11Università della Liberetà 2007-’08Università della Liberetà 2007-’08 mbassmbassii

22

DEFINIZIONEDEFINIZIONE

UnaUna disequazionedisequazione è unaè una formula apertaformula aperta, costituita costituita dada uno dei seguenti predicati:uno dei seguenti predicati:

<< (essere minore)(essere minore)

≤ ≤ (essere minore o uguale)(essere minore o uguale)

>> (essere maggiore) (essere maggiore)

≥ ≥ (essere maggiore o uguale)(essere maggiore o uguale)

formula apertaformula aperta : : frase che contiene una variabilefrase che contiene una variabile

33

I predicati “ essere minore” o “essere maggiore” I predicati “ essere minore” o “essere maggiore” non sono simmetrici non sono simmetrici

Il predicato “ essere minore” (o “ essere Il predicato “ essere minore” (o “ essere maggiore”)maggiore”)

• è è antisimmetrico: antisimmetrico: sese a è a è minoreminore di b allora b è di b allora b è maggioremaggiore di a: di a:

a < b ⇔ b > a (con a a < b ⇔ b > a (con a ≠ b)≠ b)

•ogni numero reale è minore (o maggiore) di altri ogni numero reale è minore (o maggiore) di altri INFINITI numeri realiINFINITI numeri reali

OSS.OSS. Il predicato ” = “ è Il predicato ” = “ è simmetricosimmetrico cioè se a è uguale a b, cioè se a è uguale a b, anche b è uguale ad a:anche b è uguale ad a:

a = b ⇔ b = aa = b ⇔ b = a

44

a)a) 4 > 2 4 > 2 ⇒ 2 … ⇒ 2 … 4 4

b)b) - 2 < 0 ⇒ 0 … - - 2 < 0 ⇒ 0 … - 22

c)c) - 3 < 0 ⇒ 3 … - 3 < 0 ⇒ 3 … 00

d)d) 2 < 4 ⇒ - 2 … 2 < 4 ⇒ - 2 … - 4- 4

e) 3 > 13 > 1 ⇒ ⇒ - 3 … - 3 … - 1- 1

Completare le seguenti formule con il predicatoCompletare le seguenti formule con il predicato ““ < < ““ oppureoppure ““ > > “ in modo da ottenere proposizioni vere:“ in modo da ottenere proposizioni vere:

f)f) - 2 > - 4 - 2 > - 4 ⇒ 4 … 2 ⇒ 4 … 2

g)g) a < 0 ⇒ - a … 0a < 0 ⇒ - a … 0

h)h) a < 2 ⇒ - a … - a < 2 ⇒ - a … - 22

i)i) - a < 3 ⇒ a … - 3- a < 3 ⇒ a … - 3

j)j) - 2 < 1 < 4- 2 < 1 < 4 ⇒⇒ 4 … 1 4 … 1 … - 2… - 2Scrivi in formule, le Scrivi in formule, le negazioninegazioni delle delle

seguenti frasi:seguenti frasi:• il numero il numero aa è minore di è minore di bb• il numero il numero aa è maggiore o uguale è maggiore o uguale a a bb• il numero il numero aa è maggiore di è maggiore di bb• il numero il numero aa non è maggiore di non è maggiore di bb

a ≥ ba ≥ b

a a < b< b

a ≤ b a ≤ b

a > ba > b

55

Analizza le seguenti affermazioni: Analizza le seguenti affermazioni:

pensi che siano SEMPRE VERE ? pensi che siano SEMPRE VERE ?

se se a a ∈∈ Q allora – Q allora – aa indica un numero minore di indica un numero minore di zerozero

se se a a ∈∈ N allora N allora aa22 è maggiore di è maggiore di aa

se se a a ∈ Q allora ∈ Q allora aa22 è maggiore di è maggiore di aa

FF

VV

FF

Nota:Nota: V- vero; F- falso V- vero; F- falso

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R I C O R D A R ER I C O R D A R E

L' ambiente dei numeri naturali N, fortemente L' ambiente dei numeri naturali N, fortemente radicato nell'esperienza, è di ostacolo al radicato nell'esperienza, è di ostacolo al

passaggio ai numeri razionali Qpassaggio ai numeri razionali QRiflettere sul fatto che il quadrato di un numero Riflettere sul fatto che il quadrato di un numero non è sempre maggiore del numero di partenza non è sempre maggiore del numero di partenza

e che e che l'equivalenza di frazioni non include il prodotto di l'equivalenza di frazioni non include il prodotto di

una frazione per se stessa.una frazione per se stessa.    

