18_Diagrammi Delle Sollecitazioni

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n° Lezione: 18 Titolo: Diagrammi delle sollecitazioni

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

LEZIONE 18 – Diagrammi delle sollecitazioni.

Nucleo tematico Lez. Contenuto

6 18 Diagrammi delle sollecitazioni: convenzioni, osservazioni, esempi.

Nelle lezioni precedenti sono state definite le caratteristiche di sollecitazione e, per il caso delle travi piane, sono state dimostrate le relazioni che queste devono soddisfare insieme ai carichi applicati nelle condizioni di equilibrio. Le caratteristiche di sollecitazione N(s), T(s) ed M(s) sono funzioni reali di variabile reale, delle quali è spesso utile tracciare il grafico al fine di avere una idea immediata dello stato di sollecitazione della struttura. I grafici delle caratteristiche di sollecitazione vengono tracciati utilizzando come ascissa l’asse stesso della struttura e rispettando alcune convenzioni che vengono descritte nella presente lezione. Convenzioni per il tracciamento dei diagrammi delle sollecitazioni

Le caratteristiche di sollecitazione N(s), T(s) ed M(s) sono funzioni reali di variabile reale, delle quali è spesso utile tracciare il grafico al fine di avere una idea immediata dello stato di sollecitazione della struttura. Questa operazione è stata fatta ad esempio nelle figure 17.7 e 17.17 adottando come ascissa di riferimento un asse z parallelo all’asse rettilineo delle travi considerate.

Più frequentemente, i grafici delle caratteristiche di sollecitazione vengono tracciati adottando come asse di riferimento l’asse stesso della struttura in esame, riportando quindi le ordinate perpendicolarmente alla direzione dell’asse della struttura. In questa forma i grafici di N(s), T(s) ed M(s) sono detti diagrammi delle sollecitazioni. I diagrammi delle sollecitazioni possono essere tracciati determinando le funzioni N(s), T(s) ed M(s) relativamente ad ogni tratto di struttura; tuttavia è spesso possibile ottenere questi diagrammi in modo più immediato, calcolando le caratteristiche di sollecitazione in qualche sezione e sfruttando le proprietà delle funzioni N(s), T(s) ed M(s) che derivano dal rispetto delle Equazioni Indefinite di Equilibrio o, più in generale, celle condizioni di equilibrio dei diversi tratti di trave.

Come è stato descritto nella lezione 16 il segno delle caratteristiche viene stabilito dipendentemente dalla scelta di un verso di percorrenza lungo l’asse della trave e quindi di un lembo inferiore della trave, individuato dal tracciamento di una linea tratteggiata, secondo la convenzione delle figure 16.12, 16.23 - 15.25, riassunte per maggiore comodità in figura 18.1.

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Figura 18.1.

Per il tracciamento dei diagrammi si utilizzano le seguenti

convenzioni: - il diagramma dello sforzo normale N(s) si traccia dalla parte del

lembo superiore (parte opposta a quella della linea tratteggiata) se lo sforzo normale è positivo (di trazione); viceversa si traccia dalla parte del lembo inferiore (parte della linea tratteggiata) se lo sforzo normale è negativo (di compressione);

- il diagramma del taglio T(s) si traccia dalla parte del lembo superiore (parte opposta a quella della linea tratteggiata) se il taglio è positivo; viceversa si traccia dalla parte del lembo inferiore (parte della linea tratteggiata) se il taglio è negativo;

s

t

π/2 N N

M M

T

T

T

T

N N

M M

S V

S V

T

T

N N

M M

N N M M

T

T

t

π/2

s

S V

S V

lembo inferiore

lembo inferiore

Caratteristiche di sollecitazione positive

Caratteristiche di sollecitazione positive

Deformazione del concio soggetto alle

caratteristiche di sollecitazione positive

N

N

N

N

M

M

M

M

T

T

T

T

Deformazione del concio soggetto alle

caratteristiche di sollecitazione negative



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- il diagramma del momento flettente M(s) si traccia dalla parte del lembo inferiore (parte della linea tratteggiata) se il momento flettente è positivo; viceversa si traccia dalla parte del lembo superiore (parte opposta a quella della linea tratteggiata) se il momento flettente è negativo.

Ricordando che la convenzione sulla positività del momento flettente (figura 18.1) comporta che il momento è positivo se tende le fibre di trave poste vicino al lembo inferiore e comprime le fibre di trave poste vicino al lembo superiore si può concludere che, indipendentemente dalla scelta del verso di percorrenza e quindi del lembo inferiore, il diagramma del momento flettente si traccia sempre dalla parte delle fibre tese. Infatti le fibre tese sono quelle dalla parte della linea tratteggiata se il momento flettente è positivo mentre sono quelle dalla parte opposta a quella della linea tratteggiata se il momento flettente è negativo.

Relativamente ad una trave rettilinea, assunti un’ascissa z coincidente con l’asse della trave ed un conseguente lembo inferiore, indicato dalla linea tratteggiata, le convenzioni appena descritte equivalgono a tracciare i grafici delle funzioni N(z), T(z) ed M(z) secondo gli orientamenti degli assi di figura 18.2.

Figura 18.2.

Gli esempi seguenti chiariscono il modo di procedere per il tracciamento dei diagrammi delle sollecitazioni. Esempio 18.1

Relativamente alla trave di figura 18.3 si traccino i diagrammi delle sollecitazioni.

z

N(z)

z

T(z)

z

M(z)



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Figura 18.3.

Si rileva immediatamente che il sistema è in equilibrio (si riveda l’esempio 3.1). Si assume un’ascissa curvilinea s sull’asse della trave avente origine in A ed orientata verso C (figura 18.4) e si identifica il lembo inferiore per mezzo della linea tratteggiata.

Figura 18.4.

