente, dalla (5.64), dalla (5.5)e dalla (5.13) per gli strumenti analogici, oppure dalla (8.17) per gli strumenti digita-li, mentre i valori di u (ηTA), u (εTA), u (ηTV) e u (εTV) si determinano come descritto nelParagrafo 9.8.

Per determinare le incertezze estese U (PR), U (QR) e U (S R), si ricorre poi alla (1.49),scegliendo opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura. I risultati dellamisurazione saranno, quindi,

P = PR ± U (PR) , (9.86)

Q = QR ± U (QR) , (9.87)

S = S R ± U (S R) . (9.88)

dove PR, QR e S R sono dati, rispettivamente, dalla (9.64), dalla (9.65) e dalla (9.66). Perdeterminare il numero di cifre significative da utilizzare nell’espressione del risultato,occorre seguire le regole riportate nel Paragrafo 1.5.5.

Nel caso di misure di potenza in sistemi polifase, si procede in modo analogo, esten-dendo lo schema di Figura 9.19, per realizzare le inserzioni descritte nel Paragrafo 5.6.


Capitolo 10

Oscilloscopi

10.1 Generalita

L’oscilloscopio e uno strumento comunemente utilizzato per l’analisi di segnali variabilinel tempo. In genere, il segnale misurato e una tensione, anche se, introducendo conver-titori o trasduttori, e possibile analizzare ogni genere di grandezza. Gli oscilloscopi sonodi diversi tipi, a seconda della misura da eseguire, della frequenza e dell’ampiezza delsegnale da misurare. Inoltre, un segnale variabile nel tempo puo essere analizzato in tem-po reale (oscilloscopio tradizionale) o memorizzato per essere ripreso successivamente(oscilloscopio a memoria). Gli oscilloscopi possono essere analogici o digitali. Al giornod’oggi, grazie al progresso delle tecnologie integrate, gli oscilloscopi analogici per appli-cazioni generiche, sono stati quasi completamente soppiantati dagli oscilloscopi digitali,come e del resto accaduto in molti altri casi (per esempio i multimetri o gli analizzatori diarmoniche). La tecnologia digitale, infatti, offre prestazioni e funzioni indiscutibilmen-te superiori a parita di costo. Tuttavia, e utile considerare inizialmente l’oscilloscopioanalogico, per comprenderne il funzionamento ed evidenziare aspetti che, con l’uso distrumenti digitali, si tende a trascurare.

Lo schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale e illustra-to in Figura 10.1. Esso e costituito sostanzialmente da un CRT e dai circuiti necessari perpilotarlo. Nel CRT, un fascio di elettroni traccia una curva luminosa su uno schermo, se-guendo l’andamento delle coordinate X e Y fornite, sotto forma di tensione, ai morsetti diingresso del CRT stesso. Tramite un interruttore, e possibile selezionare se rappresentareil segnale VY in funzione di un altro segnale VX o in funzione del tempo.

Nel caso venga rappresentato il segnale VY in funzione del tempo, un opportuno cir-cuito, detto base dei tempi, genera un segnale di tensione a dente di sega VdX = kt, chescandisce il CRT in direzione X. Il segnale da misurare VY , invece, viene elaborato in mo-do da ottenere una tensione VdY = kYVY , tale da deflettere il fascio elettronico in direzioneY . Sul CRT viene, quindi, rappresentata l’evoluzione del segnale VY durante l’intervallodi tempo definito da VdX, come illustrato in Figura 10.2. Un opportuno segnale, dettotrigger, permette di sincronizzare la scansione verticale con quella orizzontale, in modo


10. Oscilloscopi

Canale YVY

Base deiTempi

Canale XVX

CRT

Y

X

VdY

VdX

Figura 10.1: Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale

da mostrare sullo schermo un forma d’onda stabile (qualora, ovviamente, il segnale siaperiodico).

Nel caso in cui venga rappresentato il segnale VY in funzione di un altro segnale ester-no VX (modalita XY), si utilizza una tensione VdX = kXVX, invece del segnale generatodalla base dei tempi, in modo da produrre un’opportuna deflessione del fascio elettro-nico in direzione X. In questo caso, quindi, sul CRT, viene rappresentata l’evoluzionedel segnale VY in funzione del segnale VX, senza alcuna informazione temporale, comemostrato in Figura 10.3.

10.2 Tubo a Raggi Catodici

L’elemento base di un oscilloscopio per uso generale analogico o digitale e il CRT. Inun oscilloscopio analogico, infatti, il CRT permette di rappresentare visivamente l’an-damento di un segnale nel dominio del tempo o in funzione di un altro segnale. In unoscilloscopio digitale, invece, esso e utilizzato come monitor (anche se in realta in que-sto caso e possibile utilizzare anche display di altro tipo, come per esempio dispositivi acristalli liquidi).

Come illustrato in Figura 10.4, un CRT e costituito da un cannone elettronico, compo-sto a sua volta da un catodo e da una serie di griglie o lenti, dalle placchette di deflessionee da uno schermo, su cui viene visualizzata la forma d’onda.

10.2.1 Cannone Elettronico

All’interno del cannone elettronico, il fascio di elettroni viene generato e focalizzato. Glielettroni, infatti, si comportano, sotto molti aspetti, in modo simile a un raggio luminoso,


10.2. Tubo a Raggi Catodici

Y – Segnale da Analizzare

X – Base dei Tempi

a

b

b

a

CRT

Figura 10.2: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio con base dei tempi


10. Oscilloscopi

Y – Segnale da Analizzare

X – Segnale da Analizzare

CRT

Figura 10.3: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio in modalita XY


10.2. Tubo a Raggi Catodici

Fila

men

to

Catodo

Crossover

Luminosità

Griglia di ControlloPrimo Anodo Anodo Focalizzatore

Secondo Anodo

Fuoco Astigmatismo

Placchette di Deflessione Y

Placchette diDeflessione X

Sche

rmo

Simmetria Cilindrica

0 0–V

–VA

–(VA + VG)

Figura 10.4: Tubo a raggi catodici (CRT)

in quanto essi possono essere rifratti, riflessi e focalizzati tramite lenti. Le lenti elettroni-che, pero, a differenza di quelle ottiche, sono costituite da campi elettrici opportunamentesagomati, invece che da materiali con proprieta ottiche diverse.

Gli elettroni, emessi per effetto termoionico dal catodo (a potenziale −VA), riscaldatoda un apposito filamento, vengono accelerati verso il primo anodo (a potenziale 0) dalladifferenza di potenziale VA. La griglia di controllo a potenziale − (VA + VG), posta trail catodo e il primo anodo, determina il numero di elettroni che costituiscono il fascio,permettendo cosı di controllare la luminosita dello schermo (Luminosita). La dimensionedel foro, denominato crossover, nella griglia di controllo, invece, determina la dimensionegeometrica del punto luminoso sullo schermo.

L’anodo focalizzatore (a potenziale −V) ha la funzione di concentrare il fascio dielettroni, mentre il secondo anodo (a potenziale 0) introduce un’ulteriore accelerazione.Il controllo del fuoco (Fuoco) viene normalmente posto sul secondo anodo, in mododa non interferire con l’azione dell’anodo focalizzatore. Il controllo dell’astigmatismo(Astigmatismo), normalmente non accessibile, e, invece, connesso a un ulteriore anodo.

La griglia di controllo, oltre a determinare la luminosita dello schermo, puo ancheessere utilizzata, tramite opportuni circuiti (detti circuiti dell’asse Z), per bloccare il fa-scio di elettroni tra una scansione dello schermo e la successiva (Figura 10.5a). Alter-nativamente, questa stessa funzione puo essere realizzata tramite opportune placchette dispegnimento, che deviano il fascio al di fuori dello schermo (Figura 10.5b).


10. Oscilloscopi

Fila

men

to

Catodo

Griglia di Controllo

Primo Anodo

CircuitiAsse Z

Dalla Base dei Tempi

Luminosità

Impulso di Sblocco

Livello di Interdizione

Sche

rmo

Placchette di Spegnimento

Fascio Deviato

(a)

(b)

Figura 10.5: Interdizione del fascio elettronico tra una scansione e l’altra dello schermotramite griglia di controllo (a) o placchette di spegnimento (b)

10.2.2 Placchette di DeflessioneIl fascio di elettroni, generato e focalizzato dal cannone elettronico, deve poi essere indi-rizzato verso le coordinate desiderate sullo schermo. Questa funzione viene svolta dalleplacchette di deflessione (X e Y). Negli oscilloscopi, in genere, si utilizza la deflessio-ne elettrostatica, realizzata tramite placchette parallele, a cui e applicata una differenzadi potenziale. Ovviamente, si potrebbe ottenere lo stesso risultato anche utilizzando duecoppie di bobine (deflessione magnetica), come nei televisori. La deflessione magneticarisulta molto piu efficiente della deflessione elettrostatica, ma meno precisa. Pertanto, apari dimensione dello schermo, i CRT basati sulla deflessione magnetica hanno lunghezzainferiore rispetto a quelli basati sulla deflessione elettrostatica, ma la posizione del fasciosullo schermo stesso risulta controllabile con accuratezza nettamente inferiore.

