1 NOZIONI GENERALI · 2018. 10. 2. · APPUNTI DI RETI ELETTRICHE 2009-2010 4 Q1 * Q2 F = e * -----...

APPUNTI DI RETI ELETTRICHE 2009-2010

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1 NOZIONI GENERALI .............................................................................................................3

1.1 INTRODUZIONE......................................................................................................................3 1.1.1 La struttura della materia ............................................................................................3 1.1.2 Ioni ...............................................................................................................................3 1.1.3 Cariche elettriche.........................................................................................................3

1.2 GRANDEZZE ELETTRICHE FONDAMENTALI ............................................................................4 1.2.1 Corrente Elettrica ........................................................................................................4 1.2.2 Potenziale elettrico ......................................................................................................4

1.2.2.1 Esempio....................................................................................................................7 1.3 GLI ELEMENTI DI UN CIRCUITO ELETTRICO............................................................................7

1.3.1 La resistenza elettrica ..................................................................................................8 1.3.1.1 Esempio....................................................................................................................9

1.3.2 Coefficente di temperatura alfa ...................................................................................9 1.3.2.1 Esempio....................................................................................................................9

1.4 LEGGE DI OHM....................................................................................................................10 1.4.1.1 Esempio..................................................................................................................11

1.4.2 Resistenza e conduttanza ...........................................................................................12 1.4.2.1 Esempio..................................................................................................................12

1.4.3 Legge di Ohm su un circuito chiuso...........................................................................13 1.4.4 Elementi resistivi in serie, semplificazione ................................................................13

1.4.4.1 Esempio numerico..................................................................................................14 1.4.4.2 Esempio..................................................................................................................14

1.4.5 Elementi resistivi in parallelo, semplificazione .........................................................14 1.4.5.1 Esempio..................................................................................................................15

1.4.6 Elementi resistivi in serie e parallelo, semplificazione..............................................16 1.4.7 Collegamenti serie e parallelo di generatori.............................................................17 1.4.8 Generatori in serie .....................................................................................................17 1.4.9 Generatori in parallelo ..............................................................................................17

2 STUDIO DELLE RETI ELETTRICHE ...............................................................................18

2.1 TOPOLOGIA DELLE RETI ELETTRICHE ..................................................................................18 2.1.1 Reti elettriche, nodi e maglie .....................................................................................18

2.2 EQUAZIONE AI NODI (1 LEGGE DI KIRCHHOFF)....................................................................19 2.3 EQUAZIONE DI MAGLIA (2 LEGGE DI KIRCHHOFF) ...............................................................20

2.3.1 Risoluzione di una rete applicando il metodo Kirchhoff ...........................................21 2.3.1.1 Esempio..................................................................................................................22

2.4 PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI...................................................................24 2.4.1 Precisazioni................................................................................................................24 2.4.2 Esempio......................................................................................................................24

2.5 TEOREMA DI THEVENIN ......................................................................................................26 2.5.1 Precisazioni................................................................................................................26 2.5.2 Esempio......................................................................................................................26

2.6 TEOREMA DI NORTON .........................................................................................................28 2.6.1 Precisazioni................................................................................................................28 2.6.2 Esempio......................................................................................................................28

3 ESERCIZI ................................................................................................................................31

3.1 ESERCIZI SULLE LEGGI DI KIRCHHOFF.................................................................................31 3.1.1 Utilizzando il metodo delle leggi di Kirchhoff determinare le correnti in tutti i rami della seguente rete: ....................................................................................................................31


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3.1.2 Utilizzando il metodo delle leggi di Kirchhoff determinare le correnti in tutti i rami della seguente rete e le potenze dissipate dai componenti: .......................................................31

3.2 ESERCIZI SUL PRINCIPIO DELLA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI ......................................32 3.2.1 Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si determinino le correnti nei rami della rete di figura.............................................................................................................32 3.2.2 Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si determinino le correnti nei rami della rete di figura.............................................................................................................32

3.3 ESERCIZI SUL TEOREMA DI THEVENIN.................................................................................33 3.3.1 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la I6 nella rete di figura ................33 3.3.2 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la I2 nella rete di figura ................33 3.3.3 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la tensione VAB nella rete di figura 33 3.3.4 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la I6 nella rete di figura ................34 3.3.5 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la I6 nella rete di figura ................34 3.3.6 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la I5 nella rete di figura ................34

3.4 ESERCIZI SUL TEOREMA DI NORTON....................................................................................35 3.4.1 Utilizzando il teorema di Norton si determini la I5 nella rete di figura....................35 3.4.2 Utilizzando il teorema di Norton si determini la I2 nella rete di figura....................35 3.4.3 Utilizzando il teorema di Norton si determini la VAB nella rete di figura ................35

4 APPENDICI .............................................................................................................................37

4.1 PARTITORE DI TENSIONE .....................................................................................................37 4.2 PARTITORE DI CORRENTE ....................................................................................................37 4.3 SERIE E PARALLELO DI CAPACITÀ........................................................................................38

4.3.1 Serie ...........................................................................................................................38 4.3.2 Parallelo.....................................................................................................................38

4.4 SERIE E PARALLELO DI INDUTTANZE ...................................................................................39 4.4.1 Serie ...........................................................................................................................39 4.4.2 Parallelo.....................................................................................................................39


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1 Nozioni generali

1.1 Introduzione

1.1.1 La struttura della materia Per studiare l'elettrotecnica e quindi la corrente elettrica, è necessario comprendere come questa nasce. La corrente (indicata con la lettera I), non si vede ad occhio nudo pertanto si deve capire subito che cosa effettivamente avviene nei corpi attraversati dalla corrente. I materiali (nel nostro caso i metalli) sono composti di elementi base che si chiamano atomi, gli atomi sono a loro volta composti da altre parti più complesse quali gli elettroni, i protoni, ed i neutroni. Questi tre elementi stanno all'interno dell'atomo e più precisamente protoni e neutroni compongono il nucleo, mentre gli elettroni orbitano attorno al nucleo a distanze diverse dal centro. Per ogni tipo di materiale, gli atomi hanno un numero diverso di elettroni, ma essi devono essere neutri, cioè avare anche lo stesso numero di protoni. Gli elettroni all' interno di un atomo ruotano attorno al nucleo, ma a distanze diverse dal centro (come i pianeti di un sistema solare), essi si dispongono a coppie di 2 su un orbita molto vicina, e mano a mano che il numero aumenta, aumenta il numero di orbite che si dispongono a distanze sempre maggiori dal nucleo. Questi elementi posseggono una carica elettrica, e ogni elettrone o protone costituisce una carcia fondamentale. Gli elettroni hanno carica negativa, i protoni hanno carica positiva.

1.1.2 Ioni

Gli elettroni che si trovano lontano dal nucleo risentono meno dell'attrazione verso lo stesso rispetto a quelli più vicini. Se forniamo energia ad un atomo (ad esempio scaldandolo), scopriamo che alcuni elettroni (quelli più distanti dal nucleo), si distaccano dall'atomo, il quale resterà con un numero maggiore di protoni. Gli elettroni liberi (quelli distaccatisi dall'atomo), vanno a completare le orbite di altri atomi facendo si che quest' ultimo abbia una prevalenza di elettroni nei confronti dei protoni. Gli atomi che hanno un numero diverso di elettroni e protoni si chiamano ioni, più precisamente se è maggiore il numero di elettroni avremo allora uno ione negativo (maggiore carica negativa), se è maggiore il numero di protoni avremo uno ione positivo (maggiore carica positiva).

