tratti da temi d’esame - image.unipd.it · moto vario in pressione -6- Con i dati del problema,...

-1-

RACCOLTA DI ESERCIZI tratti da temi d’esame

Andrea Defina

agosto 2012

-2-

Prefazione

Questa dispensa raccoglie di fatto alcuni dei temi di esame proposti agli studenti del corso di Complementi di Idraulica sia per la parte relativa al moto vario nelle condotte che per quella relativa alle correnti unidimensionali a superficie libera in condizioni di moto stazionario.

Con riferimento alla prima parte, spesso nel testo si chiede di precisare e giustificare le ipotesi semplificative introdotte. Nella descrizione delle soluzioni dei problemi qui riportate, le ipotesi adottate sono precisate ma non giustificate; e questo per evitare di appesantire l’esposizione (le dimostrazioni dell’applicabilità delle ipotesi semplificative introdotte, infatti, sono sempre le stesse, descritte dettagliatamente nella dispensa che riporta gli aspetti teorici del moto vario unidimensionale in pressione).

In qualche caso, il testo dell’esercizio contiene un rimando. Ad esempio nel testo dell’Esercizio 1 viene suggerito di vedere l’Esercizio 7. Ciò sta ad indicare che il modo di risolvere questi due esercizi è sostanzialmente lo stesso. Capito, quindi, come si procede nella soluzione di uno dei due esercizi, è possibile verificare l’effettiva comprensione cercando di risolvere l’altro.

Con riferimento alla seconda parte, relativa ai canali, vorrei solo chiarire che la maggior parte delle valutazioni quantitative qui riportate non sono strettamente richieste per superare la prova d’esame. E’ sufficiente, in genere, valutare le caratteristiche del moto uniforme allo scopo di stabilire se la pendenza del fondo è inferiore o superiore a quella critica.

Come per tutte le altre mie numerosissime dispense sono grato a quanti vorranno segnalarmi errori, precisazioni, suggerimenti e commenti o vorranno indicarmi spiegazioni poco chiare o incomprensibili (a questo proposito voglio ricordare che questa versione di esercizi svolti è stata preparata… un po’ in fretta).

Ringrazio Francesco Longo e Matteo Coriele per la segnalazione di alcuni errori.

Andrea Defina

Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima Ambientale e Geotecnica - Università di Padova. via Loredan, 20 – 35131 PADOVA email: [email protected] http://www.image.unipd.it/a.defina/

E’ vietata la riproduzione, integrale o parziale, a meno che la stessa non sia stata preventivamente autorizzata dall’autore.

moto vario in pressione

-1-

Esercizio 1 (Vedi anche Esercizio 7). Nell’impianto di sollevamento illustrato in figura, la galleria di mandata è lunga L=1600 m ed è a sezione circolare con diametro interno D=1.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=8.0 m2. Nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di energia si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico (si assuma come origine per i livelli z la quota del serbatoio di valle). Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione.

Per il caso particolare in cui a partire da condizioni iniziali di quiete per il sistema la portata sollevata dalla pompa passi istantaneamente da Qp=0.0 a Qp=Qp0=2.5 m3/s si valutino il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.

Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico assumendo che all’istante t0=3.5 T, la portata pompata sia incrementata al valore Qp1=5.0 m3/s. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.

Si rappresenti infine in un grafico l’andamento z(t) per 0<t<6T.

N.B. Nel derivare la soluzione generale và precisato l’orientamento scelto per l’ascissa curvilinea (s) lungo la quale si effettua l’integrazione nello spazio e vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.

Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo schema illustrato in Fig. 1, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra i punti 1 (superficie libera nel pozzo piezometrico) e 4 (superficie libera del serbatoio di valle

∫∫∫∫∫∫ −−−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

114 dsjdsjdsjds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE (1)


-2-

Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto 2-3, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale.

Fig. 1

Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE −−=− 14 (2)

in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 2 e 3, v e j sono rispettivamente la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta. L’energia E1 vale E1=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto 4 si ha E4=0 (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di energia, come suggerito nel testo, l’equazione (2) diventa

dtdv

gLz −=− (3)

A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità che, per il nodo 2 si scrive

AvdtdztQp =Ω−)( (4)

essendo Ω(dz/dt) la portata che dal nodo 2 entra nel pozzo e A=πD2/4=1.767 m2 l’area della condotta. Esplicitata la velocità v dalla (4), ricordando che essendo la variazione di portata pompata istantanea è dQp/dt=0 per t>0, si ha

2

2

2

2 )(1dt

zdAdt

tdQAdt

zdAdt

dv p Ω−=+

Ω−=

la quale, sostituita nella (3) fornisce

2

2

dtzd

AgLz Ω

=− (5)

Posto


-3-

Ω=

LAg2ω (6)

l'equazione (5) si scrive

022

2

=+ zdt

zd ω (7)

La soluzione generale dell’equazione (7) è del tipo

)(cos)( 21 tCtsenCz ωω += (8)

Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti condizioni al contorno

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Ω

=

== AvQ

dtdzz

tp 00

10

0

in cui v0=0 e Qp0=2.5 m3/s sono la velocità in condotta e la portata pompata all’istante t=0. Si trova

Ω

−=

ω00

1

vAQC p 02 =C

Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (6)) vale 0.0368 s-1, a cui corrisponde il periodo T=2π/ω=170.73 s. Si ha inoltre C1=8.49 m. Se si considera, per le quote, il riferimento originario, il massimo e il minimo livello nel pozzo valgono hMAX=66.49 m e hMIN=49.51 m, pertanto le oscillazioni risultano contenute all’interno del pozzo piezometrico. In particolare, all’istante t0=3.5T, il livello nel pozzo (dalla (8)) vale z0=0 m mentre la velocità in condotta si trova combinando le equazioni (4) e (8)

[ ]

( )[ ])(cos1

)(cos11)(

0000

010000

tvAQQA

tCQAdt

dzQA

tv

pp

ptt

p

ω

ωω

−−=

=Ω−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω−=

= (9)

Sostituendo i dati del problema nella (9) si trova v0=2.829 m/s. All’istante t0 la portata pompata passa istantaneamente da Qp0 a Qp1=5 m3/s. A seguito di questa manovra si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo piezometrico. E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla (8). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Ω

=

==

AtvQdtdz

zztt

p )(101

0

0

Si trova


-4-

021 ==CC

per cui, a partire dall’istante t0, il livello nel pozzo resta costante (z=0) come pure la velocità in condotta, che dalla continuità

( ) 0)(11 =−

Ω= AtvQ

dtdz

p

risulta valere v(t)=Qp1/A=2.829 m/s. L’andamento nel tempo del livello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 2 mentre nella successiva Fig. 3 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella condotta.

Fig. 2

Fig. 3


-5-

Esercizio 2 (Vedi anche Esercizio 8). La condotta di scarico illustrata in figura, lunga complessivamente 500 m è divisa in due tratti (le cui caratteristiche sono indicate nella stessa figura) per i quali si può assumere lo stesso valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.

Si valutino preliminarmente la portata scaricata e le velocità dell’acqua nei due tratti di condotta in condizioni di regime quando la saracinesca R è completamente aperta e non dà luogo a dissipazioni localizzate di energia.

Assumendo che per t<0 la saracinesca R sia chiusa e venga aperta istantaneamente all’istante t=0, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’avviamento della condotta. Individuata la legge con cui la velocità in uno dei due tratti di condotta (oppure la portata) cresce nel tempo fino a raggiungere le condizioni di regime si valuti (analiticamente) l’andamento nel tempo dell’energia in corrispondenza della sezione N.

N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.

Le caratteristiche del moto quando la saracinesca R è completamente aperta si possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo sbocco R. Indicati, per comodità, con i pedici 1 e 2 rispettivamente i tratti A-N e N-R di condotta, si ha

RA ELjLjE =−− 2211

Utilizzando l’equazione di continuità per una corrente unidimensionale e la legge di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia si ha

2021010 vAvAQ == g

vh

gv

dLf

gv

dLfh RA 222

220

220

2

2210

1

1 +=−− (10)

ovvero

gv

dLf

AA

dLfhh RA 2

1220

2

22

1

2

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− (11)


-6-

Con i dati del problema, si trova v20=7.60 m/s, v10=1.90 m/s e Q0=2.15 m3/s. Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il serbatoio A e lo sbocco R. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel serbatoio si trova

∫∫∫∫ −−∂∂

−∂∂

−=−R

N

N

A

R

N

N

AAR dsjdsjds

tv

gds

tv

gEE 11 (12)

Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo le condotte sono costanti nello spazio sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j, l’equazione (12) può essere riscritta come segue

gv

dLf

gv

dLf

tv

gL

tv

gLh

gvh AR 222

22

2

221

1

1221122 −−

∂∂

−∂∂

−=−+

Utilizzando l’equazione di continuità (10) per sostituire la velocità v2 alla velocità v1, si ottiene

gv

dLf

AA

dLf

tvL

AAL

ghh AR 2

11 22

2

22

1

2

1

122

1

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− (13)

Posto

RA hhh −=0 21

21 L

AALL +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

22

1

2

1

1

dLf

AA

dLfr +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

l’equazione (13) si semplifica nella seguente

gvr

tv

gLh

2)1(

222

0 ++∂∂

= (14)

Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una condotta. Con i dati del problema, si trova A2/A1=0.25, L=200 m, r=3.75. Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta, consideriamo la condizione di regime, data dall’equazione (11) che può essere riscritta come segue

gv

rh2

)1(220

0 +=

Esplicitata la precedente relazione rispetto a (1+r) e sostituita l’espressione così ottenuta per (1+r) nell’equazione (14) si trova

220

222

0

1vv

tv

hgL

−=∂∂ (15)

Posto Ta=Lv20/gh0=11.07 s, la precedente relazione diventa

220

22

202

/1/)/(

vvvv

Tt a −∂

=∂

la quale, risolta con la condizione al contorno: v2=0 per t=0, fornisce


-7-

=aTt arctanh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

20

2

vv ovvero

20

2

vv =tanh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

aTt (16)

Per valutare l’andamento nel tempo dell’energia nel nodo N, si può, indifferentemente considerare l’equazione dinamica integrata tra il serbatoio A e la sezione N, oppure tra la sezione N e lo sbocco R. In questo secondo caso si ha

∫∫ −∂∂

−=−R

N

R

NNR dsjds

tv

gEE 1

che può essere riscritta come segue

gv

dLf

tv

gL

gvhE RN 22

22

2

22222 +

∂∂

++= (17)

Essendo nota v2(t), la precedente relazione fornisce l’andamento nel tempo dell’energia nella sezione N. Si osservi, per altro, che dalla (15) si può scrivere

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

220

2202 1

vv

Lhg

tv

La quale, sostituita nella (17) fornisce

gv

dLfr

LL

LLhhE RN 2

)1(122

2

2220 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−++=

L’andamento nel tempo della velocità nel tratto N-R (v2) e dell’energia EN nella sezione N sono illustrati in Fig. 4.

Fig. 4


-8-

Esercizio 3. La condotta di scarico illustrata in figura, di diametro d=0.8 m, è lunga complessivamente 450 m ed è munita di una saracinesca R che, se completamente aperta, non dà luogo ad alcuna dissipazione localizzata di energia. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.

Inizialmente (t<0), le condizioni di moto sono stazionarie e la saracinesca R è parzialmente chiusa e determina una dissipazione localizzata di energia pari a ΔER=37.v0

2/2g. Si valuti, in queste condizioni la velocità v0 nella condotta.

All’istante t=0 la saracinesca R viene (istantaneamente) aperta. Si valuti la velocità v1 di regime nelle nuove condizioni, la legge con cui la velocità in condotta varia da v0 a v1 e l’istante in cui la velocità in condotta raggiunge il valore 0.99 v1.


Le caratteristiche iniziali del moto quando la saracinesca R è parzialmente chiusa si possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo sbocco U

URA EELjE =Δ−−

Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia, e le altre indicazioni riportate in figura, si ha

gv

dLfhh UA 2

13720

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=− (18)

Con i dati del problema, si trova v0=2.36 m/s e Q0=1.187 m3/s. Per valutare le condizioni di regime una volta che la saracinesca R venga completamente aperta si utilizza ancora l’equazione (18) nella quale, però, è omesso il contributo della dissipazione localizzata. Con i dati del problema, si trova v1=4.735 m/s e Q1=2.38 m3/s. Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il serbatoio A e lo sbocco U. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel serbatoio si trova


-9-

∫∫ −∂∂

−=−U

A

U

AAU dsjds

tv

gEE 1 (19)

Si osservi, nella (19), che non è presente la dissipazione localizzata di energia. Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo la condotta è costante nello spazio sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che la dissipazione di energia per unità di lunghezza j, l’equazione (19) può essere riscritta come segue

gv

dLf

tv

gLh

gvh AU 22

22

−∂∂

−=−+ (20)

Posto

RA hhh −=0 dLfr /=


gvr

tv

gLh

2)1(

2

0 ++∂∂

= (21)

Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una condotta. Con i dati del problema, si trova r=11.25. Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta, consideriamo la condizione di regime, che può essere riscritta come segue

gvrh2

)1(21

0 +=


21

2

0

1vv

tv

hgL

−=∂∂ (22)


21

21

/1/)/(

vvvvTt a −

∂=∂

la quale, integrata, si scrive

=aTt arctanh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1vv +cost. (23)

La costante di integrazione si determina sapendo che per t=0 la velocità in condotta vale v0. Sostituita questa condizione nella (23) si trova

cost=-arctanh ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

0

vv

=-0.5476

e quindi


-10-

=aTt arctanh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1vv -arctanh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

0

vv

(24)

ovvero

v=v1.tanh ⎢

⎣

⎡+

aTt arctanh ⎥

⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

0

vv

(25)

L’andamento nel tempo della velocità espressa dalla (25) è illustrato in Fig. 5.

Fig. 5

Per valutare a che istante la velocità raggiunge il valore v=0.99.v1=4.688 m/s, basta sostituire questo valore nell’equazione (24). Si trova t=40.5 s.


-11-

Esercizio 4 (Vedi anche Esercizio 9). Nel sistema illustrato in figura, la galleria AB è lunga L=1800 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=2.0 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=12.0 m2. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è a regime e lungo la galleria fluisce la portata Q0=Qf=1.5 m3/s e, nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di energia, il livello z nel pozzo coincide con quello nel serbatio di monte. A partire dall’istante t=0 viene immessa nel pozzo piezometrico la portata ΔQ=3.0 m3/s, costante nel tempo (vedi figura). Si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità in condotta, e si commenti il risultato ottenuto. Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico assumendo che all’istante t1=2.5 T, la portata immessa ΔQ si riduca istantaneamente a zero. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.


N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.

Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato come punto 1) e la superficie libera nel pozzo piezometrico (che sarà indicato come punto 2)

∫∫∫∫∫∫ −−−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−2

B

B

A

A

1

2

B

B

A

A

112 dsjdsjdsjds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE

Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia


-12-

il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale. Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE −−=− 12 (26)

in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni A e B, v e j sono rispettivamente la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta. Si assume, per comodità, il livello del serbatoio di monte come riferimento. In tal caso l’energia E2 vale E2=z (avendo indicato con z il livello nel pozzo piezometrico e nell’ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo), mentre nel punto 1 si ha E1=0.0 m (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di energia, come suggerito nel testo, l’equazione (26) diventa

dtdv

gLz −= (27)

A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità. Per il nodo B si può scrivere

fp QtQAv += )(

in cui A=3.14 m2 è l’area della condotta e Qp(t) è la portata che dal nodo B entra nel pozzo piezometrico (Qf è indicato in figura e resta costante nel tempo). A questa relazione si può associare l’equazione di continuità per un serbatoio

dtdzQtQp Ω=Δ+)(

Combinando le due precedenti relazioni si trova

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Δ−Ω= fQQ

dtdz

Av 1 (28)

da cui, essendo ΔQ=3.0 m3/s costante nel tempo a partire da t=0, si ha

2

2

dtzd

Adtdv Ω

=

Sostituita questa espressione per dv/dt nella (27) e posto

Ω=

LAg2ω (29)

si trova

022

2

=+ zdt

zd ω (30)


-13-




( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Δ+Ω

=

==

fQQAvdtdzz

t0

10

0

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (28) esplicitata rispetto a dz/dt e calcolata per t=0. Essendo Qf=Q0=1.5 m3/s, v0=Q0/A=0.477 m/s e ΔQ=3.0 m3/s, si trova

=Ω

Δ=

Ω−Δ+

=ωω

QQQAvC f0

1 6.618 m 02 =C

Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (29)) vale 0.0378 s-1, a cui corrisponde il periodo T=2π/ω=166.34 s. L’andamento nel tempo dei livelli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla seguente relazione

)( tsenQz ωω ΩΔ

= (32)

Considerando le quote originali, i valori massimo e minimo del livello nel pozzo valgono quindi hMAX=26.62 m e hMIN=13.38 m. L’oscillazione, quindi, resta contenuta all’interno del pozzo. Con riferimento alla soluzione ottenuta è da osservare che il risultato, in termini di livello nel pozzo piezometrico, è indipendente dal valore assunto dalla portata Qf. Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (28) si ottiene anche l’andamento nel tempo della velocità

( )[ ]1)(cos1−Δ+= tQQ

Av f ω (33)

In particolare, all’istante t1=2.5T=415.85 s, il livello nel pozzo (dalla (32)) vale z1=0 m mentre la velocità in condotta dalla (33) vale v1=-1.432 m/s. All’istante t1 la portata immessa si riduce istantaneamente a zero e, a seguito di questa manovra, si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo piezometrico. E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla (31). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Ω

=

==

fQAvdtdz

zztt

1

1

1 1

Si trova


-14-

237.131 =C 02 =C

per cui, a partire dall’istante t1, il livello nel pozzo oscilla con un’ampiezza doppia rispetto alla precedente. Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere valutato utilizzando l’equazione di continuità (28) con ΔQ=0

[ ]fQtCA

v +Ω= )cos(11 ωω

risulta caratterizzata da oscillazioni di ampiezza doppia rispetto alla precedente pur restando invariato il valore minimo. L’andamento nel tempo del livello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 6 mentre nella successiva Fig. 7 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella condotta. A seguito di questa seconda manovra i valori massimo e minimo del livello nel pozzo valgono hMAX=33.24 m e hMIN=6.76 m. L’oscillazione, quindi, non è contenuta all’interno del pozzo.

Fig. 6

Fig. 7


-15-

Esercizio 5. Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=22 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.3 m. Il serbatoio A è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=0.6 m2. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete con il livello nel serbatoio A coincidente con la quota di sbocco B. A partire dall’istante t=0 viene immessa nel serbatoio A la portata ΔQ0=0.1 m3/s, costante nel tempo. Assumendo per ipotesi che il livello dell’acqua in corrispondenza dello sbocco B non scenda mai al di sotto del livello di riferimento e assumendo trascurabili le dissipazioni di energia e i termini cinetici, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio. Si verifichi quindi la correttezza dell’ipotesi fatta. Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità in condotta.

Si determini poi l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio e della velocità v in condotta assumendo che all’istante t1=1.5.T, la portata immessa sia istantaneamente incrementata al valore ΔQ1=0.15 m3/s. Si verifichi anche in questo caso che il livello dell’acqua in corrispondenza dello sbocco B non scenda mai al di sotto del livello di riferimento.



Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (punto 1) e lo sbocco B

∫∫∫∫ −−∂∂

−∂∂

−=−B

2

2

1

B

2

2

11B dsjdsjds

tv

g1ds

tv

g1EE


-16-

Immaginando che le dimensioni trasversali del serbatoio siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo il tratto 1-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto 2-B, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale. Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEEB −−=− 1 (34)

in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 2 e B, v e j sono rispettivamente la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta. Nell’ipotesi di trascurare i termini cinetici (vedi testo), l’energia E2 vale E2=z mentre nel punto B si ha EB=0.0 m (immaginando che il livello dell’acqua nella condotta non scenda mai sotto la quota di sbocco). Trascurando le dissipazioni di energia, come suggerito nel testo, l’equazione (34) diventa

dtdv

gLz −=− (35)

A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità Per il nodo 1 si può scrivere

)(tQAv p−=

in cui A=0.0707 m2 è l’area della condotta e Qp(t) è la portata che dal nodo 1 entra nel pozzo piezometrico. A questa relazione si può associare l’equazione di continuità per un serbatoio

dtdzQtQp Ω=Δ+ 0)(


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω−Δ=

dtdzQ

Av 0

1 (36)

da cui, essendo ΔQ0=0.1 m3/s costante nel tempo a partire da t=0, si ha

2

2

dtzd

Adtdv Ω

−=


Ω=

LAg2ω (37)

si trova

022

2

=+ zdt

zd ω (38)


-17-




( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−ΔΩ

=

== AvQ

dtdzz

t00

10

0

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (36) esplicitata rispetto a dz/dt e calcolata per t=0. Essendo v0=0 m/s e ΔQ0=0.1 m3/s, si trova

=Ω

Δ=

Ω−Δ

=ωω

0001

QAvQC 0.727 m 02 =C


)(0 tsenQ

z ωω ΩΔ

= (40)

Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (36) si ottiene anche l’andamento nel tempo della velocità

[ ])(cos10 tAQ

v ω−Δ

= (41)

La velocità risulta sempre positiva o al più nulla e questo garantisce un livello nella parte terminale della condotta sempre coincidente con la quota dello sbocco. L’ipotesi di lavoro è quindi verificata. In particolare, all’istante t1=1.5T=41.12 s, il livello nel pozzo (dalla (40)) vale z1=0 m mentre la velocità in condotta dalla (41) vale v1=2.829 m/s. All’istante t1 la portata immessa si incrementa istantaneamente al valore ΔQ1=0.15 m3/s e, a seguito di questa manovra, si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo piezometrico. E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla (39). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−ΔΩ

=

==

AvQdtdz

zztt

11

1

1 1

Si trova


-18-

( ) ( ) 3636.021101111 =Δ−Δ

Ω−=−Δ

Ω−= QQAvQC

ωω m 02 =C

per cui, a partire dall’istante t1, il livello nel serbatoio oscilla con un’ampiezza ridotta. Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere valutato utilizzando l’equazione di continuità (36) nella quale sia sostituito ΔQ1 a ΔQ0, continua ad oscillare con un’ampiezza ridotta restando però invariato il suo valore massimo

)(cos2 011 tA

QQAQv ω

Δ−Δ+

Δ= (42)

L’andamento nel tempo del livello nel serbatoio è illustrato in Fig. 8 mentre nella successiva Fig. 9 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella condotta.

Fig. 8

Fig. 9


-19-

Esercizio 6. Nel sistema illustrato in figura, la condotta che collega i serbatoi A e B è lunga L=100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.20 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=0.3 m2 e ΩB=0.5 m2, rispettivamente Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete con le superfici libere nei due serbatoi alla stessa quota, che può essere assunta come quota di riferimento. A partire dall’istante t=0 viene immessa nel serbatoio A la portata Q=0.1 m3/s e la stessa portata viene sottratta dal serbatoio B. Si valuti, preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio A e y nel serbatoio B. Successivamente, assumendo, per ipotesi, trascurabili le dissipazioni di energia e i termini cinetici, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo dei livelli z e y. Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità nella condotta. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.

Per la conservazione dei volumi è evidente che, in ogni istante, il volume presente nel sistema resta invariato. Pertanto, ad un incremento di volume immagazzinato nel serbatoio A pari a ΩA

.Δz; deve corrispondere un volume sottratto al serbatoio B pari ΩB

.Δy. Essendo y=0 quando z=0 per il riferimento assunto, si avrà

zyB

A

ΩΩ

−= (43)

Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (punto 1) e la superficie libera nel serbatoio B (punto 4) nell’ipotesi, suggerita dal testo, di trascurare le dissipazioni di energia

∫∫∫ ∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−4

3

3

2

2

114

111 dstv

gds

tv

gds

tv

gEE

Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono


-20-

piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto 2 -3, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

dtdv

gLEE −=− 14

in cui L e v sono rispettivamente la lunghezza della condotta e la velocità del fluido. Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile, utilizzando inoltre il legame espresso dalla (43), la precedente relazione può essere scritta come segue

dtdv

gLz

B

A =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΩΩ 1 (44)

Indicata con A l’area della sezione della condotta, per continuità si può scrivere

dtdzvAQ AΩ=− ovvero ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω−=

dtdzQ

Av A

1 (45)

Sostituita questa espressione per v nella (44) si ottiene

2

2

1dt

zdAg

Lz A

B

A Ω−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΩΩ (46)

Posto infine

AB

A

LAgΩ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΩΩ

= 12ω (47)

si trova

022

2

=+ zdt

zd ω (48)




⎪⎩

⎪⎨⎧

=Ω−

=

== 0

00 0

A

AvQdtdzz

t

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (45) calcolata per t=0. Con i dati del problema, essendo v0=0, si trova

A

QCΩ

=ω1 =2.6 m 02 =C


-21-

Inoltre, la pulsazione ω (equazione (47)) vale 0.128 s-1, a cui corrisponde il periodo T=2π/ω=49.0 s. Gli andamenti nel tempo dei livelli z e y nei due serbatoi sono quindi forniti dalle seguenti relazioni (Fig. 10)

)( tsenQzA

ωωΩ

= )( tsenQzyBB

A ωωΩ

−=ΩΩ

−= (50)

Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (45) si ottiene anche l’andamento nel tempo della velocità v (Fig. 11)

[ ])(cos1 tAQv ω−= (51)

Fig. 10

Fig. 11


-22-

Esercizio 7 (Vedi anche Esercizio 1). Nell’impianto di sollevamento illustrato in figura, la galleria di mandata è lunga L=1800 m ed è a sezione circolare con diametro interno D=2.0 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=12.0 m2. Nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di energia si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico (si assuma come origine per i livelli z la quota del serbatoio di valle). Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione.

Per il caso particolare in cui a partire da condizioni iniziali di quiete per il sistema la portata sollevata dalla pompa passi istantaneamente da Qp=0.0 a Qp=Qp0=5.0 m3/s si valutino il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.

Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico assumendo che all’istante t0=3.5 T, la portata pompata si riduca al valore Qp1=2.5 m3/s. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.


N.B. Nel derivare la soluzione generale và precisato l’orientamento scelto per l’ascissa curvilinea (s) lungo la quale si effettua l’integrazione nello spazio e vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.

Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo schema illustrato in Fig. 12, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra i punti 1 (superficie libera nel pozzo piezometrico) e 4 (superficie libera del serbatoio di valle

∫∫∫∫∫∫ −−−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−4

3

3

2

2

1

4

3

3

2

2

114 dsjdsjdsjds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE (52)


-23-

Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto 2-3, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale.

