2 - 1

11 - 2

Moto rettilineo :

posizione, velocità accellerazione

Moto uniforme v=cost

Moto uniformemente accelerato a=cost

problema 1

problema 2

problema 3

Moto Curvilineo : Posizione, Velocità ed Accellerazione

Derivate di Vettoridipendenti dal tempo

Componenti Rettangolari della velocità ed Accellerazione

Moto Relativo ad un sistema in traslazione

Componenti Normali e Tangenziali

Problema 4

Problema 5

rappresentazioni grafiche della cinematica del moto rettilineo

Lunedi (2h)Oggi

+ 1h di esercizi alla lavagna

11 - 3

• Cinematica: studio della geometria del moto. La cinematica viene utilizzata per collegare spostamento, velocità, accelerazione, e il tempo senza far riferimento alla causa del moto.

• Dinamica: studio delle relazioni esistenti tra le forze agenti su un corpo, la massa del corpo, e il moto del corpo. La dinamica è usata per predire il movimento causato dalla proposta forze o per determinare le forze necessarie per produrre un dato movimento.

• Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea retta.

• Movimento curvilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si muove lungo una linea curva in due o tre dimensioni.

Movimento Rettilineo (1D) : posizione, velocità ed accelerazione

• Una particella in movimento lungo una linea retta si dice che è in moto rettilineo.

• La coordinata x della posizione di una particella è definita dalla misura della sua distanza da un'origine fissa sulla linea. La coordinata x della posizione può essere sia positiva che negativa

• Il moto di una particella è noto se la sua coordinata di posizione x(t) è nota ad ogni valore del tempo t. Il moto della particella può essere espresso nella forma di una funzione del tempo, ad esempio,

326)( tttx

ed in un grafico x vs. t.

t

x(t1+ t)

pend

enza

2 - 5

t

txttxvm

)()( 11

Velocità media

x

tpe

nden

za

x(t1+ t)

tpe

nden

za

x(t1+ t)

tpe

nden

za

x(t1+ t)

tt1

penden

za

velocità istantanea

tttdt

dx

t

xtv

t1

0),(lim)(

x(t1)

x(t)

Tangente alla curva in P(t1,x(t1))

Velocità, moto rettilineo

ed in un grafico x vs. t.

ed in un grafico x vs. t.

2 - 6

grafico x vs. t.

12

12 )()(

tt

txtxvm

Velocità media

sms

mm

ss

sxsxvm /8

2

1632

24

)2()4(

sms

mm

ss

sxsxvm /16

2

320

46

)4()6(

11 - 7

• Queste velocità possono essere positive o negative. Il loro modulo (cioè la radice quadrata del quadrato) è sempre positivo.(speed –velocity).

• Consideriamo una particella che occupa la posizione P al tempo t e successivamente si trova in P’ a t+t,

t

xv

t

x

t

0lim

Velocità Media

Velocità istantanea

• Dalla definizione di derivata

dt

dx

t

xv

t

0

lim

ad esempio

2

32

312

6

ttdt

dxv

ttx

Velocità, moto rettilineo

11 - 8

• Consideriamo una particella con velocità v al tempo t e v’ al tempo t+t,

Accellerazione Istantanea t

va

t

0lim

tdt

dva

ttv

dt

xd

dt

dv

t

va

t

612

312e.g.

lim

2

2

2

0

• Dalla definizione di derivata

• L’accellerazione puo’ essere :- Positiva se: aumenta una velocità positiva

oppure diminuisce una V negativa

- Negativa se: diminuisce una v positiva

Oppure aumenta una v negativa

t

vam

Accellerazione Media

11 - 9

• t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

• t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

326 ttx Spazio - tempo

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

Accellerazione - tempo

2312 ttdt

dxv

Velocità- tempo

11 - 10

• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).

• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

Rappresentazione grafica della derivata temporale in cinematica

Determinazione del moto di una particella

11 - 11

• Ricordate, il moto di una particella è noto se la sua posizione X è nota ad ogni istante di tempo t.

