ELABORATO DI LAUREA -...

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE

ELABORATO DI LAUREA

Analisi sismica di edifici esistenti

in muratura con metodo RAN

RELATORE CANDIDATO

ch.mo prof. ing. Nicola Augenti Stefano Carozza matr. 520/604

CORRELATORE

dott. ing. Fulvio Parisi

ANNO ACCADEMICO 2007/2008

Alla mia famiglia

“Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe,

non si riferiscono alla realtà …”

(Sidelights on Relativity) A. Einstein

- 4 -

Indice

Indice……………. ....................................................................................................................... 4

Sommario……….. ....................................................................................................................... 8

Capitolo 1 - L’analisi sismica degli edifici esistenti ................................................... 10

1.1 Premessa ..................................................................................................................... 10

1.2 Criteri generali per la verifica di strutture in muratura secondo il DM 14.01.2008 10

1.2.1 Valutazione della sicurezza ............................................................................... 11

1.2.2 Considerazioni in presenza di azioni sismiche ................................................ 12

1.3 Criteri per la verifica di strutture in muratura secondo la circolare attuativa ...... 12

1.3.1 Requisiti di sicurezza ......................................................................................... 13

1.3.2 Analisi sismica globale e criteri di verifica ....................................................... 14

1.3.3 Analisi dei meccanismi locali ............................................................................ 14

1.3.4 Classificazione degli interventi ......................................................................... 15

1.4 L’analisi sismica secondo il DM 14.01.2008 ............................................................. 16

1.4.1 Pericolosità sismica ............................................................................................ 16

1.4.2 Modellazione dell’azione sismica ..................................................................... 17

1.4.3 Forze sismiche equivalenti adottate nell’analisi statica lineare ...................... 19

Capitolo 2 - Metodi di analisi sismica .......................................................................... 23

2.1 Considerazioni generali ............................................................................................ 23

2.2 Metodi di analisi previsti dal DM 14.01.2008 .......................................................... 25

2.2.1 Analisi statica lineare ......................................................................................... 25

- Indice - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 5 -

2.2.2 Analisi dinamica modale ................................................................................... 26

2.2.3 Analisi statica non lineare ................................................................................. 27

2.2.4 Analisi dinamica non lineare ............................................................................ 30

2.3 Analisi strutturale in campo non lineare ................................................................. 31

2.3.1 Non linearità geometrica ................................................................................... 32

2.3.2 Non linearità del materiale ................................................................................ 34

2.3.3 Ulteriori considerazioni ..................................................................................... 35

Capitolo 3 - Il metodo di calcolo RAN ......................................................................... 37

3.1 Ipotesi di base e fasi del procedimento .................................................................... 37

3.2 Ripartizione dell’azione sismica ............................................................................... 39

3.3 Le sollecitazioni agenti sul pannello di maschio ..................................................... 43

3.4 Domini di resistenza dei pannelli di maschio ......................................................... 47

3.3.1 Domini di resistenza a presso-flessione ........................................................... 47

3.3.2 Domini di resistenza a taglio ............................................................................. 48

3.5 Curve caratteristiche V-δ ........................................................................................... 51

3.4.1 Curva caratteristica di un pannello di maschio ............................................... 51

3.4.2 Curve caratteristiche di piano ........................................................................... 52

3.6 Verifica dei pannelli di maschio ............................................................................... 53

3.5.1 Verifica per carichi di progetto ......................................................................... 54

3.5.2 Verifica della capacità portante ......................................................................... 55

3.7 Verifica dei pannelli di fascia .................................................................................... 56

3.6.1 Equilibrio delle fasce di piano ........................................................................... 56

3.6.2 Crisi dei pannelli di fascia non armati .............................................................. 58

3.6.3 Crisi per presso-flessione dei pannelli di fascia armati ................................... 61

Capitolo 4 - Verifica di un edificio esistente in muratura ......................................... 65

4.1 Descrizione dell’edificio ............................................................................................ 65

- Indice - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 6 -

4.2 Modellazione .............................................................................................................. 68

4.2.1 Modello geometrico ........................................................................................... 68

4.2.1.1 Elementi strutturali verticali .......................................................................... 69

4.2.1.2 Elementi strutturali orizzontali ..................................................................... 70

4.2.1.3 Organizzazione strutturale ............................................................................ 70

4.2.2 Modello delle azioni .......................................................................................... 77

4.2.2.1 Caratterizzazione dell’input sismico ............................................................ 81

4.2.2.2 Combinazioni di carico .................................................................................. 84

4.2.3 Modello dei materiali ......................................................................................... 86

4.2.3.1 Stima del fattore di confidenza ..................................................................... 88

4.2.3.2 Resistenze di progetto .................................................................................... 89

4.3 Verifiche per azioni non sismiche ............................................................................. 90

4.4 Analisi “manuale” con il metodo RAN .................................................................... 92

4.4.1 Ulteriori verifiche ............................................................................................... 95

4.5 Analisi “automatica” con il codice RAN .................................................................. 96

4.5.1 Dati di input ....................................................................................................... 96

4.5.2 Dati di output ................................................................................................... 103

Capitolo 5 - Analisi parametriche ............................................................................... 109

5.1 Introduzione ............................................................................................................. 109

5.2 Definizione dei parametri ....................................................................................... 110

5.2.1 Parametri di input ............................................................................................ 110

5.2.2 Definizione delle analisi .................................................................................. 111

5.2.3 Parametri di output nell’analisi per azioni non sismiche ............................. 115

5.2.4 Parametri di output nell’analisi statica lineare .............................................. 116

5.2.5 Parametri di output nell’analisi statica non lineare ....................................... 121

5.3 Tasso di sollecitazione non sismico ........................................................................ 122

5.4 Analisi statica lineare ............................................................................................... 128

5.4.1 Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli ................................................... 128

- Indice - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 7 -

5.4.1.1 Analisi della parete 3 per la combinazione n.23 allo SLV ......................... 129

5.4.1.2 Analisi delle pareti 5 e 8 per la combinazione n.32 allo SLV .................... 135

5.4.2 Tasso di sollecitazione sismico delle pareti .................................................... 142

5.4.3 Indice di danno e duttilità ............................................................................... 146

5.4.4 Vulnerabilità sismica in termini di PGA ........................................................ 152

5.4.5 Moltiplicatore di crisi ....................................................................................... 154

5.4.6 Rigidezza secante alla traslazione orizzontale ............................................... 156

5.5 Analisi statica non lineare ....................................................................................... 158

5.5.1 Periodo proprio dell’oscillatore elasto-plastico equivalente ......................... 161

5.5.2 Rapporto di sovraresistenza αu/α1 e fattore di struttura qsnl ......................... 166

5.5.3 Fattore di struttura dell’oscillatore elasto-plastico equivalente .................... 171

5.5.4 Tasso di sollecitazione sismico delle pareti .................................................... 175

5.5.5 Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli di maschio ............................... 181

5.5.6 Duttilità e indice di danno ............................................................................... 184

5.5.7 Vulnerabilità sismica in termini di PGA ........................................................ 189

CONCLUSIONI… ................................................................................................................. 194

Risposta sismica parametrica della struttura .................................................................... 194

Analisi lineare e non lineare ............................................................................................... 196

Riferimenti Bibliografici ....................................................................................................... 198

Indice delle figure .................................................................................................................. 199

Indice delle tabelle ................................................................................................................. 202

- 8 -

Sommario

Il presente elaborato di tesi ha quale obiettivo primario l’esecuzione di analisi sismiche

lineari e non lineari di edifici in muratura esistenti attraverso il metodo RAN che,

aggiornato secondo i criteri più evoluti della moderna Ingegneria Sismica, consente di

descrivere in maniera accurata il comportamento di strutture dotate anche di irregolarità

significative, sia in pianta che in altezza.

Lo studio si articola attraverso cinque capitoli distinti in una prima parte, dedicata ai

fondamenti teorici e alla discussione delle recenti Norme Tecniche per le Costruzioni, e in

una seconda parte, contenente le analisi condotte per un edificio esistente in muratura,

assunto quale caso di studio.

Il Capitolo 1 tratta sinteticamente i criteri forniti dal DM 14.01.2008 e dalla relativa

Circolare Attuativa per la verifica degli edifici esistenti in muratura, con particolare

riferimento alla condizione sismica.

Nel Capitolo 2 sono discussi i metodi di analisi sismica contemplati dalla normativa

italiana, evidenziandone prerogative e limiti.

Il Capitolo 3 descrive le fasi principali in cui si articola il metodo di calcolo RAN impiegato

per condurre l’analisi strutturale, sia per azioni gravitazionali che per azioni sismiche, di

edifici lapidei modellati attraverso macro-elementi di diverso tipo a seconda che siano

impiegati quali elementi portanti verticali (pannelli di maschio) o orizzontali (pannelli di

fascia).

Nel Capitolo 4 viene effettuata la verifica di un edificio esistente in muratura, nel rispetto

dei criteri e delle regole contenute nella normativa italiana. In particolare, partendo dalla

modellazione geometrica, meccanica e delle azioni, si conduce prima un’analisi

“manuale” attraverso l’impiego di semplici fogli elettronici e poi un’analisi “automatica”,

estesa anche al campo non lineare, con l’ausilio del Codice di calcolo RAN.

Il Capitolo 5 tratta l’esecuzione di analisi parametriche sull’edificio preso in esame, al fine

di verificare come e quanto alcuni dati di input relativi alle azioni, alla geometria e ai

- Sommario - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 9 -

materiali influiscono sul comportamento della struttura, descritto sinteticamente

mediante opportuni parametri di controllo definiti in maniera diversa nell’analisi statica

lineare e in quella non lineare. Tale modo di procedere ha consentito di confrontare i

risultati ottenuti, non solo nell’ambito di uno stesso metodo di analisi, ma anche tra i due

procedimenti impiegati.

I risultati maggiormente significativi evidenziati mediante le analisi parametriche, sono

scaturiti dall’osservazione dei valori di output “globali” della struttura, valutati sia

attraverso l’analisi statica lineare che con quella non lineare. In particolare si è osservato

che: il periodo proprio di oscillazione ottenuto dall’analisi statica non lineare risulta circa

del 12% maggiore rispetto a quello della statica lineare; il fattore di struttura fornito dalla

normativa per l’analisi statica lineare supera di circa il 20% quello ottenuto con l’analisi

statica non lineare, a conferma del fatto che il valore assunto nell’analisi statica lineare

può condurre ad una sovrastima del comportamento duttile globale dell’edificio,

soprattutto nel caso di edifici esistenti irregolari in pianta.

Attraverso le analisi parametriche si sono conseguiti, inoltre, alcuni risultati significativi:

la similitudine che sussiste, in termini di andamento, tra duttilità richiesta e tasso di

sollecitazione; un legame diretto tra massima PGA sopportabile dall’edificio ed il

moltiplicatore α1 (valutabile anche attraverso un’analisi statica lineare); un legame tra la

PGAmax ed il moltiplicatore αu (valutabile esclusivamente attraverso un’analisi statica non

lineare); l’incidenza quantitativa dei parametri di pericolosità sismica e di modellazione

meccanica della muratura sui tassi di sollecitazione e sui fattori di duttilità; livelli

significativamente diversi di vulnerabilità sismica (in termini di PGA) tra le due

metodologie di analisi statica.

- 10 -

Capitolo 1 - L’analisi sismica degli edifici esistenti

1.1 Premessa

Nel presente capitolo vengono illustrati i criteri stabiliti dalle Norme Tecniche per le

Costruzioni di cui al DM 14.01.2008 e delle relative istruzioni applicative (attualmente

disponibili in forma di bozza) per la definizione della pericolosità sismica e delle azioni di

origine non sismica, al fine di valutare la sicurezza nei confronti degli stati limite.

1.2 Criteri generali per la verifica di strutture in muratura

secondo il DM 14.01.2008

Il capitolo 8 del DM 14.01.2008 illustra le metodologie disponibili per la verifica di

sicurezza delle strutture esistenti, nelle diverse condizioni possibili nell’arco della vita

utile.

Nelle costruzioni esistenti le situazioni concretamente riscontrabili sono sempre diverse

per cui è molto complicato definire a priori regole comuni di validità generale. Ne

consegue che spetta al progettista definire e giustificare il modello strutturale più idoneo

per compiere le verifiche di sicurezza nel rispetto dei criteri forniti dalla normativa.

- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 11 -

1.2.1 Valutazione della sicurezza

Per valutare la sicurezza di una costruzione esistente la normativa descrive in maniera

dettagliata le operazioni da compiere per delineare lo stato di conoscenza attraverso

parametri sintetici legati alla modellazione e alle verifiche di sicurezza da effettuare.

- L’”analisi storico-critica” mira a conoscere il sistema strutturale dell’edificio

attraverso la ricostruzione del suo processo di realizzazione, delle successive

modificazioni subite nel tempo e degli eventi che lo hanno interessato.

- Il “rilievo” consente di conoscere lo stato e la geometria dei singoli elementi

strutturali e dei relativi sistemi costruttivi in modo da individuare i meccanismi

resistenti, la qualità dell’opera, le condizioni di vincolo. Tra i principali obiettivi di

tale operazione vi è anche l’individuazione dei quadri fessurativi e degli eventuali

dissesti in atto.

- La “caratterizzazione meccanica dei materiali” va effettuata mediante le

documentazioni disponibili, verifiche e indagini sperimentali. Particolare

importanza riveste la valutazione anche dello stato conservativo dei materiali in

funzione dell’ambiente in cui si trovano e della loro natura.

- Le “azioni” dovute ai carichi permanenti si determinano per mezzo di un rilievo

geometrico e dei materiali mentre, per quelle accidentali e straordinarie si fa

riferimento ai valori dettati dalla normativa.

Sulla base delle informazioni ricavate per la struttura è possibile definire un “livello di

conoscenza” (LC) e associarvi un “fattore di confidenza” (FC) da utilizzare come un

ulteriore coefficiente parziale di sicurezza. La normativa italiana definisce tre livelli di

conoscenza contrassegnati dai simboli LC1, LC2, LC3.


- 12 -

1.2.2 Considerazioni in presenza di azioni sismiche

Nelle costruzioni esistenti in muratura soggette ad azioni sismiche si possono manifestare

due tipi di meccanismi che definiscono altrettante modalità di collasso strutturale:

- i “meccanismi locali”, che interessano singoli pannelli murari o insiemi di essi

quando sono assenti o scarsamente efficaci i collegamenti tra le pareti o tra esse e

gli orizzontamenti;

- i “meccanismi globali”, che interessano l’intera costruzione ed impegnano i

pannelli murari prevalentemente nel loro piano di massima inerzia e resistenza.

La sicurezza della struttura dev’essere valutata nei confronti di entrambi i tipi di

meccanismo.

Per quanto riguarda l’analisi sismica nei riguardi dei meccanismi locali si può far ricorso a

metodi di analisi dell’equilibrio limite delle strutture murarie tenendo conto, tra l’altro,

anche dei collegamenti tra le pareti quali catene e tiranti. Con questi metodi è possibile

valutare la sicurezza della struttura, sia in termini di resistenza che di spostamenti.

L’analisi sismica globale deve considerare, invece, per quanto possibile un modello

strutturale che sia sufficientemente rappresentativo del reale comportamento esibito dalla

struttura, prestando particolare attenzione alle rigidezze esplicate, all’esistenza e

all’efficacia dei collegamenti e a tutto quanto possa caratterizzare la struttura nella sua

interezza.

1.3 Criteri per la verifica di strutture in muratura secondo la

circolare attuativa

La Circolare Attuativa del DM 14.01.08, attualmente in fase di riesame prima della sua

emanazione, ribadisce al capitolo 8 l’importanza dell’adozione di adeguati modelli di

verifica degli edifici esistenti. Il 42% del patrimonio edilizio italiano si compone di


- 13 -

costruzioni in muratura e ben il 72% di esse necessita di adeguamenti antisismici, sia per

garantire la sicurezza e la salvaguardia della vita umana, sia per estendere la vita di tali

costruzioni soprattutto se dotate di un valore storico, architettonico, artistico o

ambientale.

La valutazione della sicurezza ed il progetto degli interventi degli edifici esistenti sono

normalmente affetti da un grado di incertezza diverso rispetto a quello corrispondente

alle nuove costruzioni. Di fatto l’esistenza della struttura comporta la possibilità di

determinare le effettive caratteristiche meccaniche dei materiali e delle diverse parti

strutturali che, soprattutto per le costruzioni in materiale lapideo, possono essere

estremamente variabili da un punto all’altro della struttura. D’altro canto, una corretta e

accurata valutazione riduce le incertezze che in una nuova costruzione sono insite nel

passaggio dal dato di progetto alla realizzazione.

Le modalità di verifica per le nuove costruzioni sono basate sull’uso di coefficienti parziali

di sicurezza da applicare alle azioni e alle caratteristiche meccaniche dei materiali

concepiti, calibrati dal legislatore per tener conto dell’intero processo che va dalla

progettazione alla realizzazione. Nelle costruzioni esistenti è cruciale ottenere una

conoscenza dettagliata della struttura. È per tale motivo che viene introdotta un’altra

categoria di coefficienti, i “fattori di confidenza” (vedi appendice C8A della Circolare),

strettamente legati al livello di conoscenza conseguito con indagini condotte. Essi

riducono preliminarmente i valori medi delle proprietà dei materiali costituenti la

struttura esistente che possono essere ulteriormente ridotti attraverso i coefficienti parziali

di sicurezza.

1.3.1 Requisiti di sicurezza

La valutazione della sicurezza delle costruzioni esistenti in muratura richiede la verifica

degli Stati Limite definiti al § 3.2.1 delle Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM

14.01.2008, di seguito riportate con l’acronimo NTC. In particolare si farà riferimento allo


- 14 -

Stato Limite di Danno (SLD) e allo Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV)

assumendo che il soddisfacimento della verifica nei riguardi del secondo implichi quello

della verifica relativa allo Stato Limite di Collasso (SLC).

Per la valutazione degli edifici esistenti, oltre all’analisi sismica globale da effettuarsi con i

metodi previsti dalle norme di progetto per le nuove costruzioni, va condotta anche

l’analisi dei possibili meccanismi locali.

1.3.2 Analisi sismica globale e criteri di verifica

L’analisi della risposta sismica globale può essere effettuata con uno dei metodi riportati

nel § 7.3 delle NTC, di cui si parlerà ampiamente nel seguito.

Per le verifiche di sicurezza nei riguardi del comportamento sismico globale si applica

quanto prescritto al § 7.8 delle NTC. Tali metodi di verifica sono quelli utilizzati per la

verifica degli edifici di nuova costruzione.

1.3.3 Analisi dei meccanismi locali

Negli antichi edifici in muratura sono spesso assenti elementi di collegamento tra le pareti

a livello degli orizzontamenti di piano; ciò comporta una possibile vulnerabilità nei

riguardi di meccanismi locali che possono interessare il collasso di singoli pannelli murari

o di intere porzioni della costruzione in direzione ortogonale al piano di massima inerzia

e resistenza.

Un possibile modello di riferimento per la valutazione della sicurezza nei confronti di tali

meccanismi è quello dell’analisi limite dell’equilibrio delle strutture murarie, considerate

come corpi rigidi non resistenti a trazione. L’appendice C8D della Circolare Attuativa alle

NTC propone un metodo che, mediante l’applicazione del principio dei lavori virtuali ad


- 15 -

ogni meccanismo locale, consente di valutare la capacità sismica in termini di resistenza o

di spostamento.

1.3.4 Classificazione degli interventi

La Circolare Attuativa prevede tre categorie di interventi. Indipendentemente dalla

categoria di appartenenza è opportuno che essi, anche se non antisismici, siano finalizzati

principalmente all’eliminazione o alla riduzione significativa delle possibili gravi carenze

legate ad errori di progetto o di esecuzione, al degrado, a danni o a trasformazioni e al

successivo rinforzo della struttura esistente.

Gli interventi previsti sono di seguito descritti:

- Intervento di adeguamento. La valutazione della sicurezza in questo caso è

finalizzata a stabilire se la struttura, a seguito dell’intervento, è in grado di

resistere alle azioni di progetto dettate dalle NTC con il grado di sicurezza

richiesto dalle stesse. Non è necessario il soddisfacimento delle prescrizioni sui

dettagli costruttivi per gli edifici nuovi purché si dimostri che siano garantite

comunque le prestazioni in termini di resistenza, duttilità e deformabilità previste.

- Intervento di miglioramento. La valutazione della sicurezza in tale caso è

finalizzata a determinare la massima entità delle azioni considerate nelle

combinazioni di progetto previste, cui la struttura può resistere con il grado di

sicurezza richiesto. Tale valutazione riguarderà necessariamente i meccanismi

globali e quelli locali.

- Riparazione o intervento locale. In questa categoria ricadono tutti gli interventi di

riparazione, rafforzamento o sostituzione di singoli elementi strutturali non

adeguati alla funzione strutturale che devono svolgere, a condizione che

l’intervento non cambi significativamente il comportamento globale della

struttura, soprattutto ai fini della resistenza alle azioni sismiche, a causa di una

variazione non trascurabile di rigidezza o di peso.


- 16 -

1.4 L’analisi sismica secondo il DM 14.01.2008

1.4.1 Pericolosità sismica

Il DM 14.01.2008 adotta un approccio prestazionale nella progettazione e nella verifica

delle strutture controllando nei riguardi dell’azione sismica il danneggiamento subito

dalla costruzione. La valutazione dell’azione sismica si esegue a partire dalla pericolosità

sismica di base definita in condizioni di suolo rigido e superficie topografica piana e

orizzontale. Per coerenza con le NTC, la pericolosità sismica deve essere valutata:

- in termini di massima accelerazione orizzontale al suolo ag e dei parametri che

permettono di definire gli spettri di risposta;

- in corrispondenza dei vertici di un reticolo definito dalla norma per l’intero

territorio nazionale;

- per diversi valori della probabilità di superamento e del periodo di ritorno.

Le forme spettrali previste dalle NTC sono univocamente definite una volta determinati i

valori dei seguenti parametri di pericolosità:

- ag : massima accelerazione orizzontale al suolo;

- F0 : valore massimo di amplificazione dell’accelerazione spettrale orizzontale;

- T*c : periodo di inizio del ramo a velocità costante dello spettro in termini di

accelerazione orizzontale.

Le forme spettrali previste sono caratterizzate da prescelte probabilità di superamento in

un periodo di riferimento per cui occorre fissare:

- il periodo di riferimento della struttura VR;

- la probabilità di superamento nel periodo di riferimento, PVR, associata a ciascuno

degli Stati Limite considerati.


- 17 -

1.4.2 Modellazione dell’azione sismica

Dopo aver illustrato i parametri con cui le NTC definiscono la pericolosità sismica si

passa, ora, ad esaminare i procedimenti attraverso i quali è possibile valutare l’azione

sismica su una generica struttura esistente o da progettare. Nei confronti delle azioni

sismiche gli Stati Limite di Esercizio (SLE) e Ultimo (SLU) sono individuati riferendosi

alle prestazioni della costruzione sia quelle offerte dalla struttura sia quelle esibite dagli

impianti. La norma individua quattro Stati Limite, due di esercizio (Stato Limite di

Operatività, SLO, e Stato Limite di Danno, SLD) e due ultimi (Stato Limite di salvaguardia

della Vita, SLV, e Stato Limite di Collasso, SLC). Per le costruzioni ordinarie è sufficiente

verificare:

- lo SLD cui si associa PVR = 63% e per il quale, a seguito del sisma, la costruzione nel

suo complesso (elementi strutturali e non) e le apparecchiature subiscono danni

tali da non mettere a rischio gli utenti e non compromettere significativamente

riduzioni di resistenza nei confronti di azioni orizzontali e verticali;

- lo SLV cui si associa PVR = 10% e per il quale, a seguito del sisma, la struttura

subisce rotture e crolli degli elementi non strutturali, conserva una buona

resistenza per le azioni verticali e conserva parte della resistenza (come margine di

sicurezza) nei confronti del collasso per azioni sismiche.

Per definire l’azione sismica è necessario caratterizzare il suolo in termini di:

- caratteristiche stratigrafiche dei depositi di terreno superficiali, per valutare la

possibile amplificazione del moto sismico nella propagazione dal bedrock alla

superficie;

- condizioni topografiche, le quali sono responsabili delle amplificazioni del moto al

suolo dovute a onde sismiche a fenomeni di riflessione delle onde sismiche.

Secondo le NTC l’azione sismica è caratterizzata da due componenti orizzontali e una

verticale indipendenti tra loro. La “domanda” del sisma sulla struttura può essere

descritta, in campo elastico, attraverso lo spettro di risposta elastico in termini di

accelerazione la cui “forma” è riferita ad uno smorzamento convenzionale del 5% e va


- 18 -

definita mediante la massima accelerazione orizzontale al suolo, ag, su un sito di

riferimento rigido orizzontale e i parametri Fo e T*C. Lo spettro di risposta elastica in

termini di accelerazione orizzontale è così definito:

per 0 ≤ T ≤ TB

−⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅=

BBge T

TFT

TFSaTS 11)(0

0 ηη

per TB ≤ T ≤ TC 0)( FSaTS ge ⋅⋅⋅= η

per TC ≤ T ≤ TD

⋅⋅⋅⋅=

Cge T

TFSaTS 0)( η

per TD ≤ T ≤ TE

⋅

⋅⋅⋅⋅= 20)(T

TTFSaTS DC

ge η

essendo:

- Se l’accelerazione spettrale ricercata;

- T il periodo proprio di oscillazione della struttura che nel caso specifico di una

costruzione in muratura, può essere ricavato in forma approssimata come segue:

43

05,0 HT ⋅=

- η lo smorzamento viscoso, che per edifici in muratura si assume pari a 0,82;

- S il coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni

topografiche: S = Ss ⋅ ST ove Ss è il coefficiente di amplificazione stratigrafico

desumibile dalla tabella 3.2.V del DM 14.01.2008 in funzione della categoria di

sottosuolo ed ST è il coefficiente di amplificazione topografica, desumibile dalla

tabella 3.2.VI del sopracitato Decreto.

- Fo il fattore che quantifica l’amplificazione spettrale massima. Esso è ottenibile,

unitamente alla massima accelerazione orizzontale, ag, e al periodo in corrispondenza

del quale ha inizio il ramo a velocità costante, T*C, dalla tabella contenuta

nell’Allegato “B” alla norma in funzione delle coordinate geografiche del sito, avendo

prima definito il periodo di riferimento della struttura VR e il periodo di ritorno del

sisma TR. Il periodo di riferimento della struttura è dato dal prodotto della vita

nominale VN per il coefficiente d’uso Cu.


- 19 -

- TC il periodo corrispondente alla fine del ramo ad accelerazione costante, assunto

pari al prodotto tra T*C e il coefficiente CC desumibile dalla tabella 3.2.V di normativa

in funzione della categoria di sottosuolo.

- TB il periodo corrispondente all’inizio del ramo ad accelerazione costante dello

spettro, definito dalla norma pari a Tc /3.

- TD il periodo corrispondente all’inizio del ramo a spostamento costante dello spettro.

Esso è definito mediante la seguente relazione: 6,10,4 +⋅=g

aT g

D .

Risulta possibile a questo punto ricavare lo spettro di risposta elastico lineare Se(T) per

una struttura con comportamento elastico.

1.4.3 Forze sismiche equivalenti adottate nell’analisi statica lineare

In realtà le strutture esibiscono generalmente un comportamento elastoplastico

dissipando parte dell’energia di input rilasciata dal sisma. Ciò avviene grazie alla duttilità

dei materiali di cui si compone la struttura, cioè grazie al rapporto che esiste tra

deformazioni plastiche correnti e deformazioni al limite elastico della struttura, nonché

alla sua sovraresistenza, legata alla ridistribuzione delle sollecitazioni all’interno di essa.

Prima dell’avvento delle norme di nuova generazione le strutture si progettavano solo in

campo elastico considerando le risorse plastiche esclusivamente una riserva di sicurezza.

Si è poi capito che progettare una struttura in campo elastoplastico, sfruttando la duttilità

dei materiali, ci consente di prendere in considerazione, a parità di spostamento, forze

esterne minori di quelle considerate per un comportamento elastico lineare. Tale nuovo

modo di ragionare ha portato a definire uno spettro di progetto per mantenere ancora

valide le analisi lineari. Per quanto riguarda lo Stato Limite di Esercizio, coincide con lo

spettro elastico corrispondente alla probabilità di superamento PVR nel periodo di

riferimento VR considerato. Per quanto concerne invece lo Stato Limite Ultimo le capacità

dissipative della struttura ai fini sia del progetto che della verifica possono essere prese in


- 20 -

considerazione attraverso l’impiego dello spettro di progetto Sd(T) ottenuto riducendo le

ordinate dello spettro elastico Se(T) mediante il termine 1/q (con q>1) posto in luogo del

fattore η che tiene conto dello smorzamento viscoso. Il coefficiente q è definito dalla

norma come fattore di struttura e consente di effettuare analisi statiche lineari

considerando, in maniera indiretta, il comportamento post-elastico evolutivo delle

strutture.

Al § 7.8.1.3 il DM 14.01.2008 definisce il fattore di struttura q con la seguente relazione:

RKqq ⋅= 0

dove q0 rappresenta il valore massimo di q e KR un coefficiente che vale 1 per le strutture

“regolari” e 0,8 per le strutture “irregolari”, in pianta e/o in altezza. Il fattore q è tabellato

per le diverse tipologie costruttive e per le costruzioni in muratura ordinaria vale

10 0,2

ααuq ⋅= dove :

- α1 è il moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo

costanti le altre azioni, il primo pannello murario raggiunge la sua resistenza

ultima per crisi da taglio o da pressoflessione (se la crisi avviene per

pressoflessione e si adotta un approccio alle “deformazioni”, si può far

corrispondere α1 all’attingimento di una deformazione estensionale massima peri

a quella al limite elastico εk);

- αu è il 90% del moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale,

mantenendo costanti le altre azioni, la costruzione raggiunge la massima forza

resistente.

Il rapporto di sovraresistenza αu/α1 è fornito al § 7.3.1 delle NTC in funzione del numero

di piani dell’edificio.

Nota l’azione sismica attraverso lo spettro di progetto, si deve determinare per ogni stato

limite considerato la forza equivalente al sisma, cioè quell’azione statica che produce gli

stessi effetti delle forze di inerzia generate a ciascun livello dall’eccitazione sismica

applicata alla base della struttura.


- 21 -

Considerando una generica costruzione, la forza orizzontale equivalente al sisma è

valutabile, secondo il § 7.3.3.2 del DM 14.01.2008 nel seguente modo:

∑ ⋅⋅⋅=

j jj

iihi wz

wzFF

essendo: λ⋅⋅= wgTSF dh )/)((

In tale relazione:

- Fi è la forza equivalente al sisma da applicare nel baricentro della massa i-esima.

Nell’ipotesi di impalcato rigido nel proprio piano le masse e le inerzie della

struttura possono assumersi concentrate al livello degli orizzontamenti, per cui Fi

rappresenta la forza statica equivalente al sisma applicata nel baricentro

dell’impalcato i-esimo.

- Sd(T) è l’accelerazione spettrale di progetto.

- wi e wj sono, rispettivamente, il peso sismico della massa i-esima e della massa j-

esima valutati secondo la combinazione di carico considerata.

- w è il peso sismico complessivo della costruzione valutato secondo la

combinazione di carico considerata.

- zi e zj sono le quote, rispetto al piano di fondazione delle masse i e j.

- g è l’accelerazione di gravità.

- λ è un coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre orizzontamenti e se

T≤Tc, pari a 1,0 in tutti gli altri casi.

Si fa osservare che il termine ∑ ⋅

⋅j jj

ii wz

wz rappresenta un coefficiente di distribuzione

dell’azione sismica lungo l’altezza dell’edificio. La sua introduzione è scaturita dal fatto

che gli spettri di risposta valgono per sistemi ad un grado di libertà (oscillatore semplice)

mentre le strutture possiedono in realtà infiniti gradi di libertà. Questo coefficiente regola

la condizione secondo la quale due masse di pari entità poste in verticale in un sistema a

due gradi di libertà non possono subire lo stesso spostamento e, quindi, la stessa

accelerazione orizzontale. Senza la presenza di questo coefficiente l’azione sismica


- 22 -

verrebbe ripartita tra gli impalcati solo in proporzione alle masse senza considerare la

quota a cui esse risultano applicate.