10.2.3 SchermoLo schermo di un CRT e costituito da una lastra di vetro (in genere il tubo a vuoto stesso),sulla cui parete interna vengono depositate sostanze (fosfori) che, colpite dagli elettroni,emettono radiazioni luminose visibili. L’energia degli elettroni incidenti, infatti, in parteviene dissipata sotto forma di calore, in parte ionizza il materiale e in parte eccita il mate-riale, provocando un’emissione luminosa per un certo periodo di tempo, come illustratoin Figura 10.6. L’emissione luminosa in presenza di uno stimolo, ovvero quando e pre-sente il fascio elettronico, prende il nome di fluorescenza, mentre l’emissione luminosa in


10.3. Base dei Tempi

Tempo di Formazione Tempo di Decadimento

Fluorescenza Fosforescenza

Uscita Luminosa Complessiva

t

Lum

inos

ità

100%90%

10%

Corrente del Fascio

Figura 10.6: Comportamento dello schermo colpito dal fascio di elettroni

assenza di stimoli, ovvero quando non e piu presente il fascio elettronico, prende il nomedi fosforescenza.

10.3 Base dei Tempi

Lo schema a blocchi della base dei tempi e illustrato in Figura 10.7. Il blocco piu impor-tante e, ovviamente, il generatore di rampa, regolabile tramite il controllo Time/Division,che genera il segnale per il canale orizzontale (X), mentre gli altri blocchi servono percontrollare e selezionare le diverse modalita di funzionamento. Il circuito di prelievo ein realta parte del canale verticale (Y). Nella base dei tempi esistono tipicamente tre mo-dalita di funzionamento (triggered, auto e single-sweep), che possono essere selezionatetramite il selettore di sweep mode.

10.3.1 Modalita Triggered

La modalita di funzionamento triggered viene, in genere, utilizzata per visualizzare segna-li periodici. La base dei tempi, infatti, viene avviata da un opportuno segnale di trigger,sincrono col segnale da visualizzare (VY), permettendo cosı di ottenere sullo schermo unatraccia stabile. Tramite un selettore (selettore di trigger), e possibile scegliere se prele-vare il segnale di trigger dal segnale VY (INT), da un segnale esterno (EXT) oppure dallatensione di linea (LINE, per esempio 220 V, 50 Hz).


10. Oscilloscopi

Circuito diPrelievo

Segnale di Ingresso (VY)

Canale Y

EXTINT

LINE

220 V 10 V

Generatoredi Trigger

LevelSlope(+/–)

CircuitoAuto

Generatoredi Gate

Circuito diRipristino

Auto / Trigger / Single

Selettore di Trigger

Selettore di Sweep Mode

Generatoredi Rampa

Circuito diHold-Off

Canale X

Time / DivisionCircuiti Asse Z

1 4

5

6

7

8

9

2 3

Figura 10.7: Schema a blocchi della base dei tempi

In questa modalita di funzionamento il circuito auto e disabilitato, mentre il genera-tore di trigger fornisce in uscita un impulso ogni qual volta il segnale selezionato (INT,EXT o LINE) attraversa una determinata soglia (Level) con una determinata pendenza(Slope), come mostrato in Figura 10.8 (segnali 1 e 2). Il segnale ottenuto dal generatoredi trigger viene fornito in ingresso al generatore di gate, che e costituito da un circuitobistabile (stati A e B), con uno terzo stato C metastabile, indotto dal segnale generatodal circuito di ripristino (segnale 7). Quando nel segnale di trigger (segnale 2) compareun impulso negativo, tale da portare la tensione in ingresso al generatore di gate al disotto della tensione di soglia V1 (segnale 3), il circuito bistabile commuta dallo stato Aallo stato B, avviando cosı il generatore di rampa (segnali 4 e 5). Il segnale in uscita dalgeneratore di gate viene fornito in ingresso ai circuiti dell’asse Z, in modo da sbloccareil fascio elettronico, mentre il segnale in uscita dal generatore di rampa viene fornito iningresso al canale orizzontale (X) e allo stesso tempo al circuito di hold-off, che a suavolta fornisce in uscita una rampa con pendenza diversa (segnale 6). Questa rampa rap-presenta il segnale di ingresso al circuito di ripristino, che e normalmente costituito daun comparatore con isteresi, con soglie VS e VR. Quando la rampa raggiunge la tensioneVS , l’uscita del circuito di ripristino cambia di stato (segnale 7), portando il generatore digate nello stato C. L’uscita del generatore di gate, quindi, cambia stato e il generatore dirampa viene azzerato (segnali 3, 4 e 5). Mentre il generatore di gate si trova negli statiB e C, gli impulsi di trigger, eventualmente sopravvenuti, vengono ignorati. A questopunto, la rampa in uscita dal circuito di hold-off inizia a scendere (segnale 6). Quandoessa raggiunge la tensione VR, il circuito di ripristino cambia nuovamente stato (segnale


10.3. Base dei Tempi

LevelSlope –

V1

V2

Stato A

Stato B

Stato C

1

0

1

0

VS

VR

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Stato A

Figura 10.8: Forme d’onda della base dei tempi in modalita di funzionamento triggered


10. Oscilloscopi

Generatoredi Trigger

Level Slope (+/–)

Generatoredi Gate

Circuito diRipristino

2 3

7

9

MonostabileT = 25 ms

8

S1 1

0

25 ms

Circuito Auto

Figura 10.9: Schema a blocchi semplificato della base dei tempi in modalita auto

7), riportando cosı il generatore di gate nello stato iniziale A. Conseguentemente, quandocompare il successivo impulso nel segnale di trigger, il ciclo ricomincia, provocando unanuova scansione orizzontale dello schermo. Nella modalita di funzionamento triggered,quindi, la base dei tempi si comporta come un circuito monostabile.

10.3.2 Modalita AutoLa modalita di funzionamento auto ovvia agli inconvenienti che presenta la modalita difunzionamento triggered quando il segnale di trigger e assente o molto lento (in genereper frequenze inferiori a 40 Hz). In questa modalita di funzionamento il circuito auto eattivo, come mostrato in Figura 10.9. Esso riceve in ingresso un impulso generato dalcircuito di ripristino (segnale 8 in Figura 10.8), nonche il segnale di uscita del generatoredi trigger (segnale 2 in Figura 10.8). Qualora non compaia alcun impulso di trigger perun determinato tempo (generalmente 25 ms, fissato da un circuito monostabile), l’impul-so generato dal circuito di ripristino viene direttamente fornito in ingresso al generatoredi gate, attraverso un interruttore (segnale 9). Pertanto, una volta terminato un ciclo difunzionamento della base dei tempi (rampa e hold-off), inizia automaticamente un nuovociclo, provocando cosı una continua scansione dello schermo. Il primo impulso al ge-neratore di gate viene fornito manualmente quando si seleziona la modalita auto. Nellamodalita di funzionamento auto, quindi, la base dei tempi si comporta come un circuitoastabile.

10.3.3 Modalita Single-SweepLa modalita di funzionamento single-sweep viene in genere utilizzata per visualizzaresegnali non periodici. In questo caso, infatti, in modalita triggered o auto si otterrebbeuna traccia non stabile sullo schermo. In modalita single-sweep, pertanto, vengono inibititutti gli impulsi di trigger successivi al primo, provocando una singola scansione delloschermo. Questo viene ottenuto inibendo il cambiamento di stato del segnale in uscita al


10.4. Canale Verticale (Y)

AttenuatoreY

VY

AC

GND

DC

Selettore di Ingresso

V / Division Coarse

K1

AmplificatoreY

K2

V1

CRT

V2a

K3

V / Division Fine

Posizione Polarità

Base dei Tempi

Figura 10.10: Schema a blocchi del canale verticale (Y)

circuito di ripristino (segnale 7 in Figura 10.8) quando la rampa in uscita dal circuito dihold-off (segnale 6 in Figura 10.8) scende al di sotto della tensione VR. Il generatore digate, quindi, dopo la prima scansione rimane nello stato C finche l’utente non decide dieffettuare un nuova scansione.

10.4 Canale Verticale (Y)La funzione principale del canale verticale (Y) e di portare il segnale d’ingresso al livellodi tensione necessario a deflettere opportunamente il fascio elettronico. Lo schema a bloc-chi del canale verticale (Y) e mostrato in Figura 10.10. Esso e sostanzialmente costituitoda un selettore di ingresso, che determina il tipo di accoppiamento (AC, DC o GND), eda una catena di attenuatori e amplificatori, il cui guadagno e determinato dal controlloV/Division. L’ampiezza a della traccia visualizzata sullo schermo (numero di divisioni)risulta data da

a = K1K2K3VY , (10.1)

dove K1, K2 e K3 rappresentano il guadagno (o l’attenuazione) dei diversi blocchi dellacatena. Variando uno qualsiasi di questi parametri (in genere K1 a scatti a K2 in modofine), e quindi possibile variare l’ampiezza della traccia.

