12-analisi modale

8/16/2019 12-analisi modale

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Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a piùgradi di libertà con il metodo dell’Analisi Modale

Lezione 1/2


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Disaccoppiamento delle equazioni del moto 1/4

Le proprietà di ortogonalità dei modi naturali di vibrazione possono essere utilizzate perdisaccoppiare le equazioni del moto di un sistema lineare viscoso a N gradi di libertà

Sostituendo le seguenti relazioni

si ottengono le equazioni del moto in termini di coordinate generalizzate

cioè

M!!u t ( )+C !u t ( )+Ku t ( ) = p t ( )

u = q

!u = !q

!!u = !!q

M !!q t ( )+C !q t ( )+K q t ( ) = p t ( )

Moltiplicando a sinistra tutti i termini per "T si ha

T M !!q t ( )+ T C !q t ( )+ T K q t ( ) = T p t ( )

ˆ

M!!q t ( )

+ ˆ

C!q t ( )

+ ˆ

Kq t ( )=

ˆ

P t ( )

in cui le matrici di rigidezza modale e di massa modale sono diagonali per le proprietà diortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa e alla matrice di rigidezza.


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…

è il vettore di carico modale, mentre

Inoltre

M̂!!q t ( )+ Ĉ !q t ( )+ K̂q t ( ) = P̂ t ( )

è la matrice di smorzamento modale, che risulta diagonale se si assume che i modi naturali divibrazione sono ortogonali anche rispetto alla matrice di smorzamento C

P̂ t ( ) = T p t ( ) =

" 11 p

1(t )+"

21 p

2(t )+!+" N 1 p N (t )

" 12 p

1(t )+"

22 p

2(t )+!+" N 2 p N (t )

"

" 1 N p

1(t )+" 2 N p2 (t )+!+" NN p N (t )

#

$

%%%%%

&

'

(((((

Ĉ = T C

Ĉ = T C =

!C

n

!

"

#

$$$

%

&

'''


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…

Da un punto di vista fisico ciò si verifica quando i meccanismi di dissipazione sono distribuitiuniformemente lungo tutto il sistema. Per esempio, nel caso degli edifici multipiano ciò accadequando i materiali utilizzati e la tipologia degli elementi resistenti sono simili lungo tuttal’altezza.

Pertanto, la trasformazione da coordinate geometriche a coordinate generalizzate consente didisaccoppiare le equazioni del moto, che assumono la forma

Ĉ = T C =

!

C n

!

"

#

$

$$

%

&

'

''

M n!!qn t ( )+C n !qn t ( )+ K nqn t ( ) = Pn (t ) n = 1, 2, ..., N

La generica equazione del moto disaccoppiata ha la stessa struttura matematica di quella di unsistema lineare viscoso a un grado di libertà. Dividendo tutti i termini per la massa modale

generalizzata M n, si può scrivere

!!qn t ( )+C n

M n!qn t ( )+

K n

M nqn t ( ) =

Pn (t )

M n n = 1, 2, ..., N


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…

Si osserva che è più conveniente e fisicamente ragionevole definire lo smorzamento di un sistemalineare a N gradi di libertà attraverso i rapporti di smorzamento modali, piuttosto che valutare icoefficienti della matrice di smorzamento C. I rapporti di smorzamento modali, infatti, possono

essere determinati sperimentalmente e stimati con precisione adeguata.

In definitiva, il metodo dell’analisi modale consente di trasformare il sistema delle N equazionidifferenziali del moto accoppiate in termini di coordinate geometriche, in un sistema di N equazioni differenziali disaccoppiate in termini di coordinate modali, di più facile risoluzione.

!!qn t ( )+C n

M n!qn t ( )+

K n

M nqn t ( ) =

Pn (t )

M n n = 1, 2, ..., N

Ricordando che

e definendo il rapporto di smorzamento modale

! n =

C n

2 M n"

n

! n

2=

K n

M n

si può scrivere

!!qn t ( )+ 2! n" n !qn t ( )+" n

2qn t ( ) =

Pn (t )

M n

n = 1, 2, ..., N


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Analisi modale 1/3

La soluzione delle equazioni

!!

qn t ( )+

2! n" n !

qn t ( )+

" n2

qn t ( )=

Pn (t )