• Tipicamente, le condizioni del moto sono specificate dal tipo di accellerazione a cui è soggetta la particella. Visto le relazioni tramite le derivate temporali tra a , v , e x, la determinazione della velocità e della posizione , nota l’accellerazione, richiede due successive operazioni di integrazione nel tempo

• Tre classi di moto possono essere definite a seconda che si conosca:

- accelerazione in funzione del tempo, a = a(t)

- accelerazione in funzione del posizione, a = a(x)

- accellerazione in funzione della velocità, a = a(v)

Interpretrazione grafica degli integrali nel tempo

11 - 12

• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.

• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.

DERIVATE ED INTEGRALI !!

Almeno delle funzioni elementari dovete impararli a fare …SUBITO!!!

t

dttavtv0

)0()( t

dttvxtx0

)0()(

11 - 13

- accellerazione in funzione della posizione, a = a(x)

x

x

x

x

xv

v

dxxavxvdxxadvvdxxfdvv

xadx

dvva

dt

dva

v

dxdt

dt

dxv

000

202

12

21

- accellerazione in funzione del tempo, a = a(t)

tttx

x

tttv

v

dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt

dx

dttavtvdttadvdttadvtadt

dv

0

0

0

0

0

0

0

0

11 - 14

• accellerazione in funzione della velocità, a = a(v):

tv

v

tv

v

tx

x

tv

v

ttv

v

va

dvvxtx

va

dvvdx

va

dvvdxva

dx

dvv

tva

dv

dtva

dvdt

va

dvva

dt

dv

0

00

0

0

0

0

2 - 15

Accellerazione nulla, velocità costante a=0, v=cost. MOTO UNIFORME

tvxtx

inizialeposizionexdtvxdtvxtx

dtvxtxdtvdxdtvdxtvdt

dx

tvinizialevelocitàvtv

tvtvadt

dv

tt

tttx

x

00

0

0

00

0

00

0

00

0

00

0

0

)(

)()(

cos;)()(

0)0(00

0

200

00

00

0

00

0

0

0

0

0

0

2

1)(

)()(

)(

)0(

0

0

attvxtx

tdtadtvxdtatvxtx

dttvxtxdttvdxdttvdxtvdt

dx

atvtv

attavtvdtadvdtadvadt

dv

ttt

tttx

x

ttv

v

2 - 16

Accellerazione costante, a=cost. MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO

2 - 17

• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost

Se a è costante nel tempo vuol dire che è costante anche al variare della velocità !!

))((1

)0()(

))((11

20

2

20

2)(

0

00

vtva

xtx

vtva

vdvaa

dvvxtx

tv

v

tv

v

2 - 18

accellerazione in funzione della posizione, a = cost

dx

dvva

Otteniamo lo stesso risultato

)(1 2

02

0 vva

xx ff

Problema

11 - 19

Determinare:• velocità ed altezza rispetto al suolo al

tempo t, • La massima altezza raggiunta ed il

tempo impiegato• Il tempo di arrivo al suolo e la

corrispondente velocità finale.

Una p.m. (palla) è lanciata con velocità verticale vo= 10 m/s da una finestra posta ad altezza yo = 20 m dal suolo.

• Cerchiamo il tempo t al quale la velocità è uguale a zero (tempo al quale viene raggiunta la massima altezza) e utilizziamolo per valutare la corrispondente altezza massima

• Cerchiamo il tempo t al quale l’altezza rispetto al suolo è uguale a zero (tempo d’impatto) e utilizziamolo per calcolare la velocità al momento dell’impatto

• Il moto della palla è un moto uniformemente accellerato, con accellerazione g=-9.81 m/s2 diretta verso il suolo.

11 - 20

tvtvdtdv

adt

dv

ttv

v

81.981.9

sm81.9

00

2

0

ttv

2s

m81.9

s

m10

2

21

00

81.91081.910

81.910

0

ttytydttdy

tvdt

dy

tty

y

22s

m905.4

s

m10m20 ttty

• Integriamo, per trovare v(t) ed ancora una volta per trovare y(t).

