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ORDINE DEGLI INGEGNERIDELLA PROVINCIA DI CATANIA

Corso di aggiornamento:PROGETTO E VERIFICA AGLI STATI LIMITE

SECONDO L’EUROCODICE 2

Applicazioni su flessione e pressoflessione

Ing. Edoardo Marinoe-mail: [email protected]

Dimensionamento delle traviUna buona stima delle massime sollecitazioni causate dai carichi verticali si ottiene assimilando la generica travata ad una trave continua:

Campate emergentiIl massimo momento nelle campate emergenti si registrerà nell’appoggio 11. Il suo valore può essere stimato come:

Campata a spessoreAssimilando la campata 3-7 ad una trave appoggiata ed incastrata il massimo momento positivo vale:

2

q7-11 = 68.2 kN/mq3-7 = 66.4 kN/m q11-15 = 58.4 kN/m

4.6 m 5.2 m 5.4 m

3 7 11 15

Campata a spessore Campate emergenti

Progetto della sezione a semplice armaturaStato limite ultimo

Equazione di equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura tesa:

si ricava

con

I valori di , e k dipendono dalla deformata limite scelta per il progetto, in questo caso valgono:

3

Progetto della sezione a semplice armaturaTensioni ammissibili

Equazione di equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura tesa:

si ricava

con

4

Scelta della sezione della campata emergente

Calcestruzzo Rck 25Acciaio FeB 44 k

Stato limite ultimo

MSd = Mslu = 183.3 kNm

fcd = 11.0 N/mm2

fyd = 373.9 N/mm2

Tensioni ammissibili

MTA Mslu/1.5 = 122.2 kNm

960510282002200 ....

Mb

bM

rr

dd

TA

slu

TA

slu

TA

slu

5

Scelta della sezione della campata a spessore


Stato limite ultimo


fcd = 11.0 N/mm2

fyd = 373.9 N/mm2



6

Dimensionamento dei pilastriEurocodice 2 (stato limite ultimo)L’Eurocodice 2 stabilisce che l’area di acciaio da disporre in un pilastro in cemento armato deve essere in grado di assorbire almeno il 15 % dello sforzo normale di progetto NSd (punto 5.4.1.2.1).Dunque l’area di calcestruzzo dovrà essere in grado di assorbire almeno l’85 % di NSd:

D.M. 9 / 1 / 1996 (stato limite ultimo)Secondo la normativa italiana agli stati limite bisogna ridurre la resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo del 25% in presenza di sforzo normale centrato (punto 4.2.1.1):

D.M. 14 / 2 / 1992 (tensioni ammissibili)Secondo la normativa italiana alle tensioni ammissibili la tensione nel calcestruzzo di un pilastro sottoposto a sforzo normale centrato deve essere non superiore al 70% della tensione ammissibile; inoltre l’armatura longitudinale deve essere no inferiore allo 0.8% dell’area di calcestruzzo strettamente necessaria (punto 5.3.4):

7

Valutazione dello sforzo normaleLo sforzo normale dei pilastri può essere individuato in maniera approssimata individuando l’area d’influenza che compete a ciascuno di essi.

Area d’influenza del pilastro 3

Carichi unitari:solaio gd + 0.9 qd = 10.2 kN/m2

sbalzo gd + 0.9 qd = 10.9 kN/m2

trave emergente 5.2 kN/mtrave a spessore 3.4 kN/mtompagno 10.1 kN/mPilastro 3

Area o lunghezza CaricoSolaio = 13.78 m2 140.6 kN

Trave em. = 6.00 m 31.2 kN

Trave a sp. =2.30 m 7.8 kN

Tompagno = 6.00 m 60 .6 kN Totale 240.2 kN

Peso proprio 0.06240.2 14 .4 kN Totale, incluso peso proprio pilastro 254.6 kN

Pilastro 7Area o lunghezza Carico

Solaio 32.11 m2 327.5 kN

8

Trave em. = 2.60 m 13.5 kN

Trave a sp. =2.76 m 9 .4 kN Totale 350.4 kN



Solaio 23.51 m2 239.8 kNSbalzo = 4.86 m2 53.0 kN

Trave em. = 8.79 m 45.7 kN




Solaio = 6.62 m2 67.5 kN

Sbalzo = 4.05 m2 44.1 kN

Trave em. = 5.15 m 26.8 kN



9

Proporzionamento del pilastro 11Il massimo sforzo normale si registra nel pilastro 11 al primo piano.

Stato limite ultimo

Nslu= 6 x 425.1 = 2550.6 kN

fcd = 11.0 N/mm2

tensioni ammissibili

NTA =Nslu / 1.5 = 1700.4 kN

Eurocodice 2 (stato limite ultimo)

D.M. 9 / 1 / 1996 (stato limite ultimo)

D.M. 14 / 2 / 1992 (tensioni ammissibili)

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Sezioni dei pilastri

Sforzo normale di calcolo NSd per ogni pilastro (kN)Pilastro 3 Pilastro 7 Pilastro 11 Pilastro 15

Piano 6 254.6 371.4 425.1 201.8Piano 5 509.2 742.8 850.2 403.6Piano 4 763.8 1114.2 1275.3 605.4Piano 3 1018.4 1485.6 1700.4 807.2Piano 2 1273.0 1857.0 2125.2 1009.0Piano 1 1527.6 2228.4 2550.6 1210.8

Dimensioni minime dei pilastri (punto 5.4.1.1)(1) La minima dimensione trasversale ammissibile per un pilastro

è:| 200 mm | per pilastri a sezione piena gettati in opera (verticalmente); | 140 mm | per pilastri prefabbricati gettati in orizzontale.