77

a) si addiziona (o si sottrae)a) si addiziona (o si sottrae) lo stesso numero reale lo stesso numero reale sia a sinistra sia a destra del predicatosia a sinistra sia a destra del predicato;;

b)b)si moltiplica (o si divide)si moltiplica (o si divide) per lo stesso numero per lo stesso numero reale positivo sia a sinistra sia a destra del reale positivo sia a sinistra sia a destra del predicato;predicato;

c)c) si moltiplica (o si divide) si moltiplica (o si divide) per lo stesso numero per lo stesso numero realereale negativonegativo sia a sinistra sia a destra del sia a sinistra sia a destra del predicato, ma si inverte il predicato stesso predicato, ma si inverte il predicato stesso

a a < b < b ⇔⇔ a > b a > b

Una disequazione si trasforma in una disequazione Una disequazione si trasforma in una disequazione equivalente se:equivalente se:

88

Esempio di risoluzione di unaEsempio di risoluzione di una

3•(x – 1) < 4•x + 53•(x – 1) < 4•x + 5

⇓⇓

3•x – 3 < 4•x + 53•x – 3 < 4•x + 5

⇓⇓

3•x – 4•x < 3 + 5 3•x – 4•x < 3 + 5 ⇒ ⇒ –x –x << 8 8 ⇒ ⇒ -1-1 •(-x)•(-x) >> -1-1 • 8 • 8 ⇒ ⇒ x x > > -8-8

Principio di equivalenza Principio di equivalenza delle disequazionidelle disequazioni

Rappresentazione grafica dell’insieme di soluzioniRappresentazione grafica dell’insieme di soluzioni

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 +5 +6 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 +5 +6

… …… …

X > - 8X > - 8

99

Con 108 euro in suo possesso, il signor H deve acquistare un Con 108 euro in suo possesso, il signor H deve acquistare un libro al prezzo di 19 euro, e con la rimanenza, alcuni dischi, libro al prezzo di 19 euro, e con la rimanenza, alcuni dischi, ciascuno dei quali costa 17 euro. Ne deve acquistare almeno ciascuno dei quali costa 17 euro. Ne deve acquistare almeno 2, per un regalo che ha deciso di fare. Quanti dischi può 2, per un regalo che ha deciso di fare. Quanti dischi può comprare?comprare?formalizziamo il problemaformalizziamo il problema

17•x+19 17•x+19 ≤ ≤ 108 108 la spesa non può superare i 108 euro

x x ≥ ≥ 2 2 deve acquistare almeno due dischi

XX ∈ ∈ N N il numero dei dischi è un numero naturaleLa prima La prima formulaformula è vera per x è vera per x ≤ ≤ 89/17 (89/17 (∼∼ 5,24) 5,24)

Rappresentiamo graficamente, sulla retta, l’insieme delle soluzioni di Rappresentiamo graficamente, sulla retta, l’insieme delle soluzioni di ciascuna formulaciascuna formula

1010

0 1 2 3 4 5 5,24 6 0 1 2 3 4 5 5,24 6 … …… …

2 2

00

L’insieme delle soluzioni è l’intersezione di questi tre insiemiL’insieme delle soluzioni è l’intersezione di questi tre insiemi

00

Il signor H acquisterà 2, 3, 4 oppure 5 dischiIl signor H acquisterà 2, 3, 4 oppure 5 dischi

1111

PROBLEMAPROBLEMA

Un’associazione offre una tessera annuale dal costo di 30 euro Un’associazione offre una tessera annuale dal costo di 30 euro che permette di pagare 4 euro il biglietto in tutti i cinema che permette di pagare 4 euro il biglietto in tutti i cinema dove il biglietto costa 9 euro. Quante volte si deve andare al dove il biglietto costa 9 euro. Quante volte si deve andare al cinema in un anno perché la tessera sia conveniente? cinema in un anno perché la tessera sia conveniente?

risoluzionerisoluzione

Indichiamo con Indichiamo con nn il numero di volte che si può il numero di volte che si può andare al cinema in un anno e formalizziamo il andare al cinema in un anno e formalizziamo il problema:problema:

30 + 4•30 + 4•nn ‹ 9 • ‹ 9 •nn ⇒⇒ 30 30 ‹ 9 • ‹ 9 • nn – 4• – 4•n n ⇒⇒ ((pr.di pr.di equivalenza)equivalenza)

⇒⇒ 30 30 ‹ 5 •‹ 5 •nn ⇒⇒ nn > 6 > 6

1212

UN PROBLEMA CHE CONDUCE A DISEQUAZIONI DI 1° GRADOUN PROBLEMA CHE CONDUCE A DISEQUAZIONI DI 1° GRADO

Di un auto sono in vendita due modelli:Di un auto sono in vendita due modelli:

• a benzina, che ha un costo di utilizzo di circa 0,25 euro ogni a benzina, che ha un costo di utilizzo di circa 0,25 euro ogni chilometro e il costo iniziale è di 12000 eurochilometro e il costo iniziale è di 12000 euro

•a gasolio, che ha un costo di utilizzo di circa 0,15 euro ogni a gasolio, che ha un costo di utilizzo di circa 0,15 euro ogni chilometro e il costo iniziale è di 13500 eurochilometro e il costo iniziale è di 13500 euro

Quale dei due modelli conviene comperare se deve essere rivenduto Quale dei due modelli conviene comperare se deve essere rivenduto alla fine dell’anno ?alla fine dell’anno ?

risoluzionerisoluzione

Indicando con x il numero di chilometri che si potrebbero Indicando con x il numero di chilometri che si potrebbero percorrere in un anno si ha:percorrere in un anno si ha:

Costo annuo dell’auto a gasolio: 0,15 • x + 13500Costo annuo dell’auto a gasolio: 0,15 • x + 13500Costo annuo dell’auto a benzina: 0,25 • x + 12000Costo annuo dell’auto a benzina: 0,25 • x + 12000L’auto a gasolio è conveniente se:L’auto a gasolio è conveniente se:0,15 • x + 13500 0,15 • x + 13500 << 0,25 • x + 12000 0,25 • x + 12000 ⇒ ⇒ (pr. di (pr. di equivalenza)equivalenza)⇒⇒ 11500500 ‹ ‹ 0,10 0,10 • x• x ⇒⇒ x x > 15000> 15000

L’acquisto è conveniente solo se si percorreranno più di 15000 L’acquisto è conveniente solo se si percorreranno più di 15000 km.km.

1313

e ancora …e ancora …x + y ≥ 3 disequazione di 1° grado a due incognitex + y ≥ 3 disequazione di 1° grado a due incognite

consideriamoconsideriamo nel piano cartesiano nel piano cartesiano x + y = 3x + y = 3 :: equazione di una equazione di una rettaretta

Il semipiano tratteggiato Il semipiano tratteggiato è l’insieme di punti che è l’insieme di punti che soddisfano la soddisfano la disequazione x + ydisequazione x + y ≥ 3 ≥ 3(0;3(0;3

))

(3;0)(3;0) xx

yy

(3;2)(3;2)

Es.Es. Il punto (3;2) Il punto (3;2) verifica la verifica la disequazionedisequazione

1414

Un problema di programmazione economicaUn problema di programmazione economica

Una ditta produce calcolatori di due tipiUna ditta produce calcolatori di due tipi A, B. Per A, B. Per soddisfare le richieste , l’industria sa che deve produrre soddisfare le richieste , l’industria sa che deve produrre ogni giorno:ogni giorno:

• almeno 200 calcolatori di tipo A, ma non più di 1000almeno 200 calcolatori di tipo A, ma non più di 1000

• non più di 500 calcolatori di tipo Bnon più di 500 calcolatori di tipo B

Ma la ditta non ha la possibilità di produrre, in tutto più di Ma la ditta non ha la possibilità di produrre, in tutto più di 1200 calcolatori al giorno. Inoltre si sa che:1200 calcolatori al giorno. Inoltre si sa che:

• si ricavano 2000 euro per ogni calcolatore di tipo A si ricavano 2000 euro per ogni calcolatore di tipo A • si ricavano 5000 euro per ogni calcolatore di tipo Bsi ricavano 5000 euro per ogni calcolatore di tipo B Qual è il ricavo massimo che l’industria può realizzare? Qual è il ricavo massimo che l’industria può realizzare?

Indico con x: il numero dei calcolatori di tipo A Indico con x: il numero dei calcolatori di tipo A

y: il numero dei calcolatori di tipo By: il numero dei calcolatori di tipo B

1515

Si producono almeno 200 calcolatori di tipo A Si producono almeno 200 calcolatori di tipo A x ≥ 200 x ≥ 200 a

e non più di 1000 e non più di 1000 x ≤ 1000 x ≤ 1000 bSi producono non più di 500 calcolatori di tipo BSi producono non più di 500 calcolatori di tipo B y ≤ 500 y ≤ 500 c

Non si producono in tutto più di 1200 calcolatori Non si producono in tutto più di 1200 calcolatori x + y ≤ 1200x + y ≤ 1200 d