11 - 21

• Troviamo t tale che, v=0

• … la corrispondente altezza ymax

0s

m81.9

s

m10

2

ttv

s019.1t

22max

22

s019.1s

m905.4s019.1

s

m10m20

s

m905.4

s

m10m20

y

ttty

m1.25max

y

11 - 22

• Calcolare il tempo t tale che y(t)=0

• Calcolare la corrispondente velocita

0s

m905.4

s

m10m20 2

2

ttty

s28.3

s243.1 scartatasoluzion e,impossibil o,significat di privo

t

t

s28.3s

m81.9

s

m10s28.3

s

m81.9

s

m10

2

2

v

ttv

s

m2.22vvelocità al momento dell’impatto

11 - 23

Alla stazione ferroviaria un “freno terminale” dei binari dei treni consiste di un pistone attaccato ad un asse, libero dimuoversi di moto rettilineo all’interno di un cilindro pieno di olio. All’urto con la locomotrice in arrivo, l’asse viene spinto verso l’interno del cilindro con velocità iniziale v0, il pistone a sua volta, muovendosi con la stessa velocità, comprime l’olio che può passare ma con difficoltà verso sinistra, attraverso dei sottili fori nel pistone consentendo l’avanzamento del cilindro ma causando una decellerazione proporzionale alla velocità

Determinare v(t), x(t), e v(x).

kva

• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).

• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).

• Integrare a = v dv/dx = -kv

per trovare v(x).

• accellerazione in funzione della velocità, a = f(v) ; a=cost

11 - 24

SOLUZIONE:

• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).

kt

v

tvdtk

v

dvkv

dt

dva

ttv

v

00

ln0

ktevtv 0

• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).

tkt

tkt

tx

kt

ek

vtxdtevdx

evdt

dxtv

00

00

0

0

1

ktek

vtx 10

0

ln0

v

tve v

tv

11 - 25

• Integrare a = v dv/dx = -kv

per trovare v(x).

kxvv

dxkdvdxkdvkvdx

dvva

xv

v

0

00

kxvv 0

• Alternativamente,

0

0 1v

tv

k

vtx

kxvv 0

0

0 or v

tveevtv ktkt

ktek

vtx 10con

e

Infine:

Moto rettilineo uniforme

11 - 26

v=costante a=0

vtxx

dtvdx

vdt

dx

tx

x

0

00

constante

Moto uniformemente accellerato

11 - 27

Un aparticella in moto rettilineo uniformemente accellerato

a=costante

atvv

atvvdtadvadt

dv tv

v

0

000

constant

221

00

221

000

000

attvxx

attvxxdtatvdxatvdt

dx tx

x

00

020

2

020

221

2

222

constant00

xxavv

xxavv

xxavvdxadvvadx

dvv

x

x

v

v

Moti di piu’ parti: moto relativo

11 - 28

• Consideriamo due punti materiali, A e B, che si muovono di moto rettilineo lungo la stessa linea.

• Il tempo deve essere registrato a partire da uno stesso istante iniziale e gli spostamenti dovrebbero essere misurati dalla stessa origine usando la stessa direzione orientata per indicare il verso positivo

ABAB xxx posizione relativa di B rispetto ad A

ABAB xxx

ABAB vvv velocità relativa di B rispetto ad A

ABAB vvv

ABAB aaa accellerazione di B rispetto ad A

ABAB aaa

Problema

11 - 29

Un palla è lanciata da yo=12m di altezza, con vo= 18 m/s verso l’alto, lungo il condotto di una piattaforma-ascensore. In quello stesso istante, la piattaforma si trova a 5 m di altezza dal suolo e si muove vero su con vE= 2 m/s.

Determinare (a) quando e dove la palla colpisce la piattaforma e (b) la velocità relativa della palla ed elevatore al contatto

SOLUZIONE:

• Per la palla: Sostituire la posizione x0 e la velocità v0

iniziali e l’accellerazione costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato .

• Per la piattaforma :Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme.

• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf

• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

11 - 30

SOLUZIONE:• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 iniziali e l’accellerazione

costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto uniformemente accellerato .

22

221

00

20

s

m905.4

s

m18m12

s

m81.9

s

m18

ttattvyy

tatvv

B

B

• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto uniforme.

ttvyy

v

EE

E

s

m2m5

s

m2

0

11 - 31

• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf

025905.41812 2 ttty EB

s65.3

smeaningles s39.0

t

t

• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto

65.325Eym3.12Ey

65.381.916

281.918

tv EB

s

m81.19EBv

11 - 32

• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è uguale alla pendenza della x(t).

• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla pendenza della v(t).

La derivata temporale in grafici

lettura grafica degli integrali nel tempo

11 - 33

• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.

• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.

•Sistemi di più punti materiali : Moto Reletivo

11 - 34

• Particelle (punti materiali, p.m.) che si muovono lungo la stessa linea.

• Dopo aver definito un sistema di riferimento comune con la stessa origine e direzione per gli spostamenti e lo stesso istante di tempo iniziale, possiamo scrivere

ABAB xxx Posizione relativa di B rispetto ad A

ABAB xxx

ABAB vvv Velocità relativa di B rispetto ad A

ABAB vvv

ABAB aaa Accellerazione relativa di B rispetto ad A

ABAB aaa

Sistemi di più punti materiali (o di piu’ parti)

11 - 35

• La posizione di un p.m. può dipendere dalla posizione degli altri p.m

• Ad esempio la posizione del blocco B dipende dalla posizione di A. Poichè la fune ha lunghezza costante ne segue che deve essere costante la somma dei segmenti

BA xx 2 const (1 grado di libertà)

• la posizione dei tre bocchi è dipendente

CBA xxx 22 const (2 gradi di libertà)

• Relazioni simili valgono per le velocità e le accellerazioni

022or022

022or022

CBACBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx

Problema 5

11 - 36

La puleggia D che può scorrere verticalmente lungo l’asse viene messa in movimento verso il basso con vD =3m/s a t = 0. Conseguentemente il manicotto A inizia a muoversi dalla posizione K con accellerazione costante e zero velocità iniziale. Sappiamo inoltre che la velocità di A è 12 m/s non appena passa L. Determinare il cambiamento in altezza, velocità ed accellerazione del blocco B quando A è alla posizione L.

• Definire l’origine alla superficie orizzontale superiore con direzione positiva per gli spostamenti verso il basso.

• A ha un moto rettilineo uniformemente accellerato. Usiamolo per trovare l’accellerazione ed il tempo t* per raggiungere L.

• D ha un moto rettilineo uniforme; calcoliamo il cambiamento di posizione al tempo t*

• Il moto di B dipende dai moti di A e di D. Scrivere le relazioni di moto relativo per trovare lo spostamento di B al tempo t*. Diffrenziatele per trovare velocità ed accellerazione di B

11 - 37

• A ha un moto rettilineo unif. acc. Possiamo ricavare l’accellerazione ed il tempo t* per rraggiungere L.

2

2

0

2

02

s

m9m82

s

m12

2

AA

AAAAA

aa

xxavv

s 333.1s

m9

s

m12 **

2

0

tt

tavv AAA

• Definire l’origine alla superficie orizzontale superiore con direzione positiva per gli spostamenti verso il basso.

8m

12m/s

11 - 38

m 4s333.1s

m30

*0

DD

DDD

xx

tvxx

• Block B motion is dependent on motions of collar A and pulley D. Write motion relationship and solve for change of block B position at time t.

Total length of cable remains constant,

0m42m8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

m160 BB xx

• La puleggia D ha un moto rettilineo uniforme, calcoliamo il cambiamento di posizione al tempo t*

3m/s

11 - 39

• Diffrenziate 2 volte per trovare rispettivamente velocità ed accellerazione di B

• .

0s

m32

s

m12

02

const2

B

BDA

BDA

v

vvv

xxx

s

m18Bv

0s

m9

02

2

B

BDA

v

aaa

2s

m9Ba

• Il vettore posizione del p.m. al tempo t è definito come il vettore tra l’origine O di un sistema fisso di riferimento e la posizione occupata dal p.m

r

• al tempo t+t il p.m. si sposta nella posizione P’, percorrendo l’arco di curva s.