Se gli impalcati non possono essere considerati rigidi nel proprio piano è necessario

ripartire i pesi sismici in maniera che essi agiscano sugli elementi strutturali a cui sono

vincolati (nel caso di un solaio esso viene ripartito per aree di influenza sulle pareti),

ricavare tante forze equivalenti quanti sono i pesi sismici ed applicarle nei baricentri degli

elementi cui sono applicate.

- 23 -

Capitolo 2 - Metodi di analisi sismica

2.1 Considerazioni generali

L’analisi strutturale rappresenta quell’insieme di operazioni che consentono di descrivere

il comportamento reale (o quanto più vicino ad esso) di una struttura attraverso un

modello teorico e di studiarne il presumibile stato di sollecitazione attraverso la sua

risoluzione con metodi analitici. Quest’insieme di operazioni può essere suddiviso in tre

fasi distinte:

- modellazione;

- calcolo;

- verifica.

La modellazione consiste tradurre un qualcosa di reale in un modello che ne rappresenti

il comportamento in un contesto noto attraverso ipotesi di base, semplificazione di realtà

complesse in fenomeni più semplici attraverso la scomposizione e sovrapposizione di

cause-effetti e utilizzo di risultati ottenuti dall’esperienza. Esistono diversi modelli

rappresentativi.

Il modello geometrico prevede la definizione della composizione della struttura

schematizzandola in elementi geometrici di dimensioni note. Gli elementi strutturali

saranno così rappresentati da sistemi monodimensionali (travi, pilastri), sistemi

bidimensionali (piastre, pareti) o sistemi misti, dove esistono sia elementi

monodimensionali che bidimensionali. Oltre alla schematizzazione degli elementi

strutturali, il modello geometrico deve contemplare anche le condizioni di vincolo

(interne ed esterne), cercando rappresentare al meglio la reale configurazione della

struttura.

- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 24 -

Il modello meccanico, invece, consiste nella definizione del comportamento dei materiali di

cui la struttura è costituita. In particolare esso consiste nella definizione dei moduli elastici

o dei legami costitutivi dei materiali, della loro resistenza. Tale modello, insieme a quello

delle azioni, è quello cui si associano le maggiori incertezze in quanto sono evidenti le

difficoltà legate al dover esprimere analiticamente il comportamento meccanico dei

materiali mediante un limitato numero di parametri, semplici da definire ma, al

contempo, significativi.

Il modello delle azioni, a sua volta, considera tutti i carichi a cui la struttura è o sarà

sottoposta durante la propria vita valutando, in maniera opportuna, il modo in cui tali

azioni sono applicate e distribuite sui diversi elementi strutturali. La certezza di tale

modello è requisito essenziale per la valutazione delle condizioni in cui versa o potrebbe

versare una struttura: la mancata o errata considerazione di un’azione può essere causa di

collassi, dissesti o comunque esigui margini di sicurezza.

Il calcolo, ovvero l’analisi strutturale propriamente detta, altro non è che un insieme di

operazioni condotte secondo la logica della metodologia adottata, con lo scopo di

conoscere lo stato di sollecitazione e di deformazione della struttura sottoposta alle azioni

previste in fase di modellazione. I risultati del calcolo strutturale non costituiscono il reale

stato della struttura, ma solamente una sua rappresentazione molto sfocata la cui

approssimazione dipende, sia dagli strumenti utilizzati nel calcolo, sia dalle ipotesi di

base assunte nelle fasi di modellazione e di calcolo.

La verifica consiste, infine, nel confrontare le sollecitazioni e le deformazioni applicate

alla struttura con quelle sopportabili da essa. In particolare, nell’ambito del metodo semi-

probabilistico agli stati limite, si verifica che risulti soddisfatta la seguente disequazione:

dd RS ≤ dove Sd sono le sollecitazioni di progetto indotte dai carichi applicati ed Rd le resistenze di

progetto. Le sollecitazioni di progetto si ottengono amplificando e combinando tra loro i

valori caratteristici delle azioni (dirette e indirette) applicate alla struttura, mentre le


- 25 -

resistenze di progetto si ricavano riducendo i rispettivi valori caratteristici. In condizione

sismica si parla, più in generale, rispettivamente di domanda (D) e di capacità (C)

verificando che risulti: D ≤ C.

2.2 Metodi di analisi previsti dal DM 14.01.2008

Il DM 14.01.2008 prevede quattro metodi di analisi, che di eseguito sono ordinati in senso

crescente per complessità e precisione dei risultati forniti:

- analisi statica lineare;

- analisi dinamica modale;

- analisi statica non lineare;

- analisi dinamica non lineare.

La scelta tra un metodo e l’altro dipende dalle caratteristiche e dall’importanza della

struttura che si intende analizzare. L’analisi dinamica non lineare è sicuramente in grado

di fornire la migliore predizione della risposta strutturale alle azioni sismiche.

2.2.1 Analisi statica lineare

L’analisi statica lineare consiste nel rappresentare l’azione sismica attraverso un sistema

di forze statiche applicate in corrispondenza degli impalcati di un edificio (dove si

ipotizzano concentrate le masse della struttura) e nel calcolare sollecitazioni e spostamenti

considerando la struttura come un sistema elastico lineare.

Il metodo prevede di considerare applicate alla struttura una distribuzione di forze

proporzionale al suo primo modo di vibrazione “linearizzato” e la conoscenza del suo

periodo consente di calcolare il tagliante alla base della struttura la cui distribuzione


- 26 -

lungo l’altezza rappresenta proprio il sistema di forze statiche da applicare. Il periodo

fondamentale T1 può essere determinato facendo ricorso ai metodi della dinamica

strutturale oppure attraverso formule approssimate indicate dalla normativa.

Se masse e altezze d’interpiano sono uguali ai diversi piani la distribuzione delle azioni

sismiche risulta essere di tipo triangolare inversa.

Questo tipo d’analisi è in grado di fornire risultati soddisfacenti nel caso di strutture la cui

risposta non è significativamente influenzata dai modi superiori di vibrazione, circostanza

che si presenta quando sono rispettate le condizioni di regolarità in altezza previste dalla

normativa. Utilizzare l’analisi statica per lo studio di strutture irregolari può portare,

infatti, a stime di sollecitazioni e spostamenti significativamente lontane dai valori reali;

valutazione molto imprecisa della risposta che, pur essendo talvolta in favore di

sicurezza, possono condurre a strutture molto costose e meno compatibili con esigenze

architettoniche ed impiantistiche.

2.2.2 Analisi dinamica modale

L’analisi modale (o dinamica lineare o multi-modale) è un metodo di valutazione

convenzionale di sollecitazioni e spostamenti di progetto in base al quale la risposta di un

sistema ad n gradi di libertà (supposto a comportamento elastico lineare) viene riguardata

come sovrapposizione delle risposte di n sistemi ad un grado di libertà, ciascuna di essa

pesata attraverso un coefficiente opportunamente definito. A ciascun oscillatore semplice

sono associati una “forma” modale (ovvero un modo di vibrazione naturale), un

coefficiente di partecipazione, un periodo proprio di oscillazione ed una massa

partecipante. L’impiego di uno spettro di progetto consente, poi, di calcolare la massima

accelerazione alla base della struttura per ciascun modo e , dunque, le forze applicate ai

diversi livelli. Gli effetti (sollecitazioni e spostamenti) dei singoli modi di vibrare vanno,

infine, combinati tra loro per ottenere quelli della struttura reale.


- 27 -

La maggiore differenza con l’analisi statica equivalente è legata alla considerazione dei

modi propri di vibrazione della struttura per tenere conto, nel calcolo dei parametri di

risposta, delle sue caratteristiche dinamiche.

Per poter svolgere questo tipo di analisi le masse dei piani della struttura possono essere

definite, attraverso uno dei seguenti approcci:

- calcolo dell’inerzia traslazionale, pari alla somma di tutte le masse assunta uguale

in tutte le direzioni e dell’inerzia rotazionale (momento d’inerzia delle masse) del

piano concentrata nel baricentro;

- calcolo delle inerzie traslazionali, supposte uguali in tutte le direzioni, dei diversi

elementi strutturali concentrate nei rispettivi nodi, sicché la distribuzione delle

masse concentrate nel piano tiene implicitamente conto dell’inerzia rotazionale;

- attribuzione ad ogni elemento della massa per unità di lunghezza che gli compete,

tenendo in conto implicitamente, sia l’inerzia traslazionale, sia quella rotazionale.

L’accoppiamento dell’analisi modale con lo spettro di progetto in termini di accelerazione

espresso in g consente di calcolare i vettori “massimi” delle forze statiche equivalenti

relative ai vari modi, attraverso opportune relazioni. Questo modo di procedere non è

chiaramente sufficiente qualora si sia interessati ad analizzare la risposta evolutiva della

struttura. In tal caso, selezionato un gruppo di accelero grammi spettro-compatibili, si

può effettuare l’analisi dinamica lineare risolvendo l’equazione del moto per ciascun

oscillatore individuato mediante decomposizione modale.

2.2.3 Analisi statica non lineare

La capacità di una struttura di resistere all’evento sismico dipende fortemente dalla sua

capacità di deformazione e dalla sua duttilità. I metodi di analisi elastica lineare analizzati

(statico e dinamico modale) tengono conto del comportamento non lineare della struttura

tramite il fattore di struttura che permette di ridurre lo spettro di risposta elastico e,

quindi, le richieste di resistenza. Questi metodi non possono, però, cogliere cambiamenti


- 28 -

nella risposta della struttura qualora i suoi elementi superino il limite elastico; da ciò

consegue l’assoluta mancanza di informazioni sulla distribuzione delle domande di

anelasticità.

L’analisi statica non lineare consiste nel sottoporre una struttura ai carichi gravitazionali e

ad un sistema di forze laterali che simulano le forze d’inerzia e che, mantenendo i rapporti

relativi tra di esse, sono variate in conseguenza di un incremento monotono dello

spostamento orizzontale di un punto di controllo della struttura (ad es. il baricentro

dell’ultimo piano) sino al raggiungimento di uno spostamento di target che rappresenta la

domanda sismica valutata mediante lo spettro elastico di normativa.

Il risultato finale dell’analisi è la curva1

- valutare i rapporti di sovraresistenza

taglio alla base (somma di tutte le forze

orizzontali) -spostamento del punto di controllo, che rappresenta la capacità della

struttura. Essa va confrontata con la domanda, individuata sulla curva stessa in

corrispondenza di valori dello spostamento orizzontale ottenuti sullo spettro di

spostamento fornito dalla normativa. Con tale analisi è possibile verificare la sicurezza

della struttura sia in termini di resistenza che di deformabilità tenendo conto, sia delle

non linearità geometriche, sia di quelle meccaniche. Questo tipo di analisi permette,

inoltre, di ricavare interessanti informazioni sulla risposta di sistemi strutturali

soprattutto se impiegato per la verifica di edifici esistenti o per ottimizzare la

progettazione di costruzioni nuove.

In particolare l’analisi statica non lineare può essere effettuata per gli scopi seguenti:

1ααu ;

- verificare l’effettiva distribuzione della domanda anelastica negli edifici progettati

con il fattore di riduzione RKqq ⋅= 0 ;

- come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione2

- come metodo per la valutazione della capacità sismica di edifici esistenti.

sostitutivo dei

metodi d’analisi lineari;

1 In realtà è una successione di punti ottenuti con un metodo numerico. 2 Nella letteratura scientifica si parla di “Displacement-Based Design”, DBD.


- 29 -

La metodologia proposta dalle norme si basa sull’assunzione che la risposta di un sistema

a più gradi di libertà possa essere correlata alla risposta di un sistema equivalente ad un

grado di libertà con un’appropriata caratteristica isteretica.

Il metodo si articola nei passi seguenti:

- determinazione di un legame forza-spostamento generalizzato tra la risultante

delle forze applicate (“taglio alla base” Vb) e lo spostamento orizzontale Δt di un

“punto di controllo”, usualmente scelto coincidente con il baricentro dell’ultimo

impalcato;

- determinazione delle caratteristiche di un sistema ad un grado di libertà a

comportamento bi-lineare equivalente;

- determinazione della massima domanda in termini di spostamento attraverso

l’impiego dello spettro di risposta elastico;

- conversione dello spostamento del sistema equivalente così determinato nella

configurazione deformata effettiva dell’edificio e verifica della compatibilità degli

spostamenti (elementi/meccanismi duttili) e delle resistenze (elementi/ meccanismi

fragili).

Figura 2.1 – Distribuzione di forze orizzontali Figura 2.2 – Curva di capacità V – Δ

In conclusione va osservato che l’analisi statica non lineare, pur utilizzando sempre forze

applicate alla struttura (direttamente se l’analisi è in controllo di forza o indirettamente se

l’analisi è in controllo di spostamento), considera in modo esplicito il ruolo fondamentale

dello spostamento e della deformazione, che sono le reali cause distruttive del sima.


- 30 -

Gli elementi chiave di un’analisi non lineare sono la “capacità”, la “domanda” e la

“prestazione”. La “domanda” è una rappresentazione della richiesta di prestazione del

moto sismico alla struttura. La “capacità” è l’abilità della struttura di resistere alla

domanda sismica. La “prestazione” rappresenta la misura dell’incontro tra capacità e

domanda; la struttura deve avere la capacità di resistere alla domanda sismica in modo

che la prestazione sia compatibile con gli obiettivi di progetto3

2.2.4 Analisi dinamica non lineare

.

Nell’analisi dinamica non lineare la risposta della struttura è calcolata integrando

direttamente l’equazione del moto del sistema non lineare utilizzando un modello

tridimensionale dell’edificio ed un “sufficiente” numero di accelerogrammi come definito

dalla normativa italiana ed europea.

Questo è sicuramente il metodo di analisi più raffinato perché consente di conoscere

sollecitazioni e deformazioni della struttura nel tempo, ma anche quello più complesso e

richiede per questo una particolare attenzione.

Due sono gli aspetti significativi: il primo consiste nell’individuazione di un modello che

sia in grado di descrivere il comportamento post-elastico degli elementi sotto cicli di

carico e la relativa dissipazione di energia; il secondo consiste nella scelta degli

accelerogrammi da utilizzare come input, che devono essere rappresentativi degli eventi

attesi nella zona in cui è situato l’edificio oggetto di studio e, al contempo, compatibile con

lo spettro di normativa.

L’esecuzione di un’analisi dinamica si articola nelle seguenti fasi:

- Definizione del modello geometrico tridimensionale della struttura tenendo conto

delle particolari indicazioni del codice di calcolo automatico utilizzato per

descrivere particolari condizioni quali, ad esempio, piani rigidi e nodi trave-

colonna. Modelli definiti in maniera grossolana possono produrre risultati.

3 Nella letteratura scientifica si parla di “Performance-Based Desig”, PBD.


- 31 -

- Definizione delle masse che possono essere eccitate dinamicamente dall’evento

sismico e loro applicazione nel modello .

- Definizione dello smorzamento della struttura che, nel problema di equilibrio,

dinamico governato dall’equazione del moto, è rappresentato dalla matrice degli

smorzamenti da dedurre necessariamente in base al comportamento non lineare

dei materiali costituenti.

- Definizione dei legami costitutivi non lineari isteretici (evolutivi e non degradanti)

dei materiali oppure della posizione e del diagramma momento-curvatura delle

cerniere plastiche, qualora si effettui una modellazione a plasticità concentrata;

- Definizione dell’input sismico (set di accelerogrammi).

- Verifica della struttura.

Svolta l’analisi e calcolata la risposta nel tempo della struttura sollecitata da un evento

sismico rappresentato da un gruppo di accelerogrammi, è possibile conoscere in ogni

istante su ogni elemento della struttura gli effetti del sisma (momenti, tagli, spostamenti),

controllando la compatibilità degli spostamenti negli elementi che presentano un

comportamento duttile e delle resistenze negli elementi con comportamento fragile.

Se nel procedimento di calcolo è stato utilizzato un gruppo di tre accelerogrammi le

verifiche degli elementi strutturali, riguarderanno i valori massimi degli effetti, mentre se

sono stati considerati più accelerogrammi (in numero almeno pari a 7) le verifiche

riguarderanno i valori medi delle azioni calcolate.

2.3 Analisi strutturale in campo non lineare

Il passaggio tra analisi statica lineare e analisi statica non lineare, con il metodo RAN o

qualsiasi altro metodo di calcolo, avviene nel momento in cui si rimuove l’ipotesi di

azione sismica applicata con una forza statica equivalente e si considera il sisma come


- 32 -

applicato gradualmente alla struttura. Tale considerazione fa si che ad ogni variazione

dell’azione sismica nel tempo corrisponde una soluzione statica diversa per l’istante di

tempo considerato dove in ognuno di questi istanti oltre a variare le sollecitazioni variano

anche i parametri che nell’input di un’analisi statica lineare risultano essere costanti.

Nel passaggio tra le due analisi si riscontrano due tipologie di non linearità:

- non linearità geometrica

- non linearità del materiale.

2.3.1 Non linearità geometrica

Quando un corpo elastico si deforma in maniera significativa non è più valida ipotesi

della teoria della elasticità lineare secondo la quale è possibile, in un processo

deformativo, confondere la configurazione finale con quella iniziale. Questa ipotesi

implica, in termini di modellazione, di utilizzare un sistema di riferimento che rimane

invariato durante l’analisi e, in termini di soluzione, una linearità tra cause ed effetti.

Un’analisi in grado di cogliere le non linearità geometriche prevede due passi successivi:

- la scomposizione della struttura nei suoi elementi e la ricerca per ciascun

elemento, nel sistema di riferimento locale associato alla deformata corrente, della

nuova configurazione di equilibrio;

- la trasformazione di questa configurazione e degli effetti conseguenti (azioni

interne) dal sistema di riferimento locale a quello globale, in modo che sia

possibile procedere all’assemblaggio, ovvero alla ricostruzione dell’intera struttura

e alla definizione della risposta globale.

È possibile individuare due cause di non linearità geometrica.

1) Grandi deformazioni. Data l’elevata deformabilità del materiale, lo sviluppo in

serie di Mac Laurin delle deformazioni va arrestato ad un termine di ordine

superiore al primo.


- 33 -

2) Grandi spostamenti/rotazioni. Si considera che all’aumentare del carico

l’elemento cambia configurazione rispetto a quella iniziale. Assunto un sistema di

riferimento locale per la sezione di applicazione della forza, esso risulterà ruotato

rispetto alla direzione del carico agente in modo tale che la componente del carico

ortogonale dell’asse non crescerà più linearmente con lo spostamento. Di

conseguenza, il momento flettente e il taglio aumentano meno che

proporzionalmente con lo spostamento in quanto parte del carico induce uno

sforzo normale di trazione.

Si consideri una mensola sollecitata da una forza trasversale F all’estremo libero (ved.

Figura 2.3a).

Figura 2.3 – Legame taglio-spostamento in campo non lineare geometrico

Con riferimento alla Figura 2.4, supporre che le configurazioni indeformata e deformata

coincidano corrisponde a considerare il sistema di riferimento dell’elemento fisso e,

quindi, il carico verticale sempre parallelo all’asse della colonna. Se invece (come è anche

intuibile fisicamente) si considera che a causa dello spostamento δ, la configurazione

“attuale” dell’elemento è diversa rispetto a quella iniziale per la sua inflessione, assunto

solidale con il corpo un sistema di riferimento locale, quest’ultimo risulterà ruotato

rispetto alla direzione dei carichi agenti variando il reale stato di sollecitazione.


- 34 -

Figura 2.4 – Momento flettente comprensivo degli effetti del second’ordine

2.3.2 Non linearità del materiale

La considerazione della non linearità del materiale assume fondamentale importanza se si

vuole avvicinare il più possibile i risultati del calcolo al comportamento reale della

struttura. Gli approcci che permettono di considerare questa non linearità sono il modello a

plasticità concentrata e il modello a plasticità diffusa.

Plasticità concentrata. Questo tipo di modellazione prevede che tutti gli elementi

costituenti la struttura rimangano sempre in campo elastico e che vengano introdotti, alle

estremità degli stessi, conci di lunghezza finita con comportamento anelastico detti

“cerniere plastiche” laddove si prevede una concentrazione del danneggiamento.

La non linearità della struttura viene pertanto concentrata in pochi elementi. Il vantaggio

di questa modellazione è che permette di lavorare principalmente con elementi elastici

più facilmente gestibili concentrando in pochi punti della struttura la non linearità del

materiale. Il limite di questa modellazione è che richiede una certa esperienza per stabilire

come distribuire gli elementi non lineari e per adottare lunghezze e curve caratteristiche

che permettano di cogliere il reale comportamento anelastico della struttura.

Plasticità diffusa. In questo caso gli elementi strutturali si considerano dotati di

comportamento anelastico diffus, sia trasversalmente che longitudinalmente, attraverso

una discretizzazione in fibre. Questo modello prevede che lo stato tenso-deformativo di


- 35 -

una sezione del generico elemento sia ottenuto tramite l’integrazione della risposta

sforzo-deformazione uniassiale non lineare di ciascuna fibra. Se dal un punto di vista

computazionale un modello a plasticità distribuita, adottando legami costitutivi non

lineari per ciascun materiale costituente l’elemento, risulta più oneroso rispetto ad uno a

plasticità concentrata, da un punto di vista operativo, il primo non necessita di una

particolare esperienza nella modellazione.

2.3.3 Ulteriori considerazioni

Va osservato che l’analisi lineare e quella non lineare non differiscono esclusivamente per

il modo con il quale considerano le azioni esterne (nella prima applicata staticamente con

l’intensità totale e nella seconda applicata con legge incrementale monotona) e per

l’introduzione delle non linearità geometriche e meccaniche, bensì si distinguono anche

per il tipo di controllo che sulle analisi si effettua.

L’analisi statica lineare può essere condotta esclusivamente in controllo di forza; nella

determinazione della capacità portante (e quindi del moltiplicatore di crisi) si incrementano

le forze fino a quando esse fanno attingere il collasso della struttura. In questo modo è

possibile valutare lo spostamento ultimo della costruzione in corrispondenza del sistema

di forze che genera la crisi, ma non è possibile valutare ciò che avviene nella curva di

capacità dopo la crisi del primo elemento perché il taglio sopportabile risulta sempre più

inferiore al suo massimo valore e non può essere determinato dal momento che

analiticamente ad uno stesso valore del taglio corrispondono due valori dello

spostamento, uno associato al ramo crescente della curva e l’altro associato al ramo

discendente di essa.

L’analisi statica non lineare, oltre che on controllo di forza, può essere condotta anche in

controllo di spostamento, ovvero incrementando monotonamente gli spostamenti applicati

alla struttura si valuta il massimo sforzo orizzontale sopportabile dalla stessa ed il suo


- 36 -

spostamento ultimo. Procedendo in tal modo è possibile tracciare graficamente la curva di

capacità anche dopo il collasso del primo elemento sino all’attingimento della crisi globale

della struttura.

- 37 -

Capitolo 3 - Il metodo di calcolo RAN

3.1 Ipotesi di base e fasi del procedimento

Il metodo di calcolo RAN, proposto per la prima volta da Augenti e Raithel al Convegno

ASSIRCO tenutosi a Ferrara nel 1984, è stato concepito per l’analisi agli Stati Limite di

edifici in muratura composti da pareti (regolari o irregolari) schematizzabili come insieme

di macro-elementi (pannelli di maschio, di nodo e di fascia) sollecitati da azioni verticali e

orizzontali, sismiche e non sismiche, che possono attingere il collasso per taglio o per

presso-flessione.

Le ipotesi alla base di tale metodologia di calcolo sono di seguito sintetizzate.

- La generica parete di un edificio è discretizzabile in macro-elementi. Ad ogni piano,

prolungando le linee di contorno dei vani, si individuano i pannelli di maschio

(elementi portanti verticali) vincolati ad una o entrambe le estremità di base dai

pannelli di nodo i quali, a loro volta, sono confinati ai lati (interamente o

parzialmente) dai pannelli di fascia (elementi portanti orizzontali). I pannelli murari

sono assimilabili ad elementi mono-dimensionali di sezione rettangolare costante.

- Le azioni sismiche orizzontali si considerano applicate, in altezza al livello di

ciascun impalcato e in pianta nel baricentro delle masse, se gli impalcati si

suppongono rigidi nel proprio piano e sufficientemente resistenti per la

trasmissione delle azioni alle pareti.

- La ripartizione delle azioni orizzontali tra i pannelli di maschio di uno stesso

impalcato è effettuata in proporzione alla rigidezza tagliante e flessionale che ogni

pannello è in grado di esibire. La ripartizione viene effettuata “alla Engesser” così

come descritto nel § 3.2.

- Gli sforzi normali applicati a ciascun pannello di maschio dipendono anche

dall’azione sismica orizzontale ripartita su ogni pannello.

- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 38 -

- Il massimo carico orizzontale che ogni piano può sopportare corrisponde al

raggiungimento dello Stato Limite del pannello (nell’analisi statica lineare) o del

piano (nell’analisi statica non lineare) più debole.

- La muratura si suppone caratterizzata da un legame costitutivo di tipo elastico

lineare perfettamente plastico (nell’analisi statica lineare) o elasto-plastico

(nell’analisi statica non lineare).

- La resistenza a trazione nelle sezioni di estremità dei pannelli di maschio si

assume nulla in virtù della ridottissima influenza che essa esercita sul massimo

taglio sopportabile per presso-flessione.

Il metodo RAN si articola, essenzialmente, nelle seguenti fasi:

- Definizione del modello geometrico dell’edificio; discretizzazione delle pareti in

macro-elementi; individuazione del modello meccanico del materiale.

- Definizione del modello di carico attraverso l’analisi delle azioni verticali ed

orizzontali, sismiche e non sismiche, secondo quanto stabilito dalle NTC. Ogni

parete forata sarà costituita da nxm pannelli, sollecitati dal peso proprio Q, dalla

risultante delle azioni trasmesse dagli impalcati P, dagli sforzi di taglio e gli sforzi

normali derivanti dalle forze orizzontali; la risultante degli sforzi di taglio F

presenta eccentricità f rispetto alle sezioni superiori dei pannelli di maschio che si

considerano vincolati in maniera diversa a seconda della tipologia di parete presa

in esame.

- Determinazione della capacità di resistenza, sia a presso-flessione che a taglio, dei

pannelli di maschio e dei pannelli di fascia.

- Definizione delle curve caratteristiche di piano, cioè del legame che sussiste tra la

risultante dei tagli applicati ai pannelli di maschio di un medesimo livello e lo

spostamento orizzontale relativo. Attraverso tali curve è possibile, sia pervenire

alla determinazione della capacità portante (ovvero della massima forza orizzontale

a cui la struttura è in grado di resistere), sia costruire la curva di capacità e

determinare lo spostamento ultimo dell’edificio o di una singola parete

nell’ambito dell’analisi statica non lineare.


- 39 -

- Verificare i pannelli di fascia di ciascun piano.

3.2 Ripartizione dell’azione sismica

Nell’ambito dell’analisi statica lineare le forze equivalenti al sisma calcolate secondo

quanto descritto al § 1.4.3 vanno ripartite tra i diversi pannelli di maschio di ciascun piano

in proporzione alla loro rigidezza alla traslazione orizzontale.

Innanzi tutto va precisato che, in corrispondenza di un adeguato collegamento tra le

pareti murarie l’azione sismica orizzontale viene fronteggiata essenzialmente dai i

pannelli di maschio disposti con il piano medio di massima inerzia parallelo ad essa.

Dato, però, che per siti ubicati ad una certa distanza dalla faglia il sisma non agisce

generalmente secondo una direzione preferenziale, non è possibile a priori disporre le

pareti essa ed è necessario considerare l’azione sismica applicata in più direzioni e versi

mediante molteplici combinazioni. Le NTC impongono di combinare gli effetti dell’azione

sismica pensata agente in una direzione con la sua massima intensità e nella direzione

ortogonale con il 30% di essa.


- 40 -

Figura 3.1 – Ripartizione dell’azione sismica

Con riferimento al generico impalcato, in Figura 3.1 sono rappresentati i generici pannelli

di maschio indicando con:

- u i pannelli di maschio disposti lungo la direzione x;

- v i pannelli di maschio disposti lungo la direzione y.

Si indicano poi con XG e YG le coordinate del centro di massa dell’impalcato, con Xu e Yu le

coordinate del centro di massa del generico pannello di maschio in direzione x e con Xv e

Yv le coordinate del cento di massa del generico pannello di maschio in direzione y.

La risultante delle reazioni esplicate dai pannelli per fronteggiare l’azione sismica si

considera applicata in un punto denominato centro delle rigidezze.


- 41 -

Figura 3.2 – Pannello di maschio vincolato “alla Grinter”

Per un edificio in muratura in cui le pareti sono ben collegate da cordoli si può assumere

che le fasce di piano siano rigide rispetto ai pannelli di maschio. In tale ipotesi ciascuno di

tali macro-elementi può essere supposto vincolato alla base da un incastro e in sommità

da una catena di pendoli inestensibili (ved. Figura 3.2). Tale pannello, se sottoposto ad una

forza orizzontale agente in sommità, è dotato di:

- rigidezza flessionale 3

12H

EIK f⋅

= ;

- rigidezza tagliante HAGKv ⋅

⋅=

2,1.

dove:

- I momento di inerzia della sezione 12/3BsI ⋅= ;

- E modulo di elasticità normale;

- G modulo di elasticità tangenziale;

- 1,2 fattore di taglio di una sezione rettangolare;

- A area della sezione di base del pannello BsA ⋅= .

Assumendo che i meccanismi resistenti a presso-flessione e a taglio del generico pannello

siano disposti in parallelo rispetto alla forza alla forza orizzontale applicata in sommità

del pannello, la deformazione complessiva alla traslazione orizzontale è pari alla somma

delle deformabilità a flessione e a taglio, per cui la rigidezza si può esprimere come:

vf KK

K11

1

+=


- 42 -

Note le rigidezze dei pannelli di maschio a ciascun piano dell’edificio è possibile

determinare la posizione del loro baricentro applicando semplicemente il teorema del

momento statico ad un sistema di vettori paralleli, ognuno applicato nel baricentro del

generico pannello, con modulo proporzionale alla rigidezza e con direzione e verso

coincidenti con quelli dell’azione orizzontale da equilibrare.

Le coordinate del centro di rigidezza relativo al generico piano dell’edificio in muratura

sono dunque, espresse da:

y

vvyC K

xKX ∑ ⋅

= x

uuxC K

yKy ∑ ⋅

=

essendo Kvy la rigidezza del generico pannello v e Kux la rigidezza del generico pannello u.

Nel punto C sarà pertanto applicata una forza uguale ed opposta all’azione sismica agente

nel baricentro delle masse G. Se nasce però un’eccentricità tra azione e reazione dovuta al

fatto che centro di rigidezza e centro di massa non coincidono, le due forze generano una

coppia torcente che, se è garantita la rigidezza estensionale dell’impalcato e la sua

resistenza per azioni incrementate del 30%, viene equilibrata, anziché per torsione

primaria dei pannelli, per torsione secondaria ovvero da un sistema di tagli di risultante

nulla. Detti tagli andranno a incrementare o a ridurre quelli che equilibrano l’azione

sismica esterna alla traslazione orizzontale.

Le NTC prescrivono di aggiungere all’eccentricità strutturale un’eccentricità accidentale

per tener conto delle incertezze che si compiono nel valutare la posizione del centro di

massa degli impalcati e della variabilità del moto sismico. Tale eccentricità suppletiva è da

assumersi in ognuna delle due direzioni non inferiore al 5% della lunghezza massima

dell’edificio nella direzione considerata. Il segno dell’eccentricità accidentale deve essere

sempre tale da incrementare l’effetto provocato dall’eccentricità reale.