Le espressioni N(s), T(s) ed M(s) per la struttura in esame sono state ottenute nella lezione 16 (esempio 16.1) e sono:

( ) ( )( )

+≤≤α+⋅=α+⋅≤≤α⋅−

≤≤α⋅−=

1F

FF

F

LLstan1Lse0tan1LsLsesinF

Ls0secosFsN

( ) ( )( )

+≤≤α+⋅α+⋅≤≤α⋅−

≤≤α⋅=

1F

FF

F

LLstan1Lse0tan1LsLsecosF

Ls0sesinFsT

( ) ( )[ ] ( )( )

+≤≤α+⋅α+⋅≤≤α−−α⋅

≤≤⋅α⋅=

1F

FFF

F

LLstan1Lse0tan1LsLsecosLssinLF

Ls0sessinFsM

(e.1.1)

Diagramma dello sforzo normale

Lo sforzo normale nella sezione A è dunque negativo e vale in modulo FcosF α⋅ , come si vede dalla prima delle (e.1.1) per s = 0. Scelta una opportuna scala per le ordinate del diagramma, si traccia a partire da A in direzione normale all’asta un segmento proporzionale a

A B

C

L

L tanαf

D

L1

αf F

P = F

s s =

0

αf

A B

C

F

P = F

L tanαf

L

D

L1



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FcosF α⋅ che rappresenta il primo punto del diagramma dello sforzo

normale; essendo lo sforzo normale negativo detto segmento deve essere disposto dalla parte della linea tratteggiata (figura 18.5b). Essendo poi lo sforzo normale costante nel tratto AB (prima delle (e.1.1) per 0 ≤ s ≤ L), il diagramma relativo a tale tratto è una retta parallela all’asta stessa (figura 18.5c). Lo sforzo normale nella sezione B, pensata appartenente all’asta BC è negativo e vale in modulo

FsinF α⋅ , come si vede dalla prima delle (e.1.1) per s = L; nella stessa scala utilizzata per il diagramma dello sforzo normale dell’asta AB si traccia quindi a partire da B in direzione normale all’asta BC un segmento proporzionale a FsinF α⋅ che rappresenta il primo punto del diagramma dello sforzo normale dell’asta BC; essendo lo sforzo normale negativo detto segmento deve essere disposto dalla parte della linea tratteggiata (figura 18.5d).

Figura 18.5.

Essendo poi lo sforzo normale costante nel tratto BD (prima delle (e.1.1) per 0 ≤ s ≤ L⋅(1 + tan αF)), il diagramma relativo a tale tratto è una retta parallela all’asta BD stessa. Lo sforzo normale è poi nullo

F⋅co

s α

F

A B

C

D

s s =

0

N(s) asta AB

(c)

|N(s)|=F⋅cos αF

A B

C

L

L tanαf

D L

1

αf F

P = F

s s =

0

(a)

A B

C

D

s s =

0

N(s) (asta AB)

(b)

F⋅co

s α

F

|N(s)|=F⋅sin αF

A B

C

D

s

s =

0

N(s) (asta AB)

(e)

N(s)

N(s

) (as

ta B

C)

F⋅sin αF

F⋅co

s α

F

A B

C

D

(e)

-

-

F⋅sin αF

N

F⋅co

s α

F

A B

C

D

s

s =

0

N(s) (asta AB)

(d)

N(s)

F⋅sin αF

F⋅co

s α

F

N(s

) (as

ta B

C)



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nel tratto DC (prima delle (e.1.1) per L⋅(1 + tan αF) ≤ s ≤ L⋅+ L1) e quindi il diagramma coincide con il tratto DC stesso (figura 18.5e). Il diagramma finale dello sforzo normale si disegna infine nella forma mostrata in figura 18.5e, riportando i valori più significativi delle ordinate. Diagramma del taglio

Il taglio nella sezione A è positivo e vale in modulo FsinF α⋅ , come si vede dalla seconda delle (e.1.1) per s = 0; nella stessa scala adottata per il diagramma dello sforzo normale si traccia quindi a partire da A in direzione normale all’asta un segmento proporzionale a

FsinF α⋅ che rappresenta il primo punto del diagramma del taglio; essendo il taglio positivo detto segmento deve essere disposto dalla parte opposta a quella della linea tratteggiata (figura 18.6b).

Figura 18.6.

Essendo poi il taglio costante nel tratto AB (seconda delle (e.1.1) per 0 ≤ s ≤ L), il diagramma relativo a tale tratto è una retta parallela all’asta stessa (figura 18.6c). Il taglio nella sezione B, pesata appartenente all’asta BC è negativo e vale in modulo FcosF α⋅ , come

F⋅cos αF

|T(s)|=F⋅cos αF

A B

C

L

L tanαf

D

L1

αf F

P = F

s s =

0

(a)

A B

C

D

s

s =

0

T(s) asta AB

(b)

F⋅si

n α

F

A B

C

D

(e)

+

-

F⋅cos αF

T

F⋅si

n α

F

A B

C

D

s

s =

0

T(s) asta AB

(c)

F⋅si

n α

F

|T(s)|=F⋅sin αF A

B

C

D

s =

0

T(s) (asta AB)

(d)

F⋅si

n α

F

T(s)

(ast

a B

C)

s

A B

C

D

s =

0

T(s) (asta AB)

(d)

F⋅si

n α

F

T(s)

(ast

a B

C)

F⋅cos αF

s



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si vede dalla seconda delle (e.1.1) per s = L; nella stessa scala già utilizzata si traccia quindi a partire da B in direzione normale all’asta BC un segmento proporzionale a FcosF α⋅ che rappresenta il primo punto del diagramma del taglio dell’asta; essendo il taglio negativo detto segmento deve essere disposto dalla parte della linea tratteggiata (figura 18.6d). Essendo poi il taglio costante nel tratto BD (seconda delle (e.1.1) per 0 ≤ s ≤ L⋅(1 + tan αF)), il diagramma relativo a tale tratto è una retta parallela all’asta BD stessa. Il taglio è poi nullo nel tratto DC (seconda delle (e.1.1) per L⋅(1 + tan αF) ≤ s ≤ L⋅+ L1) e quindi il diagramma coincide con il tratto DC stesso (figura 18.6d). Il diagramma finale del taglio si disegna infine nella forma mostrata in figura 18.6e, riportando i valori più significativi delle ordinate. Diagramma del momento flettente

Il momento flettente nella sezione A è nullo (figura 18.7b), come si vede dalla terza delle (e.1.1) per s = 0; il primo punto del diagramma del momento flettente è quindi il punto A stesso.

Figura 18.7.

