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A. Bossi e P. Malcovati, Misure Elettriche 1

Indice

1. Concetti Generali

1.1. Scopo di una Misurazione .......................................................................................... 5

1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura ................................................................ 6

1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati ............................. 9

1.4. Alcune Nozioni di Statistica ..................................................................................... 10

1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura .................................. 22

1.6. Incertezza Composta ................................................................................................ 27

2. Campioni di Laboratorio

2.1. Generalità ................................................................................................................ 41

2.2. Campioni di Forza Elettromotrice ........................................................................... 41

2.3. Sorgenti di Tensione Campione ............................................................................... 43

2.4. Campioni di Resistenza ............................................................................................ 45

2.5. Campioni di Capacità .............................................................................................. 47

2.6. Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza ........................................................... 51

2.7. Campioni di Tempo .................................................................................................. 53

3. Catene di Misura e Funzioni di Trasferimento

3.1. Generalità ................................................................................................................ 57

3.2. Richiami sulla Trasformata di Laplace.................................................................... 58

3.3. Funzione di Trasferimento ....................................................................................... 61

3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace ................................................... 65

3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale ....................................................... 66


4. Strumenti Analogici

4.1. Generalità ................................................................................................................ 73

4.2. Classe di Precisione ................................................................................................. 74

4.3. Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio................ 75

4.4. Strumenti Magnetoelettrici....................................................................................... 77

4.5. Strumenti Logometrici.............................................................................................. 79

4.6. Strumenti a Conversione Elettromagnetica ............................................................. 81

4.7. Strumenti a Conversione Elettrodinamica ............................................................... 83

4.8. Strumenti ad Induzione ............................................................................................ 88

4.9. Contatori ad Induzione ............................................................................................ 91

4.10. Effetti dell’Inserzione degli Strumenti: Autoconsumi .............................................. 97

5. Metodi di Ponte

5.1. Generalità .............................................................................................................. 103

5.2. Ponte di Wheatstone............................................................................................... 103

5.3. Ponte di Wheatstone a Filo .................................................................................... 105

5.4. Doppio Ponte di Thomson...................................................................................... 106

5.5. Ponte di Kohlrausch............................................................................................... 108

5.6. Metodi di Ponte in Corrente Alternata .................................................................. 109


6. Misure Industriali con Strumenti Analogici

6.1. Generalità .............................................................................................................. 121

6.2. Misure in Corrente Continua ................................................................................. 121

6.3. Misura di Tensioni Alternate ................................................................................. 128

6.4. Misura di Correnti Alternate ................................................................................. 130

6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale.................. 131

6.6. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale........... 135

6.7. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale .............. 136

6.8. Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale ......... 137

6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale .................... 137

6.10. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale ............. 142

6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale................. 142

6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime Non-Sinusoidale ...................... 146

6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime Non-Sinusoidale .............. 149

6.14. Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo Induttivo ................................ 151

6.15. Alcune Misure Particolari...................................................................................... 158

7. Strumenti Digitali

7.1. Generalità .............................................................................................................. 163

7.2. Multimetri............................................................................................................... 164

7.3. Wattmetri................................................................................................................ 166

7.4. Strumenti per Misure di Frequenza e Intervalli di Tempo..................................... 167

7.5. Incertezza di Misura in Strumenti Digitali............................................................. 171

8. Moduli Elettronici Analogici

8.1. Generalità .............................................................................................................. 173

8.2. Amplificatori .......................................................................................................... 173

8.3. Amplificatori Operazionali .................................................................................... 175

8.4. Generatori di Tensione a Dente di Sega ................................................................ 176

8.5. Alcuni Moduli Analogici ........................................................................................ 177

8.6. Convertitori AC/DC ............................................................................................... 184


9. Conversione Analogico/Digitale

9.1. Generalità .............................................................................................................. 189

9.2. Codici Binari .......................................................................................................... 189

9.3. Campionamento e Quantizzazione ......................................................................... 192

9.4. Conversione A/D .................................................................................................... 194

10. Misure Automatiche con Software

11. Trasformatori di Misura

11.1. Generalità .............................................................................................................. 219

11.2. Trasformatori di Corrente...................................................................................... 220

11.3. Trasformatori di Tensione Induttivi ....................................................................... 229

11.4. Curve di Errore di TA e TVI Interpretate con il Diagramma di Moellinger ......... 237

11.5. Trasformatori di Misura Combinati....................................................................... 238

11.6. Trasformatori di Tensione Capacitivi .................................................................... 239

12. Sensori e Trasduttori

12.1. Generalità .............................................................................................................. 245

12.2. Sensori Attivi .......................................................................................................... 245

12.3. Sensori Passivi ....................................................................................................... 250

13. Oscilloscopi

13.1. Generalità .............................................................................................................. 261

13.2. Tubo a Raggi Catodici ........................................................................................... 262

13.3. Base dei Tempi ....................................................................................................... 265

13.4. Canale Verticale (Y)............................................................................................... 272

13.5. Canale Orizzontale (X) .......................................................................................... 277

13.6. Oscilloscopio Digitale............................................................................................ 277

13.7. Probe ...................................................................................................................... 279

13.8. Taratura di un Oscilloscopio ................................................................................. 282

1.1. Scopo di una Misurazione


1. Concetti Generali

1.1. Scopo di una Misurazione

Scopo di una misurazione è la determinazione della miglior stima del valore della grandezzada misurare e della incertezza di cui la misurazione stessa è affetta.Con una misurazione si stabilisce il rapporto tra una grandezza fisica (il misurando) e una

grandezza di riferimento, con essa omogenea, assunta come unità di misura.

In senso generale, misurare significa stabilire il rapporto fra la grandezza in esame e la sua unitàdi misura, cioè fra una grandezza e una quantità di riferimento con essa omogenea, (lunghezzaparagonata a lunghezza, resistenza elettrica a resistenza elettrica, ecc.). Come verrà precisato inseguito, una misurazione può riguardare un solo misurando, ovvero più misurandi per cui essapuò risultare più o meno complessa.

Per esprimere il valore di una grandezza fisica ci si serve di due simboli: un numero e una let-tera. La lettera rappresenta il simbolo dell’unità di misura scelta, mentre il numero dice quantopiù grande o più piccola della quantità definita come unità è la grandezza in esame. Ad esempio,l’unità di misura della lunghezza è il metro, che si indica con la lettera “m”: scrivere 8 m signi-fica indicare una lunghezza pari a otto volte l’unità di misura.

L’insieme delle unità di misura costituisce un sistema di misura, per definire compiutamente ilquale si devono distinguere le unità di misura assolute da quelle derivate.

Scelte le unità assolute, tra loro indipendenti, quelle derivate risultano implicitamente definite.

Le diverse unità di misura necessarie per le diverse grandezze (lunghezza, resistenza elettrica,tempo, volume, pressione, ecc.) formano un sistema di unità di misura. In un sistema di unità dimisura vengono assunte come assolute o fondamentali alcune grandezze, indipendenti tra loroe nel numero più piccolo possibile, definendone le unità di misura. Tutte le altre unità di misuradel sistema, che vengono dette unità derivate, si ricavano dalle fondamentali. Per fare un esem-pio, la lunghezza L è una grandezza fondamentale, mentre un’area, essendo il prodotto di duelunghezze (L

×

L = L

2

), rappresenta una grandezza derivata.

1 Concetti Generali


1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura

Il Sistema Internazionale di unità di misura (SI) è costituito dall’insieme delle unità di misuradelle grandezze assunte come fondamentali. Il Sistema SI si basa su 7 grandezze fondamentali:lunghezza, massa, tempo, intensità di corrente elettrica, temperatura termodinamica, intensità

luminosa, quantità di materia e due supplementari, angolo piano e angolo solido.

Il sistema assoluto attualmente in vigore è il Sistema Internazionale (indicato con la sigla SI).Esso è basato su sette grandezze fondamentali e due supplementari, precisamente: lunghezza,massa, intervallo di tempo, intensità di corrente elettrica, intervallo di temperatura, intensitàluminosa, quantità di materia e, come supplementari, angolo piano e angolo solido.

La Tabella 1.1 riporta le grandezze SI fondamentali, supplementari e le principali grandezzederivate, con il nome e il simbolo della loro unità. Le unità del Sistema SI sono unità legali, nelnostro Paese, in forza del Decreto del Presidente della Repubblica n. 802 del 12.08.1982, ema-nato in attuazione della Direttiva n. 80/181 della Comunità Economica Europea (CEE) di cuil’Italia è parte. L’impiego di unità di misura di vecchi sistemi non è pertanto corretto e deveperciò essere abbandonato.

GrandezzaUnità SI

Nome dell’Unità Simbolo dell’Unità

Fondamentali

Lunghezza metro m

Massa kilogrammo kg

Intervallo di tempo secondo s

Corrente elettrica ampere A

Intervallo di temperatura kelvin K

Intensità luminosa candela cd

Quantità di sostanza mole mol

Supplementari

Angolo piano radiante rad

Angolo solido steradiante st

Derivate

Frequenza hertz Hz

Forza newton N

Pressione, tensione meccanica pascal Pa

Tab. 1.1 Grandezze fondamentali, supplementari e derivate con le relative unità di misura

1.2. Sistema Internazionale di Unità di Misura


Nell’Appendice A sono riportate le definizioni delle grandezze fondamentali e in modo ancorapiù dettagliato, le grandezze del Sistema SI, unitamente alle loro unità di misura. Sono stateinoltre riportate le unità di misura che, pur non comprese dal Sistema SI, sono ammesse o tran-sitoriamente tollerate.

Le unità di misura si possono esprimere, per praticità, in multipli e sottomultipli che variano

secondo le potenze positive o negative di 10.

L’uso delle sole unità di misura SI non risulta sempre pratico per cui è necessario l’impiego dimultipli e sottomultipli decimali formati mediante i prefissi indicati in Tabella 1.2.

Il prefisso unito al simbolo dell’unità di misura forma il simbolo del multiplo o sottomultiplo diquella unità, esso può essere elevato ad una potenza positiva o negativa e combinato con i sim-boli di altre unità di misura. Ad esempio:

(1.1)

Per esprimere il valore numerico di una grandezza è consigliabile l’uso dei multipli e sottomul-tipli in modo che il valore numerico stesso risulti compreso tra 0,1 e 1000. Per esempio, con-viene scrivere 6.25 mm oppure 6.25

×

10

–3

m invece di 0.00625 m. I prefissi hanno anche unnome e un simbolo così come indicato in Tabella 1.2.

Lavoro, energia, quantità di calore joule J

Potenza watt W

Carica elettrica coulomb C

Potenziale elettrico, tensione elettrica,forza elettromotrice

volt V

Capacità elettrica farad F

Resistenza elettrica ohm

Ω

Conduttanza elettrica siemens S

Flusso di induzione magnetica weber Wb

Induzione magnetica tesla T

Induttanza propria, induttanza mutua henry H

Flusso luminoso lumen lm

Illuminamento lux lx

GrandezzaUnità SI

Nome dell’Unità Simbolo dell’Unità

Tab. 1.1 Grandezze fondamentali, supplementari e derivate con le relative unità di misura

1mm2 10 6– m2= 1kV 103V= 1mm s⁄ 10 3– m s⁄=

1 Concetti Generali


Le unità di misura vengono scritte per esteso e in minuscolo. L’uso dei simboli è ammesso solo

quando esse sono precedute da un valore numerico.

Per la grafia sono valide le seguenti regole:

• i nomi delle unità di misura devono essere scritti con caratteri minuscoli, compresa la letterainiziale, e senza punto finale (ad esempio volt e non Volt). Quando derivano da nome propriorestano invariati al plurale;

• l’unità di misura, quando accompagna il relativo valore numerico, è espressa in generemediante il suo simbolo che deve essere scritto dopo il valore numerico senza punto finale;

• l’uso dei simboli è ammesso solo quando essi sono preceduti da valore numerico; diversa-mente si deve scrivere il nome dell’unità di misura per esteso;

Fattore di MoltiplicazionePrefisso

Nome Simbolo

10

18

exa E

10

15

peta P

10

12

tera T

10

9

giga G

10

6

mega M

10

3

kilo k

10

2

etto h

10

1

deca da

10

–1

deci d

10

–2

centi c

10

–3

milli m

10

–6

micro

µ

10

–9

nano n

10

–12

pico p

10

–15

femto f

10

–18

atto a

Tab. 1.2 Multipli e sottomultipli decimali

1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati


• il simbolo dei multipli e sottomultipli di una unità si scrive facendo precedere il prefisso alsimbolo dell’unità senza interporre un punto o uno spazio. Viceversa il simbolo delle unitàderivate, prodotto di due o più unità, deve essere scritto interponendo, tra i simboli delle unitàcomponenti, il punto di moltiplicazione o uno spazio, ad esempio:

(1.2)

• qualora l’unità derivi dal quoziente di due altre unità, il simbolo è formato interponendo fra ilsimbolo a numeratore e quello a denominatore un tratto obliquo o la riga di frazione o usandogli esponenti negativi. Ad esempio:

(1.3)

1.3. Impostazione di una Misurazione e Interpretazione dei Risultati

Per effettuare una misurazione deve essere individuato il misurando e scelto il metodo di

misura da utilizzare.

Il misurando è la specifica quantità oggetto di misurazione (ad esempio, la resistenza elettricadi un conduttore a 20 ˚C). Quando si specifica un misurando può essere necessario includereriferimenti ad altre quantità, quali tempo, temperatura, pressione, ecc. L’obiettivo della misura-zione è quello di determinarne una stima del valore nel modo più appropriato.

La scelta del metodo di misura, che può essere fatta dall’operatore o stabilita da una norma, èdi fondamentale importanza. Si tenga presente che anche dovendo operare sullo stesso tipo dimisurando (ad esempio, una potenza elettrica, una temperatura, ecc.) le sue specifiche caratte-ristiche possono imporre l’uso di un metodo ed escluderne altri. In una misura elettrica, unmetodo può differire da un altro per le caratteristiche del circuito realizzato e per gli strumentiimpiegati.

Il risultato di una misurazione deve essere interpretato in quanto esso può fornire solo una

stima del “valore vero” del misurando.

Il risultato di una misurazione deve essere interpretato in quanto generalmente esso si discostadal “valore vero” del misurando per ragioni legate al metodo e agli strumenti usati, nonché allecondizioni in cui la misura viene effettuata.

È innanzitutto da osservare che il termine di “valore vero” deve essere considerato in senso lato,in quanto si deve ammettere che, essendo la sua determinazione comunque ottenuta da unamisurazione, esso è in realtà sempre incognito. Il ricorso ad un metodo e a strumenti di caratte-

Nm N m⋅

m s2⁄ ms2---- m s 2–⋅

1 Concetti Generali


ristiche misuristiche più pregiate può consentire di ottenere risultati migliori di quelli forniti daun sistema più scadente, ma l’approccio al problema non cambia.

Nella interpretazione dei risultati di una misurazione si deve tenere presente che gli scartirispetto al “valore vero” dipendono

• da

errori grossolani

commessi dall’operatore, per esempio nella lettura di uno strumento onella sua errata inserzione, ecc.;

• da

scarti di segno costante

che se noti o determinabili mediante un processo logico vengonodefiniti errori sistematici;

• da

eventi casuali

quali l’interpretazione delle indicazioni di uno strumento a indice, l’effettodella temperatura, la presenza di disturbi non individuabili, ecc.

Gli errori grossolani sono in generale di ampiezza tale da essere facilmente riconoscibili.Quando si opera su un solo misurando, il rischio di errori grossolani può essere praticamenteeliminato effettuando misure ripetute, ricorrendo eventualmente a operatori diversi. Per quantoriguarda gli errori sistematici noti o determinabili, si può dire che essi sono generalmente legatial metodo e agli strumenti usati e molte volte possono essere corretti. Una volta ripuliti i risultatidagli eventuali errori grossolani e sistematici, si deve passare alla valutazione degli effetti deglieventi casuali alla quale sono dedicati i prossimi paragrafi.

1.4. Alcune Nozioni di Statistica

I modelli di distribuzione statistica disponibili sono diversi. Le distribuzioni normale (o di

Gauss) e la distribuzione t di Student sono quelle più utilizzate nel campo delle prove elettriche.

Tra le diverse distribuzioni statistiche, alcune si prestano meglio di altre all’interpretazione deidati di prova. La scelta della distribuzione che meglio interpreta i risultati può essere fatta inbase all’esperienza già acquisita o attraverso una verifica sperimentale.

La distribuzione normale (o di Gauss) è adatta per interpretare i risultati di prove non distruttiveripetute sullo stesso oggetto o quelli di prove effettuate con le stesse modalità su campioni dellestesse caratteristiche. Questo modello, che ha vastissima utilizzazione, viene sovente accettatoconvenzionalmente anche quando la distribuzione dei dati è proprio normale. La distribuzione

t

di Student, invece è particolarmente adatta a quei casi in cui la quantità di dati disponibili èlimitata.

Quali esempi di applicazione si possono citare, la distribuzione degli scarti tra misure ripetutesullo stesso oggetto (incertezza strumentale), la determinazione della tensione di perforazionecon tensione linearmente crescente su provini di carta impregnata con gli elettrodi ASTM oIEC, oppure la verifica della distanza esplosiva tra le sfere di uno spinterometro di misura.



1.4.1. Definizioni

Le principali definizioni riguardano la probabilità di un evento, la densità di probabilità e la

probabilità cumulata.

Come necessaria premessa a quanto verrà esposto nel seguito, è opportuno introdurre alcunedefinizioni e un po’ di nomenclatura.

Si definisce probabilità di un evento, il rapporto tra il numero di casi favorevoli a tale evento eil numero di casi possibili. Più precisamente, si definisce probabilità di ottenere da un esperi-mento un certo risultato, definito da un certo valore

y

assunto dalla variabile casuale che carat-terizza l’esperimento stesso, il rapporto tra la misura dell’insieme dei risultati che forniscono ilvalore

y

e la misura dell’insieme comprendente tutti i risultati possibili relativi al detto esperi-mento.

Ad esempio, se si lancia un dado da gioco, la probabilità di ottenere il numero quattro è 1/6. Sesi lanciano due dadi lo stesso numero ha probabilità di verificarsi pari a 1/12 (combinazioni2 + 2, 3 + 1, 1 + 3). Se si effettua un numero di lanci ripetuti di un solo dado, ad esempio uncentinaio, si constata che tutti i possibili valori (da 1 a 6) si presentano con la stessa frequenza.Diversa è la situazione nel caso di lancio ripetuto di due dadi in quanto i possibili valori (da 2 a12) hanno diverse probabilità di verificarsi.

Nel caso di prove ripetute si definisce densità di probabilità il rapporto tra gli eventi che hannodato il risultato prefissato e quelli globalmente verificatisi. Questa grandezza che è adimensio-nale e consente di normalizzare i risultati degli esperimenti, può assumere tutti i valori possibilitra 0 e 1 (si può esprimere anche in percento).

Si definisce invece probabilità cumulata il rapporto di tutti i risultati che presentano valori infe-riori o uguali al risultato prefissato. Se l’esperimento ha come variabile casuale una grandezzamisurabile che può assumere, almeno in linea teorica tutti i valori possibili, la densità di proba-bilità assume andamento continuo anziché discreto come negli esempi precedenti.

In ogni caso, la probabilità di ottenere un certo valore di

x

non è uniforme ma è funzione dellastessa

x

. Si dice allora che

f

(

x

) è la distribuzione della densità di probabilità dell’evento definitodalla variabile casuale rappresentata dalla stessa

x

.

In Figura 1.1 sono riportati due diagrammi tipici che rappresentano

f

(

x

) in funzione di

x

. Si notiche il primo di essi presenta simmetria rispetto al valore centrale a differenza del secondo.

Un altro tipo di distribuzione si può ottenere esprimendo la probabilità cumulata

F(x) in fun-zione della variabile casuale (Figura 1.2).

F(x) rappresenta la probabilità di ottenere tutti i valori inferiori o uguali a x ed è analiticamenterappresentata da

(1.4)F x( ) f x( ) xd∞–

x

∫=

1 Concetti Generali


Fig. 1.1 Tipici diagrammi di distribuzione della densità di probabilità

Fig. 1.2 Tipico diagramma di probabilità cumulata da –∞ a x

f(x)

x

f(x)

x

0

0.5

1

F(x)

xXm



Si noti che f(x) tende a zero sia per che per , quindi

(1.5)

Alternativamente si può definire con G(x) (Figura 1.3) con i tutti i valori da x a ∞ ottenendo

(1.6)

È ovvia la relazione

(1.7)

Sotto l’aspetto applicativo, si può osservare che normalmente si ha a disposizione un numerolimitato di risultati e che la loro rappresentazione grafica può essere fatta ricorrendo ad isto-grammi del tipo indicato in Figura 1.4 che si riferisce al caso di una distribuzione simmetrica.

Fig. 1.3 Tipico diagramma di probabilità cumulata da x a ∞

Fig. 1.4 Costruzione del diagramma di distribuzione della densità di probabilità in un casopratico con un numero limitato di risultati

x ∞–→ x ∞→

F x( )x ∞→lim f x( ) xd

∞–

∞

∫ 1= =

G x( ) f x( ) xdx

∞

∫=

0

0.5

1

G(x

)

xXm

G x( ) 1 F x( )–=

f(x)

x

1 Concetti Generali


La curva reale si ottiene per interpolazione tra le altezze delle canne che costituiscono l’isto-gramma.

Si presenta ora il problema di caratterizzare le distribuzioni sopra definite con il più limitatonumero possibile di parametri. Il primo parametro che interessa è quello che caratterizza i valoridi x per cui f(x) è prossima al suo valore massimo, ovvero F(x) è significativamente differenteda 0 a 1.

Media, mediana e moda rappresentano tre diversi parametri caratteristici della distribuzionedelle densità di probabilità. Esse coincidono quando la distribuzione è normale.

In Figura 1.5 sono rappresentate tre distribuzioni, di cui vengono definite le seguenti grandezze:

• media: rappresenta la somma delle varie osservazioni divise per il numero delle osservazionistesse, la media di una distribuzione µ viene ottenuta pesando ogni valore x con la sua proba-bilità f(x)

(1.8)

• mediana: è definita dal valore dell’osservazione per cui metà delle osservazioni è inferiore emetà è superiore alla stessa (se il numero delle stesse è pari e la media dei due valori piùvicini, se il numero è dispari il valore dell’osservazione centrale);

• moda: è il valore dell’osservazione che si verifica più frequentemente.

Media, mediana e moda coincidono nel caso di distribuzione normale.

Un altro parametro che interessa, caratterizza invece la dispersione della distribuzione attornoal valore medio µ. È ovvio che quanto meno la distribuzione sarà dispersa, tanto più i risultatidell’esperimento saranno raggruppati attorno a µ.

Per indicare la dispersione si utilizza il parametro seguente, ottenuto pesando ogni valore di con la probabilità f(x).

(1.9)

Il parametro σ2 si denomina varianza della distribuzione. La sua radice quadrata σ, rappresentala deviazione standard della distribuzione.

1.4.2. Distribuzione Normale (o Gaussiana)

La distribuzione normale presenta caratteri di simmetria rispetto al valore medio della varia-bile casuale. Essa risulta completamente definita da due parametri: il valore medio e lavarianza (o la deviazione standard).

µ x f x( ) xd∞–

∞

∫=

x µ–( )2

σ2 x µ–( )2 f x( ) xd∞–

∞

∫=



Tra le varie distribuzioni ha un posto particolarmente rilevante la così detta distribuzione nor-male (o di Gauss) la cui funzione densità di probabilità è definita da

(1.10)

Questa distribuzione ha un valore medio µ, deviazione standard σ ed è simmetrica rispetto ad µ.

Essa è caratterizzata dalle seguenti probabilità cumulate:

• F(µ – σ < x < µ + σ) = 0.683;

Fig. 1.5 Media, mediana e moda per tre diverse distribuzioni della densità di probabilità

J

f(x)

xJ

J

J

f(x)

xJ

J

J

f(x)

x

Med

ia, M

oda,

Med

iana

Med

ia

Mod

a

Med

iana

Mod

a

Med

iana

Med

ia

Normale

f x( ) 1

σ 2π--------------e

x µ–( )2

2σ2-------------------–

=

1 Concetti Generali


• F(µ – 2σ < x < µ + 2σ) = 0.957;

• F(µ – 3σ < x < µ + 3σ) = 0.997.

Per cui si dice comunemente che il valore di x di una variabile casuale distribuita secondo ladistribuzione normale è in generale compreso nell’intervallo ±3σ attorno al valore medio.

Nel grafico di Figura 1.6 è rappresentato l’andamento della distribuzione di probabilità in cuiµ = 5 e σ = 2 che equivale alla funzione

(1.11)

La distribuzione normale è quindi completamente definita dai due parametri: la media e lavarianza della popolazione.

L’importanza della distribuzione normale risiede nel fatto che un notevole numero di fenomeninaturali sono normalmente distribuiti o lo sono praticamente. Si citano ad esempio, l’altezza edil peso degli individui, gli errori nella misura della lunghezza di asta metallica o di una tensioneelettrica, ecc. In pratica questo significa che se si prende un campione di 100 individui e simisura il loro peso, si può tracciare un istogramma del tipo indicato in Figura 1.7 che può essereassimilato ad una distribuzione normale.

Se si prende un campione più grande (ad esempio, 300 individui) l’istogramma sarebbe quellodi Figura 1.8 che è ovviamente più prossimo ad una distribuzione normale.

La precisione con la quale si possono determinare i parametri della distribuzione è strettamentelegata alla scelta del numero di campioni. La complessità della formula sopra riportata ha sug-gerito il ricorso a tabelle in cui sono riportati parametri di validità generale. Una variabilecasuale è detta normalizzata quando essa è stata aggiustata in modo da avere media nulla edeviazione standard 1.

Fig. 1.6 Andamento della distribuzione di Gauss con µ = 5 e σ = 2

f x( ) 1

2 2π--------------e

x 5–( )2

8-------------------–

=

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(x)

x



Uno dei più importanti teoremi della statistica dimostra che se x è una variabile casuale conmedia µ e deviazione standard σ, allora la variabile

(1.12)

presenta valore medio nullo e deviazione standard uguale a 1. Questa funzione è quindi norma-lizzata e viene solitamente indicata con Z. Esistono quindi tabelle che danno i valori dell’areasottesa alla distribuzione normale definita dalla funzione Z. Un esempio è riportato inTabella 1.3.

Fig. 1.7 Costruzione della distribuzione di Gauss in un caso pratico (per esempio con 100individui)

Fig. 1.8 Costruzione della distribuzione di Gauss in un caso pratico (per esempio con 300individui)

f(x)

x

f(x)

x

Z x µ–σ

------------=

1 Concetti Generali


Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z)0 0.00000 1 0.34134 2 0.47725 3 0.49865

0.01 0.00399 1.01 0.34375 2.01 0.47778 3.01 0.498690.02 0.00798 1.02 0.34614 2.02 0.47831 3.02 0.498740.03 0.01197 1.03 0.34849 2.03 0.47882 3.03 0.498780.04 0.01595 1.04 0.35083 2.04 0.47932 3.04 0.498820.05 0.01994 1.05 0.35314 2.05 0.47982 3.05 0.498860.06 0.02392 1.06 0.35543 2.06 0.48030 3.06 0.498890.07 0.02790 1.07 0.35769 2.07 0.48077 3.07 0.498930.08 0.03188 1.08 0.35993 2.08 0.48124 3.08 0.498960.09 0.03586 1.09 0.36214 2.09 0.48169 3.09 0.499000.1 0.03983 1.1 0.36433 2.1 0.48214 3.1 0.499030.11 0.04380 1.11 0.36650 2.11 0.48257 3.11 0.499060.12 0.04776 1.12 0.36864 2.12 0.48300 3.12 0.499100.13 0.05172 1.13 0.37076 2.13 0.48341 3.13 0.499130.14 0.05567 1.14 0.37286 2.14 0.48382 3.14 0.499160.15 0.05962 1.15 0.37493 2.15 0.48422 3.15 0.499180.16 0.06356 1.16 0.37698 2.16 0.48461 3.16 0.499210.17 0.06749 1.17 0.37900 2.17 0.48500 3.17 0.499240.18 0.07142 1.18 0.38100 2.18 0.48537 3.18 0.499260.19 0.07535 1.19 0.38298 2.19 0.48574 3.19 0.499290.2 0.07926 1.2 0.38493 2.2 0.48610 3.2 0.499310.21 0.08317 1.21 0.38686 2.21 0.48645 3.21 0.499340.22 0.08706 1.22 0.38877 2.22 0.48679 3.22 0.499360.23 0.09095 1.23 0.39065 2.23 0.48713 3.23 0.499380.24 0.09483 1.24 0.39251 2.24 0.48745 3.24 0.499400.25 0.09871 1.25 0.39435 2.25 0.48778 3.25 0.499420.26 0.10257 1.26 0.39617 2.26 0.48809 3.26 0.499440.27 0.10642 1.27 0.39796 2.27 0.48840 3.27 0.499460.28 0.11026 1.28 0.39973 2.28 0.48870 3.28 0.499480.29 0.11409 1.29 0.40147 2.29 0.48899 3.29 0.499500.3 0.11791 1.3 0.40320 2.3 0.48928 3.3 0.499520.31 0.12172 1.31 0.40490 2.31 0.48956 3.31 0.499530.32 0.12552 1.32 0.40658 2.32 0.48983 3.32 0.499550.33 0.12930 1.33 0.40824 2.33 0.49010 3.33 0.499570.34 0.13307 1.34 0.40988 2.34 0.49036 3.34 0.499580.35 0.13683 1.35 0.41149 2.35 0.49061 3.35 0.499600.36 0.14058 1.36 0.41308 2.36 0.49086 3.36 0.499610.37 0.14431 1.37 0.41466 2.37 0.49111 3.37 0.499620.38 0.14803 1.38 0.41621 2.38 0.49134 3.38 0.499640.39 0.15173 1.39 0.41774 2.39 0.49158 3.39 0.499650.4 0.15542 1.4 0.41924 2.4 0.49180 3.4 0.499660.41 0.15910 1.41 0.42073 2.41 0.49202 3.41 0.499680.42 0.16276 1.42 0.42220 2.42 0.49224 3.42 0.499690.43 0.16640 1.43 0.42364 2.43 0.49245 3.43 0.499700.44 0.17003 1.44 0.42507 2.44 0.49266 3.44 0.499710.45 0.17364 1.45 0.42647 2.45 0.49286 3.45 0.499720.46 0.17724 1.46 0.42785 2.46 0.49305 3.46 0.499730.47 0.18082 1.47 0.42922 2.47 0.49324 3.47 0.499740.48 0.18439 1.48 0.43056 2.48 0.49343 3.48 0.499750.49 0.18793 1.49 0.43189 2.49 0.49361 3.49 0.49976

Tab. 1.3 Area della distribuzione normale

f(Z

)

Z

A(Z)



0.5 0.19146 1.5 0.43319 2.5 0.49379 3.5 0.499770.51 0.19497 1.51 0.43448 2.51 0.49396 3.51 0.499780.52 0.19847 1.52 0.43574 2.52 0.49413 3.52 0.499780.53 0.20194 1.53 0.43699 2.53 0.49430 3.53 0.499790.54 0.20540 1.54 0.43822 2.54 0.49446 3.54 0.499800.55 0.20884 1.55 0.43943 2.55 0.49461 3.55 0.499810.56 0.21226 1.56 0.44062 2.56 0.49477 3.56 0.499810.57 0.21566 1.57 0.44179 2.57 0.49492 3.57 0.499820.58 0.21904 1.58 0.44295 2.58 0.49506 3.58 0.499830.59 0.22240 1.59 0.44408 2.59 0.49520 3.59 0.499830.6 0.22575 1.6 0.44520 2.6 0.49534 3.6 0.499840.61 0.22907 1.61 0.44630 2.61 0.49547 3.61 0.499850.62 0.23237 1.62 0.44738 2.62 0.49560 3.62 0.499850.63 0.23565 1.63 0.44845 2.63 0.49573 3.63 0.499860.64 0.23891 1.64 0.44950 2.64 0.49585 3.64 0.499860.65 0.24215 1.65 0.45053 2.65 0.49598 3.65 0.499870.66 0.24537 1.66 0.45154 2.66 0.49609 3.66 0.499870.67 0.24857 1.67 0.45254 2.67 0.49621 3.67 0.499880.68 0.25175 1.68 0.45352 2.68 0.49632 3.68 0.499880.69 0.25490 1.69 0.45449 2.69 0.49643 3.69 0.499890.7 0.25804 1.7 0.45543 2.7 0.49653 3.7 0.499890.71 0.26115 1.71 0.45637 2.71 0.49664 3.71 0.499900.72 0.26424 1.72 0.45728 2.72 0.49674 3.72 0.499900.73 0.26730 1.73 0.45818 2.73 0.49683 3.73 0.499900.74 0.27035 1.74 0.45907 2.74 0.49693 3.74 0.499910.75 0.27337 1.75 0.45994 2.75 0.49702 3.75 0.499910.76 0.27637 1.76 0.46080 2.76 0.49711 3.76 0.499920.77 0.27935 1.77 0.46164 2.77 0.49720 3.77 0.499920.78 0.28230 1.78 0.46246 2.78 0.49728 3.78 0.499920.79 0.28524 1.79 0.46327 2.79 0.49736 3.79 0.499920.8 0.28814 1.8 0.46407 2.8 0.49744 3.8 0.499930.81 0.29103 1.81 0.46485 2.81 0.49752 3.81 0.499930.82 0.29389 1.82 0.46562 2.82 0.49760 3.82 0.499930.83 0.29673 1.83 0.46638 2.83 0.49767 3.83 0.499940.84 0.29955 1.84 0.46712 2.84 0.49774 3.84 0.499940.85 0.30234 1.85 0.46784 2.85 0.49781 3.85 0.499940.86 0.30511 1.86 0.46856 2.86 0.49788 3.86 0.499940.87 0.30785 1.87 0.46926 2.87 0.49795 3.87 0.499950.88 0.31057 1.88 0.46995 2.88 0.49801 3.88 0.499950.89 0.31327 1.89 0.47062 2.89 0.49807 3.89 0.499950.9 0.31594 1.9 0.47128 2.9 0.49813 3.9 0.499950.91 0.31859 1.91 0.47193 2.91 0.49819 3.91 0.499950.92 0.32121 1.92 0.47257 2.92 0.49825 3.92 0.499960.93 0.32381 1.93 0.47320 2.93 0.49831 3.93 0.499960.94 0.32639 1.94 0.47381 2.94 0.49836 3.94 0.499960.95 0.32894 1.95 0.47441 2.95 0.49841 3.95 0.499960.96 0.33147 1.96 0.47500 2.96 0.49846 3.96 0.499960.97 0.33398 1.97 0.47558 2.97 0.49851 3.97 0.499960.98 0.33646 1.98 0.47615 2.98 0.49856 3.98 0.499970.99 0.33891 1.99 0.47670 2.99 0.49861 3.99 0.49997

Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z) Z A(Z)

Tab. 1.3 Area della distribuzione normale

f(Z

)

Z

A(Z)

1 Concetti Generali


1.4.3. Distribuzione t di Student

La distribuzione t di Student è adatta per interpretare i risultati di un numero limitato di prove.La distribuzione di probabilità ha andamento simile a quella normale ma è più allargata e coin-cide con essa per un numero elevato di dati.

Nella pratica, per ragioni di tempo e di costo, le misurazioni costituiscono sempre una serielimitata di valori. La variabile che razionalizza esattamente i valori di serie limitate, è stata stu-diata da Student e ha la seguente espressione

(1.13)

dove Xm rappresenta il valor medio delle n misurazioni ed è una stima del valore atteso x checoincide con la media della distribuzione µ, mentre s è lo scarto tipo sperimentale della serie dimisurazioni ed è una stima della deviazione standard della distribuzione σ. L’espressione a denominatore dell’equazione (1.13) è lo scarto tipo della media.

La funzione densità di probabilità della distribuzione t di Student f(t, ν) è data da

(1.14)

dove –∞ < t < ∞, ν > 0 sono i gradi di libertà e

con (1.15)

La distribuzione t di Student ha andamento analogo alla distribuzione normale ma è menoappuntita come si nota dal grafico di Figura 1.9. Per ogni valore di ν = n – 1, con n ≥ 2, esisteuna curva di distribuzione della probabilità di t. La Tabella 1.4 riporta, per un buon numero divalori di ν, i valori di t a diversi livelli di probabilità.

Nel caso in cui si consideri una misurazione complessa del tipo y = f(x1, x2, …, xn), la formuladi Welch-Satterhwaite, permette di calcolare il numero di gradi di libertà effettivi, νeff, che com-petono ad una incertezza tipo

(1.16)

tXm x–

s n⁄----------------=

s n⁄

f t ν,( ) 1

πν----------

Γ ν 1+2

------------( )

Γ ν2---( )

-------------------- 1 t2

ν----+⎝ ⎠

⎛ ⎞ν 1+( ) 2⁄–

=

Γ n( ) xn 1– e x– xd0

∞

∫= n 0>

νeffu4 y( )

y∂xi∂

-------u xi( )4

νi⁄⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

i∑---------------------------------------------------=



Da cui se ,

(1.17)

Se il valore di νeff calcolato non è intero, deve essere arrotondato all’intero inferiore più pros-simo

Fig. 1.9 Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione t di Student

Gradi di Libertàν

Valori di t con Probabilità pp = 68.270% p = 90.000% p = 95.000% p = 95.450% p = 99.000% p = 99.730%

1 1.840 6.310 12.710 13.970 63.660 235.8002 1.320 2.920 4.300 4.530 9.920 19.2103 1.200 2.350 3.180 3.310 5.840 9.2204 1.140 2.130 2.780 2.870 4.600 6.6205 1.110 2.020 2.570 2.650 4.030 5.5106 1.090 1.940 2.450 2.520 3.710 4.9007 1.080 1.890 2.360 2.430 3.500 4.5308 1.070 1.860 2.310 2.370 3.360 4.2809 1.060 1.830 2.260 2.320 3.250 4.09010 1.050 1.810 2.230 2.280 3.170 3.96015 1.030 1.750 2.130 2.180 2.950 3.59020 1.030 1.720 2.090 2.130 2.850 3.42030 1.020 1.700 2.040 2.090 2.750 3.27040 1.010 1.680 2.020 2.060 2.700 3.20050 1.010 1.680 2.010 2.050 2.680 3.160+∞ 1.000 1.645 1.960 2.000 2.576 3.000

Tab. 1.4 Valori della funzione t di Student

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(t)

t

Normale

ν = 1

ν = 6

y∂ xi∂⁄ 1=

νeffu4 y( )

u4 xi( ) νi⁄[ ]i∑------------------------------------=

1 Concetti Generali


1.4.4. Distribuzione Uniforme

Un caso particolare di distribuzione è rappresentato dalla distribuzione uniforme, la cui fun-zione densità di probabilità è rappresentata in Figura 1.10.

Per la distribuzione uniforme vale

(1.18)

Pertanto, la distribuzione uniforme avrà media µ e varianza pari a

(1.19)

1.5. Valore più Probabile del Misurando e Incertezza di Misura

Il valore più probabile del misurando, ottenuto in base a misurazioni ripetute sullo stessooggetto e con lo stesso metodo, è la media aritmetica dei singoli risultati

Quando, nelle stesse condizioni, si ripete più volte la misurazione di una stessa grandezza, siottengono, in generale, risultati diversi. Ciò non significa necessariamente che la grandezza siacambiata, ma piuttosto che le indicazioni dello strumento utilizzato sono variate per cause acci-dentali o che la loro lettura è stata effettuata in modo imperfetto dall’operatore.

Fig. 1.10 Andamento della funzione densità di probabilità della distribuzione uniforme

x

f(x)

∆

1/∆

–∆

f x( ) 12∆-------= x µ– ∆≤

f x( ) 0= x µ– ∆>⎩⎪⎨⎪⎧

σ2 x µ–( )2 f x( ) xd∞–

∞

∫x µ–( )2

2∆------------------- xd

∆–

∆

∫∆2

3------= = =



Un esempio tipico è quanto avviene quando si effettua la misurazione di una distanza mediantebindella centimetrata. La stessa operazione ripetuta più volte dallo stesso operatore o da opera-tori diversi fornisce risultati prossimi tra loro ma diversi. Un altro esempio può essere quellodella misurazione ripetuta del periodo di un pendolo effettuato con un cronometro.

Di fronte a questa situazione l’operatore si deve porre due domande:

• quale è il valore più attendibile del misurando?

• quale è il significato da dare agli scarti riscontrati?

La risposta a tali domande si trova generalmente applicando metodi probabilistici basatisull’uso della matematica statistica.

La miglior stima del valore del misurando, che varia casualmente, e per cui n osservazioni indi-pendenti xk sono state ottenute sotto le stesse condizioni di misura è la media aritmetica Xm dellen osservazioni

(1.20)

Si intuisce immediatamente che il valore di Xm è tanto più attendibile quanto maggiore è ilnumero delle misure effettuate.

Le singole misure scartano dalla media della quantità x1 – Xm, x2 – Xm, ecc., per effetto di fattoridi influenza casuali. Gli scarti assumono valori tanto più grandi quanto più dispersi tra loro sonoi dati originali e sotto questo aspetto si può intuire che la qualità della misura sarà migliore sepiccoli sono tali scarti rispetto alla media. Nasce perciò la necessità di dare una valutazionequantitativa di questa qualità, ciò che potrebbe essere fatto con un criterio convenzionale qual-siasi.

L’incertezza di misura è un parametro, associato con il risultato di una misurazione, che carat-terizza la dispersione dei valori che potrebbero essere ragionevolmente attribuiti al misurando

Analizzando le condizioni e il processo di misura ci si può rendere conto che le cause di aleato-rietà del risultato finale di una misurazione sono diverse e a volte complesse, quali:

• definizione incompleta del misurando;

• conoscenza o misura inadeguata degli effetti delle condizioni ambientali;

• errori sistematici non noti nella indicazione degli strumenti analogici;

• risoluzione finita di strumenti a indicazione discreta;

• valori delle costanti e altri parametri ottenuti da fonti esterne ed usati nell’algoritmo di ridu-zione dei dati;

• variazioni del misurando in ripetute osservazioni effettuate in condizioni apparentementeidentiche;

• imperfetta correzione di errori sistematici legati al metodo di misura usato.

Xm1n--- xk

k 1=

n

∑=

1 Concetti Generali


In un rapporto di prova si conviene di dichiarare un unico valore come stima del valore del misu-rando, valore a cui viene associata un’incertezza, opportunamente definita e calcolata sulla basedelle diverse origini anzi indicate. In generale si scriverà che il valore della grandezza da misu-rare X è dato dalla sua stima Xm gravata dall’incertezza U (tale lettera è l’iniziale della parolainglese “uncertainty” che significa per l’appunto “incertezza”):

(1.21)

L’incertezza di misura U può anche essere espressa in forma relativa

(1.22)

Il concetto di incertezza, come attributo quantificabile di una misura è relativamente recente,sebbene errore e analisi dell’errore siano stati a lungo una parte importante della scienza dellametrologia. Si riconosce che quando tutti i componenti di errore noti sono stati valutati e sonostate apportate le correzioni appropriate, rimane ancora un’incertezza circa la correttezza delrisultato, cioè un dubbio su quanto il risultato della misura rappresenti il valore della quantitàcercata.

Al fine di rendere confrontabili risultati di misure diverse, sono stati definiti metodi normaliz-zati di valutazione della qualità delle stesse.

Nell’incertezza del risultato di una misura possono generalmente individuarsi diversi compo-nenti che per comodità possono essere raggruppati in due categorie a seconda del modo in cuil’incertezza stessa viene stimata:

• quelli che vengono valutati applicando metodi statistici partendo da una serie di ripetutedeterminazioni (tipo A);

• quelli che vengono valutati con altri mezzi (tipo B).

Non esiste alcuna corrispondenza tra la classificazione dei componenti nelle categorie A o B senon quella di indicare due diversi criteri di valutazione dell’incertezza. In pratica il livello diaccuratezza nella stima dell’incertezza e l’incertezza stessa richiesti possono essere anche moltodiversi a seconda dello scopo e del livello della misura.

1.5.1. Incertezza di Tipo A

L’incertezza di tipo A viene valutata applicando metodi statistici ad una serie di ripetute misu-razioni. L’incertezza può essere espressa dallo scarto quadratico medio o dallo scarto tipo oda un multiplo di quest’ultimo.

Prevede la determinazione dell’incertezza in base alla dispersione di più letture in una misura-zione con rilevamento del misurando. Tale dato potrebbe essere il risultato finale di singolemisure oppure la grandezza di ingresso di misure complesse ottenute attraverso la combinazionedi più risultati di misure semplici.

X Xm U±=

U UXm-------=



Le osservazioni individuali xk differiscono nel valore a causa di variazioni casuali delle quantitàdi influenza. Lo scarto quadratico medio s2(xk), stima della varianza σ2 della distribuzione diprobabilità di x, è definita dalla relazione

(1.23)

Lo scarto tipo sperimentale s(xk), stima della deviazione standard σ della distribuzione di pro-babilità di x, è uguale alla radice quadrata positiva dello scarto quadratico medio.

Entrambi gli indici citati possono essere usati per indicare l’incertezza di misura, ma in generalesi preferisce usare lo scarto tipo in quanto espresso nella stessa unità di misura del misurando.Lo scarto tipo può essere espresso in valore assoluto, in valore relativo o relativo percentuale.Si parlerà allora di scarto tipo assoluto, di scarto tipo relativo, di scarto tipo percentuale.

Ai fini dei confronti tra i risultati di serie di misure ripetute delle quali è nota la stima più atten-dibile del misurando, è di notevole interesse lo scarto quadratico medio delle medie s2(Xm),stima della varianza della distribuzione delle medie, dato dalla relazione

(1.24)

Anche in questo caso si preferisce utilizzare lo scarto tipo s(Xm) per la stessa ragione soprarichiamata.

1.5.2. Incertezza di Tipo B

L’incertezza di tipo B viene valutata ricorrendo a mezzi diversi rispetto a quelli statistici basatisu misure ripetute.

La stima dell’incertezza di tipo B deve essere determinata valutando tutte le informazioni otte-nibili relative alla sua possibile variabilità. Queste informazioni possono includere precedentidati di misura, specifiche dei costruttori degli strumenti e dati di taratura degli stessi, oltre chedati di incertezza sui materiali in uso riscontrabili nella manualistica.

Le modalità di determinazione possono quindi variare a seconda delle circostanze. Alcuniesempi consentiranno di chiarire meglio i concetti esposti.

Si supponga che il certificato di taratura di un resistore campione (xi) riporti che il valore dellostesso è 1.00015 Ω e che l’incertezza di questo valore sia di 50 µΩ con fattore di copertura paria 3. L’incertezza tipo del resistore campione è allora semplicemente

u(xi) = 50/3 = 16.7 µΩ (1.25)

A volte l’incertezza di xi viene espressa attraverso un intervallo di confidenza del 63%, 95% o99% invece che per mezzo di un multiplo dello scarto tipo. Poiché in generale, si può assumereche per calcolare gli intervalli di confidenza si sia fatto riferimento a una distribuzione normalee che sia stato impiegato un opportuno fattore per calcolare l’incertezza tipo dall’intervallo di

s2 xk( ) 1n 1–------------ xk Xm–( )2

k 1=

n

∑=

s2 Xm( )s2 xk( )

n--------------=

1 Concetti Generali


confidenza, si possono assumere quali fattori corrispondenti ai tre intervalli citati i valori di1.64, 1.96 e 2.58 rispettivamente.

Si supponga ora che un certificato di taratura stabilisca che la resistenza di un resistore cam-pione (xi) sia 10.000742 Ω a 20 C e che l’incertezza di questo valore ad un livello di confidenzadel 99% sia 129 µΩ. L’incertezza tipo del resistore può essere assunta pari a

u(xi) = 129/2.58 = 50 µΩ (1.26)

Basandosi sulle informazioni disponibili, a volte si può accettare che la probabilità che xi cadanell’intervallo [a–; a+] abbia un ben definito valore, ad esempio, del 50%. Se la miglior stimaXm di xi può essere assunta nel punto medio dell’intervallo e se si può supporre normale la distri-buzione dei possibili valori di xi, indicando l’ampiezza del semintervallo con a = (a+ – a–)/2, sipuò allora assumere

u(xi) = 1.48 a (1.27)

dal momento che in una distribuzione normale con valore atteso Xm e scarto tipo s, l’intervallo(Xm ± s)/1.48 contiene il 50% della distribuzione.

In altri casi può solo essere possibile stimare i limiti (superiore ed inferiore) di xi, in particolareaffermare che, agli scopi pratici, la probabilità che il valore di xi si trovi all’interno dell’inter-vallo [a–; a+] sia pari ad uno e che sia invece nulla la probabilità che xi si trovi al di fuori dellostesso intervallo. Se non esiste un particolare motivo per affermare che il valore di xi cada in uncerto punto all’interno dell’intervallo [a–; a+], si può soltanto assumere che sia ugualmente pro-babile che xi si trovi ovunque all’interno di esso (distribuzione rettangolare di probabilità).Allora il valore atteso di xi può ragionevolmente ritenere essere nel centro dell’intervallo [a–;a+], per cui l’incertezza tipo diviene

(1.28)

Per esempio, un manuale fornisce il valore del coefficiente di espansione termica lineare delrame puro a 20 ˚C, α20(Cu) = 16.52 10–6 ˚C–1, ed afferma semplicemente che l’errore su questovalore non dovrebbe essere superiore allo 0.40 10–6 ˚C–1. Si può quindi soltanto assumere cheil valore di α20(Cu) si trovi con uguale probabilità nell’intervallo compreso tra 16.12 10–6 ˚C–1 e16.92 10–6 ˚C–1 e che è molto improbabile che α20(Cu) si trovi invece all’esterno di questo inter-vallo. L’incertezza tipo di questa distribuzione rettangolare simmetrica di possibili valori diα20(Cu) di semiampiezza a = 0.40 10–6 ˚C–1 è allora assunta pari a

(1.29)

Qualora i limiti superiore ed inferiore a– e a+ non fossero simmetrici rispetto alla stima miglioredi xi, l’incertezza tipo si calcola invece come segue

(1.30)

In casi particolari, se l’assunzione di distribuzione rettangolare di probabilità fosse ritenuta pocorealistica, può essere assunta una distribuzione trapezoidale o altra opportuna. In ogni caso, con-

u xi( ) a 3⁄=

u xi( ) 0.4010 6–

3--------------------- 0.2310 6– ˚C 1–= =

u xi( )a+ a––

2 3-----------------=

1.6. Incertezza Composta


siderazioni circa la valutazione delle incertezze di tipo B non possono prescindere dall’espe-rienza dell’operatore.


L'incertezza composta è l'incertezza tipo che grava sul risultato di una misurazione complessa.

I risultati ottenuti per le incertezze su singoli componenti del sistema di misura devono esserecombinati tra loro per determinare l’incertezza complessiva (incertezza composta) che grava suuna misurazione complessa di una grandezza Y. Se il risultato della misurazione (y) è ottenutodall’elaborazione di risultati di più misure indipendenti tra loro (xi), cioè

(1.31)

l’incertezza di cui è affetta la stima del misurando finale (incertezza composta) è legata alleincertezze da cui sono affette le singole quantità xi.L’incertezza composta, espressa in valoreassoluto, è data da

(1.32)

ove u(xi) sono le incertezze (di tipo A e di tipo B, ottenute come indicato ai punti precedenti) dacui sono affette le diverse quantità xi di cui è funzione il misurando finale.

Nella Tabella 1.5 è riportata la specializzazione della espressione che fornisce l’incertezzacomposta assoluta per casi particolari, in cui per semplicità si è supposto il misurando esserefunzione di non più di tre componenti.

Funzione Incertezza Composta Assoluta

Tab. 1.5 Espressioni dell’incertezza tipo composta assoluta

y f x1 x2 … x, i … xn, , , ,( )=

u y( ) f∂xi∂

-------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2

u2 xi( )

i 1=

n

∑=

y A B+= u y( ) u A( )2 u B( )2+=

y A B–= u y( ) u A( )2 u B( )2+=

y k A⋅= u y( ) k u A( )⋅=

y A B⋅= u y( ) B2u A( )2 A2u B( )2+=

y An= u y( ) n An 1– u A( )⋅ ⋅=

y A B C⋅ ⋅= u y( ) BC( )2u A( )2 AC( )2u B( )2 AB( )2u C( )2+ +=

1 Concetti Generali


Nella Tabella 1.6 sono invece riportate per alcuni casi particolari le espressioni dell’incertezzacomposta relativa

(1.33)

in funzione delle singole incertezze relative .

Per chiarire meglio il procedimento di calcolo dell’incertezza composta si possono consideraredue semplici esempi.

• Caso Y = A + BLe grandezze misurate sono Am = A + u(A) e Bm = B + u(B).L’incertezza assoluta della somma è quindi

(1.34)

L’incertezza relativa è invece data da

(1.35)

L’incertezza relativa è quindi pesata in relazione alle due grandezze in gioco e nella sua for-mazione ha maggior peso la grandezza di maggiore ampiezza.

Funzione Incertezza Composta Relativa

Tab. 1.6 Espressioni dell’incertezza tipo composta relativa

u y( ) u y( ) y⁄=

u xi( )

y A B+= u y( ) A2u A( )2 B2u B( )2+A B+( )2

----------------------------------------------=

y A B–= u y( ) A2u A( )2 B2u B( )2+A B–( )2

----------------------------------------------=

y k A⋅= u y( ) u A( )=

y A B⋅= u y( ) u A( )2 u B( )2+=

y An= u y( ) n u A( )⋅=

y A B C⋅ ⋅= u y( ) u A( )2 u B( )2 u C( )2+ +=

u A B+( ) A B+( )∂A∂

---------------------u A( )2 A B+( )∂

B∂---------------------u B( )

2+ u A( )2 u B( )2+= =

u A B+( ) u A B+( )A B+

--------------------- A2u A( )2 B2u B( )2+A B+( )2

----------------------------------------------= =



• Caso Y = A ⋅ BLe grandezze misurate sono Am = A + u(A) e Bm = B + u(B).L’incertezza assoluta del prodotto risulta

(1.36)

Per l’incertezza relativa invece si ottiene

(1.37)

L’incertezza relativa è quindi la somma delle incertezze relative.

