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TEORIA DELLE RETI ELETTRICHE - Santomauro Mauro - E-mail: [email protected] Bibliografia:ChuaLeonO.,KuhErnestS.,DesoerCharlesA.,FondamentidiTeoriadei Circuiti, McGraw-Hill, 1987 Modalit dEsame: Due Prove in itinere contenenti anche domande di teoria Prova scritta seguita da un colloquio Redattore: Marone Alessandro Aiuto alla redazione: Balbo Elisa CIRCUITINON LINEARICIRCUITIDINAMICI CIRCUITILINEARI CIRCUITIRESISTIVI BIPOLIDOPPIBIPOLI 1 INDICE Introduzione ai Bipoli Lineari ..................................................... 5Leggi di Kirchhoff e Ohm ........................................................................ 5Metodi di Risoluzione ............................................................................ 14Teorema di Tellegen .............................................................................. 19 Doppi Bipoli ................................................................................ 20Generatori Pilotati .................................................................................. 22Propriet dei Doppi Bipoli ..................................................................... 23Direzionalit ......................................................................................................... 23Reciprocit ............................................................................................................ 26Simmetria .............................................................................................................. 29Passivit ................................................................................................................ 30Collegamento di Doppi Bipoli ............................................................... 32Analisi Nodale Modificata ..................................................................... 38Generatore Ideale Di Corrente.............................................................................. 39Generatore Ideale Di Tensione ............................................................................. 39Generatore Di Tensione Pilotato In Tensione ...................................................... 40Generatore Di Corrente Pilotato In Tensione ....................................................... 40Generatore Di Tensione Pilotato In Corrente ....................................................... 41Generatore Di Corrente Pilotato In Corrente ....................................................... 42Metodi di risoluzione ............................................................................. 45Doppi bipoli particolari .......................................................................... 49Trasformatore ideale ............................................................................................. 49Giratore ................................................................................................................. 50 2 Dispositivi Non Lineari .............................................................. 52Metodo Risolutivo Grafico per Doppi Bipoli Non Lineari .................... 58BJT ........................................................................................................................ 58MOSFET .............................................................................................................. 61Caso di Doppio Bipolo Lineare ............................................................................ 62Propriet dei Bipoli Non Lineari ............................................................ 63 Analisi di Piccolo Segnale .......................................................... 67Amplificatore Operazionale ................................................................... 71 Circuiti Dinamici ........................................................................ 75Metodo delle Equazioni di Stato ............................................................ 77Degenerazioni Topologiche e Parametriche .......................................... 79Maglie di soli condensatori .................................................................................. 79Maglie di condensatori e generatori di tensione ................................................... 79Insieme di taglio di superfici chiuse di induttori .................................................. 80nsieme di taglio di superfici chiuse di induttori e generatori di corrente ........... 80Esempi di degenerazioni parametriche ................................................................. 81Teorema di Sostituzione ......................................................................... 82Soluzioni delle Equazioni di Stato ......................................................... 89 Circuiti Lineari ........................................................................... 93Circuiti Lineari del Io Ordine ................................................................. 93Circuiti Lineari del IIo Ordine ................................................................ 97Analisi Grafica al variare delle Autosoluzioni ..................................... 105 Circuiti Dinamici Non Lineari ................................................ 118Circuiti Dinamici Non Lineari del Io Ordine ........................................ 118Circuiti Dinamici Non Lineari del IIo Ordine ...................................... 1253 Circuiti Dinamici Lineari nel Dominio delle Trasformate ... 126Calcolo delle Frequenze Naturali ......................................................... 130Applicazione della Trasformata di Laplace ......................................... 134Funzione di Rete .................................................................................. 136Legame tra la Funzione di Rete e la Risposta in Frequenza ................ 141Procedimento grafico per lanalisi di H(j) ......................................... 144 Sintesi Passiva RLC ................................................................. 149Come realizzare un F(x) fisicamente realizzabile ............................... 155Espansione in Frazioni Parziali (Sviluppo di Hermite o nei poli) ..................... 155Espansione in Funzione Continua (Lunga Divisione) ........................................ 156Impedenze con solo LC........................................................................ 160Sviluppo in Funzioni Parziali ............................................................................. 162Sviluppo di Funzioni Continue ........................................................................... 167Realizzazione di RC e RL .................................................................... 172Realizzazione delle ZRL(x) e delle YRC(x) ........................................................ 182Tabella Finale ..................................................................................................... 186 Processo di Normalizzazione o Scaling ................................... 188 Appendice .................................................................................. 191Esercizio 1 ............................................................................................ 191Esercizio 2 ............................................................................................ 193Esercizio 3 ............................................................................................ 195Esercizio 4 ............................................................................................ 197Esercizio 5 ............................................................................................ 200Esercizio 6 ............................................................................................ 202Esercizio 7 ............................................................................................ 204Possibili Domande Di Teoria ............................................................... 2044 Esercizio 8 ............................................................................................ 205Esercizio 9 ............................................................................................ 206Esercizio 10 .......................................................................................... 207Ia Prova in Itinere del 23 Novembre 2007 ............................................ 210Esercizio 1 .......................................................................................................... 210Esercizio 2 .......................................................................................................... 211Esercizio 3 .......................................................................................................... 213Esercizio 4 .......................................................................................................... 215Esercizio 5 .......................................................................................................... 216IIa Prova in Itinere del 28 Gennaio 2007 .............................................. 217Esercizio 1 .......................................................................................................... 217Esercizio 2 .......................................................................................................... 220Esercizio 3 .......................................................................................................... 221Esercizio 4 .......................................................................................................... 223Esercizio 5 .......................................................................................................... 224 5 IntroduzioneaiBipoliLineari LeggidiKirchhoffeOhm I principali metodi di analisi si basano sulle Leggi di Kirchhoff e Ohm. Legge di Kirchhoff per le Correnti (KCL)Vi sono due formulazioni equivalenti: 1.Per ogni superficie gaussiana S di un circuito concentrato qualsiasi, in un istante arbitrario t,lasommaalgebricadituttelecorrentichefuoriesconodallasuperficiegaussianaS nellistante t uguale a 0 IeS= u DoveSperciunasuperficiechiusachecontienealpropriointernounnumerodeterminatodi nodi del circuito. 2.Perqualsiasicircuitoconcentrato,lasommaalgebricadellecorrentiuscentidaunnodo nulla in ogni istante Questultima formulazione prende il nome di Legge di Kirchhoff per le Correnti in un nodo. Risulta quindi conveniente rappresentare il circuito con un grafo: N = {A, B, C, ] sono i Nodi del grafo I = {1,2, ,7] sono i Lati del grafo, che corrispondono ai bipoli A D C B 1 3 5 6 2476 Grafo: necessario indicare per ogni lato il verso della corrente (da stabilire in modo arbitrario). Quandosiparladisuperficichiusesiintendedellesuperficicheracchiudonounoopinodi separandoli dal resto del grafo. Ad esempio, S una superficie chiusa che contiene solo D dentro, mentre contiene A, B e C fuori. S contiene invece A e B. Si introduce la nozione di insieme di taglio per rappresentare una superficie chiusa S nei grafi come un insieme di lati tolti i quali il grafo risulta suddiviso in due grafi separati. Esempio: La Legge di Kirchhoff per le correnti quindi: I eC= u Dove C il cut set (insieme di taglio). Esempio: Si scrive la KCL per il nodo M e per il nodo N; si ottiene che la legge di Kirchhoff relativa ad una superficie chiusa che ha allinterno un certo numero di nodi (ad esempio M e N) la somma delle Leggi di Kirchhoff dei singoli nodi. 3 S 7 2 4 5 6 1 S D C B A N MA BCA S S D C D B7 Tornandoalcasoinesame,perottenereunaformulazionecompattadelleLeggidiKirchhoffper ogni nodo, si pu descrivere il grafo come una matrice con tante colonne quanti i lati e tante righe quanti i nodi: 1234567 A +1+10000+1 B 0-1+1+1000 C 000-1+1-1-1 D -10-10-1+10 Nota: stata usata la convenzione +1 per le correnti uscenti dal nodo, -1 per le correnti entranti e 0 perindicarecheilnodononhacorrentientrantiouscentiprovenientidalramocorrispondente. Questa convenzione stata scelta a priori. Si osserva che, scrivendo la KCL per A, B e C,la KCL al nodo D linearmente dipendente dalle altre; infatti, la Legge di Kirchhoff al nodo D la somma di quelle precedenti cambiata di segno. Si possono quindi scrivere N-1 relazioni indipendenti e la matrice risulta ridondante, in quanto una riga pu essere cancellata e ottenuta dalla combinazione delle tre righe precedenti: 1234567 A +1+10000+1 B 0-1+1+1000 C 000-1+1-1-1 D -10-10-1+10 La matrice che si ottiene prende il nome di matrice di incidenza e, nel caso in esame, risulta formata da sette colonne e tre righe. Si pu quindi esprimere la KCL in forma matriciale nel seguente modo: A I = u Dove con I si intende il vettore delle correnti dato da: I = _I1I7_ Questa la formulazione implicita per la KCL, ovvero nella forma del tipo F(x,y) = 0,con matrici e vettori delle seguenti dimensioni: A = |N -1, I],I = |I, 1] c u = |N -1,1] Un esempio di una funzione in forma implicita : x2+y2-1 = u Laformulazioneesplicitainvecedeltipoy=f(x),incuiylavariabiledipendenteexla variabile indipendente. 8 Legge di Kirchhoff per le Tensioni (KVL)Essa afferma che: La somma delle tensioni lungo una maglia uguale a 0. Unamagliaunpercorsochiusocheiniziadaunnodoqualsiasi,passaattraversoelementiadue terminali e termina al nodo di partenza. Disolitosiutilizzalastessaconvenzionepertensioniecorrentipernonscriverepigrafiperlo stesso circuito. Convenzione degli Convenzione dei Utilizzatori Generatori Limportante che tutti i bipoli abbiano la stessa convenzione. 3 7 2 4 5 6 1 D CB A 9 Si vuole ora scrivere un numero di equazioni alle maglie che sia linearmente indipendente, e ci si fa attraverso la definizione di albero che legata al grafo. Un albero un insieme di lati che godono delle seguenti propriet: 1.Il grafo albero connesso (cio da un nodo vi sempre un cammino verso ogni altro nodo) 2.Il grafo albero NON ha maglie Esempio: In nero si ha lesempio di un albero. Il lato tratteggiato in rosso NON fa parte dellalbero e forma una maglia, poich sta tra due nodi tra i quali, per definizione, c gi un cammino. Vale la regola generale che se si prende un qualsiasi lato non facente parte dellalbero considerato si ottiene sempre una maglia. Si pu scrivere la KVL per ogni maglia cos ottenuta. Si costruisce una matrice mettendo nelle colonne, vicini tra loro, i lati che formano lalbero e poi gli altri lati in posizioni arbitrarie. Nelle righe si posizionano le maglie, che si formano con laggiunta di un lato specifico, nello stesso ordine di come sono stati posizionati i lati nelle colonne. Le maglie sono tante quante i lati che non sono di albero. D CB A 3 7 2 4 5 6 1 D C B A 10 2341756 M1 -1-10+1000 M7 -10-10+100 M5 0-1+100+10 M6 0+1-1000+1 Ogni maglia si indica con Mx, dove x il lato di coalbero (unico) che forma la maglia stessa. Il verso di percorrenza quello fissato dal lato di coalbero che forma la maglia (+1). Lamatriceformatadalleprime3colonneedalle4righerelativaallalbero,lamatricequadrata formatadallerestanticolonneconlerighecorrispondentirelativaal coalbero e si pu osservare che questa matrice di rango massimo e risulta unitaria per costruzione. Indicando con B, matrice delle maglie fondamentali, la matrice formata dallunione di albero e coalbero, si ottiene: B I = u che risulta essere la formulazione implicita della KVL. Ladimensionedatadalnumerodilatidelcoalbero,chesonotuttiilati(L)menoquelliche formano lalbero stesso, i quali sono pari al numero di nodi (N) meno uno: Numero di lati dellalbero = |N -1] Numero di lati del coalbero = |I N +1] La somma da L come ci si aspettava. Perci per trovare tutte le soluzioni di un insieme di L bipoli si hanno 2*L incognite. La met delle relazionicercate(L)siottengono,comefinoraricavato,conleLeggidiKirchhoffperTensionie Correnti. _B I = uA I = u Laltra met delle relazioni (L) data dalle Leggi di Ohm. Lati di CoalberoLati di AlberoMaglie Matrice Unitaria11 Si pu osservare che: Una matrice con rango massimo ha le righe linearmente indipendenti. Il rango di una matrice rettangolare, al pi pari al pi piccolo tra il numero di righe e colonne. Poich il coalbero una matrice unitaria 4x4 (che per definizione ha rango massimo), la matrice B formata da 4x7 ha rango massimo ( rango = 4 ). PerscrivereleKVLoccorreprendereunalberoefratuttiglialberichesipossonoottenerevi lalberoLagrangiano,lacuiparticolaritdiaverelaformaastella,ciodaunnodochefada centrosiraggiungonotuttiglialtri.Questonodoprendeilnomedinododiriferimento(terra,massa,ground).Mettendoil-delvoltmetrosulnododiriferimentosipossonoricavareN-1 tensioni, che possono essere assegnate al nodo e prendono il nome di potenziali o tensioni di nodo. Propriet: e1, e2, e3 e e4 sono tensioni indipendenti in quanto si trovano sullalbero. Si pu osservare che una tensione la differenza di due potenziali ed definita sul lato in funzione dei potenziali che stanno ai nodi estremi di quel lato. Tutte le tensioni di lato possono essere espresse mediante le tensioni indipendenti: g(x1, x2, x3, x4) = u la forma implicita. Dove g un vettore (g1, g2) : _o x1+b x2+c x3+J x4= uc x1+ x2+g x3+b x4= u La forma esplicita si ottiene risolvendo il sistema: da un sistema lineare a 4 incognite e 2 equazioni, sipuottenereunasoluzionedipendenteda2variabiliindipendenti:x1= (x3, x4)ex2= (x3, x4). I potenziali sono un particolare insieme di tensioni indipendenti (a qualsiasi albero si consideri corrisponde un insieme di tensioni indipendenti). SipuscrivereperciB I = ucome:I = A1 IN,doveIN= csonoipotenziali(le tensioni indipendenti). 0 -+ + + + e2 e3 e4 e1 Nodo di riferimento 12 Dimensionalmente, poich I = |I, 1] e IN= |N -1,1] , la matrice A1 deve avere dimensioni pari a|I, N -1].La matrice A1 lega i potenziali alle tensioni di lato; A la matrice di incidenza nodo-lato. Questa solo una delle possibili soluzioni, che dipendono dallalbero scelto. La KVL in forma esplicita quindi data da: I = A1 c Si ottiene quindi: _I = A1 c KII csplicitoA I = uKCI implicito Il vantaggio di questa formulazione che la topologia del circuito data dalla sola matrice A che molto facile da ricavare. Confronto con la teoria dei campi elettromagnetici:A I = u corrispondeaJi:[= u,indicaciochenonvisonopozziosorgentidi corrente. I = A1 c corrispondeaE= -groJ,indicaciochelatensionetraduepunti indipendente dal cammino e dipende solo dagli estremi. Nota: Si ricorda che la divergenza e il gradiente sono luno loperatore aggiunto dellaltro. Leggi di OhmPerarrivareaunmetododianalisibisognadescriverelastrutturadeibipolitramiteleLeggidi Ohm. Con bipoli lineari si intendono quei bipoli la cui caratteristica o rappresentazione geometrica data da una retta. In forma implicita: m I +n I +c = u Formulazioni esplicite: _I = -nm I -CmI = -mn I -Cn Chiamando:-nm= R , -Cm= IS , -mn= 0 e -Cn= IS V I 13 Si ottiene: _I = R I +IS Formulozionc csplicito (scric) I = 0 I +IS Formulozionc csplicito (porollclo) Analisi dei casi particolari: Se IS= u: I = R I resistore (R) Se R = u:I = ISgeneratore ideale di tensione Se IS= u e R = u: I = u , I = quolsiosi corto circuito Se IS= u: I = 0 I conduttanza (G) Se 0 = u: I = IS generatore ideale di corrente Se IS= u e 0 = u: I = u , I = quolsiosicircuito aperto Sipuvederechementreilresistoreidealeammettesialaformulazioneseriecheparallelo,i generatori ideali ammettono o la sola formulazione serie o la sola formulazione parallelo. La formulazione implicita ammessa da tutti. In notazione matriciale: _I = R I +ISI = 0 I +I S La matrice di R diagonale. R = _R1uuR2uuuuuuuu

