1 Successioni e serie di funzioni

Abbiamo studiato le propriea delle successioni di numeri (xn) e delle corrispondnetiserie, ∑

xn .

Vogliamo ora studiare il caso delle successioni di funzioni (fn(x)) e delle corrispon-denti serie ∑

fn(x) .

Per definizione, la successione di funzioni (fn(x)) e una trasformazione che ad ognin associa una funzione; la funzione associata ad n si indica col simbolo fn(x).

La serie di funzioni∑

fn(x) ha per somma una funzione g(x) che si costruiscein questo modo:

1) si costruisce la successione (sn(x)) delle somme parziali

s1(x) = f1(x) , s2(x) = f1(x) + f2(x) , . . . , sk(x) =k∑

n=1

fn(x)

(se l’indice n comincia da 1, modifice ovvie se inizia da 0 o, per esempio, da2).

2) x ∈ dom g se e solo se esiste limn sn(x).

3) se x ∈ dom g si definisce∑

fn(x) = g(x) = limn

sn(x) .

Si noti che, cosı come (fn(x)), anche (sk(x)) e una successione di funzioni.

Osservazione 1 E’ importante notare che le funzioni fn(x) si intendono tutte defi-nite su un medesimo insieme A, indipendente da n. L’insieme A puo essere in R oin Rn oppure anche un insieme di numeri complessi. Noi considereremo solamenteil caso in cui A ⊆ R oppure A ⊆ C. Gli argomenti si adattano senza difficolta alcaso in cui A ⊆ Rn.

Notazione. Da ora in poi di regola useremo una notazione meno “elementare”:per indicare una funzione invece di scrivere f(x) scriveremo semplicemente f . Invece,col simbolo f(x) intenderemo il valore che la funzione f assume nel punto x. Incerti casi questo puo condurre ad ambiguita ed allora useremo notazioni del tipox → f(x) per indicare la funzione che ad x associa il numero f(x). Inoltre, questanotazione non pota usarsi per specifiche funzioni: la funzione x → sinx si indicherasemplicemente con sinx.

1

Dunque, successioni e serie di funzioni di regola si indicheranno con la notazione

(fn) ,∑

fn ,+∞∑

n=1

fn

ecc. Invece scriveremo esplicitamente x quando dovremo considerare successioni oserie di funzioni particolari, per esempio

∑5n(x− 1)n ,

∑ 1nx2 + 1

∑ 1n2

sinnx .

Sia (fn) una successione di funzioni definite su un insieme A. Si dice che lasuccessione converge puntualmente su A0 ⊆ A quando essa converge in ogni puntox ∈ A0. Analoga definizione per il caso delle serie: la serie

∑fn

converge puntualmente su A0 quando converge in ogni punto di A0.Dal punto di vista della convergenza puntuale, le successioni o serie di funzioni

siano niente altro che successioni o serie numeriche dipendenti dal parametro x: perogni valore fissato di x si trova una successione o una serie di numeri che puo esserestudiata con le tecniche che gia conosciamo. In particolare e vero che:

• una serie∑+∞

n=1 fn converge puntualmente se e solo se∑+∞

n=r fn converge perun r > 1 (ossia la proprieta di convergenza puntuale non dipende dai primielementi della serie).

• se∑+∞

n=1 fn converge puntualmente allora

+∞∑

n=1

fn(x) =r∑

n=1

fn(x) ++∞∑

n=r+1

fn(x) , ∀x ∈ A .

E’ un fatto che la convergenza puntuale a poco serve. Servono altri tipi di con-vergenza, che dipendono dal tipo particolare di successioni di funzioni che si stannostudiando. Noi ci limiteremo a studiare i casi della “convergenza uniforme” e della“convergenza quadratica”. Nel contesto della convergenza uniforme studieremo le“serie di potenze”, in particolare le “serie di Taylor”. Nel contesto della convergenzaquadratica studieremo le “serie di Fourier”.

2 La convergenza uniforme

Siano fn funzioni definite su un insieme A.

2

Si dice che la successione (fn) converge uniformemente su A ad g quandoper ogni ε > 0 esiste Nε > 0 tale che per n > Nε si ha

|fn(x)− g(x)| < ε ∀x ∈ A .

Un modo diverso di descrivere la convergenza uniforme, equivalente alprecedente, e

limn

[supx∈A

|fn(x)− g(x)|]

= 0 .

Confrontiamo questa definizione con la definizione di convergenza puntuale: fn

converge puntualmente su A ad f0 quando per ogni x ∈ A e per ogni ε > 0 esisteN = N(ε, x) tale che se n > N(ε, x) allora vale |fn(x)− f0(x)| < ε.

La definizione di convergenza uniforme si trasferisce dalle successioni alle seriedi funzioni applicandola alla successione (sn) delle somme parziali. Se

g(x) =+∞∑

k=0

fk(x) , sn(x) =n∑

k=0

fk(x)

allora

|sn(x)− g(x)| =∣∣∣∣∣

n∑

k=0

fk(x)−+∞∑

k=0

fk(x)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

+∞∑

k=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣∣e quindi:

Le funzioni fn siano definite su A. La serie di funzioni

+∞∑

n=0

fn

converge uniformemente su A alla funzione g se per ogni ε > 0 esiste Nε

tale che

n > Nε =⇒∣∣∣∣∣∣g(x)−

n∑

k=q

fk(x)

∣∣∣∣∣∣< ε ∀x ∈ A .

Si verifica facilmte:

Teorema 2 Se una successione (fn) di funzioni converge uniformemente su A aduna funzione g, essa converge a g anche puntualmente su A. Una successione di fun-zioni costanti su A, se converge, converge uniformemente. Asserti analoghi valgonoanche per le serie di funzioni.

3

Mostriamo due esempi:

Esempio 3 Sia

A = [0, 1] , fn(x) =1n

xn .

La successione (fn) converge uniformemente alla funzione 0 su [0, 1]. Infatti, siaε > 0 e si risolva la disequazione

| 1n

xn − 0| = 1n

xn < ε ∀x ∈ [0, 1].

Essendo xn < 1 questa disequazione vale in particolare se n > Nε = 1/ε.Consideriamo invece la successione delle funzioni fn, ancora definite su [0, 1],

fn(x) = xn .

E’ immediato verificare che essa converge puntualmente alla funzione g(x),

g(x) =

{0 se x ∈ [0, 1)1 se x = 1 .

La convergenza pero non e uniforme. Per vederlo, si fissi x0 ∈ (0, 1) e si noti cheper x ∈ [0, x0) si ha

xn ≤ xn0 .

Dunque si haxn < ε∀x ∈ [0, x0]

se e solo sexn

0 < ε ossia se e solo se n >log ε

log x0= N(x0, ε)

(si noti che log x0 < 0 e anche log ε < 0 se ε ∈ (0, 1)). Per x0 → 1, il denominatorelog x0 → 0 e quindi non puo trovarsi N(ε), indipendente da x0, per cui xn < ε su[0, x0].