La combinazione delle incertezze non è ovviamente richiesta nel caso di misurazione semplice,essendo presente una sola incertezza.

1.6.1. Incertezza Estesa

L’incertezza estesa U(y) si ottiene moltiplicando l’incertezza composta u(y) per un opportunofattore di copertura k.

Nel campo delle prove è raccomandabile che l’incertezza estesa U(y), riportata in un certificatoo in un rapporto, sia ottenuta moltiplicando l’incertezza composta u(y) per un opportuno fattoredi copertura k

(1.38)

in modo che l’incertezza dichiarata definisca un intervallo entro il quale si possa ritenere com-preso con probabilità elevata il valore vero del misurando. L’associazione dell’intervallo ±U,definito come sopra con uno specifico livello di probabilità, e quindi la scelta del valore di k,richiede l’assunzione implicita del tipo di distribuzione probabilistica delle stime y della gran-dezza Y. In campo internazionale è stato deciso di adottare, se non diversamente prescritto, ilfattore di copertura k = 2.Se, come di solito avviene, la distribuzione può essere considerata nor-male (gaussiana), ciò associa i limiti dell’incertezza estesa dati dalla U come sopra definita a unlivello di fiducia approssimativamente uguale al 95%. L’incertezza estesa viene espressa connon più di 2 cifre significative.

Il calcolo dell’incertezza tipo di una misurazione nel caso in cui si utilizzi una distribuzione nor-male è molto semplice, poiché u(y) = σ (oppure nel caso di n misurazioni ripe-tute). L’incertezza estesa U(y) con un dato livello di confidenza p, si determina invece ricavandodalla Tabella 1.3 il valore di Z che corrisponde a p = 2A(Z), secondo la relazione

(1.39)

u A B⋅( ) A B⋅( )∂A∂

--------------------u A( )2 A B⋅( )∂

B∂--------------------u B( )

2+ B2u A( )2 A2u B( )2+= =

u A B⋅( ) u A B⋅( )A B⋅

------------------- u A( )2 u B( )2+= =

U y( ) k u y( )⋅=

u y( ) σ n⁄=

U y( ) Zσ Zu y( )= =

1 Concetti Generali


oppure

(1.40)

nel caso di n misurazioni ripetute.

L’espressione dell’incertezza estesa, utilizzando la distribuzione t di Student, si ottienedall’equazione (1.13) ed è data da

(1.41)

dove il valore della variabile t di Student è riportato in Tabella 1.4 in corrispondenza a ν = νeffgradi di libertà (nel caso di misurazioni dirette ν = n – 1) e per vari livelli di probabilità. Perdeterminare l’incertezza tipo u(y) nel caso in cui le misurazioni siano caratterizzate da unadistribuzione t di Student si deve utilizzare l’espressione

(1.42)

facendo riferimento alla probabilità del 68.27%.

Il calcolo dell’incertezza tipo di una misurazione nel caso in cui si utilizzi una distribuzione ret-tangolare è molto semplice, poiché

(1.43)

1.6.2. Espressione dei Risultati

Il numero di cifre con il quale è indicato un risultato deve essere scelto in base all’incertezzacon il quale quel risultato è noto.

Nello scrivere il risultato numerico di una misura si deve sempre tenere presente il grado diapprossimazione con cui esso è stato ottenuto, per non indicare cifre assolutamente prive disignificato, come spesso si tende quando il risultato numerico è frutto di elaborazioni e calcoli.

Le cifre che rientrano nell’intervallo di incertezza devono essere trascurate o sostituite con zeria seconda dei casi. Così per esempio se l’incertezza sulle misure eseguite è di 1/1000 i valori245587, 12, 775.384, 0.011 si dovranno scrivere 245600, 12.00, 775.4, 0.01100.

1.6.3. Riferibilità delle Misure

In campo mondiale esistono diversi laboratori che hanno il compito di conservare, attraversocampioni, materiali e apposite procedure di verifica, le unità di misura legali.

U y( ) Z σ

n------- Zu y( )= =

U y( ) t s

n-------=

u y( ) t s

n-------=

u y( ) σ ∆

3-------= =



Per semplicità di esposizione, nei precedenti paragrafi per definire incertezza di misura è statoanche usato il termine “valore vero”, mentre in effetti il valore vero, cioè esatto, di una gran-dezza non è mai noto.

Gli strumenti impiegati per effettuare misurazioni nei diversi campi delle attività tecniche e tec-nologiche odierne sono perciò tarati in unità (volt, ohm, secondo, metro, ecc.) non esatte e, sipotrebbe dire, arbitrarie. Per ridurre al minimo o perlomeno entro valori accettabili, a secondadei diversi scopi di misura, i possibili gradi di arbitrarietà degli apparecchi di misura che siusano, nei paesi più industrializzati esistono laboratori ai quali è stato affidato il compito di con-servare, mediante campioni, materiali o esperienze rigorosamente definite, le unità di misuralegali. Queste unità di misura corrispondono a quelle definite dal Sistema SI entro incertezzeche i laboratori nazionali curano di ridurre a valori sempre più piccoli mediante continui lavoridi ricerca metrologica.

In Italia questi compiti sono stati assegnati all’Istituto Elettrotecnico Nazionale G. Ferraris perle unità di misura elettriche e all’Istituto G. Colonnetti per le unità di misura meccaniche e ter-miche. Per fare in modo che tutti gli apparecchi usati in un paese siano tarati in unità di misuralegali, o come si dice, riferite alle unità legali, occorre che essi siano confrontati con i campionidelle unità legali.

Poiché un confronto singolo diretto comporterebbe, come facilmente immaginabile, un lavoroenorme, la riferibilità alle unità legali si attua mediante catene di confronti di cui solo il primoanello, effettuabile di tanto in tanto dallo stesso laboratorio nazionale, è un confronto diretto.L’organizzazione di questi confronti e quindi la riferibilità di qualsiasi apparecchio di misuraalle unità legali è ora affidata, in Italia, al Servizio Taratura Italia (SIT), che consiste in una retedi Centri di Taratura dei quali viene accertata, riconosciuta e verificata la capacità metrologicain settori di misura ben definiti, ad esempio tensioni, correnti, potenze, temperature, ecc.

Il compito di verificare le capacità metrologiche dei Centri di taratura è affidato agli Istituti chesono stati menzionati poco sopra. I Centri di Taratura sono riconosciuti idonei a emettere certi-ficati garantiti dal SIT a livello nazionale, in cui sono chiaramente specificate le incertezze dimisura del Centro, per le varie grandezze, rispetto alle unità di misura legali.

1 Concetti Generali


Appendice A – Grandezze e Unità di Misura

1 Concetti Generali


2.1. Generalità


2. Campioni di Laboratorio

2.1. Generalità

Il problema della riferibilità delle misure può essere affrontato mantenendo in efficienza uncerto numero di campioni secondari da verificare periodicamente presso i centri specializzatie riconosciuti.

Il problema della riferibilità delle misure, a cui si è fatto cenno nel Capitolo 1, può essere affron-tato mantenendo in efficienza un certo numero di campioni secondari da verificare periodica-mente presso i centri specializzati e riconosciuti. Ai campioni secondari suddetti può esserefatto riferimento per tutti gli altri strumenti di impiego più corrente (centro di taratura seconda-rio).

Poiché è praticamente impossibile mantenere un campione di corrente che, come già precisato,è la grandezza fondamentale elettrica del sistema SI, si ricorre solitamente a campioni di ten-sione e a campioni passivi.

2.2. Campioni di Forza Elettromotrice

Il classico campione di forza elettromotrice è la pila Weston nelle due versioni: satura e nonsatura.

Il classico campione di forza elettromotrice è la pila Weston nelle due versioni: satura e nonsatura. Il contenitore di una pila di tipo saturo è un recipiente di vetro neutro a forma di H cheha saldato, alle due estremità inferiori degli elettrodi di platino (Figura 2.1).

L’anodo della pila è costituita da mercurio, depolarizzato da uno strato di solfato mercurosomescolato con cristalli finissimi di solfato di cadmio. Il catodo della pila è un’amalgama di cad-mio. Uno strato di grossi cristalli di solfato di cadmio ricopre le superfici dell’amalgama e delsolfato mercuroso. Il contenitore è poi riempito di elettrolita, soluzione satura di solfato di cad-mio, sino a coprire interamente il braccio trasversale della H, le cui estremità superiori sono poiaccuratamente sigillate. La forza elettromotrice della pila satura è di 1.01865 V a 20 ˚C.

2 Campioni di Laboratorio


La pila di tipo non saturo è simile alla precedente ma l’elettrolita, è una soluzione di solfato dicadmio non satura a temperatura ambiente (mancano i grossi cristalli di cadmio). La forza elet-tromotrice della pila non satura è intorno a 1.0193 V a 20 ˚C.

La variazione della concentrazione dell’elettrolita con la temperatura rende la forza elettromo-trice della pila satura leggermente variabile con la temperatura. Nel campo da 0 a 40 ˚C, la varia-zione di forza elettromotrice è di circa 40 µV/K. La pila non satura ha un coefficiente di tempe-ratura molto minore, dell’ordine di 3 µV/K. La resistenza interna di una pila campione è intornoa un migliaio di ohm.

La pila Weston si polarizza quando eroga corrente compromettendo la stabilità del valore dellaforza elettromotrice. Essa deve quindi essere sempre impiegata in circuiti di misura che nonrichiedano corrente superiore a 100 µA per qualche secondo. Le pile Weston sature presentano,se correttamente impiegate, elevati valori di stabilità nel tempo: i migliori esemplari varianosolo di frazioni di microvolt all’anno, mentre pile di normale produzione presentano in genereun decremento annuo contenuto in 5 µV.

Le pile non sature hanno stabilità minore, e mediamente presentano un decremento annuo di30 ÷ 50 µV rispetto al loro valore di forza elettromotrice iniziale. Le pile campione poste in ven-dita dalle case costruttrici sono munite di un certificato che ne fornisce il valore a una determi-nata temperatura e l’imprecisione di questo valore in termini di confronto col gruppo di pile dellaboratorio che ha rilasciato il certificato; in genere il valore di imprecisione contiene anchel’instabilità per un periodo di uno o cinque anni, valutata per esperienza su numerosi esemplaridi pile.

Per le pile di tipo saturo l’imprecisione è di 1 ÷ 5 ppm se comprendente l’instabilità annua, esino a 100 ppm se comprendente l’instabilità quinquennale. Per quelle di tipo non saturo50 ppm e 200 ppm per i due casi.

Le pile Weston di tipo non saturo sono più facilmente trasportabili e maneggevoli in quantomunite di setti porosi che dividono i loro componenti e li mantengono in sito. Inoltre, come si èvisto, hanno un coefficiente di temperatura abbastanza piccolo e quindi non necessitano diessere mantenuti in contenitori termostatici.

Fig. 2.1 Pila Weston di tipo saturo

Aria

Soluzione Solfato di Cadmio

Cristalli Solfato di Cadmio

Pasta Solfato Mercuroso eSolfato di Cadmio

Mercurio

Amalgama di Cadmio

2.3. Sorgenti di Tensione Campione


2.3. Sorgenti di Tensione Campione

Le sorgenti di tensione campione sono dei particolari stabilizzatori di corrente continua cheforniscono ai loro morsetti di uscita, ai capi di una resistenza, una tensione avente qualità para-gonabili alla forza elettromotrice di una pila campione.

Si chiamano sorgenti di tensione campione quei particolari stabilizzatori di corrente continuache forniscono ai loro morsetti di uscita, ai capi di una resistenza, una tensione avente qualitàparagonabili alla forza elettromotrice di una pila campione: elevata costanza nel tempo, rispettoalla temperatura e alla sorgente di alimentazione dello stabilizzatore.

Le sorgenti in oggetto sono nate dalla esigenza di poter disporre di sorgenti campione più robu-ste delle tradizionali pile Weston. Per tali sorgenti si sfruttano di solito le proprietà dei diodiZener. I diodi Zener sono diodi al silicio che, nella zona negativa della loro caratteristicaI = f(V), presentano un valore di tensione Vz al di là del quale la corrente inversa aumenta note-volmente per piccoli incrementi di tensione; la caratteristica diviene qui una retta quasi parallelaall’asse delle ordinate (Figura 2.2). La resistenza differenziale del diodo

(2.1)

assume valori dell’ordine di qualche decina di ohm.

I valori di Vz sono dell’ordine di qualche volt. Il coefficiente di temperatura dei diodi Zener hala singolarità di annullarsi per un determinato valore di Vz; nei diodi Zener particolarmente stu-diati per le sorgenti campione, il coefficiente di temperatura viene reso prossimo a zero per unacerta gamma di valori di Vz.

Il circuito base di impiego di un diodo Zener è molto semplice (Figura 2.3): una tensione con-tinua non stabilizzata VE è applicata al diodo, avente resistenza differenziale Rd, attraverso unresistore RV. Ai capi del resistore RU si ottiene la tensione stabilizzata VU. Il fattore di stabiliz-zazione del circuito cioè il rapporto tra una variazione di VE e la conseguente variazione di VUè dato dalla relazione

(2.2)

dove S può raggiungere in pratica valori intorno a 100.

Per ottenere valori più elevati è necessario porre in cascata più stadi del tipo descritto: con trestadi si possono raggiungere valori notevoli, intorno a 70000. Questo significa che, per unavariazione di VE di ±10%, la variazione conseguente di VU rimane compresa entro ±0.01%.

Valori del fattore di stabilizzazione ancora più elevati, con impiego di un numero minore didiodi Zener, si possono ottenere con schemi di ponte. La Figura 2.4 rappresenta una sorgente ditensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da uno stadio in cascata. Si puòdimostrare che, se per il ponte vale la relazione

(2.3)

Rd

V zd

Izd---------=

SV Ed

V E----------

V U

V Ud----------⋅

V U

V E------- 1

RV

Rd-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

R1 R2 Rd1 Rd2= = =



la tensione d’uscita assume l’espressione

(2.4)

la quale mostra come essa sia indipendente dalla tensione d’ingresso e dalle resistenze che for-mano il ponte. Il fattore di stabilizzazione di tale schema sarebbe teoricamente infinito, in realtàrisulta dell’ordine di 200000.

Il coefficiente di temperatura di queste sorgenti di tensione campione è molto piccolo, inferiorea 0.01%/K.

Fig. 2.2 Caratteristica tensione-corrente di un diodo Zener

Fig. 2.3 Circuito base di impiego di un diodo Zener

I

V

Vz

Iz

RU

RV

VE VU

V U

V z1 V z2+

2-----------------------

RU

RU Rd1+----------------------=

2.4. Campioni di Resistenza


2.4. Campioni di Resistenza

Una seconda grandezza elettrica che si presta facilmente ad essere rappresentata con un cam-pione fisico, è la resistenza. I campioni di resistenza devono presentare una elevata stabilità infunzione della temperatura e del tempo. I materiali che si possono impiegare per ottenere queirequisiti non sono molti.

La manganina è la lega più pregiata, formata da rame (84%), manganese (12%) e nichel (4%)con questi dati nominali:

resistività: 0.43 Ω mm2/m

forza elettromotrice: +1 µV/K rispetto al rame tra 0 e 100 ˚C

coefficiente di dilatazione: 0.000016 K–1

punto di fusione: 960 ˚C

La variazione di resistività della manganina in funzione della temperatura tra 10 e 30 ˚C risulta10 ppm/K.

Si usano anche altre leghe meno pregiate a base di nichel (75%), cromo (20%), alluminio(2.5%), rame (2.5%) che hanno diverse denominazioni commerciali. Le caratteristiche nominalidella lega karma sono le seguenti:

resistività: 1.33 Ω mm2/m

forza elettromotrice: +0.5 µV/K rispetto al rame

coefficiente di dilatazione: 0.000014 K–1

punto di fusione: 1400 ˚C

La variazione di resistività di queste leghe in funzione della temperatura è dello stesso ordine diquella della manganina.

Molto diffusa è anche la costantana (rame, nichel, manganese) che ha caratteristiche moltosimili alla manganina, ma una forza elettromotrice rispetto al rame molto più elevata, 40 µV/K:per questo viene usata per resistori di pregio minore e di valore piuttosto elevato (maggiore di100 Ω).

Fig. 2.4 Tensione campione con schema di ponte a due diodi, preceduto da uno stadio incascata

R2

RV

VE

VU

Z1R1

Z2

RU



I resistori campione sono costituiti da una certa lunghezza di filo o piattina di manganinaavvolto su un supporto rinchiuso in una custodia metallica.

I resistori campione sono costituiti da una certa lunghezza di filo o piattina di manganinaavvolto su un supporto rinchiuso in una custodia metallica. I resistori avvolti con filo hannovalori da 1 Ω a 100000 Ω secondo le potenze di 10, mentre resistori di valore inferiore (gene-ralmente da 0.1 Ω a 0.0001 Ω) sono avvolti con piattina.

I resistori campione hanno quattro morsetti: due per addurre corrente, due per prelevare tensionee delimitare così esattamente il valore di resistenza; solo i resistori di valore elevato hanno tal-volta solo due morsetti, in quanto la resistenza dei blocchetti terminali può ritenersi trascurabilerispetto a quella del resistore.

Il supporto per l’avvolgimento del filo è solitamente un cilindro di ottone ricoperto di un sottilestrato isolante: ciò facilita la dissipazione del calore prodotto dal passaggio di corrente nel resi-store; per questa ragione molto frequentemente la custodia del resistore è riempita di olio.

Se un resistore deve essere impiegato per misure in corrente alternata, esso deve presentare unvalore di reattanza (X) trascurabile. L’impedenza di un resistore di questo tipo viene solitamentedefinita in termini di resistenza R e di costante di tempo τ, essendo

(2.5)

In questa relazione, L deve intendersi un’induttanza “equivalente” residua. Per ottenere valoridi τ molto piccoli (10–6 ÷ 10–8 s) si impiegano svariati metodi. Il più diffuso è l’avvolgimentobifilare nel quale il filo resistente di lunghezza l viene ripiegato in due partendo dal punto l/2 eavvolto mantenendo vicine, o addirittura intrecciate, le due metà. Poiché esse vengono percorsein senso opposto dalla corrente di misura, i flussi da questa prodotti tendono ad annullarsi otte-nendo in definitiva un valore d’induttanza molto piccolo (Figura 2.5).

Fig. 2.5 Campione di resistenza con avvolgimento bifilare

τ LR---=

2.5. Campioni di Capacità


Se un resistore deve essere impiegato per misure in corrente alternata, esso deve presentare unvalore di reattanza trascurabile e pertanto si utilizza generalmente l’avvolgimento bifilare nelquale il filo resistente viene ripiegato in due e avvolto mantenendo vicine, o addirittura intrec-ciate, le due metà.

Se l’avvolgimento bifilare è formato con un filo di lunghezza piuttosto notevole, può non esseretrascurabile la capacità tra i fili stessi. Con i valori di lunghezza di filo normalmente usati per iresistori, si ha in genere una prevalenza di induttanza per valori di resistenza R < 100 Ω, unaprevalenza di capacità per valori di R > 100 Ω. Per ovviare a questo fatto si usano avvolgimentiformati da più sezioni di resistenza poste in serie o parallelo; per R > 100 Ω sono formati da nsezioni di resistenza R/n poste in serie: in questo caso l’induttanza totale rimane pressochéuguale, ma viene notevolmente diminuita la capacità dell’avvolgimento.

Altri metodi di avvolgimento sono quelli di Chaperon, di Curtis e Grover, di Ayrton e Perry,che non si descrivono per brevità.

Quando è necessario disporre di campioni di resistenza variabile si ricorre alle cassette di resi-stori generalmente di legno e con coperchio di materiale isolante dal quale sporgono i comandiper la variazione del valore totale di resistenza del circuito.

Un tipo comune è la cassetta a spine, nella quale ogni resistore singolo ha i capi collegati a dueblocchetti di ottone disposti sopra al coperchio. Inserendo delle spine fra blocchetti adiacenti sieffettuano i collegamenti, includendo o cortocircuitando i resistori a seconda della disposizione(Figura 2.6). Una cassetta con 16 resistori di valore rispettivamente 1, 2, 2, 5, 10, 20, 20, 50,100, 200, 200, 500, 1000, 2000, 2000 e 5000 Ω disposti in serie permette di realizzare qualsiasivalore di resistenza da 1 a 11110 Ω.


Un condensatore reale presenta inevitabilmente differenze di comportamento agli effetti esternirispetto al condensatore ideale, schematizzabili tutte sotto forma di potenza attiva dissipata.

Fig. 2.6 Campione di resistenza variabile realizzata con una cassetta a spine



Un condensatore reale presenta inevitabilmente differenze di comportamento agli effetti esternirispetto al condensatore ideale, schematizzabili tutte sotto forma di potenza attiva dissipata. Trale cause di dissipazione di potenza attiva sono elencabili:

• conduttanza di dispersione diversa da zero;

• isteresi dielettrica;

• effetto Joule nei collegamenti e nelle armature;

• ossidazione delle armature;

• effetti di bordo.

Dal diagramma vettoriale emerge che lo scostamento dalle condizioni di funzionamento idealipuò essere espresso dal valore della tangente dell’angolo di perdita (Figura 2.7) definita da

(2.6)

dove P e Q esprimono la potenza attiva e reattiva assorbite da condensatore reale.

È evidente che quanto più ci si approssima alle condizioni ideali, tanto più piccolo è P, cosìcome tan(δ). I circuiti equivalenti di un condensatore reale (Figura 2.8) permettono di scriverenel caso serie

(2.7)

e nel caso parallelo

(2.8)

Gran parte delle cause di dissipazione è da attribuirsi al dielettrico; per cui i minimi valoridell’angolo di perdita (dell’ordine di 10–5) si ottengono con isolanti gassosi, notoriamente imeno dissipativi. In tal modo si realizzano capacità fino a 0.001 µF, per tensioni fino a 10 kV,con coefficienti di temperatura dell’ordine di 2 10–12 K–1.

Fig. 2.7 Diagramma vettoriale di un condensatore reale

δ( )tan PQ----=

Im

Re

V

I

ϕ

δ

δ( )tan ωCRs=

δ( )tan 1ωCRp---------------=



I condensatori campione sono costituiti da due serie di armature metalliche fra le quali è inter-posto un isolante.

I condensatori campione sono costituiti da due serie di armature metalliche fra le quali è inter-posto un isolante. Nella forma più comune si tratta di fogli alternati sovrapposti nel seguenteordine (chiamando A e B i due morsetti terminali): armatura A - isolante - armatura B - isolante - armatura A - isolante - armatura B, eccetera (Figura 2.9).

Per capacità maggiori si deve ricorrere ai dielettrici solidi: essi hanno pure rigidità dielettricaelevata, a scapito sia del coefficiente di temperatura, sia dell’angolo di perdita (il cui valore salefino a 10–4).

Gruppi di condensatori così costruiti vengono riuniti in cassette a spine che permettono il loroinserimento in parallelo per aumentare la capacità del complesso. Condensatori in aria sono diuso molto comune quando si richiede la variazione continua della capacità. In tal caso si ha unaserie di armature fisse fra le quali sono interposte quelle mobili meccanicamente collegate fradi loro e all’albero di comando. Durante la rotazione varia la superficie affacciata fra le armaturee cambia quindi la capacità. La legge di variazione dipende dal profilo assegnato alle armature(Figura 2.10).

Fig. 2.8 Circuiti equivalenti di un condensatore reale

Fig. 2.9 Campione di capacità

G C

Circuito EquivalenteParallelo

R

C

Circuito EquivalenteSerie

A B



Per misure in alta tensione, si usano dei condensatori campione in gas compresso, che possonosopportare tensioni anche di diverse centinaia di kilovolt.

Quando si debbono eseguire misure in alta tensione, si usano dei condensatori campione in gascompresso (Figura 2.11), che possono sopportare tensioni anche di diverse centinaia di kilovolt.

L’uso del gas compresso come dielettrico offre i vantaggi di una più elevata rigidità dielettricadi minime perdite e di stabilità nel tempo. I gas più frequentemente usati sono l’azoto e l’ani-dride carbonica, compressi a 1 ÷ 1.5 MPa. Le armature di un condensatore presentano semprecapacità parassite rispetto ad ogni conduttore circostante. Per limitarne gli effetti e per averecapacità costante con la tensione, si muniscono i condensatori di elettrodi di guardia. Una delledisposizioni preferite è schematizzata in Figura 2.12.

Il morsetto 3 permette l’accesso all’elettrodo di guardia che minimizza l’effetto di bordo. Affin-ché l’anello di guardia assolva alla funzione detta, è necessario che il suo potenziale sia pros-simo a quello dell’elettrodo. Pertanto il morsetto di alta tensione sarà indubbiamente il morsettol, mentre il 2 ed il 3 andranno mantenuti a potenziali prossimi a quello di terra.

Fig. 2.10 Campione di capacità variabile

Fig. 2.11 Campione di capacità per alta tensione

2.6. Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza


2.6. Campioni di Induttanza e Mutua Induttanza

Gli induttori campione sono costituiti da filo avvolto su un supporto di materiale isolante perevitare il formarsi di correnti di Foucault. La bobina viene racchiusa in una scatola pure iso-lante dalla quale sporgono i terminali dell’avvolgimento.

Gli induttori campione sono costituiti da filo avvolto su un supporto di materiale isolante perevitare il formarsi di correnti di Foucault. La bobina viene racchiusa in una scatola pure isolantedalla quale sporgono i terminali dell’avvolgimento (Figura 2.13). Nell’impiego di questi cam-pioni bisogna tenere presente che, per quanto i conduttori siano abbondantemente dimensionati,la resistenza ohmica non è mai nulla ed il suo valore deve essere considerato nella valutazionedei parametri del circuito.

In modo analogo sono realizzati i campioni di mutua induttanza, costituiti da due avvolgimenticoncentrici terminanti su quattro morsetti. Un mutuo induttore, costituito da due avvolgimenticoncatenati strettamente fra di loro per minimizzare i flussi dispersi, presenta quattro morsetti,due per ciascun avvolgimento, (Figura 2.14) fra i quali si determina la ben nota relazione

(2.9)

Fig. 2.12 Campione di capacità a gas compresso con elettrodi di guardia

Fig. 2.13 Campione di induttanza

1

2 3

E1 jMI1=



con M coefficiente di mutua induzione, proporzionale al prodotto del numero di spire primarieper il numero di spire secondarie.

Qualora si connettano fra loro un morsetto primario ed uno secondario, l’induttanza totale dellaserie così costruita sarà

(2.10)

L’alternanza del segno dipende dal verso di circolazione di un avvolgimento rispetto all’altro.Così la medesima costruzione può essere impiegata sia come induttore, sia come mutuo indut-tore.

Qualora si vogliano realizzare induttanze o mutue induttanze variabili, è necessario permetterela rotazione reciproca degli assi delle bobine (Figura 2.15).

Il valore massimo dell’induttanza (o della mutua induttanza) si ha per α = 0˚; il massimo nega-tivo per M si ha per α = 180˚. Sulla precisione ottenibile da simili costruzioni si può evitare didilungarsi al di là della pura considerazione della notevole entità dei flussi dispersi. Poiché lescale vengono graduate per via empirica, si può ritenere che il limite dello 0.5 ÷ 1% non possaessere facilmente migliorato.

Fig. 2.14 Campione di mutua induttanza

Fig. 2.15 Campione di mutua induttanza variabile

L L1 L2 2± M+=

2.7. Campioni di Tempo



Un campione di tempo significa è normalmente una sorgente di segnali preferibilmente elet-trici, aventi periodo predeterminabile, stabile nel tempo e con la temperatura di impiego, di pic-colo ingombro ed elevata affidabilità.

Costruire un campione di tempo significa poter disporre di una sorgente di segnali preferibil-mente elettrici, aventi periodo predeterminabile, stabile nel tempo e con la temperatura diimpiego, di piccolo ingombro ed elevata affidabilità.

I generatori primari di oscillazioni sono ancora oggi di natura prevalentemente meccanica, salvoil ricorso a fenomeni atomici in tecnologie particolarmente raffinate e costose. Si premettonoquindi alcune considerazioni:

• nella realtà costruttiva, ogni fenomeno oscillatorio di natura meccanica è fortemente influen-zato dalle dimensioni geometriche del corpo vibrante: minimizzare le dimensioni significa,in generale, minimizzare i fenomeni dissipativi ed aumentare la frequenza propria di oscilla-zione;

• più elevata è la frequenza propria di oscillazione del generatore primario, minore incidenzarelativa ha la sua imprecisione nella scansione dei tempi, man mano che il periodo scanditoaumenta.

Il diapason viene impiegato, per eccitare circuiti in corrente alternata previsti per produrre scaledei tempi e per controllarne la frequenza di funzionamento. Il periodo di risonanza vale

(2.11)

dove l è la lunghezza d’onda meccanica, E il modulo di elasticità del materiale, s lo spessoredella forcella, d la densità del materiale, k la costante, dipendente dalle dimensioni del diapason.La temperatura influenza k, E, s e d in varia forma e misura, secondo particolari leggi di varia-zione.

I migliori diapason bimetallici ed in leghe speciali hanno coefficiente di temperatura per la fre-quenza

(2.12)

dell’ordine di 10–5 ÷ 10–6 K–1. Si producono diapason vibranti con periodo proprio dell’ordinedi 10–1 ÷ 10–3 s.

I risuonatori al quarzo sono basati sull’effetto piezoelettrico, che determina un legame biuni-voco e definito fra deformazioni e forza elettromotrice applicate e generate alle facce di cristallidi particolare natura, fra i quali il quarzo è l’esponente tipico e di minor costo.

T l2

4k Esd

------

-----------------=

α f∆f T∆-----------=



Il funzionamento dei risuonatori al quarzo si basa sull’effetto piezoelettrico, che determina unlegame biunivoco e definito fra deformazioni e forza elettromotrice applicate e generate allefacce di cristalli di particolare natura, fra i quali il quarzo è l’esponente tipico e di minor costo.

Lo schema costruttivo generale di un risuonatore al quarzo è il seguente (Figura 2.16a), ove unalamina di quel materiale, tagliata da una massa cristallina secondo piani paralleli opportuna-mente orientali rispetto agli assi cristallografici, è interposta fra due elettrodi alimentati elettri-camente alla frequenza di risonanza meccanica della lamina stessa.

È evidente che le condizioni di risonanza (frequenza elettrica di eccitazione uguale alla fre-quenza meccanica di vibrazione) vanno mantenute e rese stabili nel tempo. Le frequenze di riso-nanza serie e parallelo di un quarzo si possono determinare usando il circuito equivalente diFigura 2.16b e risultano

(2.13)

Lo schema di principio di un oscillatore può essere quello mostrato in Figura 2.17. Assunto ilcircuito equivalente del risuonatore Q riportato in Figura 2.16b e ricordando che l’impedenzaequivalente di un circuito risonante è minima in condizioni di risonanza ( ), il risuo-natore al quarzo si comporta come una resistenza variabile con la frequenza. Il circuito dicomando è così pilotabile ed il risuonatore si può considerare in funzionamento stabile solo inuna delle condizioni di risonanza di Q.

Fig. 2.16 Schema costruttivo e circuito equivalente di un risuonatore al quarzo

Fig. 2.17 Schema di principio di un oscillatore al quarzo

(a) ( b)

Cp

L R

C

f s1

2π LC-------------------=

f p

1 CC p------+

2π LC p

---------------------=

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

Zeq R=

+

–

QK

LO



La stabilità in frequenza ottenuta è di 10–8 Hz; il campo coperto è da 5 kHz a 10 MHz circa, conlimitazioni dovute all’eccessivo aumento delle dimensioni, verso il basso, ed alla fragilità dellepiastrine, verso l’alto.

3.1. Generalità


3. Catene di Misura e Funzioni di Trasferimento

3.1. Generalità

Il segnale che rappresenta la grandezza da misurare viene trattato in modo da poter esprimerequest’ultima con uno o più valori numerici o di fornirne una appropriata rappresentazione.

Il complesso degli elementi interposti per ottenere detta rappresentazione costituisce una catenadi misura, come illustrato in Figura 3.1. La catena di misura più semplice è costituita da un solostrumento, ma è assai frequente il ricorso a catene più complesse. In termini più generali si puòanche pensare che il singolo strumento sia dal punto di vista funzionale assimilabile ad unacatena di misura.

Il tipo di trattamento del segnale può variare in relazione alla natura e all’ampiezza della gran-dezza in esame, nonché al tipo di misura che si desidera condurre.

Ciò che è importante conseguire è la univocità della relazione tra la rappresentazione in uscitadella grandezza e il segnale che la rappresenta in ingresso.

Il caso più semplice di trattamento è quello per il quale i due segnali in ingresso e in uscita dellacatena sono della stessa natura e in uscita tra loro legati da un fattore di conversione (quindi deltipo y = k x), ma sono assai frequenti anche trattamenti governati da funzioni più complesse, adesempio relazioni di fase tra grandezze sinusoidali oppure grandezze in ingresso e uscita didiversa natura.

Fig. 3.1 Schema generale di una catena di misura

ME(t) U(t)

3 Catene di Misura e Funzioni di Trasferimento


3.2. Richiami sulla Trasformata di Laplace

Data una funzione f(t) definita nel dominio del tempo per t > 0 e identicamente nulla per t < 0si definisce “Trasformata di Laplace” della f(t) una funzione F(s) definita nel dominio dellavariabile complessa s = α + j ω,

(3.1)

Poiché la funzione F(s) si ottiene con un integrale esteso ad un intervallo infinito essa può con-vergere o non convergere.

Data una trasformata di Laplace F(s), i valori di s che rendono infinito il modulo di F(s) sidicono poli, mentre i valori di s che annullano F(s) si dicono zeri di F(s).

Si può dimostrare che se l’integrale converge per s0 = 0 + j, esso converge anche per ogni valoredi s la cui parte reale è maggiore di 0. L’estremo inferiore dei valori di per cui l’integrale con-verge si dice ascissa di convergenza c (Figura 3.2).

Con la trasformata di Laplace si è stabilita una corrispondenza univoca tra funzioni reali divariabili reali trasformabili e funzioni complesse di variabile complessa.

È anche possibile applicare il procedimento inverso e cioè calcolare f(t) quando è nota F(s). Siha allora:

(3.2)

Fig. 3.2 Ascissa di convergenza per la trasformata di Laplace

F s( ) f t( )e st– td0

∞

∫ L f t( )[ ]= =

α

j ω

c

Ascissa diConvergenza

f t( ) 12πj-------- F s( )est sd

a jω–

a jω+

∫ L 1– F s( )[ ]= =

3.2. Richiami sulla Trasformata di Laplace


dove l’integrazione è effettuata lungo una retta parallela all’asse immaginario di ascissa (a > 0).La corrispondenza tra f(t) e F(s) è biunivoca.

La funzione F(s) può sempre essere ricondotta a una funzione razionale del tipo

(3.3)

Nel caso in cui il grado m del polinomio al numeratore fosse maggiore del grado n del polinomioal denominatore, si può effettuare il quoziente tra i due polinomi ottenendo una funzione

(3.4)

nella quale B(s) è del tipo sopra indicato, mentre A(s) è un polinomio che ha come antitrasfor-mata la funzione di Dirac (o sue derivate).

Dato che l’uso diretto dell’integrale di trasformazione e di antitrasformazione è complicato, siricorre ad apposite tabelle, che riportano le coppie funzione-trasformata di uso più comune.Prima di ricorrere a dette tabelle, può essere conveniente scomporre la funzione razionale in sin una serie di termini semplici usando lo sviluppo di Heavyside.

3.2.1. Proprietà della Trasformata di Laplace

• La trasformazione di Laplace è un’operazione lineare e vale

(3.5)

• Traslazione nel dominio del tempo: se allora

(3.6)

• Traslazione nel dominio di Laplace: se allora

(3.7)

• Derivazione nel dominio di Laplace: se allora

(3.8)

• Derivazione nel dominio del tempo: se allora

(3.9)

Se la funzione f(t) è discontinua per t = 0, ad f(0) occorre sostituire

(3.10)

La formula di derivazione è iterabile e può quindi essere utile per il calcolo della trasformatadi una qualunque derivata della funzione f(t), nota la sua trasformata F(s).

F s( )a0 a1s a2s2 … amsm+ + + +

b0 b1s b2s2 … bnsn+ + + +--------------------------------------------------------------------=

F s( ) A s( ) B s( )+=

L k1 f 1 t( ) k2 f 2 t( )+[ ] k1L f 1 t( )[ ] k2L f 2 t( )[ ]+=

L f t( )[ ] F s( )=

L f t τ–( )[ ] e st– F s( )=

L f t( )[ ] F s( )=

L eat f t( )[ ] F s a–( )=

L f t( )[ ] F s( )=

L tf t( )[ ] Fd s( ) sd⁄=

L f t( )[ ] F s( )=

L fd t( ) td⁄[ ] sF s( ) f 0( )–=

f 0+( ) f t( )t 0+→lim=



• Teorema del valore iniziale: se allora

(3.11)

• Teorema del valore finale: se e F(s) ha poli solo a parte reale negativa enell’origine (ma non su altri punti dell’asse immaginario o nel semipiano a parte reale posi-tiva) allora

(3.12)

Nella Tabella 3.1 sono riportate le trasformate per alcune delle funzioni d’uso più frequente.

3.2.2. Risoluzione di Equazioni Differenziali

Mediante la trasformazione di Laplace, la risoluzione di equazioni differenziali lineari ed acoefficienti costanti si riduce, nel senso che verrà in seguito precisato, alla risoluzione di equa-zioni algebriche.

• Con la trasformazione, il problema viene trasferito dal “dominio del tempo” al “dominio diLaplace”; si sostituisce il problema originale (in cui l’incognita è una funzione del tempo)con un problema equivalente in cui l’incognita è la trasformata dell’incognita di partenza,che ha un livello di difficoltà inferiore al primo perché in esso compaiono equazioni algebri-che anziché differenziali.

Funzione Trasformata di Laplace

Impulso 1

Scalino

Rampa

Parabola

Esponenziale

Seno

Coseno

Tab. 3.1 Trasformate di Laplace per alcune funzioni di comune impiego

L f t( )[ ] F s( )=

f 0+( ) sF s( )s ∞→lim=

L f t( )[ ] F s( )=

f t( )t ∞→lim sF s( )

s 0→lim=

δ t( )

sca t( ) 1s---

ram t( ) tsca t( )=1s2----

par t( ) t2sca t( )=1s3----

e at– sca t( )1

s a+-----------

ωt( )sin sca t( )ω

s2 ω2+-----------------

ωt( )cos sca t( )s

s2 ω2+-----------------

3.3. Funzione di Trasferimento


• Si risolve il problema equivalente nel dominio di Laplace determinando la trasformatadell’incognita del problema originale.

• Si ritorna nel dominio del tempo mediante l’antitrasformazione.

Il problema potrebbe essere risolto anche direttamente restando nel dominio del tempo. Si pon-gono così le due alternative illustrate in Figura 3.3. Il procedimento che passa attraverso ildominio di Laplace è utilizzato nei casi in cui la trasformata del segnale di ingresso è una fun-zione razionale.


Dato un sistema lineare con un ingresso ed una uscita, si dice “Funzione di trasferimento” G(s)il rapporto tra la trasformata di Laplace del segnale di uscita U(s) e la trasformata di Laplace delsegnale di ingresso E(s), quando il sistema è in condizioni iniziali nulle:

(3.13)

Fig. 3.3 Risoluzione di equazioni differenziali nel dominio del tempo o nel dominio diLaplace

Problema

Metodi Risolutivi diEquazioni Differenziali

Soluzione delProblema

Trsasformazione Antitrasformazione

ProblemaEquivalente

Metodi Risolutivi diEquazioni Algebriche

Soluzione delProblema Equivalente

Dominio del Tempo

Dominio di Laplace

G s( ) U s( )E s( )----------=



La G(s) ha il significato fisico di trasformata di Laplace della risposta del sistema ad un segnaledi ingresso di tipo impulsivo (δ di Dirac) la cui trasformata è uguale a 1.

Si ricorda che la funzione di Dirac è rappresentabile con un rettangolo δ(t) di durata τ e altezza1 / τ e quindi di area 1. Se si fa tendere τ a 0, mantenendo l’area uguale a 1, l’ordinata 1 / τ tendea ∞ (Figura 3.4).

Si osserva che la risposta di un sistema ad una funzione impulsiva del tipo descritto può essereottenuta, sia pure con difficoltà, anche per via sperimentale.

È però in generale più semplice produrre l’eccitazione al gradino unitario (fronte infinitamenteripido e poi valore costante unitario) che altro non è che l’integrale dell’impulso di Dirac.

La trasformata della risposta al gradino moltiplicata per il fattore s, dà ancora la funzione di tra-sferimento G(s).

Si ricordi che la funzione di trasferimento è una caratteristica del sistema ed è indipendente dalsegnale di ingresso.

In un circuito elettrico si hanno però più funzioni di trasferimento a seconda del punto in cui siapplica la forzante E(s) e del punto in cui si rileva il segnale di uscita U(s). Per rendersene contobasta osservare il circuito di Figura 3.5, nel quale senza cambiare la posizione della forzante, siassume una volta come uscita U1(t) e la seconda U2(t).

Fig. 3.4 Rappresentazione della funzione δ di Dirac

Fig. 3.5 Esempio di funzioni di trasferimento in un circuito elettrico

Tempo

Am

piez

za

τ

1/τ

E(t)

U1(t)

U2(t)R C



In generale i sistemi reali che interessano presentano funzioni di trasferimento dei due tipiseguenti:

• Sistemi del primo ordine

(3.14)

• Sistemi del secondo ordine

(3.15)

In tali espressioni, µ > 0 rappresenta il guadagno del sistema.

In entrambi i casi la G(s) è caratterizzata da G(0) = µ cioè il sistema trasferisce senza alterazioniun segnale di ingresso costante nel tempo moltiplicandolo per µ. Poiché µ è costante, l’analisidelle due funzioni può essere fatta utilizzando la forma ridotta (ponendo µ = 1).

3.3.1. Sistemi del Primo Ordine

Si analizza ora la G(s) per i sistemi del primo ordine che dal punto di vista elettrico possonoessere rappresentati con un circuito in cui ci sono resistenze R e induttanze L (ma non capacitàC) oppure resistenze R e capacità C (ma non induttanze L). Il parametro τ è detto costante ditempo e definisce completamente il sistema. Ad esempio, per il circuito di Figura 3.6 la costantedi tempo è τ = R C (in secondi).

Si esamina ora il caso in cui E(t) è un gradino unitario cioè E(t) = 0 per t < 0 e E(t) = 1 per t > 1.Trasformando nel dominio di Laplace si ottiene

(3.16)

per cui si ha

(3.17)

Per passare al dominio del tempo bisogna antitrasformare la U(s). Conviene applicare il teoremadi Heavyside che consente di suddividere la funzione in più termini di tipo più semplice:

(3.18)

Fig. 3.6 Esempio di sistema del primo ordine: circuito RC

G s( ) µ1 sτ+--------------=

G s( ) µ

1 2Qω0-------s 1

ω02

------s2+ +--------------------------------------=

E(t) U(t)R C

E s( ) 1s---=

U s( ) G s( )E s( ) 11 sτ+--------------1

s---= =

U s( ) 11 sτ+--------------1

s--- 1

s--- 1 τ⁄

1 sτ+--------------– 1

s--- 1

1 τ⁄ s+------------------–= = =



Si può ora facilmente antitrasformare, ottenendo

(3.19)

In Figura 3.7 è riporta in grafico questa funzione confrontata con il gradino unitario.

Si noti il significato geometrico di τ che è la sottotangente, riferita all’ordinata E(t) = 1 dellafunzione U(t). Essa rappresenta:

• il tempo dopo il quale U(t) = 0.632 = e–1;

• l’area compresa tra le due curve (tempo di risposta).

Se si considera invece la funzione a rampa E(t) = k t, la risposta è ancora una rampa con ritardocostante τ rispetto alla rampa applicata, dopo un tempo abbastanza grande rispetto a τ stessa(Figura 3.8).

3.3.2. Sistemi del Secondo Ordine

Si passa ora ad esaminare la funzione di trasferimento ridotta (µ = 1) per sistemi del secondoordine di cui si riporta per comodità l’espressione:

(3.20)

nella quale:

Fig. 3.7 Risposta al gradino unitario di un sistema del primo ordine

U t( ) L 1– U s( )[ ] 1 e t– τ⁄–= =

τ0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Am

piez

za

Tempo

G s( ) 1

1 2Qω0-------s 1

ω02

------s2+ +--------------------------------------=

3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace


• Q rappresenta il fattore adimensionale di smorzamento;

• ω0 rappresenta pulsazione caratteristica del sistema.

Si consideri ora il comportamento dinamico applicando uno scalino unitario.

A seconda che Q > 1, Q = 1, Q < 1 la risposta sarà aperiodica, critica o oscillatoria (Figura 3.9).

L’ampiezza massima della sovraelongazione è data da

(3.21)

che è pure una funzione di Q (Figura 3.10).

Per i sistemi del secondo ordine ha ancora significato il tempo di risposta (τr) come è stato defi-nito per i sistemi del primo ordine.

Nel caso di risposta oscillatoria il tempo di risposta si calcola sommando algebricamente le aree( ), come indicato in Figura 3.11.

3.4. Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace

Il metodo simbolico permette di passare immediatamente dalla funzione E(t) alla funzione E(s),tenendo presente i teoremi di derivazione e integrazione dell’integrale di Laplace.

Fig. 3.8 Risposta alla rampa di un sistema del primo ordine

Am

piez

za

Tempo

τ

UM 1 e

πQ( )

1 Q2–--------------------–

+=

τr τ1 τ2– τ3 τ4–+=



In un circuito elettrico, i componenti R, C e L possono essere sostituiti con impedenze simboli-che equivalenti.

(3.22)

Si veda in proposito la Tabella 3.2.

3.5. Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale

In un sistema lineare a parametri concentrati, la risposta a una eccitazione sinusoidale è ancorauna sinusoide della stessa frequenza ma di ampiezza e fase diverse, come è ben noto dallo studiodei circuiti a corrente alternata.

Si può dimostrare che, in generale, l’ampiezza della sinusoide in uscita si ottiene moltiplicandoil segnale in ingresso per il modulo della funzione di trasferimento calcolato ponendo s = j ωdove ω = 2 π f è uguale alla pulsazione della forzante, mentre lo sfasamento è determinatodall’argomento di G(j ω).

Dal punto di vista sperimentale è molto più comodo determinare la risposta in regime staziona-rio che all’impulso di Dirac o al gradino unitario, in quanto esistono generatori di funzioni sinu-soidali a frequenza variabile molto semplici.

Fig. 3.9 Risposta al gradino unitario di un sistema del secondo ordine

Am

piez

za

Tempo

Q = 2

Q = 1

Q < 1

E(t)

Resistenze R→ Capacità 1sC------→ Induttanze s→ L, ,



Fig. 3.10 Massima sovraelongazione nella risposta al gradino unitario in un sistema delsecondo ordine in funzione del parametro Q

Fig. 3.11 Calcolo del tempo di risposta in un sistema del secondo ordine

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Am

piez

za

Q

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Am

piez

za

Tempo

τ1

τ2

τ3

τ4



Nel caso che gli zeri e tutti i poli si trovino nel semipiano negativo del piano complesso,ampiezza e fase delle risposte e perciò il modulo e l’argomento di G(j ω) possono essere facil-mente determinati.

Si consideri quale esempio la funzione di trasferimento

(3.23)

con un ingresso sinusoidale E(t) = sin(ω t).

L’operatore G(j ω) assume la forma

(3.24)

il cui modulo è dato da

(3.25)

Normalmente viene espresso in decibel (dB) e risulta quindi dato da

(3.26)

L’argomento di G(j ω) è invece dato da

(3.27)

Se sarà e . L’uscita ha quindi la stessa ampiezza dell’ingressorispetto alla quale si presenta però in ritardo di ω τ. Se invece sarà e

, cioè il sistema funziona da integratore approssimato (le due onde sono sfasate di1 / 4 di periodo).

ComponenteDominio

Tempo Frequenza

Resistenza

Capacità

Induttanza

Tab. 3.2 Impedenze simboliche equivalenti di resistenze, induttanze e capacità

v t( )i t( )-------- R= v s( )

i s( )--------- R=

i t( ) C v t( )dtd

-----------= i s( ) sCv s( )=

v t( ) L i t( )dtd

----------= v s( ) sLi s( )=

G s( ) 11 sτ+--------------=

G jω( ) 11 jωτ+-------------------=

G jω( ) 11 jωτ+-------------------

11 ω2τ2+--------------------- j τ

1 ω2τ2+---------------------– 1 ω2τ2+

1 ω2τ2+( )2----------------------------- 1

1 ω2τ2+-------------------------= = = =

G jω( )

G jω( ) dB 20 G jω( )( )log 20 1

1 ω2τ2+-------------------------⎝ ⎠⎛ ⎞log= =

ϕ ωτ–( )atan=

ωτ 1« G jω( ) 1≅ ϕ ωτ–=ωτ 1» G jω( ) 1 ωτ( )⁄≅

ϕ π 2⁄–=



Poiché il circuito facilita la trasmissione delle frequenze basse, esso si comporta come un filtropassa basso. La rappresentazione grafica del modulo e dell’argomento di G(j ω) è riportata inFigura 3.12.

Questi andamenti corrispondono a quelli di un circuito elettrico del tipo indicato in Figura 3.13.

Fig. 3.12 Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine passa-basso

0

0.5

1

Mod

ulo

Frequenza

-90

-45

0

Fase

Frequenza

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mod

ulo

[dB

]

Frequenza - Scala Logaritmica

-90

-45

0

Fase




Se si considera invece il circuito riportato in Figura 3.14, la funzione di trasferimento è data da

(3.28)

Se si calcolano il modulo e la fase in regime sinusoidale, si ottiene

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Queste due funzioni hanno l’andamento riportato in Figura 3.15.

Per sarà e , mentre per sarà e .Questo circuito si comporta come un derivatore approssimato.

Poiché il circuito trasmette le frequenze più elevate esso agisce da filtro passa alto.

Fig. 3.13 Circuito RC passa-basso

Fig. 3.14 Circuito RC passa-alto

E(t) U(t)R C

G s( ) sτ1 sτ+--------------=

E(t) U(t)C R

G jω( ) ωτ

1 ω2τ2+-------------------------=

G jω( ) dB 20 ωτ

1 ω2τ2+-------------------------⎝ ⎠⎛ ⎞log=

ϕ 1ωτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞atan=

ωτ 1« G jω( ) ωτ≅ ϕ π 2⁄= ωτ 1» G jω( ) 1≅ ϕ 0=



Fig. 3.15 Modulo e fase della risposta in frequenza di un sistema del primo ordine passa-alto

0

0.5

1M

odul

o

Frequenza

0

45

90

Fase

Frequenza

-40

-30

-20

-10

0

Mod

ulo

[dB

]


0

45

90

Fase


4.1. Generalità


4. Strumenti Analogici

4.1. Generalità

Tra tutte le classificazioni possibili, per gli strumenti analogici conviene fare riferimento aquella per tipo di conversione:

• magnetoelettrica;

• elettromagnetica;

• elettrodinamica;

• ad induzione;

• termica.

Negli strumenti analogici, la grandezza di uscita è generalmente la deviazione angolare di unindice solidale con un equipaggio che, per effetto della grandezza incognita, è forzato a ruotareintorno ad un asse.

L’equipaggio mobile è sottoposto ad una coppia motrice, funzione della grandezza sotto misura.Affinché lo strumento possa fornire una indicazione in condizioni di equilibrio statico, conl’indice fermo in una posizione univocamente corrispondente alla entità del misurando,sull’equipaggio mobile dovrà agire anche una coppia antagonista, funzione crescente delladeviazione, di solito di natura elastica. Per smorzare le oscillazioni intorno alla posizione diequilibrio, sempre presenti con coppie antagoniste di tipo elastico, deve essere prevista unacoppia smorzante, funzione della derivata della grandezza sotto misura, di solito di naturaviscosa, che riduce la durata del transitorio meccanico. Purtroppo è presente anche una coppiad’attrito che si cerca di minimizzare poiché attribuisce insensibilità e imprecisione allo stru-mento.

Portata di uno strumento analogico è la grandezza che applicata ai suoi morsetti fa arrestarel’indice in fondo scala.

Scala di uno strumento analogico è la suddivisione dell’arco di cerchio che può essere percorsodall’indice. Essa è solitamente tracciata in divisioni e numerata in modo da consentire una facilelettura.

L’indice degli strumenti più pregiati è a coltello o a filo e sotto questi è previsto uno specchioche consente di ridurre l’errore di parallasse che si commette nella lettura (Figura 4.1).

Uno strumento può avere più di una portata e la lettura non corrisponde necessariamente allaampiezza della grandezza sotto misura ma è a questa legata linearmente secondo una costante.Costante di uno strumento è il rapporto tra la grandezza di fondo scala e il numero di divisionidella scala. Nel caso di strumento a più portate si avranno tante costanti quante sono le portate.

4 Strumenti Analogici


Per pervenire al valore della grandezza misurata la lettura fatta sulla scala deve essere moltipli-cata per la costante.

4.2. Classe di Precisione

La precisione di uno strumento è definita dai limiti dell’errore espresso in percento di un valoreconvenzionale. Il valore convenzionale coincide quasi sempre con il valore di fondo scala, cioècon la portata. Per quanto riguarda la precisione, gli strumenti sono suddivisi in classi contrad-distinte da un numero detto indice di classe. Le classi previste dalle Norme CEI sono:

• Classe 0.05, errore inferiore allo 0.05% del fondo scala;





• Classe 1, errore inferiore allo 1% del fondo scala;



• Classe 3, errore inferiore allo 3% del fondo scala.

Questi indici rappresentano i limiti di errore percentuale che uno strumento, appartenente ad unacerta classe, non deve superare, al fondo scala, in determinate condizioni di riferimento, indicatedal costruttore oppure specificate dalle norme.