1.1.3 Cariche elettriche

Le cariche elettriche sono corpi costituiti da atomi che hanno ceduto o acquistato un certo numero di elettroni. Come già accennato in precedenza, gli atomi in natura sono neutri cioè hanno lo stesso numero di elettroni e protoni, ne consegue che se un elemento è carico elettricamente, esiste nello spazio un secondo elemento che possiede la stessa carica ma di segno opposto. La carica di un elemento è data dalla somma algebrica delle singole cariche fondamentali e costituisce la quantità di carica (simbolo Q). Come tutte le grandezze fisiche, la quantità di carica ha un unità di misura che è il Coulomb (leggi culomb, simbolo C) che vale circa 6,24 * 10E18 elettroni, quindi la carica di un elettrone è pari a 1,602 * 10E-19 C. Il Coulomb rappresenta la quantità di carica degli elettroni, ed essendo questi a carica negativa, anch'egli è negativo. Un valore di Coulomb positivo indica quindi una carica elettrica di protoni. Due elementi con carica elettrica opposta tendono a riequilibrarsi, cioè a ristabilire la neutralità tra elettroni e protoni, quindi possiamo certamente dire che due cariche di segno opposto si attraggono, mentre due cariche di segno uguale si respingono. La forza di attrazione o repulsione tra due cariche è direttamente proporzionale al prodotto delle quantita di carica, fratto la distanza al quadrato delle cariche e dipende dalla natura del mezzo.


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Q1 * Q2 F = e * --------- d² F = forza in newton e = costante dielettrica del mezzo (per il vuoto vale 8,854 * 10E-12 F/m) Q1, Q2 = cariche elettriche in coulomb d = distanza in metri

1.2 Grandezze elettriche fondamentali

1.2.1 Corrente Elettrica

Le cariche elettriche grazie alla forza di attrazione e repulsione hanno la capacità di muoversi nei corpi, ed in special modo nei metalli (conduttori), in realtà non sono gli elettroni che si spostano per tutto il tragitto, essi si urtano l'uno con l'altro scambiandosi l'energia senza doversi spostare eccessivamente. Per chiarire meglio le idee, si immagini una fila di bocce allineate (che rappresentano gli elettroni), colpendo la prima boccia si nota istantaneamente uno spostamento della boccia al fondo della fila, questo perchè le bocce di mezzo hanno solo ceduto l'energia del colpo senza immagazzinarne. Lo spostamento di cariche che avviene in un determinato lasso di tempo, viene denominato circolazione di corrente elettrica (simbolo I), che si misura in Ampere (pronuncia amper, simbolo A). Possiamo quindi scrivere che:

Q I = --- t

I = corrente elettrica in ampere Q = quantità di carica in coulomb t = tempo in secondi La corrente elettrica non è altro che un flusso di cariche che tendono a ristabilire la neutralità tra due corpi elettricamente carichi. Se i due corpi, mano a mano che la corrente circola, diventano neutri, immediatamente la corrente cessa (in quanto non c' è più una forza di attrazione tra i due), ma se i due corpi continuano ad avere una carica elettrica diversa, allora avremo sempre la circolazione di corrente. Ovviamente perchè la corrente possa circolare, si devono utilizzare dei materiali che abbiano una buona quantità di elettroni liberi, questi materiali sono denominati conduttori, in quanto al loro interno la corrente riesce a circolare molto bene. Da quanto si è detto fino ad ora, si comprende molto chiaramente che la corrente elettrica si sposta da una zona dove gli elettroni sono in eccesso verso una zona (o corpo) in cui si trovano più cariche positive (protoni), possiamo allora sostenere che il verso di spostamento della corrente è dal polo negativo verso il positivo. Siccome i fenomeni elettrici sono stati studiati fin dagli antichi Greci, i quali credevano che le cariche elettriche si spostassero dal polo positivo a quello negativo, per convenzione ancora oggi esiste questo senso di percorrenza convenzionale e quando si parla di corrente elettrica, se non diversamente specificato si intende il senso dal positivo verso il negativo.

1.2.2 Potenziale elettrico

Quando in un circuito elettrico c' è circolazione di corrente, significa che ai suoi capi ci sono dei corpi con carica elettrica diversa. Difatti solo quando due corpi hanno carica elettrica diversa si viene a creare una forza di attrazione che da poi luogo alla corrente elettrica. Però se si pensa che in natura i corpi hanno una carica elettrica nulla (la somma algebrica delle cariche elementari che costituiscono il corpo è uguale a 0), si capisce che i corpi elettricamente carichi sono stati oggetto di


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una modifica tale da produrre una cessione o un acquisto di elettroni. L'energia potenziale utile a spostare una carica, è direttamente proporzionale al prodotto della quantità di carica da spostare per il potenziale elettrico. Allo scopo di chiarire le idee, si faccia riferimento ad una pompa che deve spostare 1 litro di acqua al secondo, se l'acqua da spostare deve salire di 1 metro, l'energia potenziale utile avrà un certo valore, ma se l'acqua deve salire di 3 metri, il valore di energia potenziale è tre volte più elevato. Possiamo quindi affermare che l 'energia potenziale (simbolo W), è la quantità di energia utile per muovere una carica Q al potenziale V.

W = Q * V W = energia potenziale in joule Q = quantità di carica elettrica in coulomb V = potenziale elettrico in volt Il potenziale elettrico è quindi il rapporto tra l'energia potenziale accumulata in una carica fratto la carica stessa.

W V = --- Q

W = energia potenziale in joule Q = quantità di carica elettrica in coulomb V = potenziale elettrico in volt Due corpi elettricamente carichi, possono avere quindi un potenziale elettrico diverso (in quanto l' energia accumulata è diversa, o è diversa la quantità di carica), se indichiamo con V1 il potenziale del corpo uno, e con V2 il potenziale del corpo due, la differenza tra V1 e V2 (V1 - V2) è denominata differenza di potenziale (d.d.p), i corpi che non posseggono questa energia potenziale sono a potenziale zero. Come punto di riferimento, si è stabilito che il potenziale della terra è zero (valore convenzionale), e quindi gli altri valori vanno riferiti secondo il valore di terra.

Il potenziale elettrico, è stato studiato da Alessandro Volta, dal quale si è ricavata l'unità di misura Volt (simbolo V). Sovente il potenziale elettrico viene denominato tensione elettrica. Per capire meglio il potenziale elettrico si faccia riferimento all'esempio di due vasche d'acqua poste alla stessa altezza ma con livelli di acqua diversi, se collegiamo mediante un tubo le due vasche, l'acqua contenuta nella vasca col livello più alto mediante il tubo andrà a riempire la seconda vasca fino a quando i due livelli non saranno uguali. Se associamo questo esempio ai circuiti elettrici, la differenza di livello è come la differenza di potenziale, mentre la circolazione dell'acqua è come la circolazione di corrente in quanto sia il flusso d'acqua, sia la corrente elettrica tendono rispettivamente ad azzerare la differenza di livello e la differenza di potenziale.