L’esempio precedente mostra in particolare una successione di funzioni continueche converge puntualmente ad un funzione discontinua. In contrasto con cio:

Teorema 4 Siano fn funzioni continue su un insieme A. Se la successione (fn)converge uniformemente su A ad una funzione g, allora la funzione g e continua suA.

In particolare cio vale per le serie:

Corollario 5 Siano fn funzioni continue su un insieme A. Se la serie∑

fn con-verge uniformemente su A ad una funzione g, allora la funzione g e continua suA.

4

Enunciamo ora, senza provarli, i risultati seguenti:

Teorema 6 Sia∑

fn una serie di funzioni definite su A: se la serie∑ |fn| converge

uniformemente su A allora anche la serie∑

fn converge uniformemente su A.

Osservazione 7 Analogamente al caso delle serie numeriche, diciamo che la serie∑fn converge assolutamente su A quando ivi converge la serie

∑ |fn|.

Un test semplice per verificare la convergenza uniforme di una serie di funzionie il seguente:

Teorema 8 (di Weierstrass) Esista una successioni (γn) di numeri tale che

|fn(x)| ≤ γn ∀x ∈ A ,∑

γn < +∞ .

In tal caso, la serie∑

fn converge uniformemente su A.

3 Convergenza uniforme ed integrale di Riemann

La convergenza uniforme di successioni di funzioni continue ha legami molto stretticon l’integrale di Riemann. Infatti:

Teorema 9 Sia (fn) una successione di funzioni continue su un intervallo [a, b],che converge uniformemente a g. Allora vale

lim∫ b

afn(t) dt =

∫ b

ag(t) dt .

Dim. Si sa gia che la funzione g e continua e quindi il suo integrale esiste. Valutiamo∣∣∣∣∣∫ b

afn(t) dt−

∫ b

ag(t) dt

∣∣∣∣∣ =∫ b

a|fn(t)− g(t)|dt .

Sia ε > 0 e sia Nε tale che per n > Nε e per tutti i t si abbia

|fn(t)− g(t)| < ε .

Il numero Nε esiste grazie alla convergenza uniforme.Per N > Nε si ha quindi

∣∣∣∣∣∫ b

afn(t) dt−

∫ b

ag(t) dt

∣∣∣∣∣ =∫ b

a|fn(t)− g(t)| dt ≤

∫ b

0ε dt = ε(b− a)

e quindi l’asserto.

L’asserto del teorema precedente si compendia dicendo che se c’e convergenzaunifome il segno di limite si scambia con quello d’integrale.

Notiamo ora:

5

Lemma 10 Sia (fn) una successione di funzioni continue definite su [a, b], checonverge uniformemente a g. La successione di funzioni (Fn)

Fn(t) =∫ t

afn(s) ds

converge uniformemente su [a, b] alla funzione G,

G(t) =∫ t

ag(s) ds .

Dim. Si noti che

maxt∈[a,b]

|Fn(t)−G(t)| ≤∫ t

a|fn(t)− g(t)| dt ≤

∫ b

a|fn(t)− g(t)|dt

e questo e minore di ε(b−a) se n > Nε, per un opportuno Nε, grazie alla convergenzauniforme di (fn) ad y.

Un’ulteriore proprieta importante che si vede ancora passando attraverso l’inte-grazione e la seguente. Per semplicita diremo che una funzione f e di classe C1 su[a, b] qundo e di classe C1 su (a, b) e inoltre

limx→a+

f ′(x) = f ′(a+) , limx→b−

f ′(x) = f ′(b−) .

Per derivata in a e in b intenderemo la derivata direzionale.

Teorema 11 Sia (fn) una successione di funzioni di classe C1 su [a, b] e supponia-mo che:

• in un punto c ∈ [a, b] la successione numerica (fn(c)) converga ad un numeroz.

• la successione di funzioni (f ′n) converga uniformemente su [a, b] ad una fun-zione g(t).

In questo caso la successione di funzioni (fn)

• converge uniformemente su [a, b] ad una funzione h;

• la funzione h e derivabile e h′(t) = g(t) per ogni t ∈ [a, b].

Dim. Si scriva

fn(t) = fn(c) +∫ t

cf ′n(s) ds .

Per ipotesi, fn(c) → z e (f ′n) converge uniformemente a g; e quindi il segno di limitesi scambia con quello di integrale, ottenendo che esiste

lim fn(t) = lim[fn(c) +

∫ t

cf ′n(s) ds

]= z +

∫ t

cg(s) ds .

6

Dunque h(t) = lim fn(t) esiste per ogni t,

h(t) = z +∫ t

cg(s) ds .

Il teorema fondamentale del calcolo integrale mostra che la funzione h e derivabile eche h′(t) = g(t). Inoltre,

fn(t)− h(t) =[fn(c) +

∫ t

cf ′n(s) ds

]−

[z +

∫ t

cg(s) ds

]

[fn(c)− z] +[∫ t

cf ′n(s) ds−

∫ t

cg(s) ds

].

Si vede da qui che (fn − h) tende a zero uniformemente su [a, b] perche il primoaddendo e una successione di funzioni costanti, che converge a zero. Il secondoaddendo converge uniformemente a zero grazie al Lemma 10.

Osservazione 12 La continuita di f ′n(t) e la convergenza uniforme della successionedelle derivate implicano la continuita di g(t) e quindi la derivabilita di h(t). Siricordi infatti che il teorema fondamentale del calcolo integrale richiede la continuitadella funzione integranda. Una dimostrazione assai piu complessa mostra che ilTeorema 11 vale anche supponendo la sola derivabilita delle (fn(t)) in ogni punto.

3.1 Il caso delle serie

Combiniamo ora i teoremi del paragrafo 3 con la linearita dell’integrale:∫ b

a[f1(x) + f2(x) + · · ·+ fn(x)] dx =

∫ b

af1(x) dx+

∫ b

af2(x) dx+ · · ·+

∫ b

afn(x) dx .

Si ottengono i risultati seguenti:

Teorema 13 Sia (fn) una successione di funzioni continue su [a, b] e supponiamodi sapere che

∑fn converge ad una funzione g, uniformemente su [a, b]. In tal caso,

∫ b

a

(∑fn(x)

)dx =

∑ ∫ b

afn(x) dx . (1)

Dim. Sia (sn) la successione delle somme parziali. Per ipotesi la successione sn

converge uniformemente a g =∑

fn, uniformemente su [a, b]. Dunque,∫ b

ag(x) dx =

∫ b

alimn

sn(x) dx = limn

∫ b

asn(x) dx .

Ma ora,∫ b

asn(x) dx =

∫ b

a[f1(x) + f2(x) + · · ·+ fn(x)] dx

=∫ b

af1(x) dx +

∫ b

af2(x) dx + · · ·+

∫ b

afn(x) dx

7

e quindi∫ b

ag(x) dx = lim

[∫ b

af1(x) dx +

∫ b

af2(x) dx + · · ·+

∫ b

afn(x) dx

]

=∑ ∫ b

afn(x) dx .

La formula precedente si chiama formula di integrazione termine a termine.In modo analogo, a partire dal Teorema 11, si potrebbe provare:

Teorema 14 Sia (fn) una successione di funzioni di classe C1, su [a, b]. Supponia-mo che:

• in un punto c ∈ [a, b] la serie numerica∑

fn(c) converga ad un numero z.

