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- materiali- analisi strutturale- stati limite ultimi

Bologna, 13 Marzo 2008

Prof. ing. Piero Marro Dr. ing. Matteo GuigliaDr. ing. Maurizio Taliano

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica Politecnico di Torino

Le strutture di calcestruzzo armato: dall’Eurocodice 2 alle Norme Tecniche

P. Marro, M. Guiglia, M. TalianoDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino

2

Materiali (Sez. 3-EC2)

Calcestruzzo

fck = resistenza cilindrica a

compressione caratteristica

a 28 giorni.

EN 206 EC2 NTC

C8/10 C8/10

C12/15 C12/15 C12/15

C16/20 C16/20 C16/20

C20/25 C20/25 C20/25

C25/30 C25/30 C25/30

C30/37 C30/37 C28/35

C32/40

C35/45 C35/45 C35/45

C40/50 C40/50 C40/50

C45/55 C45/55 C45/55

C50/60 C50/60 C50/60

C55/67 C55/67 C55/67

C60/75 C60/75 C60/75

C70/85 C70/85 C70/85

C80/95 C80/95 * C80/95 *

C90/105 C90/105 * C90/105 *

C100/115

16 classi 14 classi 16 classi


3

Caratteristiche meccaniche e fisiche correlate a fck (Prospetto 3.1-EC2 )

60


4

classe fck

(N/mm2)

C8/10 8.30

C12/15 12.45

C16/20 16.60

C20/25 20.75

C25/30 24.90

C28/35 29.05

C32/40 33.20

C35/45 37.35

C40/50 41.50

C45/55 45.65

C50/60 49.80

C55/67 55.61

C60/75 62.25

C70/85 70.55

C80/95 * 78.85

C90/105 * 87.15

NTC

NTC: in sede di progetto si farà riferimento alla resistenza su cubi Rck da questa si passerà a quella cilindrica da utilizzare nelle verifiche mediante l’espressione

fck = 0,83 Rck.


5

fck 12 90 N/mm2 90/12 =

7,5

fctm 1,6 5,0

N/mm2

5,0/1,6 =

3,1

Ecm 27 44

kN/mm2

44/27 =

1,6


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Calcestruzzi ad alta resistenza

- elementi compressi

- travi precompresse

- elementi in ambiente aggressivo

- meno conveniente per travi non precompresse in quanto:

• sfruttamento della resistenza solo in zona compressa

• elevate percentuali di armatura, difficoltà di collocazione

• limiti inflessione


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EC2 - NTC:

cc= 0,85

c= 1,5

Resistenza a compressione di progetto fcd

ccC

ckcd

ff

Conseguenze:

-nuove tabelle e nuovi diagrammi di interazione per fck 50 N/mm2

alterati da 1 / 0,85-nuove tabelle e diagrammi di interazione per fck > 50 N/mm2


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Acciaio per cemento armato ordinario

εud = 0,9 εuk = 67,5 ‰

B450C

fyk 450 N/mm2

ftk 540 N/mm2

1,15 1,35

Agt 75 ‰s

s

(fy/

ft)k

B450A

fyk 450 N/mm2

ftk 540 N/mm2

1,05

Agt 25 ‰

(fy/

ft)k

S

ykyd

ff

εuk = (Agt)k

s = 1,15

B450C


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Analisi strutturale (Sez. 5-EC2, da 5.1 a 5.7)

Imperfezioni geometriche

Valori riferiti alla Classe 1 (esecuzione normale) di ENV 13670 "Execution"

Inclinazione:

θi per S.L.U.

in particolare con effetti del secondo ordine

mhoi

166,0 2

hhL

)77,0 5m (es. )1

1(5,0 m mm

200/1o

N

i

L


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Analisi strutturale

Nell'evoluzione della risposta della struttura alle azioni compaiono:

- fessure

- plasticizzazione dell’acciaio

- plasticizzazione del calcestruzzo

Nelle strutture isostatiche aumento inflessione

Nelle strutture iperstatiche

reazioni vincolari, sollecitazioni M,V (risposta non lineare)

deformazioni elastiche complementari

(compatibilità)

deformazionirotazionalianelastiche


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• Le rotazioni anelastiche prendono il posto di deformazioni elastiche:

localmente M diminuisce

• L'effetto locale di rotazioni anelastiche ha segno opposto a quello della causa che le ha determinate

q L /8

L L

2

+

M(q)

M1

+

X X

1

Trave continua di sezione rettangolare. Fessurazione all’appoggio centrale


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In EC2 quattro metodi prendono in conto questi fenomeni in modo diverso

Analisi lineare elastica (ALE)

Analisi lineare elastica con ridistribuzione limitata (LR)

Analisi plastica (P)

Analisi non lineare (ANL)


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ALE (analisi lineare elastica)

Vale per S.L.E. e S.L.U.