•Sia il vettore posizione del p.m. in P’ 'r

s=spazio percorso

)()(' trttrrrr

•Il vettore spostamento è definito come: r

Moto curvilineo: posizione

• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto curvilineo

Moto curvilineo: velocità

11 - 41

• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto curvilineo

• Il vettore posizione del p.m. al tempo t è definito come il vettore tra l’origine O di un sistema fisso di riferimento e la posizione occupata dal p.m

• Definiamo la velocità media (vettore) del p.m. che occupa la posizione P al tempo t e P’ a t + t,

vdt

ds

dt

rd

dt

ds

t

sv

dt

rd

t

rv

t

t

0

0

lim

lim

Velocità istantanea (vettore)

Velocità istantanea (scalare)

t

rvm

Moto curvilineo: accellerazione

11 - 42

dt

vd

t

va

t

0

lim

accellerazione Istantanea (vettore)

• Consideriamo la velocità di un p.m. al tempo t e la sua

velocità a t + t :v

v

• In generale, il vettore accelerazione non è tangente al percorso della particella e quindi non è parallelo al vettore velocità.

Derivate di funzioni vettoriali

11 - 43

uQeuP

• Derivata della somma di due vettori

du

Qd

du

Pd

du

QPd

du

PdfP

du

df

du

Pfd

• Derivata del prodotto con uno scalare f

• Derivata del prodotto scalare

du

QdPQ

du

Pd

du

QPd

sono vettori e funzioni della variabile continua u

La derivata è tangente alla curva !

Componenti lungo gli assi cartesiani

11 - 44

• La posizione P di un p.m. in un riferimento cartesiano è data da:

kzjyixr

• Vettore velocità ,

kvjviv

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

zyx

• Vettore accellerazione

kajaia

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dvk

dt

zdj

dt

ydi

dt

xda

zyx

zyx

2222

2

2

2

2

2

11 - 45

• il moto si puo’ scomporre in tre moti indipendenti sugli assi cartesiani (mi sapete dire quando non è possibile?)

002

2

2

2

2

2

dt

zd

dt

dvag

dt

yd

dt

dva

dt

xd

dt

dva z

zy

yx

x

Con condizioni iniziali

0,,0 000000 zyx vvvzyx

Integrando due volte

0

02

21

00

00

zgtyvytvx

vgtvvvv

yx

zyyxx

• Il moto nella direzione orizzontale x è uniforme

• Il moto del p.m. può essere scomposto in due moti rettilinei indipendenti

Esempio 2D

• Il moto nella direzione verticale y è uniformemente accellerato

applico le equazioni della cinematica monodimensionale:

1.moto rettilineo orizzontale (x): uniforme

2.moto rettilineo verticale (y) : uniformenmente accellerato (caduta di un grave)

2 - 46

Applicazione:moto del proiettile [qualunque oggetto lanciato in aria]

Ipotesi: 1.accelerazione di gravità g costante 2.resistenza dell’aria trascurabile

Il moto orizzontale e verticale sono indipendenti

la traiettoria è sempre una parabola [dimostrare]

0

02

21

00

00

zgtyvytvx

vgtvvvv

yx

zyyxx

x y z

2 - 47

Applicazione:moto del proiettile

2 - 48

2 - 49

2 - 50

?2 - 51

?

?

2 - 52

Luce stroboscopica : flash ad intervalli uguali t

Moto relativo ad un sistema di riferimento in movimento relativo uniforme

11 - 53

• Consideriamo un sistema fisso di riferimento O(xyz) ed uno mobile A(x’y’z’) che al più trasla rispetto al prima con velocità costante .

• I vettori posizione per i p.m. A e B rispetto al sistema fisso Oxyz sono :

. e BA rr

• Il vettore che unisce A e B definisce la posizione di B rispetto al sistema di riferimento mobile Ax’y’z’. Risulta:

ABr

ABAB rrr

• Si ottiene:

ABv

Velocità di B rispetto ad A.ABAB vvv

ABa

Accellerazione di B rispetto ad A.ABAB aaa

• Il moto “assoluto di B può essere ricavato combinando il moto di A con il moto relativo di B rispetto al sistema di riferimento mobile attaccato ad A.