A B

C

L

L tanαf

D

L1

αf F

P = F

s s =

0

(a)

A B

C

D

s s =

0

M(s) asta AB

(b)

M=0

FL⋅s

in α

F

A B

C

D

s

s =

0

M(s) asta AB

(c)

M=0

FL⋅s

in α

F

|M(s

)|=Fs

⋅sin

αF

M(s

) (as

ta B

C)

A B

C

D

s =

0

M(s) asta AB

(d)

M=0

FL⋅s

in α

F

M=0

s

FL⋅s

in α

F

M(s

) (as

ta B

C)

A B

C

D

s =

0

M(s) asta AB

(e)

M=0

M=0

s |M(s

)|=F⋅

[Lsi

nαF-

(s-L

)cos

αF]

M

FL⋅s

in α

F

A B

C

D

(f)

+

+



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Nella sezione B il momento è positivo e vale FsinFL α⋅ , come prescritto dalla terza delle (e.1.1); scelta quindi una scala opportuna, si traccia a partire da B in direzione normale all’asta AB un segmento proporzionale a FsinFL α⋅ che rappresenta l’ordinata del diagramma relativa alla sezione B pensata appartenente all’asta AB. Questo segmento deve essere tracciato dalla parte della linea tratteggiata, essendo il momento nella sezione B positivo (figura 18.7b). Tra A e B il momento flettente ha andamento lineare, come evidente dalla terza delle (e.1.1). Il grafico della funzione

( ) ssinFsM F ⋅α⋅=

che descrive il momento flettente relativamente al tratto AB è dunque la retta che si ottiene congiungendo i punti che rappresentano il momento nelle sezioni A e B (figura 18.7c). Il momento flettente nella sezione B pensata appartenente all’asta BC è ancora positivo e vale ancora FsinFL α⋅ , come si vede dalla terza delle (e.1.1). Si traccia quindi dalla parte della linea tratteggiata un segmento ortogonale all’asta BC proporzionale a FsinFL α⋅ . Solitamente, per rappresentare il fatto che il momento nella sezione B dell’asta AB è lo stesso che si ha nella sezione B dell’asta BC si traccia un arco di circonferenza centrata in B ed avente raggio proporzionale a FsinFL α⋅ (figura 18.7d). Il momento nella sezione D è nullo, come si vede dalla terza delle (e.1.1), pertanto il diagramma del momento passa per il punto D stesso. Tra B e D il momento flettente ha andamento lineare, come evidente dalla terza delle (e.1.1). Il grafico della funzione

( ) ( )[ ]FF cosLssinLFsM α−−α⋅=

che descrive il momento flettente relativamente al tratto BD è dunque la retta che si ottiene congiungendo i punti che rappresentano il momento nelle sezioni B e D (figura 18.7e). Il momento flettente è poi nullo nel tratto DC, come evidente dalla terza delle (e.1.1) e quindi il suo diagramma coincide con il tratto DC stesso (figura 18.7e). Il diagramma finale del momento flettente si disegna infine nella forma mostrata in figura 18.7f, riportando i valori più significativi delle ordinate.

I diagrammi delle sollecitazioni sono riassunti in figura 18.8. Questa figura, una volta nota l’entità della forza F, contiene tutte le informazioni relative allo stato di sollecitazione della struttura.



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Figura 18.8.

Osservazione 1

Per il tracciamento dei diagrammi di figura 18.8 sono state utilizzate le funzioni (e.1.1) che descrivono gli andamenti delle caratteristiche di sollecitazione. Questo modo di procedere è del tutto generale. In molti casi, ed anche nel caso in esame, la conoscenza delle (e.1.1) non è tuttavia necessaria in quanto considerazioni basate sulle Equazioni Indefinite di Equilibrio consentono di determinare a priori la forma dei diagrammi che possono quindi essere tracciati semplicemente a partire dalla conoscenza delle caratteristiche di sollecitazione in qualche sezione. Ad esempio, nel caso in esame lungo i tratti AB e BD non sono applicate forze, pertanto (si riveda l’osservazione 9 della lezione 17):

- lo sforzo normale ed il taglio sono costanti nei tratti AB e BD e DC; - il momento flettente ha andamento lineare nei tratti AB e BD e DC

(in particolare è nullo nel tratto DC).

I diagrammi avrebbero potuto essere quindi semplicemente tracciati determinando le caratteristiche di sollecitazioni agli estremi delle aste e unendo con segmenti i punti rappresentativi di queste. Osservazione 2

Nel nodo B convergono le due aste AB e BC. Come visto, il momento flettente nella sezione B è lo stesso pensando la sezione appartenente all’asta AB ed appartenente all’asta BC; questo non accade invece allo sforzo normale ed al taglio, infatti queste caratteristiche di sollecitazione sono diverse pensando la sezione B appartenente all’asta AB ed all’asta BC. Questo si giustifica in generale, pensando al fatto che un piccolo elemento di struttura

A B

C

L

L tanαf

D

L1

αf F

P = F

s s =

0

M

FL⋅sin αF

A B

C

D

+

+

A B

C

D

-

-

F⋅sin αF

N

F⋅co

s α

F

A B

C

D

+

-

F⋅cos αF

T

F⋅si

n α

F



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nell’intorno del nodo B deve essere in equilibrio, cioè sulla base dell’equilibrio del nodo. Si consideri un nodo B nel quale convergono due aste (non necessariamente ortogonali) identificate come asta 1 ed asta 2. In figura 18.9 è rappresentato un sistema costituito dal nodo B e da due piccoli elementi di asta ad esso convergenti, di lunghezza ∆L. Se al nodo non sono applicate azioni esterne le uniche forze cui è soggetto il sistema sono le caratteristiche di sollecitazione applicate agli estremi degli elementi di asta convergenti al nodo. Si indichino con i pedici 1 e 2 le caratteristiche di sollecitazione relative alle sezioni delle aste 1 e 2 rispettivamente. L’equilibrio del sistema di figura 18.9 impone alle caratteristiche di sollecitazioni il rispetto delle equazioni

( )

=α−⋅∆⋅−α⋅∆⋅++−=α⋅+α⋅+

=α⋅+α⋅−−

0cos1LTsinLNMM0sinNcosTT

0sinTcosNN

2B2B2B1B

2B2B1B

2B2B1B (18.1)

Figura 18.9.

nella terza delle quali i momenti sono valutati rispetto alla sezione estrema dell’elemento ∆L dell’asta 1. Le prime due (18.1) mostrano che lo sforzo normale ed il taglio nelle aste convergenti al nodo sono, in generale, diversi, come accade nell’esempio svolto. La terza, al limite per ∆L → 0, si riduce a

2B1B MM = (18.2)

e mostra che i momenti flettenti nelle aste convergenti al nodo sono uguali, come accade nell’esempio svolto. Nel caso particolare di aste ortogonali (α = π/2), le prime due (18.1) si riducono a:

−==

2B1B

2B1BNT

TN (18.3)

relazioni che sono soddisfatte nell’esempio svolto (si vedano i diagrammi di figura 18.8).