M n n =

1, 2, ..., N

può essere ottenuta utilizzando le tecniche sviluppate per l’analisi dei sistemi a un grado dilibertà. In generale, se il carico modale generalizzato Pn(t ) varia con legge arbitraria e se lecondizioni iniziali sono di quiete, la generica coordinata generalizzata qn(t ) può essere ricavatamediante l’integrale di convoluzione

qn t ( ) = Pn ! ( )hn t " ! ( )d ! 0t

# =

=

1

M n$ DnPn ! ( )sin $ Dn t " ! ( )%& '(e

") n$ n t "! ( ) d ! 0

t

#

in cui ! Dn è la n-sima frequenza di vibrazione smorzata

! Dn =

! n 1"

# n2


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Analisi modale 2/3

Se le condizioni iniziali non sono di quiete, è necessario aggiungere alla risposta calcolata conl’integrale di convoluzione, dovuta all’azione del carico modale, anche la risposta in vibrazioni

libere, data dalla relazione

Infine, avendo calcolato la risposta per ogni coordinata modale qn(t ), la risposta in termini dicoordinate geometriche può essere ottenuta mediante la relazione

che in forma esplicita si scrive

qn t ( ) = qn 0( )cos! Dnt +

!qn 0( )+ " n! nqn 0( )

! Dnsin! Dnt

#

$%&

'( e

)" n! nt

in cui

qn 0( ) =

n

T Mu(0)

M n

!qn 0( ) =

n

T M !u(0)

M n

u(t ) = u1(t )+ u

2(t )+ ...+ u N (t ) = 1q1(t )+ 2q2 (t )+ ...+ N q N (t )

u = uii=1

N

! = qi ii=1

N

!


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Analisi modale 3/3

…

Questa relazione mostra che la risposta in termini di coordinate geometriche si ottienesovrapponendo gli spostamenti relativi ai singoli contributi modali. Per questa ragione taleprocedimento prende il nome di metodo di sovrapposizione degli spostamenti modali o, piùsemplicemente, di analisi modale.

Il metodo è basato sul principio di sovrapposizione degli effetti e può quindi essere applicato solo

nel caso di sistemi lineari. Inoltre, affinché sia possibile disaccoppiare le equazioni del moto, imodi naturali di vibrazione devono anche essere ortogonali rispetto alla matrice di smorzamento.

Per molti tipi di carichi, i contributi modali sono relativamente maggiori per i primi modi etendono a diminuire per i modi più alti. In genere, la sommatoria converge rapidamente e,pertanto, non è necessario includere tutti i contributi modali.

u(t ) = u1(t )+ u2 (t )+ ...+ u N (t ) = 1q1(t )+ 2q2 (t )+ ...+ N q N (t )


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Calcolo delle sollecitazioni 1/2

La storia nel tempo del vettore degli spostamenti può essere considerata come la misura basedella risposta complessiva di un sistema sollecitato da un carico dinamico. Altri parametri della

risposta, come le sollecitazioni interne nei singoli elementi strutturali, possono essere calcolati apartire dagli spostamenti.

In precedenza, sono stati presentati due procedimenti per il calcolo delle sollecitazioni interne inun istante di tempo prefissato, il primo basato sulla valutazione delle forze nodali e il secondosull’applicazione delle forze statiche equivalenti .

Nell’ambito dell’analisi modale è utile, in entrambi i casi, separare i contributi dei singoli modi.

Secondo il primo procedimento, il contributo dell’n-esimo modo, rn(t ), a una forza nodale r(t ), èdeterminato dal vettore degli spostamenti modali un(t ) attraverso la matrice di rigidezzadell’elemento. Considerando il contributo di tutti i modi, la forza nodale risulta

r(t ) = rn(t )

n=1

N

!

In accordo al secondo procedimento, le sollecitazioni interne possono essere calcolate applicando

alla struttura il vettore delle forze statiche equivalenti, dato dalla relazione

f S t ( ) = Ku t ( ) = K q t ( ) = M !2q t ( )


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Calcolo delle sollecitazioni 2/2

…

Si nota che le ampiezze dei contributi modali sono date dal prodotto della relativa coordinatageneralizzata per il quadrato della corrispondente frequenza naturale, il cui valore cresce conl’indice del modo. Per tale ragione il contributo dei modi alti risulta più significativo per ladefinizione delle forze elastiche di quanto lo sia per la valutazione degli spostamenti.