Componenti tangenziale e normale

• La velocità è un vettore sempre tangente alla traettoria del p.m. In genere, l’accellerazione non lo è ! E’ conveniente esprimere il vettore accellerazione in termini di componenti tangenziali e normali (ortogonali alla direzione del moto cioe’ alla tangente)

• Siano i versori tangenti alla traettoria in P e P’. Riportiamoli sull’origine e chimiamo l’angolo tra di loro

tt ee ed

ttt eee

tnt

n

nnt

t

eed

ede

eee

e

;

2

2sinlimlim

2sin2

00

traettoria

Non fate confusione, questa non è la taettoria

/2

vedt

ds

ds

d

d

ed

dt

edn

tt *1

s

;s

rad

s

2360

2*

Ad esempio: Circonferenza cerchio di raggio ?

+

tnt

n eed

ede

;

=

Componenti tangenziale e normale dell’accellerazione tevv• Esprimendo la velocità come :

l’accellerazione della p.m. può essere scritta come :

dt

ds

ds

d

d

edve

dt

dv

dt

edve

dt

dv

dt

vda t

tt

t

ma

vdt

dsdsde

d

edn

t

Sostituendo

22 va

dt

dvae

ve

dt

dva ntnt

ma

• La componente tangenziale dell’accellerazione riflette il cambio di intensità della velocità (velocità scalare) mente la componente normale riflette il cambio di direzione del moto.

• La componente tangenziale può essere positiva o negativa. La componente normale punta sempre verso il centro della curvatura.

nntt eaeaa

Problema

11 - 57

Una automobile compie una curva a 60 km/h. Il guidatore frena causando una decellerazione uniforme

Sapendo che dopo t = 8 s la velocità è stata ridotta a v2=45 Km/h, determinare l’accellerazione un attimo prima di frenare

• Calcolare le componenti tangenziali e normali dell’accellerazione.

• Determinare il modulo dell’accellerazione e la direzione rispetto alla tangente alla curva.250 m

vA=60 Km/h

Problema

Km/h v

Km/hv

45

60

2

1

• Calcolate le comp. tangenziale e normale dell’accellerazione di una p.m.

2

221

s

m10.1

Km25.0

hKm60

50.03600

1000*

8

15

s 8

/60452

v

a

s

m

s

hKm

t

va

n

sm

t

• Determinare il modulo dell’accellerazione e la direzione rispetto alla tangente alla curva.

2222 1.15.0 nt aaa 2s

m21.1a

5.0

1.1tantan 11

t

n

a

a 5.65

0.5 m/s2

1.1 m/s2

Problema

11 - 59

Il braccio meccanico ruota attorno al punto fisso O con legge orararia = 0.15t2 dove è in radianti e t in secondi. Il collare B scorre lungo il braccio secondo la seguente legge orarria r = 0.9 - 0.12t2 dove r è espresso in metri.

Dopo che il braccio ha ruotato di 30° , determinare (a) la velocità totale del collare, (b) l’accellerazione totale del collare (c) l’accellerazione relativa del collare rispetto al braccio.

• Valutare t* per = 30o.

• Calcolare la posirione radiale (r) ed angolare (, e le due derivate, prima (velocità) e seconda (accellerazine), rispetto al tempo a t=t*.

• Calcolare la velocità ed accellerazione in coordinate cilindriche

• Calcolare l’accellerazione del collare rispetto al braccio

11 - 60

• Valutare t* per = 30o.

s 869.1rad524.030

0.15 2

t

t

• Calcolare la posirione radiale (r) ed angolare (, e le due derivate, prima (velocità) e seconda (accellerazi0ne), rispetto al tempo a t=t*.

22

2

2

sm24.0

sm449.024.0

m 481.012.09.0

dtrda

tdtdrv

tr

r

r

22

2

2

srad30.0

srad561.030.0

rad524.03015.0

dt

d

tdt

d

t

• Calcolo per velocità ed accelerazione.

rr

r

v

vvvv

dt

drv

sv

122 tan

sm270.0srad561.0m481.0

m449.0

0.31sm524.0 v

6.42sm531.0 a

rr

r

a

aaaa

dt

d

dt

dr

dt

dra

dt

dr

dt

rda

122

2

2

2

2

2

22

2

2

2

tan

sm359.0

srad561.0sm449.02srad3.0m481.0

2

sm391.0

srad561.0m481.0sm240.0

11 - 62

• Calcolare l’accellerazione del collare rispetto al braccio

2/ sm240.0ra OAB