Arrigo Successioni

Proposte didattiche

di Gianfranco ArrigoAlta Scuola Pedagogica, LocarnoNRD, Bologna

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Il numero della diapositiva evidenziata si legge cliccando sul cursore verticale e tenendo premuto il bottone del mouse.

Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza presentazione”.

Situazione 1: Numeri quadrati

Ecco come inizia la successione dei numeri quadrati:

1 4 9 16 25

I II III IV V …

Qual è il sesto numero quadrato? 36 = 6 · 6

Qual è il decimo numero quadrato? 100 = 10 · 10

Troppo facile…

Situazione 1: Numeri quadrati

Come costruire i numeri quadrati?

1 = 12 = 1 1 addendo

Quanto vale la somma dei primi k numeri dispari?

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k–1) = k2 k addendi

4 = 22 = 1+3 2 addendi

9 = 32 = 1+3+5 3 addendi

16 = 42 = 1+3+5+7 4 addendi

25 = 52 = 1+3+5+7+9 5 addendi…………………………………………

Situazione 2: Numeri triangolari

Ecco come inizia la successione dei numeri triangolari:

I II III IV V …

1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5

Qual è il decimo numero triangolare?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

Situazione 2: Numeri triangolari

Qual è l’n-esimo numero triangolare?

Per esempio: il VI numero triangolare.

Il suo doppio è il numero rettangolare:

6 · 7 = 42

E l’n-esimo ?

n · (n+1)

2

È il numero triangolare:

Il VI numero triangolare è quindi

(6 · 7) : 2 = 21

n = = 1 + 2 + 3 + … + n

Situazione 3: Somma di numeri equispaziati

Per esempio: 2+5+8+11+14 = ?

5 · (2+14)

n · (p+u)

2

La somma è:

Il doppio della somma è il numero rettangolare:

[5 · (2+14)] : 2 = 40

In generale, se p è il primo numero, u l’ultimo e n il numero degli addendi, la somma vale:

Situazione 4: Numeri pentagonali

1, 4, 9, 16, … n.ri quadrati (Qn); 1, 3, 6, … n.ri triangolari (n–1)

Ecco come inizia la successione dei numeri pentagonali:

I II III IV …

P1=1 P2= 5 = 4+1 P3= 12 = 9+3 P4= 22 = 16+6

In generale, l’n-esimo numero pentagonale è:Pn = n2 + n–1 = n2 + n·(n–1)/2 =n·(3n–1)/2

Situazione 5: Numeri esagonali

1, 5, 12, 22, … numeri pentagonali (Pn)1, 3, 6, … numeri triangolari (n)

Ecco come inizia la successione dei numeri esagonali:

I II III IV …

E1=1 E2= 6 = 5+1 E3= 15 = 12+3 E4= 28 = 22+6

Situazione 6: Verso la generalizzazione…

Numeri esagonali:

Numeri triangolari:

n = n + n–1 = n·(n+1) / 2

Numeri quadrati:

Qn = n + n–1 = n+2 n–1 = n2

Numeri pentagonali:

Pn = Qn + n–1 = n+3 n–1 = n·(3n–1) / 2

En = Pn + n–1 = n+4 n–1 = n·(2n–1)

Situazione 7: Numeri tetraedrici

Eccoli:

Qual è l’n-esimo numero tetraedrico Tn?

T1=1 T2=4=1+3 T3=10=1+3+6 T4=20=1+3+6+10

I II III IV …

Situazione 7: Numeri tetraedrici

Disponiamo differentemente tre numeri T5:

Deduciamo l’uguaglianza:

1 1 5 71 2 2 1 4 4 7 7

1 2 3 + 3 2 1 + 3 3 3 = 7 7 71 2 3 4 4 3 2 1 2 2 2 2 7 7 7 7

1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7

3 T5 = 3 (1+3+6+10+15) = (1+2+3+4+5) · 7

In generale:

3 Tn = 3 (1+ 2 +…+ n) = n · (n+2) = n (n+1) (n+2) / 2

Tn = 1+ 2 +…+ n = n (n+1) (n+2) / 6

Situazione 8: Numeri piramidali quadrati

Eccoli:

I II III IV …

Qual è l’n-esimo numero piramidale quadrato PQn?