Di conseguenza, per raggiungere lo stesso grado di accuratezza nella definizione delle forzeelastiche equivalenti, è necessario includere un numero maggiore di termini rispetto a quelloconsiderato per il calcolo degli spostamenti.

f S t ( ) = Ku t ( ) = K q t ( ) = M !2q t ( )

che, in forma esplicita, si scrive

f S t ( ) = f S 1 t ( )+ f S 2 t ( )+ ...+ f SN t ( ) = M 1" 12q1 t ( )+M

2"

2

2q

2 t ( )+ ...+M N " N

2q N t ( )


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Lo smorzamento nei sistemi a molti gradi di libertà 1/2

Come è già stato osservato in precedenza, non è possibile determinare i coefficienti della matricedi smorzamento dalle dimensioni degli elementi strutturali e dalle proprietà di smorzamento dei

materiali impiegati. Per questa ragione lo smorzamento è in genere specificato attraverso i valorinumerici dei rapporti di smorzamento modali. Nella tabella seguente, che è basata su una serie didati sperimentali riguardanti diverse tipologie strutturali, sono riportati alcuni valori raccomandatiper i rapporti di smorzamento modali.

Livello di sforzo Tipologia strutturaleRapporto di smorzamento

(%)

Condizioni di esercizio

Acciaio con giunti saldati 2 - 3Cemento armato precompresso 2 - 3

Cemento armato 3 - 5

Acciaio con giunti bullonati 5 - 7

Condizioni oltre il limite

elastico

Acciaio con giunti saldati 5 - 7

Cemento armato precompresso 5 - 7

Cemento armato 7 -10

Acciaio con giunti bullonati 10 - 15


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Lo smorzamento nei sistemi a molti gradi di libertà 2/2

Se il sistema non è lineare, l’analisi modale non può essere applicata e lo smorzamento deveessere necessariamente espresso attraverso una matrice. Questa è la situazione che si verificadurante un terremoto di forte intensità, perché la risposta può superare anche di molto il limiteelastico. In questo caso la matrice di rigidezza varia nel tempo e le equazioni del moto devonoessere integrate direttamente.

La matrice di smorzamento può essere determinata a partire dai rapporti di smorzamento modali.Questi ultimi possono essere stimati sulla base di dati sperimentali ottenuti su strutture similisollecitate entro il limite elastico. È opportuno, infatti, che lo smorzamento viscoso sia assunto

costante durante il moto, anche se la risposta supera il limite elastico.L’ulteriore dissipazione di energia dovuta all’insorgere delle plasticizzazioni e del danno nellastruttura potrà essere implicitamente messa in conto attraverso le proprietà isteretiche delmateriale.

Nel seguito sarà presentato un semplice metodo, dovuto a Lord Rayleigh, per costruire unamatrice di smorzamento viscoso a partire dai rapporti di smorzamento modali.


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La matrice di smorzamento alla Rayleigh 1/9

Si considerino le seguenti matrici di smorzamento proporzionali alla matrice di massa e allamatrice di rigidezza

C = a0M C = a

1K

dove le costanti a0 e a1 hanno le dimensioni di sec"1 e sec rispettivamente, e che corrispondono aiseguenti modelli fisici

a1k 1

m1

m2

m3

k 3

k 2

k 1

a1k 2

a1k 3

m1

m2

m3

k 3

k 2

k 1

a0m3

a0m2

a0m1

La matrice di smorzamento proporzionale alla rigidezza può essere interpretata come un modellodi dissipazione di energia associato agli spostamenti di interpiano. La matrice di smorzamentoproporzionale alla massa esprime, invece, la dissipazione di energia dovuta all’attrito con l’aria.


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Se si assume che la matrice di smorzamento possa essere espressa attraverso la relazione

per la proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di massa si ha

C = a0M

che, dividendo per M n, assume la forma

Si nota che l’n-esimo rapporto di smorzamento modale è inversamente proporzionale allacorrispondente frequenza !n. La costante a0 può essere determinata fissando il valore di " per un

modo specifico, per esempio per l’i-esimo, cioè

C n = a

0 M

n

! n =

a0

2

1

" n

a0

=

C n

M n

=

C n

2 M n! n2!

n

= 2" n

! n

da cui si ottiene

a0 = 2!

i"

i


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…

Avendo determinato il valore della costante a0, i rapporti di smorzamento modali per gli altrimodi, riportati qualitativamente in figura, possono essere determinati attraverso la relazione

a0 = 2!

i"

i

Dalla figura, si nota che i rapporti di smorzamento modale diminuiscono al crescere dellafrequenza. I primi modi risultano, quindi, più smorzati di quelli alti e ciò è in contrasto conl’evidenza sperimentale.