In presenza di carichi

• elasticità, sezioni interamente reagenti fino a S.L.U.

• vantaggio: principio sovrapposizione effetti

• sarebbe necessaria una limitazione di x/d (che EC2 non impone); altrimenti incertezza di modello, rischio rottura fragile

Come:

In presenza di deformazioni impresse (effetti termici, cedimenti vincolari):

• analisi S.L.U. con sezioni fessurate e senza tension-stiffening

• analisi S.L.E. con graduale evoluzione della fessurazione

DIN 1045:2001

x/d = 0,45 (fck 50 N/mm2)

x/d = 0,35 (50 < fck 100 N/mm2)


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LR (analisi lineare elastica con ridistribuzione limitata)

Metodo progettuale per S.L.U.

Dove compare una cerniera plastica, M viene ridotto rinviando la sollecitazione verso altre parti :

si può di ridurre localmente l’armatura tesa, As, in

funzione della ridistribuzione (1-δ)

i valori di ridistribuzione (1-δ) dipendono da:

• classe dell’acciaio: 30% classe C, 15% classe A

• fck e cu

• x/d

se la ridistribuzione δ è troppo spinta, anche se ammissibile per lo S.L.U., σc e σs possono risultare eccessive allo S.L.E.


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P (analisi plastica)

Applicazione della teoria della plasticità. Vale solo per S.L.U.

Metodo Statico (lower bound method):

- struttura resa isostatica o meno iperstatica

- rispetto delle condizioni di equilibrio e di plasticità

- Qu,vero Qlim (calcolato)

Metodo Cinematico (upper bound method)

- struttura trasformata in un meccanismo

- posizione arbitraria delle cerniere con possibilità di affinamento

- Qu,vero Qlim (calcolato)


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P (analisi plastica) In EC2:

Applicazioni del metodo statico

- schema puntoni-tiranti

- metodo strisce per le piastre

- metodo θ variabile per le travi

Applicazioni del metodo cinematico

- travi e piastre (linee di rottura)

- richiesti: acciai di classe B o C – classe A preclusa (1)

- duttilità diffusa senza verifica capacità rotazione se

x/d 0,25 per fck 50 N/mm2

x/d 0,15 per fck > 50 N/mm2

(1) NOTA: tali limitazioni non compaiono nelle NTC


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ANL (analisi non lineare)

- Tiene conto di tutti i fenomeni

- Costituisce un procedimento evolutivo al passo

- Vale per SLE e SLU

- Rispetta le condizioni di equilibrio e di compatibilità

- Richiede modellazione σ-ε acciaio e calcestruzzo, nonché valori θpl

- Richiede l’uso di elaboratore

EC2 non fornisce regole dettagliate


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Confronto fra i metodi di analisi

Travi duttili, progetto base ALE senza ridondanze di As:

portanza ANL = portanza ALE

Travi duttili, progetto base ALE con ridondanze di As:

portanza ANL > portanza ALE

Travi duttili progettate con LR:

ANL conferma SLU, ma evidenzia eventuali insufficienze a SLE

Portanza Pcinematico > Portanza ANL


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S.L.U. per flessione semplice e composta (Sez. 6.1-EC2)

- 1 pagina EC2 30 pagine Guida

- metodi noti, novità su materiali:

- calcestruzzo 50 90 N/mm2

- acciaio ud 67,5 ‰

- S.L.U.: c (c) funzione esponenziale:

n

2c

ccd 11f

fck

(N/mm2)n

50 2,00

60 1,60

70 1,45

80 1,40

90 1,40

x

cu2

c2

fcd


20

Diagramma c-c di progetto: parabola (esponenziale) - rettangolo

0

10

20

30

40

50

c

c

(N/mm2)

C30/37

C50/60

C70/85

C90/105

2,0‰ 3,5 ‰

2,4 ‰ 2,7 ‰

2,6 ‰

C60/75 2,9 ‰ 2,3 ‰

C80/95

1,0‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰

2,0% 3,5%


21

Diagramma c-c di progetto: confronto EC2 - NTC

0

10

20

30

40

50

c

c

(N/mm2)

C30/37

C50/60

C70/85

C90/105

2,0‰ 3,5 ‰

2,4 ‰ 2,7 ‰

2,6 ‰

C60/75 2,9 ‰ 2,3 ‰

C80/95

1,0‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰

2,0% 3,5%

0

10

20

30

40

50

0.0% 1.0% 2.0% 3.0%

C80/95

EC2

NTC


22

Tabelle di β1 , β2 per ogni fck, anche per x > h

Fc = b β1 x fcd

M = Fc (d - β2 x)

c

Fc 2 xx

cu2

c2

fcd

d

s


23

Diagramma c-c di progetto: bilineare

0

10

20

30

40

50

c

c

(N/mm2)