Fig. 12

Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE −−=− 14 (53)

in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 2 e 3, v e j sono rispettivamente la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta. L’energia E1 vale E1=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto 4 si ha E4=0 (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di energia, come suggerito nel testo, l’equazione (53) diventa

dtdv

gLz −=− (54)

A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità che, per il nodo 2 si scrive

AvdtdztQp =Ω−)( (55)

essendo Ω(dz/dt) la portata che dal nodo 2 entra nel pozzo e A=πD2/4=3.14 m2 l’area della condotta. Esplicitata la velocità v dalla (55), ricordando che essendo la variazione di portata pompata istantanea è dQp/dt=0 per t>0, si ha

2

2

2

2 )(1dt

zdAdt

tdQAdt

zdAdt

dv p Ω−=+

Ω−=

la quale, sostituita nella (54) fornisce

2

2

dtzd

AgLz Ω

=− (56)

Posto


-24-

Ω=

LAg2ω (57)


022

2

=+ zdt

zd ω (58)




( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Ω

=

== AvQ

dtdzz

tp 00

10

0

in cui v0=0 e Qp0=5.0 m3/s sono la velocità in condotta e la portata pompata all’istante t=0. Si trova

Ω

−=

ω00

1

vAQC p 02 =C

Con i dati del problema, la pulsazione ω (equazione (57)) vale 0.0378 s-1, a cui corrisponde il periodo T=2π/ω=166.34 s. Si ha inoltre C1=11.03 m. Se si considera, per le quote, il riferimento originario, il massimo e il minimo livello nel pozzo valgono hMAX=69.03 m e hMIN=46.97 m, pertanto le oscillazioni risultano contenute all’interno del pozzo piezometrico. In particolare, all’istante t0=3.5T, il livello nel pozzo (dalla (59)) vale z0=0 m mentre la velocità in condotta si trova combinando le equazioni (55) e (59)

[ ]

( )[ ])(cos1

)(cos11)(

0000

010000

tvAQQA

tCQAdt

dzQA

tv

pp

ptt

p

ω

ωω

−−=

=Ω−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω−=

= (60)

Sostituendo i dati del problema nella (60) si trova v0=3.183 m/s. All’istante t0 la portata pompata passa istantaneamente da Qp0 a Qp1=2.5 m3/s. A seguito di questa manovra si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo piezometrico. E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla (59). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Ω

=

==

AtvQdtdz

zztt

p )(101

0

0

Si trova


-25-

546.161 =C 02 =C

per cui, a partire dall’istante t0, il livello nel pozzo oscilla con un’ampiezza superiore del 50% rispetto alla precedente. Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere valutato utilizzando l’equazione di continuità (55)

[ ])cos(11111 tCQ

AdtdzQ

Av pp ωωΩ−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Ω−=

risulta caratterizzata da oscillazioni più ampie pur restando invariato il valore massimo. L’andamento nel tempo del livello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 13 mentre nella successiva Fig. 14 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella condotta.

Fig. 13

Fig. 14


-26-

Esercizio 8 (Vedi anche Esercizio 2). La condotta di scarico illustrata in figura, lunga complessivamente 500 m è divisa in tre tratti (le cui caratteristiche sono indicate nella stessa figura) per i quali si può assumere lo stesso valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.

Si valutino preliminarmente la portata scaricata e le velocità dell’acqua nei tre tratti di condotta in condizioni di regime quando la saracinesca R è completamente aperta e non dà luogo a dissipazioni localizzate di energia.

Assumendo che per t<0 la saracinesca R sia chiusa e venga aperta istantaneamente all’istante t=0, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’avviamento della condotta. Individuata la legge con cui la velocità in uno dei tre tratti di condotta (oppure la portata) cresce nel tempo fino a raggiungere le condizioni di regime si valuti (analiticamente) l’andamento nel tempo dell’energia in corrispondenza della sezione M.


Le caratteristiche del moto quando la saracinesca R è completamente aperta si possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo sbocco R. Indicati, per comodità, con i pedici 1, 2 e 3 rispettivamente i tratti A-M, M-N e N-R di condotta, si ha

RA ELjLjLjE =−−− 332211

Utilizzando l’equazione di continuità per una corrente unidimensionale e la legge di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia si ha

3032021010 vAvAvAQ === g

vh

gv

dLf

gv

dLf

gv

dLfh RA 2222

230

230

3

3220

2

2210

1

1 +=−−− (61)

ovvero


-27-

gv

dLf

AA

dLf

AA

dLfhh RA 2

1230

3

32

2

3

2

22

1

3

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− (62)

Con i dati del problema, si trova v30=v10=2.12 m/s, v20=8.49 m/s e Q0=2.40 m3/s. Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il serbatoio A e lo sbocco R. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel serbatoio si trova

∫∫∫∫∫ ∫ −−−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−R

N

N

M

M

A

R

N

M

A

N

MAR dsjdsjdsjds

tv

gds

tv

gds

tv

gEE 111 (63)

Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo le condotte sono costanti nello spazio sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j, l’equazione (63) può essere riscritta come segue

gv

dLf

gv

dLf

gv

dLf

tv

gL

tv

gL

tv

gLh

gv

h AR 2222

23

3

322

2

221

1

133221123 −−−

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−+

Utilizzando l’equazione di continuità (61) per sostituire la velocità v3 alle velocità v1 e v2, si ottiene

gv

dLf

AA

dLf

AA

dLf

tv

LAA

LAA

Lg

hh AR 211 2

3

3

32

2

3

2

22

1

3

1

133

2

32

1

31

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− (64)

Posto

RA hhh −=0 32

32

1

31 L

AA

LAA

LL +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

32

2

3

2

22

1

3

1

1

dLf

AA

dLf

AA

dLfr +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


gv

rt

vgLh

2)1(

233

0 ++∂∂

= (65)

Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una condotta. Con i dati del problema, si trova A3/A1=1.0, A3/A2=4.0, L=800 m, r=60. Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta, consideriamo la condizione di regime, data dall’equazione (62) che può essere riscritta come segue

gvrh2

)1(230

0 +=


230

233

0

1vv

tv

hgL

−=∂∂

(66)



-28-

230

23

303

/1/)/(

vvvv

Tt a −∂

=∂

la quale, risolta con la condizione al contorno: v30=0 per t=0, fornisce

=aTt arctanh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

30

3

vv ovvero

30

3

vv =tanh ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

aTt (67)

Per valutare l’andamento nel tempo dell’energia nel nodo M, si può, indifferentemente considerare l’equazione dinamica integrata tra il serbatoio A e la sezione M, oppure tra la sezione M e lo sbocco R. Nel primo caso si ha

∫∫ −∂∂

−=−M

A

M

AAM dsjds

tv

gEE 1

che può essere riscritta come segue

gv

dLf

tv

gLhE AM 2

21

1

111 −∂∂

−= (68)

Essendo, dalla continuità, v1(t)=v3(t), l’andamento v1(t) è noto essendo di fatto espresso dalla (67), e la precedente relazione fornisce l’andamento nel tempo dell’energia nella sezione M. Si osservi, per altro, che dalla (66), ricordando che v1=v3, si può scrivere

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

210

2101 1

vv

Lhg

tv

La quale, sostituita nella (68) fornisce

gv

dLfr

LL

LLhhE AM 2

)1(21

1

1110 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−=

L’andamento nel tempo della velocità nei tratti A-M e N-R (v1=v3) e dell’energia EM nella sezione M sono illustrati in Fig. 15.

Fig. 15


-29-

Esercizio 9 (Vedi anche Esercizio 4). Nel sistema illustrato in figura, la galleria AB è lunga L=1100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=12.0 m2. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è a regime e lungo la galleria fluisce la portata Q0=Qf=1.5 m3/s e, nell’ipotesi semplificativa di trascurare tutte le dissipazioni di energia, il livello z nel pozzo coincide con quello nel serbatio di monte. A partire dall’istante t=0 viene immessa nel pozzo piezometrico la portata ΔQ=4.0 m3/s, costante nel tempo (vedi figura). Si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità in condotta, e si commenti il risultato ottenuto. Si determini quindi l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico assumendo che all’istante t1=2.0 T, la portata immessa ΔQ si riduca istantaneamente a zero. Si valutino, a seguito di questa manovra, il valore massimo e minimo della quota z nel pozzo piezometrico e si commenti il risultato ottenuto.




∫∫∫∫∫∫ −−−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−2

B

B

A

A

1

2

B

B

A

A

112 dsjdsjdsjds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE

Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia


-30-

il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale. Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE −−=− 12 (69)

in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni A e B, v e j sono rispettivamente la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta. Si assume, per comodità, il livello del serbatoio di monte come riferimento. In tal caso l’energia E2 vale E2=z (avendo indicato con z il livello nel pozzo piezometrico e nell’ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo), mentre nel punto 1 si ha E1=0.0 m (immaginando che il serbatoio sia di grandi dimensioni e quindi sia trascurabile l’oscillazione della sua superficie libera). Trascurando le dissipazioni di energia, come suggerito nel testo, l’equazione (69) diventa

dtdv

gLz −= (70)

A questa relazione, nelle variabili z(t) e v(t) va associata l’equazione di continuità. Per il nodo B si può scrivere

fp QtQAv += )(

in cui A=1.767 m2 è l’area della condotta e Qp(t) è la portata che dal nodo B entra nel pozzo piezometrico (Qf è indicato in figura e resta costante nel tempo). A questa relazione si può associare l’equazione di continuità per un serbatoio

dtdzQtQp Ω=Δ+)(


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +Δ−Ω= fQQ

dtdz

Av 1 (71)

da cui, essendo ΔQ=4.0 m3/s costante nel tempo a partire da t=0, si ha

2

2

dtzd

Adtdv Ω

=


Ω=

LAg2ω (72)

si trova

022

2

=+ zdt

zd ω (73)


-31-




( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Δ+Ω

=

==

fQQAvdtdzz

t0

10

0

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (71) esplicitata rispetto a dz/dt e calcolata per t=0. Essendo Qf=Q0=1.5 m3/s, v0=Q0/A=0.849 m/s e ΔQ=4.0 m3/s, si trova

=Ω

Δ=

Ω−Δ+

=ωω

QQQAvC f0

1 9.198 m 02 =C


)( tsenQz ωω ΩΔ

= (75)

Considerando le quote originali, i valori massimo e minimo del livello nel pozzo valgono quindi hMAX=27.2 m e hMIN=8.8 m. L’oscillazione, quindi, resta contenuta all’interno del pozzo. Con riferimento alla soluzione ottenuta è da osservare che il risultato, in termini di livello nel pozzo piezometrico, è indipendente dal valore assunto dalla portata Qf. Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (71) si ottiene anche l’andamento nel tempo della velocità

( )[ ]1)(cos1−Δ+= tQQ

Av f ω (76)

In particolare, all’istante t1=2.0T=346.76 s, il livello nel pozzo (dalla (75)) vale z1=0 m mentre la velocità in condotta dalla (76) vale v1=0.849 m/s. All’istante t1 la portata immessa si riduce istantaneamente a zero e, a seguito di questa manovra, si modificheranno le oscillazioni di livello nel pozzo piezometrico. E’ da osservare che la soluzione generale resta immutata ed è sempre fornita dalla (74). Per la soluzione particolare devono essere però precisati nuovi valori per le costanti C1 e C2 imponendo, in particolare, le seguenti condizioni

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Ω

=

==

fQAvdtdz

zztt

1

1

1 1

Si trova


-32-

01 =C 02 =C

per cui, a partire dall’istante t1, il livello nel pozzo si mantiene costante e pari a zero. Anche la velocità in condotta, il cui andamento nel tempo può essere valutato utilizzando l’equazione di continuità (71) con ΔQ=0, si mantiene costante e pari al valore massimo che caratterizzava le oscillazioni per t<t1

==A

Qv f 0.849 m/s

L’andamento nel tempo del livello nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 16 mentre nella successiva Fig. 17 è riportato l’andamento nel tempo della velocità nella condotta.

Fig. 16

Fig. 17


-33-

Esercizio 10. Nel sistema illustrato in figura, la galleria AB è lunga L=1300 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della galleria è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=12.0 m2. In un punto intermedio, lungo la condotta (nodo N), è presente una sottrazione localizzata di portata, costante, pari a Qu=0.5 m3/s. A causa di una serie di manovre il livello nel pozzo sta oscillando. In particolare, ad un certo istante che assumiamo come istante iniziale (t=0) si sa che il livello nel pozzo vale z0=1.0 m e che la velocità lungo il tratto N-B della condotta vale v0=0.5 m/s diretta verso il pozzo piezometrico. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Si valuti inoltre il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità nei due tratti di condotta. Si valutino infine i valori massimo e minimo del livello nel pozzo piezometrico.



∫∫∫∫∫ −∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−2

1

2

B

B

N

N

A

A

112 dsjds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE

Immaginando che le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Trascurate inoltre le dissipazioni di energia e ricordando che la velocità, lungo ciascuno dei due tratti di condotta, non dipende dallo spazio ma solo dal tempo, si trova

dtdv

gL

dtdv

gLEE NBAN 21

12 −−=− (77)

in cui v1 e v2 sono le velocità lungo i tratti AN e NB di condotta, rispettivamente.


-34-

Si assume, come indicato in figura, il livello del serbatoio di monte come riferimento rispetto al quale il livello nel pozzo piezometrico è rappresentato dalla quota z. Nelle ipotesi di trascurare il termine cinetico nel pozzo l’energia E2 vale E2=z mentre nel punto 1 si ha E1=0.0 m. L’equazione (26) si scrive pertanto

dtdv

gL

dtdv

gLz NBAN 21 −−= (78)

A questa relazione, nelle variabili z(t), v1(t) e v2(t) vanno associate le equazioni di continuità per i nodi N e B

AvQAv u 21 += dtdzAv Ω=2

in cui A=0.785 m2 è l’area della condotta. Combinando le due precedenti relazioni si trova

dtdz

AAQ

v u Ω+=1

dtdz

Av Ω

=2 (79)

Sostituita questa espressione per dv/dt nella (27), ricordando che la portata Qu è costante nel tempo si trova

2

2

2

2

2

2

2

2

dtzd

gAL

dtzd

AgLL

dtzd

AgL

dtzd

AgLz NBANNBAN Ω

−=Ω+

−=Ω

−Ω

−= (80)

in cui L è la lunghezza complessiva della condotta. Posto infine

Ω=

LAg2ω (81)

L’equazione (80) si scrive

022

2

=+ zdt

zd ω (82)



in cui la pulsazione ω (equazione (29)), con i dati del problema, vale 0.0222 s-1, a cui corrisponde il periodo T=2π/ω=282.72 s. Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le condizioni al contorno proposte nel testo

⎪⎩

⎪⎨⎧

==Ω

=

===

smvdtdz

Av

mzzt

/5.0

0.10

02

0

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (28). Si trova

=Ω

=ω

AvC 0

1 1.4725 m == 02 zC 1.0 m


-35-

L’andamento nel tempo dei livelli z nel pozzo piezometrico è quindi fornito dalla seguente relazione

)(cos)( 00 tztsen

Avz ωω

ω+

Ω= (84)

Noto l’andamento z(t), utilizzando le equazioni (28) si ottiene anche l’andamento nel tempo della velocità

)()(cos 001 tsen

Az

tvA

Qv u ω

ωω

Ω−+= )()(cos 0

02 tsenAz

tvv ωω

ωΩ

−= (85)

Gli istanti in cui si realizzano i valori massimi e minimi dei livelli si determinano annullando la derivata temporale del livello z

0)()(cos 00 =−Ω

= tsenztAv

dtdz ωωω per

2)arctan(1

0

0 TkzAv

tMAX +Ω

=ωω

con k=0, 1, 2, 3, …..Sostituiti questi valori del tempo nell’equazione (32) si trova zMAX=1.78 m e zMIN=-1.78 m. Gli andamenti nel tempo del livello nel pozzo e delle velocità lungo i due tratti di condotta sono illustrati in Fig. 18.

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800tempo (s)

z (m

)

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

v (m

/s)

z (m)v1 (m/s)v2 (m/s)

Fig. 18


-36-

Esercizio 11. Nel sistema illustrato in figura, la condotta che collega il serbatoio B al nodo N è lunga L1=5 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.1 m, mentre la condotta che collega il serbatoio A al nodo N è lunga L2=12 m ed è anch’essa a sezione circolare con diametro interno d=0.08 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=0.3 m2 e ΩB=0.5 m2, rispettivamente. Il riferimento per le quote, illustrato in figura, coincide con la quota delle superfici libere nei due serbatoi quando su queste, in condizioni di quiete, vigesse pressione atmosferica. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete e al di sopra della superficie libera del serbatoio B, a tenuta, l’aria presente è caratterizzata da una pressione relativa negativa p=-12.0 kPa. All’istante t=0 viene rimosso il coperchio C che chiude superiormente il serbatoio B ripristinando così pressione atmosferica sulla superficie libera del serbatoio. Dopo aver stabilito il legame esistente tra il generico livello z nel serbatoio B e il corrispondente livello y nel serbatoio A si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate e si assuma un valore costante (f=0.02) del coefficiente di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach. Si assuma, inoltre, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM=0.75 m/s per il tratto BN di condotta. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici.


Per la conservazione dei volumi è evidente che ad un incremento di quota Δz corrisponde un volume immagazzinato nel serbatoio B pari a ΩB

.Δz; questo volume viene sottratto al serbatoio A e corrisponde alla quantità ΩA

.Δy. Essendo y=0 quando z=0 per il riferimento assunto, si avrà

zyA

B

ΩΩ

−= (86)


-37-

Inoltre, per t<0, essendo la pressione p=-12.0 kPa sarà

γ/00 pyz −=− ovvero γ/)1(0 pzA

B −=ΩΩ

+ (87)

Con i dati del problema si trova z0=0.459 m e, dalla (87), y0=-0.765 m. Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio B (punto 1) e la superficie libera nel serbatoio A (punto 4)

∫∫∫∫

∫∫∫∫

−−−−

+∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−

4

3

3

N

N

2

2

1

4

3

3

N

N

2

2

114

dsjdsjdsjdsj

dstv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE

Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-2 e 3-4 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo i tratti 2-N e N-3, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

g2vv

DfL

g2vv

DfL

dtdv

gL

dtdv

gLEE 22M

2

211M

1

1221114 −−−−=−

in cui, con i pedici 1 e 2 sono indicate, rispettivamente, le grandezze caratteristiche dei tronchi 2-N e N-3 di condotta, L e v sono rispettivamente la lunghezza della condotta e la velocità del fluido, vM1 e vM2 sono le velocità caratteristiche nei due tratti mediante le quali vengono linea rizzate le dissipazioni di energia. Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile; sfruttando inoltre l’equazione di continuità v1A1=v2A2, essendo A1 e A2 le aree delle sezioni trasversali dei due tronchi di condotta, e assumendo che la stessa relazione leghi tra loro le velocità caratteristiche vM1 e vM2, la precedente relazione può essere scritta come segue

g2vv

AA

DL

DLf

dtdv

AALL

g1zy 11M

2

2

1

2

2

1

11

2

121

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=− (88)

Ricordando la (86) e posto

1A

B +=ΩΩ

Ω =2.667 2

121 A

ALLL += =23.75 m 2

2

1

2

2

1

1

AA

DL

DL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=λ =416.21 (89)

l’equazione (88) si riduce alla seguente

g2vvf

dtdv

gLz 11M1

Ωλ

Ω−−=− (90)

Per continuità si può scrivere


-38-

dtdzAv BΩ−=11 ovvero

dtdz

Av

1

B1

Ω−= (91)

Sostituita questa espressione per v1 nella (90) si ottiene

dtdz

Ag2vf

dtzd

AgLz

1

B1M2

2

1

B ΩΩ

λΩΩ

+=− (92)

Posto infine

BLAg

ΩΩ

= 12ω L4vf 1Mλ

ψ = (93)

si trova

0zdtdz2

dtzd 22

2

=++ ωψ (94)

Per stabilire se la soluzione della (94) descrive un moto asintotico o periodico smorzato è a questo punto necessario stabilire il valore da assegnare alla velocità caratteristica. Nel testo si suggerisce di porre vM1=0.75 m/s, che sostituito nella (93) fornisce =ψ 0.0657 s-1.

Essendo la pulsazione ω (equazione (93)) pari a ω=0.132 s-1 si ha ψ<ω e la condizione di quiete sarà raggiunta attraverso un’oscillazione smorzata. Per altro, non essendo ψ trascurabilmente piccolo rispetto ad ω, l’oscillazione si smorzerà molto rapidamente. Posto

=−= 22D ψωω 0.114 s-1 (95)

si avrà

[ ])cos()( 21 tCtsenCez DDt ωωψ += − (96)

Nella quale le costanti le costanti C1 e C2 vanno determinate sulla base delle condizioni al contorno.

⎪⎩

⎪⎨⎧

=Ω

−=

==

00 110

0

Avdtdz

zzt

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (91) esplicitata rispetto a dz/dt e calcolata per t=0. Si trova

C1=0.265 m C2=0.459 m Per quanto riguarda il periodo dell’oscillazione, questo vale T=2π/ωD=55.14 s. Una volta determinato l’andamento nel tempo del livello z, è agevole valutare gli andamenti nel tempo del livello y (mediante la (86)), e delle velocità v1 e v2, mediante l’equazione (91) e la condizione v1A1=v2A2. Le rappresentazioni grafiche dell’andamento del livello z e di quello della velocità v1 sono illustrati in Fig. 19 e in Fig. 20, rispettivamente.


-39-

Fig. 19

Fig. 20


-40-

Esercizio 12. Nel circuito chiuso illustrato in figura la condotta è lunga L=22 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.04 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=ΩB=0.02 m2. Il riferimento per le quote corrisponde al livello che si stabilisce nei due serbatoi quando il sistema è in quiete. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e la pompa P è in grado di far scorrere nel circuito una portata Qp=0.001 m3/s. Valutato, preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio B e y nel serbatoio A si valutino, in queste condizioni di moto stazionario, i livelli che si stabiliscono nei due serbatoi assumendo, per la valutazione delle dissipazioni di energia continue, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. All’istante t=0 la pompa viene spenta (interrompendo istantaneamente il flusso lungo il breve tratto tra i nodi 2 e 1, di lunghezza trascurabile). Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate, i termini cinetici e la lunghezza dei brevi tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo dei livelli z e y utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato i livelli z e y in alcuni istanti caratteristici. Si valuti infine il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità nella condotta. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2

2 ωξωψ =++ zdtdz

dtzd

la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo [ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DD

t con 22D ψωω −=

mentre, quando è ψ>ω, è del tipo ξωψωψ ++= +−−− t)(

2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=


-41-


.Δy; deve corrispondere un volume sottratto al serbatoio B pari ΩB

.Δz. Essendo y=0 quando z=0 per il riferimento assunto, si avrà

yzB

A

ΩΩ

−= (97)

Per quanto riguarda la valutazione dei livelli iniziali in condizione di moto stazionario un semplice bilancio di energia tra i punti 1 e 2 nelle ipotesi di trascurare i carichi cinetici fornisce

0

20

0 zg2

vdLfy =−

Combinando la precedente relazione con la condizione (97), si trova

0

20

0A

B zg2

vdLfz =−−

ΩΩ

ovvero

g4v

dLfz

20

0 −= = -0.1775 m e quindi 000 zzyA

B −=ΩΩ

−= = 0.1775 m

Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra i serbatoi A e B (si ricorda che a partire da t=0 il flusso lungo il breve tratto di condotta tra le sezioni 1 e 2 è interrotto)

∫∫∫∫∫∫ −−−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−B

A

B

AAB dsjdsjdsjds

tv

gds

tv

gds

tv

gEE

2

2

1

1

2

2

1

1 111

Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a quelle della condotta e ricordando che i tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito sono di lunghezza trascurabile, è facile mostrare che gli integrali estesi ai tratti A-1 e 2-B possono essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, la velocità e l’accelerazione temporale ∂v/∂t sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale. Infine, non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE AB −−=−

in cui L e v sono rispettivamente la lunghezza della condotta e la velocità del fluido. Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile, utilizzando inoltre il legame espresso dalla (97) e le indicazioni fornite nel testo relativamente alla stima delle dissipazioni continue, la precedente relazione può essere scritta come segue1 1 La velocità caratteristica vM dovrebbe essere sensibilmente inferiore a quella di regime se si vuole riprodurre con buona approssimazione la velocità di smorzamento delle oscillazioni. Tuttavia, essendo necessario calcolare la condizione iniziale (z0, y0) valutando le dissipazioni con l’approssimazione determinata dall’introduzione di vM, questo comporterebbe una sottostima dei livelli


-42-

g2vv

dLf

dtdv

gLzzyz M

A

B −−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−ΩΩ

ovvero, essendo ΩA=ΩB

gvv

dLf

dtdv

gLz M

22 −−= (98)

Indicata con A l’area della sezione della condotta, per continuità si può scrivere

dtdzvA BΩ= ovvero

dtdz

Av BΩ= (99)

Sostituita questa espressione per v nella (98) si ottiene

dtdz

Agv

dLf

dtzd

AgLz BMB Ω

−Ω

−=2

2 2

2

(100)

Posto infine

ALAg

Ω=

22ω d

vf M

4=ψ

si trova

02 22

2

=++ zdtdz

dtzd ωψ (101)

Con i dati del problema si ha vM=v0=Qp/A=0.796 m/s, ω=0.237 s-1 e ψ=0.099 s-1. Essendo ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione (101) sarà del tipo

[ ])tcos(C)t(senCez D2D1t ωωψ += − (102)

in cui 22 ψωω −=D =0.215 s-1 a cui corrisponde il periodo T=29.3 s.


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

B

0

0

Avdtdz

zz0t

Ω

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (99) calcolata per t=0. Imponendo le condizioni al contorno si trova

DBD

zAvC

ωψ

ω00

1 +Ω

= = 0.151 m

02 zC = = -0.1775 m

Gli andamenti nel tempo dei livelli z e y nei due serbatoi sono illustrati in Fig. 21.


-43-

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 20 40 60tempo (s)

livel

li (m

)

z (m)

y (m)

Fig. 21

Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (99) si ottiene anche l’andamento nel tempo della velocità v

( ) ( )[ ])cos()( 1221 tCCtsenCCeA

v DDDDtB ωωψωωψψ −++

Ω−= −

L’andamento nel tempo della velocità è illustrato in Fig. 22.

-0.5

0

0.5

1

0 20 40 60tempo (s)

velo

cità

(m/s

)

Fig. 22


-44-

Esercizio 13. Nel circuito chiuso illustrato in figura la condotta è lunga L=22 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.04 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=ΩB=0.02 m2, rispettivamente. Il riferimento per le quote corrisponde al livello che si stabilisce nei due serbatoi quando il sistema è in quiete. In condizioni di moto stazionario la pompa P è in grado di far scorrere nel circuito una portata Qp=0.001 m3/s. Si valuti, preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio B e y nel serbatoio A. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete. All’istante t=0 la pompa viene accesa (attivando istantaneamente il flusso lungo il breve tratto tra i nodi 2 e 1, di lunghezza trascurabile). Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate, i termini cinetici e la lunghezza dei brevi tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo dei livelli z e y utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente. si assuma inoltre, per la valutazione delle dissipazioni di energia continue, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato i livelli z e y in alcuni istanti caratteristici e per t→∞. Si valuti infine l’andamento nel tempo delle velocità nella condotta. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=


-45-


.Δy; deve corrispondere un volume sottratto al serbatoio B pari ΩB

.Δz. Essendo y=0 quando z=0 per il riferimento assunto, si avrà

yzB

A

ΩΩ

−= (103)

Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra i serbatoi A e B lungo il percorso A-1-2-B.

∫∫∫∫∫∫ −−−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−B

A

B

AAB dsjdsjdsjds

tv

gds

tv

gds

tv

gEE

2

2

1

1

2

2

1

1 111

Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a quelle della condotta e ricordando che i tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito sono di lunghezza trascurabile, è facile mostrare che gli integrali estesi ai tratti A-1 e 2-B possono essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, la velocità e l’accelerazione temporale ∂v/∂t sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale. Infine, non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE AB −−=−

in cui L e v sono rispettivamente la lunghezza della condotta e la velocità del fluido. Per quanto detto, il termine cinetico nei due serbatoi è trascurabile, utilizzando inoltre il legame espresso dalla (103) e le indicazioni fornite nel testo relativamente alla stima delle dissipazioni continue, la precedente relazione può essere scritta come segue

g2vv

dLf

dtdv

gLzzyz M

A

B −−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−ΩΩ

ovvero, essendo ΩA=ΩB

gvv

dLf

dtdv

gLz M

22 −−= (104)

Indicata con A l’area della sezione della condotta, l’equazione di continuità per il nodo 2 fornisce

dtdzQvA Bp Ω+= ovvero

dtdz

AAQ

v Bp Ω+= (105)

Si osservi, per inciso, che combinando la precedente relazione con l’equazione (103) si trova

dtdyQvA Ap Ω−=

che corrisponde all’equazione di continuità per il nodo 1.