L’accoppiamento GND permette di connette l’ingresso Y a massa, in modo da de-terminare lo zero del segnale. Tramite il controllo Posizione, e poi possibile aggiustareverticalmente il livello di zero in modo da porre la forma d’onda da visualizzare al centrodello schermo. Il controllo Polarita permette di invertire la polarita del segnale. L’accop-piamento AC permette di eliminare la componente in continua del segnale da visualizza-re, che e invece presente con l’accoppiamento DC. Esso viene tipicamente utilizzato pervisualizzare segnali di ampiezza ridotta sovrapposti a tensioni continue di elevato valore.

Nel canale verticale (Y) e, in genere, presente un linea di ritardo. Essa e necessaria intutti gli oscilloscopi con banda superiore a 10 MHz per equalizzare i ritardi del canale X edel canale Y , permettendo cosı di visualizzare il fronte di attacco del segnale. Infatti, se il


10. Oscilloscopi

V / Division Fine

AttenuatoreX

PreamplificatoreX

AmplificatoreFinale X

Plac

chet

te d

i Def

less

ione

Posizione Polarità

Beam FinderV / Division Coarse

VX

Base deiTempi

Horizontal Display

Figura 10.11: Schema a blocchi del canale orizzontale (X)

ritardo del canale X fosse superiore al ritardo del canale Y , il fronte di attacco del segnalenon verrebbe visualizzato, con conseguente perdita di informazione.

10.5 Canale Orizzontale (X)Lo schema a blocchi del canale orizzontale (X) e illustrato in Figura 10.11. Esso e co-stituito da un attenuatore, da un preamplificatore e da un amplificatore finale. Tramiteun selettore (controllo Horizontal Display), la rampa generata dalla base dei tempi vieneconnessa all’amplificatore finale, in alternativa al segnale fornito dal preamplificatore. Icontrolli del canale X (V/Division, Posizione e Polarita) sono analoghi a quelli del canaleY e vengono utilizzati solo in modalita XY .

10.6 Oscilloscopio a Doppia TracciaNell’analisi dei segnali nel dominio del tempo, e spesso importante poter visualizzare dueforme d’onda contemporaneamente (per esempio i segnali d’ingresso e di uscita di uncircuito). Quasi tutti gli oscilloscopi, pertanto, prevedono questa possibilita (oscilloscopia doppia traccia). Per realizzare oscilloscopi a doppia traccia, si utilizzano in genere solu-zioni basate su circuiti di commutazione. Lo schema a blocchi del canale verticale (Y) diun oscilloscopio a doppia traccia con circuiti di commutazione e illustrato in Figura 10.12.

La struttura del circuito e analoga a quella di un oscilloscopio a singola traccia. Tutta-via, i primi stadi del canale Y (selettore, attenuatore e preamplificatore) vengono duplicatiper poter prelevare i due segnale d’ingresso (VY,A e VY,B). I segnali in uscita dai due pream-plificatori vengono poi combinati tramite un circuito di commutazione e forniti in ingressoa una singola linea di ritardo e, quindi, a un singolo amplificatore finale. Il controllo Se-lettore Trigger permette di selezionare il segnale di trigger da inviare alla base dei tempi


10.6. Oscilloscopio a Doppia Traccia

Selettoredi

Ingresso

Selettoredi

Ingresso

AttenuatoreA

PreamplificatoreA

VY, A

AttenuatoreB

PreamplificatoreB

VY, B

Circuito di Commutazione

Linea diRitardo

AmplificatoreFinale Y

Plac

chet

te d

i Def

less

ione

CircuitoPilota

Base dei Tempi (ALT) Circuiti Asse Z (CHOP)

Amplificatoredi Trigger

AA + BB

Bas

e de

i Tem

pi

Selettore Trigger

V / Division A Posizione A Polarità A

V / Division B Posizione B Polarità B Mode

ABALTCHOPA + B

TA

Figura 10.12: Schema a blocchi del canale verticale (Y) di un oscilloscopio a doppiatraccia


10. Oscilloscopi

(A, B o A + B). Inoltre, un apposito circuito pilota gestisce la commutazione tra i segnali.Agendo sul circuito pilota tramite il controllo Mode e possibile selezionare se visualizzareil segnale VY,A (modalita A), il segnale VY,B (modalita B), la somma dei due segnali (mo-dalita A + B) oppure entrambi i segnali utilizzando alternativamente la modalita alternate(modalita ALT, normalmente utilizzata per frequenze superiori a 30 kHz) o la modalitachopped (modalita CHOP, normalmente utilizzata per frequenze inferiori a 500 Hz). Epossibile anche visualizzare la differenza dei due segnali, invertendo il segnale VY,A o ilsegnale VY,B tramite il controllo Polarita e selezionando la modalita A + B.

10.6.1 Modalita AlternateIn modalita alternate i segnali VY,A e VY,B vengono visualizzati alternativamente sulloschermo in scansioni successive (durante una scansione dello schermo viene visualiz-zato il segnale VY,A e durante la scansione seguente il segnale VY,B), come mostrato inFigura 10.13.

Se i segnali sono correlati in frequenza, e sufficiente prelevate il segnale di triggerindifferentemente dal canale A o dal canale B. Se i segnali non sono correlati in frequen-za, invece, e necessario prelevare il trigger dal segnale da visualizzare (A + B, come inFigura 10.13).

In modalita alternate e comunque possibile ottenere forme d’onda stabili sullo scher-mo anche in presenza di segnali scorrelati in frequenza. Un apposito segnale (TA), fornitodalla base dei tempi provoca la commutazione del circuito dal canale A al canale B oviceversa (tramite il circuito pilota).

10.6.2 Modalita ChoppedIn modalita chopped i segnali VY,A e VY,B vengono visualizzati alternativamente sulloschermo durante la medesima scansione, come mostrato in Figura 10.14. Ovviamente,in questo caso, per avere una traccia stabile, i due segnali devono essere correlati in fre-quenza. Inoltre, la frequenza di commutazione tra un segnale e l’altro (determinata dalcircuito pilota, normalmente circa 1 MHz) deve essere molto superiore alla frequenza deisegnali stessi. La modalita chopped, quindi, viene generalmente utilizzata per segnalilenti.

Per evitare che i transitori di commutazione tra un segnale e l’altro appaiano sulloschermo, occorre inviare appositi impulsi ai circuiti dell’asse Z (oltre al segnale di gate),in modo da bloccare il fascio elettronico in corrispondenza delle commutazioni. Il segnaleChopper viene generato dal circuito pilota.

10.7 Oscilloscopio DigitaleIl principio di funzionamento di un oscilloscopio digitale non differisce di molto da quel-lo di un oscilloscopio analogico (i controlli sono gli stessi, come pure i blocchi base).


10.7. Oscilloscopio Digitale

t

t

t

t

t

t

VY,

AV

Y, B

Tri

gger

Ram

paG

ate

TA

Figura 10.13: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia inmodalita alternate


10. Oscilloscopi

t

t

t

t

t

VY,

AV

Y, B

Cho

pper

Ram

paA

sse

Z

Figura 10.14: Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia inmodalita chopped


10.7. Oscilloscopio Digitale

VYCircuito diIngresso

ConvertitoreA/D

Memoria Microprocessore

ConvertitoriD/A X e Y

AmplificatoriFinali X e Y

Schermo

Clock Base deiTempi

Time / Division

Volt / Division

Ricostruzione eElaborazione

InterfacciaUtente

fS

Figura 10.15: Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale

Tuttavia, le architetture interne nei due casi sono sostanzialmente diverse. Lo schema ablocchi semplificato di un oscilloscopio digitale e illustrato in Figura 10.15. Esso e co-stituito fondamentalmente da un circuito di ingresso (come nell’oscilloscopio analogico),da un convertitore A/D, da un microprocessore, da una memoria e dallo schermo (con irelativi convertitori D/A e amplificatori finali).

Il segnale da analizzare viene convertito in forma digitale, memorizzato, elaborato dalmicroprocessore ed infine visualizzato sullo schermo. I vantaggi di un oscilloscopio di-gitale sono innumerevoli. Innanzitutto, grazie alla possibilita di memorizzare il segnale,e possibile visualizzare chiaramente anche forme d’onda non periodiche o molto lente.Inoltre, l’elaborazione digitale del segnale permette di includere nell’oscilloscopio nu-merose funzioni di misura (cursori sullo schermo, misure di frequenza, trasformata diFourier, operazioni matematiche, zoom), tipicamente non disponibili in oscilloscopi ana-logici. Infine, siccome lo schermo e gestito direttamente dal microprocessore, e possibilerealizzare facilmente oscilloscopi con numerosi canali (tipicamente quattro).