C30/37

C50/60

C70/85

C90/105

1,75 ‰ 3,5 ‰

2,0 ‰ 2,7 ‰

2,6 ‰ 2,3‰

C60/75

C80/95

1,9 ‰ 2,9 ‰

2,2 ‰ 2,6 ‰

1,0 ‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰

1,75% 3,5%


24

Distribuzione rettangolare delle tensioni

A

d

fcd

F s

x

s

x

cu3

F c

s

λ < 1η 1

λ

η


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Problemi svolti:

Dati: geometria, meccanica della sezione e retta deformazione, determinare NRd e MRd

Dati: geometria, meccanica della sezione e NEd, determinare MRd

Dati: geometria, NEd e MEd , determinare As e A's

Applicazioni a sezioni rettangolari e a T

Trattazione in terminidimensionali non trattandosi di un manuale

Esempio: diagramma di interazione NRd – MRd

0

200

400

600

800

1000

1200

-8000-6000-4000-200002000

Sforzo normale NRd (kN)

Dati:

fck = 30 N/m m 2

fyk = 450 N/m m 2

c = 1,5

s = 1,15

As = 3600 mm2

As = 2400 mm2

As = 1200 mm2

As = 0

50‰‰5,3sc

25‰‰5,3sc

10‰‰5,3sc

sydsc ‰5,3

0‰5,3sc

0‰5,3inf,cc

‰0,2c

d'=

50

h=60

0

b=400

As

d'=

50

As

Mom

ento

M

Rd

(

kNm

)

MRd=NRd h/30


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S.L.U. per taglio (Sez. 6.2-EC2 e NTC)

Travi con armature trasversali

Metodo di verifica: θ variabile.

1 cot θ 2,5 (45° θ 21,8°)

Formule derivanti dall'applicazione del metodo statico della plasticità. Pur essendo un metodo lower bound, è necessario adottare σc = ν fcd (con ν < 1, funzione di fck). EC2 (App. Naz.) e NTC: ν = 0,50

Effetto del taglio: correnti superiore e inferiore tesi, anima compressa, in funzione di α e di θ

s

d

A

V (cot cot)

V

N M ½ z

½ z V z = 0 ,9 d

F cd

F td

B

C D


27

Taglio resistente delle bielle compresse e delle armature

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 cot

VRd

VRd,max

0,50

VRd,s

0,34

minimasw

sA

fcd bw z

= 90°

A

B

C

Collasso simultaneo

Collassostaffe

45,0° 33,7° 26,5° 21,8°

cotEdsw

Vk

s

A cot' Edsl VkA


28

Armature necessarie

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,0 1,5 2,0 2,5 cot

0,28

minimasws

A

= 90°

cot' Edsl VkA

cotEdsw

Vk

s

A


29

Taglio resistente delle bielle compresse

= 45° 1,00

0,79

0,50 0,480,42

0,34

= 60°

= 90°

VRd

fcd bw z

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5cot

A

B


30

S.L.U. per torsione (Sez. 6.3-EC2)

- torsione di compatibilità armature minime (Sez.9-EC2)

- torsione di equilibrio verifica statica


31

Per torsione di equilibrio: sezione resistente tubolare ideale con flusso di τ calcolato alla Bredt

A - linea media

B - perimetro esterno della sezione effettiva

B T Ed

t ef

A

t ef /2

zi


32

Ogni tratto zi della sezione tubolare si comporta come una sezione rettangolare soggetta a taglio. Risultano:

bielle compresse di inclinazione θ variabile:

- inclinazione θ come per il taglio

- c ν fcd con ν < 1 come per il taglio

armature trasversali tese: staffe = 90°

armature longitudinali tese (analogia correnti trave a taglio)


33

Combinazioni taglio-torsione

sollecitazioni limitate (assenza fessure)

diagramma di interazione lineare fra VRd,c e TRd,c ,

sollecitazioni resistenti per sezioni non armate. Si dispone solo l'armatura minima.

sollecitazioni importanti

diagramma di interazione lineare fra VRd,max e TRd,max ,

sollecitazioni resistenti corrispondenti

alla resistenza delle bielle compresse.

Si dispone l'armatura necessaria.

TEd

VEd

TEd

VEd

TRd,c

VRd,c

TRd,max

VRd,max


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NTC TORSIONE

Ripropone la trattazione di ENV – EC2 (traliccio spaziale)

con 0,4 cot θ 2,5 (68° θ 21,8°)

Poiché nelle strutture civili la torsione non è mai isolata, cot θ deve essere uguale a quello del taglio ossia:

1 cot θ 2,5 (45° θ 21,8°)

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