-46-

Sostituita l’espressione (105) per v nella (104) si ottiene

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

dtdz

AAQ

g2v

dLf

dtzd

AgLz2 BpM

2

2B ΩΩ (106)

Posto infine

B

2

LAg2

Ωω =

dvf M

4=ψ

B2

Mp

d2vQfΩω

ξ −=

si trova

222

2

zdtdz2

dtzd ξωωψ =++ (107)

Con i dati del problema si ha vM=v0=Qp/A=0.796 m/s, ω=0.237 s-1, ψ=0.099 s-1 e ξ=-0.1775 m. Essendo ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione (101) sarà del tipo

[ ] ξωωψ ++= − )tcos(C)t(senCez D2D1t (108)



⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

==

=

B

p

B

p

B

0

0

QQAvdtdz

0zz0t

ΩΩΩ

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (105) calcolata per t=0. Imponendo le condizioni al contorno si trova

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ψξ

Ωω B

p

D1

Q1C = -0.151 m

ξ−=2C = 0.1775 m

Gli andamenti nel tempo dei livelli z e y nei due serbatoi sono illustrati in Fig. 23.


-47-

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 20 40 60tempo (s)

livel

li (m

)

z (m)

y(m)

Fig. 23

Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (105) si ottiene anche l’andamento nel tempo della velocità v

( ) ( )[ ])cos()( 1221 tCCtsenCCeAA

Qv DDDD

tBp ωωψωωψψ −++Ω

−+= −

L’andamento nel tempo della velocità è illustrato in Fig. 24.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 20 40 60tempo (s)

velo

cità

(m/s

)

Fig. 24


-48-

Esercizio 14. La condotta di scarico illustrata in figura, di diametro d=0.8 m, è lunga complessivamente 450 m ed è munita di una saracinesca R che, se completamente aperta, non dà luogo ad alcuna dissipazione localizzata di energia. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02.

Inizialmente (t<0), le condizioni di moto sono stazionarie e la saracinesca R è completamente aperta e non determina alcuna dissipazione localizzata di energia. Si valuti, in queste condizioni la velocità v0 nella condotta.

All’istante t=0 la saracinesca R viene (istantaneamente) parzialmente chiusa e determina una dissipazione localizzata di energia pari a ΔER=37.v2/2g. Si valuti la velocità v1 di regime nelle nuove condizioni, la legge con cui la velocità in condotta varia da v0 a v1.

N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricordano inoltre i seguenti integrali notevoli

∫ − 21 xxd =arctanh(x)+cost. per x<1 e ∫ − 21 x

xd =arctanh(1/x)+cost. per x>1

Le caratteristiche iniziali del moto quando la saracinesca R è completamente aperta si possono calcolare attraverso un semplice bilancio di energia tra il serbatoio A e lo sbocco U

UA ELjE =−

Utilizzando la legge di Darcy-Weisbach per le dissipazioni continue di energia, e le altre indicazioni riportate in figura, si ha

gv

dLfhh UA 2

120

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=−

Con i dati del problema, si trova v0=4.735 m/s e Q0=2.38 m3/s. Per valutare le condizioni di regime una volta che la saracinesca R viene parzialmente chiusa si utilizza ancora un bilancio di energia nel quale è considerata la dissipazione localizzata


-49-

URA EELjE =Δ−− ovvero……….g

vdLfhh UA 2

13721

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=−

Con i dati del problema, si trova v1=2.36 m/s e Q1=1.187 m3/s. Consideriamo ora il problema di moto vario. Integriamo l’equazione del moto tra il serbatoio A e lo sbocco U. Nell’ipotesi di trascurare le velocità e le accelerazioni nel serbatoio si trova

R

U

A

U

AAU Edsjds

tv

gEE Δ−−

∂∂

−=− ∫∫1 (109)

Si osservi, nella (109), che è presente la dissipazione localizzata di energia. Ricordando che, in ipotesi anelastiche, lungo la condotta è costante nello spazio sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che la dissipazione di energia per unità di lunghezza j, l’equazione (109) può essere riscritta come segue

gv

gv

dLf

tv

gLh

gvh AU 2

3722

222

−−∂∂

−=−+ (110)

Posto

RA hhh −=0 37/ += dLfr


gvr

tv

gLh

2)1(

2

0 ++∂∂

= (111)

Che formalmente corrisponde all’equazione già vista per studiare l’avviamento di una condotta. Con i dati del problema, si trova r=48.25. Seguendo lo stesso procedimento visto per l’avviamento di una condotta, consideriamo la condizione di regime, che può essere riscritta come segue

gvrh2

)1(21

0 +=


21

2

0

1vv

tv

hgL

−=∂∂ (112)


21

21

/1/)/(

vvvvTt a −

∂=∂ (113)

E’ da osservare, a questo punto, che mentre nel problema di avviamento la velocità v risulta sempre compresa tra zero e v1 e il denominatore della (113) risulta quindi sempre positivo, nel caso in esame la velocità v varia da v0 a v1<v0 e il denominatore della (113) rimane sempre negativo. In questo caso la soluzione generale della (113) è


-50-

aTt =arctanh(v1/v)+cost (114)

La costante di integrazione si determina sapendo che per t=0 la velocità in condotta vale v0. Sostituita questa condizione nella (114) si trova

cost=-arctanh(v1/v0)=-0.5472

e quindi

1vv =1/tanh(

aTt +0.5472) (115)

L’andamento nel tempo della velocità espressa dalla (115) è illustrato in Fig. 25.

Fig. 25


-51-

Esercizio 15 Nel sistema illustrato in figura, la condotta di mandata è lunga L=100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della condotta è cilindrico con una sezione orizzontale ΩA=3.0 m2. Il serbatoio B è anch’esso cilindrico, caratterizzato da una superficie orizzontale di area ΩB=30.0 m2. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Inizialmente (t<0), il sistema è in quiete, la pompa P è spenta (ed è impedito il flusso attraverso la pompa stessa) e la saracinesca S è completamente chiusa. All’istante t=0 la pompa P viene accesa e comincia, istantaneamente, a sollevare una portata costante pari a Qp=0.5 m3/s, mentre la saracinesca S rimane sempre chiusa. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo della velocità in condotta utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM=2.0 m/s. Si rappresenti quindi graficamente la soluzione. Si valuti, raggiunte le condizioni di regime, la portata che entra nel serbatoio B. Facoltativamente, si ricavino infine gli andamenti nel tempo dei livelli z e h. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=

Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo schema illustrato di figura, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel pozzo piezometrico (punto A) e la superficie libera del serbatoio (punto B)


-52-

∫∫ −∂∂

−=−B

A

B

AAB dsjds

tv

gEE 1 (116)

Essendo le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti A-1 e 2-B cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale. Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE Ab −−=− (117)

in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 1 e 2, v e j sono rispettivamente la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta. L’energia EA vale EA=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto B si ha, analogamente, EB=h. Esprimendo inoltre le dissipazioni di energia con la legge di Darcy-Weisbach l’equazione (2) diventa

gvv

dfL

dtdv

gLzh

2−−=− (118)

A questa relazione, nelle variabili h(t), z(t) e v(t) vanno associate l’equazione di continuità per il nodo 1 e quella per il serbatoio di valle

AvdtdzQ Ap =Ω− (119)

dtdhAv BΩ= (120)

essendo ΩA(dz/dt) la portata che dal nodo 1 entra nel pozzo e A=πD2/4=0.196 m2 l’area della condotta. Possiamo linearizzare le dissipazioni di energia introducendo la velocità caratteristica vM al posto del modulo della velocità nell’equazione (118). Derivando quindi l’equazione (118) rispetto al tempo si trova

dtdv

gv

dfL

dtvd

gL

dtdz

dtdh M

22

2

−−=− (121)

nella quale i termini dh/dt e dz/dt possono essere esplicitati dalle equazioni (120) e (119), rispettivamente

B

Avdtdh

Ω= (122)

A

p AvQdtdz

Ω

−= (123)


-53-

Combinando in questo modo le equazioni (121), (122) e (123) si trova

dtdv

gv

dfL

dtvd

gLAvQAv M

A

p

B 22

2

−−=Ω

−−

Ω (124)

ovvero

A

p

AB

M QLgv

LgA

dtdvv

df

dtvd

Ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

++11

22

2

(125)

Posto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

=ABL

gA 112ω d

vf M

4=ψ

BA

Bp

AQ

Ω+ΩΩ

=ξ (126)


222

2

2 ξωωψ =++ vdtdv

dtvd (127)

Nel caso in esame si trova ω=0.084 s-1, ψ=0.020 s-1 e ξ=2.315 m/s. Posto allora

22 ψωω −=D =0.082 s-1 (128)

la soluzione generale dell’equazione (127) è del tipo

[ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCev DDt (129)

Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti, generiche, condizioni al contorno

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

== 0

00

dtdvv

t (130)

Con la prima condizione si ha

ξ−=2C

mentre dalla seconda condizione si ha

D

Cωψξ

−=1

Si trova quindi

ξωωωψξ ψ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= − )cos()( ttsenev DD

D

t (131)

il cui andamento è illustrato in Fig. 26.


-54-

Fig. 26

In condizioni di regime, dalla (131), si trova v∞=ξ e la portata che entra nel serbatoio B vale dunque QB∞=0.455 m3/s. Calcolata la legge con cui varia la velocità, l’andamento del livello h si determina integrando la (122)

BDD

D

t

B

AttseneAdtdh

Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Ω−= − ξωω

ωψξ ψ )cos()( (132)

Si trova (dopo qualche passaggio)

[ ] +Ω

++Ω

−= − tAtKtsenKeAhB

DDt

B

ξωωξ ψ )cos()( 21 cost.

con ( )22

22

1 ψωωψω+

−=

DD

DK =10.86 s 2222ψω

ψ+

−=D

K = -5.66 s (133)

Con la condizione al contorno: t=0, h=0, si ha

cost.=B

AKΩξ

2 (134)

e quindi

[ ] )()cos()( 221 KtAtKtsenKeAhB

DDt

B

+Ω

++Ω

−= − ξωωξ ψ (135)

Per determinare l’andamento nel tempo del livello z, conviene fare riferimento all’equazione (123)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Ω= −

AA

pDD

D

t

A

AQttseneA

dtdz ξωω

ωψξ ψ )cos()( (136)

la quale, risolta in modo analogo all’equazione per h, fornisce

[ ] +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

++Ω

= − tAQtKtsenKeAz

AA

pDD

t

A

ξωωξ ψ )cos()( 21 cost. (137)


-55-

Con la condizione al contorno: t=0, z=0, si ha

cost.=A

AKΩ

−ξ

2 (138)

e quindi

[ ]AAA

pDD

t

A

AKtAQtKtsenKeAz

Ω−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

++Ω

= − ξξωωξ ψ221 )cos()( (139)

L’andamento nel tempo dei livelli h e z è illustrato in Fig. 27.

Fig. 27


-56-

Esercizio 16 Nel sistema illustrato in figura, la condotta di mandata è lunga L=100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della condotta è cilindrico con una sezione orizzontale ΩA=3.0 m2. Il serbatoio B è anch’esso cilindrico, caratterizzato da una superficie orizzontale di area ΩB=30.0 m2. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Inizialmente (t<0), il sistema è in quiete, la pompa P è spenta (ed è impedito il flusso attraverso la pompa stessa) e la saracinesca S è completamente chiusa. All’istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente aperta e dal serbatoio B viene scaricata portata costante pari a Qu=0.5 m3/s, mentre la pompa P rimane sempre spenta (econtinua ad essere impedito il flusso attraverso la pompa stessa). Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo della velocità in condotta utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM=0.25 m/s. Si rappresenti quindi graficamente la soluzione. Si valuti, raggiunte le condizioni di regime, la portata che entra nel serbatoio B attraverso la condotta di mandata. Facoltativamente, si ricavino infine gli andamenti nel tempo dei livelli z e h. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=

Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Facendo riferimento allo schema illustrato di figura, si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra


-57-

la superficie libera nel pozzo piezometrico (punto A) e la superficie libera del serbatoio (punto B)

∫∫ −∂∂

−=−B

A

B

AAB dsjds

tv

gEE 1 (140)

Essendo le dimensioni trasversali del pozzo piezometrico e del serbatoio grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti A-1 e 2-B cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto 1-2, inoltre, sia l’accelerazione temporale ∂v/∂t che le dissipazioni di energia per unità di lunghezza j sono costanti nello spazio e possono essere portate fuori dall’integrale. Non dipendendo la velocità dallo spazio ma solo dal tempo, la derivata parziale rispetto al tempo può essere sostituita con la derivata totale, ottenendo

Ljdtdv

gLEE Ab −−=− (141)

in cui L è la lunghezza della condotta tra le sezioni 1 e 2, v e j sono rispettivamente la velocità e le dissipazioni di energia per unità di lunghezza lungo la condotta. L’energia EA vale EA=z, trascurando il termine cinetico nel pozzo, mentre nel punto B si ha, analogamente, EB=h. Esprimendo inoltre le dissipazioni di energia con la legge di Darcy-Weisbach l’equazione (141) diventa

gvv

dfL

dtdv

gLzh

2−−=− (142)

A questa relazione, nelle variabili h(t), z(t) e v(t) vanno associate l’equazione di continuità per il nodo 1 e quella per il serbatoio di valle

Avdtdz

A =Ω− (143)

dtdhQAv Bu Ω=− (144)

essendo ΩA(dz/dt) la portata che dal nodo 1 entra nel pozzo e A=πD2/4=0.196 m2 l’area della condotta. Possiamo linearizzare le dissipazioni di energia introducendo la velocità caratteristica vM al posto del modulo della velocità nell’equazione (142). Derivando quindi l’equazione (142) rispetto al tempo si trova

dtdv

gv

dfL

dtvd

gL

dtdz

dtdh M

22

2

−−=− (145)

nella quale i termini dh/dt e dz/dt possono essere esplicitati dalle equazioni (144) e (143), rispettivamente

B

uQAvdtdh

Ω−

= (146)


-58-

A

Avdtdz

Ω−= (147)

Combinando in questo modo le equazioni (145), (146) e (147) si trova

dtdv

gv

dfL

dtvd

gLAvQAv M

AB

u

22

2

−−=Ω

+Ω−

(148)

Ovvero

B

u

AB

M QLgv

LgA

dtdvv

df

dtvd

Ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

++11

22

2

(149)

Posto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

=ABL

gA 112ω d

vf M

4=ψ

BA

Au

AQ

Ω+ΩΩ

=ξ (150)


222

2

2 ξωωψ =++ vdtdv

dtvd (151)

Nel caso in esame si trova ω=0.084 s-1, ψ=0.0025 s-1 e ξ=0.231 m/s. Posto allora

22 ψωω −=D =0.084 s-1 (152)

la soluzione generale dell’equazione (151) è del tipo

[ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCev DDt (153)

Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti, generiche, condizioni al contorno

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

== 0

00

dtdvv

t (154)

Con la prima condizione si ha

ξ−=2C


D

Cωψξ

−=1

Si trova quindi

ξωωωψξ ψ +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= − )cos()( ttsenev DD

D

t (155)

il cui andamento è illustrato in Fig. 28.


-59-

Fig. 28

In condizioni di regime, dalla (155), si trova v∞=ξ e la portata che entra nel serbatoio B vale dunque QB∞=0.045 m3/s. Calcolata la legge con cui varia la velocità, l’andamento del livello h si determina integrando la (146)

B

u

BDD

D

t

B

QAttseneAdtdh

Ω−

Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Ω−= − ξωω

ωψξ ψ )cos()( (156)

Si trova (dopo qualche passaggio)

[ ] +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

++Ω

−= − tQAtKtsenKeAh

B

u

BDD

t

B

ξωωξ ψ )cos()( 21 cost.

con ( )22

22

1 ψωωψω+

−=

DD

DK =11.88 s 2222ψω

ψ+

−=D

K = -0.708 s

(157)

Con la condizione al contorno: t=0, h=0, si ha

cost.=B

AKΩξ

2 (158)

e quindi

[ ]BB

u

BDD

t

B

AKtQAtKtsenKeAh

Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

++Ω

−= − ξξωωξ ψ221 )cos()( (159)

Per determinare l’andamento nel tempo del livello z, conviene fare riferimento all’equazione (147)

ADD

D

t

A

AttseneAdtdz

Ω−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Ω= − ξωω

ωψξ ψ )cos()( (160)

la quale, risolta in modo analogo all’equazione per h, fornisce

[ ] +Ω

−+Ω

= − tAtKtsenKeAzA

DDt

A

ξωωξ ψ )cos()( 21 cost. (161)


-60-

Con la condizione al contorno: t=0, z=0, si ha

cost.=A

AKΩ

−ξ

2 (162)

e quindi

[ ]AA

DDt

A

AKtAtKtsenKeAzΩ

−Ω

−+Ω

= − ξξωωξ ψ221 )cos()( (163)

L’andamento nel tempo dei livelli h e z è illustrato in Fig. 29.

Fig. 29


-61-

Esercizio 17. Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=60 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio B è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=5.0 m2 mentre si può assumere che la sezione orizzontale del serbatoio A sia infinitamente estesa. In un punto intermedio lungo la condotta, alla distanza LAN=40 m dal serbatoio A, è presente una sottrazione localizzata di portata pari a Qu=0.5 m3/s. A partire da un certo istante, che assumiamo come istante iniziale (t=0), la portata sottratta Qu viene ridotta a Qu=0 m3/s, linearmente nel tempo Tc=30 s. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B durante l’intervallo di tempo Tc. Si valuti inoltre, nell’ipotesi di trascurare il carico cinetico nella condotta, l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N. Si ricavi infine l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B per t>Tc, quando ormai la sottrazione di portata Qu resta nulla.


Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato come punto 1) e la superficie libera nel serbatoio B (che sarà indicato come punto 2)

∫∫∫∫∫ −∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−2

1

2

B

B

N

N

A

A

112 dsjds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE

Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Trascurate inoltre le dissipazioni di energia e ricordando che la velocità, lungo ciascuno dei due tratti di condotta, non dipende dallo spazio ma solo dal tempo, si trova

dtdv

gL

dtdv

gLEE NBAN 21

12 −−=− (164)

in cui v1 e v2 sono le velocità lungo i tratti AN e NB di condotta, rispettivamente.


-62-

Si assume, come indicato in figura, il livello del serbatoio di monte come riferimento rispetto al quale il livello nel serbatoio B è rappresentato dalla quota z. Nelle ipotesi di trascurare il termine cinetico nel serbatoio l’energia E2 vale E2=z mentre nel punto 1 si ha E1=0.0 m. L’equazione (164) si scrive pertanto

dtdv

gL

dtdv

gLz NBAN 21 −−= (165)


Av)t(QAv 2u1 += dtdzAv Ω=2


dtdz

AA)t(Q

v u1

Ω+=

dtdz

Av Ω

=2 (166)

Nella prima delle equazioni (166), inoltre, la portata sottratta Qu(t) può essere espressa come segue

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

c0uu T

t1Q)t(Q (167)

nella quale Qu0=0.5 m3/s. Sostituite le equazioni (166) e (167) nella (165) si trova

2

2

c

0uAN

2

2NBAN

c

0uAN2

2NB

2

2AN

c

0uAN

dtzd

gAL

gATQL

dtzd

AgLL

gATQL

dtzd

AgL

dtzd

AgL

gATQL

z

Ω

ΩΩΩ

−=

=+

−=−−=

(168)


Ω=

LAg2ω (169)


c

0uAN222

2

gATQL

zdt

zd ωω =+ (170)


c

0uAN21 gAT

QL)t(cosC)t(senCz ++= ωω (171)

in cui la pulsazione ω (equazione (169)), con i dati del problema, vale 0.16 s-1, a cui corrisponde il periodo T=2π/ω=39.2 s. Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti condizioni al contorno


-63-

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

s/m0dtdz

Av

m0z0t

2Ω

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (166) calcolata all’istante iniziale. Si trova

=1C 0.0 m =−=c

0uAN2 gAT

QLC -0.0865 m

L’andamento nel tempo dei livelli z nel serbatoio B è quindi fornito dalla seguente relazione

[ ])t(cos1gAT

QLz

c

0uAN ω−= (172)


)(1 001 tsengAT

LvTtvv

c

AN

c

ωωΩ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )t(sen

gATLvv

c

AN02 ω

Ωω= (173)

in cui v0=Qu0/A=0.637 m/s è la velocità iniziale lungo il tratto AN di condotta. Per valutare l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N consideriamo l’equazione del moto vario unidimensionale integrata tra il nodo N e la superficie libera nel serbatoio B. Con le semplificazioni già discusse in precedenza e potendo assumere EN=hN* (come suggerito nel testo) si trova

dtdv

gLhz 2NB*

N −=− (174)

ovvero

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=Ω

+−=+=

)(cos1

)(cos)(cos1

0

2

002*

tL

LgTLv

tgAT

Lvg

LtgAT

QLdt

dvg

Lzh

AN

c

AN

c

ANNB

c

uANNBN

ω

ωω

ω (175)

E’ da osservare che per una riduzione istantanea della portata sottratta (Tc=0 s) la quota piezometrica cresce all’infinito. A questo proposito potrebbe sorgere il sospetto che la soluzione in ipotesi anelastiche sia poco aderente alla realtà. Facendo riferimento al tratto più lungo della condotta (tratto AN) e immaginando che l’onda di pressione viaggi con una celerità a≈1000 m/s, il ritmo di questo tratto di condotta vale τ=2LAN/a=0.08 s. La manovra ha quindi una durata Tc=375τ sensibilmente superiore al ritmo e la stessa risulta quindi decisamente lenta. Le ipotesi anelastiche, pertanto, possono essere considerate corrette. All’istante t=TC, le caratteristiche del moto risultano essere


-64-

[ ] =−= )T(cos1gT

vLz c

c

0ANTC ω 0.0783 m

=== TC2cc

AN0TC1 v)T(sen

gATLvv ω

Ωω -0.0879 m/s

A partire da questo istante, essendo nulla la portata sottratta, l’equazione del moto (165) combinata con le equazioni di continuità (166), nelle quali si è posto Qu(t)=0, e con l’equazione (169), si riduce alla seguente

0zdt

zd 22

2

=+ω (176)


)t(cosC)t(senCz 21 ωω += (177)

e le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti condizioni al contorno

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=Ω

=

===

smdtdz

Av

mzzTt

TC

TC

c /0879.0

0783.0

2

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (166) calcolata all’istante t=TC. Si trova

)T(cosAv

)T(senzC CTC2

CTC1 ωωΩ

ω += =-0.0861 m

)T(senAv

)T(coszC CTC2

CTC2 ωωΩ

ω −= =-0.0783 m

Utilizzando poi le equazioni (166) in cui si è posto Qu=0 si trova

[ ])t(senC)t(cosCAdt

dzA

vv 2121 ωωωΩΩ−=== (178)

Infine, utilizzando la (174) si ha

[ ])(cos)( 21* tCtsenC

LLh AN

N ωω += (179)

Gli andamenti nel tempo del livello nel serbatoio B e della quota piezometrica nel nodo N sono illustrati in Fig. 30 mentre gli andamenti nel tempo delle velocità lungo i due tratti di condotta sono illustrati in Fig. 31.


-65-

Fig. 30

Fig. 31


-66-

Esercizio 18. Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=60 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio B è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=5.0 m2 mentre si può assumere che la sezione orizzontale del serbatoio A sia infinitamente estesa. In un punto intermedio lungo la condotta, alla distanza LAN=40 m dal serbatoio A, è presente una sottrazione localizzata di portata. Per t<0 la portata sottratta vale Qu=0 m3/s e i livelli nei serbatoi A e B sono entrambi nulli. A partire dall’istante t=0 la portata sottratta cresce linearmente nel tempo Tc=30 s fino a raggiungere il valore Qu=0.5 m3/s. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B durante l’intervallo di tempo Tc. Si valuti inoltre, nell’ipotesi di trascurare il carico cinetico nella condotta, l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N. Si ricavi infine l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B per t>Tc, quando la portata sottratta resta costante e pari a Qu=0.5 m3/s.


Il problema può essere affrontato in ipotesi anelastiche. Si integra l’equazione del moto vario unidimensionale tra la superficie libera nel serbatoio A (che sarà indicato come punto 1) e la superficie libera nel serbatoio B (che sarà indicato come punto 2)

∫∫∫∫∫ −∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

−=−2

1

2

B

B

N

N

A

A

112 dsjds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1ds

tv

g1EE

Immaginando che le dimensioni trasversali dei due serbatoi siano grandi rispetto a quelle della condotta, è facile mostrare che sia la velocità, sia il termine ∂v/∂t sono piccoli lungo i tratti 1-A e B-2 cosicché i corrispondenti integrali possono essere trascurati. Lungo il tratto A-B, inoltre, l’accelerazione temporale ∂v/∂t è costante nello spazio e può essere portata fuori dall’integrale. Trascurate inoltre le dissipazioni di energia e ricordando che la velocità, lungo ciascuno dei due tratti di condotta, non dipende dallo spazio ma solo dal tempo, si trova

dtdv

gL

dtdv

gLEE NBAN 21

12 −−=− (180)


-67-

in cui v1 e v2 sono le velocità lungo i tratti AN e NB di condotta, rispettivamente. Si assume, come indicato in figura, il livello del serbatoio di monte come riferimento rispetto al quale il livello nel serbatoio B è rappresentato dalla quota z. Nelle ipotesi di trascurare il termine cinetico nel serbatoio l’energia E2 vale E2=z mentre nel punto 1 si ha E1=0.0 m. L’equazione (180) si scrive pertanto

dtdv

gL

dtdv

gLz NBAN 21 −−= (181)


Av)t(QAv 2u1 += dtdzAv Ω=2


dtdz

AA)t(Q

v u1

Ω+=

dtdz

Av Ω

=2 (182)

Nella prima delle equazioni (182), inoltre, la portata sottratta Qu(t) può essere espressa come segue

cuFu T

tQtQ =)( (183)

nella quale QuF=0.5 m3/s. Sostituite le equazioni (182) e (183) nella (181) si trova

2

2

2

2

2

2

2

2

dtzd

gAL

gATQL

dtzd

AgLL

gATQL

dtzd

AgL

dtzd

AgL

gATQL

z

c

uFAN

NBAN

c

uFANNBAN

c

uFAN

Ω−−=

=Ω+

−−=Ω

−Ω

−−= (184)


Ω=

LAg2ω (185)


c

uFAN

gATQL

zdt

zd 222

2

ωω −=+ (186)


c

uFAN

gATQL

tCtsenCz −+= )(cos)( 21 ωω (187)

in cui la pulsazione ω (equazione (185)), con i dati del problema, vale 0.16 s-1, a cui corrisponde il periodo T=2π/ω=39.2 s. Le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti condizioni al contorno


-68-

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

s/m0dtdz

Av

m0z0t

2Ω

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (182) calcolata all’istante iniziale. Si trova

=1C 0.0 m ==c

uFAN

gATQL

C2 0.0865 m

L’andamento nel tempo dei livelli z nel serbatoio B è quindi fornito dalla seguente relazione

[ ]1)(cos −= tgAT

QLz

c

uFAN ω (188)


)(1 tsengAT

LvTtvv

c

ANF

cF ω

ωΩ−= )(2 tsen

gATLvv

c

ANF ωωΩ

−= (189)

in cui vF=QuF/A=0.637 m/s è la velocità di regime lungo il tratto AN di condotta. Per valutare l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N consideriamo l’equazione del moto vario unidimensionale integrata tra il nodo N e la superficie libera nel serbatoio B. Con le semplificazioni già discusse in precedenza e potendo assumere EN=hN* (come suggerito nel testo) si trova

dtdv

gLhz 2NB*

N −=− (190)

ovvero

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

=Ω

−−=+=

1)(cos

)(cos1)(cos2

2*

tL

LgT

vL

tgAT

Lg

LvtgAT

QLdt

dvg

Lzh

AN

c

FAN

c

ANNBF

c

uFANNBN

ω

ωω

ω (191)

E’ da osservare che per una riduzione istantanea della portata sottratta (Tc=0 s) la quota piezometrica cresce all’infinito. A questo proposito potrebbe sorgere il sospetto che la soluzione in ipotesi anelastiche sia poco aderente alla realtà. Facendo riferimento al tratto più lungo della condotta (tratto AN) e immaginando che l’onda di pressione viaggi con una celerità a≈1000 m/s, il ritmo di questo tratto di condotta vale τ=2LAN/a=0.08 s. La manovra ha quindi una durata Tc=375τ sensibilmente superiore al ritmo e la stessa risulta quindi decisamente lenta. Le ipotesi anelastiche, pertanto, possono essere considerate corrette. All’istante t=TC, le caratteristiche del moto risultano essere


-69-

[ ] =−= 1)(cos cc

uFANTC T

gATQL

z ω -0.0783 m

)(1 cc

ANFFTC Tsen

gATLvvv ω

ωΩ−= =0.637 m/s

)(2 cc

ANFTC Tsen

gATLvv ω

ωΩ−= =0.088 m/s

A partire da questo istante, essendo costante e pari a QuF la portata sottratta, l’equazione del moto (181) combinata con le equazioni di continuità (182), nelle quali si è posto Qu(t)=QuF, e con l’equazione (185), si riduce alla seguente

0zdt

zd 22

2

=+ω (192)



e le costanti di integrazione C1 e C2 vanno determinate utilizzando le seguenti condizioni al contorno

⎪⎩

⎪⎨⎧

=Ω

=

−===

smdtdz

Av

mzzTt

TC

TC

c /088.0

0783.0

2

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (182) calcolata all’istante t=TC. Si trova

)(cos)( 21 C

TCCTC T

AvTsenzC ω

ωω

Ω+= =0.0861 m

)T(senAv

)T(coszC CTC2

CTC2 ωωΩ

ω −= =0.0783 m

Utilizzando poi le equazioni (182) in cui si è posto Qu(t)=QuF si trova

[ ])()(cos 211 tsenCtCA

vdtdz

AAQ

v FuF ωωω

−Ω

+=Ω

+=

[ ])()(cos 212 tsenCtCAdt

dzA

v ωωω−

Ω=

Ω=

(194)

Infine, utilizzando la (190) si ha

[ ])(cos)( 21* tCtsenC

LLh AN

N ωω += (195)

Gli andamenti nel tempo del livello nel serbatoio B e della quota piezometrica nel nodo N sono illustrati in Fig. 32 mentre gli andamenti nel tempo delle velocità lungo i due tratti di condotta sono illustrati in Fig. 33.