A questo punto è possibile ripartire sui singoli pannelli sia l’azione sismica che la coppia

torcente tramite la formula di Engesser che, nel caso specifico di forza applicata in

direzione x, assume la seguente forma:


- 43 -

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

−⋅⋅±−⋅⋅⋅±

−⋅⋅±−+⋅⋅±=

c

cuxCGuxy

c

cuyCG

xuxxux I

yyLxxKFI

yyLyyK

KFF 05,03,005,01

dove:

- Fux è la forza che compete al generico pannello u in direzione x;

- Fx è la forza equivalente al sisma in direzione x;

- Fy è la forza equivalente al sisma in direzione y;

- Kux è la rigidezza del generico pannello u esibita lungo la direzione x;

- Kx è la rigidezza totale che tutti i pannelli u esibiscono lungo la direzione x;

- [(yG – yc)±0,05∙Ly] è la somma dell’eccentricità strutturale e di quella accidentale in

direzione y;

- [(xG – xc)±0,05∙Lx] è la somma dell’eccentricità strutturale e di quella accidentale in

direzione x;

- (yu – yc) è la distanza tra il baricentro del generico pannello e il centro di rigidezza,

valutata lungo la direzione y;

- IC è l’inerzia polare dei pannelli e vale

∑∑ −⋅+−⋅= 22 )()( cvvycuuxC xxKyyKI

3.3 Le sollecitazioni agenti sul pannello di maschio

Prima di analizzare il comportamento sismico negli edifici in muratura è necessario

classificare le pareti in tre tipologie:

- Pareti del I tipo, composte da maschi murari indipendenti tra loro per l’assenza di

qualsiasi tipo di collegamento strutturale;


- 44 -

- Pareti del II tipo, composte da maschi murari collegati alla traslazione orizzontale

da impalcati rigidi nel loro piano che possono essere riguardati alla stregua di

livelli inestensibili;

- Pareti del III tipo, in cui le fasce di piano si suppongono rigide e sufficientemente

resistenti, sia a presso-flessione che a taglio.

Per semplicità di calcolo nel seguito si assumeranno sempre pareti del III tipo, ove il

generico pannello di maschio risulta “alla Grinter”. È ancora in fase di studio preliminare,

infatti, la possibilità di attribuire ai diversi pannelli condizioni di vincolo differenti e

variabili con lo stato di sollecitazione e di deformazione ottenuto dall’analisi strutturale.

Per il pannello vincolato come in Figura 3.2 lo stato di sollecitazione è, come noto dalla

Scienza delle Costruzioni, di tipo emisimmetrico (ved. Figura 3.3).

Figura 3.3 – Caratteristiche della sollecitazione interna agenti sul pannello di maschio

Definendo con:

- σk la resistenza di calcolo a compressione dk f⋅= 85,0σ ;

- τk la resistenza di calcolo a taglio puro per trazione kk σβτ ⋅= ;4

- τc la resistenza di calcolo a taglio puro per scorrimento

kc σγτ ⋅= ;5

- σkt la resistenza di calcolo a trazione;

- τt la resistenza di calcolo a taglio per trazione;

4 Il coefficiente β pu ò essere assunto ad esempio pari a 0,02 5 Il coefficiente γ pu ò essere assunto pari a β


- 45 -

- τa la resistenza di calcolo a taglio per scorrimento.

Si ipotizzano:

- il materiale non reagente a trazione in corrispondenza delle basi;

- il peso proprio del pannello di maschio trascurabile ai fini della resistenza a

presso-flessione di tale elemento;

- le tensioni normali distribuite con legge lineare o costante nell’ambito della sola

analisi statica lineare.

Assegnando il pedice s alle sollecitazioni relative alla base superiore e il pedice i alle

sollecitazioni relative alla base inferiore è possibile effettuare analisi tensionali su ognuna

delle sezioni di estremità del pannello di maschio. Limitando la trattazione che segue al

procedimento di calcolo impiegato nell’analisi statica lineare, gli stati tensionali possibili

sono:

- stato elastico a sezione interamente reagente;

- stato limite elastico a sezione interamente reagente;

- stato limite elastico a sezione parzialmente reagente;

- stato elasto-plastico a sezione parzialmente reagente;

- stato limite di plasticizzazione a sezione parzialmente reagente;

- stato limite di plasticizzazione a sezione interamente reagente.

Definendo ora lo sforzo normale ultimo come:

sBN ku ⋅⋅= σ

è possibile adimensionalizzare sforzo normale e taglio rispetto allo sforzo normale ultimo

e l’eccentricità rispetto alla base del pannello.

uNNN = ;

uNVV = ; B

ee =


- 46 -

Mentre in condizione non sismica lo sforzo normale agente su ogni pannello di maschio è

pari alla sola risultante di carichi gravitazionali, in quella sismica vi è un’altra aliquota S

indotta dalle azioni sismiche orizzontali. Risulta pertanto:

SRN ±=

dove:

- R è l’aliquota di sforzo normale agente sulla base superiore del pannello di

maschio, calcolata utilizzando la combinazione sismica dei carichi;

- S incremento o decremento di sforzo normale agente sul generico pannello di

maschio indotta dalla coppia ribaltante che nasce a causa dell’azione sismica che

agisce sulla parete al livello di ogni impalcato.

Lo sforzo S può essere semplicemente determinato utilizzando la seguente relazione

scritta in forma generalizzata:

∑ +++ ⋅⋅= )1(,),1(),1( irrjiji DFS ψ con ∑ ⋅

⋅= 2

,,

,,,

jiji

jijiji d

dρ

ρψ

essendo:

- ψ un coefficiente di ripartizione;

- ρ la rigidezza estensionale del pannello e vale ( ) j,ij,ij,i H/EAρ = ;

- d la distanza tra il baricentro del pannello j e il centro delle rigidezze

estensionali;

- Fr la forza sismica applicata ad ognuno dei due impalcati relativa alla parete

considerata;

- Dr la distanza tra la forza Fr e il baricentro del pannello di maschio j.

L’ascissa xj,0 del centro delle rigidezze estensionali è valutata in un sistema di riferimento

cartesiano sovrapposto al piano medio della parete, attraverso la seguente relazione:


- 47 -

∑∑ ⋅

=ji

jijij

xx

,

,,0, ρ

ρ

Si può scrivere, dunque, che:

0,,, jjiji xxd −=

dove xi,j è l’ascissa del baricentro del pannello di maschio i,j.

3.4 Domini di resistenza dei pannelli di maschio

3.3.1 Domini di resistenza a presso-flessione

Per valutare il massimo taglio sopportabile a presso-flessione dal pannello di maschio

occorre definire, preliminarmente, i campi in cui possono variare e ed N :

- per la sezione interamente reagente 610 << e ; 1

21

<< N ;

- per la sezione parzializzata 21

61

<< e ; 210 << N .

Scrivendo le equazioni di equilibrio per il generico pannello di maschi tenendo in conto le

ipotesi e i parametri introdotti ai paragrafi precedenti, è possibile ottenere le relazioni che

legano taglio e sforzo normale negli stati limite elastico e plastico. Tali equazioni

descrivono le frontiere dei domini di interazione (N-V) e contengono la geometria del

pannello, il modello del materiale e l’eccentricità.

Si scrivono ora le tre equazioni di frontiera in forma adimensionalizzata per un generico

pannello vincolato a mensola:

- per lo stato limite elastico a sezione parzializzata

( )[ ]2463

61 NeN

HBV se ⋅−⋅+⋅⋅⋅=

- per lo stato limite elastico a sezione interamente reagente


- 48 -

( )[ ]sl eNHBV ⋅⋅−⋅⋅= 611

61

- per lo stato limite plastico

( )[ ]221

21 NeN

HBV sp −⋅+⋅⋅⋅=

Ponendo se = 0 e dividendo per due l’altezza del pannello, si ottengono relazioni analoghe

per un pannello vincolato alla Grinter:

- Stato limite elastico a sezione parzializzata

⋅−⋅=

2e N

34N

HBV

- Stato limite elastico per sezione interamente reagente ( )N1HB

31Vl −⋅⋅= (6

- Stato limite plastico

)

( )2p NN

HBV −⋅=

A queste si può aggiungere l’equazione complementare alla seconda per 0 ≤ N ≤ ½:

NHBV l ⋅⋅=

31

che rappresenta il limite delle sezioni interamente reagenti nell’intervallo [0, ½].

3.3.2 Domini di resistenza a taglio

Le relazioni sino ad ora ricavate descrivono la crisi del pannello per presso-flessione. In

realtà il pannello di maschio può esibire anche un altro meccanismo di crisi: quello per

taglio.

Il diagramma delle tensioni tangenziali nelle sezioni di estremità e media hanno

andamento parabolico se il pannello è snello, altrimenti esso risulta pressoché

rettangolare. La massima tensione tangenziale, agente in corrispondenza della fibra

baricentrica della sezione, risulta pari a 1,5 volte quella media nel primo caso, mentre può

assumersi uguale ad essa nel secondo. Il coefficiente di proporzionalità tra le due tensioni

si indica con p e vale, quindi, 1 per un pannello tozzo e 1,5 per un pannello snello.

6 La relazione scritta definisce lo stato limite indicato per ½ ≤ N ≤ 1


- 49 -

Di ogni pannello di maschio a questo punto si conoscono la tensione normale media e

quella tangenziale media:

sBN

n ⋅=σ sB

Vpp n ⋅⋅

=⋅= ττ max

Rappresentando lo stato tensionale agente sulla sezione media del pannello su un piano

di Mohr, è possibile valutare le variazione delle tensioni σ,τ aumentando la forza

orizzontale applicata V a parità di sforzo normale N. In generale si evincono due

condizioni di rottura del pannello:

1) crisi per taglio da trazione;

2) crisi per taglio da scorrimento.

La prima si attinge nel momento i cui la circonferenza di Mohr fa assumere, in

corrispondenza di σ = 0, il valore di τ = τk definita in precedenza come resistenza di

calcolo a taglio puro da trazione. Dal punto di vista fisico il pannello subisce una rottura

di tipo diagonale e le due parti tendono ad allontanarsi l’una dall’altra. Da considerazioni

di equilibrio tra le tensioni al raggiungimento dello stato limite corrisponde, ponendo

kk sBV τ⋅⋅= , la relazione:

kkt Vp

NVV⋅

+⋅= 1

che nel piano V-N descrive la frontiera di un dominio semidefinito i cui punti interni di

coordinate (N, V) rappresentano stati di integrità della muratura non necessariamente

equilibrati. I punti appartenenti alla frontiera corrispondono a stati di crisi per taglio da

trazione.

La seconda condizione di rottura si attinge, invece, nel momento in cui la circonferenza di

Mohr fa assumere, in corrispondenza di N = 0, il valore di τ = τc definita in precedenza

come resistenza di calcolo a taglio puro per scorrimento. Dal punto di vista fisico il

pannello subisce una rottura in direzione orizzontale o diagonale e le due parti tendono a

scorrere l’una rispetto all’altra. La condizione di crisi è descritta dal criterio di Mohr-

Coulomb, per il quale il massimo taglio sopportabile per scorrimento risulta pari a:


- 50 -

)( naca psBV σµτ ⋅+⋅

⋅=

ove se si adotta un coefficiente d’attrito μa costante7

32

17,0

=

k

n

e

σσ

µ

si parla di taglio al limite elastico per

scorrimento apparente (Vaa), mentre se si adotta un coefficiente di attrito μe variabile

secondo la relazione:

si parla di taglio al limite elastico per scorrimento effettivo (Vae).

In Figura 3.4 si riporta una rappresentazione del tutto generale e in forma

adimensionalizzata dei domini di resistenza di un pannello di maschio.

Figura 3.4 – Domini di resistenza di un pannello di maschio

7 Le Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM 14.01.2008 pongono il coefficiente di attrito costante μa = 0,4


- 51 -

3.5 Curve caratteristiche V-δ

3.4.1 Curva caratteristica di un pannello di maschio

Per le pareti del II e del III tipo la capacità resistente di un pannello di maschio è

generalmente inferiore a quella valutata attraverso il solo dominio di resistenza poiché

deve essere tale da rispettare anche la compatibilità cinematica con gli altri pannelli del

medesimo piano, ovvero l’uguaglianza degli spostamenti orizzontali. È dunque

necessario definire la cosiddetta curva caratteristica, che descrive graficamente il legame

presente tra taglio applicato sul pannello V e lo spostamento orizzontale relativo δ ad

esso duale.

Come descritto al § 3.3.1 si definisce con:

- Vl il taglio al limite elastico proporzionale;

- Ve il taglio al limite elastico non proporzionale;

- Vp il taglio al limite plastico.

Al variare dello sforzo di taglio V applicato sul pannello si calcolano gli spostamenti δ con

le seguenti relazioni:

- per V ≤ Vl, EI12

HVAGHVχδ

3

l ⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

- per Vl ≤ V ≤ Ve, eM

3

eVe ζEI12

HVζAGHVχδ ⋅

⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅=

- per Ve ≤ V ≤ Vp, pM

3

pVp ζEI12

HVζAGHVχδ ⋅

⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅=

dove i coefficienti ζ hanno le seguenti espressioni:

- ( )

−⋅⋅−⋅= η1

23ln21

η31ζeV

- ( ) ( )

−⋅⋅+

−−

⋅= η123ln12

η15η17

η31ζ 3eM

- ( )

−⋅

⋅+⋅=ς13

2ln21ς3

1ζpV


- 52 -

- ( )

( ) ( )[ ]

−+⋅−−⋅⋅−⋅

+⋅=1ς

1ς3ς15,1ln1ς261

ς31ζ 3pM

avendo posto:

NV

BH

⋅=η e ( ) BNNHV

u ⋅−⋅

=ς .

3.4.2 Curve caratteristiche di piano

La capacità portante di piano, per ogni parete sottoposta alle azioni sismiche, si ottiene

sommando analiticamente (o anche graficamente) le curve caratteristiche di ogni pannello

dello stesso piano. Si precisa che è possibile aggiungere alla curva caratteristica di un

pannello un ramo di plasticità perfetta a (V costante all’aumentare dello spostamento δ) se

la rottura avviene per taglio. La lunghezza di tale ramo è definita assumendo un fattore di

duttilità μ = 1,5.

Si fa osservare, altresì, che la capacità portante di piano valutata per una generica parete

non è la somma delle capacità dei singoli pannelli di maschio valutate a parità di

spostamento. Nell’ambito dell’analisi statica lineare la capacità di un piano, di una parete

e di un intero edificio risulta limitata dai valori minimi dello spostamento orizzontale.

Sulla curva caratteristica di piano si definiscono, infatti, tre punti notevoli:

- L ≡ (δb; Vb), che rappresenta il limite elastico proporzionale;

- I ≡ (δd; Vd), che rappresenta il limite elastico proporzionale;

- P ≡ (δu; Vu), che rappresenta il limite elastico proporzionale;

i cui spostamenti δb, δd, e δu sono quelli minimi sopportati ai diversi stati limite dei

pannelli di maschio di un medesimo piano (ved. Figura 3.5).


- 53 -

Figura 3.5 – Curve caratteristiche

3.6 Verifica dei pannelli di maschio

La verifica dei pannelli di maschio va condotta in maniera diversa a seconda se essi

appartengono ad una parete regolare o irregolare. Atteso che nella maggior parte dei casi

gli edifici in muratura sono costituiti da pareti regolari, nel seguito si esporrà il

procedimento di verifica specifico per esse. In particolare si definisce “parete regolare”

quella formata da pannelli di maschio tutti della stessa altezza e da vani allineati in

direzione verticale. In tali condizioni la variazione S dello sforzo normale dipende

esclusivamente dalla distribuzione e dall’intensità dell’azione sismica lungo l’altezza della

parete.

Le operazioni che si possono eseguire sono sostanzialmente due:

- la verifica della parete per carichi di progetto;

- la determinazione della capacità portante della parete.


- 54 -

3.5.1 Verifica per carichi di progetto

Tale verifica consiste nel confrontare il massimo taglio sopportabile al limite elastico o

plastico (che si può leggere graficamente sulla curva caratteristica di piano) con il

tagliante di piano dovuto alle forze di progetto. La verifica può essere condotta allo SLE o

allo SLU.

Nel caso in cui si effettui una verifica allo SLE deve risultare Vd > Ti. Se tale condizione è

verificata, il piano è in grado di sopportare le azioni di progetto assegnate. Dal punto di

vista analitico la determinazione dei tagli che sollecitano ogni pannello si differenzia in

due casi:

- 0 < Ti ≤ Vbi. Tutti i pannelli di maschio sono interamente reagenti ed esibiscono

un comportamento elastico lineare. Lo sforzo di taglio a cui ogni pannello è

sottoposto è pari a quello valutato con la formula di Engesser perché le rigidezze

alla traslazione orizzontale sono pari a quelle assunte nella ripartizione dell’azione

sismica e le variazioni S di sforzo normale valutate per ogni pannello risultano

corrette;

- Vbi < Ti ≤ Vdi. Almeno uno dei pannelli di maschio risulta parzializzato, il che

implica che le variazioni S di sforzo normale precedentemente calcolate sono

sbagliate. In tal caso si procede iterativamente alla determinazione dei tagli che

competono a ciascuno dei pannelli di maschio appartenenti al piano considerato.

Dal punto di vista grafico risulta, infatti, che il tagliante di progetto interseca il

ramo curvilineo della curva caratteristica.

Nel caso, invece, in cui si esegua una verifica allo SLU deve risultare Vu ≥ Ti. Se tale

condizione è soddisfatta il piano è in grado di sopportare le azioni di progetto assegnate

allo stato limite plastico. In caso contrario occorre modificare le caratteristiche

geometriche o meccaniche dei pannelli attraverso variazioni del progetto originario, se

l’edificio è di nuova costruzione, oppure interventi di consolidamento se l’edificio è

esistente.


- 55 -

3.5.2 Verifica della capacità portante

Tale operazione consente di conoscere il reale grado di sicurezza posseduto da una parete

in quanto consente di confrontare le azioni cui la parete è soggetta con le massime

sollecitazioni tollerabili. Contrariamente a quanto si potrebbe pensare il massimo carico

sopportabile dalla parete non coincide con Vu perché tale sforzo è calcolato in funzione

delle azioni di progetto assegnate. È evidente, infatti, che mutando le azioni iniziali

cambia il valore di Vu.

Per valutare la capacità portante di un piano è necessario applicare una procedura

iterativa assegnando alle azioni orizzontali valori progressivamente crescenti8

8 Adottare questo tipo di procedura iterativa incrementando le azioni applicate è in accordo con il principio di “controllo di forza” sul quale l’analisi statica lineare si fonda.

e

ricavando, in corrispondenza del tagliante, il massimo carico sopportabile per il quale si

verifica la crisi del pannello più cimentato; le iterazioni, o meglio le analisi, si arrestano

quanto il valore del tagliante è circa uguale a quello del massimo sforzo orizzontale

sopportabile dal piano oppure quando lo sforzo normale in uno dei pannelli di maschio

decompressi diviene nullo.

Se questo procedimento iterativo lo si applica ponendo pari ad uno il coefficiente parziale

di sicurezza della muratura, si può pervenire al reale grado di sicurezza della costruzione

nei confronti dello stato limite esaminato. Nel caso in cui, invece, i domini di resistenza e

le curve caratteristiche durante le diverse iterazioni siano calcolati utilizzando un

coefficiente parziale di sicurezza γm > 1 è possibile solo valutare il rapporto tra massimo

sforzo di progetto sopportabile e quello applicato al piano.

Il coefficiente moltiplicativo dei carichi che determina la capacità portante della parete k al

generico piano i è detto moltiplicatore di crisi e lo si indica genericamente come ξi,k. Fatta

l’analisi della capacità portante per ognuna delle pareti ad ogni piano il moltiplicatore di

crisi dell’edificio, cioè quello cui corrisponde la capacità portante dell’intera struttura, è il

minore tra tutti i moltiplicatori di crisi determinati.


- 56 -

Va osservato che la capacità così valutata rientra, sostanzialmente, nell’ambito dell’analisi

statica lineare mentre, nell’analisi push-over, essa è pressoché proporzionale al

moltiplicatore α1 costituente il denominatore del rapporto di sovraresistenza in base al

quale si può valutare un più realistico fattore di struttura q.

3.7 Verifica dei pannelli di fascia

3.6.1 Equilibrio delle fasce di piano

Al termine delle verifiche dei pannelli di maschio per essi risultano essere noti:

- lo sforzo normale N applicato sulle sezioni di estremità;

- lo sforzo di taglio V applicato sulle sezioni di estremità;

- il momento flettente M proporzionale all’eccentricità posseduta da N per garantire

l’equilibrio alla rotazione.

Le sollecitazioni a cui sono sottoposti i pannelli di fascia si possono ricavare, attraverso

equazioni di equilibrio, a partire dai pannelli maschio e passando per i pannelli di nodo. Il

modo di procedere consiste nel determinare innanzitutto le sollecitazioni di un pannello

di nodo posto al livello più alto della parete e ad uno dei due estremi in modo tale da

essere parzialmente contornato da un pannello di maschio sottostante e da un pannello di

fascia adiacente.


- 57 -

Figura 3.6 – Equilibrio del pannello di nodo

In questo modo le uniche sollecitazioni incognite risultano essere quelle presenti sulla

faccia destra del pannello di nodo. Esse possono essere calcolate risolvendo le tre

equazioni di equilibrio:

0, =∑i iOF

0, =∑i iVF

0=∑i im

Le sollecitazioni ricavate in questo modo sono quelle che agiscono sulla faccia sinistra del

pannello di fascia adiacente al pannello di nodo.

Figura 3.7 – Equilibrio del pannello di fascia


- 58 -

Procedendo in questo modo è possibile ricavare, ancora attraverso le equazioni cardinali

della statica, le sollecitazioni agenti su tutte le facce di tutti i pannelli della fascia di piano

più elevata.

Per le fasce di piano intermedie il procedimento è del tutto analogo. Nella Figura 3.8 è

rappresentato un pannello di nodo sollecitato lungo l’intero perimetro.

Figura 3.8 – Generica condizione di equilibrio

3.6.2 Crisi dei pannelli di fascia non armati

Il pannello di fascia risulta più complesso da analizzare perché:


- 59 -

- è caricato solo sulle sezioni laterali e tende a raggiungere sempre la crisi per

presso-flessione;

- se si lesiona la parete non è più del III tipo, per cui le verifiche effettuate per i

pannelli di maschio non sono più corrette.

La verifica dei pannelli di fascia è condotta, pertanto, allo SLE in quanto si vuole garantire

sempre l’ipotesi di fascia di piano rigida posta alla base della verifica dei pannelli di

maschio supposti vincolati “alla Grinter”.

Atteso che i pannelli di fascia non sono vincolati come quelli di maschio, le sollecitazioni

sono diverse tra sezione di destra e sezioni di sinistra sicché entrambe devono essere

oggetto di verifica.

Proprio per tale motivo i domini V-N dei pannelli di fascia non sono più bidimensionali,

ma presentano come terza variabile indipendente l’eccentricità.

Per procedere alla verifica si considera il pannello di fascia sottoposto alle seguenti azioni

esterne ed interne:

Figura 3.9 – Pannello di fascia

La convenzione che si assume sui segni è:

- N > 0 se lo sforzo è di compressione;

- M > 0 se ha verso destrogiro;

- V > 0 se genera momenti orari rispetto al pannello;

- e > 0 se N genera momenti orari.

Si definiscono inoltre:

sHN ku ⋅⋅= σ ; uNNN /= ; uNVV /= ; Hee /=


- 60 -

uNPP /= ; uNQQ /= ; uNFF /= ; Hff /=

La logica che si segue nelle verifiche è quella di considerare le sollecitazioni presenti su

una faccia e verificare se per quelle sollecitazioni si raggiunge la crisi sull’altra faccia. Da

queste considerazioni, chiaramente effettuate allo SLE, si giunge all’espressione che

esprime il taglio in funzione della geometria del pannello, dello sforzo normale,

dell’eccentricità, della forza orizzontale con la sua eccentricità, del peso del pannello e del

carico trasmesso dall’impalcato.

( )fQPFBHeNfV ,,,,,,,=

Si riportano, di seguito, le espressioni in forma adimensionalizzata che consentono di

procedere in maniera pratica alle verifiche dei pannelli di fascia per 5,0N0 ≤≤ .

- SLE sulla sezione di sinistra:

( ) ( ) ( ) ( )

⋅++−⋅+−⋅−+⋅⋅−=

HBQPfFFNeN

BHV

dddd 31641236

2

min

( ) ( ) ( )

⋅++⋅+−⋅−−⋅⋅−=

HBQPfFFNeN

BHV

dddd 3641236

2

max

- SLE sulla sezione di destra:

( ) ( ) ( )

⋅+−⋅+−⋅−+⋅⋅−=

HBQPfFFNeN

BHV

ssss 3641236

2

min

( ) ( ) ( ) ( )

⋅+−−⋅+−⋅+−⋅⋅−=

HBQPfFFNeN

BHV

ssss 31641236

2

max

Queste relazioni, così come quelle riportate per i pannelli di maschio, definiscono i domini

di resistenza N-V con la particolarità che per i pannelli di fascia essi risultano

tridimensionali. E’ tuttavia possibile la rappresentazione di tali domini fissando una

variabile tra sforzo normale, taglio e momento flettente e rappresentando il dominio

bidimensionale che si ha per l’aver reso costante la variabile scelta.

Oltre alla crisi per presso-flessione, il pannello di fascia può trovarsi anche in una

condizione di crisi per taglio. Le relazioni che definiscono i domini semidefiniti per crisi

di taglio da trazione e taglio da scorrimento sono le medesime introdotte e definite per la

verifica dei pannelli di maschio.


- 61 -

Dall’esperienza risulta comunque che la crisi del pannello di fascia avviene generalmente

per il raggiungimento dello Stato Limite di Esercizio per presso-flessione.

3.6.3 Crisi per presso-flessione dei pannelli di fascia armati

Per lo studio della crisi per pressoflessione dei pannelli di fascia armati si formulano le

seguenti ipotesi relative ai materiali:

- muratura priva di resistenza a trazione, comportamento a compressione elasto-

fragile dove si fa corrispondere la tensione normale di rottura ad una deformazione

al limite elastico εme;

- armatura resistente a trazione e a compressione costituita da un materiale dotato

di un comportamento elasto-plastico con deformazione al limite elastico εae

corrispondente alla tensione al limite elastico fa e deformazione ultima εu. Nel caso in

cui l’armatura sia realizzata in acciaio la si farà lavorare solo in campo elastico e la

tensione fa la si assumerà pari a quella di snervamento fy;

- si trascura la presenza dell’armatura in zona compressa.

Si esaminano ora i tre casi di sollecitazione possibili:

a) sezione parzializzata con armatura tesa;

b) sezione parzializzata con armatura compressa;

c) sezione interamente reagente compressa.

Per quanto riguarda il caso a) lo sforzo normale al limite di elasticità della muratura in

presenza di armatura vale:

aak AsbN σ

σ⋅−

⋅⋅=

2

indicando con:

- b la distanza dall’asse neutro della sezione al bordo compresso;

- Aa l’area dell’armatura del pannello;

- σa la tensione normale dell’armatura.


- 62 -

Nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, indicando con h l’altezza utile della

sezione si deve avere:

)( bhbame

−=

εε

Ricavando la profondità dell’asse neutro b da questa relazione e sostituendo

nell’equazione di equilibrio alla traslazione della sezione, si ottiene:

02)22(2 2 =⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅ NshEANEA mekmeameaaaaa εσεεεε

Quando l’armatura raggiunge il limite elastico la profondità dell’asse neutro raggiunge il

suo valore minimo, definita da:

hbaeme

mee ⋅

+=

εεε

cui corrisponde lo sforzo normale al limite elastico della muratura:

aak

aeme

mee fAshN ⋅−

⋅⋅⋅

+=

2σ

εεε

Tale valore di sforzo normale separa due tipologie di comportamento della sezione:

- N < Ne l’armatura è in campo plastico risultando b < be ed εa > εae;

- N > Ne l’armatura è in campo elastico risultando b > be ed εa < εae. Questa è la

condizione in cui è necessario trovarsi se si vuole mantenere l’ipotesi di pareti del

III tipo.

L’armatura resta tesa fino a quando il valore dello sforzo normale (che viene chiamato No

in questo caso) non raggiunge il valore corrispondente a σa ed εa. Nell’intervallo Ne < N <

N0 l’armatura risulta essere sempre tesa in campo elastico e la sezione sempre

parzializzata.

Per passare da sezione parzializzata a sezione interamente reagente (caso b)) è necessario

che uno dei due bordi attinga il valore nullo di tensione che corrisponde a:

Hc me

aε

ε⋅

=

con c che rappresenta il copriferro dell’armatura. Il valore dello sforzo normale

corrispondente, dunque, al limite elastico di parzializzazione della sezione risulta essere pari

a:


- 63 -

meaak

r HcEAsHN ε

σ⋅⋅⋅+

⋅⋅=

2

Per No < N < Nr la sezione risulta parzializzata con armatura compressa in regime elastico

e muratura al limite elastico.

Per quanto riguarda invece il caso c) relativo alla sezione interamente reagente, tale

circostanza si verifica quando risulta Nr < N < Nm con:

aame

aekm fAHcH

cHsHN ⋅+

⋅+−⋅

−⋅⋅⋅

=εεσ 2

)(2

che rappresenta il massimo valore dello sforzo normale sopportabile dal pannello armato

allo stato limite elastico.

In conclusione, nel caso di pannello di fascia armato, per definire i domini di resistenza

occorre determinare i valori dello sforzo normale al limite elastico Ne, Nr, Nm grazie ai

quali è possibile individuare il comportamento della sezione per effetto dello sforzo

normale realmente applicato.

Si riportano, di seguito, le espressioni in forma adimensionalizzata che consentono di

procedere in maniera pratica alle verifiche dei pannelli di fascia per re NNN ≤≤ .

- SLE sulla sezione di sinistra:

( ) ( )

−−⋅+⋅+++⋅⋅−=

sdsddefF

HBQPeeN

BHV

21

2

−⋅⋅⋅+

−⋅

⋅⋅⋅

⋅±=

23221 HhEAbHbs

HNe aaa

ks

se ε

σ

( )HNMe d

dd

⋅=

FNN ds −=

- SLE sulla sezione di destra:


- 64 -

( ) ( )

+−⋅+⋅+−+⋅⋅−=

ddsssefF

HBQPeeN

BHV

21

2

−⋅⋅⋅+

−⋅

⋅⋅⋅

⋅±=

23221 HhEAbHbs

HNe aaa

kd

de ε

σ

( )HNMe s

ss

⋅=

FNN sd +=

Il segno positivo dell’eccentricità è riferito all’armatura superiore e quello negativo

all’armatura inferiore.

Queste relazioni, così come quelle mostrate in precedenza, definiscono dei domini di

resistenza tridimensionali. Come già detto in precedenza, è tuttavia possibile la

rappresentazione piana di tali domini fissando una variabile tra sforzo normale, taglio e

momento flettente.

- 65 -

Capitolo 4 - Verifica di un edificio esistente in muratura

Il seguente capitolo tratta le verifiche di sicurezza di una costruzione esistente in

muratura nel rispetto delle NTC di cui al DM 14.01.2008 e della bozza di Circolare

Attuativa recante la data 07.03.2008, condotte attraverso il metodo di calcolo RAN.

4.1 Descrizione dell’edificio

L’edificio di cui si intende effettuare la verifica è un manufatto destinato a civili abitazioni

sito nel Comune di Torino. Esso presenta una pianta ad L e si compone di quattro cellule

abitative disposte su due livelli collegati da una scala unica in c.c.a. a soletta rampante.

L’ingresso dell’edificio è unico ed è costituito da un atrio dal quale hanno accesso le due

cellule abitative al piano terreno. Attraverso la scala è possibile raggiungere il piano

superiore ove sono ubicati altri due appartamenti. Le quattro unità abitative risultano

essere a due a due uguali lungo le due verticali dell’edificio per forma ma non per

superficie utile in quanto a causa del restringimento delle sezioni strutturali nel passaggio

dal piano terreno a quello superiore, essa risulta maggiore per quest’ultimo. L’altezza di

interpiano è pari 4,00 m, mentre l’altezza totale dell’edificio risulta pari a 8,00 m. La

copertura è piana e non praticabile.

Si riportano di seguito (Figura 4.1 e Figura 4.2) le piante architettoniche dell’edificio di cui

si intende effettuare la verifica.

- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 66 -

Figura 4.1 – Pianta architettonica del piano terra


- 67 -

Figura 4.2 – Pianta architettonica del piano primo


- 68 -

4.2 Modellazione

4.2.1 Modello geometrico

La struttura presenta, come detto, pianta ad L con dimensioni massime pari a 18,45 m e

26,15 m (ved. Figura 4.1 e Figura 4.2).

