1 Università della Liberetà 2007-08 m.bassi alcune considerazioni.

11

Università della Liberetà 2007-’08Università della Liberetà 2007-’08

m.bassi

alcune considerazionialcune considerazioni

22

Generalmente ci serviamo dell’orologio o della sveglia molte Generalmente ci serviamo dell’orologio o della sveglia molte volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il tempo e, qualsiasi strumento di misura è di “natura” tempo e, qualsiasi strumento di misura è di “natura” matematica.matematica.

0

6

39

7

8

10

11 1

2

4

5

77 ++ 88 == 33

Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si ottengono risultati insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore …….ottengono risultati insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore …….

Questo tipo di aritmetica si chiamaQuesto tipo di aritmetica si chiama aritmetica aritmetica modularemodulare o ancheo anche sistema di numerazione finitosistema di numerazione finito

Si legge “7 più 8 uguale a 3 (modulo Si legge “7 più 8 uguale a 3 (modulo 12) “12) “

33

Un’ altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni Un’ altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì,……, 6 sabato.della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì,……, 6 sabato.

alcune domande:alcune domande:

11. Se il 4 marzo era di domenica, che giorno era il 24 marzo?Se il 4 marzo era di domenica, che giorno era il 24 marzo?

2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dell’anno successivo si 2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dell’anno successivo si potrebbe ragionare così…potrebbe ragionare così…

3. Si può anche andare all’indietro e chiedersi: che giorno era il 3. Si può anche andare all’indietro e chiedersi: che giorno era il 4 marzo del 1907 ?4 marzo del 1907 ?

Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora sarà tra 1675 ore?sarà tra 1675 ore?

Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le 18,tra 1675 ore saranno (1675+18) mod 24, cioè le 1318,tra 1675 ore saranno (1675+18) mod 24, cioè le 13

IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON L’ARITMETICA IL PROBLEMA SI PUÒ RISOLVERE CONTANDO O CON L’ARITMETICA MODULO 7MODULO 7

Spiegazione parzialeSpiegazione parziale

44

Consideriamo l’insieme dei numeri interi Consideriamo l’insieme dei numeri interi Z Z e la e la relazione detta di congruenza modulo n (con n > 0), relazione detta di congruenza modulo n (con n > 0), così definita:così definita:

Due numeri a e bDue numeri a e b sono equivalenti modulo n se e sono equivalenti modulo n se e solo se (a - b) è multiplo di n.solo se (a - b) è multiplo di n.

Con la relazione di equivalenza si può costruire Con la relazione di equivalenza si può costruire l’insiemel’insieme ZZnn delle classi di equivalenza delle classi di equivalenza, , dette anchedette anche classi di resto modulo nclassi di resto modulo n

EsempioEsempio se n = 5 , 12 e 7 sono equivalenti mod.5 se e solo se n = 5 , 12 e 7 sono equivalenti mod.5 se e solo se se

(12 – 7) è multiplo di 5 infatti(12 – 7) è multiplo di 5 infatti

12 – 7 = 5 e 5 è multiplo di se 12 – 7 = 5 e 5 è multiplo di se stessostesso

NOTANOTA a è multiplo di b se e solo se esiste un numero intero k a è multiplo di b se e solo se esiste un numero intero k tale che a = b • ktale che a = b • k

55

[0] ={0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ……}

[1] ={1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 ……..}

[2] ={2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 ……..}

[3] ={3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 ……..}

[4] ={4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 …….}

[0][0]

[1][1]

[2] [2]

[3][3]

[4][4]

OSS.OSS. E’ interessante verificare che le ordinarie E’ interessante verificare che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in definite in ZZ danno luogo a operazioni analoghe in danno luogo a operazioni analoghe in

ZZnn

esempio esempio classi di resto mod classi di resto mod 55

66

++ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]]

[[00]] [0] [1] [2] [3] [4]

[[11]] [1] [2] [3] [4] [0]

[[22]] [2] [3] [4] [0] [1]

[[33]] [3] [4] [0] [1] [2]