-70-

Fig. 32

Fig. 33


-71-

Esercizio 19. La condotta di scarico principale ANB illustrata in figura, di diametro d=0.5 m e lunga complessivamente 800 m è divisa nei due tratti AN e NB di uguale lunghezza. In corrispondenza del nodo N è innestato un pozzo piezometrico cilindrico, di sezione orizzontale Ω=2.0 m2. Dallo stesso nodo N, inoltre, si diparte la diramazione NC. Per t<0 il rubinetto R è completamente aperto e il sistema è in condizioni di moto stazionario con una portata complessivamente scaricata dal serbatoio A verso il serbatoio B pari a Q0=0.55 m3/s. All’istante t=0 il rubinetto R viene istantaneamente chiuso. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni localizzate di energia, si ricavi, preliminarmente la velocità v10 lungo il tratto AN di condotta, il livello z nel pozzo piezometrico e la velocità v20 lungo il tratto NB di condotta. Si valuti inoltre, preliminarmente, la velocità v∞ lungo la condotta ANB quando, esaurito il fenomeno di moto vario prodotto dalla chiusura del rubinetto R, il sistema raggiunge le nuove condizioni di moto stazionario. Per la stima delle dissipazioni di energia continue si può assumere un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025, uguale per tutti i tronchi di condotta. Si determini quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico a partire dall’istante t=0 utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente finale v∞. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici e si valuti il periodo T dell’oscillazione.

Per t<0 il sistema è in condizioni di moto stazionario. La portata fluente lungo la condotta AN coincide con quella complessivamente scaricata dal serbatoio A al serbatoio B. Si avrà pertanto

AQv /010 = =2.801 m/s

in cui A=0.196 m2 è l’area della condotta principale. Il bilancio di energia tra il serbatoio A e il pozzo piezometrico, nell’ipotesi di trascurare tutte le perdite localizzate, si scrive


-72-

0

210

2z

gv

dfLh AN

A =−

La precedente relazione consente di ricavare z0=22.0 m. Infine, dal bilancio di energia tra il pozzo piezometrico e il serbatoio B scritto lungo la condotta NB

BNB h

gv

dfLz =−

2

220

si determina la velocità v20 che vale v20=1.40 m/s. Nelle condizioni di regime finali, che si raggiungono quando si esaurisce la fase di moto vario prodotta dalla chiusura del rubinetto R, la portata fluente lungo la condotta ANB e quindi la velocità v∞, possono essere determinate risolvendo il seguente bilancio di energia

BNBAN

A hg

vd

LLfh =+

− ∞

2)( 2

Si trova v∞=2.215 m/s. Consideriamo ora il fenomeno di moto vario che si determina a causa della chiusura del rubinetto R. Le due equazioni dinamiche, relative ai tratti AN e NB della condotta principale, e l’equazione di continuità per il nodo N si scrivono come segue

dtdz

Avv

dtdv

gL

gvv

dfLEh

dtdv

gL

gvv

dfLhE

NBNBNB

ANANAN

Ω=−

−−=−

−−=−

21

222

111

2

2

Nelle precedenti relazioni, oltre alle dissipazioni di energia localizzate, sono state trascurate le dissipazioni e l’inerzia nei due serbatoi. Nel testo si suggerisce di linearizzare le equazioni introducendo una velocità di riferimento vM coincidente con la velocità di regime finale v∞2. In queste ipotesi, e ricordando che con buona approssimazione si può scrivere EN=z, le precedenti equazioni si scrivono

dtdz

Avv

dtdv

gL

gv

dvfLhz

dtdv

gL

gv

dvfLhz

NBMNBB

ANMANA

Ω=−

+=−

−−=−

21

22

11

2

2

(196)

2 La scelta di vM=v∞ è compatibile con la condizione di regime finale ma non con quella di regime iniziale (è facile verificare, infatti, che le equazioni dinamiche (196), per t<0, quando l’accelerazione temporale è nulla, non sono verificate). D’altra parte, in questo problema, non è possibile stabilire una velocità di riferimento unica, compatibile con le due condizioni di moto permanente, iniziale e finale. Questo problema è discusso nella parte finale dello svolgimento dell’esercizio


-73-

Dividendo la prima equazione dinamica per LAN/g, la seconda per LNB/g e sommando le due equazioni si trova

( ) ( )2121211 vv

dtdvv

dfv

Lh

Lhgz

LLg M

NB

B

AN

A

NBAN

−−−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Sostituendo nella precedente l’espressione per la differenza v1-v2 fornita dall’equazione di continuità, si arriva a scrivere

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω++

NB

B

AN

A

NBAN

M

Lh

LhAgz

LLAg

dtdz

dfv

dtzd 11

22

2

(197)

Posto, infine

dfvM

4=ψ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω=

NBAN LLAg 11ω

111

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NBANNB

B

AN

A

LLLh

Lh

ξ (198)

L’equazione (197) può essere scritta nella seguente forma

222

2


dtzd

(199)

la cui soluzione generale è

[ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DDt con 22 ψωω −=D (200)

Si osservi che, nel caso in esame, essendo LAN=LNB le espressioni per ω e ξ fornite dalla (198) si semplificano sensibilmente. Con i dati del problema si trova ω=0.069 s-

1, ψ=0.028 s-1 e ξ=25.0 m, e quindi ωD=0.064 s-1. Il periodo dell’oscillazione vale dunque T=98.7 s. Le condizioni al contorno per determinare le costanti di integrazione C1 e C2 sono fornite dalle condizioni di moto stazionario iniziali e sono

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−Ω

=

==

2010

00

vvAdtdz

zzt

(201)

la seconda delle quali è l’equazione di continuità valutata a t=0. Con la prima condizione si ha

ξ−= 02 zC = -2.998 m


( ) 122010 CCvvADωψ +−=−

Ω

ovvero

( ) ( )ξωψ

ω−+−

Ω= 020101 zvvAC

DD

=0.855 m

L’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico è illustrato in Fig. 34.


-74-

21.0

22.0

23.0

24.0

25.0

26.0

27.0

0 50 100 150 200 250tempo (s)

livel

lo (m

)

Fig. 34

Nel testo non si richiede di determinare l’andamento nel tempo delle velocità lungo i due tratti di condotta. Questo perché lo sviluppo formale è un po’ laborioso. Dalla prima delle due equazioni dinamiche, si può scrivere

( )AAN

M hzLgv

dfv

dtdv

−−=+ 11

2 (202)

Si tratta di un’equazione differenziale lineare del primo ordine, non omogenea, la cui soluzione è

12

01 P

td

fv

veBvM

+=−

(203)

in cui vP1 è un integrale particolare e B0 è la costante di integrazione il cui valore viene determinato imponendo la condizione al contorno (per t=0, v1=v10). L’integrale particolare avrà una struttura del tutto analoga alla soluzione per z(t). Si può quindi scrivere

[ ] 3211 )cos()( BtBtsenBev DDt

P ++= − ωωψ

(204)

in cui le costanti B1, B2 e B3 vanno determinate imponendo che la (204) sia effettivamente soluzione della (202). Sostituita questa espressione nell’equazione differenziale (202), e imposti nulli e termini costanti e i coefficienti delle funzioni seno e coseno, si ottengono le tre seguenti condizioni che consentono di valutare le costanti B1, B2 e B3. Dopo non pochi passaggi si trova

212

1 ωψω CC

LgB D

AN

+−= =0.851 m/s

221

2 ωψω CC

LgB D

AN

−= =0.700 m/s

( )ξψ

−= AAN

hLgB

23 =2.215 m/s

(205)


-75-

Imponendo la condizione al contorno, si trova infine

32010 BBBv ++= e quindi B0= -0.1135 m/s

La velocità v2 può essere determinata operando, nello stesso modo, sulla seconda equazione dinamica o, in alternativa, sfruttando l’equazione di continuità. Si trova

[ ] 3212

02 )cos()( DtDtsenDeeDv DDtt

dfvM

+++= −−ωωψ

(206)

con

32200 DDvD −−= = -0.1135 m/s

212

1 ωψω CC

LgD D

NB

+= = -0.851 m/s

212

2 ωωψ CC

LgD D

NB

−= = -0.700 m/s

( )BNB

hLgD −= ξ

ψ23 = 2.215 m/s

(207)

L’andamento nel tempo delle velocità v1 e v2 lungo i due tratti della condotta principale sono illustrati in Fig. 35.

1.0

2.0

3.0

0 50 100 150 200 250tempo (s)

velo

cità

(m/s

)

v1 (m/s)

v2 (m/s)

Fig. 35

La soluzione illustrata mostra, nei primi istanti, un incremento della velocità v1 e un decremento della velocità v2. Tale comportamento è fisicamente inaccettabile ed è determinato dalla linearizzazione delle equazioni dinamiche e dalla scelta della velocità caratteristica. Utilizzando il valore di vM suggerito, ovviamente la condizione di moto stazionario finale è ben riprodotta ma non è riprodotta correttamente la condizione iniziale.


-76-

Esercizio 20. Nel sistema di figura, le condotte BC e BD, caratterizzate dalla stessa lunghezza e dallo stesso diametro, sono munite al termine di un ugello regolabile posto per entrambe le condotte alla quota hC=hD=0.0 m (non farsi ingannare dal disegno), e lo sbocco è libero. Quando entrambi gli ugelli terminali sono aperti al massimo, la portata complessivamente scaricata vale Q0=0.5 m3/s, equamente ripartita tra le condotte BC e BD. Utilizzando queste indicazioni si valuti l’area di massima apertura degli ugelli (Nei calcoli, per semplicità, si può assumere un valore costante del coefficiente di resistenza della formula di Darcy-Weisbach, f=0.02 per tutte e tre le condotte). Immaginando che all’istante iniziale (t=0) l’impianto sia fermo con entrambi gli ugelli chiusi e le portate nulle lungo le condotte, si valuti il tempo necessario all’avviamento del sistema assumendo che l’ugello in corrispondenza della sezione C venga istantaneamente aperto al massimo (mentre resta chiuso l’ugello in corrispondenza della sezione D), e si rappresenti l’andamento nel tempo della velocità lungo la condotta AB.

In condizioni di moto stazionario (con entrambi gli ugelli aperti), si può scrivere

gv

dfLhE AB 2

21

1

1−=−

gv

dfLEE BC 2

22

2

2−=−

gv

dfL

EE BD 2

23

3

3−=−

(208)

e, per continuità

3032201100 AvAvAvQ +== (209)

Essendo, come suggerito nel testo, Q02=Q03=Q0/2=0.25 m3/s, ovvero v20A2=v30A3, ed essendo inoltre A2=A3=0.126 m2, si ha v20=v30=1.989 m/s.


-77-

L’energia in corrispondenza degli sbocchi C e D vale

gv

AA

gv

EuC

uCc 22

220

22

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

gv

AA

gv

EuD

uDD 22

230

23

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== (210)

in cui AuC e AuD sono la massima apertura degli ugelli in corrispondenza delle sezioni di sbocco C e D rispettivamente. Combinando le relazioni (210) con le ultime due equazioni (208) si può scrivere

gv

dfLE

gv

AA

BuC 22

220

2

2220

2

2 −=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

gv

dfL

Eg

vAA

BuD 22

230

3

3230

23 −=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(211)

Essendo infine A2=A3, d2=d3, L2=L3 e v20=v30, il confronto tra le precedenti relazioni fornisce AuC=AuD. Dalla prima delle equazioni (208) si trova EB=30.746 m, quindi, indifferentemente dalla prima o dalla seconda delle (211) si ha AuC=AuD=0.0124 m2. Consideriamo ora il fenomeno di moto vario determinato dall’apertura istantanea dell’ugello in corrispondenza della sezione C. Le equazioni del moto si scrivono

gv

dfL

dtdv

gLhE AB 2

21

1

111 −−=−

gv

dfL

dtdv

gL

Eg

vAA

BuC 22

22

2

22222

22 −−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2211 AvAv =

03 =v

(212)

Esplicitando EB dalla prima delle (212) e sostituendo nella seconda, si trova

gv

dfL

dtdv

gL

gv

dfL

dtdv

gL

hg

vAA

AuC 222

22

2

22221

1

11122

22 −−=−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (213)

Essendo inoltre, per la terza delle (212), v2=v1A1/A2, la (213) diventa

( )g

vAA

AA

AA

dfL

dfL

dtdv

gAALL

huC

A 2/ 2

12

2

12

22

2

1

2

2

1

112121

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+= (214)

Posto ( )21210 / AALLL += =2262.5 m

21

2

2

1

2

2

1

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

uCAA

AA

dfL

dfLr =400.1

l’equazione (214) si riscrive

gvr

dtdv

gL

hA 2

2110 += (215)

In condizioni di moto permanente la (215) diventa


-78-

gv

rhA 2

21∞= (216)

in cui v1∞ è la velocità di regime con un solo ugello aperto che, utilizzando la (216) risulta valere 1.4 m/s. Esplicitando r dalla precedente relazione e inserendolo nella (215) si trova

dtdv

gL

vv

hA10

21

211 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∞

la quale può essere riscritta come segue

dtvdv

ghvL

vv

A

∞∞

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 1110

21

21 /

1 (217)

Definito il tempo di avviamento come

Aa gh

vLT ∞= 10 =8.075 s

l’equazione (217) può infine essere riscritta nella forma

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

∞

∞

21

21

11

1

//

vvvvd

Ttd a (218)

la cui soluzione, illustrata in Fig. 36, è

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∞ aTt

vv

tanh1

1 (219)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 10 20 30 40

tempo (s)

velo

cità

(m/s

)

Fig. 36


-79-

Esercizio 21. Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=10.0 m e hB=6.0 m. Si valuti inizialmente la velocità v0 di regime lungo l’intera condotta AB quando la saracinesca S è completamente aperta e non produce alcuna dissipazione di energia. Nel calcolo si assuma, per semplicità, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. Per t<0 (t è il tempo) la saracinesca S è chiusa e il sistema è in quiete. All’istante t=0 la saracinesca S viene completamente ed istantaneamente aperta. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici.

Per la valutazione delle condizioni di moto stazionario, indicate con il pedice “0” un semplice bilancio di energia tra i serbatoi A e B nelle ipotesi di trascurare le dissipazioni localizzate e i carichi cinetici fornisce

BA hg

vd

LLfh =+

−2

)( 2021

da cui risulta v0=1.617 m/s. Considerando quindi il bilancio tra il serbatoio A e il nodo N

0

201

2zE

gv

dLfh BA ≅=−

si trova z0=7.333 m. Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra il serbatoio A e il nodo N e


-80-

tra questo e il serbatoio B. Nelle consuete ipotesi di trascurare dissipazioni e accelerazioni nei due serbatoi si trova

gvv

dfL

dtdv

gL

dsjdstv

gEE

N

A

N

AAN 2

1 11111 −−=−∂∂

−=− ∫∫ (220)

gvv

dfL

dtdv

gL

dsjdstv

gEE

B

N

B

NNB 2

1 22222 −−=−∂∂

−=− ∫∫ (221)

Nelle due precedenti relazioni si può assumere EA=hA, EB=hB, EN=z. Introdotta inoltre la velocità di riferimento vM nel termine dissipativo, le equazioni (220) e (221) possono essere scritte come segue

11

1 21 v

gdfv

dtdv

gLhz MA −−=

− (222)

22

2 21 v

gdfv

dtdv

gLzh MB −−=

− (223)

Sottraendo tra loro le equazioni (222) e (223) si trova

( ) ( )21212121 2

111 vvgd

fvvv

dtd

gLh

Lh

LLz MBA −−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (224)

A questa equazione è possibile associare l’equazioni di continuità per il nodo N che, considerata anche l’equazione dei serbatoi per il pozzo C, si scrive

dtdzAvAv Ω+= 21

in cui A è l’area della condotta. La precedente relazione, esplicitata rispetto alla differenza v1-v2, diventa

dtdz

Avv Ω

=− 21 (225)

Sostituendo l’equazione (225) nella (224) si trova infine

dtdz

Agdfv

dtzd

gALh

Lh

LLz MBA Ω

−Ω

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

211

2

2

2121

la quale può essere organizzata come segue

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω++

21212

2 112 L

hLhgA

LLgAz

dtdz

dfv

dtzd BAM (226)

Posto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω=

21

2 11LL

gAω d

vf M

4=ψ

21

12

LLhLhL BA

++

=ε

si trova


-81-

222

2

2 εωωψ =++ zdtdz

dtzd (227)

Con i dati del problema, ed essendo vM=v0=Qp/A=1.617 m/s, si trova ω=0.076 s-1, ψ=0.010 s-1 e ε=7.333 m. Essendo inoltre ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione (227) sarà del tipo

[ ] εωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DDt (228)



⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

00

dtdz

hzt

A

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (225), calcolata per t=0, quando v1=v2=0. Imponendo le condizioni al contorno si trova

( )εωψ

−= AD

hC1 = 0.358 m

ε−= AhC2 = 2.667 m

L’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C è illustrato in Fig. 37.

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

0 100 200 300 400tempo (s)

z (m

)

Fig. 37

Anche se non richiesto nel testo, è possibile valutare l’andamento nel tempo delle velocità nei due tronchi di condotta. Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (222) e ricordando l’espressione per ψ, si ottiene la seguente equazione differenziale per la velocità v1


-82-

[ ] ( )εωωψ ψ −++−=+ −ADD

t hLgtCtsenCe

Lgv

dtdv

121

11

1 )cos()(2 (229)

Si tratta di un’equazione differenziale lineare, del primo ordine, a coefficienti costanti, non omogenea la cui soluzione generale è

pt veCv 1

201 += − ψ (230)

in cui v1p è un integrale particolare che avrà la seguente struttura algebrica

)cos()( 2101 teBtseneBBv Dt

Dt

p ωω ψψ −− ++=

Nella precedente relazione, le costanti B0, B1 e B2 vanno determinate imponendo che v1p verifichi l’equazione differenziale (229). Si trova

120 2 LL

hhgB ba

+−

=ψ

=1.617 m/s 12

1 LLhhgB ba

D +−

−=ω

= -0.434 m/s 02 =B

L’espressione per la velocità v1 è dunque

)(102

01 tseneBBeCv Dtt ωψψ −− ++= (231)

La costante C0 che compare nella precedente equazione si determina imponendo la condizione al contorno: v1=0 per t=0. Si trova C0= -B0= -1.617 m/s. L’espressione per la velocità v2 può essere determinata, a questo punto, a partire dalla (225)

dtdz

Avv Ω

−= 12

Dopo…. qualche passaggio si trova

)(2

110

202 tsene

LLBBeCv D

tt ωψψ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= (232)

L’andamento nel tempo delle velocità è illustrato in Fig. 38.


-83-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 50 100 150 200 250 300 350 400tempo (s)

velo

cità

(m/s

)

v2 (m/s)

v1 (m/s)

Fig. 38


-84-

Esercizio 22. Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il serbatoio C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico, a tenuta, con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=10.0 m e hB=6.0 m mentre la superficie libera nel serbatoio C si trova alla quota hc=6.0 m con al di sopra aria a pressione superiore a quella atmosferica. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario. Si valuti, in queste condizioni, la velocità v0 lungo l’intera condotta AB assumendo, nel calcolo, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 la copertura del serbatoio C viene istantaneamente rimossa determinando, sulla superficie libera del serbatoio, condizioni di pressione atmosferica. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio C assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici.

Per la valutazione delle condizioni di moto stazionario, indicate con il pedice “0” un semplice bilancio di energia tra i serbatoi A e B nelle ipotesi di trascurare le dissipazioni localizzate e i carichi cinetici fornisce

BA hg

vd

LLfh =+

−2

)( 2021

da cui risulta v0=1.144 m/s. Considerando quindi il bilancio tra il serbatoio A e il nodo N

γ0

0

201

2p

zEg

vdLfh BA +≅=−

Essendo z0=6.0 m, si trova p0/γ=1.333 m.


-85-

Il problema di moto vario può essere affrontato in ipotesi anelastiche integrando l’equazione che esprime la conservazione dell’energia tra il serbatoio A e il nodo N e tra questo e il serbatoio B. Nelle consuete ipotesi di trascurare dissipazioni e accelerazioni nei due serbatoi si trova

gvv

dfL

dtdv

gL

dsjdstv

gEE

N

A

N

AAN 2

1 11111 −−=−∂∂

−=− ∫∫ (233)

gvv

dfL

dtdv

gL

dsjdstv

gEE

B

N

B

NNB 2

1 22222 −−=−∂∂

−=− ∫∫ (234)

Nelle due precedenti relazioni si può assumere EA=hA, EB=hB, EN=EC=z. Introdotta inoltre la velocità di riferimento vM nel termine dissipativo, le equazioni (233) e (234) possono essere scritte come segue

11

1 21 v

gdfv

dtdv

gLhz MA −−=

− (235)

22

2 21 v

gdfv

dtdv

gLzh MB −−=

− (236)

Sottraendo tra loro le equazioni (235) e (236) si trova

( ) ( )21212121 2

111 vvgd

fvvv

dtd

gLh

Lh

LLz MBA −−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (237)

A questa equazione è possibile associare l’equazioni di continuità per il nodo N che, considerata anche l’equazione dei serbatoi per il pozzo C, si scrive

dtdzAvAv Ω+= 21

in cui A è l’area della condotta. La precedente relazione, esplicitata rispetto alla differenza v1-v2, diventa

dtdz

Avv Ω

=− 21 (238)

Sostituendo l’equazione (238) nella (237) si trova infine

dtdz

Agdfv

dtzd

gALh

Lh

LLz MBA Ω

−Ω

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

211

2

2

2121

la quale può essere organizzata come segue

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω++

21212

2 112 L

hLhgA

LLgAz

dtdz

dfv

dtzd BAM (239)

Posto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω=

21

2 11LL

gAω d

vf M

4=ψ

21

12

LLhLhL BA

++

=ε


-86-

si trova

222

2

2 εωωψ =++ zdtdz

dtzd (240)

Con i dati del problema, ed essendo vM=v0=Qp/A=1.144 m/s, si trova ω=0.038 s-1, ψ=0.014 s-1 e ε=7.333 m. Essendo inoltre ω>ψ, la soluzione generale dell’equazione (240) sarà del tipo

[ ] εωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DDt (241)



⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

00

dtdz

hzt

C

la seconda delle quali è l’equazione di continuità (238), calcolata per t=0, quando v1=v2=0. Imponendo le condizioni al contorno si trova

( )εωψ

−= CD

hC1 = -0.541 m

ε−= ChC2 = -1.333 m

L’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio C è illustrato in Fig. 39.

5.50

6.00

6.50

7.00

7.50

8.00

0 100 200 300 400tempo (s)

z (m

)

Fig. 39

Anche se non richiesto nel testo, è possibile valutare l’andamento nel tempo delle velocità nei due tronchi di condotta. Noto l’andamento z(t), utilizzando l’equazione (235) e ricordando l’espressione per ψ, si ottiene la seguente equazione differenziale per la velocità v1


-87-

[ ] ( )εωωψ ψ −++−=+ −ADD

t hLgtCtsenCe

Lgv

dtdv

121

11

1 )cos()(2 (242)

Si tratta di un’equazione differenziale lineare, del primo ordine, a coefficienti costanti, non omogenea la cui soluzione generale è

pt veCv 1

201 += − ψ

in cui v1p è un integrale particolare che avrà la seguente struttura algebrica

)cos()( 2101 teBtseneBBv Dt

Dt

p ωω ψψ −− ++=

Nella precedente relazione, le costanti B0, B1 e B2 vanno determinate imponendo che v1p verifichi l’equazione differenziale (242). Si trova

( )εψ

−= AhL

gB1

0 2=1.144 m/s ( )ε

ω−−= C

D

hL

gB1

1 = 0.464 m/s 02 =B

L’espressione per la velocità v1 è dunque

)(102

01 tseneBBeCv Dtt ωψψ −− ++= (243)

La costante C0 che compare nella precedente equazione si determina imponendo la condizione al contorno: v1=v0 per t=0. Si trova C0=v0-B0= 0 m/s. L’espressione per la velocità v2 può essere determinata, a questo punto, a partire dalla (238)

dtdz

Avv Ω

−= 12

Dopo…. qualche passaggio si trova

)(2

110

202 tsene

LLBBeCv D

tt ωψψ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= (244)

L’andamento nel tempo delle velocità è illustrato in Fig. 40.


