5a-mohr_MASSI

5/14/2018 5a-mohr_MASSI - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/5a-mohrmassi 1/33

Tr f rm zi n ll n i ni

I Cerchi di Mohr

Riferimenti Bibliografici

1. Beer 4ed. pp. 354 e ss.2. Shigley pp. 72 e ss.



Obiettivi: Definire completamente lo stato tensionale in un punto di un corpo, permezzo delle sue componenti normali e tangenziali, qualunque sia l’inclinazionedella superficie che contiene il punto stesso.

Particolare riferimento agli stati di tensione piana (condizione semplificativa ma

che si riscontra molto spesso nella pratica)

Strumenti: equazioni di trasformazione delle tensioni

Sintesi della lezione

Output finale: equazioni delle circonferenze di Mohr, tensioni principali, tensionetangenziale massima, orientamento dei piani principali

Cosa bisogna saper fare alla fine:

Dato uno stato tensionale noto, ricavare le tensioni principali e l’orientamento deipiani principali di tensione. Conoscere le circonferenze di Mohr per gli stati disollecitazione semplice. Ricavare le circonferenze di Mohr partendo dalla

struttura reale.



Consideriamo un corpo rigido qualunquesottoposto all’azione delle forze Pi e per il qualele Ri sono le possibili reazioni vincolari

Se si vuole determinare lo stato tensionale in

un punto Q generico, occorre eseguire un taglio(o una sezione) del corpo con una superficie checontenga Q

L’orientamento del piano può essere arbitrario,

Introduzione

ma di solito la scelta viene fatta in modo tale dapoter determinare facilmente le tensioni outilizzare comode relazioni geometriche

Nel caso in esame, la sezione ha normalediretta come l’asse x

In generale la sezione sarà interessata da unacerta distribuzione di sforzi (nonnecessariamente uniforme) e, in un dato punto diessa, la distribuzione non è né normale né

tangente alla superficie stessa.



Tensioni normali e tangenziali

In ogni caso è possibile definire (nel punto Qconsiderato) una componente diretta come lanormale alla superficie (tensione normale, σσσσ ditrazione se la direzione è uscente dalla superficie e

di compressione se entrante) ed una componentetangenziale (tensione tangenziale ττττ)

In generale la notazione che si impiega prevede diaggiungere alla lettera che indica la sollecitazione

direzione della normale alla superficie. Quindi, adesempio, la dicitura σx denota una tensione normaleavente direzione x.

A partire dalla direzione x, scelta arbitrariamente in

precedenza, è possibile definire una terna ortogonalecartesiana destrorsa che comprende gli assi y e z.

In tal modo la tensione tangenziale τ può esserescomposta nelle due componenti secondo le

direzioni y e z, ossia τxy e τxz.



Tensioni su un elementino

Nel caso delle tensioni tangenziali è necessariointrodurre due pedici, il primo dei quali definisce ladirezione della normale alla superficie, mentre ilsecondo indica la direzione della tensione

Per descrivere completamente lo stato tensionalein un punto sarebbe necessario considerare tuttele infinte superfici passanti per quel punto

Un modo agevole per ottenere rapidamente lo stesso

risultato è quello di fare ricorso al metodo che faimpiego della trasformazione delle coordinate, o deiCerchi di Mohr

Prima di descrivere il procedimento che consente ditracciare i cerchi di Mohr, si considerino due sezionicondotte per il punto Q ma stavoltaperpendicolarmente alle direzioni y e z

Lo stato di tensione è ora rappresentatoconsiderando tre superfici mutuamente

perpendicolari che individuano un cubetto.



Componenti cartesiane di tensione

Le tensioni agenti sulle varie facce sono rispettivamente:

Sulla faccia avente come normale la direzione x

σx (tensione normale diretta come l’asse x)

τxy (tensione tangenziale appartenente al piano avente normale diretta come l’asse x e diretta

secondo l’asse y)

τxz (tensione tangenziale appartenente al piano avente normale diretta come l’asse x e direttasecondo l’asse z)

Sulla faccia avente come normale la direzione y

σy (tensione normale diretta come l’asse y)

τyx (tensione tangenziale appartenente al piano avente normale diretta come l’asse y e direttasecondo l’asse x)

τyz (tensione tangenziale appartenente al piano avente normale diretta come l’asse y e direttasecondo l’asse z)

Sulla faccia avente come normale la direzione z

σz (tensione normale diretta come l’asse z)

τzy (tensione tangenziale appartenente al piano avente normale diretta come l’asse z e direttasecondo l’asse y)

τzx (tensione tangenziale appartenente al piano avente normale diretta come l’asse z e direttasecondo l’asse x)



Tensioni su un elementino

Si dimostra che la conoscenza delle tensioniagenti su tre piani mutuamenteperpendicolari è sufficiente per conoscere lostato tensionale su qualunque superficie

passante per il punto considerato.In generale, dunque, uno stato ditensione tridimensionale è definito danove componenti.