Il DM 14.01.2008 definisce AL § 7.2.2 i criteri di seguito riportati per la definizione della

regolarità in pianta e in altezza degli edifici.

Una costruzione è “regolare in pianta” se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:

a) la configurazione in pianta è compatta e approssimativamente simmetrica rispetto

a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e rigidezze;

b) il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui la costruzione risulta inscritta è inferiore

a 4;

c) nessuna dimensione di eventuali rientri o sporgenze supera il 25% della

dimensione totale della costruzione nella corrispondente direzione;

d) gli orizzontamenti possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano

rispetto agli elementi verticali e sufficientemente resistenti.

Una costruzione è “regolare in altezza” se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:

e) tutti i sistemi resistenti verticali (quali pareti e telai) si estendono per l’intera

altezza della costruzione;

f) massa e rigidezza rimangono costanti o variano gradualmente, senza bruschi

cambiamenti, dalla base alla sommità della costruzione (le variazioni di massa da

un orizzontamento all’altro non superano il 25%, la rigidezza non si riduce da un

orizzontamento a quello sovrastante più del 30% e non aumenta più del 10%);

g) nelle strutture intelaiate il rapporto fra la resistenza effettiva e quella richiesta9

9 Il rapporto tra resistenza effettiva e quella richiesta è esattamente l’inverso del “tasso di sollecitazione” definito al §

,

calcolata ad un generico orizzontamento, non deve differire più del 20%

5.2.4. Il tasso di sollecitazione, dunque, può essere utilizzato anche come indice di regolarità di una struttura.


- 69 -

dall’analogo rapporto determinato per un altro orizzontamento con eccezione per

l’ultimo orizzontamento di strutture intelaiate di almeno tre orizzontamenti;

h) eventuali restringimenti della sezione orizzontale della costruzione avvengono in

modo graduale da un orizzontamento al successivo, rispettando i seguenti limiti:

ad ogni orizzontamento il rientro non supera il 30% della dimensione

corrispondente al primo orizzontamento, né il 20% della dimensione

corrispondente all’orizzontamento immediatamente sottostante. Fa eccezione

l’ultimo orizzontamento di costruzioni di almeno 4 piani per il quale non sono

previste limitazioni di restringimento.

Secondo i criteri innanzi elencati la struttura oggetto di verifica risulta essere irregolare in

pianta, perché non sono rispettate le condizioni (a) e (c) e, irregolare in altezza, non

essendo rispettata la condizione (e). La rigidezza estensionale degli impalcati si ritiene

garantita dal momento che essi risultano costituiti da solai latero-cementizi con soletta di

spessore 5 cm.

Per le costruzioni non regolari in pianta, così come previsto al § 7.3.1 delle NTC, è

comunque possibile eseguire un’analisi statica lineare a patto di adottare un rapporto di

sovraresistenza αu/α1 pari alla media tra il valore 1,0 e quello tabellato in funzione della

tipologia strutturale10

4.2.1.1 Elementi strutturali verticali

.

Tutti gli elementi strutturali verticali della costruzione in oggetto sono costituiti da pareti

in muratura di pietrame dello spessore di 80 cm per il piano terra e di 70 cm per il primo

piano (il restringimento della sezione strutturale è inferiore al 20% così come previsto dal

§ 7.2.2 del DM 14.01.2008). La muratura è a singolo paramento non listata. Considerazioni

più specifiche circa la sua composizione sono fatte nel § 4.2.3 relativo al modello

meccanico. 10 Nel caso di costruzioni in muratura con almeno due piani fuori terra il valore del rapporto di sovraresistenza fornito dalle NTC è pari a 1,8.


- 70 -

Per la tipologia di muratura presente nell’edificio il § 4.5 del DM 14.01.2008, relativo alle

costruzioni lapidee pone le seguenti restrizioni sulla sezione delle pareti:

- s ≥ 500mm;

- H/s ≥ 10;

- B/H ≥ 0,5.

Esse risultano sempre soddisfatte così come si evince dagli elaborati grafici.

Tutte le pareti sono collegate tra loro da cordoli di piano in cemento armato avente la

funzione di conferire un comportamento “scatolare” all’edificio, ovvero di farle

collaborare insieme nell’assorbimento delle azioni sismiche orizzontali. In tali condizioni

pareti disposte in direzione parallela a quella delle forze esterne fronteggiano

quest’ultima in maniera proporzionale alla loro rigidezza alla traslazione orizzontale.

4.2.1.2 Elementi strutturali orizzontali

Gli elementi strutturali orizzontali (impalcati) risultano essere costituiti da solai in

calcestruzzo armato misto a laterizi, gettati in opera. L’orditura di tali solai è desumibile

dagli allegati grafici ed ha lo scopo di caricare la struttura nel modo più uniforme e

naturale possibile (ved. Figura 4.3).

Lo spessore del solaio è di 25 cm e rispetta la condizione imposta dalle NTC:

cmcmmlh 25 21 25,5251

251

max <=⋅=⋅=

4.2.1.3 Organizzazione strutturale

Circa l’organizzazione strutturale le costruzioni in muratura possono suddividersi in tre

tipologie:


- 71 -

- I classe. Edifici in cui, oltre agli elementi verticali, anche gli impalcati sono in

muratura. Le pareti risultano caricate da forze verticali ed orizzontali che,

combinandosi, generano presso-flessione. Occorre, quindi, che esse abbiano

spessori elevati.

- II classe. Edifici in cui gli impalcati sono costituiti da travi in legno o in acciaio e,

non trasmettendo carichi orizzontali, consentono la realizzazione di pareti più

snelle. Tali solai non garantiscono alcun collegamento tra le pareti.

- III classe. Edifici in cui gli impalcati sono realizzati in cemento armato. Potendo

assumere gli orizzontamenti rigidi nel proprio piano, è possibile ripartire l’azione

sismica sugli elementi strutturali verticali (pannelli di maschio) in maniera

proporzionale alle rispettive rigidezze.

L’edificio in muratura che oggetto di verifica è di III classe ed esibisce un comportamento

strutturale di tipo “scatolare” grazie ai seguenti requisiti:

- collegamento delle pareti;

- impalcati rigidi nel proprio piano.

In realtà sarebbe da menzionare anche la presenza di spigoli ben solidali ma, essendo una

condizione non sempre rispettata dalle maestranze in cantiere e difficilmente modellabile

con accuratezza, si preferisce non tenerne conto.

Il collegamento delle pareti garantisce che tutte le pareti siano chiamate a fronteggiare

l’azione sismica ed è realizzato con cordoli di piano in calcestruzzo armato, la cui

larghezza è pari alla metà dello spessore della parete.

Il fatto che gli impalcati possano essere assunti rigidi nel proprio piano garantisce che la

ripartizione dell’azione sismica orizzontale tra le pareti avvenga in modo proporzionale

alle rispettive rigidezze.

Si riportano di seguito gli elaborati grafici relativi alla modellazione geometrica della

struttura secondo quando stabilito dal metodo RAN.


- 72 -

Figura 4.3 – Pianta strutturale con discretizzazione pareti lungo l’asse x


- 73 -

Figura 4.4 – Pianta strutturale con discretizzazione pareti lungo l’asse y


- 74 -

Figura 4.5 – Prospetto parete 1




- 75 -





- 76 -





- 77 -

Nella Figura 4.3 e nella Figura 4.4 si possono osservare le piante strutturali dell’edificio

oggetto di verifica, nelle quali è visibile la discretizzazione in macro-elementi secondo la

direzione x ed y. Nelle Figure dalla 4.5 alla 4.13, invece, si mostrano i prospetti strutturali

delle pareti. In particolare, si fa osservare che la numerazione dei livelli (fasce di piano e

strisce orizzontali comprendenti pannelli di maschio e vani) è stata assunta crescente

dall’alto verso il basso, mentre quella delle strisce verticali (comprendenti,

alternativamente, le coppie pannello di maschio-pannello di nodo e vano-pannello di

fascia) è stata definita come crescente da sinistra verso destra. Ciascun pannello risulta,

pertanto, identificato dagli indici i,j,k rappresentativi della striscia verticale, del livello e

della parete di appartenenza.

4.2.2 Modello delle azioni

Una buona analisi strutturale deve necessariamente essere sostenuta da un’accurata

modellazione delle azioni. E’ infatti assolutamente indispensabile, per garantire la

sicurezza, considerare tutte le azioni che possono intervenire sulla struttura

schematizzandole opportunamente nel modello di calcolo.

Una prima distinzione che può essere fatta tra le azioni è la seguente:

- azioni DIRETTE, cioè schematizzabili con forze o coppie;

- azioni INDIRETTE, cioè schematizzabili con distorsioni e spostamenti impressi.

Nel progetto che si sta eseguendo non vengono prese in considerazione distorsioni o

spostamenti imposti dovuti a cedimenti vincolari, variazioni termiche o altro, per cui le

azioni si ritengono sempre applicate direttamente alla struttura.

Un’altra classificazione è quella che divide le azioni in:

- STATICHE, se non imprimono accelerazioni alla struttura;

- DINAMICHE, se imprimono velocità e accelerazioni alle masse applicate alla

costruzione.


- 78 -

Risulta ovviamente conveniente (sebbene sia impreciso) trattare le azioni dinamiche

(sismiche o meno) come statiche equivalenti, cioè applicate alla struttura senza eccitare le

masse ivi presenti ma tali da indurre gli stessi effetti di quelli realmente agenti. Ciò

premesso è lecito effettuare per la struttura esistente in oggetto analisi statiche lineari e

non lineari.

In accordo con il § 2.5.1.8 del DM 14.01.2008, le azioni che saranno prese in considerazione

nell’analisi strutturale si classificano comee segue:

- G1 azioni permanenti dovute a pesi propri o a carichi strutturali;

- G2 azioni permanenti dovute a pesi propri o a carichi non strutturali;

- Q1 azioni variabili di lunga durata (nel caso specifico carichi accidentali);

- Q2 azioni variabili di breve durata (nel caso specifico carichi da neve).

Individuate le azioni agenti sulla struttura secondo la loro categoria di appartenenza è

possibile, ai fini delle verifiche, eseguire la loro combinazione a mezzo dei coefficienti di

combinazione ψ e dei coefficienti parziali di sicurezza γ che amplificano le azioni, definiti

nelle tabelle 2.5.I e 2.6.I del DM 14.01.2008.

Le combinazioni di carico utilizzate per l’analisi dell’edificio in muratura sono riportate

nel seguito al § 4.2.2.2 del presente elaborato di tesi.

Si riportano, di seguito, le Tabelle da 4.1 a 4.4 contenenti l’analisi dei carichi dei solai

presenti nell’edificio in oggetto.

Solaio Tipo

Elemento n. L

[m] H

[m] γ

[kN/m3] Peso unitario

[kN/m2] Soletta in c.a. 1,00 0,05 25 1,25 Travetti in c.a. 2 0,10 0,20 25 1,00

G1 = 2,25 Pignatte 2 0,40 0,20 8 1,28 Sottofondo pavimentazione 1,00 0,04 15 0,60 Pavimento in marmo 1,00 0,03 20 0,60 Intonaco di calce 1,00 0,015 20 0,30 Incidenza tramezzi 1,20

G2 = 3,98


- 79 -

Q1 = 2,00

Tabella 4.1 – Analisi dei carichi per il solaio tipo

Solaio Copertura

Elemento n. L

[m] H

[m] γ



G1 = 2,25 Pignatte 2 0,40 0,20 8 1,28 Mass. pendenze + imperm. 1,00 0,20 15 3,00 Intonaco di calce 1,00 0,015 20 0,30

G2 = 4,58 Q1 = 0,50 Q2 = 0,43

Tabella 4.2 – Analisi dei carichi per il solaio di copertura

Sbalzi

Elemento n. L

[m] H

[m] γ



G1 = 2,25 Pignatte 2 0,40 0,20 8 1,28 Sottofondo pavimentazione 1,00 0,04 15 0,60 Pavimento in marmo 1,00 0,03 20 0,60 Intonaco di calce 1,00 0,015 20 0,30

G2 = 2,78 Q1 = 4,00

Tabella 4.3 – Analisi dei carichi per gli sbalzi


- 80 -

Scale

Elemento n. L

[m] H

[m] γ


[kN/m2] Soletta in c.a. 1,00 0,15 25 3,75

G1 = 3,75 Sottofondo pavimentazione 1,00 0,04 15 0,60 Pavimento in marmo 1,00 0,03 20 0,60 Intonaco di calce 1,00 0,015 20 0,30

G2 = 1,50 Q1 = 4,00

Tabella 4.4 – Analisi dei carichi solaio scale

Si precisa che il valore dei carichi variabili Q1 è stato desunto, in funzione della tipologia

di solaio trattato, dalla tabella 3.1.II del DM 14.01.2008; quello relativo al carico variabile

da neve Q2 è stato invece ricavato come segue, rispettando le prescrizioni contenute nel §

3.4.1 del medesimo Decreto.

Il carico da neve in copertura, valutato per l’unità di superficie, può essere espresso come:

tEskis CCqq ⋅⋅⋅= µ

dove:

- μi è il coefficiente di forma definito al § 3.4.5 delle NTC che, nel caso in esame,

vale 0,8;

- qsk è il valore di riferimento del carico neve al suolo fornito al § 3.4.2 delle NTC

per un periodo di ritorno di 50 anni che, nel caso in esame, vale 0,6 kN/m2;

- CE è il coefficiente di esposizione fornito al § 3.4.3 delle NTC che, nel caso in

esame, vale 0,9;

- Ct è il coefficiente termico fornito al § 3.4.4 delle NTC che, nel caso in esame, vale

1,0.

Si ottiene pertanto:

22 / 43,0 mkNQqs ==


- 81 -

4.2.2.1 Caratterizzazione dell’input sismico

Si caratterizzano nel presente paragrafo i parametri descritti al § 1.4 per l’edificio oggetto

della verifica sismica. Esso è ubicato su di un suolo classificabile nel seguente modo:

- categoria C. Depositi di terreni a grana grossa mediamente addensati o a grana

fine mediamente consistenti;

- categoria T1. Superficie pianeggiante con isolati rilievi o pendii con i ≤ 15%.

Attraverso questa classificazione è possibile definire il parametro S, coefficiente che tiene

conto della categoria del sottosuolo e delle condizioni topografiche. Esso è pari a:

TS SSS ⋅=

dove Ss è il coefficiente di amplificazione stratigrafico definito nella tabella 3.2.V del DM

14.01.2008 in funzione della categoria del suolo; risulta nel caso specifico pari a 1,50 per

entrambi gli stati limite considerati. ST è, invece, il coefficiente di amplificazione

topografica desumibile dalla tabella 3.2.VI del sopracitato Decreto e, in tal caso, risulta

pari a 1,0. Risulta pertanto:

50,1=S

Per quanto riguarda la determinazione del fattore che quantifica l’amplificazione spettrale

massima Fo dell’accelerazione orizzontale massima ag e del periodo di inizio del ramo a

velocità costante T*C, i loro valori sono ottenibili dalla tabella allegata alle NTC in funzione

delle coordinate geografiche del sito, una volta definiti il periofo di riferimento della

struttura VR e il periodo di ritorno TR. Le coordinate del sito sono: latitudine 45°,078 Nord

e longitudine 7°,676 Est. Il periodo di riferimento della struttura è dato dal prodotto della

vita nominale VN, che per le costruzioni di tipo II (quale è quella in oggetto) è pari a 50

anni, per il coefficiente d’uso che, per un edificio con normale affollamento di classe II, è

pari a 1,0. Risulta dunque: VR = 50.

allo SLD TR = 1 ∙ VR = 1 ∙ 50 = 50 anni

allo SLV TR = 1 ∙ VR = 9,5 ∙ 50 = 475 anni

Dall’Allegato “A” alle NTC si evincono, dunque, i seguenti valori di parametri di

pericolosità di base:


- 82 -

Stato Limite TR [anni] ag [g] F0 T*C [s] SLD 50 0,0287 2,592 0,195 SLV 475 0,0549 2,759 0,271

Tabella 4.5 – Pericolosità sismica di base allo SLD e allo SLV

Si possono definire inoltre:

- TC. Periodo corrispondente alla fine del ramo ad accelerazione costante, definito

come il prodotto tra T*C e il coefficiente CC desubile dalla tabella 3.2.V in funzione

della categoria di sottosuolo. Tc risulta, pertanto, pari a 0,351 s allo SLD e a 0,438 s

allo SLV.

- TB. Periodo corrispondente all’inizio del ramo ad accelerazione costante dello

spettro. È definito dalle NTC come Tc / 3, per cui nel caso in esame vale 0,117 s allo

SLD e 0,146 s allo SLV.

- TD. Periodo corrispondente all’inizio del ramo a spostamento costante dello

spettro. Esso è definito come 6,1ga

0,4T gD +⋅= , per cui nel caso specifico risulta pari

a 1,715 s allo SLD e 1,820 s allo SLV.

Dal § 7.8.1.3 del DM 14.01.2008 si evince che il fattore di struttura q è dato da:

RKqq ⋅= 0

ove q0 rappresenta il valore massimo del fattore di struttura, assunto per le costruzioni in

muratura ordinaria pari a:

10 0,2

ααuq ⋅=

.

Il rapporto αu/α1, secondo quanto sancito al § 7.3.1 delle NTC, per una struttura non

regolare in pianta è da ritenersi pari, alla media aritmetica tra 1,0 e 1,8 (valore fornito dalla

norma per le costruzioni in muratura ordinaria con due o più piani). Secondo lo stesso

paragrafo del Decreto il fattore riduttivo KR è da ritenersi pari a 0,8 per le strutture non

regolari in altezza. Risulta pertanto:


- 83 -

24,28,04,10,2 =⋅⋅=q

Risulta ora possibile tracciare graficamente gli spettri di risposta di progetto in termini di

accelerazione Sd(T) e valutare quest’ultima in corrispondenza del periodo proprio di

oscillazione della struttura, definito dalla normativa pari a:

sHT 238,0)00,8(05,005,0 43

43

=⋅=⋅= .

Stato Limite

Sd(T) [g]

SLD 0,0915 SLV 0,1015

Tabella 4.6 – Accelerazioni sismiche di progetto

Figura 4.14 – Spettri di progetto in termini di accelerazione


- 84 -

In considerazione di quanto descritto al § 1.4.3 e con riferimento alla combinazione di

carico sismica N. 23 definita al successivo § 4.2.2.2 per la quale si esegue in maniera

completa l’analisi statica lineare allo Stato Limite di salvaguardia della Vita, le forze

equivalenti al sisma assumono i valori riportati nella tabella seguente:

Impalcato Fx,y [kN] i = 1 889,56 i = 3 800,73

Tabella 4.7 – Distribuzione dell’azione sismica lungo l’altezza

La generica forza orizzontale Fi si considera applicata, separatamente lungo le direzioni x

e y della pianta, nel baricentro delle masse dell’impalcato le cui coordinate cartesiane sono

riportate nella seguente tabella:

Impalcato XG [m] YG [m] i = 1 12,62 10,89 i = 3 12,48 10,75

Tabella 4.8 – Coordinate dei baricentri delle masse

4.2.2.2 Combinazioni di carico

Per la verifica dell’edificio oggetto di studio si utilizzano le seguenti combinazioni di

carico, secondo quanto stabilito al § 2.5.3 del DM 14.01.2008.

- Analisi in condizione non sismica


- 85 -

N. GK1 GK2 QK1 QK2 Sisma x Sisma y ex ey 1 1,3 1,3 1,5 0 0 0 0 0 2 1 1 0,5 0 0 0 0 0 3 1 1 0,3 0 0 0 0 0

Tabella 4.9 – Combinazioni di carico per azioni non sismiche

- Analisi statiche lineari allo SLV

N. GK1 GK2 QK1 QK2 Sisma x Sisma y ex ey 1 1 1 0,3 0 - 0,3 - 1 0 - 1 2 1 1 0,3 0 - 0,3 - 1 - 1 0 3 1 1 0,3 0 - 0,3 - 1 0 1 4 1 1 0,3 0 - 0,3 - 1 1 0 5 1 1 0,3 0 - 0,3 1 0 - 1 6 1 1 0,3 0 - 0,3 1 - 1 0 7 1 1 0,3 0 - 0,3 1 0 1 8 1 1 0,3 0 - 0,3 1 1 0 9 1 1 0,3 0 - 1 - 0,3 0 - 1 10 1 1 0,3 0 - 1 - 0,3 - 1 0 11 1 1 0,3 0 - 1 - 0,3 0 1 12 1 1 0,3 0 - 1 - 0,3 1 0 13 1 1 0,3 0 - 1 0,3 0 - 1 14 1 1 0,3 0 - 1 0,3 - 1 0 15 1 1 0,3 0 - 1 0,3 0 1 16 1 1 0,3 0 - 1 0,3 1 0 17 1 1 0,3 0 1 - 0,3 0 - 1 18 1 1 0,3 0 1 - 0,3 - 1 0 19 1 1 0,3 0 1 - 0,3 0 1 20 1 1 0,3 0 1 - 0,3 1 0 21 1 1 0,3 0 1 0,3 0 - 1 22 1 1 0,3 0 1 0,3 - 1 0 23 1 1 0,3 0 1 0,3 0 1 24 1 1 0,3 0 1 0,3 1 0 25 1 1 0,3 0 0,3 - 1 0 - 1 26 1 1 0,3 0 0,3 - 1 - 1 0 27 1 1 0,3 0 0,3 - 1 0 1 28 1 1 0,3 0 0,3 - 1 1 0 29 1 1 0,3 0 0,3 1 0 - 1 30 1 1 0,3 0 0,3 1 - 1 0 31 1 1 0,3 0 0,3 1 0 1 32 1 1 0,3 0 0,3 1 1 0

Tabella 4.10 – Combinazioni di carico per le analisi statiche lineari allo SLV


- 86 -

- Analisi statiche non lineari (push-over)

N. GK1 GK2 QK1 QK2 Sisma x Sisma y ex ey 1 1 1 0,3 0 1 0 0 1 2 1 1 0,3 0 1 0 0 - 1 3 1 1 0,3 0 - 1 0 0 1 4 1 1 0,3 0 - 1 0 0 - 1 5 1 1 0,3 0 0 1 1 0 6 1 1 0,3 0 0 1 - 1 0 7 1 1 0,3 0 0 - 1 1 0 8 1 1 0,3 0 0 - 1 - 1 0

Tabella 4.11 – Combinazioni di carico per le analisi push-over

4.2.3 Modello dei materiali

La modellazione dei materiali consiste nel descrivere il comportamento fisico-meccanico

di un materiale attraverso equazioni e parametri che siano sufficientemente semplici da

definire e da trattare analiticamente.

Per modellare matematicamente il comportamento di un materiale è necessario conoscere:

- il legame costitutivo, che descrive come il materiale di deforma al variare delle

tensioni11

- il valore della tensione massima che esso può sopportare;

;

- il valore della deformazione in corrispondenza della tensione massima;

- la deformazione ultima e la tensione ad essa associata;

- eventuali singolarità in termini di isotropia, omogeneità, etc.

La muratura è un assemblaggio di due materiali: unità lapidee e malte. E’ evidente,

quindi, che essa non è un materiale poiché si presenta eterogenea, anisotropa e dotata di

un comportamento elasto-plastico non lineare. Per adattare dunque i procedimenti della

11 Nella Teoria dell’Elasticità, supponendo valide le ipotesi di isotropia e di omogeneità del materiale, sono sufficienti per la definizione del legame costitutivo solo due coefficienti: il modulo di elasticità normale E e il modulo di elasticità tangenziale G.


- 87 -

Meccanica del Continuo alla muratura bisogna modellarla attraverso un materiale

equivalente ipotizzato isotropo e omogeneo. Per caratterizzare matematicamente il

materiale equivalente è necessario aver ben presente che le caratteristiche della muratura

dipendono dalla: qualità della pietra, della malta e della posa in opera.

Di seguito si caratterizza la muratura di cui si compongono le pareti della struttura

oggetto di verifica.

Nel caso specifico essa è realizzata con elementi di pietrame naturale di dimensioni miste,

senza listature, singolo paramento e con malta di tipo cementizia in buono stato, priva di

lesioni e spaccature tali da sgretolarsi al tatto.

Per quanto riguarda resistenze e moduli elastici di tale muratura, si può fare riferimento

ai valori forniti nella tabella C8B.1 della Bozza di Istruzioni per l’applicazione delle

Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al D.M. 14.01.2008 e di seguito riportate nella

Tabella 4.12.

Tipologia Muratura fm [MPa] τ0 [MPa] E [MPa] γ [kN/m3] Muratura in pietrame disordinato 1,80 0,032 1350 19

Tabella 4.12 – Caratteristiche meccaniche della muratura

In essa si è indicato con:

- fm la resistenza media della muratura a compressione;

- τ0 la resistenza media a taglio della muratura;

- E il modulo di elasticità normale della muratura;

- γ il peso per unità di volume della muratura.

La Circolare fornisce valori di base di detti parametri per la muratura in pietrame

disordinato legato con malta scadente. Nel caso in cui si utilizzino malte di buona qualità

è possibile, però, incrementare tali valori attraverso un coefficiente correttivo assunto pari

a 1,5 nella tabella C8B.2 della Circolare. Atteso che la malta presente nella muratura

oggetto di verifica, seppure cementizia, si suppone fortemente degradata, l’incremento di

resistenza non viene applicato.


- 88 -

Secondo quanto stabilito al § 11.10.3.4 del DM 14.01.2008, che i moduli di elasticità

possono essere desunti, in assenza di determinazioni sperimentali, attraverso le seguenti

relazioni:

- E modulo di elasticità normale kf1000E ⋅= ;

- G modulo di elasticità tangenziale E4,0G ⋅= .

4.2.3.1 Stima del fattore di confidenza

Secondo quanto stabilito al cap. C8A della Circolare attuativa del DM 14.01.2008, per la

determinazione del livello di conoscenza dell’edificio in oggetto con relativo fattore di

confidenza sono stati esaminati i seguenti dettagli costruttivi:

a) pareti ben collegate tra loro;

b) qualità del collegamento tra pareti e orizzontamenti garantita dalla presenza di

cordoli;

c) tutte le aperture dotate di architravi (non si conosce il grado della loro efficienza

strutturale);

d) assenza di spinte provocate da carichi non sismici;

e) assenza di elementi non strutturali ad elevata vulnerabilità;

f) tipologia di muratura in pietrame irregolare ad un paramento, senza riempimento

a sacco, non listata eseguita.

La Circolare prevede due tipologie di verifiche in-situ volte a per stabilire il livello di

conoscenza sulla base dei dettagli costruttivi. Per la costruzione in oggetto è stata eseguita

una verifica in-situ estesa ed esaustiva basata su rilievi di tipo visivo, effettuando saggi nella

muratura mirati ad esaminarne le caratteristiche, lo spessore murario, il collegamento tra i

muri ortogonali e tra solai e pareti. Risultano esaminati non cura i dettagli costruttivi

menzionati precedentemente ai punti e) ed f).

Per quanto riguarda le proprietà dei materiali, la Circolare pone particolare attenzione

sulla valutazione delle loro caratteristiche meccaniche che deve avere come finalità


- 89 -

principale quella di stabilire se la muratura in esame è capace di esibire un

comportamento strutturale idoneo a sostenere le azioni statiche e dinamiche prevedibili

per l’edificio in oggetto, tenuto conto della categoria del suolo, opportunamente

identificate secondo quanto indicato al § 3.3.3 del DM 14.01.2008.

La Circolare prevede tre tipologie di verifiche in-situ che si possono effettuare per stabilire

il livello di conoscenza circa le proprietà dei materiali. Per la costruzione in oggetto è stata

eseguita una verifica in-situ estesa. Questo tipo di verifica è stata effettuata con prove di

caratterizzazione meccanica della pietra e della malta con saggi superficiali ed interni

eseguiti in maniera estesa e sistematica. Tali prove hanno validato i valori dei parametri

meccanici forniti per questo tipo di muratura dalla tabella C8B.1 della Circolare, per cui si

è scelto di utilizzare proprio essi, così come già precisato al § 4.2.3.

Sulla base di quanto scritto finora è si può ritenere raggiunto il livello di conoscenza della

struttura LC2 in quanto, così come afferma la Circolare, sono stati effettuati il rilievo

geometrico, verifiche in-situ estese ed esaustive sui dettagli costruttivi, indagini in-situ

estese sulle proprietà dei materiali. La Circolare associa a questo livello di conoscenza il

seguente fattore di confidenza:

FC = 1,2

4.2.3.2 Resistenze di progetto

Il DM 14.01.2008 al § 11.10.3 sancisce che nel caso di muratura costituita da elementi

naturali si assumono convenzionalmente le resistenze caratteristiche a compressione e a

trazione pari a:

mk ff ⋅= 75,0 ; vmvk ff ⋅= 7,00

Per le verifiche sismiche si utilizza il coefficiente parziale di sicurezza γm = 2 ottenendo i

seguenti valori delle resistenze, previa ulteriore riduzione operata attraverso il fattore di

confidenza della struttura FC = 1,2.


- 90 -

MPaFCf

fm

bmbd 563,0

2,128,175,075,0

=⋅

⋅=

⋅⋅

=γ

MPaFCf

fm

vmvd 01,0

2,12032,07,07,0

=⋅⋅

=⋅⋅

=γ

4.3 Verifiche per azioni non sismiche

Le verifiche per azioni non sismiche sono trattate al § 4.5 del DM 14.01.2008. Esse vanno

effettuate per carichi verticali (peso degli elementi, carichi e sovraccarichi applicati) e

carichi orizzontali non sismici (spinte). Nel caso in esame, questi ultimi, sono del tutto

assenti sicché la verifica si riduce ai soli carichi verticali.

Prima di procedere alla descrizione della verifica è necessario introdurre alcuni parametri.

Essi nascono da considerazioni che si possono effettuare analizzando la geometria del

pannello in direzione trasversale (visto che è in riferimento a questa che si esegue la

verifica) e la disposizione delle forze agenti su di esso. Tali parametri sono:

- eccentricità di costruzione c, dovuta al fatto che tra primo e secondo piano le

murature subiscono una risega per la diminuzione di spessore;

- eccentricità da impalcato p, che dipendono dal modo in cui si decide di modellare

l’andamento delle tensioni normali di contatto tra solaio e pannello; si è scelto, per

questa analisi, un andamento costante di tali tensioni per cui, considerando che il

cordolo per ogni solaio occupa metà dello spessore s della parete si ha p = s/4;

- eccentricità strutturali r, che rappresentano la distanza della risultante dei carichi

agenti sul generico pannello (Ri-1 = Ri+1 + Qi + Pi) dalla linea media del pannello;

- eccentricità accidentale a, pari ad H/200 (dove H è l’altezza del pannello più la

distanza tra l’estradosso del pannello e l’impalcato) atteso che la normativa


- 91 -

impone di considerare per incertezze nel calcolo delle altre eccentricità e nella

verticalità delle pareti.

Nel procedere alla verifica dei pannelli si ipotizza:

- che nel passare tra un pannello e quello successivo il carico sia centrato in virtù

della diffusione delle tensioni normali lungo l’altezza;

- il peso dei pannelli sia applicato al pannello sottostante e non al pannello di

maschio stesso dato che esso risulta poco influente sullo stato di sollecitazione di

quest’ultimo;

- il carico trasmesso dai pannelli di nodo sia comprensivo della metà dei carichi che

agiscono sui pannelli di fascia ad esso adiacenti.

La verifica di normativa per azioni non sismiche consiste, in definitiva, nell’accertare che

risulti soddisfatta la seguente relazione:

m

m

m

kd

fffsBR

γγφσ ⋅

==≤⋅⋅

=75,0

Dove:

- R è la risultante dei carichi verticali agenti sul pannello;

- B è la larghezza del pannello;

- s è lo spessore del pannello;

- γm è il coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche12

- φ è un coefficiente minore di 1 che ha lo scopo di ridurre l’area reagente. Esso è

fornito dal DM 14.01.2008 nella tabella 4.5.III in funzione di:

;

- λ, snellezza convenzionale pari a sHρλ ⋅= ;

- m, coefficiente di eccentricità pari a se6m ⋅= dove e è l’eccentricità

convenzionale che la norma prescrive di assumere pari a are += .

12 Il coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche, per il caso in esame, è assunto pari a 2 supponendo che la muratura sia composta da elementi resistenti di categoria I, malta a prestazione garantita e classe di esecuzione I (tab. 4.5.2 DM 14.01.2008).


