Complementi di Fisica 1:

Riassunto delle puntate

precedenti

Principi di Meccanica Quantistica

L’equazione di Schroedinger applicata

allo studio dell’Atomo di H

Complementi di Fisica 1:

LA LEZIONE DI OGGI La scorsa lezione avete visto come sia

possibile risolvere l’equazione di

Schroedinger applicata allo studio

dell’atomo a un elettrone : L’atomo di H

Avete ricavato autovettori e autovalori

Oggi vedremo come si puo’ migliorare

questa soluzione, cosa succede quando

l’atomo si mette in presenza di un campo

esterno e come si possono studiare gli

atomi a piu’ elettroni

L’Atomo di H

Data l’equazione per l’atomo di H

Si trova che:

n=1,2,3…

l=0,1,2…(n-1)

ml=-l, -l+1,..,+l

L’Atomo di H

n specifica l’energia, determina i valori di l e determina la

degenerazione (n2) ovvero il numero totale degli orbitali

con la stessa energia e fornisce il numero di nodi

angolari e radiali (n-1)

l specifica il momento angolare

e determina il numero degli orbitali con dato (n, l) (2l+1)

ml specifica la componente del momento angolare

orbitale

e , dati (n,l) specifica un dato orbitale

L l l 1 h

Lz mlh

Spettro Atomo

di H

L’Atomo di H

Al variare di n En assume vari valori che,

guarda caso , sono proprio i valori previsti

dal modello di Bohr

Come si fa a verificare la veridicita’ della

teoria? Eccitando l’atomo in qualche modo

e misurando l’energia delle righe emesse

o assorbite

In realta’ si misurano righe che non sono

previste dalla teoria…ci deve essere

qualcosa trascurato dalla teoria

Una premessa: il momento di

dipolo magnetico orbitale Un carica che ruota in un loop genera una corrente

Cui e’ associato un momento di dipolo magnetico

orbitale

dove

Tenendo conto delle direzioni:

Noti autovalori e autovettori:

ie

T

ev

2 r

l iAevr

2

eL

2m

l

L

e

2mcos t

gl B

h B

eh

2mgL 1

l

gl B

h L

l gl B l l 1

lzgl Bml

l iAevr

2

eL

2m

l

L

e

2mcos t

gl B

h

Momento di dipolo magnetico in

campo B In un campo magnetico un momento di dipolo magnetico

esperimenta un momento torcente

che tendera’ ad allineare il dipolo con i campi

e che e’ associato ad una energia potenziale di orientazione

l B

E l B

Momento di dipolo magnetico in

campo B In assenza dell’energia necessaria affinche’ il

momento si possa allineare al campo B il

momento di dipolo magnetico fa un moto di

precessione con frequenza angolare

gL B

h B

Momento di dipolo magnetico in

campo B costante

Momento di dipolo magnetico in

campo B non costante Se il campo e’ costante uniforme nello spazio

non c’e’ Forza Traslazionale sul momento

magnetico di dipolo ma se il campo non e’

uniforme si ha una forza traslazionale media che

agisce nella direzione in cui il campo e’ piu’

intenso

FzBz

zlz

Momento di dipolo magnetico in

campo B non costante

Esperimento di Stern-Gerlach

Va

1922 usando vapori di Ag FzBz

zlz

Stern e Gerlach misurarono 2 spot mentre

si aspettavano un numero dispari di spot

dato che lz assume (2l+1)

valori quantizzati

Il problema di Stern & Gerlach

Phipps & Taylor ripetono l’esperimento di

Stern-Gerlach usando atomi di H trovando

sempre 2 spots

Come mai?

Idea: Nella teoria manca

qualcosa….