La conversione A/D del segnale da analizzare, discussa nel Capitolo 7, e la carat-teristica peculiare di un oscilloscopio digitale. La precisione (risoluzione) e la velocita(frequenza di campionamento) del convertitore A/D, infatti, determinano le prestazionidell’intero oscilloscopio. La banda passante BS di un oscilloscopio digitale risulta, in ba-se al teorema si Shannon (Paragrafo 7.2), limitata dal massimo valore della frequenza di


10. Oscilloscopi

ConvertitoreA/D

ConvertitoreA/D

ConvertitoreA/D

Vin

1

2

n

Unità diControllo

Multiplexer Nout

Figura 10.16: Convertitore A/D per oscilloscopi a larga banda

campionamento fS (BS = fS /2). Il segnale minimo rivelabile da un oscilloscopio digitalee legato alla risoluzione del convertitore A/D (Paragrafo 7.3).

In oscilloscopi a larga banda, per soddisfare il teorema di Shannon, vengono in genereutilizzati n convertitori A/D in parallelo (time-interleaved), che campionano il segnale inn istanti successivi, come illustrato in Figura 10.16. Gli n segnali digitali cosı ottenutivengono poi ricombinati in modo da produrre un unico segnale campionato a frequenzapiu alta. Per gli oscilloscopi digitali vengono in genere utilizzati convertitori A/D flash(Paragrafo 7.5.5) o pipeline (Paragrafo 7.5.6). La frequenza di campionamento puo essereanche dell’ordine dei gigahertz.

Quando si utilizzano oscilloscopi digitali, occorre prestare particolare attenzione alvalore della frequenza di campionamento, che viene normalmente selezionata automati-camente dallo strumento in base al valore scelto con il controllo Time/Division. Qualorasi utilizzi una valore di fS troppo basso rispetto alla frequenza dei segnali da analizzare,sullo schermo vengono visualizzati segnali a frequenza diversa da quella reale, a causadel fenomeno dell’aliasing (Paragrafo 7.2). Per visualizzare segnali periodici a frequenzamolto elevata (superiore alla massima frequenza di campionamento disponibile), si pos-sono utilizzare tecniche di sotto-campionamento oppure di campionamento casuale, chesfruttano, in modo controllato, il fenomeno dell’aliasing.


10.8. Probe

C111.1 pF

R19 MΩ Ccomp Cc

Ci100 pF

Ri1 MΩ

OscilloscopioProbe + Cavetto

Figura 10.17: Circuito equivalente del probe dell’oscilloscopio

10.8 ProbeIl probe o sonda di un oscilloscopio e costituito da un cavetto coassiale, completato ad unestremo da un puntale e all’altro da un connettore per il collegamento all’ingresso dell’o-scilloscopio. I1 cavo coassiale ha la funzione di proteggere dai disturbi esterni il segnaleda inviare all’oscilloscopio, ma costituisce un carico per il circuito di misura e puo produr-re fenomeni di attenuazione. Il circuito equivalente del probe e illustrato in Figura 10.17(Ri e Ci sono, rispettivamente, la resistenza e la capacita di ingresso dell’oscilloscopio).

Per ridurre gli effetti della resistenza e della capacita introdotti dal cavetto e dall’o-scilloscopio sul segnale da analizzare, in genere, si introducono un resistore (R1) e uncondensatore (C1) in serie con il conduttore nel cavo coassiale. Con l’inserimento delresistore R1 un segnale a bassa frequenza giunge all’ingresso dell’oscilloscopio attenuatodel rapporto

kR =Ri

R1 + Ri. (10.2)

Di solito questo rapporto viene scelto in modo che sia un numero intero (tipicamentekR = 1/10). Per ottenere una corretta risposta in funzione della frequenza (mantenerel’attenuazione costante), e, pero, necessario includere nel circuito anche delle capacita,come indicato in Figura 10.17. La capacita Ccomp, detta capacita di compensazione, puoessere regolata tramite una vite, facendo in modo di soddisfare la relazione

kR =Ri

R1 + Ri=

C1

C1 + Ci + Cc + Ccomp. (10.3)

In questo modo, con i valori dei parametri riportati in Figura 10.17, la resistenza di in-gresso del probe e di 10 MΩ e la capacita totale di 10.3 pF. E evidente il vantaggio che siottiene, se si confrontano questi valori con quelli propri dell’oscilloscopio (Ri = 1 MΩ eCi = 100 pF).


Capitolo 11

Sensori e Trasduttori

11.1 Generalita

Un trasduttore e un dispositivo che trasforma una grandezza qualsiasi in un altra grandez-za qualsiasi. Un trasduttore che trasforma una grandezza non elettrica in una grandezzaelettrica prende il nome di sensore, mentre un trasduttore che trasforma una grandezzaelettrica in una grandezza non elettrica prende il nome di attuatore, come illustrato inFigura 11.1.

La trasduzione in elettrica di una grandezza non elettrica e, quindi, di norma eseguitada un sensore, sensibile alla grandezza che si vuole misurare, che viene collocato nelpunto di misura. I sensori possono essere distinti in• sensori attivi, che forniscono in uscita un segnale elettrico attivo (tensione, corrente)

ottenuto mediante una trasformazione di energia (per esempio, meccanica, termicao luminosa) in forma elettrica;

• sensori passivi, nei quali la grandezza da misurare influenza una grandezza elettricapassiva (resistenza, capacita), alimentata da sorgenti esterne di energia.

GrandezzaQualsiasi

GrandezzaQualsiasi

GrandezzaElettrica

Trasduttore Sensore

Attuatore

Figura 11.1: Trasduttori, sensori e attuatori


11. Sensori e Trasduttori

I YV

Z

Figura 11.2: Circuiti equivalenti di un sensore attivo

Sigla Giunzione Temperatura Massima di ImpiegoT Rame/Costantana 371 CJ Ferro/Costantana 760 CE Cromo/Costantana 871 CK Nichel-Cromo/Alumel 1260 CR Platino/Platino-Rodio (13%) 1482 CS Platino/Platino-Rodio (10%) 1482 C

Tabella 11.1: Termocoppie di comune impiego

Il segnale elettrico ottenuto in uscita al sensore deve poi essere elaborato, mediante unaserie di componenti, che costituisce una vera e propria catena di misura.

11.2 Sensori AttiviUn sensore attivo puo sempre essere rappresentato con uno dei circuiti equivalenti ripor-tati in Figura 11.2, dove V = f (X), I = f (X) e X rappresenta la grandezza da misurare.Raramente il legame fra V o I ed X e lineare. Tuttavia, deve sempre essere verificata lacondizione f (X) = 0 per X = 0, poiche la relazione funzionale deriva da interazioni ditipo energetico.

11.2.1 TermocoppieLe termocoppie sono sensori attivi di temperatura. Esse sono costituite da due fili dimetalli diversi, saldati insieme ad una delle estremita. Per effetto termoelettrico o effettoSeebeck, ogni giunzione tra due conduttori diversi fornisce una forza elettromotrice, chedipende dalla differenza di temperatura tra la giunzione stessa (giunto caldo) e gli altriestremi dei conduttori (giunto freddo). Le termocoppie di comune impiego sono riportatein Tabella 11.1.

Le termocoppie sono sensori assai robusti, di facile installazione e basso costo. En-tro un certo campo di temperature, la tensione di uscita e ragionevolmente lineare. Loschema circuitale in cui il sensore e tipicamente inserito e riportato in Figura 11.3. Ilgiunto freddo deve essere termostato a 0 C, per avere misure assolute nel dominio della


11.2. Sensori Attivi

Giu

nto

Cal

do Strumentodi

Misura

A

B

Filidella

Termocoppia

Filidi

Compensazione

Giu

nto

Fred

do

Fili

diC

olle

gam

ento

Figura 11.3: Termocoppia con circuito di lettura

scala centigrada, oppure, in caso contrario, le variazioni di temperatura del giunto freddodevono essere compensate automaticamente. Poiche collegamenti realizzati con materialidiversi non influenzano la misura se le rispettive giunzioni sono isoterme, spesso il giuntofreddo e contenuto all’interno dello strumento di misura e controllato in temperatura. I filidi compensazione vengono introdotti qualora la distanza fra il giunto caldo e lo strumentodi misura sia apprezzabile e sono realizzati con gli stessi materiali che costituiscono latermocoppia.

Le cause di errore nella forza elettromotrice fornita dalle termocoppie sono fonda-mentalmente tre:

• le modalita di applicazione del giunto caldo all’oggetto del quale si vuole rilevarela temperatura;

• la capacita termica del sensore;• la trasmissione del calore attraverso i conduttori, per cui la termocoppia tende a

raggiungere l’equilibrio termico con tutto l’ambiente, non con il solo oggetto concui il giunto caldo e a contatto.

E, quindi, fondamentale scegliere la termocoppia da usare, non solo sulla base della gam-ma di temperatura, ma anche sulla base del tipo di impiego previsto, che ne determinale dimensioni fisiche, il grado di calibrazione, il tipo di guaina protettiva e le condizioniambientali d’uso. Lo strumento di misura deve avere impedenza d’ingresso molto elevata,in quanto la corrente che fluisce nella termocoppia deve essere trascurabile, sia per evi-tare cadute di tensione sulla resistenza di uscita della termocoppia stessa, sia per evitaredi modificare la temperatura del giunto caldo per effetto Peltier (effetto duale dell’effettoSeebeck).