L’errore assoluto dello strumento, in qualunque punto della scala, non deve essere superiore a

(4.1)

Ad esempio, un amperometro di classe 0.2 portata 5 A, in qualunque punto della scala non deveavere un errore assoluto superiore a

(4.2)

Fig. 4.1 Indice degli strumenti analogici

ε Classe Portata⋅100

------------------------------------------=

ε 0.2100---------5 0.01 A±= =

4.3. Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio


Le condizioni di riferimento riguardano la temperatura ambiente, la posizione dello strumento,il suo orientamento rispetto al campo terrestre, eventuali valori di induzione magnetica esterna,la frequenza della corrente in misura (se si tratta di c. a.) eccetera. Facendo variare queste con-dizioni entro i limiti indicati dalle norme, l’errore d’indicazione dello strumento non deve ulte-riormente variare oltre il limite stabilito dalla classe. Ad esempio, nel caso dell’amperometro,sopra considerato, i limiti di variazione della temperatura ambiente sono di ±10 ˚C intorno allatemperatura di riferimento di 20 ˚C: l’errore assoluto dello strumento, a 30 ˚C oppure a 10 ˚C,non dovrà perciò essere superiore a 0.01 + 0.01 = ±0.02 A.

L’incertezza tipo che possiamo attribuire a uno strumento di una data classe di precisione siottiene assumendo una distribuzione rettangolare dell’errore delimitata dai limiti di classe erisulta

(4.3)

4.3. Comportamento degli Strumenti in Regime Stazionario e in Transitorio

Quando ad uno strumento analogico viene applicata una coppia motrice costante, l’indice tendea porsi in movimento ed a raggiungere la condizione d’equilibrio stabile per cui si verifica lauguaglianza tra coppia motrice e coppia resistente (o antagonista).

Lo spostamento dell’indice è retto dalla seguente equazione del moto nella quale per semplicitàsi è trascurata la coppia di attrito:

(4.4)

nella quale:

• J è il momento di inerzia dell’equipaggio;

• N è la costante della coppia di smorzamento;

• M è la costante della coppia antagonista;

• Cm è la coppia motrice supposta indipendente da δ;

• δ è la deviazione dell’indice dello strumento;

• t è il tempo.

Si tratta di una equazione differenziale del secondo ordine che può essere risolta rispettoall’incognita δ con il metodo della trasformata di Laplace, ricordando che δ = 0 a t = 0.

u ε

3------- Classe Portata⋅

100 3------------------------------------------= =

J d2δtd 2

--------- N δdtd

----- Mδ+ + Cm=



Si ottiene una espressione piuttosto complessa che è caratterizzata dalla pulsazione del sistemaω0 che dipende dal valore che assume il coefficiente di smorzamento

(4.5)

Si può a questo punto rilevare l’analogia con quanto esposto nel Capitolo 3.3. per quantoriguarda i sistemi del secondo ordine. Il sistema presenta quindi una funzione di trasferimentoche lega la grandezza elettrica in entrata alla grandezza meccanica in uscita (deviazionedell’indice).

L’indice assumerà quindi la posizione di regime dopo un certo tempo e lo spostamentodell’indice potrà essere oscillante, smorzato o aperiodico a seconda del valore di γ (Figura 4.2).

Negli strumenti analogici si fa in modo che sia γ = 0.7 ÷ 0.8 per cui l’indice supera, sia pur dipoco, la posizione di riposo oscillando brevemente intorno a questa.

Quanto è stato esposto assumendo per semplicità Cm = Costante, può essere facilmente estesoal caso di coppia motrice variabile nel tempo. Ad esempio, nel caso di coppia impressa sinusoi-dale di pulsazione ω, se si fa in modo che sia M » ω2, J » ω N e M » ω N, la deviazionedell’indice seguirà e riprodurrà senza inerzia la coppia motrice istantanea applicata finchéω « ω0 (registratori).

Fig. 4.2 Andamento temporale della posizione dell’indice in funzione del valore di γ da 0 a1.6 con passi di 0.2

γ N

2 MJ---------------=

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

δ/δ 0

t/T0

γ = 0

γ = 1.6

4.4. Strumenti Magnetoelettrici


Nel caso invece che sia ω » ω0, l’indice dello strumento non è in grado di seguire l’andamentodella grandezza e rimane fermo sulla posizione di zero.

Se la coppia motrice fosse variabile con valore medio non nullo, l’indice devierebbe in ragionedi detto valore medio.

4.4. Strumenti Magnetoelettrici

L’equipaggio mobile di uno strumento magnetoelettrico è costituito da una bobina rettangolarein filo di rame sottile, avvolta su un nucleo ferromagnetico di forma cilindrica immerso nelcampo magnetico generato da un magnete permanente. Le espansioni polari del magnete sonosagomate in modo da avere traferro costante (Figura 4.3).

Se la bobina è percorsa da corrente I, sui suoi lati attivi si esercita una coppia motrice Cm data da

(4.6)

nella quale:

• B è l’induzione magnetica;

• n è il numero delle spire della bobina;

• l è la lunghezza della bobina;

• d è il diametro della bobina.

Tale coppia è contrastata da una coppia resistente Cr di natura elastica (una molla, o i fili stessidi adduzione della corrente alla bobina, tesi fra due vincoli) che vale

(4.7)

1) Magnete Permanente2) Espansioni3) Bobina Mobile4) Nucleo Interno5) Molla Antagonista6) Dispositivo di Messa a Zero7) Indice8) Contrappesi dell’Indice

Fig. 4.3 Strumento magnetoelettrico

Cm BndlI kI= =

Cr Mδ=



dove:

• δ è l’angolo di rotazione della bobina;

• M è la costante della molla.

In condizioni di equilibrio deve essere

(4.8)

da cui

(4.9)

in cui ka è detta costante amperometrica dello strumento. Come si vede, il legame fra δ ed I èlineare per cui lineare è anche la scala di lettura. Per quanto detto al punto precedente, lo stru-mento magnetoelettrico fornisce una indicazione quando il valore medio delle grandezze non ènullo e quindi è tipico per le misure in corrente continua.

Nella fase transitoria del passaggio della posizione δ = 0 alla posizione δ = ka I, la bobina simuove con velocità angolare .

Poiché i lati attivi si muovono con velocità entro il campo magnetico costantedescritto dal vettore B, nella bobina viene indotta una forza elettromotrice

(4.10)

Se la bobina possiede una resistenza propria Rg ed è chiusa su un circuito di resistenza R, sidetermina una corrente

(4.11)

che si sovrappone a quella applicata e che da luogo ad una coppia smorzante data da

(4.12)

Tale coppia smorzante è nulla per R = ∞ (strumento a circuito aperto) e massima per R = 0 (stru-mento in corto circuito). Essa è nulla anche ad indice fermo.

Come esempio consideriamo un voltmetro magnetoelettrico. Esso è costituito da una strutturadel tipo di quella illustrata in Figura 4.3, ma in serie alla bobina mobile viene posta una resi-stenza R, come mostrato in Figura 4.4.

La deviazione dell’indice è proporzionale alla corrente che circola nella bobina ed è quindi datada

(4.13)

Cm Cr=

δ BndlM

------------I kaI= =

δd td⁄

d 2⁄( ) δd td⁄( )

E Bldn δdtd

-----=

i ERg R+----------------=

Cs Bldni B2l2d2n2

Rg R+---------------------- δd

td----- N δd

td-----= = =

δ kaI kaVR---- kvV= = =

4.5. Strumenti Logometrici


Variando il valore della resistenza R è possibile ottenere con lo stesso strumento diverse portatee diverse costanti kv. Normalmente nei voltmetri magnetoelettrici sono presenti diversi morsettiper le diverse portate, come mostrato in Figura 4.5.

4.5. Strumenti Logometrici

Una particolare applicazione di quanto sopra esposto è rappresentata dagli strumenti logome-trici (Figura 4.6).

Fig. 4.4 Voltmetro magnetoelettrico

Fig. 4.5 Voltmetro magnetoelettrico con diverse portate

Fig. 4.6 Strumento logometrico

AV

I R

A

I R1 R2 R3

*

P1

P2 P3



In questi strumenti la coppia di reazione elastica non è prevista in quanto l’equilibrio si ottienefacendo agire sull’equipaggio mobile due coppie motrici di verso opposto, che si uguagliano indipendenza delle due correnti di alimentazione e della posizione angolare dell’equipaggiostesso. Essendo le bobine di solito identiche, si vuole che lo strumento si arresti in posizionianche diverse dallo zero, come ogni strumento indicatore. Per fare questo, si sagoma il traferrocon forme opportune del nucleo, che porta solidali le due bobine disposte a 90˚.

Le coppie motrici sono date da

(4.14)

Uguagliando le due coppie si ottiene

(4.15)

Come si vede l’indicazione dipende dal rapporto fra due grandezze elettriche. La sua naturaleapplicazione è dunque l’impiego come ohmmetro.

Posto:

• Rc = Resistenza Campione;

• Rx = Resistenza Incognita;

• n1, n2 = Numero di Spire delle Bobine;

e trascurando le resistenze proprie delle bobine si ha che

(4.16)

da cui

(4.17)

Questi strumenti necessitano di notevoli coppie motrici e sono solitamente di precisione mode-sta.

Cm1 k1I1 δ( )cos=

Cm2 k2I2 δ( )sin=⎩⎨⎧

δ( )tan kI1

I2----=

I1ERc-----=

I2ERx------=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Rx

Rc------

I1

I2----

n1

n2----- δ( )tan= =

4.6. Strumenti a Conversione Elettromagnetica


4.6. Strumenti a Conversione Elettromagnetica

Negli strumenti a conversione elettromagnetica, detti anche a ferro mobile, il campo magneticoè generato da una bobina fissa entro la quale si muove un pezzo di ferro dolce, variamente sago-mato, che determina la deviazione di un indice su una scala (Figura 4.7).

L’energia magnetica in gioco nel sistema fisico chiuso definito dai confini dello strumento èdata da

(4.18)

dove L(δ) è l’induttanza della bobina, che dipende dalla posizione del nucleo, cioè della devia-zione δ. Il nucleo viene attirato entro la bobina e in assenza di coppia antagonista raggiunge-rebbe la posizione per cui è massima l’energia magnetica immagazzinata del sistema.

La coppia motrice che insorge è data da

(4.19)

Poiché il fenomeno descritto avviene indipendentemente dalla legge di variazione nel tempodella corrente, questi strumenti possono funzionare tanto in continua che in alternata (entro certilimiti di frequenza).

La legge di variazione di L con δ può essere predeterminata modellando opportunamente ilpezzo di ferro dolce, per cui si può ottenere una scala di lettura prossima alla lineare anche senella formula la corrente compare al quadrato.

Se la bobina è eccitata con corrente alternata, la coppia motrice risulta proporzionale al valoreefficace, sia pure non rigorosamente.

Le parti mobili non sono interessate da corrente, per cui questi strumenti sono semplici e robu-sti; la precisione conseguibile è confrontabile con quella degli strumenti magnetoelettrici.

Una variante costruttiva di rilievo, praticamente la più usata, consiste nell’utilizzare come fontedi coppia motrice non più l’attrazione bensì la repulsione tra corpi magnetizzati per induzione(Figura 4.8).

Fig. 4.7 Principio di funzionamento di uno strumento a conversione elettromagnetica

W 12---L δ( )I2=

Cm12--- Ld

δd------I2=



La massima induttanza si ha quando le due lamine (una mobile e l’altra fissa), magneticamentepolarizzate in maniera omologa, si trovano alla massima distanza.

Un altro strumento elettromagnetico assai diffuso è il frequenzimetro a lamelle, impiegatospesso nei quadri di controllo. Esso è costituito da una serie di lamelle con frequenze proprie dirisonanza meccanica poco diverse tra loro e note che vengono sottoposte a campo magneticovariabile (Figura 4.9).

L’elettromagnete, eccitato dalla tensione di cui si vuole misurare la frequenza, determina lavibrazione di quella lamella che presenta frequenza propria uguale al doppio della frequenza dialimentazione (infatti Forza di Attrazione ∝ B2).

Tali strumenti presentano al solito una ventina di lamelle, accordate di 0.5 Hz in 0.5 Hz intornoalla frequenza centrale (di solito 60 Hz o 50 Hz).

1) Bobina2) Nucleo Fisso3) Nucleo Mobile4) Molla Antagonista5) Dispositivo di Messa a Zero6) Smorzatore ad Aria

Fig. 4.8 Strumento a conversione elettromagnetica

1) Bobina (Estesa per Tutta la Lunghezza della Scala)2) Nucleo in Materiale Ferromagnetico3) Serie di Lamelle Vibranti le cui Estremità Sono Fissate sul Supporto4) Supporto

Fig. 4.9 Frequenzimetro a lamelle

4.7. Strumenti a Conversione Elettrodinamica



Gli strumenti a conversione elettrodinamica sono costituiti da due bobine, l’una fissa, di solitosdoppiata, e l’altra mobile collegata all’indice (Figura 4.10).

L’energia magnetica in gioco vale

(4.20)

dove Lf, Lm e M sono rispettivamente i coefficienti di autoinduzione e mutua induzione dellebobine. Derivando rispetto a δ si ottiene l’espressione della coppia motrice:

(4.21)

L’andamento di M in funzione di δ è sinusoidale, ma se le deviazioni non eccedono i 45˚ intornoalla posizione ove la coppia è massima (assi delle bobine ortogonali), si può ritenere che M varilinearmente con δ per cui

(4.22)

e pertanto

(4.23)

Se la coppia antagonista è di natura elastica (Cr = m δ), all’equilibrio sarà Cm = Cr cioèk If Im = m δ da cui

(4.24)

Fig. 4.10 Strumento a conversione elettrodinamica

W 12---L f I f

2 12---LmIm

2 M δ( )I f Im+ +=

Cm δ( ) I f ImMdδd

--------=

Mdδd

-------- k=

Cm kI f Im=

δ km----I f Im=



Questa espressione è valida per i valori istantanei e, se le correnti sono continue, la deviazionerisulta costante.

In regime sinusoidale, se If e Im sono isofrequenziali e sfasate dell’angolo ϕ:

(4.25)

la coppia motrice è data da

(4.26)

che nel tempo assume l’andamento indicato nella Figura 4.11.

Fig. 4.11 Andamento temporale della coppia motrice in uno strumento a conversione elettro-dinamica

I f I fM ωt( )sin=

Im ImM ωt ϕ+( )sin=⎩⎨⎧

Cm t( ) kI fMImM

2------------------- ϕ( )cos 2ωt ϕ+( )cos–[ ]=

Am

piez

za

Tempo

V(t)I(t)

Cm

(t)



La equazione (4.26) può essere dimostrata agevolmente procedendo a ritroso:

(4.27)

Dalla equazione (4.26) risulta che la coppia istantanea è costituita da un termine costante e daun termine sinusoidale di pulsazione doppia di quella delle grandezze impresse.

Introducendo per le correnti i valori efficaci al posto dei valori massimi si ottiene

(4.28)

Si può osservare che il valore medio di questa funzione è proporzionale al prodotto scalare delledue grandezze vettoriali If e Im

(4.29)

Si può agevolmente dimostrare che nel caso di correnti di frequenza diversa il valore mediorisulta nullo.

Per grandezze periodiche non sinusoidali, il valore medio della coppia corrisponde alla sommadei valori medi dei prodotti relativi ad armoniche corrispondenti.

Uno strumento del tipo descritto è detto elettrodinamometro e deve considerarsi uno strumentoper corrente alternata adatto per diverse applicazioni.

Si deve osservare che in base a quanto è stato esposto nel Capitolo 3.3., le caratteristichedell’equipaggio mobile in relazione alla frequenza delle correnti determinano il comportamentodello strumento ai transitori. Se la pulsazione della grandezza da misurare è molto piccolarispetto alla pulsazione meccanica propria dell’equipaggio, quest’ultimo è in grado di seguirel’andamento della coppia istantanea e potendosi ritenere la deviazione proporzionale alla cop-pia, la deviazione dell’indice risulta di tipo oscillatorio con asse di oscillazione sul valoremedio. In caso contrario, la deviazione dell’indice risulta stabilmente posizionata sul valoremedio.

Se si fa in modo che If corrisponda alla corrente di un circuito e Im sia proporzionale e in fasecon la tensione V del circuito stesso, la coppia media risulta

(4.30)

La proporzionalità tra tensione V e Im può essere molto semplicemente ottenuta ponendo in seriealla bobina mobile una resistenza di adeguato valore di tipo antiinduttivo.

12--- β( )cos 2α β+( )cos–[ ] 1

2--- β( )cos 2α( ) β( )coscos– 2α( ) β( )sinsin+[ ]

12--- 1 2α( )cos–[ ] β( )cos 2α( ) βsinsin+ =

12--- 1 α( )cos2– α( )sin2+[ ] β( )cos 2 α( ) β( ) α( )cossinsin+ =

12--- 2 β( ) α( )sin2 2 β( ) α( ) α( )cossinsin+cos[ ]=

α( ) β( ) α( )sincos β( ) α( )cossin+[ ]sin= α( ) α β+( )sinsin

= =

=

=

=

=

Cm t( ) kI f Im ϕ( )cos 2ωt ϕ+( )cos–[ ]=

Cm kI f Im•=

Cm kVI ϕ( )cos=



Lo strumento assume allora il nome di wattmetro e lo schema di principio è quello riportatonella Figura 4.12.

In tale applicazione, la bobina fissa è costituita con grosse spire di grande sezione, mentre labobina mobile è realizzata con molte spire di filo sottile.

Si rimanda a quanto esposto più avanti per la definizione di potenze attiva, reattiva e apparentenei circuiti a corrente alternata.

In linea di principio qualunque wattmetro può essere trasformato in varmetro: basta che Im siain quadratura con V. In queste condizioni si avrebbe infatti una coppia motrice media data da

(4.31)

Si può adottare lo schema indicato in Figura 4.13, per il quale

(4.32)

Fig. 4.12 Strumento elettrodinamico utilizzato come wattmetro

Fig. 4.13 Strumento elettrodinamico utilizzato come varmetro

V

I

R

Cm kVI ϕ 90°–( )cos kVI ϕ( )sin= =

IVV

ZZmR

Zm R+-----------------+

---------------------------=

Im IVR

Zm R+----------------- V R

ZZm ZmR ZR+ +------------------------------------------= =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

V

If

RIm

Z

Zm



Perché Im sia in quadratura con V, basta che sia nulla la parte reale del coefficiente di Vnell’ultima relazione, cioè

(4.33)

È stabilito così un legame che, rispettato, rende possibile la misura diretta di

(4.34)

Si osserva che il comportamento di un varmetro così realizzato è corretto solo per una ben deter-minata frequenza.

Attualmente, meno frequente è l’impiego come amperometro, potendo la bobina fissa fungereda derivatore per la bobina mobile (Figura 4.14).

Sarà dunque

(4.35)

La scala di lettura risulta in tal caso quadratica.

Ancora da rilevare è l’influenza che può avere la frequenza sulla precisione dell’indicazione inquanto essa influisce sul valore delle impedenze.

Lo strumento elettrodinamico può anche essere usato come voltmetro (Figura 4.15).

Detta Z l’impedenza equivalente della serie (bobina fissa, bobina mobile, resistore addizionale)sarà:

(4.36)

Fig. 4.14 Strumento elettrodinamico utilizzato come amperometro

RIm Z( )Im Zm( ) Re Z( )Re Zm( )–

Re Z( ) Re Zm( )+-----------------------------------------------------------------------=

Q Im I f• V I×= =

If

Im

I

Im IZ f

Z f Zm+--------------------=

I f IZm

Z f Zm+--------------------=

δ Im I f•Z f Zm

Z f Zm+( )2---------------------------I2 kaI2= = =

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧

δ 1Z2------V 2 kvV 2= =



Se la impedenza Z è sostanzialmente resistiva, l’indicazione è, entro certi limiti, indipendentedalla frequenza. In questo caso anche la bobina fissa è realizzata con molte spire di filo sottile.La scala dello strumento è quadratica.

4.8. Strumenti ad Induzione

Gli strumenti ad induzione funzionano in base al fenomeno di induzione elettromagnetica e perquesto motivo funzionano esclusivamente con correnti alternate.

Anche se in linea di principio si possono realizzare voltmetri, amperometri, la tipica applica-zione è quella del contatore di energia che è un wattmetro integratore.

Il wattmetro è costituito da un disco di rame o di alluminio imperniato su due pietre dure, cheporta la molla antagonista e l’indice.

Il disco può ruotare fra le espansioni polari di due elettromagneti i cui avvolgimenti sono per-corsi rispettivamente dalla corrente di misura (Figura 4.16), e da una corrente proporzionale allatensione del circuito.

Il funzionamento può essere schematizzato come segue: l’elettromagnete 1 produce un flussoΦv che attraversa il disco e vi genera una forza elettromotrice indotta che da luogo a sua volta acorrenti parassite; altrettanto fa l’elettromagnete 2. Come è noto, fra un flusso magnetico ed unacorrente elettrica si esercita una azione meccanica, ossia si generano delle forze. Orbene,l’azione sul disco si esercita per effetto del flusso Φv sulla corrente I2 e del flusso Φa sulla cor-

Fig. 4.15 Strumento elettrodinamico utilizzato come voltmetro

Fig. 4.16 Strumento a induzione

V

Im = IfR

4.8. Strumenti ad Induzione


rente I1. Poiché le correnti circolano nel disco ed i flussi emanano dai magneti che sono fissi, leforze che si generano sulle correnti agiscono anche sul disco che è sollecitato a muoversi, con-trastato dalla molla antagonista. Lo schema di distribuzione dei flussi e delle correnti è indicatoin Figura 4.17, dove ai flussi perpendicolari al piano del foglio corrispondono le correnti conandamento circolare intorno all’asse dei circuiti magnetici.

Per rendersi più chiaramente conto del funzionamento del wattmetro ad induzione, convieneesaminare le grandezze in gioco in un istante qualsiasi, ad esempio mentre la corrente Iv è posi-tiva e sta diminuendo e la Ia è pure positiva ma sta aumentando.

La corrente Iv che sta diminuendo induce sul disco una corrente I1 diretta nello stesso senso (perla legge di Lenz tende ad opporsi alla diminuzione del flusso). La corrente Ia che sta aumen-tando induce invece sul disco una corrente I2 diretta in senso contrario (che si opponeall’aumento del flusso). In base alle leggi delle azioni elettromeccaniche, la I2 reagisce con ilflusso Φv e da luogo ad una forza F1 che si può scindere in due componenti, una perpendicolareall’asse del disco ed una tangente ad esso. Questa ultima componente tende a far ruotare il discoe altrettanto avviene per la corrente indotta I1 e per il flusso Φa.

L’azione totale delle due forze produce la rotazione del disco come indicato dalla freccia se ledue correnti hanno andamento diverso (una crescente e l’altra decrescente). Se fossero entrambecrescenti o decrescenti, quindi in fase, le due forze generate sarebbero uguali e contrarie ed ildisco non potrebbe muoversi (Figura 4.18).

Si può quindi riassumere dicendo che la coppia Cm che si genera nel disco per effetto dell’inte-razione fra le due correnti I che percorrono gli elettromagneti e le componenti in quadratura

Fig. 4.17 Distribuzione dei flussi e delle correnti in uno strumento a induzione

Fig. 4.18 Rotazione del disco di uno strumento a induzione



delle correnti indotte Ii sul disco stesso, è proporzionale al seno dell’angolo di sfasamento fra lecorrenti:

(4.37)

In uno dei due avvolgimenti, collegato in serie, può essere inviata direttamente la corrente delcircuito, mentre l’altro, posto in parallelo può essere sottoposto alla tensione del circuito (ilvalore della corrente Iv sarà perciò Iv = V / Z).

Poiché il circuito voltmetrico presenta induttanza elevata la corrente Iv è sfasata rispetto alla ten-sione V applicata di un angolo assai prossimo a un quarto di periodo. Se a sua volta si indica conϕ lo sfasamento tra la tensione V e la corrente Ia impresse, sarà:

(4.38)

La equazione (4.38) si potrà quindi scrivere (Figura 4.19) come

(4.39)

Se ora si fa in modo che sia α = 90˚ si ottiene

(4.40)

Uno strumento ad induzione del tipo descritto può quindi fornire una deviazione (angolo di rota-zione del disco) proporzionale alla potenza attiva che transita nel circuito.

Non potendo essere la resistenza del circuito voltmetrico nulla, per ottenere lo sfasamentorichiesto tra tensione e corrente nella bobina voltmetrica, si deve ricorrere ad artifici circuitali.Il sistema più usato è quello di collocare un anellino metallico in corto circuito attorno almagnete (Figura 4.20) ed inoltre di fare sporgere il nucleo rispetto al disco di modo che unaparte del flusso si chiuda senza interessare il disco rotante.

Fig. 4.19 Diagramma vettoriale in uno strumento a induzione

Cm K1ΦvΦa δ( )sin K2IvIa δ( )sin= =

δ α ϕ–=

Cm K2IaVZ---- α ϕ–( )sin K3IaV α ϕ–( )sin= =

V

Ia

Φa

Iv

Φv

αδ

δ

ε

ϕ

Cm K3IaV 90° ϕ–( )sin K3IaV ϕ( )cos K3P= = =

4.9. Contatori ad Induzione


Per effetto delle correnti indotte in questo anellino è possibile avere uno sfasamento del flussorelativo anche superiore ai 90˚. Ciò permette, fra l’altro, di compensare anche lo sfasamento chesi produce nell’avvolgimento amperometrico per effetto della sua induttanza e che altrimentidarebbe luogo ad un errore di fase. Negli strumenti più semplici l’anello viene sostituito da undischetto metallico che viene applicato in posizione eccentrica al di sotto di una espansionepolare: il comportamento è analogo a quello visto per l’anello.

Caratteristica peculiare degli strumenti a induzione è la stretta dipendenza dalla frequenza, inquanto dalla frequenza dipendono sia per i valori delle forze elettromotrici indotte, sia quellidelle impedenze.

Si tratta, tuttavia, di strumenti assai robusti, che possono sopportare forti sovraccarichi momen-tanei (la molla antagonista non è percorsa da corrente) e la loro scala si può sviluppare, a piacereper quasi tutta l’intera circonferenza.

Essi non sono caratterizzati da autosmorzamento delle oscillazioni, per cui sulla periferia deldisco viene applicato anche un magnete permanente (Figura 4.16) che genera, durante il movi-mento, delle correnti indotte le quali hanno l’effetto smorzante desiderato.


Il contatore ad induzione deriva direttamente dal wattmetro sopra descritto, ma esso è privodella molla antagonista, per cui il disco è libero di ruotare trascinando il numeratore(Figura 4.21).

Con il disco in rotazione, il magnete permanente provoca una coppia frenante proporzionale allavelocità angolare in quanto le correnti da esso indotte nel disco sono proporzionali alla velocitàdi rotazione.

Fig. 4.20 Correzione dello sfasamento in uno strumento a induzione

D

A

Φ1 Φ2

Φ ⎧⎨⎩



Poiché la potenza è proporzionale alla velocità angolare dello strumento, il numero di giri risultaproporzionale all’energia transitata. Si analizza ora in dettaglio la formazione della coppiamotrice. Il diagramma vettoriale completo delle grandezze in gioco sul contatore è rappresen-tato nella Figura 4.22.

Nel circuito voltmetrico la corrente Iv è sfasata in ritardo rispetto alla tensione V di quasi unquarto di periodo. Questa corrente produce nel circuito magnetico di tensione un flusso Φv adessa proporzionale e sfasato in ritardo di un piccolo angolo δv a causa delle perdite nel circuitomagnetico:

(4.41)

Il flusso Φv induce nel disco forze elettromotrici Ev proporzionali ad esso ed alla pulsazione ωe quindi delle correnti indotte.

La corrente I del circuito di corrente, che supponiamo sfasata di un angolo ϕ rispetto alla ten-sione V, percorre la bobina di corrente e genera un flusso Φi pari a

(4.42)

sfasato in ritardo rispetto a I di un piccolo angolo δi causa le perdite nel circuito magnetico.Questo flusso induce nel disco delle forze elettromotrici che a loro volta generano delle correnti,in analogia a quanto detto sopra.

La coppia motrice risultante delle due coppie parziali può essere espressa con una relazione deltipo

(4.43)

Infine, facendo in modo che l’angolo α fra la tensione V applicata alla bobina voltmetrica e lacorrente Iv che la percorre sia di 90˚, l’equazione (4.43) si trasforma in

(4.44)

La coppia motrice agente sull’equipaggio mobile del contatore è quindi proporzionale al pro-dotto dei flussi voltmetrico e amperometrico, secondo una costante empirica K1.

Fig. 4.21 Contatore a induzione

Φv k1V=

Φi k2I=

Cm K1ΦvΦa α ϕ–( )sin=

Cm K1ΦvΦa 90° ϕ–( )sin K1ΦvΦa ϕ( )cos= =



Alla formazione della coppia antagonista concorrono più fenomeni.

Il disco in rotazione taglia il flusso costante esistente nel traferro del magnete permanente(magnete freno). In esso si inducono quindi delle forze elettromotrici proporzionali al valore delflusso costante ΦF tagliato ed alla velocità angolare ω del disco.

Proporzionali alla forza elettromotrice e alla velocità angolare, sono anche le correnti indotteche reagendo col flusso daranno luogo ad una coppia frenante del tipo

(4.45)

Fig. 4.22 Diagramma vettoriale in un contatore a induzione

V I

Φi

Φv

Iv

Ev

Ei

90˚

90˚

α

ϕ

δi

δv

CF k3ωΦF2=



Le correnti indotte nel rotore dal flusso voltmetrico e dal flusso amperometrico danno luogo allacoppia motrice, ma reagendo coi flussi che le hanno provocate danno anche origine a due coppiefrenanti che possono essere espresse con le relazioni

(4.46)

Non si deve poi dimenticare la presenza di una coppia di attrito meccanico (CA) che, salvo allospunto, in prima approssimazione può considerarsi proporzionale alla velocità angolare delrotore:

(4.47)

La coppia antagonista globale sarà formata dalla somma di tutte quelle parziali sin qui nomi-nate, e cioè

(4.48)

All’equilibrio fra coppia motrice e coppia antagoniste Cm = Ca, la velocità angolare dell’equi-paggio mobile sarà

(4.49)

Si verifica quindi per una ben determinata velocità angolare

(4.50)

nella quale N è una costante.

Introducendo il tempo t nei due termini della equazione (4.50), si ottiene

(4.51)

Risolvendo rispetto a P t che è l’energia W del circuito, si ottiene

(4.52)

L’energia misurata da un contatore è uguale al numero n di giri del disco, diviso per la suacostante N, quest’ultima solitamente espressa in giri / kWh.

Le principali cause di errore nei contatori a induzione sono:

• la non linearità dei circuiti voltmetrico e amperometrico;

• la coppia frenante dovuta ai flussi voltmetrico e amperometrico;

• la coppia di attrito;

• il fattore di potenza del circuito;

• la frequenza;

• la forma d’onda della tensione e corrente;

CFv k4ωΦv2=

CFi k5ωΦi2=

CA k6ω=

Ca CF CFv CFi CA+ + +=

ω K1ΦvΦa ϕ( )cos a0–=

ω NVI ϕ( )cos NP= =

ωt NPt=

W nN----=



• la temperatura.

L’errore globale di un contatore in funzione del carico a tensione, frequenza e fattore di potenzacostante assume l’andamento indicato in Figura 4.23.

Per correggere la curva d’errore e avvicinarla nel miglior modo possibile all’asse di zero, il con-tatore, dispone di particolari dispositivi (Figura 4.24).

Fig. 4.23 Curva di errore di un contatore a induzione

a) Regolazione Velocità Pieno Caricob) Regolazione di Fasec) Regolazione Velocità Piccolo Caricod) Regolazione Velocità Sovraccaricoe) Fermo di Tensione

Fig. 4.24 Dispositivi di taratura in un contatore a induzione

3

2

1

0

–1

50 100 150 200 250 300 350 400

V = 220 Vf = 50 HzT = 20˚ Ccosϕ = 1cosϕ = 0.5 ritardo

ε [%

]

I/In [%]



L’aggiustamento delle velocità a pieno carico si effettua variando il flusso del magnete frenoche attraversa il disco per mezzo di un sistema meccanico a vite (a). In alternativa si può anchericorrere ad uno shunt magnetico.

Il dispositivo per la regolazione di fase può essere previsto sul circuito magnetico di corrente osul circuito magnetico di tensione. Nel primo caso esso è costituito da un piccolo avvolgimentodisposto sul ferro amperometrico, chiuso su una resistenza variabile, generalmente un filodoppio di nichel-cromo munito di un cursore (b). In questo avvolgimento si induce una correnteche tende a modificare la fase del flusso risultante amperometrico.

Il dispositivo di regolazione posto sul circuito magnetico di tensione può essere costituito da:

• un avvolgimento attraversato da tutto il flusso voltmetrico e funzionante in modo perfetta-mente analogo a quello descritto per il circuito di corrente;

• da lamine metalliche introdotte in traferri presenti sul circuito magnetico (c).

La compensazione della regolazione di velocità al piccolo carico è necessaria per compensarela coppia di attrito che non è più trascurabile rispetto alla coppia motrice. Il dispositivo di rego-lazione produce in effetti una piccola coppia motrice supplementare, facendo reagire col flussovoltmetrico le correnti indotte nel disco da un piccolo flusso voltmetrico derivato dal principalee sfasato rispetto ad esso (Figura 4.25).

Il dispositivo per la regolazione di velocità in sovraccarico è necessario in quanto i moderni con-tatori sono sovraccaricabili sino a 3 ÷ 4 volte e più il valore nominale di targa. Esso è general-mente costituito da uno shunt magnetico saturabile derivato sul circuito magnetico della bobinadi corrente e formato da due parti, una fissa ed una mobile (d).

Le variazioni della posizione reciproca fra parte fissa e parte mobile regolano l’intensità delflusso derivato e quindi la coppia del contatore nella zona di sovraccarico.

Il dispositivo di regolazione della velocità al piccolo carico serve anche per vincere la coppiad’attrito di primo distacco. Poiché il dispositivo di avviamento agisce sul flusso voltmetrico,

Fig. 4.25 Compensazione della regolazione di velocità al piccolo carico in un contatore ainduzione

4.10. Effetti dell’Inserzione degli Strumenti: Autoconsumi


anche con carico nullo e il disco si metterebbe in rotazione anche in assenza di energia, i conta-tori sono muniti di un cosiddetto fermo di tensione costituito da due sottili linguette sporgentiuna dall’albero del disco e una dal magnete voltmetrico, che quando vengono a trovarsi adistanza ravvicinata costituiscono un blocco (e).

4.10. Effetti dell’Inserzione degli Strumenti: Autoconsumi

L’inserzione di uno strumento di misura comporta sempre, in misura più o meno apprezzabile,una alterazione delle condizioni del circuito, per cui la grandezza sotto misura non è più esatta-mente quella preesistente. L’entità di questa perturbazione deve essere oggetto di attento esamein relazione alla scelta del metodo di misura e degli strumenti da utilizzare.

Si consideri ad esempio il caso della misura della forza elettromotrice di una pila (Figura 4.26).

È agevole intuire che, in certe condizioni, l’inserimento del voltmetro può modificare la ten-sione ai morsetti che risulta

(4.53)

Considerazioni analoghe possono essere svolte per la misura di una corrente.

Quando il risultato di una misura dipende dalle indicazioni di due strumenti è sovente necessarioconsiderare gli errori sistematici connessi con il metodo di misura scelto. A titolo di esempio,si faccia riferimento allo schema di Figura 4.27 che rappresenta uno dei metodi utilizzabili perdeterminare la resistenza di un bipolo passivo.

Si può osservare che mentre il voltmetro misura esattamente la tensione applicata al bipolo,l’amperometro misura una corrente che è la somma di quella assorbita dal bipolo e di quellarichiesta dal voltmetro. Di conseguenza il rapporto Vm / Im non rappresenta esattamente il valore(R) della grandezza incognita:

(4.54)

Fig. 4.26 Autoconsumi degli strumenti nella misura della forza elettromotrice di una pila

VV

E

R

V E rR r+------------=

Rm

V m

Im-------

V m

I Iv+-------------

V m

IV m

Rv-------+

----------------V m

I-------< R= = = =



Il metodo usato comporta quindi un errore sistematico in meno, attribuibile all’autoconsumo delvoltmetro.

Si può assumere Rm = R solo nel caso in cui Rv « R.

Analogamente, se si esamina il circuito di Figura 4.28, si può concludere che il rapporto Vm / Imfornisce un valore Rm in eccesso rispetto a R:

(4.55)

In questo caso è l’amperometro che misura esattamente la corrente che circola nel bipolo mentreil voltmetro misura una tensione che è la somma di quella ai morsetti del bipolo aumentata dellacaduta di tensione ai morsetti dell’amperometro. Si può assumere Rm = R solo nel caso in cuiRa « R.

Trattandosi di errori di tipo sistematico, conoscendo le caratteristiche di autoconsumo deglistrumenti è possibile correggere i risultati della misura.

Ulteriori considerazioni nell’argomento verranno svolte nei prossimi paragrafi.

Fig. 4.27 Misura di resistenza con voltmetro a valle

Fig. 4.28 Misura di resistenza con voltmetro a monte

A

V

V Vm

Im I

Iv

Rm

V m

Im-------

V RaIm+

Im---------------------- V

Im-----> R= = =

A

V

VVm

ImI

Iv

Appendice A – Identificazione degli Strumenti



5.1. Generalità


5. Metodi di Ponte

5.1. Generalità

Prendono il nome di metodi di ponte alcuni metodi di misura basati su reti di resistori, induttorie condensatori in cui il componente in misura rappresenta il componente incognito, mentre glialtri elementi sono noti. Per il funzionamento dei ponti sono necessari una sorgente di alimen-tazione e un rilevatore di zero. Quando il ponte è in equilibrio, ossia quando due punti della retesono allo stesso potenziale, si può calcolare il valore dell’elemento incognito applicando sem-plici relazioni matematiche che legano i valori degli elementi noti della rete.

5.2. Ponte di Wheatstone

Il ponte di Wheatstone è costituito da quattro resistori disposti come i lati di un quadrilatero(Figura 5.1), le cui diagonali sono costituite rispettivamente da una sorgente di forza elettromo-trice (pila) e da un galvanometro. Ra, Rb ed Rc sono tre resistenze di valore noto, mentre Rx è laresistenza in esame.

Fig. 5.1 Ponte di Wheatstone

E

A

B

C

D

Rc Rb

Rx Ra

Rg

5 Metodi di Ponte


In base alla polarità della pila, si può sapere a priori che la corrente circolerà lungo i due raminel senso A-B-C oppure A-D-C; non è invece noto a priori il senso della corrente che attraversail galvanometro percorrendo la diagonale B-D, poiché esso dipende dalla differenza di poten-ziale fra i due nodi B e D. In particolare, la corrente può essere nulla se B e D si trovano al mede-simo potenziale: questa è la condizione di equilibrio del ponte che si deve ricercare. L’assenzadi corrente sul lato B-D si controlla per mezzo del galvanometro. Il ponte di Wheatstone è infattiun metodo di riduzione a zero.

In condizioni di equilibrio con B e D allo stesso potenziale, senza passaggio di corrente nel gal-vanometro, si applica il primo principio di Kirchhoff ai nodi B e D.

(5.1)

Si applichi ora il secondo principio di Kirchhoff alle maglie A-B-D e B-C-D:

(5.2)

Si può quindi scrivere

(5.3)

Dividendo membro a membro la equazione (5.1) si ottiene

(5.4)

Combinando la equazione (5.3) con la equazione (5.4) si ricava

(5.5)

La resistenza incognita risulta quindi data da

(5.6)

Questa espressione quando il ponte è in equilibrio permette di conoscere il valore della resi-stenza incognita una volta noti i valori delle altre tre resistenze inserite nel ponte. Si noti chenell’espressione finale non entrano né le correnti circolanti, né la forza elettromotrice (che nonoccorre quindi conoscere), né la resistenza della diagonale comprendente il galvanometro.

Ia I x=

Ib Ic=⎩⎨⎧

RaIa RbIb=

RxIx RcIc=⎩⎨⎧

Ra

Rb------

Ib

Ia----=

Rx

Rc------

Ic

I x----=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Ib

Ia----

Ic

I x----=

Ra

Rb------

Rx

Rc------=

Rx Rc

Ra

Rb------=

5.3. Ponte di Wheatstone a Filo


I lati A-B e A-D vengono chiamati bracci del ponte (resistori Ra ed Rb), il lato B-C è chiamatolato di paragone (resistore Rc).

La misura si effettua applicando il resistore incognito al ponte (gli altri tre lati sono general-mente fissi) e regolando i bracci ed il lato di paragone, costituiti da resistori variabili, finoall’azzeramento.

La condizione di maggior sensibilità del ponte si ottiene facendo in modo che Ra ed Rx, cosìcome Rb ed Rc, abbiano all’incirca il medesimo valore. La condizione ideale sarebbe che tuttee quattro le resistenze avessero valori uguali o perlomeno molto vicini.

L’errore di misura di questi ponti è minimo quando si misurano resistenze di valore medio, com-prese fra qualche ohm e qualche decina di kiloohm.

5.3. Ponte di Wheatstone a Filo

Nel ponte di Wheatstone a filo i due bracci sono sostituiti da un unico filo calibrato collegatoagli estremi della pila e sul quale scorre un cursore che fa capo al galvanometro (Figura 5.2).

Esso funziona come il ponte esaminato in precedenza, solo che in questo caso i collegamentisono realizzati in altro modo: infatti i due bracci Ra ed Rb, anziché congiungersi sul nodo che facapo alla pila, hanno un estremo in comune sulla diagonale del galvanometro.

La ragione di questa diversa disposizione è evidente se si pensa che il filo calibrato ha una resi-stenza molto inferiore a quella di Ra ed Rb e per l’aumento delle sensibilità non sarebbe statoopportuno inserire il galvanometro sull’altra diagonale dove si hanno cadute di tensione divalore molto diverso.

Un’altra differenza rispetto al ponte a cassetta consiste nel fatto che ora il rapporto Ra / Rb variacon continuità e non più per multipli di dieci come nel caso precedente.

Fig. 5.2 Ponte di Wheatstone a filo

E

Rx Rc

Rg

Ra Rb

StSa

5 Metodi di Ponte


Il vantaggio principale di questo sistema consiste nel fatto che la lettura dopo l’azzeramento siriduce alla misura di una lunghezza, cioè la distanza del cursore dall’estremo A, che viene effet-tuata su un regolo millimetrato posto a fianco del filo.

Per effettuare la misura si dà a Rc, costituito da un normale resistore a cassetta, un valore che sisuppone prossimo a quello di Rx e poi si sposta il cursore fino ad azzerare il galvanometro. Seil filo è ben calibrato e ben omogeneo, la sua resistenza è proporzionale alla lunghezza, per cuiè lecito scrivere (se St è la lunghezza totale del filo ed Sa la distanza del cursore dal punto A)

(5.7)

Sostituendo questa espressione nella equazione (5.6), si ottiene

(5.8)

Se la lettura viene effettuata quando il cursore si trova verso le estremità, anche un piccoloerrore nella valutazione della lunghezza Sa può dare un risultato di scarsa approssimazione, percui occorre cercare di mantenere il cursore verso il centro. Per ottenere questo risultato si deve,dopo il primo azzeramento, variare la resistenza Rc in modo da ottenere l’equilibrio del pontein una posizione più favorevole.

Nonostante questi accorgimenti il metodo non ha la precisione del precedente ed inoltre puòessere convenientemente impiegato solo per resistenze il cui valore non superi il migliaio diohm. Esso viene tuttavia impiegato ancora per la semplicità e la speditezza con cui si può ese-guire la misura.

5.4. Doppio Ponte di Thomson

I ponti di misura finora esaminati non si prestano alla misura di resistenze molto piccole poichéla presenza delle resistenze di contatto con valori dello stesso ordine delle resistenze da misuraresarebbe fonte di errori di misura troppo elevati. Per queste resistenze viene invece impiegatospesso il doppio ponte di Thomson, il quale ha la caratteristica fondamentale di fornire una indi-cazione indipendente da eventuali variazioni di corrente nel circuito sul quale è inserita la resi-stenza in prova (Figura 5.3) e pure indipendente entro larghi limiti dalle resistenze di collega-mento e di contatto.

Il metodo del doppio ponte di Thomson si basa sul confronto tra le cadute di tensione provocatedal resistore incognito Rx e da un resistore campione Rk dello stesso ordine di grandezza, colle-gati in serie fra loro e facenti capo alla batteria di alimentazione del ponte. Agli estremi di questidue resistori sono derivati i fili che portano i resistori Ra, , Rb ed del ponte fra i quali èinserito il galvanometro. Questi resistori hanno generalmente un valore superiore a quello di Rxe di Rk e sono formati da resistori a decadi di valore variabile fra 0.1 Ω e 100 Ω. Poiché unacondizione di funzionamento del ponte è che , i comandi di Ra ed , aregolazione continua, sono abbinati meccanicamente in modo che le due resistenze abbianosempre il medesimo valore. Lo stesso si fa per Rb ed , la cui regolazione è a scatti, normal-

Ra

Rb------

Sa

St Sa–----------------=

Rx Rc

Sa

St Sa–----------------=

Ra′ Rb′

Ra Rb⁄ Ra′ Rb′⁄= Ra′

Rb′

5.4. Doppio Ponte di Thomson


mente per i soli valori 1 Ω, 10 Ω e 100 Ω. Il circuito comprende anche i due tasti della pila e delgalvanometro.

Per l’azzeramento del ponte si procede a dare un valore a caso alle due resistenze Rb e , dopodi che si regolano le Ra ed se non si raggiunge l’azzeramento si variano i valori delle Rb.

Quando il galvanometro è a zero (ponte in equilibrio) in esso non circola corrente; attraverso Rae Rb circola la medesima corrente, come pure attraverso ed . Si applica il secondo prin-cipio di Kirchhoff alle maglie A-B-C-D ed A-B-E-F e tenendo conto del senso delle correnti suciascun lato si può scrivere

(5.9)

ossia

(5.10)

Dividendo le due espressioni trovate fra loro si ottiene

(5.11)

Fig. 5.3 Doppio ponte di Thomson

Ra

Rx

Rg

Rk

Ra´ Rb´ Rb

Ia Ib

Ia´ Ib´

I I

A

B

C

D F

E

Rb′Ra′

Ra′ Rb′

RaIa Ra′Ia′– RxI– 0=

RbIb RkI– Rb′Ib′– 0=⎩⎨⎧

RxI RaIa Ra′Ia′–=

RkI RbIb Rb′Ib′–=⎩⎨⎧

Rx

Rk------

RaIa Ra′Ia′–

RbIb Rb′Ib′–--------------------------------=

5 Metodi di Ponte


Ricordando ora che si era posta come condizione di funzionamento del ponte che fosse ed l’espressione diventa

(5.12)

avendo sostituito con Ra ed con Rb. Quando il ponte è in equilibrio valgono e , per cui i termini fra parentesi al numeratore ed al denominatore sono uguali e sielidono fra di loro per cui

(5.13)

Un resistore variabile viene generalmente inserito sul circuito della pila: esso funge da regola-tore della corrente che circola attraverso la Rx e la Rk dato che si tratta in genere di resistenzemolto basse. Compatibilmente con l’esigenza di non provocare un riscaldamento di questi dueresistori, la corrente deve essere mantenuta al valore più elevato possibile, poiché in tal modomaggiori sono le cadute di tensione attraverso Rx ed Rk che, come si è visto, sono le grandezzeche vengono valutate dal ponte per eseguire la misura.

Inoltre è opportuno cercare di mantenere elevato il valore della resistenza dei quattro lati delponte poiché in tal modo si rende meno sensibile l’errore dovuto alle resistenze di contatto.

5.5. Ponte di Kohlrausch

Il ponte di Wheatstone non può essere impiegato per la misura della resistività di elettrolitipoiché il passaggio di corrente continua attraverso soluzioni produce una polarizzazione cheprovoca un aumento di resistenza. Come è noto la polarizzazione è dovuta alla formazione diun velo isolante che circonda gli elettrodi ed è dovuto ai gas che si sviluppano durante la rea-zione elettrochimica.

Per questo genere di misure occorre quindi operare con corrente alternata la quale, grazie almoto alternato delle cariche, non dà luogo al fenomeno della polarizzazione. Un ponte a filo ali-mentato in corrente alternata viene normalmente denominato come ponte di Kohlrausch: essoreca, al posto del galvanometro magnetoelettrico un ricevitore telefonico o, meglio, un galva-nometro che consente di rivelare le correnti alternate. L’alimentazione viene ottenuta da unasorgente in corrente continua con l’interposizione di un rocchetto di Ruhmkorff oppure dallarete in corrente alternata con l’interposizione di un opportuno trasformatore riduttore(Figura 5.4).

Il ricevitore telefonico permette di rivelare la corrente alternata mediante un ronzio a bassa fre-quenza (la frequenza della rete o del rocchetto), può essere sostituito, come abbiamo detto,anche da un galvanometro a indice.

L’elettrolita da misurare viene generalmente disposto entro un tubo di vetro calibrato nel qualesono inseriti due elettrodi di platino che servono per il collegamento ai morsetti del lato di pontedove va collocata la resistenza incognita.

Ra Ra′= Rb Rb′=

Rx

Rk------

Ra Ia Ia′–( )

Rb Ib Ib′–( )----------------------------=

Ra′ Rb′ Ia Ib=Ia′ Ib′=

Rx Rk

Ra

Rb------=

5.6. Metodi di Ponte in Corrente Alternata


L’impiego della corrente alternata impone che ci si debba premunire dagli effetti dell’induttanzae della capacità: questo è uno dei motivi per i quali il ponte di Kohlrausch viene solitamenterealizzato secondo lo schema a filo poiché il filo si comporta quasi come una resistenza ideale.

Un ponte di questo genere ha precisione modesta soprattutto per la difficoltà di un perfetto azze-ramento. La formula risolutiva è uguale a quella del ponte a filo.


Un condensatore ideale, sottoposto a differenza di potenziale alternata sinusoidale (V) assorbeuna corrente (Ic) sfasata di un angolo di 90˚ in anticipo rispetto alla differenza di potenziale. Ilmodulo di tale corrente è definito da

(5.14)

in cui C è la capacità del condensatore e ω la pulsazione. In realtà il dielettrico è anche sede delleseguenti perdite:

• per conduzione, in quanto il dielettrico non è perfetto e la resistività non è infinita;

• per isteresi dielettrica nei materiali polari poiché la polarizzazione delle molecole avviene aspese di una certa energia;

• per scariche parziali, legate alla eterogeneità del materiale.

Un condensatore reale non è quindi schematizzabile con una capacità pura, per cui nello schemaequivalente è necessario introdurre un elemento dissipativo. Complessivamente risulta che lacorrente assorbita è sfasata rispetto alla differenza di potenziale di un angolo un po’ inferiore a

Fig. 5.4 Ponte di Kohlrausch

R

Galvanometro AC

~

Ic ωCV=

5 Metodi di Ponte


90˚, la differenza rappresenta quello che viene definito angolo di perdita (δ). Il diagramma vet-toriale di Figura 5.5 illustra quanto esposto.

In termini energetici si può dire che

(5.15)

Il termine tan(δ) è anche detto fattore di dissipazione ed esso varia, in generale, con la fre-quenza, la temperatura e la tensione. Nei buoni isolanti esso è anche notevolmente inferiore a0.01. Si suole a volte indicare come fattore di perdita il prodotto ε tan(δ), dove ε è la permettività(costante dielettrica) assoluta del materiale isolante. Nello schema equivalente, l’elemento dis-sipativo può essere posto in parallelo o in serie al condensatore come indicato in Figura 5.5. Èevidente che i parametri nei due schemi non sono gli stessi.

Per il circuito parallelo si può scrivere

(5.16)

Per cui si ha

(5.17)

L’equivalente serie si ottiene passando alla impedenza equivalente

(5.18)

Nel circuito serie si ha

(5.19)

È evidente che ai morsetti esterni del condensatore i due schemi devono essere perfettamenteequivalenti. Tenuto conto della natura dei fenomeni si preferisce solitamente fare riferimentoall’equivalente parallelo.

Fig. 5.5 Diagramma vettoriale e circuiti equivalenti di una capacità reale

G Cp

Circuito EquivalenteParallelo

R

Cs

Circuito EquivalenteSerie

Im

Re

V

I

ϕ

δ

P Q δ( )tan ωCV 2 δ( )tan= =

Y G jωC p+=

δ( )tan GωC p-----------=

Z 1Y--- 1

G jωC p+------------------------ G

G2 ω2C p2+

--------------------------- jωC p

G2 ω2C p2+

---------------------------– R j 1ωCs----------–= = = =

δ( )tan RωCs=



Se si considera che l’angolo di perdita è sempre molto piccolo, si può peraltro rilevare che lacapacità equivalente serie è praticamente uguale alla capacità equivalente parallelo. Infatti,essendo G « ω C, il termine immaginario della equazione (5.16) coincide con l’inverso del ter-mine immaginario della equazione (5.18).

Il fattore di dissipazione tan(δ) è un indice importante della qualità di un materiale isolante uti-lizzato in corrente alternata. La sua determinazione, generalmente in funzione della tensione ea frequenza costante, può in linea di principio essere effettuata con metodi di ponte o con metodiwattmetrici.

Quando la tensione di prova è elevata e il tan(δ) piuttosto piccolo, il metodo di prova più adattoè quello del ponte di Schering (o schemi equivalenti).

È tuttavia importante ricordare che, almeno in linea di principio, la potenza dissipata in un mate-riale isolante sottoposto a campo alternato può essere determinata anche con altri metodi.

Come già precisato, il fattore di dissipazione dipende dalla tensione, della frequenza e, in misuraa volte molto rilevante, dalla temperatura. Si tenga presente che il tempo di applicazione dellatensione di prova può pure influire sul valore di tan(δ). Nella conduzione delle misure è quindinecessario fare molta attenzione a queste grandezze che devono essere scrupolosamente anno-tate.

Per quanto riguarda la temperatura, è necessario ricordare che la massa dell’oggetto in provapuò richiedere un tempo considerevole per raggiungere il regime termico (anche alcune ore). Èquindi opportuno seguire con molta cura quanto prescritto in proposito.

Un altro aspetto che può rivestire una certa importanza in questo tipo di misura, è l’effetto deibordi delle armature del condensatore equivalente. Esso si manifesta con un aumento del tan(δ)per effetto delle correnti superficiali e della deformazione del campo con la formazione di pic-coli volumi in cui la forza elettrica (gradiente) è molto intensa.