u uRN_0 = _01uu02uuuuuuuu

u u0N_ Osservazione importante: Non detto che le due matrici siano invertibili, ci possibile solo se: Rx , 0x= u vx Formulazione matriciale implicita: H I +N I +C = u R G 14 MetodidiRisoluzione Metodo di Analisi tramite Tabella Sparsa (STA)E un approccio di risoluzione delle reti a tabella sparsa. Consiste semplicemente nellutilizzare: KCL implicita, KVL esplicita e Ohm implicita Le incognite sono: le correnti I, le tensioni V e i potenziali e. Nota: L il numero di lati mentre N il numero dei nodi. 1L la matrice identit di dimensioni L A I = u I = A1 c H I +N I +C = u Questa tabella prende il nome di Tabella Sparsa (Sparse Tableau) in quanto contiene pochi numeri diversi da 0. Auu u1L-A1 NHu I1 . IL . V1 VL . e1 eN-1u u -c N-1 L L L L N-1 N-1L L L L N-1 Vettore delle incogniteTermini noti 15 Esempio: PerciconL=10eN=6latabellacontiene625elementiintotale,dicuialmassimo70 (20+20+10+10+10) elementi possono essere diversi da zero. Vantaggio: non necessaria alcuna pre-elaborazione per ottenere la matrice. Metodo di Analisi Nodale (NA)A differenza del metodo della tabella sparsa che usa la formulazione implicita per la legge di Ohm, il metodo dellanalisi nodale richiede che tutti i bipoli devono essere in formulazione parallelo. Lequazione definitiva dellanalisi nodale si ottiene dalle Leggi di Kirchhoff e dalla Legge di Ohm in formulazione parallelo: _I = A1 c KII csplicitoA I = uKCI implicito0 I +IS= IIcggc Ji 0bm