[[44]] [4] [0] [1] [2] [3]

CLASSI di RESTO MODULO 5CLASSI di RESTO MODULO 5

esercizioesercizio: :

[ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] =[ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] =

= [ 5 + 1 ] = = [ 5 + 1 ] = [ 1[ 1 ]]

Tavola dell’addizioneTavola dell’addizione

la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli elementi della classe [4] sono del tipo 4+5k, elementi della classe [4] sono del tipo 4+5k,

la loro somma èla loro somma è 2+5h+4+5k = 2+4+5(h+k) = 6+5(h+k) = 2+5h+4+5k = 2+4+5(h+k) = 6+5(h+k) = 1+5+5(h+k) = = 1+5 (h+k+1): questo elemento appartiene 1+5+5(h+k) = = 1+5 (h+k+1): questo elemento appartiene alla classe [1].alla classe [1].

77

++ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]]

[[00]] [0] [1] [2] [3] [4]

[[11]] [1] [2] [3] [4] [0]

[[22]] [2] [3] [4] [0] [1]

[[33]] [3] [4] [0] [1] [2]

[[44]] [4] [0] [1] [2] [3]

- L’operazione + è interna- L’operazione + è interna

- Vale la proprietà - Vale la proprietà associativaassociativa

- Esiste l’elemento neutro - Esiste l’elemento neutro

[[00]]- Esiste , per ogni - Esiste , per ogni elemento il elemento il simmetrico simmetrico (opposto)(opposto)

- L’insieme - L’insieme ZZ5 5 è chiuso è chiuso rispetto alla sommarispetto alla somma

[ a ] + [ b ] = [ a + b ][ a ] + [ b ] = [ a + b ]


Nota Nota

[ a ][ a ] èè simmetrico simmetrico didi [ b ][ b ] se e solo se [ a ]se e solo se [ a ] + [ b ]+ [ b ] = [ b ]= [ b ] + [ + [ a ]a ] ==

[ 0 [ 0 ]]

Tavola dell’addizioneTavola dell’addizione

88

∙∙ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]]

[[00]] [0] [0] [0] [0] [0]

[[11]] [0] [1] [2] [3] [4]

[[22]] [0] [2] [4] [1] [3]

[[33]] [0] [3] [1] [4] [2]

[[44]] [0] [4] [3] [2] [1]

-La classe [La classe [00] ] annulla qualunque annulla qualunque prodottoprodotto

- Esiste , per ogni - Esiste , per ogni elemento, diverso elemento, diverso da [0] da [0] ilil simmetrico simmetrico (o reciproco) (o reciproco)

- L’operazione- L’operazione ∙∙ è è internainterna

- Esiste - Esiste l’elemento l’elemento neutro neutro [[11]]

- Vale la proprietà - Vale la proprietà associativaassociativa

es.es. [ 2 ] • x = [ 3 ]; x = [3] [ 2 ] • x = [ 3 ]; x = [3] ∙ ∙ [2][2]simmetico simmetico ; x = [3] ; x = [3] ∙∙ [3]; x [3]; x = [4]= [4]

Tavola della moltiplicazioneTavola della moltiplicazione


1 1; 2 1 1; 2 3; 4 43; 4 4

99

∙∙ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]] [[55]]

[[00]] [0] [0] [0] [0] [0] [0]

[[11]] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

[[22]] [0] [2] [4] [0] [2] [4]

[[33]] [0] [3] [0] [3] [0] [3]

[[44]] [0] [4] [2] [0] [4] [2]

[[55]] [0] [5] [4] [3] [2] [1]


Qui molte proprietà Qui molte proprietà non sono valide:non sono valide:

- Non è vero che ogni - Non è vero che ogni elemento ha il elemento ha il simmetrico: per i numeri simmetrico: per i numeri 2, 3, 4 non esistono2, 3, 4 non esistono

- Ci sono elementi - Ci sono elementi diversi da zero che diversi da zero che moltiplicati tra loro moltiplicati tra loro danno 0danno 0

- In alcune righe compare - In alcune righe compare più volte uno stesso più volte uno stesso elementoelemento