In certi casi (ad esempio prove su brevi spezzoni, giunto e terminali di cavo) può essere neces-sario predisporre anelli di guardia.

Come per le prove di tensione e le misure delle scariche parziali, attenzione deve essere postanella scelta e nell’applicazione dei terminali di prova.

5.6.1. Principio dei Ponti in Corrente Alternata

Si consideri lo schema di Figura 5.6 e si supponga di alimentare il sistema con una tensionesinusoidale costante. I rami del ponte sono costituiti da impedenze generiche, al limite pure resi-stenze, capacità o induttanze. Lo strumento di zero G è del tipo a corrente alternata e dà indica-zione nulla quando il ponte è in equilibrio, cioè quando i punti B e C sono allo stesso potenzialee quindi lo strumento non è attraversato da corrente.

Delle quattro impedenze che costituiscono i bracci del ponte se ne consideri una incognita e lealtre note e, in parte, regolabili. Agendo su queste impedenze è possibile ottenere le condizionidi equilibrio sopra menzionate.

5 Metodi di Ponte


Sempre esaminando la Figura 5.6, si può dedurre subito che in equilibrio le correnti nelle impe-denze Zx e Z3 sono uguali tra loro (Ix3) e così pure le correnti nelle impedenze Z2 e Z4 (I24). Sipossono allora scrivere le seguenti uguaglianze:

(5.20)

Dividendo membro a membro si ottiene

(5.21)

Nelle espressioni sopra indicate le frecce sopra i simboli stanno ad indicare che si parla di gran-dezze vettoriali e non scalari. Le grandezze diverrebbero scalari solo se i quattro bracci delponte fossero costituiti da un solo tipo di componente (sole resistenze, sole capacità o sole indut-tanze).

Si può osservare che il rapporto è in generale rappresentabile con un numero complessocostituito da parte reale e immaginaria e lo stesso può dirsi per il rapporto . Ne consegueche, per essere uguali, i due membri della equazione (5.21) devono avere uguali le parti reali, ele parti immaginarie, come verrà ulteriormente chiarito in seguito.

5.6.2. Ponte di Schering

Il ponte di Schering viene impiegato in corrente alternata per misure di capacità e tan(δ). Essoè adatto anche per misure in alta tensione. Lo schema di principio del ponte di Schering è rap-presentato in Figura 5.7.

Fig. 5.6 Schema di principio di un ponte in alternata

G

Zx Z2

Z3 Z4

A

B

D

C~

ZxI x3 Z2I24=

Z3I x3 Z4I24=⎩⎪⎨⎪⎧

Zx

Z3

------Z2

Z4

------=

Zx Z3⁄Z2 Z4⁄



Il ramo contenente Rx e Cx rappresenta l’impedenza incognita espressa nelle sue due compo-nenti equivalenti serie. Questa scelta è arbitraria in quanto si sarebbe potuto rappresentarel’impedenza con elementi in parallelo, notevolmente diversi dai precedenti ma ancora equiva-lenti all’incognita, oppure con altri schemi anche più complessi.

Il ramo CN rappresenta una capacità pura di valore noto e fisso (condensatore campione). Leresistenze R3 e R4 sono regolabili a gradini e così pure C4. Agendo su questi parametri è possi-bile raggiungere le condizioni di equilibrio che saranno date da

(5.22)

Con alcune semplificazioni si ottiene

(5.23)

L’uguaglianza è soddisfatta solo se sono uguali le parti reali e le parti immaginarie dei duemembri, cioè:

(5.24)

Si può osservare innanzitutto che l’equilibrio del ponte non dipende dalla frequenza.

Fig. 5.7 Ponte di Schering

G

Rx CN

R3

R4

A

B

D

C~

C4

Cx

Rx j 1ωCx----------–

R3------------------------- j 1

ωCN------------– 1

R4------ jωC4+⎝ ⎠⎛ ⎞=

Rx

R3------ j 1

ωR3Cx-----------------–

C4

CN------- j 1

ωR4CN------------------–=

Rx

R3------

C4

CN-------=

1R3Cx------------- 1

R4CN--------------=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

5 Metodi di Ponte


Dalla seconda relazione della equazione (5.24) si ottiene immediatamente

(5.25)

che fornisce una delle incognite, mentre dalla relazione si ricava

(5.26)

che è la seconda incognita.

Si deve però osservare che si preferisce normalmente esprimere le perdite non con Rx ma contan(δ), essendo δ l’angolo di cui differisce dal retto la fase della corrente assorbita dal conden-satore incognito rispetto alla tensione ad esso applicata. Vale il diagramma vettoriale diFigura 5.5.

Applicando semplici considerazioni trigonometriche e utilizzando la equazione (5.19) si ottiene

(5.27)

Se si sostituisce ora nella equazione (5.27) la espressione di Cx data dalla equazione (5.25), siottiene

(5.28)

Le due espressioni risolutive del ponte sono quindi le seguenti:

(5.29)

Si noti che se si vuole evitare il calcolo tan(δ), è sufficiente fare in modo che ω R4 sia multiplodi 10. Per la frequenza di 50 Hz si ha ω = 2 π f = 314 s–l, per cui scegliendo R4 = 1/π o multiplio sottomultipli decimali di detto valore, si ottiene quanto desiderato.

Si può anche osservare che il valore del tan(δ) è indipendente dal tipo di schema equivalenteassunto per la Zx.

Normalmente, essendo tan(δ) molto piccola, anche la Cx determinata con la formula sopra ripor-tata è indipendente dallo schema equivalente scelto per Zx.

Nello schema a ponte descritto, un ruolo importante gioca lo strumento di zero che nelle ver-sioni più moderne è di tipo elettronico con indicazione analogica o digitale. Si tratta di uno stru-mento selettivo in frequenza accordato sulla frequenza della sorgente usata per le prove.

Cx

R4

R3------CN=

Rx

C4

CN-------R3=

δ( )tanRx

1ωCx--------------------- RxωCx

R3C4

CN-------------ωCx= = =

δ( )tan ωR4C4=

Cx

R4

R3------CN=

δ( )tan ωR4C4=⎩⎪⎨⎪⎧



5.6.3. Misura su Condensatori di Capacità Elevata

Quando si effettuano misure su condensatori (ad esempio, pezzature di cavi) di capacità e pertensioni elevate, è necessario modificare lo schema originale del ponte in quanto la resistenzaR3 di Figura 5.7 non è in grado di portare la corrente che circola in Cx. Si deve allora inserireuno shunt che derivi buona parte della corrente. In pratica si realizza lo schema di Figura 5.8nella quale con s è indicata la resistenza letta su un filo resistivo (normalmente da 1 Ω) sul qualeil cursore si può spostare per ricercare la condizione di zero del galvanometro.

La soluzione del circuito è più complessa di quella descritta al punto precedente in quanto sideve trasformare la maglia B-G-T di Figura 5.8 da triangolo a stella per ottenere lo schema diFigura 5.9.

In questo schema si rileva una resistenza r´ in serie al galvanometro che non influisce sullamisura, una resistenza r´´ in serie al condensatore Cx che teoricamente va ad influire sul valore

Fig. 5.8 Ponte di Schering per capacità elevate

Fig. 5.9 Circuito equivalente del ponte di Schering per capacità elevate

G

Rx

~

Cx

Rv

s

R3

N

CN

R4 C4

B

G

T

G

Rx

~

Cx

r´´

r´´´

CN

R4 C4

r´G

B

T

5 Metodi di Ponte


di tan(δ) rilevato sul ponte e una resistenza r´´´ che è quella che interessa per determinare ilvalore di Cx.

All’atto pratico, dati i valori delle resistenze in gioco, la situazione è meno critica di quanto teo-ricamente appaia. Tralasciando le dimostrazioni, si arriva alle seguenti formule risolutive,tenendo conto che il ponte è stato realizzato in modo tale che sia N + Rv + s = 100 Ω.

Per il fattore di dissipazione si ha:

(5.30)

che senza errori sensibili si può ritenere ancora uguale a

(5.31)

se, come accade in pratica, CN « C4.

A seconda del valore che si attribuisce a R4, si ottiene una espressione più semplice:

• per R4 = 100/π, tan(δ) = 0.01 C4;

• per R4 = 1000/π, tan(δ) = 0.10 C4;

• per R4 = 10000/π, tan(δ) = C4;

nelle quali C4 è espresso in microfarad. Queste formule sono valide solo per la frequenza di50 Hz.

Sul ponte della Tettex, che è il più diffuso, esiste anche la possibilità di derivare la C4 non datutta la R4 ma da una parte. In tal caso la formula semplificata è sempre uguale atan(δ) = 0.001 C4, indipendentemente dal valore di R4.

Per quanto riguarda la capacità Cx si ha invece

(5.32)

nella quale Cx risulta espressa con la stessa unità di misura con cui è data CN, con tutte le resi-stenze espresse in ohm.

5.6.4. Misura in Alta Tensione e Regolazione dei Potenziali

Quando si effettuano misure di capacità o tan(δ) in alta tensione, bisogna prendere qualche pre-cauzione per tenere conto delle capacità parassite in gioco. Nello schema di Figura 5.10 sonostate messe in evidenza tre capacità parassite, e precisamente:

• la capacità tra il cavo di collegamento tra Cx e R3 e la terra (C1);

• la capacità tra il cavo di collegamento tra CN e R4 e la terra (C2);

• la capacità tra l’armatura di bassa tensione del condensatore CN e gli anelli di guardia (C0).

Durante la misura, è bene che dette capacità parassite abbiano un valore definito, per cui è pre-feribile fare i collegamenti con cavetti schermati. La capacità C1 risulta in parallelo a R3, mentre

δ( )tan ωR4 C4 CN100 N– s–

R3 s+---------------------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

δ( )tan ωR4C4=

Cx

C4R4 100 R3+( )

N R3 s+( )----------------------------------------=



C2 e C0 risultano in parallelo a C4. Quindi i valori di tan(δ) dovrebbero essere corretti som-mando a C4 i valori di C2 e C0 e poi detraendo il valore R3 C1. Come si vede l’uso del pontetende a complicarsi.

Esiste però la possibilità di eliminare gli effetti di C1, C2 e C0 usando un cavo a doppia scher-matura, ponendo a terra la schermatura esterna e portando al potenziale del galvanometro quellainterna. Ciò può essere fatto utilizzando una sorgente ausiliaria regolabile in ampiezza e fase(regolatore di potenziale) così come è schematizzato in Figura 5.11.

Quando lo schermo intermedio è allo stesso potenziale del galvanometro, la corrente assorbitadelle capacità parassite non è più fornita del ponte ma della sorgente ausiliaria utilizzata. Inquesto modo, le capacità parassite non influenzano più la misura.

Nel ponte della Tettex la regolazione del potenziale può essere fatta automaticamente medianteun apposito dispositivo.

Fig. 5.10 Ponte di Schering con capacità parassite

Fig. 5.11 Ponte di Schering con compensazione dell’effetto delle capacità parassite

G

Rx

~

Cx CN

R4 C4R3

C1 C2

C0

G

Rx

~

Cx CN

R4 C4R3

C1 C2

C0

~

5 Metodi di Ponte


5.6.5. Ponti Automatici

Il principio di funzionamento di un ponte automatico è illustrato in Figura 5.12. Il condensatoreda misurare Cx (e quindi eventualmente anche un cavo) è comparato con un condensatore cam-pione CN per mezzo di un trasformatore di corrente differenziale di elevata precisione. I dueavvolgimenti N1 e N2 di questo trasformatore costituiscono i rami inferiori del ponte, rispettiva-mente dal lato di Cx e CN.

Sul lato secondario un avvolgimento (N1) è collegato al rivelatore di zero, mentre gli avvolgi-menti ausiliari N4 e N3 servono all’equilibrio fine per Cx (α) e all’equilibrio del tan(δ) (β).

I due avvolgimenti primari inducono dei flussi magnetici opposti nel nucleo. La differenza traquesti due flussi dà luogo a un flusso di corrente nell’avvolgimento dell’indicatore di zero.L’intensità di tale corrente è nulla allorché il ponte è in equilibrio, vale a dire quando si hannocondizioni di uguaglianze delle fasi e dei moduli dei due flussi.

I parametri che possono essere regolati sono: il numero di spire, intensità dell’equilibrio fine,intensità di equilibratura del tan(δ), gamma di misura. Essi sono determinati per mezzo di unmicro-calcolatore partendo dai dati provenienti dal rivelatore di zero. I valori reali di Cx e ditan(δ), nonché della tensione di prova, sono calcolati a partire dai parametri di regolazione chevengono indicati su un monitor alla fine di ciascun ciclo di equilibratura.

Fig. 5.12 Ponte di Schering automatico



Il metodo descritto che facilita notevolmente il compito degli operatori, è anche adatto per provesu cavi, o spezzoni di cavo. Per mezzo della tastiera e del monitor, l’operatore può dialogare conl’apparecchio. Si introducono i valori della capacità campione CN, l’ordine di grandezzadell’oggetto da controllare Cx (riduzione del tempo di compensazione), la lunghezza del cavo enel caso in cui si utilizzi anche un trasformatore di corrente esterno, il rapporto di trasforma-zione. Normalmente l’inserimento diretto dell’apparecchio è prevista fino a 10 ÷ 15 A.

Gli apparecchi di questo tipo sono generalmente previsti con uscita per trasmissione di dati informa digitale.

5 Metodi di Ponte


6.1. Generalità


6. Misure Industriali con Strumenti Analogici

6.1. Generalità

Le misure di tipo industriale sono quelle che si effettuano per il rilievo di grandezze su apparati,macchine e impianti al fine di verificarne le condizioni di funzionamento o la rispondenza a spe-cifiche tecniche.

Le misure di tipo industriale consentono in genere incertezze relativamente più elevate di quelleche si ammettono nelle misure di laboratorio. Alcune misure possono essere indirette in quantola stima del misurando viene ottenuta dalla elaborazione delle indicazioni di due o più stru-menti.

Le misure industriali possono essere effettuate con strumenti elettromeccanici analogici o construmenti elettronici analogici e digitali, con numerose possibili alternative.

In quanto segue si fa specifico riferimento a misure effettuate con strumenti elettromeccanicianalogici, tuttavia molte delle argomentazioni trattate valgono anche per strumenti digitali.

6.2. Misure in Corrente Continua

Le misure in continua possono riguardare tensioni, correnti, resistenze e potenze. Le misure diresistenza e potenza sono indirette in quanto ottenute dalla elaborazione delle indicazioni divoltmetro e amperometro.

Nella trattazione seguente vengono considerate le misure di tensione, corrente, resistenza epotenza in regime permanente (corrente continua) eseguite utilizzando strumenti magnetoelet-trici.

Si presuppone che l’oggetto sottoposto a misura sia lineare (indipendente dal valore delle gran-dezze in gioco) e non sia polarizzabile (per cui sono escluse misure su semiconduttori e liquidi).

6 Misure Industriali con Strumenti Analogici


6.2.1. Misura delle Tensioni

Per la misura delle tensioni continue si può ricorrere all’uso di un voltmetro indicatore di tipomagnetoelettrico dotato di resistenze addizionali.

Poiché l’indicazione di uno strumento magnetoelettrico è funzione del valore medio della cor-rente che attraversa la bobina mobile, la misura della tensione viene semplicemente ottenutafacendo in modo che la corrente risulti proporzionale alla tensione applicata.

Essendo la bobina mobile realizzata con filo sottile di rame la cui resistività è funzione dellatemperatura, per rendere trascurabile questa dipendenza, in serie alla bobine viene sempre mon-tato un resistore a filo di materiale avente coefficiente di temperatura trascurabile (manganina)e di valore più elevato di quello della bobina stessa, in modo che il di fondo scala venga rag-giunto con ben definito valore intero della tensione (ad esempio, 50 mV).

Il complesso sopra descritto presenta allora una resistenza globale r che viene chiamata resi-stenza interna ed è dell’ordine delle decine di ohm.

Se lo strumento deve essere predisposto per misurare tensioni più elevate di quella sopra citata,si pone in serie ad esso una ulteriore resistenza R, detta resistenza addizionale, secondo loschema indicato in Figura 6.1 (si ricorda che lo strumento fornisce una indicazione proporzio-nale alla corrente).

Si possono allora scrivere le seguenti relazioni:

(6.1)

nella quale i simboli usati hanno significato ovvio.

La tensione applicata V è legata alla tensione V0 dal coefficiente

(6.2)

che è detto potere moltiplicatore della resistenza addizionale.

Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso sono montate più resistenzeaddizionali in serie, commutabili in modo da poter disporre di più portate (più poteri moltipli-catori). Normalmente non si superano per ragioni di sicurezza i 600 V con 3 o 4 portate.

Fig. 6.1 Voltmetro magnetoelettrico con resistenza addizionale

V

I R

r V0VR V

V V 0 V R+ R r+( )I0r R+

r------------V 0= = =

kVr R+

r------------=



Ad ogni portata è associata la costate strumentale per la quale si deve moltiplicare la lettura perottenere la grandezza cercata. Un voltmetro con più portate avrà quindi tante costanti quantesono le portate. Gli strumenti magnetoelettrici descritti possono appartenere a classi di preci-sione anche fino a 0.1.

6.2.2. Misura delle Correnti

Per la misura delle correnti continue si può ricorrere all’uso di uno strumento indicatore di tipomagnetoelettrico dotato di shunt.

Per la misura di correnti continue si possono utilizzare strumenti magnetoelettrici, ma poiché lacorrente che può essere sopportata dalla bobina mobile è molto piccola (qualche milliampere),è solitamente necessario ricorrere all’impiego di derivatori (shunt) secondo lo schema di prin-cipio di Figura 6.2.

Si possono scrivere le relazioni seguenti:

(6.3)

per le quali il significato dei simboli può essere dedotto dalla Figura 6.2.

La corrente da misurare I è legata alla corrente I0 che attraversa lo strumento dal coefficiente

(6.4)

detto potere moltiplicatore dello shunt.

Con l’artificio descritto, uno stesso strumento può essere impiegato per misurare correnti dapochi milliampere fino a diverse migliaia di ampere, precisando che esso deve essere taratoassieme ai propri shunt. La classe di precisione del sistema può essere elevata (classe 0.1 o 0.2).

Bisogna porre attenzione agli effetti delle connessioni tra shunt e strumento che possono inci-dere sulla accuratezza della misura se la loro resistenza non è trascurabile rispetto a quellainterna dello strumento (che è solitamente dell’ordine di qualche ohm). In tal caso, il risultato

Fig. 6.2 Amperometro con derivatore (shunt)

IS

I

S r A

I0

SI rI0=

I Is I0+=

I Sr S+-----------I0=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

kAr S+

S-----------=



risulta affetto da errore sistematico (di segno noto, si misura in meno) ma non definito inampiezza. Di conseguenza risulta aumentata l’incertezza che grava sulla misura.

6.2.3. Misura delle Resistenze

Le misure di resistenza possono essere condotte ricorrendo a due strumenti magnetoelettrici,un voltmetro e un amperometro corredati dei loro apparati ausiliari. La resistenza incognitaviene determinata indirettamente attraverso la elaborazione delle indicazioni dei due stru-menti. La misura è affetta da errore sistematico.

Un dei modi più semplici per effettuare misure di resistenza è quello di ricorrere al metodo vol-tamperometrico che prevede l’impiego di due strumenti magnetoelettrici un voltmetro e unamperometro. Si possono realizzare in alternativa i due schemi rappresentati in Figura 6.3.

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperome-tro.

Risulta immediato constatare che mentre il voltmetro è alimentato esattamente dalla tensione aicapi dell’oggetto RU del quale si vuole determinare il valore di resistenza, la corrente misuratadell’amperometro è la somma di quella che circola nell’utilizzatore e di quella assorbita dalvoltmetro. Nella misura di corrente si commette quindi un errore di tipo sistematico dipendentedal metodo usato.

Si possono infatti scrivere le relazioni

(6.5)

Quello che interessa determinare è il valore

(6.6)

Fig. 6.3 Misura di resistenza con metodo voltamperometrico

A

V

VUV

IA

RA

RV

A

V

V

IA IU

IVRA

RV

RU

VV

VA

VV

VU RU

V V V U=

I A IU IV+=⎩⎨⎧

RU

V U

IU-------=



mentre invece si misura la resistenza RM data da

(6.7)

Quindi, essendo

(6.8)

appare evidente che si commette un errore sistematico di segno negativo (si misura in meno).L’errore è tanto minore quanto più elevato è il valore di IV.

In pratica, invece di RU si misura il parallelo tra RV (resistenza interna del voltmetro,) e RU, per cui il valore incognito risulta

(6.9)

Si osservi che se si pone , si ha .

In modo analogo si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Sipossono scrivere le relazioni

(6.10)

La resistenza misurata risulta quindi

(6.11)

dove è la resistenza interna dell’amperometro. Si osservi che se si ponesi ha .

L’errore sistematico che si commette in questo caso è positivo (si misura in più) a differenza diquanto trovato per lo schema con il voltmetro a valle. Esso è tanto minore quanto più piccolo èil valore di RA rispetto a quello della resistenza da misurare.

La scelta dello schema non è arbitraria e ci si deve orientare verso quello con voltmetro a monteper la misura delle resistenze di basso valore (sotto i 10 Ω) e allo schema con amperometro amonte per la misura di resistenze elevate (oltre i 1000 Ω). Nel campo intermedio possono esserevalide entrambe le alternative.

Si osserva infine che se si effettua la misura senza correggere il risultato dell’errore sistematicoè come se si operasse con strumenti di classe inferiore a quelle proprie in quanto l’errore siste-matico viene in pratica inglobato in quello attribuito al caso aumentando quindi il grado diincertezza.

In ogni occasione è necessario valutare l’opportunità o meno di effettuare la correzionedell’errore sistematico.

RM

V U

I A-------

V U

IU IV+------------------= =

IU I A<

RV V U IV⁄=

RU

RV RM

RV RM–---------------------=

RV ∞= RU RM=

V V V U V A+=

I A IU=⎩⎨⎧

RM

V U

I A-------

V U V A+

IU--------------------- RU RA+= = =

RA V A IU⁄=RA 0= RU RM=



La stima dell’incertezza che grava sulla stima della resistenza del misurando deve essere valu-tata in base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente e determinando quindi l’incertezzacomposta e quella estesa con le regole indicate nel Capitolo 1.

6.2.4. Misura delle Potenze

La misura della potenza che transita nella sezione di un circuito in corrente continua può essereeffettuata ricorrendo a due strumenti magnetoelettrici, un voltmetro e un amperometro corre-dati dei loro apparati ausiliari. La potenza incognita viene determinata indirettamente attra-verso la elaborazione delle indicazioni dei due strumenti. La misura è affetta da errore siste-matico.

Uno dei metodi classici per effettuare misure di potenza nei circuiti a corrente continua è quellovoltamperometrico che prevede l’impiego di un voltmetro e di un amperometro magnetoelet-trici.

Analogamente a quanto esposto per le misure di resistenza, si possono realizzare in alternativai due schemi rappresentati in Figura 6.4.

Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro a valle dell’amperome-tro.

Risulta immediato constatare che il voltmetro misura esattamente la tensione ai capi dell’utiliz-zatore RU del quale si vuole misurare la potenza assorbita, mentre la corrente misuratadell’amperometro è quella che circola nell’utilizzatore aumentata di quella assorbita dal volt-metro. Nella misura di corrente si commette dunque un errore di tipo sistematico.

Si possono infatti scrivere le solite relazioni

(6.12)

Fig. 6.4 Misura di potenza con metodo voltamperometrico

A

V

VUV

IA

RA

RV

A

V

V

IA IU

IVRA

RV

RU

VV

VA

VV

VU RU

V V V U=

I A IU IV+=⎩⎨⎧



Quello che interessa determinare è il valore

(6.13)

mentre invece si misura la potenza PM data da

(6.14)

nella quale RV è la resistenza interna del voltmetro.

Appare evidente che l’errore sistematico è positivo (si misura in più) ed è tanto minore quantopiù elevato è il valore di RV a parità di tensione (il voltmetro ideale è quello con ).

L’errore sistematico espresso in valore relativo percentuale risulta immediatamente pari a

(6.15)

L’errore sistematico può essere corretto se è nota RV tramite la relazione

(6.16)

In modo analogo si può trattare il caso del circuito con l’amperometro a valle del voltmetro. Sipossono scrivere le relazioni

(6.17)

La potenza misurata è data da

(6.18)

nella quale RA è la resistenza interna dell’amperometro (l’amperometro ideale è quello con).

L’errore sistematico che si commette è positivo (si misura in più) ed è tanto minore quanto piùpiccolo è il valore di RA a parità di corrente.

L’errore sistematico espresso in valore relativo percentuale risulta

(6.19)

Il valore della potenza misurata può essere corretto se è nota RA tramite la relazione

(6.20)

PU V UIU=

PM V UI A V U IU IV+( ) V UIU V UIV+ PU

V U2

RV--------+= = = =

RV ∞=

ε% 100V U

2 RV⁄

PU-------------------=

PU PM

V U2

RV--------–=

V V V U V A+=

I A IU=⎩⎨⎧

PM V V IU V U V A+( )IU V UIU V AIU+ PU IU2 RA+= = = =

RA 0=

ε% 100IU

2 RA

PU-------------=

PU PM IU2 RA–=



Si può concludere che in entrambi i casi considerati, la potenza misurata è più grande di quellada determinare.

La scelta dello schema non è arbitraria e ci si deve orientare allo schema con voltmetro a monteper la misura su circuiti di bassa resistenza e allo schema con amperometro a monte per lamisura su circuiti di resistenza elevata, analogamente a quanto visto per la misura delle resi-stenze.

Anche per le misure di potenza è in ogni occasione necessario valutare l’opportunità o meno dieffettuare la correzione dell’errore sistematico.

La stima dell’incertezza che grava sulla stima del misurando (potenza assorbita) deve esserevalutata partendo dalle incertezze tipo relative a tensione e corrente e determinando quindil’incertezza composta e quella estesa con le regole indicate nel Capitolo 1.

6.3. Misura di Tensioni Alternate

Di una tensione alternata può essere richiesta la determinazione dei valori efficace, medio e dicresta. Per misurare il valore efficace si usano strumenti elettromagnetici.

Di una grandezza alternata presentano significato tre valori: il valore efficace, il valore medio eil valore di cresta la cui importanza varia a seconda del fenomeno in esame. I rapporti tra i trevalori citati sono costanti e definiti solamente se l’onda della grandezza è sinusoidale nel qualcaso valgono le relazioni

e (6.21)

essendo

• V il valore efficace;

• VM il valore di cresta;

• Vm il valore medio sul semiperiodo.

Per misurare il valore efficace di tensioni alternate (sinusoidali o meno) si può ricorrere a stru-menti indicatori di tipo elettromagnetico.

Analogamente a quanto esposto per le misure in continua, alla parte fondamentale dello stru-mento vengono aggiunte resistenze addizionali per ottenere più portate (e quindi più costanti).Lo schema che si impiega è lo stesso di Figura 6.1.

Le portate classiche variano da alcune decine ad alcune centinaia di volt, mentre tipiche sono leclassi di precisione 0.2 e 0.5.

V M 2V= V m2 2π

----------V=

6.3. Misura di Tensioni Alternate


Per misurare i valori medio e di cresta si possono usare strumenti magnetoelettrici con oppor-tuni dispositivi ausiliari.

Se della tensione di cui si desidera misurare il valore medio, si deve operare in modo diverso,tenendo presente quanto segue.

Premesso che il valore medio di una grandezza alternata esteso ad un intero periodo è nullo perdefinizione, interessa a volte determinare il valore medio limitato ad un solo semiperiodo. Alloscopo si può ricorrere all’uso di uno strumento magnetoelettrico al quale è stato applicato unraddrizzatore. Lo schema di principio è quello di Figura 6.5.

Nella bobina mobile dello strumento passa quindi una corrente unidirezionale periodica per cui,se la frequenza meccanica propria dell’equipaggio mobile è notevolmente più bassa di quelladel segnale da misurare, la deviazione dell’indice risulta proporzionale al valore medio dellagrandezza (Vm).

Vale la relazione

(6.22)

dove VM è il valore massimo della tensione, ω la pulsazione, T il periodo e t il tempo.

Sugli strumenti concepiti per misurare il valore medio, la scala è di solito tracciata moltiplican-dola per che è il fattore di forma relativo ad un’onda sinusoidale. In tal modola lettura dello strumento corrisponde al valore efficace della grandezza sinusoidale che havalore medio uguale a quello della grandezza misurata (taratura in valore efficace).

La presenza dei raddrizzatori fa si che questi strumenti abbiano classe di precisione nonmigliore di 0.5.

La misura del valore di cresta di una tensione alternata, può essere ancora misurata, sotto certecondizioni, con uno strumento magnetoelettrico utilizzando lo schema di Figura 6.6.

Il condensatore C, caricato attraverso i raddrizzatori, tende ad assumere il valore di cresta dellatensione applicata. Se lo strumento magnetoelettrico presenta resistenza interna elevata, tanto

Fig. 6.5 Voltmetro sensibile al valore medio sul semiperiodo di una tensione alternata

Vi Vu

V

Ten

sion

e

Tempo

Vi

Vu

V m2T--- V M ωt( )sin td

0

T 2⁄

∫=

π 2 2( )⁄ 1.11=



che il prodotto R C risulti notevolmente superiore alla durata del semiperiodo dell’onda dellatensione, il condensatore si scarica poco durante il tempo in cui la tensione non è al valore dicresta. Di conseguenza, l’indicazione dello strumento risulta praticamente proporzionale alvalore di cresta. Per ottenere il risultato richiesto è quindi opportuno che la resistenza internadello strumento sia molto elevata e il condensatore di capacità pure elevata.

6.4. Misura di Correnti Alternate

Per la misura delle correnti alternate è in generale richiesto il valore efficace per cui si puòricorrere all’impiego di strumenti elettromagnetici.

Negli amperometri elettromagnetici, la bobina viene realizzata con poche spire di sezione rela-tivamente elevata. Molte volte la bobina è suddivisa in due parti uguali che possono essere col-legate in serie o in parallelo per ottenere così uno strumento con due portate, come schematica-mente indicato in Figura 6.7.

Gli amperometri elettromagnetici hanno normalmente portate non superiori a 10 A. Per misu-rare correnti più elevate si può ricorrere alla interposizione di trasformatori di corrente (descrittinel Capitolo 11) in quanto l’uso di shunt non è possibile per la presenza di parametri non pura-mente ohmici.

Per misure di laboratorio dalla continua a 500 Hz sono abbastanza diffusi amperometri elettro-magnetici in classe 0.2 e 0.5.

Fig. 6.6 Voltmetro sensibile al valore di cresta di una tensione alternata

Fig. 6.7 Amperometro elettromagnetico

Vi VuIi = Id

Vd

C V

I

I

I

IConnessione in Serie Connessione in Parallelo

I I

I/2

I/2

6.5. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale



Per la misura delle potenze attive in regime sinusoidale si può ricorrere all’uso di wattmetrielettrodinamici. In un sistema ad N fili, la misura di potenza può essere condotta con N – 1wattmetri. La misura è sempre affetta da errore sistematico di segno positivo.

In un circuito monofase in regime sinusoidale, la potenza istantanea (p) è uguale al prodotto deivalori istantanei di tensione (v) e corrente (i)

(6.23)

nella quale VM e IM sono i valori di cresta delle grandezze in gioco, ω la pulsazione, ϕ l’angolodi sfasamento esistente tra le due grandezze (ritardo della corrente sulla tensione) e t il tempo.

Sviluppando il prodotto si ottiene la relazione

(6.24)

nella quale V e I rappresentano i valori efficaci rispettivamente di tensione e corrente.

Dalla equazione (6.24) si rileva che la potenza istantanea è formata da un termine costante e da un termine sinusoidale a frequenza doppia .

Il valore che interessa, in quanto presiede agli scambi di energia, è il valore medio di p sul peri-odo (P) che si identifica con il primo termine

(6.25)

in quanto il secondo termine ha valore medio nullo. Gli andamenti della potenza istantanea edella potenza media sono rappresentati Figura 6.8.

Lo strumento analogico classico per la misura della potenza attiva è il wattmetro elettrodina-mico che fornisce una indicazione proporzionale al valore medio della potenza istantanea (siveda anche quanto è già stato detto nel Capitolo 4). Alla bobina fissa viene inviata la corrente(amperometrica) mentre quella mobile è sottoposta alla tensione (voltmetrica). La Figura 6.9illustra le due possibili inserzioni.

I wattmetri di laboratorio hanno solitamente la bobina amperometrica realizzata con poche spiredi sezione relativamente elevata, suddivisa in due sezioni uguali che possono essere messe inserie o parallelo (due portate amperometriche). La bobina voltmetrica è invece costituita damolte spire di piccola sezione, associate alla quale sono più resistenze addizionali (più portatevoltmetriche).

Ad ogni combinazione tensione/corrente corrisponde una ben definita costante strumentale. Lacostante (kW) dello strumento è determinata dal prodotto delle portate amperometrica e voltme-trica diviso per il numero delle divisioni della scala.

La misura effettuata con il wattmetro è affetta da errore sistematico la cui entità dipendedall’autoconsumo dello strumento e il cui segno è sempre positivo (si misura sempre in più).

p vi V M ωt( )sin IM ωt ϕ+( )sin= =

p VI ϕ( )cos VI 2ωt ϕ+( )sin+=

VI ϕ( )cos VI 2ωt ϕ+( )sin

P VI ϕ( )cos=



Con riferimento alla Figura 6.9, nel caso in cui la voltmetrica è derivata a valle dell’amperome-trica, si può osservare, in analogia a quanto esposto a proposito delle misure in continua, che latensione applicata allo strumento è esattamente quella esistente ai morsetti dell’utilizzatore,mentre la corrente nell’amperometrica comprende anche la quota parte assorbita dalla voltme-trica.

Il wattmetro misura quindi una potenza (PM) più grande di quella realmente assorbita dall’uti-lizzatore (PU) secondo la relazione

(6.26)

con un errore sistematico relativo dato da

(6.27)

Fig. 6.8 Andamenti della potenza istantanea e della potenza media in funzione del tempo

Fig. 6.9 Possibili inserzioni del wattmetro per misure di potenza attiva in sistemi monofase

Ten

sion

e, C

orre

nte,

Pot

enza

Tempo

vi p

P

Tv = Ti = 2 Tp

V

IU

RV

W

U VU

RA

V

IU

RV

W

U VU

RA

I I

PM PU

V U2

RV-------+=

ε% 100V U

2 RV⁄

PU-------------------=



Il valore di PU si può trovare immediatamente se è noto il valore di RV (correzione dell’erroresistematico), utilizzando la relazione

(6.28)

In analogia a quanto detto sopra, si può trattare ora lo schema che prevede l’amperometrica avalle della voltmetrica. Anche in questo caso il wattmetro misura in più

(6.29)

con un errore sistematico relativo pari a

(6.30)

L’errore sistematico può essere corretto se si conosce il valore di RA, utilizzando la relazione

(6.31)

Si noti che, a differenza di RV, la resistenza RA non è indipendente dalla temperatura in quantola bobina amperometrica è di rame. Si deve infine osservare che le relazioni scritte sopra sonosempre valide, ad esempio, anche quando nel circuito sono in gioco potenze reattive.

Il wattmetro è anche affetto da un altro errore sistematico attribuibile allo sfasamento tra latensione applicata alla voltmetrica e la corrente che attraversa la bobina stessa. Poiché è didifficile valutazione, di esso si tiene implicitamente conto nella classe che caratterizza lo stru-mento.

Un’altra causa di errore sistematico, che è però di difficile valutazione, è dovuta al fatto che ilcircuito voltmetrico non è puramente resistivo (prevale in genere l’effetto induttivo della bobinavoltmetrica) per cui la corrente nello stesso non è perfettamente in fase con la tensione. Un altroparametro che può creare errori dello stesso tipo, è la mutua induttanza esistente tra le duebobine. Anche se nella costruzione degli strumenti si fa in modo di ridurre al minimo le causedi errore suddette, si deve considerare, in linea generale, la situazione rappresentata dal dia-gramma vettoriale di Figura 6.10.

Prescindendo dagli autoconsumi, la potenza misurata risulta

(6.32)

essendo ε l’angolo tra la tensione applicata alla voltmetrica e la relativa corrente.

L’errore sistematico relativo che si commette è dato da

(6.33)

PU PM

V U2

RV-------–=

PM PU IU2

RA+=

ε% 100IU

2RA

PU-------------=

PU PM IU2

RA–=

PM VI ϕ ε–( )cos=

ε% 100PM PU–

PU--------------------- 100VI ϕ( )cos ε( )cos VI ϕ( )sin ε( )sin VI ϕ( )cos–+

VI ϕ( )cos--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= =



Essendo l’angolo ε molto piccolo, si può assumere cos(ε) = 1 per cui semplificando, si ottiene

(6.34)

Si conclude osservando che l’errore sistematico che si commette non dipende solo dallo stru-mento ma anche dalle caratteristiche del circuito (sarebbe nullo per ϕ = 0 e infinito per ϕ = 90°).

Risulta pertanto che le misure a basso fattore di potenza possono risultare critiche per quantoriguarda l’accuratezza raggiungibile. Ad esempio, per cos(ϕ) = 0.05 si ha

(6.35)

Se l’errore proprio (di fase) del wattmetro fosse dello 0.2%, l’errore sistematico sulla misura dipotenza sarebbe del 4% (di valore positivo se il misurando è induttivo, negativo se è capacitivo).

Poiché il valore di ε non è noto e non è neppure costante, ne risulta che è impossibile procederealla correzione dei risultati per cui il problema finisce per ricadere nella valutazione dell’incer-tezza di cui il risultato della misurazione risulta affetto.

Si deve anche rilevare che in tali condizioni, la deviazione dell’indice dello strumento sarebbemolto ridotta (meno del 10% della scala) per cui diverrebbero rilevanti anche le incertezze dilettura.

Per le misure di potenza a basso fattore di potenza conviene ricorrere a wattmetri detti a bassocos(ϕ).

Per ovviare al problema sopra descritto, si può ricorrere all’uso di wattmetri per basso cos(ϕ)che sono strumenti più pregiati nei quali la molla antagonista è ridotta in modo che la portatadello strumento sia pure ridotta. Ad esempio, un wattmetro per cos(ϕ) = 0.2 va in fondo con una

Fig. 6.10 Diagramma vettoriale relativo a misure di potenza attiva in sistemi monofase

V

I

ϕIV

ε

ε% 100VI ϕ( )cos VI ϕ( )sin ε( )sin VI ϕ( )cos–+VI ϕ( )cos

---------------------------------------------------------------------------------------------------≅ 100 ϕ( ) ε( )sintan=

ϕ( )tan 1ϕ( )cos

-----------------≅ 20=

6.6. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale


potenza attiva pari a 1/5 di quella corrispondente al prodotto V I, essendo V la portata voltme-trica e I quella amperometrica.

La costante di uno strumento di questo tipo è data dal prodotto delle portate amperometrica evoltmetrica, a sua volta moltiplicato per il grado di alleggerimento applicato alla coppia resi-stente (sullo strumento è solitamente indicato il valore di questa secondo fattore).

6.6. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale

La misura della potenza apparente in un circuito monofase in regime sinusoidale si ottienecombinando le indicazioni del voltmetro e dell’amperometro.

Poiché non esiste uno strumento analogico capace di fornire direttamente la potenza apparente,occorre utilizzare uno degli schemi indicati in Figura 6.11.

La grandezza da misurare viene ottenuta dal prodotto delle indicazioni di voltmetro (VV) eamperometro (IA),

(6.36)

In linea di principio, anche questa misurazione è affetta da errore sistematico per tenere contodel quale non è possibile operare se non si conosce l’angolo di sfasamento tra tensione e cor-rente dell’oggetto sotto misura.

In generale questa la correzione non viene applicata in quanto la potenza apparente presentaimportanza notevolmente ridotta rispetto alla potenza attiva. Nella valutazione della incertezzacon la quale la grandezza cercata viene determinata si può tenere conto dell’errore sistematico.

Fig. 6.11 Schemi per la misura della potenza apparente in sistemi monofase in regime sinu-soidale

A

V

VUV

I

RA

A

V

V

I

VV

RU

IA IA

VV

RUVU

S V V I A=



L’incertezza di misura composta e quella estesa vengono stimate applicando le regole indicatenel Capitolo 1.

6.7. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale

Per la misura della potenza reattiva non si dispone di strumenti analogici che consentano dirilevare direttamente la grandezza per cui si ricorre alla determinazione indiretta. Il procedi-mento più diffuso è quello di elaborare le indicazioni di wattmetro, voltmetro e amperometro.

Quando le grandezze sono sinusoidali, la determinazione della potenza reattiva potrebbe essere,in linea di principio, effettuata ricorrendo ad un varmetro, che costruttivamente potrebbe esserederivato da un wattmetro facendo in modo che la corrente nella voltmetrica sia in quadraturacon la tensione (Figura 6.12).

Con uno strumento di questo tipo l’indicazione sarebbe data da

(6.37)

Per ottenere la condizione cercata si dovrebbe ricorrere ad artifici circuitali la cui validitàsarebbe limitata ad una sola frequenza (presenza contemporanea di condensatori, induttori eresistori). Come si vedrà più avanti, il problema può essere affrontato in modo diverso nel casodei circuiti trifase con tensioni e correnti sinusoidali.

Generalmente, la determinazione della potenza reattiva Q viene perciò effettuata per via indi-retta elaborando le indicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro (sono quindi necessaritre strumenti)

(6.38)

dove P è la potenza attiva misurata con il wattmetro e S è la potenza apparente determinata dalprodotto V I.

Fig. 6.12 Schema di principio di un varmetro monofase

V

var

U

I

Q VI 90° ϕ–( )cos VI ϕ( )sin= =

Q S2 P2– VI( )2 P2–= =

6.8. Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale


Questa misurazione include errori sistematici del tipo già discusso e dei quali, volendo si puòtenere conto apportando le opportune correzioni.

Per la stima della incertezza che grava sul risultato finale, si deve operare secondo quanto indi-cato al Capitolo 1.

6.8. Misura del Fattore di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale

Per la misura del fattore di potenza si potrebbe ricorrere a strumenti analogici logometrici masi preferisce determinare la grandezza per via indiretta elaborando le indicazioni di wattmetro,voltmetro e amperometro.

L’uso di strumenti logometrici del tipo descritto nel Capitolo 4 consentirebbe di effettuare lamisura diretta del fattore di potenza. La scarsa diffusione di questi strumenti è legati alla mode-sta accuratezza conseguibile, per cui in laboratorio si preferisce procedere con la determina-zione indiretta.

Come per la potenza reattiva si parte dalle indicazioni di wattmetro, amperometro e voltmetro.Tra le diverse possibili elaborazioni quella che si preferisce è la seguente:

(6.39)

nella quale P è la potenza attiva e S la potenza apparente.

Degli errori sistematici si può tenere apportando, se necessario, le opportune correzioni. Per lastima della incertezza che grava sul risultato finale, si deve operare secondo quanto indicato alCapitolo 1.

6.9. Misure di Potenza Attiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale

In un sistema qualsiasi a N fili, la potenza attiva si può misurare utilizzando N – 1 wattmetri.

Le considerazioni sviluppate nel seguito sono state per semplicità riferite ai sistemi trifase maesse possono essere ovviamente estese a qualunque sistema avente un numero di fasi qualunque.

In un sistema trifase, l’oggetto sotto misura può essere collegato a triangolo o a stella, oppureessere costituito da più carichi misti in parallelo (anche monofase), mentre il sistema di alimen-tazione può essere a tre o quattro fili.

ϕ( )cos PS---=



La misura della potenza attiva su sistemi trifase a quattro fili deve essere eseguita con tre watt-metri.

Il sistema trifase è a quattro fili quando si è in presenza di neutro attivo (Figura 6.13). Lapotenza attiva si ottiene come somma delle potenze relative a ciascuna delle fasi.

Dette E1, E2 ed E3 le tensioni di fase e I1, I2 e I3 le rispettive correnti, sfasate rispetto alle primedegli angoli ϕ1, ϕ2, ϕ3 la potenza è data da

(6.40)

La misura della potenza attiva sui sistemi trifase a tre fili può essere eseguita con tre o due watt-metri.

Per i collegamenti a stella e triangolo, la potenza attiva si può sempre ottenere come sommadelle potenze relative a ciascuna delle fasi, come indicato per i sistemi a quattro fili

(6.41)

Fig. 6.13 Misura di potenza attiva in un sistema trifase a quattro fili

I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

N

O

P E1I1 ϕ1( )cos E2I2 ϕ2( )cos E3I3 ϕ3( )cos+ +=

P E1I1 ϕ1( )cos E2I2 ϕ2( )cos E3I3 ϕ3( )cos+ +=



Si tenga presente che nel caso in oggetto sono indicate con E1, E2 ed E3 le tensioni di fase e conI1, I2 e I3 le correnti di linea, mentre nel caso del triangolo le E1, E2 ed E3 corrispondono alletensioni concatenate e le I1, I2 e I3 alle correnti di fase.

Si vuole ora dimostrare che la potenza attiva sui sistemi trifase a tre fili può essere misurata consolo due wattmetri. In quanto segue si fa per semplicità riferimento ad un circuito collegato astella, anche se le conclusioni hanno validità più generale.

Se si modifica lo schema di Figura 6.14a in quello di Figura 6.14b, separando cioè il centrostella delle voltmetriche da quello del carico si ha, in generale, che i due centri stella non coin-cidono elettricamente. Ciò può essere dovuto a dissimmetrie nelle impedenze a valle dellasezione di misura o nelle resistenze addizionali dei wattmetri.

Con notazione vettoriale, la somma delle indicazioni dei tre wattmetri può essere scritta come

(6.42)

avendo indicato con il vettore di tensione esistente tra i due centri stella. Sviluppando siottiene

(6.43)

Fig. 6.14 Misura di potenza attiva in un sistema trifase a tre fili

I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

O

(a)

I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3

R3

W3

Z33

O

(b)

O´

P E1 H–( ) I1• E2 H–( ) I2• E3 H–( ) I3•+ +=

H

P E1 I1• E2 I2• E3 I3• H I1 I2 I3+ +( )•+ + +=



Essendo il sistema a tre fili, la somma vettoriale delle correnti è per definizione nulla, ovvero

(6.44)

per cui la potenza misurata coincide con quella assorbita dal carico.

Un ulteriore passo può essere fatto ponendo in corto circuito una delle voltmetriche (ad esempioquella del wattmetro W3) la cui tensione diverrà nulla, mentre sulle due rimanenti voltmetrichela tensione passa da quella di fase alla concatenata, valgono allora lo schema e il diagrammavettoriale di Figura 6.15, che rappresentano l’inserzione di Aron (Figura 6.16).

Fig. 6.15 Diagramma vettoriale relativo all’inserzione di Aron per la misura della potenzaattiva in un sistema trifase a tre fili

Fig. 6.16 Inserzione di Aron per la misura della potenza attiva in un sistema trifase a tre fili

I1 I2 I3+ + 0=

O

1

23V23

V31 V12E1

E3

E2

O´

HI1

ϕ1

I2ϕ2

I3

ϕ3

E3´

E1´

E2´

I1

R1

W1

Z11

I2

R2

W2

Z22

I3 Z33

O



In questo caso si può scrivere

(6.45)

L’ultimo termine della equazione (6.45) è evidentemente nullo e per tanto si ottiene

(6.46)

che, essendo

(6.47)

diventa

(6.48)

come volevasi dimostrare.

Da quanto sopra esposto deriva un importante conclusione di validità generale: la potenzaattiva in un circuito ad N fili può essere misurata con N – 1 wattmetri.

La conclusione alla quale si è giunti è valida per qualsiasi sistema polifase (incluso il monofaseche ha due fili e per il quale la misura di potenza si effettua con un wattmetro), anche se nonsimmetrico nelle tensioni e squilibrato nelle correnti. Come si vedrà più avanti, la regola èvalida anche nel caso di grandezze non sinusoidali.

La misura effettuata con l’inserzione di Aron può comportare che un wattmetro fornisca indi-cazione negativa per cui essa deve essere sottratta dall’altra indicazione. Sui sistemi simmetricied equilibrati, ciò avviene per fattori di potenza inferiori a 0.5.

Si osservi infine che, come le precedenti, anche questa misura è affetta da errore sistematico chepuò essere corretto. Per la determinazione delle incertezze composta ed estesa si devono appli-care le regole indicate nel Capitolo 1.

Sotto l’aspetto delle incertezze, si fa presente che nel caso di circuito a fattore di potenza moltobasso, l’inserzione di Aron può comportare incertezze molto elevate in quanto i due termini deiquali si deve effettuare la sottrazione hanno ampiezze poco diverse tra loro. Poiché l’uso diwattmetri a basso cos(ϕ) non è adatto per lo schema in oggetto, per la misura si deve ricorrerea tre wattmetri, misurando le potenze di ogni fase e sommandole (in questo caso l’uso di watt-metri a basso cos(ϕ) è possibile).

P E1 E3–( ) I1• E2 E3–( ) I2• E3 E3–( ) I3•+ +=

P E1 I1• E2 I2• E3 I1– I2–( )•+ +=

I3 I1– I2–=

P E1 I1• E2 I2• E3 I3•+ +=



6.10. Misure di Potenza Apparente in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale

La misura della potenza apparente viene ottenuta indirettamente dalla elaborazione di più stru-menti. Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni ed equilibrati nelle correnti la determinazionedelle potenza apparente può essere fatta seguendo i metodi già indicati per i sistemi monofase.

Se il sistema in oggetto è simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti, le potenzeapparente e reattiva possono essere determinate per via indiretta seguendo regole analoghe aquelle adottate per i sistemi monofase.

Per la potenza apparente vale la relazione

(6.49)

essendo S la potenza apparente trifase, V la tensione concatenata ed I la corrente di linea.

6.11. Misure di Potenza Reattiva in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale

La misura della potenza reattiva viene ottenuta indirettamente dalla elaborazione di più stru-menti. Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni ed equilibrati nelle correnti la determinazionedelle potenza reattiva può essere fatta seguendo i metodi già indicati per i sistemi monofase.

Per la potenza reattiva si opera in modo analogo a quanto fatto per la potenza apparente, otte-nendo

(6.50)

nella quale P è la potenza attiva totale e S la potenza apparente determinata come sopra.

Un metodo assai diffuso per la misura della potenza reattiva è quello che, verificate le condi-zioni di simmetria e equilibrio, si basa sull’uso di un wattmetro inserito come indicato inFigura 6.17.

La potenza reattiva risulta infatti

(6.51)

L’indicazione del wattmetro deve essere moltiplicata per al fine di ottenere il valore di Q.

Questo metodo che, come già detto, presuppone le condizioni di simmetria ed equilibrio delsistema, può essere utilizzato solamente per misure indicative (ad esempio, sui quadri di cen-

S 3VI=

Q S2 P2–=

Q 3VI 90° ϕ–( )cos 3VI ϕ( )sin= =

3



trale). Per misure di precisione, non si può infatti presumere che le condizioni richieste sianoverificate.

Se i sistemi sono simmetrici nelle tensioni e non equilibrati nelle correnti la determinazionedelle potenze suddette può essere fatta con l’inserzione Righi.

Nel caso di carico squilibrato ma tensioni ancora simmetriche, si può ricorrere alla inserzionedi Figura 6.18 (inserzione di Righi o dei tre wattmetri).

Essa viene realizzata inserendo due strumenti secondo lo schema di Aron già discusso ed il terzocon la bobina amperometrica sulla fase rimasta libera e la voltmetrica derivata fra le due altrefasi.

Indicando con Wa, Wb e Wc le indicazioni dei tre wattmetri e ricordando l’ipotesi di simmetriasi ha

(6.52)

Si procede quindi ottenendo

(6.53)

Fig. 6.17 Inserzione di un wattmetro per la misura della potenza reattiva in sistemi trifasesimmetrici ed equilibrati

Wc

Z11

Z22

Z33

OO

1

23

E1

E3 E2

Iϕ

90˚ – ϕ

V = V23

W a V I1 ϕ1 30°–( )cos=

W b V I2 ϕ2 30°+( )cos=

W c V I3 ϕ3 90°–( )cos=⎩⎪⎨⎪⎧

W a W c+ V I1 ϕ1 30°–( )cos V I3 ϕ3 90°–( )cos+=



Utilizzando note formule trigonometriche del coseno della somma o differenza di angoli siottiene per il primo termine

(6.54)

e per il secondo termine

(6.55)

da cui sostituendo si ottiene

(6.56)

Fig. 6.18 Inserzione di Righi per la misura della potenza reattiva in sistemi trifase simmetrici

Wa

Z11

Wb

Z22

Wc

Z33

O

ϕ1 30°–( )cos ϕ1 30°+( ) 60°–[ ]cos = =

ϕ1 30°+( )cos 60°( )cos ϕ1 30°+( )sin 60°( ) =sin+=

12--- ϕ1 30°+( )cos 3

2------- ϕ1 30°+( )sin+=

ϕ3 90°–( )cos ϕ3 30°–( ) 60°–[ ]cos = =

ϕ3 30°–( )cos 60°( )cos ϕ3 30°–( )sin 60°( ) =sin+=

12--- ϕ3 30°–( )cos 3

2------- ϕ3 30°–( )sin+=

W a W c+ V I112--- ϕ1 30°+( )cos 3

2------- ϕ1 30°+( )sin+ +=

+ V I312--- ϕ3 30°–( )cos 3

2------- ϕ3 30°–( )sin+



A questo punto è possibile mettere in evidenza la potenza reattiva Q cercata e la potenza attivaP, ottenendo

(6.57)

Ricordando che, secondo l’inserzione Aron, la potenza attiva è espressa da

(6.58)

si ha finalmente

(6.59)

ossia

(6.60)

Questa formula permette di determinare la potenza reattiva Q in base alle tre letture Wa, Wb eWc dei tre wattmetri.

La potenza apparente può allora essere determinata con la relazione

(6.61)

Nel caso di sistemi non simmetrici, si deve procedere diversamente. Per la potenza attiva valequanto detto nel Capitolo 6.9., per cui le potenze si sommano aritmeticamente. Per la potenzareattiva si effettua la somma algebrica dei contributi delle singole fasi, tenendo presente i segnirelativi (ci possono essere carichi induttivi e capacitivi). Per la potenza apparente si procede vet-torialmente, o più comodamente applicando la relazione

(6.62)

Se non è possibile effettuare misure sulle singole fasi, le potenze apparente e reattiva non pos-sono essere determinate in modo univoco.