SostituendolaIricavatadallaKVLesplicitanellaLeggediOhmepoisostituendolaIricavata dalla Legge di Ohm nella KCL implicita si sono cos unificate le tre equazioni in una sola: A 0 A1 c = -A IS= [S La matrice A 0 A1 deve essere quadrata e coerente con le dimensioni di c:|N -1, I] |I, I] |I, N -1] = |N -1, N -1] 0n c = [S dove[S il vettore dei termini noti Viilvincolochenonpossonoessercigeneratori idealiditensione(necessarialaformulazione parallelo). Tutto descritto da generatori ideali di corrente e resistori. I1 . IL V1 . VL e1 . eN-1u u -c A0u 1 0 0 1 -A1 x0 x 0 x x0 x 0x u 16 A B C Seungeneratoreidealeditensionehaunaresistenzainserie,sipufarelequivalenteNorton, altrimenti non pu essere usato questo metodo. Neibipoliquasisempreottenibile,neidoppibipolipicomplesso,enondettocheesistala formulazione parallelo. Esempio: 0 una matrice 3x3:0n= 0k k0n]= - 0k k 0n= _01+02-02u-0202+03+04-04u -0404_ una matrice simmetrica nel caso dei bipoli. Il metodo di Analisi Nodale adottato nei simulatori circuitali, in quanto la matrice direttamente ottenibile dai dati in ingresso che descrivono il circuito (vedi P-Spice). Esempio: Il programma legge ogni riga e scrive informazioni sulla matrice fino a completarla. Nome N+ N-Valore R1 A0R1[] R2 ABR2[] 1 0 C B A 3 6 245A B C17 Questo metodo prende il nome di Stamp Method: lllll1R1+1R2-1R2-1R21R2 11111 Si individuano le 4 caselle di intersezione tra i due nodi e si mettono le transconduttanze in ognuna di esse: se gli indici sono uguali si mette il +, altrimenti si mette il -. Se ci sono altri elementi gi presenti si sommano. Se uno dei due nodi il nodo di riferimento (indicato con zero), lunica casella interessata quella con indici uguali (di volta in volta AA, BB, CC) Il vettore [S dato dai generatori di corrente che entrano od escono dai nodi. Considerando con il + il nodo da cui esce (si scelta una convenzione): [S= _-ISSuISS+IS6_ In P-Spice si ha perci una matrice: A x = b facilmente risolvibile dal programma Propriet:utilizzandolanalisinodale,sipudimostrarecheuncircuitocheabbiaresistorie generatoridicorrenteetensioneaccompagnati(cioconresistoririspettivamenteinparalleloe serie) comunque lo si costruisca, con valori di R e G > 0, ammette sempre una e una sola soluzione. BisognadimostrarechelamatriceA 0 A1nonsingolareperqualsiasivalore.Mapoich0 diagonaleedefinitapositiva,moltiplicataperAeA1rimanedefinitapositivaehadeterminante diverso da 0. Nome N+ N-Valore I5 ACI5[A] I6 0CI6[A] A B C A BC A B CR R R , G > 0 18 Peraverepisoluzionionessunasoluzionebisognaaveregeneratoriditensioneocorrentenon accompagnati. Esempio: Circuito che ha una e una sola soluzione: Circuito che ha zero o infinite soluzioni: Se, nel secondo caso, i generatori hanno valori non coerenti (I1+I2= I3), allora il circuito mal postoenonsihannosoluzioni.Selamagliafunziona(I1+I2= I3),alloravisonoinfinite soluzioni. Unaltra possibilit per avere nessuna o infinite soluzioni avere solo generatori di corrente entranti o uscenti da un nodo. Inconclusione,condizionenecessariaesufficientecheuncircuitodiquestotipoammettaunaed una sola soluzione che i generatori siano accompagnati. V2 V3V1 RR R R R R R 19 TeoremadiTellegen Se si considerano due circuiti aventi come unico vincolo di avere la stessa topologia, si ha: Ii IiiL=1= Iii IiL=1= u Cio i vettori di tensioni e correnti tra i due circuiti sono ortogonali tra loro: (Ii)1 Iii= (Iii)1 Ii= u SostituendoIi= A1 ci:[A1 ci1 Iii= ci1 A Iii Si osserva che si portata la matrice A del circuito 1 al circuito 2 e in quanto i due circuiti hanno la stessa topologia: A1= A2= A Concludendo:ci1 A Iii= u-A Iii= u Nota: Ii Iii e Iii Ii sono chiamate potenze virtuali. Se i due circuiti hanno anche gli stessi bipoli allora sono potenze e da ci deriva la legge che la sommatoria delle potenze in un circuito pari a 0. Esempio di due circuiti con la stessa topologia: 20 DoppiBipoli Siconsiderinodoppibipolilinearicaratterizzatidallaconvenzionedegliutilizzatoriaentrambele porte: _1(I1, I2, I1, I2) = u2(I1, I2, I1, I2) = u Se si considera la linearit si pu scrivere: _m11 I1+m12 I2+n11 I1+n12 I2+c1= um21 I1+m22 I2+n21 I1+n22 I2+c2= u I termini c1 e c2 tengono conto di eventuali generatori indipendenti contenuti allinterno del doppio bipolo, ma questi possono essere tirati fuori e quindi si ottiene la formulazione implicita stretta (con c1=c2= u): _m11 I1+m12 I2+n11 I1+n12 I2= um21 I1+m22 I2+n21 I1+n22 I2= u In maniera compatta: H I +N I = u Formulazione esplicita serie (anche detta formulazione controllata in corrente): _I1= R11 I1+R12 I2I2= R21 I1+R22 I2 Affinch sia possibile scriverla, H deve essere una matrice non singolare: I = -H-1 N I Sipossonoottenerequattroformulazioni:serie_I1I2_,parallelo_I1I2_,primaibrida_I1I2_eseconda ibrida_I1I2_,cheprendonoilnomediformulazionicardinali.Questehannoleduevariabili indipendenti una per porta. _I1I2_ = R _I1I2_ _I1I2_ = 0 _I1I2_ _I1I2_ = E _I1I2_ _I1I2_ = K _I1I2_ V2V1 I2I1 21 Vi sono inoltre le due formulazioni con le matrici di trasmissione: _I1I1_ = I _I2I2_ _I2I2_ = Ii _I1I1_ Bisognaporreattenzionealfattochestatautilizzatalaconfigurazionedeigeneratoriadestra, degli utilizzatori a sinistra. Si pu infine osservare che, per le formulazioni cardinali, le variabili dipendenti sono gli strumenti che misurano, le variabili indipendenti sono i generatori che forzano. Propriet: Lequattroformulazionicardinalihannolaproprietdiavereunavariabileindipendenteeuna dipendente per porta. Le variabili indipendenti (cause) si rappresentano con generatori equivalenti, le variabili dipendenti con misuratori (voltmetri e amperometri). Esempi: _I1= r11 I1+r12 I2I2= r21 I1+r22 I2 _I1= b11 I1+b12 I2I2= b21 I1+b22 I2 V2V1 I2I1 ++ I1 I2 R + + I1 HV2 22 GeneratoriPilotati Generatore di tensione controllato in corrente CCVS R = _u uRSu_ _I1= uI2= RIN I1 Generatore di corrente controllato in tensione VCCS 0 = _u ugmu_ _I1= uI2= gm I1 Generatore di corrente controllato in corrente CCCS E = _u u[ u_ _I1= uI2= [ I1 Generatore di tensione controllato in tensione VCVS K = ju uo u[ _I1= uI2= o I1 Ogni formulazione cardinale ha perci un generatore pilotato caratteristico. V2 I1 I2 V1 I2 I1 V2 V1 23 ProprietdeiDoppiBipoli 1.Direzionalit 2.Reciprocit 3.Simmetria 4.Passivit 1.Direzionalit Ladirezionalitpuesseredalleporte1alle2oviceversa:idoppibipolipossonoesseresia unidirezionali che bi-direzionali. Un bipolo unidirezionale tale da non presentare variazioni sulla porta 1 a fronte di variazioni sulla porta 2 mentre presenta variazioni sulla porta 2 a fronte di variazioni sulla porta 1. DiconseguenzalaunidirezionalitsipuvederedallelementodellaIarigaIIacolonnadella matrice. Zero direzionali sono due bipoli completamente separati. Si considerino le matrici di trasmissione: _I1= t11 I2+t12 I2I1= t21 I2+t22 I2 Iparametrisiottengonofacendoilrapportotralagrandezzachesimisurae,aldenominatore,il generatore forzante (la grandezza impressa). In quanto non si pu fare il rapporto tra due generatori si pu ricorrere ad artifici e ricavare 1t12, , vi tuttavia un metodo migliore per il quale bisogna prima introdurre il bipolo nullore. NelpianoI/VsiconsideriilbipolochesitrovanelloriginedegliassiedhacontemporaneamenteI = 0 (circuito aperto) e V = 0 (cortocircuito). Tale bipolo degenere prende il nome di nullatore. V2V1 I2I1 0 24 Il circuito che contiene un nullatore risulta avere troppi vincoli e non perci risolvibile: Nel piano I/V si consideri il bipolo che comprende tutto il piano e ha V = qualsiasi e I = qualsiasi. Tale bipolo si chiama noratore. Il circuito che contiene un noratore risulta avere infinite soluzioni in quanto ha troppi pochi vincoli: Si pensato di creare un doppio bipolo comprendente sia un noratore sia un nullatore, questultimo prende il nome di nullore: _I1= uI1= u _I2= quolsiosiI2= quolsiosi 0 VddI V 0 R Vdd I V R25 Il nullore caratterizzato da una matrice I = ju uu u[ ed lunica formulazione esistente. Il nullore il doppio bipolo caratteristico della matrice di trasmissione I. Esempio: Si consideri un generatore pilotato in tensione: _I1= u I2= p I1 - _I1= uI1=I2p - I = _1puu u_ Perci, oltre alla formulazione cardinale unica ammessa, permette anche la matrice di trasmissione. Ilterminediversodazerositrovainposizionediversaperognunodeigeneratoripilotatiesipu infineosservarecheilnullorepuesserevistocomeillimiteperungeneratorepilotatoquandoil suo parametro caratteristico tende a . Esempio di utilizzo del nullore per ricavare la matrice T: _I1= t11 I2+t12 I2I1= t21 I2+t22 I2 Permette di calcolare: t11=v1v2I2=0= 2 e t21=I1v2I2=0= 1 S Permette di calcolare: t12=v1I2v2=0= S 0 e t22=I1I2v2=0= 2 In questo caso si ottiene perci: I = j2 S1 2[ V2 V1 2A 11 3V 11V1A I2 0 2V 2V 11V 1VV2 1A 11 01V 26 Il nullore viene anche utilizzato come modello per lamplificatore ideale: Nota: Di solito si rappresenta con un VCVS con guadagno elevato (- ), ma in realt pu essere rappresentato da uno qualunque dei generatori pilotati con il valore del suo parametro - . 2.Reciprocit Un doppio bipolo si pu schematizzare nel seguente modo: ConunacausaC1applicataaldoppiobipolosiottieneleffettoE1;applicandounacausaC2, compatibileconlamisuradelleffettoE1,doveprimasieraottenutoleffettoE1siottieneun effetto E2. Se C1= C2 e E1= E2 , allora il doppio bipolo reciproco. Se la causa C1 un generatore di corrente e leffetto E1 un segnale di tensione, allora la causa C2 deveessereungeneratorechequandospentofunzionacomeungeneratoreditensione(effetto E1). Lo stesso ragionamento valido per E2. Esempio: Effetti Cause Doppio Bipolo V1 I1 I2V2 I1 C1 E1 E1 C2 V2 V1 I2 27 Utilizzando la convenzione degli utilizzatori per entrambi i bipoli, cio: Definendo quindi la potenza come: P = I1 I1+I2 I2 E le potenze virtuali (o incrociate) come:Pi= I1i I1ii+I2i I2ii e P'i= I1ii I1i+I2ii I2i Si ha che un doppio bipolo si definisce reciproco se Pi= Pii. Si pu ricavare la relazione di reciprocit nel modo seguente: si inseriscono due bipoli uno a sinistra eunoadestradiognunodeiduedoppibipoli(,e,).Sifaciperpoterutilizzareil teorema di Tellegen che si pu applicare solo a circuiti chiusi. Per il teorema di Tellegen necessario utilizzare la stessa convenzione: _Iui Iuii+I[i I[ii+Pi= uIuii Iui+I[ii I[i+Pii= u Per la condizione di reciprocit Pi= Pii e perci: Iui Iuii+I[i I[ii= Iuii Iui+I[ii I[i Si possono quindi ottenere le condizioni di reciprocit per le matrici cardinali. V2 V1 I2 I1 V2 V1 I2 I1 V I V2 V1 I2I1 V2 V1 I2I1 V I V I V I 28 Esempio: Si ricavano le condizioni di reciprocit per la matrice R: I = I1I = I2 = 0I= I1 = 0I =I2 V = V1V = V2 V = V1V =V2 Si ottiene: I[i I[ii= Iuii Iui -I[iIui=IuiiI[ii -I2iI1i=I1iiI2ii - R21= R12 Con lo stesso procedimento si ottiene: 012= 021 Invece, applicando lo stesso procedimento alle matrici ibride si ottiene: E12= -E21 , K12= -K21 PerciperlematriciGeRlamatricedeveesseresimmetrica,perHeKglielementidellanti-diagonale devono essere uguali in valore ma opposti in segno. Sipuosservarecheilbipololineare(resistore)reciprocoperdefinizioneeancheundoppio bipolo contenente solo resistori perci reciproco. Nota: Un doppio bipolo pu essere reciproco anche se non contiene solo resistori. Per le matrici di trasmissione si deve avere determinante unitario affinch siano reciproche: Jct|I| = 1 Esempio: Il bipolo caratterizzato dalla matrice I = j2 S1 2[, ricavata in un esempio precedente, reciproco (ildeterminante di I uguale a 1). 29 3.Simmetria La simmetria ha come requisito la reciprocit (tranne che in un unico caso). Un doppio bipolo si definisce simmetrico quando sostituendo alla porta 2 la porta 1 e viceversa non cambia niente: _I1= R11 I1+R12 I2I2= R21 I1+R22 I2 Si invertono gli indici a V e I: _I2= R11 I2+R12 I1I1= R21 I2+R22 I1 Si ottiene perci: _I1= R22 I1+R21 I2I2= R12 I1+R11 I2 Il primo e il terzo sistema sono uguali quando: R22= R11 e R21= R12