Tavola della moltiplicazioneTavola della moltiplicazione

N on vale la legge di annullamento del prodottoN on vale la legge di annullamento del prodotto

1010

Alcune EQUIVALENZE sono di notevole Alcune EQUIVALENZE sono di notevole importanzaimportanza

(a + b) mod n = a mod n + b mod n(a + b) mod n = a mod n + b mod n ciò vuol ciò vuol dire che il resto di una somma è uguale alla somma dire che il resto di una somma è uguale alla somma dei restidei resti (a • b) mod n = a mod n • b mod n(a • b) mod n = a mod n • b mod n ciò vuol dire ciò vuol dire che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei che il resto di un prodotto è uguale al prodotto dei restiresti

Se a e b sono uguali,Se a e b sono uguali,

(a • a) mod n = a mod n • a mod n = r • r = r(a • a) mod n = a mod n • a mod n = r • r = r2 2

con r resto della divisione di a con r resto della divisione di a per nper n

NOTA:NOTA: questa proprietà è utilizzata fondamentalmente questa proprietà è utilizzata fondamentalmente nell’ambito della crittografia a chiave pubblica (RSA) con nell’ambito della crittografia a chiave pubblica (RSA) con numeri primi. Infatti questa proprietà permette di determinare numeri primi. Infatti questa proprietà permette di determinare i resti delle divisioni tra numeri con un “ grande” numero di i resti delle divisioni tra numeri con un “ grande” numero di cifrecifre

1111

qualche esempioqualche esempio

• 1212² mod 11 = 144 mod 11 = 1 = ( 12 mod ² mod 11 = 144 mod 11 = 1 = ( 12 mod 11 )²= 1•1 = 111 )²= 1•1 = 1

• 32329 9 mod 7 = 1 mod 7 = 1 infatti si ottiene:infatti si ottiene:

32 mod 7 = 4 ; 32 mod 7 = 4 ;

32322 2 mod 7 = ( 32 mod 7)mod 7 = ( 32 mod 7)22 = (4•4) mod 7 = (4•4) mod 7 = 2 = 2

32324 4 mod 7 = (32mod 7 = (3222 mod 7) mod 7)2 2 = (2•2) mod 7 = 4= (2•2) mod 7 = 4

32328 8 mod 7 = (32mod 7 = (324 4 mod 7)mod 7)2 2 = (4•4) mod 7 = 2= (4•4) mod 7 = 2

32329 9 mod 7 = (32mod 7 = (3288 •32) mod 7 = (2•4) mod 7 = 1 •32) mod 7 = (2•4) mod 7 = 1

Il metodo è ricorsivo e facilmente Il metodo è ricorsivo e facilmente implementabileimplementabile

1212

LA PROVA DEL NOVELA PROVA DEL NOVESupponiamo di aver moltiplicato due numeri Supponiamo di aver moltiplicato due numeri aa e e bb, e , e di aver ottenuto come risultato di aver ottenuto come risultato c. c.

Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversiuguali o diversi: :

se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due è erratoè errato, ,

se sono uguali non abbiamo la certezza che il se sono uguali non abbiamo la certezza che il risultato sia correttorisultato sia corretto perché potremmo aver fatto lo perché potremmo aver fatto lo stesso errore in tutti due i calcoli.stesso errore in tutti due i calcoli.

Lo stesso avviene con la prova del nove: se i Lo stesso avviene con la prova del nove: se i conti “non tornano” siamo sicuri di aver conti “non tornano” siamo sicuri di aver sbagliato la prova o la moltiplicazione, se sbagliato la prova o la moltiplicazione, se “tornano”, avremo la conferma dell’esattezza “tornano”, avremo la conferma dell’esattezza del risultato, ma mai la sicurezza del risultato, ma mai la sicurezza

1313

LA PROVA DEL NOVELA PROVA DEL NOVE

La prova del nove è molto più veloce che non La prova del nove è molto più veloce che non rifare la moltiplicazione e quindi è preferibilerifare la moltiplicazione e quindi è preferibile