-88-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 50 100 150 200 250 300 350 400tempo (s)

velo

cità

(m/s

)

v2 (m/s)

v1 (m/s)

Fig. 40

moto permanente nei canali

-89-

Esercizio 23. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=30 m mentre il tratto di valle è largo b=20 m. La pendenza del fondo vale if=0.01 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=60 m1/3/s. In corrispondenza del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale Qm=10 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di monte y0m e l’altezza critica ycm. Con i dati del problema si trova

y0m=0.177 m ycm=0.225 m Nel tratto di monte, pertanto, la pendenza risulta superiore a quella critica e, presumibilmente la stessa condizione si avrà anche per il tratto di valle in quanto la pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile. E’ comunque possibile verificare questa assunzione. Per il tratto di valle l’altezza di moto uniforme e quella critica sono espresse dalle relazioni

5/3

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fS

vv ibk

Qy 3/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gbQy v

cv

Imponendo la condizione y0v>ycv si trova Qv<0.18 m3/s. Si tratta di una situazione un po’ particolare che verrà comunque presa in considerazione. Indichiamo con il pedice 1 la corrispondente sottrazione, si avrà ΔQ1=9.82 m3/s. Considerando una sottrazione tale per cui la pendenza del fondo rimane ovunque superiore a quella critica (ΔQ<ΔQ1). Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida e la ricostruzione del profilo parte da monte (sezione 1). Conviene a questo punto valutare la posizione relativa delle due curve H-y a monte e a valle della sottrazione. Consideriamo pertanto le espressioni per queste due curve


-90-

22

2

2 m

mmm yBg

QyH += ( )

22

2

2 v

mvv ybg

QQyH Δ−+=

Si osserva che la sottrazione di portata tende a posizionare la curva di valle al di sotto di quella di monte mentre la riduzione della larghezza produce un comportamento opposto. E’ evidente che quando fosse (Qm/B)=(Qm-ΔQ)/b, le due curve coinciderebbero. Con i dati del problema, questa situazione si verifica per ΔQ=3.333 m3/s. Indichiamo con il pedice 2 questo valore caratteristico (ΔQ2=3.333 m3/s). Quando la sottrazione di portata coincide con ΔQ2, le curve H-y di monte e di valle coincidono come pure le altezze di moto uniforme. Lungo il canale, quindi, si svilupperà un unico profilo di moto uniforme con profondità costante y=y0m. Consideriamo dapprima il caso in cui ΔQ>ΔQ2 (ma ΔQ<ΔQ1) e la curva H-y di monte si posiziona pertanto al di sopra di quella di valle (Fig. 41). Partiamo dalle condizioni di moto uniforme di monte (y1=y0m) e, integrando verso valle, la corrente si manterrà in moto uniforme fino alla sezione 2. Per stabilire le caratteristiche del moto nella sezione 3 si opera un bilancio di energia

Z2+H2-ΔE23=z3+H3 ⇒ H3=H2=H0m

E’ evidente dalla curva H-y di Fig. 41 che, nella sezione 3, l’energia H3=0.183 m risulterà sempre superiore all’energia minima Hcv necessaria per superare il restringimento. L’altezza y3, sul ramo delle correnti rapide, sarà inoltre necessariamente inferiore all’altezza di moto uniforme di valle pertanto, a partire dalla sezione 3 si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 4).

Fig. 41

Consideriamo ora il caso in cui ΔQ<ΔQ2 per il quale la curva H-y di monte si posizionerà al di sotto di quella di valle (Fig. 42). Come prima, partiamo dalle condizioni di moto uniforme di monte (y1=y0m). Proseguendo verso valle la corrente si manterrà in moto uniforme fino alla sezione 2 posta immediatamente a monte della sottrazione. Per stabilire le caratteristiche del moto nella sezione 3 si opera il bilancio di energia visto in precedenza che fornisce H3=H2=H0m. E’ evidente, dal diagramma H-y di Fig. 42, che l’energia H3 può risultare inferiore o superiore all’energia minima necessaria alla corrente per superare la sottrazione di portata.


-91-

Una ulteriore condizione limite è quindi rappresentata da H3=H0m=Hcv=0.358 m che fornisce

3/1

2

2

23

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

bgQyH v

cvcv =0.358 m ⇒ Qv=7.31 m3/s

e quindi un ulteriore valore limite per la portata sottratta ΔQ3=2.69 m3/s. Quando la portata sottratta ricade nell’intervallo ΔQ3<ΔQ<ΔQ2 l’energia H3 è superiore quella minima Hcv e nella sezione 3 si avrà un’altezza y3 superiore a y0v. A partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà pertanto un profilo di corrente rapida accelerata, S2, fino alle condizioni di moto uniforme (Fig. 42).

Fig. 42

Quando invece la portata sottratta è inferiore a ΔQ3 l’energia H3 è inferiore a quella minima necessaria alla corrente per superare la sottrazione di portata e nella sezione 3 si stabiliranno le condizioni critiche (Fig. 43). A partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata, S2, fino alle condizioni di moto uniforme. Verso monte, dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si ha H2=Hcv a cui corrisponde l’altezza y2 sul ramo delle correnti lente. A partire da quest’altezza, verso monte, si svilupperà un profilo di corrente lenta decelerata S1 lungo il quale la spinta si ridurrà fino a bilanciare quella della corrente rapida di monte in moto uniforme. Utilizzando la relazione per le altezze coniugate si trova, a monte del risalto, l’altezza y6=0.281 m.

Fig. 43


-92-

Nel complesso, quindi, per valori ΔQ<ΔQ3 si ha la configurazione di Fig. 43, quando invece ΔQ3<ΔQ<ΔQ2 la corrente si mantiene ovunque rapida come illustrato in Fig. 42, quando infine ΔQ2<ΔQ<ΔQ1 lungo il canale si sviluppa il profilo di Fig. 41. Per completare l’analisi ci sono ancora due aspetti che vanno precisati. Il primo riguarda il profilo che si instaura lungo il canale quando la portata sottratta supera il valore limite ΔQ1 e la pendenza del fondo del tratto di valle risulta inferiore a quella critica. In queste condizioni le caratteristiche del moto sono illustrate in Fig. 44. Lungo il tratto di monte la corrente si mantiene in moto uniforme. Nel superare la sottrazione a energia costante il livello subisce un brusco abbassamento e, a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo M3 lungo il quale la corrente rapida riduce la sua spinta fino ad eguagliare quella della corrente lenta di valle in moto uniforme.

Fig. 44

L’ultimo aspetto riguarda la possibilità di avere due soluzioni per uno stesso valore di portata sottratta (isteresi). Consideriamo la situazione illustrata in Fig. 43 e, a partire da questa, immaginiamo di incrementare la portata sottratta. In questo modo la curva H-y di valle si abbassa verso quella di monte e il profilo S1 riduce gradualmente la sua lunghezza e le sezioni 6 e 2 si avvicinano fino a coincidere. In quest’ultima situazione limite, con le sezioni 6 e 2 coincidenti e un profilo S1 di lunghezza nulla, si ha y2=y6=y0mR=0.281 m a cui corrisponde l’energia H2=0.353 m la quale, come visto in precedenza, deve corrispondere all’energia minima di valle, ovvero

3/1

2

2

23

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

bgQyH v

cvcv = 0.353 m ⇒ Qv=7.14 m3/s ⇒ ΔQ4=2.86 m3/s

Quando la portata sottratta è nell’intervallo ΔQ3<ΔQ<ΔQ4 si potranno avere pertanto sia la configurazione di Fig. 42 che una configurazione con transizione analoga a quella di Fig. 43.


-93-

Esercizio 24. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=30 m mentre il tratto di valle è largo b=20 m. La pendenza del fondo vale if=0.0004 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=30 m1/3/s. In corrispondenza del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale Qm=10 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di monte y0m e l’altezza critica ycm. Con i dati del problema si trova

y0m=0.703 m ycm=0.225 m Nel tratto di monte, pertanto, la pendenza risulta inferiore a quella critica e, presumibilmente la stessa condizione si avrà anche per il tratto di valle in quanto la pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile. E’ comunque possibile verificare questa assunzione. Per il tratto di valle l’altezza di moto uniforme e quella critica sono espresse dalle relazioni

5/3

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fS

vv ibk

Qy 3/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gbQy v

cv

Imponendo la condizione y0v<ycv si trova Qv>1.8.108 m3/s che, evidentemente, è impossibile dovendo essere Qv<10 m3/s. Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente lenta e la ricostruzione del profilo parte da valle (sezione 1). Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 45, il moto si mantiene uniforme fino alla sezione 2 (cambio di sezione e portata). Per stabilire le caratteristiche del moto nella sezione 3 si opera un bilancio di energia

z3+H3-ΔE32=z2+H2 ⇒ H3=H2


-94-

Nella sezione 3 l’energia H3 può risultare inferiore o superiore all’energia minima necessaria alla corrente Hcm=0.337 m. La condizione limite è quindi rappresentata da H2=H0v=Hcm=0.337 m. Da questa condizione, combinando tra loro l’espressione dell’energia specifica rispetto al fondo e la relazione del moto uniforme, è possibile stabilire le corrispondenti caratteristiche del moto di valle

giykyH fvS

vv 2

3/40

2

00 += ⇒ y0v=0.333 m

e quindi Qv=1.916 m3/s e ΔQ1=8.084 m3/s. Per valori ΔQ<ΔQ1 la corrente riesce a raggiungere la sezione 3 senza transizione, al contrario per ΔQ>ΔQ1, nel passaggio tra la sezione 3 e la sezione 2 si ha transizione. Analizziamo dapprima le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ<ΔQ1. Nota l’energia H3=H2, dal bilancio visto in precedenza, possiamo determinare la corrispondente altezza y3 sul ramo delle correnti lente della curva H-y relativa al tratto di monte. In relazione al valore assunto da ΔQ, l’altezza y3 può risultare inferiore o superiore all’altezza y2. Consideriamo infatti le espressioni per le curve H-y di monte e di valle

22

2

2 m

mmm yBg

QyH += ( )

22

2

2 v

mvv ybg

QQyH Δ−+=

E’ evidente che quando fosse (Qm/B)=(Qm-ΔQ)/b, le due curve coinciderebbero. Con i dati del problema, questa situazione si verifica per ΔQ=3.333 m3/s. Indichiamo con il pedice 2 questo valore caratteristico (ΔQ2=3.333 m3/s). Quando ΔQ<ΔQ2 la curva H-y di monte si posizionerà al di sotto di quella di valle (Fig. 45), si avrà, pertanto, y3>y2. Essendo, inoltre, y3>y0m, a monte della sezione 3 si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte.

Fig. 45

Quando invece ΔQ>ΔQ2 (ma ancora ΔQ<ΔQ1) la curva H-y di monte si posizionerà al di sopra di quella di valle (Fig. 46), si avrà, pertanto, y3<y2. Essendo, inoltre, y3<y0m, a monte della sezione 3 si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte.


-95-

Fig. 46

Analizziamo ora le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ>ΔQ1. In tal caso, in corrispondenza della sezione 3 si instaurano condizioni critiche, e quindi sarà y3=ycm=0.225 m. Dalla relazione di bilancio vista in precedenza si ha inoltre H2=Hcm=0.337 m. Nota l’energia in 2, al variare della portata sottratta ΔQ (ΔQ>ΔQ1) possiamo calcolare da una parte l’altezza y2, dall’altra, la portata di valle Qv (per continuità), l’altezza y0v (con la formula di moto uniforme) e la sua coniugata y0vR. Se dovesse risultare y2<y0vR, a valle della sezione 2 si svilupperà un breve tratto di corrente rapida decelerata (profilo M3) fino a raggiungere l’altezza y0vR dove si localizzerà la transizione rapida→lenta con la formazione del risalto (Fig. 47).

Fig. 47

Se invece dovesse essere y2>y0vR, il risalto si porterà immediatamente a monte della sezione 2 e avremo una doppia transizione lenta→rapida→lenta tra le sezioni 3 e 2 (Fig. 48).

Fig. 48


-96-

La condizione limite, a cui corrisponde la sottrazione ΔQ3, si ha quando y2=y0vR. Volendo, è possibile valutare ΔQ3 considerando, come detto poc’anzi, l’espressione per l’energia H2 e le formule di moto uniforme e delle altezze coniugate, alle quali va aggiunta la condizione y2=y0vR

22

2

2

22 2 ybgQyH v+=

fvSv iybkQ 3/50=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−== 3

02

20

02 8112 v

vvvR ybg

Qyyy

Il sistema delle quattro precedenti equazioni contiene le quattro incognite y0v, yovR, Qv e y2. La soluzione di questo sistema, tutt’altro che agevole. Nel seguito si suggerisce, giustificandolo, un possibile modo di procedere iterativamente. Sostituita l’espressione per Qv nella prima e nell’ultima equazione si ha

22

3/100

2

22 2 ygiykyH fvS+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−=

giykyy fvSv

3/10

20

2 8112

La prima di queste due relazioni viene esplicitata rispetto all’altezza y0v

=Φ= 5/320 yy v con 10/3

222 )(2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=Φ

fS ikyHg

nella quale, essendo la corrente rapida in corrispondenza della sezione 2, l’altezza y2 contenuta nell’espressione di Φ è piccola rispetto a H2 e può essere trascurata al primo tentativo. Sostituita l’espressione per y0v così trovata nella seconda delle precedenti relazioni, dopo pochi passaggi, si ottiene

2/5

5/12

3/122/5

2 8112 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ Φ++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ= y

giky fS

Scelto un valore per y2 di primo tentativo, molto piccolo ma non nullo, e procedendo nelle iterazioni, si trova y2=yovR=0.000641 m, y0v=0.029 m, Qv=0.0329 m3/s. Risulta pertanto ΔQ3=Qm-Qv=9.967 m3/s. In pratica, quindi, per ΔQ>ΔQ1 si assisterà sempre ad una doppia transizione.


-97-

Esercizio 25. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L molto scabro. La pendenza del fondo vale if=0.006 e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q =1.0 m3/sm. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema, ricordando che è possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza d’acqua (RH≈y), si trova

y01=0.363 m y02=0.673 m yc=0.467 m avendo indicato con il pedice 1 il tratto di canale meno scabro e con il pedice 2 il tratto centrale di canale. Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica per il tratto più scabro (if<ic2) e superiore a quella critica altrove (if>ic1). Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida e la ricostruzione del profilo parte da monte (sezione 1). Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 49, il moto si mantiene uniforme fino alla sezione 2 (cambio di scabrezza) a partire dalla quale si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3. Se la lunghezza L è sufficientemente piccola, la corrente rapida si mantiene tale fino alla sezione 3 (cambio di scabrezza). Verso valle si svilupperà quindi un profilo S2 che porterà la corrente nuovamente verso le condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 4).

Fig. 49

Al limite, per L=0, la corrente rapida resta ovunque in moto uniforme (Fig. 50A). L’altra condizione limite è rappresentata dalla lunghezza L1 tale per cui esattamente


-98-

al termine del profilo M3 (sezione 3) il livello raggiunge le condizioni critiche (y3=yc) come illustrato in Fig. 50B.

Fig. 50

Se la lunghezza L è sufficientemente grande (L>L1), il profilo M3 che si sviluppa a valle della sezione 2 porta il livello y a raggiungere le condizioni critiche prima del termine del tratto più scabro (vedi Fig. 51 e Fig. 52). Non potendo proseguire verso valle si fissano in corrispondenza della sezione 3 le condizioni critiche (y3=yc) e si procede all’integrazione della corrente rapida verso valle, che svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4), e all’integrazione della corrente lenta verso monte che svilupperà un profilo M2. Per stabilire se il risalto si stabilisce a monte o a valle della sezione 2 è necessario confrontare la spinta della corrente rapida in moto uniforme di monte con quella della corrente lenta in corrispondenza della sezione 2. In modo equivalente possiamo confrontare l’altezza coniugata y01R della corrente con l’altezza di lenta nella sezione 2. Con i dati del problema risulta y01R=0.59 m. Al tempo stesso l’altezza di corrente lenta y2 assumerà valori compresi tra l’altezza critica yc=0.467 m e l’altezza di moto uniforme y02=0.673 m, in relazione alla lunghezza L. Esisterà quindi una lunghezza limite L2 tale per cui si ha y2=y01R. Se L<L2, il risalto si formerà nel tratto centrale più scabro (Fig. 51), se invece è L>L2 la corrente lenta del tratto centrale spingerà il risalto a monte della sezione 2. In tal caso, a monte della sezione 2 si avrà un tratto di corrente lenta decelerata S1 (Fig. 52). Ovviamente, per L=L2 il risalto si formerà esattamente in corrispondenza della sezione 2.

Fig. 51

Nel complesso, quindi, per L<L1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 49, per L1<L<L2 quella illustrata in Fig. 51 e per L>L2 quella di Fig. 52.


-99-

Fig. 52

Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare della lunghezza L consente di determinare i valori limite che risultano L1=1.73 m e L2=6.4 m.


-100-

Esercizio 26. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L sensibilmente meno scabro. La pendenza del fondo vale if=0.008 e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q =1.0 m3/sm. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.


y01=0.553 m y02=0.333 m yc=0.467 m avendo indicato con il pedice 1 il tratto di canale più scabro e con il pedice 2 il tratto centrale di canale. Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica per il tratto più scabro (if<ic1) e superiore a quella critica altrove (if>ic2). Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente lenta e la ricostruzione del profilo parte da valle (sezione 1). Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 53, il moto si mantiene uniforme fino alla sezione 2 (cambio di scabrezza) a partire dalla quale si svilupperà un profilo di corrente lenta decelerata S1. Se la lunghezza L è sufficientemente piccola, la corrente lenta si mantiene tale fino alla sezione 3 (cambio di scabrezza). Verso monte si svilupperà quindi un profilo M2 che porterà la corrente nuovamente verso le condizioni di moto uniforme infinitamente a monte (sezione 4).

Fig. 53

Al limite, per L=0, la corrente lenta resta ovunque in moto uniforme (Fig. 54A). L’altra condizione limite è rappresentata dalla lunghezza L1 tale per cui esattamente al


-101-

termine del profilo S1 (sezione 3) il livello raggiunge le condizioni critiche (y3=yc) come illustrato in Fig. 54B.

Fig. 54

Se la lunghezza L è sufficientemente grande (L>L1), il profilo S1 che si sviluppa a monte della sezione 2 porta il livello y a raggiungere le condizioni critiche prima del termine del tratto meno scabro (vedi Fig. 55 e Fig. 56). Non potendo proseguire verso monte si fissano in corrispondenza della sezione 3 le condizioni critiche (y3=yc) e si procede all’integrazione della corrente lenta verso monte, che svilupperà un profilo M2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4), e all’integrazione della corrente rapida verso valle che svilupperà un profilo S2. Per determinare se il risalto si stabilisce a monte o a valle della sezione 2 è necessario confrontare la spinta della corrente lenta in moto uniforme di valle con quella della corrente rapida in corrispondenza della sezione 2. In modo equivalente possiamo confrontare l’altezza coniugata y01R della corrente con l’altezza di rapida nella sezione 2. Con i dati del problema risulta y01R=0.391 m. Al tempo stesso l’altezza di corrente rapida y2 assumerà valori compresi tra l’altezza di moto uniforme y02=0.333 m e l’altezza critica yc=0.467 m, in relazione alla lunghezza L. Esisterà quindi una lunghezza limite L2 tale per cui si ha y2=y01R. Se L<L2, il risalto si formerà nel tratto centrale meno scabro (Fig. 55), se invece è L>L2 la corrente rapida del tratto centrale spingerà il risalto a valle della sezione 2. In tal caso, a valle della sezione 2 si avrà un tratto di corrente rapida decelerata M3 (Fig. 56). Ovviamente, per L=L2 il risalto si formerà esattamente in corrispondenza della sezione 2.

Fig. 55



-102-

Fig. 56



-103-

Esercizio 27. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga B=10 m, scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello rispetto al fondo della sezione iniziale vale H=1.0m. Il primo tratto di canale, lungo L, è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.02, il tratto successivo, infinitamente lungo, è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.002. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L del tratto iniziale e si valuti, nei casi in cui questo è agevole, la portata scaricata. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.

La pendenza del primo tratto di canale è relativamente elevata e, presumibilmente, sarà superiore alla pendenza critica. In questo caso, per L sufficientemente grande, la corrente nel tratto iniziale di canale non sarà influenzata dalle condizioni di valle. Se assumiamo valida questa ipotesi , in corrispondenza della sezione di imbocco (sezione 1, vedi Fig. 57) si stabiliranno le condizioni critiche. Da un bilancio tra il serbatoio e la sezione 1 si trova inoltre

cc1 y23HHH ===

Dalla precedente relazione, ricordando l’espressione per l’altezza critica in un canale di sezione rettangolare, si trova Q=17.05 m3/s e y1=yc=0.667 m. Con questa portata, le altezze di moto uniforme nei due tratti di canale valgono y0m=0.394 m e y0v=0.809 m (avendo indicato con il pedice m il tratto iniziale di monte lungo L e con il pedice v il tratto di valle, infinitamente lungo. Essendo y0m<yc è verificata l’ipotesi assunta di pendenza del primo tratto superiore a quella critica. Al tempo stesso il tratto di canale di valle è caratterizzato da una pendenza inferiore a quella critica e la corrente, in condizioni di moto uniforme, è lenta. Se la lunghezza L è sufficientemente grande, lungo il tratto di monte del canale, a partire dalla sezione 1, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 (Fig. 57 e Fig. 58). In corrispondenza della sezione 2, al termine del tratto di monte, la corrente assumerà altezze d’acqua comprese tra l’altezza di moto uniforme y0m e l’altezza critica yc in relazione alla lunghezza L. D’altra parte l’altezza coniugata della corrente lenta di valle in moto uniforme vale y0vR=0.542 m, compresa tra y0m e yc. Esiste quindi una lunghezza limite L1 a cui corrisponde la condizione y2=y0vR.


-104-

Per L>L1, l’altezza y2 di corrente rapida sarà inferiore a y0vR e il risalto si localizzerà a valle della sezione 2 dopo un breve tratto di corrente rapida decelerata che segue un profilo M3 (Fig. 57)

Fig. 57

Se, al contrario, la lunghezza L è (di poco) inferiore a L1, la corrente lenta sospingerà il risalto verso monte e si avrà quindi la soluzione illustrata in Fig. 58.

Fig. 58

Se, infine, la lunghezza L dovesse essere molto piccola, il profilo S1 di corrente lenta che si sviluppa verso monte a partire dalla sezione 2 potrebbe arrivare alla sezione 1 prima di raggiungere le condizioni critiche. In tal caso il profilo che si determina lungo il canale è quello illustrato in Fig. 59. E’ possibile individuare una seconda lunghezza limite L2 tale per cui il profilo raggiunge le condizioni critiche esattamente in corrispondenza della sezione 1, e la situazione appena illustrata si determina quindi quando L<L2.

Fig. 59


-105-

Nel complesso, quindi, per L>L1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 57, per L2<L<L1 quella illustrata in Fig. 58 e per L<L2 quella di Fig. 59. Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare della lunghezza L consente di determinare i valori limite che risultano L1=3.05 m e L2=1.976 m.


-106-

Esercizio 28. Lungo il tratto terminale del canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga è presente una sottrazione localizzata di portata, ΔQ a causa della quale la portata per unità di largezza passa dal valore qm=1.2 m3/sm al valore qv=0.8 m3/sm. Ad una distanza L a valle della sottrazione è posta una paratoia sollevata a battente che fissa il livello nella sezione terminale al valore yv. Si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare dell’altezza yv, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. Si valutino infine i livelli che si instaurano nelle immediate vicinanze della sottrazione nelle condizioni limite che separano le diverse possibili configurazioni. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di portata..

Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme e quelle critiche per i due tratti di canale a monte e a valle della sottrazione, si trova

Y0m=0.345 m y0v=0.270 m ycm=0.528 m ycv=0.403 m Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e le altezze critiche si evince che tutto il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo superiore a quella critica. Infinitamente a monte si avranno condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Al tempo stesso, essendo l’altezza yv di valle fissata dalla paratoia sollevata a battente, necessariamente l’altezza yv è associata ad una corrente lenta. Lungo il canale si assisterà quindi, necessariamente, ad una transizione lenta→rapida. Cominciamo con ricostruire il profilo di corrente rapida al partire da monte (sezione 1 di Fig. 60). La corrente si manterrà in moto uniforme fino alla sezione 2, immediatamente a monte della sottrazione. Il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3, quest’ultima posta immediatamente a valle della sottrazione, fornisce H3=H2=H0m=0.962 m. A questa energia, che risulta necessariamente (vedi diagramma H-y di Fig. 60) superiore all’energia minima per la sezione 3 (Hcv=1.5.ycv=0.604 m) corrisponde l’altezza y3=0.208 m sul ramo delle correnti rapide. Essendo y3<y0v, a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 che, se il canale fosse infinitamente lungo, porterebbe la corrente a raggiungere condizioni di moto uniforme. Si osservi che, detta yL l’altezza che avrebbe la corrente rapida se si mantenesse tale fino alla paratoia (yL<y0v), e immaginando, come condizione limite, che il risalto si formi a ridosso della paratoia stessa, l’altezza yv=yv0 deve corrispondere alla coniugata di yL e non può essere inferiore.


-107-

Per stabilire la posizione del risalto ricostruiamo i profili di corrente lenta (S1) a partire dal livello yv assegnato a valle. Come al solito, il risalto si formerà laddove le spinte della corrente rapida di monte e della corrente lenta di valle si bilanciano. Se l’altezza di valle è relativamente modesta, si avrà la situazione illustrata in Fig. 60, nella quale il risalto si forma a valle della sottrazione.

Fig. 60

Aumentando l’altezza yv e quindi la spinta della corrente lenta di valle, il risalto risalirà fino a formarsi immediatamente a valle della sottrazione (Fig. 61A). In queste condizioni l’altezza immediatamente a valle del risalto, y6 corrisponde all’altezza coniugata di y3, ovvero y6=y3R=0.695 m, e le sezioni 3 e 5 saranno coincidenti. E’ questa una condizione limite a cui corrisponderà, immediatamente a monte della paratoia, un’altezza yv1.

Fig. 61

Incrementando ulteriormente il livello di valle (e quindi la spinta della corrente lenta) il risalto è forzato a spostarsi verso monte. Però, prima di superare la sezione 2 la


-108-

spinta di valle deve essere incrementata in misura relativamente consistente. Un’altra condizione limite, infatti, è quella illustrata in Fig. 61B nella quale il risalto si situa immediatamente a monte della sezione 2. In questo caso l’altezza y2 corrisponde alla coniugata dell’altezza y5=y0m. Con i dati del problema si trova y2=y5R=0.766 m a cui corrisponde l’energia H2=0.891 m. Dal bilancio tra le sezioni 2 e 3 si ha H3=H2=0.891 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y3=0.845 m. A questo valore dell’altezza y3 corrisponderà, immediatamente a monte della paratoia, un’altezza limite yv2. Si osservi che nella situazione di Fig. 61A l’altezza di corrente lenta immediatamente a valle della sottrazione era y6= 0.695 m, mentre nella situazione di Fig. 61B, l’altezza di corrente lenta immediatamente a valle della sottrazione vale y3=0.845 m. Si deduce che l’altezza limite yv2 sarà (sensibilmente) superiore a quella yv1. Per altezze di valle nell’intervallo yv1<yv<yv2 si avrà la situazione illustrata in Fig. 62 con il risalto bloccato tra le sezioni 2 e 3, in corrispondenza della sottrazione.

Fig. 62

Infine, per altezze di valle yv>yv2 si avrà la situazione illustrata in Fig. 63 nella quale il risalto si forma a monte della sottrazione di portata.

Fig. 63

Una valutazione numerica dei profili che si sviluppano al variare dell’altezza yv consente di determinare i valori limite una volta fissata la lunghezza L. Ad esempio, per L=50 m, si trova yL=0.264 m (ancora inferiore a y0v). A questo valore corrisponde l’altezza limite yv0=0.584 m. La condizione limite di Fig. 61A si ha quando l’altezza di valle vale yv1=1.23 m mentre la condizione limite di Fig. 61B si ha quando l’altezza di valle vale yv2=1.366 m.


-109-

Esercizio 29. Lungo il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga è presente una sottrazione localizzata di portata, ΔQ a causa della quale la portata per unità di largezza passa dal valore qm=1.2 m3/sm al valore qv=0.8 m3/sm. In corrispondenza della sottrazione localizzata, inoltre, vi è anche un cambio di pendenza dal valore ifm=0.02 al valore ifv. Si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare della pendenza ifv, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. Si valutino infine i valori delle pendenze ifv nelle condizioni limite che separano le diverse possibili configurazioni. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di portata..

Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme per il tratto di monte del canale e quelle critiche per i due tratti a monte e a valle della sottrazione, si trova

Y0m=0.345 m ycm=0.528 m ycv=0.403 m Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme Y0m e l’altezza critica ycm si evince che il tratto di monte del canale è caratterizzato da una pendenza del fondo superiore a quella critica. Infinitamente a monte si avranno dunque condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Conviene, preliminarmente, valutare la pendenza critica per il tratto di valle (che rappresenta evidentemente una condizione limite di interesse). Con i dati del problema si trova

3/102

2

cvS

vcv yk

qi = =0.0053

Nel caso in cui la pendenza del fondo di valle sia superiore a quella critica, essendo la curva H-y della corrente di monte superiore a quella della corrente di valle, la corrente si manterrà rapida ovunque lungo il canale (vedi Fig. 64 e Fig. 65). Cominciamo con ricostruire il profilo di corrente rapida al partire da monte (sezione 1 di Fig. 64). La corrente si manterrà in moto uniforme fino alla sezione 2, immediatamente a monte della sottrazione. Il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3, quest’ultima posta immediatamente a valle della sottrazione, fornisce H3=H2=H0m=0.962 m. A questa energia, che risulta necessariamente (vedi diagramma H-y di Fig. 64) superiore all’energia minima per la sezione 3 (Hcv=1.5.ycv=0.604 m) corrisponde l’altezza y3=0.208 m sul ramo delle correnti rapide.


-110-

A questo punto dobbiamo distinguere il caso y3<y0v da quella y3>y0v. Si individua quindi una nuova condizione limite per la pendenza di valle ovvero quella per la quale si ha y3=y0v. Tale pendenza limite vale

3/103

2

2

1 ykqi

S

vv = =0.048

Nel caso in cui sia ifv<iv1 si avrà y3<y0v, e a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 che porta gradualmente la corrente verso condizioni di moto uniforme (Fig. 64).

Fig. 64

Nel caso opposto in cui sia ifv>iv1 si avrà y3>y0v, e a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S2 fino a raggiungere le condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (Fig. 65).

Fig. 65

Consideriamo ora il caso in cui la pendenza del fondo del tratto di valle sia inferiore a quella critica. La condizione di moto uniforme y0v sarà dunque di corrente lenta e, necessariamente lungo il canale si assisterà ad una transizione rapida→lenta. Per quanto visto in precedenza, a partire da monte (sezione 1 di Fig. 64 e Fig. 66) si ha un profilo di moto uniforme fino alla sezione 2, immediatamente prima della sottrazione. Il bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 fornisce H3=H2=H0m=0.962 m e a questa energia corrisponde l’altezza y3=0.208 m sul ramo delle correnti rapide. Essendo, necessariamente, y3<y0v, a partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino, eventualmente alle condizioni critiche ycv.


-111-

Per stabilire la posizione del risalto ricostruiamo i profili di corrente lenta a partire dal livello di monto uniforme infinitamente a valle, y4=y0v. Se l’altezza di valle è relativamente modesta (ovvero la pendenza ifv poco inferiore a quella critica), si avrà la situazione illustrata in Fig. 66, nella quale il risalto si forma a valle della sottrazione.

Fig. 66

Riducendo via via la pendenza del fondo del tratto di valle, incrementando così l’altezza di moto uniforme y0v, cresce la spinta della corrente lenta di valle e il risalto risale fino a formarsi immediatamente a valle della sottrazione (Fig. 67A). In queste condizioni l’altezza immediatamente a valle del risalto y6, che coincide con l’altezza di moto uniforme y0v, corrisponde all’altezza coniugata di y3, ovvero y6=y3R=0.695 m, e le sezioni 3 e 5 saranno coincidenti. E’ questa una condizione limite a cui corrisponde la pendenza del fondo iv2=0.000862.

Fig. 67


-112-

Riducendo ulteriormente la pendenza del fondo (e quindi incrementando l’altezza di moto uniforme e la spinta della corrente lenta) il risalto è forzato a spostarsi verso monte. Però, prima di superare la sezione 2 la spinta di valle deve essere incrementata in misura relativamente consistente. Un’altra condizione limite, infatti, è quella illustrata in Fig. 67B nella quale il risalto si situa immediatamente a monte della sezione 2. In questo caso l’altezza y2 corrisponde alla coniugata dell’altezza y5=y0m. Con i dati del problema si trova y2=y5R=0.766 m a cui corrisponde l’energia H2=0.891 m. Dal bilancio tra le sezioni 2 e 3 si ha H3=H2=0.891 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, l’altezza y3=0.845 m. A questo valore dell’altezza y3 che coincide con l’altezza di moto uniforme di valle, corrisponde una pendenza del fondo pari a iv3=0.000448. Per pendenze del fondo di valle nell’intervallo iv3<ifv<iv2 si avrà la situazione illustrata in Fig. 68 con il risalto bloccato tra le sezioni 2 e 3, in corrispondenza della sottrazione.

Fig. 68

Infine, per pendenze del fondo del tratto di valle ifv<iv3 si avrà la situazione illustrata in Fig. 69 nella quale il risalto si forma a monte della sottrazione di portata.

Fig. 69

Riassumendo, per pendenze del fondo molto piccole, ifv<iv3=0.000448, nel canale si sviluppa il profilo illustrato in Fig. 69. Per pendenze iv3=0.000448<ifv<iv2=0.000862 il profilo che si determina è quello di in Fig. 68 mentre per pendenze iv2=0.000862<ifv<icv=0.0053 il risalto viene ricacciato a valle della sottrazione e il profilo che si determina lungo il canale è quello di Fig. 66. In tutti questi casi, essendo la corrente, infinitamente a valle, lenta, si osserva la presenza di un risalto. Per pendenze del fondo icv=0.0053<ifv<iv1=0.048 il profilo che si determina è quello di


-113-

Fig. 64 mentre per pendenze ifv>iv1=0.048 si determina la situazione illustrata in Fig. 65.


-114-

Esercizio 30. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, termina a valle in un bacino di grandi dimensioni la cui superificie libera si trova a quota YL=2.0 m rispetto alla quota del fondo del canale allo sbocco. Ad una distanza L a monte dello sbocco è presente un gradino di altezza a. La portata fluente, per unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L del tratto a valle del gradino, indicando il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-Y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.


y0=0.617 m yc=0.403 m H0=0.703 m Hc=0.604 m Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e le altezze critiche si evince che tutto il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a quella critica. Se la lunghezza L fosse nulla, considerando il bilancio di energia tra monte (sezione 2) e valle del gradino si avrebbe

=−+= ayg

qyHL

L 2

2

2 21.608 m>Hc

Si deduce quindi che se il tratto di valle è sufficientemente corto, la corrente è in grado di superare il gradino senza transizione. E’ da osservare inoltre che la soluzione della precedente relazione fornisce l’altezza y2=1.583 m. Essendo questa superiore all’altezza di moto uniforme, lungo tutto il canale si stabilirà un profilo di rigurgito M1. Al contrario, se la lunghezza L fosse infinita e si determinassero quindi le condizioni di moto uniforme immediatamente a valle del gradino, considerando il bilancio di energia tra monte e valle del gradino si avrebbe

=−+= ayg

qyH 20

2

02 20.303 m<Hc


-115-

In questo caso, dunque, la corrente non è in grado di superare il gradino senza transizione. La condizione limite tra queste due situazioni è rappresentata dalla lunghezza L1 tale per cui è verificata la seguente uguaglianza

ayg

qyHc −+= 23

2

3 2

nella quale il pedice 3 individua la sezione immediatamente a valle del gradino. La soluzione della precedente relazione fornisce y3=0.971 m (Fig. 71a). La lunghezza L1, determinata per integrazione numerica delle equazioni del moto, risulta prossima a L1=542 m. Dunque per L<L1 la corrente si mantiene lenta ovunque. In questo caso, comunque, è possibile individuare una seconda lunghezza limite. Si è visto infatti che per una lunghezza molto piccola (al limite nulla) a monte del gradino si sviluppa un profilo M1 mentre quando ci si avvicina alla lunghezza L=L1, sul gradino si stabiliscono condizioni prossime a quelle critiche e a monte si svilupperà quindi un profilo di chiamata M2. Esiste dunque una lunghezza L2 tale per cui immediatamente a monte del gradino (sezione 2) si avrà un’altezza coincidente con quella del moto uniforme. Tale lunghezza corrisponde a quella necessaria affinchè nella sezione 3 si determini l’altezza y3 che verifica la seguente equazione di bilancio

ayg

qyH −+= 23

2

30 2

Si trova y3=1.071 m (Fig. 70b). La lunghezza L2, determinata per integrazione numerica delle equazioni del moto, risulta prossima a L2=484 m. Dunque, per L<L2, si sviluppa il profilo illustrato in Fig. 70a mentre per L2<L<L1, si sviluppa il profilo illustrato in Fig. 70c. Quando la lunghezza del tratto di valle supera il valore L1, in corrispondenza della sezione 2 si stabiliscono le condizioni critiche e a valle del gradino si formerà un risalto. Possiamo ancora distinguere il caso in cui il risalto è libero o compresso contro il paramento di valle del gradino. Le condizioni limite (L3) si determinano imponendo che l’altezza di corrente rapida y3R, nella sezione 3, corrisponda esattamente alla coniugata dell’altezza della corrente lenta di valle che, nella sezione 3, è indicata con y3L. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3

23

2

3 223

RRc yg

qyay +=+

si trova y3R=0.202 m e quindi F3R=2.82. Si ha inoltre

( )23

33 811

2 RR

L Fy

y ++−= =0.701 m


-116-

Fig. 70

La lunghezza limite L3 è dunque quella distanza dallo sbocco a cui corrisponde, per integrazione del profilo di corrente lenta a partire dalla sezione 4 (sbocco nel bacino), l’altezza y3L appena calcolata (Fig. 71c). La lunghezza L3, determinata per integrazione numerica delle equazioni del moto, risulta prossima a L3=743 m. Per una lunghezza L1<L<L3, si ha transizione con la formazione di un risalto che resta incollato al gradino (vedi Fig. 71b). Per una lunghezza L>L3 il risalto si stacca dal gradino spostandosi verso valle (vedi Fig. 71d).


-117-

Fig. 71


-118-

Esercizio 31. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è presidiato a monte da una paratoia sollevata a battente larga quanto il canale. Alla distanza L (relativamente modesta) a valle della paratoia c’è una gradino di fondo alto s=0.1 m. La portata fluente, per unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm. Si assuma inoltre, per semplicità, un coefficiente di contrazione costante pari a cc=0.6. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare dell’apertura a della paratoia, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-Y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.


y0=0.540 m yc=0.403 m Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e le altezze critiche si evince che tutto il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a quella critica. Se, come suggerito nel testo, la distanza L è relativamente modesta, per un’altezza a della luce sufficientemente piccola, la corrente rapida sarà in gradi di superare il gradino e sospingere la lenta a valle dello stesso. Una condizione limite è rappresentata dall’apertura a1 tale per cui il risalto si forma immediatamente a valle del gradino (Fig. 72f). In queste condizioni l’altezza y2R di corrente rapida in corrispondenza della sezione 2 coincide con la coniugata dell’altezza di moto uniforme della corrente lenta di valle y2L=y0. Essendo F0=0.644, si avrà

)811(21 2

002 Fyy R ++−= =0.291 m

cui corrisponde l’energia H2=0.676 m. Dal bilancio tra le sezioni 1 e 2, nell’ipotesi di trascurare qualsiasi dissipazione di energia, si trova H1=0.776 m cui corrisponde, sul ramo delle correnti rapide, il livello y1=0.249 m.


-119-

L’apertura limite a1 è dunque quella che produce, in corrispondenza della sezione 1, l’altezza y1=0.249 m. Una seconda condizione limite è quella associata alla formazione del risalto immediatamente a monte del gradino, cioè in corrispondenza della sezione 1 (Fig. 72e). In queste condizioni sarà H2=H0=0.652 m. Dal bilancio tra le sezioni 1 e 2, nell’ipotesi di trascurare qualsiasi dissipazione di energia, si trova H1=0.752 m cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, il livello y1L=0.682 m. A monte del risalto si avrà

)811(21 2

111 LLR Fyy ++−= =0.214 m

Questa altezza di corrente rapida risulta inferiore a quella (y1=0.249 m) individuata precedentemente, cioè corrisponde ad un’apertura della paratoia a2, inferiore ad a1. Ciò fa pensare che il processo sia caratterizzato da isteresi, come verrà chiarito più avanti. Una terza condizione limite è quella per cui il risalto si forma immediatamente a valle della sezione di vena contratta. In queste condizioni, indicata yvL l’altezza di corrente lenta a valle del risalto3, dovrà essere

)811(2

13

2

3vL

vLc gy

qyc

a ++−=

Per aperture superiori ad a3, si avrà una condizione di efflusso rigurgitato con un’altezza, poco a valle della paratoia, che continua ad essere yvL. Infine, una quarta condizione limite si ha quando l’apertura della paratoia è tale da non intercettare la corrente. Anche in questo caso è presente un fenomeno di isteresi in quanto per valori dell’apertura poco superiori a yVL è possibile sia la soluzione con deflusso rigurgitato sia quella per la quale la corrente passa sotto la paratoia senza intercettarla. In particolare, se si parte da una condizione come quella illustrata in Fig. 72a e si abbassa gradualmente la paratoia, la condizione limite è a4=yvL, ovvero l’efflusso rigurgitato si innesca non appena la paratoia tocca la superficie libera. Se invece si parte dalla configurazione illustrata in Fig. 72b e si procede ad alzare gradualmente la paratoia, l’efflusso si manterrà rigurgitato anche per valori di apertura superiori ad a4 e solo quando sarà superata l’apertura a5>a4 la corrente tornerà a fluire liberamente sotto la paratoia senza intercettarla. L’inquadramento matematico di questo comportamento è però complesso e per questo non viene qui illustrato. Immaginiamo di partire con una paratoia il cui grado di apertura sia sufficientemente elevato (a>a5) per cui la corrente non interagisce con la paratoia (Fig. 72a). Se a partire da questa condizione riduciamo l’apertura a, non appena risulti a<a4=yvL si instaura un efflusso rigurgitato (Fig. 72b). Riducendo progressivamente l’apertura si arriva alla condizione limite a=a3<a4 in cui l’efflusso comincia ad essere libero (Fig. 72c).

3 L’altezza yvL corrisponde al livello che si determina in corrispondenza della sezione dov’è posta la paratoia integrando il profilo di corrente lenta M1 a partire dalla sezione 1 verso monte (vedi Fig. 72a).


-120-

Fig. 72


-121-

Via via che si riduce l’apertura cresce la spinta della corrente rapida di monte e il risalto si sposta verso valle (Fig. 72d) fino a raggiungere la condizione limite a=a2 per la quale il risalto si forma immediatamente a monte del gradino (Fig. 72e). A partire da questa condizione, una riduzione infinitesima dell’apertura della paratoia fa si che, nella configurazione illustrata in Fig. 72e, la corrente lenta a valle del risalto sia caratterizzata da una spinta insufficiente a sostenere lo stesso e la corrente rapida sale sul gradino spostando il risalto sensibilmente verso valle (Fig. 72g). Si è visto infatti che per mantenere il risalto subito a valle del gradino è sufficiente una corrente rapida sensibilmente più debole e quindi un’apertura della paratoia maggiore (a1). In questo caso il risalto si forma laddove l’altezza della corrente rapida coincide con la coniugata della corrente lenta di valle in moto uniforme, cioè y=0.291 m (Fig. 72g). Accade così che la configurazione di Fig. 72f viene… saltata. Partendo invece da condizioni analoghe a quelle illustrate in Fig. 72g e incrementando gradualmente l’apertura della paratoia (e quindi riducendo l’energia e la spinta della corrente rapida), il risalto si sposta con continuità verso monte fino a raggiungere, per a=a1, la configurazione illustrata in Fig. 72f. Un ulteriore, piccolissimo aumento dell’apertura fa si che la corrente lenta spinga il risalto a monte del gradino. E’ da osservare che la configurazione illustrata in Fig. 72e corrisponde ad un’apertura della paratoia a2<a1. Di conseguenza, per un’apertura anche solo leggermente superiore ad a1, il risalto risale bruscamente verso monte collocandosi in una posizione intermedia tra paratoia e gradino come illustrato in Fig. 72d (in questo caso viene saltata la configurazione di Fig. 72e). Continuando ad alzare la paratoia si raggiungeranno in successione le configurazioni illustrate in Fig. 72c e in Fig. 72b. In questo caso l’efflusso si manterrà rigurgitato anche per valori dell’apertura leggermente superiori ad a4 e solo quando sarà superata l’apertura limite a5, poco maggiore di a4, la corrente non interagirà più con la paratoia come illustrato in Fig. 72a. Il valore dell’apertura a5 dipende dall’altezza yvL. Ad esempio per yvL=0.6 m (y0<yvL<y1L) e assumendo un coefficiente di contrazione cc=0.6 si trova a5=0.628 m, poco superiore ad a4=yvL=0.6 m.


-122-

Esercizio 32. Nel canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è presente un’immissione localizzata di portata ΔQ in corrispondenza della quale si ha una variazione sia della scabrezza, sia della pendenza del fondo, che passa da ifm a ifv=0.01. Le portate fluenti, per unità di larghezza, valgono qm=1.0 m3/sm e qv=1.2 m3/sm, rispettivamente a monte e a valle dell’immissione. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma M-y delle caratteristiche di ciascun profilo.

Con i dati del problema possiamo valutare le caratteristiche del moto uniforme del tratto di canale a valle dell’immissione e quelle critiche per i due tratti di canale di monte e di valle, si trova

y0v=0.577 m ycm=0.467 m ycv=0.528 m Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica del tratto di valle si evince che questo tratto di canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a quella critica. Se la pendenza del fondo del tratto di monte è relativamente modesta, è possibile che la corrente si mantenga lenta lungo tutto il canale. Una prima condizione limite è rappresentata dalla pendenza ifm tale per cui in corrispondenza della sezione 2 si determina un tirante coincidente con quello di moto uniforme del tratto di monte. In questo caso, integrando il profilo di lenta da valle, si mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 3 dove si avrà y3=y0v=0.577 m. Per passare dalla sezione 3 alla sezione 2 si considera un bilancio di spinte. Nella sezione 3 la spinta per unità di peso e di larghezza vale

v

vvv yg

qyMM

0

220

03 2+== =0.421 m2

Dalla condizione M3=M2 si determina l’altezza di corrente lenta a monte dell’immissione che vale y2=0.756 m.


-123-

Utilizzando quindi la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, si trova il valore di pendenza del fondo del tratto di monte per cui risulta y0m=y2. Tale valore limite della pendenza vale ifm1=0.00052 (vedi Fig. 73b). Per pendenze inferiori a ifm1, essendo il moto uniforme caratterizzato da un livello superiore a y2 si svilupperà un profilo M2 di chiamata (Fig. 73a). Per valori superiori a ifm1, e fintantochè la pendenza del tratto di monte si manterrà inferiore alla pendenza critica, si svilupperà invece un profilo M1 di rigurgito (Fig. 73c). La pendenza critica rappresenta dunque una seconda condizione limite (ifm2=ic). Noto ycm, si trova ic=ifm2=0.00258. In queste condizioni, il profilo che si sviluppa a monte dell’immissione è un profilo C1 (Fig. 73d) che teoricamente si raccorda con la condizione di moto uniforme attraverso una discontinuità nella derivata prima del livello y che, stante il carattere instabile delle condizioni critiche, determina una serie di ondulazioni sulla superficie libera4. Per pendenze del fondo superiori a ifm2, la corrente di monte, in moto uniforme, risulta essere rapida, pertanto, lungo il canale si assisterà alla transizione tra corrente rapida e lenta attraverso la formazione di un risalto. Per pendenze poco superiori a ifm2, essendo la spinta della corrente rapida modesta in quanto i livelli saranno poco inferiori all’altezza critica, il risalto si formerà a monte dell’immissione come illustrato in Fig. 73e. Al crescere della pendenza di monte il risalto sarà ricacciato sempre più a valle fino a posizionarsi immediatamente a monte dell’immissione (Fig. 73f). Questa condizione limite (ifm=ifm3) si determina quando l’altezza di moto uniforme di monte coincide con l’altezza coniugata del livello y2 che si determina immediatamente a monte dell’immissione per integrazione della corrente lenta di valle. Essendo, come già visto, y2=0.756 m, si trova F2=0.485 e la coniugata di y2 risulta valere y5=0.264 m. Questo livello corrisponde all’altezza di moto uniforme del tratto di monte quando la pendenza del fondo è ifm=ifm3=0.0173. Un’ulteriore condizione limite potrebbe essere quella per la quale il risalto si forma immediatamente a valle dell’immissione (ifm=ifm4). In questo caso in corrispondenza della sezione 3 il livello corrisponde all’altezza coniugata della corrente lenta di valle in moto uniforme. Essendo F0v=0.874, si trova y3=0.481 m. a cui corrisponde una spinta, per unità di larghezza M3=0.421 m2, ovviamente coincidente con la spinta Mov, già calcolata in precedenza. Dal bilancio delle spinte tra le sezioni 2 e 3 si ha M2=M3=0.421 m2 da cui si trova y2=0.264 m che coincide con l’altezza y5 trovata con riferimento alla precedente condizione limite ifm=ifm3. Accade quindi che la condizione limite ifm4 coincida con ifm3, ovvero per una pendenza del fondo ifm=ifm3, il risalto può formarsi, indifferentemente, immediatamente a monte dell’immissione (Fig. 73f), immediatamente a valle dell’immissione (Fig. 73h), o nel tratto compreso tra le sezioni 2 e 3 lungo il quale avviene l’immissione (Fig. 73g). Per una pendenza del fondo superiore a ifm3, il tratto di canale a monte dell’immissione è interessato da una corrente rapida in moto uniforme. Nel tratto in cui avviene l’immissione la corrente si mantiene rapida ed incrementa il suo livello. A 4 E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale

9/2

9

5

910

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

qkg

dxdy

S

Nel caso in esame risulta dy/dx=0.00287.


-124-

valle della sezione 3 si sviluppa un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino a raggiungere l’altezza y5=0.481 m, coniugata della corrente lenta di valle in moto uniforme. Qui si forma il risalto a valle del quale la corrente prosegue in moto uniforme come illustrato in Fig. 73i.

Fig. 73


-125-

Fig. 73


-126-

Fig. 73


-127-

Esercizio 33. Nel canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è presente un’immissione localizzata di portata ΔQ in corrispondenza della quale si ha una variazione sia della scabrezza, sia della pendenza del fondo, che passa da ifm a ifv=0.008. Le portate fluenti, per unità di larghezza, valgono qm=1.2 m3/sm e qv=1.4 m3/sm, rispettivamente a monte e a valle dell’immissione. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma M-y delle caratteristiche di ciascun profilo.


y0v=0.570 m ycm=0.528 m ycv=0.585 m Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica del tratto di valle si evince che questo tratto di canale è caratterizzato da una pendenza del fondo superiore a quella critica. Se la pendenza del fondo del tratto di monte è inferiore a quella critica, il moto uniforme, che si realizza infinitamente a monte, sarà di corrente lenta. In questa situazione, dunque, avremo necessariamente una transizione lenta→rapida che potrà instaurarsi laddove è presente una qualche variazione, di geometria o di portata. Ciò avviene tra le sezioni 2 e 3. Tuttavia, osservando le curve M-y (Fig. 74) è evidente che la condizione critica non può essere imposta nella sezione 2 e deve, necessariamente, essere imposta in corrispondenza della sezione 3. In qeusta sezione la spinta vale M3=Mcv=0.513 m2. Da un bilancio delle spinte (per unità di larghezza) tra le sezioni 2 e 3 si trova M2=M3=0.513 m2 a cui corrisponde un’altezza di corrente lenta y2=0.816 m. Possiamo, a questo punto, introdurre una prima pendenza limite associata ad un’altezza di moto uniforme di monte y0m coincidente con l’altezza y2 appena


-128-

individuata. Assunto dunque y0m=0.816 m e utilizzando la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, si trova ifm1=0.00044. A valle della sezione 3 si svilupperà un profilo S2 di corrente rapida accelerata fino alle condizioni di moto uniforme. Il profilo che si realizza lungo il canale in queste condizioni è illustrato in Fig. 74b. Per pendenze del fondo inferiori a ifm1, essendo l’altezza di moto uniforme y0m superiore a quella limite appena individuata, lungo il tratto di monte si svilupperà un profilo di chiamata M2 (Fig. 74a). Al contrario per pendenze del fondo comprese tra ifm1 e la pendenza critica, nel tratto di monte si svilupperà un profilo di rigurgito M1 (Fig. 74c). Una seconda condizione limite è rappresentata dunque dalla pendenza ifm2=ic. Utilizzando la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, noto ycm, si trova ic=ifm2=0.00190. In queste condizioni, a partire da y1=ycm, la corrente si mantiene in moto uniforme critico fino alla sezione 2. Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3, immediatamente a valle dell’immissione, si opera un bilancio di spinte M2=M3. Essendo

cm

2m

2cm

cmm02 ygq

2y

MMM +=== =0.417 m2

la spinta di monte è inferiore alla minima spinta possibile per la corrente di valle (Mcv=0.513 m2) e il bilancio non ammette soluzioni. Nella sezione 3 si pongono dunque ancora le condizioni critiche y3=ycv=0.585 m. A valle della sezione 3 si svilupperà un profilo S2 di corrente rapida accelerata fino alle condizioni di moto uniforme (Fig. 74d). Dal bilancio di spinte tra le sezioni 2 e 3 si trova M2=M3=Mcv=0.513 m2. Nella sezione 3 si avrà dunque un’altezza y2=0.816 m, di corrente lenta. In queste condizioni, il profilo che si sviluppa a monte della sezione 2 è un profilo C1 (Fig. 74d) che teoricamente si raccorda con la condizione di moto uniforme attraverso una discontinuità nella derivata prima del livello y che, stante il carattere instabile delle condizioni critiche, determina una serie di ondulazioni sulla superficie libera5 (Fig. 74d). Per pendenze superiori a questa pendenza limite, infinitamente a monte, si avrà una corrente rapida in moto uniforme e, da qualche parte lungo il canale, si assisterà alla transizione da corrente rapida a corrente lenta attraverso la formazione del risalto. Ripercorrendo quanto fatto per il caso precedente, si parte da monte con un altezza y1=y0m<ycm e tale altezza si mantiene fino alla sezione 2. Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 si opera, come visto in precedenza, un bilancio di spinte. Se la pendenza di monte è di poco superiore alla pendenza ic=ifm2 la corrente rapida sarà caratterizzata da una spinta poco superiore a quella M0m=0. 417 m2 determinata in precedenza e risulterà pertanto inferiore minima spinta ammissibile per la corrente di valle Mcv=0.513 m2. In queste condizioni il risalto si stabilirà nel tratto di monte

5 E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale

9/2

9

5

910

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

qkg

dxdy

S



-129-

mentre si avranno ancora condizioni critiche in corrispondenza della sezione 3. Il profilo, lungo il canale, sarà dunque quello illustrato in Fig. 74e. Al crescere della pendenza del fondo del tratto di monte aumenterà la spinta della corrente rapida e il risalto si sposterà sempre più verso valle fino a formarsi in corrispondenza della sezione 2 (Fig. 74f). E’ questa una terza condizione limite. In tal caso l’altezza y2 continua a valere y2=0.816 m mentre nella sezione 5, immediatamente a monte del risalto, essendo F2=0.520, si avrà y5=0.318 m. Posto y0m=y5=0.318 m si trova ifm3=0.01030. In queste condizioni sono peraltro possibili altre soluzioni. E’ possibile che la corrente si mantenga rapida ovunque, tranne che nella sezione 3 dove tocca le condizioni critiche (Fig. 74h) o, in alternativa, è possibile che si realizzi una transizione rapida-lenta con la formazione di un risalto tra le sezioni 2 e 3 (Fig. 74g). Per pendenze superiori, la corrente si mantiene rapida in moto uniforme fino alla sezione 2. Essendo caratterizzata da una spinta M0m>Mcv il bilancio delle spinte tra le sezioni 2 e 3 (M0m=M2=M3) ammette soluzione e, nella sezione 3, avremo ancora una corrente rapida. Il livello y3 potrebbe essere però maggiore o minore dell’altezza y0v della corrente rapida di valle in moto uniforme. Un’ultima condizione limite è rappresentata dunque da quella pendenza del fondo ifm4 tale per cui, nella sezione 3, si realizza esattamente l’altezza y0v=0.570 m (Fig. 74l). Procedendo nel calcolo a ritroso, si ha che al livello y3=y0v=0.570 m corrisponde una spinta M3=M0v=0.513 m2. Avremo quindi M2=0.513 m2 a cui corrisponde, sul ramo delle correnti rapide, l’altezza y2=0.317 m. Utilizzando la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, si trova ifm4=0.01033, appena superiore a ifm3. Dunque, per pendenze del fondo comprese tra ifm3 e ifm4, si avrà la configurazione illustrata in Fig. 74i, dove a valle della sezione 3 si sviluppa un profilo S2, mentre per pendenze del fondo superiori a ifm4, a valle della sezione 3 si svilupperà un profilo S3 (Fig. 74m).