NB2 NB2sinα

α NB2cosα

α TB2

TB2sinα

T B2c

osα

∆L

∆L

α

∆Lsinα

B 1

2 ∆Lcosα

∆L(1-cosα)

TB1

NB1 MB1

TB2 MB2

NB2



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Ovviamente quanto sopra non è vero quando ad un nodo concorrono più aste (figura 18.10a) o è applicato un momento MF esterno (figura 18.10b).

Figura 18.10.

Nei casi ad esempio di figura 18.10a e b, con ovvio significato dei simboli, l’equilibrio alla rotazione fornisce infatti, rispettivamente

0MMMM 4B3B2B1B =+−+− (18.4)

F2B1B MMM −=− (18.5)

MB1

MB2

MF

(b)

MB1

MB2

MB3 MB4

(a)



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LEZIONE 18 – Sessione di studio 1 Diagrammi delle sollecitazioni. Con riferimento a due strutture delle quali le reazioni vincolari sono state determinate nella lezione 11 è descritto in questa sessione il procedimento per il tracciamento dei diagrammi delle sollecitazioni. Esempio 18.2

Si traccino i diagrammi delle sollecitazioni della struttura di figura 18.11.

Figura 18.11.

Per la valutazione delle caratteristiche di sollecitazione è necessario determinare preliminarmente le reazioni dei vincoli esterni. Siccome la struttura è isostatica queste reazioni possono essere determinate con le Equazioni Cardinali della Statica o con il Principio dei Lavori Virtuali. La struttura è la stessa dell’esempio 11.1; sfruttando i risultati già trovati, si fa riferimento alle reazioni di figura 11.6, qui riproposta per comodità (figura 18.12). Si sceglie come lembo inferiore quello indicato dalla linea tratteggiata di figura 18.12.

Figura 18.12.


Scelta una qualunque sezione della struttura, la risultante delle forze che la precedono ha componente nulla nella direzione dell’asse della trave e cioè nella direzione dello sforzo normale. Si conclude che lo sforzo normale è nullo in ogni sezione della trave. Diagramma del taglio

Si consideri una qualunque sezione del tratto AB e si immagini di percorrere l’asse della struttura da A verso E (figura 18.13). L’unica forza che precede la sezione considerata è la reazione F/2 applicata nella sezione A. La componente di questa forza nella direzione del taglio è F/2 ed ha verso concorde con il verso assunto come positivo

L L L/2 L

A C D F

F/2 F

3F/2

B

E

L L L/2 L

F A B C D

E



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per il taglio. Tra A e B non sono applicate altre forze, quindi il taglio nel tratto AB è costante e pari a F/2 (figura 18.13b).

Nella sezione B è applicata una forza concentrata che è la reazione vincolare, pertanto il diagramma del taglio deve avere una discontinuità di entità pari a F. Le forze che precedono ogni sezione del tratto BD sono le reazioni di modulo F/2 applicata ad A ed F applicata a B. La loro risultante è una forza di modulo F/2 diretta verso il basso e cioè con verso opposto a quello assunto come positivo per il taglio. Tra B e D non sono applicate altre forze, quindi il taglio nel tratto BD è costante e pari a -F/2 (figura 18.13c). Si osserva che la differenza tra il taglio in una sezione immediatamente precedente B ed il taglio in una sezione immediatamente seguente B è pari a

F2F

2F

=

−− (e.2.1)

e quindi che in effetti il taglio ha in B una discontinuità pari ad F.

Figura 18.13.

Nella sezione D è applicata una forza concentrata che è la

reazione vincolare 3F/2, pertanto il diagramma del taglio deve avere una discontinuità di entità pari a 3F/2. Considerata una sezione del

N

T M

N M

T L L L/2 L

F A B C D

E (a)

(b) C D

F

F 3F/2

B N

T M

F/2 E

F/2 F

C D F

3F/2

N

T M

(c) E

A C D

F/2 F 3F/2

B

F

N

T M

(e)

+

T

L L L/2 L

F A

B C D E

F/2

F/2

F

-

+

F

Scala per il taglio

(f)



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tratto DE, il taglio può determinarsi immaginando di percorrere l’asse della struttura da E verso D. In questo caso l’unica forza che precede la sezione considerata è la forza F applicata nella sezione D. La componente di questa forza nella direzione del taglio è F ed ha verso concorde con il verso assunto come positivo per il taglio. Tra D ed E non sono applicate altre forze, quindi il taglio nel tratto DE è costante e pari a F (figura 18.13e).

Risulta quindi il diagramma del taglio di figura 18.13f. Si osserva che in corrispondenza della cerniera C il taglio non subisce discontinuità, né si annulla, in quanto la cerniera esercita alle due parti da essa vincolate una forza passante per la cerniera ed avente direzione qualunque e quindi, in generale, esercita alle due parti collegate una componente di reazione nella direzione del taglio. Diagramma del momento

Il momento flettente è lineare nel tratto AB, non essendo applicate forze in questo tratto (figura 18.14).

Figura 18.14.