• la serie di funzioni (f ′n(t)) converga uniformemente su [a, b] ad una funzioneg(t).

In questo caso la serie∑

fn converge uniformemente ad una funzione h derivabilee

h′(x) =∑

f ′n(x) . (2)

La (2) si chiama formula di derivazione termine a termine.

3.2 Convergenza uniforme di serie di funzioni e operazioni

Sulle serie di funzioni si eseguono le usuali operazioni di somma e di prodotto perscalari, operando puntualmente:∑

fn(x)+∑

gn(x) =∑

[fn(x)+gn(x)] α(∑

fn(x))

=∑

αfn(x) ∀x ∈ A .

Si prova facilmente che se∑

fn e∑

gn convergono uniformemente, allora ancheα

∑fn e

∑fn +

∑gn convergono uniformemente. E’ meno intuitiva la definizione

di prodotto alla Cauchy di due serie di funzioni. Questa si definisce ancora puntoper punto ma, per giustificarla, conviene considerare prima il caso particolare delledue serie

+∞∑

n=0

an(x− x0)n ,+∞∑

n=0

bn(x− x0)n

Si definisce(

+∞∑

n=0

an(x− x0)n

)·(

+∞∑

n=0

bn(x− x0)n

)= lim

N→+∞

{[N∑

n=0

an(x− x0)n

]·[

N∑

n=0

bn(x− x0)n

]}.

Dentro la parentesi graffa c’e il prodotto di due polinomi e si calcola immediatamenteche [

N∑

n=0

an(x− x0)n

]·[

N∑

n=0

bn(x− x0)n

]=

2N∑

n=0

cn(x− x0)n

8

ovecn = a0bn + a1bn−1 + · · ·+ an−1b1 + anb0 .

Prendendo spunto da quest’osservazione, si definisce in generale(

+∞∑

n=0

fn

)·(

+∞∑

n=0

gn

)=

+∞∑

n=0

hn

conhn = f0gn + f1gn−1 + · · ·+ fn−1g1 + fng0 .

Il prodotto di serie cosı definito va sotto il nome di prodotto alla Cauchy. Siprova:

Teorema 15 Se ambedue le serie convergono uniformemente, rispettivamente adF e G e se una di esse converge assolutamente, allora la serie prodotto alla Cauchyconverge uniformemente ad FG.

4 Serie di potenze

Si chiamano serie di potenze le serie di funzioni della forma

+∞∑

n=0

an[x− x0]n , (3)

ottenute a partire dalla successione di “potenze” (an[x− x0]n).Si noti che il primo valore di indice e ora n = 0.Il numero x0 si chiama il centro della serie e la serie di potenze converge sempre

per x = x0 (e ivi converge a 0). Potrebbe non convergere in nessun altro punto.

Esempio 16 Si consideri+∞∑

n=0

nnxn =+∞∑

n=0

(nx)n .

Si fissi il valore di x 6= 0 e sia n0 tale che |n0x| > 1. Allora, per n > n0, si ha

|nx|n > |n0x|n → +∞ .

Dunque, se x 6= 0, il termine generale della serie non tende a zero, e quindi la serienon converge.

Supponiamo pero che una serie di potenze converga in un punto ξ 6= x0 e sia

r = |x0 − ξ| .

Allora:

9

Teorema 17 La serie di potenze converge uniformemente in {x | |x−x0| < r′} perogni r′ < r.

Dim. Sia |x− x0| < r′ < r e sia d ∈ (r′, r). Allora,

|an(x− x0)n| < |an(x− ξ)n| ·(

r′

|x− ξ|)n

≤ |an(x− ξ)n| ·(

r′

d

)n

.

La convergenza in ξ implica che il coefficiente |an(x− ξ)n| e limitato (anzi tende azero):

|an(x− ξ)n| < M .

Invece,r′

d< q < 1 .

La convergenza segue per confronto con la serie geometrica, ed e uniforme: fissatoε > 0 si ha

+∞∑

n=k

|an(x− x0)n| ≤+∞∑

n=k

|an(x− ξ)n| ·+∞∑

n=k

((

r′

d

)n

< ε

per N > Nε con Nε dipendente da q, e quindi da r′, ma non da x purche sia|x− x0| < r′.

Questo risultato in particolare implica che se una serie di potenze converge al-lora l’insieme su cui essa converge e un intervallo centrato in x0 (e non si esclu-de che sia ridotto al solo x0, oppure che sia tutta la retta). Questo si chiamal’intervallo di convergenza della serie di potenze e si chiama raggio di convergenzala sua semiampiezza.

Osservazione 18 Se l’intervallo di convergenza e limitato, diciamo (x0−R, x0+R),niente puo dirsi della convergenza della serie negli estremi dell’intervallo: ivi la seriepuo convergere o meno. Inoltre, la dimostrazione del Teorema 17 mostra che neipunti interni all’intervallo di convergenza converge anche la serie

∑|an||x− x0|n .

Questo fatto si indica dicendo che nei punti interni all’intervallo di convergenza, laserie converge assolutamente.

Inoltre, la convergenza essendo uniforme:

Corollario 19 La somma di una serie di potenze e continua nei punti interniall’intervallo di convergenza.

Si puo inoltre provare:

10

Teorema 20 Ogni serie di potenze con raggio di convergenza non nullo si derivatermine a termine, e il raggio di convergenza della serie derivata e uguale a quellodella serie data.

In particolare quindi anche la serie derivata puo a sua volta venir derivata terminea termine e cio tante volte quante si vuole. Dunque:

Corollario 21 La somma di una serie di potenze di raggio di convergenza non nulloe una funzione di classe C∞.

Chiediamoci ora come sia possibile calcolare il raggio di convergenza di unaserie di potenze. Esiste una formula per il raggio di convergenza, che non possiamopresentare. Possiamo pero presentare due test particolari, che si ottengono perconfronto con la serie geometrica. Il primo si puo applicare quando si ha an 6= 0 perogni n (e basta che questa condizione sia soddisfatta per n maggiore di un opportunoN0).

Teorema 22 Supponiamo che an 6= 0 per ogni n e che esista, finito o meno,

R = lim|an|

|an + 1| .

Allora, R e il raggio di convergenza della serie.

Dim. Limitiamoci a considerare il caso 0 < R < +∞. Applichiamo il criterio delrapporto per la convergenza della serie di numeri

∑an[x− x0]n ,

con x fissato. Il criterio del rapporto asserisce che e condizione sufficiente di conver-genza che per n sufficientemente grande valga

|an+1[x− x0]n+1||an[x− x0]n| =

|an+1||an| |x− x0| < q < 1 .

