1

LE SUCCESSIONI• Si consideri la seguente sequenza di numeri:• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…• detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di

conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento!• Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento

per il precedente:

• • ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... • I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:

...,8

13 ,

5

8 ,

3

5,

2

3 2, ,1

...61803.12

51

2

LE SUCCESSIONI

• Le successioni sono particolari funzioni aventi come dominio l’insieme NN dei numeri naturali e come codominio un sottoinsieme BB proprio dell’insieme dei numeri reali.

• Le successioni vengono indicate :• Ovvero come :

• Il grafico di una successione si trova nel primo o nel quarto quadrante.

nan ,...,...,,, 321 naaaa

Successioni numeriche: rappresentazione grafica

Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli an. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati;in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari

3

4

LE SUCCESSIONIEsempio 1.•Si consideri la successione: al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si avvicina sempre di più al numero 0.Esempio 2•Si consideri la successione: Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandiEsempio 3•Si consideri la successione :

Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.

nan n

1

nnan 10

nnan )1(

5

LE SUCCESSIONI

Successioni numeriche: limitatezza

6

Successioni numeriche: monotonia

7

Successioni numeriche: monotonia

8

Teorema sulle successioni monotòne

9

10

LE SUCCESSIONI: realtà e modelli

• Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è espresso da:

• Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n periodi è dato dal termine n-esimo della successione:

nC )1(0 inC

nnn iCCan )1(0

11

LE SUCCESSIONI

• Proprietà dei limiti:• A)

• B)

• C)

• D)

nn

nn

nnn

baba

limlimlim

nn

nn

nnn

baba

limlimlim

nn

nn

n

n

n b

a

b

a

lim

limlim

nb

nn

nnb

nn

aa

lim

limlim

12

LE SUCCESSIONI• Si consideri la successione il cui termine generico è

rappresentato da un polinomio di grado h h in n:

• Esempio 4:

• Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha:

• In generale si ha:

hhh

n nnan ...110

152 2 nnan n

)15

2(2

2

nnn

nlim

nnalim )002(

nnalim )( 0sign

13

LE SUCCESSIONI

• Un successione nella quale il termine generico è dato dal rapporto di due polinomi assume l’espressione:

• A) h>k

• B) h=k

• C) h<k

kkk

hhh

nnn

nnan

...

...1

10

110

1

22

4

nn

nan n

1

22

2

nn

nan n

1

24

2

nn

nan n

14

LE SUCCESSIONI

• In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a denominatore la potenza di grado più elevato:

• Nel caso A) si ha

• Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a • mentre il denominatore converge a –1 quindi la

successione diverge a

2

42

22

44

111

)2

1(

)11

1(

)2

1(

nn

nn

nnn

nn

na

15

LE SUCCESSIONI

• Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene:

• Per cui

e quindi la successione è convergente a - 1.

2

2

22

22

111

21

)11

1(

)2

1(

nn

n

nnn

nn

2

2

111

21

nn

n

nlim 1

1

1

na

16

LE SUCCESSIONI• Nel caso C) si ha:

• Il numeratore tende ad un numero finito mentre il denominatore tende all’infinito (per la precisione a ), quindi si ottiene:

• =0

• La successione è convergente.

)11

1(

21

)11

1(

)2

1(

432

2

434

22

nnn

n

nnn

nn

nlim

1

24

2

nn

n

na

17

LE SUCCESSIONI

• Concludendo:• A) se h>k la successione è divergente a

• B) se h=k la successione è convergente a

• C) se h<k la successione è convergente a 0.

0

0

)(0

0

sign

18

LE SUCCESSIONI

• Per quanto riguarda la successione il cui termine generico ha la forma:

• si presenta una situazione difficile solo se la la base della potenza tende ad 1 e l’esponente tende all’ , perché si genera la forma indeterminata

ppnpn

kkk

hhh

nnn

nnan

...110

110

110

...

...

1

19

LE SUCCESSIONI

• Si consideri la successione :

• Essa da luogo alla forma indeterminata

• ma si può dimostrare che tale successione è convergente al numero di Eulero ee=2,718… che è la base dei logaritmi neperiani (non naturali!) lnlnx.

n

n nan

11

1

20

LE SUCCESSIONI

• Si consideri ora la successione:

• Dove le due successioni e sono divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla forma indeterminata . In questo caso si opera così:

•

nb

nn acn

11

nan nbn

1

nanb

na

n

nanb

na

n aa

1

11

1

21

LE SUCCESSIONI

• Calcolando il limite si ottiene:

nb

na

11

nlim

nanb

na

na

11

nlim

nanb

ne lim

22

LE SUCCESSIONI

• Esempio 5.• Si consideri la successione

• Il calcolo del limite porta a:

nn

nn

an

2

2 32

11

eee n

nn

n

2

1

322

2lim

nlim na

23

LE SUCCESSIONI• La successione geometrica:

• Se la successione è oscillante e non esiste.

• Se la successione è convergente e

• Se q=1 la successione è costante e

• Se la successione è divergente e

1 nn aqan

1qnnalim

11 q 0lim nna

1q )(asignnnalim

aan

n

lim

24

LE SUCCESSIONI

• Esempio 6. n

9

115

n5

0lim nna nan

nnalim

???lim nna

nan

nan n)2(