PQ1=1 PQ2=1+4 PQ3=1+4+9 PQ4=1+4+9+16

Situazione 8: Numeri piramidali quadrati

Ricordiamo che:

n + n–1 = n2

Somma dei primi n quadrati:

n

n–1Per la stessa ragione:

Tn + Tn–1 = (1+ 2 + 3 +…+ n) + (1+ 2 +…+ n–1)

1 22

32

n2

Tn + Tn–1 = 1+ 22 + 32 + … + n2 = n (n+1) (2n+1) / 6 = PQn

Inoltre:

PQn = Tn + Tn–1 = n (n+1) (n+2) / 6 + (n–1) n (n+1) / 6 == n (n+1) (2n+1) / 6

Situazione 9: Archimede… discreto

n-esimo numero piramidale quadrato:

PQn = n (n+1) (2n+1) / 6

Calcoliamo il loro rapporto:

n-esimo cubo:

Cn = n3

Per n molto grande (tendente all’infinito):

PQn

Cn

=n (n+1) (2n+1) / 6

n3=

2 n2+ 3 n +1

6 n2=

1

3+

1

2 n+

1

6 n2

0 0

PQn

Cn

≈1

3cioè: il rapporto tra i volumi di una piramide e di un prisma avente stessa base e stessa altezza è un terzo (già lo disse Archimede… per altra via.)

Situazione 10: Somma di cubi

Partiamo dalla tavola pitagorica:1 2 3 4 5

2 4 6 8 10

3 6 9 12 15

4 8 12 16 20

5 10 15 20 25

Contenuto degli gnomoni:

13

23

33

43

53

1 (1) = 1 · 12 = 13

5 (1+2+3+4+5+4+3+2+1) = 5 · 52 = 53

2 (1+2+1) = 2 · 22 = 23

3 (1+2+3+2+1) = 3 · 32 = 33

4 (1+2+3+4+3+2+1) = 4 · 42 = 43

Situazione 10: Somma di cubi

Abbiamo quindi trovato che la somma dei numeri contenuti nella tavola pitagorica 5x5 è:

1 · (1+2+3+4+5) + 2 · (1+2+3+4+5) +…+ 5 · (1+2+3+4+5) == (1+2+3+4+5) · (1+2+3+4+5) = 5

2 = 225

13 + 23 + 33 + 43 + 53

D’altra parte, la stessa somma è:

In generale:

13 + 23 + 33 + … + n3 = n2 = n2 · (n+1)2 / 4

Situazione 11: Numeri di Catalan

Partiamo dal triangolo di Pascal-Tartaglia:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

I numeri lungo l’asse di simmetria del triangolo (quelli blu) sono divisibili progressivamente per 1, 2, 3, 4, 5, …I corrispondenti quozienti si dicono numeri di Catalan.


Ecco come inizia la successione dei numeri di Catalan:

1 (=1:1) 2n=0 1=0+1

Qual è l’n-esimo numero di Catalan CAn?

1 (=2:2) 2n=2 2=2:2+1

2 (=6:3) 2n=4 3=4:2+1

5 (=20:4) 2n=6 4=6:2+1

14 (=70:5) 2n=8 5=8:2+1

42 (=252:6) 2n=10 6=10:2+1… … … …

n+12n

€

CAn =1

n +1⋅

2n

n

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟


Sviluppiamo l’espressione ottenuta per l’n-esimo numero di Catalan:

Ecco i primi 16 numeri di Catalan, direttamente dal computer:

€

CAn =1

n +1⋅

2n

n

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2n+1

2n+1

€

=2n!

n! n +1( )!

€

=1

2n+ 1⋅

2n +1( )!n! n + 1( )!

€

=1

2n+ 1⋅

2n + 1

n

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796

58786 208012 742900 2674440 9694845

Situazione 12: Una stessa struttura…

Cespugli piantati Montagne Parentesi

( )

( ( ) )

( ) ( )

( ( ( ) ) )

( ( ) ( ) )



( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

( ( ( ( ) ) ) )

( ( ( ) ( ) ) )



( ( ( ) ) ( ) )

( ( ) ( ( ) ) )

( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) )

( )

( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ) ( )

Situazione 12: Di nuovo i numeri di Catalan…

Il numero di conformazioni corrette di parentesi (o di montagne o di cespugli piantati) coincide con il corrispondente numero di Catalan.