Nota: Vi contenuta la relazione di reciprocit. Per la matrice parallelo, la relazione sempre: 022= 011 e 021= 012 Per le matrici ibride si ricava che deve valere:Jct|E| = 1 e E12= -E21 Per le matrici di trasmissione: t11= t22 e Jct|I| = 1 Esempio: Il bipolo caratterizzato dalla matrice I = j2 S1 2[, ricavata in un esempio precedente, simmetrico (il determinante di I uguale a 1 e t11= t22). Vi un caso in cui un doppio bipolo pu essere simmetrico ma non reciproco: _I1= I2I1= I2 1 I11 I2 30 Riscrivendolo come: _I1= I2I2= I1 SihacheE = ju 11 u[esipuosservarechenonreciproco(glielementisulladiagonalesono uguali ma non opposti in segno, mentre la condizione E12= -E21) e quindi non si pu applicare ladefinizionedisimmetriavistaprecedentementeperlaprimamatriceibrida(Jct|E| = 1)in quanto presuppone la reciprocit. Infatti: b11=b11Jct|E| b22=b22Jct|E| b12= -b21Jct|E| b21= -b12Jct|E| La condizione Jct|E| = 1 si otteneva dalle precedenti supponendo b12= -b21. Invecenelcasoinesamesihab12= b21equindiaffinchlamatricesiasimmetricadevevalere Jct|E| = -1come effettivamente . 4.Passivit P = I1 I1+I2 I2= _ = u u > u>< u incrti possi:istrcttomcntc possi:i (= u sc c solo sc I1,non possi:i I2, I1, I2= u) Tutti i generatori pilotati fanno parte della quarta categoria. Per i doppi bipoli passivi si pu scrivere: P = I1 I = I1 I = I1 R I > u[R I, I > u Perci se R definita positiva allora il doppio bipolo strettamente passivo. PerdeterminareseRdefinitapositivasipusepararenellasuapartesimmetricaed emisimmetrica: R = RS+RL=R +R12+R -R12 Esempio: j2 48 S[ = j2 66 S[ +ju -22 u[ La parte emisimmetrica di una matrice non contribuisce alla forma quadratica associata. 31 Teorema di Sylvester (per matrici 2x2): Unamatricesimmetrica(perquestonecessarioprimasimmetrizzarla)definitapositivase o11> u e il determinante maggiore di 0. Esempi: j2 66 S[ -2 > u ok; 2 S -S6 < u, non positiva e perci il bipolo non passivo. j8 SS 12[ - 8 > u ok; 8 12 -9 > u, positiva e perci il bipolo strettamente passivo. Notaimportante:Perdeterminarelapassivitdellamatricesenonsihannolematricicardinali nonsipuapplicarelaregolavistaprecedentemente.Tuttavialunicaformulazionecheammette solo la matrice I il nullore ju uu u[ ed esso non passivo. Nota: Per gli induttori mutuamente accoppiati_I1HH I2_si deve avere I1> u e I1 I2-H2 u. Dividendo I1 I2 H2 per I1 I2: I1 I2I1 I2H2I1 I2 Si ottiene: u H2I1 I2= K 1 Quando K 1 gli induttori sono fortemente accoppiati. Al diminuire di K, laccoppiamento diventa lasco. Per K = u gli induttori sono disaccoppiati. 32 CollegamentodiDoppiBipoli Sipossonocollegareleporte1e2tradiloroinserieoinparallelo.Cisono4possibili configurazioni: Serie/Serie Parallelo/Parallelo Serie/Parallelo Parallelo/Serie Le porte collegate in serie sono percorse dalla stessa corrente mentre le porte collegate in parallelo possiedono la medesima differenza di potenziale. Vi inoltre il collegamento in cascata: Nota: Nel collegamento in cascata si pu collegare anche prima B e poi A. In totale vi sono perci 6 possibili combinazioni (erano solo 2 per i bipoli). A A B B A A B B A B 33 Proprietdeibipoli:Nelcollegamentoinseriedeibipolisisommanoiparametriserie,nel collegamento in parallelo si sommano i parametri parallelo. Si suppone inizialmente che questa propriet sia valida anche per i doppi bipoli e si dimostra come in realt essa sia sottoposta ad un vincolo. Esempio: RA= j2 11 2[ RB= j2 11 2[ Si ottiene tuttavia: RAB= jS,S [, che non la somma di RA+RB. Nota: le resistenze sono state prese di valore unitario per facilit di calcolo. Se invece si considerasse: 1 1 1 1 1 1 B SerieSerie A B SerieSerie A 34 Si ottiene: RAB= j4 22 4[, che la somma di RA+RB. Esisteuntestchepermettedicapiresevalelasommabilitdeiparametriono,prendeilnomedi test di Brne: a)Si fa il collegamento della porta 1. b)Simetteilgeneratoreopportunoallaporta1(sesonocollegateinseriecivuoleun generatore di corrente, di tensione se sono collegate in parallelo). c)Leporte2sidevonoporreaperteoincortocircuitoasecondadellaconfigurazione esaminata (aperte per serie, chiuse per parallelo) d)Si calcola la tensione V. e)Se la tensione V = 0, allora vale la sommabilit dei parametri. Esempi: S/S P/P f)Il test va completato mettendo il generatore alla porta 2 e la tensione V alla porta 1. Esempio: P/P A B A B V V 35 Un altro esempio di doppi bipoli (stelle) collegati in parallelo: In questi due casi sempre soddisfatto il test di Brne grazie alla topologia del circuito. Osservazione: Il test di Brne serve a verificare che conservata lidentit dei doppi bipoli. Sivuoleoraottenerej4 22 4[partendodalleduestellevisteprecedentementesenzamodificarnela posizione. Si consideri il trasformatore ideale con K = 1: 1:1 _I1= I2I1= -I2 Il doppio bipolo rimane invariato e collegando un altro doppio bipolo in qualunque configurazione si mantiene comunque lidentit del doppio bipolo e pertanto la sommabilit dei parametri.36 Si consideri ora la cascata di due doppi bipoli: _I1AI1A_ = IA _I2AI2A_ = IA _I1BI1B_ = IA IB _I2BI2B_ Lamatriceditrasmissionesiottienedalprodottodellematricideisingolidoppibipoliesipu osservare che in questo caso non serve il test di Brne in quanto i doppi bipoli mantengono la loro identit. Nota importante: I2I1= E1 I3I2= E2 Si ha che, mentre la matrice di trasmissione sempre il prodotto delle due, tale propriet non si pu tuttavia sempre applicare alle singole funzioni di trasferimento. Esempio: _I1I1_ = _t11it12it21it22i_ _I2I2_ = _t11it12it21it22i_ _t11iit12iit21iit22ii_ _I3I3_ Le funzioni di trasferimento singolo tra V1 e V2 e tra V2 e V3 sono: t11i e t11i t11ii Tuttavia si ha: I = jt11i t11ii+t12i t21ii [ e perci necessario che t12i o t21ii siano zero affinch: E = E1 E2 V1 R V2R V3 I1 R I2 R V3 H1 H2 V2V1 I1A I2A I1BI2B TA TB V2A V1BV1AV2B 37 Si pu provare che per il seguente circuito, disaccoppiando i bipoli, si ha sempre: E = E1 E2 Esempio: La matrice di trasmissione di C : _I2= I1I1= u -I = j1 uu u[ Percisesidisaccoppianoiduebipoliimpedendocheilsecondocircuitocarichiilprimosipu fare E = E1 E2 Se si inserisce un nullore in cascata, il prodotto delle matrici I sempre zero. C 1 V2 V2 RR R R V1V2 V3 V2 38 AnalisiNodaleModificata Questatecnicausatasoprattuttoneisimulatoricircuitalielideachestaallabaselaseguente: lanalisinodaleesaminatuttelecorrenticheentranoinunnodoepoiletensioniespresseconi potenziali. Si consideri che i lati tratteggiati in rosso non permettano formulazioni parallelo: vengono chiamati bad-branches e ai potenziali bisogna aggiungere le correnti passanti in quei rami: _-I1+I3+I4+I2= u-I5+I6= u Le correnti I4 e I6 si aggiungono al vettore delle incognite. Inquantovisonodueincogniteinpi,videvonoancheesseredueequazioniinpiaffinchil problema sia risolvibile: Dove la matrice GN si costruisce normalmente applicando il processo Stamp come la matrice nodale puraelecolonneI4eI6siricavanoconsiderandosoloilgraforidottoallelineerosseeindicando con -1 una corrente entrante e con +1 una corrente uscente da un nodo (indicati sulla sinistra con i numeri che vanno da 1 a 5). Infine, la parte sottostante della tabella si ricava applicando le Leggi di Ohm ai rami considerati.e1 e2e3e4e5I4I6 1 GN 00 2+10 300 4-10 50+1I4 Leggi di I6 Ohm e1 e2 e3 e4 e5 I4 I6 1 3 6 4 5 2 1 23 4 5 0 X= incognite termine noto39 Si effettua ora unanalisi dei vari generatori di corrente e tensione pilotati e non e si stabilisce caso per caso quali introducono una o pi variabili e quali non introducono nuove variabili. 1.GENERATOREIDEALEDICORRENTE Nonintroduce nuovevariabili.Ilsuocontributo deve essere posizionato nella colonna del termine noto. 2.GENERATOREIDEALEDITENSIONE IntroduceunavariabileIK.Ilsuocontributodeveessereinseritonellacolonnadelterminenoto corrispondentemente alla riga introdotta da IK. Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo:VSN+ N- VS DoveVSletichettaconcuivieneindicatoilgeneratore,mentreVSilvalorenumericodel generatore stesso. Il simulatore leggendo VS aggiunge una colonna IK alla matrice nodale pura. Leggendo N+ e N- il programma posiziona eventuali +1 nellintersezione tra le righe corrispondente ai nodi e la colonna di IK. In quanto IS= cN+ -cN- si posizionano nella riga, aggiunta sotto la matrice 0N, 1 nelle rispettive posizioni e il valore di IS nella colonna dei termini noti. N+ N- IK GN 0 N+ -1 0 N- +1 0 IK 0+10-100 e1 eN-1 IK VS VSIK X = N-N+40 3.GENERATOREDITENSIONEPILOTATOINTENSIONE Illatodicomandoessendouncircuitoapertoammetteformulazioneparalleloepercinon introduce nuove variabili. Il lato comandato necessita invece dellintroduzione della variabile IK. IK= [ I] Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo:FXXN+N-NC+NC- Dove N+ e N- sono i nodi pilotati, NC+ e NC- sono i nodi pilotanti e il fattore di pilotaggio. Si ha:cN+ -cN- = [ (cNC+ - cNC-) -cN+ -cN- -[ (cNC+ -cNC-) = u 4.GENERATOREDICORRENTEPILOTATOINTENSIONE Questo generatore ammette formulazione in parallelo e perci non introduce nuove variabili IK= 0m I] Si ha: (cNC+ -cNC-) 0m= IK N+ NC+ NC- N- IK GN 0 N+ +1NC+0 NC- 0 N--1 IK 0+1-+-10 e1 eN-1 IK 0 X= IK N-N+NC- NC+ VK VJ N-N+NC- NC+ IK VJ 41 5.GENERATOREDITENSIONEPILOTATOINCORRENTE Siaillatodicomandocheillatocomandatononammettonoformulazioneparalleloepercibisogna aggiungere due variabili. IK= Rm I] Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: HxxxN+N-VNRm VNNC+NC-(0) La seconda riga di comando dovuta al fatto che necessario mettere un nodo aggiuntivo con un generatore di tensione nullo VN=0 per distinguere il ramo di comando da eventuali altri rami posti in parallelo. In Spice necessario inoltre che la corrente si consideri uscente dal generatore nullo di tensione VN, ma ci non modifica in alcun modo lanalisi del circuito. Si ha: cN+ -cN- -Rm I]= uecNC+ - cNC- = u N+ NC+ NC- N- IKIJ GN 00 N+ +1 0 NC+ 0+1 NC- 0-1 N- -10 IK 0+100-10-Rm IJ 00+1-1000 e1 eN-1IK IJ 0 0 X= Ik N-N+NC- NC+ Vk IN VN IJ 42 6.GENERATOREDICORRENTEPILOTATOINCORRENTE Siaillatodicomandocheillatocomandatononammettonoformulazioneparalleloepercibisogna aggiungere due variabili. IK= o I] Si dovranno fornire i dati al simulatore circuitale nel seguente modo: GxxxN+N-VN VNNC+NC-(0) Si ha: IK-o I]= uecNC+ - cNC- = u Nota importante: Ilcircuitoseguentelineareinquantoquandoigeneratoriforzantisonospenti,tuttiglielementialsuo interno sono lineari. A V INPUT OUTPUT CIRCUITO LINEARE N+ NC+ NC- N- IKIJ GN 00 N+ +1 0 NC+ 0+1 NC- 0-1 N- -10 IK 00000+1 - IJ 00+1-1000 e1 eN-1 IK IJ 0 0 X= N-N+NC- NC+ IK IN VN IJ 43 Esempio (numerico): Nei lati che non ammettono formulazione parallelo sono presenti dei generatori cerchiati in rosso. Bisogna inserire il generatore nullo tra i nodi 1 e 5 (e il pi si pone verso il nodo 5) per rappresentare lamperometro e misurare I- che pilota il generatore di corrente I9 (nota: I- deve uscire dal nodo + del generatore fittizio di tensione) c1c2c3c4c5I-I6I7I9 103-0202-03000+1000 2-0303+040000+100 30008-0800-10-1 400-0808000-1+1 5000001-1000 bipolo * -1000+10000 bipolo 6 0-1+1000000 bipolo 7 +[-[0+100000 bipolo 9 00000-o00+1 430215I7Iu I-= I9I-R1R3R4R8 V3ESC2 V3IS5V344 I vettori delle incognite e dei termini noti sono dati da: Il generatore pilotato v3 pari a: e4- (e2-e1) = u Il generatore di corrente pilotato in corrente I9 pari a: I9-o I-= u La matrice A- segnata con i contorni in verde data da: La matrice B- quella che si ottiene dalle Leggi di Ohm per i membri che non ammettono formulazione parallelo. Non ha le propriet di simmetria dellanalisi nodale, tuttavia la diagonale continua ad essere dominante e la matrice sparsa (in questo caso solo 25 elementi su 81 sono diversi da 0). 