Dunque si ha convergenza se per n sufficientemente grande x verifica

|x− x0| < q|an||an+1| (4)

con un q < 1.Se

|x− x0| < R = lim|an||an+1|

(disuguaglianza stretta) esiste q ∈ (0, 1) tale che

|x− x0| < qR < R . (5)

11

Per assurdo proviamo che vale (4). Infatti se invece di (4) fosse

|x− x0| ≥ q|an||an+1| ,

passando al limite rispetto ad n troveremmo

|x− x0| ≥ qR ,

in contrasto con (5).Dunque abbiamo provato che la serie converge per ogni x tale che |x−x0| < R e

quindi il raggio di convergenza e almeno R. Abbiamo pero usato solo una parte delcriterio del rapporto: il criterio del rapporto da anche una condizione sufficiente didivergenza di una serie. Usando anche questa condizione, si potrebbe provare che ilraggio di convergenza e esattamente R.

Ripetiamo che il teorema precedente non puo usarsi se infiniti coefficienti an sononulli.

Usando il criterio della radice invece del criterio del rapporto si prova invece:

Teorema 23 Se esiste, finito o meno, il limite

lim n

√|an| = L

allora il raggio di convergenza e

R =

1/L se L 6= 0 , L 6= +∞0 se L = +∞+∞ se L = 0 .

Si noti che il Teorema 23 puo usarsi anche se infiniti coefficienti an sono nulli.

4.1 Serie di Taylor

Sia ora f(x) una funzione di classe C∞ in un intorno di x0. Ad essa puo associarsila serie di Taylor

+∞∑

n=0

1n!

f (n)(x0)[x− x0]n .

Questa si chiama la serie di Taylor della funzione f . Pero questa serie puo nonconvergere e, se converge, puo non convergere alla funzione f , come mostra l’esempioseguente:

Esempio 24 Sia

f(x) =

{e−1/x2

se x 6= 00 se x = 0 .

Questa funzione e di classe C∞ su R e le sue derivate sono tutte nulle in 0. Dunquela serie di Taylor di centro 0 ha tutti i coefficienti nulli: converge su R alla funzioneidenticamente zero e non ad f .

12

Ci possiamo chiedere quindi sotto quali condizioni la serie di Taylor di f effetti-vamente converga ad f . Scrivendo la formula di Taylor di f(x) arrestata all’ordinek e col resto in forma di Lagrange, si vede che

f(x) =k∑

n=0

1n!

f (n)(x0)[x− x0]n +1

(k + 1)!f (k+1)(sk)[x− x0]k+1

dove sk dipende da k ed e compreso tra x0 ed x. La serie di Taylor converge ad fquando il resto converge a zero. Una condizione perche cio accada e:

Teorema 25 Esistano M , L tali che

|f (k)(x)| < MLk ∀x ∈ [x0 − r, x0 + r] .

La serie di Taylor di f(x) converge su [x0− r, x0 + r] e converge alla funzione f(x).

Dim. Ricordiamo che per ogni x si ha

limn→+∞

xn

n!= 0 .

Si osservi ora che

1(k + 1)!

∣∣∣f (k+1)(sk)[x− x0]k+1∣∣∣ < M

(Lr)k+1

(k + 1)!.

Il membro destro tende a zero e quindi, per il criterio del confronto, tende a zerouniformemente anche l’errore

∣∣∣∣∣f(x)−k∑

n=0

1n!

f (n)(x0)[x− x0]n∣∣∣∣∣ =

1(k + 1)!

∣∣∣f (k+1)(sk)[x− x0]k+1∣∣∣ .

La condizione del Teorema 25 e soddisfatta nel caso delle funzioni di cui cor-rentemente si usano gli sviluppi di Taylor, almeno su un opportuno intervallo. Latabella seguente riporta alcune funzioni e il raggio di convergenza della relativa seriedi McLaurin (ossia, della serie di Taylor di centro 0).

Funzione Raggio di conv.ex +∞

sinx, cosx +∞sinhx, coshx +∞

log(1 + x) 1(1 + x)α 1

13

4.2 Serie di potenze ed equazioni differenziali lineari

Consideriamo il problema di Cauchy

x′ = ax , x(0) = x0 .

Il coefficiente a e costante. Per definizione, la soluzione x e continua e quindi,dall’uguaglianza, e addiritture continuamente derivabile; e quindi

x′′ = ax′ = a2x .

Cosı proseguendo,x(n) = anx

e quindi, per t = 0,x(n)(0) = anx0 .

Dunque, la soluzione x(t) e di classe C∞ e verifica le condizioni del Teorema 25 sututti gli intervalli chiusi contenenti x0. Dunque, la soluzione si esprime in forma diserie di potenze

x(t) =+∞∑

n=0

1n!

antn

D’altra parte si verifica immediatamente che questa e la serie dell’esponenziale equindi si ritrova il risultato noto

x(t) = eatx0 .

Consideriamo ora il sistema di equazioni differenziali lineari

x′ = Ax

ove ora x e un vettore di Rn ed A e una matrice (costante) n × n. Vogliamorappresentare la soluzione di questo sistema che verifica l’ulteriore condizione

x(t0) = x0 .

E’ facile vedere che tutto cio che abbiamo detto sulle serie di potenze e sulle seriedi Taylor si estende senza cambiamenti a funzioni a valori vettori e quindi e ancoravero che

x(t) =

(+∞∑

n=0

1n!

An(t− t0)n

)x0 .

A questa serie si attribuisce il simbolo

eA(t−t0) =+∞∑

n=0

1n!

An(t− t0)n .

Cio definisce l’esponenziale di una matrice, che si usa per scrivere in forma compattale soluzioni di un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti.

14

Osservazione 26 Va notato un fatto importante: l’esponenziale di matrice puoessere un polinomio: se

A =

[0 10 0

]

allora A2 = 0 e quindi

eAt =

[1 t1 0

]:

eAt e un polinomio di primo grado. Si provi che invece se

A =

[0 1−1 0

]

allora

eAt =

[cos t sin t− sin t cos t

].

Proprieta importanti della matrice esponenziale eAt sono espresse dal teoremaseguente, che non proviamo:

Teorema 27 Vale:

• AeAt = eAtA.

• det eA = exp{∑ni=1 aii} . Dunque, det eA e sempre diverso da zero: la matrice

eA e invertibile per ogni A.

•[eA

]−1= e−A.

• Se AB = BA allora eAeB = eA+B. In particolare, vale sempre eAteAt′ =eA(t+t′).

• La funzione t → eAt e derivabile e

ddt

eAt = AeAt .

L’introduzione dell’esponenziale eAt della matrice At permette anche di rappre-sentare la soluzione del problema

x′ = Ax + f(t) x(t0) = x0 .

Procediamo esattamente come gia si e visto (nel corso di Analisi Matematica 1) perl’equazione scalare: moltiplicando i due membri per e−At si trova

e−Atx′(t)−Ae−Atx(t) = e−Atf(t) . (6)

15

La regola della derivata del prodotto si estende al prodotto di una matrice per unvettore1 e quindi la (6) e

ddt

e−Atx(t) = e−Atf(t) .

Integrando i due membri da t0 a t si trova

e−Atx(t)− e−At0x0 =∫ t

t0e−Asf(s) ds . (7)

Moltiplichiamo i due membri di (7) per eAt e usiamo le proprieta nel teorema 27.Si trova

x(t) = eA(t−t0)x0 +∫ t

0eA(t−s)f(s) ds .