N

T M

N M

T

L L L/2 L

F A B C D

E (a)

(b)

C D F

F 3F/2 B

N

T M

F/2 E

F

A

B C D

E

M = FL/2

M = 0

F

A

B C D

E

M = FL/2

M = 0 (c)

M = 0

F

A

B C D

E

M = FL/2

M = 0 (d)

M = 0

M = -FL/2

M

L L L/2 L FL/2

FL

Scala per il momento

F

A

B C

D E

(e)

FL/2

+ +

- -

α

tan α = dM/ds = T = F/2

tan β = -dM/ds = -T = F/2

β



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Per tracciarne il diagramma è quindi sufficiente determinare il momento flettente in due punti, ad esempio A e B. Il momento flettente nella sezione A è nullo. Il momento flettente nella sezione B si valuta calcolando il momento rispetto al baricentro della sezione stessa delle forze la precedono. Siccome l’unica forza che precede la sezione B è la reazione F/2 applicata al punto A, il momento flettente nella sezione B ha modulo FL/2 ed è positivo, avendo verso concorde con quello assunto per il momento flettente positivo (figura 18.14b); tra A e B il momento flettente è dunque positivo ed il suo diagramma si traccia dalla parte della linea tratteggiata. In alternativa, ricordando che la funzione taglio è la derivata della funzione momento flettente il diagramma del momento tra A e B può costruirsi tracciando a partire da A (momento nullo) una retta con pendenza pari al taglio nel tratto AB.

Il momento flettente è lineare anche nel tratto BD, non essendo applicate forze in questo tratto. Per tracciarne il diagramma è quindi sufficiente determinare il momento flettente in due punti. Il momento flettente nella sezione B già stato determinato (si ricordi che la funzione momento flettente è continua tranne nelle sezioni in cui sono applicate coppie concentrate). Il momento flettente nella cerniera C è nullo, in quanto una cerniera non esercita momento agli elementi collegati, ma solo una forza avente retta di azione passante per la cerniera stessa. Il diagramma del momento tra B e C può quindi costruirsi unendo con un segmento l’ordinata che rappresenta il momento nella sezione B ed il punto C, in corrispondenza del quale si deve avere ordinata nulla. Non essendo poi applicate forze nel tratto BD, la pendenza del diagramma del momento tra C e D è la stessa che si ha tra B e C. Il corrispondente diagramma può quindi ottenersi semplicemente prolungando il segmento appena tracciato fino ad intersecare la perpendicolare alla trave in D (figura 18.13c). Essendo poi BC = CD può stabilirsi che il momento nella sezione D ha modulo FL/2 ed è negativo, essendo in tale punto il diagramma dalla parte del lembo superiore. Questo risultato può facilmente essere controllato calcolando il momento rispetto al baricentro della sezione D delle forze che la precedono:

2

FLL2FL32FMD −=⋅−⋅= (e.2.2)

o equivalentemente calcolando il momento rispetto al baricentro della sezione D delle forze che la seguono:

2

FL2LFMD −=⋅−= (e.2.3)

Infine, il momento flettente è lineare anche nel tratto DE; il momento flettente in D è stato già determinato, mentre il momento in



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E è evidentemente nullo. Il diagramma si ottiene quindi semplicemente unendo con un segmento l’ordinata che rappresenta il momento flettente del punto D ed il punto E (figura 18.13d).

La figura 18.15 riassume i diagrammi delle sollecitazioni appena determinati. Come si verifica facilmente questi diagrammi corrispondono alle espressioni N(s), T(s) ed M(s) determinate nella lezione 16 (esempio 16.2).

Figura 18.15.

Esempio 18.3

Si traccino i diagrammi delle sollecitazioni della struttura di figura 18.16.

Figura 18.16.

Per la valutazione delle caratteristiche di sollecitazione è

necessario determinare preliminarmente le reazioni dei vincoli esterni. Siccome la struttura è isostatica queste reazioni possono essere determinate con le Equazioni Cardinali della Statica o con il Principio dei Lavori Virtuali. La struttura è la stessa dell’esempio 11.2; sfruttando i risultati già trovati, si fa riferimento alle reazioni di figura

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D

qL q

E

G

M

FL/2

FL


F

A

B C

D E

(e)

FL/2

+ +

- -

L L L/2 L

F A B C D

E

+

T

F A

B C D E

F/2

F/2

F

-

+

F

Scala per il taglio



Pagina 17/31



11.13, qui riproposta per comodità (figura 18.17). Si sceglie come lembo inferiore quello indicato dalla linea tratteggiata di figura 18.17.

Figura 18.17.


Scelta una qualunque sezione della struttura, la risultante delle forze che la precedono ha componente nulla nella direzione dell’asse della trave e cioè nella direzione dello sforzo normale. Si conclude che lo sforzo normale è nullo in ogni sezione della trave. Diagramma del taglio

Il taglio è costante nel tratto GA. L’unica forza che precede una qualunque sezione del tratto GA è forza qL applicata all’estremo G (figura 18.18). La componente di questa forza nella direzione del taglio è qL ed ha verso opposto a quello assunto come positivo per il taglio. Il taglio nel tratto GA è dunque costante e pari a -qL (figura 18.18b).

Nella sezione A è applicata una forza concentrata che è la reazione vincolare 5qL/2, pertanto il diagramma del taglio deve avere una discontinuità di entità pari a 5qL/2. Le forze che precedono ogni sezione del tratto AC sono la forza qL e la reazione 5qL/2. La loro risultante è una forza di modulo 3qL/2 diretta verso l’alto e cioè con verso concorde a quello assunto come positivo per il taglio. Tra A e C non sono applicate altre forze, quindi il taglio nel tratto AC è costante e pari a 3qL/2 (figura 18.18c).

Nella sezione C è applicata una forza concentrata che è la reazione vincolare 8qL/3; il diagramma del taglio deve avere una discontinuità di entità pari a 8qL/3. Nel tratto CE è applicato un carico uniformemente distribuito, pertanto il taglio deve avere andamento lineare tra C ed E. Per determinarne il diagramma è quindi sufficiente valutare il taglio in corrispondenza di due sezioni. Il taglio nella sezione subito a destra di C può determinarsi immaginando di percorrere l’asse della struttura da E verso C. Considerando una sezione a destra della sezione C e vicinissima a questa (figura 18.18d), le forze che precedono la sezione considerata sono la reazione 13qL/6 e la risultante del carico che vale qL. La loro

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D E

qL 2qL/3 qL/3

5qL/2 8qL/3 13qL/6

2qL2/3 G



Pagina 18/31



risultante è una forza di modulo 7qL/6 diretta verso l’alto e cioè con verso discorde da quello assunto come positivo per il taglio.

Figura 18.18.