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Da quanto si è detto sopra, si comprende che se due corpi elettricamente carichi con tensione diversa vengono collegati assieme mediante un conduttore, tendono a scaricarsi per azzerare la differenza di potenziale tra i due. È evidente che per fare funzionare un circuito elettrico per tempo indeterminato (ad esempio la lampadina di casa propria), non sono sufficenti due corpi elettricamente carichi con potenziale elettrico diverso, ma è necessario che la differenza di potenziale tra i poli del circuito sia continuamente mantenuta. Per mantenere una d.d.p. costante tra due poli di un circuito è necessario utilizzare un generatore di tensione, il quale ha la capacità di mantenere (entro certi limiti di funzionamento) una d.d.p. sempre costante ai capi. Facendo riferimento alle due vasche di acqua, il generatore di tensione è come una pompa che ha la capacità di mantenere sempre lo stesso dislivello (vedi fig. sottostante). Per completare, possiamo dire che i generatori di tensione sono dispositivi in grado di mantenere una tensione costante ai capi (poli). Una particolare attenzione va posta al fatto che in presenza di un generatore di tensione, il circuito elettrico (come quello idralico, vedi esempi), deve avere almeno due conduttori (andata e ritorno) questo perchè gli elettroni che vengono a circolare nel circuito non si devono accumulare, ma devono mediante un secondo conduttore ritornare al punto di partenza, difatti per ogni elettrone che parte da un polo del circuito, ne arriva un altro sul polo opposto. Se ne deduce allora che un circuito elettrico per funzionare deve avere la stessa circolazione di corrente sui conduttori di andata e di ritorno.

Quando si parla di circuiti elettrici, è necessario rappresentare in modo schematico le varie componenti dello stesso, la rappresentazione schematica dei generatori si effettua con i simboli delle figure sottostanti.

= Generatore di tensione

= Accumulatore (batteria)


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= Generatore di corrente

1.2.2.1 Esempio

Due corpi hanno rispetto a terra un potenziale di 3 V, e di 6 V. Quanto vale la differenza di potenziale tra i due corpi ? In questo caso la differenza di potenziale tra i due corpi è data dalla differenza tra il valore maggiore e il valore minore in quanto tutti e due sono positivi.

d.d.p = 6 - 3 = 3 V

1.3 Gli elementi di un circuito elettrico Nel capitolo precedente si è visto come nasce la corrente, come si muove e da cosai viene prodotta. Ma a cosa serve la corrente elettrica ? L'utilizzo della corrente elettrica mediante le apparecchiature denominate "utilizzatori" o carichi (che trasformano l'energia elettrica in energia termica, meccanica, chimica, ecc...), serve a fare svariate lavorazioni, vedi ad esempio tutte le applicazioni casalinghe. Perchè un circuito elettrico possa funzionare, abbiamo bisogno di almeno tre elementi fondamentali. I generatori: sono gli elementi che producono l'energia elettrica e si dividono in generatori di tensione e generatori di corrente. Nei circuiti elettrici di normale impiego si utilizzano generatori di tensione. I conduttori: servono a trasportare la corrente elettrica, difatti collegano i generatori agli utilizzatori i quali non sempre si trovano nello stesso posto. Gli utilizzatori (o carico): servono ad utilizzare l'energia elettrica trasformandola in altro tipo di energia.

Non sono questi gli unici elementi che costituiscono un circuito elettrico, altri dispositivi verranno sicuramente analizzati in questo corso. Una considerazione molto importate va fatta per i vari tipi di corrente elettrica che si possono trovare. I due tipi fondamentali sono la corrente continua "c.c." e la corrente alternata "c.a.". Nei circuiti ad uso domestico ed industriale si utilizza la corrente alternata, si utilizza la corrente continua nei circuiti elettronici di bassa potenza, e in applicazioni per la trazione elettrica (tram, treni, ecc...). La differenza tra c.c. e c.a. verra studiata in seguito, i circuiti che analizzeremo ora sono in corrente continua.


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1.3.1 La resistenza elettrica

Quando all'interno di un conduttore elettrico circola corrente, gli elettroni vengono ostacolati e deviati dal loro percorso originario, perchè circolando vanno a sbattere contro altri elettroni. Il fenomeno si chiama resistenza elettrica e varia da conduttore a conduttore, difatti vi sono conduttori che hanno una maggiore resistenza elettrica, (gli elettroni sono molto ostacolati nel loro percorso) e conduttori con minore resistenza elettrica, (gli elettroni riescono a scorrere abbastanza facilmente). La presenza della resistenza elettrica nei conduttori produce una riduzione della corrente che riesce a circolare e una perdita di energia. Da questo si comprende che la resistenza elettrica, aumenta con l'aumentare della lunghezza dei conduttori, (in quando aumentano gli urti che ostacolano il passaggio di corrente), ma diminuisce con l'aumentare della sezione (area) del conduttore e dipende dal tipo di conduttore. Se indichiamo con la lettera R la resistenza complessiva di un conduttore, (con la lettera R si indica una resistenza generica), la formula per determinarne il valore sarà:

l R = r --- s

R = resistenza elettrica in ohm l = lunghezza del conduttore in m s = sezione del conduttore in mm² r = resistività del conduttore La resitenza elettrica è stata studiata da Ohm, e quindi l'unità di misura è proprio l'ohm (simbolo W). Qui di sotto sono riportati i valori di resistività di alcuni materiali conduttori.

Valori di resistività dei principali conduttori

Materiali conduttori

Resistività (ohm mm²/m a 0 °C)(r)

Coefficente di temperatura alfa (a)

Argento 0,015 0,0038

Rame elettrolitico 0,016 0,0039

Oro 0,023 0,0036

Alluminio 0,0265 0,004

Tungsteno 0,050 0,0042

Bronzo fosforoso 0,07 0,0039

Platino 0,1 0,0036

Ferro dolce 0,13 0,0048

Piombo 0,20 0,0042

Come si vede dalla tabella, i conduttori migliori, (quellii che hanno una resistività minore), sono l'oro, il rame e l'argento. È evidente che la scelta del conduttore andrà fatta in base al costo del metallo ed alle applicazioni che si devono fare.


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1.3.1.1 Esempio

1) determinare la resistenza di un conduttore in rame lungo 56 metri e di sezione 1 mm².

Come primo passagio si ricava dalle tavelle la resistività del conduttore, che vale 0,016 Ohm • mm²/m. Quindi si applica la formula:

l R = r --- = 0,016 • (56/1) = 0,896 W s

2) Determinare la resistenza di un conduttore in alluminio lungo 580 m e avente sezione di 0,8 mm².

dalla tabella si ricava r = 0,0265 ohm • mm²/m.

l R = r --- = 0,0265 • (580/0,8) = 19,2 W s

3) Determinare la resistenza di un conduttore in rame lungo 1220 m, di sezione 2,5 mm². 4) Determinare la sezione di un conduttore in rame avente una resistenza di 13,6 ohm e lungo 850 m.

1.3.2 Coefficente di temperatura alfa

Parlare solo di resistenza elettrica non è sufficiente in quanto questa varia col variare della temperatura. L'aumento di temperatura in un corpo produce una maggiore agitazione di elettroni, di conseguenza aumentano gli urti che producono le perdite di energia (da qui il concetto di superconduttività, cioè quel fenomeno per il quale la temperatura estremamente bassa tiene fermi gli elettroni e la corrente circola facilmente senza perdite di energia). L'aumento di resistenza elettrica con l'aumento di temperatura ha andamento lineare, ed è calcolabile nel seguente modo:

Rt = R0 (1 + a0 * t) Rt = Resistenza elettrica alla nuova temperatura. R0 = Resistenza elettrica a 0 °C (vedi tabella). a0 = coefficente di temperatura. t = nuovo valore di temperatura per cui calcolare la resistenza. Determiare il vero valore di resistenza di un corpo conduttore (o altro) è indispensabile, in quanto se questo a causa delle perdite si scalda, aumenta anche la sua temperatura e quindi le perdite.