1con l’avvertenza di non commutare i fattori!

16

5 Serie di Fourier: introduzione

Oltre alle serie di potenze, nelle applicazioni si incontrano molti altri tipo di “seriedi funzioni”, la cui teoria comunque e sostanzialmente piu complessa e viene quiesaminata per sommi capi nel caso di gran lunga piu importante delle serie diFourier.

Si chiamano serie di Fourier le serie del tipo

a0 ++∞∑

n=1

[an cosnx + bn sinnx] . (8)

I coefficienti an e bn sono reali.Si noti che, usando sin 0x = 0, si potrebbe assorbire il coefficiente a0 nella serie

scritta con n ≥ 0 invece che con n ≥ 1. Vedremo che pero c’e una buona ragioneper separare a0 dagli an con n > 0.

Ovviamente una serie di Fourier non sempre converge. La convergenza saraimplicata da opportune proprieta dei coefficienti an e bn. Per esempio, certamentesi ha convergenza (uniforme) quando an = bn = qn, con |q| < 1. Il problema dellaconvergenza puntuale o uniforme delle serie di Fourier comunque e assai delicatoe lo illustreremo piu avanti. Per ora notiamo che se la serie converge per ognix ∈ [−π, π] essa converge per ogni x ∈ R e converge ad una funzione peridica. Perquesta ragione, prima di studiare le serie di Fourier, vogliamo richiamare alcuneproprieta delle funzioni periodiche.

5.1 Premesse: le funzioni periodiche

Sia f(x) una funzione della variabile reale x. Si dice che f(x) e periodica di periodoT quando:

• la funzione f(x) e definita in x+T se e solo se e definita in x. E’ conseguenzadi questo che per ogni numero intero n, la funzione e definita in x + nT se esolo se e definita in x.

• per ogni x nel dominio della funzione, si ha f(x) = f(x + T ) e quindi anchef(x) = f(x + nT ) per ogni numero intero n.

Le funzioni sinωx e cos ωx sono funzioni periodiche di periodo 2π/ω ovunque definitementre tanωx e una funzione di periodo π/ω, che pero non e ovunque definita.

Una funzione periodica non ha un solo periodo: se T e un periodo anche 2T , −T ,−2T ecc. sono periodi. L’insieme dei periodi positivi ha pero un estremo inferioreche e zero se e solo se la funzione e costante, altrimenti e un periodo2. Ossia,ogni funzione periodica non costante ammette un minimo periodo positivo. Moltospesso, quando si parla di “periodo” di una funzione periodica si intende tale minimoperiodo3. Se T e il (minimo) periodo di f(x), allora 1/T si chiama la frequenza di

2per quanto sembrino ovvie, queste affermazioni sono di difficile dimostrazione.3molto spesso, ma non sempre: si faccia attenzione al contesto!

17

f(x) mentre 2π/T si chiama la frequenza angolare di f(x).Vale:

Teorema 28 Sia f(t) continua su R e periodica di periodo T . Per ogni x ∈ R siha ∫ T

0f(s) ds =

∫ x+T

xf(s) ds ,

∫ T

0f(x + s) ds =

∫ T

0f(s) ds .

Dim. Per capire l’idea della dimostrazione della prima uguaglianza, si guardi lafigura 1. La prima uguaglianza si prova come segue: sia k il massimo intero tale chekT ≤ x ≤ (k + 1)T ≤ x + T . Si scriva

∫ x+T

xf(s) ds =

∫ (k+1)T

xf(s) ds +

∫ x+T

(k+1)Tf(s) ds

Figura 1:

0 5 10 15 20 25 30 35−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2π x0 x

0+2π

Usiamo ora la periodicita di f(x), Nel primo integrale al membro destro, al postodi f(s) scriviamo f(s−kT ) e nel secondo al posto di f(s) scriviamo f(s− (k+1)T ).Questo non cambia il valore della funzione integranda, e quindi nemmeno quellodell’integrale. Si trova

∫ x+T

xf(s) ds =

∫ (k+1)T

xf(s− kT ) ds +

∫ x+T

(k+1)Tf(s− (k + 1)T ) ds

=∫ T

x−kTf(r) dr +

∫ x−kT

0f(r) dr =

∫ T

0f(r) dr .

La seconda uguaglianza e conseguenza della prima perche∫ T

0f(x + s) ds =

∫ x+T

xf(r) dr =

∫ T

0f(r) dr .

18

Si noti che nel teorema precedente T non e necessariamente il minimo periodo.Inoltre:

Teorema 29 Sia f(x) periodica di periodo T e sia S numero reale. La funzionef(x/S) ha periodo ST . In particolare, se S = 2π/T , la funzione ha periodo 2π.

La verifica e immediata:

f((x + ST )/S) = f(T + x/S) = f(x/S) .

Dunque, da ora in poi, potremo assumere di lavorare con funzioni periodiche diperiodo 2π, caso a cui sempre ci si puo ricondurre grazie al teorema precedente.

5.2 Premesse: le formule d’Eulero

Ricordiamo le formule d’Eulero, incontrate nello studio delle equazioni differenzialilineari:

eix = cosx + i sinx

e quindie−ix = cosx− i sinx .

Osservazione 30 Le formule d’Eulero mostrano che la funzione eix e periodicadi periodo 2π. E’ anche vero che l’estensione della funzione esponenziale al pianocomplesso

ex+iy = ex(cos y + i sin y)

e periodica quando ci si muove parallelamente all’asse immaginario, di periodo 2πi.

Sommando e sottraendo membro a membro, si trovano le uguaglianze

sinx =eix − e−ix

2i, cosx =

eix + e−ix

2che anche vanno sotto il nome di formule d’Eulero. Sostituendo queste espressioniin

a0 +N∑

n=1

[an cosnx + bn sinnx]

si trova (si ricordi che −i = 1/i)

a0 +N∑

n=1

an − ibn

2einx +

N∑

n=1

an + ibn

2e−inx =

N∑

n=−N

cneinx

ove ora i cn sono i numeri complessi

c0 = a0

cn = an−ibn2 se n > 0

cn = an+ibn2 se n < 0

19

e quindi tali chec−n = cn .

Si osservi che anche in questa scrittura il termine con n = 0 ha un ruolo particolare:c0 = c0 e reale.

Dunque, una serie di Fourier puo scriversi in modo piu compatto facendo usodell’esponenziale complesso:

+∞∑

n−=∞cneinx

dove cn = c−n. Il fatto importante da ricordare e che se vogliamo che questa seriecorrisponda alla (8) le somme parziali vanno prese in modo simmetrico: le sommaparziali sono

N∑

n=−N

cneinx (9)

e nonN∑

n=−K

cneinx (10)

con K ed N tra loro indipendenti. E infatti puo accadere che per K → −∞ edN → +∞, indipendentemente, la (10) non ammetta limite mentre la (9) ammettelimite per N → +∞.