La prova del nove ( o dell’ 11, o ... ) si basa sul La prova del nove ( o dell’ 11, o ... ) si basa sul fatto che se a fatto che se a ∙∙ b = c allorab = c allora

a mod p a mod p ∙∙ b mod p b mod p = = c mod pc mod p

a mod a mod pp

b mod b mod ppa mod p a mod p ∙∙ b mod b mod pp

c mod pc mod p

Es.Es. 564 564 * * 4318 = 24353524318 = 2435352

66

77

(6 7) mod 9 = 6(6 7) mod 9 = 6

c mod p =c mod p = 6 6

•

1414

Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è uguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pariuguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pari

Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve essere dispariessere dispari

Perché allora non si usa la prova del 2 ?Perché allora non si usa la prova del 2 ?

Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare per caso.per caso.

E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili (0……346) e l’eventualità che la prova torni per caso è piuttosto (0……346) e l’eventualità che la prova torni per caso è piuttosto remota.remota.

1515

Il metodoIl metodo didi Pascal Pascal per il calcolo dei resti mod 7 per il calcolo dei resti mod 7 (1650)(1650)

Se volessimo usare un altro numero al posto del 9, ad es. 7, Se volessimo usare un altro numero al posto del 9, ad es. 7, dovremmo conoscere il modo di trovare il resto mod 7dovremmo conoscere il modo di trovare il resto mod 7

Il metodo proposto da Pascal utilizza le proprietà delle classi Il metodo proposto da Pascal utilizza le proprietà delle classi restoresto

il numero 5342 è divisibile per 7 ? Il numero 5342 può essere il numero 5342 è divisibile per 7 ? Il numero 5342 può essere scritto in scritto in forma polinomiale :forma polinomiale :

5 • 105 • 1033 + + 33 • • 101022 + + 44 • • 10101 1 + + 2 • 102 • 1000

PascalPascal trascrive il polinomio in una tabella a due righetrascrive il polinomio in una tabella a due righe

5 3 4 25 3 4 2

101033 10 1022 10 1011 101000

5 3 4 2 5 3 4 2

6 2 3 16 2 3 1resti mod 7 dei termini della resti mod 7 dei termini della seconda rigaseconda riga

Moltiplichiamo 5•6+3Moltiplichiamo 5•6+3••2+42+4••3+23+2••1 = 50; 50 mod 7 = 1 e 1 = 50; 50 mod 7 = 1 e ancheanche

5342 diviso 7 dà resto 1 (principio di sostituzione)5342 diviso 7 dà resto 1 (principio di sostituzione)

1616

Il ragionamento di Pascal è applicabile a qualunque Il ragionamento di Pascal è applicabile a qualunque altro criterio di divisibilitàaltro criterio di divisibilità

Nel descrivere il metodo di Pascal abbiamo incontrato una Nel descrivere il metodo di Pascal abbiamo incontrato una sequenza di numeri (…4 6 2 3 1), data dai successivi resti sequenza di numeri (…4 6 2 3 1), data dai successivi resti mod 7 delle potenze decrescenti di 10 ….la sequenza-resti mod 7 delle potenze decrescenti di 10 ….la sequenza-resti diventa periodica e può esser utilizzata ogni volta che occorrediventa periodica e può esser utilizzata ogni volta che occorre

In conclusione per vedere se un numero In conclusione per vedere se un numero n n è divisibile per 7è divisibile per 7

-si scrivono su una riga le cifre di si scrivono su una riga le cifre di nn

--si scrivono le sequenze-resti mod 7 sulla seconda rigasi scrivono le sequenze-resti mod 7 sulla seconda riga

-si moltiplicano i termini corrispondenti della prima e seconda -si moltiplicano i termini corrispondenti della prima e seconda rigariga

-si sommano i prodotti ottenuti e si calcola il resto mod 7-si sommano i prodotti ottenuti e si calcola il resto mod 7

-se il resto mod 7 è zero, allora -se il resto mod 7 è zero, allora n è divisibile per 7n è divisibile per 7

1717

P R O B L E M IP R O B L E M I

1.1. Risolvi l’equazione 4x = 3 nell’insieme delle classi di resto Risolvi l’equazione 4x = 3 nell’insieme delle classi di resto modulo 6modulo 6

2.2. Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino?da Dino?