Se il sistema può essere considerato simmetrico e gli squilibri sulle correnti non sono vistosi, sipuò operare facendo la media delle correnti rilevate sulle tre fasi e procedendo quindi comeindicato per i sistemi simmetrici ed equilibrati.

W a W c+ 12--- V I1 ϕ1 30°+( )cos V I3 ϕ3 30°–( )cos+[ ] +=

+ 32

------- V I1 ϕ3 30°–( )cos V I3 ϕ3 30°–( )sin+[ ] =

12---P 3

2-------Q+=

P W a W b+=

W a W c+ 12--- W a W b+( ) 3

2-------Q+=

QW a W b 2W c+–

3---------------------------------------=

S P2 Q2+=

S P∑( )2 Q∑( )2+=



6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime Non-Sinusoidale

Le definizioni di potenze reattiva ed apparente in regime non-sinusoidale possono essere datesolo in forma convenzionale (senza significato fisico).

6.12.1. Potenza Istantanea

Si consideri per semplicità un circuito monofase in cui la tensione o la corrente, o entrambe legrandezze, non siano sinusoidali. Se ciascun segnale viene scomposto in serie di Fourier, siottengono tanti termini di tipo sinusoidale di ampiezza e fase diversa. Non necessariamente tuttele armoniche sono presenti, anzi nella maggioranza dei casi avviene esattamente il contrario.

La potenza istantanea (p) è sempre uguale al prodotto dei valori istantanei di tensione (v) e cor-rente (i), qualunque sia la forma dei segnali

(6.63)

nella quale i simboli hanno significato ovvio.

Se si sviluppa il prodotto, si ottiene un numero di termini molto elevato (a causa dei prodottiincrociati). A titolo d’esempio, in Figura 6.19 sono stati tracciati i diagrammi di tensione, cor-rente e potenza istantanee per casi di tensione sinusoidale e di corrente distorta.

In Figura 6.19a la corrente ha un’armonica di terzo ordine, mentre in Figura 6.19b un’armonicadi quinto ordine. In entrambi i casi il valore medio della potenza istantanea è nullo, stando asignificare che nella sezione di misura non transita potenza attiva. Il fatto che siano però in giococorrenti e tensioni implica automaticamente che nel sistema è in gioco potenza reattiva.

6.12.2. Potenza Attiva

La potenza attiva in regime non-sinusoidale è data dalla somma dei prodotti scalari tra ten-sione e corrente relativi alle singole armoniche.

Si consideri un circuito monofase in cui sia la tensione che la corrente non siano sinusoidali. Lapotenza attiva viene definita come

(6.64)

dove con l’indice i sono state indicate le varie armoniche.

p vi V i iωt( )sin

i 0=

∞

∑ I i iωt ϕi+( )sin

i 0=

∞

∑= =

P V iI i ϕi( )cos

i 0=

∞

∑=

6.12. Potenze Attiva, Reattiva ed Apparente in Regime Non-Sinusoidale


Si presuppone quindi che le onde di tensione e corrente siano state scomposte in serie di Fouriernelle varie sinusoidi aventi ordine di armonicità da 1 a ∞. La potenza attiva è quindi costituitadalla sommatoria dei prodotti scalari (in senso vettoriale) di tutte le combinazioni di tensioni ecorrenti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativo angolo di sfasamento.

Si noti che quanto esposto è valido anche se corrente e tensione contengono componenti costanti(in questo caso ϕ = 0).

Fig. 6.19 Tensione, corrente e potenza istantanea in caso si forma d’onda di tensione sinu-soidale e forma d’onda di corrente non sinusoidale

Ten

sion

e, C

orre

nte,

Pot

enza

Tempo

v

i p

P

Ten

sion

e, C

orre

nte,

Pot

enza

Tempo

v

ip

P

(a)

(b)



Per quanto riguarda il comportamento del wattmetro, è importante rilevare che ogni contributo produce una coppia motrice Ci e che l’equipaggio mobile è globalmente sollecitato

dalla somma delle singole coppie. Ne consegue che il wattmetro è sempre in grado di fornirel’indicazione corretta della potenza attiva che transita nella sezione del circuito in cui si effettuala misura (almeno nel campo delle frequenze industriali).

Tale proprietà è valida anche per i sistemi polifase per cui resta confermato che le misure dipotenza attiva su un sistema qualunque possono sempre essere effettuate con N – 1 wattmetri.

6.12.3. Potenza Reattiva

In presenza di tensioni e correnti non sinusoidali, la definizione di potenza reattiva non è uni-voca e può essere solamente convenzionale.

Si consideri ancora per semplicità un circuito monofase in cui sia la tensione che la corrente nonsiano sinusoidali. Della potenza reattiva si possono definire tutti i contributi delle diverse coppiearmoniche di tensioni e correnti analogamente a quanto fatto per la potenza attiva:

(6.65)

dove con l’indice i sono state indicate le varie armoniche.

Questa potenza reattiva Q è quindi costituita dalla sommatoria dei prodotti vettoriali di tutte lecombinazioni di tensioni e correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativoangolo di sfasamento.

Si devono ora prendere in considerazione anche tutti i prodotti tra i termini non isofrequenziali(i ≠ k),

(6.66)

Si osservi che il valore medio di questi termini è nullo (potenza attiva nulla). Ci si deve ora chie-dere in quale modo mettere in conto tutti i contributi del tipo descritto. La risposta a questadomanda è discussa nei paragrafi seguenti.

6.12.4. Potenza Apparente

In regime non sinusoidale non è possibile dare una definizione univoca della potenza apparentepoiché non si può ricorrere alla rappresentazione convenzionale (vettoriale).

È generalmente accettato considerare convenzionalmente come potenza apparente in un cir-cuito monofase il prodotto dei valori efficaci di tensione e corrente

(6.67)

V iI i ϕi( )cos

Q V iIi ϕi( )sin

i 0=

∞

∑=

Dik V i iωt( )sin Ik kωt ϕk+( )sin=

S VI=

6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime Non-Sinusoidale


Si osservi che tale definizione non ha un chiaro significato fisico. Analogamente si può diredella definizione del fattore di potenza mediante la relazione

(6.68)

Si può ulteriormente notare che se si applica in regime non-sinusoidale la stessa formula che inregime sinusoidale si applica alle potenze si constata che

(6.69)

6.13. Alcune Teorie sul Significato delle Potenze in Regime Non-Sinusoidale

Sulle definizioni delle potenze in regime non sinusoidale numerosi sono stati i contributi daparte di studiosi della materia. Il fatto che esistano diverse interpretazioni per gli stessi feno-meni sta a dimostrare la convenzionalità dei procedimenti seguiti.

6.13.1. Teoria di Budeanu

Budeanu esprime la potenza apparente mediante le tre componenti P, Q e D, mutuamente orto-gonali (rappresentazione nello spazio). Con P si intende la potenza attiva definita da

(6.70)

nella quale V0 e I0 rappresentano le eventuali componenti continue di tensione e corrente (nelqual caso ϕ0 = 0).

Con Q si rappresenta la potenza reattiva definita da

(6.71)

Per il termine D Budeanu propone la definizione

con m ≠ k (6.72)

che assume valore nullo quando tutte le armoniche di corrente sono proporzionali a quelle ditensione e quando tutti gli sfasamenti relativi ϕi sono uguali.

ϕ( )cos PS---=

S2 P2– Q≥

P V iI i ϕi( )cos

i 0=

∞

∑=

Q V iIi ϕi( )sin

i 0=

∞

∑=

D2 V k2Im

2 V m2 Ik

2 2V kV mIkIm ϕk ϕm–( )cos–+[ ]

k 0=

∞

∑m 0=

∞

∑=



La formula sopra riportata che esprime D è una pura espressione matematica ricavata estrapo-lando ai sistemi con onde deformate le formule classiche del regime sinusoidale e si può dimo-strare che

(6.73)

Al termine D si da il nome di potenza reattiva deformante ma la grandezza non ha alcun signi-ficato fisico anche se associato a potenza reattiva.

6.13.2. Teoria di Shepherd e Zakikhani

Questi due ricercatori hanno proposto di scomporre la potenza apparente in tre termini dettirispettivamente potenza apparente attiva (AR), potenza apparente reattiva (AX) e potenza appa-rente deformante (AD) che assumono le espressioni

(6.74)

in cui le armoniche comuni ai due segnali sono indicate con il pedice k, mentre i pedici j e pindicano, rispettivamente, le armoniche contenute solo nel segnale di tensione e solo in quellodi corrente.

6.13.3. Teoria di Sharon

Sharon propone di scomporre la potenza apparente in tre componenti ortogonali, costituiti dallapotenza attiva

(6.75)

dalla potenza reattiva in quadratura S0 data da

(6.76)

S2 P2 Q2 D2+ +=

AR2 V k

2

k∑⎝ ⎠⎛ ⎞ Ik

2 ϕk( )cos2

k∑=

AX2 V k

2

k∑⎝ ⎠⎛ ⎞ Ik

2 ϕk( )sin2

k∑=

AD2 V k

2

k∑⎝ ⎠⎛ ⎞ I p

2

p∑⎝ ⎠⎛ ⎞ V j

2

j∑⎝ ⎠⎛ ⎞ Ik

2

k∑ I p

2

p∑+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧

P V iI i ϕi( )cos

i 0=

∞

∑=

S02 V 2 I i

2 ϕi( )cos2

i 0=

∞

∑=

6.14. Misure di Potenza su Circuiti Non Lineari di Tipo Induttivo


e dalla potenza reattiva complementare SC data da

(6.77)

dove V è il valore efficace della forma d’onda di tensione e con h e k si indicano le armonichenon comuni.

6.13.4. Teoria di Czarnescki

Nella teoria di Czarnescki il problema è affrontato dal punto di vista della compensazione dellecomponenti armoniche della corrente reattiva, definita dalla somma delle componenti armoni-che della corrente, in quadratura rispetto alle corrispondenti armoniche di tensione.

Nei sistemi con onde deformate non si riesce, mediante un condensatore o un induttore, adannullare la totale potenza non attiva. Al fine di compensare le componenti armoniche della cor-rente reattiva è necessario un circuito rifasatore che presenti, per ciascuna armonica, una suscet-tanza pari all’opposto di quella del carico per la frequenza considerata o che richiuda la correntearmonica prodotta da quest’ultimo.

La scomposizione della corrente in tre componenti ortogonali porta ad individuare una porzionedella totale potenza apparente S che può essere compensata per mezzo di un circuito passivo(potenza reattiva Qr) e della potenza diffusa Ds per la quale tale tipo di compensazione è inef-ficace.

Alla teoria di Czarnescki può essere data una formulazione matematica piuttosto complessa chepresenta poco interesse pratico. Si deve poi tenere presente che nei sistemi in esame si è soventein presenza di fenomeni armonici rappresentabili attraverso circuiti a corrente costante (diarmonica) per cui è più semplice ragionare per via intuitiva e per singole armoniche.


Per la misura della cifra di perdita in lamierini magnetici si può utilizzare l’apparecchio diEpstein. Occorre fare attenzione nella determinazione delle potenze perché il circuito è nonlineare e pertanto occorre interpretare i risultati.

Quando le misure di potenza devono essere effettuate su circuiti non lineari si deve porre parti-colare attenzione nella interpretazione dei risultati ottenuti. Per chiarire i concetti conviene fareriferimento ad una classica misurazione che viene effettuata per determinare la cifra di perditadei lamierini magnetici utilizzati nelle macchine elettriche nelle quali essi sono sottoposti amagnetizzazione alternata. I suddetti lamierini presentano caratteristica B = f(H) non lineare e

SC V j2

j∑⎝ ⎠⎛ ⎞ Ik

2 ϕk( )cos2

k∑ V 2 I p

2

p∑⎝ ⎠⎛ ⎞ ++=

+ 12--- V hIk ϕk( )cos V kIh ϕh( )cos+[ ]2

k∑

h∑



non indipendente dalle vicissitudini a cui gli stessi vengono sottoposti (cicli di isteresi), comesi può notare nella Figura 6.20.

Si deve anche tenere presente che essendo B e H interdipendenti, risulta che se B è sinusoidalenon lo può essere H e viceversa. Il primo caso è il più comune e corrisponde, ad esempio, all’ali-mentazione del circuito elettrico con tensione sinusoidale impressa per cui anche il flusso el’induzione nel circuito magnetico risultano sinusoidali. La forma del campo H (che è poi quelladella forza elettromotrice e della corrente di eccitazione) è invece appuntita. Se è invece sinu-soidale H (corrente sinusoidale impressa), B risulta appiattita (Figura 6.21).

La potenza magnetizzante (induttiva) perde allora significato preciso appunto perché B ed Hnon sono entrambe sinusoidali. In tal caso si può convenzionalmente fare riferimento al valoreefficace HE ed assumere come potenza magnetizzante specifica per unità di volume

(6.78)

Fig. 6.20 Ciclo di isteresi di un materiale magnetico

Fig. 6.21 Andamento dei campi B e H in presenza di isteresi e saturazione nel materialemagnetico

QV 2πfBHE=



e per unità di massa

(6.79)

dove γ è la densità di massa (o peso specifico). Un secondo importante problema riguarda le per-dite che sono da attribuire a due fenomeni distinti: isteresi e correnti parassite. A causa del feno-meno di isteresi, durante la magnetizzazione viene fornita al materiale una energia che non è poiinteramente restituita durante la smagnetizzazione. L’energia perduta che si trasforma in caloreè rappresentata, in una certa scala e per unità di volume, della superficie del ciclo di isteresi. Sipuò perciò scrivere

(6.80)

integrale esteso a tutto il ciclo. Poiché questa è l’energia dissipata per ogni ciclo, per passarealla potenza basta tenere conto della frequenza. Si è soliti esprimere le perdite per isteresi conuna relazione del tipo

(6.81)

dove kI è una costante e n un esponente che varia tra 2 e 3 con l’induzione stessa (esponente diSteimetz). Per limitare le perdite per isteresi il lamierino viene ottenuto da una lega ferro-silicio,con silicio intorno al 3.5%.Un’altra sorgente di perdite è dovuta al fatto che per la presenza diun flusso alternato, nello stesso materiale magnetico si inducono forze elettromotrici. Essendopoi il materiale buon conduttore, si ha anche la circolazione di correnti parassite. Le perdite percorrenti parassite sono proporzionali ai quadrati di induzione, frequenza e spessore del lamie-rino e inversamente proporzionale alla resistività del materiale. Per limitare le perdite per cor-renti parassite, i circuiti magnetici vengono laminati e si fa ricorso a leghe che permettono diaumentare la resistività. L’isolamento superficiale dei lamierini è oggi ottenuto per ossidazionediretta durante il processo produttivo. Analogamente a quanto detto per le perdite per isteresi,si può usare per le perdite per correnti parassite una espressione del tipo

(6.82)

Le perdite totali nel circuito magnetico possono quindi essere espresse con la formula binomia

(6.83)

A titolo indicativo si può ricordare che a 50 Hz e 1.5 T, la cifra di perdita può variare da 0.8 a2.0 W/kg, i valori più bassi sono quelli dei lamierini a cristalli orientati usati nei trasformatoridi potenza. In definitiva, ci si trova ad operare su un sistema fortemente induttivo con correntenon sinusoidale (nell’ipotesi di tensione sinusoidale).

Per quanto riguarda le potenze apparente e magnetizzante in gioco nel circuito, si rammentaquanto già discusso in merito a circuiti in cui le grandezze in gioco non sono sinusoidali (nelcaso in oggetto la corrente).

Per la potenza apparente si può assumere convenzionalmente il prodotto tra i valori efficaci ditensione e corrente.

QM2πγ

---------- fBHE=

w H Bd∫=

PI kI f Bn=

PP kP f 2B2=

PO kI f Bn kP f 2B2+=



Per la potenza reattiva, se si segue l’interpretazione dalla al problema dal Budeanu, se nedevono considerare due tipi: convenzionale e distorcente.

Si ricorda che in casi come quelli in oggetto non è possibile tracciare diagrammi vettoriali inquanto le grandezze non sono sinusoidali ed il fattore di potenza che perde il suo significato.

6.14.1. Apparecchio di Epstein per la Determinazione della Cifra di Perditadi Lamierini Magnetici

L’apparecchio di Epstein viene utilizzato per determinare la cifra di perdita dei lamierinimagnetici che rappresenta la perdita dissipata dalla massa di un chilogrammo di materialequando uniformemente eccitato a prefissati valori di induzione e di frequenza.

L’apparecchio si presenta come indicato in Figura 6.22. Lungo i tubi esterni sono avvoltiinsieme ed uniformemente in modo da simulare un solenoide, due avvolgimenti detti rispettiva-mente primario e secondario. Ciascuno di detti avvolgimenti è costituito da un predeterminatonumero di spire (normalmente 600 spire).

Per la prova si sceglie una prefissata massa di lamierini (normalmente 10 kg) tagliati in striscedi lunghezza e larghezza pure prefissate (500 mm e 30 mm, rispettivamente).

Le strisce così ottenute devono essere disposte nei tubi in modo che i giunti che si formanoall’esterno siano alternati e stretti così da ridurre l’effetto dei traferri.

Il circuito che si realizza per la misura è quello rappresentato in Figura 6.23. Esso presenta ilparticolare che il voltmetro e la voltmetrica del wattmetro sono eccitate dalla tensione fornitadall’avvolgimento secondario con il che si ottengono due grossi vantaggi:

Fig. 6.22 Apparecchio di Epstein



• si escludono dalla misura della potenza le perdite per resistenza che si verificano nell’avvol-gimento alimentato (primario);

• la forza elettromotrice indotta nel secondario è direttamente legata alla induzione nel circuitomagnetico, che è ciò che interessa.

Si devono utilizzare strumenti di buona qualità che consentano di misurare la tensione, lapotenza, la corrente e la frequenza, preferibilmente di tipo digitale in quanto caratterizzati daautoconsumo trascurabile. Si deve anche tenere conto che il circuito risulta fortemente induttivoper cui è necessario l’impiego d un wattmetro adatto per basso fattore di potenza.

Per l’alimentazione del circuito occorre una sorgente che per il momento si considera in gradodi fornire una tensione perfettamente sinusoidale.

Per applicare il procedimento si deve determinazione della sezione S del pacco di lamierini, percui detti M la massa dei lamierini (chilogrammi), γ il peso specifico del materiale magnetico edL la lunghezza totale del circuito magnetico, si ottiene

(6.84)

nella quale si può assumere γ = 7.6 kg/dm3 e L = 2.00 m.

Poiché lo scopo della misura è quello di determinare la cifra di perdita all’induzione B e allafrequenza f, si può determinare la tensione E che deve apparire ai terminali del secondario perdette induzione e frequenza, che risulta

(6.85)

nella quale N è il numero delle spire dell’apparecchio.

Le misure vengono quindi condotte rilevando un certo numero di valori di potenza assorbita infunzione della tensione a frequenza costante, ed effettuando l’interpolazione grafica dei puntirisultanti, in modo da escludere eventuali letture affette da errori grossolani.

Al valore di tensione determinato come sopra si determina quindi la potenza misurata PM.

Fig. 6.23 Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein

WA

~V

S MγL------=

E 2πNfBS=



Se l’autoconsumo delle voltmetriche non è trascurabile, si deve apportate alla potenza misuratadedotta come sopra una correzione p data da

(6.86)

essendo RT il valore della resistenza dell’arco doppio costituito dalle resistenze interne del volt-metro e della voltmetrica del wattmetro.

Si ottiene infine il valore della potenza corretta PC

(6.87)

Il valore della cifra di perdita cercato C è data infine dalla relazione

(6.88)

6.14.2. Separazione delle Perdite

Se si desidera effettuare la separazione delle perdite si può osservare che partendo dalla espres-sione che esprime la perdita misurata si può scrivere

(6.89)

dove il termine al primo membro rappresenta la perdita per ciclo.

La funzione scritta rappresenta una retta in funzione della frequenza, per cui con una prova ainduzione costante in funzione di f si può ottenere la ripartizione desiderata (Figura 6.24). Natu-ralmente le ordinate in corrispondenza della induzione di riferimento (ovvero della tensione diriferimento) devono essere moltiplicate per f per ottenere i valori desiderati che in genere siesprimono poi in frazione (o percentuale) delle perdite totali corrette.

Fig. 6.24 Ripartizione delle perdite in un materiale magnetico

p E2

RT------=

PC PM p–=

CPC

M-------=

PC

f------- kIB

n kP f B2+=

P/f

f

kPfB2

kIBn



6.14.3. Misura delle Perdite con Tensione Non Sinusoidale

In laboratorio ci si trova a volte a dover effettuare la determinazione della cifra di perdita conuna sorgente di tensione di onda non perfettamente non sinusoidale. La misura risulta cosìaffetta da errore sistematico che può però essere corretto in base alle considerazioni seguenti.

Si deve preliminarmente chiarire che le perdite per isteresi e per correnti parassite che si mani-festano nel lamierino seguono leggi diverse:

• le perdite per isteresi sono funzione del valore massimo dell’induzione BM in conseguenzadel fatto che dipendono dal ciclo di isteresi. Si deve anche tenere presente che l’esponente diSteimetz è, come già precisato, variabile con l’induzione stessa;

• le perdite per correnti parassite sono invece, per la legge di Joule, proporzionali al quadratodel valore efficace delle tensioni indotte nei lamierini e dipendono quindi dal valore efficacedell’induzione BE.

Ne consegue che se l’onda di tensione non è sinusoidale si pone il problema di come elaborarei risultati delle misure condotte in funzione della tensione.

Si può allora osservare che sarebbe necessario disporre di uno strumento che sia in grado dimisurare il valore massimo dell’induzione (o una grandezza proporzionale a questa) e di un altrostrumento in grado di misurare il valore efficace dell’induzione stessa (o una grandezza propor-zionale a questa).

Per la misura del valore efficace non vi sono problemi poiché basta utilizzare, per quanto dettosopra, un voltmetro a valore efficace.

Per la misura del valore massimo dell’induzione sono necessarie alcune ulteriori considera-zioni, che verranno descritte nel Capitolo 6.15.2.

Per effettuare le misure è allora necessario inserire nel circuito anche un voltmetro a valoremedio, come indicato in Figura 6.25.

Per l’esecuzione dei rilievi sperimentali si procede nello stesso modo precedentemente indicatoprendendo come riferimento le indicazioni del voltmetro a valore medio (tarato in valore effi-cace). In questo modo, si misurano correttamente le perdite per isteresi e non quelle per correnti

Fig. 6.25 Circuito per la misura della cifra di perdita con l’apparecchio di Epstein con ten-sione non sinusoidale

WA

~VMVE



parassite che sono proporzionali al valore efficace della tensione. Il contrario avverrebbe se siprendessero come riferimento le indicazione del voltmetro a valore efficace.

Per poter procedere alla correzione dei risultati e riportarli al caso di onda sinusoidale, è neces-sario procedere alla suddivisione delle perdite facendo rilievi in funzione della frequenza e adinduzione costante, come precedentemente illustrato.

Conviene esprimere i risultati in funzione del voltmetro a valore medio in quanto l’esponentedi Epstein non è costante (si opera ad induzione massima costante).

Per l’induzione prescelta si determinano correttamente le perdite per isteresi per ciclo, per risa-lire alla potenza corrispondente si deve moltiplicare per la frequenza in modo da ottenere il ter-mine

(6.90)

Le perdite per correnti parassite cercate si ottengono moltiplicando l’ordinata corrispondentedel grafico lineare per la frequenza e per il quadrato del rapporto tra il valore della tensione acui le perdite devono essere riferite e l’indicazione del voltmetro a valore efficace, per ottenere

(6.91)

nella quale V è indicazione del voltmetro a valore efficace e VN è tensione alla quale devonoessere riportate le perdite.

Le perdite riportate all’onda sinusoidale si ottengono poi sommando le quote dovute all’isteresie alle correnti parassite (quest’ultima corretta come detto sopra)

(6.92)

6.15. Alcune Misure Particolari

La misura di alcune grandezze caratteristiche, come il valore di cresta di tensioni alternate ele-vate o il valore massimo dell’induzione magnetica, richiede metodi specifici.

6.15.1. Misura del Valore di Cresta di Tensioni Alternate Elevate

In Figura 6.26 è rappresentato uno schema adatto per la misurazione del valore massimo (di cre-sta) di una grandezza alternata particolarmente adatto per alta tensione.

Ad un condensatore per alta tensione, ad esempio in gas compresso, viene posto in serie undispositivo costituito da due diodi in controfase, un milliamperometro magnetoelettrico (o altrostrumento sensibile al valore medio) e un resistore di valore pari a quello della resistenza internadel milliamperometro. Poiché il condensatore è di bassa capacità (dell’ordine delle centinaia omigliaia di picofarad), la presenza del dispositivo aggiuntivo non influisce sul valore della cor-

PI kI f Bn=

PPC kP f 2BE2

V N

V-------⎝ ⎠⎛ ⎞

2=

P PI PPC+=



rente e nemmeno sulla sua forma. In questo modo, la corrente istantanea di carica i del conden-satore alimentato dalla tensione alternata v, che risulta

(6.93)

viene raddrizzata dai due diodi che funzionano alternativamente.

Poiché, qualunque sia la forma della tensione da misurare, la corrente di carica si annulla in cor-rispondenza dei massimi della tensione (Figura 6.27) è possibile scrivere

(6.94)

L’integrale definito esteso per mezzo periodo della corrente dato da

(6.95)

risulta quindi proporzionale al valore massimo della tensione (VM).

Più esattamente, poiché il milliamperometro è percorso dalla corrente solamente per mezzoperiodo, la corrente media (Im) da esso indicata sarà data da

(6.96)

Si noti che la corrente indicata dallo strumento è funzione della frequenza.

6.15.2. Misura del Valore Massimo dell’Induzione Magnetica

In diversi tipi di misure industriali che coinvolgono grandezze magnetiche, come per esempionella misura della cifra di perdita di un materiale magnetico tramite il giogo di Epstein, si rendenecessario determinare il valore massimo dell’induzione magnetica.

Fig. 6.26 Misura del valore di cresta di tensioni alternate elevate

v

mA

C

i C vdtd

-----=

i td C vd=

δ 2T--- i td

0

T 2⁄

∫2T--- C vd

V M–

V M

∫4CT

-------V M= = =

Im2CT

-------V M 2 fCV M= =



Si dimostra che tale valore massimo è proporzionale al valore medio della tensione indottapurché la forma d’onda della grandezza passi per lo zero due volte per periodo. Si considerinole forme d’onda riportate Figura 6.28 che rappresentano i valori istantanei dell’induzionemagnetica b e la forza elettromotrice di autoinduzione o indotta e. Si può allora scrivere

(6.97)

dove N è il numero di spire A la sezione dei circuito magnetico.

Fig. 6.27 Andamento di tensione e corrente nel circuito per la misura del valore di cresta ditensioni alternate elevate

Fig. 6.28 Andamento di tensione e induzione magnetica nel circuito per la misura del valoremassimo dell’induzione magnetica

Ten

sion

e, C

orre

nte

Tempo

i

v

T/2

Im

e N φdtd

------– N bdtd

------ A–= =

Ten

sion

e, C

orre

nte

Tempo

b

e T/2Em

BM

–BM



In forma diversa si può scrivere

(6.98)

Il valore medio della tensione (Em) riferito al semiperiodo, misurato ad esempio con un voltme-tro magnetoelettrico collegato come indicato in Figura 6.5, è dato da

(6.99)

avendo indicato con T il periodo, con f la frequenza e con BM il valore massimo dell’induzione.

Questa relazione è valida in quanto la forza elettromotrice indotta è nulla quando è nulla la deri-vata dell’induzione, ovvero quando quest’ultima è massima.

Si tenga presente che se il voltmetro a valore medio è tarato in valore efficace per onda sinusoi-dale, il fattore di forma sarà dato dal rapporto tra il vero valore efficace della tensione e l’indi-cazione del voltmetro sensibile al valore medio, moltiplicato per 1.11.

Inoltre, si può osservare che per onda sinusoidale il valore efficace della forza elettromotrice(E) sarebbe dato da

(6.100)

formula ben nota dall’elettrotecnica elementare.

e td NA bd–=

Em2T--- e td

0

T 2⁄

∫2T--- NA bd–

BM–

BM

∫2NA

T-----------– 2BM 4– NAf BM= = = =

E 1.11Em 4.44NAf BM–= =

7.1. Generalità


7. Strumenti Digitali

7.1. Generalità

Negli strumenti indicatori digitali la lettura della grandezza da misurare è espressa in formanumerica attraverso un certo numero di cifre (digit). Quanto sia più comodo leggere diretta-mente il numero cercato, invece di ricavarlo dalla posizione di un indice su una scala come nelcaso degli strumenti analogici, è sensazione comunemente acquisita.

L’indicazione sotto forma numerica permette sia di aumentare considerevolmente la velocità dilettura, sia di eliminare l’errore umano nella valutazione del dato. Inoltre, con gli strumenti digi-tali è possibile pilotare direttamente sistemi di memoria, di stampa, di registrazione magnetica,o interfacciarsi direttamente con un personal computer in modo da realizzare sistemi di misuracomplessi.

Il problema di fondo di uno strumento digitale consiste nello stabilire una corrispondenza uni-voca tra la grandezza analogica di ingresso (continua sia nel tempo sia in ampiezza) e la gran-dezza digitale di uscita (discreta sia nel tempo sia in ampiezza). Il grado di discretizzazione delsegnale incide ovviamente sulla incertezza che caratterizza il risultato della misurazione.

Qualora il risultato della misurazione debba essere disponibile per la lettura di un operatore,esso deve venire espresso in codice decimale; si deve quindi provvedere ad una riconversionenel linguaggio comprensibile dall’utente (decodifica). Sia la codifica che la decodifica avven-gono praticamente senza errori, così come la eventuale trasmissione a distanza, mentre erroripossono essere introdotti nella fase di conversione A/D, come ampiamente illustrato nelCapitolo 9.

I dispositivi descritti nel Capitolo 8 (moduli analogici) e nel Capitolo 9 (convertitori A/D) ven-gono utilizzati per realizzare strumenti ad indicazione numerica, il cui schema a blocchi di prin-cipio è illustrato in Figura 7.1.

Nello schema di Figura 7.1 di possono identificate i seguenti blocchi circuitali:

• Condizionamento Analogico: elabora in modo analogico i segnali di ingresso in modo da ren-derli compatibili con i convertitori A/D; può contenere amplificatori, filtri, convertitori cor-rente/tensione, convertitori AC/DC;

• Convertitori A/D: convertono i segnali analogici in segnali digitali usando un Riferimentovariabile a seconda della portata scelta;

• Microprocessore: elabora l’informazione digitale;

• Base dei Tempi (Clock): fornisce la corretta temporizzazione al Microprocessore e ai Conver-titori A/D;

• Memoria: memorizza i dati;

7 Strumenti Digitali


• Output: converte i risultati della misurazione in un formato leggibile per l’utente; può essereun display numerico o un monitor.

Il numero dei blocchi e la loro interconnessione varia con la funzione dello strumento e con lasua classe di precisione.

7.2. Multimetri

I multimetri (Figura 7.2) sono strumenti che, sfruttando i vantaggi della tecnologia digitale(Figura 7.1), permettono di misurare diverse grandezze sia in corrente continua sia in correntealternata (tipicamente tensione, corrente e resistenza).

Fig. 7.1 Schema a blocchi di principio di uno strumento digitale

Fig. 7.2 Multimetri digitali

CondizionamentoAnalogico

Ingr

essi

Ana

logi

ci

ConvertitoriA/D

Riferimento

Microprocessore Output

Base dei Tempi(Clock)

Memoria

7.2. Multimetri


Per funzionare come voltmetro, il multimetro utilizza direttamente il convertitore A/D per tra-durre la tensione di ingresso in forma digitale. Quando opera come amperometro, invece, il mul-timetro sfrutta un convertitore corrente/tensione per trasformare la corrente di ingresso in unatensione di ampiezza adeguata per essere convertita in forma digitale. Il convertitore cor-rente/tensione può essere una semplice resistenza (shunt) oppure un circuito più complessobasato su amplificatori operazionali.

Per funzionare come ohmmetro il multimetro dispone di una sorgente interna di correntecostante e tarata che viene fatta fluire nel resistore in misura, producendo una caduta di tensioneproporzionale al valore di resistenza all’ingresso del convertitore A/D. Il valore numerico inuscita al convertitore A/D viene elaborato dal microprocessore in modo da determinare il cor-retto valore di resistenza.

Per le misure in corrente alternata il multimetro può disporre di un semplice circuito raddrizza-tore con misura del valore medio della tensione. Il dato di misura in questo viene espresso invalore efficace moltiplicandolo automaticamente per il fattore di forma 1.11, supponendo lagrandezza sinusoidale. Il risultato è perciò corretto sino a che la forma d’onda della tensione ocorrente non presenta distorsioni. Per misurare correttamente il valore efficace, anziché un sem-plice circuito raddrizzatore, può essere utilizzato un circuito in cui il segnale d’uscita è legato aquello di ingresso da una relazione avente una legge quadratica.

Multimetri più moderni, infine, calcolano il valore efficace nel dominio digitale. Con il conver-titore A/D si effettua il campionamento della forma d’onda di tensione a determinati intervallidi tempo ottenendo un certo numero di valori istantanei V1, V2, …, Vn, nell’ambito di un peri-odo, come illustrato in Figura 7.3.

Fig. 7.3 Calcolo del valore efficace nel dominio digitale

V1V2

Vn

Am

piez

za

t



Il microprocessore dello strumento viene quindi usato per eseguire il calcolo del valore efficacedella grandezza, secondo la nota formula

(7.1)

La velocità di misura dei multimetri dipende dal numero di cifre che si vuole ottenere: un datoa 7 1/2 cifre può richiedere 2 s per una misura, mentre dati a 3 1/2 cifre possono essere ottenuticon sequenze di diverse migliaia di misure al secondo. L’incertezza di misura dei multimetripuò essere contenuta entro limiti molto modesti, inferiori a quella dei corrispondenti apparecchielettromeccanici, in quanto non vi sono parti meccaniche in movimento.

7.3. Wattmetri

Nei wattmetri digitali, i segnali di tensione e di corrente vengono prima trasformati in valorinumerici corrispondenti a tanti valori istantanei di un periodo, come avviene per il calcolo delvalore efficace nei multimetri. Il microprocessore effettua poi il calcolo della potenza nel domi-nio del tempo.

Nei wattmetri in oggetto, i due segnali proporzionali alle tensioni e alle correnti entrano in con-vertitori A/D adeguatamente veloci, capaci di effettuare molte migliaia di conversioni alsecondo e pertanto di eseguire, su un’onda a 50 Hz, alcune centinaia di misure per ogni periododell’onda stessa. I valori numerici forniti in uscita dai convertitori A/D rappresentano pratica-mente tanti valori istantanei Vi e Ii delle onde di tensione e di corrente che il microprocessoreprovvede a moltiplicare per ottenere le potenze istantanee Pi che poi elabora opportunamenteper determinare la potenza media P nel periodo, secondo la formula

(7.2)

Il valore di P, convertito in codice decimale, ossia in cifre secondo la nostra consueta numera-zione, appare quindi all’operatore sul visore dello strumento. Gli analizzatori di potenza sonostrumenti adatti alla misura di tutti i parametri dei circuiti a corrente alternata. Lo strumentomisura la tensione e la corrente del circuito, trasforma i valori analogici in segnali di tipo digi-tale, effettua le operazioni matematiche necessarie ad ottenere i valori efficace e medio delletensioni, il valore efficace delle correnti, le potenze attiva, reattiva e apparente, nonché il fattoredi potenza, utilizzando le definizioni di ciascuna grandezza.

Lo schema a blocchi di un analizzatore di potenza è del tutto analogo a quello illustrato inFigura 7.1. La Figura 7.4 offre una visione del pannello frontale di un tipico wattmetro digitale.

V eff

V i2

i 1=

n

∑n

----------------=

P

V iI i

i 1=

n

∑n

-------------------=

7.4. Strumenti per Misure di Frequenza e Intervalli di Tempo



Gli strumenti digitali per la misura di frequenze o intervalli di tempo si limitano a confrontareuna frequenza o un intervallo di tempo incogniti con una frequenza o un intervallo di tempo noti.L’accuratezza della misura dipende essenzialmente dalla stabilità della frequenza o dell’inter-vallo di tempo noto, cioè dalla precisione e stabilità della base dei tempi dello strumento.

7.4.1. Strumenti per Misure di Frequenza e Periodo

Lo schema a blocchi di uno strumento per la misura di frequenza o periodo è illustrato inFigura 7.5. Lo strumento è costituito da una base dei tempi (Clock), un circuito di condiziona-mento del segnale di ingresso (Formatore), un interruttore (Gate), un contatore di impulsi (Con-tatore) e un dispositivo di interfaccia col mondo esterno (Output). Il blocco Formatore ha ilcompito di trasformare il segnale di ingresso in un onda quadra adatta ad essere utilizzata percomandare il Gate e il Contatore.

Nel caso di misurazione di frequenza lo strumento conta il numero di periodi N del segnale diingresso (A) compresi in un periodo del segnale di riferimento (B). Il numero N è dato da

(7.3)

Se TB = 1 s, N rappresenta direttamente la frequenza del segnale di ingresso. In questo caso larisoluzione della misurazione è tanto più elevata quanto più alta è la frequenza del segnale diingresso rispetto a quella del segnale di riferimento.

Nel caso di misurazione di periodo lo strumento conta il numero di periodi N del segnale di rife-rimento (A) compresi in un periodo del segnale di ingresso (B). Il numero N è dato da

(7.4)

Fig. 7.4 Wattmetro digitale

NT B

T A-------

f A

f B------= =

NT B

T A-------=



Se TA = 1 s, N rappresenta direttamente il periodo del segnale di ingresso. In questo caso la riso-luzione della misurazione è tanto più elevata quanto più alta è la frequenza del segnale di rife-rimento rispetto a quella del segnale di ingresso.

In generale per ottenere una misurazione di frequenza con una buona risoluzione conviene adot-tare una misurazione di periodo per frequenze fino a 100 kHz e una misurazione di frequenzaper frequenze superiori.

In aggiunta va ricordato che in entrambi i casi esiste una ambiguità naturale di ±1 sull’ultimacifra significativa del conteggio, dovuta allo sfasamento esistente fra segnale di ingresso esegnale di riferimento. La Figura 7.6 chiarisce questo concetto. Altri elementi di incertezzanella misurazioni di periodi e frequenze sono l’incertezza della frequenza del segnale di riferi-mento e eventuali errori introdotti dal circuito Formatore nel condizionamento del segnale diingresso.

Se nello schema a blocchi di Figura 7.5 si sostituisce alla base dei tempi (Clock) un secondoingresso con un secondo Formatore, si esegue la misura del rapporto esistente fra le frequenzedei due segnali di ingresso.

7.4.2. Strumenti per Misure di Intervalli di Tempo

La misurazione di intervalli di tempo è concettualmente simile alla misurazione di frequenze eperiodi, come illustrato in Figura 7.7. Tuttavia, in una misurazione di intervallo di tempo il peri-odo TB viene definito dalla combinazione di due impulsi ottenuti tramite due circuiti Formatori

Fig. 7.5 Strumento digitale per misure di frequenza e periodo

Formatore

Clock

Ingr

esso

Contatore Output

GateA

B

A

B

TB

TA

Misurazione di Frequenza

Formatore

Clock

Ingr

esso

Contatore Output

GateA

B

A

B

TB

TA

Misurazione di Periodo



(sostanzialmente dei comparatori) a partire da due segnali di ingresso che definiscono gli istantidi inizio (Start) e di fine (Stop) dell’intervallo di tempo.

Il numero di periodi N del segnale di riferimento (A) compresi nell’intervallo di tempo conside-rato (B) è dato da

(7.5)

In questo caso oltre agli elementi di incertezza già citati per le misurazioni di frequenza e peri-odo, occorre anche tener conto dell’incertezza con cui vengono generati dai circuiti Formatoregli impulsi di Start e Stop, la quale tra l’altro dipende dall’ampiezza dei segnali VStart e VStop,ovvero dall’entità degli eventi corrispondenti (fenomeno di “walk”), come illustrato inFigura 7.8.

La risoluzione ottenibile in misurazioni di intervalli di tempo dipende ovviamente dalla fre-quenza utilizzata per il conteggio ( ). Tanto più alta è fA, tanto maggiore è la riso-luzione. Risulta pertanto difficile effettuare misurazioni precise di intervalli di tempo piccoli

Fig. 7.6 Incertezza nel conteggio in misurazioni di frequenza e periodo

Fig. 7.7 Strumento digitale misure di intervalli di tempo

N = 25

N = 24

t

B

A1

A2

Formatore Contatore Output

Gat

eB

A

A

B

TB = ∆t

TA

Formatore

VStart

VStop

Clock

Gen

erat

ore

di ∆

tStart

StopStart

Stop

NT B

T A------- t∆

T A-------= =

f A 1 T A⁄=



(inferiori al nanosecondo), in quanto non è possibile utilizzare frequenze fA sufficientementeelevate. In questi casi quindi si ricorre al metodo del “verniero temporale”, illustrato inFigura 7.9.

In questo si utilizzano due contatori con segnali di clock leggermente diversi tra di loro (f1 ef2 = f1 + ∆f). All’istante tStart viene fatto partire il contatore a frequenza f1 (contatore 1), mentreall’istante tStop (contatore 2) viene fatto partire il contatore a frequenza f2. Il conteggio dientrambi i contatori viene poi fermato quando impulsi di entrambi i clock si verificano contem-poraneamente (tm). Nell’intervallo di tempo ∆t = tStop – tStart, il contatore 1 conta n1 impulsi,mentre tra tStop e tm i due contatori contano rispettivamente n1´ e n2 impulsi. Pertanto vale larelazione

(7.6)

Fig. 7.8 Incertezza sulla definizione dell’intervallo di tempo

Fig. 7.9 Metodo del verniero temporale

Am

piez

ze

t

A1

A2

t1

t2

Soglia

tp

Area di Incertezza

ttmtStoptStart

∆t

n1 n1´

n2

T1 = 1/f1

T2 = 1/f2

tStart

n1

f 1-----

n1′

f 1-------+ + tStop

n2

f 2-----+=

7.5. Incertezza di Misura in Strumenti Digitali


Sviluppando si ottiene

(7.7)

Se ∆f è piccolo n1´ = n2 e quindi

(7.8)

Il primo termine dell’equazione (7.8) rappresenta una misura grossolana dell’intervallo ditempo ∆t, mentre il secondo temine rappresenta un raffinamento della misura. La risoluzionecomplessiva che si ottiene è la stessa che si otterrebbe usando una frequenza molto più alta dif1. L’incertezza con questo metodo di misura è determinata dagli stessi fattori citati in prece-denza con, in aggiunta, l’incertezza sulla rilevazione dell’istante tm in cui fermare il conteggio.

7.5. Incertezza di Misura in Strumenti Digitali

I limiti di precisione di uno strumento digitale vengono solitamente espressi con due valori per-centuali, uno riferito alla lettura ( ) e uno alla portata ( ). L’errore assoluto dello strumento(ε) viene quindi determinato come

(7.9)

L’incertezza assoluta (scarto tipo), assumendo distribuzione rettangolare quindi risulta

(7.10)

mentre l’incertezza relativa è data da

(7.11)

Ad esempio, i limiti di precisione di un multimetro a 6 1/2 cifre sulla portata 300 mV in correntecontinua con lettura 250.0000 mV, = 30 ppm e = 8 ppm sono così determinati:

(7.12)

L’incertezza assoluta e relativa risultano quindi rispettivamente

e (7.13)

t∆ tStop tStart–n1

f 1-----

n1′

f 1-------

n2

f 2-----–+= =

t∆n1

f 1-----

n2

f 1-----

n2

f 1 f∆+-------------------–+

n1

f 1----- n2

f∆f 1 f 1 f∆+( )------------------------------+

n1

f 1-----

n2 f∆

f 12

------------+≅= =

εl εp

ε εlLettura εpPortata+( )±=

u ε

3-------=

u ε

Lettura 3---------------------------=

εl εp

ε 306–×10 250

3–×10 V 86–×10 300

3–×10 V+( )± 7.56–×10 V= =

u 7.56–×10 V

3---------------------------- 4.33

6–×10 V= = u 7.56–×10 V

2503–×10 3

------------------------------ 1.7325–×10 17.32 ppm= = =

8.1. Generalità


8. Moduli Elettronici Analogici

8.1. Generalità

Negli strumenti indicatori moderni il ricorso a componenti elettronici è assai frequente. Tra essivi sono alcuni moduli analogici alla cui descrizione è dedicato il presente capitolo.

I vantaggi che questi moduli presentano sono diversi:

• drastica riduzione degli autoconsumi, in quanto l’energia necessaria per la misurazione è for-nita da una sorgente ausiliaria;

• aumento del numero delle funzioni, in quanto è facile adattare lo strumento alla misurazionedi più grandezze;

• possibilità di trasferimento del misurando ad altri sistemi, ad esempio per la registrazione digrandezze in funzione del tempo;

• basso costo.

Il principale svantaggio sta principalmente nella relativa instabilità di alcuni componenti, speciese gli stessi non sono di elevata qualità, il che rende necessario una più frequente verifica dellataratura.

Una categoria di strumenti che si è avvalsa dei vantaggi sopra ricordati è quella degli strumentianalogici elettromeccanici che, come verrà trattato in seguito, finiscono per costituire strumentiibridi chiamati anche strumenti analogici attivi.

8.2. Amplificatori

Gli amplificatori sono, in generale, dei doppi bipoli che, nel caso ideale, sono descritti dalla fun-zione di trasferimento

(8.1)

dove U(s) ed I(s) denotano rispettivamente le grandezze di uscita e di ingresso. Queste gran-dezze devono ovviamente essere omogenee.

G s( ) U s( )I s( )---------- 1>=

8 Moduli Elettronici Analogici


Il parametro G(s) rappresenta il guadagno dell’amplificatore ed è solitamente espresso in deci-bel

(8.2)

Il guadagno è funzione della frequenza per cui si deve definire una larghezza di banda entro ilquale il segnale d’uscita è legato al segnale di ingresso in modo praticamente lineare. Conven-zionalmente, come limiti della banda vengono assunte le frequenze a cui corrisponde la ridu-zione del guadagno a volte il valore nominale (–3 dB).

In realtà, in uscita compaiono sempre segnali con frequenze diverse da quelle del segnaled’ingresso (distorsione), a causa della non-linearità dei circuiti e della saturazione dell’amplifi-catore. La saturazione dell’amplificatore determina un limite superiore per le tensionid’ingresso e d’uscita, legate anche ai valori delle relative impedenze.

Il limite inferiore del segnale d’ingresso è imposto dal rumore, in particolare da quello dellostadio d’ingresso, poiché dalla sua ampiezza dipende il segnale utile minimo che si può distin-guere dal rumore stesso.

L’impedenza d’ingresso può raggiungere i 1010 ÷1015 Ω, mentre quella di uscita è normalmenteintorno a 103 Ω.

In questi sistemi, di norma a più stadi, si fa largo uso della retroazione il cui principio è quellodi riportare all’ingresso parte del segnale di uscita. La retroazione negativa, che è quella più uti-lizzata, si verifica quando il segnale di retroazione riduce quello di ingresso.

Facendo riferimento allo schema a blocchi di Figura 8.1 e indicando con G(s) e H(s) le funzionidi trasferimento, rispettivamente dell’amplificatore e della retroazione, la funzione di trasferi-mento complessiva del sistema è data da

(8.3)

Ciò deriva dal fatto che nel caso di retroazione negativa in cui H(s) assume valori inferiori a 1vale la relazione

(8.4)

Fig. 8.1 Amplificatore retroazionato

G s( )dB

20 U s( )I s( )----------⎝ ⎠⎛ ⎞log=

1 2⁄ 0.707=

G(s)

H(s)

+

–Vi Vu

Vi´

G′ s( ) U s( )I s( )---------- G s( )

1 G s( )H s( )+-------------------------------= =

U s( ) G s( ) I s( ) H s( )U s( )–[ ]=

8.3. Amplificatori Operazionali


In queste condizioni, si ottiene un miglioramento della stabilità, si riducono le distorsioni e ilrumore. Inoltre, si possono controllare e modificare le caratteristiche di risposta in funzionedella frequenza.

Se, come generalmente accade, il valore di G(s) è molto più elevato del valore di H(s), il valoredi G´(s) tende a , risultando perciò indipendente dalle caratteristiche dell’amplificatoreche non si ripetono mai da un amplificatore ad un altro e che sono poco stabili in funzione dellatemperatura e del tempo.

8.3. Amplificatori Operazionali

Fra gli amplificatori retroazionati esiste una categoria molto importante, quella basata sui cosid-detti amplificatori operazionali (Figura 8.2).

Se per l’amplificatore si suppone di essere nelle condizioni ideali di guadagno e impedenza diingresso infiniti, si può assumere VAB = 0 per cui il nodo A può essere considerato a potenzialenullo.

Poiché in tali condizioni vale anche IA = 0, si può scrivere

(8.5)

dalla quale si ricava

(8.6)

che evidenzia come il guadagno dipenda solo da Zi e Zr.

Analogamente, nel circuito di Figura 8.3, vale VAB = 0, per cui il nodo A può essere consideratoa potenziale pari a Vi. Conseguentemente, si può scrivere

(8.7)

Fig. 8.2 Amplificatore operazionale retroazionato in configurazione invertente

1 H s( )⁄

Zi

Zr

Vi

Vu

Ir

IA

Ii

A

B

I i

V i

Zi----- Ir–

V r

Zr------–= = =

V u

V i------

Zr

Zi-----–=

V u V i

V i

Zi-----Zr+=



e quindi si ottiene

(8.8)

Retroazionando gli amplificatori operazionali in modo opportuno, si ottengono moduli con Zidell’ordine di 108 Ω e con capacità di ingresso dell’ordine dei picofarad.

Nel caso particolare in cui le impedenze di ingresso e di retroazione siano puramente resistive(Ri, Rr), si ottengono le relazioni

e (8.9)

che mettono in evidenza come il guadagno dipenda dalle sole resistenze e come si possano otte-nere guadagni sia positivi sia negativi.

8.4. Generatori di Tensione a Dente di Sega

I generatori di tensione a dente di sega sono circuiti assai importanti perché, come si vedrà nelseguito, essi determinano la precisione di lettura di molti strumenti. In Figura 8.4a è mostratolo schema elettrico equivalente di un generatore di tensione a dente di sega. Caricando e scari-cando periodicamente la capacità C mediante la chiusura e l’apertura degli interruttori A e B, siottiene una tensione VC data da

(8.10)

nella quale E è la tensione della sorgente.

In pratica, per ottenere un dente di sega lineare e non esponenziale, si realizza il circuitomostrato in Figura 8.4b.

Fig. 8.3 Amplificatore operazionale retroazionato in configurazione non-invertente

V u

V i------ 1

Zr

Zi-----+=

Zi

Zr

Vi

Vu

Ir

IA

IiA

B

V u

V i------

Rr

Ri-----–=

V u

V i------ 1

Rr

Ri-----+=

V C E 1 et

RC--------–

–⎝ ⎠⎛ ⎞=

8.5. Alcuni Moduli Analogici


Nel circuito di Figura 8.4b, se si suppone E rigorosamente costante e B aperto, quando si chiudeA, la tensione Vu assume l’andamento

(8.11)

Dopo il tempo T1, A viene aperto e B contemporaneamente chiuso, per cui Vu scende repentina-mente a potenziale nullo. La forma d’onda che si ottiene in uscita è indicata in Figura 8.4c. Lapendenza e il valore massimo del dente di sega dipendono da E, T1, R e C; la linearità da T1, Re C; la stabilità da E, R e C; la frequenza da (T1 + T2).

Una elevata linearità può anche essere ottenuta caricando un condensatore C con corrente rigo-rosamente costante (I) per cui si ha semplicemente

(8.12)


In alcuni strumenti vengono impiegati alcuni moduli analogici tipici che svolgono le funzioninecessarie per effettuare l’elaborazione di dati.

8.5.1. Modulo Sommatore

Lo schema tipico di un sommatore è riportato in Figura 8.5. Si tratta di un amplificatore retro-azionato al cui ingresso più segnali vengono applicati contemporaneamente.

Fig. 8.4 Generatore di tensione a dente di sega

R

CEA

B C

VuE

B

CR

(a)

(b)A

Vu

t

(c)

T1 T2

V u1

RC--------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E td0

T 1

∫=

V CIC----t=



Si può scrivere

(8.13)

e conseguentemente

(8.14)

Se le resistenze Ri sono uguali, risulta allora

(8.15)

Essendo poi

(8.16)

si può anche scrivere

(8.17)

Fig. 8.5 Modulo sommatore

R1

Rr

V1

Vu

Ir

I1

A

B

R2V2

I2

RnVn

In

It

I t I i

i 1=

n

∑=

I t

V i

Ri-----

i 1=

n

∑=

I t1R--- V i

i 1=

n

∑=

I t Ir–V u

Rr------–= =

V u

Rr

R-----– V i

i 1=

n

∑ k V i

i 1=

n

∑–= =



Volendo invertire il segnale di uscita che in questo caso è di segno opposto a quello di ingresso,basta prevedere un secondo amplificatore operazionale in configurazione invertente con guada-gno unitario (Rr = Ri) in cascata al sommatore.

8.5.2. Modulo Logaritmico

Il modulo logaritmico si basa sulle caratteristiche intrinseche del diodo, per il quale può esserescritta la relazione

(8.18)

dove

• Vd è la tensione ai capi del diodo;

• I0 è la corrente di saturazione inversa;

• q è la carica dell’elettrone (1.6 10–19 C);

• k è la costante di Boltzmann (1.38 10–23 J/K);

• T è la temperatura assoluta della giunzione;

• Id è la corrente nel diodo.

Con uno schema del tipo indicato in Figura 8.6, essendo

(8.19)

si può ottenere

(8.20)

che dimostra l’esistenza di un legame logaritmico tra la tensione di ingresso Vi e la tensione diuscita Vu (la tensione in uscita è compressa rispetto a quella in ingresso).

Si deve osservare che il dispositivo presenta un notevole grado di incertezza non essendo lacaratteristica dei diodi ripetibile e costante.

