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Sistemi dinamici-Parte 2Problema dei due corpi

AM Cherubini

15 Maggio 2007

Leggi di Keplero

Leggi di Keplero

Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

Seconda legge di

Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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1. I pianeti si muovono lungo ellissi, di cui il sole e’ uno deifuochi

2. le ellissi sono percorse con velocita’ areolare costante3. il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo

del semiasse maggiore e’ costante

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A

B

Descrizione del problema

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Siano dati due punti A,B ∈ R3 di masse rispettivamente a, b e interagenticon forze interne che dipendono solo da B −A: su A agisce una forzaF(B −A), su B agisce −F(B −A).Per esempio, la forza di gravita’

F = gab

|B −A|2B−A

|B−A|

I parametri del problema sono le coordinate di A e le coordinate di B, lalagrangiana

L(

A, B, A, B)

=1

2

(

aA2 + bB2)

− V (B−A)

Riduzione del problema

Leggi di Keplero

Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

Seconda legge di

Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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Mostriamo come il problema dei due corpi si riduce al problemadi un corpo in un potenziale centrale.Conviene mettersi in coordinate baricentriche

G =aA + bB

a + br = B−A (1)

Effettuo il cambio di coordinate

(A,B)←→ (G, r)

invertendo (1). Se m = a + b massa totale si ha

A = G−b

mr B = G +

a

mr

Moto centrale

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Se µ = abm

e’ la massa ridotta, nelle nuove coordinate la lagrangiana e’

L′

(

G, r,G, r)

=1

2

(

mG2 + µr

2)

− V (r)

Il vettore G e’ costante (le forze sono interne quindi G si muove di motorettilineo uniforme): una volta fissato il vettore G, il sistema relativo a

L(

A, B, A, B)

si riduce al sistema per (r, r) di lagrangiana

L′′ (r, r) =1

2µr

2 − V (r) moto centrale

Piano dell’eclittica

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ri

Ω

M

r = B−A e’ la posizione di B relativamente ad A ma ora in B si mette lamassa µ: e’ un trucco per lavorare nel sistema di riferimento con origine in A

come se fosse inerziale.L’orbita di un punto in potenziale centrale si svolge sul piano normale almomento angolare M (costante!), identificato dall’inclinazione i rispetto a z edall’angolo Ω tra x e la linea dei nodi (intersezione del piano dell’eclittica conxy)

Moto sul piano

Leggi di Keplero

Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

Seconda legge di

Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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Se il potenziale dipende dal modulo |r|, in coordinate polarir = |r| e θ la lagrangiana e’

L

(

r, θ, r, θ)

=1

2µ

(

r2 + r2θ2)

− V (r) (2)

θr

pericentro

Con la trasformata di Legendre trovo l’Hamiltoniana

H (pr, pθ, r, θ) =1

2µ

(

p2r +

p2θ

r2

)

+ V (r)

Leggi di Keplero

Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

Seconda legge di

Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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pθ = cost

pθ

θ2π

pθ = µr2θ

Seconda legge di Keplero

Leggi di Keplero

Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

Seconda legge di

Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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Se l’orbita e’ r = r(θ), l’area spazzata dal raggio vettore dopo untempo t e’

A(t) =1

2

∫ θ(t)

θ0

r2(θ′)dθ′

La velocita’ areolare e’ costante:

A =1

2r2θ =

pθ

2µvelocita

′areolare (3)

Hamiltoniana per r

Leggi di Keplero

Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

Seconda legge di

Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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Fissata pθ, il moto della coppia di variabili coniugate (pr, r) e’governato dall’hamiltoniana

Hpθ(pr, r) =

1

2µp2

r +

1

2

pθ

µr2+ V (r)

︸ ︷︷ ︸

pot. efficace

Nel caso di potenziale gravitazionale

V = −k

rk > 0

il potenziale efficace e’

Ve(r) =1

2

pθ

µr2−

k

r

Potenziale efficace

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Ve

r − +

E

r

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Ve

r − +

E

r

r

pericentro

pr

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Per E < 0 la variabile r oscilla con periodo Tr tra il pericentro r− el’apocentro r+

Al livello minimo di energia corrisponde la soluzione costante r = r0 cioe’un’orbita circolare nel piano.

r

pr

r r +−

equilibrio

Se E ≥ 0, r ≥ r− e per t→∞ r(t)→∞ e pr(t)→ r∞ costante Nel caso separante E = 0, pr(t)→t→∞ 0

Moto quasi periodico

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Per E < 0 , fuori dall’equilibrio, r si muove periodicamente con periodo Tr,quindi il moto della coppia (r, θ) e’ il prodotto di due moti periodici, e sisvolge sul toro T 2; in corrispondenza dell’equilibrio r0 il toro collassa in unacirconferenza.Visti sul piano dell’eclittica i moti quasi-periodici hanno un aspetto a rosetta.