0 ISS u u u u ES6 u u c1 c2 c3 c4 c5 I- I6 I7 I9 34 02 5 1 I-II9I7Vettore delle incognite Vettore dei Termini Noti = Generatori Indipendenti 45 Metodidirisoluzione VisonometodidirettieindirettiperrisolvereA x = b.Imetodidirettiottengonolasoluzione esattainunnumerofinitodipassi(considerandoeventualiapprossimazioni).Imetodiindiretti hanno un numero di passi variabile a seconda della forma della matrice e portano a verificare se la soluzione e convergente tramite iterazione. Imetodidirettisonoquellipiutilizzatineiprogrammi;unodiquestimetodiquelloa eliminazionegaussiana:daunsistemadipartenzasitendearisolvereunavariabileinfunzione dellealtrefinoadottenereununicaequazione.Risoltaquestultimasiprocedeconsostituzione inversa a determinare le rimanenti variabili. Scomposizione: A = I u I inferiormente triangolare, u superiormente triangolare = ScrivendoI u x = be chiamandou x = ysi ottiene: I y = b Ma questo sistema direttamente risolvibile con il metodo di eliminazione gaussiana. Il processo di costruzione di I e u avviene su A: Sulla diagonale non c conflitto in quanto si pu dimostrare che esistono N gradi di libert pari al grado N della matrice (quindi la diagonale di U pu essere riempita di 1 ad esempio) Il tempo impiegato si pu dimostrare essere pari a: o N3+[ N2+y N e perci si indica che il costo dellordine di N3: 0(N3) Iltempoimpiegatorisulterebbeessereenorme.Analizzandomatricisievidenziacomeessesiano piene di 0. Ci implica inutili moltiplicazioni per zero e somme con zero come addendi.Se si tiene contodellasparsitdellamatricesiricavasperimentalmentecheinrealtilcostocompresotra 0(N1,1N1,5). un risultato sperimentale. A LUA UL LU A 46 Tecnicheadhocvengonoutilizzateperlimmagazzinamentodeidati,utilizzandostrutturedati lineari (liste) anzich matrici. Un possibile inconveniente il seguente: Se la matrice sparsa in questa configurazione, dopo la prima sostituzione diventa piena. Se si cambiasse invece lordine dei nodi: La matrice rimane sparsa anche dopo la prima sostituzione. necessario quindi utilizzare un algoritmo aggiuntivo che preservi la sparsit. Nota: Cambiando il termine noto non necessario ricavare nuovamente la scomposizione LU di A e perci la risoluzione pi veloce. TuttoquellochestatofattopuessereriutilizzatopericircuitinonlinearirisolvendoNcircuiti lineari. Un circuito non lineare dinamico potr essere risolto tramite la risoluzione di K circuiti non lineari (resistivi). 1 23456 1xxxxxx 2xx0000 3x0x000 4x00x00 5x000x0 6 x0000x 6 54321 6x0000x 50x000x 400x00x 3000x0x 20000xx 1 xxxxxx 47 Riassunto ed Esempi delle Propriet Esempio di bipolo passivo: Esempio di doppio bipolo strettamente passivo: R > u j2R RR 2R[ strettamente passivo, reciproco e simmetrico. ReciprocitSimmetriaPassivit Matrice RR12= R21Reciprocit+R11= R22 Per le 4 cardinali: -Strettamente passivo P > u -Passivo P u -InerteP = u Matrice G012= 021Reciprocit+011= 022 Matrice HE12= -E21 b11=b11Jct|E| b12= -b21Jct|E| b21= -b12Jct|E|b22=b22Jct|E| Reciprocit + Jct|E| = 1 oppure Anti-reciprocit +Jct|E| = -1 Matrice reciproca: Eccezione: doppio bipolo simmetrico ma non reciproco E = ju 11 u[ Matrice TJct I = 1Nullore - Non passivo I V R RR 48 Esempio di doppio bipolo non passivo: ju -R-R u[ Non passivo, ma reciproco e simmetrico. Esempio di doppio bipolo passivo ma non strettamente passivo: jR RR R[ Se si mette un generatore di corrente qualsiasi da un lato e lo stesso dallaltro lato invertito di segno, risulta che in R non scorre corrente. Calcolando la forma quadratica associata: P = R11 I12+(R12+R21) I1 I2+R22 I22= R (I1+I2)2 Se I1= -I2 allora P = u vI. I1I1R -R RR 49 Doppibipoliparticolari A.Trasformatoreideale Ammette solo quattro formulazioni (con le matrici ibride E, K e con le matrici di trasmissione I, Ii) B = _v1= K v2I2= -K I1E = ju K-K u[ T = _v1= K v2I1= -1K I2I = _K uu -1K_ Dalla matrice E si ricava che reciproco, ma non simmetrico in quanto Jct|E| = 1. bidirezionale e poich: P = v1 I1+V1K (-K I1) = u inerte. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: RIN=I1I1= -K I2I2K= K2 R La resistenza viene perci vista in ingresso moltiplicata per K2. Prende il nome di Convertitore positivo di impedenza (PIC). Nota: Per K = 1 come una prolunga che effettua tuttavia anche un disaccoppiamento elettrico tra le due porte; reciproca ed anche simmetrica. Se la matrice H ha la seguente forma: B = _v1= -K v2I2= -K I1 E = ju -K-K u[ Per K = 1 simmetrico, non mai reciproco, non passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2 si ottiene: RIN=I1I1=K I2I2K,= K2 (-R) Prende il nome di Convertitore negativo di impedenza (NIC). R 50 B.Giratore Ammette formulazione tramite matrice R: R = _I1= Rm I2I2= -Rm I1 R = _u Rm-Rmu_ Non reciproco n simmetrico, anti-reciproco. bidirezionale e poich P = 0 inerte. Si rappresenta nel seguente modo: Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: RIN=I1I1= -Rm2 I2I2=Rm2R= Rm2 0 La resistenza risulta invertita e moltiplicata per Rm2 Un giratore pu essere costruito tramite amplificatori operazionali e resistori. Prende il nome di Invertitore positivo di impedenza (PII). Notaimportante:UninduttanzapuesserecreatautilizzandoungiratoredovealpostodiRsi posiziona un condensatore C. R CL 51 Analizzando una stella con la resistenza centrale negativa si osserva che: R = _u -Rm-Rmu_ reciproco e simmetrico. Non passivo. Se si posiziona una resistenza tra i morsetti 2: RIN=I1I1= -Rm2 I2-I2= -Rm2R= Rm2 (-0) Prende il nome di Invertitore negativo di impedenza (NII). Riassumendo: PIC (Convertitore Positivo di Impedenza):E = ju _K+K u[ NIC (Convertitore Negativo di Impedenza): E = ju _K_K u[ PII (Invertitore Positivo di Impedenza):R = _u _Rm+Rmu_ NII (Invertitore Negativo di Impedenza): R = _u _Rm_Rmu_ -R RR R 52 DispositiviNonLineari Diodo:I= IS _cvDvTh-1_ Se si utilizza il modello Sparse Tableau,A I = ueI -A1 c = urimangono invariate, mentre le leggi di Ohm variano e sono quelle dei componenti non lineari. Sesiutilizzalanalisinodaleelelementononlineareammettelaformulazioneparallelo,la formulazione la stessa vista precedentemente, se non lammette si deve utilizzare lanalisi nodale modificata. Ci che cambia che non si ha pi un sistema di equazioni lineari da risolvere, ma sono equazioni non lineari e varia perci il metodo risolutivo. F(x) = u scalare, non lineare. I= IS-RS II= IS _cvDvTh-1_ I1h=k Iq SostituendoI: I-IS _cvS-RSIDvTh-1_ = uF(I) = u La soluzione si pu o ricavare graficamente dallintersezione tra le due curve oppure risolvendo la funzione F(I) = u. ID VD IS VDID ISRS VSISVD ID VSRSID VD53 Si osserva tuttavia che la funzione risultante non pu essere risolta analiticamente. soluzione Si adoperano perci delle tecniche numeriche: si cerca di trovare una serie di valori per lincognita che tende a convergere alla soluzione. Si determinano iterativamente x0-> x1-> x2-> -> xn-> x- dove x- e la soluzione asintotica. Il metodo utilizzato il Metodo di Newton: si sostituisce allelemento non lineare la sua linearizzazione (cio la tangente alla curva nel punto considerato). y -y0= m (x -x0) Dove m la derivata calcolata in x0: m =1vT IS eVDVTh_V0 VDF(VD) P2P1IS1 x2x1x0gm1gm0VDID 54 Dal punto di vista circuitale si risolve il seguente circuito lineare: Dovegm0 e IS0 cambiano ad ogni iterazione mentre la struttura circuitale rimane la stessa. Considerando F(x) = u: Lo sviluppo in serie di Taylor di F(x) : F(x) = F(x0) +(x -x0) JFJx= u Vale perci la regola: F(xK+1) = F(xK) +(xK+1-xK) JF(xK)Jx= u Si ottiene: xk+1= xK-_JFJx_xK-1 F(xK) gm0IS0RS ID VDVSx2x1x0xF(x) 55 Nota importante: Il procedimento non funziona in alcuni casi, ad esempio nel caso seguente: Teorema: Il metodo di Newton converge se si considera x0 sufficientemente vicino alla soluzione. Nella simulazione circuitale questa richiesta non fortunatamente molto limitante. Inoltre si pu osservare che un altro problema la presenza di esponenziali che possono causare un over-flowdeidati.Ancheperrisolverequestoproblemanecessariofarpartireliterazioneda soluzioni vicine a quella cercata. Esempio: In realt la formulazione utilizzata dal calcolatore : _JFJx_xK (xK+1-xK) = -F(xK) In questo modo non si deve invertire la matrice formata da jdPdx[xK. Literazionestabilitochedebbaproseguirefinoachelafunzionenonassumaunvalorescelto dallutente: [F(x)[ < e; oppure che la variabile valga un certo valore: xK+1= [xK+1-xK[ < estabilito dallutente a seconda del processo in esame. infine stabilito un numero massimo di iterazioni superato il quale il programma deve segnalare la presenza di un problema. Nota: xK+1 viene anche chiamato residuo, quando zero, si arrivati alla soluzione. x0 x1 x1x0 VDID VDID 56 Interpretazione vettoriale considerandoF(x) = u: xK+1= xK-_[_K-1 F(xK) _[_K |xK+1-xK] = -F(xK) Dove [ lo Jacobiano e consiste nella derivata di F(x) rispetto ad ogni variabile, una matrice di numeri. Inrealtnonsiprendeilcircuitononlineareeglisiapplicailprocedimento,cheuna linearizzazione;ma,apartiredauncertopuntodilavorosicostruiscenonilcircuitolinearizzato, ma il circuito formato con gli elementi linearizzati: Circuito base: Companion Network: IlcircuitochesostituisceglielementinonlinearicongliequivalentilinearizzatiilCompanion Network ed costituito da Companion Models. NondunquenecessariocalcolarelederivateparzialidelloJacobiano;ma,bastanolederivate scalari dei singoli elementi calcolate nel punto di lavoro. NLLL LNL L 6D2K6D1K IS2K IS1KLL L L 57 Perevitareerroridovutiascorretteapprossimazionimeglioavereunideadidovedovrebbe collocarsi il punto di lavoro e partire con il processo iterativo da un punto il pi prossimo possibile ad esso. Esame del caso in presenza di Doppi Bipoli: Questo un circuito elementare di un doppio bipolo con sia alla porta uno che alla porta due,due bipoli rappresentati da un equivalente o Thevenin o Norton. Equazioni implicite di un doppio bipolo non lineare: _ 1(I1, I2, I1, I2) = u 2(I1, I2, I1, I2) = u Nota: Esistono Doppi Bipoli non lineari che permettono tutte e sei le rappresentazioni. Si pu scrivere: _c1-R1 I1= I1c2-R2 I2= I2 E quindi ottenere: F(I1, I2, I1, I2) = u e risolverlo numericamente con il metodo di Newton. e2 R2 R1 e1 Doppio Bipolo 58 e2R2 e2 0,1 0,2 0,3 0,4 IB = I1 e1 e1R1 0 0,10,2 0,3 VCE = V2 V1 I1 V2 I2 I1 = IB I2 = IC EE CB V2 = VCE V1 = VBE MetodoRisolutivoGraficoperDoppiBipoliNonLineari BJT I1= b1(I1, I2) I2= b2(I1, I2) Osservazione:NormalmentelavariabiledipendenteV1dovrebbeesseremessasullassedelle ordinate, ma per similitudine con la caratteristica del diodo si rappresenta in questo modo. Le rette che passano per c1R1 ed e1 e per c2R2 ed e2 sono determinate dal vincolo sui resistori. 59 P OP NM CBAM N O CBAe2R2 e2 e1 e1R1 V2 I2 V1 I1 Leintersezionisonoaprimavistanumerose:prendendounpuntoacasonelgraficoI1I1 si determinano specifici I