Tuttavia, per l’equilibrio, le tensioni“incrociate”, ossia quelle che, agenti sufacce adiacenti, puntano verso lo stessospigolo o da esso si allontanano, sonouguali e quindi si ha:

τxy =τyx , τxz =τzx , τzy =τyz

Ciò riduce da nove a sei il numero dellecomponenti di tensione necessarie a definire

uno stato tensionale tridimensionale.



Stati piani di tensione

Uno stato tensionale particolare che si verificafrequentemente nella pratica è quello in cui letensioni agenti su una delle tre superfici sononulle. In questo caso si parla di stato piano di

tensioneNella figura è riportato un esempio in cui lasuperficie scarica è quella avente normale direttacome l’asse z

In questo caso risulta:

σz = τzx = τzy = 0

Analizziamo ora il modo in cui si possonoricavare i cerchi di Mohr per uno stato tensionalepiano



Stati piani di tensione

Supponiamo di tagliare l’elementino in figura conun piano obliquo avente normale n, inclinato di unangolo arbitrario φ misurato in senso antiorario apartire dalla direzione positiva dell’asse x

La sezione appena creata è interessata dallapresenza di tensioni normali e tangenziali cheagiscono su tale piano obliquo

Per l’equilibrio, ponendo uguale a zero la somma

di tutte le forze associate alle componenti ditensione si trova che le tensioni σ e τ valgono:

+

−−=

+

−+

+=

φ τ φ σ σ

τ

φ τ φ σ σ σ σ

σ

2cos2sin2

2sin2cos22

xy

y x

xy

y x y x

Queste relazioni vengono chiamate equazioni di trasformazione per unostato piano di tensione



Stati piani di tensione (max σ)

Derivando l’equazione che esprime la tensionenormale rispetto a φ

φ τ φ

σ σ σ σ

σ 2sin2cos22xy

y x y x

+

−

+

+

=

ed uguagliando a zero si ottiene

sin 2 2 cos 2

cos 2 2 sin 2

d

d

d d

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

= −

y x

xy p

σ σ τ φ −

= 22tan

Questa equazione è soddisfatta per due valori dell’angolo φp uno dei quali

definisce la massima tensione normale σ1 e l’altro la minima tensione normaleσ2

Queste due tensioni sono dette tensioni principali e le loro corrispondentidirezioni chiamate direzioni principali. L’angolo tra le direzioni principali è di

90°



Stati piani di tensione (max σ)

Si osservi che l’equazione

y x

xy

pσ σ

τ φ

−=

22tan

può anche essere espressa nella forma:

Confrontando questa espressione con quella vista in precedenza per la τ:

02cos2sin2

=−

−

p xy p

y x

φ τ φ

φ τ φ σ σ τ 2cos2sin2

xy

y x+−−=

Si vede che τ = 0 dunque i piani che contengono le tensioni principalihanno tensioni tangenziali nulle.



Stati piani di tensione (max τ)

In modo del tutto analogo, se si deriva l’equazioneche esprime la tensione tangenziale rispetto a φ

ed uguagliando a zero si ottiene

φ τ φ σ σ

τ 2cos2sin2

xy

y x+

−−=

xy

y xs

τ σ σ φ

22tan

−−=

Questa equazione è soddisfatta per due valori dell’angolo φs in

corrispondenza dei quali la tensione tangenziale τ raggiunge i valori massimi

L’angolo tra i piani sui quali giacciono le massime tensioni tangenziali èdi 90°



Stati piani di tensione (max τ)

Si osservi ancora che l’equazione

può anche essere espressa nella forma:

02sin2cos =+− y x

τ σ σ

xy

y x

sτ

σ σ φ

22tan

−−=

Confrontando questa espressione con quella vista in precedenza per la σ:

2

Si ricava che


σ 2sin2cos22

xy

y x y x

+

−

+

+

=

2

y x σ σ

σ

+=



Espressioni delle tensioni principali

Confrontando le equazioni

si può osservare che i due angoli sono l’uno il reciproco dell’altro cambiato disegno. Ciò significa che i piani che contengono le massime tensionitangenziali e i piani che contengono le tensioni principali formano un angolodi ± 45°

y x

xy

pσ σ

τ φ

−=

22tan

xy

y x

sτ

σ σ φ

22tan

−−=

τ 2os uen o va or e ango o p o enu o a equaz one

nell’equazione

si ottiene

y x

p

σ σ −

=2tan


σ 2sin2cos22

xy

y x y x+

−+

+=

2

2

21

22

, xy

y x y xτ

σ σ σ σ σ σ +

−±

+=

In modo del tutto analogo si trova che i due valori estremi delle tensionitangenziali sono espressi dalla relazione:

