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Lezione 2• Caratteristiche fondamentali delle particelle:

massa

momento angolare e spin

carica e momento magnetico

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Particelle elementari Le particelle elementari possono essere classificate sulla base di diverse loro

caratteristiche:

• Massa

• Spin o momento angolare intrinseco classificazione in bosoni e

fermioni ( simmetria della funzione d’onda associata)

• carica elettrica

• momento di dipolo magnetico

• tipo/i di interazione a cui è soggetta una particella classificazione in

bosoni mediatori e particelle di materia (leptoni, adroni, quark)

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La massa di una particella o di un nucleo è definita come la sua energia nel sistema di riferimento in cui essa/o è a riposo: E = mc2

Un sistema composto da più particelle (come un nucleo) ha una massa pari a: Mc2 = (mic2 ) + Eint

dove Eint è l’energia di interazione del sistema. Per un nucleo che contiene Z protoni e N neutroni avremo:

M(Z,N) c2= (Zmp + N mn)c2 – B

perchè l’energia di un sistema legato è negativa.

Massa

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Momento angolare orbitale e spin

2

2

222

z

sin

1sin

sin

1L

xy

yxL

ii

Lo spin o momento angolare intrinseco è un concetto puramente quantistico che non ha un equivalente classico. Il momento angolare orbitale è cosi definito: Classicamente esso può assumere qualunque valore.Quantisticamente invece può assumere solo determinati valori e orientazioni nello spazio. Ricordiamo che, poichè l’operatore impulso è rappresentabile come:

allora gli operatori quadrato e terza componente del momento angolare saranno dati dalle espressioni seguenti:

p r L

- p i

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Tali operatori soddisfano alle regole di commutazione seguenti:

[ Lx,Ly ] = i Lz

[ Lz,Lx ] = i Ly in breve: [ Li,Lj ] = iijk Lk

[ Ly,Lz ] = i Lx

[ L2,Li] = 0 i=x,y,zLa funzione d’onda di una particella avente momento angolare definito

è autofunzione di L2 e di Lz e ha i seguenti autovalori:

L2 Ylm = ħ2 l(l+1) Ylm l Є N

Lz Ylm = ħ m Ylm m Є Z e –l ≤m ≤+l Pertanto i valori accessibili al momento angolare e alla sua terza componente sono quantizzati. La condizione che le funzioni sullequali si applicano tali operatori siano periodiche per φ → φ+ 2porta ad escludere momenti angolari semiinteri.

Momento angolare orbitale (continua)

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Momento angolare orbitale (continua)

Quando il sistema è composto da più particelle, i momenti angolari si

sommano tra loro in un unico momento angolare le cui componenti sono date

dalla somma delle singole componenti dei momenti angolari individuali.

Per la somma vale la regola seguente: dalla composizione dei momenti

angolari di due particelle descritte rispettivamente dai numeri quantici:

L1 M1 e L2 M2

possiamo ottenere uno stato con i numeri quantici seguenti:

L M

tali che:

L1 - L2 L L1 + L2

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Spin Se invece consideriamo un operatore vettoriale S dotato di relazioni di commutazione identiche a quelle dell’operatore L, ma che sia rappresentato da matrici che operano su uno spazio con base discreta, è possibile ottenere anche valori semiinteri. Le regole di commutazione dell’operatore sono quelle usuali:

[ Sx,Sy ] = i Sz

[ Sz,Sx ] = i Sy in breve: [ Si,Sj ] = iijk Sk

[ Sy,Sz ] = i Sx

[ S2,Si] = 0 i=x,y,z

Le matrici di Pauli sono una possibile rappresentazione e servono a rappresentare il numero quantico dello spin per le particelle a spin ½:

10

01σ

0i

i0σ

01

10σ 321

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Spin (continua)

ms = ± ½

Si = ½ i

S2 ha autovalore

s(s+1) = ½ ( ½ +1) = ¾

ed S3 (o Sz) ha due autovalori possibili:

L’operatore di spin sarà cosi definito:

Per ogni valore di s (intero o semiintero) è possibile trovare una rappresentazione matriciale di dimensione 2s+1. Lo spin è dunque considerabile come un momento angolare intrinseco in quanto è un’osservabile avente tutte le caratteristiche di un momento angolare ma che non opera sull’ordinario spazio tridimensionale. Lo spin si somma al momento angolare orbitale a dare il momento angolare totale J della particella:

J = L + S

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Spin (continua)

La composizione di due particelle di spin 1/2 fornisce due stati possibili, uno di tripletto di spin e uno di singoletto di spin:

S1 = 1/2 MS1= 1/2

S2 = 1/2 MS2= 1/2

S = S1 + S2 - S1 - S2 S S1 + S2

1) S = 0 -S MS +S MS = 0 un solo stato possibile:

STATO DI SINGOLETTO DI SPIN

2) S = 1 -S MS +S MS = 0, 1 tre stati possibili:

STATO DI TRIPLETTO DI SPIN

0

1

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Quantizzazione dello spin

L’elettrone sarà soggetto pertanto a una forza F diretta lungo z:

Fz = - ∂U/ ∂z = ∂B/ ∂z

L’esperimento dimostra che gli elettroni vengono separati in due fasci discreti, uno diretto in alto e l’altro in basso. Questo indica che il momento magnetico è quantizzato e poichè il momento magnetico è proporzionale allo spin, ciò significa che anche lo spin può assumere solo valori discreti.