- 92 -

4.4 Analisi “manuale” con il metodo RAN

La verifica dell’edificio in muratura è stata eseguita mediante il metodo RAN, sia in

maniera “manuale” (limitatamente all’analisi in condizione non sismica e all’analisi statica

lineare) che “automatica” (comprensiva anche dell’analisi push-over). Entrambe le

procedure sono state applicate sulla scorta dei criteri descritti al Capitolo 3.

Nelle prossime pagine sono riportati i tabulati di calcolo relativi all’analisi “manuale” (in

condizione non sismica e per l’analisi statica lineare) con particolare riferimento alla parete

6 dell’edificio (ved. Figura 4.10) per la quale, a titolo di esempio, si esegue il calcolo

strutturale in maniera compiuta.

La Tabella 4.13 mostra la discretizzazione della parete in macro-elementi con calcolo dei

pesi propri di ogni pannello e i carichi che su di esso gravano, la determinazione dei pesi

simici e dell’azione sismica equivalente, ripartita tra i diversi pannelli di maschio secondo

la procedura illustrata al § 3.2 della presente tesi.

i j B

[m] H

[m] s

[m] Q

[kN]

Solaio a sx [m]

Solaio a dx [m]

G1 [kN

]

G2 [kN]

Q1 [kN

]

Q2 [kN

]

W [kN]

Fx [kN]

Fy [kN]

(Xv , Yv) [m]

Kvy [kN/m]

Ky [kN/m]

Fvy [kN

]

1

1 5,80 1,40 0,70 108,00 2,53 2,63 67,2

1 136,8

0 14,9

4 12,8

4

1006,76

2978,64

893,59

2 1,50 1,40 0,70 27,93 2,53 2,63 17,38

35,38 3,86 3,32

3 2,95 1,40 0,70 54,93 2,53 2,63 34,18

69,58 7,60 6,53

4 1,50 1,40 0,70 27,93 2,53 2,63 17,3

8 35,38 3,86

3,32

5 6,70 1,40 0,70 124,75 2,53 2,63 77,6

4 158,0

3 17,2

5 14,8

4

2

1 5,80 2,60 0,70 200,56 5,40 2,90

6,59E+05

26,16

2 1,50 2,60

3 2,95 2,60 0,70 102,01

5,40

8,78 2,84E+0

5 6,62E+0

6 11,2

8

4 1,50 2,60

5 6,70 2,60 0,70 231,69

5,40

15,10

7,73E+05

30,7

0

3

1 5,80 1,40 0,80 123,42 2,50 2,60 66,5

6 117,7

3 59,1

6

2 1,50 1,40 0,80 31,92 2,50 2,60 17,2

1 30,45 15,3

0

3 2,95 1,40 0,80 62,78 2,50 2,60 33,85

59,88 30,09

1569,55

800,73 240,22


- 93 -

4 1,50 1,40 0,80 31,92 2,50 2,60 17,2

1 30,45 15,3

0

5 6,70 1,40 0,80 142,58 2,50 2,60 76,88

136,00

68,34

4

1 5,80 2,60 0,80 229,22

5,40

2,90 7,53E+0

5

23,62

2 1,50 2,60

3 2,95 2,60 0,80 116,58

5,40

8,78 3,24E+05

7,56E+06

10,18

4 1,50 2,60

5 6,70 2,60 0,80 264,78 5,40

15,10

8,83E+05

27,63

Tabella 4.13 – Modello di ripartizione delle forze sui pannelli (parete 6)

La Tabella 4.14 mostra, invece, le verifiche effettuate per i pannelli di maschio, così come

descritto al § 3.6.

Pan. R [kN] S [kN]

N [kN] N Vl [kN]

Ve [kN]

Vp [kN]

Vt [kN]

Vaa [kN]

Vae [kN]

V [kN]

δ [mm]

2, 1 357,87 -14,76 343,12 0,1770 255,14 585,02 630,12 118,97 174,46 185,31 26,16 0,112 2, 3 243,13 -0,63 242,50 0,2461 91,72 185,04 207,57 70,35 115,93 105,09 11,28 0,112 2, 5 407,04 15,38 422,43 0,1877 362,86 815,14 883,50 141,45 211,96 218,30 30,70 0,112 4, 1 925,98 -49,94 876,04 0,3954 651,41 925,32 1182,55 197,66 319,25 276,97 49,78 0,187 4, 3 594,85 -2,13 592,72 0,5251 202,59 202,59 319,25 115,28 176,38 154,77 21,46 0,187 4, 5 1056,70 52,06 1108,80 0,4333 952,46 1208,96 1621,07 238,53 378,73 329,21 58,43 0,187

Tabella 4.14 – Verifiche dei pannelli di maschio della parete 6

La Tabella 4.15 si riferisce alla determinazione delle sollecitazioni agenti sui pannelli di

nodo e sui pannelli di fascia dei livelli 1 e 3 della parete 6. Come § 3.6.1, essa viene

effettuata attraverso le equazioni di equilibrio.

k i j Faccia Superiore Faccia Inferiore Faccia Sinistra Equilibrio Faccia Destra

N [kN]

V [kN]

M [kNm]

N [kN]

V [kN]

M [kNm]

N [kN]

V [kN]

M [kNm]

N [kN]

V [kN]

M [kNm]

6 1

1 0,00 0,00 0,00 343,12 26,16 -117,52 0,00 0,00 0,00 4,74 -26,22 9,16

2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -4,74 -26,22 9,16 -0,80 -55,73 9,09

3 0,00 0,00 0,00 242,50 11,28 13,73 -0,80 -55,73 -9,09 -0,42 25,59 23,36

4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,42 -25,59 -23,36 -5,96 -56,36 42,56

5 0,00 0,00 0,00 422,43 30,70 205,18 -5,96 -56,36 -42,56 0,00 0,00 0,00

3 1 532,92 23,62 31,85 876,04 49,78 -92,19 0,00 0,00 0,00 4,28 -6,90 -47,62


- 94 -

2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -4,28 -6,90 -47,62 -0,72 -77,27 1,65

3 350,22 10,18 13,73 592,72 21,46 26,48 0,72 77,27 1,65 -0,38 5,40 35,28

4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,38 5,40 35,28 -5,38 -78,77 86,80

5 686,37 27,63 37,38 1108,8

0 58,43 244,63 5,38 78,77 86,80 0,00 0,00 0,00

Tabella 4.15 – Equilibrio delle fasce di piano della parete 6

La Tabella 4.16 mostra le verifiche condotte sui pannelli di fascia non armati, come scritto

al § 3.6.2.

PAN. sez. N [kN]

V [kN]

M [kN]

e [m]

Nu [kN]

F N Q P f Ve

min [kN]

Ve max [kN]

1, 2, 6 sx -4,74 -26,22 9,16 -1,38

468,56 0,0111 -0,0095

0,0596 0,1151 1,0000 0,00 0,00

dx -0,80 -55,73 9,09 8,11 0,0016 -47,38 -51,87

1, 4, 6 sx 0,42 -25,59 -23,36 -39,90

468,56 0,0111 0,0008

0,0596 0,1151 1,0000 51,23 56,70

dx -5,96 -56,36 42,56 5,10 0,0119 -72,13 -71,74

3, 2, 6 sx -4,28 -6,90 47,62 -7,95

535,50 0,0348 -0,0077

0,0596 0,0976 1,0000 0,00 0,00

dx -0,72 -77,27 1,65 1,63 0,0013 -43,50 -47,54

3, 4, 6 sx 0,38 -5,40 -35,28 -66,74

535,50 0,0177 0,0007

0,0596 0,0976 1,0000 60,80 65,75

dx -5,38 -78,77 86,80 11,53 0,0097 -102,46 -102,11

Tabella 4.16 – Verifica a presso-flessione dei pannelli di fascia (parete 6)

La Tabella 4.17 fa riferimento, infine, alle verifiche per carichi non sismici condotte per la

parete 6, come descritto al § 4.3 della presente tesi.

PAN. R [kN] |r| [m] a [m] e [m] λ m [m] φ σ [MPa]

2, 1 357,87 0,00 0,02 0,02 5,603 0,171 0,850 0,10

2, 3 243,13 0,00 0,02 0,02 5,603 0,171 0,850 0,14

2, 5 407,04 0,00 0,02 0,02 5,603 0,171 0,850 0,10

4, 1 925,98 0,00 0,02 0,02 4,903 0,150 0,875 0,23

4, 3 594,85 0,00 0,02 0,02 4,903 0,150 0,875 0,29

4, 5 1056,87 0,00 0,02 0,02 4,903 0,150 0,875 0,23

Tabella 4.17 – Verifica per carichi non sismici della parete 6


- 95 -

4.4.1 Ulteriori verifiche

La normativa italiana prevede verifiche diverse da quelle effettuate con il metodo RAN

nei confronti della presso-flessione nel piano degli elementi in muratura.

La verifica a presso-flessione (§ 7.8.2.2.1 del DM 14.01.2008) di una sezione di un

elemento strutturale si effettua confrontando il momento di calcolo agente con il momento

ultimo resistente valutato assumendo la muratura non reagente a trazione ed

un’opportuna distribuzione non lineare delle tensioni normali di compressione. Nel caso

di una sezione rettangolare tale momento ultimo può essere calcolato come:

⋅

−⋅

⋅⋅=

dU f

tlM85,0

12

002 σσ

dove:

- Mu è il momento corrispondente al collasso per presso-flessione;

- l è la lunghezza complessiva della parete (compresa la zona tesa);

- t è lo spessore della zona compressa della parete;

- σ0 è la tensione normale media riferita all’area totale della sezione, pari a P/(lt),

essendo P la forza assiale agente (positiva se di compressione). Se P è di trazione, si

assume Mu = 0;

- m

kd FC

ffγ⋅

=

è la resistenza a compressione di calcolo della muratura.

Per la verifica a taglio la normativa (§ 7.8.2.2.2 del DM 14.01.2008) valuta la resistenza a

taglio di ciascun elemento a mezzo della seguente relazione:

vdt ftlV ⋅⋅= '

dove:

- l’ è la lunghezza della parte compressa della parete;

- t è lo spessore della parete;


- 96 -

- fvd = fvk / FC γM è definito al § 4.5.6.1 delle NTC, calcolando la tensione normale

media (indicata con σn nel paragrafo appena citato) sulla parte compressa della

sezione (σn = P/ (l’t).

Per quanto riguarda la verifica a presso-flessione nel piano dei pannelli armati la

normativa stabilisce, al § 7.8.3.2.1 del DM 14.01.2008, che in presenza di azione assiale

nota (come è nel caso in esame) la verifica va effettuata analogamente a quanto stabilito

per i pannelli non armati.

La verifica a presso-flessione e a taglio eseguita secondo normativa risulta essere meno

restrittiva di quella eseguita secondo il metodo RAN per cui (come concesso dalle stesse

NTC) si ritiene di verificare i pannelli di fascia dell’edificio in oggetto esclusivamente

attraverso il detto metodo.

4.5 Analisi “automatica” con il codice RAN

L’analisi “automatica” è stata condotta mediante il codice di calcolo RAN (i cui autori

sono il prof. ing. Nicola Augenti e l’ing. Elia Acconcia). Nel seguito si riportano, come

immagini, le “finestre” del programma relative sia all’inserimento dei dati nella fase di

input, sia alla fase di output contenenti i risultati dell’analisi.

4.5.1 Dati di input

Il codice di calcolo RAN è composto da una serie di schermate semplici ed intuitive che, in

maniera interattiva, consentono l’immissione di tutti i dati di input necessari per

l’esecuzione delle analisi.


- 97 -

Nella schermata intitolata Dati Generali si immettono i dati relativi al numero di pareti,

alla tipologia di edificio (se nuovo o esistente con relativo Fattore di Confidenza), la classe

dell’edificio e il numero di pareti e di livelli (Figura 4.15).

Figura 4.15 – Dati generali

Nella schermata “Materiali” si definiscono tutti i parametri meccanici relativi ai materiali

costituenti la struttura portante dell’edificio oggetto di analisi (Figura 4.16).


- 98 -

Figura 4.16 - Materiali

Definiti il modello dei materiali e i dati generali, bisogna costruire il modello delle azioni

simiche e non sismiche. Per la definizione delle prime si procede, come si fa osservare in

Figura 4.17, alla caratterizzazione sismica del luogo in cui la costruzione risiede. Per

quanto riguarda, invece, le azioni non sismiche si definiscono le tipologie di solai presenti

suddividendo il loro carico così come previsto dal DM 14.01.2008 (Figura 4.18).


- 99 -

Figura 4.17 – Input sismico e domanda di progetto

Figura 4.18 – Azioni non sismiche

Il successivo passo da compiere è quello di immettere i coefficienti delle combinazioni di

carico che, per ognuna delle verifiche e degli Stati Limite considerati, devono essere presi

in esame in accordo con quanto stabilito dal DM 14.01.2008. Nella Figura 4.19 si riportano,


- 100 -

a titolo di esempio, i coefficienti delle 32 combinazioni di carico per le verifiche sismiche

allo SLV.

Figura 4.19 – Coefficienti delle combinazioni allo SLV

Terminate le fasi descritte fino ad ora resta da effettuare esclusivamente la definizione

della geometria delle pareti e dei carichi competenti ad ogni pannello. Tali operazioni

avvengono in tre finestre del programma RAN. La prima (ved. Figura 4.20) consente di

posizionare planimetricamente le pareti inserendo le coordinate del filo della parete più

vicino agli assi; la seconda (ved. Figura 4.21) permette di definire la geometria di ogni

pannello murario; la terza (ved. Figura 4.22) consente di assegnare i carichi a ciascun

pannello di ogni parete dell’edificio.


- 101 -

Figura 4.20 – Definizione planimetrica delle pareti

Figura 4.21 – Discretizzazione delle pareti in macro-elementi


- 102 -

Figura 4.22 – Definizione dei carichi applicati per le diverse pareti

Il codice RAN consente anche la visualizzazione grafica dell’edifico in prospettiva

tridimensionale (ved. Figura 4.23), oltre che in pianta e in prospetti secondo i piano

coordinati (x, y) e (y, z)..


- 103 -

Figura 4.23 – Vista prospettica dell’edificio

4.5.2 Dati di output

Successivamente alla definizione dei dati di input si procede all’esecuzione delle analisi,

al termine delle quali non è più possibile modificare i dati di input a meno che non si

“sblocchi” il lucchetto apposito del codice. I risultati sono forniti sia attraverso finestre

analoghe a quelle di input, sia attraverso la stampa di tabelle relative ai diversi risultati

desiderati.

La visualizzazione tridimensionale dell’edificio in fase di output (ved. Figura 4.24)

presenta la particolarità di mostrare con colori diversi i pannelli a seconda se essi

risultano verificati (colore blu) o non verificati (colore rosso). Tale visualizzazione grafica

consente dunque di avere, anche dal punto di vista globale, idea di ciò che accade alle

varie pareti dell’edificio sottoposte ai carichi di progetto.


- 104 -

Figura 4.24 – Visualizzazione prospettica ad analisi eseguita

Il risultati che il codice fornisce attraverso le finestre di output sono:

a) verifica per azioni non sismiche (ved. Figura 4.25);

b) analisi statica lineare:

- valori forze sismiche (ved. Figura 4.26);

- verifica dei pannelli di maschio (ved. Figura 4.27);

- domini di resistenza dei pannelli di maschio (ved. Figura 4.28);

- curve caratteristiche di piano (ved. Figura 4.29);

- verifica dei pannelli di fascia (ved. Figura 4.30);

- calcolo della capacità portante delle pareti (ved. Figura 4.31).


- 105 -

Figura 4.25 – Verifica per azioni non sismiche

Figura 4.26 – Forze sismiche


- 106 -

Figura 4.27 – Verifica dei pannelli di maschio

Figura 4.28 – Domini di resistenza del pannello di maschio (4,3,6)


- 107 -

Figura 4.29 – Curve caratteristiche al livello 4 della parete 6

Figura 4.30 – Verifica dei pannelli di fascia


- 108 -

Figura 4.31 – Capacità portante delle pareti

Terminata la verifica dell’edificio in muratura attraverso analisi condotte sia in maniera

manuale che automatica con il metodo RAN, si è constatato che il codice di calcolo RAN

restituisce valori delle sollecitazioni e dei parametri di verifica perfettamente identici a

quelli ricavati con l’analisi manuale. Tale software risulta, dunque, affidabile per l’analisi

di edifici esistenti in muratura anche in presenza di significative irregolarità dal punto di

vista sismico.

Per quanto detto sarà pertanto possibile effettuare molteplici analisi parametriche (come

scritto nel cap. 5 del presente elaborato di tesi), impiegando esclusivamente il codice di

calcolo automatico che, ovviamente, risulta di gran lunga più veloce, affidabile e meno

oneroso da applicare rispetto al calcolo manuale.

- 109 -

Capitolo 5 - Analisi parametriche

5.1 Introduzione

Le analisi parametriche sono una tipologia di analisi che consentono di studiare l’effetto

sulla risposta (sismica e non) della struttura dovuto alla variazione di alcuni parametri di

input, nel modello di calcolo della struttura, attraverso il controllo di altri parametri o

indici di output detti “di controllo”. Tali analisi hanno molteplici scopi e forniscono

informazioni circa:

a) l’incidenza della geometria della struttura;

b) l’incidenza dei parametri elasto-meccanici dei materiali costituenti la struttura;

c) l’incidenza del coefficiente di sicurezza e del fattore di confidenza;

d) l’incidenza dei parametri derivanti dalla caratterizzazione sismica del sito.

Attraverso lo studio e la comprensione del legame che sussiste tra parametri di input

variati e parametri di output osservati è possibile:

1) ottimizzare la progettazione di nuove strutture secondo la logica di realizzare

edifici le cui rigidezze, resistenze e capacità di spostamento degli elementi

strutturali siano distribuite in maniera da consentire la riduzione delle

sollecitazioni all’interno della struttura;

2) progettare interventi di consolidamento su strutture esistenti che siano poco

invasivi, economici ed efficienti.

La valutazione circa le variazioni dei parametri di output (definiti in maniera esplicita tra

breve) ha senso solo se per ognuna delle analisi cambia un solo parametro di input a

partire da una medesima configurazione di base. Solo in questo modo è possibile capire

se, quanto e come incide ciascuno dei parametri che si andranno a variare sul

comportamento della struttura.

- Capitolo 5 – Analisi parametriche - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 110 -

5.2 Definizione dei parametri

Nei paragrafi che seguono saranno definiti in maniera dettagliata:

1) i parametri di input;

2) i parametri di output.

A tal fine va precisato che la configurazione parametrica di base a partire dalla quale si

eseguono tutte le analisi è dell’edificio esistente verificato.

5.2.1 Parametri di input

I parametri di input sono classificati a seconda che siano relativi alle azioni, ai materiali,

all’altezza dell’edificio o agli effetti torsionali

a) Parametri di input relativi alle

indotti dalle azioni sismiche orizzontali.

azioni

1) coefficiente d’uso Cu (per le classi d’uso II, III, IV);

:

2) coefficiente di amplificazione stratigrafica SS (per le categorie di sottosuolo B, C e

D).

b) Parametri di input relativi ai materiali

1) peso dell’unità di volume γ (per muratura di pietrame pari a 16 kN/m3, 19 kN/m3 e

22 kN/m3);

:

2) resistenza caratteristica a compressione monoassiale della muratura fk (per la

muratura di pietrame pari a 1,05 MPa, 1,35 MPa e 1,65 MPa);

3) resistenza caratteristica a taglio puro da scorrimento fvk0 e taglio puro da trazione

ftk0 (per la muratura di pietrame entrambe pari a 0,022 MPa, 0,036 MPa e 0,050

MPa);

4) fattore di confidenza FC (pari a 1,0, 1,2 e 1,35);

5) coefficiente di sicurezza della muratura per azioni non sismiche γm (assunto pari a

2, 2,5 e 3).

c) Parametri di input relativi all’altezza dell’edificio:


- 111 -

- numero di piani pari a 2, 3, 4 e 5.

d) Parametri di input relativi agli effetti torsionali

- coefficiente delle eccentricità accidentali pari a ± 1 e coefficiente del sisma in

direzione trasversale pari a ± 0,3.

indotti dalle azioni sismiche orizzontali

(da immettere nelle combinazioni di carico):

Si precisa che in tutte le analisi parametriche non varieranno mai:

a) le relazioni che legano i moduli elastici E e G alla resistenza caratteristica a

compressione fk, riportate al § 4.2.3 del presente elaborato di tesi;

b) le relazioni che legano i valori medi delle resistenze a quelli caratteristici, riportate

al § 4.2.3.2;

c) il coefficiente di sicurezza della muratura per azioni sismiche γm = 2.

5.2.2 Definizione delle analisi

Alla luce dei parametri di input appena definiti si esplicitano, di seguito, le analisi

parametriche che si intende effettuare indicando con il colore rosso i parametri variati

rispetto all’analisi di base. In particolare, sono definite n.18 analisi parametriche.

Analisi Base B1

- Classe d’Uso = II

- Categoria Sottosuolo = C

- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2

- Coeff. Sicurezza non sismico = 2

- Combinazione non sismica = tutte

- Combinazioni sismiche = tutte

- N. Piani = 2

Analisi B2

- Classe d’Uso = III


- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2



- 112 -

- Combinazione non sismica = 1

- Combinazioni sismiche = 23 ; 32

- N. Piani = 2

Analisi B3

- Classe d’Uso = IV


- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B4


- Categoria Sottosuolo = B

- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B5


- Categoria Sottosuolo = D

- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B6



- γm = 16 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B7



- γm = 22 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa


- 113 -

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B8



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,05 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B9



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,65 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B10



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,036 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B11



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,050 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B12



- γm = 19 kN/m3


- 114 -

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,0




- N. Piani = 2

Analisi B13



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,35




- N. Piani = 2

Analisi B14



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2

- Coeff. Sicurezza non sismico = 2,5



- N. Piani = 2

Analisi B15



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 2

Analisi B16



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 3

Analisi B17



- 115 -


- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 4

Analisi B18



- γm = 19 kN/m3

- fk = 1,35 MPa

- fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa

- FC = 1,2




- N. Piani = 5

5.2.3 Parametri di output nell’analisi per azioni non sismiche

Nell’ambito dell’analisi per azioni non sismiche, il controllo che viene effettuato consiste

nel monitorare la massima tensione normale indotta dalle azioni verticali e orizzontali.

Tale tensione è valutata, come scritto nel paragrafo relativo alle verifiche per azioni non

sismiche, per uno sforzo normale centrato grazie all’introduzione di un coefficiente di

riduzione della sezione trasversale φ.

dfsBR

≤⋅⋅

=φ

σ

Il parametro di output che si introduce per l’analisi delle azioni non sismiche è il tasso di

sollecitazione:

dns f

maxσρ =


- 116 -

che consente di di monitorare come varia il rapporto tra tensione normale massima e la

resistenza di progetto della muratura al variare dei parametri di input sopracitati. In

particolare, risulta interessante valutare il comportamento sismico delle pareti e dei

singoli pannelli di maschio alla luce dei diversi di sfruttamento delle risorse di resistenza

in condizione non sismica.

5.2.4 Parametri di output nell’analisi statica lineare

Per quanto riguarda l’analisi statica lineare, l’obiettivo delle analisi parametriche è quello

di valutare e controllare le richieste di resistenza e di duttilità a due livelli di osservazione:

1. richieste dell’edificio, della parete e del piano

2.

: indici di prestazione sismica della

struttura a livello globale;

richieste dei singoli pannelli di maschio

Alla luce di quanto detto è possibile definire per ciascun piano i della generica parete k, il

tasso di sollecitazione del piano:

: rappresentative del grado di regolarità,

sia planimetrico che altimetrico, della struttura e della sua influenza sul

comportamento sismico globale dell’intero edificio.

),(,

),(),(,

kiu

kikisl V

T=ρ

dove T(i,k) è il tagliante di piano e Vu,(i,k) il massimo taglio sopportabile dal piano. Risulta

altresì possibile determinare anche la duttilità disponibile del piano:

),(,

),(,),(,

kid

kiukid δ

δµ =


- 117 -

e la duttilità richiesta del piano:

),(,

),(,),(,

kid

kirkir δ

δµ =

dove: δd,(i,k) rappresenta il massimo spostamento orizzontale sopportabile dal piano al

limite elastico non proporzionale; δu,(i,k) rappresenta il massimo spostamento orizzontale

sopportabile dal piano al limite plastico (che nell’analisi statica lineare coincide con lo

spostamento corrispondente al massimo taglio sopportabile per presso-flessione o per

taglio, essendo condotta in controllo di forza) e δr,(i,k) rappresenta lo spostamento

orizzontale indotto dal tagliante di piano T(i,k).

La logica seguita fino ad ora può essere applicata per ciascun pannello di maschio (i,j)

della generica parete k. Si può quindi valutare il tasso di sollecitazione del pannello di maschio:

),,(,

),,(),,(,

kjiu

kjikjisl V

V=ρ

dove: V(i,j,k) è lo sforzo di taglio applicato sulla sezione di sommità del pannello; Vu,(i,j,k) è il

massimo taglio sopportabile al limite plastico dal pannello (esso è pari a Vp se si attinge la

crisi per presso-flessione e a Vt o a Va se si attinge la crisi per taglio da trazione o da

scorrimento).

Analogamente a quanto fatto per il piano alla generica parete, si definiscono per ogni

pannello la duttilità disponibile e la duttilità richiesta.

),,(,

),,(,),,(,

kjid

kjiukjid δ

δµ =

),,(,

),,(,),,(,

kjid

kjirkjir δ

δµ =

Si osserva che nel caso in cui il generico pannello di maschio attinga lan crisi per taglio (da

trazione o da scorrimento) il fattore di duttilità disponibile viene stabilito a priori


- 118 -

nell’analisi strutturale, per cui è già noto, mentre restano da determinarsi gli altri

parametri.

A partire dalla definizione delle duttilità, per il piano e per i pannelli, è possibile definire

anche un indice di danno Dμ:

11

−−

=d

rDµµ

µ

il quale fornisce informazioni sul grado di danneggiamento dell’elemento strutturale cui è

riferito. Esplicitando i fattori di duttilità risulta:

du

dr

d

u

d

r

Dδδδδ

δδδδ

µ −−

=−

−=

1

1

dove il termine al numeratore rappresenta, in termini di spostamento, quanto l’elemento

risulta “lontano” dal limite di elasticità; se tale limite è superato il valore è positivo, in

caso contrario è negativo. Il denominatore rappresenta, invece, la “distanza” tra lo

spostamento ultimo e quello elastico ed è la scala di riferimento rispetto alla quale si

valuta il danneggiamento. Il denominatore è posto uguale a zero quando la rottura è di

tipo fragile (cosa che avviene ad esempio quando l’elemento raggiunge la crisi per

trazione) perché in questo caso l’elemento passa direttamente da uno stato di integrità alla

rottura.

Nel caso in cui il termine al numeratore del rapporto sia negativo l’indice di danno Dμ è

posto uguale a zero perché, non essendo stato raggiunto il limite elastico, l’elemento non

ha subito alcun danneggiamento.


- 119 -

Nel caso in cui la crisi dell’elemento avvenga per taglio, gli spostamenti al limite elastico

sono legati dalla duttilità imposta a priori secondo la relazione:

dδδ µ ⋅= 5,1

per cui l’indice di danno assume la seguente fora:

−⋅=

−⋅−

=−−

= 125,1 d

r

dd

dr

du

drDδδ

δδδδ

δδδδ

µ

In ogni caso si ha:

per Dμ < 0 Dμ = 0

per Dμ ≠ 0 Dμ ≠ 0

per δu – δd < 0 Dμ = 1

È possibile definire, infine, un indice di danno globale della struttura valutato come somma

pesata degli indici di danno dei singoli pannelli di maschio:

( )( )∑ ∑

⋅

−⋅

−⋅=

kjikji

kjikjiekjirkjie

kjiekjirkjie DV

VD

,,),,(,

,,),,(,),,(,),,(,

),,(,),,(,),,(,µµ δδ

δδ

dove:

- Ve,(i,j,k) è il taglio al limite elastico non proporzionale;

- δr,(i,j,k) è lo spostamento a cui il pannello è sottoposto;

- δe,(i,j,k) è lo spostamento al limite elastico non proporzionale del pannello.


- 120 -

Ai fini delle analisi parametriche è possibile valutare altri due parametri significativi circa

la vulnerabilità sismica dell’edificio. Il primo è il moltiplicatore di crisi ξi,k di ciascun piano

(già definito al § 3.5.2), il secondo è la massima accelerazione sismica orizzontale al suolo

sopportabile dall’edificio (PGAmax). Per il calcolo del moltiplicatore di crisi si rimanda al §

3.5.2, mentre quello della PGAmax si effettua come descritto nel seguito.

A partire dal taglio ultimo determinato con la capacità portante si determina (dividendo il

taglio ultimo per il peso sismico) la massima accelerazione spettrale sopportabile dalla

struttura. In funzione del periodo proprio di oscillazione della struttura si inverte la

relazione corrispondente all’intervallo in cui esso ricade (ved. § 1.4.2 ) e si determina la

massima accelerazione al suolo sopportabile (PGAmax). Nel caso in cui risulti TB < T < TC

(eventualità tipica degli edifici in muratura) si ha, dunque:

0max,max

)(F

qTSaSPGA dg

⋅=⋅=

L’ultimo parametro che s’intende controllare in ciascuna delle analisi è la distribuzione

delle rigidezze secanti alla traslazione orizzontale di ogni piano i per ogni parete k,

definite come rapporto tra il tagliante di piano e lo spostamento orizzontale relativo da

esso subito (valutato attraverso la curva caratteristica). La rigidezza è determinata quindi

come:

ki

kiki

Tk

,

,, δ

=

Attraverso il calcolo della rigidezza si può verificare la regolarità in altezza dell’edificio che,

in accordo con quanto stabilito dalla normativa, può ritenersi soddisfatta se risulta:

1,17,0,2

, ≤≤+ ki

ki

kk


- 121 -

5.2.5 Parametri di output nell’analisi statica non lineare

Attraverso la costruzione della curva di capacità (fatta separatamente per ogni direzione,

verso, eccentricità e distribuzione di azioni orizzontali) è possibile determinare i

parametri discussi di seguito:

a) il periodo proprio di vibrazione T*, da confrontare con quello assunto nell’analisi statica

lineare;

b) il fattore di struttura q*;

c) il rapporto di sovraresistenza αu/α1, definito come rapporto tra il 90% del massimo taglio

alla base sopportabile e quello che determina l’attingimento della resistenza del primo

pannello;

d) il fattore di struttura qsnl = q0 ∙ KR , da confrontare con quello assunto nell’analisi statica

lineare indicato con qsl.

Si possono, inoltre, determinare gli stessi parametri valutati per l’analisi statica lineare

(descritti al § 5.2.4):

- duttilità disponibile del piano e del pannello, μd;

- duttilità richiesta dal piano e dal pannello, μr;

- indice di danneggiamento del piano e del pannello, Dμ;

- tasso di sollecitazione del piano e del pannello, ρ;

- vulnerabilità sismica in termini di PGA.

Si rimanda, per ulteriori spiegazioni in merito ai parametri sopra elencati, ai relativi

sottoparagrafi del § 5.5.


- 122 -

5.3 Tasso di sollecitazione non sismico

Il primo parametro di output oggetto di valutazione è il tasso di sollecitazione non sismico

precedentemente definito. Esso cambia, a partire dall’analisi di base, al variare del peso

specifico della muratura, della resistenza caratteristica a compressione della muratura, del fattore

di confidenza e del coefficiente di sicurezza nei confronti delle azioni non sismiche. Le analisi

che si prendono in considerazione per la valutazione del tasso di sollecitazione non

sismico sono, pertanto, le seguenti: B6; B7; B8; B9; B12; B13; B14; B15.

Le variazioni attese di tale parametro consistono in un aumento di ρns per:

- aumento del peso specifico della muratura;

- diminuzione della resistenza caratteristica a compressione della muratura;

- aumento del fattore di confidenza;

- aumenti del coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche.

In Figura 5.1 la rappresentazione grafica del tasso di sollecitazione non simico della parete

2 relativo all’analisi di base B1. Per tale parete avvengono le variazioni più significative

del parametro di output da valutare in tale paragrafo. Confronti numerici specifici

saranno effettuati per i pannelli di maschio 2,7 e 4,7.