1.3.2.1 Esempio

1) determinare la resistenza di un conduttore in rame a 25 °C se a 0 °C la resistenza vale 15 ohm.

Prima di tutto si ricava dalla tabella il valore di a0 che vale: 0,0039 quindi si applica la formula:

Rt = R0 (1 + a0 * t) = 15 • (1 + 0,0039 • 25) = 16,49 W 2) Un conduttore di alluminio alla temperatura di 20 °C presenta una resistenza di 9 ohm. Determinare la resistenza del conduttore quando si trova ad una temperatura di 85 °C.


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Dalla tabella si ricava a0 = 0,004 Si determina poi lo sbalzo di temperatura (t) dato da:

t = (t2 - t1) = 85 - 20 = 65 °C

e quindi:

Rt = R0 (1 + a0 * t) = 9 • (1 + 0.004 • 65) = 11.34 W 3) Dell'esercizio precedente determinare il valore di resistenza per una temperatura di -15 °C. 4) Determinare la resistenza di un conduttore in argento lungo 870 m, di sezione 1,1 mm², alla temperatura di 80 °C.

1.4 Legge di Ohm Fino a questo punto si è compreso che in un circuito elettrico si ha circolazione di corrente provocata da una d.d.p. presente ai capi del circuito, si é poi visto che la corrente viene ostacolata dalla resistenza elettrica. È abbastanza evidente che tra queste tre grandezze (V, I, R) vi è un legame. Per dimostrare la validita di una qualsiasi relazione che leghi le grandezze tra di loro, è necessario che questa vada bene in qualsiasi condizione, luogo, momento, ecc... Per arrivare ad una espressione tale da relazionare le tre grandezze, si può fare uso di un circuito sperimentale come quello di figura.

L'esperimento consiste nell'effettuare quattro prove.

Prima prova: spostare il commutatore T nella posizione 0 (nessun generatore collegato). Rilevando le indicazioni dei due strumenti di misura (V e A) si nota che non indicano nulla, quindi in questo caso non vi è circolazione di corrente.

Seconda prova: si porta il commutatore T nella posizione 1 (collegando al circuito il generatore di tensione E1 da 10V), gli strumenti indicano dei valori di tensione e di corrente, e cioè 10 V il voltmetro (V) e 0,5 A l'amperometro (A).

Terza prova: Col commutatore nella posizione 2 (generatore E2 = 20 V), gli strumenti indicano: 20 V e 1 A.

Quarta prova: Posizionando il commutarore su 4 (generatore E3 = 40 V), gli strumenti indicano: 40 V per il voltmetro e 2 A per l'amperometro.


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Analizzando i dati ottenuti, si scopre che il rapporto tensione/corrente dei valori misurati nel circuito di prova danno un numero costante.

V1 V2 V3 ---- = ---- = ---- = costante I1 I2 I3

Da quanto si è provato, si conclude che in un circuito elettrico, se si aumenta o diminuisce la tensione a parità di resistenza, la variazione di corrente è direttamente proporzionale. Possiamo dunque scrivere:

V R = --- I

R = resistenza elettrica in ohm V = tensione in volt I = Corrente elettrica in ampere Questa formula è denominata legge di Ohm, e permette di risalire ad una grandezza elettrica di un circuito conoscendone almeno due, difatti applicando le regole della matematica, possiamo scrivere:

V = R * I V I = --- R

Anche per la resistenza esiste una rappresentazione schematica. In figura sono rappresentati i simboli più usati.

simbolo preferibile

simbolo generico (più usato per c.a.)

1.4.1.1 Esempio

1) Un circuito alimentato da un generatore in corrente continua con tensione di 50 V, presenta una resistenza di 12 W. Determinare la corrente che circola nel circuito.

Soluzione: Si applica la legge di ohm, e quindi:

V I = --- = 50/12 = 4,1667 A R

2) Un generatore eroga una tensione di 75 V ed una corrente di 2,5 A. Determinare la resistenza del circuito. Soluzione:

V R = --- = 75/2,5 = 30 W I


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3) Determinare la tensione ai capi di un circuto nel quale circola una corrente di 2 A se la resistenza vale 18 W. 4) In un circuito con resistenza di 30 W circolano 2 A. Determinare la corrente nel circuito quando la resistenza vale 40 W.

1.4.2 Resistenza e conduttanza

Fino ad ora abbiamo visto la resistenza come l'elemento che limita la corrente, ma dobbiamo chiarire quali sono gli elementi che devono avere una certa resistenza e quali sono quelli che non devono averne. Quando abbiamo analizzato gli elementi che costituiscono un circuito elettrico (Lezione 5), abbiamo parlato di: generatori, conduttori, e carico. Perché in un circutio elettrico tutto funzioni a dovere, i generatori ed i conduttori non devono avere resistenza al loro intero, solo il carico deve avere resistenza (in realtà nei circuiti a c.c. il carico è costituito da una resistenza che in base alla forma e alla costituzione produce diversi lavori). È abbastanza noto che però anche conduttori e generatori hanno una loro resistenza (molto piccola), che molte volte è di valore trascurabile, ma che comunque incide sulle caratteristiche elettriche del circuito. La resistenza di un materiale (conduttore, ecc...), è facilmente misurabile mediante varie apparecchiature, esistono campioni di resistenza realizzate mediante particolari materiali ed attenzioni per la taratura di questi strumenti. Quando si studia un circuito non sempre si valuta la resistenza, molte volte è preferibile conoscere il valore della conduttanza (simbolo G) cioè valutare che grado di facilità ha la corrente ad attraversare un determinato corpo. La conduttanza è quindi l'inverso della resistenza, è stata studiata dal Tedesco Siemens dal quale a preso l'unità di misura (simbolo S).

1 G = --- R

G = conduttanza in siemens R = resitenza in ohm Dovendo calcolare la corrente che circola in un circuito dove si conosce il valore di conduttanza, si può applicare la legge di Ohm tenendo presente dell'inverso della resistenza e quindi:

I = V * G I G = --- V

Dalla quale si ricavano le formule inverse. I G = --- V

1.4.2.1 Esempio

1) Un circuito alimentato da un generatore in corrente continua con tensione di 50 V, presenta una conduttanza di 0,085 S. Determinare la corrente che circola nel circuito.

Soluzione: Si applica la legge di Ohm tenendo presente che abbiamo una conduttanza. e quindi:

I = V * G = 50 • 0,085 = 4,25 A 2) Un generatore eroga una tensione di 75 V ed una corrente di 2,5 A. Determinare la conduttanza del circuito. Soluzione:


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I G = --- = 2,5/75 = 0,033 S V

3) Determinare la tensione ai capi di un circuto nel quale circola una corrente di 2 A se la conduttanza vale 0,055 S. 4) In un circuito con conduttanza di 0,033 S circolano 2 Ampere. Determinare la corrente nel circuito quando la conduttanza vale 0,025 S.