In Figura 11.4 e riportato l’andamento della forza elettromotrice in funzione dellatemperatura per le termocoppie citate in Tabella 11.1.



B

B

B

B

B

B

B

B

J

J

J

J

J

J

J

J

H

H

H

H

H

H

FF

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ ÑÑ

ÑÑ

ÑÑ

ÑÑ

ÑÑ

Ñ

É É É É É É É É É ÉÉ

ÉÉ

ÉÉ

ÉÉ

ÉÉ

É

0

10

20

30

40

50

60

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Tens

ione

[mV

]

Temperatura [˚C]

B E

J J

H T

F K

Ñ R

É S

Figura 11.4: Forza elettromotrice in funzione della temperatura per le termocoppiecitate in Tabella 11.1

11.2.2 Sensori Fotoelettrici

I sensori fotoelettrici vengono utilizzati per misure di intensita luminosa. Questi sensorigenerano una corrente proporzionale alla potenza della radiazione luminosa incidente. Trai sensori fotoelettrici, i dispositivi piu comunemente utilizzati sono i fotodiodi (al silicioo al germanio), che generano correnti specifiche dell’ordine di 10 mA/mW con costantidi tempo dell’ordine di 10 ns. Questi dispositivi sono assai sensibili alla temperatura e larisposta e lineare solo se essi vengono polarizzati opportunamente.

I fotodiodi si basano sulla generazione di portatori (elettroni e lacune) nella zonasvuotata di una giunzione p-n per effetto della radiazione luminosa, come illustrato inFigura 11.5. La corrente generata da un fotodiodo e data da

I =ηqµτλVAPλ

hcL2 , (11.1)

dove c e la velocita della luce, q e la carica dell’elettrone, Pλ e la potenza luminosa inci-dente con lunghezza d’onda λ, VA e la tensione di polarizzazione inversa del fotodiodo, ηe l’efficenza quantica, µ e la mobilita dei portatori, τ e il tempo di vita medio dei porta-tori nella zona svuotata, L e la distanza tra gli elettrodi del fotodiodo e h e la costante diPlanck.


11.2. Sensori Attivi

Fotoeccitazione

Elettrone

Campo Elettrico Applicato

Lacuna

Materiale Intrinseco Materiale Estrinseco

Fotoeccitazione

Elettrone

Campo Elettrico Applicato

Banda diConduzione

Banda diValenza

Figura 11.5: Effetto fotoelettrico in un fotodiodo

Oltre che per misure dirette di intensita luminosa, i sensori fotoelettrici vengono uti-lizzati, spesso, in combinazione con emettitori di radiazione luminosa, anche per misureindirette di posizione o velocita (righe ed encoder ottici) e per realizzare fotocellule.

11.2.3 Sensori PiezoelettriciI sensori piezoelettrici convertono sforzi di trazione, compressione o di taglio in forzeelettromotrici. Sottoponendo dei cristalli opportunamente tagliati a tali sforzi, sulle faccesi originano cariche elettriche dell’ordine di 10−9 C/N, che producono sulla capacita pro-pria del cristallo e su eventuali capacita esterne delle differenze di potenziale, misurabilicon strumenti ad alta impedenza. Il materiale piezoelettrico per eccellenza e il quarzo, maesistono anche alcune ceramiche con buone caratteristiche di piezoelettricita.

Per un sensore piezoelettrico si definisce sensibilita di carica la grandezza

S Q =QP, (11.2)

dove Q e la carica prodotta e P lo sforzo applicato. Poiche

V =QC

=S Q

CP, (11.3)

dove V e la forza elettromotrice generata e C = CS + CC e la capacita equivalente di tuttocio che si trova a monte del punto dove si rileva V (inclusi i cavi di collegamento e lacapacita di ingresso dello strumento di misura), la sensibilita in tensione del trasduttore edata da

S V =S Q

C=

QPC

=Q

P (CS + CC). (11.4)

Dalla (11.4) si vede che S V varia con CC e, quindi, con le condizioni di impiego delsensore (cavi di collegamento e strumento di misura). Per ovviare a questo inconveniente,si interpongono, percio, frequentemente fra sensore e strumento di misura degli opportuniamplificatori di carica (integratori), come illustrato in Figura 11.6, i quali determinano una



Cavo

~Q CS

Sensore

CC V VU

CR

Strumento

diMisura

Amplificatore

Figura 11.6: Circuito per la lettura di sensori piezoelettrici

I IW VU

BL

Figura 11.7: Sensore ad effetto Hall

tensione d’uscita proporzionale alla carica Q (non alla tensione V) e svincolano, cosı, ilvalore di S V dalle variazioni di CC. Vale, infatti, la relazione

VU =QCR

. (11.5)

Questi trasduttori attivi hanno frequenze di risonanza elevate (decine di megahertz)e, quindi, si prestano bene a rilievi in regime dinamico. Inoltre, essi sono molto robustie di ridotte dimensioni. Essi sono, pero, sensibili alla temperatura ed all’umidita e sonodifficili da calibrare in condizioni statiche.

11.2.4 Sensori ad Effetto HallI sensori basati sull’effetto Hall vengono utilizzati per misurare campi magnetici. Un sen-sore a effetto Hall e costituito da una croce di materiale conduttivo con quattro terminali,come illustrato in Figura 11.7. Se tra due terminali opposti del sensore fluisce una cor-rente continua I, in presenza di un campo di induzione magnetica B, perpendicolare alsensore stesso, tra gli altri due terminali si sviluppa una differenza di potenziale VU . Que-


11.3. Sensori Passivi

sta differenza di potenziale, proporzionale a B, e dovuta alla interazione tra B e I (forza diLorentz), che devia i portatori di carica. La tensione VU risulta data da

VU =G

npqtIB, (11.6)

dove t e lo spessore del sensore, q la carica dell’elettrone, np la densita di portatori e Ge un parametro che dipende dalle caratteristiche geometriche del materiale (W e L), dallamobilita dei portatori (µ) e dal campo di induzione magnetica (B).

I sensori ad effetto Hall devono essere letti con strumenti ad alta impedenza, per evi-tare assorbimenti di corrente. Questi sensori sono, spesso, utilizzati insieme a magnetipermanenti per effettuare misure indirette di posizione o velocita (encoder magnetici). Inpratica, in questo caso, si rileva il passaggio del magnete permanete sopra un sensore adeffetto Hall.

11.3 Sensori PassiviIn un sensore passivo, la grandezza da misurare influenza una grandezza elettrica passiva.Supponiamo, quindi, che una grandezza elettrica passiva Y (Y = R, Y = C, Y = L, Y = M)sia una funzione della grandezza incognita X, rappresentabile con il suo sviluppo in serieintorno ad un determinato valore X0,

Y = f (X) = Y0 [1 + k (X − X0) + · · · ] , (11.7)

dove Y0 = f (X0). In generale, per un dato valore di X0, si puo, quindi, scrivere

∆Y = k∆X. (11.8)

Generalmente, occorre, dunque, misurare le variazioni di Y e non il suo valore assoluto. Sidovranno, percio, usare metodi di misura caratterizzati da elevata sensibilita. Bisognera,altresı, tenere conto di eventuali variazioni di Y dovute a grandezze diverse da X (peresempio la temperatura).

Poiche il sensore e passivo, esso necessita, in ogni caso, un generatore ausiliario dienergia elettrica, per cui il circuito equivalente, nel caso di sensore resistivo (Y = R), equello indicato in Figura 11.8.

11.3.1 TermometriLo schema di un termometro (o termosonda) a resistenza di platino, illustrato in Figu-ra 11.9, prevede un generatore di corrente costante I che alimenta la serie di R1, R2 e delresistore di platino RPt. Ai morsetti di RPt si preleva la caduta di tensione, che determinala tensione di uscita VU . I resistori R3 ed R4 sono inseriti per adattare l’impedenza allostrumento rilevatore, il quale deve avere un’impedenza di ingresso assai elevata. In tali



V

RiR = f(X)

Alim

enta

zion

e

Figura 11.8: Circuito equivalente di un sensore passivo

VUIRPt

R1

R2

R4

R3

Figura 11.9: Termometro a resistenza di platino



condizioni, ad una variazione di temperatura di RPt corrisponde una variazione della re-sistenza e, quindi, di VU . La resistenza d’uscita di questi sensori va da 100 Ω (PT100) a1 kΩ (PT1000). Il campo di impiego si estende fino a temperature dell’ordine di 850 C.Il platino altamente raffinato e praticamente incontaminabile chimicamente, e meccani-camente ed elettricamente stabile e presenta un legame lineare R = f (T ), dove T e latemperatura assoluta. Anche deriva ed errore di invecchiamento sono trascurabili. Il co-sto e pero ben 8÷ 10 volte quello di una termocoppia. La lettura in uscita e proporzionalealla temperatura assoluta T , per cui non sono necessarie operazioni di termostatazione.Le dimensioni ed il montaggio determinano le condizioni di trasmissione ed accumulodel calore e, percio, la costante di tempo del sensore. Sensori in rame e nichel sono menocostosi, ma hanno un campo di funzionamento lineare piu ridotto e sono meno stabili.

