13-analisi modale

8/16/2019 13-analisi modale

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Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a piùgradi di libertà con il metodo dell’Analisi Modale

Lezione 2/2


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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 2

La risposta a carichi variabili con la stessa legge 1/4

Si consideri un vettore di carico della forma

p(t ) = s f (t )

in cui tutte le componenti variano nel tempo con la stessa legge f (t ).

Il vettore s prende il nome di vettore di eccitazione e rappresenta la distribuzione spaziale,indipendente dal tempo, delle componenti del carico. Si nota che il carico equivalente a un’azionesismica ha la stessa forma della relazione precedente. Il vettore s può essere espresso nellasomma di N contributi modali come segue

s = si

i=1

N

! = " iM ii=1

N

!

Il coefficiente ! i viene detto fattore di partecipazione modale e può essere calcolato attraverso leproprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa M

n

T s = "

i

n

T M

i

i=1

N

#


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La risposta a carichi variabili con la stessa legge

Pertanto, il vettore di eccitazione modale sn assume la forma

n

T s = "

n

n

T M

n

! n =

n

T s

n

T M

n

=

n

T s

M n

sn = !

nM

n

Si nota che sn non dipende da come i modi sono stati normalizzati, al contrario di ! n. Si osserva,inoltre, che il vettore sn è proporzionale alle forze d’inerzia associate al modo n-esimo. Tali forze,infatti, si ottengono dalla relazione

f In(t ) = M!!un (t ) = M n!!qn(t )

…

e la loro distribuzione è data dal vettore M!n, proporzionale a quella di sn.



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Nel caso in esame, il carico modale generalizzato assume la forma

e le equazioni del moto in termini di coordinate modali si scrivono

Pn t ( )=

n

T

p t ( )=

n

T

s

f t ( )= "

i

n

T

M

ii=1

N

# f t ( )= "

n M n f t ( )

!!qn (t )+ 2! n" n !qn (t )+" n2qn (t ) = # n f (t ) n = 1, 2, ..., N

Il fattore di partecipazione modale ! n, pur dipendendo da come sono stati normalizzati i modi,

rappresenta una misura del grado di partecipazione alla risposta totale del modo n-esimo.

Ponendo qn (t ) = ! n Dn (t )

si ha !! Dn (t )+ 2! n" n ! Dn (t )+" n

2 Dn (t ) = f (t ) n = 1, 2, ..., N

Queste equazioni sono formalmente identiche a quelle di un sistema lineare viscoso a un grado di

libertà con massa unitaria, rapporto di smorzamento "n, e frequenza naturale #n, sollecitato da uncarico f (t ). Quindi, tali equazioni possono essere risolte utilizzando gli stessi procedimentisviluppati per i sistemi lineari viscosi a un grado di libertà.



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Risolte le equazioni del moto disaccoppiate e determinate le coordinate modali attraverso lerelazioni

i contributi modali alla risposta si ottengono dalle relazioni

un(t ) = nqn (t ) = n" n Dn(t )

Per ogni contributo modale, il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioni interne assume

la forma

f Sn(t ) = Ku

n(t ) = !

nK

n D

n(t ) = !

n#

n

2M

n D

n(t ) = s

n#

n

2 D

n(t )

Ponendo A

n

(t ) =! n

2 D

n

(t )

si può infine scrivere f Sn

(t ) = sn A

n(t )

qn (t )= !

n Dn (t )

La quantità #n2 Dn(t ) ha le dimensioni di un’accelerazione e viene in genere indicata come pseudo-accelerazione.



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Prof. Adolfo Santini - Lezioni di Dinamica delle Strutture 6

Analisi sismica di sistemi lineari 1/10

Nel caso di azioni sismiche, il vettore di carico assume la forma

peq(t )= !

Mr!!ug (t )

Si nota che anche in questo caso tutte le componenti variano con la stessa legge temporale. Ponendo

s = Mr

sn = Mr( )

n

= ! nM

n

! n =

n

T s

n

T M

n

=

n

T Mr

n

T M

n

=

Ln

M n

si può quindi definire il vettore di eccitazione modale

in cui il fattore di partecipazione modale è dato dall’espressione

Si può quindi scrivere

sn = Mr( )

n =

Ln

M n

M n

in cui si è posto

Ln =

n

T

Mr


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Nel caso di azioni sismiche, le equazioni del moto in termini di coordinate modali sispecializzano come segue

!!qn (t )+ 2! n" n !qn(t )+" n2qn (t ) = #$ n!!ug(t ) n = 1, 2, ..., N

avendo posto qn

(t ) = ! n

Dn

(t )

!! Dn (t )+ 2! n" n ! Dn (t )+" n2 Dn (t ) = # !!ug(t ) n = 1, 2, ..., N

oppure



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Risposte modali

Il contributo dell’n-esimo modo alla risposta in termini di spostamenti un(t ) è dato da

un (t ) = nqn (t ) = n" n Dn (t ) =" n

# n2 n An (t )

f Sn

(t ) = sn A

n(t )

rn(t ) = r

n

st A

n(t )

Il vettore delle forze per il calcolo delle sollecitazioni assume la forma

L’n-esimo contributo modale rn(t ) alla generica risposta r(t ) può essere calcolato, per ogni istantedi tempo desiderato, attraverso un’analisi statica della struttura sollecitata dalle forze f Sn(t ).Indicando con rnst l’aliquota della risposta corrispondente al vettore sn, si può scrivere

È importante sottolineare che la quantità rnst è indipendente dalla modalità di normalizzazionedei modi.


