Inflessione delle travi In precedenza si è esplicitato il legame sollecitazione-curvature-tensioni nelle travi, ma

non è ancora stato affrontato il problema del calcolo delle frecce di inflessione

Il calcolo delle frecce è importante per diverse ragioni;

Determinare rotazioni subite in corrispondenza degli appoggi (e.g. cuscinetti)

Verificare che gli spostamenti non siano tali da compromettere l’integrità di una

struttura (e.g. edifici) o addirittura l’aspetto

Calcolare lo stato di sollecitazione in strutture staticamente indeterminate

Verificare che l’ampiezza delle vibrazioni indotte sia compresa in limiti accettabili

Stimare le condizioni di carico di instabilità (o di punta) onde evitarne l’insorgere

Verificare il corretto accoppiamento tra organi in movimento (e.g. ingranaggi)

Associata ad una freccia

v(x) vi è anche una

rotazione ϑ(x)

Tra le due tangenti in m1

e m2 vi è un angolo di

rotazione aggiuntiva dϑ

Detto il raggio di

curvatura:

d ds e la curvatura: 1 d

ds

Notare che la curvatura è positiva se cresce l’angolo ϑ

Considerando una trave incastrata - libera,

l’applicazione di un carico P provoca una inflessione

v(x), nulla al vincolo e massima in corrispondenza di P

Si assume che xy sia piano di simmetria e che

tutti i carichi agiscano sul piano xy

Essendo ϑ definito come l’angolo che identifica la tangente tandv

dx

Assumendo che rotazioni e frecce siano piccole rispetto alle dimensioni geometriche

(teoria differenziale approssimata al I ordine)

ds dx1 d

dx

Confondendo anche la

tangente con l’angolo

2

2

1 d v

dx

Ricordando anche il legame già introdotto tra curvatura e momento, si

deduce l’equazione differenziale che governa la inflessione

1 M

EI

2

2

M xd v

dx EI

Adottando la convenzione dei segni riportata a lato,

e ricordando (dall’equilibrio del concio elementare) dV

q xdx

dM

V xdx

Si perviene ad altre 2 equazioni differenziali

2

2

d d v dMEI x V x

dx dx dx

2 2

2 2

d d v dVEI x q x

dx dx dx

Le equazioni si semplificano ulteriormente se I(x) risulta costante lungo x

2

2

d vEI M x

dx

3

3

d vEI V x

dx

4

4

d vEI q x

dx

1 2 3 4

0 0 0 0

x x x x q xv x dx C dx C dx C dx C

E I

3

13

0

xd v x q xdx C

dx E I

3

3

d v xV x E I

dx

2

1 22

0 0

x xd v x q xdx C dx C

dx E I

2

2

d v xM x E I

dx

1 2 3

0 0 0

x x xdv x q xdx C dx C dx C

dx E I

dv xx

dx

A seconda che si conosca: andamento del carico distribuito, taglio o momento applicati, il

problema si risolve integrando 2, 3 o 4 volte (con 2,3 o 4 condizioni al contorno)

4

4

d v x q x

dx E I

4

4

d v xq x E I

dx

libero

0 0V x M x

Le condizioni al contorno possono essere date su v , ϑ ma anche su taglio V e momento M

Incastro

0 0v x x

appoggio

0 0v x M x

Ogni elemento ha 4 costanti di integrazione. Nell’esempio sono 20

Tra un elemento e l’altro si

impone la congruenza (stessa

freccia e rotazione)

vincoli

carichi concentrati

x

y

A ogni connessione si hanno 2 eq. Congruenza e 2 eq. di equilibrio, totale 16

altre 2 eq. si hanno negli estremi liberi, totale 4

20 equazioni e 20 incognite

Nell’integrazione lungo x occorre integrare un elemento della trave alla volta, intendendo

per elemento un tratto ove non si abbiano all’interno variazioni vincolari, o applicazione dei

carichi concentrati

Il momento flettente in x è:

M x P x

2

2

d v x P x

dx E I

2 3

31 1 1

6 2 3

P P L P Lv x x x

E I E I E I

2

1

1

2

P LC

E I

3

2

1

3

P LC

E I

Le condizioni al contorno sono

2

1

1 0

2 x L

P Lx C

E I

3

1 2

1 0

6 x L

P Lv x C L C

E I

Nel punto di applicazione del carico (x=0) 3

03

P Lv

E I

2 0

2

P L

E I

2

1

2

dv x P xC

dx E I

3

1 2

6

P xv x C x C

E I

x

v

Esempio 1: Trave incastrata libera

Esempio 2: Carico distribuito v

4

4

d vE I w

dx

3

13

d vE I wx C

dx

2 2

1 22

2

d v xE I w C x C

dx

3 2

1 2 3 6 2

dv x xE I w C C x C

dx

4 3 2

1 2 3 4 24 6 2

x x xE I v w C C C x C

0 0v

2

2

0 0

d vE I

dx

Estremità sin Estremità dx

2

2 0

d v LE I

dx

0v L

4 0C

2 0C

3

3

1

24C wL

1

1

2C wL

4 3 312

24 v x x Lx L x

E I

Andamento della freccia

Valore massimo (al centro)

3

max

5

2 384

L w Lv

E I

Annullando la derivata prima

Esempio 3: Trave caricata oltre gli appoggi

La struttura in acciaio presenta un carico oltre

l’ultimo appoggio.

Calcolare l’equazione della freccia ed il valore

all’estremità caricata

Soluzione:

Data la presenza dell’appoggio in B, occorre risolvere

due elementi di trave separati

Non essendo presenti carichi distribuiti si può procedere a partire dal taglio, di conoscenza

immediata (dall’equilibrio dell’intera struttura)

02

PV x L

3

2V P L x L

2

12

2

d v PE I x C

dx

2

22

d vE I Px C

dx

Momento nullo in A e C 2

2

00

d v

dx

2

2

3 20

d v L

dx

1 0C 2

3

2C PL

Si deducono quindi le due equazioni che risolvono il momento flettente

02

PM x x L

3 2 3

2 2

P L xM L x L

La successiva integrazione fornisce l’andamento dell’angolo

2

3 4

dv PE I x C

dx

4

3

2

Px L xdvE I C

dx

La condizione di continuità dell’inclinazione ci dà una prima equazione

2 2

3 44

PL C PL C

L’ulteriore integrazione ci fornisce la freccia

3

3 5 12

PE I v x C x C

2

4 6

9 2

12

Px L xE I v C x C

2

4 3

3

4C C PL

Mentre per l’elemento BC si può applicare una sola c.c. 0v L

3

6

1

4C PL

Prendendo ora l’elemento AB abbiamo anche le c.c.

0 0 e 0v v L

5

2

3

0

12

C

PLC

2

4

5

6C PL

Ora che tutte le 6 costanti (siamo partiti da eq. diff. del III ordine) sono state determinate,

sostituendo si risolve il problema

2 2 012

Pxv x L x x L

EI

3 2 2 3 33 10 9 2

12 2

Pv x L L x Lx x L x L

EI

Infine, nel punto di applicazione del carico

33

2 8c

PLv L

EI

ESPRESSIONE ESATTA DELLA CURVATURA

Essa è da utilizzare quando la trave si infletta maggiormente e non potendo più confondere

ascissa curvilinea con quella cartesiana e angolo con la sua tangente,

arctan1 d dv dxd dx

ds dx ds

2 2ds dx dv Dal teorema di

Pitagora

12 2

1ds dv

dx dx

La derivata dell’arcotangente si risolve come derivata notevole

2 2

2

arctan

1

d dv dx d v dx

dx dv dx

Sostituendo nella prima le due equazioni trovate si ha

2 2

32 2

1

1

d d v dx

dsdv dx

Si vede che considerare la curvatura come legata solo alla derivata seconda equivale a

trascurare il quadrato della derivata prima rispetto all’unità

METODO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Le equazioni differenziali che sono state introdotte presentano tutte derivate elevate alla

potenza unitaria. Pertanto trattasi di equazioni differenziali lineari e gli effetti (deformazioni)

dipendono linearmente dalle cause (carichi)