Figura 5.1 – Analisi B1 della parete 2

La prima valutazione è fatta relativamente agli effetti conseguenti alla variabilità del peso

specifico della muratura. La variazione di tale parametro di input (aumentato e diminuito

di circa il 16% rispetto al peso specifico base di 19 kN/m3 nelle analisi B6 e B7) genera


- 123 -

escursioni del tasso di sollecitazione tali che le rappresentazioni grafiche presentino le

stesse campitura dei pannelli riportate in Figura 5.1. Nella Tabella 5.1 si mostrano le

variazioni percentuali di ρns per i pannelli di maschio 2,7 e 4,7 della parete 2. Tali

variazioni risultano pressoché dello stesso ordine di grandezza per tutte le pareti

dell’edificio esaminato.

Analisi Pannello (i,j,k) γ [kN/m3] ρns Δρns [%]

B1 2,7,2

19 0,2510

/ 2,7,4 0,7122

B6 2,7,2

16 0,2309 - 8,01

2,7,4 0,6405 - 10,07

B7 2,7,2

22 0,2711 8,01

2,7,4 0,7838 10,07

Tabella 5.1 – ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B6 e B7)

L’aumento e la diminuzione di ρns si spiegano perché la variazione del peso specifico della

muratura provoca una variazione dello stato tensionale sulle sezioni di ogni pannello

analogamente a quanto accadrebbe per un incremento o decremento di carico portato

dalle pareti.

La seconda valutazione riguarda la resistenza caratteristica a compressione della

muratura. La variazione di tale parametro di input (aumentato e diminuito di circa il 22%

rispetto alla fk base di 1,35 MPa nelle analisi B8 e B9) genera le escursioni del tasso di

sollecitazione mostrate in Figura 5.2 e in Figura 5.3.


- 124 -



La Tabella 5.2 mostra quantitativamente la variazione del tasso di sollecitazione per i

pannelli presi in considerazione.

Analisi Pannello (i,j,k) fk [MPa] ρns Δρns [%]

B1 2,7,2

1,35 0,2510

/ 2,7,4 0,7122

B8 2,7,2

1,05 0,3227 28,57

2,7,4 0,9157 28,57

B9 2,7,2

1,65 0,2054 - 18,17

2,7,4 0,5827 - 18,17

Tabella 5.2 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B8 e B9)


- 125 -

Il risultato utile fornito da questa analisi è che un aumento o una diminuzione della

resistenza caratteristica a compressione della muratura provoca, rispettivamente, il

medesimo aumento e la stessa diminuzione (in termini di variazione percentuale) del

tasso di sollecitazione, indipendentemente dall’appartenenza del pannello considerato al

livello 2 o al livello 4. Ciò significa, estendendo il ragionamento alle pareti dell’intero

edificio, che variando la resistenza caratteristica a compressione della muratura, i pannelli

di maschio subiscono una eguale variazione del tasso di sollecitazione.

La terza valutazione interessa il fattore di confidenza. La variazione di tale parametro di

input (aumentato e diminuito nelle analisi B12 e B13) genera le escursioni del tasso di

sollecitazione mostrate in Figura 5.4 e in Figura 5.5.




- 126 -


pannelli presi in considerazione.

Analisi Panello (i,j,k) FC ρns Δρns [%]

B1 2,7,2

1,20 0,2510

/ 2,7,4 0,7122

B12 2,7,2

1,00 0,2092 - 16,66

2,7,4 0,5935 - 16,66

B13 2,7,2

1,35 0,2824 12,50

2,7,4 0,8012 12,50


La quarta valutazione riguarda il coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche. La

variazione di tale parametro di input (incrementato e diminuito nelle analisi B12 e B13)

genera le escursioni del tasso di sollecitazione mostrate in Figura 5.6 e in Figura 5.7.



- 127 -



pannelli esaminati.

Analisi Pannrllo (i,j,k) γm ρns Δρns [%]

B1 2,7,2

2 0,2510

/ 2,7,4 0,7122

B14 2,7,2

2,5 0,3138 25,00

2,7,4 0,8902 25,00

B15 2,7,2

3 0,3765 50,00

2,7,4 1,0683 50,00


A valle delle valutazioni parametriche fino ad ora condotte è possibile dimostrare, con

estrema semplicità, la validità dei risultati numerici ottenuti.

Il tasso di sollecitazione non sismico può essere scritto, esplicitando i termini a partire dai

quali lo si determina, nel seguente modo:

k

m

m

kdns fsB

FCR

FCfsBR

f ⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅

⋅⋅==φ

γ

γ

φσρ max


- 128 -

Da questa relazione risulta evidente che per un aumento del coefficiente di sicurezza γ da

2 a 2,5 (incremento del 25%) si ha un eguale aumento del tasso di sollecitazione.

Ovviamente, ciò vale anche per FC e per fk, portando ad affermare che la variazione

relativa del tasso di sollecitazione non dipende dal pannello o dalla parete considerata.

5.4 Analisi statica lineare

5.4.1 Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli

La valutazione del tasso di sollecitazione sismico viene effettuata a partire dall’analisi di

base B1, rispetto alla quale si variano tutti quei parametri di input (dei quali si è parlato in

precedenza) che generano un cambiamento o dell’azione sismica o della risposta sismica

della struttura. È importante, per il conseguimento di un buon risultato da queste analisi,

ricordare che il tasso di sollecitazione sismico, oltre ad essere ovviamente dipendente dai

parametri di input, è legato anche:

a) alla combinazione di carico considerata;

b) alla condizione di carico cui è sottoposta la parete;

c) alla posizione geometrica della parete (principio di centrifugazione delle

rigidezze).

Per questi tre motivi non è certamente possibile fare valutazioni sul tasso di sollecitazione

sismico dei pannelli che siano del tutto generalizzabili e indipendenti dal caso di studio.

Ciò premesso, si intende ora esaminare per due combinazioni di carico allo SLV (N.23 e

N.32) il comportamento esibito dai pannelli di maschio appartenenti alle pareti il cui

sviluppo longitudinale avviene nella direzione del sisma principale, in quanto le analisi


- 129 -

hanno mostrato che quelle disposte in direzione trasversale subiscono piccolissime

escursioni del tasso di sollecitazione dovute al solo regime torsionale.

Per quanto riguarda la combinazione N.23 il sisma principale è in direzione x per cui si

prende in considerazione la parete 3; per la combinazione N.32, dove il sisma principale è

in direzione y, si prendono in considerazione la parete 5 (caricata da solai) e la parete 8

(sulla quale non poggiano i solai).

5.4.1.1 Analisi della parete 3 per la combinazione n.23 allo SLV

In Figura 5.8 si riporta lo stato della parete 3 in termini di tasso di sollecitazione relativo

all’analisi parametrica B1.


La prima valutazione interessa la variazione della classe d’uso dell’edificio e, quindi, del

relativo coefficiente d’uso. I valori di CU adottati sono 1,5 e 2.

Dall’analisi si vede che utilizzando CU pari a 1,5 i tassi di sollecitazione non risentono di

una variazione consistente; il contraria accade quando si adotta CU pari a 2 (ved. Figura

5.9).


- 130 -


Analisi Pannello (i,j,k) CU ρsl Δρsl [%]

B1 2,7,3

1 0,430

/ 4,7,3 0,505

B2 2,7,3

1,5 0,498 15,81

4,7,3 0,589 16,63

B3 2,7,3

2 0,551 28,14

4,7,3 > 1 rottura

Tabella 5.5 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B2 e B3)

Il coefficiente d’uso è un parametro che tiene conto del grado di affollamento cui è

sottoposta la struttura. Esso provoca un incremento dell’azione sismica (in termini di

spettro di progetto) per strutture maggiormente affollate in modo da aumentarne la

sicurezza. L’incremento dell’azione simica indotto dall’aumento di CU da 1 a 2 genera un

altrettanto aumento del tasso di sollecitazione sismico dei pannelli dell’ordine del 30%.

L’importanza di questo risultato non va sottovalutata poiché descrive l’incremento di

sollecitazioni che si avrebbe negli elementi strutturali dell’edificio nel momento in cui se

ne volesse cambiare la destinazione d’uso portandola, ad esempio, da civile abitazione

(Classe II – CU=1) a pubblica funzione (Classe IV – CU=2).

La seconda valutazione è fatta relativamente alla variazione della categoria del sottosuolo

su cui l’edificio è situato. La Figura 5.10 è rappresentativa della Categoria B di sottosuolo

mentre la Figura 5.11 è rappresentativa della Categoria D di sottosuolo.


- 131 -



Analisi Pannello (i,j,k) Sottosuolo ρsl Δρsl [%]

B1 2,7,3

C 0,430

/ 4,7,3 0,505

B4 2,7,3

B 0,335 - 22,09

2,7,3 0,394 - 21,98

B5 2,7,3

D 0,554 24,55

4,7,3 > 1 rottura


La categoria di sottosuolo consente di tenere conto nelle analisi del modo di propagarsi

delle onde sismiche negli strati di terreno. I risultati ottenuti mettono in luce quanto

incide la corretta valutazione della categoria di sottosuolo nell’analisi degli edifici


- 132 -

esistenti. La variazione del tasso di sollecitazione sismico tra una categoria di sottosuolo

ed un’altra è compresa tra il 20 e il 30%.

La terza e la quarta valutazione vengono effettuate in merito alla variazione del peso

specifico e della resistenza caratteristica a compressione della muratura. Per tali

valutazioni parametriche non sono riportate né figure e né tabelle riassuntive perché, per

l’edificio oggetto di studio, la rottura dei pannelli è sempre determinata dalla scarsa

resistenza a taglio della muratura. La variazione di parametri come il peso specifico o la

resistenza a compressione incide pochissimo sul tasso di sollecitazione. In realtà, la logica

porterebbe a pensare che, ad esempio, l’incremento del peso specifico della muratura,

provocando un aumento di sforzo normale sui pannelli di maschio, faccia aumentare i

massimi sforzi di taglio applicabili sui pannelli diminuendo, quindi, il tasso di

sollecitazione, atteso che la crisi avviene per taglio. Ciò è vero, ma l’incremento del peso

specifico valutato in queste analisi parametriche è basso e non induce incrementi

significativi della resistenza a taglio dei pannelli, sicché diminuiscono di pochissimo i

valori dei tassi di sollecitazione.

La quinta valutazione riguarda la variazione della resistenza caratteristica a taglio puro

da trazione e da scorrimento della muratura (fvk0 = ftk0). Dato che per l’edificio in oggetto la

rottura dei pannelli avviene sempre per taglio non v’è dubbio che sia questa la

valutazione parametrica maggiormente interessante tra quelle effettuate. Il valori delle

resistenze a taglio sono assunti pari a 0,036 MPa per l’analisi di cui alla Figura 5.12 e pari a

0,050 MPa per l’analisi di cui alla Figura 5.13.


- 133 -



Analisi Pannello (i,j,k) fvk0, ftk0 [MPa] ρsl Δρsl [%]

B1 2,7,3

0,022 0,430

/ 4,7,3 0,505

B10 2,7,3

0,036 0,324 - 24,65

4,7,3 0,381 - 24,55

B11 2,7,3

0,050 0,269 - 37,44

4,7,3 0,349 - 30,89


Come si vede incrementando la resistenza a taglio della muratura si ottengono notevoli

miglioramenti nello stato di sollecitazione dei pannelli, proprio perché essi esibiscono

sempre crisi per taglio. Se, invece, i pannelli avessero subito tutti una crisi per presso-

flessione la variazione della resistenza a taglio della muratura non avrebbe influito


- 134 -

significativamente sul tasso di sollecitazione. I miglioramenti in termini di sollecitazione

scaturiti dall’incremento della resistenza a taglio puro della muratura da 0,022 MPa a 0,05

0MPa oscillano tra il 30% e il 40% nei pannelli mediamente caricati.

La sesta valutazione interessa la variazione del fattore di confidenza. Chiaramente tale

parametro influisce analogamente ad un coefficiente parziale di sicurezza relativo alle

resistenze di progetto. Nell’analisi i cui risultati sono mostrati in Figura 5.14 si è assunto

FC = 1 mentre in quella sintetizzata in Figura 5.15 si è assunto FC = 1,35.



Analisi Pannello (i,j,k) FC ρsl Δρsl [%]

B1 2,7,3

1,2 0,430

/ 4,7,3 0,505

B12 2,7,3 1,0 0,384 - 10,70


- 135 -

4,7,3 0,448 - 11,29

B13 2,7,3

1,35 0,468 8,34

4,7,3 0,550 8,92


Nell’analisi in cui si utilizza un fattore di confidenza pari a 1,0 si ha un’ovvia diminuzione

del tasso di sollecitazione in quanto l’unico coefficiente che riduce la resistenza per le

verifiche sismiche è quello parziale di sicurezza per azioni sismiche. I tassi di

sollecitazione ottenuti nell’analisi B12 sono, dunque, pari a quelli che si sarebbero ottenuti

se l’edificio oggetto di studio fosse stato di nuova progettazione. Le analisi parametriche

condotte utilizzando diversi fattori di confidenza consentono di misurare

quantitativamente l’influenza, in termini di sollecitazioni, dello stato conoscenza della

struttura, ossia del valore attribuito al fattore di confidenza FC.

5.4.1.2 Analisi delle pareti 5 e 8 per la combinazione n.32 allo SLV

Per la combinazione che interessa il sisma in direzione y si considerano la parete 5, sulla

quale grava il carico dei solai e la parete 8, completamente scarica. Per quanto riguarda la

parete 5 si riportano, di seguito, le figure in cui è rappresentato graficamente il tasso di

sollecitazione e le relative tabelle per due pannelli. Per i pannelli di maschio appartenenti

a tale parete valgono le considerazioni fatte al variare dei parametri di input di cui al §

5.4.1.1.


- 136 -



Analisi Pannello (i,j,k) CU ρsl Δρsl [%]

B1 2,3,5

1 0,636

/ 4,3,5 0,709

B2 2,3,5

1,5 0,706 11,01

4,3,5 0,793 11,85

B3 2,3,5

2 0,761 19,65

4,3,5 0,894 26,09



- 137 -



Analisi Pannello (i,j,k) Sottosuolo ρsl Δρsl [%]

B1 2,3,5

C 0,636

/ 4,3,5 0,709

B4 2,3,5

B 0,509 - 19,97

4,3,5 0,571 - 19,46

B5 2,3,5

D 0,764 20,13

4,3,5 0,900 26,94



- 138 -

Figura 5.20 – Analisi B10 dellaparete 5


Analisi Pannello (i,j,k) fvk0, ftk0 [MPa] ρsl Δρsl [%]

B1 2,3,5

0,020 0,636

/ 4,3,5 0,709

B10 2,3,5

0,036 0,480 - 24,53

4,3,5 0,549 - 22,57

B11 2,3,5

0,050 0,394 - 38,05

4,3,5 0,459 - 35,26



- 139 -



Analisi Pannello (i,j,k) FC ρsl Δρsl [%]

B1 2,3,5

1,2 0,636

/ 4,3,5 0,709

B12 2,3,5

1,0 0,574 - 9,75

4,3,5 0,648 - 8,60

B13 2,3,5

1,35 0,679 6,76

4,3,5 0,759 7,05


Per quanto riguarda invece la parete 8, su di essa è possibile effettuare una considerazione

a priori rispetto alle analisi parametriche. La parete in oggetto, non essendo caricata dai


- 140 -

solai (l’unica azione che determina lo sforzo normale nei pannelli di maschio è il peso

proprio), ha una resistenza all’azione sismica molto esigua in quanto:

- la variazione di sforzo normale S causata dal sisma può facilmente indurre sforzi

di trazione nei pannelli di maschio;

- a causa dei bassi valori di sforzo normale nei pannelli di maschio, essi possono

fronteggiare limitati valori di taglio.

I risultati delle analisi confermano quanto appena affermato. Per tutte le analisi condotte

la crisi della parete 8 avviene per taglio e lo stato di sollecitazione è visibile in Figura 5.24.

Figura 5.24 – Stato di sollecitazione della parete 8

Tale modalità di crisi permane fino a quando, nelle valutazioni parametriche, non si fa

variare le resistenze a taglio da trazione e da scorrimento della muratura (analisi B10

riportata in Figura 5.25 e analisi B11 riportata in Figura 5.26). Alle dette figure seguono le

relative tabelle riassuntive.


- 141 -



Analisi Pannello (i,j,k) fvk0, ftk0 ρsl Δρsl [%]

B1 2,3,8

0,020 > 1

/ 4,3,8 > 1

B10 2,3,8

0,036 > 1 /

4,3,8 0,974 /

B11 2,3,8

0,050 0,906 /

4,3,8 0,791 /



- 142 -

5.4.2 Tasso di sollecitazione sismico delle pareti

Analogamente a quanto fatto per i pannelli di maschio, si può valutare il tasso di

sollecitazione sismico per le pareti ad ognuno dei due livelli dell’edificio. Così come in

precedenza, si sceglie di valutare la variazione del tasso di sollecitazione per le pareti in

cui essa è maggiormente significativa, ovvero quelle considerate al § 5.4.1: la parete 3 per la

combinazione SLV n. 23, la parete 5 (caricata da solai) e la parete 8 (non caricata da solai)

per la combinazione SLV n. 32.

Si riporta nella figura che segue la variazione del tasso di sollecitazione per la parete 3,

valutato per la combinazione di carico SLV n. 23.

Figura 5.27 – ρsl della parete 3 per la combinazione SLV n. 23

Come si vede, il tasso di sollecitazione (rappresentato per entrambi i livelli) assume valori

variabili (ovviamente) al variare dei parametri che influenzano, sia l’azione sismica, sia le

caratteristiche di risposta della struttura. Come si è già ripetuto più volte in precedenza, la

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

Tass

o di

sol

leci

tazi

one

ρsl

Liv. 1 Liv. 3


- 143 -

struttura oggetto di studio esibisce un comportamento ed una modalità di crisi fortemente

influenzati dalla scarsa resistenza a taglio della muratura che la costituisce. Si nota, infatti,

che il tasso di sollecitazione dell’analisi di base B1 (che per entrambi i livelli assume

valore pari a circa 0,8) si riduce fortemente nelle analisi B10 e B11 dove si incrementano le

resistenze a taglio puro della muratura. Per l’analisi B10 si ha una riduzione percentuale

del tasso di sollecitazione di circa il 25%, mentre per l’analisi B11 si osserva una riduzione

percentuale del tasso di sollecitazione di circa il 37,5%. Per come è stato definito il tasso di

sollecitazione:

),(,

),(),(,

kiu

kikisl V

T=ρ

risulta naturale capire che l’incremento della resistenza a taglio della muratura comporta

un aumento del taglio ultimo del pannello (e quindi della parete), riducendo il tasso di

sollecitazione stesso.

Un altro parametro che incide solo sul taglio ultimo applicabile alla parete è la variazione

del fattore di confidenza che, ridotto ad 1.0 e incrementato a 1.35, fa variare il tasso di

sollecitazione riducendolo e incrementandolo, rispettivamente, di circa il 20%.

Si fa osservare che per le analisi B3 e B5 e per le analisi B7, B8 e B9 si hanno valori del tasso

di sollecitazione quasi identici. Per la B3 e la B5 si vede che, a partire dall’analisi di base,

variare la classe d’uso da II a IV (analisi B3) genera sollecitazioni del tutto analoghe a

quelle generate variando la categoria del sottosuolo da C a D (analisi B5). Per la B7, B8 e

B9, invece, si desume che, a partire dall’analisi di base, incrementare il peso specifico della

muratura del 16% (analisi B7) o cambiare la resistenza a compressione della muratura di ±

20% (analisi B8 e B9) genera modeste fluttuazioni dei tassi di sollecitazione a

dimostrazione del fatto che tali parametri influiscono praticamente pochissimo sul

meccanismo di crisi della struttura.

In Figura 5.28 è visibile la variazione del tasso di sollecitazione della parete 5 per la quale

valgono (trattandosi anche in tal caso di parete caricata dal solaio, come avviene per la

parete 3) le stesse considerazioni svolte per la parete 3.


- 144 -

Figura 5.28 - ρsl della parete 5 per la combinazione SLV n. 32

Nella Figura 5.29 si mostra, invece, la variazione del tasso di sollecitazione sismico per la

parete 8, sulla quale non poggia alcun solaio.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00Ta

sso

di s

olle

cita

zion

e ρs

l

Liv. 1 Liv. 3


- 145 -

Figura 5.29 - ρsl della parete 8 per la combinazione SLV n. 32

Poiché la parete considerata non è caricata da solai, sui suoi pannelli di maschio sono

applicati sforzi normali di esiguo valore, per cui i massimi valori di taglio (Vt e Va)

sopportabili sono di gran lunga più bassi rispetto a quelli riscontrabili in una parete

caricata. Per questa ragione, essendo il meccanismo di crisi per questo edificio sempre

legato al taglio, i tassi di sollecitazione relativi a questa parete sono molto alti rispetto a

quelli delle pareti caricate. Per le diverse analisi parametriche condottesi nota, comunque,

che la variazione del tasso di sollecitazione, com’era ovvio aspettarsi, è legata ai parametri

di input nello stesso modo in cui avveniva per le pareti caricate sopra descritte. Particolare

attenzione va posta sul fatto che per le analisi B3 e B5 non è stato possibile valutare il tasso

di sollecitazione al livello 1 in quanto attraverso le curve caratteristiche non è possibile

ripartire il tagliante di piano tra i diversi pannelli di maschio a causa del raggiungimento

della crisi già per valori inferiori a quello di progetto.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

Tass

o di

sol

leci

tazi

one

ρsl

Liv. 1 Liv. 3


- 146 -

5.4.3 Indice di danno e duttilità

Alla luce di quanto definito al § 5.2.4 si valutano l’indice di danno e le duttilità disponibile

e richiesta delle pareti e dei pannelli di maschio, già presi in considerazione

precedentemente (parete 3, pannelli 2,7 e 4,7, comb. SLV n.23; parete 5, pannelli 2,3 e 4,3, comb.

SLV n.32; parete 8, pannelli 2,3 e 4,3, comb. SLV n.32).

Si riportano, di seguito, i valori degli indici sopra menzionati in forma tabellare e

l’andamento dei fattori di duttilità in forma grafica (istogrammi), al variare dei parametri

di input.

PARETE 3

Livello 1 Livello 3

Pannello 2,7,3 Pannello 4,7,3 Analisi μr Dμ μr Dμ μd

Analisi μr Dμ μr Dμ μd

B1 1,069 0,138 1,106 0,212 1,5

B1 0,430 0 0,683 0 1,5 B2 1,245 0,49 1,301 0,602 1,5

B2 0,498 0 0,797 0 1,5

B3 1,385 0,77 - 1 1,5

B3 0,551 0 _ 1 1,5 B4 0,821 0 0,849 0 1,5

B4 0,335 0 0,531 0 1,5

B5 1,393 0,786 _ 1 1,5

B5 0,554 0 _ 1 1,5 B6 1,024 0,048 1,067 0,134 1,5

B6 0,402 0 0,522 0 1,5

B7 1,106 0,212 1,149 0,298 1,5

B7 0,458 0 0,907 0 1,5 B8 1,063 0,126 1,112 0,224 1,5

B8 0,430 0 0,683 0 1,5

B9 1,069 0,138 1,104 0,208 1,5

B9 0,430 0 0,504 0 1,5 B10 0,707 0 0,821 0 1,5

B10 0,323 0 0,666 0 1,5

B11 0,483 0 0,679 0 1,5

B11 0,263 0 0,666 0 1,5 B12 0,922 0 0,976 0 1,5

B12 0,384 0 0,448 0 1,5

B13 1,182 0,364 1,211 0,422 1,5

B13 0,469 0 1,102 0,204 1,5 B16 _ 1 _ 1 1,5

B16 _ 1 _ 1 1,5

B17 _ 1 _ 1 1,5

B17 _ 1 _ 1 1,5 B18 _ 1 _ 1 1,5

B18 _ 1 _ 1 1,5

Tabella 5.14 – Duttilità e danneggiamento della parete 3


- 147 -

Figura 5.30 – Duttilità della parete 3

Figura 5.31 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 3

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600D

utti

lità

μ

μr - Liv.1 μr - Liv.3 μd

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

Dut

tilit

à μ

μr - 2,7,3 μr - 4,7,3 μd


- 148 -

PARETE 5

Livello 1 Livello 3



B1 0,786 0 0,879 0 1,5

B1 0,636 0 0,709 0 1,5 B2 0,880 0 0,994 0 1,5

B2 0,706 0 0,793 0 1,5

B3 0,954 0 1,132 0,264 1,5

B3 0,761 0 0,894 0 1,5 B4 0,619 0 0,694 0 1,5

B4 0,509 0 0,571 0 1,5

B5 0,958 0 1,140 0,28 1,5

B5 0,764 0 0,900 0 1,5 B6 0,741 0 0,835 0 1,5

B6 0,601 0 0,672 0 1,5

B7 0,828 0 0,933 0 1,5

B7 0,669 0 0,753 0 1,5 B8 0,786 0 0,885 0 1,5

B8 0,636 0 0,714 0 1,5

B9 0,786 0 0,885 0 1,5

B9 0,636 0 0,714 0 1,5 B10 0,586 0 0,667 0 1,5

B10 0,480 0 0,549 0 1,5

B11 0,472 0 0,563 0 1,5

B11 0,389 0 0,459 0 1,5 B12 0,706 0 0,803 0 1,5

B12 0,574 0 0,648 0 1,5

B13 0,840 0 0,943 0 1,5

B13 0,679 0 0,759 0 1,5 B16 1,341 0,682 1,261 0,522 1,5

B16 1,055 0,11 0,967 0 1,5

B17 _ 1 _ 1 1,5

B17 _ 1 _ 1 1,5 B18 _ 1 _ 1 1,5

B18 _ 1 _ 1 1,5



- 149 -

Figura 5.32 – Duttilità dellaparete 5

Figura 5. 33 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 5

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600D

utti

lità

μ


0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

Dut

tilit

à μ

μr - 2,3,5 μr - 4,3,5 μd


- 150 -

PARETE 8

Livello 1 Livello 3



B1 _ _ 1,5

B1 _ 1 _ 1 1,5 B2 _ _ 1,5

B2 _ 1 _ 1 1,5

B3 _ 1 _ 1 1,5

B3 _ 1 _ 1 1,5 B4 _ 1 _ 1 1,5

B4 _ 1 _ 1 1,5

B5 _ 1 _ 1 1,5

B5 _ 1 _ 1 1,5 B6 _ 1 _ 1 1,5

B6 _ 1 _ 1 1,5

B7 _ 1 _ 1 1,5

B7 _ 1 _ 1 1,5 B8 _ 1 _ 1 1,5

B8 _ 1 _ 1 1,5

B9 _ 1 _ 1 1,5

B9 _ 1 _ 1 1,5 B10 _ 1 1,302 0,604 1,5

B10 _ 1 1,302 0,604 1,5

B11 0,905 0 0,791 0 1,5

B11 0,905 0 0,791 0 1,5 B12 _ 1 _ 1 1,5

B12 _ 1 _ 1 1,5

B13 _ 1 _ 1 1,5

B13 _ 1 _ 1 1,5 B16 _ 1 _ 1 1,5

B16 _ 1 _ 1 1,5

B17 _ 1 _ 1 1,5

B17 _ 1 _ 1 1,5 B18 _ 1 _ 1 1,5

B18 _ 1 _ 1 1,5



Circa i risultati riportati nelle tabelle e negli istogrammi, occorre osservare quanto segue.

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

B10 -fvk=0,036

B11 -fvk=0,05

Dut

tilit

à μ


0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

B10 -fvk=0,036

B11 -fvk=0,05

Dut

tilit

à μ

μr - 2,3,5 μr - 4,3,5 μd


- 151 -

Al variare dei parametri di input, l’andamento della duttilità richiesta sui pannelli e sulle

pareti di ogni piano è analogo a quello dei tassi di sollecitazione precedentemente

valutati. Questo risultato chiaramente atteso e conferma che la duttilità richiesta ad un

elemento strutturale viene per fronteggiare l’azione sismica è strettamente dipendente

dalla domanda sismica in termini di accelerazione spettrale, analogamente a quanto

accade per il tasso di sollecitazione. Mentre il tasso di sollecitazione, però, fornisce

informazioni circa lo stato di sollecitazione dell’elemento strutturale (rapportando lo

sforzo applicato al massimo sforzo sopportabile), la duttilità richiesta fornisce

informazioni inerenti il tasso di spostamento orizzontale cui il pannello è sottoposto.

Onde evitare ripetizioni, vista l’analogia tra la variazione della duttilità richiesta e la

variazione del tasso di sollecitazione, per considerazioni riguardanti l’influenza

qualitativa dei parametri di input su tali variazioni si rimanda al § 5.4.1 e al § 5.4.2 della

presente trattazione.

Ricordando poi la definizione di duttilità richiesta e di indice di danno:

d

rr δ

δµ = 1

1−−

=d

rDµµ

µ

è possibile effettuare la seguente considerazione. Quando δr è minore di δd si ha che

l’elemento strutturale a cui tali spostamenti sono riferiti va in crisi in campo elastico

(proporzionale o non proporzionale). In questa condizione (μr < 1) il danneggiamento

fessurativo è chiaramente reversibile elasticamente e l’indice di danno, per come è stato

definito, risulta minore di zero. In questo caso si assume comunque l’indice di danno pari

a zero, cosa che esprime certamente in maniera anche intuitiva il comportamento

meccanico dell’elemento strutturale.

Un’altra osservazione riguarda il valore della duttilità disponibile μd (sia per i pannelli che

per le pareti, ad ogni piano) il quale, nel caso specifico, risulta sempre pari ad 1,5. Nel

modello di calcolo è stato ipotizzato che nel caso di crisi per taglio del pannello in campo

elastico per un dato spostamento δr (< δd), lo spostamento ultimo che quel pannello può

esibire è da ritenersi pari a δu = 1,5 ∙ δd. Avendo definito la duttilità disponibile come:

d

ud δ

δµ =


- 152 -

è evidente che se tale rapporto è sempre pari a 1,5, la crisi degli elementi strutturali

avviene sempre per taglio in campo elastico.

Per quanto riguarda le analisi B16, B17 e B18 relative all’edificio con 3, 4 e 5, piani non è

stata possibile la determinazione degli spostamenti dei pannelli e delle pareti presi in

considerazione, a causa del raggiungimento del loro stato di crisi. Non è possibile,

pertanto, determinare la duttilità richiesta per tali elementi strutturali.

Un’ultima riflessione interessa l’indice di danno dell’intero edificio (definito al § 5.2.4

della presente tesi). Per ognuna delle analisi parametriche eseguite si verifica sempre che

almeno un pannello di maschio raggiunge la condizione di crisi, sicché il valore

dell’indice di danno globale assume sempre valore unitario.

5.4.4 Vulnerabilità sismica in termini di PGA

La valutazione dell’accelerazione massima al suolo viene effettuata come descritto al

§ 5.2.4. Si riportano di seguito i valori della PGAmax e un grafico in cui se ne mostra

l’andamento per le analisi parametriche in cui variazione di PGA è significativa,

relativamente alle sole combinazioni allo SLV n.23 e n.32.

PGAmax [g]

Analisi SLV-23 SLV-32 B1 0,014 0,014 B10 0,018 0,018 B11 0,020 0,020 B12 0,015 0,016 B13 0,012 0,014 B16 0,010 0,010 B17 0,008 0,008 B18 0,001 0,001

Tabella 5.17 – PGAmax


- 153 -

Figura 5.35 – PGAmax [g]

I risultati ottenuti evidenziano che la massima accelerazione al suolo sopportabile

dall’edificio permane costante per le prime nove analisi dove, come si è già spiegato in

precedenza, i parametri di input variati non influenzano il meccanismo di crisi per taglio

della struttura. I valori più alti di PGAmax sopportabili, infatti, si hanno proprio in

corrispondenza delle analisi B10 e B11 dove si va ad incrementare la resistenza a taglio

della muratura.