Avremo bisogno di calcolare derivate e integrali di funzioni

f(x) + ig(x)

della variabile reale x, a valori numeri complessi. Per definizione,

ddx

[f(x)+ig(x)] = f ′(x)+ig′(x) ,

∫ b

a[f(x)+ig(x)] dx =

∫ b

af(x) dx+i

∫ b

ag(x) dx

e quindi ∫ b

a

ddx

[f(x) + ig(x)] dx = [f(b) + ig(b)]− [f(a) + ig(a)] .

Essendoddx

einx = ineinx ,

si trova:

∫ π−π cosnx cosmxdx =

{0 se n 6= mπ se n = m∫ π

−π sinnx cosmxdx = 0 per ogni n, m.∫ π−π sinnx sinmxdx =

{0 se n 6= mπ se n = m

(11)

20

Per verificare la prima delle uguaglianze precedenti calcoliamo, usando le formuled’Eulero

∫ π

−πcosnx cosmxdx =

14

∫ π

−π

[einx + e−inx

] [eimx + e−imx

]dx

=14

∫ π

−π

[ei(n+m)x + ei(n−m)x + e−i(n+m)x + e−i(n−m)x

]dx .

L’asserto ora segue perche, essendo per esempio

ddx

ei(n+m)x = i(n + m)ei(n+m)x ,

si ha∫ π

−πei(n+m)x dx =

1i(n + m)

[ei(n+m)π − e−i(n+m)π

]=

2n + m

sin((n + m)π) = 0 .

Le altre uguaglianze si provano in modo analogo.Le uguaglianze precedenti mostrano che

1√2π

,1√π

cosnx ,1√π

sin kx ,

al variare dei numer naturali n e k, equivalentemente

1√2π

einx

al variare del numero intero n, sono sistemi di funzioni due a due ortogonali inL2(−π, π) e tutte di norma uguale ad 1. Si dice brevemente che sono sistemiortonormali in L2(−π, π).

Quest’osservazione suggerisce che l’ambiente in cui e piu facile studiare la seriedi Fourier sia lo spazio L2(−π, π) e non lo spazio C(−π, π).

6 Convergenza quadratica

Le serie di potenze sono state studiate nel contesto delle funzioni continue e facendouso della convergenza uniforme. Lo studio delle serie di Fourier invece va fattonell’insieme delle funzioni a quadrato integrabile. Si considerano cioe funzioni f(x)definite su un intervallo [a, b] e tali che

∫ b

a|f(x)|2 dx < +∞ .

(abbiamo introdotto il modulo perche in generale la funzione f(x) prende valoricomplessi).

21

Indichiamo con L2(a, b) l’insieme delle funzioni a quadrato sommabile su (a, b),

L2(a, b) =

{f |

∫ b

a|f(x)|2 dx < +∞ < +∞

}.

Si vede facilmente che se f ∈ L2(a, b) allora αf ∈ L2(a, b) per ogni numero α esi potrebbe provare che

f , g ∈ L2(a, b) =⇒ (f + g) ∈ L2(a, b) .

Introduciamo la notazione seguente:

||f ||2 =

[∫ b

a|f(x)|2 dx

]1/2

(l’indice 2 spesso si omette).Su L2(a, b) si introduce una “distanza”

d(f, g) = ||f − g|| .Intuitivamente, d(f, g) misura la “distanza” tra le due funzioni f e g. Per capire ilsignificato intuitivo, dimentichiamo per un momento la presenza del quadrato. Intal caso si trova ∫ b

a|f(x)− g(x)|dx

e questa e niente altro che l’area compresa tra il grafico di f e quello di g, si vedala figura 2. Interpretazione analoga vale per la distanza in L2(a, b).

Osservazione 31 Va osservato che la d(f, g) non ha precisamente le proprieta cheintuitivamente si attribuiscono ad una distanza: se f e g sono ovunque uguali salvo inun punto, ci aspetteremmo che abbiano distanza positiva, mentre invece d(f, g) = 0.D’altra parte se si decide di “guardare una funzione per mezzo dei suoi integrali”e naturale che alcune sue proprieta vengano trascurate. Quest’osservazione peromostra che la definizione che abbiamo introdotto di L2(a, b) non e ne soddisfacentene rigorosa. Non abbiamo pero gli strumenti per introdurre la definizione completae quindi trattiamo questi argomenti in modo alquanto informale.

Diciamo che la successione di funzioni (fn) converge a g in L2(a, b) quando

lim d(fn − g) = lim

[∫ b

a|fn(x)− g(x)|2 dx

]1/2

= 0 .

Osservazione 32 Si potrebbe introdurre una distanza anche con riferimento allaconvergenza uniforme, definendo

d(f, g) = supx∈A

|f(x)− g(x)| .

In questo modo la funzione g e “vicina” alla funzione f quando il grafico di g e inun “tubo” intorno al grafico di f . Si veda la figura 3.

22

Figura 2:

0 2 4 6 8 10 12 14 16−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

6.1 Il prodotto interno su L2(a, b)

Su L2(a, b) si puo definire un prodotto interno o prodotto integrale come segue:siano f e g due funzioni a quadrato integrabile. Si puo provare che il loro prodottoe integrabile. Definiamo allora il prodotto interno delle due funzioni f e g ponendo4

〈f, g〉 =∫ b

ag(s)f(s) ds .

Si noti che se le funzioni prendono valori reali allora il segno di coniugio non haalcun effetto, se pero esse prendono valori complessi il coniugio e importante perchee grazie ad esso che si ottiene

√〈f, f〉 = ||f ||2 .

Diciamo che due funzioni f e g sono ortogonali in L2(a, b) quando

〈f, g〉 = 0 .

Naturalmente, per dire che f e ortogonale a g, scriveremo

f ⊥ g .

Una proprieta importante del prodotto interno in L2(a, b) e che per esso vale ilteorema di Pitagora:

4si puo mostrare che le proprieta essenziali di questo prodotto mimano quelle del prodotto scalaredi vettori di Rn o di Cn.

23

Figura 3:

0 2 4 6 8 10 12 14 16−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Teorema 33 Se f ⊥ g allora ||f + g||2 = ||f ||2 + ||g||2.Dim. Infatti si ha

||f + g||2 = 〈f + g, f + g〉 = 〈f, f〉+ 〈f, g〉+ 〈g, f〉+ 〈g, g〉 = ||f ||2 + ||g||2 .

In particolare,f ⊥ g =⇒ ||f || ≤ ||f + g|| , ||g|| ≤ ||f + g|| .

7 La serie di Fourier in L2(−π, π)

Non e sato possibile introdurre in modo rigoroso lo spazio L2(−π, π) e cio indica chelo studio della serie di Fourier e molto piu complesso di quello delle serie di potenze,e puo essere solo accennato.

Cominciamo col definire polinomio trigonometrico ogni espressione della forma

N∑

n=−N

cneinx , cn = c−n

equivalentemente

a0 +N∑

n=1

[an cosnx + bn sinnx] .

Indichiamo questo polinomio trigonometrico col simbolo P (x). Ovviamente, P (x) euna funzione continua e periodica su R. Se i valori di P (x) su [−π, π] si conoscono,

24

da questi si ricavano facilmente i coefficienti cn e quindi i coefficienti an e bn. Infatti,moltiplicando i due membri dell’uguaglianza

P (x) =N∑

n=−N

cneinx

per e−irx e integrando su [−π, π] si trova 0 se r > N . Altrimenti si trova

cr =12π

∫ π

−πP (x)e−irx dx .