Il taglio immediatamente a destra della sezione C è quindi -7qL/6 (figura 18.18d). Si osserva che il taglio immediatamente a sinistra della sezione C è già stato determinato e vale 3qL/2; attraversando C si ha quindi la discontinuità

qL38qL

67qL

23

=

−− (e.3.1)

che è pari al modulo della reazione del vincolo C. Il taglio immediatamente a sinistra della sezione E è evidentemente pari alla reazione del vincolo E, e cioè -13qL/6. Congiungendo con un

N

T M

N M

T

(a)

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D

qL q

E

G

A B C D E qL

5qL/2 8qL/3 13qL/6

2qL2/3

q

N

T M

(b)

C D E qL

5qL/2 8qL/3 13qL/6

2qL2/3

q

N

T M

(c)

A B C qL

5qL/2 8qL/3 13qL/6

2qL2/3

q

(d) G

N

T M

+ T

Scala per il taglio

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A

B

C D

qL

q

E G

-

qL

3qL/2

- 7qL/6 13qL/6

qL

(e)



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segmento i punti rappresentativi del taglio immediatamente a destra di C ed immediatamente a sinistra di E si ottiene il diagramma relativo al tratto CE. Risulta quindi il diagramma del taglio di figura 18.18e. Diagramma del momento

Il momento flettente è lineare nel tratto GA, non essendo applicate forze in questo tratto (figura 18.19).

Figura 18.19.

N

T M

N M

T

(a)

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D qL q

E

G

A

B C D E qL

5qL/2 8qL/3 13qL/6

2qL2/3

q

N

T M

(b)

A

B C D

qL q

E G

M=-qL2/2

M=0

A

B C D

qL q

E G

M = -qL2/2

M = 0

M = qL2

A

B C D

qL q

E G

M = -qL2/2

M = 0

M = qL2

M = -2qL2/3

M = 0

D E qL

5qL/2 8qL/3 13qL/6

2qL2/3

q

N

T M

z1 z1 = 0

qL2


(c)

(d)

M

A

B C D

qL q

E G

qL2/2

qL2

2qL2/3

(d)



Pagina 20/31



Il momento flettente nella sezione G è nullo. Il momento flettente nella sezione A si valuta calcolando il momento rispetto al baricentro della sezione stessa delle forze la precedono. Siccome l’unica forza che precede la sezione A è la forza qL applicata al punto G, il momento flettente nella sezione A ha modulo qL2/2 ed è negativo, avendo verso opposto a quello assunto per il momento flettente positivo (figura 18.19b); tra G e A il momento flettente è dunque negativo ed il suo diagramma è un segmento tracciato dalla parte opposta a quella della linea tratteggiata.

Tra A e C il diagramma del momento è lineare; il momento nella sezione A è già stato determinato, il momento nella sezione B è nullo, quindi il diagramma tra B e C si ottiene tracciando un segmento che passa per l’ordinata del diagramma in A e per la cerniera B e prolungandolo fino ad incontrare la perpendicolare all’asse della trave in C. Questo punto intersezione rappresenta il momento nel punto C che si ottiene con considerazioni geometriche sul diagramma e vale qL2 (figura 18.19c).

Tra C ed E il diagramma del momento flettente è rappresentato da una parabola. Assunta un’ascissa z1 come in figura 18.19d i coefficienti dell’equazione della parabola

( ) czbzazM 1211 +⋅+⋅= (e.3.2)

che descrive l’andamento del momento flettente possono determinarsi con le condizioni

( ) 2qL0M = 0L32M =

( ) 2qL

32LM −= (e.3.3)

che impongono rispettivamente che il momento in B sia pari al valore precedentemente calcolato, che il momento nella cerniera D sia nullo e che il momento all’incastro E sia pari al valore determinato come reazione vincolare. In alternativa, il momento flettente nella generica sezione z1 (figura 18.19d) si ottiene calcolando il momento delle forze che precedono la sezione rispetto al baricentro della stessa

( ) ( )2zqzzqL

38zLqL

25zL

23qLzM 1

11111 ⋅−⋅−+⋅+

+⋅−= (e.3.4)

essendo l’ultimo addendo il momento rispetto al baricentro della sezione z1 della risultante qz1 del carico distribuito precedente la sezione z1 stessa. Si ha quindi

( )2

qzzqL67qLzM

21

12

1 −⋅−= (e.3.5)



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ed è immediato verificare che la parabola (e.3.5) soddisfa le condizioni (e.3.3). L’equazione della parabola M(z1) che descrive il diagramma del momento nel tratto CE avrebbe potuto semplicemente determinarsi anche sfruttando la (17.36) che fornisce il momento flettente nella generica sezione z in funzione delle caratteristiche di sollecitazione in una sezione z0 e dei carichi applicati tra z0 e z; nel presente caso la (17.36) può applicarsi sostituendo l’ascissa z1 a z e ponendo la sezione z0 in C, cioè assumendo z1 = 0 nella sezione C. Si ha così:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ζζ−⋅ζ−⋅+=1z

0111 dzqz0T0MzM (e.3.6)

e quindi, essendo noti M(0) e T(0) ed essendo q costante:

( ) ( )∫ ζζ−⋅−⋅−=1z

011

2

1 dzqzqL67

2qLzM (e.3.7)

Infine:

( )2zqzqL

67

2qLzM

21

1

2

1 ⋅−⋅−= (e.3.8)

La figura 18.20 riassume i diagrammi delle sollecitazioni appena determinati.

Figura 18.20.

(a)

L/2 L/3 2L/3 2L/3 L/3

A B C D

qL q

E

G

qL2


M

A

B C D

qL q

E G

qL2/2

qL2

2qL2/3

(d)

+ T

Scala per il taglio

A

B

C D

qL

q

E G

-

qL

3qL/2

- 7qL/6 13qL/6

qL



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LEZIONE 18 – Sessione di studio 2 Diagrammi delle sollecitazioni. Con riferimento ad una struttura delle quali le reazioni vincolari sono state determinate nella lezione 11 è descritto in questa sessione il procedimento per il tracciamento dei diagrammi delle sollecitazioni. Esempio 18.4

Si traccino i diagrammi delle sollecitazioni della struttura di figura 18.21a.

Figura 18.21.