Cosa sicuramente interessante nasce dal confronto tra la PGAmax sopportabile e

l’accelerazione al suolo del sito in cui l’edificio in muratura in oggetto si trova. Allo SLV

l’accelerazione massima al suolo risulta pari a:

ggSaPGA g 0825,05,1055,0 =⋅=⋅=

Essa è, dunque, sempre maggiore della PGAmax sopportabile dall’edificio, a conferma del

fatto che in nessuna delle analisi parametriche la struttura risulta verificata per le azioni

sismiche di progetto e con i coefficienti di sicurezza adottati.

La vulnerabilità sismica dell’edificio, inoltre, aumenta drasticamente (forte riduzione della

PGAmax sopportabile) quando si considera l’edificio composto da 5 piani. In questo caso è

sufficiente un’accelerazione pari a circa il 10% dell’accelerazione massima al suolo attesa

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

B1 B10 -fvk=0,036

B11 -fvk=0,05

B12 -FC=1

B13 -FC=1,35

B16 -np=3

B17 -np=4

B18 -np=5

PGA

max

[g]

SLV-23 SLV-32


- 154 -

al sito per produrre sollecitazioni tali da far attingere la crisi al pannello più debole

dell’edificio.

5.4.5 Moltiplicatore di crisi

Per quanto detto al paragrafo precedente ci si aspetta che i moltiplicatori di crisi siano

tutti inferiori all’unità perché, come è stato detto, l’edificio non è risultato mai in grado di

resistere alle azioni sismiche di progetto. In realtà, però, bisogna riflettere sul fatto che il

moltiplicatore di crisi, cosi come è stato definito al § 3.5.2, vuole essere un parametro che

misura il reale grado di sicurezza della struttura la cui determinazione parte con il porre

tutti i coefficienti di sicurezza nei confronti delle azioni sismiche pari ad uno.

ξ Analisi SLV n.23 SLV n.32

B1 1,1228 1,0101 B2 1,0136 1,0000 B3 0,9413 0,8452 B4 1,4063 1,2626 B5 0,9375 0,8417 B6 1,1500 1,0015 B7 1,0937 0,8826 B8 1,1250 1,0101 B9 1,1250 1,0101 B10 1,4670 1,1789 B11 1,8173 1,1789 B12 1,2384 1,0897 B13 1,0583 1,0000 B16 0,8657 0,6628 B17 0,7209 0,5365 B18 0,6864 0,4943

Tabella 5.18 – Moltiplicatore di crisi ξ


- 155 -

Figura 5.36 – Moltiplicatore di crisi ξ

La Figura 5.36 mostra che, pur ponendo il coefficiente di sicurezza per azioni sismiche

pari ad 1, in alcune delle analisi il moltiplicatore di crisi è inferiore all’unità, a

dimostrazione del fatto che, anche facendo a meno dei coefficienti di sicurezza, la

struttura è in grado di resistere solo ad azioni inferiori a quelle di progetto.

Un aspetto importante su cui è bene riflettere è che:

- la PGAmax fornisce informazioni sulla vulnerabilità sismica globale dell’edificio,

fornendo il valore dell’azione sismica che induce crisi della struttura;

- ξ rappresenta il grado di sicurezza dell’edificio (se tutti i coefficienti parziali di

sicurezza sono assunti unitari) nelle condizioni di progetto.

In altri termini la PGAmax è un parametro rappresentativo dello stato di collasso

convenzionale valutato per la particolare struttura presa in esame, il moltiplicatore di crisi

è, invece, un parametro che denuncia la “distanza” elle condizioni di progetto dal

collasso.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

Mol

tipl

icat

ore d

i cis

i ξ

SLV-23 SLV-32


- 156 -

5.4.6 Rigidezza secante alla traslazione orizzontale

Per quanto attiene la valutazione della rigidezza secante, come introdotto al § 5.2.4, è da

dire che per l’edificio oggetto di studio il taglio di piano interseca la curva caratteristica di

piano sempre nel ramo elastico lineare. Per questa ragione il rapporto tra le rigidezze ai

vari livelli rimane ovunque pressoché costante. Nella Tabella 5.19 e nella Tabella 5.20 si

mostrano le rigidezze secanti con la relativa valutazione della regolarità in altezza in

termini di rigidezza per la sola analisi B1 secondo le combinazioni allo SLV n.23 e n.32.

Combinazione SLV - N.23

PARETE T [kN] δ [mm] K [kN/m] K1/K3 0,7 ≤ K1/K3 ≤ 1,1

1 Liv. 1 97,08 0,375 2,59E+05

0,87 SI Liv. 3 184,65 0,622 2,97E+05

2 Liv. 1 282,99 0,428 6,61E+05

- - Liv. 3 537,77 - -

3 Liv. 1 223,52 0,391 5,72E+05

0,87 SI Liv. 3 424,49 0,644 6,59E+05

4 Liv. 1 286,24 0,380 7,53E+05

0,87 SI Liv. 3 543,28 0,631 8,61E+05

5 Liv. 1 55,46 0,110 5,04E+05

0,88 SI Liv. 3 105,75 0,184 5,75E+05

6 Liv. 1 68,14 0,112 6,08E+05

0,88 SI Liv. 3 129,67 0,187 6,93E+05

7 Liv. 1 68,98 0,114 6,05E+05

0,88 SI Liv. 3 130,98 0,190 6,89E+05

8 Liv. 1 43,20 0,117 3,69E+05

0,88 SI Liv. 3 81,80 0,194 4,22E+05

9 Liv. 1 31,18 0,120 2,60E+05

0,87 SI Liv. 3 58,87 0,198 2,97E+05

Tabella 5.19 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.23)

Combinazione SLV - N.32 PARETE T [kN] δ [mm] K [kN/m] K1/K3 0,7 ≤ K1/K3 ≤ 1,1


- 157 -

1 Liv. 1 14,74 0,056 2,63E+05

0,88 SI Liv. 3 28,36 0,095 2,99E+05

2 Liv. 1 70,63 0,094 7,51E+05

0,87 SI Liv. 3 134,67 0,156 8,63E+05

3 Liv. 1 72,47 0,122 5,94E+05

0,88 SI Liv. 3 137,48 0,203 6,77E+05

4 Liv. 1 113,25 0,150 7,55E+05

0,88 SI Liv. 3 214,17 0,249 8,60E+05

5 Liv. 1 164,25 0,327 5,02E+05

0,88 SI Liv. 3 312,80 0,545 5,74E+05

6 Liv. 1 215,39 0,355 6,07E+05

0,87 SI Liv. 3 409,54 0,590 6,94E+05

7 Liv. 1 231,83 0,384 6,04E+05

0,92 SI Liv. 3 440,15 0,670 6,57E+05

8 Liv. 1 157,22 - -

- - Liv. 3 298,19 - -

9 Liv. 1 121,60 0,488 2,49E+05

- - Liv. 3 230,33 - -

Tabella 5.20 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.32)

È ovvio che nel caso in cui avvenga la crisi del livello non è possibile determinare alcun

valore della rigidezza secante e di conseguenza non è possibile effettuare (per quelle

pareti) valutazioni circa la regolarità in altezza in termini di rigidezza.

Va comunque sottolineato che l’edificio oggetto di verifica,attese l’irregolarità in altezza in

termini di masse e la regolarità in altezza in termini di rigidezze, potrebbe esibire un

comportamento sufficientemente regolare in campo elastico e significativamente

irregolare in campo plastico, ossia caratterizzato da una limitata ridistribuzione delle

sollecitazioni (sovraresistenza esigua).


- 158 -

5.5 Analisi statica non lineare

Il metodo tradizionale di analisi statica non lineare si può ritenere valido solo per

costruzioni il cui comportamento sotto la componente del terremoto considerata è

governato dal modo di vibrare naturale principale. L’analisi prevede che al sistema

strutturale reale venga associato un sistema strutturale equivalente ad un grado di libertà

Figura 5.37 – Sistema elasto-plastico equivalente ad un grado di libertà

(ved. Figura 5.37) dove la forza F* e lo spostamento d* sono legati alle corrispondenti

grandezze del sistema reale attraverso le relazioni fornite al § C7.3.4.1 della Circolare

Attuativa delle NTC.

Al fine di eseguire un paragone attendibile tra l’analisi statica lineare e quella non lineare

è necessario effettuare un confronto utilizzando le combinazioni che presentano, per

entrambe le metodologia di analisi, coerenza in termini di direzione e verso dell’azione

sismica ed eccentricità. Le combinazioni che saranno confrontate alla luce di quanto detto

saranno:

Statica lineare Statica non lineare SLV n. 23 n. 1 SLV n. 32 n. 5


- 159 -

Ciascuna combinazione considerata per le analisi statiche non lineari presenta due

distribuzioni di forze orizzontali:

a) quella proporzionale alle masse;

b) quella proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo di vibrare.

Ognuna delle analisi parametriche con le combinazioni scelte sarà effettuata in

considerazione delle due distribuzioni di forze.

Si riportano, di seguito, le curve di push-over per l’edificio B1.

Figura 5.38 – Legenda relativa alle curve di push-over

Figura 5.39 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A})


- 160 -

Figura 5.40 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {B})

Figura 5.41 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {A})


- 161 -

Figura 5.42 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {B})

5.5.1 Periodo proprio dell’oscillatore elasto-plastico equivalente

Mentre nell’analisi statica lineare il valore del periodo proprio della struttura è assunto a

priori in funzione della sola altezza dell’edificio secondo la relazione:

sHT 238,0)00,8(05,005,0 43

43

=⋅=⋅=

attraverso l’analisi statica non lineare è possibile determinare il valore del periodo proprio

a partire dalla definizione riportata nel § C7.3.4 della bozza della Circolare Attuativa delle

NTC:

*

*

*

*** 222

km

mk

T ⋅⋅=⋅

=⋅

= ππω

π

dove m* è la massa dell’edificio e k* la rigidezza del suo sistema elasto-plastico

equivalente.

I valori del periodo di oscillazione così ottenuti sono di seguito riportati al variare dei

parametri di input definiti al § 5.2.-1928854296 valutati per la combinazione n.1. Si

riportano in forma grafica esclusivamente le variazioni maggiormente significative.


- 162 -

Figura 5.43 – Periodo proprio T* [s]

Distrubuzione proporzionale alle

masse {A}

Distribuzione proporzionale alle

masse per gli spostamenti {B}

Analisi T* [s] T* [s] B1 0,2692 0,2708

B6 0,2504 0,2520

B7 0,2784 0,2800

B8 0,3032 0,3073

B9 0,2378 0,2394

B10 0,2647 0,2666

B11 0,2505 0,2571

B12 0,2576 0,2596

B13 0,2701 0,2715

B16 0,3206 0,3244

B17 0,3667 0,3716

B18 0,4077 0,4166

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45Pe

riod

o Pr

opri

o T*

[s]

Distrubuzione proporzionale alle masse

Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo


- 163 -

Tabella 5.21 – Periodo proprio di oscillazione T*

Risulta evidente che il periodo proprio adottato nell’analisi statica lineare non trova

preciso riscontro nell’analisi non lineare dove il valore del periodo cambia al variare di

alcuni parametri di input e della distribuzione di forze orizzontali considerata.

Lo scopo di questa trattazione, oltre ad essere quello di considerare le differenze tra il

periodo proprio adottato nell’analisi lineare e quello determinato con l’analisi non lineare,

è quello di accertare un valore del periodo proprio che rispecchi maggiormente il

comportamento reale della struttura e stabilire quanto vale l’errore commesso nell’analisi

statica lineare. Si ricavano, pertanto, per le due distribuzioni di forze (proporzionale alle

masse e proporzionale alle masse per gli spostamenti) i seguenti valori medi relativi alle

analisi dalla B1 alla B13:

sT Am 2647,0}{ = sT B

m 2669,0}{ =

Per valutare quanto mediamente i valori del periodo calcolati attraverso le analisi

parametriche distano dal valore medio è utile calcolare lo scarto quadratico medio:

( )

11

2

−

−=

∑=

N

TTN

imi

σ

per cui risulta:

sA 0155,0}{ =σ sB 0157,0}{ =σ

In considerazione di quanto detto si può affermare che il valore vero del periodo proprio

ricade nell’intervallo definito a partire dal valore medio nel modo seguente:

)1( COVTTT mmsnl ±=±= σ

intendendo per COV il coefficiente di variazione:

mTCOV σ

=

L’intervallo in cui può ricadere il valore vero del periodo proprio, a partire dal valore

medio, è proporzionale a:

0587,0}{ ±=ACOV 0590,0}{ ±=BCOV


- 164 -

Assumendo, in maniera semplificativa, che il reale periodo proprio della struttura in

oggetto coincida con quello ottenuto come valore medio è evidente che il valore di Tsnl

differisce da Tsl delle seguenti percentuali:

sT Asnl 2647,0}{ = sT B

snl 2669,0}{ = sTsl 2384,0=

%02,11}{ =Aδ %94,11}{ =Bδ

Risultati del tutto analoghi (in termini di dispersione dei valori) sono ottenuti

considerando i periodi propri di oscillazione ricavati a partire dalla combinazione n. 5. La

sola differenza ovviamente risiede nel valore medio del periodo e nella differenza

percentuale che tale valore medio ha rispetto al periodo adottato nell’analisi statica

lineare, che per la combinazione n. 5 è pari a:

sT Asnl 2726,0}{ = sT B

snl 2751,0}{ = sTsl 2384,0=

%36,14}{ =Aδ %39,15}{ =Bδ

Dai confronti effettuati si nota che, attribuendo al periodo proprio di oscillazione della

struttura il valore ottenuto dalla relazione:

sHT 238,0)00,8(05,005,0 43

43

=⋅=⋅=

si commette un errore dell’ordine del 15%. L’approssimazione compiuta nell’analisi

statica lineare, per la valutazione del periodo proprio fondamentale di oscillazione della

struttura potrebbe sembrare forte ma in realtà, almeno in termini di accelerazione

spettrale (ovvero richiesta di resistenza globale), non lo è. Il periodo proprio della

struttura nell’analisi statica lineare consente di determinare, a mezzo dello spettro di

risposta in accelerazione, l’azione sismica cui la struttura è soggetta. Per le costruzioni in

muratura a due piani, sia il periodo proprio adottato nell’analisi statica lineare che quello

ottenuto dall’analisi non lineare ricadono (nella maggior parte dei casi) nel ramo costante

dello spettro di risposta in accelerazione orizzontale, il che non implica alcun errore nella

determinazione dell’azione sismica nell’analisi statica lineare.

Si osserva, poi, che il periodo adottato nell’analisi statica lineare risulta inferiore a quello

mediamente ottenuto dalle analisi parametriche non lineari. Da questa osservazione si

deduce che:


- 165 -

a) se Tsl ricade nel ramo iperbolico o in quello lineare (se esso è decrescente) dello

spettro di progetto, le azioni simiche determinate nell’analisi statica lineare sono

leggermente sovrastimate il che, sebbene possa essere visto come conservativo, è

sicuramente un dato a discapito di economia della costruzione;

b) se Tsl ricade nel ramo lineare dello spettro ed esso è crescente, si effettua una

sottostima dell’azione sismica che, sebbene possa essere minima e dalla quale ci si

tuteli con i coefficienti di sicurezza, rappresenta comunque una incertezza sul

modello dell’analisi statica lineare.

Un’altra considerazione interessante nasce dal confronto tra i periodi propri valutati

secondo le due tipologie di analisi al variare del numero di piani. Nella Figura 5.44 e nella

Tabella 5.22 sono riportati i risultati ottenuti.

Si nota che il valore del periodo proprio adottato nell’analisi statica lineare è inferiore a

quello ottenuto con l’analisi statica non lineare per edifici bassi, mentre è maggiore per

edifici alti. Il punto in cui i periodi propri risultano pressoché uguali corrisponde ad un

numero di piani pari a tre. Questo dato non è certamente generalizzabile, nel senso che la

coincidenza tra i periodi valutati con le due metodologie di analisi per l’edificio a tre piani

può non essere sempre vera, poiché dipende dalla tipologia di edificio considerato e dalle

sue caratteristiche.


- 166 -

Figura 5.44 – Confronto tra le analisi sul calcolo di T

N.Piani Tsl Tsnl

2 0,238 0,2708

3 0,322 0,3244

4 0,400 0,3716

5 0,473 0,4166

Tabella 5.22 – Confronto tra Tsl e Tsnl

Si precisa che il detto confronto è stato effettuato a partire da risultati ottenuti con l’analisi

B1 (nell’statica lineare) e con la combinazione n. 1 con distribuzione proporzionale alle

masse per gli spostamenti del primo modo di vibrare (nell’analisi statica non lineare).

5.5.2 Rapporto di sovraresistenza αu/α1 e fattore di struttura qsnl

Il rapporto di sovraresistenza αu/α1, per l’analisi statica lineare, è definito al § 7.3.1 del DM

14.01.2008 in funzione del numero di piani e della regolarità dell’edificio. Tale rapporto è

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0,500

2 3 4 5

Peri

odo

Ptop

rio

T

Statica Lineare Statica Non Lineare


- 167 -

da ritenersi, per l’edificio in oggetto, pari alla media aritmetica tra il valore 1,0 e 1,8 per

cui risulta pari ad 1,4. Definito tale rapporto, si determina il fattore di struttura q attraverso

la relazione:

Ru Kq ⋅⋅=1

0,2αα

Il fattore riduttivo KR è definito al § 7.3.1 delle NTC in funzione della regolarità

dell’edificio. Nel caso specifico (costruzione non regolare in altezza) il fattore KR vale 0,8 e,

di conseguenza, si ha q = 2,24.

Attraverso l’analisi statica non lineare è possibile determinare il valore del rapporto αu/α1

con il fine di valutare, non solo l’attendibilità di quello utilizzato per l’analisi statica

lineare, ma anche determinare un rapporto di sovraresistenza maggiormente

rappresentativo della struttura considerata.

Di seguito si riportano i valori del rapporto di sovraresistenza determinati con le analisi

statiche non lineari al variare dei parametri di input per i quali si hanno variazioni

significative (definiti al § 5.2.-1928854296), valutati per la combinazione n. 1 e n. 5.

Figura 5.45 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 1)

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

2,000

B1 B10 -fvk=0,036

B11 -fvk=0,05

B12 -FC=1

B13 -FC=1,35

B16 -np=3

B17 -np=4

B18 -np=5

Rap

port

o di

sovr

ares

iste

nza




- 168 -


masse


masse per gli spostamenti del

primo modo

Analisi αu/α1 qsnl αu/α1 qsnl B1 1,317 2,107 1,654 2,646 B10 1,148 1,837 1,096 1,754 B11 1,191 1,906 1,139 1,822 B12 1,204 1,926 1,107 1,771 B13 1,367 2,187 1,232 1,971 B16 1,308 2,093 0,924 1,478 B17 1,483 2,373 1,032 1,651 B18 1,72 2,752 1,367 2,187

media 1,342 2,148 1,194 1,910

Tabella 5.23 – αu/α1 e qsnl (comb. 1)

Figura 5.46 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 5)

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

B1 B10 -fvk=0,036

B11 -fvk=0,05

B12 -FC=1

B13 -FC=1,35

B16 -np=3

B17 -np=4

B18 -np=5

Rap

port

o di

sovr

ares

iste

nza




- 169 -


masse



primo modo

Analisi αu/α1 qsnl αu/α1 qsnl B1 1,183 1,893 1,326 2,122 B10 0,985 1,576 1,073 1,717 B11 1,000 1,600 1,112 1,779 B12 1,090 1,744 1,214 1,942 B13 1,123 1,797 1,330 2,128 B16 1,028 1,645 1,001 1,602 B17 1,178 1,885 1,143 1,829 B18 1,506 2,410 1,441 2,306

media 1,137 1,819 1,205 1,928

Tabella 5.24 – αu/α1 e qsnl (comb. 5)

La differenza tra il rapporto di sovraresistenza e il fattore di struttura adottati nell’analisi

statica lineare e quelli ottenuti con l’analisi statica non lineare può essere valutata, in

maniera sintetica, in termini medi (ved. Tabella 5.23 e Tabella 5.24). I valori medi del

rapporto di sovraresistenza e del fattore di struttura ottenuti dalle analisi risultano

sempre inferiori a quelli adottati nell’analisi statica lineare per una percentuale che oscilla

tra il 5% e il 20% (considerando anche le combinazioni non riportate).

Nell’analisi statica lineare sono possibili due tipi di approccio. Il primo è quello secondo il

quale la struttura può esistere esclusivamente in campo elastico; le risorse plastiche sono

viste come una riserva di sicurezza. Il secondo, invece, sfrutta le risorse anaelastiche della

struttura per dissipare buona parte dell’energia sismica.


- 170 -

Tabella 5.25 – Risorse anaelastiche della struttura

Dalla Figura 5.25 si evince come, sfruttando la duttilità, sia possibile progettare le

strutture con forze sismiche notevolmente più basse di quelle derivanti dallo spettro

elastico. La riduzione dell’azione di progetto si massimizza con l’aumentare delle capacità

dissipative, deformative e con la regolarità della struttura, mentre tende a diminuire con

la progressiva riduzione della possibilità di distribuire uniformemente, nei vari elementi

strutturali, le sollecitazioni.

Come è noto, nell’analisi statica lineare, la riduzione dello spettro elastico in spettro di

progetto avviene attraverso il fattore di struttura q. Il valore dettato per esso dalla

normativa per l’edificio oggetto di studio, come detto in precedenza, risulta essere

maggiore (fino al 20% per alcune combinazioni) di quello determinato a mezzo

dell’analisi statica non lineare. In linea di principio con quanto scritto finora, un fattore di

struttura minore è indice di duttilità e sovraresistenza della struttura inferiori rispetto a

quelle supposte nell’analisi statica lineare. In oltre, nel modello di quest’analisi,

l’accelerazione spettrale di progetto è ottenuta a partire da quella spettrale elastica

attraverso la relazione:

qTSTS e

d ⋅=

η)()(

A parità di indice di smorzamento η, l’aver adottato nell’analisi statica lineare un fattore

di struttura q maggiore di circa il 20% rispetto a quello che più rispecchia il


- 171 -

comportamento reale della struttura (valutato con l’analisi statica non lineare) significa

aver utilizzato un’accelerazione spettrale di progetto inferiore di circa il 20%, alla quale

segue l’ovvia sottostima dell’azione sismica.

In talune condizioni questo tipo di errore può essere trascurato rispetto alla totalità delle

incertezze presenti nel modello dell’analisi statica lineare dalle quali ci si tutela a mezzo

dei coefficienti di sicurezza. È senz’altro utile, però, mostrare quanto sia possibile ridurre

le incertezze di un’analisi statica lineare utilizzando un fattore di struttura calcolato in

funzione delle effettive capacità anaelastiche della struttura.

Ulteriori considerazioni circa il rapporto di sovraresistenza αu/α1, con particolare

riferimento agli edifici aventi più di due piani, sono successivamente riportate al § 5.5.7

relativo alla vulnerabilità sismica.

5.5.3 Fattore di struttura dell’oscillatore elasto-plastico equivalente

Il modello dell’analisi statica non lineare consente di pervenire al calcolo del fattore di

struttura q* definito dalla Circolare Attuativa delle NTC al § C7.3.4.1 come rapporto tra la

forza elastica e la forza di prima plasticizzazione del sistema equivalente:

*

*** )(

y

e

FmTSq ⋅

=

Eseguendo le analisi parametriche tenendo sotto controllo, al variare dei parametri di

input, il fattore di struttura q* si nota che esso varia fortemente, non solo tra le due

distribuzioni di forze considerate, ma anche tra le combinazioni secondo cui le analisi

vengono condotte. Questo è chiaramente un risultato atteso in quanto, essendo q*

fortemente legato alle azioni di progetto, esso assume implicitamente valori diversi in

funzione della crisi e, quindi, in funzione delle combinazioni e delle distribuzioni di forze.

Si riportano, di seguito, i valori di q* ottenuti per le combinazioni n. 1 e n. 5 in funzione

dei parametri di input maggiormente significativi.


- 172 -

Figura 5.47 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.1


masse



primo modo

Analisi q* q* B1 1,1012 1,4262 B2 1,2222 1,5823 B3 1,3161 1,7049 B4 0,8810 1,1457 B5 1,3214 1,7115 B10 0,9617 0,9368 B11 0,9134 0,7859 B12 1,0601 1,1169 B13 1,1120 1,4901 B16 1,4345 1,7942 B17 1,5273 1,8354 B18 0,9787 1,7200

Tabella 5.26 – Fattore di struttura (comb. n.1)

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

Fatt

ore d

i str

uttu

ra q

*




- 173 -

Figura 5. 48 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.5


masse



primo modo

Analisi q* q* B1 1,1939 0,7465 B2 1,3251 0,8200 B3 1,4269 0,8766 B4 0,9549 0,5971 B5 1,4327 0,8958 B10 1,0596 0,5118 B11 1,0643 0,4848 B12 1,1016 0,6510 B13 1,9779 0,7597 B16 1,4892 0,8790 B17 1,6187 0,8742 B18 1,4865 0,8497

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

Fatt

ore d

i str

uttu

ra q

*




- 174 -

Tabella 5.27 – Fattore di struttura (comb. n.5)

Il parametro q* è utilizzato in questo studio come ulteriore elemento per la validazione

dell’analisi statica non lineare. La bozza della Circolare Attuativa delle NTC stabilisce che:

3* ≤q

per cui ogni qualvolta che il fattore q* assume valore maggiore di 3 la struttura viene

considerata comunque non verificata.

Il § C7.3.4.1 della detta Circolare stabilisce, con riferimento ad una struttura con T* < TC

che:

Figura 5.49 – Spostamento di riferimento

- se q* ≤ 1 , la domanda anelastica in spostamento è uguale a quella di un sistema

elastico di pari periodo (Figura 5.49 sinistra);

- se q* > 1, la domanda anelastica in spostamento è maggiore di quella di un sistema

elastico di pari periodo (Figura 5.49 destra).

Nel primo caso vale, infatti, il principio di uguaglianza degli spostamenti mentre nel

secondo vale il principio di uguaglianza delle energie.

Per quanto detto è possibile dedurre che ogni qualvolta dalle analisi strutturali eseguite si

determina un fattore q* > 1 essendo comunque sempre T* < TC, la struttura possiede

capacità plastiche di duttilità maggiori rispetto a quelle del sistema elastico equivalente in


- 175 -

quanto lo spostamento massimo che la struttura può esibire è maggiore rispetto a quello

elastico.

A questo punto il fattore q* diventa una misura indiretta del comportamento della

struttura in termini di duttilità globale della stessa. A partire dal valore di q* dell’analisi

base B1, si nota che i parametri che fanno diminuire il comportamento duttile dell’edificio

(rispetto a quello di base) sono quelli che influenzano l’incremento della resistenza

(aumento della resistenza a taglio da trazione e da scorrimento e anche riduzione del

fattore di confidenza), mentre i parametri che incrementano il comportamento duttile

della struttura son quelli che fanno aumentare l’azione sismica e fanno ridurre le

resistenze.

Cosa sicuramente interessante è scaturita dall’osservazione della variazione del fattore di

struttura q* al variare del numero di piani dell’edificio. Aumentando il numero di piani da

2 a 3 e poi a 4 si nota che il fattore si struttura dell’oscillatore equivalente tende ad

aumentare, sintomo che la capacità dissipativa dell’edificio aumenta. La struttura

composta da 4 piani è, infatti, in grado di esibire un comportamento plastico

maggiormente significativo rispetto all’edificio composto da due piani il che equivale ad

un maggiore sfruttamento delle risorse anaelastiche disponibili e a poter eseguire l’analisi

statica lineare della struttura con forze sismiche di progetto inferiori. Quando poi si

ipotizza la presenza di un ulteriore piano nella struttura, il meccanismo di crisi diventa

maggiormente incalzante ed avviene prima che la struttura possa esibire tutta la sua

duttilità; proprio per questo motivo si osserva un fattore di struttura q* decrescente.

5.5.4 Tasso di sollecitazione sismico delle pareti

Il tasso di sollecitazione della parete k al livello i è determinabile a mezzo della relazione

già definita precedentemente:


- 176 -

),(,

),(),(,

kiu

kikisnl V

T=ρ

In un’analisi statica non lineare, il rapporto tra il taglio agente e il massimo sforzo

orizzontale sopportabile (sia per la parete che per il pannello di maschio) può essere

definito ad ogni passo dell’analisi, ossia per ogni valore dello spostamento della curva di

push-over. Certamente il tasso ρsnl maggiormente significativo, per lo scopo di questa tesi, è

quello determinato in corrispondenza del massimo valore dello spostamento richiesto dal

sisma:

)()(

max,),(,

max,),(),(,

SLVkiu

SLVkikisnl V

Tδ

δρ =

A causa del meccanismo di crisi fragile dell’edificio oggetto di studio (crisi per taglio in

campo elastico lineare per spostamenti molto piccoli) si ha, come si osserva dalle curve di

push-over riportate al § 5.5, che la struttura va in crisi prima di attingere lo spostamento

massimo richiesto dal sisma allo SLV. Questo fenomeno lo si riscontra in tutte le analisi

parametriche eccetto quelle in cui si incrementa il valore di resistenza a taglio (da trazione

e da scorrimento) della muratura (analisi B10 e B11). Per la ragione citata non è possibile

determinare il tasso di sollecitazione allo SLV per tutte le analisi parametriche ma lo si

può determinare esclusivamente per alcune delle distribuzioni di forze delle analisi B10 e

B11.

Si mostra ora la procedura impiegata per la determinazione del tasso di sollecitazione

della parete 3 al livello 2; esso è stato valutato per l’analisi B10 con la combinazione statica

non lineare n. 1 e la distribuzione di forze proporzionale alle masse.


- 177 -

Figura 5.50 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A})

In Figura 5.50 sono rappresentate le curva di push-over relative all’analisi B10. Dal grafico è

possibile evidenziare il valore del massimo spostamento richiesto dal sisma allo SLV

(0,475 mm) del punto di controllo rappresentato dal baricentro dell’impalcato di

copertura. Attraverso il codice di calcolo automatico RAN si stabilisce a quale passo della

push-over si attinge il valore di spostamento evidenziato in modo da leggere, per gli stessi

passi, lo spostamento massimo richiesto (allo SLV) della al livello 2 parete 3. In

corrispondenza di questo spostamento, attraverso le tabelle fornite dal codice, si

determinano i valori di taglio applicato (260,82 kN) e sforzo orizzontale ultimo (641,69 kN)

al livello 2 della parete, per cui si ha:

406,069,64182,260

)()(

max,),(,

max,),(),(, ===

kNkN

VT

SLVkiu

SLVkikisnl δ

δρ

Con la procedura appena descritta si valutano i rimanenti tassi di sollecitazione. Si

riporta, di seguito, la tabella riassuntiva dei valori dei tassi di sollecitazione determinati

con l’analisi statica lineare per un immediato confronto.

Parete Analisi Livello Distribuzione ρsnl ρsl

3 B10 2

{A} 0,406 0,577

{B} 0,348

4 {A} 0,187

0,641 {B} 0,421


- 178 -

B11 2

{A} 0,260 0,455

{B} 0,185

4 {A} 0,132

0,534 {B} 0,183

5

B10 2

{A} 0,274 0,485

{B} _

4 {A} 0,345

0,553 {B} _

B11 2

{A} 0,333 0,4

{B} 0,240

4 {A} 0,165

0,461 {B} 0,270

8

B10 2

{A} 0,553 1,103

{B} _

4 {A} 0,551

0,98 {B} _

B11 2

{A} 0,819 0,914

{B} 0,536

4 {A} 0,373

0,812 {B} 0,564

Tabella 5.28 – ρsnl delle pareti

Di seguito si mettono a confronto, attraverso istogrammi, i valori del tasso di

sollecitazione determinati con l’analisi statica lineare e quelli determinato con l’analisi

statica non lineare (secondo le due distribuzioni di forze considerate).