La quantizzazione del momento angolare è stata dimostrata dall’esperimento di Stern e Gerlach (1922). Un fascio di elettroni (nel caso dell’esperimento originario si trattava di atomi d’Ag) di energia nota vengono fatti passare attraverso un campo magnetico non uniforme in intensità ma di direzione costante (ad esempio lungo z). L’energia potenziale del momento magnetico dell’elettrone nel campo magnetico B, diretto lungo z è: U = - · B

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Classificazione delle particelle in base allo spin

• BOSONI: particelle a spin intero, lo sono tutte le particelle

mediatrici di forza e i mesoni

Es. fotone mediatore dell’interazione elettromagnetica (S=1)

bosoni Z0 , W± mediatori dell’interazione debole (S=1)

gluoni (i=1,…,8;mediatori dell’interazione forte S=1)

mesoni: pioni (+-0) e Kaoni (S=0), , (S=1)

• FERMIONI: particelle a spin semi-intero; tutte le particelle materiali

stabili sono fermioni; esistono anche fermioni non stabili

Es. elettrone, protone, neutrone, quarks (S= ½) particelle stabili

particella instabile

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Funzione d’onda - Spin

Esiste un importante legame tra lo spin e il comportamento della funzione d’onda che descrive un sistema a N particelle. La funzione d’onda che descrive N bosoni è simmetrica per scambio di due particelle, quella che descrive N fermioni è invece antisimmetrica:

(1,2) = + (2,1) simmetrica – bosoni (1,2) = - (2,1) antisimmetrica – fermioni

Da ciò consegue il principio di esclusione di Pauli per i fermioni. Preso un sistema di N fermioni identici (= con gli stessi numeri quantici), la funzione (1,2) dovrebbe essere uguale all’opposto di se stessa e pertanto un simile sistema non può esistere. I fermioni devono avere almeno un numero quantico che li differenzia (ad es. la terza componente dello spin, spin “up” e spin “down”).

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Carica elettricaLa carica elettrica è quantizzata, in multipli interi della carica elementare che è quella dell'elettrone (qe = 1.602 10-19 C)

La carica della particella fa sì che essa venga accelerata da un campo elettrico e, se essa è anche in moto, deflessa da un campo magnetico in seguito alla forza di Lorentz:

B vE q FB

Parte elettrica: E campo del direzionela lungodiretta m

E q a E q a m

Parte magnetica: la componente v rimane inalterata

la componente v viene modificata in direzione non in modulo

B

v

v

v

B

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Momento di dipolo magneticoUna particella carica dotata di momento angolare L, si comporta ruotando come una spira percorsa da corrente e genera pertanto un campo magnetico, descritto da un momento di dipolo magnetico:

n

r iSn

L m 2

q

m 2

r vm q n

2

r vq n r π

r

v

π2

q n S i n μ

r π S

r

v

π2

q

π2

ω q

ω

π2q

T

q i

2

2

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In meccanica quantistica, l’operatore di momento angolare L2 applicato ad un autostato fornisce autovalori ħ2 l(l+1); quindi L è esprimibile in unità di ħ, che può essere fattorizzata. Lavorando inoltre in unità di Gauss, la costante di proporzionalità tra e L diventa quindi: (q=Ne dove e è la carica dell’elettrone)

Momento di dipolo magnetico (continua)

c m 2

e μ L μ N L

c m 2

e N μ

00

Se m è la massa dell’elettrone, prende il nome di magnetone di Bohr (B) e ha il valore:

= e ħ / 2mec = 0.5788· 10-14 MeV Gauss-1 MAGNETONE DI BOHR

Se m è la massa del protone prende il nome di magnetone nucleare (N) e ha il valore:

= e ħ / 2mpc = 3.1525· 10-18 MeV Gauss-1 MAGNETONE NUCLEARE

MAGNETONE

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Momento di dipolo magnetico (continua)

Prendiamo ora una particella carica dotata solo di spin e con momento angolare orbitale nullo. Se lo spin potesse essere immaginato come un semplice moto di rotazione di un corpo rigido su se stesso, allora ci si potrebbe attendere che la stessa relazione dovrebbe legare il momento magnetico e lo spin, cioè:

S= S

Non è invece cosi e la relazione che lega S e S è:

S= gS S

dove gS è chiamato “rapporto giromagnetico” della particella.

Per particelle di spin 1/2 senza struttura tale rapporto può essere ricavato dall’equazione di Dirac. Uno dei maggiori successi della teoria di Dirac fu appunto la predizione del “rapporto giromagnetico” dell’elettrone (gS = 2.0024) misurato successivamente.

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In generale per una particella dotata di momento angolare orbitale e di

spin, il momento di dipolo è dato dalla relazione:

gL L + gS S )

dove gL = q/e = N

Esso dipende pertanto non soltanto da L e da S ma anche dalla loro

orientazione relativa.

Il momento di dipolo magnetico della particella ci fornisce

l’accoppiamento con un campo magnetico esterno B attraverso una

hamiltoniana:

Hint = - B

Momento di dipolo magnetico (continua)