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Risposta totale

La risposta totale si ottiene sommando i contributi di tutte le risposte modali, cioè

u(t ) = un(t )

n=1

N

! = " n n Dn (t )n=1

N

! ="

n

$ n

2

n A

n(t )

n=1

N

!

f S (t )=

f Sn (t )n=1

N

! = sn An (t )

n=1

N

!

r(t ) = rn(t )

n=1

N

! = rnst A

n(t )

n=1

N

!


Il vettore delle forze assume la forma

Il generico parametro di risposta r(t ) può essere calcolato, per ogni istante di tempo desiderato,sommando i contributi di tutte le risposte modali


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Sommario del procedimento

1. Si calcolano le frequenze #n e i modi naturali di vibrazione .

2. Si assegnano i rapporti di smorzamento modali "n.

3. Il vettore di eccitazione Mr si suddivide nelle sue componenti modali sn.

4. Per ogni contributo modale si esegue un’analisi statica della struttura soggettaalle forze sn e un’analisi dinamica del sistema lineare viscoso a un grado di

libertà di frequenza #n e rapporto di smorzamento "n, soggetto all’accelerazionedel suolo .

n

!!ug(t )

L’analisi modale consiste, quindi, nell’analisi statica della struttura sollecitata dagli N insiemi diforze sn (n = 1, 2, …, N ) e nell’analisi dinamica di N differenti sistemi a un grado di libertà.La risposta sismica della struttura è data dalla combinazione delle risposte modali.



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Edifici multipiano con pianta simmetrica

Si consideri il caso di edifici multipiano con due assi di simmetria in pianta e impalcati rigidi nel

proprio piano, sollecitati da un’accelerazione del suolo diretta secondo uno degli assi disimmetria.In questo caso il vettore pseudostatico r ha componenti tutte unitarie e verrà indicato con ilsimbolo 1, cioè

r = 1

Nel caso specifico si ha

Ln

Ln

h

n

T M1 = m

i! in

i=1

N

" M n nT M

n = m

i! in

2

i=1

N

" ! n =

n

T M1

n

T M

n

=

Ln

h

M n

=

mi" in

i=1

N

#

mi" in

2

i=1

N

#

s

in = !

nm

i"

in

f Sin = sin An (t ) uin(t ) =!

n

" n

2#

in A

n(t ) = u

in

st A

n(t )

in cui mi è la massa dell’i-esimo impalcato.



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Il taglio modale alla base risulta

T bn

st = s

in

i=1

N

! = " n mi# ini=1

N

! = " n Lnh

=

Ln

h

M n

Ln

h=

Ln

h( )2

M n

= mn

*

T bn(t ) = T

bn

st A

n(t ) = m

n

* A

n(t )

Si nota che il generico contributo modale del taglio alla base è dato da un’espressione analoga aquella relativa a un sistema lineare a un grado di libertà.

La quantità prende il nome di massa modale efficace e risulta indipendente da come sonostati normalizzati i modi naturali di vibrazione.

mn

*



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Il momento ribaltante modale alla base risulta

M bn

st = h

isin

i=1

N

! = " n himi# ini=1

N

!

Ln

! = h

im

i" in

i=1

N

#

M bn

st = !

n L

n

" =

Ln

h

M n

Ln

" =

Ln

h( )2

M n

Ln

"

Ln

h = m

n

*hn

*

M bn(t ) = m

n

*hn

* A

n(t )

da cui ponendo

si ottiene

Anche il generico contributo modale del momento ribaltante alla base è dato da un’espressioneanaloga a quella di un sistema lineare a un grado di libertà.

La quantità prende il nome di altezza modale efficace e risulta indipendente da come sononormalizzati i modi naturali di vibrazione.

hn

*



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I contributi modali alla risposta alla base di un sistema simmetrico a molti gradi di libertà sonoassociati a una massa posta all’altezza rispetto al piano delle fondazioni.

La massa e l’altezza modale efficace del modo n-esimo dipendono dalla distribuzione delle masselungo l’altezza dell’edificio e dalla forma del modo e sono indipendenti da come sono statinormalizzati i modi.

La somma delle masse di tutti gli impalcati del sistema è uguale alla somma di tutte le massemodali efficaci, infatti

mn

*hn

*

mii=1

N

! = 1T M1 = 1T s = 1T sn

n=1

N

! = 1T " nM nn=1

N

!

= " n 1

T M

n( )n=1

N

! = " nn=1

N

! mi# ini=1

N

!$ % &' ( ) =

= " n L

n

h

n=1

N

! = L

n

h( )2

M n

n=1

N

! = mn*n=1

N

!



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Generalmente i valori delle masse modali efficaci diminuiscono al crescere dell’indice del modo.

Ciò consente di stabilire un criterio per considerare un numero di contributi modali notevolmente

inferiore a N : una precisione sufficiente può essere raggiunta quando la somma delle massemodali efficaci, cioè della massa complessiva partecipante al moto, raggiunge una percentualeritenuta sufficiente della massa totale dell’edificio, per esempio il 90%.

Di solito bastano pochi contributi modali per raggiungere questa percentuale.


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