3.3. Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa’ Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa’ la prova del nove e verifica se ci sono errorila prova del nove e verifica se ci sono errori 324 x324 x

47 =47 =

22582258

1306 •1306 •

1531815318

4.4. Durante un esercizio Durante un esercizio sull’aritmetica delle classi resto, sull’aritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. un alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. In quale modulo è stata fatta In quale modulo è stata fatta l’addizione?l’addizione?

5.5. Quanto fa 8 : 4 nell’insieme delle Quanto fa 8 : 4 nell’insieme delle classi resto modulo 12?classi resto modulo 12?

1818

6.6.Il gioco dei fiammiferiIl gioco dei fiammiferi

Il gioco consiste nel disporre su un tavolo un Il gioco consiste nel disporre su un tavolo un numero a piacere di fiammiferi. Dopo aver numero a piacere di fiammiferi. Dopo aver sorteggiato chi deve fare la prima mossa, si dà sorteggiato chi deve fare la prima mossa, si dà inizio al gioco, che consiste nel prelevare a turo inizio al gioco, che consiste nel prelevare a turo dal tavolo un numero di fiammiferi compreso tra dal tavolo un numero di fiammiferi compreso tra uno e tre. Vince chi riesce a costringere uno e tre. Vince chi riesce a costringere l’avversario a prendere l’ultimo fiammifero. l’avversario a prendere l’ultimo fiammifero. Esiste una strategia vincente per chi fa la prima Esiste una strategia vincente per chi fa la prima mossa?mossa?e… per finiree… per finire

La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell’ 11 La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell’ 11 può essere applicata senza troppi problemipuò essere applicata senza troppi problemi

Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = 10 Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = 10 ∙ ∙ 10 = 1 mod 10 = 1 mod 11 e così via11 e così via

P R O V AP R O V A

1919

RisoluzioneRisoluzione dei dei P R O B L E M IP R O B L E M I

1.1. Risolvi l’equazione 4x = 3 nell’insieme delle classi di resto Risolvi l’equazione 4x = 3 nell’insieme delle classi di resto modulo 6modulo 6

4 4 •• x = 3 x = 3 • 4x = 3 x = 3 • 4simmetrico simmetrico

se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6 , se scorriamo la tavola moltiplicativa mod.6 ,

non riusciamo a trovare il simmetrico o inverso di 4 non riusciamo a trovare il simmetrico o inverso di 4 pertanto pertanto l’equazione non ha soluzionel’equazione non ha soluzione (equazione (equazione

impossibile in Zimpossibile in Z66))2.2. Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta Andrea, Bruno, Carlo, Dino e Enrico stanno facendo la conta e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia e la somma delle dita è 22. a chi tocca, se la conta comincia da Dino?da Dino?Dato che i ragazzi sono cinque, calcoliamo il resto Dato che i ragazzi sono cinque, calcoliamo il resto

22 mod 5 = 2 . Il secondo ragazzo dopo Dino è Andrea22 mod 5 = 2 . Il secondo ragazzo dopo Dino è Andrea

2020

3.3. Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Sulla lavagna un alunno ha eseguito una moltiplicazione: Fa’ la prova del nove e verifica se ci sono erroriFa’ la prova del nove e verifica se ci sono errori

324 x324 x

47 =47 =

22582258

1306 •1306 •

1531815318

00

00

22

00

324 mod 9 = 0 324 mod 9 = 0 47 mod 9 = 247 mod 9 = 2 0 • 2 = 00 • 2 = 0anche 15318 mod 9 anche 15318 mod 9 = 0= 0

La prova del nove dà esito positivo, maLa prova del nove dà esito positivo, ma la la moltiplicazione è moltiplicazione è ugualmenteugualmente errata. errata. Infatti 324 • Infatti 324 • 47 = 1522847 = 15228

NotaNota non sempre la prova del nove riesce a trovare errorinon sempre la prova del nove riesce a trovare errori

2121

4.4. Durante un esercizio sull’aritmetica delle classi resto, un Durante un esercizio sull’aritmetica delle classi resto, un alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. In quale modulo è stata alunno ha calcolato 5 + 4 = 2. In quale modulo è stata fatta l’addizione?fatta l’addizione?