I termistori sono resistori realizzati con semiconduttori aventi coefficiente di tempera-tura elevato e negativo,

R = k1e−k2

T−T0 . (11.9)

Essi permettono di realizzare sensori molto sensibili e con elevata velocita di risposta. Latecnologia dell’invecchiamento artificiale permette di ottenere elementi di buona stabilita,con resistivita elevate (100 ÷ 1000 Ωm). Essi, pero, vanno tarati singolarmente perchedifficilmente riproducibili.

I diodi a semiconduttore possono essere utilizzati come sensori di temperatura, spe-cialmente all’interno di circuiti integrati. Infatti, qualora un diodo venga attraversato dauna corrente costante I, la caduta di tensione ai sui capi risulta

VU =kTq

ln(

II0

), (11.10)

dove T e la temperatura assoluta, k la costante di Boltzmann, q la carica dell’elettronee I0 = f (T ) la corrente di saturazione del diodo. Per via della dipendenza da T di I0,la (11.10) non e lineare. Pertanto al fine di ottenere una caratteristica lineare, si ricorrespesso al circuito di Figura 11.10, in cui due diodi identici, accoppiati termicamente,vengono polarizzati con correnti diverse (I1 e I2). Assumendo I2 = βI1, la tensione diuscita, prelevata ai capi dei diodi, data da

VU =kTq

ln(

I1

I0

)−

kTq

ln(

I2

I0

)=

kTq

ln (β) , (11.11)

risulta proporzionale alla temperatura assoluta.

11.3.2 EstensimetriGli estensimetri vengono impiegati per convertire una deformazione in una variazione diresistenza. Se ne impiegano di due tipi: a filo ed a semiconduttore.

Gli estensimetri a filo o strain gauge, sono placchette da incollare direttamente sulpezzo assoggettato a deformazione. Essi sono costruiti con fili molto sottili di materialeconduttore, con resistivita ρ, che, se assoggettati a trazione, aumentano la loro resistenza



D1 VU

I1

D2

I2

Figura 11.10: Sensore di temperatura a diodi

elettrica. Essi, infatti, aumentano la loro lunghezza l e vedono diminuire la loro sezioneA, per cui la loro resistenza,

R =ρlA, (11.12)

aumenta, stabilendo un legame fra la variazione di resistenza ∆R = R − R0 e la sollecita-zione che l’ha determinata (R0 e il valore nominale di resistenza). Il filo viene montatosul supporto ripiegato a griglia, come illustrato in Figura 11.11, in modo che ∆R risultidalla deformazione contemporanea di piu sezioni affiancate di conduttore. Tipicamente,vengono impiegati materiali conduttori ad alta resistivita, come:• Karma (Ni + Cr + Al + Fe);• Isoelastic (Ni + Cr + Fe + Mo);• Cromel-C (Ni +Cr + Fe);

ridotti in fili di sezione contenuta, tipicamente del valore di 1.13 ÷ 4.9 mm2.La sensibilita o gauge factor di questi dispositivi e definita come

G f =∆R/R∆l/l

. (11.13)

Assumendo che sotto sforzo non si abbiano variazioni di resistivita, si puo dimostrare che

G f = 1 + 2ν, (11.14)

dove ν denota il modulo di Poisson del materiale. Questo non e sempre vero, perche ivalori di G f superano frequentemente il valore 1.5÷1.8, che dovrebbe essere invalicabile,poiche ν = 0.25 ÷ 0.40 in tutti i materiali metallici. Pertanto, si deve riconoscere che, inrealta,

∆RR

=∆ll

+ 2ν∆ll

+∆ρ

ρ, (11.15)

ovvero che, sotto sforzo meccanico, la resistenza del filo varia anche per effetto di unavariazione di resistivita ∆ρ (piezoresistivita), il cui contributo e considerevole. Il valoredel gauge factor e, pertanto,

G f = 1 + 2ν +∆ρ

ρ

l∆l. (11.16)



F F

Pezzo Sotto Misura

Adesivo

Supporto

Adesivo

Filo Estensimetrico

Coperchio

Figura 11.11: Estensimetro a filo

Attualmente, l’evoluzione della tecnologia costruttiva, ha condotto alla quasi com-pleta sostituzione dei fili con delle lamine (fogli di lamierino dello spessore di alcunimicrometri), su cui sono incisi o fotoincisi i conduttori estensimetrici.

Gli estensimetri a semiconduttore sfruttano fondamentalmente l’effetto delle piezore-sistivita, poiche essa e oltremodo accentuata per alcuni semiconduttori drogati, nei qualila tensione meccanica determina una variazione del salto di energia fra le bande di va-lenza e di conduzione. In questi estensimetri, il valore di G f e 50 ÷ 60 volte maggiorerispetto al caso degli estensimetri a filo. Le dimensioni sono molto piccole (fino a spessoridi 0.013 mm e larghezza di 0.51 mm), mentre il campo di deformazione entro cui G f ecostante e molto ristretto e la dipendenza dalla temperatura e assai alta. Si possono, pero,con notevole cura nell’installazione, misurare deformazioni anche di 0.1 µm, cioe centovolte piu piccole di quelle rilevabili con gli estensimetri a filo, ma non si possono superarei 2000 µm, ovvero circa un terzo del limite massimo ottenibile con gli estensimetri a filo.

L’isteresi elastica dell’estensimetro definisce il campo entro cui la risposta e lineare.Va notato che, sotto questo aspetto, il punto debole dell’estensimetro e l’adesivo. Que-sto, infatti, deve assolvere la funzione fondamentale di trasmettere all’estensimetro stessola deformazione del pezzo, senza alterarla, e, quindi, esso dovrebbe avere, teoricamente,modulo elastico infinito. Inoltre, esso deve conservarsi isotropo, al fine di mantenere lostesso legame fra sforzo e deformazione in ogni direzione ed in un intervallo ampio ditemperature di funzionamento. Infine, esso contribuisce all’isolamento verso massa del-



F F

F F

V1

E1 V1

V2E2

V2

V3

V3

R1

R2

Figura 11.12: Estensimetro in configurazione a semi-ponte

l’estensimetro (una resistenza finita verso massa si tramuta in una variazione apparente dideformazione). Oggi si impiegano adesivi in grado di soddisfare questi requisiti, ciascunoper un opportuno campo di temperature e di deformazioni.

Negli estensimetri, tipicamente, ρ, l ed A, oltre a dipendere dallo deformazione, di-pendono anche dalla temperatura. Al fine di minimizzare questo effetto, gli estensimetrivengono spesso realizzati con una struttura a semi-ponte, come illustrato in Figura 11.12.Il sensore e costituito da due estensimetri, E1 e E2, ruotati di 90 uno rispetto all’altro.L’estensimetro E1 presenta una variazione di resistenza significativa, in presenza di unadeformazione in direzione orizzontale, mentre per l’estensimetro E2, la variazione di resi-stenza, in corrispondenza della medesima deformazione, risulta trascurabile per via dellarotazione di 90 (l’estensimetro E2 sarebbe sensibile a una deformazione in direzioneverticale). Entrambi gli estensimetri, invece, presentano la medesima dipendenza dalla



temperatura. Pertanto, i valori di resistenza per i due estensimetri sono dati daR1 = R0

(1 + G f

∆ll

)(1 + κ∆T )

R2 = R0 (1 + κ∆T ), (11.17)

dove κ e il coefficiente di temperatura e ∆T = T − T0 la differenza di temperatura rispettoalla temperatura nominale T0.

L’estensimetro in configurazione a semi-ponte puo essere utilizzato per realizzare unponte di Wheatstone (Paragrafo 6.2), in cui Rx = R1 e Ra = R2 (Figura 6.1). Utilizzandola (6.6), con il ponte di Wheatstone in condizione di equilibrio, risulta

R1 = R2Rc

Rb. (11.18)

Sostituendo nella (11.18) i valori di R1 e R2 dati dalla (11.17), si ottiene

R0

(1 + G f

∆ll

)(1 + κ∆T ) = R0 (1 + κ∆T )

Rc

Rb, (11.19)

e, quindi,∆ll

=1

G f

(Rc

Rb− 1

). (11.20)

Il valore di deformazione ∆l/l cosı ottenuto risulta indipendente dalla temperatura, nonchedal valore di R0.

Alternativamente, e possibile ottenere il valore di deformazione utilizzando il circuitoillustrato in Figura 11.13. La tensione di uscita VU , in questo caso, risulta data da

VU = VBR1 + R2

R2. (11.21)

Sostituendo la (11.18) nella (11.21), si ottiene

VU = VB

R0

(1 + G f

∆ll

)(1 + κ∆T ) + R0 (1 + κ∆T )

R0 (1 + κ∆T )= VB

(2 + G f

∆ll

), (11.22)

e, quindi,∆ll

=1

G f

(VU

VB− 2

). (11.23)

Il valore di deformazione ∆l/l cosı ottenuto risulta ancora indipendente dalla temperaturae dal valore di R0.