Il numero di calcolatori di tipo B è positivoIl numero di calcolatori di tipo B è positivo y y ≥≥ 0 0 e

xx

yy

200200

500500

10001000

d b

c

a

zona di produzione

1616

manca ancora la parte parte ECONOMICAECONOMICA

R = 2000 • x + 5000 • y R = 2000 • x + 5000 • y viene detta funzione funzione obiettivoobiettivo

descrive il ricavo R che si vuole ottimizzareottimizzare, cioè rendere il migliore possibile

Si può procedere in questo modo:

ricaviamo y 5000 • y = R - 2000 •x5000 • y = R - 2000 •x ⇒ ⇒ y = 0,005 R – 0,4y = 0,005 R – 0,4•x•x

Ora si può ragionare così:

se se R = 0 R = 0 ⇒⇒ y = – 0,4 •x y = – 0,4 •x equazione che ha come grafico una retta passante per l’origine degli assi cartesiani x,y

NOTA NOTA D appartiene alla retta x + y =1200, se y = 500 allora x = 700

Il punto D ha coordinate (700,500)

1717

zona di produzione

xx

yy

200200

500500

10001000

situazione in cui il situazione in cui il ricavo e massimoricavo e massimoD

A

y = – y = – 0,40,4 • x • x

Il ricavo è massimo proprio quando la retta passa per Il ricavo è massimo proprio quando la retta passa per DD

R = 2000 • R = 2000 • 700700 + 5000 • + 5000 • 500 500 ; R = 3.900.000; R = 3.900.000

y = – y = – 0, 0, 4 • x +

4 • x +

R R

R = 0R = 0

R > 0R > 0

1818

1.1. Aggiungendo 7 al doppio di un numero reale si ottiene come Aggiungendo 7 al doppio di un numero reale si ottiene come risultato un numero maggiore di 3risultato un numero maggiore di 3

2.2. La somma di un numero e della metà di un numero naturale non è La somma di un numero e della metà di un numero naturale non è inferiore a 9inferiore a 9

3.3. La differenza tra 10 e la quinta parte di un numero reale non La differenza tra 10 e la quinta parte di un numero reale non supera 11supera 11

4.4. Moltiplicando 1/3 per il quadruplo di un numero naturale, si Moltiplicando 1/3 per il quadruplo di un numero naturale, si ottiene un numero non inferiore alla quarta parte del suo doppioottiene un numero non inferiore alla quarta parte del suo doppio

5.5. Il triplo prodotto di un numero reale per il quadrato di -2 è uguale Il triplo prodotto di un numero reale per il quadrato di -2 è uguale al più al numero stesso aumentato di 1al più al numero stesso aumentato di 1

6.6. 3•x – 1 x + 1 11•x – 53•x – 1 x + 1 11•x – 5

7.7. 0,2•x ≤ 7,3•x + 1,7 ; 5.5•x - 0,8•x ≥0,2•x ≤ 7,3•x + 1,7 ; 5.5•x - 0,8•x ≥ 6,4•x6,4•x

22 33 66++ >>

1919

e … ancorae … ancora

PROBLEMAPROBLEMA

Un gruppo di 6 amici deve organizzare un viaggio estivo che prevede almeno 10 giorni in Francia e non più di 20 giorni in Spagna, spendendo per l’alloggio non più 2500 euro;

Le informazioni disponibili sono:

- un giorno in campeggio in Francia costa circa 10 euro a persona

- un appartamento per 6 persone in Spagna costa circa 350 euro la settimana

Organizzare il viaggio che realizza il massimo numero di giorni di vacanza

2020

Un problema curiosoUn problema curioso

Un artistaUn artista strastra-va--va-gante gante decide di decide di costruire una piramide: costruire una piramide:

Su un cubo che ha lato lungo 1 m. si dispone Su un cubo che ha lato lungo 1 m. si dispone un cubo che ha un lato lungo la metà, poi, un cubo che ha un lato lungo la metà, poi, sopra a questo, un cubo che ha il lato 3 volte sopra a questo, un cubo che ha il lato 3 volte più piccolo … …più piccolo … …

1 m.1 m.

1 ⁄ 2 1 ⁄ 2 m.m.

1 ⁄ 3 m.1 ⁄ 3 m.

1 ⁄4 m.1 ⁄4 m.

Pensando al suo progetto, l’artista sa che Pensando al suo progetto, l’artista sa che l’altezza della piramide sarà :l’altezza della piramide sarà :

( 1+1/2+1/3+1/4+1/5 …) m.( 1+1/2+1/3+1/4+1/5 …) m.