Dato che 5 + 4 = 9 nell’ aritmetica decimale, il risultato 2 si Dato che 5 + 4 = 9 nell’ aritmetica decimale, il risultato 2 si può ottenere solo togliendo 7. può ottenere solo togliendo 7.

5 + 4 = 2 + 7 5 + 4 = 2 (mod 7) 5 + 4 = 2 + 7 5 + 4 = 2 (mod 7)

l’alunno sta usando le classi di resto modulo 7l’alunno sta usando le classi di resto modulo 7

5.5. Quanto fa 8 : 4 nell’insieme delle classi resto modulo 12?Quanto fa 8 : 4 nell’insieme delle classi resto modulo 12?

La riga del 4 nella tabella moltiplicativa delle classi resto mod. La riga del 4 nella tabella moltiplicativa delle classi resto mod. 12 è :12 è :

0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 80 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

L’8 compare ben 4 volte, in corrispondenza delle colonne 2, 5, 8 L’8 compare ben 4 volte, in corrispondenza delle colonne 2, 5, 8 e 11, che rappresentano risposte valide ala domanda postae 11, che rappresentano risposte valide ala domanda posta

In altro modo:In altro modo: trova un numero x tale che 4 trova un numero x tale che 4 ••x = 8 soluzioni: 2, 5, x = 8 soluzioni: 2, 5, 8, 118, 11

2222

Nell’equazione di ‘primo grado’ considerata, abbiamo trovato Nell’equazione di ‘primo grado’ considerata, abbiamo trovato soluzioni diverse (2, 5, 8, 11) ; soluzioni diverse (2, 5, 8, 11) ;

se gli elementi - classi di resti mod. 12 - ammettono il se gli elementi - classi di resti mod. 12 - ammettono il simmetrico rispetto la moltiplicazione, allora l’equazione ha simmetrico rispetto la moltiplicazione, allora l’equazione ha un’ unica soluzioneun’ unica soluzione

5 •5 • x = 8; x = 8 • x = 8; x = 8 • 5 5 simmetricosimmetrico ; ; x = 8x = 8 • • 55 ; x = 4 ; x = 4

(mod.12)(mod.12)

7 •7 • x = 10; x = 10 • x = 10; x = 10 • 7 7 simmetricosimmetrico ; x = 10 • ; x = 10 • 77; x =; x = 10 10

(mod.12)(mod.12)

11 •11 • x = 3; x = 3 • x = 3; x = 3 • 11 11 simmetricosimmetrico ; x = 3 • ; x = 3 • 1111; x =; x = 9 9

(mod.12)(mod.12)

6 •6 • x = 8 non ha soluzioni nell’insieme classi di resto x = 8 non ha soluzioni nell’insieme classi di resto mod.12mod.12

In generaleIn generale

Sia k è un intero Sia k è un intero primoprimo con n. Comunque si assegni con n. Comunque si assegni un intero h, l’equazione in xun intero h, l’equazione in x

K K •• x = h (mod.12)x = h (mod.12)

ammette soluzioni e queste costituiscono un classe ammette soluzioni e queste costituiscono un classe mod. nmod. n

2323

6.6. Il gioco dei fiammiferiIl gioco dei fiammiferi Si calcola il resto mod. 4 del numero dei fiammiferi (è come se Si calcola il resto mod. 4 del numero dei fiammiferi (è come se ci fossero sul tavolo solo gli ci fossero sul tavolo solo gli rr fiammiferi del resto. Alla prima fiammiferi del resto. Alla prima mossa, basta togliere da mossa, basta togliere da rr tanti fiammiferi, in modo da lasciarne tanti fiammiferi, in modo da lasciarne uno solo all’avversario.uno solo all’avversario.