-130-

Fig. 74


-131-

Fig. 74


-132-

Fig. 74


-133-

Fig. 74


-134-

Esercizio 34. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, presenta un tratto di valle di larghezza b=5 m e pendenza del fondo ifv=0.005, e un tratto di monte di larghezza B=8 m. La portata fluente è Q=5 m3/s e il coefficiente di resistenza della formula di Gauckler-Strickler vale kS=40 m1/3/s. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del restringimento. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.


y0v=0.583 m ycm=0.341 m ycv=0.467 m Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e quella critica del tratto di valle si evince che questo tratto di canale è caratterizzato da una pendenza del fondo inferiore a quella critica. Se la pendenza del fondo del tratto di monte è relativamente modesta, è dunque possibile che la corrente si mantenga lenta lungo tutto il canale. Una prima condizione limite è rappresentata dalla pendenza ifm tale per cui in corrispondenza della sezione 2 si determina un tirante coincidente con quello di moto uniforme del tratto di monte. In questo caso, integrando il profilo di lenta da valle, si mantengono condizioni di moto uniforme fino alla sezione 3 dove si avrà y3=y0v=0.583 m. Per passare dalla sezione 3 alla sezione 2 si considera un bilancio di energia. Nella sezione 3 l’energia rispetto al fondo vale

20

2

2

003v

vv ygbQyHH +== =0.733 m


-135-

Dalla condizione H3=H2 si determina l’altezza di corrente lenta a monte del restringimento che vale y2=0.691 m. Utilizzando quindi la formula di moto uniforme di Gauckler-Strickler, si trova il valore di pendenza del fondo del tratto di monte per cui risulta y0m=y2. Tale valore limite della pendenza vale ifm1=0.00103 (vedi Fig. 75b). Per pendenze inferiori a ifm1, essendo il moto uniforme caratterizzato da un livello superiore a y2 si svilupperà un profilo M2 di chiamata (Fig. 75a). Per valori superiori a ifm1, e fintantochè la pendenza del tratto di monte si manterrà inferiore alla pendenza critica, si svilupperà invece un profilo M1 di rigurgito (Fig. 75c). La pendenza critica rappresenta dunque una seconda condizione limite (ifm2=ic). Noto ycm, si trova ic=ifm2=0.00978. In queste condizioni, il profilo che si sviluppa a monte dell’immissione è un profilo C1 (Fig. 75d) che teoricamente si raccorda con la condizione di moto uniforme attraverso una discontinuità nella derivata prima del livello y che, stante il carattere instabile delle condizioni critiche, determina una serie di ondulazioni sulla superficie libera6. Per pendenze del fondo superiori a ifm2, la corrente di monte, in moto uniforme, risulta essere rapida, pertanto, lungo il canale si assisterà alla transizione tra corrente rapida e lenta attraverso la formazione di un risalto. Per pendenze poco superiori a ifm2, essendo la spinta della corrente rapida modesta in quanto i livelli saranno poco inferiori all’altezza critica, il risalto si formerà a monte dell’immissione come illustrato in Fig. 75e. Al crescere della pendenza di monte il risalto sarà ricacciato sempre più a valle fino a posizionarsi immediatamente a monte dell’immissione (Fig. 75f). Questa condizione limite (ifm=ifm3) si determina quando l’altezza di moto uniforme di monte coincide con l’altezza coniugata del livello y2 che si determina immediatamente a monte dell’immissione per integrazione della corrente lenta di valle. Essendo, come già visto, y2=0.691 m, si trova F2=0.347 e la coniugata di y2 risulta valere y5=0.139 m. Questo livello corrisponde all’altezza di moto uniforme del tratto di monte quando la pendenza del fondo è ifm=ifm3=0.1844. Un’ulteriore condizione limite è quella per la quale il risalto si forma immediatamente a valle del restringimento (ifm=ifm4). In questo caso in corrispondenza della sezione 3 il livello corrisponde all’altezza coniugata della corrente lenta di valle in moto uniforme. Essendo F0v=0.718, si trova y3=0.368 m. a cui corrisponde un’energia H3=0.744 m. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si ha H2=H3=0.744 m da cui, scegliendo la soluzione di corrente rapida, si trova y2=0.189 m. A questa altezza, in moto uniforme, corrisponde un valore limite per la pendenza del fondo di monte ifm4=0.0665 (Fig. 75g). Questa pendenza del fondo risulta inferiore a quella (ifm3=0.1844) individuata precedentemente. Ciò fa pensare che il processo sia caratterizzato da una sorta di isteresi, come verrà chiarito più avanti. Immaginiamo di partire con una pendenza di monte molto piccola (ifm<ifm1) a cui corrisponde il profilo di Fig. 75a. Se a partire da questa condizione incrementiamo gradualmente la pendenza, si instaureranno successivamente i profili di Fig. 75b 6 E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale

9/2

9

5

910

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

QkBg

dxdy

S



-136-

(ifm=ifm1), Fig. 75c (ifm1<ifm<ifm2), Fig. 75d (ifm=ifm2), Fig. 75e, e Fig. 75f (ifm=ifm3). Incrementando ancora di poco la pendenza del fondo il risalto supera bruscamente il restringimento e si sposta considerevolmente verso valle fino a raggiungere una configurazione analoga a quella illustrata in Fig. 75h. Immaginiamo invece di partire da una pendenza del fondo, per il tratto di monte, elevata (ifm>ifm3), e quindi da una configurazione come quella illustrata in Fig. 75h. Riducendo gradualmente la pendenza il risalto migra verso monte fino a raggiungere la configurazione di Fig. 75g per ifm=ifm4. Riducendo ancora di poco la pendenza del fondo il risalto si sposta bruscamente a monte del restringimento fino a raggiungere una configurazione analoga a quella illustrata in Fig. 75e. A partire da questa configurazione, la graduale riduzione di pendenza produce, in successione, le configurazioni illustrate in di Fig. 75d (ifm=ifm2), Fig. 75c (ifm1<ifm<ifm2), Fig. 75b (ifm=ifm1) e Fig. 75a (ifm<ifm1).

Fig. 75


-137-

Fig. 75


-138-

Fig. 75


-139-

Esercizio 35. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga (RH≈y), scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello, rispetto alla sommità del gradino posto all’incile del canale, è H=1.0m. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=40 m1/3/s, si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente al variare della pendenza if del fondo del canale. Il gradino è alto a=0.4 m e si possono trascurare le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza dello stesso. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.

E’ evidente che per pendenze del fondo molto elevate, lungo il canale si instaurerà una corrente rapida che tenderà verso le condizioni di moto uniforme. In queste condizioni si assisterà, necessariamente, alla transizione tra corrente lenta (nel serbatoio) a corrente rapida con il passaggio attraverso le condizioni critiche. L’altezza critica, in questo caso, si stabilirà sul gradino dove avremo

01 32

32 hHyy cc === =0.667 m

e la portata fluente, per unità di larghezza sarà

3cgyq = =1.705 m3/sm

Dalla bilancio di energia tra le sezioni 1 e 2 si trova H2=H1+a=Hc+a=1.4 m. Nota l’energia H2, è immediato calcolare l’altezza di corrente rapida a valle del gradino che vale y2=0.381 m. Possiamo, a questo punto considerare una prima pendenza limite, if1, corrispondente alla pendenza per la quale l’altezza di moto uniforme nel canale sia proprio y2 e il profilo sarà dunque quello illustrato in Fig. 76b. Tale pendenza vale if1=0.045. Per pendenze if>if1, l’altezza di moto uniforme sarà inferiore a y2 e, a valle del gradino, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 (Fig. 76a). Per pendenze del fondo inferiori a if1 ma, evidentemente, superiori alla pendenza critica, a valle del gradino, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino a raggiungere, sufficientemente a valle, le condizioni di moto uniforme (Fig. 76c).


-140-

Fig. 76

Una seconda pendenza limite è dunque rappresentata dalla pendenza critica. In questo caso, sul gradino, permangono le condizioni critiche e dunque la portata scaricata sarà ancora q=1.705 m3/sm e l’altezza critica continua a valere yc=0.667 m. Possiamo quindi calcolare la seconda pendenza limite che vale

3/102

2

2cS

f ykqi = =0.0070

In queste condizioni il profilo che si sviluppa è illustrato in Fig. 76d 7. Riducendo ulteriormente la pendenza, molto a valle, lungo il canale, si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si assisterà quindi alla transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto come illustrato in Fig. 76e.

7 E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale

9/2

9

5

910

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

qkg

dxdy

S



-141-

Riducendo sempre più la pendenza, a partire dalla situazione appena illustrata, il risalto si localizzerà sempre più a monte fino a raggiungere il gradino. In queste condizioni limite l’altezza di moto uniforme corrisponde alla coniugata dell’altezza y2. Essendo la portata ancora q=1.705 m3/sm, il numero di Froude nella sezione 2 vale F2=2.31 e l’altezza coniugata y2R=1.070 m. A questa altezza, assunta di moto uniforme, corrisponde la terza pendenza limite if3=0.00145. In questa condizione limite il profilo è quello illustrato in Fig. 76f. Questo profilo di moto è quello che, sostanzialmente, si instaura anche per pendenze inferiori a if3. Il risalto, infatti, resta schiacciato contro il gradino fino a che la corrente lenta di valle non avrà energia sufficiente a superare il gradino (figura Fig. 76g). In queste ultime condizioni limite, l’altezza d’acqua sul gradino sarà appena (di una quantità infinitesima) superiore a yc. Possiamo dunque pensare che l’altezza sul gradino sia y1=yc=0.667 m, che la portata scaricata sia quindi ancora q=1.705 m3/sm e che l’energia nella sezione 2 sia ancora H2=H1+a=Hc+a=1.4 m. In questo caso, però, il livello nella sezione 2 è quello relativo alla soluzione di corrente lenta, y2=1.314 m. A questo livello, assunto di moto uniforme, corrisponde la quarta pendenza limite if4=0.00073. In questa condizione limite il profilo è quello illustrato in Fig. 76h. Per pendenze inferiori a if4 avremo il profilo illustrato in Fig. 76i con portate scaricate inferiori a quella massima q=1.705 m3/sm riscontrata nei casi precedenti.

Fig. 76 - continua


-142-

Fig. 76 - continua


-143-

Esercizio 36. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=14 m, scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello, rispetto alla quota del fondo del canale all’imbocco è H=1.4 m. L’imbocco del canale è caratterizzato da una sezione ristretta larga b=8.5 m. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=40 m1/3/s, si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente al variare della pendenza if del fondo del canale. Nei calcoli si può assumere l’ipotesi di sezione larga: RH≈y e si possono trascurare le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del restringimento. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.

E’ evidente che per pendenze del fondo molto elevate, lungo il canale si instaurerà una corrente rapida che tenderà verso le condizioni di moto uniforme. In queste condizioni si assisterà, necessariamente, alla transizione tra corrente lenta (nel serbatoio) a corrente rapida con il passaggio attraverso le condizioni critiche. L’altezza critica, in questo caso, si stabilirà in corrispondenza del restringimento dove avremo

01 32

32 hHyy cbcb === =0.933 m

e la portata fluente, per unità di larghezza sarà

3cbb gyq = =2.824 m3/sm

La portata scaricata in queste condizioni sarà dunque Q=24.0 m3/s. Dalla bilancio di energia tra le sezioni 1 e 2 si trova H2=H1=Hcb=1.4 m. Nota l’energia H2, è immediato calcolare l’altezza di corrente rapida a valle del restringimento che vale y2=0.384 m. Possiamo, a questo punto considerare una prima pendenza limite, if1, corrispondente alla pendenza per la quale l’altezza di moto uniforme nel canale sia proprio y2 e il profilo sarà dunque quello illustrato in Fig. 77b. Tale pendenza vale if1=0.0446. Per pendenze if>if1, l’altezza di moto uniforme sarà inferiore a y2 e, a valle del restringimento, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 (Fig. 77a).


-144-

Per pendenze del fondo inferiori a if1 ma, evidentemente, superiori alla pendenza critica, a valle del restringimento, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino a raggiungere, sufficientemente a valle, le condizioni di moto uniforme (Fig. 77c).

Fig. 77

Una seconda pendenza limite è dunque rappresentata dalla pendenza critica. In questo caso, in corrispondenza del restringimento, permangono le condizioni critiche e dunque la portata scaricata sarà ancora Q=24.0 m3/s e l’altezza critica, per il canale, vale 3 22 )/(gBQycB = =0.669 m.

Possiamo quindi calcolare la seconda pendenza limite che vale

3/102

2

2)/(

cBSf yk

BQi = =0.0070

In queste condizioni il profilo che si sviluppa è illustrato in Fig. 77d 8. 8 E’ facile mostrare che, per una sezione rettangolare larga, nel caso di pendenza del fondo coincidente con la pendenza critica, la pendenza dy/dx quando y→y0≡yc vale

9/2

9

5

910

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

qkg

dxdy

S



-145-

Riducendo ulteriormente la pendenza, molto a valle, lungo il canale, si stabiliranno condizioni di moto uniforme di corrente lenta. Si assisterà quindi alla transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto come illustrato in Fig. 77e. Riducendo sempre più la pendenza, a partire dalla situazione appena illustrata, il risalto si localizzerà sempre più a monte fino a raggiungere il restringimento. In queste condizioni limite l’altezza di moto uniforme corrisponde alla coniugata dell’altezza y2. Essendo la portata ancora Q=24.0 m3/s, il numero di Froude nella sezione 2 vale F2=2.30 e l’altezza coniugata y2R=1.072 m. A questa altezza, assunta di moto uniforme, corrisponde la terza pendenza limite if3=0.00146. In questa condizione limite il profilo è quello illustrato in Fig. 77f. Questo profilo di moto è quello che, sostanzialmente, si instaura anche per pendenze inferiori a if3. Il risalto, infatti, resta schiacciato contro il restringimento fino a che la corrente lenta di valle non avrà energia sufficiente a superare il restringimento stesso (figura Fig. 77g). In queste ultime condizioni limite, l’altezza d’acqua nel restringimento sarà appena (di una quantità infinitesima) superiore a ycb. Possiamo dunque pensare che l’altezza sul gradino sia y1=ycb=0.933 m, che la portata scaricata sia quindi ancora Q=24.0 m3/s e che l’energia nella sezione 2 sia ancora H2=H1=Hcb=1.4 m. In questo caso, però, il livello nella sezione 2 è quello relativo alla soluzione di corrente lenta, y2=1.313 m. A questo livello, assunto di moto uniforme, corrisponde la quarta pendenza limite if4=0.00074. In questa condizione limite il profilo è quello illustrato in Fig. 77h. Per pendenze inferiori a if4 avremo il profilo illustrato in Fig. 77i con portate scaricate inferiori a quella massima Q=24.0 m3/s riscontrata nei casi precedenti.

Fig. 77 - continua


-146-

Fig. 77 - continua


-147-

Esercizio 37. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare di larghezza B=5 m, presenta un tratto centrale, largo b, caratterizzato da una lunghezza L non trascurabile (non si tratta di un restingimento localizzato) ma al tempo stesso non sufficiente affichè si instaurino condizioni di moto uniforme. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=60 m1/3/s, che la pendenza del fondo è if=0.008 e che la portata fluente vale Q=5 m3/s, si ricostruiscano i profili di moto permanente al variare della lunghezza L, quando il tratto centrale è largo b=1 m e b=3 m. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Non è corretto assumere l’ipotesi di sezione rettangolare larga. Nelle valutazioni, inoltre, si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema, ricordando che è non possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza d’acqua, si trova

y0B=0.387 m y0b=1.749 m ycB=0.467 m ycb=1.366 m avendo indicato con il pedice B il tratto di canale più largo e con il pedice b il tratto centrale di canale più stretto quando b=1 m (caso 1). Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica per il tratto più stretto (if<icb) e superiore a quella critica altrove (if>icB). Si ha inoltre

H0B=0.728 m H0b=2.165 m HcB=0.701 m Hcb=2.049 m Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida e la ricostruzione del profilo parte da monte (sezione 1). Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 78, il moto potrebbe mantenersi uniforme fino alla sezione 2 (cambio di larghezza). Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si evince però che ciò non è possibile. L’energia della corrente a moto uniforme H0B risulta infatti inferiore alla minima energia possibile Hcb lungo il tratto centrale. Di regola quindi si impongono le condizioni critiche nella sezione 3 a partire dalla quale, verso monte, si svilupperà una corrente lenta mentre verso valle dovrebbe svilupparsi una corrente rapida. E’ evidente che, essendo if<ifb lungo il tratto centrale, non esiste un profilo di moto gradualmente vario che, a partire dalle condizioni critiche, si sviluppi verso valle. Pertanto nella sezione 3 non possono instaurarsi le condizioni critiche. Si assume quindi che le condizioni critiche si instaurino nella sezione 4, immediatamente a monte dell’allargamento.


-148-

A partire dalla sezione 4, procedendo verso valle, si incontra immediatamente l’allargamento. Mediante un bilancio di energia Hcb=H4=H5 si determina l’energia H5 e quindi l’altezza di corrente rapida y5=0.164 m. Essendo y5<y0B, a partire dalla sezione 5, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 6). A partire dalla sezione 4, verso monte, si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alla sezione 3. Dal bilancio di energia H2=H3 è possibile determinare l’energia H2 e quindi l’altezza y2 di corrente lenta. Proseguendo verso monte si svilupperà un profilo S1 di corrente lenta decelerata fino a quando la corrente non avrà ridotto la sua spinta al valore che caratterizza la corrente rapida di monte in moto uniforme. Qui si assisterà alla formazione di un risalto. Resta da verificare se la corrente rapida di monte è in grado di sospingere il risalto fino alla sezione 2. L’altezza d’acqua a valle del risalto è l’altezza coniugata di quella di moto uniforme. Essendo F0B=1.329, si trova y0BR=0.558 m (questa altezza è indicata con y8 in Fig. 78) a cui corrisponde un’energia H0BR=0.722 m. Essendo H0BR<Hcb, necessariamente, il risalto si localizzerà a monte della sezione 2. Nel complesso quindi il profilo, indipendentemente dalla lunghezza L del tratto centrale, è quello illustrato in Fig. 78.

Fig. 78

Consideriamo ora il caso in cui la larghezza del tratto intermedio sia b=3 m. In tal caso si ha

y0b=0.563 m ycb=0.657 m H0b=1.010 m Hcb=0.985 m Tutto il canale risulta caratterizzato da pendenza superiore a quella critica. Procediamo a partire da monte, in condizioni di moto uniforme che si manterranno fino alla sezione 2. Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si evince però che ciò non è possibile. L’energia della corrente a moto uniforme H0B risulta infatti, come nel caso precedente, inferiore alla minima energia possibile Hcb lungo il tratto centrale. Di regola quindi si impongono le condizioni critiche nella sezione 3 a partire dalla quale, verso monte, si svilupperà una corrente lenta mentre verso valle si svilupperà, essendo in questo caso possibile, una corrente rapida. A partire dalla sezione 3, procedendo verso monte, si incontra immediatamente il restringimento. Mediante un bilancio di energia Hcb=H3=H2 si determina l’energia H2 e quindi l’altezza di corrente lenta y2=0.925 m, ovviamente superiore all’altezza coniugata della corrente rapida di monte (y0BR=0.558 m). Proseguendo verso monte, dunque, si svilupperà un profilo S1 di corrente lenta decelerata fino a quando la corrente non avrà ridotto la sua spinta al valore che caratterizza la corrente rapida di monte in moto uniforme. Qui si assisterà alla formazione di un risalto.


-149-

A partire dalla sezione 3, procedendo verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida accelerata S2 verso le condizioni di moto uniforme. Giunti alla sezione 4, mediante un bilancio di energia H4=H5 si determina l’energia H5 e quindi l’altezza di corrente rapida y5 che sarà, necessariamente, inferiore a y0B. Pertanto, a partire dalla sezione 5, verso valle, si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata S3 verso le condizioni di moto uniforme (sezione 6). Nel complesso quindi il profilo, indipendentemente dalla lunghezza L del tratto centrale, è quello illustrato in Fig. 79.

Fig. 79


-150-

Esercizio 38. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare di larghezza b=2 m, presenta un tratto centrale, largo B, caratterizzato da una lunghezza L non trascurabile (non si tratta di un allargamento localizzato) ma al tempo stesso non sufficiente affichè si instaurino condizioni di moto uniforme. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=70 m1/3/s, che la pendenza del fondo è if=0.005 e che la portata fluente vale Q=40 m3/s, si ricostruiscano i profili di moto permanente al variare della lunghezza L, quando il tratto centrale è largo B=2.5 m. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Non è corretto assumere l’ipotesi di sezione rettangolare larga. Nelle valutazioni, inoltre, si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme relative ai diversi tratti di canale e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema, ricordando che è non possibile confondere il raggio idraulico con l’altezza d’acqua, si trova

y0b=4.606 m y0B=3.427 m ycb=3.442 m ycB=2.966 m avendo indicato con il pedice b il tratto di canale più stretto e con il pedice B il tratto centrale di canale, più largo. Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica lungo tutto il canale. Si ha inoltre

H0b=5.567 m H0B=4.538 m Hcb=5.163 m HcB=4.449 m Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente lenta e la ricostruzione del profilo parte da valle (sezione 1). Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 80, il moto si mantiene uniforme fino alla sezione 2 (cambio di larghezza). Dal bilancio di energia tra le sezioni 2 e 3 si trova H3=H2=H0b=5.567 m e quindi l’altezza y3=5.057 m di corrente lenta. Essendo y3 inferiore all’altezza di moto uniforme del tratto centrale, a partire dalla sezione 3, verso monte, si svilupperà un profilo di rigurgito M1 fino alla sezione 4. Le caratteristiche energetiche della corrente in corrispondenza della sezione 4 dipenderanno dalla lunghezza L del tratto. Inoltre, essendo H0B<Hcb, in relazione al valore di L potranno instaurarsi profili sensibilmente diversi. Esisterà, in particolare, una lunghezza limite L1 tale per cui la corrente potrà mantenersi lenta lungo tutto il canale. In questa condizione limite il profilo M1 terminerà nella sezione 4 con un’energia H4=Hcb pari alla minima necessaria alla corrente per giungere, senza transizione, nella sezione 5.


-151-

In queste condizioni limite, dunque, si avrà H4=5.163 m a cui corrisponde l’altezza y4=3.580 m di corrente lenta. Nella sezione 5 si instaureranno condizioni critiche (y5=ycb=3.442 m) e la corrente si svilupperà verso monte seguendo un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme (Fig. 81). Quando la lunghezza del tratto centrale è inferiore a L1, il profilo che si sviluppa sarà quello illustrato in Fig. 80 nel quale la corrente si mantiene ovunque lenta.

Fig. 80

Fig. 81

Per lunghezze superiori a L1 si determina quindi una transizione lenta→rapida in corrispondenza della sezione 5 seguita, necessariamente, da una transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto. Il risalto potrà formarsi a valle della sezione 4, lungo il tratto centrale o potrà essere sospinto dalla corrente lenta di valle a ridosso dell’allargamento localizzandosi tra le sezioni 5 e 4. Dal bilancio di energia H5=Hcb=H4 si trova H4=5.163 m e quindi l’altezza y4=2.046 m di corrente rapida. La prima situazione, con un risalto a valle della sezione 4, può realizzarsi solo se l’altezza coniugata di y4 assume valori compresi tra y0B=3.427 m e y3=5.057 m, solo in questo caso, infatti, la curva delle altezze coniugate associata al profilo M3 che si sviluppa a partire dalla sezione 4, interseca da qualche parte il profilo M1. Nel caso in esame, essendo F4=1.745, si trova y4R=4.13 m. Esisterà dunque una seconda lunghezza caratteristica, L2, tale per cui il risalto si localizza in corrispondenza della sezione 4 con un’altezza, immediatamente a valle del risalto, pari a y7=y4R=4.13 m (Fig. 83). Quando la lunghezza del tratto centrale è compresa tra L1 e L2, il profilo che si sviluppa sarà quello illustrato in Fig. 82 nel quale il risalto si localizza in corrispondenza dell’allargamento tra le sezioni 5 e 4.


-152-

Fig. 82

Fig. 83

Per L>L2, a valle della sezione 4 si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3 fino alle sezioni 7 e 8, idealmente coincidenti, dove si ha equilibrio delle spinte. Il profilo, in questo caso, è quello illustrato in Fig. 84.

Fig. 84


-153-

Esercizio 39. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L caratterizzato da una pendenza relativamente modesta. il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q=1.0 m3/sm. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.


y01=0.381 m y02=0.617 m yc=0.467 m avendo indicato con il pedice 1 il tratto di canale caratterizzato dalla pendenza maggiore e con il pedice 2 il tratto centrale di canale. Dal confronto tra le altezze di moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza è inferiore a quella critica per il tratto centrale (if<ic2) e superiore a quella critica altrove (if>ic1). Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida e la ricostruzione del profilo parte da monte (sezione 1). Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 85, il moto si mantiene uniforme fino alla sezione 2 (cambio di pendenza) a partire dalla quale si svilupperà un profilo di corrente rapida decelerata M3. Se la lunghezza L è sufficientemente piccola, la corrente rapida si mantiene tale fino alla sezione 3 (cambio di pendenza). Verso valle si svilupperà quindi un profilo S2 che porterà la corrente nuovamente verso le condizioni di moto uniforme infinitamente a valle (sezione 4).

Fig. 85

Al limite, per L=0, la corrente rapida resta ovunque in moto uniforme (Fig. 86A). L’altra condizione limite è rappresentata dalla lunghezza L1 tale per cui esattamente


-154-

al termine del profilo M3 (sezione 3) il livello raggiunge le condizioni critiche (y3=yc) come illustrato in Fig. 86B.

Fig. 86

Se la lunghezza L è sufficientemente grande (L>L1), il profilo M3 che si sviluppa a valle della sezione 2 porta il livello y a raggiungere le condizioni critiche prima del termine del tratto centrale (vedi Fig. 87 e Fig. 88). Non potendo proseguire verso valle si fissano in corrispondenza della sezione 3 le condizioni critiche (y3=yc) e si procede all’integrazione della corrente rapida verso valle, che svilupperà un profilo S2 fino alle condizioni di moto uniforme (sezione 4), e all’integrazione della corrente lenta verso monte che svilupperà un profilo M2. Per stabilire se il risalto si instaura a monte o a valle della sezione 2 è necessario confrontare la spinta della corrente rapida in moto uniforme di monte con quella della corrente lenta in corrispondenza della sezione 2. In modo equivalente possiamo confrontare l’altezza coniugata y01R della corrente rapida di monte in moto uniforme con l’altezza di lenta nella sezione 2. Con i dati del problema risulta y01R=0.566 m. Al tempo stesso l’altezza di corrente lenta y2 assumerà valori compresi tra l’altezza critica yc=0.467 m e l’altezza di moto uniforme y02=0.617 m, in relazione alla lunghezza L. Esisterà quindi una lunghezza limite L2 tale per cui si ha y2=y01R. Se L<L2, il risalto si formerà nel tratto centrale (Fig. 87), se invece è L>L2 la corrente lenta del tratto centrale spingerà il risalto a monte della sezione 2. In tal caso, a monte della sezione 2 si avrà un tratto di corrente lenta decelerata S1 (Fig. 88). Ovviamente, per L=L2 il risalto si formerà esattamente in corrispondenza della sezione 2.