8.5.3. Modulo Antilogaritmico

Con un ragionamento analogo al precedente e facendo riferimento alla Figura 8.7, si può realiz-zare un modulo antilogaritmico.

Id I0 e

qV d

kT----------

1–⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

V u V d–=

I i Id

V i

Ri-----= =

⎩⎪⎨⎪⎧

V u αV i

RiI0----------⎝ ⎠⎛ ⎞log=



Valgono infatti le relazioni

(8.21)

per cui si ottiene

(8.22)

8.5.4. Modulo Moltiplicatore

Il modulo moltiplicatore è un circuito che fornisce in uscita un segnale proporzionale al prodottotra due segnali di ingresso V1 e V2 (Figura 8.8).

Fig. 8.6 Modulo logaritmico

Fig. 8.7 Modulo antilogaritmico

Fig. 8.8 Modulo moltiplicatore

RiVi

Vu

Id

Ii

A

B

Vd

Rr

Vi

Vu

Ir

Ii = Id

A

B

Vd

V i V d=

Ir I i Id= =⎩⎨⎧

V u RrI0e

qV i

kT---------

=

M

V1

V2Vu = α V1 V2



Per realizzare un modulo di questo tipo, si può effettuare il prodotto passando per i logaritmi diV1 e V2, sommandoli ed eseguendo infine l’antilogaritmo. Per fare ciò si può ricorre ad una com-binazione dei moduli precedentemente descritti.

Una applicazione particolare del modulo moltiplicatore è quella che consente di ottenere il qua-drato del segnale in ingresso secondo lo schema di Figura 8.9.

8.5.5. Modulo Estrattore di Radice Quadrata

Per estrarre la radice quadrata di un segnale si può ricorrere allo schema di Figura 8.10.

Si possono scrivere le seguenti relazioni

(8.23)

per cui si ottiene

(8.24)

Si può rilevare che la tensione in uscita è proporzionale alla radice quadrata di quella iningresso, secondo la costante k.

Fig. 8.9 Modulo moltiplicatore per realizzare il quadrato del segnale di ingresso

Fig. 8.10 Modulo estrattore di radice quadrata

MVi Vu = α Vi2

Ri

Rr

Vi

Vu

Ir

Ii

A

B

Mα Vu2

V i RiI i=

Ir I i– αV u

2

Rr------= =

V i αRi

V u2

Rr------=

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

V u k V i=



8.5.6. Modulo Divisore

Lo schema del modulo divisore è riportato nella Figura 8.11.

Si deducono facilmente le relazioni

(8.25)

per cui si ricava

(8.26)

8.5.7. Modulo Integratore

Il modulo integratore si basa sullo schema di Figura 8.12.

Fig. 8.11 Modulo divisore

Fig. 8.12 Modulo integratore

Ri

Rr

V1

Vu

Ir

Ii

A

B

Mα Vu V2

V2

V 1 RiI i=

Ir αV uV 2

Rr-------------=

Ir I i–=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

V u

Rr

αRi---------

V 1

V 2------–=

Ri

C

Vi

Vu

Ir

Ii

A

B



Si possono scrivere le seguenti relazioni

(8.27)

ma

(8.28)

Quindi si ottiene

(8.29)

Si osserva che se il tempo di integrazione è limitato (ad esempio un semiperiodo di una gran-dezza alternata), l’espressione trovata divisa per la durata di integrazione fornisce il valoremedio della grandezza nell’intervallo considerato. Il comportamento del modulo dipende dalprodotto Ri C che ha le dimensioni di un tempo.

8.5.8. Modulo Derivatore

Il modulo derivatore si basa sullo schema di Figura 8.13.

Si può scrivere

(8.30)

Essendo

(8.31)

Fig. 8.13 Modulo derivatore

V i RiI i=

V uQC---- 1

C---- Ir t( ) td∫= =

⎩⎪⎨⎪⎧

Ir I i–V i

Ri-----–= =

V u1

RiC---------– V i t( ) td∫=

Rr

CVi

Vu

Ir

Ii

A

B

V u RrIr=

I iQdtd

------- CV id

td--------= =

⎩⎪⎨⎪⎧

Ir I i–=



si ottiene

(8.32)

Anche in questo caso il comportamento del modulo dipende dal prodotto Rr C.

8.6. Convertitori AC/DC

Come sarà esposto nel seguito, molte misurazioni, anche complesse, vengono ricondotte amisure di tensioni continue, o unidirezionali, effettuate con strumenti di tipo digitale che nor-malmente funzionano con tensioni di ingresso non superiori a 10 V.

Nella maggior parte dei casi si rende quindi necessario il condizionamento dei segnali ed even-tualmente la loro conversione. Sono perciò assai diffusi convertitori AC/DC per tensioni, cor-renti e potenze, per circuiti monofasi e trifasi a tre o quattro fili. Nel caso di misure di tensionee corrente un ulteriore problema sorge in relazione al valore richiesto (efficace, medio oppuremassimo), specie quando sono in gioco grandezze non sinusoidali.

L’uscita di questi convertitori necessita solitamente di filtri per poter ottenere in uscita segnaliprivi di componenti armoniche, il che rende questi apparecchi inadatti a misurazioni in regimetransitorio.

In alcuni strumenti, il convertitore AC/DC è incorporato, specie nel caso di apparecchi di bassocosto e di modesta classe di precisione.

Si illustrano nel seguito, a titolo di esempio, alcuni schemi con uscita analogica che utilizzanoamplificatori operazionali e adatti per la misura del valore medio (sul semiperiodo) e del valoreefficace di tensioni alternate.

8.6.1. Convertitori a Valore Medio

I convertitori che forniscono in uscita un segnale proporzionale al valore medio del segnale diingresso, sono generalmente costituiti da uno stadio raddrizzatore a singola (Figura 8.14a) odoppia semionda (Figura 8.14b) posto all’ingresso di un amplificatore operazionale oppure daun amplificatore retroazionato opportunamente (Figura 8.14c).

Questi moduli sono tipicamente utilizzati per la realizzazione di voltmetri sensibili al valoremedio della tensione. Come già ricordato, questi voltmetri risultano sensibili al valore medio(sul semiperiodo) e sono tarati in valore efficace per onda sinusoidale. Ovviamente essi possonoessere utilizzati per misurare il valore efficace solo nel caso in cui si è certi che la forma d’ondadella tensione è sinusoidale.

8.6.2. Convertitori a Valore Efficace

Una convertitore che fornisce in uscita un segnale proporzionale al valore efficace del segnalein ingresso è una combinazione dei moduli visti in precedenza secondo quanto indicato inFigura 8.15.

V u RrCV id

td--------–=



Per questo convertitore si può scrivere

(8.33)

Si può osservare in particolare la presenza di un elevatore al quadrato, di un integratore ed infinedi un estrattore di radice quadrata. L’integrazione deve essere ovviamente fatta per la durata diun periodo o, più generalmente, per un numero intero di periodi.

Fig. 8.14 Convertitore a valore medio

Fig. 8.15 Convertitore a valore efficace

Ru

Vi Vu

Ii = IdA

B

Vd

RiVu

Vi

(c)(a)

Vi

Vu

Ru

(b)

Ri1Vi

A

B

M

R1

Vu´

R2

C

Vu´´ Ri2

Rr

VuA

B

Mα Vu2

V u′ V i2=

V u′′1

Ri1C------------– V u′ t( ) td

0

T 2⁄

∫=

V u V u′′=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧



8.6.3. Moltiplicatore a Doppia Modulazione

Il moltiplicatore a doppia modulazione utilizza due modulatori, il primo serve a modulare ilsegnale in ampiezza in modo proporzionale ad uno dei segnali in ingresso, il secondo modulainvece l’asse dei tempi in modo proporzionale al secondo segnale. Si può fare riferimento ai dia-grammi di Figura 5.15.

Quello che interessa è determinare il valore medio delle due aree A1 e A2 diverse e di segnoopposto. In presenza di entrambi i segnali modulanti, valgono le relazioni

(8.34)

Fig. 8.16 Principio di funzionamento del moltiplicatore a doppia modulazione

T/2 k1V1

+k2V2

–k2V2

A1

A2

Vu

Ta Tb

T

t

V

A1 k2V 2T2--- k1V 1+⎝ ⎠⎛ ⎞=

A2 k2V 2T2--- k1V 1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧



dalle quali si ricava

(8.35)

La tensione Vu risulta pertanto proporzionale al prodotto V1 V2.

Un dispositivo del tipo descritto si presta a determinare il valore della potenza in un circuitoqualsiasi, ma anche il valore efficace di una grandezza alternata, inviando ai due ingressi lostesso segnale.

La precisione ottenibile dipende dalla precisione con cui sono effettuate le due modulazioni. Perla sua struttura il moltiplicatore in oggetto non è adatto per misurazioni in regime transitorio.

V u

A1 A2–

T------------------ 1

T--- k1V 1

T2--- k2V 2+⎝ ⎠⎛ ⎞ k1V 1

T2--- k2V 2–⎝ ⎠⎛ ⎞–

2k1k2

T--------------V 1V 2= = =

9.1. Generalità


9. Conversione Analogico/Digitale

9.1. Generalità

In un convertitore analogico/digitale, il problema di fondo consiste nello stabilire la corrispon-denza tra la grandezza analogica di ingresso (che ha andamento continuo nel tempo) e la gran-dezza digitale d’uscita (che, in quanto numerica, ha andamento discreto, per gradini).

La corrispondenza deve essere univoca e il grado di dettaglio raggiunto nella discretizzazionedel segnale da esaminare determina l’incertezza della conversione. Questa incertezza non deveessere confusa con quella del valore riguardante il misurando della quale è uno solo dei termini.

Un altro problema è la scelta del codice mediante il quale esprimere numericamente i dati che,all’atto pratico, ricade sempre su quelli binari, cioè di quei metodi di numerazione, che impie-gano due stati (lo stato 0 e lo stato 1).

Si osserva che la codifica avviene praticamente in assenza di errori, così come la eventuale tra-smissione a distanza del segnale.

Negli strumenti che ricorrono a queste tecniche, l’incertezza della misura è fondamentalmentelegata alla fase di conversione A/D.

9.2. Codici Binari

È a tutti noto che il sistema decimale esprime i numeri mediante dieci simboli (le cifre da 0 a9), ordinati secondo le potenze intere decrescenti di 10. Ad esempio:

(9.1)

Il sistema binario esprime invece i numeri mediante due simboli (i digit 0 e 1), ordinati secondopotenze intere decrescenti di 2. Ad esempio, per il numero 100 in codice binario si ha

(9.2)

mentre lo stesso numero in codice decimale risulta

(9.3)

683.21 62×10 8

1×10 30×10 2

1–×10 12–×10+ + + +=

100 1100100 1 26× 1 25× 0 24× 0 23× 1 22× 0 21× 0 20×+ + + + + += =

100 12×10 0

1×10 00×10+ +=

9 Conversione Analogico/Digitale


È evidente la differente lunghezza della parola che rappresenta il dato nei due sistemi, ma nelsecondo caso i digit sono soltanto due, contro i dieci del primo. Nel sistema binario i digit ven-gono detti bit (binary digits).

Con il sistema binario si possono formare codici diversi, con opportune combinazioni di gruppidi bit. Uno dei più semplici è il NBCD (Natural Binary-Coded Decimal) che rappresenta cia-scuno dei dieci digit del codice decimale con una diversa sequenza di quattro bit, come è illu-strato in Tabella 9.1.

Rimanendo nel campo dei codici BCD (Binary-Coded Decimal), nessuno impedisce di stabilirealtre corrispondenze fra gruppi di quattro bit e cifre decimali, che non siano quella naturale ericavabile direttamente dalla espressione generale

(9.4)

dove di può assumere solo i valori 0 ed 1.

Esistono infatti altri sistemi che usano come dati i digit 0 ed 1: ad esempio il sistema ottale cheordina i digit secondo potenze intere decrescenti di 8, usato nella tecnica dei calcolatori.

Se si esaminano le quartine del codice NBCD riportate Tabella 9.1, si nota che in alcuni pas-saggi da un decimale al successivo deve essere modificato lo stato di più di un bit. Ad esempio,nel passaggio da 7 a 8 si deve cambiare lo stato di tutti i bit.

Questa non è un problema arbitrario, poiché in fase di conversione analogico/digitale è assai piùprobabile l’introduzione di errori (dovuti a simultaneità di operazioni o a imperfezione dei cir-cuiti) qualora il passaggio da una cifra alla successiva comporti il cambiamento di più di un bitdella quartina.

Sono perciò stati individuati altri codici, che realizzano quanto desiderato. Ad esempio, ilcodice XS-3 Gray, prevede lo schema di Tabella 9.2.

Una regola mnemonica utile per scrivere le quartine del codice Gray è data dalla gabbia di Gar-naugh illustrata in Figura 9.1.

Qualora si debba rappresentare in codice un’informazione alfanumerica, cioè contenente nonsoltanto cifre ma anche lettere di alfabeto o simboli, e non sia più sufficiente una quartina di bit

N Codice NBCD N Codice NBCD

0 0000 5 0101

1 0001 6 0110

2 0010 7 0111

3 0011 8 1000

4 0100 9 1001

Tab. 9.1 Codice Natural Binary-Coded Decimal (NBCD)

N di2i 1–

i 1=

n

∑=

9.2. Codici Binari


per codificare univocamente ogni dato, si ricorre a codici che utilizzano gruppi di otto bit (dettibyte). Valga per tutti l’esempio del codice ASCII (American Standard Code for InformationInterchange) nel quale con soli 7 bit si esaurisce il messaggio, lasciando disponibile l’ottavo perl’introduzione di un bit di controllo, assai utile nella fase di eventuale trasmissione a distanza(controllo di parità).

NCodice XS-3 Gray

ABCD

0 0000

1 0001

2 0011

3 0010

4 0110

5 0111

6 0101

7 0100

8 1100

9 1101

10 1111

11 1110

12 1010

Tab. 9.2 Codice XS-3 Gray

Fig. 9.1 Gabbia di Garnaugh per il codice XS-3 Gray

0 7 8 15

1 6 9 14

2 5 10 13

3 4 11 12

00 01 11 10AB

00

01

11

10

CD



9.3. Campionamento e Quantizzazione

La digitalizzazione di un segnale analogico tempo-continuo coinvolge due processi di discretiz-zazione: un processo di discretizzazione nel dominio del tempo (campionamento) e un processodi discretizzazione in ampiezza (quantizzazione).

Una delle fasi più critiche della trasformazione di un segnale analogico in uno digitale è quelladel campionamento che consiste nel convertire una grandezza variabile nel tempo in modo con-tinuo in una discreta che rappresenti la prima in modo univoco e con la introduzione di erroritrascurabili.

Il procedimento ideale che può essere discusso per chiarire alcune concetti è illustratoFigura 9.2. Un segnale analogico che varia in funzione del tempo viene moltiplicato per unsegnale di tipo impulsivo di ampiezza costante (ad esempio, unitaria) che si ripete con frequenzapreordinata e pure costante, detta frequenza di campionamento. Il periodo TS corrispondentealla citata frequenza è detto intervallo di campionamento. Il risultato che si ottiene dal prodottoè rappresentato ovviamente da una serie di impulsi modulati in ampiezza che rappresentano inuna certa misura il segnale analogico assegnato.

Un altro parametro che caratterizza il campionamento è la finestra di osservazione che corri-sponde al tempo totale del campionamento

Affinché il segnale campionato sia una rappresentazione scevra da grossolane incertezze ènecessario che siano rispettate alcune regole fondamentali. Gli errori che si commettono sonofondamentalmente dovuti a due fatti: l’incompatibilità tra le frequenze del segnale analogico equella di campionamento e il troncamento del segnale.

Nel primo caso lo spettro di frequenza del segnale campionato differisce da quello del segnaleanalogico per la presenza di componenti armoniche spurie dovute alle sovrapposizione delle“immagini” del segnale introdotte dal campionamento intorno ai multipli interi della frequenzadi campionamento. Per eliminare il fenomeno è necessario scegliere la frequenza di campiona-mento rispettando il teorema di Shannon secondo il quale detta frequenza deve essere almenopari a due volte la banda del segnale analogico, come illustrato in Figura 9.3.

Gli errori di troncamento si verificano invece quando la finestra di osservazione non contienetutto il segnale analogico originale (o un numero non intero di periodi di un segnale alternato),in quanto vengono introdotte delle false discontinuità con la formazione di frequenze spurienello spettro (Figura 9.4).

Infine si deve tenere presente che un sistema reale non è in grado di generare una funzione diDirac, ma solo impulsi di durata finita.

Per ovviare alle difficoltà sopra ricordate, si usano allora sistemi di campionamento, dettisample and hold, il cui principio di funzionamento è illustrato in Figura 9.5.

In questi circuiti si utilizzano interruttori rapidi (tempi di intervento dell’ordine dei nanose-condi) per escludere il segnale d’ingresso dal circuito di conversione per il tempo TS durante ilquale Vi è mantenuta dal condensatore C.

Il processo di discretizzazione in ampiezza o quantizzazione, a differenza del campionamento,introduce inevitabilmente un’incertezza, detta errore di quantizzazione. Il segnale digitale inuscita da un convertitore A/D, infatti, è per definizione costituito da un numero finito di bit (N)che identificano 2N – 1 intervalli di quantizzazione, ciascuno di ampiezza ∆ / (2N – 1), dove ∆

9.3. Campionamento e Quantizzazione


Fig. 9.2 Campionamento ideale

Fig. 9.3 Spettro del segnale campionato

t

t

t

Segnale AnalogicoTempo Continuo

Impulsi di Campionamento

Segnale AnalogicoCampionato

X(t

)S(

t)X

S(t) TS

fB fS

Spettro del Segnale Tempo-Continuo

fB fS

Spettro del Segnale Campionato

2 fS 3 fS 4 fS 5 fS



denota l’ampiezza massima del segnale (Figura 9.6). Pertanto, tutti i livelli analogici compresiin un particolare intervallo di quantizzazione dopo la conversione A/D risultano indistinguibili,provocando una perdita di informazione. L’entità dell’errore di quantizzazione risulta tantominore quanto maggiore è la risoluzione del convertitore A/D, definita dal numero N di bit inuscita.

9.4. Conversione A/D

Una volta campionato il segnale analogico, per completare il processo di conversione A/Doccorre stabilire in quale intervallo di quantizzazione si trovi ciascun campione, in modo daottenerne la rappresentazione numerica. Esistono numerose tecniche circuitali per effettuare

Fig. 9.4 Errore di troncamento

Fig. 9.5 Principio di funzionamento del sample and hold

X(t

)

t

TS

C

S1

S2Vi

Vu

Vu

t

TS



questa operazione. In generale, le diverse tecniche permettono di ottenere una elevata risolu-zione con bassa frequenza di campionamento oppure una bassa risoluzione con una elevata fre-quenza di campionamento (il contenuto informativo per unità di tempo resta grossomodocostante), come illustrato in Figura 9.7. A seconda dei casi, quindi, occorre scegliere la tecnicadi conversione che garantisce il miglior compromesso tra frequenza di campionamento e riso-luzione.

Prima di considerare alcune tecniche di conversione A/D particolarmente adatte per gli stru-menti di misura, è utile esaminare alcuni blocchi base di uso comune nei convertitori A/D.

Fig. 9.6 Quantizzazione di un segnale analogico

Fig. 9.7 Trade-off tra risoluzione e frequenza di campionamento

Vin

Nou

t

∆Intervallo di Quantizzazione (Qi)

i

0

2N

16 bit12 bit8 bit

100 kHz

10 kHz

1 kHz

100 Hz

Cam

pion

amen

to

Risoluzione



9.4.1. Comparatori

In ogni convertitore A/D è presente almeno un comparatore. Per illustrare a livello qualitativoil principio di funzionamento di un comparatore si supponga che la grandezza di ingresso abbial’andamento descritto nel diagramma di Figura 9.8.

Un comparatore riceve in ingresso un segnale analogico (Vi) e fornisce in uscita un segnale digi-tale (Vu) di livello “0” se Vi < VT oppure il livello di segnale “1” se Vi > VT. Esso costituiscequindi un quantizzatore con risoluzione di un bit. Il segnale in uscita può essere un impulso oun livello di tensione, a seconda dei casi.

L’incertezza legata alla operazione di comparazione dipende dalla sensibilità del comparatore,cioè la minima variazione di Vi che determina la commutazione del livello del segnale di uscitae dalla sua rapidità di risposta. La tecnologia attuale impiega nei comparatori circuiti amplifi-catori ad alto guadagno con ingresso differenziale, costituiti da circuiti integrati e quindi moltostabili e sensibili, con buona velocità di risposta.

9.4.2. Contatori

Nella conversione analogico/digitale un ruolo importante hanno i sistemi di conteggio degliimpulsi (contatori di impulsi). Per questi sistemi si ricorre solitamente all’uso di catene di flip-flop collegati in cascata.

Per comprendere qualitativamente il funzionamento di un contatore di impulsi, si può fare rife-rimento allo schema di Figura 9.9 nella quale per semplicità sono disposti in cascata solo treflip-flop (FF).

Fig. 9.8 Principio di funzionamento di un comparatore

t

t

Vi(

t)V

u(t)

VT

0

1



Il primo impulso inviato in ingresso al primo flip-flop (IN) provoca la transizione di Q1 chepassa dal livello “0” al livello “1”, senza che il secondo flip-flop cambi lo stato della propriauscita. Quando un secondo impulso viene applicato al primo flip-flop, Q1 passa dallo stato “1”allo stato “0”, mentre Q2 passa dallo stato “0” allo stato “1”. Con ragionamento analogo si puòcomprendere cosa succede per il terzo flip-flop.

Si può osservare che in ragione del meccanismo descritto la catena è in grado di contare fino a23 = 8 impulsi e che la parola digitale Q3 Q2 Q1 rappresenta la codifica binaria del numero diimpulsi ricevuti.

Più generalmente, un contatore con una cascata di N flip-flop può contare fino a 2N impulsi. Ungruppo di flip-flop collegati funzionalmente come descritto sopra costituisce un modulo delcontatore.

A differenza del tipo di contatore descritto, che è detto asincrono, si può ricorrere al tipo in cuigli impulsi da contare sono inviati contemporaneamente a tutti i flip-flop con il vantaggio diridurre i tempi di propagazione dei segnali (contatore sincrono) secondo lo schema diFigura 9.10.

I contatori sono generalmente integrati da un dispositivo di azzeramento (Reset) che consenteautomaticamente o manualmente di riportare ogni modulo alle condizioni iniziali.

Fig. 9.9 Contatore di impulsi asincrono

D

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FF

IN

Reset

Q1 Q2 Q3

1 2 3 4 5 6 7 8 9IN

Q1

Q2

Q3

0



9.4.3. Memorie

I sistemi di memoria hanno la funzione di raccogliere in forma ordinata le informazioni chedevono essere successivamente utilizzate. In esse possono essere immagazzinate anche le istru-zioni per eventuali programmi di elaborazione dei dati.

Le memorie sono costituite da un numero, generalmente elevato, di celle ciascuna delle quali èin grado di accogliere e conservare l’informazione di un solo bit. Un sistema di questo tipo è piùpregiato se molto veloce nell’acquisizione dei dati e a basso consumo.

Esistono due categorie fondamentali di memorie che si differenziano nel modo con il quale pos-sono essere gestite. Un primo esempio è lo shift-register (registro a scorrimento) che utilizzandoun certo numero di flip-flop consente di ottenere memorie temporanee di limitata capacità. Loschema di questo tipo di memoria è illustrato in Figura 9.11.

Memorie con capacità molto più elevate sono ottenute ricorrendo a flip-flop raccolti in strutturemonolitiche da 16 a 1024 elementi, impiegando transistori MOS o logiche ELC.

Le memorie RAM (Random-Access Memory) sono volatili in quanto il loro contenuto puòessere letto, modificato e integrato da istruzioni. A differenza di quanto avviene negli shift-regi-

Fig. 9.10 Contatore di impulsi sincrono

D

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FFD

Ck

nQ

Q

FF

IN

Reset

Q1 Q2 Q3

1 2 3 4 5 6 7 8 9IN

Q1

Q2

Q3

0



ster, le operazioni di scrittura e lettura sono indipendenti dalla posizione della parola. Nellamemoria RAM l’informazione è immagazzinata secondo una disposizione a righe e colonne epuò essere di tipo statico o dinamico (in questo secondo caso l’informazione resta in memoriaper un tempo limitato).

Le memorie ROM (Read-Only Memory) sono anch’esse realizzate in forma di matrice ma sulleinformazioni contenute non è possibile alcuna alterazione o istruzione, per cui esse mantengonola configurazione ad esse data in origine (salvo cancellarne il contenuto).

Si ricorda che la capacità di una memoria può essere espressa in termini di numero di righe ecolonne, ma più frequentemente si preferisce esprimerla mediante il prodotto dei due terminisopra indicati (ad esempio, 256 bit).

9.4.4. Conversione dal Codice Binario al Decimale

Qualora il risultato di una misurazione debba essere espresso visivamente in forma digitale ènecessario provvedere ad una transcodifica in modo che il risultato sia espresso in un linguaggiocomprensibile ad un normale operatore e cioè quello decimale.

Il passaggio risulta alquanto complesso dal punto di vista operativo anche se concettualmentepiuttosto semplice ed intuitivo. In pratica, si utilizzano catene di flip-flop, in numero opportunoed opportunamente collegati, a seconda del codice che si vuole convertire.

In tal modo è possibile trasformare il codice binario in una sequenza di quartine di bit (corri-spondenti al codice BCD) e inviarla ad un opportuno dispositivo di visualizzazione. Negli stru-menti moderni si usano diodi luminescenti o cristalli liquidi, che descrivono le cifre decimalitramite sette segmenti che possono essere attivati o disattivati (Figura 9.12).

9.4.5. Circuiti di Interfaccia

La maggior parte dei sistemi numerici comprende un oscillatore che genera una sequenza con-tinua di impulsi detta clock (di forma opportuna) distanziati l’uno dall’altro di un tempo TCkcostante: al solito si tratta di uno oscillatore al quarzo di buona precisione e stabilità.

La trasmissione dei dati in uscita da un convertitore A/D verso i blocchi di elaborazione succes-sivi può avvenire attraverso un singolo canale di trasmissione (in serie), per cui per ogni infor-mazione elementare è necessario un tempo TCk (trasmissione seriale).

Fig. 9.11 Shift-register

D

Ck Q

FFD

Ck Q

FFD

Ck Q

FF

Reset

Q1 Q2 Q3

IN

Ck



In alternativa, la trasmissione può essere effettuata per mezzo di n vie in parallelo, per cui ladurata di trasmissione si riduce a TCk, a scapito di una maggiore complessità delle connessioni(trasmissione parallela).

Eventuale rumore presente in fase di trasmissione può far comparire impulsi spuri. Tra i varimodi per rivelare questi disturbi, quello più semplice consiste nell’inserire, al termine di ciascunmessaggio, uno “0” o un “1” supplementare, a seconda che esso contenga un numero pari odispari di “1”. All’arrivo si controlla che il numero di “1” sia sempre pari (controllo di parità)in quanto ciò è ritenuto sufficiente, considerando assai improbabile un doppio errore in un solopassaggio.

9.4.6. Convertitori D/A

La conversione digitale/analogica rappresenta l’operazione inversa di quella analogico/digitale.Negli strumenti essa si rende necessaria sia, come vedremo, nella realizzazione di alcuni con-vertitori A/D sia quando il misurando deve essere fornito in uscita in forma analogica, ad esem-pio per la rappresentazione analogica di una tensione sullo schermo di un oscilloscopio.

In generale è richiesto un segnale analogico sotto forma di tensione o corrente, per cui l’opera-zione consiste nel convertire le informazioni numeriche in tante unità di base del segnale diuscita e di provvedere poi alla loro somma.

L’unità di base, espressa nell’unità di misura della grandezza analogica cercata, rappresenta ilminimo valore in uscita dal convertitore e quindi la sua risoluzione. Per una tensione si può scri-vere la espressione

(9.5)

nella quale bi è il singolo bit e può quindi essere 0 o 1, N è il numero di bit disponibili mentre è l’unità di base. Poiché il massimo di questa funzione si ha quando tutti i bit sono

uguali a 1, resta anche definito il valore di fondo scala della grandezza analogica (Vr).

Da quanto esposto appare evidente che tanto più elevato è il numero di bit, tanto migliore risultala risoluzione del segnale analogico. Questo aspetto, che incide notevolmente sul costo dellostrumento, è di fondamentale importanza quando si desideri ottenere un segnale analogicoaffetto da modesta incertezza e con elevata definizione.

Fig. 9.12 Display a sette segmenti

V u

V r

2N------ bi2

i

i 0=

N 1–

∑=

V r 2N⁄



Un esempio di convertitore D/A è illustrato nello schema a blocchi di Figura 9.13 nel quale siriconoscono:

• una sorgente interna di tensione continua di riferimento fortemente stabilizzata;

• un certo numero di interruttori analogici;

• resistori di precisione di valori diversi per pesare i singoli bit (in termini di corrente);

• un amplificatore operazionale sommatore.

Gli interruttori analogici devono essere comandati da segnali controllati dai bit della parola daconvertire.

9.4.7. Convertitore A/D a Dente di Sega o a Rampa Lineare

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare è illustrato inFigura 9.14. La tensione di ingresso Vi, opportunamente amplificata (A), viene confrontata, tra-mite un comparatore con una tensione a dente di sega (VS = k t).

La tensione di uscita del comparatore VC si trova al livello logico alto fintanto che A Vi > VS,mentre passa al livello logico basso non appena A Vi = VS. Un contatore di impulsi determina ilnumero di impulsi di clock di periodo TCk contenuti nell’intervallo di tempo ∆T in cui la ten-sione VC si trova al livello logico alto, fornendo in uscita un numero N a n bit dato da

(9.6)

dove kN rappresenta la costante del convertitore A/D.

La risoluzione del convertitore è essenzialmente determinata dalla pendenza del dente di sega ke dal periodo TCk del clock utilizzato. In particolare, per aumentare la risoluzione occorre ridurre

Fig. 9.13 Convertitore D/A

20 R

2–1 R

2–2 R

2–(N – 1) R

R

Vu

Vr

RegistroIN

N T∆T Ck---------

AV i

kT Ck------------ kNV i= = =



il più possibile sia k sia TCk. Supponendo di utilizzare la massima frequenza di clock possibile(TCk minimo), quindi, il tempo massimo necessario per effettuare una conversione, dato da

(9.7)

crescerà al crescere della risoluzione richiesta (k diminuisce).

La linearità e la precisione della conversione dipendono ovviamente dalla linearità del dente disega e dalla costanza del periodo del clock. Nella maggioranza dei casi la pendenza della rampaprodotta dal generatore di dente di sega rappresenta il contributo dominante all’incertezza delconvertitore, in quanto essa dipende tipicamente da una costante di tempo R C difficile da con-trollare.

Fig. 9.14 Convertitore A/D a dente di sega o a rampa lineare

Generatore diDente di Sega

Vi A

Comparatore

Reset

A Vi

VS

VC

ContatoreCkR

Clock

N

A Vi

VS

VCCk

t

t

∆T

TCk

N

T∆ max

AV i max,

k-------------------- 2nT Ck= =



9.4.8. Convertitore A/D a Doppia Rampa Lineare

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D a doppia rampa lineare è illustrato in Figura 9.15.Questo convertitore è basato sullo stesso principio di funzionamento del convertitore a dente disega, ma è in grado di raggiungere prestazioni nettamente migliori, in quanto il risultato dellaconversione viene reso indipendente dalla costante di tempo R C utilizzata per generare larampa lineare.

Fig. 9.15 Convertitore A/D a doppia rampa

Vi

ContatoreCk

RN

t

t

T1

–Vr

R CComparatore

Clock

Logica diControllo

Enable

EOC

Reset

Reset

Enable

Switch

Vm1

Vm2

∆T1

∆T2

Segnale di Ingresso Vi Segnale di Riferimento Vr

N1

N2

k1k2

Nmax

TCk

VRS1

S2



Il ciclo di conversione di un convertitore a doppia rampa lineare è diviso in due fasi distinte. Inuna prima fase, tramite un modulo integratore, viene generata una rampa la cui pendenza è pro-porzionale al segnale di ingresso data da

(9.8)

All’inizio della seconda fase, dopo un intervallo di tempo prefissato T1, l’interruttore S1 vienecommutato connettendo l’ingresso dell’integratore alla tensione –Vr. L’uscita dell’integratore,che nel frattempo ha raggiunto il valore

(9.9)

inizia quindi a scendere secondo l’equazione

(9.10)

Contemporaneamente viene abilitato un contatore di impulsi (Enable) pilotato da un opportunosegnale di clock (Clock). Quando la tensione VR raggiunge lo zero il comparatore cambia statoe il conteggio viene fermato. L’intervallo di tempo necessario a scaricare completamente lacapacità C si ricava dall’equazione

(9.11)

e risulta pari a

(9.12)

Dalla equazione (9.12) si può notare come il valore di ∆T sia indipendente dalla costante ditempo R C. Scegliendo T1 = 2n TCk, il codice digitale che si ottiene in uscita al convertitorerisulta

(9.13)

La precisione del convertitore, quindi, in questo caso dipende solo dalla precisione con cui sirealizza la tensione di riferimento Vr, mentre la dipendenza dal periodo del clock e dalla costantedi tempo R C viene eliminata. Questo miglioramento della precisione del convertitore vieneottenuto a spese di un periodo di conversione più lungo che non in un convertitore a dente disega. Il tempo necessario per ottenere il codice digitale in uscita risulta infatti pari a

(9.14)

V R

V i

RC--------t k1t= =

V R max, V m

V i

RC--------T 1 k1T 1= = =

V R V m

V r

RC--------t– V m k2t–= =

V m k2 T∆– 0=

T∆V m

k2-------

k1T 1

k2-----------

V i

RC--------T 1

V r

RC--------

---------------V i

V r------T 1= = = =

N T∆T Ck---------

V i

V r------

T 1

T Ck---------

V i

V r------2N= = =

T∆ max 2nT Ck 2nT Ck+ 2n 1+ T Ck= =



L’interruttore S2 controllato dal segnale Reset permette di resettare completamente l’integratoreprima di iniziare un ciclo di conversione. Contestualmente viene resettato anche il contatore.Una opportuna logica di controllo si occupa di generare tutti i segnali necessari al funziona-mento del convertitore (Reset, Enable, Switch). Il segnale EOC, fornito dal contatore alla logicadi controllo viene utilizzato per identificate l’istante di tempo T1.

9.4.9. Convertitore A/D Incrementale

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D incrementale è illustrato in Figura 9.16. Gli ele-menti costitutivi di questo tipo di convertitore sono gli stessi presenti in un convertitore a doppiarampa lineare, ovvero un integratore, un comparatore e un contatore. Il principio di funziona-mento è tuttavia diverso.

L’equazione che regola il comportamento di un convertitore incrementale, infatti, è data da

(9.15)

In pratica ad ogni colpo di clock (indice k) il comparatore verifica il segno del segnale di uscitadell’integratore U, determinando se al colpo di clock successivo la tensione di riferimento Vrdeve essere sommata (U < 0) o sottratta (U > 0) al segnale di ingresso Vi. Trattandosi di unanello di reazione negativa con elevato guadagno per le basse frequenze (per via dell’integra-tore), il segnale Vf tenderà ad uguagliare in media il segnale di ingresso Vi. Pertanto, il contatore,accumulando il segnale digitale Q (legato a Vf a meno della tensione Vr), dopo 2n colpi di clockfornirà in uscita una parola digitale N data da

(9.16)

Fig. 9.16 Convertitore A/D incrementale

∫ Latch

fS

Vi

Integratore Comparatore

–

+

Reset

Contatore

Reset

N

n

QU

+Vr

–Vr

Vf

U0 V i=

Uk 1+ Uk V i 1–( )Qk 1+ V r–( )+=⎩⎨⎧

N Qk

k 0=

2n 1–

∑ 2nQ 2

nV f

V r------ 2

n V i

V r------= = = =



dove e rappresentano i valori medi di Q e Vf. Ovviamente, il tempo di conversione risultapari a 2n periodi di clock. Il segnale Reset permette di azzerare l’integratore e il contatore primadi ogni conversione.

9.4.10. Convertitore A/D ad Approssimazioni Successive

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D ad approssimazioni successive è illustrato inFigura 9.17. Il circuito è costituito da un circuito di sample and hold, un comparatore, un con-vertitore D/A (DAC) e un blocco digitale denominato registro ad approssimazioni successive(SAR).

Il principio di funzionamento di questo convertitore è basato sul metodo delle bisezioni, chepermette di determinare la parola digitale a n bit che rappresenta il segnale di ingresso in soli nperiodi di clock (contro i 2n periodi di clock dei convertitori a rampa lineare o incrementali).

All’inizio di ogni ciclo di conversione il segnale di ingresso Vi viene campionato dal sample andhold. Successivamente, come illustrato in Figura 9.18, il segnale di ingresso viene confrontatocon la tensione analogica fornita dal DAC che corrisponde al bit più significativo. Se il segnaledi ingresso è di ampiezza inferiore rispetto al segnale fornito dal DAC significa che il bit piùsignificativo della parola digitale di uscita deve essere posto a “0”, altrimenti significa che essodeve essere posto a “1”. Una volta stabilito il valore del bit più significativo, esso viene memo-rizzato dal registro ad approssimazioni successive e mantenuto. Si passa quindi al bit succes-sivo, confrontando la tensione fornita dal DAC con e il segnale d’ingresso. In base alla deci-sione del comparatore si stabilisce se il bit in questione deve essere “0” o “1”, memorizzandopoi il risultato nel registro ad approssimazioni successive. Si procede in questo modo per n peri-odi di clock fino a che non vengono determinati tutti i bit.

I convertitori ad approssimazioni successive sono notevolmente più veloci rispetto ai converti-tori a rampa lineare o incrementali. Tuttavia, essi presentano un incertezza maggiore, legata allaprecisione con cui si riescono a realizzare le tensioni di uscita del convertitore D/A. Con i con-vertitori ad approssimazioni successive è pertanto molto difficile superare i 12 bit di precisione.

Fig. 9.17 Convertitore A/D ad approssimazioni successive

Q V f

Vi

ΦCk

S & H

DAC

n-bit

Registro adApprossimazioni

Successive

+

–

Comparatore

Vr

ΦS

N



9.4.11. Convertitore A/D Flash

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D flash è illustrato in Figura 9.19. Il principio di fun-zionamento di questo convertitore è molto semplice, in quanto si basa sulla definizione di quan-tizzazione. Il segnale di ingresso, infatti, in un convertitore a n bit viene confrontato con 2n ten-sioni di riferimento, tipicamente generate con una stringa resistiva, tramite 2n – 1 comparatori.Le tensioni di riferimento corrispondono ai limiti dei singoli intervalli di quantizzazione. Inuscita ai comparatori si ottengono 2n – 1 segnali digitali a 1 bit. Tutti i segnali digitali corrispon-denti a comparatori la cui tensione di riferimento è inferiore al segnale di ingresso saranno a “0”,mentre gli altri saranno a “1”. Si ottiene quindi una rappresentazione digitale del segnale diingresso secondo un codice detto “termometrico” (per l’ovvia analogia con un termometro amercurio). Il codice termometrico può poi essere convertito tramite un semplice circuito logicoin un codice binario, in modo da ottenere la parola digitale di uscita N.

I convertitori A/D flash possono raggiungere velocità di conversione molto elevate in quantorichiedono un solo periodo di clock per fornire il risultato in uscita. Tuttavia, per via della pre-senza di un numero elevato di componenti (2n resistori e 2n – 1 comparatori), ciascuno con le suetolleranze e non-idealità, l’incertezza associata a questi convertitori risulta elevata. Inoltre, sipuò notare come la complessità del circuito cresca esponenzialmente con la risoluzione. Per-tanto, la risoluzione massima raggiungibile con convertitori A/D flash risulta dell’ordine dei 6bit.

9.4.12. Convertitore A/D Pipeline

Lo schema a blocchi di un convertitore A/D pipeline è illustrato in Figura 9.20. Invece di ope-rare in modo completamente parallelo come il convertitore flash, il convertitore pipeline sfruttail principio della catena di montaggio. In pratica il segnale di ingresso viene convertito in passisuccessivi da k stadi posti in cascata. Mentre il primo stadio elabora il campione corrente delsegnale d’ingresso, il secondo stadio elabora ulteriormente il campione già elaborato dal primostadio nel periodo di clock precedente, e così via fino all’ultimo stadio. Ciascuno degli stadi pro-duce un sottoinsieme dei bit che compongono la parola digitale di uscita. Il convertitore pipe-

Fig. 9.18 Principio di funzionamento di un convertitore A/D ad approssimazioni successive

1 0 0 0 0 0 0 0. . .

1 1 0 0 0 0 0 0. . .

1 1 1 0 0 0 0 0. . .

1 1 0 1 0 0 0 0. . .

1 1 0 1 1 0 0 0. . .

S

S

N

S

N

Registro ad Approssimazioni Successive

MSB LSB

CK 2

CK 3

CK 4

CK 5

CK 6

Conferma?

1 1 0 1 0 1 0 0. . .CK 7 ?

Ipotizzato

Confermato

0 0 0 0 0 0 0 0. . .CK 1



line, pertanto, a parte una latenza iniziale di k periodi di clock, fornisce in uscita una nuovaparola digitale per ogni periodo di clock, come il convertitore flash.

Ciascuno degli stadi converte in digitale il proprio segnale di ingresso con una data risoluzione(j) e fornisce in uscita la corrispondente parola digitale a j bit, nonché un residuo che dovràessere poi convertito dallo stadio successivo. Il residuo si ottiene moltiplicando per 2j la diffe-renza tra il segnale di ingresso dello stadio e il segnale di uscita a j bit convertito in analogicoda un convertitore D/A (errore di quantizzazione). I bit in uscita ai diversi stadi vengono poiriallineati tramite opportuni registri in modo da costituire la parola digitale di uscita corrispon-dente a ogni campione del segnale di ingresso. La risoluzione di un convertitore pipeline risultalimitata dall’accuratezza con cui si riescono a realizzare i fattori 2j necessari per generare il resi-duo, nonché dalla precisione dei convertitori A/D e D/A presenti nei singoli stadi. La massimarisoluzione ottenibile si aggira intorno ai 12 bit.

Fig. 9.19 Convertitore A/D flash

Rd

Rd

Rd

Rd/2

Rd/2

(1)

(2)

(2n –1)

(2n –2)

(2n –3)

b0

b1

b2

bn–1

bn–2

bn–3

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

Con

vert

itore

da

Cod

ice

Term

omet

rico

a C

odic

e B

inar

io

Vr Vi



Fig. 9.20 Convertitore A/D pipeline

Vi (nT)ADC

+Residuo

ADC+

Residuo

ADC+

Residuo

1 2 K

bj–1,…,b1, b0 Campione (n–K–1)

b(k–1)j–1,…,b(k–2)j+1, b(k–2)jCampione (n–1)

jjj

bkj–1,…,b(k–1)j+1, b(k–1)jCampione n

Residuo


10. Misure Automatiche con Software

10 Misure Automatiche con Software


11.1. Generalità


11. Trasformatori di Misura

11.1. Generalità

I trasformatori di misura sono condizionatori di segnale di tipo elettromagnetico che inseriti susistemi funzionanti in corrente alternata permettono di riprodurre la grandezza sotto misura(tensione o corrente) secondo uno determinato fattore di scala e senza apprezzabile scostamentodi fase.

I trasformatori in oggetto dispongono perciò di almeno due avvolgimenti (primario e seconda-rio) ciascuno dei quali con almeno due terminali.

La grandezza da misurare viene applicata ai terminali del primario mentre ai terminali delsecondario vengono collegati gli strumenti di misura o gli apparati di protezione che costitui-scono la prestazione dell’apparecchio.

I trasformatori di misura sono apparecchi che sui sistemi ad alta tensione assolvono anchel’importante funzione di separare dielettricamente l’avvolgimento secondario da quello prima-rio che può essere a tensione elevata.

Principalmente concepiti per funzionare in regime semistazionario (cioè sotto grandezze alter-nate), possono assicurare anche buoni requisiti in funzionamento transitorio quando destinati adalimentare apparecchi di protezione.

A seconda della funzione svolta e del principio di funzionamento si distinguono in:

• trasformatori di corrente (TA);

• trasformatori di tensione induttivi (TVI);

• trasformatori combinati di tensione e corrente (TVA).

• trasformatori di tensione capacitivi (TVC).

Ciascun tipo di apparecchio può essere destinato ad alimentare strumenti di misura oppureapparecchi di protezione, in quanto diversi sono i requisiti richiesti.

Sovente si usano trasformatori di misura con più di due avvolgimenti destinati a svolgere fun-zioni diverse (misura o protezione) o che pur avendo due soli avvolgimenti possono svolgerecontemporaneamente, sia pure con qualche limitazione, le due funzioni.

Per regolamentare le caratteristiche e le prestazioni dei trasformatori di misura e i rapporti tracostruttori e acquirenti, sono state messe a punto e sono disponibili diverse norme della IEC(International Electrotechnical Commission) e del CENELEC (organismo dell’Unione Europeache si occupa di normazione elettrica). Le norme emesse dal CENELEC (EN) sono automati-camente trasposte in norme nazionali (CEI).

11 Trasformatori di Misura


I trasformatori di misura sono caratterizzati da un certo numero di grandezze funzionali, dettenominali, definite dalle norme citate, alle quali si farà riferimento nel seguito per quanto di uti-lità per il corso.

11.2. Trasformatori di Corrente

Il trasformatore di corrente, nella sua forma più semplice, è costituito da due avvolgimenti (pri-mario e secondario) tra loro isolati e da un nucleo magnetico sul quale i suddetti avvolgimentisono avvolti.

L’avvolgimento primario deve essere attraversato dalla corrente da misurare e quindi collegatoin serie nel circuito, mentre l’avvolgimento secondario deve alimentare gli strumenti di misurao le apparecchiature di protezione.

I circuiti alimentati dal trasformatore di corrente, inclusi i cavetti di collegamento, costituisconola prestazione dell’apparecchio che ne condiziona le prestazioni misuristiche.

Lo schema di inserzione del TA è rappresentato in Figura 11.1 assieme al modello circuitale chepuò essere utilizzato per discutere il funzionamento dell’apparecchio.

In Figura 11.2 è invece riportato il diagramma vettoriale delle grandezze elettriche in gioco.Con E2 è stata rappresentata la forza elettromotrice indotta nel secondario, necessaria per far cir-colare la corrente I2 negli apparecchi alimentati. Tale forza elettromotrice è prodotta dal flusso

Fig. 11.1 Schema di inserzione e circuito equivalente dei trasformatori di corrente

Z Z

I

I

I

Y

NN

Primario Secondario

1 2

2

1

0

0

21

A

I : corrente primariaI : corrente secondariaI : quota della corrente primaria utilizzata per la magnetizzazione del nucleo magneticoN : numero delle spire primarieN : numero delle spire secondarieZ : impedenza di dispersione del primarioZ : impedenza di dispersione del secondarioY : ammettenza equivalenteA : prestazione alimentata

1

1

1

2

2

2

0

0

AA

A



magnetico che si stabilisce nel nucleo magnetico a sua volta creato da una quota parte della cor-rente primaria I1. La componente magnetizzante I0 cambia di valore al variare della corrente pri-maria e della prestazione collegata al secondario e non è lineare con le grandezze suddette acausa della caratteristica di magnetizzazione del circuito magnetico in lega di ferro.

La somma vettoriale della corrente I2 rovesciata e moltiplicata per il rapporto di trasformazionek con la componente magnetizzante I0 rappresenta la corrente primaria I1.

Più precisamente, in ogni istante si deve verificare la seguente relazione vettoriale tra le forzemagnetomotrici

(11.1)

nella quale N1 e N2 rappresentano rispettivamente il numero delle spire degli avvolgimenti pri-mario e secondario.

Dividendo per N1, si ottiene

(11.2)

avendo indicato con kS il rapporto tra il numero delle spire del secondario e il numero di spiredel primario.

Si tenga presente che per facilitarne la discussione, il diagramma vettoriale è stato tracciato nonrispettando le proporzioni reali tra i moduli dei vettori (I0 molto più grande di quanto si verificain realtà).

Si osserva anche che la corrente primaria è impressa dal sistema (o può essere considerata tale),per cui il diagramma vettoriale in esame cambia al variare di detta corrente.

A secondario aperto, la corrente primaria diventa tutta magnetizzante per cui la tensione indottanel secondario stesso può assumere valori molto elevati (anche migliaia di volt).

Fig. 11.2 Diagramma vettoriale di un trasformatore di corrente

AC

BI

II

-K

2

I

E2

1

2

2N

0

0φ

ε

ψ

I : corrente primariaI : corrente secondariaI : corrente magnetizzanteE : forza elettromotrice indotta nel secondarioε: errore d’angoloBA: errore di rapporto (valore assoluto)

12

20

N1I1 N2I2 N1I0+=

I1

N2

N1------I2 I0+ kSI2 I0+= =



Per quanto detto sopra, il funzionamento ideale di un TA è quella con l’avvolgimento seconda-rio in cortocircuito.

La non-linearità della componente magnetizzante, fa sì che nel diagramma vettoriale il rapportotra i moduli delle correnti primaria e secondaria non si mantenga costante. Inoltre, la correntesecondaria rovesciata non è esattamente in fase con la corrente primaria.

Se si esamina lo schema di Figura 11.1, ci si può anche rendere conto che ai fini funzionali, laresistenza e l’induttanza di dispersione dell’avvolgimento primario sono prive di influenza(essendo la corrente primaria impressa).

L’errore di rapporto (o di corrente) è l’errore che il trasformatore introduce nella misura delmodulo di una corrente sinusoidale quando il rapporto di trasformazione si allontana da quellonominale. Esso è definito in forma percentuale e in conformità con la normativa vigente, dallaseguente espressione:

(11.3)

dove kN è il rapporto di trasformazione nominale, I1 la corrente primaria e I2 la corrente secon-daria.

Si osserva che il rapporto di trasformazione nominale non coincide generalmente con il rapportotra le spire degli avvolgimenti e che, per quanto detto sopra, da esso si discosta anche il rapportodi trasformazione reale.

Facendo ancora riferimento al diagramma vettoriale di Figura 11.2, si può dare una ulterioreinterpretazione al significato dell’errore di rapporto. Infatti, tenendo conto che I0 è molto pic-cola rispetto alle altre correnti, l’errore di rapporto può essere considerato in valore assoluto parialla differenza tra i moduli dei vettori I1 e I2, ovvero, senza commettere errore apprezzabile,uguale al segmento CB.

Si definisce errore di angolo (o di fase) la differenza di fase tra le correnti primaria e secondaria,assumendo il senso dei vettori in modo che l’angolo sia nullo per un trasformatore ideale.

Nel diagramma vettoriale di Figura 11.2, la differenza di fase suddetta è rappresentatadall’angolo ε. L’errore d’angolo è convenzionalmente considerato positivo allorché il vettoredella corrente secondaria rovesciato risulta in anticipo su quello della corrente primaria.

L’errore d’angolo è usualmente espresso in centiradianti o in minuti. Tenendo presente che perangoli molto piccoli l’espressione di ε in radianti può essere confusa con la corrispondente fun-zione sin(ε), l’errore di fase può essere indicato con 100 sin(ε), espressione che risulta soventedi più facile utilizzazione.

Si tenga presente che le definizioni sopra riportate per gli errori di rapporto e di fase sono rigo-rose solamente se le correnti primaria e secondaria sono sinusoidali (non sarebbe altrimenti pos-sibile tracciare il diagramma vettoriale).

Questa condizione è generalmente verificata o può essere considerata come tale (si veda avantiquando si tratterà dell’errore composto), salvo nel caso di misure di correnti fortemente distortecome quelle che vengono assorbite dagli impianti di conversione ac/dc.

η%kN I2 I1–( )100

I1------------------------------------=



11.2.1. Caratteristiche Nominali

Ogni trasformatore di corrente è caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali chene definiscono la funzionalità.

La frequenza nominale è quella a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite e per la qualeil TA è stato dimensionato, viene considerata costante, salvo casi eccezionali.

La corrente primaria nominale è quella a cui sono riferiti gli errori di rapporto e di fase e i limitidi sovratemperatura ammessi. Si assegnano normalmente valori interi (ad esempio 10 A, 20 A,100 A, 500 A, 1000 A, 5000 A).

La corrente secondaria nominale viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchia-ture da alimentare e sono normalizzati i valori di 5 A, 2 A, 1 A (più frequentemente usato ilprimo valore).

Il rapporto di trasformazione nominale è dato dal rapporto tra la corrente primaria nominale ela corrente secondaria nominale, per cui con una opportuna scelta della corrente nominale pri-maria si fa in modo che esso sia un numero intero, possibilmente multiplo o sottomultiplo di 10.

La prestazione nominale è quella a cui si fa riferimento per definire i limiti della classe di pre-cisione. Si esprime in siemens o in voltampere (questi ultimi riferiti alla corrente secondarianominale).

La classe di precisione assume significato diverso a seconda che il TA sia destinato ad alimen-tare strumenti di misura o apparecchi di protezione, come viene meglio precisato in seguito,assieme ad altre caratteristiche nominali specifiche per il tipo di impiego.

I trasformatori di corrente sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnati agliavvolgimenti primario e secondario (il primo molto più importante del secondo), in relazionealle caratteristiche della rete su cui essi possono essere impiegati. Il livello di isolamento del pri-mario può imporre particolari soluzioni costruttive che possono incidere in misura notevolesulle prestazioni misuristiche.

Il problema del coordinamento dell’isolamento e dei livelli di isolamento è materia discussa nelcorso di impianti elettrici, al quale si rimanda per eventuali approfondimenti. È tuttavia oppor-tuno ricordare che al crescere della tensione del sistema sul quale l’apparecchio deve essereinstallato è necessario aumentare le distanze tra gli avvolgimenti e verso massa introducendoanche una maggior quantità di isolante.

Il sistema isolante principale tra primario e secondario può essere costituito da:

• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri, per le basse tensioni;

• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente l’uso dicarta impregnata di olio minerale);

• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o gas compresso (normalmente esafluoruro dizolfo) per l’alta tensione; l’involucro per questi TA è solitamente di porcellana per consentirel’installazione all’esterno.