Da questo momento, qualunque numero di fiammiferi prenderà Da questo momento, qualunque numero di fiammiferi prenderà B, A ne prenderà quanti mancano per arrivare a 4 (se B ne B, A ne prenderà quanti mancano per arrivare a 4 (se B ne prende 1, A ne prenderà 3; se B ne prende 2 A ne prenderà 2, prende 1, A ne prenderà 3; se B ne prende 2 A ne prenderà 2, … .… .

Essendo 4 un elemento neutro (nelle classi resto mod.4), la Essendo 4 un elemento neutro (nelle classi resto mod.4), la situazione non cambia: sul tavolo ci sarà sempre virtualmente situazione non cambia: sul tavolo ci sarà sempre virtualmente sempre un solo fiammifero (quello che rimarrà a B)sempre un solo fiammifero (quello che rimarrà a B)

Nel caso che il resto mod. 4 del numero iniziale di fiammiferi sia Nel caso che il resto mod. 4 del numero iniziale di fiammiferi sia 1, A sarebbe destinato a perdere, ma A può ancora sperare che 1, A sarebbe destinato a perdere, ma A può ancora sperare che B non conosca le regole e quindi prima o poi commetta un B non conosca le regole e quindi prima o poi commetta un errore lasciando sul tavolo un numero di fiammiferi (n mod 4) errore lasciando sul tavolo un numero di fiammiferi (n mod 4) ≠≠ 11

La stessa situazione si ha se A gioca per secondoLa stessa situazione si ha se A gioca per secondoNotaNota A fa la prima mossaA fa la prima mossa, , B è l’avversarioB è l’avversario

2424

LeLe classi resto dal punto di vista classi resto dal punto di vista

dell’algebra modernadell’algebra moderna

Prendiamo l’insieme delle classi resto modulo kk (numero numero primoprimo), dotato di due operazioni ++, • • ;

osserviamo che :

L’addizione è L’addizione è un’operazione internaun’operazione interna

È associativa È associativa

Esiste l’elemento neutro Esiste l’elemento neutro [0][0]

0gni elemento ha il suo 0gni elemento ha il suo elemento inverso (o elemento inverso (o simmetrico)simmetrico)

L’insieme è un L’insieme è un GRUPPOGRUPPO

La moltiplicazione è La moltiplicazione è un’operazione internaun’operazione interna

È associativa È associativa

Esiste l’elemento neutro Esiste l’elemento neutro [1][1]

Ogni elemento, tranne 0, Ogni elemento, tranne 0, ha il suo elemento ha il suo elemento inverso (o simmetrico)inverso (o simmetrico)

L’insieme è un L’insieme è un MONOIDE MONOIDE commutativocommutativo

e inoltre e inoltre ……

2525

… … la moltiplicazione è distributiva rispetto l’addizione cioè:

x • (y + z) = x • y + x • z

La presenza di tutte queste proprietà conferisce La presenza di tutte queste proprietà conferisce all’insieme la strutturaall’insieme la struttura didi ANELLO ANELLO

Diversa è la situazione se k non è primo k non è primo

Osserviamo che non vale più la legge di annullamento del non vale più la legge di annullamento del prodotto, per la quale un prodotto è nullo se lo è almeno uno prodotto, per la quale un prodotto è nullo se lo è almeno uno dei due termini. Ci sono cioè dei due termini. Ci sono cioè divisori dello zerodivisori dello zero

es.es. nelle classi resto mod. 6, [2] • [3] = [0] oppurenelle classi resto mod. 6, [2] • [3] = [0] oppure [0] : [2] [0] : [2] = [3] ;= [3] ;

una semplice equazione di primo grado …una semplice equazione di primo grado …

[4] [4] •• x = [2] ha x = [2] ha due due soluzioni: [2] e [5]soluzioni: [2] e [5]

[3] [3] •• x = [5] x = [5] non ha soluzioninon ha soluzioni

IMPORTANTEIMPORTANTE L’insieme ZL’insieme Zkk(+,•) con k, numero primo, (+,•) con k, numero primo, ha la stessa struttura algebrica di Q ha la stessa struttura algebrica di Q (+,•)(+,•)