1.4.3 Legge di Ohm su un circuito chiuso

Per circuito chiuso si intende un circuito elettrico dove i poli (+/-) di un generatore mediante i conduttori e gli utilizzatori sono collegati tra di loro. La figura in alto rappresenta un circuito chiuso, si possono notare un generatore di tensione (E1), due resistenze (R1, R2) ed i conduttori, la figura schematizzata è chiusa (da qui il nome di circuito chiuso). In questi circuiti la corrente che circola è dovuta dalla tensione prodotta dal generatore, ed è limitata dalle resistenze presenti. La tensione prodotta dal generatore in questo caso prende il nome di Forza elettro motrice (f.e.m.), mentre la tensione che si trova sulle resistenze (V = R•I) viene denominata caduta di tensione. La somma delle cadute di tensione riscontrate in un circuito chiuso è uguale alla f.e.m. del generatore.

1.4.4 Elementi resistivi in serie, semplificazione

Quando in un circuito vi sono più elementi (resistenze) in serie tra loro, (per serie si intente il collegamento realizzato come in figura), può essere necessario semplificarlo per facilitare le operazioni di calcolo. Per semplificazione, si intente l'operazione che permette di sostituire le varie resistenze in serie tra loro con una resistenza di valore tale da non alterare il funzionamento del circuito. Nel caso di resistenze in serie, l'operazione da eseguire per semplificare il circuito tra due punti (A e B), è sommare tra di loro i valori delle singole resistenze in modo da ottenerne una di valore maggiore ed equivalente.

La resistenza equivalente ottenuta va a sostituire tra i punti A, B le resistenze in serie. Per che la resistenza sia del tutto equivalente al collegamento precedente si devono soddisfare due condizioni:


14

la corrente che circola al suo interno deve avere lo stesso valore della corrente che circola all'interno delle resistenze in serie (la corrente circola nei vari elementi in serie senza alterarsi, cioè il valore è costante), la tensione tra i punti A e B della resistenza equivalente deve avere lo stesso valore di quella tra i punti A e B della serie (su ogni resistenza in serie la tensione ai suoi capi varia con il variare del valore resistivo secondo la legge di Ohm).

1.4.4.1 Esempio numerico

Date tre resistenze in serie tra loro di valore: R1 = 25 W, R2 = 12 W, R3 = 7 W. Determinare il valore della resistenza equivalente.

La resistenza equivalente si calcola nel seguente modo:

Req = R1 + R2 + R3 = 25 + 12 + 7 = 44 W

1.4.4.2 Esempio

1) Tre resistenze di valore uguale R = 6 W sono collegate in serie. Determinare il valore della resistenza equivalente.

2) In un circuito sono inserite cinque resistenze in serie di valore R1 = 4 W, R2 = 12 W, R3 = 9 W, R4 = 25 W, R5 = 11 W. Determinare il valore della resistenza equivalente.

3) Sapendo che la resistenza equivalente di un circuito vale 63 W, che il circuito è composto di tre resistenze in serie, che due sono uguali tra di loro, e che una vale 23 W, determinare il valore delle due resistenze uquali.

1.4.5 Elementi resistivi in parallelo, semplificazione

In un circuito possiamo trovare non solo resistenze in serie, ma anche resistenze in parallelo (per parallelo si intende il collegamento che mette in comune tutti i poli di entrata e tutti i poli di uscita di più elementi. Vedi figura in alto). Anche in questo caso è necessario semplificare il circuito allo scopo di facilitare le varie operazioni di calcolo. Il circuito risultante è composto da una sola resistenza di valore equivalente a quelle in parallelo.

Nel caso in cui le resistenze in parallelo siano solo due, esiste una formula di calcolo abbastanza semplice, mentre per il parallelo di più di due resistenze la procedura è lievemente più lunga. Al


15

contrario delle resistenze in serie, il valore equivalente di un gruppo di resistenze in parallelo è sempre più basso di quello più piccolo delle singole resistenze. In questo caso la condizione da soddisfare perchè la nuova resistenza sia del tutto compatibile, sono le seguenti: la tensione tra i punti A e B deve avere lo stesso valore delle tensioni ai capi di ciascuna resistenza (difatti quando più elementi sono collegati in parallelo tra di loro la tensione ai capi è costante), la corrente circolante tra i nodi A e B deve essere la somma delle correnti circolanti nelle precedenti resistenze (quando più elementi sono collegati in parallelo la corrente che li attraversa ha valore diverso secondo il tipo e valore dell'elemento). Semplificazione di due resistenze in parallelo

R1 · R2 Req = --------- R1 + R2

Nel caso in cui il parallelo sia composto da più di due resistenze, la formula diventa: 1 Req = ------------------------------- 1 1 1 1 ---- + ---- + ---- + ... + ---- R1 R2 R3 Rn

Esempio numerico. Tre resistenze di valore R1 = 21 W, R2 = 12 W, R3 = 16 W sono collegate in parallelo. Determinare il valore della resistenza equivalente. Si applica la formula Req = 1/((1/R1)+(1/R2)+(1/R3)). Sostituendo:

Req = 1/((1/21)+(1/12)+(1/16)) = 1/(0.0476 + 0.0833 + 0.0625) = 1/0.1934 = 5.197 W

Come si vede il risultato da un valore inferiore a quello che era il valore minore (12 W) delle tre resistenze.

1.4.5.1 Esempio

1) Tre resistenze di valore uguale R = 6 W sono collegate in parallelo. Determinare il valore della resistenza equivalente.

2) In un circuito sono inserite cinque resistenze in parallelo di valore R1 = 4 W, R2 = 12 W, R3 = 9 W, R4 = 25 W, R5 = 11 W. Determinare il valore della resistenza equivalente.


16

3) Sapendo che la resistenza equivalente di un circuito vale 7 W, che il circuito è composto di tre resistenze in parallelo, che due sono uguali tra di loro, e che una vale 23 W, determinare il valore delle due resistenze uquali.

1.4.6 Elementi resistivi in serie e parallelo, semplificazione

I circuiti elettrici difficilmente si compongono di sole resistense in serie o sole resistenze in parallelo, molte volte sono formati da insiemi di collegamenti serie e parallelo, vedi fig. sottostante.

Per semplificare un circuito simile, non esiste una regola fissa, cioè non si può dire di semplificare sempre prima il parallelo e poi la serie o vice versa, ma la semplificazione và analizzata al momento. Il circuito di fugura rappresenta un parallelo di due serie tra due resistenze, se volessimo associare dei livelli numerici a questo circuito diremo che le due serie sono di livello 1, mentre il parallelo è di livello 2, solo a questo punto possiamo stabilire una regola, ed andremo sempre a semplificare dal livello inferiore verso quello superiore, nel nostro caso prima le due serie e poi il parallelo. Crearsi dei livelli di semplificazione (anche solo mentalmente), aiuta notevolmente a capire il circuito in questione. Ad ogni passaggio è bene ridisegnare un nuovo circuito che riassuma i passaggi fondamentali. Prima semplificazione (le due serie sono state ridotte alle rispettive Req1, ed Req2)

Seconda ed ultima semplificazione (le due Req1 ed Req2 sono state ridotte a Req)

Per dimostrare quanto detto, provate ad analizzare il circuito sottostante.