Fig. 87



-155-

Fig. 88



-156-

Esercizio 40. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=5 m, sfocia in un bacino la cui superficie libera è posta a quota h rispetto al fondo del canale alla sezione di sbocco. La portata fluente nel canale vale Q=5 m3/s. Ad una distanza L a monte della sezione di sbocco è posta una paratoia piana sollevata a battente la cui luce vale a=0.3 m (e coefficiente di contrazione cc=0.6). La lunghezza L del tratto terminale è relativamente piccola e tale per cui, quando in questo tratto la corrente non è influenzata da valle (come ad esempio accade nella situazione illustrata in figura), la corrente riesce a mantenersi rapida fino allo sbocco, in corrispondenza del quale raggiunge il tirante yL=a. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della quota h della superficie libera nel bacino, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme e quelle relative alle condizioni critiche. Con i dati del problema si trova

y0=0.372 m yc=0.467 m Dal confronto tra l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si deduce che la pendenza del fondo è superiore a quella critica (if>ic) avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida. Possiamo inoltre valutare le caratteristiche del moto in corrispondenza della paratoia quando l’efflusso è libero. In questo caso il coefficiente di portata vale

4

1yca

cC

c

cq

+

=

in cui y4 è l’altezza d’acqua a monte della paratoia (vedi Fig. 89), mentre la portata effluente vale

42 ygaBCQ q=


-157-

Risolvendo il sistema composto dalle due precedenti relazioni si trova Cq=0.571 e y4=1.736 m, in condizioni di corrente lenta. A monte della paratoia si svilupperà un profilo S1 fino alla sezione 3 dove la spinta della corrente lenta corrisponde a quella della corrente rapida in moto uniforme: qui si forma il risalto. L’altezza y3 immediatamente a valle del risalto vale y3=0.577 m. Fintantoché il livello nel serbatoio si mantiene sufficientemente basso, il profilo che si svilupperà lungo il canale sarà dunque quello illustrato in Fig. 89.

Fig. 89

Tale profilo si manterrà finché il livello nel serbatoio non raggiungerà il valor limite h1 tale per cui si potrà realizzare la transizione rapida-lenta in corrispondenza della sezione di sbocco. Essendo, in questo caso, y6=yL=a il tirante della corrente rapida di monte in corrispondenza della sezione di sbocco, il tirante immediatamente a valle del risalto, y7, sarà fornito dall’espressione

( )26

67 811

2F

yy ++−=

in cui F6=1.943 è il numero di Froude della corrente rapida immediatamente a monte del risalto. La precedente relazione fornisce y7=0.688 m. Considerata la dissipazione localizzata di sbocco e l’origine dell’asse delle quote della superficie libera nel bacino, risulta h1=y7=0.688 m. Il profilo, in queste condizioni limite, è illustrato in Fig. 90.

Fig. 90

Per quote superiori al limite h1, il risalto sarà sospinto sempre più a monte come illustrato in Fig. 91.


-158-

Fig. 91

Una seconda condizione limite è rappresentata dalla quota h2 tale per cui il risalto si spinge fino alla sezione di vena contratta. In tal caso il livello immediatamente a valle del risalto è fornito dalla

( )25

56 811

2F

yy ++−=

Essendo F5=4.181, si trova y6=0.978 m. In queste condizioni limite, il profilo è quello illustrato in Fig. 92

Fig. 92

Per livelli nel bacino superiori a h2, l’efflusso al di sotto della paratoia risulta essere rigurgitato. In questo caso, qualitativamente, il profilo che si sviluppa è quello illustrato in Fig. 93.

Fig. 93

Nel complesso, quindi, per h<h1 si avrà la situazione illustrata in Fig. 89, per h1<h<h2 quella illustrata in Fig. 91 e per h>h2 quella di Fig. 93.


-159-

Esercizio 41. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=20 m mentre il tratto di valle è largo b=12 m. La pendenza del fondo vale if=0.001 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s. Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di valle vale Qv=20 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di valle e l’altezza critica ycv. Con i dati del problema si trova

y0v=1.032 m H0v=1.165 m ycv=0.657 m Nel tratto di valle, pertanto, la pendenza risulta inferiore a quella critica e, presumibilmente, la stessa condizione si avrà anche per il tratto di monte in quanto la pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile. E’ comunque possibile valutare in quali condizioni la pendenza del fondo per il tratto di monte risulta superiore a quella critica. Per il tratto di monte l’altezza di moto uniforme e quella critica sono espresse dalle relazioni

5/3

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fS

mm iBk

Qy 3/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gBQy m

cm

Imponendo la condizione y0m<ycm si trova

2/99

5

fSm ik

gBQ > =29420 m3/s

Si tratta, evidentemente, di una portata inverosimile e questa situazione non viene esaminata nel seguito. Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente lenta e la ricostruzione del profilo parte da valle (sezione 4).


-160-

Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 94, il moto si mantiene uniforme fino alla sezione 3 (cambio di sezione). Per stabilire le caratteristiche del moto nella sezione 2 si opera un bilancio di energia nel quale, come riportato nel testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata ΔE23

z2+H2-ΔE23=z3+H3 ⇒ H2=H3=H0v=1.165 m

Data la posizione relativa delle curve H-y relative alle sezioni 2 e 3, è evidente che l’energia H2 determinata mediante il precedente bilancio è sempre superiore all’energia minima per la sezione 2. Il livello di corrente lenta associato all’energia H2 vale y2=1.125 m. Per passare dalla sezione 2 alla sezione 1 si opera un bilancio di energia nel quale, come specificato nel testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata ΔE12

Z1+H1-ΔE12=z2+H2 ⇒ H1=H2= 1.165 m

Nella sezione 1 l’energia H1 può risultare inferiore o superiore all’energia minima necessaria alla corrente Hc1 in relazione all’entità della portata sottratta ΔQ. La condizione limite è quindi rappresentata da H1= Hc1=1.165 m. Questa condizione è espressa dalla seguente relazione

=Δ+

== 32

2

11)(

23

23

BgQQ

yH vcc 1.165 m

la quale, risolta rispetto a ΔQ fornisce il valore limite ΔQ1=22.88 m3/s a cui corrisponde una portata di monte Qm=42.88 m3/s. Per valori ΔQ<ΔQ1 la corrente riesce a raggiungere la sezione 1 senza transizione, al contrario per ΔQ>ΔQ1, nel passaggio tra la sezione 1 e la sezione 2 si ha transizione. Analizziamo dapprima le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ<ΔQ1. Nota l’energia H1=H2, dal bilancio visto in precedenza, possiamo determinare la corrispondente altezza y1 sul ramo delle correnti lente della curva H-y relativa al tratto di monte e confrontarla con la corrispondente altezza di moto uniforme di monte. Si osserva in particolare che quando ΔQ è prossimo al valore ΔQ1, l’altezza del moto uniforme di monte assumerà valori prossimi a y0m=1.200 m, superiori all’altezza y1 ≅ yc1=0.777 m. Nel tratto di monte si svilupperà dunque un profilo di chiamata M2. Quando invece ΔQ è nullo si ha Qm=Qv=20.0 m3/s e y0m=0.760 m. Al tempo stesso l’altezza in corrispondenza della sezione 1 coinciderà con quella della sezione 2 precedentemente calcolata: y1=y2=1.125 m. A monte della sezione 1 si svilupperà pertanto un profilo di rigurgito M1. Esiste dunque un secondo valore limite ΔQ2 per il quale, a monte della sezione 1, il moto sarà uniforme. Essendo, per ΔQ<ΔQ1, H1=H2=1.165 m, si possono combinare l’espressione per l’energia H1 con l’equazione per il moto uniforme di monte

fHSv iyRyAkQQ )()( 13/2

12 =Δ+ ( )

21

2

22

11 2 yBgQQyH v Δ+

+=


-161-

per determinare le due quantità incognite ΔQ2 e y1. Si trova ΔQ2=13.33 m3/s e y1=y0m=1.032 m, coincidente con y0v. Quando ΔQ<ΔQ2 la posizione relativa delle tre curve H-y sarà quella indicata in Fig. 94 e il profilo complessivo sarà quello illustrato nella stessa figura.

Fig. 94

La condizione limite ΔQ=ΔQ2 è illustrata nella successiva Fig. 95 in cui le curve H-y per le sezioni 1 e 3 si sovrappongono.

Fig. 95

Quando invece è ΔQ2<ΔQ<ΔQ1 la curva H-y della sezione 3 si posizionerà al di sopra di quella relativa alla sezione 1 (Fig. 96), si avrà, pertanto, y1<y3. Essendo, inoltre, y1<y0m, a monte della sezione 1 si svilupperà un profilo di chiamata M2 fino alle condizioni di moto uniforme infinitamente a monte.

Fig. 96


-162-

Nelle condizioni limite ΔQ=ΔQ1, possono verificarsi due diverse configurazioni. Può accadere che la corrente sfiori le condizioni critiche mantenendosi però lenta ovunque. In tal caso, in corrispondenza della sezione 1 si avrà l’altezza y1=ycm=0.777 m e la situazione sarà del tutto simile a quella illustrata nella precedente Fig. 96 in cui il punto 1, sul diagramma H-y si posizionerà in corrispondenza delle condizioni critiche. In alternativa, la teoria prevede la possibilità che in corrispondenza della sezione 1 si instaurano condizioni critiche, e quindi sarà y1=ycm=0.777 e che a valle della sezione 1 la corrente sia rapida. In questo caso dal bilancio tra le sezioni 1 e 2 si ha H2=Hc1 =1.165 m e l’altezza di corrente rapida nella sezione 2 risulta valere y2=0.234 m. Possiamo a questo punto valutare se, in queste condizioni, la successiva transizione tra corrente rapida e corrente lenta avvenga effettivamente a valle della sezione 2. Si ricorda, a questo proposito, che l’altezza y2 determinata per integrazione della corrente lenta a partire dalla sezione 4 di valle era stata valutata in y2=1.125 m. Si tratta quindi di valutare se la spinta della rapida con y2=0.234 m è superiore o inferiore alla spinta della lenta con y2=1.125 m. Il numero di Froude associato alla corrente rapida vale F2=2.821. L’altezza coniugata della corrente rapida vale quindi y2R=0.824 m, inferiore all’altezza della corrente lenta y2=1.125 m. Il risalto, pertanto, si formerà tra le sezioni 2 e 3 e il profilo, nel suo complesso, è sostanzialmente quello illustrato in Fig. 97 (dove però è illustrato il caso in cui ΔQ sia non coincidente ma poco superiore a ΔQ1). Per valori ΔQ>ΔQ1 la corrente lenta di valle non riesce a raggiungere la sezione 1 in corrispondenza della quale, quindi, si instaureranno sempre le condizioni critiche. Al crescere della portata sottratta, e quindi della portata di monte, cresce l’energia della corrente nella sezione 3 e quindi anche nella sezione 2; conseguentemente cresce anche la spinta della corrente rapida che si determina nella sezione 2. Esisterà dunque un valore limite ΔQ3 in corrispondenza del quale il risalto si collocherà proprio in corrispondenza della sezione 2.

Fig. 97

Questa condizione limite si determina quando l’altezza di corrente rapida nella sezione 2 corrisponde all’altezza coniugata, indicata con y2m in Fig. 98, dell’altezza y2=1.125 m di corrente lenta (indicata con y2v in Fig. 98). Essendo, per la corrente lenta F2=0.268, si trova y2m=0.143 m a cui corrisponde un energia H2=2.636 m nella sezione 2 immediatamente a monte del risalto. Dal bilancio di energia tra le sezioni 1 e 2 si ha H2=H1c=2.636 m. Si trova dunque y1=yc1=1.757 m e Qm=145.9 m3/s ovvero ΔQ3=125.9 m3/s. Le caratteristiche del moto, in queste condizioni limite, sono


-163-

illustrate in Fig. 98, mentre le situazioni corrispondenti ad una portata sottratta compresa tra ΔQ1 e ΔQ3 sono illustrate in Fig. 97.

Fig. 98

A questo punto si potrebbe essere indotti a pensare che incrementando ulteriormente la portata sottratta (e quindi la portata di monte) il risalto si sposti gradualmente verso valle fino a raggiungere la sezione 3 per poi superarla. Valutiamo quindi le caratteristiche del moto quando il risalto si localizza nella sezione 3. In tal caso la corrente lenta di valle è caratterizzata dall’altezza y3v=y0v=1.032 m a cui corrisponde F3v=F0v=0.507. L’altezza di corrente rapida, coniugata di y3v, vale dunque y3m=0.387 m a cui corrisponde l’energia H3m=1.333 m. Questo valore di energia è lo stesso che si avrà nelle sezioni 2 e 1. Si può pertanto porre H3=H2=H1c=1.333 m a cui corrisponde y1=yc1=0.889 m e Qm=52.5 m3/s ovvero ΔQ4=32.5 m3/s. Le caratteristiche del moto in queste condizioni limite sono illustrate in Fig. 99.

Fig. 99

E’ interessante osservare che risulta ΔQ4<ΔQ3. Al variare della portata sottratta, dunque, la corrente evidenzia un comportamento isteretico. Al crescere della portata sottratta, a partire da ΔQ=0, si realizzano le condizioni illustrate in Fig. 94 per ΔQ<ΔQ2, quindi le condizioni di Fig. 96 per ΔQ2<ΔQ<ΔQ1. Per valori della portata sottratta nell’intervallo ΔQ1<ΔQ<ΔQ3 si realizzerà la configurazione illustrata in Fig. 97. Superato il valore limite ΔQ4 le caratteristiche del moto saranno quelle indicate in Fig. 100 con il risalto che si localizza decisamente a valle della sezione 3. Partendo invece da condizioni in cui il risalto si forma a valle della sezione 3 e riducendo gradualmente la portata sottratta (e quindi la portata di monte), il risalto si sposterà verso monte fino a raggiungere, per ΔQ<ΔQ4, la sezione 3 (Fig. 99).


-164-

Riducendo ulteriormente la portata sottratta il risalto si sposterà bruscamente tra le sezioni 1 e 2 come illustrato in Fig. 97. La progressiva riduzione della portata sottratta determinerà, nell’ordine, le configurazioni illustrate in Fig. 96, Fig. 95 e Fig. 94.

Fig. 100

E’ interessante osservare che in nessun caso il risalto si localizza tra le sezioni 2 e 3. Per valori di portata sottratta compresi tra i limiti ΔQ4 e ΔQ3, la teoria ammette l’esistenza di una condizione di equilibrio delle spinte con il risalto posizionato tra le sezioni 2 e 3. Ad esempio, per ΔQ=70 m3/s il risalto potrebbe collocarsi tra le sezioni 2 e 3 laddove la larghezza del canale assume il valore β=16.247 m. Infatti, dovendo essere Hβ=H0v=1.165 m, si trova, come soluzione di corrente lenta, il livello yβv=1.101 m cui corrisponde un numero di Froude pari a Fβv=0.34. L’altezza yβm, coniugata dell’altezza yβv vale dunque yβm=0.213 m, a cui corrisponde l’energia Hβm=1.910 m. Da un bilancio tra le sezioni 1 e β, si ha H1c=Hβm=1.910 m a cui corrisponde y1=yc1=1.273 m e Qm=90.0 m3/s ovvero ΔQ=70.0 m3/s. Dunque, pur essendo possibile (ed equilibrata) una configurazione del campo di moto con il risalto localizzato tra le sezioni 2 e 3 questa configurazione, come si è visto, non si realizza mai. Ciò è determinato dal fatto che in un tratto di canale convergente (al pari di quanto accade per un tratto di canale in contropendenza), la condizione di equilibrio associata all’esistenza di un risalto, è instabile.


-165-

Esercizio 42. Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=25 m mentre il tratto di valle è largo b=14 m. La pendenza del fondo vale if=0.02 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=60 m1/3/s. Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale Qm=25 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.

Preliminarmente conviene determinare le caratteristiche del moto uniforme di monte e l’altezza critica ycm. Con i dati del problema si trova

y0m=0.277 m H0m=0.940 m ycm=0.467 m Nel tratto di monte, pertanto, la pendenza risulta superiore a quella critica e, presumibilmente, la stessa condizione si avrà anche per il tratto di valle in quanto la pendenza critica è influenzata dalla portata in misura poco apprezzabile. E’ comunque possibile valutare in quali condizioni la pendenza del fondo per il tratto di valle risulta inferiore a quella critica. Per il tratto di valle l’altezza di moto uniforme e quella critica sono espresse dalle relazioni

5/3

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fS

vv ibk

Qy

3/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gbQ

y vcv

Imponendo la condizione y0v>ycv si trova

2/99

5

fSv ik

gbQ < = 0.006 m3/s

Si tratta, evidentemente, di una portata inverosimile e questa situazione non viene esaminata nel seguito. Infinitamente a monte e a valle avremo quindi condizioni di moto uniforme di corrente rapida.


-166-

Conviene, preliminarmente, ragionare sulla posizione relativa delle tre curve H-y associate alle sezioni 1, 2 e 3. Con i dati del problema, la curva H-y relativa alla sezione 1 è fissa mentre le altre due dipendono dall’entità della sottrazione. Per altro, la curva H-y della sezione 2 deve trovarsi sotto quella della sezione 1 (o al limite coincidente), e sotto anche a quella della sezione 3. Una prima condizione limite si ha dunque quando ΔQ=ΔQ0=0 e le curve H-y per le sezioni 1 e 2 coincidono. Una seconda condizione limite, ΔQ1, si determina quando coincidono le curve H-y per le sezioni 1 e 3. Questa condizione si ha quando, per ogni y, è verificata la relazione

( )22

21

22

2

22 ygbQQ

yygB

Qy mm Δ−

+=+

ovvero Qm/B=(Qm-ΔQ1)/b che fornisce ΔQ1=11.0 m3/s. Le posizioni relative delle curve H-y al variare di ΔQ sono illustrate in Fig. 101.

Fig. 101

Come si è detto, infinitamente a monte e a valle si stabiliscono condizioni di moto uniforme di corrente rapida, dunque la ricostruzione del profilo parte da monte (sezione 4). Con riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in Fig. 103, il moto si mantiene uniforme fino alla sezione 1 (sottrazione localizzata). Per stabilire le caratteristiche del moto nella sezione 2 si opera un bilancio di energia nel quale, come riportato nel testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata ΔE12

z1+H1-ΔE12=z2+H2 ⇒ H2=H1=H0m=0.940 m

Data la posizione relativa delle curve H-y associate alle sezioni 1 e 2 (vedi, ad esempio, Fig. 101), è evidente che l’energia H2 determinata mediante il precedente bilancio è sempre superiore all’energia minima per la sezione 2, mentre il livello di corrente rapida associato all’energia H2 dipenderà dall’entità della sottrazione. Per passare dalla sezione 2 alla sezione 3 si opera ancora un bilancio di energia nel quale, come specificato nel testo, si trascura la dissipazione di energia localizzata ΔE23

z2+H2-ΔE23=z3+H3 ⇒ H3=H2= 0.940 m


-167-

Nella sezione 3 l’energia H3 può risultare inferiore o superiore all’energia minima necessaria alla corrente Hc3 in relazione all’entità della portata sottratta ΔQ. La condizione limite è quindi rappresentata da H3=Hc3. Questa condizione è espressa dalla seguente relazione

=Δ−

== 32

2

33)(

23

23

bgQQ

yH mcc 0.940 m

la quale, risolta rispetto a ΔQ fornisce il valore limite ΔQ2=3.23 m3/s a cui corrisponde una portata di valle Qv=21.77 m3/s. Per valori ΔQ>ΔQ2 risulta Hc3<0.940 m e la corrente è in grado di raggiungere la sezione 3 senza transizione, al contrario per ΔQ<ΔQ2, nel passaggio tra la sezione 2 e la sezione 3 si ha necessariamente transizione. Analizziamo dapprima le situazioni che si possono determinare quando è ΔQ<ΔQ2 e, al limite, il caso ΔQ=ΔQ0=0. Per questi casi, la teoria prevede che in corrispondenza della sezione 3 si instaurino condizioni critiche. Nel caso limite ΔQ=ΔQ0=0, e quindi Qv=25.0 m3/s sarà y3=ycv=0.688 m a cui corrisponde l’energia H3=1.031 m. Dal bilancio tra le sezioni 2 e 3 si trova H2=H3=1.031 m a cui corrisponde, sul ramo delle correnti lente, il livello y2=0.978 m. Proseguendo verso monte si svilupperà un profilo S1 fino alla sezione 6 in corrispondenza della quale il livello si sarà ridotto al valore dell’altezza coniugata della corrente rapida di monte. Essendo y6=y0m e F6=2.188, risulta y7=0.730 m. A partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà invece un profilo S2 essendo, in questo caso, y0v=0.393 m. La condizione limite ΔQ=ΔQ0 è illustrata in Fig. 103 in cui le curve H-y per le sezioni 1 e 2 si sovrappongono (vedi anche Fig. 101. Al crescere della portata sottratta si ridurrà l’energia, e quindi la spinta, della corrente di valle. Si osserverà dunque un progressivo arretramento del risalto verso la sezione 3. Abbiamo visto che la condizione necessaria affinchè non ci sia transizione è che la portata sottratta superi il valore limite ΔQ=ΔQ2. Avendo a che fare con una corrente rapida che affronta un ostacolo, questa condizione, però, non è sufficiente e, presumibilmente, il comportamento della corrente sarà caratterizzato da isteresi. Consideriamo quindi altre condizioni limite. A partire dalla situazione illustrata in Fig. 103 e immaginando di incrementare la portata sottratta valutiamo se, e in quali condizioni, il risalto si stabilisce immediatamente a monte della sezione 1. In questo caso dovrà essere y4=y0m=y6=0.277 m e y7=y1=0.730 m essendo, quest’ultima, l’altezza coniugata della corrente rapida di monte in moto uniforme. L’energia in corrispondenza della sezione 1 vale dunque H1=0.826 m. Il bilancio di energia tra le sezioni 1, 2 e 3 fornisce H3=H2=H1=0.826 m. D’altra parte nella sezione 3 si devono instaurare condizioni critiche e si avrà y3=ycv=(2/3)Hcv=(2/3)H3=0.550 m. Nota l’altezza critica ycv si determina immediatamente la portata di valle Qv=17.91 m3/s e quindi la condizione limite associata ΔQ3=7.09 m3/s. A partire dalla sezione 3, verso valle, si svilupperà invece un profilo S2 essendo, in questo caso, y0v=0.321 m. Questa condizione limite è illustrata in Fig. 107 Un’ulteriore condizione limite si determina quando il risalto si colloca a ridosso della sezione 2. In tal caso, la corrente si mantiene in moto uniforme fino alla sezione 1 e,


-168-

in corrispondenza della sezione 2, a monte del risalto (indicata come sezione 6, vedi Fig. 111), sarà caratterizzata dall’energia H6=H1=H0m. Le equazioni che si possono scrivere per individuare questa condizione limite sono le seguenti

( )=

Δ−+= 2

62

24

66 2 ygBQQ

yH m 0.940 m, nelle incognite y6 e ΔQ4,

( ) ( )36

22467 81150 ygB/QQ(y.y m Δ−++−= , nelle incognite y6, y7 e ΔQ4,

( ) ( )3

2

24

27

2

24

7 23

2 gbQQ

ygBQQ

y mm Δ−=

Δ−+ , nelle incognite y7 e ΔQ4,

l’ultima delle quali esprime la conservazione dell’energia tra le sezioni 2≡7 (a valle del risalto) e 3, laddove si instaurano condizioni critiche. Risolto il sistema costituito dalle tre precedenti relazioni, si trova y6=0.085 m, y2=y7=0.498 m ΔQ4=16.33 m3/s, e quindi Qv=8.67 m3/s. L’energia nella sezione 2 vale H2=0.509 m. Questa energia coincide con quella della sezione 3 in cui si verificano condizioni critiche per cui si ha H3=Hcv=H2=0.509 m e y3=ycv=(2/3)Hcv=0.339 m. A valle della sezione 3 si svilupperà un profilo S2 fino a raggiungere l’altezza di moto uniforme di valle che vale y0v=0.208 m. Questa condizione limite è illustrata in Fig. 111. Per valori ΔQ superiori a ΔQ4 (e quindi per portate di valle inferiori a Qv=8.67 m3/s) non si ha transizione ed il profilo è quello illustrato in Fig. 114 che può essere agevolmente calcolato come segue. La corrente si mantiene in moto uniforme fino alla sezione 1. Mediante il bilancio H2=H1=H0m=0.940 m si determina l’energia nella sezione 2 quindi il livello y2. Mediante il bilancio H3=H2= 0.940 m si determina poi l’energia nella sezione 3 quindi il livello y3. Quest’ultimo risulta necessariamente inferiore all’altezza di moto uniforme di valle che viene pertanto raggiunta seguendo un profilo S3. Nel complesso quindi, quando ΔQ<ΔQ2=3.23 m3/s, necessariamente si assiste alla transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto che si colloca a monte della sezione 1 e il passaggio attraverso le condizioni critiche in corrispondenza della sezione 3. Quando invece è ΔQ>ΔQ4=16.33 m3/s, la corrente si mantiene ovunque rapida. Per valori di portata sottratta nell’intervallo ΔQ1<ΔQ<ΔQ4, entrambe le configurazioni sono possibili (Fig. 102).

Fig. 102


-169-

Più in particolare, se partiamo dalla condizione ΔQ=ΔQ0=0 (illustrata in Fig. 103) e incrementiamo progressivamente la portata i profili che si svilupperanno saranno quelli di Fig. 104, Fig. 105 e Fig. 106 per ΔQ0<ΔQ<ΔQ3, con il risalto che si sposta via via verso valle, quindi quello di Fig. 107 per ΔQ=ΔQ3=7.09 m3/s. Per valori di portata sottratta nell’intervallo ΔQ3<ΔQ<ΔQ4=16.33 m3/s il risalto si collocherà tra le sezioni 1 e 2. La condizione limite ΔQ=ΔQ1=11.0 m3/s ricade all’interno di questo intervallo che va pertanto ulteriormente frazionato anche se i profili che si determinano sono sostanzialmente analoghi e le differenze sono riscontrabili soprattutto nella rappresentazione attraverso il diagramma H-y (vedi Fig. 108, Fig. 109, Fig. 110 e Fig. 111). Incrementando ulteriormente la portata sottratta, il risalto viene spazzato e tutto il canale risulta percorso da una corrente rapida come illustrato in Fig. 114 Se a partire da questa condizione riduciamo progressivamente la portata sottratta si stabiliranno, in successione, le configurazioni illustrate in Fig. 114 (con un profilo di corrente rapida decelerata S3 a valle della sezione 3), Fig. 113 (con condizioni di moto uniforme sia lungo il tratto di monte che lungo il tratto di valle) e Fig. 112 (con un profilo di corrente rapida accelerata S2 a valle della sezione 3). Riducendo la portata sottratta al di sotto del valore limite ΔQ=ΔQ2 si assisterà, come già detto, alla transizione rapida→lenta con la formazione di un risalto che si collocherà a monte della sezione 1 e il passaggio attraverso le condizioni critiche in corrispondenza della sezione 3.

Fig. 103

Fig. 104


-170-

Fig. 105

Fig. 106

Fig. 107

Fig. 108


-171-

Fig. 109

Fig. 110

Fig. 111

Fig. 112


-172-

Fig. 113

Fig. 114

tratti da temi d’esame - image.unipd.it · moto vario in pressione -6- Con i dati del problema,...

Documents

Transcript of tratti da temi d’esame - image.unipd.it · moto vario in pressione -6- Con i dati del problema,...