2

2

212, xy

y x

τ σ σ

τ τ +

−

±=



Espressioni delle tensioni principali

Le due equazioni

2

2

212

, xy

y xτ

σ σ τ τ +

−±=

2

2

2122

, xy

y x y xτ

σ σ σ σ σ σ +

−±

+=

Sono di fatto equazioni parametriche diuna circonferenza in σ e τ dove ilparametro è 2φ

La circonferenza possiede:

CENTRO C = (σ ,τ ) = [ ] e

RAGGIO R = [ ]

)0,2 y x σ σ +

2

2

2xy

y xτ σ σ

+

−

Il piano cartesiano σ ,τ nel quale si

rappresentano le circonferenze prendeanche il nome di Piano di Mohr



Convenzioni nei cerchi di Mohr

Nelle rappresentazioni dei cerchi diMohr occorre rispettare alcuneconvenzioni che riguardano il segnodelle tensioni tangenziali ed inparticolare:

Le tensioni tangenziali che tendono a farruotare l’elementino in senso orariosono rappresentate sopra l’asse delle σ

Le tensioni tangenziali che tendono a farruotare l’elementino in senso antiorariosono rappresentate sotto l’asse delle σ

(quindi sono negative)

Analogamente, la convenzione fissa perle tensioni normali di trazione il versopositivo dell’asse σ, mentre quelle dicompressione (negative) sonorappresentate alla sinistra dell’originedegli assi.



Un esempio

Consideriamo il generico stato tensionalepiano illustrato in figura e rappresentiamo icerchi di Mohr

• La faccia destra dell’elementino è

caratterizzata dalla presenza di unasollecitazione σx di trazione e da unatensione tangenziale τxy che tende a farruotare l’elementino in senso antiorario.

• Il primo punto da fissare sul piano di Mohravrà dunque ascissa positiva ed ordinatanegativa.

• La faccia superiore è caratterizzata dallapresenza di una sollecitazione σy di trazione

e da una tensione tangenziale τxy che tendea far ruotare l’elementino in senso orario.

• Il secondo punto da fissare sul piano diMohr avrà dunque ascissa ed ordinata

entrambe positive. I due stati tensionali sono ruotati di 90°nell’elementino e

quindi di 180°nel cerchio di Mohr



Un esempio

I punti così fissati individuano il diametro delcerchio di Mohr. Il centro è a sua voltalocalizzato dall’intersezione del diametro conl’asse delle σ

È importante sottolineare che il cerchio diMohr rappresenta lo stato tensionale in unsingolo punto della struttura, ed ogni suopunto rappresenta lo stato tensionale

struttura nel punto considerato• I punti disposti a 180°l’uno rispetto all’altrosul cerchio di Mohr rappresentano lo statotensionale su due facce a 90°

dell’elementino• Le intersezioni del cerchio di Mohr conl’asse delle σ individuano le tensioniprincipali σ1 e σ2 e, naturalmente, i loro valoricoincidono con quelli determinati conl’equazione

2

2

2122

, xy

y x y xτ

σ σ σ σ σ σ +

−±

+=



Alcune considerazioni

• Le tensioni tangenziali sono nulle sui pianicontenenti le tensioni principali σσσσ1 e σσσσ2 e iloro valori assoluti massimi sono pari al raggiodel cerchio di Mohr

• Lo stato tensionale su un piano genericoinclinato di un angolo φ misurato in sensoantiorario, è rappresentato dal punto H

• Inizialmente impiegati soprattutto

graficamente, attualmente i cerchi di Mohrhanno il fine di fornire un supporto soprattutto“visivo” per un immediata analisi dello statotensionale

• I cerchi di Mohr, inoltre, consentono una più

facile comprensione dei criteri di resistenza,strumento indispensabile nella progettazioneper valutare la possibilità di cedimento di uncomponente realizzato con un certo materialee sottoposto ad un determinato statotensionale



8050

x

xy

PaPa

σ τ

==

Altro esempio

Utilizzare i cerchi di Mohr per determinare le tensioni principali nell’elementinosottoposto allo stato di sollecitazione raffigurato:

2

2

2122

, xy

y x y xτ

σ σ σ σ σ σ +

−±

+=

2

2

21)50(

2080

2080, +

−±+=σ σ

−=

=

MPa MPa

03.2403.104

2

1

σ σ

°=°=−=−

⋅=

−= 67.2534.51

80

100

080

)50(22

22tan p p

y x

xy

p arctg φ φ

σ σ

τ φ



Graficamente…

N.B. La rotazione dell’elementino

deve essere fatta (per la metàdell’angolo determinato con leequazioni e riportato sul piano diMohr) in senso concorde a quelloche porta il punto considerato

sull’asse delle sigma.