- 179 -

Figura 5.51 – ρsnl della parete 3


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

Liv.2 - B10 Liv.4 - B10 Liv.2 - B11 Liv.4 - B11

Tass

o di

sol

leci

tazi

one ρ

ρsnl {B} ρsnl {A} ρsl

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60


Tass

o di

sol

leci

tazi

one ρ



- 180 -


Dall’osservazione della tabella e degli istogrammi si nota che:

a) i tassi di sollecitazione dell’analisi statica non lineare, a parità di combinazione e di

distribuzione, assumono valori sempre inferiori a quelli determinati con l’analisi

statica lineare;

b) i tassi di sollecitazione tendono a diminuire nel passaggio dall’analisi B10 alla B11

sia nell’analisi statica lineare che in quella non lineare coerentemente, con quanto

ci si attende dall’aumento della resistenza a taglio che sussiste nel passaggio tra le

analisi;

c) i tassi di sollecitazione valutati con l’analisi statica non lineare non possono essere

mai superiori all’unità in quanto, se così fosse, si avrebbe la crisi del livello con

immediata interruzione nel tracciamento della curva di push-over;

d) i tassi di sollecitazione valutati secondo la distribuzione {A} per il livello 2 sono

maggiori di quelli valutati secondo la distribuzione {B}; il contrario accade per il

livello 4.

Potendo attribuire all’analisi statica non lineare una maggiore precisione e accuratezza

rispetto all’analisi statica lineare, le differenze riscontrate in termini di tasso di

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20


Tass

o di

sol

leci

tazi

one ρ



- 181 -

sollecitazione dimostrano ancora una volta quale sia il grado di approssimazione

dell’analisi statica lineare. In particolare, fornisce tassi di sollecitazione delle pareti

sovrastimati rispetto a quelli desunti dall’analisi non lineare, di una quantità che oscilla

tra il 10% e il 60%. Essendo approssimazioni in sovrastima di sollecitazioni l’incertezza in

sé, anche se così forte, in termini di sicurezza non è pericolosa in quanto fa apparire

maggiormente sollecitati gli elementi strutturali. Il punto, però, è che sebbene sia un

errore che non mette a repentaglio la sicurezza è pur sempre causa di mancata

ottimizzazione nella progettazione e nella verifica prestazionale delle strutture.

5.5.5 Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli di maschio

Considerazioni del tutto analoghe a quelle effettuate sui tassi di sollecitazione relativi alle

pareti si possono effettuare per i pannelli di maschio. Si riportano in tabella i valori del

tasso di sollecitazione sismico (per i pannelli ove è stata possibile la determinazione con

l’analisi statica non lineare) confrontati con i valori desunti dall’analisi statica lineare

precedentemente effettuata.

Parete Analisi Pannello Distribuzione ρsnl ρsl

3

B10 2,7,3

{A} 0,280 0,324

{B} 0,215

4,7,3 {A} 0,114

0,381 {B} 0,255

B11 2,7,3

{A} 0,159 0,269

{B} 0,113

4,7,3 {A} 0,082

0,349 {B} 0,110

5 B10

2,3,5 {A} 0,271

0,480 {B} _

4,3,5 {A} 0,341

0,549 {B} _

B11 2,3,5 {A} 0,327

0,394 {B} 0,235


- 182 -

4,3,5 {A} 0,163

0,459 {B} 0,267

8

B10 2,3,8

{A} 0,488 > 1

{B} _

4,3,8 {A} 0,476

0,974 {B} _

B11 2,3,8

{A} 0,819 0,906

{B} 0,496

4,3,8 {A} 0,331

0,791 {B} 0,464

Tabella 5.29 – ρsnl dei pannelli di maschio

Di seguito si mettono a confronto, attraverso istogrammi, i valori del tasso di

sollecitazione determinati con l’analisi statica lineare con quelli determinati con l’analisi

statica non lineare (secondo le due distribuzioni di forze considerate).

Figura 5.54 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

2,7,3 - B10 4,7,3 - B10 2,7,3 - B11 4,7,3 - B11

Tass

o di

sol

leci

tazi

one ρ



- 183 -



I risultati ottenuti rispecchiano quanto già scritto in merito ai tassi di sollecitazione delle

pareti per cui, evitando inutili ripetizioni, si esamina un ulteriore aspetto.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

2,3,5 - B10 4,3,5 - B10 2,3,5 - B11 4,3,5 - B11

Tass

o di

sol

leci

tazi

one ρ


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

2,3,8 - B10 4,3,8 - B10 2,3,8 - B11 4,3,8 - B11

Tass

o di

sol

leci

tazi

one ρ



- 184 -

Mettendo a confronto i tassi di sollecitazione valutati con le due tipologie di analisi

(lineare e non lineare) è stato possibile capire che, in virtù delle sovrastime che il modello

lineare commette nei confronti di quello non lineare, ciò che in un’analisi statica lineare

può sembrare uno stato locale di crisi (del piano di una parete o del pannello) in realtà

può non esserlo nell’analisi statica non lineare. Un esempio è ciò che accade al pannello

2,3,8. Per questo pannello di maschio, con l’analisi statica lineare B10 era stato

determinato un tasso di sollecitazione maggiore dell’unità, indice dello stato di crisi del

pannello. Eseguendo invece l’analisi non lineare, il tasso di sollecitazione dello stesso

pannello risulta essere pari a 0,488. Ciò significa che prima di intervenire sulla struttura

per eventuali consolidamenti per mancata verifica l’analisi statica lineare è più opportuno

eseguire un’analisi non lineare con il fine di determinare un grado di sollecitazione della

struttura molto più realistico.

5.5.6 Duttilità e indice di danno

La definizione di duttilità richiesta e disponibile effettuata nell’ambito dell’analisi statica

non lineare è del tutto analoga a quella illustrata per l’analisi statica lineare al § 5.2.4 della

presente tesi.

In corrispondenza di ogni passo dell’analisi push-over è impresso ad ogni elemento

strutturale (pannello di maschio o parete) uno spostamento δr. In corrispondenza dello

stesso passo, in virtù degli sforzi normali e degli sforzi di taglio che nascono, sono

definibili (per ogni elemento strutturale) uno spostamento al limite elastico non

proporzionale δb e uno spostamento ultimo δu (corrispondente al massimo sforzo

orizzontale applicabile sull’elemento). È evidente, a questo punto, che per ogni passo

dell’analisi statica non lineare è possibile definire valori di duttilità richiesta e disponibile,

in funzione degli spostamenti e degli sforzi corrispondenti al passo considerato. Per lo

scopo di questa tesi è necessario, naturalmente, avere un unico valore di duttilità


- 185 -

disponibile e richiesta per ogni elemento strutturale confrontabile con quello ottenuto

dall’analisi statica lineare. Per tale ragione i valori di duttilità sono determinati al passo

dell’analisi corrispondente al massimo spostamento del punto di controllo richiesto allo

SLV.

Si riportano di seguito i valori delle duttilità valutate per le analisi B10 e B11 per la parete 3

(comb. n.1), la parete 5 e la parete 8 (comb. n.5).



μr,snl {B} 0,391 0,668 0,191 0,266

μr,snl {A} 0,536 0,293 0,274 0,193

μr,sl 0,707 0,821 0,483 0,679

μd 1,5 1,5 1,5 1,5

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

Dut

tilit

à μ


- 186 -




μr,snl {B} 0,000 0,000 0,268 0,397

μr,snl {A} 0,346 0,510 0,367 0,244

μr,sl 0,586 0,677 0,472 0,563

μd 1,5 1,5 1,5 1,5

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

Dut

tilit

à μ


μr,snl {B} 0,000 0,000 0,500 0,612

μr,snl {A} 0,523 0,554 0,747 0,381

μr,sl 0 1,302 0,905 0,791

μd 1,5 1,5 1,5 1,5

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

Dut

tilit

à μ


- 187 -

Figura 5.60 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3


2,7,3 - B10 4,7,3 - B10 2,7,3 - B11 4,7,3 - B11

μr,snl {B} 0,214 0,320 0,098 0,138

μr,snl {A} 0,284 0,142 0,141 0,100

μr,sl 0,323 0,666 0,263 0,666

μd 1,5 1,5 1,5 1,5

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

Dut

tilit

à μ

2,3,5 - B10 4,3,5 - B10 2,3,5 - B11 4,3,5 - B11

μr,snl {B} 0,000 0,000 0,224 0,321

μr,snl {A} 0,288 0,411 0,311 0,196

μr,sl 0,480 0,549 0,389 0,459

μd 1,5 1,5 1,5 1,5

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60


- 188 -


Nei grafici sono riportati i valori della duttilità richiesta desunti dall’analisi statica non

lineare μr,snl (valutata secondo le due distribuzioni di forze previste), della duttilità

richiesta μr,sl desunta dall’analisi statica lineare e della duttilità disponibile μd.

Alla luce dei dati ottenuti limitatamente per le analisi B10 e B11 (in quanto sono le uniche

in cui la struttura collassa per uno spostamento maggiore di quello massimo richiesto allo

SLV) si possono svolgere le considerazioni seguenti.

In primo luogo, così come avveniva per l’analisi statica lineare, il valore della duttilità

disponibile μd dei pannelli e delle pareti ad ogni piano è sempre pari a 1,5. Il rapporto tra

spostamento ultimo e spostamento elastico permane pari a quello definito per crisi da

taglio in campo elastico. Dunque anche nella riduzione delle approssimazioni di calcolo

che si verificano nel passaggio dall’analisi lineare a quella non lineare il meccanismo di

crisi della struttura non varia.

Dall’osservazione dei valori delle duttilità richieste, valutate secondo la distribuzione {A}

di forze proporzionale alle masse e la distribuzione {B} di forze proporzionale alle masse

per gli spostamenti del primo modo di vibrare, si nota che per il livello di pannelli di

maschio più alto dell’edificio (livello 2) la duttilità richiesta dalla distribuzione {A} prevale

su quella richiesta dalla distribuzione {B}; il contrario accade al livello di pannelli di

2,3,8 - B10 4,3,8 - B10 2,3,8 - B11 4,3,8 - B11

μr,snl {B} 0,000 0,000 0,500 0,612

μr,snl {A} 0,523 0,554 0,747 0,381

μr,sl 0,000 0,974 0,905 0,791

μd 1,5 1,5 1,5 1,5

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60


- 189 -

maschio inferiore (livello 4). Questo dato collima perfettamente con quanto osservato per

il tasso di sollecitazione, a dimostrazione della perfetta analogia che esiste tra stato della

struttura in termini di forze e quello in termini di spostamento.

Un risultato molto interessante è costituito dal fatto che il valore della duttilità richiesta

valutata attraverso l’analisi statica lineare è sempre maggiore rispetto a quello valutato

con l’analisi statica non lineare. Stabilire una misura di riferimento della sovrastima è

alquanto arduo, in quanto essa oscilla tra il 10% e l’80%.

L’ultima considerazione riguarda l’indice di danno. Come si vede dai grafici riportati

sopra, il valore della duttilità richiesta (dei pannelli di maschio e delle pareti, ad ogni

piano) assume sempre valore inferiore all’unità. Così come scritto al § 5.4.3 nella

condizione in cui μr < 1 il danno fessurativo risulta chiaramente reversibile elasticamente e

l’indice di danneggiamento, per come è stato definito, è minore di zero. In questo caso si

assume comunque un indice di danno pari a zero.

5.5.7 Vulnerabilità sismica in termini di PGA

Così come fatto per l’analisi statica lineare, si procede alla valutazione della massima

accelerazione sopportabile al suolo dall’edificio come parametro che ne identifica la sua

vulnerabilità al variare dei parametri di input.

La massima accelerazione orizzontale sopportabile al suolo dal sistema ad un grado di

libertà è valutabile nell’analisi statica non lineare come:

∗

∗∗ =

MVTS bu

d )(

Noti la forma spettrale di progetto e il fattore di struttura (valutato in base al rapporto di

sovraresistenza determinato con l’analisi push-over) è possibile ottenere la massima

accelerazione sopportabile al suolo attraverso la seguente relazione:

0max,max

)(F

qTSaSPGA dg

⋅=⋅=

∗


- 190 -

in quanto si ha che per TB ≤ T* ≤ TC:

0max,1)( Fq

SaTS gd ⋅⋅⋅=∗

Di seguito si riportano gli istogrammi con la rappresentazione della massima PGA per le

due combinazioni e distribuzioni di forze considerate.

Figura 5.63 – PGA [g] per la combinazione n.1 dell’analisi statica non lineare

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

B1 B10 -fvk=0,036

B11 -fvk=0,05

B12 - FC=1 B13 -FC=1,35

B16 - np=3 B17 - np=4 B18 - np=5

PGA

max

[g]




- 191 -

Figura 5.64 – PGA [g] per la combinazione n.5 dell’analisi statica non lineare

I parametri variati nelle analisi dalla B2 alla B9 non suscitano variazioni nella PGAmax

analogamente a come accadeva per le analisi statiche lineari. A cambiare sono, com’è

ovvio, i valori che tali accelerazioni assumono.

Si nota, dall’osservazione degli istogrammi innanzi riportati, che i valori di PGAmax

determinati con la distribuzione di forze proporzionale alle masse risultano essere sempre

maggiori (eccetto per l’analisi B11), a parità di analisi considerata, dei valori ottenuti

adottando una distribuzione di forze proporzionali alle masse per gli spostamenti del

primo modo di vibrare. Si può dunque affermare che che la distribuzione di forze

proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo di vibrare risulta

globalmente più gravosa per l’edificio in oggetto, in quanto la sua vulnerabilità sismica

globale è maggiore (PGAmax sopportabile inferiore) rispetto all’altra distribuzione di forze.

Ciò non è vero localmente dove, osservando ad esempio i tassi di sollecitazione dei

pannelli e delle pareti, non è possibile stabilire quale delle due distribuzioni di forze sia

quella maggiormente gravosa.

A parità di analisi parametrica considerata, i valori di PGA massima sopportabile

nell’analisi statica non lineare risultano essere maggiori rispetto ai valori ottenuti con

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

B1 B10 -fvk=0,036

B11 -fvk=0,05

B12 - FC=1 B13 -FC=1,35

B16 - np=3 B17 - np=4 B18 - np=5

PGA

max

[g]




- 192 -

l’analisi statica lineare di circa 4-5 volte. La ragione di questa differenza è insita, come

detto, nel modello e nel metodo di analisi impiegato.

Il valore di PGAmax viene determinato, nell’analisi statica lineare, attraverso lo studio della

capacità portante della struttura. Come già detto in precedenza, nel valutare la capacità

portante dell’edificio si incrementano le forze a mezzo di un moltiplicatore crescente ξ

fino al raggiungimento della condizione di crisi del primo pannello dell’edificio. In

corrispondenza di tale condizione, l’azione sismica in grado di generare le forze che

hanno portato al raggiungimento della capacità portante dell’edificio è rappresentativa

della PGAmax dell’edificio.

Nell’analisi statica non lineare, invece, tracciamento grafico della curva di push-over si

effettua incrementando lo spostamento del punto di controllo fino al raggiungimento

della crisi dell’edificio (intesa come collasso di un intero piano di una parete) e, in

corrispondenza di tale condizione, si valuta la PGAmax. La condizione di crisi in un’analisi

push-over è determinata, quindi, dal collasso di un intero piano di una parete e non dalla

crisi di un unico pannello, come invece avviene nell’analisi statica lineare. Per la ragione

citata e per le altre differenze concettuali che sussistono tra le due metodologie di analisi,

è alquanto ovvio che i valori di PGAmax determinati con l’analisi statica non lineare siano 4-

5 volte più grandi di quelli ottenuti con l’analisi statica lineare.

Per quanto scritto, comunque, avendo ben chiara la definizione di rapporto di

sovraresistenza αu/α1, è ovvio il diretto legame che consegue tra la PGAmax,sl corrispondente

al moltiplicatore α1 (in quanto è proprio in corrispondenza del taglio proporzionale ad α1

che viene determinata la PGA) e la PGAmax,snl associata al moltiplicatore αu (in realtà

quest’ultima è una discendenza esclusivamente concettuale, in quanto la PGAmax,snl è

determinata in corrispondenza del taglio ultimo e αu invece si valuta solo al 90% del taglio

ultimo).

Quanto appena scritto serve a giustificare quanto segue.

Nelle valutazioni effettuate con l’analisi statica lineare la PGAmax,sl diminuisce fortemente

quando aumenta il numero di piani dell’edificio conseguentemente alla riduzione del

moltiplicatore α1. Nelle valutazioni effettuate mediante l’analisi statica non lineare, invece,


- 193 -

con l’aumento del numero dei piani il valore di PGAmax resta pressoché invariato o

comunque suscettibile di variazioni molto piccole, contrariamente a quanto ci si poteva

aspettare. In realtà, osservando quanto esposto al § 5.5.2, il rapporto di sovraresistenza

cresce con l’aumentare del numero di piani e ciò è coerente con la costanza di αu e la

diminuzione di α1:

aumentadiminuiscecostanteu →→

1αα

Se il rapporto è crescente e il denominatore diminuisce allora necessariamente il

numeratore deve restare costante o deve aumentare. Avendo prima spiegato la

proporzionalità che c’è tra il moltiplicatore αu e il valore di PGAmax,snl, risulta chiaro che la

massima accelerazione sismica sopportabile non varia con l’aumentare del numero di

piani perché il taglio ultimo sopportabile dall’edificio non varia con il numero di piani.

L’ultima considerazione che si effettua è relativa alla vulnerabilità dell’edificio valutata

con l’analisi statica non lineare.

L’accelerazione al suolo del sito in cui l’edificio in muratura in oggetto è ubicato risulta

espressa allo SLV da:

ggSaPGA g 0825,05,1055,0 =⋅=⋅=

Mentre nell’analisi statica lineare si otteneva che l’edificio non era mai globalmente

verificato in quanto la massima PGA sopportabile era sempre inferiore alla PGA del sito,

nell’analisi statica non lineare si osserva che per alcune combinazioni e distribuzioni di

forze l’edificio è in grado di sopportare accelerazioni sismiche al suolo maggiori di quella

del sito.

Ciò significa che i giudizi sulla vulnerabilità sismica degli edifici effettuati a seguito di

analisi statiche lineare sono fortemente condannati (di un ordine di grandezza e più)

rispetto alla reale vulnerabilità sismica degli stessi. Questa differenza è un risultato atteso

(chiaramente non in termini di valore, ma solo in linea di principio) in quanto è noto che a

causa delle approssimazioni insite nell’analisi statica lineare, i risultati forniti devono

essere più restrittivi proprio per poter compensare gli errori compiuti.

- 194 -

CONCLUSIONI

A valle delle analisi eseguite, i risultati ottenuti possono essere discussi in termini di:

a) mutamento della risposta sismica della struttura al variare dei parametri di input

definiti;

b) differenze tra le analisi statiche lineari e quelle non lineari.

Risposta sismica parametrica della struttura

Nelle analisi parametriche eseguite sono stati variati parametri relativi ai materiali, ai

coefficienti di sicurezza, all’azione sismica e all’altezza dell’edificio con l’obiettivo di

studiare la loro influenza sul comportamento della struttura. A tal fine, quest’ultimo è

stato “monitorato” attraverso parametri di controllo, quali tassi di sollecitazione, indici di

danno, fattori di duttilità, vulnerabilità sismica, etc., capaci di descriverlo in maniera

sintetica.

Per alcuni dei parametri di output (tassi di sollecitazione, fattori di duttilità, indici di

danno, vulnerabilità sismica) è stato possibile effettuare valutazioni e confronti,

nell’ambito sia dell’analisi statica lineare, sia in quello dell’analisi statica non lineare. Per

altri invece (quali il periodo proprio di oscillazione, il rapporto di sovraresistenza e il

fattore di struttura) è stato possibile effettuare la determinazione solo attraverso l’analisi

statica non lineare.

Dai risultati ottenuti attraverso l’analisi statica lineare si è osservato che per come è

costituita la struttura oggetto di studio, la cui risposta sismica di base è desumibile

dall’analisi B1, vi sono parametri che influenzano il suo comportamento in maniera quasi

trascurabile ed altri che invece lo mutano notevolmente. In particolare, avendo ben

presente le caratteristiche dell’edificio e i suoi meccanismi di crisi, osservando i tassi di

- CONCLUSIONI - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 195 -

sollecitazione, le duttilità disponibili e richieste e gli indici di danno dei pannelli e delle

pareti determinati con l’analisi statica lineare, si nota che:

- a partire dalla configurazione di base (analisi B1) i risultati cambiano poco se si

incrementa il peso specifico della muratura (analisi B7) e se si fa variare la

resistenza caratteristica a compressione della stessa (analisi B8 e B9);

- l’analisi in cui si ipotizza la classe d’uso IV dell’edificio (analisi B3) e quella in cui si

suppone il suolo appartenente a categoria D (analisi B5) mostrano risultati molto

simili, per cui si può affermare in via preliminare che essi sembrano influenzare in

maniera del tutto analoga la domanda sismica;

- il miglioramento che si ottiene nell’ipotizzare il suolo appartenente alla categoria B

(analisi B4) equivale a quello derivante dall’incremento della resistenza a taglio da

trazione e da scorrimento della muratura da 0,022 MPa a 0,036 MPa (analisi B10); il

tasso di sollecitazione si riduce di circa il 25%;

- al variare delle analisi l’andamento della duttilità richiesta è analogo a quello dei

tassi di sollecitazione, a conferma del fatto che la duttilità richiesta ad un elemento

strutturale per fronteggiare l’azione sismica è strettamente dipendente dalla

domanda sismica stessa, analogamente a quanto accade per il tasso di

sollecitazione.

Dalle analisi parametriche statiche non lineari si è osservato invece che:

- la vulnerabilità sismica in termini di PGA intesa come parametro di verifica e

indice di comportamento globale, varia poco a partire dalla situazione di base per

le analisi dalla B2 alla B9. Ciò significa che, sebbene alcuni parametri possano

apportare svantaggi o benefici alla struttura in maniera locale, il suo

comportamento globale resta invariato;

- all’aumentare del numero di piani la PGAmax sopportabile resta pressoché invariata

in quanto il moltiplicatore αu (cui è legata la PGAmax,snl) resta costante;

- il periodo proprio della struttura cambia non solo con il variare delle

caratteristiche intrinseche della struttura, ma anche al variare di quei parametri

che determinano l’azione sismica e della combinazione di carico considerata. Il

- CONCLUSIONI - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 196 -

periodo proprio di oscillazione medio della struttura in oggetto vale 0,265 s ed è

maggiore di quello utilizzato nell’analisi statica lineare di circa il 12%;

- il valore del periodo proprio di oscillazione della struttura determinato con

l’analisi statica non lineare per l’edificio a 3 piani risulta quasi uguale a quello

adottato nell’analisi statica lineare per cui esclusivamente in termini di periodo

proprio, le due metodologie di analisi convergono quando l’edificio assume

altezza pari a 12 m (3 piani);

- il fattore di struttura qsnl è inferiore a qsl di circa il 20%, sicché il comportamento

duttile globale dell’edificio in oggetto è stato sovrastimato nell’analisi statica

lineare.

Analisi lineare e non lineare

Considerate già note le differenze relative alle ipotesi di base tra l’analisi statica lineare e

quella non lineare e le approssimazioni commesse nella prima rispetto alla seconda, si

confrontano, di seguito, i risultati ottenuti dalle due metodologie.

Una prima considerazione deriva dal confronto tra la pericolosità sismica (stimata

controllando il parametro PGAmax) valutata con l’analisi lineare e con quella non lineare. I

valori di PGAmax ottenuti dall’analisi push-over risultano (per tutte le analisi parametriche)

pari a circa 4-5 volte maggiori dei valori ricavati con l’analisi statica lineare. Ciò significa

che i giudizi sulla vulnerabilità sismica degli edifici effettuati mediante l’analisi statica

lineare sono eccessivamente conservativi.

L’approssimazione compiuta nell’analisi statica lineare per la valutazione del periodo

proprio di oscillazione della struttura potrebbe (in seguito a quanto scritto al § 5.5.1)

sembrare forte (mediamente il 12%) ma, almeno in termini di forza (richiesta di resistenza

globale), non lo è. Il periodo proprio della struttura nell’analisi statica lineare consente di

determinare, a mezzo dello spettro di risposta in accelerazione, l’azione sismica cui la

- CONCLUSIONI - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 197 -

struttura è soggetta. Per le costruzioni in muratura a due piani, sia il periodo proprio

adottato nell’analisi statica lineare che quello ottenuto dall’analisi non lineare ricadono

(nella maggior parte dei casi) nel ramo ad accelerazione costante dello spettro di risposta,

il che non implica alcun errore nella determinazione dell’azione sismica nell’analisi statica

lineare. Si osserva, poi, che il periodo adottato nell’analisi statica lineare risulta inferiore a

quello mediamente ottenuto dalle analisi parametriche non lineari. Da questa

osservazione si deduce che:

a) se Tsl ricade nel ramo iperbolico o in quello lineare (se esso è decrescente) dello

spettro di progetto, le azioni simiche determinate nell’analisi statica lineare sono

leggermente sovrastimate il che, sebbene possa essere visto come un vantaggio in

favore della sicurezza, è sicuramente un dato a discapito di economia della

costruzione;

b) se Tsl ricade nel ramo lineare dello spettro ed esso è crescente, si effettua una

sottostima dell’azione sismica che, sebbene possa essere minima e dalla quale ci si

tuteli con i coefficienti di sicurezza, rappresenta comunque una incertezza sul

modello dell’analisi statica lineare.

Per quanto riguarda i parametri tasso di sollecitazione e duttilità richiesta, si è osservato

che l’analisi statica lineare fornisce valori sempre sovrastimati (tra il 10% e il 60% per il

tasso di sollecitazione e tra il 10% e l’80% per la duttilità richiesta).

La restrizione dei risultati dell’analisi statica lineare può essere vista, talvolta, in questo

modo: vantaggio di sicurezza a discapito però della conoscenza del reale comportamento

della struttura o, meglio, della conoscenza di quanto i risultati ottenuti siano “distanti”

dal comportamento reale. Con l’avvento della nuova concezione di progettazione

prestazionale multi-livello delle strutture, avendo i mezzi per eliminare determinati errori

si preferiscono sicuramente modelli di calcolo più sofisticati e accurati (quale è, appunto,

l’analisi statica non lineare) senza dubbio capaci di fornire risultati molto più vicini al

reale comportamento della struttura.

- Riferimenti Bibliografici - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 198 -

Riferimenti Bibliografici

N. Augenti [2000] Il calcolo sismico degli edifici in muratura, UTET, Torino.

N. Augenti, E. Acconcia, Analisi sismica non lineare di edifici in muratura, in corso di

pubblicazione.

DM 14.01.2008 - Norme Tecniche per le Costruzioni, Roma.

Istruzioni per l’applicazione delle Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM

14.01.2008, Bozza del 07.03.2008, Roma.

L. Petrini, R. Pinho, G. M. Calvi [2006] Criteri di Progettazione Antisismica degli Edifici, 3a

edizione, IUSS Press, Pavia.

- 199 -

Indice delle figure

Figura 5.1 – Analisi B1 della parete 2 .................................................................................... 122



Figura 5.4 – Analisi B12 della parete 2 ................................................................................... 125








Figura 5.12 – Analisi B10 della parete 3 ................................................................................. 133








Figura 5.20 – Analisi B10 dellaparete 5 .................................................................................. 138




Figura 5.24 – Stato di sollecitazione della parete 8 ............................................................... 140



- Indice delle figure - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 200 -

Figura 5.27 – ρsl della parete 3 per la combinazione SLV n. 23 ............................................. 142

Figura 5.28 - ρsl della parete 5 per la combinazione SLV n. 32 .............................................. 144

Figura 5.29 - ρsl della parete 8 per la combinazione SLV n. 32 .............................................. 145

Figura 5.30 – Duttilità della parete 3 ...................................................................................... 147

Figura 5.31 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 3 ............................................. 147

Figura 5.32 – Duttilità dellaparete 5 ....................................................................................... 149

Figura 5. 33 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 5 ............................................ 149


Figura 5.35 – PGAmax [g] ......................................................................................................... 153

Figura 5.36 – Moltiplicatore di crisi ξ .................................................................................... 155

Figura 5.37 – Sistema elasto-plastico equivalente ad un grado di libertà ........................... 158

Figura 5.38 – Legenda relativa alle curve di push-over ....................................................... 159

Figura 5.39 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A}) ......... 159

Figura 5.40 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {B}) ......... 160

Figura 5.41 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {A}) ......... 160

Figura 5.42 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {B}) ......... 161

Figura 5.43 – Periodo proprio T* [s] ....................................................................................... 162

Figura 5.44 – Confronto tra le analisi sul calcolo di T .......................................................... 166

Figura 5.45 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 1) ............................................................ 167

Figura 5.46 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 5) ............................................................ 168

Figura 5.47 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.1 .............................................. 172

Figura 5. 48 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.5 ............................................. 173

Figura 5.49 – Spostamento di riferimento ............................................................................. 174

Figura 5.50 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A}) ......... 177

Figura 5.51 – ρsnl della parete 3 ............................................................................................... 179



Figura 5.54 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3 .................................. 182


- Indice delle figure - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 201 -





Figura 5.60 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3 ......................... 187



Figura 5.63 – PGA [g] per la combinazione n.1 dell’analisi statica non lineare ................. 190

Figura 5.64 – PGA [g] per la combinazione n.5 dell’analisi statica non lineare ................. 191

- 202 -

Indice delle tabelle

Tabella 4.1 – Analisi dei carichi per il solaio tipo ................................................................... 79

Tabella 4.2 – Analisi dei carichi per il solaio di copertura ..................................................... 79

Tabella 4.3 – Analisi dei carichi per gli sbalzi ......................................................................... 79

Tabella 4.4 – Analisi dei carichi solaio scale ............................................................................ 80

Tabella 4.5 – Pericolosità sismica di base allo SLD e allo SLV ............................................... 82

Tabella 4.6 – Accelerazioni sismiche di progetto .................................................................... 83

Tabella 4.7 – Distribuzione dell’azione sismica lungo l’altezza ............................................ 84

Tabella 4.8 – Coordinate dei baricentri delle masse ............................................................... 84

Tabella 4.9 – Combinazioni di carico per azioni non sismiche .............................................. 85

Tabella 4.10 – Combinazioni di carico per le analisi statiche lineari allo SLV ...................... 85

Tabella 4.11 – Combinazioni di carico per le analisi push-over .............................................. 86

Tabella 4.12 – Caratteristiche meccaniche della muratura ..................................................... 87

Tabella 4.13 – Modello di ripartizione delle forze sui pannelli (parete 6) ............................ 93

Tabella 4.14 – Verifiche dei pannelli di maschio della parete 6 ............................................. 93

Tabella 4.15 – Equilibrio delle fasce di piano della parete 6 .................................................. 94

Tabella 4.16 – Verifica a presso-flessione dei pannelli di fascia (parete 6) ........................... 94

Tabella 4.17 – Verifica per carichi non sismici della parete 6 ................................................. 94

Tabella 5.1 – ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B6 e B7) ................................... 123

Tabella 5.2 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B8 e B9) ................................... 124

Tabella 5.3 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B12 e B13) ................................ 126

Tabella 5.4 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B14 e B15) ................................ 127

Tabella 5.5 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B2 e B3) ................................... 130


Tabella 5.7 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B10 e B11) ................................ 133

Tabella 5.8 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B12 e B13) ................................ 135

- Indice delle tabelle - _____________________________________________________________________________________________________________________________

- 203 -


Tabella 5.10 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B4 e B5) .................................. 137

Tabella 5.11 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B10 e B11) .............................. 138



Tabella 5.14 – Duttilità e danneggiamento della parete 3 .................................................... 146



Tabella 5.17 – PGAmax .............................................................................................................. 152

Tabella 5.18 – Moltiplicatore di crisi ξ ................................................................................... 154

Tabella 5.19 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.23) .......................................... 156

Tabella 5.20 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.32) .......................................... 157

Tabella 5.21 – Periodo proprio di oscillazione T* ................................................................. 163

Tabella 5.22 – Confronto tra Tsl e Tsnl ..................................................................................... 166

Tabella 5.23 – αu/α1 e qsnl (comb. 1) ........................................................................................ 168

Tabella 5.24 – αu/α1 e qsnl (comb. 5) ........................................................................................ 169

Tabella 5.25 – Risorse anaelastiche della struttura ............................................................... 170

Tabella 5.26 – Fattore di struttura (comb. n.1) ...................................................................... 172

Tabella 5.27 – Fattore di struttura (comb. n.5) ...................................................................... 174

Tabella 5.28 – ρsnl delle pareti ................................................................................................. 178

Tabella 5.29 – ρsnl dei pannelli di maschio ............................................................................. 182

“… non si può pensare di risolvere un problema con la stessa mentalità che lo ha generato”.

A. Einstein

ELABORATO DI LAUREA -...

Documents

Transcript of ELABORATO DI LAUREA -...