L’idea e’ che la variabile θ, durante il periodo Tr, cioe’ tra due passaggi dalperielio, avanza di una quantita’ ∆θ: se ∆θ

2π∈ Q allora l’orbita e’ chiusa.

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Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

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Moto sul piano

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Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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L’orbita e’ periodica sul toro (e l’orbita sul piano dell’eclittica e’chiusa) solo se i periodi Tr e Tθdei due moti sono in rapportorazionale: questo avviene solo se

V = −k

roppure V = kr2 k > 0

(teorema di Bertrand)

Variabili di azione-angolo

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Il passaggio a coordinate azione-angolo che portino ad una hamiltonianadipendente solo dalle azioni e’ un po’ laborioso: qui ricordiamo solo chele azioni I1e I2 sono funzione di E e di pθ; mentre scelta possile per gli angolie’ prenderne uno corrispondente all’argomento del perielio ω, che avanza di unangolo ∆θ ad ogni passaggio dal perielio ed e’ costante nel caso kepleriano:nel caso kepleriano c’e’ una terza costante del moto indipendente. Problemi diquesto tipo si dicono degeneri

Ωω

pericentroi

Formula di Binet

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Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

Seconda legge di

Keplero

Hamiltoniana

per r

Potenziale

efficaceMoto quasiperiodico

Variabili diazione-angolo

Formula di BinetEquazioni polaridi una conicaPrima legge diKeplero

Terza legge diKeplero

Referenze

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Per un potenziale kepleriano cerchiamo l’equazione r = r(θ) delleorbite possibili, andando a scrivere un’equazione differenziale per

1r(θ)

Si usa la conservazione della velocita’ areolare per ottenereθ = pθ

µr2 = 2cr2 . Allora

dr(θ)

dt=

dr(θ)

dθθ =

2c

r2

dr(θ)

dθ= −2c

d

dθ

1

r

derivando ancora

r = −4c2

r2

d2

dθ2

1

r

L’accelerazione radiale e’ quindi

ar = r − rθ2 = −4c2

r2

(d2

dθ2

(1

r

)

+1

r

)

(4)

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Ma

µar = −k

r2(5)

Eguagliando (4) e (5) si ottiene un’equazione per 1r

d2

dθ2

(1

r

)

= −1

r+

4µc2

koscillatore forzato!

Si ha, per C e θ0 costanti arbitrarie

r(θ) =1

k4µc2

+ C cos (θ − θ0)(6)

Equazioni polari di una conica

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Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

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Variabili diazione-angolo

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Terza legge diKeplero

Referenze

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Si dimostra (vedi appendice al capitolo 2 del libro di Benettin)che l’equazione polare di una conica e’

r =p

1 + e cos θ

F

r

P

θ

e e’ l’eccentricita’ cioe’ il rapporto costante tra la distanza deipunti della conica dal fuoco F e dalla direttrice; p un parametro.Se e < 1 ho ellissi, se e = 1 parabole, se e > 1 iperboli

Prima legge di Keplero

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Da (6), ponendo

p =4µc2

k=

pθ

µke =

√

1 +2Ep2

θ

µk2(7)

si har(θ) =

p

1 + e cos (θ − θ0)

quindi, per E < 0 l’orbita e’ una ellisse di cui A e’ uno dei fuochi

rθ pericentro

S

s

Se E > 0 l’orbita e’ un’iperbole (es: meteora. Ha energia abbastanza alta dasfuggire al campo gravitazionale e allontanarsi)

Terza legge di Keplero

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Nel caso di orbite ellittiche il periodo di rivoluzione T si puo’ calcolare comerapporto tra l’area dell’ellisse e la velocita’ areolare costante A .Se s < S sono i semiassi dell’ellisse A = πsS quindi (scritta (3))

T = 2µπsS

pθ

Da (7), ricordando che l’eccentricita’ per un’ellisse e’ e = sS

si ha allora

T 2

S3=

4π2µ

k

Nel caso della gravitazione k ∝ gµ, quindi

T 2

S3=

4π2

gm

(la massa totale m = a + b ∼ a se a >> b, per esempio se A e’ il sole).

Referenze

Leggi di Keplero

Descrizione del

problema

Riduzione del

problema

Pianodell’eclittica

Moto sul piano

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Keplero

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Terza legge diKeplero

Referenze

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Benettin etc: cap. 2.3,2.4Fasano, Marmi, Meccanica analitica, cap.5 e 11.8Scheck,Mechanics, 1.7Morbidelli,Modern celestial mechanics, primo capitoloGallavotti, Meccanica elementare, 4.9, 4.10

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That’s all, folks!