Analogamente,

a0 = (1/2π)∫ π−π P (x) dx

ak = (1/π)∫ π−π P (x) cos kx dx (se k > 0)

bk = (1/π)∫ π−π P (x) sin kx dx .

(ossia, la formula per a0 non si ottiene da quella di ak ponendo k = 0. Per questaragione conviene scrivere a0 separato dalla sommatoria).

Vale inoltre:

Teorema 34 E’:12π

∫ π

π|P (x)|2 dx =

+N∑

i=−N

|cn|2

L’identita precedente va sotto il nome di Identita di Parseval.Sia ora f(x) una “generica” funzione (per esempio continua a tratti, ma gli ar-

gomenti seguenti valgono molto piu in generale). Chiamiamo coefficienti di Fourierdella funzione f(x) i numeri

cr =12π

∫ π

−πf(x)e−irx dx

(se vogliamo scrivere la serie di Fourier con gli esponenziali complessi),

a0 = (1/2π)∫ π−π f(x) dx

ak = (1/π)∫ π−π f(x) cos kx dx (se k > 0)

bk = (1/π)∫ π−π f(x) sin kx dx

(se vogliamo scrivere la serie di Fourier nel campo reale).Per fissare le idee e scrivere formule piu semplici, usiamo la serie di Fourier scrit-

ta mediante gli esponenziali complessi. Considerazioni del tutto analoghe valgonoanche per la serie di Fourier scritta nel campo reale.

Consideriamo ora la serie+∞∑

−∞cneinx

25

e la sua somma parziale N–ma

SN (x) =+N∑

−N

cneinx .

Si noti che SN (x) e un polinomio trigonometrico.Si puo provare:

Teorema 35 Vale:

limN→+∞

∫ π

−π|f(x)− SN (x)|2 dx = 0 ossia lim

N→+∞||f − SN ||L2(−π,π) = 0

Dunque, la successione delle somme parziali (SN (x)) converge ad f(x) nelladistanza di L2(−π, π). Sottolineiamo nuovamente che il teorema riguarda SN (x) enon per esempio una somma

∑n=−K n = Ncneinx. Anche se i cn sono i coefficienti

di Fourier di f , niente puo dirsi del comportamento di questa serie per N → +∞,K → +∞ in modo indipendente.

Diamo un’interpretazione geometrica di SN (x). Consideriamo il sottospaziolineare VN ,

VN =

+N∑

n=−N

cneinx , cn = c−n

.

Come si e notato, VN e uno spazio vettoriale di dimensione 2N + 1. Si ha:

Teorema 36 La somma parziale SN (x) di f(x) e l’elemento di VN che ha minordistanza da f(x) nel senso della distanza di L2(−π, π).

Dim. Facciamo la dimostrazione nel caso N = 1. La dimostrazione nel caso generalee analoga.

Gli elementi dello spazio V1 sono le funzioni

c0 + c1eix + c1e

−ix ,

equivalentemente

a0 + a1 cosx + b1 sinx , a0 , a1 , b1 ∈ R .

Tra queste funzioni dobbiamo trovare quella che ha minima distanza da f(x). Sitratta quindi di studiare un problema di minimo al variare dei parametri complessic0 e c1 o, equivalentemente, al variare dei parametri reali a0, a1, b1. Dato che iproblemi di minimo che si sono studiati sono quelli di funzioni di variabile reale,conviene studiare il minimo della funzione

Φ(a0, a1, b1) =∫ π

−π[f(x)− a0 − a1 cosx− b1 sinx]2 dx .

26

Il minimo esiste, come conseguenza del Teorema di Weierstrass, perche la funzione

(a0, a1, b1) −→ Φ(a0, a1, b1)

e continua e tende a +∞ per ||(a0, a1, b1)|| → +∞. Per trovarlo, annulliamo lederivate prime5. Si trovano le condizioni

∫ π

−π[f(x)− a0 − a1 cosx− b1 sinx] dx = 0

∫ π

−π[f(x)− a0 − a1 cosx− b1 sinx] cos xdx = 0

∫ π

−π[f(x)− a0 − a1 cosx− b1 sinx] sin xdx = 0 .

Usando le uguaglianze (11), si trova che le tre derivate parziali si annullano solamentequando

a0 = (1/2π)∫ π

−πf(x) dx

a1 = (1/π)∫ π

−πf(x) cos xdx

b1 = (1/π)∫ π

−πf(x) sinx dx ;

ossia, il punto di V1 che meno dista da f(x) e S1(x).

Dunque l’interpretazione della serie di Fourier in L2(−π, π) e la seguente: perogni N si considera il sottospazio VN di dimensione finita 2N + 1 di L2(−π, π). Siscrive la serie di Fourier di f(x) e si tronca all’indice N . Si trova un elemento diVN che e proprio l’elemento che meglio approssima la funzione f(x) nel senso diL2(−π, π). Usando una terminologia della geometria elementare, diremo che SN (x)e la proiezione ortogonale di f(x) su VN . Il Teorema 35 si puo riassumere dicendoche la successione delle proiezioni di f sui VN converge ad f in L2(−π, π).

Diciamo infine che anche per la “generica” funzione f(x) vale l’identita di Par-seval:

12π

∫ π

−π|f(x)|2 dx =

+∞∑

n=−∞|cn|2

ossia12π

∫ π

−π|f(x)|2 dx = a2

0 +12

+∞∑

n=1

[a2n + b2

n] .

Queste identita si chiamano identita di Parseval e in particolare mostrano:

Teorema 37 La successione dei coefficienti di Fourier tende a zero.5si puo provare che e lecito derivare sotto il segno di integrale.

27

L’identita di Parseval ha un’interpretazione importante per le applicazioni, cheillustriamo con riferimento alla forma complessa

12π

∫ π

−π|f(x)|2 dx =

+∞∑

n=−∞|cn|2 .

Interpretiamo la variabile x come “posizione”. Il primo integrale si interpreta come“energia” per esempio cinetica: la “somma” delle energie associate ad ogni particelladel corpo.

La “componente” di frequenza n/2π, ossia

cneinx

ha quindi “energia” 2π|cn|2. Quindi,

l’energia totale ottenuta sommando le energie di tutte le posizioni e ugualealla somma delle energie delle componenti di tutte le frequenze.

Naturalmente, niente vieta che nella rappresentazione di un segnale f(x) la compo-nente di frequenza n0/2π abbia “energia” nulla, ossia che cn0 = 0. Le considerazioniprecedenti mostrano che l’energia di f(x) si ripartisce tra i segnali einx per cuicn 6= 0.

La successione (n/2π, cn), che si chiama lo spettro del segnale.Infine, notiamo che l’identita di Parseval mostra che se i coefficienti di Fourier

sono tutti nulli allora la funzione e nulla, ed ovviamente vale anche il viceversa.Ossia:

Teorema 38 Due funzioni f , g in L((−π, π)) con i medesimi coefficienti di Fourierhanno differenza nulla, e quindi coincidono.