1,I

1 e I

2; tuttavia il corrispondente punto nel grafico I2I2pu non trovarsi sulla retta corrispondente al carico sui morsetti 2 e non essere quindi una soluzione accettabile: Sicostruiscelimmaginedellarettafiltratadaldoppiobipolonelsecondograficoottenendouna curva (non una retta in quanto il doppio bipolo non lineare). Il punto P la soluzione cercata: P = (I1-, I2-, I1-, I2-) Si pu fare anche linverso portando la retta di carico dei morsetti 2 nel piano I1I1 ; in questo caso si ottiene che il punto P il trasposto del punto P. Bisogna inoltre porre attenzione al fatto che talvolta i doppi bipoli sono unidirezionali e perci non la stessa cosa partire dal piano I1I1o dal piano I2I2 . PerunBJTademettitorecomunesiputrascurareladipendenzadaV2epercisipossono risolvere due problemi scalari di primo ordine al posto di un problema vettoriale di secondo ordine: 60 I

1 V1I1 V1I1 V1I1 Si riporta I

1 sul grafico v2I2e si ottiene la soluzione cercata. In alcuni casi possono esserci pi soluzioni possibili o nessuna soluzione. Esempio di pi soluzioni possibili: IlmetododiNewtonnelcasodipisoluzionipossibilitrovalasoluzionepivicinaalpuntodi partenza. Esempio di nessuna soluzione: 61 SS D G I2 I1 V2 V1 0 1 2 VGS = V1 VDS = V2 ID = I2 0 1 2 e2R2 e2 VGS = V1 VDS = V2 ID = I2 MOSFET Sipuosservarecheinutileporreunaresistenzainseriealgeneratoredelmorsetto1inquanto I1= u. Il punto di lavoro dato dallintersezione tra la retta e il grafico del MOS. Inserendo una resistenza non lineare in uscita al secondo morsetto questo funziona da inverter. I1= u I2= (I2) Nota: un doppio bipolo in formulazione parallelo. V1 = VGS I1=IG 62 I2R11 e1 e1R1 I1 V1 I2I2R22 e2R2 e2 I2 V2 I1I1I1CasodiDoppioBipoloLineare _I1= R11 I1+R12 I2I2= R21 I1+R22 I2c1-R1 I1= I1 c2-R2 I2= I2 Essendo il doppio bipolo lineare, la retta di carico rossa del grafico I1I1rimane una retta (blu nel disegno)nelgrafico I2I2 (viceversaperilpassaggioinverso)elintersezionelasoluzione cercata. Nota: Se i termini R12 e R21 sono nulli significa che il bipolo non bidirezionale. R2 R1 e1 e2|R| 63 I VE ProprietdeiBipoliNonLineari ProprietdellaPassivit:UnbipolostrettamentepassivosoloseP > ueP = useesolose I, I = u, con la convenzione degli utilizzatori; passivo se P u (ad esempio il circuito aperto e il corto circuito). Esempio di grafico di un circuito strettamente passivo:

Lacaratteristica(I, I)interamentecontenutanelprimoenelterzoquadranteepassaper lorigine degli assi. Due esempi di grafici di circuiti passivi: Si pu osservare come i grafici siano nulli anche per valori di I, I = u. HasensodiintrodurrelaproprietdipassivitsolosevalelaProprietdiChiusura,inquanto grazieadessasipuaffermarecheunbipolocheabbiaalpropriointerno,collegatiinqualunque maniera, solo bipoli strettamente passivi strettamente passivo. Propriet di Non-Amplificazione: Se un circuito alimentato con una tensione E ed formato da bipolilinearienonlinearimatuttistrettamentepassivi,allorailmodulodiqualunquetensione interna inferiore a E:|I| E Di conseguenza, se si pone il nodo - del generatore a massa, si ha che: u |c| E, cio lo zero il potenziale pi basso, mentre E il potenziale pi alto. VI I V Tipo diodo 64 Dimostrazione per assurdo della propriet di non-amplificazione: Tesi: Esistono uno o pi potenziali maggiori di E ( il contrario di quanto si vuole dimostrare) Ipotesi: Si considera il nodo del circuito con potenziale cM> E e cM cNvN = H TutteletensionideibipolichefiniscononelnodoMdevonoavereilversosegnatoinfigura,ma perci, essendo tutti i bipoli strettamente passivi, allora tutte le correnti sono uscenti. PerrispettarelaLeggediKirchhoffdelleCorrenti,lasommadellecorrentientrantieuscentidal nododeveesserenulla:I1+I2+I3+I4= u,edessendolecorrentinelcasoinesametutte positive devono perci essere nulle. DiconseguenzatuttiinodiadiacentidevonoaverepotenzialecMeiterandoilprocedimentosi arrivaadaffermarecheE = cM;maquestonegalatesidipartenzaedcichesivoleva dimostrare. Uno stesso identico ragionamento pu essere effettuato per determinare che il potenziale nullo il limite inferiore. Questoteoremavaleconqualunquecomponentepurchsiastrettamentepassivo,quindidevono essere tutti bipoli la cui caratteristica passi per lorigine e stia nel 1 e 3 quadrante. cM 65 V V I I I V V V I I I Unaltra categoria (o classe) di bipoli non lineari che gode della propriet di chiusura sono i bipoli monotoni (crescenti o decrescenti): I.Strettamente Monotono (Crescente):(Iii-I') (Iii-I') > u II.Monotono: (Iii-I') (Iii-I') u Un bipolo monotono ha una caratteristica che cresce sempre o decresce sempre. Un bipolo costituito da soli bipoli strettamente monotoni da luogo a un bipolo strettamente monotono, cio una classe chiusa. Sono interessanti solo i bipoli strettamente monotoni crescenti: I I > u (i bipoli strettamente monotoni decrescenti hanno I I < u ) Propriet: Se il bipolo strettamente monotono crescente, allora vi unicit della soluzione (che pu tuttavia non esistere, ma se esiste unica). Esempio di unicit della soluzione in bipoli strettamente crescenti: Diodo: I= IS _cvDvTh-1_ Mentre per la retta 4 non vi nessuna intersezione e quindi la soluzione non esiste, per le rette 1-2-3 vi ununica intersezione e quindi la soluzione esiste ed unica. 41 2 3I.II. IS VDID I. 66 I VI VI VI VSe si vuole che la soluzione esista, oltre che sia unica, bisogna imporre che quando una delle due grandezze tende in modulo allinfinito anche laltra grandezza tenda allinfinito: se |I| - , allora si deve anche avere che |I| - . Strettamente monotono e strettamente passivi non sono la stessa cosa. Esempi: 1.Bipolo Strettamente Passivo e Strettamente Monotono 2.Bipolo NON Strettamente Passivo, ma Strettamente Monotono 3. Bipolo Strettamente Passivo, ma NON Strettamente Monotono 4. Bipolo NON Strettamente Passivo e NON Strettamente Monotono 67 :(t) = I0+:(t) vS(t) RS E NL E +:S(t) NLVI Strettamente passivo t v(t) AnalisidiPiccoloSegnale Elapolarizzazione(costante)cheportaildispositivononlinearealavorarenellazonadi interesse. Tramite questo circuito si pu ottenere unamplificazione di vs(t) (tensione di segnale variabile). Nota:Rimanesemprevalidalaproprietpercuiessendoildispositivononlinearestrettamente passivo, allora :(t) < E. Sipuosservarechesipuavereundispositivolocalmentenonpassivo:unbipolopuessere localmente strettamente passivo se la propriet vale in un intorno del punto di lavoro considerato. Esempio: Il punto A localmente strettamente passivo, mentre il punto B non lo . Per determinare se un bipolo localmente strettamente passivo in un punto bisogna perci calcolare la sua resistenza (conduttanza) differenziale in quel punto:dvdI> u [dIdv> u Sipuinfineosservarecheunbipolostrettamentemonotonocrescenteanchelocalmente strettamente passivo in ogni punto della sua caratteristica. B A 68 Tornando al circuito in esame, si consideri il caso in cui :S(t) = u: Quando :S(t) = u la retta si sposta mantenendo tuttavia la sua pendenza che data da RS: La tensione v(t) e la corrente i(t) si leggono sul grafico al variare di :S(t). Se si suppone che :S(t) abbia una piccola escursione (vari di poco), si pu sostituire alla curva non lineare la sua tangente in quel punto, come gi visto nello studio del metodo di Newton. ERS E I0 V0 V I :S(t) ERS E I0 V0 V I ID :S(t) ERS E I0 V0 V I 69 Circuitalmente equivale ad avere: Il punto di lavoro si muove lungo la linea blu e non pi lungo la traiettoria originaria in linea spessa. Se ci si sposta di poco la linearizzazione e la vera traiettoria non lineare sono pressoch uguali. Sesiconsiderailcircuitolineareequivalentesipuapplicarelasovrapposizionedeglieffetti: spegnendo :S(t) e mantenendo ID ed E accesi si ottengono i I0 e V0 precedenti. Spegnendo i generatori ID ed E si ottiene: QuestoilcircuitoperpiccolisegnalinellintornodiI0eV0eforniscev(t).Talecircuitoun circuito lineare in quanto costituito da soli elementi lineari. La sovrapposizione degli effetti permessa solo per vS(t) molto piccoli in modo da non allontanarsi troppo dal punto di lavoro I0, V0. : = :S(t) RR+RS RDRD+RSprende il nome di coefficiente di amplificazione. Nota:SeilvalorediRnegativo,ilcoefficientediamplificazionepudiventareinmodulo maggiore di 1 ( necessaria cio una pendenza negativa della curva). Pi il valore di R (negativo) si avvicina al valore in modulo di RS, minore il segnale :S(t) che si puamplificare,inquantoilpuntodilavoroescedallazonaincuilacurvanonlineareelasua linearizzazione differiscono di poco. GD (RD) vS(t) RS :(t) GD ID vS(t) RS E 70 I0+:(t) E +:S(t) t v(t) Esempio: Vi sono tre linearizzazioni possibili (indicate con le linee tratteggiate rosse). Se la retta di carico (in blu) quasi coincidente con landamento della curva caratteristica (retta 1):RS -R Cisipupercispostaredipochissimosenzausciredallamplificazione(:S(t)deveessere piccolo), mentre se la retta molto diversa (retta 2) ci si pu spostare molto di pi (sono ammessi cio segnali :S(t) maggiori). Nota:Essendoildispositivostrettamentepassivoilvaloremassimoraggiungibiledalletensionial suo interno E +:S(t), si ha pertanto: 21V I 71 AmplificatoreOperazionale un dispositivo globalmente passivo. Vi sono cinque morsetti principali. Perfunzionare,E+deveesserecollegatoadunasorgenteditensionepositiva,mentreE-auna sorgente di tensione negativa. Di solito i generatori di tensione collegati ad E+ e ad E- si inseriscono allinterno delloperatore che diventa cos un dispositivo attivo. Ilmorsettodigroundnelsecondodisegnodellamplificatoreoperazionalesipuanche sottintendere. Graficamente il trasferimento Vd, VOUT il seguente: OUTIN- IN+ E-E+VdVOUT OUTIN- IN+ E- E+ OUTIN-IN+Vd VOUT ESA1- ESA1+ 72 Dovelazonacerchiatainbluprendeilnomedizonadisaturazioneedillegamenonlineare, mentre la zona cerchiata in rosso prende il nome di zona lineare ed a pendenza elevata. _IIN+= IIN-= uI001= (Id) Si pu interpretare come fosse un doppio bipolo. QuandoVdmoltopiccola,lamplificazioneelevata(larettamoltopendente),quandoVd grande lamplificazione minima. Se il guadagno dellamplificatore operazionale tende a , allora: Se vd= u (corto circuito virtuale) la tensione compresa tra ESAT- e ESAT+ SeESAT_- _loperazionalenonsaturamai(ideale)esiottienecheI1= u,I1= ueche I2,I2= quolunquc (si cio ottenuto il nullore). Nota: Il morsetto di terra si inserisce nel disegno per ricordarsi che la corrente di uscita prodotta dallealimentazioniinternealloperatoreamplificazionaleedquindisoddisfattalaleggedi Kirchhoff delle correnti. Sesiconsideraloperazionaleideale(senzasaturazione)laposizionedeisegni+esuimorsetti pu essere invertita senza alcun problema (la caratteristica cambia invece se presente il fenomeno della saturazione). Vd VOUT ESA1- ESA1+ 73 Esempio di Giratore realizzato con amplificatori operazionali e resistenze: Ilsimboloindicachelamplificatoreoperazionaleideale,senzasaturazione;mentreseil guadagno fosse stato finito si sarebbe indicato con il simbolo . Considerando tutti gli operazionali ideali, su tutti i morsetti di ingresso si ha V1. ConsiderandoinoltretutteleresistenzeugualiR1= R2= R3= R4= R,ilsecondoamplificatore operazionalehaunacorrenteparia V1Rnelramodireazioneeinuscitaunpotenzialeperciparia 2 v1. Di conseguenza nella resistenza R2 scorre una corrente pari a V1Re dunque: I2=V1R Si pu osservare che v1= R I2 la prima relazione del giratore. La seconda relazione del giratore si ricava facilmente osservando che la corrente I1 entra tutta in R1 e si ottiene:v2= -R I1 Se si inserisce tra i morsetti 2 un condensatore si ottiene un induttore integrato. QuesticircuitiprendonoilnomedifiltriRCattivioRC+op.amp.(attivipoichcontengono lamplificatore operazionale che a sua volta contiene i generatori di tensione delle alimentazioni). V1 2v1v1RR I1 v1RV1 V1 V1 V1 I1 I2 V1 V2 R RR R v1R I1 I2 V1 V2 R1 R2 R3 R4 74 Esercizio: Calcolare il valore massimo di VIN in modo che lOP-AMP funzioni in zona lineare I001= -IINR2R1 - I001IIN= -R2R1 R2 non pu essere tuttavia troppo grande in quanto vi il vincolo: ESA1-< I001< ESA1+ Ilvincolopuesseretrasferitosullatensionediingressodividendoloperilguadagno delloperazionale: ESA1-< IIN [-R2R1 < ESA1+ Supponendo ESA1+= ESA1-= ESA1, si ha la relazione di congruenza: |IIN|MAX< ESA1R1R2 Vi perci il limite dato dalla tensione di saturazione dellamplificatore operazionale. IINR2R1 VOUT IINR1 VIN VIN R1 R2 75 CircuitiDinamici I circuiti dinamici contengono condensatori e/o induttori. Un condensatore caratterizzato da (q, :) = u , dove q la carica accumulata e V la tensione. Sono possibili la formulazione serie: q = q(:) e la formulazione parallelo : = :(q) Se lineare corrispondono rispettivamente a:q = C :e: =1C q In forma differenziale: dqdt= i(t) Un induttore caratterizzato da (, i) = u , dove il flusso e i la corrente. Sono possibili due formulazioni: = (i)ei = i() Se lineare corrispondono rispettivamente a: = I iei =1L Se si considera il metodo STA bisogna aggiungere ai termini gi presenti: Sono state inserite le due nuove variabili q e . La dimensione della matrice pari a: 2 I +N -1 +clcmcnti rcotti:i Il tipo di equazioni contenute misto: algebriche (lineari e non lineari) e differenziali. iveq KCL (implicite) KVL: I -A1 c = u Leggi di Ohm (R) Leggi di Ohm (dinamiche) i v e q T e rm ini n o t iX= 76 Sesiconsideralanalisinodale(NA)sivuolechevisianoleespressioniparallelo equivalenti: Per il condensatore: i = C ddt Per linduttore: i =1L ]: Jt Il tipo di equazioni contenute misto: algebriche, differenziali ed integrali. Se si considera lanalisi nodale modificata (MNA) si ottiene: Per il condensatore: i = C dvdt Per linduttore: : = I ddt In quanto linduttore non ammette formulazione parallelo, si aggiunge la variabile iL. Il tipo di equazioni contenute misto: algebriche e differenziali. Ladimensionedellamatriceparia:N -1 +x,dovexilnumerodiinduttoriindipendenti presenti nel circuito. 77 MetododelleEquazionidiStato Questo metodo ha come variabili solo delle grandezze legate agli elementi dinamici, vi perci un insiemediNequazionidifferenzialidiprimoordineinformanormale,cheprendeilnomedi equazione di stato: x = (x(t), u(t)) Nota: La forma non normale la seguente: F(x (t), x(t), u(t)) = u Se x fosse un vettore si avrebbe: _x1= 1(x, u)x2= 2(x, u)xN= N(x, u) Ci sono situazioni in cui non tutte le grandezze legate ad elementi dinamici possono essere variabili di stato, si parla perci di candidate. Per il condensatore le variabili possibili sono: v o q Per linduttore le variabili possibili sono: i o Se il condensatore o linduttore sono lineari allora una variabile vale laltra. Se il condensatore o linduttore non sono lineari allora la scelta tra le due variabili dipende caso per caso. Considerandocondensatorieinduttorilinearisiconsideranopercomoditievcomecandidate variabili di stato. Affinch siano effettivamente variabili di stato devono valere due propriet: 1.Indipendenza Dinamica: tra le variabili di stato non vi deve essere alcun legame algebrico, deve cio essere possibile assegnare arbitrariamente le condizioni iniziali 2.CompletezzaDinamica: ogni altra variabile si deve poter ottenere dalle variabili di stato (e dagli ingressi) con legami algebrici Accanto allequazione di stato vi perci la seguente equazione che prende il nome di equazione di uscita: y(t) = g(x(t), u(t)) Dove x(t) sono le variabili di stato, mentre u(t) sono gli ingressi. 78 Nel caso di elementi lineari si ha: _x (t) = A x(t) +B u(t)y(t) = C x(t) + u(t) x(t) e x (t) hanno dimensione |N, 1], A ha dimensione |N, N]. Se gli ingressi sono R, u(t) ha dimensione |R, 1] e B ha dimensione |N, R]. Se le uscite y(t) sono S, C deve aver dimensione |S, N] e deve essere |S, R]. Nel caso R = S = 1 il sistema SISO (Single Input, Single Output). Il sistema a volte si pu trovare anche scritto nel seguente modo: _x (t) = F x(t) +0 u(t)y(t) = E x(t) In questo caso le uscite non hanno la dipendenza diretta dagli ingressi. Il motivo per cui nella teoria dei circuiti compare u(t) dovuto al fatto che si utilizzano strumenti gi modellati (condensatori ed induttori). Ilsecondosistemaagiscecomefiltropassa-bassoerispettadipialcunifenomenifisici.Tuttavia nellanalisi delle reti i condensatori e gli induttori sono modellati in maniera non fisica ed inoltre vi una risposta istantanea fisicamente impossibile. Per questo necessaria la presenza di u(t) che consideralapresenzadielementinondinamici.Avolteanchepresenteilterminedelladerivata dellingresso. 79 DegenerazioniTopologicheeParametriche I tipi di legame possono essere topologici o parametrici. Iprimidipendonodallastrutturadelcollegamento,mentreisecondidaivaloriassuntidagli elementi. Il fenomeno di degenerazione, che consiste nel passaggio dal legame differenziale ad uno algebrico, puesserepurosecoinvolgesoloelementidinamici,ibridosecoinvolgeanchegeneratori indipendenti. Si esaminano i casi principali di degenerazione: Magliedisolicondensatori un esempio di degenerazione topologica pura. I1+I2+I3= u Vi un legame algebrico tra le tre tensioni e perci al massimo due di esse possono essere variabili di stato per la propriet di indipendenza dinamica. Magliedicondensatoriegeneratoriditensione un esempio di degenerazione topologica ibrida. I1+I2+I3+IS= u Viunlegamealgebricotralequattrotensioniepercialmassimoduetraletretensionidei condensatori possono essere variabili di stato per la propriet di indipendenza dinamica. CC C V3 V1 V2 VS CC C V3 V1 V2 80 Insiemeditagliodisuperficichiusediinduttori un esempio di degenerazione topologica pura. I1+I2+I3= u Viunlegamealgebricotraletrecorrentientrantinelnodocentraleepercialmassimoduedi esse possono essere variabili di stato per la propriet di indipendenza dinamica. Insiemeditagliodisuperficichiusediinduttoriegeneratoridicorrente un esempio di degenerazione topologica ibrida. I1+I2+I3+IS= u Viunlegamealgebricotralequattrocorrentiepercialmassimoduetraletrecorrentidegli induttori possono essere variabili di stato per la propriet di indipendenza dinamica. Il numero di equazioni di stato perci pari a: N = NLC-Ndcg.top. Questo vale se vi sono solo R, I, Ce generatori non pilotati. I3 I2 I1 LLLISI3 I2 I1 LLL81 Esempididegenerazioniparametriche 1. Se |R1| = |R2| vi di nuovo la maglia di condensatori. 2. _I1= gm1 I2I2= gm2 I1 un giratore, ma perci linduttore L visto come un condensatore e si ha una maglia. Ledegenerazioniparametrichenonsonoimmediatamentevisibili,macompaionosoloquandosi fanno i conti con le variabili candidate. -R2R1CC C LV2 V1 C 82 TeoremadiSostituzione Supponendo non vi siano degenerazioni, le variabili di stato sono x, dove si hanno le tensioni per i condensatori e le correnti per gli induttori. Allinterno del rettangolo sono presenti solo elementi resistivi e generatori. Si utilizza la convenzione degli utilizzatori: Vettore delle variabili di stato: x =lllllIC1IC2IL1IL211111 Leggi di Ohm: `1111C1 I