In questo circuito a differenza del primo, la serie è tra due paralleli, quindi il livello 1 và assegnato ai due paralleli, ed il livello 2 alla serie. La semplificazione sarà dunque rappresentata nel seguente modo. Si semplificano i due paralleli ottenendo Req1 ed Req2.

Ed infine si semplifica la serie ottenendo la Req.


17

1.4.7 Collegamenti serie e parallelo di generatori

I collegamenti serie e parallelo si possono effettuare anche tra generatori di f.e.m., ma per questi elementi (attivi) il risultato è diverso per ogni diversa configurazione.

1.4.8 Generatori in serie

Quando due generatori sono in serie tra loro, bisogna conoscere (oltre alla tensione caratteristica di ciascun generatore), la polarità di ciascun generatore nei confronti degli altri.

Fig. 13.1

Nella figura 13.1 è riportato lo schema di un collegamento serie tra due generatori, questo collegamento ha la caratteristica di avere collegati tra loro il polo (+) del generatore E1 ed il polo (-) del generatore E2. Il risultato di questo collegamento è che la tensione prodotta dai due generatori tra i punti AB è data dalla somma delle tensioni E1 + E2.

Fig. 13.2

In figura 13.2 sono presenti gli stessi generatori, ma il generatore E1 è stato invertito. La tensione tra i punti AB è data dalla somma algebrica delle due tensioni E1 ed E2, considerando positive le tensioni con un certo segno da un lato, e negative le tensioni con segno opposto sullo stesso lato (E1 a destra è di segno -, mentre E2 a destra è di segno +), la tensione totale sarà uguale a (E1 - E2). Questo tipo di collegamento viene anche denominato antiserie.

1.4.9 Generatori in parallelo

Fig. 13.3

La figura 13.3 mostra due generatori collegati in parallelo, questo collegamento è realizzabile solo se le f.e.m. dei due sono identiche, altrimenti è necessario aggiungere in serie ai generatori delle resistenze di valore opportuno per evitare che tra i due circoli una corrente troppo elevata. Un collegamento di questo tipo lo si adotta raramente, e serve per aumentare la corrente totale in uscita dal circuito, in quanto la tensione tra i punti AB è uguale alla tensione dei generatori. Un collegamento da non effettuare mai è quello di figura 13.4, solo apparentemente il collegamento può sembrare di tipo parallelo, in verità i generatori sono collegati in corto circuito.


18

Fig. 13.4

2 Studio delle reti elettriche

2.1 Topologia delle reti elettriche

2.1.1 Reti elettriche, nodi e maglie

Non sempre i circuiti elettrici sono semplificati come quelli visti fino ad ora, anzi il più delle volte la realtà presenta circuiti molto complessi. I circuiti di forma più o meno complessa prendono il nome di reti elettriche. Per analizzare una rete elettrica, è necessario assumere dei termini che permettano l'identificazione delle varie parti che compongono la stessa, come primo elemento analizziamo le diramazioni o nodi. Quando ad un conduttore se ne collega un secondo in parallelo, si forma una diramazione (o nodo, vedi fig. sottostante).

Ai nodi presenti in una rete elettrica, si associa una lettera dell'alfabeto per poterli poi contraddistinguere. Se si analizza una rete elettrica (vedi esempio) si nota che tra i nodi A e B sono collegate tre parti diverse del circuito, queste parti sono denominate rami, e i vari rami costituiscono delle maglie, cioè delle parti della rete che formano un circuito chiuso. In una rete elettrica si trovano diverse maglie, ed i vari rami possono concorrere a formare più di una maglia. In conclusione analizzando il circuito di esempio, possiamo notare: due nodi (A e B), tre rami che fanno capo ai nodi A e B, e tre maglie visibili nella figura sottostante.


19

2.2 Equazione ai nodi (1 legge di Kirchhoff) Quando si studia una rete elettrica è fondamentale avere a dispozione alcune leggi che permettano di stabilire con assoluta certezza il valore delle varie grandezze elettrotecniche presenti. Nella maggior parte dei casi si ha a che fare con reti elettriche composte da generatori di tensione e da resistenze, pertanto le grandezze certamente note sono le f.e.m. dei generatori, e il valore delle resistenze. La grandezza mancante è la corrente che circola nelle varie maglie della rete. È bene precisare che la corrente dipende in modo complessivo dai vari collegamenti, e solo tenendo conto di tutti i collegamenti si può arrivare a calcolare la corrente.

Fig. 15.1

Si prenda come esempio la figura 15.1, al nodo A sono collegati tre rami nei quali circolano le correnti I1, I2, I3. I sensi di percorrenza delle correnti sono stati indicati col criterio del senso convenzionale (la corrente esce dal polo + del generatore e torna al polo -). È evidente che solo per le correnti I1 e I3 si può indicare a priori il verso di percorrenza, mentre per la corrente I2 il senso và determinato con opportuni calcoli. Si noti che le correnti che confluiscono ad un nodo devono in qualche modo (mediante altre correnti) uscire dal nodo stesso, nell'ipotesi che le correnti vadano tutte verso un nodo senza uscire, si avrebbe un accumulo di carica sul nodo stesso ed uno svuotamento da altre parti, questo fenomeno, non corrisponde con quanto si è precedentemente detto in proposito alla circolazione di corrente, possiamo allora sostenere che su di un nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti (1 legge di Kirchhoff).


20

Se per convenzione assegniamo il segno + alle correnti entranti in un nodo, ed il segno - alle correnti uscenti dallo stesso nodo, possiamo dire che la somma algebrica delle correnti entranti ed uscenti da un nodo è uguale a zero. Tornando alla figura 15.1 possiamo certamente scrivere che:

I1 + I3 = I2

Una equazione simile alla precedente potrebbe essere scritta anche per il nodo B della figura, però siccome a questo nodo sono collegati gli stessi rami che sono collegati al nodo A, l'equazione sarebbe identica a quella precedente con eccezione dei segni che sono invertiti. Anche se si aumenta il numero di nodi in una rete è sufficiente scrivere tante equazioni quanti sono i nodi meno 1 (n - 1), questo perchè nell'ultimo nodo circolano correnti già considerate in altri nodi. Ritornando al problema iniziale, essendo noto che la corrente ai nodi vale 0 Ampere, determinare il segno ed il valore di una corrente diventa estremamente facile, basterà applicare la legge di Kirchhoff, e quindi:

I2 = 0 - (I1 + I3)

Il valore di I2 dipenderà da I1 e da I3, mentre il segno è negativo, quindi una corrente uscente dal nodo come indicato in figura.