8 La convergenza puntuale della serie di Fourier

E’ un fatto che la convergenza nel senso della norma di L2(−π, π) non implica laconvergenza puntuale, nemmeno in un solo punto. Anzi, si prova che esistono funzionicontinue e periodiche su [−π, π] la cui serie di Fourier diverge in ogni punto razionale.Esistono pero anche casi in cui la serie di Fourier converge puntualmente. Comeabbiamo detto questo accade se, per esempio, an = bn = qn con |q| < 1. Ci sipuo chiedere se sia possibile dare condizioni sulla funzione f(x) che implichino laconvergenza puntuale della serie di Fourier. Condizioni per questo sono note. Inparticolare si ha:

28

Teorema 39 Sia (a, b) ⊆ [−π, π] ed esistano M e α ∈ [0, 1] tali che per ogni coppiax, y di punti di (a, b) valga

|f(x)− f(y)| < M |x− y|α . (12)

Sia [a′, b′] ⊆ (a, b). La serie di Fourier di f(x) converge ad f(x) uniformemente in[a′, b′].

Una funzione f(x) ovunque derivabile con derivata limitata,

|f ′(x)| < M ,

in particolare verifica|f(x)− f(y)| < M |x− y|

e quindi soddisfa alle condizioni del teorema. D’altra parte le ipotesi del teorema 39implicano la continuita della funzione f(x) e questa e una condizione eccessivamenterestrittiva per molte applicazioni nelle quali interviene la serie di Fourier. Per cercaredi indebolire quest’ipotesi, supponiamo che la funzione f(x) abbia in (a, b) un solopunto di discontinuita x0, che e un salto. Dunque, f(x) e continua su (a, x0) e su(x0, b). Vale:

Teorema 40 Supponiamo che f(x) verifichi la condizione (12) sia su (a, x0) che su(x0, b). Supponiamo inoltre che essa sia derivabile in un intorno di x0 e che esistanofiniti i limiti

limx→x0−

f ′(x) , limx→x0+

f ′(x) .

In questo caso la serie di Fourier di f(x) converge in ogni punto di (a, b) e inoltre:

• Se [a′, b′] ⊆ (a, x0) oppure se [a′, b′] ⊆ (x0, b) allora la serie converge unifor-memente ad f(x).

• in x0 la serie di Fourier converge alla media

12

[f(x0−) + f(x0+)] .

L’asserto del teorema precedente si estende facilmente al caso in cui f(x) ha unnumero finito di salti.

Esempio 41 Sia

χ (x) =

−1 se x < 05 se x = 01 se x > 0 .

Si noti che questa funzione differisce dalla funzione sgn (x) per il valore che assumein 0; ma il valore assunto in un solo punto non altera gli integrali che definiscono

29

i coefficienti di Fourier. Dunqe, χ(x) e sgn (x) hanno la medesima serie di Fourier,che e la serie

4π

(sinx

1+

sin 3x

3+

sin 5x

5+ · · ·

)

Per x = 0 questa serie converge e converge al valore 0, media dei limiti direzionalidi χ(x) per x → ±0. Per il teorema 40 la somma della serie e quindi sgn (x).

La convergenza non puo essere uniforme perche le somme parziali sono continuementre la somma della serie non e continua. Se si disegnano alcune somme parziali,come in figura 4,

Figura 4:

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

si vede che le somme parziali saltano sopra e sotto il valore ±1 di una quantita chenon si attenua al crescere di N . Calcoli piuttosto laboriosi mostrano che

limN→+∞

SN (1/N) = d

e si puo mostrare che d e strettamente maggiore di 1: d > 1, 089. E quindi al cresceredi N l’errore tra SN (x) e sgn (x) non si attenua (ma si concentra sempre di piuintorno al salto x = 0).

Il fenomeno appena illustrato non dipende dalla particolare funzione sgn (x)usata nell’esempio. Si puo provare che, nelle ipotesi del Teorema 40, esso si verificain vicinanza di ogni salto. Tale fenomeno va sotto il nome di Fenomeno di Gibbs.

Supponiamo ora che le ipotesi del teorema 40 valgano su (−π, π) cosı che laserie di Fourier converge in ogni punto di (−π, π). Se esistono finite le derivatedirezionali in ±π, si puo provare che si ha convergenza addirittura in [−π, π] e

30

quindi, per periodicita, su R. Supponiamo inoltre di aver gia ridefinito f(x), neglieventuali salti, uguale alla somma della sua serie di Fourier. In questo caso la seriedi Fourier generata dalla funzione f(x) converge su R ad una funzione periodica checoincide con f(x) nei punti di [−π, π]. Converge quindi all’estensione per periodicitadi f(x).

Supponiamo ora che f(x) sia pari,

f(x) = f(−x) .

In questo caso, ciascuna delle funzioni

f(x) sin nx

e dispari e quindi ha integrale nullo: i coefficienti bn sono tutti nulli. Vicever-sa, se i coefficienti bn sono tutti nulli, la somma della serie e una funzione pari.Analogamente, se f(x) e dispari,

f(x) = −f(−x) ,

sono nulli i coefficienti an e viceversa. Dunque:

Teorema 42 Una funzione periodica e pari se e solo se la sua serie di Fourier hanulli i coefficienti delle funzioni sinnx; e dispari se e solo se ha nulli sia i coefficientidelle funzioni cosnx che a0.

Notiamo che le considerazioni precedenti dipendono dal fatto che stiamo lavo-rando con funzioni f(x) definite su un intervallo di ampiezza 2π, uguale al periododelle funzioni sinx, cos x. Se la funzione f(x) e definita solamente su (0, π) allorala sua serie di Fourier su (−π, π) non e unica, e in particolare possiamo ottenereper f(x) una serie di soli seni oppure di soli coseni. Per questo basta estenderla a(−π, π) rispettivamente in modo dispari o in modo pari.

Infine, riportiamo alcune serie di Fourier e, nelle figure seguenti, i grafici dellarestrizione della funzione a (−π, π), con sovrapposti i grafici di alcune somme par-ziali. Nella colonna di sinistra della tabella, si riporta l’espressione della funzionesu (−π, π). La funzione e poi estesa ad R per periodicita.

31

Figura 5:

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x −π π

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x −π π

signx 4π

(sin x

1 + sin3x3 + sin 5x

5 + · · ·)

|x| π2 − 4

π

(cos x12 + cos 3x

32 + cos5x52 + · · ·

)

x 2(

sin x1 − sin 2x

2 + sin 3x3 − · · ·

).

{x + 2π se −π < x < 0x se 0 < x < π

π − 2(

sin x1 + sin 2x

2 + sin 3x3 + · · ·

)

| sinx| 2π − 4

π

(cos 2x1·3 + cos 4x

3·5 + cos 6x5·7 + · · ·

).

sgn (x) cos x 8π

(sin 2x1·3 + 2 sin 4x

3·5 + 3 sin 6x5·7

)

32

Figura 6:

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x −π π

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x −π π

33