Il valore della corrente che fluisce nell’estensimetro e determinato dalla quantita dicalore dissipabile, poiche non si possono superare temperature di esercizio che potrebberodanneggiare supporto e adesivo.



R2V2

V3 V1

VU

VB

R1

Figura 11.13: Circuito di lettura per un estensimetro in configurazione a semi-ponte

C1

C2

+V

–V

0Δd+F

–FF = 0 per Δd = 0

Figura 11.14: Sensore capacitivo differenziale

11.3.3 Sensori Capacitivi

I sensori capacitivi convertono, generalmente, spostamenti in variazioni di capacita, mapossono essere usati, indirettamente, anche per misurare accelerazioni (accelerometri egiroscopi), pressione, velocita o forze. Essi possiedono svariate forme costruttive, percui in Tabella 11.2 sono riportate le espressioni della capacita in funzione dei parametrigeometrici per diversi tipi di condensatori.

Spesso, in un sensore capacitivo, un’armatura del condensatore e costituita dal pezzodi cui si vuole misurare lo spostamento. In tal caso, si determina una forza attrattiva F frale armature che, per un condensatore piano a due armature, vale

F =12

C2V2

d, (11.24)

dove V e la tensione applicata alle armature. Questa forza puo produrre uno spostamentodel pezzo, falsando la misura. Pertanto, tipicamente, si preferisce utilizzare sensori dif-ferenziali, per i quali la forza F e nulla se l’elemento mobile e centrato e minimizzabilesenza grosse difficolta per piccoli spostamenti, come illustrato in Figura 11.14. Inoltre,



Tipo Capacita

Condensatore piano a N armatureC =

(N − 1) εAdd

εA

Condensatore piano con piu dielettrici C =A

d1

ε1+

d2

ε2

d1

ε1A

ε2

d2

Condensatore piano a settore circolareC =

ε(R2 − r2

)δ

2d

r

R

δε, d

Condensatore cilindrico C =2πεl

log(D

d

) con D d

C =πεl (D + d)2 (D − d)

con D − d d2

d

l

D

ε

Tabella 11.2: Espressione della capacita in funzione dei parametri geometrici perdiversi tipi di condensatore



VU

CF

C1

C2

–V

+V

CK

A

CK

CK

CK

CK

CK

CK

Figura 11.15: Circuito per la lettura di sensori capacitivi

in un sensore capacitivo non differenziale, il legame tra la capacita C e lo spostamento d,dato da

C =εAd, (11.25)

non e lineare. Pertanto, la variazione capacitiva ∆C = C−C0 rispetto al valore di capacitanominale C0, dovuta a uno spostamento ∆d = d − d0 rispetto alla posizione di riposo d0,data da

∆C =εA

d0 + ∆d−εAd0

= −εA∆d

d20 + d0∆d

, (11.26)

risulta anch’essa non-lineare. Per un sensore capacitivo differenziale, invece, la variazionedi capacita ∆C = C1 −C2, dovuta a uno spostamento ∆d, data da

∆C =εA

d0 + ∆d−

εAd0 − ∆d

= −2εA∆d

d20 − (∆d)2 , (11.27)

puo essere considerata lineare per ∆d d0 e risulta

∆C = −2εA∆d

d20

. (11.28)

Per la lettura dei sensori capacitivi, e possibile utilizzare diverse tecniche circuitali, tracui metodi di ponte in corrente alternata (Paragrafo 6.4) e oscillatori. Tuttavia, il circuitomaggiormente utilizzato e quello illustrato in Figura 11.15, che si basa sulla tecnica dellecapacita commutate. In questo circuito le capacita C1 e C2 rappresentano il sensore (C1 =



C0 + ∆C e C2 = C0 − ∆C, se il sensore e differenziale, oppure C1 = C0 + ∆C e C2 = C0,se il sensore non e differenziale). Quando il segnale di clock CK e al livello logico alto, lacapacita CF viene scaricata, mentre le capacita C1 e C2 vengono caricate, rispettivamente,alle tensioni +V e −V e, pertanto,

Q1,CK = C1VQ2,CK = −C2VQF,CK = 0

. (11.29)

La tensione VU risulta, quindi, nulla. Quando il segnale di clock CK e al livello logicobasso (CK e al livello logico alto), le capacita C1 e C2 vengono scaricate e, siccome il nodoA risulta isolato, le cariche Q1,CK e Q2,CK vengono trasferite sulla capacita CF . Pertanto,si ottiene

Q1,CK = 0Q2,CK = 0QF,CK = Q1,CK + Q2,CK

. (11.30)

La tensione di uscita VU e, quindi, data da

VU =QF,CK

CF=

C1V −C2VCF

. (11.31)

Se si considera un sensore differenziale, la tensione VU risulta

VU = VC0 + ∆C −C0 + ∆C

CF=

2∆CCF

V, (11.32)

mentre, se il sensore non e differenziale, si ottiene

VU = VC0 + ∆C −C0

CF=

∆CCF

V. (11.33)

La tensione VU e, ovviamente, significativa solo quando il segnale CK e al livello logi-co alto. Pertanto, occorre poi campionare opportunamente VU con un sample-and-hold,pilotato da CK (Figura 7.5).

Tra i sensori capacitivi, attualmente, rivestono grande importanza i dispositivi realiz-zati con tecnologia Micro-Electro-Mechanical System (MEMS), con cui e possibile rea-lizzare accelerometri, giroscopi e sensori di pressione, caratterizzati da dimensioni estre-mamente ridotte, utilizzando materiali e processi tipici dei circuiti integrati. Un esempiodi accelerometro MEMS e mostrato in Figura 11.16.

11.3.4 Sensori InduttiviI sensori induttivi sono impiegati per misure di spostamento e si basano sulla variazionedi induttanza di una bobina, in funzione della riluttanza del circuito magnetico conca-tenato, o sulla variazione di mutua induttanza fra due circuiti elettrici magneticamenteconcatenati.



Figura 11.16: Esempio di accelerometro capacitivo MEMS

~ VU

E1

E2

V

Δl

Figura 11.17: Sensore induttivo



Un tipico sensore induttivo e illustrato in Figura 11.17. In questo sensore,

VU = ∆E = E2 − E1 = k∆l. (11.34)

I sensori induttivi vengono impiegati per misure differenziali e sono lineari per piccoli va-lori di ∆l. Essi sono frequentemente affetti da tensioni residue nel circuito magnetico, chene limitano la precisione. Per la lettura dei sensori induttivi occorre utilizzare strumentisensibili al valore efficace di una tensione sinusoidale, analogici (Paragrafo 4.5) o digitali(Paragrafo 8.2), con cui si puo misurare direttamente la tensione VU .


Appendice A

Grandezze Fondamentali


A. Grandezze Fondamentali


Appendice B

Identificazione degli Strumenti


B. Identificazione degli Strumenti


Indice Analitico

Accuratezza, 217Aliasing, 188, 276Amperometro

digitale, 208elettrodinamico, 101elettromagnetico, 95, 124, 154magnetoelettrico, 92, 115

Analizzatore di potenza, 211Anello di guardia, 66, 175, 181Antitrasformata di Laplace, 74Apparecchio di Epstein, 158

errore sistematico, 160, 165incertezza di misura, 160, 162, 165separazione delle perdite, 161, 165

Armonica, 152, 212Attuatore, 279Avvolgimento bifilare, 62

Campionamento, 185, 276Campione, 55, 57

di capacita, 65per alta tensione, 66variabile, 65

di corrente, 57di forza elettromotrice, 57di induttanza, 66

variabile, 69di intervallo di tempo, 69

trasmissione, 72di mutua induttanza, 68

variabile, 69di resistenza, 61, 172

variabile, 63secondario, 57sorgente di tensione, 59

Capacita parassite, 66, 181

Catena di misura, 73Cavo a doppia schermatura, 182Cavo schermato, 181Centro di taratura, 55, 241Ciclo di isteresi, 156Cifra di perdita, 158Cifre significative, 55Classe di precisione, 90Coefficiente di Seebeck, 61, 62Comparatore, 191, 242, 244Contatore ad induzione, 106Contatore di impulsi

asincrono, 192sincrono, 194

ConversioneA/D, 185, 275ad induzione, 89D/A, 194elettrodinamica, 89elettromagnetica, 89magnetoelettrica, 89termica, 89

Convertitore A/Da dente di sega, 197a doppia rampa lineare, 197a rampa lineare, 197ad approssimazioni successive, 202flash, 203, 276incrementale, 201pipeline, 205, 276time-interleaved, 276