Esaminiamo i cerchi di Mohr nel caso di alcunesollecitazioni semplici

TRAZIONE

La trazione semplice è una sollecitazionemonoassiale nella quale un generico elementino sitrova ad essere sollecitato con una tensione

Sollecitazioni semplici

xσ xσ

norma e agen e su uno so o e suo p an

Dunque, essendo:

0≠ xσ 0== xy y τ σ

Banalmente risulta:

=+

−±

+=

022,

2

2

21

x

xy

y x y x σ τ

σ σ σ σ σ σ



Esaminiamo i cerchi di Mohr nel caso di alcunesollecitazioni semplici

TORSIONE

Nella torsione semplice, un elementino si trova adessere sottoposto unicamente a tensionitangenziali

Sollecitazioni semplici

Dunque, essendo:

0== y x σ σ 0≠ xyτ

Banalmente risulta:

−

+=+

−±

+=

xy

xy

xy

y x y x

τ

τ τ

σ σ σ σ σ σ 2

2

2122

,

Il cerchio di Mohr è centrato sull’origine degli assi. Le tensioni principali sonouguali (in modulo) alle tensioni massime tangenziali



Esercizio

Per lo stato piano di tensione mostrato infigura determinare i piani e le tensioniprincipali

Analiticamente:

2

2

2122

, xy

y x y xτ

σ σ σ σ σ σ +

−±

+=

y x

xy

pσ σ

τ φ

−=

22tan

2

2

21)48(

260100

260100, +

−±+=σ σ

=

=

MPa MPa

28132

2

1

σ σ

°=°==−

⋅= 69.3338.67

40

96

60100

)48(22 p p arctg φ φ



Osservazione

Finora si è fatto riferimento ad un’unica coppia di piani per descrivere ilprocedimento che porta a tracciare i cerchi di Mohr.

Tuttavia, una rappresentazione completa dovrebbe tenere conto di tutte lepossibili coppie di piani (cioè 3) dell’elementino e dunque i cerchi di Mohr sono in

realtà anch’essi 3.Negli stati di tensione piani, una delle facce è scarica, e qundi la relativa tensioneprincipale è nulla; ciò conduce a rappresentare i cerchi di Mohr come mostrato infi ura naturalmente val ono anche le situazioni simmetriche .



Attenzione

E’ importante tracciare tutti e tre i cerchi di Mohr, perché è dal cerchio“fondamentale” (quello che inviluppa gli altri due) che traiamo informazioni sullostato tensionale più pericoloso….



Osservazione

Quando la terna di riferimento è scelta in modo tale che la σz non è principale,non esistono tensioni principali nulle, e i cerchi di Mohr avranno una collocazionesimile a quella mostrata in figura



Sul web

http://web.mst.edu/~medialab/fipse/preview/Philpot/mohr_stress/a_game.htm



Sul web

http://www.engapplets.vt.edu/Mohr/java/nsfapplets/MohrCircles2-3D/Applets/applet.htm



Applicazione: serbatoi in pressione

Nei recipienti cilindrici in pressione (es. vasi,protesi vascolari) la pressione interna del fluidoprovoca l’insorgere di tensioni radiali ecirconferenziali i cui valori dipendono dallageometria dell’elemento.

Se si indica con ri il raggio interno del cilindro, conro il raggio esterno ed essendo pi la pressioneinterna e po quella esterna, si può dimostrare chee ens on c rcon erenz a e ra a va gono:

Nel caso particolare in cui po sia nulla si ha:




r σ

t σ




Esempio:

Un recipiente in lega di Alluminio, contenente un fluido avente pressione pari a5.3 MPa è costuito da un tubo avente diametro esterno 200 mm e spessore 6mm.

Calcolare le com onenti di tensione e tracciare i cerchi di Mohr

( ) ( )

( ) ( )2

22

22

22

22

2

2

22

2

(max)/ 86

94100

941003.51 mm N

r r

r r p

r

r

r r

pr

io

ioi

i

o

io

iit =

−

+=

−

+=

+

−=σ

2

(max)/ 3.5 mm N pir −=−=σ



Recipienti in parete sottile

Quando lo spessore è minore o uguale ad1/20 del raggio, la tensione radiale diventatrascurabile rispetto a quella circonferenziale.Inoltre, in presenza di chiusure laterali, occorreconsiderare anche la tensione longitudinale

La tensione tangenziale si può determinareim onendo l’e uilibrio tra le forze ori inaterispettivamente dalla σt (tensione tangenzialeagente sulla sezione del recipiente) e dallapressione interna del fluido

Si ha rispettivamente:

t

pd iavt

2)( =σ

t

pd il

4=σ

5a-mohr_MASSI

Documents

Transcript of 5a-mohr_MASSI