Verifichiamo per qualche valore di n.

n = 0 : non ha senso.

n = 1 : ovvio, abbiamo una sola conformazione corretta ( )Il corrispondente numero di Catalan è proprio 1.

n = 2 : abbiamo due conformazioni corrette ( ( ) ) , ( ) ( )Il corrispondente numero di Catalan è proprio 2.

Situazione 12: Di nuovo i numeri di Catalan…

Per n=3 la cosa comincia a farsi complicata…

(1 (3 (5 )2 )4 )6

(1 (3 )2 (5 )4 )6

base2 5

(1 )2 (5 (3 )4 )62 3(1 (3 )4 )2 (5 )64 5(1 )4 (5 )2 (3 )6 4 3

n = 3 : abbiamo cinque conformazioni corrette.Il corrispondente numero di Catalan è proprio 5.

… è ovviamente divergente: calcoliamo il rapporto CAn / CAn+1

CAn

CAn+1

=

€

1n +1

2n

n

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

1n + 2

2n + 2

n +1

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

=

€

n + 2n +1

€

(2n)!n! n!

€

(2n + 2)!n +1( )! n +1( )!

=

=

€

n + 2n +1

€

2n + 2( ) 2n +1( ) 2n( )! n! n!

€

2n( )! n +1( ) n! n +1( ) n!=

=

€

n + 2( ) n +1( )

Situazione 12: La successione di Catalan…

=

€

2 n +1( ) 2n +1( )

€

n + 2( )

€

4n + 2( )

Ci interessa studiare il comportamento del rapporto CAn / CAn+1

per n molto grande (tendente all’infinito):


CAn

CAn+1

=

€

n + 2( )

€

4n + 2( )=

€

1+2n

⎛ ⎝

⎞ ⎠

€

4 +2n

⎛ ⎝

⎞ ⎠

0

0 ≈

€

14

Questo risultato può essere controllato mediante il computer: è sufficiente un normale foglio elettronico.

Ecco i primi tredici termini della successione CAn / CAn+1:


0.50.3333

0.30.28570.27780.27270.26920.26670.26470.26320.26190.2609

0.26

Si nota che la successione parte da 0.5 e decresce.

Il tredicesimo termine è 0.26: siamo ancora relativamente lontani dal valore limite 0.25 trovato teoricamente.

Il quattordicesimo termine è

€

0.259

Il primo termine con le prime tre cifre decimali uguali a 250 è il 126-esimo:

€

0.250996016

La teoria ci assicura che la successione converge verso 0.25; la pratica aggiunge:“molto, ma molto lentamente… “

Eugène Charles Catalan è nato a Bruges (Belgio) il 30 maggio 1814 ed è morto a Liegi (Belgio) il 14 febbraio 1894.

Situazione 12: Chi fu Catalan?

Studiò alla Scuola Politecnica di Liouville dove si laureò nel 1835. Ebbe sempre noie con le istituzioni a causa delle sue idee politiche di estrema sinistra.

Nel 1838 fu assunto come professore di geometria descrittiva nella scuola che lo formò matematicamente.

La successione che porta il suo nome fu precedentemente studiata dallo svizzero Leonhard Euler (1707-1783), dall’ungherese Johann Andrea von Segner (1704-1777) e dal francese Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) che riuscirono a esprimere il termine n-esimo, ma in forma più complicata.

Catalan costruì la sua successione, risolvendo il problema volto a sapere in quanti modi si può ripartire in n triangoli un poligono di (n+2) lati.


Per n=1, triangolo, 1 modo (banale).

Per n=2, quadrilatero, 2 modi.

Per n=3, pentagono, 5 modi.

Per i più appassionati…n=4, 14 modi.


1, 2, 5, 14, … sembra proprio Catalan!