LO SPIN

LO SPIN

IPOTESI: L’elettrone ha un momento di dipolo

magnetico s dovuto ad un MOMENTO

ANGOLARE INTRINSECO S detto DI SPIN

Classicamente si puo’ immaginare che il loop di

corrente sia dovuta al moto dell’elettrone su se

stesso

Analogamente al momento angolare orbitale il

momento angolare di spin sara’:

Con componente z

S S(S 1)h

Sz mSh

Momento di Dipolo Magnetico

di Spin A tale momento di spin sara’ associato un

momento di dipolo magnetico di spin:

Dalle osservazione sperimentali sugli

atomi di H si trova che ms=+-1/2 e S=1/2

Dalla misura della distanza tra i due spot

si ricava una misura:

Verificando che gs=2

S

gS B

h S

SzgS B mS

FzB

zgS B ms

LO SPIN Sebbene lo spin sia un concetto sottile, difficile da

capireper la mancanza di un corripsondente classico

produce degli effetti tangibili molto evidenti

Due esempi:

1. I numeri quantici che descrivono lo stato sono (n,l, ml,

ms) in accordo con il principio di esclusione di Pauli (non

ci possono essere due elettroni con gli stessi numeri

quantici) lo spin permette di raddoppiare il numero di

elettroni per ogni stato

2. L’EFFETTO SPIN- ORBITA responsabile in alcuni casi

dello splitting di alcuni livelli, prima degeneri, in piu’ livelli

E’ il caso dei livelli responsabili del colore giallo del Na

INTERAZIONE SPIN ORBITA

Il nucleo carico che si muove (nel sistema di riferimento

fisso sull’elettrone con velocita’ –v da’ luogo ad una

corrente

j=-ZeV

Che per la legge di Ampere corrisponde ad un campo B :

Che in funzione del campo elettrico B 0

4

j r

r3

EZe

4 0

r

r3B

1

c 2v E

con c =1

0 0

INTERAZIONE SPIN ORBITA

L’elettrone ed il suo momento di dipolo magnetico di spin

possono assumere diverse orientazioni rispetto al campo

magnetic interno dell’atomo.

Ad ognuna di queste orientazioni corrispondera’ una

diversa energia potenziale orientazionale:

E s Bgs B

h S B

INTERAZIONE SPIN ORBITA Nel sistema di riferimento con il Nucleo a riposo le

trasformazioni relativistiche dai due sistemi di riferimenti

(PRECESSIONE DI THOMAS) danno un fattore 2 per

cui l’Energia dovuta all’interazione spin-orbita diventa:

EgS B

2h S B

INTERAZIONE SPIN ORBITA

Sapendo che:

E s Bgs B

h S B

EgS B

2h S B

NOTA BENE: il campo magnetico dipende dal momento angolare

B1

c 2v E

INTERAZIONE SPIN ORBITA

Alla fine sostituendo nell’espressione dell’energia di

interazione spin-orbita la espressione del campo B si

trova che:

EgS B

2h S B

INTERAZIONE SPIN ORBITA

Se non ci fosse Interazione SO non ci sono momenti di

torsione che agiscono e L e S sono liberi di muoversi sui

loro rispettivi coni con orientazioni indipendenti

In presenza di interazione SO il forte campo magnetico

interno che agisce sull’elettrone atomico la cui direzione

dipende da L e produce un momento torcente di sul

momento di dipolo magnetico di spin la cui orientazione

e’ detrminata da S Il momento di torsione non cambia la

grandezza di S ma produce un accoppiamento tra L eS

che da luogo ad un moto di precessione con

orientazione di uno che dipende dall’orientazione

dell’altro E

gS B

2h S B

MOEMNTO ANGOLARE

TOTALE Tale moto complicato si puo’ semplificare se si considera

la composizione J=L+S

INTERAZIONE SPIN ORBITA

In accordo con le regole di composizione

dei vettori si trova che il momento

angolare totale J e al sua componente z

sono definiti come

Interazione spin - orbita

In definitiva l’interazione spin orbita

produce una correzione all’hamiltoninana

pari a :