Oltre a possedere le caratteristiche sopra menzionate, ogni TA deve essere in grado di soppor-tare, sotto gli aspetti termico e dinamico, correnti elevate per tempi brevi in caso di guasto (cor-tocircuiti in rete). Si individuano così la corrente termica di breve durata nominale e la correntedinamica nominale (quest’ultima, espressa con il valore di picco, è normalmente corrispondente



a 2.5 volte quella termica espressa in valore efficace). Non è raro che dette correnti sianodell’ordine di 100 volte la corrente nominale, mentre la durata che si considera convenzional-mente è di 1 s.

Le principali caratteristiche del TA devono essere riportate sulla targa applicata in modo visibilesull’apparecchio, mentre i morsetti primari e secondari devono essere contrassegnati in mododa non avere difficoltà ad individuarne la corrispondenza. Sulla targa è anche indicata la normasecondo il quale il TA è stato progettato, in modo da consentire di risalire alle prescrizioni cheper ragioni di spazio non possono essere riportati in targa.

In Figura 11.3 sono rappresentati due diversi trasformatori di corrente destinati ad impianti amedia e bassa tensione (le dimensioni non sono in proporzione reale).

11.2.2. Trasformatori per Misure

I trasformatori per misure sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzatidalla classe di precisione che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore di rap-porto che l’apparecchio non deve superare quando funzionante a corrente nominale e con pre-stazione a cos(ψ) = 0.8 ritardo compresa tra il 25% e il 100% della nominale (per certe partico-lari applicazioni il fattore di potenza della prestazione può essere unitario).

Le classi di precisione normalizzate sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto e difase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati nella Tabella 11.1 e nella Tabella 11.2.Si noti che gli errori relativi di corrente e quelli di fase tendono a crescere con il diminuire dellapercentuale della corrente nominale.

I limiti di errore sono prescritti per un campo di corrente compreso tra il 5% e il 120% dellanominale per tutto il campo di prestazioni sopra citato.

In realtà, le norme impongono ulteriori requisiti di precisione nel caso di particolari applicazioni(ad esempio, misure di grandi quantità di energia scambiate tra società elettriche), per i quali èopportuno consultare le norme (IEC 60044-1 e CEI EN 600044-1).

La prestazione nominale può essere compresa tra 5 VA e 30 VA, con fattore di potenza pari a0.8 ritardo, con tendenza verso i valori più bassi essendo sempre più diffusa la tendenza ad usare

Fig. 11.3 Forme costruttive di trasformatori di corrente utilizzati sugli impianti elettrici amedia (a) e bassa (b) tensione

(a) (b)



apparecchiature elettroniche il cui autoconsumo è molto modesto (si osserva che il costo di unTA è fortemente influenzato, a parità di altre condizioni, dal valore della prestazione nominale).

L’andamento tipico delle caratteristiche di errore in funzione della corrente nominale e dellaprestazione sono indicate in Figura 11.4, che si riferisce a un TA di classe 0.5 con prestazionenominale di 20 VA.

Al fine di garantire un minimo di protezione per gli strumenti alimentati in caso di elevate sovra-correnti, è opportuno che il nucleo magnetico entri in saturazione. Viene perciò prescritto unlimite per il così detto coefficiente di sicurezza che per le correnti molto più elevate della nomi-nale che si possono verificare in caso di guasto, a 10 volte la corrente nominale.

Per ottenere TA di elevate caratteristiche misuristiche, sono importanti le caratteristiche delmateriale magnetico utilizzato ed il suo grado di sfruttamento (induzione di lavoro) nonché unbuon accoppiamento tra primario e secondario. Conseguentemente, risulta che per ottenere i

Classe diprecisione

Errore di corrente (rapporto) in percento

(±) alla percentuale della corrente nominale

sottoindicata

Errore d’angolo (±) alla percentuale della corrente nominale sottoindicata

Minuti Centiradianti

5 20 100 120 5 20 100 120 5 20 100 120

0.1 0.4 0.2 0.1 0.1 15 8 5 5 0.45 0.24 0.15 0.15

0.2 0.75 0.35 0.2 0.2 30 15 10 10 0.9 0.45 0.3 0.3

0.5 1.5 0.75 0.5 0.5 90 45 30 30 2.7 1.35 0.9 0.9

1.0 3.0 1.5 1.0 1.0 180 90 60 60 5.4 2.7 1.8 1.8

Tab. 11.1 Limiti dell’errore di corrente e dell’errore d’angolo per i trasformatori di correnteper misura

Classe diprecisione

Errore di corrente (rapporto) in percento

(±) alla percentuale della corrente nominale

sottoindicata

Errore d’angolo (±) alla percentuale della corrente nominale sottoindicata


1 5 20 100 120 1 5 20 100 120 1 5 20 100 120

0.2S 0.75 0.35 0.2 0.2 0.2 30 15 10 10 10 0.9 0.45 0.3 0.3 0.3

0.5S 1.5 0.75 0.5 0.5 0.5 90 45 30 30 30 2.7 1.35 0.9 0.9 0.9

Tab. 11.2 Limiti dell’errore di corrente e dell’errore d’angolo per i trasformatori di correntedi misura per applicazioni speciali



migliori risultati il prodotto N1 I1 alla corrente nominale deve essere di almeno 800 Asp, mentrel’induzione di lavoro non deve superare 0.3 T.

Per i TA di precisione più elevata si utilizzano leghe ferromagnetiche speciali che presentanocaratteristiche molto ripide e con saturazione molto netta (caratteristica di forma quasi rettan-golare).

11.2.3. Trasformatori per Protezioni

La funzione dei TA per protezioni si differenzia sostanzialmente da quelli per misura in quantoper essi è richiesto il rispetto di limiti di errore di rapporto anche fino a correnti pari a 10 voltela nominale, allo scopo di assicurare un minimo di precisione anche in presenza di correnti ele-vate come quelle di cortocircuito.

Per quanto riguarda il comportamento in transitorio alle correnti elevate, essendo la componentemagnetizzante non più lineare per effetto della saturazione, per caratterizzare il comportamentomisuristico del TA non è più possibile fare ricorso al diagramma vettoriale di Figura 11.2 perdefinire gli errori di rapporto e di fase. La norma CEI EN 60044-1 introduce la definizione con-venzionale di errore composto come segue:

(11.4)

dove:

• KN è il rapporto di trasformazione nominale;

• Ip è il valore efficace della corrente primaria;

• ip è il valore istantaneo della corrente primaria

• is è il valore istantaneo della corrente secondaria;

• T è la durata di un ciclo.

Fig. 11.4 Errori di rapporto η e d’angolo 100 sin(ε) per un trasformatore di corrente inclasse 0.5, prestazione 20 VA, per reti a media tensione

+1.0

-1.0

+0.5

-0.5

0

0 20

I (%)

20 VA

20 VA

5 VA

5 VA

40 60 80 100 120

100 sen 100 sen εε

η%

η%

εc100I p

--------- 1T--- KNis ip–( )2 td

0

T

∫=



Si può osservare la Figura 11.5 nella quale l’andamento delle correnti in presenza di onde nonsinusoidali è chiaramente illustrato.

Nel campo delle correnti di funzionamento normali, viene sempre richiesto il rispetto dei limitidi errore indicati nella Tabella 11.3 che, come si vede, corrispondono a classi di precisione piut-tosto scadenti, con prescrizioni limitate ad un campo ristretto di corrente nominale.

Nei TA per protezione, il nucleo magnetico non è più realizzato con leghe speciali ma con nor-mali lamierini in lega ferro-silicio la cui caratteristica di magnetizzazione presenta una satura-zione meno marcata e più progressiva. Esso deve essere largamente dimensionato per consen-tire una buona risposta anche alle correnti elevate (il nucleo non deve saturare).

Le classi normalizzate dei TA per protezione sono numerose e si differenziano anche in rela-zione alle modalità con le quali i requisiti vengono verificati.

La norma CEI EN 60044-1 prevede quattro classi di TA che sono caratterizzate dalle seguentisigle:

• la prima cifra rappresenta il limite di errore composto ammesso per il TA quando collegatocon la prestazione nominale;

• la lettera P sta ad indicare che si tratta di TA per protezione;

• le lettere X e T, che seguono la lettera P, indicano invece particolari requisiti;

Fig. 11.5 Andamento delle correnti secondaria (is), primaria (ip) e magnetizzante (i0), in untrasformatore di corrente quando il nucleo è in saturazione

Classe diprecisione

Errore di corrente alla corrente primaria

nominale

Errore d’angolo alla corrente primaria

nominale

Errore composto alla corrente limite primaria

nominale

% Minuti Centiradianti %

5P ±1 ±60 ±1.8 5

10P ±3 — — 10

Tab. 11.3 Limiti di errore di corrente e di angolo per i trasformatori di corrente per prote-zione

ii

i

p

s

0



• la seconda cifra indica il valore della corrente espressa in per unità della nominale per cui irequisiti di precisione devono essere rispettati.

Ad esempio, la sigla 5PX indica un TA con errore composto pari al 5% con i requisiti definitidalla lettera X.

Sui vari tipi di TA si possono fare alcune precisazioni. I TA delle classi P sono progettati sola-mente per rispettare i requisiti dell’errore composto come precedentemente definito che ven-gono verificati con prove a prestazione aumentata, in modo da aumentare la forza elettromotriceindotta sul secondario e simulare le condizioni di sovracorrente.

I TA della classe PX devono ancora rispettare le prescrizioni dell’errore composto come i pre-cedenti ma il nucleo magnetico deve presentare particolari caratteristiche di magnetizzazione.In particolare la conoscenza della caratteristica di eccitazione (tensione di ginocchio), la resi-stenza dell’avvolgimento secondario, il rapporto spire e la resistenza della prestazione sono suf-ficienti per definire le prestazioni in transitorio. Viene implicitamente richiesto che la reattanzadi dispersione sia bassa (buon accoppiamento tra primario e secondario). Può essere prescrittala costante di tempo del circuito secondario comprendente la prestazione e l'avvolgimento.

I TA della classe PR devono ancora rispettare le prescrizioni dell’errore composto come i pre-cedenti ma il nucleo magnetico è in generale previsto con piccoli traferri per linearizzare lacaratteristica di magnetizzazione e limitare il flusso rimanente (magnetismo residuo).

Le prescrizioni dei TA per protezione sopra descritte mirano tutte ad assicurare un buon com-portamento alle correnti elevate e alle richiusure degli interruttori in condizioni di guasto in rete.

La norma IEC 60044-6 imposta il problema in un modo diverso, in quanto i requisiti relativi allaprecisione in transitorio vengono verificati direttamente in transitorio, tanto che per le prove ènecessario ricorrere sovente a laboratori specializzati. Questo argomento, che non viene ulte-riormente discusso, può essere approfondito consultando la norma sopra citata.

11.2.4. Trasformatori a Più Rapporti

Per allargare il campo di impiego dei singoli TA, si ricorre sovente ad apparecchi a più rapporti.Per mantenere praticamente le stesse caratteristiche di precisione, la migliore soluzione consistenel suddividere l’avvolgimento primario in due sezioni che possono essere collegate in serie oin parallelo (Figura 11.6). Il trasformatore è in questo modo caratterizzato da due correnti nomi-nali, una doppia dell’altra, per le quali si ha lo stesso valore di forza magnetomotrice totale. Inqueste condizioni gli errori di rapporto e di fase restano invariati a parità di valore percentualedella corrente nominale.

Fig. 11.6 Trasformatore di corrente con due sezioni primarie

(a) (b)

A A

I I

11.3. Trasformatori di Tensione Induttivi


In alcuni casi, peraltro piuttosto rari, le sezioni sono addirittura sei, con la possibilità di otteneretre rapporti nominali.

Si può anche agire sul numero di spire del primario, ma questa soluzione trova giustificazionesolamente per TA con correnti nominali modeste (non oltre i 50 A) e viene usata sui sistemi abassa tensione.

La scelta di agire sull’avvolgimento secondario cambiandone il numero di spire e facendo cosìlavorare a differenti induzioni il nucleo magnetico, è pure a volte praticata, anche se sconsiglia-bile in quanto le caratteristiche di precisione risultano compromesse o penalizzate da una ecces-siva riduzione della prestazione nominale.

Un’altra interessante applicazione riguarda la possibilità di montare nello stesso involucro piùnuclei con caratteristiche diverse, ad esempio, per misura e protezione. Questa soluzione, assaidiffusa per ragioni economiche per gli apparecchi destinati a reti ad alta tensione, prevede peril TA un solo avvolgimento primario che eccita tanti nuclei quanti sono gli avvolgimenti secon-dari (Figura 11.7). Naturalmente le caratteristiche del nucleo magnetico possono essere diversea seconda del tipo di utilizzazione.


Il trasformatore di tensione, nella sua forma più semplice, è dotato di due avvolgimenti (prima-rio e secondario) tra loro isolati e da un nucleo magnetico sul quale i suddetti avvolgimenti sonoavvolti.

La tensione da misurare deve essere applicata ai terminali del primario che deve essere quindicollegato in derivazione nel circuito, mentre ai terminali dell’avvolgimento secondario devonoessere connessi gli strumenti di misura o le apparecchiature di protezione da alimentare.

I circuiti alimentati dal secondario del trasformatore di tensione, costituiscono la prestazionedell’apparecchio.

Lo schema tipico di inserzione del TVI è indicato in Figura 11.8 assieme al modello circuitaleche può essere utilizzato per discutere il funzionamento dell’apparecchio.

In Figura 11.9 è riportato il diagramma vettoriale delle grandezze elettriche in gioco. Con E2 èstata rappresentata la forza elettromotrice indotta nel secondario, mentre I2 è la corrente assor-bita dalla prestazione. La forza elettromotrice è prodotta dal flusso magnetico che si stabilisce

Fig. 11.7 Trasformatore di corrente con un avvolgimento primario e tre avvolgimenti secon-dari (tre nuclei magnetici distinti)

S S S

IP

1

1

2 3



nel nucleo magnetico a sua volta creato da una corrente magnetizzante I0 fornita dalla rete dialimentazione e presente sul primario.

La corrente primaria complessiva I1 è rappresentata dalla somma vettoriale della correntemagnetizzante I0 e della corrente secondaria I2 riportata a primario secondo il rapporto inversodelle spire dei due avvolgimenti.

Le correnti secondaria e primaria producono a loro volta cadute di tensione sulle rispettiveimpedenze di dispersione, provocando variazioni del rapporto di trasformazione realedell’apparecchio in funzione della tensione e della prestazione.

Si osserva che nel diagramma vettoriale, per facilitarne la discussione, non sono state rispettatele proporzioni reali tra i moduli dei vettori (cadute di tensione molto più grandi di quanto si veri-fica in realtà).

Poiché nel circuito la tensione primaria è impressa (o può essere considerata tale), il funziona-mento ideale di un TVI è quella con secondario aperto.

L’errore di rapporto (o di tensione) è l’errore che il trasformatore introduce nella misura delmodulo di una tensione quando il rapporto di trasformazione si allontana da quello nominale.Esso è definito, in forma percentuale, dalla seguente espressione:

(11.5)

Fig. 11.8 Schema di inserzione e circuito equivalente dei trasformatori di tensione induttivi

Z Z

II

V V

I

Y

NN

1 2

21

1 2

0

0

21

V

V : tensione primariaV : tensione secondariaI : corrente magnetizzanteI : corrente primariaI : corrente secondariaN : numero delle spire primarieN : numero delle spire secondarieZ : impedenza di dispersione del primarioZ : impedenza di dispersione del secondarioY : ammettenza equivalenteV : prestazione alimentata

1

1

2

2

21

1

0

02

V

η%kNV 2 V 1–( )100

V 1----------------------------------------=



dove kN è il rapporto di trasformazione nominale, V1 la tensione primaria e V2 la tensione secon-daria.

Si osserva che anche in questo caso, il rapporto di trasformazione nominale non coincide gene-ralmente con il rapporto tra le spire degli avvolgimenti e che, per quanto detto sopra, da esso sidiscosta il rapporto di trasformazione reale.

Facendo ancora riferimento al diagramma vettoriale di Figura 11.9, l’errore di rapporto è rap-presentato in valore assoluto dalla differenza tra i moduli dei vettori V1 e V2, per cui può essereconfuso con il segmento PB.

Si definisce errore di angolo (o di fase) la differenza di fase tra le tensioni primaria e secondaria,assumendo il senso dei vettori in modo che l’angolo sia nullo per un trasformatore ideale.

Nel diagramma vettoriale di Figura 11.9 la differenza di fase suddetta è perciò rappresentatadall’angolo ε.

L’errore d’angolo è considerato positivo allorché il vettore della tensione secondaria rovesciatoè in anticipo su quello della tensione primaria.

Analogamente a quanto definito per i TA, esso è usualmente espresso in centiradianti come100 sin(ε) o in minuti.

Le definizioni sopra riportate per gli errori di rapporto e di fase sono rigorose solamente se letensioni primaria e secondaria sono sinusoidali ma questa condizione è più facilmente verificata

Fig. 11.9 Diagramma vettoriale di un trasformatore di tensione induttivi

BA

CZ

Z

I

V

V

I I

I

I

E

E

=K

-KV

E

I

0

ε

1

1

2

1

1

1 1

2

0

2

2

NS

22

2

2

‘

ψ

φ

V : tensione primariaV : tensione secondariaZ I e Z I : caduta di tensioneI : corrente primariaI : corrente secondariaI : corrente magnetizzanteε: errore d’angoloBA: errore di rapporto (valore assoluto)

1

11

1

2

2

2 2

0



che per i TA in quanto la componente magnetizzante della corrente primaria non è moltodistorta (si lavora a induzione molto bassa, non oltre 0.5 T a tensione nominale.


Ogni trasformatore di tensione è caratterizzato da un certo numero di grandezze nominali chene definiscono il comportamento funzionale e che lo caratterizza in modo completo.

La frequenza nominale è quella a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite e per la qualeil TVI è stato dimensionato, generalmente viene considerata costante.

La tensione primaria nominale è quella a cui sono riferiti, in particolare, gli errori di rapporto edi fase e i limiti di sovratemperatura ammessi per gli avvolgimenti.

Si assegnano normalmente valori interi corrispondenti alle tensioni nominali delle reti, divisiper quando previsti per inserimento tra fase e terra (ad esempio, 1000 V, 20000 V,

V, V).

La tensione secondaria nominale viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchia-ture da alimentare e sono normalizzati i valori di 100 V, V, V a seconda deltipo di applicazione (più raramente, secondo le tecniche nordamericane si hanno i valori 110 V,

V, V, e qualche volta anche 200 V).

Il rapporto di trasformazione nominale corrisponde al rapporto tra la tensione primaria nominalee la tensione secondaria nominale. La tensione primaria nominale viene scelta in modo da otte-nere rapporti nominali interi di più facile utilizzazione.

Come per i TA, anche per i TVI la prestazione nominale è quella a cui si fa riferimento per defi-nire i limiti della classe di precisione. Si esprime in ohm o in voltampere (questi ultimi riferitialla tensione secondaria nominale).

La prestazione nominale può essere compresa tra qualche voltampere e 50 VA, con una ten-denza verso i valori più bassi essendo sempre più diffusa la tendenza ad usare apparecchiatureelettroniche il cui assorbimento è molto modesto (si riduce il costo dell’apparecchio).

La classe di precisione assume significato diverso a seconda che il TVI sia destinato ad alimen-tare strumenti di misura o apparecchi di protezione, come viene meglio precisato in seguito.

I TVI sono caratterizzati anche dal fattore di tensione nominale che rappresenta la tensione chel’apparecchio deve poter sopportare per un tempo definito quando in servizio si verificano con-dizioni anormali di funzionamento (ad esempio, guasto a terra di una fase).

I valori normali del fattore di tensione sono riportati nella Tabella 11.4.

I trasformatori di tensione induttivi sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnatiagli avvolgimenti primario e secondario. Come per i TA, le particolari soluzioni costruttiveimposte per l’isolamento possono incidere in misura notevole sulle prestazioni misuristiche.

Il sistema isolante principale tra primario e secondario può essere costituito da:

• isolante secco con conduttori smaltati e nastri di carta o di poliesteri, per le basse tensioni;

• resine epossidiche o poliuretaniche per la media tensione (sempre meno frequente l’uso dicarta impregnata di olio minerale);

3100000 3⁄ 400000 3⁄

100 3⁄ 100 3⁄

110 3⁄ 110 3⁄



• carta impregnata sotto vuoto con olio minerale o anche poliestere con gas compresso (nor-malmente esafluoruro di zolfo) per l’alta tensione; l’involucro è solitamente di porcellana perconsentire l’installazione all’esterno.

Ogni TVI deve poi essere in grado di sopportare senza danneggiarsi cortocircuiti diretti ai mor-setti secondari quando alimentato alla tensione primaria, per la durata di 1 s. Si osserva chequesta prescrizione non è particolarmente severa, stante il dimensionamento imposto per altrirequisiti, a differenza di quanto avviene per i TA.

Tutte le principali caratteristiche devono essere indicate sulla targa applicata in modo visibilesull’apparecchio. I morsetti primari e secondari devono essere contrassegnati in modo da nonavere difficoltà ad individuarne la corrispondenza.

In Figura 11.10 sono rappresentati due diversi trasformatori di tensione induttivi destinati adimpianti a media tensione.

11.3.2. Trasformatori per Misure

I trasformatori per misure sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sono caratterizzatidalla classe di precisione che viene convenzionalmente indicata con il limite di errore di rap-porto che l’apparecchio non deve superare quando funzionante a tensione nominale e con pre-stazione compresa tra il 25% e il 100% della nominale.

Le classi di precisione normalizzate sono 0.1, 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto e difase, fissati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati nella Tabella 11.5.

Anche per i TVI le norme di recente emissione prevedono ulteriori requisiti di precisione nelcaso di particolari applicazioni (ad esempio, misure di grandi quantità di energia scambiate trasocietà elettriche), per i quali è opportuno consultare direttamente le norme (IEC 60044-2 e CEIEN 600044-2).

Fattore di tensionenominale

Duratanominale

Modo di collegamento dell’avvolgimento primario e condizioni di messa a terra della rete

1.2 continuaTra le fasi in qualsiasi rete.Tra il centro stella del trasformatore e la terra in qualsiasi rete.

1.2 continua Tra fase e terra in reti con neutro efficacemente a terra.

1.5 30 s

1.2 continuaTra fase e terra in reti con neutro non efficacemente a terra con eliminazione automatica del guasto di terra.

1.9 30 s

1.2 continuaTra fase e terra in reti con neutro isolato o in reti colle-gate a terra mediante bobina d’estinzione, senza elimina-zione automatico del guasto di terra.

1.9 8 h

Tab. 11.4 Valori normali del fattore di tensione



Si osserva che i limiti di errore sono prescritti per un campo di tensione limitato tra l’80% e il120% della tensione nominale, per il campo di prestazioni sopra citato.

L’andamento tipico delle caratteristiche di errore in funzione della tensione nominale e dellaprestazione sono indicate in Figura 11.11, che si riferisce a un TVI di classe 0.5 con prestazionenominale di 60 VA.

Poiché il nucleo magnetico lavora ad induzione poco variabile, le caratteristiche del materialemagnetico utilizzato sono meno importanti che per i TA per cui normalmente il nucleo è realiz-zato con normali lamierini magnetici in lega ferro-silicio.

11.3.3. Trasformatori per Protezioni

La funzione dei TVI per protezioni è quella di alimentare sistemi di protezione con il rispetto dilimiti di errore anche a tensioni di qualche percento della nominale.

Le classi di precisione normalizzate sono 3P e 6P. Le sigle indicate assumono il seguente signi-ficato:

Fig. 11.10 Forme costruttive di trasformatori di tensione induttivi per impiego su reti a mediatensione: (a) inserzione tra fasi e (b) inserzione verso terra

Classe di precisioneErrore di tensione (di

rapporto) in percento (±)Errore d’angolo (±)


0.1 0.1 5 0.15

0.2 0.2 10 0.3

0.5 0.5 20 0.6

1.0 1.0 40 1.2

3.0 3.0 nessuna prescrizione nessuna prescrizione

Tab. 11.5 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione induttivi permisure

(a) (b)



• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVI a prestazionenominale e prestazione pari al 25% della nominale, per tutte le tensioni comprese tra il 5%della nominale e quella corrispondente al fattore di tensione nominale dato dallaTabella 11.4;

• la lettera P sta ad indicare che il TVI è per protezione.

I TVI per protezione devono rispettare i limiti per gli errori di rapporto e di fase indicati nellaTabella 11.6.

Qualche volta viene prescritto anche il rispetto di errori di rapporto e di fase al 2% della tensionecon valori per i limiti doppi di quanto indicato nella tabella citata.

Dal punto di vista costruttivo, il nucleo magnetico non si discosta molto da quello che si use-rebbe per un TVI per misura.

Fig. 11.11 Errori di rapporto η e d’angolo 100 sin(ε) per un trasformatore di tensione indut-tivo in classe 0.5, prestazione 60 VA, cos(ψ) = 0.8 R




3P 3.0 120 3.5

6P 6.0 240 7.0

Tab. 11.6 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione induttivi perprotezioni

+0.8

-0.8

+0.4

-0.4

+0.2

-0.2

+0.6

-0.6

0

V (%)

15 VA

15 VA

60 VA

60 VA

8070 90 100 110 120 130

100 sen ε

η%

errori di rapporto

errori di fase



11.3.4. Trasformatori a Più Rapporti

Per allargare il campo di impiego anche per i TVI si fa a volte ricorso ad apparecchi a più rap-porti anche se in misura meno frequente che per i TA. In pratica, per mantenere le stesse carat-teristiche di precisione, la migliore soluzione consiste nel suddividere l’avvolgimento seconda-rio in due sezioni che possono essere collegate in serie o in parallelo. Il trasformatore è in questomodo caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio 100 V e 200 V.

Assai rari sono i casi in cui si ricorre a suddividere l’avvolgimento primario, sul quale limitata-mente alle tensioni più basse si possono pure prevedere delle prese, agendo sul numero di spireutili.

Un altro interessante aspetto da considerare riguarda la possibilità di montare sullo stessonucleo più avvolgimenti secondari ciascuno con la propria funzione. In queste condizioni lecaratteristiche di errore si influenzano tra di loro in quanto l’avvolgimento primario è comune.In Figura 11.12 sono rappresentati gli schemi relativi ai due casi considerati.

Un’ultima soluzione costruttiva che si ritiene di dover ricordare è quella dei TVI trifasi per retia media tensione, largamente utilizzati nel Regno Unito mentre non fanno parte delle tradizionidell’Europa continentale (un trasformatore trifase costa meno di tre trasformatori monofasi chesvolgono funzioni equivalenti).

11.3.5. Trasformatori per Tensione Residua

Per l’alimentazione di particolari protezioni di terra su sistemi funzionanti con neutro isolato, siricorre a volte all’impiego di tre trasformatori monofasi con i primari collegati a stella ed isecondari a triangolo aperto, secondo lo schema di Figura 11.13. Tra i terminali aperti del trian-golo, la tensione è nulla quando il sistema è in condizioni normali di funzionamento, mentreassume un valore diverso da zero quando una fase va a terra.

Il diagramma vettoriale di Figura 11.14 illustra quanto avviene in caso di guasto monofase aterra netto. Si può notare che per avere a disposizione una tensione secondaria di 100 V quandola tensione nominale primaria corrisponde a quella del sistema divisa per , la tensione nomi-nale secondaria di ciascun TVI deve essere di V.

Per questo tipo di applicazione viene richiesto che i TVI abbiano un fattore di tensione relativa-mente elevato (per le reti a media tensione 1.9), mentre la durata relativa dipende dal tipo diintervento delle protezioni (istantaneo o ritardato). In mancanza di questo ultimo requisito, al

Fig. 11.12 Trasformatore di tensione induttivo con il secondario in due sezioni uguali in serie(a) e in parallelo (b)

(a) (b)

3100 3⁄

11.4. Curve di Errore di TA e TVI Interpretate con il Diagramma di Moellinger


momento del guasto a terra (anche autoestinguente) si possono innescare fenomeni di ferroriso-nanza dovuti al fatto che il circuito magnetico dei TVI che si trovano sulle fasi sane si satura.

11.4. Curve di Errore di TA e TVI Interpretate con il Diagramma di Moellinger

I trasformatori di tensione e corrente vengono sottoposti alla verifica degli errori di rapporto edi fase per constatare il rispetto delle prescrizioni in occasione del collaudo di accettazione. Taleverifica viene effettuata normalmente in funzione della corrente (o tensione) primaria per ivalori di prestazione corrispondenti al 25% e al 100% della prestazione nominale con fattore dipotenza uguale a 0.8 ritardo (prestazione induttiva).

Quando si effettuano misure di grande precisione (ad esempio misura delle perdite su circuiti abasso fattore di potenza) può rendersi necessario conoscere gli errori di rapporto e di fase in con-dizioni di prestazione diverse da quelle per cui sono state condotte le verifiche sopra descritte.

Fig. 11.13 Schema di inserzione di tre trasformatori di tensione induttivi monofase per otte-nere al secondario la tensione residua VR

Fig. 11.14 Formazione della tensione residua VR nel caso di andata a terra della fase C delloschema di Figura 11.13 (si noti che )

A

B

C

RV

A

E

E

3

1

2

R

E

V

A

B

B

C

0

V R 3 E=



In questi casi si può procedere ad una nuova taratura dei trasformatori nelle condizioni che inte-ressano, ma così facendo si finisce per complicare le procedure di prova soprattutto in terminidi tempo e di costi.

Si può allora ricorrere ai diagrammi di Moellinger che consentono di determinare gli errori perqualsiasi valore di prestazione, noti i valori degli errori di rapporto e di fase per le prestazioniusate nella verifica di collaudo. Detti diagrammi si basano sull’assunzione che il modello equi-valente dell’apparecchio considerato si comporti linearmente al variare della prestazione entrolimiti non eccedenti la nominale, per ogni data condizione di alimentazione del primario.

Tralasciando la dimostrazione del metodo, che può essere effettuata anche per via grafica, si for-niscono i criteri da seguire per le applicazioni pratiche.

Si può prendere come esempio un TVI che alla verifica di collaudo presentava gli errori riportatinella Tabella 11.7. Per una determinata tensione, ad esempio la nominale, tali valori vengonoriportati su un diagramma cartesiano con in ascisse gli errori di fase (100 sin(ε) e in ordinata glierrori di rapporto (η%). Vengono in questo modo definiti due punti A e B come rappresentato inFigura 11.15 per la tensione nominale. Il segmento che unisce i due punti individua gli errori difase e rapporto per le prestazioni aventi lo stesso fattore di potenza e per la detta tensione. Ilpunto corrispondente a prestazione nulla può essere facilmente determinato per estrapolazione,prolungando in proporzione alla lunghezza del segmento (punto O).

Per prestazioni con fattore di potenza diverso da quello per cui si dispongono i dati, si puòdescrivere la differenza d’angolo prendendo come centro il punto O, muovendosi in senso antio-rario se l’angolo cresce ed in senso antiorario se diminuisce. Nella Figura 11.15, è stato trac-ciato, come esempio, il segmento relativi a prestazioni puramente ohmiche e a cos(ψ) = 0.8 inritardo. Quanto descritto per i TVI può esser applicato integralmente anche per i TA.

11.5. Trasformatori di Misura Combinati

Per i trasformatori destinati ad impianti ad alta tensione e funzionanti all’aperto, si ricorre avolte ai trasformatori di misura combinati, nei quali nello stesso involucro ceramico sono con-tenuti due apparecchi: un TA e un TVI. Questa soluzione che consente la riduzione dei costi diprimo acquisto (un solo involucro isolante) e di impianto (minore spazio occupato) è poco pra-ticata in Europa.

Tensione (%)Errori Prestazione

Rapporto 100 sin(εεεε) VA cos(ψψψψ)

100 +0.32 +0.12 20 1

100 –0.35 –0.09 5 1

Tab. 11.7 Errori di rapporto e di fase di un trasformatore di tensione induttivo alla verificadi collaudo al 100% e al 25% della prestazione nominale

11.6. Trasformatori di Tensione Capacitivi


Ciò che può essere critico per questi apparecchi è il rischio di interferenza tra i due sistemi elet-tromagnetici per cui le Norme IEC 60044-3 prescrivono, oltre alle normali prescrizioni giàdiscusse ai punti precedenti per i singoli apparecchi), delle prove atte a verificare che dette inter-ferenze risultino trascurabili.

Si osserva infine che esistono due schemi alternativi di collegamento tra i due apparecchi cheprevedono il TA a monte o a valle del TVI (il primo schema è solitamente preferito).


I trasformatori di tensione capacitivi trovano largo impiego sui sistemi ad alta tensione (da100 kV in su) in quanto meno costosi di quelli induttivi. Il vantaggio economico deriva anchedal fatto che gli apparecchi possono essere utilizzati anche per la trasmissione di segnali pertelecomando tra sottostazioni vicine, impiegando come condensatore di accoppiamento il divi-sore di tensione capacitivo che fa parte dell’apparecchio.

Lo schema elettrico che permette di discutere il funzionamento di un TVC è quello riportato inFigura 11.16a nella quale sono per il momento rappresentate solo i componenti principali.

Il divisore capacitivo, che consente di ridurre la tensione da misurare ad un valore compreso tra10 kV e 15 kV disponibile tra la presa intermedia e la terra, presenta un fattore di scala kC datoda

(11.6)

dove C1 e C2 rappresentano le capacità della sezione di alta tensione e di bassa tensione del divi-sore.

Fig. 11.15 Determinazione degli errori di rapporto η e di fase 100 sin(ε) per una prestazionequalsiasi, noti gli errori per due prestazioni note (diagramma di Moellinger)

0 B

A

A = punto a prestazione nominale cosψ = 0B = punto al 25% della prestazione nominale0 = punto a prestazione nullaψ = generico argomento della prestazione

ψ

+ 1.0

0.5

-0.5

-1.0-1 +10

100 sen ε0

η(%)

kC

C1

C1 C2+-------------------=



La tensione primaria nominale del TVC è normalmente quella della rete sulla quale deve essereinserito, divisa per in quanto l’apparecchio viene inserito tra fase e terra.

Il reattore induttivo è realizzato con un avvolgimento montato su un nucleo magnetico e devepresentare una resistenza per quanto possibile piccola (nelle considerazioni seguenti detta resi-stenza viene per semplicità considerata nulla).

Il terzo principale componente dell’apparecchio è rappresentato dal trasformatore di tensioneinduttivo avente tensione primaria prossima a quella intermedia del divisore capacitivo, mentrela tensione secondaria nominale è una delle tensioni normalizzate.

Per studiare il principio del TVC conviene applicare al circuito di Figura 11.16a il teorema diThevenin interrompendolo nel punto A. La tensione di Thevenin è allora quella che si manifestatra i punti A e B, mentre lo schema equivalente è quello di Figura 11.16b.

Nella XL è compresa anche l’impedenza di corto circuito del trasformatore induttivo che vieneper il resto considerato ideale.

Si deduce facilmente che se alla frequenza di lavoro si verifica la condizione , ilsistema è in condizioni di risonanza serie. L’analisi del comportamento del TVC può quindiessere eseguito confrontando le tensioni VD e VS che, in generale, differiscono in modulo e infase.

Il comportamento del TVC risulta fortemente influenzato dalle variazioni di frequenza. Lecaratteristiche di precisione dei TVC, per quanto ben curati costruttivamente, sono influenzateda varie cause:

• i condensatori del divisore non sono perfetti in quanto possono variare di capacità per effettodella temperatura (cambia il fattore di scala del divisore) e presentano un certo angolo di per-dita; conseguentemente si modificano i parametri del circuito di Thevenin;

Fig. 11.16 Schema di principio (a) e circuito equivalente secondo Thevenin (b) di un trasfor-matore di tensione capacitivo

C

C

A

B D

D

V

V

(b)

(a)

V

VV

V

S

STH

PL

L

C

C

TR

TR

C

C

1

1

2

2

3

XL XC=



• l’induttore non è puro per cui si dovrebbe mettere in conto la sua resistenza e i contributi dis-sipativi del circuito magnetico;

• il trasformatore non è ideale e presenta propri errori di rapporto e di fase.

Gli ultimi due componenti, che costituiscono l’unità elettromagnetica, sono montati in un con-tenitore sigillato pieno di olio isolante.

Le definizioni degli errori di rapporto e di fase sono le stesse indicate per i TVI, ai quali sirimanda tanto per la misura che per le protezioni.

L’errore di rapporto è perciò definito, in forma percentuale, dalla seguente espressione:

(11.7)

dove kN è il rapporto di trasformazione nominale, V1 la tensione primaria e V2 la tensione secon-daria. Anche per i TVC il rapporto di trasformazione nominale non coincide generalmente conil rapporto di trasformazione reale.

Particolare cura deve essere posta nel prevenire o limitare i fenomeni oscillatori che si verifi-cano durante i transitori di tensione che, in alcuni casi, possono dar luogo a fenomeni di ferro-risonanza. Il transitorio più gravoso è rappresentato dall’apertura di un cortocircuito netto aimorsetti secondari. Per questa ragione, si devono inserire dei dispositivi di smorzamento dellesuddette oscillazioni, come spinterometri, filtri, ecc.

Per rendersi conto di quanto affermato è sufficiente notare che se si provoca un cortocircuito trai punti C e D del circuito di Figura 11.16b, la corrente risulterebbe limitata solamente dai para-metri dissipativi e che quindi i condensatori e l’induttanza verrebbero interessati da correnti etensioni molto elevate. Inoltre, essendo l’induttanza non lineare per la presenza del ferro, si pos-sono innescare ferro-risonanze.

Un altro transitorio durante il quale si può verificare il non corretto funzionamento del TVC èil brusco cortocircuito primario, in seguito al quale la tensione secondaria non si estingue imme-diatamente, per cui può risultare compromesso il corretto intervento delle protezioni alimentate.

Le recenti norme IEC 60044-5, dedicate ai TVC, possono essere consultate per eventuali appro-fondimenti sull’argomento.


La frequenza nominale, a cui tutte le caratteristiche funzionali sono riferite, è per i TVC di fon-damentale importanza.

Alla tensione primaria nominale si assegnano normalmente valori interi corrispondenti alle ten-sioni nominali delle reti, divisi per in quanto l’inserzione è tra fase e terra (ad esempio,

V, V).

La tensione secondaria nominale viene scelta in relazione alle caratteristiche delle apparecchia-ture da alimentare e sono normalizzati i valori di Ve V (qualche volta

V) a seconda del tipo di applicazione.

Il rapporto di trasformazione nominale è dato dal rapporto tra la tensione primaria nominale ela tensione secondaria nominale.

η%kNV 2 V 1–( )100

V 1----------------------------------------=

3100000 3⁄ 400000 3⁄

100 3⁄ 100 3⁄200 3⁄



Come per i TVI, la prestazione nominale è quella a cui si fa riferimento per definire i limiti dellaclasse di precisione. Le prestazioni nominali normali sono comprese tra 10 VA e 100 VA, contendenza verso valori piuttosto bassi se vengono alimentati apparecchiature elettroniche a bassoconsumo.

La classe di precisione assume diverso significato a seconda che il TVC sia destinato ad alimen-tare strumenti di misura o apparecchi di protezione.

I trasformatori di tensione capacitivi sono anche caratterizzati dai livelli di isolamento assegnatial divisore capacitivo e all’avvolgimento secondario.

11.6.2. Trasformatori Capacitivi per Misure

I trasformatori capacitivi per misure sono destinati ad alimentare strumenti di misura e sonocaratterizzati dalla classe di precisione che viene convenzionalmente indicata con il limite dierrore di rapporto che l’apparecchio non deve superare quando funzionante a corrente nominalee con prestazione compresa tra il 25% e il 100% della nominale.

Le classi di precisione normali sono 0.2, 0.5, 1, 3, i cui limiti di errore di rapporto e di fase, fis-sati dalle norme IEC e CEI vigenti, sono riportati nella Tabella 11.8.

I limiti di errore sono prescritti per un campo di tensione limitato tra l’80% e il 120% della ten-sione nominale, per tutto il campo di prestazioni sopra citato.

In pratica, le costruzioni attuali consentono di realizzare TVC per misura in classe 0.5 chegarantiscono i requisiti di precisione indicati nella tabella citata, purché le variazioni di fre-quenza risultino contenute nel ± 0.25 Hz.

I requisiti di precisione per la classe 0.2 sono raggiungibili solamente in laboratorio in quantoin servizio si verificano condizioni ambientali che influiscono sugli errori (inquinamento atmo-sferico superficiale, temperatura ambiente, funzionamento sotto pioggia, ecc.) sui cui effetti nonsi hanno informazioni precise.

L’andamento tipico delle caratteristiche di errore in funzione della tensione nominale e dellaprestazione sono indicate in Figura 11.17, che si riferisce a un TVC di classe 0.5 con prestazionenominale di 60 VA.




0.2 0.2 10 0.3

0.5 0.5 20 0.6

1.0 1.0 40 1.2

3.0 3.0 nessuna prescrizione nessuna prescrizione

Tab. 11.8 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione capacitivi permisure



11.6.3. Trasformatori Capacitivi per Protezioni

La funzione dei TVC per protezioni è quella di alimentare sistemi di protezione con il rispettodi limiti di errore anche a tensioni di qualche percento della nominale. Le classi di precisionerecentemente normalizzate sono due.

Le sigle indicate assumono il seguente significato:

• la prima cifra rappresenta il limite di errore di rapporto ammesso per il TVI quando collegatocon la prestazione nominale;

• la lettera P sta ad indicare protezione;

• la seconda cifra indica il valore della corrente espressa in per unità della nominale per cui irequisiti di precisione devono essere rispettati.

Per i TVC viene richiesto il rispetto dei limiti di errore indicati nella Tabella 11.9 che, come sivede appartengono a classi di precisione piuttosto scadenti.

Anche per i TVC si possono prevedere avvolgimenti secondari per utilizzazione a triangoloaperto, analogamente a quanto detto per i TVI. Poiché questi apparecchi sono montati sulle retiad alta tensione funzionanti con neutro a terra, il fattore di tensione richiesto non supera normal-mente 1.5.

11.6.4. Trasformatori Capacitivi a Più Rapporti

Per allargare il campo di impiego anche per i TVC si fa a volte ricorso ad apparecchi a due rap-porti prevedendo l’avvolgimento secondario in due sezioni che possono essere collegate in serieo in parallelo analogamente a quanto previsto per i TVI (Figura 11.12). Il trasformatore è inquesto modo caratterizzato da due tensioni secondarie nominali, ad esempio Ve

V.

Fig. 11.17 Errori di rapporto η e d’angolo 100 sin(ε) per un trasformatore di tensione capa-citivo in classe 0.5, prestazione 60 VA, cos(ψ) = 0.8 R

+0.8

-0.8

+0.4

-0.4

+0.2

-0.2

+0.6

-0.6

0

V (%)

15 VA

15 VA

60 VA

60 VA

8070 90 100 110 120 130

100 sen ε

η%

errori di rapporto

errori di fase

100 3⁄200 3⁄



Classe diprecisione

Errore di tensione (rapporto) in percento

(±) alla percentuale della tensione nominale

sottoindicata

Errore d’angolo (±) alla percentuale della tensione nominale sottoindicata


2 5 100 X 2 5 100 X 2 5 100 X

3P 6.0 3.0 3.0 3.0 240 120 120 120 7.0 3.5 3.5 3.5

6P 12.0 6.0 6.0 6.0 480 240 240 240 14.0 7.0 7.0 7.0

X è il fattore di tensione nominale (dato dalla Tabella 11.4) moltiplicato per 100

Tab. 11.9 Limiti di errore di tensione e di angolo per i trasformatori di tensione capacitivi perprotezioni

12.1. Generalità


12. Sensori e Trasduttori

12.1. Generalità

La trasduzione in elettrica di una grandezza non elettrica è di norma eseguita da un organo dettosensore, sensibile alla grandezza che si vuole misurare, che viene collocato nel punto di misura.

I sensori possono essere distinti in

• sensori attivi, che forniscono in uscita un segnale elettrico attivo (tensione, corrente) ottenutomediante trasformazione di energia (meccanica, termica, luminosa, ecc.) in forma elettrica;

• sensori passivi, nei quali la grandezza da misurare influenza una grandezza elettrica passiva(resistenza, capacità) alimentata da sorgenti esterne di energia.

Il segnale elettrico di uscita è quindi elaborato mediante una catena di componenti, che costitu-isce una vera e propria catena di misura.

12.2. Sensori Attivi

Un sensore attivo può sempre essere rappresentato dagli schemi equivalenti duali riportati inFigura 12.1, dove

e (12.1)

e X rappresenta la grandezza da misurare.

Fig. 12.1 Schemi equivalenti di un sensore attivo

V f X( )= I f X( )=

I YV

Z

12 Sensori e Trasduttori


Raramente il legame fra V (o la duale I) ed X è lineare; sempre però sarà verificata la condizione

per X = 0 (12.2)

poiché la relazione funzionale deriva da interazioni di tipo energetico.

12.2.1. Termocoppie

Le termocoppie sono sensori attivi di temperatura. Esse sono costituite da due fili di metallidiversi, saldati insieme ad una delle estremità. Per effetto Seebeck, ogni giunzione di duemetalli diversi fornisce una forza elettromotrice direttamente dipendente dalla temperatura a cuisi trova.

Le termocoppie di comune impiego sono riportate in Tabella 12.1.

Questi sensori sono assai robusti, di facile installazione e basso costo. Entro una certa fascia ditemperature, l’uscita è ragionevolmente lineare. Lo schema circuitale in cui il sensore è tipica-mente inserito è riportato in Figura 12.2.

Sigla GiunzioneTemperatura Massima di

Impiego

T Rame/Costantana 371 ˚C

J Ferro/Costantana 760 ˚C

E Cromo/Costantana 871 ˚C

K Nichel-Cromo/Alumel 1260 ˚C

R Platino/Platino-Rodio (13%) 1482 ˚C

S Platino/Platino-Rodio (10%) 1482 ˚C

Tab. 12.1 Termocoppie di comune impiego

Fig. 12.2 Termocoppia con circuito di lettura

V X( ) 0=

I X( ) 0=⎩⎨⎧

Giu

nto

Cal

do Strumentodi

Misura

A

B

Filidella

Termocoppia

Filidi

Compensazione

Giu

nto

Fred

do

Fili

diC

olle

gam

ento



Il Giunto Freddo deve essere termostato a 0 C per avere misure assolute nel dominio della scalacentigrada, oppure in caso contrario le variazioni di temperatura dello Giunto Freddo devonoessere compensate automaticamente.

Poiché collegamenti di materiale diverso non influenzano la misura se le rispettive giunzionisono isoterme, spesso il Giunto Freddo è contenuto all’interno dello Strumento di Misura ed ivicontrollato in temperatura.

I Fili di Compensazione vengono introdotti qualora la distanza fra il Giunto Caldo e lo Stru-mento di Misura sia apprezzabile e sono costituiti dagli stessi materiali costituenti la termocop-pia.

Si osservi che la termocoppia misura la temperatura del Giunto Caldo, non quella dell’ambientein cui la giunzione stessa è immersa.

Le cause di errore nella forza elettromotrice fornita dalle termocoppie sono fondamentalmentetre:

• le modalità di applicazione del Giunto Caldo all’oggetto del quale si vuole rilevare la tempe-ratura;

• la capacità termica del sensore;

• la trasmissione del calore attraverso i conduttori, per cui la termocoppia tende a raggiungerel’equilibrio termico con tutto l’ambiente, non con il solo oggetto con cui il Giunto Caldo è acontatto.

È quindi fondamentale scegliere la termocoppia da usare non solo sulla base della gamma ditemperatura, ma anche sulla base del tipo di impiego previsto, che ne determina le dimensionifisiche, il grado di calibrazione, il tipo di guaina protettiva, le condizioni ambientali d’uso. Letermocoppie hanno bassa potenza d’uscita, e ciò significa che qualora lo Strumento di Misuraabbia bassa impedenza d’ingresso, si pongono particolari problemi.

In Figura 12.3 sono riportati gli andamenti delle forze elettromotrici prodotte dalle termocoppiecitate in funzione della temperatura.

12.2.2. Generatori Tachimetri

I generatori tachimetrici convertono la velocità di rotazione di un organo rotante in una forzaelettromotrice continua o alternata e sono essenzialmente dinamo o alternatori a magnete per-manente.

A condizione che lo strumento di misura connesso al sensore sia a basso consumo, la forza elet-tromotrice prodotta è proporzionale con buona approssimazione alla velocità di rotazione. Laforza elettromotrice prodotta è dell’ordine di alcuni volt (piccole dimensioni sono necessarie perottenere una buona velocità di risposta).

Nel caso di alternatori, poiché l’erogazione di corrente può comportare elevate reazionid’indotto, a volte si preferisce rilevare la grandezza d’uscita con frequenzimetri numerici (adaltissima impedenza d’ingresso) stabilendo perciò un legame fra velocità di rotazione e fre-quenza del segnale. Tale metodo però non è adatto a misure in transitorio.



12.2.3. Sensori Fotoelettrici

I sensori fotoelettrici vengono utilizzati per misure di intensità luminosa. Questi sensori gene-rano una corrente proporzionale alla potenza della radiazione luminosa incidente. Tra i sensorifotoelettrici vale la pena di menzionare le celle fotovoltaiche (ad ossido di rame o al selenio),che però presentano costanti di tempo piuttosto lunghe e mediocre stabilità. Pertanto, al giornod’oggi vengono più comunemente utilizzati dei fotodiodi (al silicio o al germanio), che gene-rano correnti specifiche dell’ordine di 10 µA/mW con costanti di tempo dell’ordine di 10 ns.Questi dispositivi sono però assai sensibili alla temperatura e la risposta è lineare solo se ven-gono polarizzati opportunamente.

12.2.4. Sensori Piezoelettrici

I sensori piezoelettrici convertono sforzi di trazione, compressione o di taglio in forze elettro-motrici. Sottoponendo dei cristalli opportunamente tagliati a tali sforzi, sulle facce si originanocariche elettriche dell’ordine di 10–9 C/N, che producono sulla capacità propria del cristallo esu eventuali capacità esterne delle differenze di potenziale misurabili con strumenti ad altaimpedenza. Il materiale solitamente usato è il quarzo. Per un sensore piezoelettrico si definiscesensibilità di carica la grandezza

espressa in (12.3)

dove Q denota la carica elettrica generata e P la forza esercitata sul sensore.

Fig. 12.3 Forze elettromotrici prodotte da diverse termocoppie in funzione della temperatura

B

B

B

B

B

B

B

B

J

J

J

J

J

J

J

J

H

H

H

H

H

H

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

0

10

20

30

40

50

60

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Ten

sion

e [m

V]

Temperatura [˚C]

B E

J J

H T

F K

R

S

SCQP----= C

N----



Poiché

(12.4)

dove V è la forza elettromotrice generata e C = CS + CC è la capacità equivalente dell’interosistema a monte del punto dove si rileva V (inclusi i cavi di collegamento e la capacità diingresso dello strumento di misura), la sensibilità in tensione del trasduttore è data da

(12.5)

Si vede che Sµ varia con C e quindi con le condizioni di impiego (cavi di collegamento e stru-mento di misura), inoltre questi trasduttori hanno assai elevata impedenza d’uscita. Si interpon-gono perciò frequentemente fra sensore e strumento di misura degli opportuni amplificatori dicarica (integratori) come illustrato in Figura 12.4, i quali determinano una tensione d’uscita pro-porzionale alla carica Q (non alla tensione V) e svincolano così la sensibilità dalle variazioni diC. Vale, infatti la relazione

(12.6)

e quindi

(12.7)

Questi trasduttori attivi hanno frequenze di risonanza elevate (10 MHZ) e quindi si prestanobene a rilievi in regime dinamico. Inoltre sono molto robusti e di ridotte dimensioni. Essi sonoperò sensibili alla temperatura ed all’umidità e sono difficili da calibrare in condizioni statiche.

Fig. 12.4 Circuito per la lettura di sensori piezoelettrici

V QC----

SC

C------P= =

SµSC

C------=

CR

V ud

td--------- CS CC+( ) Vd

td-------–=

V uQCR-------=

Cavo

~Q CS

Sensore

CC V Vu

CR

Stru

men

todi

Mis

ura

Amplificatore



12.3. Sensori Passivi

Supponiamo che una grandezza elettrica passiva (R, C, L, M) sia una funzione della grandezzaincognita X, rappresentabile con il suo sviluppo in serie intorno ad un determinato valore X0,

(12.8)

Nel caso di una resistenza (R) si può, per un certo X0 conveniente, scrivere

(12.9)

In tal caso, si tratta dunque di misurare variazioni di R, non il suo valore assoluto. Si dovrannoperciò usare metodi di misura caratterizzati da elevata sensibilità. Bisognerà altresì tenere contodi eventuali variazioni di resistenza, non dipendenti da X.

Poiché il sensore è passivo, necessita in ogni caso un generatore ausiliario di energia elettrica,per cui lo schema equivalente sarà quello indicato in Figura 12.5.

12.3.1. Termometri

Lo schema di un termometro (o termosonda) a resistenza di platino illustrato in Figura 12.6 pre-vede un generatore di corrente costante I che alimenta la serie di R1, R2 e del resistore di platinoRPt. Ai morsetti di quest’ultimo si preleva la caduta di tensione che determina la tensione diuscita Vu. I resistori R3 ed R4 sono inseriti per adattare l’impedenza allo strumento rilevatore, ilquale deve avere un’impedenza di ingresso assai elevata. In tali condizioni, ad una variazionedi temperatura di RPt corrisponde una variazione della resistenza e quindi della Vu.

Fig. 12.5 Schemi equivalenti di un sensore passivo

Fig. 12.6 Termometro a resistenza di platino

R f X( ) R0 1 A X X0–( ) …+ +[ ]= =

R∆ k X∆=

V

RiR = f(X)

Alim

enta

zion

e

VuIRPt

R1

R2

R4

R3



Le resistenza equivalenti d’uscita di questi sensori sono dell’ordine di 102 Ω. Il campo diimpiego si estende fino a temperature dell’ordine di 850 ˚C.