Nell’esempio a fianco si può trovare la soluzione

sommando le deformate ottenute per effetto del carico

concentrato e di quello distribuito

3 45

48 384C C CP q

PL qL

EI EI

2 3

16 24A B A AP q

PL qL

EI EI

Nei manuali di meccanica strutturale si trovano le

soluzioni base di molte tipologie di travi che

consentono di ricavare soluzioni complesse

sovrapponendo gli effetti

Il principio di sovrapposizione degli effetti può essere applicato se:

il materiale è lineare elastico

spostamenti e deformazioni sono piccoli (lineari)

la deformata associata al carico non modifica le sollecitazioni presenti

… ESEMPIO:

In presenza di carichi distribuiti q(x) qualsivoglia, sfruttando la sovrapposizione è possibile

prima trovare la soluzione associata ad un elementino di carico e poi sommare (integrare)

tutti i contributi applicati a ciascun elementino caricato.

Introducendo l’equazione che fornisce

2

2 20 3 424qdx

q xv C L x dx

EIL

02x

q x qL

Che viene integrata secondo i carichi applicati

2 4

2 22 2 2 2 40 0 0

0 03 4 3 4

24 24 240

L Lq x q q Lv C L x dx L x x dx

EIL EIL EI

Si rimarca che l’integrale non rappresenta altro che la somma delle risposte ai carichi e

quindi va esteso solo alle zone effettivamente caricate

I carichi concentrati danno invece contributi unici, ossia non integrati sul dominio di estensione

Per un carico dP= qdx posto in

x lo spostamento al centro C:

2 23 448qdx

qdx xv C L x

EI 0 2x L

2 2 3 4

48qdx

dP xv C L x

EI

ENERGIA DI DEFORMAZIONE ASSOCIATA ALLA FLESSIONE

Il calcolo vale solo in piccoli spostamenti e per materiale lineare elastico

La relazione tra angolo e momento applicato vale

L ML

EI

Quindi tra momento applicato e

angolo di inflessione vi è una

relazione lineare del tipo:

Se il momento varia lungo l’asse, si può calcolare l’energia sommando i contributi

energetici di ciascun elementino dx e sommandoli (integrando)

2

2

d vd dx

dx

2

MddU

2

02 2

L M x dxMdU

EI

22

20 2

L EI d vU dx

dx

2 2

2 2 2

M M L EIU

EI L

L’energia esterna spesa quindi

è l’area sottesa, ossia

DEFORMATA DOVUTA AD UN SOLO CARICO

Se un solo carico agisce sulla struttura, la corrispondente

deformazione può essere correlata direttamente al carico

2U

P

2U

M

Se ad esempio sono presenti due carichi

generalizzati di estremità

0M x Px M

Dalla precedente definizione di energia immagazzinata

2 2 22 32 0 0

00 0

1

2 2 6 2 2

L LM x dx PM L M LP LU Px M dx

EI EI EI EI EI

Termine addizionale

Energia associata al

solo carico M0 Energia associata al

solo carico P

In termini energetici si avrebbe 2 22 3

0 0 0

2 2 6 2 2A A

M PM L M LP P L

EI EI EI

Sistema non risolvibile in quanto sono presenti 2 incognite in una unica equazione

In caso contrario il legame non è più lineare (compaiono termini misti di energia

TEOREMA DI CASTIGLIANO (Carlo Alberto Pio n. Milano 1847 m. Asti 1884)