Per la valutazione delle caratteristiche di sollecitazione è necessario determinare preliminarmente le reazioni dei vincoli esterni. Siccome la struttura è isostatica queste reazioni possono essere determinate con le Equazioni Cardinali della Statica o con il Principio dei Lavori Virtuali. La struttura è la stessa dell’esempio 11.3; sfruttando i risultati già trovati, si fa riferimento alle reazioni di figura 11.18, qui riproposta per comodità (figura 18.21b). Si sceglie come lembo inferiore quello indicato dalla linea tratteggiata di figura 18.21b. Diagrammi dello sforzo normale e del taglio

Immaginando di percorrere l’asse della struttura da A verso C, l’unica forza che precede una qualunque sezione del tratto AC è la reazione di modulo 3F/2 applicata alla sezione A (figura 18.22). Relativamente ad una qualunque sezione del tratto AC questa forza ha componente di modulo 3F/2 nella direzione dello sforzo normale e componente di modulo nullo nella direzione del taglio. La componente nella direzione dello sforzo normale ha verso concorde con quello assunto come positivo. Tra A e C non sono applicate altre forze,

L/2 L/2 L

L

L

L

F

L/2 L/2 L

L

L

L

A B

(a) (b)

C

D

E

G H

M

A B

F

F

3F/2 3F/2

C

D

E

G H

M



Pagina 23/31



quindi lo sforzo normale nel tratto AC è costante e pari a 3F/2 ed il taglio è costante e pari a 0 (figura 18.22b).

Figura 18.22.

B

F

F

3F/2

C D

E

G H

M

N

M N

M T

T

N

T M

(b)

3F/2

B

F

F

3F/2

D

E

G H

M (c)

N

T M

N M

T

N

T M

3F/2

L/2 L/2 L

L

L

L

A B

(a)

F

C

D

E

G H

M

F

B F

3F/2

D

E

G H

(d)

N

T M

N M

T

N

T M

3F/2

A

F

F

3F/2 3F/2

C

D

M

N

T

M

N

T M

N M

T

(e)

A

(f)

F

C

D

E

M

3F/2 3F/2

F

N

T M

N

M N

M T

T



Pagina 24/31



L’unica forza che precede qualunque sezione del tratto CD è la reazione di modulo 3F/2 applicata in A. Relativamente ad una qualunque sezione del tratto CD questa reazione ha componente di modulo nullo nella direzione dello sforzo normale e componente di modulo 3F/2 nella direzione del taglio. La componente nella direzione del taglio ha verso opposto a quello assunto come positivo. Tra C e D non sono applicate altre forze, quindi lo sforzo normale nel tratto CD è costante e pari a 0 ed il taglio è costante e pari a -3F/2 (figura 18.22c).

Le forze che precedono qualunque sezione del tratto DE sono la reazione di modulo 3F/2 applicata in A e la forza F applicata in M. Relativamente ad una qualunque sezione del tratto DE la risultante di queste forze ha componente di modulo F nella direzione dello sforzo normale e componente di modulo 3F/2 nella direzione del taglio. Entrambe queste componenti hanno verso opposto a quello considerato positivo per le caratteristiche di sollecitazione. Tra D ed E non sono applicate altre forze, quindi nel tratto DE lo sforzo normale è costante e pari a -F ed il taglio è costante e pari a -3F/2 (figura 18.22d). Si osserva che lo stesso risultato si sarebbe ottenuto immaginando di percorrere l’asse della struttura da B verso A; in questo caso l’unica forza precedente ogni sezione del tratto ED è la reazione del vincolo B le cui componenti nelle direzioni dello sforzo normale e del taglio nella sezione considerata sono rispettivamente F ed 3F/2 (figura 18.22e) ed hanno entrambe verso opposto a quello considerato come positivo.

Immaginando di percorrere l’asse della struttura da B verso A, l’unica forze che precede qualunque sezione del tratto GE è la reazione del vincolo B. Relativamente ad una sezione del tratto GE questa ha componente di modulo 3F/2 nella direzione dello sforzo normale e componente di modulo F nella direzione del taglio. Lo sforzo normale ha verso opposto a quello assunto come positivo, mentre taglio ha verso concorde a quello assunto come positivo. Tra G ed E non sono applicate altre forze, quindi lo sforzo normale nel tratto GE è costante e pari a -3F/2 ed il taglio è costante e pari a F (figura 18.22f).

Immaginando ancora di percorrere l’asse della struttura da B verso A, l’unica forza che precede qualunque sezione del tratto HG è la reazione del vincolo B. Considerando una sezione del tratto HG questa forza ha componente di modulo F nella direzione dello sforzo normale e componente di modulo 3F/2 nella direzione del taglio. Entrambe queste componenti hanno verso opposto a quello assunto come positivo. Tra H ed G non sono applicate altre forze, quindi lo sforzo normale nel tratto HG è costante e pari a -F ed il taglio è costante e pari a -3F/2 (figura 18.23b).



Pagina 25/31



Figura 18.23.

Relativamente alle sezioni del tratto BH possono ripetersi le stesse considerazioni viste per il tratto GE (figura 18.23c).

Immaginando infine di percorrere l’asse della struttura da M verso D, l’unica forze che precede qualunque sezione del tratto MD è forza F applicata in M. Relativamente ad una qualunque sezione del tratto MD questa ha componente nulla nella direzione dello sforzo normale e componente di modulo F nella direzione del taglio. Il taglio ha verso concorde a quello assunto come positivo. Tra M ed D non sono applicate altre forze, quindi lo sforzo normale nel tratto MD è nullo ed il taglio è costante e pari a F (figura 18.23d).

Si hanno infine i diagrammi del taglio e dello sforzo normale tracciati in figura 18.24b e c.

N

M N

M T

T

A

(c)

F

C

D

E

G H

M

3F/2 3F/2

F N

T M

A

(b)

F

C

D

E

G

M

3F/2 3F/2

F

N

T

M

N

T M

N M

T

L/2 L/2 L

L

L

L

A B

(a)

F

C

D

E

G H

M

N

M N

M T

T

A

(d)

F

C

D E

G H

M

3F/2 3F/2

F B

M N

T



Pagina 26/31



Figura 18.24.

Diagramma del momento

Il momento flettente è lineare in ognuno dei tratti rettilinei della struttura, pertanto per tracciarne il diagramma è sufficiente determinare il valore del momento flettente in corrispondenza degli estremi delle aste ed unire con segmenti le corrispondenti ordinate.