Situazione 13: Bipiante matematiche

Ecco alcuni esemplari di bipiante matematiche

bipiantadi 1 anno

bipiantadi 2 anni

bipiantadi 3 anni

È possibile sapere quanti rami e quante gemme ha una bipianta di 10 anni, senza disegnarla?

ramo

gemma


1 anno 2 anni 3 anni

ramo

gemma

anni rami gemme

n 2n–1= 1+2+4+…+2n–1 2n–1

5 31 = 1+2+4+8+16 16= 24

… … …

4 15 = 1+2+4+8 8 = 23

3 7 = 1+2+4 4 = 22

1 1 12 3 = 1+2 2


Studiamo le successioni rn del numero di ramie gn di quello delle gemme:

gn = 2n

€

gn

gn+1

=

€

2n

2n+1 =

€

12

(successione costante)

€

rnrn+1

=rn = 2n –1

€

2n −12n+1 −1

=

€

1−12n

2 −12n

Per n molto grande (tendente all’infinito):

0

€

1−12n

€

2 −12n

0

€

rnrn+1

=

€

≈12

(ritroviamo lo stesso valore di prima)


0.3333333330.4285714290.4666666670.4838709680.4920634920.4960629920.4980392160.4990215260.499511241

0.499755740.4998779

0.4999389570.499969481

Ecco i primi tredici termini della successione rn / rn+1:

Si nota che la successione parte da 1/3 e cresce.

Il tredicesimo termine è già vicino al limite 0.5 a meno di un decimillesimo.

A partire dal 30-esimo termine, il foglio elettronico non distingue più il risultato da 0.5.

La teoria ci assicura che la successione converge verso 0. 5; la pratica aggiunge:“molto velocemente…”: come sempre, quando ci sono di mezzo le potenze!

Situazione 14: Radici delle bipiante

radichetta

radice di1 anno

radice di2 anni

radicedi 3 anni

anni no. radichette1 2

n rn = 21 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1– 2 = 2 (2n –1)

5 62 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32… …………………………

4 30 = 2 + 4 +8 + 163 14 = 2 + 4 + 82 6 = 2 + 4

Situazione 15: Giuseppe l’ortolanoDeve bagnare ogni giorno le aiuole; l’annaffiatoio contiene la quantità necessaria di acqua per una singola aiuola.

Ecco la pianta del suo orto, con indicate le misure necessarie (letterali).

fontana

a a a a a

b b

Alla fine del lavoro, Giuseppe vuole sapere che distanza ha percorso, in totale, col suo annaffiatoio.

1 2 3 4

Situazione 15: Giuseppe l’ortolanoPer bagnare le aiuole, Giuseppe compie il percorso seguente:

fontana

1fontana

2

fontana

3

Situazione 15: Giuseppe l’ortolanoLunghezza del percorso in funzione del numero di aiuole da bagnare:

no. aiuole lunghezza percorso

4 28 a + 8 b

3 18 a + 6 b

2 10 a + 4 b

1 4 a + 2 b

E se le aiuole fossero n?

Situazione 15: Giuseppe l’ortolanoLunghezza del percorso per ogni singola aiuola:

aiuola coeff. di a coeff. di b

III 8= 2 · 3 + 2 2II 6= 2 · 2 + 2 2I 4= 2 · 1 + 2 2

… … …(n) 2 · n + 2 2

coeff. di a = 2 · (1 + 2 + … +n) + 2 n =

(n + 1) · n

2 + 2 n = n2 + 3 n = 2 ·

coeff. di b = 2 · n

Percorso totale = (n2 + 3 n) · a + 2 n · b

Situazione 16: Successione di FibonacciLa successione classica di Fibonacci è la seguente:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

A partire dal terzo, ogni termine è uguale alla somma dei due immediatamente precedenti. I primi due termini possono essere fissati a piacimento; in quella classica sono entrambi uguali a 1. La successione è divergente.