Il teorema consente di determinare la deflessione di una struttura nota che sia la sua

energia di deformazione

2 3

6

P LU

EI Si può derivare la precedente rispetto a P

2 3

6

dU d P L

dP dP EI

3

3

dU PL

dP EI

31

3 A

P L

E I

La derivata dell’energia di deformazione fatta rispetto al carico applicato eguaglia la deformata

subita dal punto di applicazione del carico

Derivazione del teorema Si considera una struttura in cui sono presenti molteplici

carichi Pi cui si associano deformate δi

Si è nelle condizioni di poter applicare il principio di

sovrapposizione degli effetti

L’energia totale del sistema sarà funzione di tutti i

carichi agenti e vale 1 2, , , nU P P P

Supponendo ora di fornire ad uno dei carichi (i - generico)

un piccolo incremento dPi l’energia si incrementa di i

i

UdU dP

P

Per effetto della applicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti, l’ordine di

applicazione dei carichi non modifica l’energia complessiva

Se si applica prima il carico piccolo 2

i idPddU

Mentre tutti i successivi

danno di nuovo 1 2, , , nU P P P

tot i

i

UU U dU U dP

P

In questa seconda applicazione vi è tuttavia un piccolo ulteriore contributo, legato al lavoro

compiuto da dPi per effetto dello spostamento δi conseguenza di tutti i P1,…, Pn

2

i itot i i

dPdU U dP

Trascurando il termine differenziale del II ordine ed uguagliando le energie totali

i

i

U

P

Il teorema, qui sviluppato per le travi inflesse, ha una validità

molto più generale e si applica anche ad ogni solido elastico,

considerando forze e spostamenti generalizzati

2P

2P

3M

iP

Vediamo come lo si utilizza nel caso dei due carichi

estremali già considerato

0M x Px M

2 22 3

0 0

6 2 2

PM L M LP LU

EI EI EI

23

0

3 2A

M LU PL

P EI EI

2

0

0 2A

M LU PL

M EI EI

Metodo del carico fittizio

Il teorema determina lo spostamento solo nel punto di applicazione di un carico. Tuttavia, se si

vuole un altro spostamento generalizzato si può applicare una forza fittizia generalizzata in esso,

calcolare l’energia totale, derivare rispetto al carico fittizio e annullare il carico fittizio stesso

Supponiamo di voler determinare lo spostamento in

mezzeria

1Q

0M x Px M

0 2 2M x Px M Q x L L x L

0 2x L

2 22 3

2 2 0 00

0

1

2 48 8 4

L

AC

PM L M LP LU Px M dx

EI EI EI EI

2

02

12

2

L

BCL

U Px M Qx Q L dEI

2 2 22 3 3 2 3

0 0 05

48 8 48 4 8 48

PM L M L M QLP L PQL Q L

EI EI EI EI EI EI

23 3

0

0

5

48 8 24

totC Q

U M LPL QL

Q EI EI EI

Ora si deriva rispetto al carico fittizio

tot AC CBU U U

Alla rimozione del quale si ottiene lo spostamento cercato

23

0

0

5

48 8C C Q

M LPL

EI EI

Il metodo proposto è del tutto universale, tuttavia la sua applicazione analitica può essere

molto rallentata dalla necessità di integrare delle funzioni al quadrato che producono molti

termini nell’integrando

Differenziazione all’interno dell’integrale

L’idea di base è di derivare (rispetto al carico Pi) direttamente all’interno dell’integrale

2

2

i

i i i

U M dx M Mdx

P P EI EI P

Questa ultima equazione viene indicata come il teorema di Castigliano modificato

Il vantaggio di questa II formulazione sta nel numero di termini da integrare che, in virtù del

prodotto con la derivata, è sicuramente minore

Riprendendo il precedente problema di spostamento in mezzeria:

0M x Px M

0 2M x Px M Q x L

0 2x L

2L x L

0

M x

Q

2

M x Lx

Q

2

0 00

0 2

1 0

2 2

L L

C Q

L

L LPx M dx Px M Q x x dx

EI

22

00

2

1

4

L

C Q

L

LPx M Qx Q QLx dx

EI

23

0

0

5

48 8C C Q

M LPL

EI EI

2

2

i

i i i

U M dx M Mdx

P P EI EI P

Questa derivata può avere anche una

interpretazione fisica interessante:

momento prodotto da un carico unitario Pi

Questa specificazione dà luogo al nome di metodo del carico unitario

In base alle forze si può determinare l’andamento dei momenti

2

1 11 1 1 1

2 2 2 2AB A

qx qxqL PM x R x x x 0 x L

2 2CBM x Px 20 2x L

differenziando 1

1

1

2

ABM xx

P

2

2

CBM xx

P

Esempio

Determinare lo spostamento e l’angolo di

rotazione in corrispondenza del punto C.

Soluzione:

In corrispondenza dei supporti si ha

2 2A

qL PR

3

2 2B

qL PR

[spostamento]

22

1 11 1 2 2

0 0

1 1

2 2 2 2

LL

C

qx xM M qL Pdx x x dx Px x dx

EI P EI EI

24 3 43 3 311 1 2

00

1 1

12 12 16 3 8 48

L L

C

qxqL P P PL qLx x x

EI EI EI EI

Il segno è indicativo, se positivo è diretto come

P, altrimenti in verso opposto

P

q

[ angolo di rotazione ]

Non è previsto un momento applicato, quindi

se ne aggiunge uno fittizio MC

2 2

CA

MqL PR

L

3

2 2

CB

MqL PR

L

L’andamento dei momenti si modifica nel modo seguente

2

1 11 1 1 1 1

2 2 2 2

CAB A

Mqx qxqL PM x R x x x x

L 10 x L

2 2CB CM x Px M 20 2x L

Differenziando ora rispetto

al carico fittizio MC

1 1AB

C

M x x

M L

21

CB

C

M x

M

22

1 11 1 1 2

0 0

1 11

2 2 2

LL

CC C

C

M qx xM M qL Pdx x x x dx Px M dx

EI M EI L L EI

Annullando ora il valore

del momento fittizio MC

22

1 11 1 2

0 0

1 11

2 2 2

LL

C

qx xqL Px x dx Px dx

EI L EI

24 2 33 3 211 1 2

00

1 1 7

6 6 8 2 24 24

L L

C

qxq P P PL qLx x x

EI EI EI EI

Eseguendo i calcoli si ricava infine

Se il segno è positivo la

rotazione ha lo stesso

verso ipotizzato al carico

fittizio MC

1 2

2m

T TT

Se l’appoggio è tale da non impedire l’allungamento medio

(da T0) o le rotazioni, la struttura non si tensionerà ma si

deformerà. Ciascuna fibra secondo la legge T L

Facendo riferimento alla figura a fianco

2 1hd T T dx

2

d

2 1T Td

dx h

22 1

2

T Td v

dx h

Se T2 > T1 allora la curvatura è positiva

Nel caso in cui la rotazione sia impedita il calcolo si può fare sovrapponendo

gli effetti: prima si lascia la trave libera di deformarsi in temperatura, poi, da

questa posizione essa viene caricata imponendo il rispetto dei vincoli –

questa ultima condizione comporta l’insorgere di tensioni

EFFETTI TERMICI

Nel caso della deflessione delle travi, ha

interesse trattare il caso di variazioni termiche

lungo lo spessore della trave

2 1 0T T T

Su di esso viene applicato un riferimento radiale-

circonferenziale e si supponga che lo spessore sia

piccolo al punto da non spostare significativamente il

raggio neutro da quello baricentrico

R

P

0Mr

O

s

Si suppone di poter trascurare la deformabilità dovuta a sforzo assiale e taglio

DEFORMAZIONE DI TRAVI CURVILINEE

Si considera il caso di una trave di curvatura iniziale costante (linea media = tratto circonferenza)