C1= -IC1C2 I

C2= -IC2I1 I

L1= -IL1I2 I

L2= -IL2 Si pu usare il Teorema di Sostituzione: se un circuito ha una e una sola soluzione si pu sostituire ogni elemento con una tensione ai suoi capi V con un generatore di tensione pari a V. Se alla fine vi sempre una e una sola soluzione, allora i due circuiti sono equivalenti. Esempio: IL2 IL1 IC2 IC1 RI(t)IS(t) L C RRR I(t)IS(t)L CR 83 Si sostituiscono perci a induttori e condensatori i rispettivi generatori di tensione e corrente: Le variabili di stato sono perci i nuovi generatori inseriti, mentre gli ingressi sono i generatori pre-esistenti. Esempi di applicazione del Teorema di Sostituzione su circuiti non degeneri 1. _I

C= -1C ICI

L= -1I IL Per il Teorema di Sostituzione: _I

C= -1C IC= -1C _ICR-iS(t) -IL_I

L= -1I IL= -1I IC

ICIL RiS(t)ICIL LCRIL RiS(t)IC R R IL2 IL1 IC2 IC1 IL2 IL1IC2 IC1 84 Si ottiene perci la seguente equazione di stato: _I

CI

L_ = _-1RC1C-1Lu_ _ICIL_ +_1Cu_ |iS]

x= A x+B u Se si considera come uscita la corrente nel resistore: y = IR=vCR Si ottiene la seguente equazione di uscita: |y] = j1Ru[ _ICIL_ +|u] |iS] y=C x + u 2.Siconsideriuncircuitodoveglielementidinamicisonostatimessiinevidenzanelseguente modo (due condensatori e un induttore): SiapplichiilTeoremadiSostituzione,mettendoungeneratoreditensionealpostodiogni condensatore e un generatore di corrente al posto dellinduttore: Se si suppone che non vi siano degenerazioni strutturali topologiche o parametriche, il circuito che ne risulta puramente passivo e ammette una ed una sola soluzione. Resistorie Generatori IResistorie Generatori VCVC85 Sesiscriveillegamecostitutivodeglielementidinamiciusandolaconvenzionedegliutilizzatori sui bipoli si ottiene: _C1 v

C1= IC1= f1(vC1, vC2, IL, u)C2 v

C2= IC2= f2(vC1, vC2, IL, u)L I

L= vL= f3(vC1, vC2, IL, u) Le variabili complementari (che non sono variabili di stato per lelemento dinamico) possono essere espresse in funzione di tutti i generatori che ci sono nel circuito e si ha perci la dipendenza di f() oltre che dalle variabili di stato anche dai generatori eventualmente presenti (u). Esempi di applicazione del Teorema di Sostituzione su circuiti degeneri 1.Teorema di Sostituzione applicato ad una maglia di condensatori: 2.Considerando ora lo stesso tipo di degenerazione strutturale topologica inserita allinterno di un circuito: Si esamina prima il caso in cui non vi siano generatori di tensione nella maglia, ovvero, il caso in cui la degenerazione sia pura (o omogenea).Essendovi una evidente degenerazione topologica non sipossonousarecontemporaneamentevC1,vC2evC3comevariabilidistato,inquantonon rispettatalaproprietdiindipendenzadinamica(nonsipossonoassegnarearbitrariamentele condizioni iniziali). Bisogna perci togliere una delle tre tensioni dalle candidate variabili di stato. IS C C C C CCvC2 vC1 vC3 R3RR186 Se si elimina vC3 dalle candidate variabili di stato, cio non si sostituisce al condensatore C3 un altro generatore di tensione evitando cos di formare una maglia di soli generatori di tensione e avere di conseguenzainfinitesoluzioni,siapplicailteoremadisostituzioneinserendoungeneratoredi corrente: _C1 v

C1= IC1= f1(vC1, vC2, IC3, IS )C2 v

C2= IC2=f2() DovevC1 e vC2sonolevariabilidistato,IC1 eIC2sonoduevariabiliinuncircuitopuramente resistivo e lequazione della degenerazione permette di trovare IC3: vC3=-vC1-vC2

Si deriva rispetto al tempo e si moltiplica per C3: C3 v

C3= -(v

C1+v

C2) C3=IC3= f2(vC1, vC2, v

C1, v

C2, IS) Siottenutounsistemadidueequazioni in due incognite del primo ordine differenziale lineare a coefficienti costanti. Infine,affinchsiainformanormale,bisognaspostaretuttelevariabiliconladerivataasinistra della funzione, cio bisogna passare alla seguente formulazione: _v