Area di calcestruzzo necessaria e sezione effettivamente adottataPilastro 3 Pilastro 7 Pilastro 11 Pilastro 15

Piano Ac,nec Sez. Ac,nec Sez. Ac,nec Sez. Ac,nec Sez.6 245 303

0358 303

0410 303

0195 303

05 491 303

0716 303

0820 303

0389 303

04 736 303

01074 403

01230 305

0584 303

03 982 403 1432 503 1639 306 778 303

11

0 0 0 02 1227 503

01790 603

02049 307

0973 304

01 1473 503

02149 604

02459 407

01167 304

0

12

Sollecitazioni nelle travi del primo impalcato

Sezione Cond. n .1 Cond. n .2 Cond. n .3 Cond. n .4 Inviluppo

3 -52.4 -103.8 -67.3 -103.3 -103.8

3 - 7 59.7 54.0 63.2 59.2 63.2

7sx -138.5 -92.5 -141.5 -109.4 -141.5

7dx -54.2 -197.2 -86.3 -186.4 -197.2

7-11 70.7 79.5 73.8 79.8 79.8

11sx -223.0 -57.0 -210.3 -94.2 -223.0

11dx -68.9 -227.5 -106.1 -217.1 -227.5

11-15 83.7 84.3 87.0 87.4 87.4

15 -158.9 -21.2 -146.7 -50.3 -158.9

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Progetto dell’armatura tesa

Acciaio FeB 44 k

Stato limite ultimo


fyd = 373.9 N/mm2



14

Progetto dell’armatura compressaStato limite ultimo

Acciaio FeB 44 k

fyd = 373.9 N/mm2

yd = 1.82 o/oo

b = 30 cm h = 50 cmd = 46 cm c = 4 cm

Dalla linearità del diagramma delle deformazioni:

15

Progetto dell’armatura compressaTensioni ammissibili


b = 30 cmh = 50 cmd = 46 cmc = 4 cm

Dalla linearità del diagramma delle tensioni:

16

Massima e minima percentuale di armatura(punto 5.4.2.1.1)

(1) L’area effettiva della sezione trasversale delle armature di trazione deve essere non minore di quella richiesta per il controllo della fessurazione (stato limite di fessurazione), ed inoltre:

fyk valore caratteristico della tensione di snervamento in N/mm2;bt larghezza media della zona tesa;d altezza utile della sezione.

Acciaio FeB 38 K:

Acciaio FeB 44 K:

(2) Le aree delle armature tese e delle armature compresse non devono essere singolarmente maggiori d 0.03 Ac con esclusione delle zone di sovrapposizione.

,

17

Armature longitudinali delle travi

Sezioni d’estremità delle travi

Sezione As,req (cm2) As,min (cm2) barre As (cm2) As, max (cm2)

3 16.2 2.8 214 +520 18.8 57.6

7sx 21.9 2.8 214 +720 25.0 57.6

7dx 12.8 2.1 114 +420 14.1 50.0

11sx 14.4 2.1 520 15.7 50.0

11dx 14.7 2.1 520 15.7 50.0

15 10.3 2.1 420 12.6 50.0

Sezioni in campata

Sezione As,req (cm2) As,min (cm2) barre As (cm2) As, max (cm2)

3 - 7 9.4 2.8 114 +320 10.9 57.6

7-11 5.0 2.1 214 +120 6.2 50.0

11-15 5.5 2.1 214 +120 6.2 50.0

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Verifica di una sezione inflessaBisogna valutare la posizione dell’asse neutro = x/d e quindi il momento ultimo Mu.

Noto si determina il diagramma delle deformazioni e quindi attraverso i legami costitutivi il diagramma delle tensioni.Quindi si calcolano le risultanti delle tensioni di compressione e di trazione NC, N’C ed NT:

è tabellato in funzione di

Imponendo l’equilibrio alla rotazione si determina Mu che può essere scritto:

La posizione dell’asse neutro si determina risolvendo per tentativi l’equazione di equilibrio alla traslazione:

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Verifica trave a spessore (1)Msd = 141.5 kNm

Calcestruzzo Rck 25fcd = 11.0 N/mm2

Acciaio FeB 44 k

fyd = 373.9 N/mm2

yd = 1.82 o/oo

b = 120 cmh = 24 cmd = 20 cmc = 4 cmAs = 21.9 cm2

A’s = 16.7 cm2

A’s + As = 38.6 cm2

c s ’s s’ ’ u1.000 -0.0035 0.0000 0.000 0.0 0.0000 -0.735600.500 -0.0035 0.0035 0.810 373.9 1.0000 -0.330600.250 -0.0033 0.0100 0.798 137.2 0.3700 0.020000.375 -0.0035 0.0058 0.810 336.5 0.8998 -0.20576……. ………. ……… ………. ……. ……… …………0.259 -0.0035 0.0100 0.810 164.2 0.4393 -0.00001

Mu = 141.6 kNm > MSd Ok!’s = 164.2 acciaio compresso in campo elasticoc = 3.5 o/oo

s = 10 o/oo siamo al limite del campo 2 (sezioni ad alta duttilità)

La richiesta di armatura compressa è notevole soprattutto perché l’acciaio compresso non è snervato.