2626

II

QQ

ZZ

NN

N = {0, 1,2,3,4,5, ... } insieme dei numeri naturaliZ = {0, +1, -1, +2, -2, +3 ... } insieme dei numeri interi relativiQ = {classi di frazioni equivalenti} insieme dei numeri razionali II : numeri decimali non : numeri decimali non

periodici (numeri che periodici (numeri che non possono essere non possono essere scritti come scritti come frazioni)frazioni)

R R : l’insieme dei : l’insieme dei reali si divide in reali si divide in due sottinsiemi due sottinsiemi disgiunti, quello disgiunti, quello dei razionali dei razionali QQe quello degli e quello degli irrazionali irrazionali II

RR == QQ ++ II

2727

++ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]]

[[00]] [0] [1] [2] [3] [4]

[[11]] [1] [2] [3] [4] [0]

[[22]] [2] [3] [4] [0] [1]

[[33]] [3] [4] [0] [1] [2]

[[44]] [4] [0] [1] [2] [3]


Tavola della Tavola della

addizioneaddizione

2828

∙∙ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]]

[[00]] [0] [0] [0] [0] [0]

[[11]] [0] [1] [2] [3] [4]

[[22]] [0] [2] [4] [1] [3]

[[33]] [0] [3] [1] [4] [2]

[[44]] [0] [4] [3] [2] [1]


moltiplicazionemoltiplicazione


2929

++ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]] [[55]]

[[00]] [0] [1] [2 [3] [4] [5]

[[11]] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[[22]] [2] [3] [4] [5] [0] [1]

[[33]] [3] [4] [5] [0] [1] [2]

[[44]] [4] [5] [0] [1] [2] [3]

[[55]] [5] [0] [1] [2] [3] [4]



addizioneaddizione

3030

∙∙ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]] [[55]]

[[00]] [0] [0] [0] [0] [0] [0]

[[11]] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

[[22]] [0] [2] [4] [0] [2] [4]

[[33]] [0] [3] [0] [3] [0] [3]

[[44]] [0] [4] [2] [0] [4] [2]

[[55]] [0] [5] [4] [3] [2] [1]



moltiplicazionemoltiplicazione

3131

++ 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111

00 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111

11 1 1 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 00

22 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 00 11

33 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 00 11 22

44 44 55 66 77 88 99 1010 1111 00 11 22 33

55 55 66 77 88 99 1010 1111 00 11 22 33 44

66 66 77 88 99 1010 1111 00 11 22 33 44 55

77 77 88 99 1010 1111 00 11 22 33 44 55 66

88 88 99 1010 1111 00 11 22 33 44 55 66 77

99 99 1010 1111 00 11 22 33 44 55 66 77 88

1010 1010 1111 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99

1111 1111 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010


Tavola Tavola della della addizioneaddizione

3232

•• 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

11 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111

22 00 22 44 66 88 1010 00 22 44 66 88 1010

33 00 33 66 99 00 33 66 1111 00 33 66 99

44 00 44 88 00 44 88 00 44 88 00 44 88

55 00 55 1010 33 88 11 66 1111 44 99 22 77

66 00 66 00 66 00 66 00 66 00 66 00 66

77 00 77 22 99 44 1111 66 11 88 33 1111 55

88 00 88 44 00 88 44 00 88 44 00 88 44

99 00 99 66 33 00 99 66 33 00 99 66 33

1010 00 1010 88 66 44 22 00 1010 88 66 44 22

1111 00 1111 1010 99 88 77 66 55 44 33 22 11


Tavola Tavola della della moltiplicazionemoltiplicazione

3333

Maraschini – PalmaMaraschini – Palma

multi multi FFOORRMMATATmoduli per la formazione matematica nella Scuola Superiore

e altro … … …e altro … … …

tratte liberamente da…..tratte liberamente da…..

1 Università della Liberetà 2007-08 m.bassi alcune considerazioni.

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