Convertitore D/A, 194Coppia

antagonista, 89, 91, 92, 95, 97, 105,108


Indice Analitico

d’attrito, 89motrice, 89, 91, 92, 95, 96, 99, 103, 106smorzante, 89, 94, 105

Costantana, 62Costante strumentale, 90, 114, 116, 127

Densita di probabilita, 35Derivatore, 115Deviazione standard, 41, 42, 50

della media, 41, 51Diodo, 287

Zener, 59Distribuzione statistica, 54

t di Student, 47, 54area sottesa, 47densita di probabilita, 47Formula di Welch-Satterhwaite, 53gradi di liberta, 47, 53, 54variabile normalizzata, 47

normale o gaussiana, 42, 54area sottesa, 43densita di probabilita, 42probabilita cumulata, 42variabile normalizzata, 43

uniforme, 47, 91densita di probabilita, 47

Divisione, 89Doppio ponte di Thomson, 171

formula risolutiva, 173incertezza di misura, 173

EffettoHall, 284Peltier, 281piezoelettrico, 71, 283piezoresistivo, 288Seebeck, 280sistematico, 33termoelettrico, 280

Equazione differenziale, 76Equipaggio mobile, 89, 92Errore di quantizzazione, 190Errori grossolani, 33Estensimetro

a filo, 287a semi-ponte, 290a semiconduttore, 289gauge factor, 288

Fattoredi copertura, 54di perdita, 64, 176di smorzamento, 80

Filtroanti-aliasing, 188passa-alto, 86passa-basso, 84

Finestra, 210, 211Blackman-Harris, 210di Hamming, 210di Hanning, 210

Flip-flop, 192Fosfori, 264Fotodiodo, 282Frequenza

di campionamento, 185, 276di Nyquist, 188

Funzione di Dirac, 75, 77, 186Funzione di trasferimento, 77

del primo ordine, 79del secondo ordine, 80

Galvanometro, 169, 172Gas compresso, 66Gradino unitario, 78

Impedenza, 81Incertezza di misura, 34, 49

assoluta, 34di tipo A, 35, 49di tipo B, 35, 50estesa assoluta, 54estesa relativa, 54relativa, 35tipo assoluta, 50, 51, 91, 217tipo relativa, 51, 91, 218

Indice, 89a coltello, 89


Indice Analitico

a filo, 89Inserzione di Aron, 139

fattore di potenza, 141in funzione della tensione, 142incertezza di misura, 141, 142potenza attiva, 139

Inserzione di Barbagelata, 148in funzione della tensione, 150, 151incertezza di misura, 148, 151, 152potenza apparente, 151potenza attiva, 148potenza reattiva, 148

Inserzione di Righi, 145in funzione della tensione, 150, 151incertezza di misura, 147, 150–152potenza apparente, 151potenza attiva, 151potenza reattiva, 147

Intervallo di quantizzazione, 189Istogramma, 37

Karma, 61

Livello di confidenza, 54

Manganina, 61, 114, 115Media, 37, 42, 47, 49Media aritmetica, 34, 39, 47, 50, 53Mediana, 37Metodo del confronto, 120

incertezza di misura, 120Metodo di misura, 33Metodo di ponte

in corrente alternata, 169, 175, 294formula risolutiva, 176

in corrente continua, 169Metodo voltamperometrico, 117, 208

errore sistematico, 117, 118incertezza di misura, 119

Micro-electro-mechanical system, 295Misura, 29

industriale, 113Misura di capacita

con ponte di Schering, 176

in alta tensione, 181Misura di cifra di perdita

con apparecchio di Epstein, 160con tensione non-sinusoidale, 163

Misura di correntein corrente continua, 115

incertezza di misura, 116in regime non-sinusoidale, 154in regime sinusoidale, 124

incertezza di misura, 124Misura di fattore di perdita

con ponte di Schering, 176in alta tensione, 181

Misura di frequenza, 214Misura di induzione magnetica

valore di cresta, 163, 166valore efficace, 163

Misura di intervalli di tempo, 214Misura di periodo, 214Misura di potenza in corrente continua, 121

errore sistematico, 121incertezza di misura, 122

Misura di potenza in regime non-sinusoidalepotenza apparente, 155potenza attiva, 154potenza reattiva, 155potenza reattiva deformante, 156

Misura di potenza in regime sinusoidalecon trasformatori di misura, 249

incertezza di misura, 253fattore di potenza, 133

errore sistematico, 133incertezza di misura, 133

in funzione della corrente, 135incertezza di misura, 136

in funzione della tensione, 134incertezza di misura, 134

in sistemi polifase, 136potenza apparente, 151potenza attiva, 137potenza reattiva, 143

potenza apparente, 131errore sistematico, 132


Indice Analitico

incertezza di misura, 132potenza attiva, 126

errore sistematico, 127, 128incertezza di misura, 129

potenza reattiva, 130incertezza di misura, 131

Misura di resistenzacon doppio ponte di Thomson, 171con metodo del confronto, 120con metodo voltamperometrico, 117con ponte di Wheatstone, 169

Misura di tensionein corrente continua, 114

incertezza di misura, 115in regime non-sinusoidale, 154in regime sinusoidale, 122

incertezza di misura, 124valore di cresta, 124valore efficace, 123valore medio sul semiperiodo, 123

residua, 249Misurando, 29, 33Misurazione, 29, 33Moda, 39Multimetro, 208

Oscillatore, 69a fascio di cesio, 70al quarzo, 71

Oscilloscopio, 259a doppia traccia, 270

modalita alternate, 272modalita chopped, 272

analogico, 259base dei tempi, 265canale orizzontale (X), 270canale verticale (Y), 269digitale, 272modalita XY , 260modalita auto, 268modalita single-sweep, 268modalita triggered, 265probe, 277

Perditeper correnti parassite, 158, 161per isteresi magnetica, 157, 161

Pila Weston, 57non satura, 57satura, 57

Ponte automatico, 182Ponte di Schering, 176

capacita parassite, 181formula risolutiva, 177, 178incertezza di misura, 178metodo delle terre di Wagner, 182per capacita elevate, 179

formula risolutiva, 179Ponte di Wheatstone, 169, 291

formula risolutiva, 170incertezza di misura, 171

Portata, 89, 114, 116amperometrica, 127voltmetrica, 127wattmetrica, 127, 129

Prestazione, 219Probabilita, 35Probabilita cumulata, 36Pulsazione caratteristica, 80

Quantizzazione, 189incertezza di misura, 190

Quarzo, 71, 283

Rampa, 80Rapporto segnale-rumore, 191Resistenza addizionale, 114, 123, 127Riferibilita, 55, 57Risoluzione, 185, 276

effettiva, 191Risposta in frequenza, 84

Sample-and-hold, 189Scala, 89Scarto quadratico medio, 41, 49

della media, 41, 50Scarto tipo, 41, 47, 50

della media, 41, 47, 50


Indice Analitico

Sensore, 279ad effetto Hall, 284attivo, 279capacitivo, 292di accelerazione, 292di campo magnetico, 284di deformazione, 287di radiazione luminosa, 282di sforzo, 283di spostamento, 292, 295di temperatura, 280, 285fotoelettrico, 282induttivo, 295passivo, 279piezolettrico, 283

Serie di Fourier, 152, 186Shunt, 115Sistema

monofase, 125polifase, 136trifase, 136

Sistema di unita di misura, 29Sistema Internazionale, 29Strain gauge, 287Strumento

ad induzione, 102di zero, 169, 172, 176, 178digitale, 207elettrodinamico, 96elettromagnetico, 95magnetoelettrico, 92per la misura di frequenza, 212per la misura di intervalli di tempo, 214per la misura di periodo, 212

Targa, 89Tempo di risposta, 80, 81Teorema di Shannon, 186, 275Teoria di Budeanu, 155Termistore, 287Termocoppia, 280

giunto caldo, 280giunto freddo, 280

Termometro, 285a resistenza di platino, 285

Termosonda, 285Trasduttore, 279Trasformata di Laplace, 74, 186

acissa di convergenza, 74in regime sinusoidale, 84metodo simbolico, 81poli, 74proprieta, 75zeri, 74

Trasformatore combinato di tensione e cor-rente, 236

Trasformatore di corrente, 124, 220a piu rapporti, 228caratteristiche nominali, 223errore composto, 227errore di fase, 223errore di rapporto, 223incertezza di misura, 246per misura, 224per protezione, 227rapporto di trasformazione, 220taratura, 242

Trasformatore di misura, 219diagramma di Moellinger, 245incertezza di misura, 246taratura, 241

Trasformatore di tensione, 123, 229, 237capacitivo, 237

a piu rapporti, 240caratteristiche nominali, 239errore di fase, 238errore di rapporto, 238per misura, 239per protezione, 240rapporto di trasformazione, 238

incertezza di misura, 246induttivo, 229

a piu rapporti, 236caratteristiche nominali, 232errore di fase, 232errore di rapporto, 232


Indice Analitico

per misura, 234per protezione, 235rapporto di trasformazione, 229

taratura, 244Trigger, 259Tubo a raggi catodici, 260

Unita di misura, 29legali, 55

Varianza, 39, 49, 50Varmetro, 99, 130Verniero temporale, 216Voltmetro

a valore efficace, 95, 210a valore medio, 123, 167, 208digitale, 208elettrodinamico, 101elettromagnetico, 95, 123, 154magnetoelettrico, 94, 114

Walk, 216Wattmetro

a basso cos (ϕ), 129ad induzione, 102digitale, 211elettrodinamico, 99, 126, 154


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