Il platino altamente raffinato è praticamente incontaminabile chimicamente ed è meccanica-mente ed elettricamente stabile, con legame praticamente lineare R = f(T). Anche deriva ederrore di invecchiamento sono trascurabili. Il costo è però ben 8 ÷ 10 volte quello di una termo-coppia. La lettura in uscita è proporzionale alla temperatura assoluta, per cui non sono necessa-rie operazioni di termostatazione. Le dimensioni ed il montaggio determinano le condizioni ditrasmissione ed accumulo del calore e perciò la costante di tempo del sensore.

Sensori in rame e nichel sono meno costosi, ma hanno un campo di funzionamento lineare piùridotto e sono meno stabili.

1 termistori sono resistori realizzati con semiconduttori aventi coefficiente di temperatura ele-vato e negativo,

(12.10)

Con essi si realizzano sensori molto sensibili e con elevata velocità di risposta. La tecnologiadell’invecchiamento artificiale permette di ottenere elementi di buona stabilità, con resistivitàelevate (100 ÷ 103 Ωm). Essi però vanno tarati singolarmente perché difficilmente riproducibili.

12.3.2. Estensimetri

Gli estensimetri vengono impiegati per convertire una deformazione in una variazione di resi-stenza. Se ne impiegano di due tipi: a filo ed a semiconduttore.

Estensimetri a Filo

Gli estensimetri a filo o “strain gauges”, sono placchette da incollare direttamente sul pezzoassoggettato a deformazione; sono costruiti con fili molto sottili di materiale conduttore conresistività ρ che, se assoggettati a trazione, aumentano la loro resistenza elettrica. Essi infattiaumentano la loro lunghezza L e vedono diminuire la loro sezione S, per cui la loro resistenza,

(12.11)

aumenta, stabilendo un legame fra ∆R e la sollecitazione che l’ha determinata.

Entro la base di misura B il filo viene ripiegato “a griglia” in modo che ∆R risulti dalla defor-mazione contemporanea di più sezioni affiancate di conduttore (Figura 12.7).

Tipicamente, vengono impiegati materiali conduttori ad alta resistività, come:

• Karma (Ni + Cr + Al + Fe),

• Isoelastic (Ni + Cr + Fe + Mo),

• Cromel-C (Ni +Cr + Fe),

ridotti in fili di sezione contenuta, correntemente del valore di 1.13 ÷ 4.9 µm2.

R Ae

BT T 0–( )

---------------------–=

R ρLS

-------=



La sensibilità o “gauge factor” di questi dispositivi è definito come

(12.12)

ossia il rapporto fra le variazioni relative di resistenza e di lunghezza.

Si può dimostrare che

(12.13)

dove ν denota il modulo di Poisson del materiale, nella ipotesi che sotto sforzo non si abbianovariazioni di resistività. Questo non è sempre vero, perché i valori di Gf superano agevolmenteil valore 1.5 ÷ 1.8 che dovrebbe essere invalicabile (poiché ν = 0.25 ÷ 10.40 in tutti i materialimetallici). Pertanto si deve riconoscere che

(12.14)

ovvero che, sotto sforzo meccanico, la resistenza del filo varia anche per effetto di una varia-zione di resistività ∆ρ, il cui contributo è assai considerevole (piezoresistività). Il valore deigauge factor è pertanto

(12.15)

Anche qui è importante il coefficiente di temperatura.

Fig. 12.7 Estensimetro a filo

F F

Pezzo Sotto Misura

Adesivo

Supporto

Adesivo

Filo Estensimetrico

Coperchio

G fR∆ R⁄L∆ L⁄

---------------=

G f 1 2ν+=

R∆R

------- L∆L

------- 2ν L∆L

------- ρ∆ρ

------+ +=

G f 1 2ν ρ∆ρ

------ LL∆

-------+ +=



In definitiva i requisiti per avere un buon estensimetro sono i seguenti:

• elevata resistività;

• piccola sezione;

• basso coefficiente di temperatura;

• elevato ∆R allorché avviene la deformazione (elevato Gf);

• elevata corrente di assorbimento;

• elevata resistenza meccanica;

• trascurabile isteresi elastica.

Il valore della corrente nominale è determinato dalla quantità di calore dissipabile, poiché nonsi possono superare temperature di esercizio che, anzitutto, danneggerebbero supporto e ade-sivo. Di norma In = 15 ÷ 20 mA.

L’isteresi elastica dell’estensimetro definisce il campo entro cui la risposta è lineare. Va notatoche, sotto questo aspetto, il punto debole dell’estensimetro è l’adesivo. Questo infatti deveassolvere la funzione fondamentale di trasmettere al filo estensimetrico la deformazione delpezzo senza alterarla, e quindi avere, teoricamente, modulo elastico infinito. In secondo luogoesso deve conservarsi isotropo, al fine di mantenere lo stesso legame fra sforzo e deformazionein ogni direzione, in un intervallo ampio di temperature di funzionamento. In terzo luogo essocontribuisce all’isolamento verso massa del filo estensimetrico (una resistenza finita versomassa si tramuta in una variazione apparente di deformazione). Oggi si impiegano adesivi ingrado di soddisfare questi requisiti, ciascuno per un opportuno campo di temperature e di defor-mazioni.

Gran parte dei problemi sopra esposti pare in via di soluzione con l’evolversi della tecnologiacostruttiva, che oggi ha condotto alla quasi completa sostituzione dei fili con le lamine (fogli dilamierino dello spessore di alcuni micron) su cui sono incisi o fotoincisi i conduttori estensime-tri.

Estensimetri a Semiconduttore

Gli estensimetri a semiconduttore sfruttano fondamentalmente l’effetto delle piezoresistività,poiché essa è oltremodo accentuata per alcuni semiconduttori drogati con impurità trivalenti(tipo p) o pentavalenti (tipo n), nei quali la tensione meccanica determina una variazione delsalto di energia fra le bande di valenza e di conduzione.

In questi tipi di estensimetri, il valore di Gf è 50 ÷ 60 volte più grande rispetto al caso degliestensimetri a filo. Le dimensioni sono molto piccole (fino a spessori di 0.013 mm e larghezzadi 0.51 mm), i campi entro cui Gf è costante sono molto ristretti e la sensibilità alla temperaturaè assai alta. Si possono però, con notevole cura nell’installazione, misurare deformazioni anchedi 10–1 µm, cioè cento volte più piccole di quelle rilevabili con i tipi a filo, ma non si possonosuperare i 2000 µm, circa 1/3 del limite massimo per i tipi a filo.

I circuiti elettrici utilizzati per misurare le variazioni di resistenza degli estensimetri derivanodal ponte di Wheatstone.



12.3.3. Sensori Capacitivi

I sensori capacitivi convertono generalmente spostamenti in variazioni di capacità. Essi possie-dono svariate forme costruttive, per cui è utile ricordare (Tabella 12.2) le espressioni della capa-cità in funzione dei parametri geometrici per diversi tipi di condensatori.

Tipo Tipo Capacità

Condensatore pianoa N armature

Condensatore pianocon più dielettrici

Condensatore pianoa settore circolare

Condensatore cilindrico

Tab. 12.2 Espressione della capacità in funzione dei parametri geometrici per diversi tipi dicondensatore

d

εS C N 1–( )εS

d------------------------=

d1

ε1

Sε2

d2

C Sd1

ε1-----

d2

ε2-----+

------------------=

r

R

δε, d

C ε R2 r2–( )δ2d

----------------------------=

d

L

D

εC 2πεL

Dd----log

-------------= con D d»

C πεL D d+( )2 D d–( )

-----------------------------= con D d– d2---«



Spesso in un sensore capacitivo una armatura del condensatore è costituita dal pezzo di cui sivuole misurare lo spostamento; in tal caso si determina una forza attrattiva fra le armature, chenel caso di un condensatore piano a due armature vale

(12.16)

il che fa preferire sensori differenziali, per le quali la forza F risultante è nulla se l’elementomobile è centrato, e minimizzabile senza grosse difficoltà per piccoli spostamenti (Figura 12.8).

Il segnale fornito (variazione di capacità) può essere istantaneo (misura del tempo di carica escarica) o continuo nel tempo. Nel secondo caso, le tecniche circuitali usate per ottenere unsegnale di tensione o corrente da una variazione di capacità possono essere di diversi tipi.

Circuiti a Modulazione di Ampiezza

Il circuito più semplice per la rilevazione di variazioni di capacità è un ponte in corrente alter-nata (Figura 12.9) dove può essere variabile solo Cx oppure sia Cx sia C3 quando si utilizzanosensori differenziali. Questo circuito ha però grossi problemi di schermatura, raddrizzamento eamplificazione e pertanto è assai poco usato.

Prestazioni molto migliori si ottengono con il circuito di Figura 12.10.

Fig. 12.8 Sensore capacitivo differenziale

Fig. 12.9 Ponte in alternata per la rilevazione di variazioni di capacità

F 12---C2V 2

d-------------=

C1 = C0 + ∆C

C2 = C0 – ∆C

+V

–V

0∆d+F

–FF = 0 per ∆d = 0

Vu~

Cx

C3

R1

R2



Esso è governato dalla relazione

(12.17)

dove , , e .

Circuiti a Modulazione di Frequenza

I circuiti per la rilevazione di variazioni di capacità basati sulla modulazione di frequenza sonousati in telemetria, in casi particolari. Essi forniscono in uscita una tensione continua di alcunivolt.

Circuiti Risonanti

Circuiti per la rilevazione di variazioni di capacità possono essere realizzati formando reti LRCrisonanti (con C variabile). Questi circuiti forniscono in uscita un segnale alternato con fre-quenza proporzionale alla capacità da misurare. Essi raggiungono buone prestazioni purché siriesca a stabilizzare la frequenza di risonanza.

Circuiti a Diodi

Fra i migliori circuiti a diodi per la rilevazione di variazioni di capacità si segnale il circuito adoppio T di Lion (Figura 12.11) che converte un segnale alternato in segnali continui di altolivello (±5 V in campo di funzionamento lineare), fornendo una tensione di uscita

(12.18)

Esso è alimentato con una tensione V a frequenza di 1.3 MHz, e lo strumento di misura puòessere di impedenza di ingresso non elevata (millivoltmetro magnetoelettrico). Questo circuitova però messo bene a punto poiché la linearità della risposta è a scapito della sensibilità, fuoridal campo ottimale di funzionamento. Va osservato che, finora, linearità ha significato legame

Fig. 12.10 Circuito per la rilevazione di variazioni di capacità

~ Vu

R1

R1

C1

C2

R2

R2

V

R3

R3

I

–I

V u R3IjωaV CR3∆

a b a2b– ja a 2b+( )+ +------------------------------------------------------------= =

C1 C0 C∆±= C2 C0 C∆+−= a R1ωC0= b R2ωC0=

V u k C1 C2–( )=



lineare fra C e Vu, mentre in questo caso linearità significa assicurare un rapporto lineare fra ∆Le ∆C. Nel caso di una capacità differenziale piana (Figura 12.12) valgono le relazioni

(12.19)

Dall’equazione (12.19) si nota come il legame fra d0 e ∆C sia lineare solo per . In questocaso, infatti, si ottiene

(12.20)

I trasduttori di spostamento di tipo capacitivo sostituiscono vantaggiosamente quelli di tipo resi-stivo e induttivo (resistori variabili di tipo potenziometrico) fondamentalmente per la possibilitàdi funzionare senza collegamento elettrico con l’organo mobile e per la massa molto ridotta (equindi basso tempo di risposta in condizioni dinamiche). Essi necessitano però di strumenti adalta impedenza di ingresso per elaborare il segnale, per cui sono sconsigliabili quando i cavi dicollegamento debbano essere molto lunghi e quindi sensibili ai disturbi esterni.

Fig. 12.11 Circuito a doppio T di Lion

Fig. 12.12 Sensore capacitivo differenziale piano

~ V C1 C2 Vu

R1

R2

C1 ε Sd d0–--------------=

C2 ε Sd d0+---------------=

C∆ C1 C2– εS2d0

d2 d02–

-----------------= =

C1

C2

+V

–V

0d0d

d

d0 d«

V u k C∆2kεSd0

d2------------------= =



La dipendenza dalle variazioni di temperatura è limitata all’influenza di T sulla permettività deldielettrico ε, assai sensibile spesso anche alle variazioni di umidità. Da ultimo, va detto che lavariazione di capacità è spesso legata alla variazione di ε; tipico è l’impiego nelle misure dilivello, dove il dielettrico liquido è l’unico “organo” mobile del condensatore.

12.3.4. Sensori Induttivi

I sensori induttivi sono impiegati per misure di spostamento e si basano sulla variazione diinduttanza di una bobina in funzione della riluttanza del circuito magnetico concatenato, o sullavariazione di mutua induttanza fra due circuiti elettrici magneticamente concatenati.

A questo secondo gruppo appartengono i sensori più usati: si tratta o di veri e propri trasforma-tori ad accoppiamento variabile (Figura 12.13) in cui

(12.21)

Essi vengono impiegati per misure differenziali, sono lineari per piccoli ∆L, ma presentano ten-sioni residue di origine parassita.

Alternativamente si possono utilizzare macchine elettriche trifasi (SYNCRO), ottime per tele-misure di tipo analogico. Collegando fra loro gli statori di due macchine asincrone trifasi iden-tiche, avvolgendo in monofase i rotori ed alimentandoli in parallelo, questi assumeranno lamedesima posizione angolare (Figura 12.14). Pertanto, si ha una vera e propria trasmissione adistanza di spostamenti angolari, con ottimi livelli di potenza meccanica disponibile per ilcomando eventuale di servomeccanismi.

Fig. 12.13 Sensore induttivo

V u E∆ k L∆= =

~ Vu

E1

E2

V

∆L



Fig. 12.14 Macchina elettrica trifase usata come sensore induttivo (SYNCRO)

δ

~V

13.1. Generalità


13. Oscilloscopi

13.1. Generalità

L’oscilloscopio è uno strumento comunemente utilizzato per l’analisi di segnali variabili neltempo. In genere il segnale misurato è una tensione, anche se introducendo convertitori o tra-sduttori è possibile analizzare ogni genere di grandezza.

Gli oscilloscopi sono di diversi tipi a seconda della misura da eseguire, della frequenza edell’ampiezza del segnale da misurare. Inoltre un segnale variabile nel tempo può essere ana-lizzato in tempo reale (oscilloscopio tradizionale) o memorizzato per essere ripreso successiva-mente (oscilloscopio a memoria).

Lo schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio tradizionale è illustrato in Figura 13.1.Tramite un interruttore è possibile selezionare se rappresentare la variabile Y in funzione diun’altra variabile X o in funzione del tempo. Nel caso venga rappresentata Y in funzione deltempo, un opportuno circuito, detto Base dei Tempi, genera un segnale di tensione a dente disega VdX = k t che scandisce il CRT in direzione orizzontale. Il segnale da misurare VY, invece,viene elaborato in modo da ottenere una tensione VdY = kY VY tale da deflettere il fascio elettro-nico in direzione verticale. Sul CRT viene, quindi, rappresentata l’evoluzione del segnale VYdurante l’intervallo di tempo definito da VdX, come illustrato in Figura 13.2. Un opportunosegnale detto “trigger”, permette di sincronizzare la scansione verticale con quella orizzontale,in modo da mostrare sullo schermo un forma d’onda stabile (qualora ovviamente il segnale siaperiodico).

Fig. 13.1 Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio analogico tradizionale

Canale YVY

Base deiTempi

Canale XVX

CRT

Y

X

VdY

VdX

13 Oscilloscopi


Nel caso in cui venga rappresentato il segnale VY in funzione di un segnale esterno VX, si utilizzauna tensione VdX = kX VX invece del segnale generato dalla Base dei Tempi, in modo da produrreun’opportuna deflessione del fascio elettronico in direzione X. In questo caso, quindi, sul CRT,viene rappresentata l’evoluzione del segnale Y in funzione del segnale X senza alcuna informa-zione temporale, come mostrato in Figura 13.3.

13.2. Tubo a Raggi Catodici

L’elemento base di un oscilloscopio per uso generale analogico o digitale è il tubo a raggi cato-dici (CRT). In un oscilloscopio analogico, infatti, esso permette di rappresentare visivamentel’andamento di un segnale nel dominio del tempo o in funzione di un altro segnale. In un oscil-loscopio digitale, invece, esso è utilizzato come monitor (anche se in realtà in questo caso è pos-sibile utilizzare anche displays di altro tipo, per esempio dispositivi a cristalli liquidi).

Come illustrato in Figura 13.4, un tubo a raggi catodici è costituito da un cannone elettronico,composto a sua volta da un catodo e da una serie di griglie o lenti, dalle placchette di deflessionee da uno schermo su cui viene visualizzata la forma d’onda.

Esistono anche tubi catodici speciali che permettono di visualizzare due segnali allo stessotempo. Essi sono in genere basati su tre tecniche: tecnica a doppia traccia (un singolo sistema

Fig. 13.2 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio con base dei tempi

Y – Segnale da Analizzare

X – Base dei Tempi

a

b

b

a

CRT

13.2. Tubo a Raggi Catodici


di deflessione viene commutato tra i due segnali), tecnica dual gun (vi sono due cannoni elet-tronici e due sistemi di deflessione ma un singolo schermo) e tecnica dual beam (vi è un singolocannone elettronico ma il fascio viene diviso in due da apposite placchette, vi è poi una singola

Fig. 13.3 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio in modalità XY

Fig. 13.4 Tubo a raggi catodici (CRT)

Y – Segnale da Analizzare

X – Segnale da Analizzare

CRT

Fila

men

to

Catodo

Crossover

Luminosità

Griglia di ControlloPrimo Anodo Anodo Focalizzatore

Secondo Anodo

Fuoco Astigmatismo

Placchette di Deflessione Y

Placchette di Deflessione X

Sche

rmo

Simmetria Cilindrica

0 0–V

–VA

–(VA + VG)

13 Oscilloscopi


coppia di placchette di deflessione orizzontale seguita da due coppie di placchette di deflessioneverticale).

13.2.1. Cannone Elettronico

All’interno del cannone elettronico il fascio di elettroni viene generato e focalizzato. Gli elet-troni, infatti, si comportano sotto molti aspetti in modo simile a un raggio luminoso, in quantoessi possono essere rifratti, riflessi e focalizzati tramite lenti. Le lenti elettroniche, però, a dif-ferenza di quelle ottiche, sono costituite da campi elettrici opportunamente sagomati, invece cheda materiali con proprietà ottiche diverse.

Gli elettroni, emessi per effetto termoionico dal catodo (a potenziale –VA) riscaldato da un appo-sito filamento, vengono accelerati verso il primo anodo (a potenziale 0) dalla differenza dipotenziale VA. La griglia di controllo (a potenziale –VA – VG), posta tra il catodo e il primoanodo, determina il numero di elettroni che costituiscono il fascio, permettendo così di control-lare la Luminosità dello schermo. La dimensione del foro denominato “crossover” nella grigliadi controllo, invece, determina la dimensione geometrica del punto luminoso sullo schermo.

L’anodo focalizzatore (a potenziale –V) ha la funzione di concentrare il fascio di elettroni,mentre il secondo anodo (a potenziale 0) introduce una ulteriore accelerazione. Il controllo delFuoco viene normalmente posto sul secondo anodo in modo da non interferire con l’azionedell’anodo focalizzatore. Il controllo dell’Astigmatismo (normalmente non accessibile) è invececonnesso a un ulteriore anodo.

La griglia di controllo, oltre a determinare la luminosità dello schermo, può anche essere utiliz-zata, tramite opportuni circuiti (Circuiti Asse Z), per bloccare il fascio di elettroni tra una scan-sione dello schermo e la successiva (Figura 13.5a). Alternativamente, questa stessa funzionepuò essere realizzata tramite opportune placchette di spegnimento che deviano il fascio al difuori dello schermo (Figura 13.5b).

Fig. 13.5 Interdizione del fascio elettronico tra una scansione e l’altra dello schermo tramitegriglia di controllo (a) o placchette di spegnimento (b)

Fila

men

to

Catodo

Griglia di Controllo

Primo Anodo

CircuitiAsse Z

Dalla Base dei Tempi

Luminosità

Impulso di Sblocco

Livello di Interdizione

Sche

rmo

Placchette di Spegnimento

Fascio Deviato

(a)

(b)

13.3. Base dei Tempi


13.2.2. Placchette di Deflessione

Il fascio di elettroni generato e focalizzato dal cannone elettronico deve, poi, essere indirizzatoverso le coordinate desiderate sullo schermo. Questa funzione viene svolta dalle placchette dideflessione (X e Y). Negli oscilloscopi, in genere, si utilizza la deflessione elettrostatica, realiz-zata tramite placchette parallele a cui è applicata una differenza di potenziale. Ovviamente, sipotrebbe ottenere lo stesso risultato anche utilizzando due coppie di bobine (deflessione magne-tica), come nei televisori.

13.2.3. Schermo

Lo schermo di un CRT è costituito da una lastra di vetro (in genere il tubo a vuoto stesso) sullacui parete interna vengono depositate sostanze (fosfori) che, colpite dagli elettroni emettonoradiazioni luminose visibili. L’energia degli elettroni incidenti, infatti, in parte viene dissipatasotto forma di calore, in parte ionizza il materiale e in parte eccita il materiale provocandoun’emissione luminosa per un certo periodo di tempo, come illustrato in Figura 13.6.


Lo schema a blocchi della Base dei Tempi è illustrato in Figura 13.7. Il blocco più importante èovviamente il Generatore di Rampa che genera il segnale per il canale X, mentre gli altri blocchiservono per controllare e selezionare le diverse modalità di funzionamento. Il Circuito di Pre-lievo è in realtà parte del canale verticale.

Fig. 13.6 Comportamento dello schermo colpito dal fascio di elettroni

Tempo di Formazione Tempo di Decadimento

Fluorescenza Fosforescenza

Uscita Luminosa Complessiva

t

Lum

inos

ità

100%90%

10%

Corrente del Fascio

13 Oscilloscopi


13.3.1. Modalità di Funzionamento

Nella base dei tempi esistono tipicamente tre modalità di funzionamento (triggered, auto esingle-sweep) che possono essere selezionate tramite il Selettore di Sweep Mode.

Modo Triggered

La modalità di funzionamento triggered viene in genere utilizzata per visualizzare segnali perio-dici. La Base dei Tempi, infatti, viene avviata da un opportuno segnale di trigger, sincrono colsegnale da visualizzare (Y), permettendo così di ottenere sullo schermo una traccia stabile. Tra-mite un selettore (Selettore di Trigger) è possibile scegliere se prelevare il segnale di trigger dalsegnale Y, da un segnale esterno oppure dalla tensione di linea (per esempio 220 V, 50 Hz).

In questa modalità di funzionamento il blocco chiamato Circuito Auto è disabilitato, mentre ilGeneratore di Trigger fornisce in uscita un impulso ogni qual volta il segnale selezionato (INT,EXT o LINE) attraversa una determinata soglia (controllo Level) con una determinata pendenza(controllo Slope), come mostrato in Figura 13.8 (segnali 1 e 2). Il segnale ottenuto dal Genera-tore di Trigger viene fornito in ingresso al Generatore di Gate, che è costituito da un circuitobistabile (stati A e B) con uno terzo stato C metastabile indotto dal segnale generato dal Circuitodi Ripristino (segnale 7). Quando nel segnale di trigger (2) compare un impulso negativo taleda portare la tensione in ingresso al Generatore di Gate al di sotto della tensione di soglia V1(segnale 3), il circuito bistabile commuta dallo stato A allo stato B, avviando così il Generatoredi Rampa (segnali 4 e 5).

Il segnale in uscita dal Generatore di Gate viene fornito ingresso ai Circuiti Asse Z in modo dasbloccare il fascio elettronico, mentre il segnale in uscita dal Generatore di Rampa viene fornitoin ingresso al Canale X e allo stesso tempo al Circuito di Hold-Off che a sua volta fornisce inuscita una rampa con pendenza diversa (segnale 6). Questa rampa rappresenta il segnale diingresso al Circuito di Ripristino che è normalmente costituito da un trigger di Schmidt con

Fig. 13.7 Schema a blocchi della Base dei Tempi

Circuito diPrelievo

Segnale di Ingresso (Y)

Canale Y

EXTINT

LINE

220 V 10 V

Generatoredi Trigger

Level Slope (+/–)

CircuitoAuto

Generatoredi Gate

Circuito diRipristino

Auto / Trigger / Single

Selettore di Trigger

Selettore di Sweep Mode

Generatoredi Rampa

Circuito diHold-Off

Canale X

Time / DivisionCircuiti Asse Z

1

2 3

4

5

6

7

8

910



soglie VS e VR. Quando la rampa raggiunge la tensione VS, l’uscita del Circuito di Ripristinocambia di stato (segnale 7), portando il Generatore di Gate nello stato C. L’uscita del Genera-tore di Gate, quindi, cambia stato e il Generatore di Rampa viene azzerato (segnali 3, 4 e 5).

Fig. 13.8 Forme d’onda della base dei tempi in modalità di funzionamento triggered

LevelSlope –

V1

V2

Stato A

Stato B

Stato C

1

0

1

0

VS

VR

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Stato A

13 Oscilloscopi


Mentre il Generatore di Gate si trova negli stati B e C, gli impulsi di trigger eventualmentesopravvenuti vengono ignorati.

A questo punto, la rampa in uscita dal Circuito di Hold-Off inizia a scendere (segnale 6).Quando essa raggiunge la tensione VR, il Circuito di Ripristino cambia nuovamente stato(segnale 7), riportando così il Generatore di Gate nello stato iniziale A. Conseguentemente,quando compare il successivo impulso nel segnale di trigger, il ciclo ricomincia, provocandouna nuova scansione orizzontale dello schermo. Nella modalità di funzionamento triggered,quindi, la Base dei Tempi si comporta come un circuito monostabile.

Modo Auto

La modalità di funzionamento auto ovvia agli inconvenienti che presenta la modalità di funzio-namento triggered quando il segnale di trigger è assente o molto lento (in genere per frequenzeinferiori a 40 Hz). In questa modalità di funzionamento il Circuito Auto è attivo. Esso riceve iningresso un impulso generato dal Circuito di Ripristino (segnale 8), nonché il segnale di uscitadel Generatore di Trigger (segnale 10). Qualora non compaia alcun un impulso di trigger perun determinato tempo (generalmente 25 ms, fissato da un circuito monostabile), l’impulsogenerato dal Circuito di Ripristino viene direttamente fornito in ingresso al Generatore di Gateattraverso un interruttore (S), come mostrato in Figura 13.9 (segnale 9). Pertanto, una volta ter-minato un ciclo di funzionamento della Base dei Tempi (rampa e hold-off), inizia automatica-mente un nuovo ciclo, provocando così una continua scansione dello schermo. Il primo impulsoal Generatore di Gate viene fornito manualmente quando si seleziona il modo auto. Nellamodalità di funzionamento auto, quindi, la Base dei Tempi si comporta come un circuito asta-bile.

Modo Single-Sweep

La modalità di funzionamento single-sweep viene in genere utilizzata per visualizzare segnalinon periodici. In questo caso, infatti, in modalità triggered o auto si otterrebbe una traccia nonstabile sullo schermo. In modalità single-sweep, pertanto, vengono inibiti tutti gli impulsi ditrigger successivi al primo, provocando una singola scansione dello schermo. Questo viene otte-nuto inibendo il cambiamento di stato del segnale in uscita al Circuito di Ripristino (segnale 7)quando la rampa in uscita dal Circuito di Hold-Off (segnale 6) scende al di sotto della tensioneVR. Il Generatore di Gate, quindi, dopo la prima scansione rimane nello stato C finché l’utentenon decide di effettuare un nuova scansione.

Fig. 13.9 Schema a blocchi semplificato della Base dei Tempi in modalità auto

Generatoredi Trigger

Level Slope (+/–)

Generatoredi Gate


2 3

7

910

MonostabileT = 25 ms

8

S1 1

0

25 ms

Circuito Auto



13.3.2. Generatore di Trigger

Il Generatore di Trigger ha il compito di trasformare il segnale selezionato tramite il Selettoredi Trigger in una serie di impulsi con caratteristiche predefinite (ampiezza, durata e ritardo). Loschema a blocchi del Generatore di Trigger è illustrato in Figura 13.10.

Esso è sostanzialmente costituito da un Circuito ad Isteresi (trigger di Schmidt o circuito adiodo tunnel), che determina l’attraversamento da parte del segnale di trigger del livello di ten-sione Level con pendenza Slope, seguito da un Derivatore, che trasforma il gradino in uscita dalCircuito ad Isteresi in un singolo impulso di ampiezza e durata costanti. Il Circuito ad Isteresiè connesso al segnale di trigger tramite quattro sezioni di accoppiamento (DC, AC, HFR eLFR), selezionabili tramite il Selettore di Accoppiamento:

• accoppiamento in DC (continua): il segnale di trigger passa inalterato;

• accoppiamento in AC (alternata): passano solo le componenti spettrali del segnale di triggercon frequenza maggiore di fL (tipicamente 10 Hz);

• accoppiamento HFR (reiezione delle alte frequenze): passano solo le componenti spettralidel segnale di trigger con frequenza minore di fH (tipicamente 30 kHz);

• accoppiamento LFR (reiezione delle basse frequenze): passano solo le componenti spettralidel segnale di trigger con frequenza maggiore di fH (tipicamente 30 kHz).

13.3.3. Generatore di Gate

Il Generatore di Gate è sostanzialmente un circuito bistabile che viene attivato (set) dal Gene-ratore di Trigger e disattivato (reset) dal Circuito di Ripristino. Esso è in genere realizzato tra-mite un diodo tunnel, come mostrato in Figura 13.11.

Data una corrente di polarizzazione IB, il diodo tunnel può presentare due diversi valori stabilidi tensione (VA e VB). Quando il Generatore di Gate si trova nello stato A (in attesa di trigger),nel diodo fluisce la corrente IB (l’interruttore S è chiuso) e VP = VA. Quando si presenta unimpulso di trigger di ampiezza sufficiente, la tensione ai capi del diodo diviene maggiore di VH,portando il Generatore di Gate nello stato B. Successivamente il segnale proveniente dal Cir-cuito di Ripristino apre l’interruttore S, interrompendo la corrente nel diodo e portando il Gene-

Fig. 13.10 Schema a blocchi del Generatore di Trigger

DerivatoreCircuito a

Isteresi

Segn

ale

di T

rigg

er

DC

AC

Selettore di Accoppiamento

HFR

LFR

1

Level Slope

Generatore di Gate

13 Oscilloscopi


ratore di Gate nello stato C. In Figura 13.11 si può notare che, quando il Generatore di Gate sitrova negli stati B e C, gli impulsi di trigger non producono alcun effetto. Quando l’interruttoreS viene richiuso, infine, il Generatore di Gate si porta nuovamente nello stato A e il ciclo puòricominciare.

13.3.4. Generatore di Rampa

Il Generatore di Rampa è normalmente un integratore di Miller con resistenza (R) o capacità(C) variabile tramite il controllo Time / Division. Inoltre, vi è un interruttore che permette diazzerare l’integratore al termine di ogni scansione.

Fig. 13.11 Schema a blocchi e principio di funzionamento del Generatore di Gate

Diodo Tunnel

I V

It

Gen

erat

ore

di T

rigg

er

IB

VRiCircuito di Ripristino

VPG

Circuito diUscita Generatore di Rampa

t

It VP

t

I

V

IB

VH VL

A

B

C

t

VRi

VA VB

S



13.3.5. Circuito di Hold-Off

Il Circuito di Hold-Off, il cui diagramma a blocchi è illustrato in Figura 13.12, preleva una fra-zione (β VI) della tensione in uscita dal Generatore di Rampa e la fornisce in ingresso al Cir-cuito di Ripristino (trigger di Schmidt) attraverso l’interruttore S1 (VH = β VI), caricando il con-densatore CH.

Quando la tensione VH all’ingresso del Circuito di Ripristino raggiunge la soglia di scatto delCircuito di Ripristino (VH = VS), l’uscita del Circuito di Ripristino (VRi) cambia stato, chiu-dendo l’interruttore S2 e aprendo S1. Il condensatore CH viene, quindi, scaricato a correntecostante (I), dando luogo a una rampa con pendenza negativa. Il valore di CH viene determinatodal controllo Time / Division insieme ai valori di capacità e resistenza del Generatore di Rampa,in modo da mantenere costante il rapporto tra il tempo di salita (ts) e il tempo di discesa (td) dellarampa stessa. Siccome il tempo di discesa della rampa deve essere molto più breve del tempodi salita (ts / td ≅ 1000), il valore di CH è in genere molto minore del valore di C.

Quando la tensione VH scende al di sotto della soglia di riscatto del Circuito di Ripristino (VR),l’uscita del Circuito di Ripristino cambia nuovamente stato, riportando il Circuito di Hold-Offnelle condizioni iniziali.

Fig. 13.12 Diagramma a blocchi del Circuito di Hold-Off

Generatoredi Rampa


I

S1

S2

β VI

CH

Time / Division

VI

VHVRi

Gen

erat

ore

di G

ate

t

VH

VS

VR

t

VRi

13 Oscilloscopi


13.4. Canale Verticale (Y)

La funzione principale del Canale Verticale è di portare il segnale d’ingresso al livello di ten-sione necessario a deflettere opportunamente il fascio elettronico. Lo schema a blocchi delCanale Verticale è mostrato in Figura 13.13. Esso è sostanzialmente costituito da un Selettoredi Ingresso che determina il tipo di accoppiamento (AC, DC o GND) e da una catena di atte-nuatori e amplificatori, il cui guadagno è determinato dal controllo V / Division.

L’ampiezza a della traccia visualizzata sullo schermo (numero di divisioni) risulta data da

(13.1)

dove K1, K2 e K3 rappresentano il guadagno (o l’attenuazione) dei diversi blocchi della catena.Variando uno qualsiasi di questi parametri (in genere K1 a scatti a K2 in modo fine), è quindipossibile variare l’ampiezza della traccia.

L’accoppiamento GND permette di connette l’ingresso Y a massa in modo da determinare lozero del segnale. Tramite il controllo Posizione, è poi possibile aggiustare verticalmente illivello di zero in modo da porre la forma d’onda da visualizzare al centro dello schermo.

13.4.1. Attenuatore

Il primo stadio del Canale Verticale è un attenuatore programmabile (Attenuatore Y). L’Atte-nuatore Y deve avere due caratteristiche fondamentali: attenuare il segnale indipendentementedalla frequenza e presentare un’impedenza d’ingresso indipendente dall’attenuazione selezio-nata (l’impedenza d’ingresso dell’Attenuatore Y è anche l’impedenza d’ingresso dell’oscillo-scopio). Pertanto, per soddisfare questi requisiti è necessario utilizzare un attenuatore compen-sato. Esso è costituito da una serie di sezioni (Figura 13.14) che possono essere inserite o disin-serite a seconda dell’attenuazione richiesta. Le capacità C1, C2 e C3 permettono di mantenerel’attenuazione costante al variare della frequenza del segnale. La rete costituita da Rin e Cin (ter-minazione) rappresenta l’impedenza d’ingresso dell’Amplificatore Y.

Fig. 13.13 Schema a blocchi del Canale Verticale

AttenuatoreY

VY

AC

GND

DC

Selettore di Ingresso

V / Division Coarse

K1

AmplificatoreY

K2

V1

CRT

V2a

K3

V / Division Fine

Posizione Polarità

Base dei Tempi

a K1K2K3V Y=



13.4.2. Amplificatore Y

La caratteristica più importante dell’Amplificatore Y è di avere una elevata frequenza di taglio,in quanto essa determina la banda passante dell’intero oscilloscopio (B), ovvero la massima fre-quenza di segnale visualizzabile. Per massimizzare B senza degradare il guadagno, pertanto,l’Amplificatore Y è normalmente costituito da più stadi in cascata, come mostrato inFigura 13.15.

Il primo stadio è in genere un Adattatore di Impedenza, che funge da terminazione per l’Atte-nuatore Y. Il segnale differenziale ottenuto in uscita dall’Adattatore di Impedenza viene fornitoin ingresso a un Preamplificatore Differenziale (secondo stadio), il cui guadagno può esserevariato tramite il controllo V / Division Fine, in modo da determinare accuratamente l’ampiezzadel segnale sullo schermo. Inoltre, il controllo Posizione permette di aggiungere una compo-nente continua al segnale, determinando così la posizione verticale della traccia sullo schermo.Infine, il controllo Polarità consente di invertire di segno il segnale (sfasamento di 180˚).

Il terzo stadio dell’Amplificatore Y è in genere un Linea di Ritardo. Essa è necessaria in tutti glioscilloscopi con banda superiore a 10 MHz per equalizzare i ritardi del Canale X e del CanaleY, permettendo così di visualizzare il fronte di attacco del segnale. Infatti, se il ritardo delCanale X (tdX) fosse superiore al ritardo del Canale Y (tdY), il fronte di attacco del segnale nonverrebbe visualizzato, con conseguente perdita di informazione (per questo motivo general-mente la Linea di Ritardo viene dimensionata in modo da ottenere tdY leggermente maggiore di

Fig. 13.14 Sezione e terminazione di un attenuatore compensato

Fig. 13.15 Schema a blocchi dell’Amplificatore Y

Rin CinC2R2C1

R1

C3

Sezione Terminazione

V / Division Fine

Adattatore diImpedenza

Atte

nuat

ore

PreamplificatoreDifferenziale

Linea diRitardo

AmplificatoreFinale Y

Plac

chet

te d

i Def

less

ione

Posizione Polarità

Beam FinderBase dei Tempi

13 Oscilloscopi


tdX). La Linea di Ritardo può essere realizzata a parametri concentrati, a parametri distribuitio, più comunemente, con circuito stampato.

Infine, l’ultimo stadio dell’Amplificatore Y è l’Amplificatore Finale Y che pilota le placchettedi deflessione verticale (elevata amplificazione).

13.4.3. Oscilloscopio a Doppia Traccia

Nell’analisi dei segnali nel dominio del tempo è spesso importante poter visualizzare due formed’onda contemporaneamente (per esempio i segnali d’ingresso e di uscita di un circuito). Quasitutti gli oscilloscopi, pertanto, prevedono questa possibilità (oscilloscopi a doppia traccia). Perrealizzare oscilloscopi a doppia traccia, oltre alle tecniche dual beam e dual gun che prevedonola duplicazione di parte del tubo a raggi catodici e del Canale Y, esistono anche soluzioni basatesu circuiti di commutazione che, richiedendo meno circuiti addizionali, risultano più economi-che e quindi molto più diffuse. Lo schema a blocchi del canale verticale (Canale Y) di un oscil-loscopio a doppia traccia con circuiti di commutazione è illustrato in Figura 13.16.

La struttura del circuito è analoga a quella di un oscilloscopio a singola traccia. Tuttavia, i primistadi del Canale Y (Selettore, Attenuatore e Preamplificatore) vengono duplicati per poter pre-levare i due segnale d’ingresso (VY, A e VY, B). I segnali in uscita dal Preamplificatore A e dalPreamplificatore B vengono poi combinati tramite un Circuito di Commutazione e forniti iningresso a una singola Linea di Ritardo e quindi a un singolo Amplificatore Finale Y. Il controlloSelettore Trigger permette di selezionare il segnale di trigger da inviare alla Base dei Tempi (A,B o A + B). Inoltre, un apposito Circuito Pilota gestisce la commutazione tra i segnali. Agendo

Fig. 13.16 Schema a blocchi del Canale Y di un oscilloscopio a doppia traccia

Selettore diIngresso

AttenuatoreA

PreamplificatoreA

VY, A

Selettore diIngresso

AttenuatoreB

PreamplificatoreB

VY, B

Circuito di Commutazione

Linea diRitardo

AmplificatoreFinale Y

Plac

chet

te d

i Def

less

ione

CircuitoPilota

Base dei Tempi (ALT) Circuiti Asse Z (CHOP)

Amplificatoredi Trigger

AA + BB

Bas

e de

i Tem

pi

Selettore Trigger

V / Division A Posizione A Polarità A

V / Division B Posizione B Polarità B Mode

ABALTCHOPA + B

TA



sul Circuito Pilota tramite il controllo Mode è possibile selezionare se visualizzare il segnale A(modalità A), il segnale B (modalità B), la somma dei due segnali (modalità A + B) oppureentrambi i segnali utilizzando alternativamente la modalità alternate (modalità ALT, normal-mente utilizzata per frequenze superiori a 30 kHz) o la modalità chopped (modalità CHOP, nor-malmente utilizzata per frequenze inferiori a 500 Hz). È possibile anche visualizzare la diffe-renza dei due segnali, invertendo il segnale A o il segnale B tramite il controllo Polarità e sele-zionando la modalità A + B.

Modalità Alternate

In modalità alternate i segnali A e B vengono visualizzati alternativamente sullo schermo inscansioni successive (durante una scansione dello schermo viene visualizzato il segnale A edurante la scansione seguente il segnale B), come mostrato in Figura 13.17. Se i segnali sonocorrelati in frequenza è sufficiente prelevate il segnale di trigger indifferentemente dal segnaleA o dal segnale B. Se i segnali non sono correlati in frequenza, invece, è necessario prelevare iltrigger dal segnale da visualizzare (A + B, come in Figura 13.17). In modalità alternate ècomunque possibile ottenere forme d’onda stabili sullo schermo anche in presenza di segnaliscorrelati in frequenza. Un apposito segnale (TA), fornito dalla Base dei Tempi provoca la com-mutazione del Canale Y dal segnale A al segnale B o viceversa (tramite il Circuito Pilota).

Fig. 13.17 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in modalità alter-nate

t

t

t

t

t

t

VY,

AV

Y, B

Tri

gger

Ram

paG

ate

TA

13 Oscilloscopi


Modalità Chopped

In modalità chopped i segnali A e B vengono visualizzati alternativamente sullo schermodurante la medesima scansione, come mostrato in Figura 13.18. Ovviamente, in questo caso,per avere una traccia stabile, i due segnali devono essere correlati in frequenza. Inoltre, la fre-quenza di commutazione tra un segnale e l’altro (determinata dal Circuito Pilota, normalmentecirca 1 MHz) deve essere molto superiore alla frequenza dei segnali stessi. La modalità chop-ped, quindi, viene generalmente utilizzata per segnali lenti.

Per evitare che i transitori di commutazione tra un segnale e l’altro appaiano sullo schermo,occorre inviare appositi impulsi ai Circuiti Asse Z (oltre al segnale di Gate) in modo da bloccareil fascio elettronico in corrispondenza delle commutazioni. Il segnale di Chopper viene generatodal Circuito Pilota.

Fig. 13.18 Principio di funzionamento dell’oscilloscopio a doppia traccia in modalità chop-ped

t

t

t

t

t

VY,

AV

Y, B

Cho

pper

Ram

paA

sse

Z

13.5. Canale Orizzontale (X)


13.5. Canale Orizzontale (X)

Lo schema a blocchi del Canale Orizzontale è illustrato in Figura 13.19. Esso è costituitodall’Attenuatore X (analogo all’Attenuatore Y), da un Preamplificatore X (analogo al Preampli-ficatore Y) e da un Amplificatore Finale X (analogo all’Amplificatore Finale Y). Tramite unselettore (controllo Horizontal Display), la rampa generata dalla Base dei Tempi viene connessaall’Amplificatore Finale X in alternativa al segnale fornito dal Preamplificatore X. I controllidel Canale Orizzontale (V / Division, Posizione e Polarità) sono analoghi a quelli del CanaleVerticale.

13.6. Oscilloscopio Digitale

Al giorno d’oggi, grazie al progresso delle tecnologie integrate, gli oscilloscopi analogici perapplicazioni generiche, sono stati quasi completamente soppiantati dagli oscilloscopi digitali,come è del resto accaduto in molti altri casi (per esempio i multimetri o gli analizzatori di armo-niche). La tecnologia digitale, infatti, offre prestazioni e funzioni indiscutibilmente superiori aparità di costo. Benché il principio di funzionamento di un oscilloscopio digitale non differiscadi molto da quello di un oscilloscopio analogico (i controlli sono gli stessi, come pure i blocchibase), le architetture interne nei due casi sono sostanzialmente diverse.

Lo schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale è illustrato in Figura 13.20. Essoè costituito fondamentalmente da un Circuito di Ingresso (come nell’oscilloscopio analogico),da un Convertitore A/D, da un Microprocessore, da una Memoria e dallo Schermo (con i relativiConvertitori D/A e Amplificatori Finali).

Il segnale da analizzare viene convertito in forma digitale, memorizzato, elaborato dal Micro-processore ed infine visualizzato sullo Schermo. I vantaggi di un oscilloscopio digitale sonoinnumerevoli. Innanzitutto, grazie alla possibilità di memorizzare il segnale, è possibile visua-lizzare chiaramente anche forme d’onda non periodiche o molto lente. Inoltre, l’elaborazionedigitale del segnale permette di includere nell’oscilloscopio numerose funzioni di misura (cur-sori sullo schermo, misure di frequenza, trasformata di Fourier, operazioni matematiche, zoom)tipicamente non disponibili in oscilloscopi analogici. Infine, siccome lo Schermo è gestito diret-

Fig. 13.19 Schema a blocchi del Canale Orizzontale

V / Division Fine

AttenuatoreX

PreamplificatoreX

AmplificatoreFinale X

Plac

chet

te d

i Def

less

ione

Posizione Polarità

Beam FinderV / Division Coarse

VX

Base deiTempi

Horizontal Display

13 Oscilloscopi


tamente dal Microprocessore, è possibile realizzare facilmente oscilloscopi con numerosi canali(tipicamente quattro).

13.6.1. Convertitore Analogico/Digitale

La conversione analogico/digitale del segnale da analizzare è la caratteristica peculiare di unoscilloscopio digitale. La precisione (risoluzione) e la velocità (frequenza di campionamento)del Convertitore A/D, infatti, determinano le prestazioni dell’intero oscilloscopio. La digitaliz-zazione di un segnale analogico tempo-continuo coinvolge due processi di discretizzazione: unprocesso di discretizzazione nel dominio del tempo (campionamento) e un processo di discre-tizzazione in ampiezza (quantizzazione).

In base al teorema di Shannon, il processo di campionamento non comporta perdita di informa-zione purché la frequenza di campionamento fS sia almeno il doppio della banda del segnale daconvertire (frequenza di Nyquist), come mostrato in Figura 13.21. In pratica, per non avere per-dita di informazione le “immagini” del segnale introdotte dal campionamento intorno ai multipliinteri di fS non si devono sovrapporre. La banda passante B di un oscilloscopio digitale risulta,quindi, limitata dal massimo valore di fS (B = fS / 2).

Il processo di discretizzazione in ampiezza o quantizzazione, invece, introduce inevitabilmenteun errore, detto errore di quantizzazione. Il segnale digitale in uscita da un Convertitore A/D,infatti, è per definizione costituito da un numero finito di bit (N) che identificano 2N – 1 inter-valli di quantizzazione, ciascuno di ampiezza ∆ / (2N – 1), dove ∆ denota l’ampiezza massimadel segnale (Figura 13.22). Pertanto, tutti i livelli analogici compresi in un particolare intervallodi quantizzazione dopo la conversione A/D risultano indistinguibili, provocando una perdita di

Fig. 13.20 Schema a blocchi semplificato di un oscilloscopio digitale

VYCircuito diIngresso

ConvertitoreA/D

Memoria Microprocessore

ConvertitoriD/A X e Y

AmplificatoriFinali X e Y

Schermo

Clock Base deiTempi

Time / Division

Volt / Division

Ricostruzione eElaborazione

InterfacciaUtente

fS

13.7. Probe


informazione. L’entità dell’errore di quantizzazione risulta tanto minore quanto maggiore è larisoluzione del Convertitore A/D, definita dal numero N di bit in uscita. Ovviamente, il segnaleminimo rivelabile da un oscilloscopio digitale è legato alla risoluzione del Convertitore A/D.

In oscilloscopi a larga banda, per soddisfare il teorema di Shannon vengono in genere utilizzatin convertitori A/D in parallelo che campionano il segnale in n istanti successivi, come illustratoin Figura 13.23. Gli n segnali digitali così ottenuti vengono poi ricombinati in modo da produrreun unico segnale campionato a frequenza più alta.

13.7. Probe

Il probe o sonda di un oscilloscopio è costituito da un cavetto coassiale completato ad unestremo da un sistema divisore e all’altro da un connettore per il collegamento all’ingressodell’oscilloscopio (Figura 13.24).

Fig. 13.21 Campionamento di un segnale analogico tempo-continuo

Fig. 13.22 Quantizzazione di un segnale analogico

fB fS

Spettro del Segnale Tempo-Continuo

fB fS

Spettro del Segnale Campionato

2 fS 3 fS 4 fS 5 fS

Vin

Nou

t

∆Intervallo di Quantizzazione (Qi)

i

0

2N

13 Oscilloscopi


I1 cavo coassiale ha la funzione di proteggere dai disturbi esterni il segnale da inviare all’oscil-loscopio, ma costituisce un carico per il circuito di misura e può produrre fenomeni di attenua-zione.

Per evitare che il carico costituito dal cavetto e dalla impedenza di ingresso dell’oscilloscopioinfluiscano sulla misura, è necessario aumentare l’impedenza vista al terminale del probemediante opportuni artifici.

Per chiarire le idee si consideri il caso di un generatore di impulsi con resistenza internaRg = 50 Ω e capacità di uscita Cg = 20 pF, come indicato in Figura 13.25.

Con questi parametri la risposta del sistema non è più rettangolare ma esponenziale. Conven-zionalmente si indica con tr il tempo necessario al segnale per passare dal 10% al 90% del valoredi cresta, per cui nel caso considerato tr è dato da

(13.2)

Se si considera ora anche l’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio, il circuito si modificacome indicato in Figura 13.26a. Se la resistenza Ri è elevata (ad esempio 1 MΩ), il circuito può

Fig. 13.23 Convertitore A/D per oscilloscopi a larga banda

Fig. 13.24 Probe dell’oscilloscopio

ConvertitoreA/D

ConvertitoreA/D

ConvertitoreA/D

Vin

1

2

n

Unità diControllo

Multiplexer Nout

tr 2.2CgRg 2.2 ns= =

13.7. Probe


essere semplificato come illustrato in Figura 13.26b, in cui Cg e Ci sono considerate in parallelo.Conseguentemente il tempo tr diviene

(13.3)

Gli effetti della resistenza e della capacità introdotti dal cavetto e dell’oscilloscopio possonoessere ridotti inserendo un resistore (R1) in serie con il conduttore nel cavo coassiale. Questoresistore viene collocato sulla testa del probe come indicato in Figura 13.27.

Fig. 13.25 Circuito equivalente di un generatore di impulsi

Fig. 13.26 Circuito equivalente di un generatore di impulsi connesso a un oscilloscopio

Fig. 13.27 Circuito equivalente del probe dell’oscilloscopio

Rg50 Ω

Cg20 pF

10%

90%

tr

tr 2.2 Cg Ci+( )Rg 13 ns= =

Cg20 pF

Ci100 pF

Ri1 MΩ

OscilloscopioGeneratore

(a)

Rg50 Ω

Cg + Ci120 pF

(b)

Rg50 Ω

C111.1 pF

R19 MΩ Ccomp Cc

Ci100 pF

Ri1 MΩ

OscilloscopioProbe + Cavetto

13 Oscilloscopi


Con l’inserimento del resistore R1 un segnale a bassa frequenza che giunge all’ingressodell’oscilloscopio risulta attenuato nel rapporto

(13.4)

Di solito questo rapporto viene scelto in modo che sia un numero intero (1:10 oppure 1:50). Perottenere una corretta risposta in funzione della frequenza (mantenere l’attenuazione costante) èperò necessario includere nel circuito anche delle capacità come indicato in Figura 13.27. Lacapacità Ccomp detta di compensazione può essere adattata e si fa in modo che risultino uguali iseguenti rapporti:

(13.5)

dove kR rappresenta l’attenuazione per le basse frequenze e kC quella per le altre frequenze.

In questo modo con i parametri di Figura 13.27 la resistenza totale è di 10 MΩ e la capacitàtotale di 10.3 pF. È evidente il vantaggio che si ottiene se si confrontano questi valori con quellipropri dell’oscilloscopio (Ri = 1 MΩ e Ci = 100 pF).

13.8. Taratura di un Oscilloscopio

L’oscilloscopio è uno strumento per la misurazione di segnali nel dominio del tempo. Il pro-cesso di taratura di un oscilloscopio (indifferentemente analogico o digitale), pertanto, devenecessariamente prevedere la verifica di tutti i parametri che determinano la qualità della misu-razione nel dominio del tempo.

In particolare, è necessario verificare la precisione della risposta dell’oscilloscopio in ampiezzae in fase (ovvero la funzione di trasferimento) su tutta la banda di funzionamento dello stru-mento. Inoltre, è necessario verificare l’uniformità della risposta in frequenza tra i diversi canalidell’oscilloscopio, nonché l’uniformità dei ritardi introdotti dallo strumento sui diversi canali enella Base dei Tempi. Infine è necessario verificare la precisione e la stabilità con cui viene pre-levato il segnale di trigger. Tutti questi parametri vanno, ovviamente, verificati in tutte le con-dizioni di funzionamento dello strumento (tipicamente con diverse ampiezze dei segnali e condiversa selezione dell’accoppiamento dei segnali di ingresso e di trigger).

Per la verifica della funzione di trasferimento dell’oscilloscopio può essere utilizzato un analiz-zatore di rete (network analyzer) di elevata precisione, in grado di generare e misurare segnalisinusoidali di frequenza e ampiezza variabili. Un generatore di impulsi e un oscilloscopio diprecisione più elevata dello strumento sotto taratura possono invece essere utilizzati per la veri-fica dei ritardi.

kRi

R1 Ri+-----------------=

kR

Ri

R1 Ri+-----------------=

kC

C1

C1 Ci Cc Ccomp+ + +----------------------------------------------------=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

13.8. Taratura di un Oscilloscopio


Le caratteristiche di linearità dell’oscilloscopio possono infine essere verificate alternativa-mente tramite analisi armonica di segnali sinusoidali oppure tracciando la caratteristica di tra-sferimento ingresso/uscita in continua.

Queste considerazioni, abbastanza generali, vanno poi precisate e specificate a seconda delmodello e della casa costruttrice dell’oscilloscopio.

In generale, comunque, le case costruttrici di strumenti forniscono, oltre a un servizio di tara-tura, anche tutte le procedure da utilizzare per effettuare una corretta taratura dell’oscilloscopio.

13 Oscilloscopi


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