Il laboratorio in cui la piramide viene costruita Il laboratorio in cui la piramide viene costruita ha un soffitto alto 3 m. perciò lo scultore si ha un soffitto alto 3 m. perciò lo scultore si chiede se la piramide raggiungerà mai chiede se la piramide raggiungerà mai l’altezza di 3 m.l’altezza di 3 m.

Per valutare l’altezza scriviamo così i termini Per valutare l’altezza scriviamo così i termini dell’addizionedell’addizione

1 1/2 1/3+1/4 1 1/2 1/3+1/4 > > 1/4+1/4 1/4+1/4 ⇒ ⇒ 1/3+1/4 1/3+1/4 > > 1/2 1/2

quindi si haquindi si ha

2121

1+1/2+ 1/3+1/21+1/2+ 1/3+1/222 >> 1+1/2+ 1/4 +1/4 = 1+ 1/2 + 1/2 1+1/2+ 1/4 +1/4 = 1+ 1/2 + 1/2 == 1 + 2/2 1 + 2/2 1/5+1/6+1/7+1/21/5+1/6+1/7+1/233 > > 1/8+1/8+1/8+1/8 =1/8+1/8+1/8+1/8 = 4/8 = 4/8 = 1/21/2

1+1/2+… + 1/5+1/6+1/7+1/21+1/2+… + 1/5+1/6+1/7+1/233 >> 1+2/2+1/2 =1+2/2+1/2 = 1 +3/21 +3/2 (con 8 (con 8 cubi)cubi)In generaleIn generale

1+1/2+ 1/3+1/4+1/5+ … …+ 1/21+1/2+ 1/3+1/4+1/5+ … …+ 1/2n n > > 1 + n/21 + n/2

Se n = 4Se n = 4

1+1/2+ 1/3+1/4+ … + 1/21+1/2+ 1/3+1/4+ … + 1/244 > 1 + 4/2 = 3 > 1 + 4/2 = 3 (con 16 (con 16 cubi)cubi)

Per superare l’altezza di 3 m. occorre un numero n Per superare l’altezza di 3 m. occorre un numero n di cubidi cubi

con 8 < n < 16con 8 < n < 16

1/21/2

basteranno 11?basteranno 11?

2222

Per rendere la piramide più bella, l’artista decide di verniciare, Per rendere la piramide più bella, l’artista decide di verniciare, alternativamente, una faccia con vernice argentataalternativamente, una faccia con vernice argentata

Lo Lo strastra-va--va-gante gante dispone di vernice sufficiente per dipingere 3 dispone di vernice sufficiente per dipingere 3 mm22

BASTERA’ ? BASTERA’ ? Dobbiamo valutare la somma:Dobbiamo valutare la somma:

(1 + 1/2(1 + 1/22 2 + 1/3+ 1/322 + 1/4 + 1/422 + 1/5 + 1/522 + … ) m + … ) m22 . .

Osserviamo:Osserviamo:

1/21/22 2 << 11 /(2•1) = 1/2 1/2 = 1 -1/2 /(2•1) = 1/2 1/2 = 1 -1/2

1/31/32 2 << 11 /(3•2) = 1/6 1/6 = 1/2-1/3 /(3•2) = 1/6 1/6 = 1/2-1/3

1/41/42 2 << 11 /(4•3) = 1/12 /(4•3) = 1/12 … …… … … … …… … …

1/51/522 << 11 /(5•4) = 1/20 1/20 = 1/4 – 1/5 /(5•4) = 1/20 1/20 = 1/4 – 1/5

… … … … … … … … … …… … … … … … … … … …

1 + 1/21 + 1/222 + 1/3 + 1/322 + 1/4 + 1/422 + 1/5 + 1/522 < < 1 + (1 – 1/2) + (1/2-1/3) + .. .. .. = 2- 1 + (1 – 1/2) + (1/2-1/3) + .. .. .. = 2- 1/51/5In generaleIn generale 1 + 1/21 + 1/222 +!/3 +!/322 + .. .. .. + 1/n + .. .. .. + 1/n22 << 2 – 1/n2 – 1/n

la superficie si mantiene sempre inferiore a 2 mla superficie si mantiene sempre inferiore a 2 m22

2323

•Maraschini – PalmaMaraschini – Palma

multi multi FORMATFORMAT

moduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore

•Castelnuovo – G. Giorgi - ValentiCastelnuovo – G. Giorgi - Valenti

la MaTeMaTiCa nella realtà 1la MaTeMaTiCa nella realtà 1

e altro … …e altro … …

tratte liberamente da…..tratte liberamente da…..

2424