2.3 Equazione di maglia (2 legge di Kirchhoff)

Fig. 16.1

Un altra equazione molto importante in elettrotecnica è la seconda legge di Kirchhoff che dice: in una maglia la somma delle forze elettromotrici è uguale alla somma delle cadute di tensione. Per poter applicare questa legge, bisogna chiarire quali sono le d.d.p. da considerare positive e quali negative, allo scopo, dopo aver scelto la maglia, si stabilisce a priori un senso di osservazione (normalmente destrogiro, vedi Fig. 16.1 linea blu), dopodichè si considerano positive le f.e.m. che hanno segno positivo concorde con la freccia, positive sono anche le cadute di tensione sulle resistenze che hanno corrente concorde con la freccia, e si considerano negative le restanti f.e.m. e cadute di tensione. Se applichiamo questa regola alla maglia di esempio in fig. 16.1, possiamo scrivere che:

E1 = R1•I1 + R2•I2


21

In generale, si scrive:

RIE

2.3.1 Risoluzione di una rete applicando il metodo Kirchhoff

Data una rete elettrica, avente n nodi, l lati, e m maglie, per la risoluzione (cioè per determinare il valore e il verso delle correnti), si può applicare il metodo di Kirchhoff. Dovendo calcolare tutte le correnti del circuito, si devono scrivere tante equazioni quanti sono i lati (o rami) del circuito. Le equazioni da scrivere sono da scegliere tra le due leggi di kirchhoff, quindi si inizia scrivendo n-1 equazioni ai nodi, e si scrivono poi le m ( m = l - (n - 1)) equazioni di maglia. Per quanto riquarda la scelta delle maglie, è importante che esse siano indipendenti tra loro, cioè maglie le cui equazioni non sono la somma di due o più equazioni di maglie della stessa rete.

Fig. 17.1

Nella figura 17.1 è rappresentata una rete elettrica, le maglie indipendenti sono: (ACBA, ABDA, BCDB). Questo metodo è comunque molto complesso in quanto il numero di equazioni è molto elevato, e se la rete è molto ampia, le equazioni sono troppe. Per la risoluzione si applicano quindi metodi più semplici che vengono utilizzati anche per reti elementari.


22

2.3.1.1 Esempio

Tabella valori

E1 = 20 V R1 = 10 Ohm

E2 = 30 V R2 = 20 Ohm

R3 = 5 Ohm

Determinare il valore ed il verso delle correnti I1, I2, ed I3 del circuito di figura.

Per prima cosa si pongono dei versi del tutto arbitrari alle correnti, poi si scrivono le equazioni ai nodi per (n-1) nodi. Avendo in questo caso solo 2 nodi, le equazioni da scrivere sono 1, è indifferente quale nodo si sceglie e quindi scegliamo l'A.

I1 + I2 + I3 = 0

Ricordando che essendo tre le correnti ed i rami, ci servono almeno tre equazioni per

risolvere il problema, pertanto vanno ancora scritte 2 equazioni di maglia.

E1 = - R2I2 + R1I1 E2 = - R3I3 + R2I2

Ovviamente per scrivere le equazioni delle due maglie si è fatto riferimento alla legge 2 di

Kirchhoff. Ora basta scegliere una equazione da risolvere e si procede nel seguente modo.

E1 = - R2I2 + R1I1

Si sostituisce ad I1 il valore corrispondente ricavato da I1 = (- I2 - I3), allora:


23

E1 = - R2I2 + R1(-I2 - I3) E1 = - R2I2 - R1I2 - R1I3 E1 = (- R2 - R1)I2 - R1I3

Ora si sostituisce ad I3 il valore ricavato dalla terza equazione

E1 = (- R2 - R1)I2 + R1((E2 - R2I2)/R3)

Semplificando ulteriormente:

(- R2 - R1)I2 + R1((E2 - R2I2)/R3) - E1 = 0 (- R2 - R1)I2R3 + R1(E2 - R2I2) -E1R3 = 0 - R2I2R3 - R1I2R3 + R1E2 - R1R2I2 = 0 I2(- R2R3 - R1R3 - R1R2) + R1E2 = 0

Sostituendo poi ai termini il relativo valore si ottiene:

I2(- 100 - 50 - 200) + 200 = 0 I2 = 200/350 = 0,571 A

Il fatto che la corrente I2 risulti di segno positivo significa che ha lo stesso verso di quello

definito in modo arbitrario all' inizio dello svolgimento. Ora basterà sostituire in una equazione qualsiasi il valore di I2 per poter calcolare un' altra variabile.

E2 = - R3I3 + R2I2

Andando a sostituire si ottiene:

30 = - 5I3 + 20*0,571 - 5I3 + 11,42 - 30 = 0 I3 = - 18.58/5 = - 3.716 A

Il risultato negativo indica che la corrente circola nel senso opposto da quello indicato in

figura. Per concludere si semplifica la prima equazione scritta:

I1 = - I2 - I3 = 3.716 - 0,571 = 3.145 A


24

2.4 Principio di sovrapposizione degli effetti Per ogni sistema fisico lineare, per il quale cioè causa ed effetto sono in relazione lineare, si può affermare che l’effetto complessivo dovuto a più cause agenti contemporaneamente è uguale alla somma degli effetti che ciascuna causa determina singolarmente. Nel caso di una rete elettrica si ha che a corrente circolante in un ramo qualunque, corrente dovuta all’azione degli n elementi attivi ivi presenti, può considerarsi può considerarsi come somma algebrica delle correnti circolanti in quello stesso ramo dovute agli elementi attivi agenti separatamente, cioè uno alla volta. Così analogamente la differenza di potenziale tra due punti di una rete può calcolarsi come somma algebrica delle successive differenze di potenziale tra quegli stessi punti dovuti agli elementi attivi agenti separatamente, cioè uno alla volta.

2.4.1 Precisazioni Far agire separatamente gli elementi attivi uno per volta significa considerare l’effetto di un elemento attivo alla volta cioè eliminare gli effetti degli altri elementi attivi. Eliminare l’effetto di un elementi attivo significa:

Nel caso di un generatore ideale di corrente sostituire al posto del generatore un circuito aperto

Nel caso di un generatore ideale di tensione sostituire al posto del generatore un cortocircuito

2.4.2 Esempio Si determino le correnti presenti nei rami della rete rappresentata in figura

Nella rete sono presenti due elementi attivi, il generatore di tensione E1 ed il generatore di corrente I01 quindi si dovranno fare agire separatamente e calcolare le correnti totali. Si inizierà prima spegnendo il generatore I01, si otterrà così la seguente rete:

I1

I2

I3


25

Dalla figura si nota subito che in questo caso 1I3=0 ( c’è un circuito aperto) cioè 1I3=0 Si ricava poi dalla rete che R1 risulta in serie con R2 (

1I1= 1I2) si ha così che :

0,4A 21

12

11

1

RR

EII

Si passa poi all’effetto dell’altro generatore ottenendo così la seguente rete

Dalla figura si nota subito che in questo caso 2I3=I01 ( la corrente in quel ramo è imposta dal generatore di corrente ). Si nota altresì che le due resistenze R1 ed R2 risultano in parallelo, si può applicare allora la relazione relativa al partitore di corrente ottenendo così:

ARR

RI 2,0I 01

21

12

2

,

ARR

RI 8,0I 01

21

21

2

, 2I3=I01 =1A

Ora si sono fatti agire separatamente i due elementi attivi, vediamo qual è il loro effetto combinato,otteniamo le correnti nei tre rami come somma algebrica delle correnti date dai singoli elementi attivi: I1=

1I1+2I1=1,2A

I2=1I2+

2I2=0,2A I3=

1I3+2I3=1A

I1 I3

I2

I1 I3

I2


26

2.5 Teorema di Thevenin Data una rete comunque complessa, formata da elementi attivi e passivi comunque lineari,ai fini della corrente che circola in un qualsiasi suo tronco o della tensione ai suoi capi, è sempre possibile schematizzare la restante parte di rete, di cui il tronco fa parte, con un solo generatore ideale di tensione ( Voeq ) con in serie una sola resistenza Req.