C1= v

C2= Perfarcibisognaconsiderarlocomesefosseunsistemainformaimplicitaedesplicitarloin funzione di vC1 e vC2 Il risultato finora ottenuto valido quando ci sono degenerazioni strutturali topologiche omogenee pure, cio maglie di condensatori o insiemi di taglio di induttori senza generatori indipendenti. IC1 vC2vC1RIS IC3 R3R1IC287 Siconsideraorailcasoincuiladegenerazionetopologicasiaibrida(nonpura/nonomogenea), cioquandovisianomagliedicondensatorichecontenganoanchegeneratoriindipendentidi tensione: Scrivendo sempre lequazione della degenerazione: vC3=-vC1-vC2+vS Effettuandoquindilasostituzioneimmaginandodifarusciredallinsiemedellevariabilidistato vC3, si scrivono le due equazioni dinamiche: _C1 v

C1= IC1= f1(vC1, vC2, IC3, IS, vS)C2 v

C2= IC2= f2(vC1, vC2, IC3, IS, vS) Si deriva rispetto al tempo e si moltiplica per C3 lequazione della degenerazione: C3 v

C3= (-v

C1-v

C2+v

S) C3=IC3 Sipuosservare,chefacendoilgeneratorepartedellegamealgebriconellequazionedella degenerazione, quando si deriva questultima per eliminare una delle candidate variabili di stato si deriva anche il termine noto. Sostituendo quindi IC3: _C1 v

C1= IC1= f1(vC1, vC2, v

C1, v

C2, IS, vS, v

S)C2 v

C2= IC2= f2(vC1, vC2, v

C1, v

C2, IS, vS, v

S) necessaria unelaborazione per scriverlo in forma normale. Una volta scritto in forma normale: x (t) = A x(t) +B u(t) +B

u (t) C CC VCVC1 VC3 IS R3RR188 Viperciladipendenzadallostatotramitelamatrice A,dalterminenototramitelamatrice Be dalla derivata dal termine noto tramite la matrice B

. Questultimo contributo causato dal fatto che si utilizzano modelli pre-costruiti per rappresentare condensatori ed induttanze. Per luscita si ha: y(t) = C x(t) +B u(t) + Inconclusionesipuosservareche,nelleequazionidistatonelcasodidegenerazionistrutturali non omogenee (o ibride) che contengono anche generatori, viene fuori la derivata dellingresso. Commento: La derivata dellingresso in termini di funzione di trasferimento significa moltiplicare per s, dove s loperatore derivata. Considerando ad esempio il legame tensione/corrente in un induttore, viene fuori un termine legato alla derivata dellingresso: v(t) = L uI(t)utv(s) = s L I(s)Z(s) =s L IlsistemadescrittodaequazionidistatoincuisianopresentilematriciA B C BconB = usi chiamaimproprio,mentreconB = usichiamaproprio(questodovutoalfattocheil denominatore della funzione di trasferimento risulta di grado maggiore del numeratore). 89 SoluzionidelleEquazionidiStato _x (t) = A x(t) +B u(t)x(t0) = x0

un problema di Cauchy e la soluzione ha la seguente forma: x(t) = cA(t-t0) x0+_ cA(t-1) B u() Jtt0 Dove cA(t-t0) prende il nome di Matrice di Transizione, il cui calcolo pu essere effettuato in vari modi, ad esempio con lo sviluppo in serie dellesponenziale: cx= 1 +x +x22!+x3S!+ Il primo termine, cA(t-t0) x0 , dipende solo dalle condizioni iniziali e prende il nome di risposta ad ingressi nulli. Il secondo termine, ] cA(t-1) B u() Jtt0 , lintegrale di convoluzione tra la matrice di transizione e gli ingressi, dipende solo dagli ingressi e prende il nome di risposta con condizioni iniziali nulle. x(t) prende il nome di movimento e sono necessari N +1 assi per rappresentarlo dove N lordine della funzione. Esempio: Si chiama traiettoria la proiezione del movimento nello spazio di stato, cio nello spazio a N dimensioni. x2 t x t x1 N = 1N = 290 Nel caso a 3 dimensioni la traiettoria viene proiettata sul piano x1/x2 che prende il nome di spazio di stato o di fase: Un circuito si definisce autonomo se u(t) = u o costante, sono perci ammessi generatori di corrente e tensione costanti. Linsieme di traiettorie per diverse condizioni iniziali prende il nome di ritratto di fase: Si definisce Punto di Equilibrio ogni punto del piano di stato per cui valga x = u In un circuito autonomo: x (t) = A x(t) +B 0 Se 0 = u : x (t) = A x(t) e i punti di equilibrio soddisfano la relazione A x(t) = u Se Jct|A| = u : x(t) = u punto di equilibrio unico Se 0 = costante = u : i punti di equilibrio soddisfano la relazione x = -A-1 B 0 Se Jct|A| = u : vi sempre un unico punto di equilibrio che tuttavia localizzato fuori dallorigine degli assi e che vi pu essere riportato tramite un cambiamento di variabile. Esempio: x01 x02 x1 x2 x1 x2 x20 x10 x2 x1 91 Considerando le variabili: _x1= x1-x10x2= x2-x20 Si ottiene: Se Jct|A| = u : x ha infinite soluzioni e il numero di infinit dato dalla differenza tra il rango massimo e il rango di A. Esempio: Se N = 2 e il rango di A uguale a 1 esistono 1 soluzioni. Se N = 2 e il rango di A uguale a 0 esistono 2 soluzioni. Esempio di rango 0: _C1 I

1= uC2 I

2= uA = ju uu u[ Il circuito del secondo ordine (N = 2), il rango di A uguale a 0 e perci tutti i punti sono punti di equilibrio. x2 x1 V2 C2 C1 V1 92 Esempio di rango 1: Si suppongono: _I1(u) = I0I2(u) = u In quanto si ha che: I1= -I2=I2-I1R Si ottengono: _I

1= -I1R C+I2R CI

2=I1R C-I2R C

A = _-1R C1R C1R C-1R C_ La matrice risulta essere singolare ed ha rango 1. I punti di equilibrio sono dati da una retta: La bisettrice del primo/terzo quadrante , in questo caso, linsieme dei punti di equilibrio. A partire da una qualunque condizione iniziale i punti tenderanno ad andare sulla retta. Si pu infine osservare che se il circuito lineare si possono avere uno, nessuno o infiniti punti di equilibrio, mentre in un circuito dinamico non lineare i punti di equilibrio possono essere un numero qualsiasi. I2I1 RV2 C2 C1 V1 V2V193 CircuitiLineari CircuitiLinearidelIoOrdine I circuiti del primo ordine sono quelli con un solo elemento reattivo o con pi elementi che sono tuttavia degenerati a una sola equazione. Si pu osservare che, mentre la forma dellequazione del primo ordine equivalente alla forma dellequazione di stato, per il secondo ordine questo non pi vero: Primo ordine: x +z x = (t)x = o x +(t)

- equazione uel piimo oiuine - foima uelliequazione ui stato Secondo ordine: x +2 z x +0 x = (t)_x1= o11 x1+o12 x2+u1x2= o21 x1+o22 x2+u2

- equazione uel seconuo oiuine- foima uelliequazioni ui stato Per un circuito del primo ordine si pu sempre fare un equivalente Thevenin o Norton: IC+IR= IS(t)I

C+ICR C=IS(t)C Chiamando IC= x e R C = , si ottiene la forma: x +x:= (t) I

L+IL0 I=IS(t)I Chiamando IS= x e 0 I = , si ottiene la forma: x +x:= (t) ICIR IS(t)R C RL 94 Bisogna quindi considerare la condizione iniziale: x(t0) = x0 (si pone t0 uguale a 0 per semplicit). La soluzione si ottiene scrivendo il polinomio caratteristico: z +1= u - z = -1 x(t) = k c-t:+xP Doveksideterminadallecondizioniiniziali, lacostanteditempo,z = -1:lafrequenza naturale ed xP un integrale particolare che soddisfa lequazione e dipende dal termine noto, cio dal generatore indipendente (molte volte ha la stessa forma del termine noto, ma non, ad esempio, se si ha unonda quadra). interessante studiare i circuiti autonomi, nei quali il termine noto costante: se nullo, il punto di equilibrio lorigine, altrimenti vi una semplice traslazione dassi nel piano di stato. Per semplicit si pone il termine noto uguale a 0 e perci xP= u (risposta libera del sistema): x(t) = X0 c-t: Il punto di equilibrio x = u, infatti: x +x:= u-x = u- x:= uSe > u (z < u): Un punto di equilibrio si definisce stabile se allontanandosi di poco le traiettorie non divergono. Unpuntodiequilibriosidefinisceasintoticamentestabileseperunqualsiasispostamentole traiettorie tendono a tornare nel punto di equilibrio. Se < u (z > u): Ritratto di Fase Punto di Equilibrio Instabile traiettorie t x x0I x0II x0III x0Iv Punto di Equilibrio Asintoticamente Stabiletraiettorie t x x0I x0II x0III x0Iv Ritratto di Fase 95 Esempio: Siconsideriuncondensatoreconentrambiimorsettiaperti,essohaz = uedstabile,manon asintoticamente stabile in quanto il suo punto di equilibrio indifferente. Esempio: Asintoticamente Stabile IndifferenteInstabile Quando il termine noto non zero ma costante, x(t) si scrive: x(t) = |x(u) -x()] c-t:+x() Dove x() il valore del punto di equilibrio a cui tende la soluzione e dipende dal generatore IS: Si pu osservare che vi solo una traslazione dassi. Se < u,x()prendeilnomedipuntodiequilibriovirtualeeconsistenelpuntoacuisiarriva percorrendo lasse dei tempi allindietro (-). , di conseguenza, il punto da cui provengono tutte le traiettorie. Unaltraosservazionechelecurveper > u(stabile)eper < u(instabile)sonolestessema ribaltate rispetto allasse delle ordinate. Se si vuole trovare x(t) a partire da t immediato: x(t) = |x(u) -x()] c-t:+x() IS Se > u IS R C I= IS t V t x() t

x(t )xx0 96 Se si vuole invece trovare t

a partire da x(t ): x(t ) -x() = |x(u) -x()] c-t

: -t

= ln _x(t ) -x()x(u) -x()_ Si ottiene: t

= - ln _x(t ) -x()x(u) -x()_ Questoapplicabileancheacircuiti non lineari la cui componente resistiva esprimibile con una curva lineare a tratti (spezzata) e la componente dinamica lineare. Esempio: Diodo Tunnel V I 97 CircuitiLinearidelIIoOrdine Icircuitilinearidelsecondoordinepossonoesseredescrittiinmodoequivalentedaunadelledue seguenti forme: _x (t) = A x(t) +B 0x(u) = x0 _x +2 o x +02 x = (t)x(u) = x0x (u) = x0 Nota:Lecondizioniinizialinellasecondaespressionedevonoarrivarefinoalladerivatadiordine pari allordine N della funzione meno 1. Esempio: Studio del comportamento del circuito risonante RLC Si scrive la Legge di Kirchhoff per le correnti: IR+IC+IL= IS(t) ICR+C I

C+IL= IS(t) Si ottiene: IR I

L+C I I

L+IL= IS(t) Ponendo 1RC= 2 oe 1LC= 02 si ottiene: I

+2 o I

+02 I = (t) Si possono scrivere in alternativa le due equazioni di stato: _I

C=ICC= -ICR C-ILC+ISCI

L=ICI IS(t) IR IC IL R C L 98 In forma matriciale: _I

CI

L_ = _-1R C-1C1Iu_ _ICIL_ +_1Cu_ IS La traccia della matrice pari a: tr(A) = -1RC= -2 o e prende il nome di smorzamento. Ildeterminantedellamatriceparia:Jct|A| =1LC= 02eprendeilnomedipulsazionedi risonanza. Si pu quindi riscrivere la funzione come: x -tr(A) x +Jct|A| x = (t) Si consideri ora il comportamento libero: x(u) = x0 costontc = u Si scrive il polinomio caratteristico: X(z) = z2+2 o z +02= u cquozionc sccolorc Le soluzioni 1 e 2 si chiamano frequenze naturali, naturali poich descrivono il comportamento in assenza di generatori, libero. La soluzione per z1= z2 : x(t) = K1 cx1t+K2 cx2t Ingenerale,selefrequenzenaturalisonodistinte,lasoluzionesipusemprescriverecome sommatoria di esponenziali: se lordine N si hanno N esponenziali. R C LV