E quindi una correzione agli autovalori

Alcune note sullo spin orbita

Alcune note:

1. si tratta di un effetto dello stesso ordine

di grandezza delle correzioni relativistiche

(10-4) ma a differenza delle correzioni

relativistiche produce uno split dei livelli

2. e’ responsabile del doppietto del Na

(3p2s)

ATOMI A PIU” ELETTRONI

Anche l’atomo a + elettroni piu’ semplice (l’He) non si

puo’ risolvere esattamente

Il problema nasce dal termine di interazione elettronica

1/r12

Idea: immaginiamo che gli elettroni si muovano

indipendentemente in un potenziale medio sfericamnet

simmetrico che tiene conto sia del termine attrattivo con

il nucleo (sfericamente simmetrico) sia del termine

responsabile dell’interazione media dell’i-mo elettrone

con i suoi (Z-1) colleghi che schermano la carica del

nucleo

V (r)Z

rS(r)

Approssimazione di Campo

Centrale Al limite il potenziale deve essere tale che

:

- Per r->0 al potenziale coulombiano con

Z=carica del Nucleo

- Per r->infinito al potenziale coulombiano di

un elettrone che vede un nucleo di carica

+1 a causa dello schermo degli (Z-1)

elettroni interni

- Per valori intermedi ad un potenziale

interpolato

V (r)Z

rS(r)

ATOMI A PIU” ELETTRONI

L’Hamiltoniana di un atomo a piu’ elettroni

e’: H

1

2ri

2 Z

ri

1

ri, ji ji

H1

2ri

2 Z

ri

1

ri, ji jiV (ri)

i

V (ri)i

Hc H '

1

2ri

2 V rii

1

ri, jV ri

ii j

1

2ri

2 V rii

1

ri, jS ri

ii j

A questo punto la parte H=Ho+H’

dove Ho e’ somma di hamiltoniane a

singolo corpo

E H’ e’ PICCOLA

METODO DI HARTREE

Si parte da un potenziale “ragionevole”

che soddisfa le condizioni al contorno e

che per valori di r intermedi e’ interpolato

Si risolve l’equazione di Schroedinger

dipendente dal tempo per un dato

elettrone e si trova la corrispondente

autofunzione e autovalore

Si ordinano i vari stati con energia

crescente etichettandoli con un indice

…

Per ottenere lo stato fondamentale si

riempioni tali stati mettendo un elettrone

per ogni livello

Una volta note le autofunzioni si calcola la

distribuzione di densita’ di carica

Con il Th di gauss di ricava il campo

elettrico integrando il quale si ricava il

potenziale stimato

e i i*

i

V e E(r)dr

Tale potenziale sara’ leggermento diverso

di quello di partenza

Si ripete l’intera procedura partendo da

quest’ultimo potenziale fino a quando la

differenza tra il potenziale di partenza e

quello di uscita e’ minore di un valore di

riferimento sufficientemente piccolo

Attenzione in questo caso essendo

l’autofunzione prodotto delle autofunzioni

a singolo elettrone

non e’ ANTISIMMETRICA condizione

essenziale in quanto cambiando il nome

agli indici essendo gli elettroni

indistinguibili la funzione d’onda non deve

cambiare

i i

Per questo FOCK propose di calcolare la

funzione d’onda Totale come prodotto

determinantale trovato scrivendo una

matrice dove in ogni riga c’e’ una

coordinata della i-ma particella mentre al

variare della colonna cambia il set di

numeri quantici associati alla particolare

funzione d’onda

TEORIA DI HARTREE FOCK

1

N

a11 b1 1 ... g1 1

a12 b1 2 ... g1 2

a13 b1 3 ... g1 1

a1N b1 N ... g1 N

DUE ESMPI

1. Gli atomi alcalini

2.L’atomo di He

Bibliografia

o R. Eisberg, R, Resnick “Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Partcles” Jonh Wiley & Sons

oBrandsen Joachain