2.5.1 Precisazioni Vediamo ora come si determinano Voeq e Req. La Voeq rappresenta la tensione che esiste tra i due punti della rete tra i quali è stato tolto il tronco considerato ( tensione a vuoto, o=open ), mentre la Req rappresenta la resistenza vista entro la rete dal tronco considerato quando tutti i generatori ideali di tensione sono stati cortocircuitati e quelli ideali di corrente aperti.

2.5.2 Esempio Si determini la corrente presente nella R3 della rete rappresentata in figura utilizzando il teorema di Thevenin

Per prima cosa calcolo la Voeq devo cioè togliere il tronco con R3 e calcolare la tensione nei due punti considerati, ottengo così la seguente rete:

VAB=Voeq =R2I2+R4I4 Determino ora quanto valgono I2 ed I4, osservo subito che I4=I1=1 A ( corrente imposta dal generatore di corrente ). Ricavo poi la corrente I2

A B

I2 I4


27

mARR

VI 250

21

12

ottengo così che: VAB=Voeq =R2I2+R4I4=15 V Passo ora a trovare la Req, ottengo la seguente rete ( dopo aver cortocircuitato il generatore di tensione ed aperto quello di corrente ) Req

Il calcolo della resistenza equivalente deve essere fatto dal tronco tolto ( cioè dalla direzione di figura ) Allora la nostra Req sarà data da:

20421

21 RRR

RRReq

Ora ho tutti gli elementi ed ottengo la seguente rete:

Analizzando la rete di figura ottengo che:

mARR

VI

eq

oeq 3753

3

Voeq

15V

Req 20

R3

20

I3


28

2.6 Teorema di Norton Data una rete comunque complessa, formata da elementi attivi e passivi comunque lineari,ai fini della corrente che circola in un qualsiasi suo tronco o della tensione ai suoi capi, è sempre possibile schematizzare la restante parte di rete, di cui il tronco fa parte, con un solo generatore ideale di corrente ( Ioeq ) con in parallelo una sola resistenza Req.

2.6.1 Precisazioni Vediamo ora come si determinano Ioeq e Req. La Ioeq rappresenta la corrente che circola nel cortocircuito che si è sostituito al tronco considerato ( Ioeq=ICC ), mentre la Req rappresenta la resistenza vista entro la rete dal tronco considerato quando tutti i generatori ideali di tensione sono stati cortocircuitati e quelli ideali di corrente aperti ( si calcola nello stesso modo di quella per il teorema di Thevenin ).

2.6.2 Esempio Si determini la corrente presente nella R2 della rete rappresentata in figura utilizzando il teorema di Norton

Si inizia con il determinare la corrente equivalente del generatore, come detto si ottiene la rete sottostante

Dall’esame della rete si osserva che la corrente ICC = Ioeq =I1-I3 ( 1

a legge di Kirchhoff applicata al nodo A ), è altresì evidente che :

AR

VI 5,0

1

11

e che I3 si ottiene dal partitore di corrente della I1:

AIRR

RI 11

43

43

si ottiene così che : ICC = Ioeq =I1-I3=-0,5 A

I3 ICC

A

I1


29

Passo ora a trovare la Req, ottengo la seguente rete ( dopo aver cortocircuitato il generatore di tensione ed aperto quello di corrente )

Dalla rete così ottenuta si ricava che:

10)(

431

431

RRR

RRRReq

Ora ho tutti gli elementi per schematizzare con Norton, ottengo la seguente rete:

Dalla rete si ricava subito I2 ( partitore di corrente )

mAIRR

RI oeq

eq

eq 2502

2

Req

Ioeq

-0,5A Req

10

R2 10 I2


30


31

3 Esercizi

3.1 Esercizi sulle leggi di Kirchhoff

3.1.1 Utilizzando il metodo delle leggi di Kirchhoff determinare le correnti in tutti i rami della seguente rete:

I1=600 mA I2=800 mA I3=-200 mA

3.1.2 Utilizzando il metodo delle leggi di Kirchhoff determinare le correnti in tutti i rami della seguente rete e le potenze dissipate dai componenti:

I1=0 A I2=2 A I3=-3,6 A I4=1,6A I5=800 mA I6=800 mA VAC = 4V VAB = 20V PR1=PV1=0 PV2=72W PR2=40W PR3=25,6W PR4=PR5=3,2W

I1 I3

I2

I1 I2

I4

I3

I6

I5

A B

C


32

3.2 Esercizi sul principio della sovrapposizione degli effetti

3.2.1 Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si determinino le correnti nei rami della rete di figura

I1= 1,667 A- I2= 666,667mA- I3= 1 A- I4= 666,67mA- I5= 333,33mA

3.2.2 Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si determinino le correnti nei rami della rete di figura

I1= 2 A- I2=1 A- I3= 1 A- I4= 4A- I5= -5A –I6= 2A

I1

I2

I3

I4

I5

40V

I1 I2

I4

I3

I5

I6


33

3.3 Esercizi sul teorema di Thevenin

3.3.1 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la I6 nella rete di figura

I6=500mA


I2=2,818A

3.3.3 Utilizzando il teorema di Thevenin si determini la tensione VAB nella rete di figura

VAB=18,333V

I6

I2

A B


34


I6=750mA


I6=0 A


I5=1,333 pA

I6

I6

I5


35

3.4 Esercizi sul teorema di Norton

3.4.1 Utilizzando il teorema di Norton si determini la I5 nella rete di figura

I5=564,82 mA

3.4.2 Utilizzando il teorema di Norton si determini la I2 nella rete di figura

I2=4,5 A

3.4.3 Utilizzando il teorema di Norton si determini la VAB nella rete di figura

VAB=14,71 V

I5

I2

A B


36


37

4 Appendici

4.1 Partitore di tensione Si vede come si ricava la formula del partitore di tensione, si analizzi la rete di figura e si voglia determinare VAB

121

2

21

1

2

VRR

RV

RR

VI

IRV

AB

AB

4.2 Partitore di corrente Si vede come si ricava la formula del partitore di corrente, si analizzi la rete di figura e si voglia determinare I1

Applicando le equazioni di Kirchhoff al nodo ed alla maglia (R1,R2) ottengo:

1

)1(1

0

1

21

21

12

12

2

11

2211

21 IRR

RI

IR

RI

R

RII

IRIR

III

I

A

B

I1

I2


38

4.3 Serie e parallelo di capacità Si ricavano ora le relazioni che legano la serie ed il parallelo di capacità Q=CV

4.3.1 Serie

La carica accumulata dai tre condensatori risulta uguale ho così che:

321

13211

3211

333

222

111

321

1111111

CCCV

QC

CCCQV

VVVV

VCQ

VCQ

VCQ

QQQQ

eq

CCC

C

C

C

4.3.2 Parallelo I tre condensatori sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale, ottengo che:

3211

3211

133

122

111

321

CCCV

QCCCCVQ

VCQ

VCQ

VCQ

QQQQ

eq

+VC1 +VC2 +VC3


39

4.4 Serie e parallelo di induttanze In questa sede non si ricaveranno le relazioni che descrivono la serie ed il parallelo di induttanze ci si limiterà a fornirle

4.4.1 Serie

Leq=L1+L2+L3

4.4.2 Parallelo

321

1111

LLL

Leq

1 NOZIONI GENERALI · 2018. 10. 2. · APPUNTI DI RETI ELETTRICHE 2009-2010 4 Q1 * Q2 F = e * -----...

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