Indichiamo con fn il termine generico della successione e proviamo a studiare la successione dei rapporti:

tn =fn

fn+1

Situazione 16: FibonacciCi aiutiamo con un foglio elettronico.

n fn tn=fn/fn+11 1 1.0000000002 1 0.5000000003 2 0.6666666674 3 0.6000000005 5 0.6250000006 8 0.6153846157 13 0.6190476198 21 0.6176470599 34 0.61818181810 55 0.61797752811 89 0.61805555612 144 0.61802575113 233 0.61803713514 377 0.61803278715 610 0.61803444816 987 0.61803381317 1597 0.61803405618 2584 0.61803396319 4181 0.61803399920 6765 0.61803398521 109460.61803399022 177110.61803398823 286570.61803398924 463680.61803398925 750250.618033989

La successione tn sembra tendere verso un numero vicino a…

€

5 −12

≅0.618033989

Il risultato può essere confermato teoricamente mediante un calcolo alla portata di uno studente delle superiori.

… che è addirittura il notissimo numero aureo.

Situazione 16: La formula di Binet

Leonardo Pisano, detto Fibonaccio (oggi Fibonacci) fu, in Occidente, il matematico più importante del Medioevo. Visse tra il 1180 e il 1250 (le date non sono sicure).Egli non riuscì a dare una formula del tipo Fn = f(n).

Vi riuscì soltanto nel 1718 Abrahan De Moivre (1667-1754). Eccola:

Fn =a−n− −a( )n[ ]

5con a =

5 −12

La dimostrazione giunge dieci anni più tardi per mano di Nicolaus Bernoulli (1687-1759) e viene ripresa da Jacques Philippe Marie Binet, dal quale la formula prende il nome.


Oggi la formula di Binet può essere dimostrata in modo semplice, alla portata di un allievo liceale.

Perno della dimostrazione è un recentissimo teorema (1971) attribuito a E. Just. Eccolo

Sia una soluzione dell’equazione x2 = x + 1Allora, per ogni n>0 naturale, risulta αn = α Fn +Fn−1

Invece di presentare una dimostrazione formale di questo teorema, tentiamo un approccio induttivo…


Partiamo dalla relazione 2 = + 1Moltiplichiamo successivamente i due membri per e sostituiamo ogni volta 2 con +1.

…

α3 = α2 + α = 2 α +1

α4 = α3 + α2 = 2 α +1+ α +1= 3 α + 2

α5 = α4 + α 3 = 3 α + 2 + 2 α +1= 5 α + 3

α6 = α5 + α4 = 5 α + 3 + 3 α + 2 = 8 α + 5

Raggiungiamo la formula…αn = α Fn +Fn−1

… che è la tesi del teorema di Just.


Finalmente dimostriamo la formula di Binet.

Allora, grazie al teorema di Just

(Formula di Binet!)

Le soluzioni dell’equazione x2 = x + 1 sono:

Poniamo a =5 −12

−a =1− 5

21a=1+ 5

2

1

an =Fna+Fn−1−a( )n = −a Fn +Fn−1

Infine, sottraendo membro a membro si ottiene…

Fn ⋅ a+1a

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =

1an

− −a( )n Fn ⋅ 5 =a−n− −a( )n

Fn =a−n− −a( )n

5

Sitazione 16: Ancora FibonacciConsideriamo di nuovo la successione…

€

tn =fn

fn+1

… e formiamo la nuova successione

€

zn =tn

tn+1

Questa successione sembra tendere a 1…

n zn=tn/tn+11 2.00000000002 0.75000000003 1.11111111114 0.96000000005 1.01562500006 0.99408284027 1.00226757378 0.99913494819 1.000330578510 0.999873753311 1.000048225312 0.999981580113 1.000007035914 0.999997312615 1.000001026516 0.999999607917 1.000000149818 0.999999942819 1.000000021920 0.999999991721 1.000000003222 0.999999998823 1.000000000524 0.999999999825 1.0000000001

… succederà sempre così, ad ogni successione convergente an?

Situazione 16: Un teorema…Consideriamo una qualsiasi successione an convergente verso un limite A…

… e formiamo la nuova successione:

an

Calcoliamo:

an+1

€

limn→∞

an

an+1=

€

limn→∞

an

€

limn→∞

an+1

=A

A= 1

La teoria conferma la nostra intuizione…

… ma se la successione fosse divergente, oppure convergente verso 0, il limite potrebbe essere qualsiasi.

solo se A≠0solo se A≠0solo se A≠0solo se A≠0

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