soggetta ad un carico radiale estremale composto da una forza P ed un momento M0

2

0 0

1

2

M Rd dMM Rd

P EI EI dP

0 sinM M PR

In una generica sezione identificata da ϑ 2

02

M Rd

P EI

0

0

1sin sinM PR R Rd

EI

Il modo più pratico di affrontare questo problema è

mediante l’utilizzo del Teorema di Castigliano

2

02

LM ds

UEI

U

LP

Spostamento radiale

Sviluppando l’integrale 2 3 2

0

0

1sin sinM R PR d

EI

Nel caso particolare di quarto di cerchio

2 3 320

0

1

2 4 4

M R PR PRM R

EI EI EI

2 3

0 00

1 1 cos 2cos

2M R PR d

EI

2 3

0 sin 21 cos

2 4

M R PR

EI EI

Nel caso particolare del semicerchio 2 3 3

200

12 2

2 2

M R PR PRM R

EI EI EI

… Volendo calcolare lo spostamento tangenziale si sarebbe potuto introdurre un carico

fittizio Q diretto come s….

TRAVI SU FONDAZIONE ELASTICA

Si ipotizzi ora che una trave sia supportata da una fondazione che reagisce elasticamente

In ogni punto di appoggio, la fondazione reagisce al cedimento con una reazione elastica k

Gli equilibri sul generico

elementino forniscono

dV

q kdx

V

V+dV

M M+dM

q

k

dMV

dx;

Dall’equazione linea elastica: (segno opposto)

2

2

dEJ M x

dx

4

4

dEJ q k

dx

È questo un caso particolarmente interessante allorché si studino travi orizzontali appoggiate

su terreno cedevole, oppure strutture a sviluppo assiale parzialmente sommerse (navi lunghe)

x

y

k

q(x)

η N.B. si utilizza η che ha

verso opposto a y

2 2 2 i ; 2 i

2 1 i i

2 1 i i

Della equazione differenziale del IV ordine vista, si limita lo studio al solo caso di carichi

concentrati (q=0)

4

40

dEJ k

dx

4 44 0

L’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale è

La soluzione della omogenea assume così la forma:

1 2 3 4

1 1 1 1

i x i x i x i xx C e C e C e C e

1 3 4 2

x i x i x x i x i xx e C e C e e C e C e

Questo problema richiede l’utilizzo di 4 condizioni al contorno

cos sen cos senx x

x e A x B x e F x G x

44

44

d

dx

4

4

k

E J Riscritta come con

Si consideri ad esempio il caso di una trave infinitamente lunga con un carico concentrato

x

η k

P Si sceglie l’origine sul punto di applicazione del carico

cos sen cos senx x

x e A x B x e F x G x

cos senx

x e F x G x

È plausibile supporre che a distanza molto grande dall’origine la deformata svanisca

I primi due termini esponenziali debbono essere nulli 0A B

La prima condizione al contorno (simmetria) prevede l’annullarsi della derivata prima all’origine

0

cos sen sen cos 0x

xde F x G x F x G x

dx

F G

cos senx

x Fe x x

Per l’altra condizione al contorno, possiamo dire che il taglio (in una

direzione della trave) è uguale alla metà del carico applicato 0 2V P

Derivando tre volte

2 senxd

Fe xdx

cos senx

x Fe x x

2

2

22 sen cos

xdFe x x

dx

33

34 cos

xdFe x

dx

3

3

0 0

0 2 x x

dM dV P EI

dx dx

Tenendo conto delle precedenti derivate

342

PF

EI

38

PF

EI

La soluzione generale è allora

3cos sen

8

xPx e x x

EI

La legge di spostamento si annulla

rapidamente

31 1

8

P

EI

v x

x