- Sezione A: il momento è nullo in quanto la reazione del vincolo A passa per il baricentro della sezione (figura 18.25).

- Sezione C: immaginando di percorrere l’asse della struttura da A verso B, l’unica forza che precede la sezione C è la reazione del vincolo A; si calcola quindi il momento della reazione del vincolo A rispetto al baricentro della sezione C; questo momento è nullo in quanto la retta di azione di detta reazione passa per il baricentro della sezione C (figura 18.25b).

L/2 L/2 L

L

L

L

A B

F

F

3F/2 3F/2

C

D

E

G H

M

A B

F

C D E

G H

M

N

+ 3F/2

-

F -

3F/2

-

-

3F/2

F

A B

F

C D E

G H

M

T

-

-

3F/2 F

F

+

+ 3F/2

F -

Scala per il taglio e lo sforzo normale

F

A B

F

C D

G H

M

M -

3FL/4

FL

+

FL

FL/2

-

+

-

FL/2 FL/4 FL

- -

Scala per il momento flettente

FL

(c) (d)



Pagina 27/31



Figura 18.25.

- Sezione D dell’asta CD: considerando una sezione dell’asta CD vicinissima al nodo D ed immaginando di percorrere l’asse della struttura da A verso B, l’unica forza che precede la sezione

L/2 L/2 L

L

L

L

A B

(a)

F

B

F

F

3F/2

C D

E

G H

M

N

T M

(b)

3F/2

B

F

F

3F/2

D

E

G H

M (c)

N

T M

N M

T

N

T M

3F/2

C

D

E

G H

M

F

B F

3F/2

D

E

G H

(d)

N

T M

N M

T

N

T M

3F/2

N

T M

N M

T

A

F

F

3F/2 3F/2

C

D

M

N

T

M

N

T M

N M

T

(e)

E

A

(f)

F

C

D

E

M

3F/2 3F/2

F

N

T M N

M N

M T

T

G



Pagina 28/31



considerata è la reazione del vincolo A; si calcola quindi il momento della reazione del vincolo A rispetto al baricentro della sezione considerata; tenendo conto della convenzione sul segno, il momento flettente nella sezione considerata è (figura 18.25c)

FL43

2LF

23M C,D ⋅−=⋅−= (e.4.1)

- Sezione D dell’asta DE: considerando una sezione dell’asta DE vicinissima al nodo D ed immaginando di percorrere l’asse della struttura da A verso B, le forze che precedono la sezione considerata sono la reazione 3F/2 del vincolo A e la forza F applicata nel punto M; si calcola quindi la somma dei momenti delle due forze che precedono la sezione considerata rispetto al suo baricentro; tenendo conto della convenzione sul segno, il momento flettente nella sezione considerata è (figura 18.25d)

4

FLLF2LF

23M E,D =⋅+⋅−= (e.4.2)

- Sezione E: immaginando di percorrere l’asse della struttura da B verso A, l’unica forza che precede la sezione E è la reazione del vincolo B; si calcola quindi il momento della reazione del vincolo B rispetto al baricentro della sezione E; tenendo conto della convenzione sul segno e considerando le componenti orizzontale e verticale di detta reazione, il momento flettente nella sezione considerata è (figura 18.25e)

2

FLL2FLF23ME −=⋅−⋅= (e.4.3)

- Sezione G: immaginando di percorrere l’asse della struttura da B verso A, l’unica forza che precede la sezione G è la reazione del vincolo B; si calcola quindi il momento della reazione del vincolo B rispetto al baricentro della sezione G; tenendo conto della convenzione sul segno e considerando le componenti orizzontale e verticale di detta reazione, il momento flettente nella sezione considerata è (figura 18.25f)

2

FLLFLF23MG =⋅−⋅= (e.4.4)

- Sezione H: immaginando di percorrere l’asse della struttura da B verso A, l’unica forza che precede la sezione H è la reazione del vincolo B; si calcola quindi il momento della reazione del vincolo B rispetto al baricentro della sezione H; tenendo conto della convenzione sul segno e considerando le componenti orizzontale e verticale di detta reazione, il momento flettente nella sezione considerata è (figura 18.26b)

LFMH ⋅−= (e.4.5)



Pagina 29/31



- Sezione B: il momento è nullo in quanto la reazione del vincolo B passa per il baricentro della sezione.

- Sezione D dell’asta MD: considerando una sezione dell’asta MD vicinissima al nodo D ed immaginando di percorrere l’asse della struttura da M verso D si calcola il momento della forza F applicata in M rispetto al baricentro della sezione D, essendo questa l’unica forza che precede la sezione considerata; tenendo conto della convenzione sul segno, il momento flettente nella sezione considerata è (figura 18.26c)

FLM M,D −= (e.4.6)

Figura 18.26.

Si ha infine il diagramma del momento flettente tracciato in figura 17.24. Si osserva che i momenti flettenti determinati agli estremi delle aste concorrenti nel nodo D soddisfano l’equilibrio alla rotazione del nodo, come mostrato in figura 18.26e.

A

(b)

F

C

D

E

G

M

3F/2 3F/2

F

T

N M

N

T M

N M

T

L/2 L/2 L

L

L

L

A B

(a)

F

C

D

E

G H

M

N

M N

M T

T

A

(d)

F

C

D E

G H

3F/2 3F/2

F B

M N

T

H

FL

3FL/4 FL/4

(e)

D



Pagina 30/31



LEZIONE 18 – Sessione di studio 3 Diagrammi delle sollecitazioni. Si propongono alcuni esercizi la cui soluzione è lasciata al lettore. Gli schemi sono gi stessi proposti nelle lezioni 11 e 12, sicché si suggerisce di sfruttare le reazioni vincolari già trovate. Esercizio 18.1

Si traccino i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione della struttura di figura 18.27.

Figura 18.27.

Esercizio 18.2


Figura 18.28.

Esercizio 18.3


Figura 18.29.

L

L/2

L L

L/2 F

L/2

L L L

q

L/2

L/2 L L/2 L

q



Pagina 31/31



Esercizio 18.4


Figura 18.30.

Esercizio 18.5


Figura 18.31.

L

L L

q

L

L

L

L

F


18_Diagrammi Delle Sollecitazioni

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