!n

"1 "n

!1

!2

!3"2 "3

! n =

a0

2

1

" n


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Se si assume che la matrice di smorzamento possa essere espressa attraverso la relazione

per la proprietà di ortogonalità dei modi rispetto alla matrice di rigidezza si ha

che, dividendo per M n, assume la forma

Si nota che l’n-esimo rapporto di smorzamento modale è direttamente proporzionale allacorrispondente frequenza !n. La costante a1 può essere determinata fissando il valore di " per un

modo specifico, per esempio per l’i-esimo, cioè

C n = a

1K

n = a

1!

n

2 M

n

! n =

a1

2"

n

a1

=

C n

! n2 M n=

C n

2 M n! n

2

! n= 2"

n

1

! nda cui si ottiene

a1 =

2! i

" i

C = a1K


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…

Avendo determinato il valore della costante a1, i rapporti di smorzamento modali per gli altrimodi, riportati qualitativamente in figura, possono essere determinati attraverso la relazione

Dalla figura, si nota che i rapporti di smorzamento modale crescono linearmente al crescere dellafrequenza. I primi modi risultano, quindi, meno smorzati di quelli alti.

a1 =

2! i

" i

! n =

a1

2"

n

!n

"n"1

!1

!2

!3

"2 "3


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Tuttavia, nessuna delle due matrici di smorzamento

è adeguata per l’analisi dinamica di sistemi strutturali comuni. Per entrambe, infatti, la variazionedei rapporti di smorzamento modali con le frequenze naturali non è coerente con i risultatisperimentali, che indicano approssimativamente lo stesso valore di " per diversi modi naturali divibrazione.

Una matrice di smorzamento coerente con i dati sperimentali, rispetto a cui i modi naturali divibrazione sono ortogonali, può essere ottenuta attraverso la formulazione dovuta a Lord

Rayleigh(1)

, in cui la matrice di smorzamento si ottiene attraverso una combinazione lineare dellematrici di massa e di rigidezza, cioè

(1) Theory of Sound, Vol. 1, Dover Publications, New York, 1945

C = a0M C = a

1K

C = a0M + a

1K

Per il generico modo si può quindi scrivere

C n = a

0 M

n + a

1K

n

da cui, dividendo per M n, si ottiene

2! n"

n = a

0 + a

1"

n

2


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… 2!

n"

n = a

0 + a

1"

n

2

Le costanti a0 e a1 possono essere determinate fissando i rapporti di smorzamento "i e " j per l’i-esimo ed il j -esimo modo. Si ha

2! i" i = a0 + a1" i2

2! j " j = a0 + a1" j 2

#

$%

&%

che in forma matriciale si scrive

1 ! i2

1 ! j 2

"

#

$$

%

&

''

a0

a1

"

#

$$

%

&

''= 2

( i! i

( j ! j

"

#

$$

%

&

''

Risolvendo il sistema si ottiene

a0 =

2! i! j " i! j

#

" j ! i( )! j 2 #! i2( ) a

1 =

2 ! i" i

#

! j " j ( )" j 2 #" i2( )


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Se si assume che entrambi i modi considerati hanno lo stesso rapporto di smorzamento, cioè "i = " j = ", il che è ragionevole con riferimento ai dati sperimentali, le relazioni precedenti sisemplificano e assumono la forma

a0 =

2! i! j

! i +! j " a

1 =

2

! i +! j "

Calcolati i valori di a0 e a1, i rapporti di smorzamento modali per tutti i modi si ottengono dallarelazione

! n =

a0

2

1

" n

+

a1

2"

n

!n

"i " j "n

!i = ! j = !


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! n =

a0

2

1

" n

+

a1

2"

n

!n

"i " j "n

!i = ! j = !

Nell’applicare questo procedimento ai casi pratici, i modi i e j per cui si specifica " devono esserescelti in maniera che tutti i modi che forniscono un contributo significativo alla risposta dinamicaabbiano valori ragionevoli dei loro rapporti di smorzamento.

Per esempio, se si assume che cinque modi devono essere inclusi nell’analisi della rispostadinamica e che il loro rapporto di smorzamento debba essere circa uguale per tutti, " dovrebbe

essere specificato per il primo e per il quarto modo. L’andamento riportato in figura, infatti,suggerisce che il secondo e il terzo modo avranno un rapporto di smorzamento un po’ più piccolo,mentre il quinto un po’ più grande. Tutti gli altri modi saranno maggiormente smorzati e lecorrispondenti risposte modali saranno sempre più ininfluenti.

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