20

Verifica trave a spessore (2)Msd = 141.5 kNm

Calcestruzzo Rck 25fcd = 11.0 N/mm2

Acciaio FeB 44 k

fyd = 373.9 N/mm2

yd = 1.82 o/oo

b = 120 cmh = 24 cmd = 20 cmc = 4 cmAs = 22.7 cm2

A’s = 0.0 cm2

A’s + As = 22.7 cm2

c s 1.000 -0.0035 0.0000 0.810 -0.490000.500 -0.0035 0.0035 0.810 -0.085000.250 -0.0033 0.0100 0.798 0.120500.375 -0.0035 0.0058 0.810 0.01625……. ………. ……… ………. …………0.395 -0.0035 0.0053 0.810 -0.00001

Mu = 141.7 kNm > MSd Ok!c = 3.5 o/oo

s = 5.3 o/oo siamo al limite del campo 3 (sezioni a media duttilità)

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Armature longitudinali dei pilastri (EC2 punto 5.4.1.2.1)

(1) Di regola le barre d’armatura devono avere diametro non minore di 12 mm.

(2) La quantità minima di armatura longitudinale totale As,min deve di regola essere determinata con la seguente equazione:

dove:fyd è la tensione di snervamento di calcolo dell’armatura;NSd è la forza di compressione assiale di calcolo;Ac è l’area della sezione trasversale del calcestruzzo.

(3) Di regola, anche nelle sovrapposizioni, l’area dell’armatura non deve essere maggiore di | 0,08 Ac |.

(4) Le barre longitudinali devono, di regola, essere distribuite lungo il perimetro della sezione. Per pilastri aventi sezione trasversale poligonale, almeno una barra sarà disposta in ogni spigolo. Per pilastri di sezione circolare, il numero minimo di barre è | 6 |.

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Armatura minima nei pilastri(Confronto tra EC2 e D.M. 14/2/92)

Eurocodice 2 punto 5.4.1.2.1

Acciaio FeB 44 K: fyd = 373.9 N/mm2

Calcestruzzo Rck 25: fcd = 11.0 N/mm2

D.M. 14 / 2 / 1992, punto 5.3.4

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Verifica dei pilastri mediante domini M-N

Il dominio di resistenza M-N consiste nel luogo dei punti del piano N-M corrispondenti alle coppie di coordinate M (momento flettente) ed N (sforzo normale) che determinano la crisi della sezione.

Noto il dominio di resistenza M-N della sezione;detti MSd ed NSd rispettivamente il momento flettente e lo sforzo normale che sollecitano la sezione;Riporto sul diagramma il punto di coordinate (NSd, MSd)Si presentano due possibilità:1) (NSd, MSd) punto interno al dominio sezione verificata2) (NSd, MSd) punto esterno al dominio sezione non verificata

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Sezioneverificata

Sezionenon verificata

Costruzione del dominio M-N

Assegnata una deformata di rottura, si determina il diagramma delle deformazioni e quindi attraverso i legami costitutivi il diagramma delle tensioni.Quindi si calcolano le risultanti delle tensioni di compressione e di trazione NC, N’C ed NT:

è tabellato in funzione di

Imponendo l’equilibrio alla traslazione si determina N:

Imponendo l’equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro geometrico della sezione si determina M:

“Le coordinate N ed M corrispondono ad una deformata di rottura ed individuano sul piano N-M un punto del dominio.”

25

Progetto dell’armatura dei pilastri mediante domini M-NLe dimensioni della sezione in genere sono note;Si stabilisce a priori il rapporto tra As ed A’s;Si determinano i domini M-N per diverse quantità di armatura;Detti MSd ed NSd rispettivamente il momento flettente e lo sforzo normale che sollecitano la sezione, si riporta sul diagramma il punto di coordinate (NSd, MSd)Si determina la quantità di armatura necessaria

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As=2.5 cm2

Solo Cls

As=5.0 cm2

As=7.5 cm2

30 X 60As = A’s

Armature del pilastro 11 al primo ordine

Comb. 1 Comb. 2 Comb. 3 Comb. 4

Pilastro NSd MSd NSd MSd NSd MSd NSd MSd

11 2310 -243.6 2298 232.9 2477 -172.6 2468 161.0

Armatura sui lati: As = A’s = 4.0 cm2 314 = 4.6 cm2

Armatura minima(su tutta la sezione): As,min = 0.5% Ac = 14.0 cm2 >As+A’s=9.2 cm2

27

As=2 cm2

Solo Cls

As=4 cm2

As=6 cm2

40 X 70As = A’s

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