SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 1

1 Successioni

RICHIAMI

Una successione di elementi di un insieme X è una funzionef : N→ X .E’ convenzione scrivere f n xn( ) = , e indicare le successioni mediante la “infinitupla” ordinata delle immagini di f :

( )x x x xn0 1 2, , ,......, ,......

o anche compattamente con ( )xn n N∈. La nozione di limite (per n → +∞ ) di una successione è un caso particolare di limite di funzio-

ne. Seguendo la convenzione precedente:lim limn

nn

x f n→+∞ →+∞

= ( )

Ad esempio, se la successione è ( )xn

nn = ++

1

2 3

lim1

2 3

1

2n

n

n→+∞

++

= (si ricordi che lim1

2 3

1

2x

x

x→+∞

++

= )

Si ricordino le successioni:a) Progressione geometrica di ragione q.Sia q ∈ R. La progressione geometrica di ragione q è la seguente successione:

( )1 2 3, , , ,......., ,....q q q qn . Si ha:

lim

se 1

se 1

1 se 1

non esiste se 1

n

nq

q

q

q

q

→+∞=

+∞ ><=

≤ −

0

b) Successione armonica (e armonica generalizzata):La successione armonica è la successione degli inversi dei numeri interi:

1,1

2,1

3,1

4,.....

1,...

n

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 2

cioè ( )ann =

1, con n ∈ N { }\ 0 .

Si ha:

lim1

n n→+∞= 0 .

La successione armonica generalizzata è:

1,1

2,

1

3,

1

4,.....,

1,....

p p p pn

cioè ( )ann p

=

1, con n ∈ N { }\ 0 e { }p ∈ +R \ 0 .

Si ha:

lim1

0n pn→+∞

= .

c) La successione che converge al numero e:

2, 11

2, 1

1

3, 1

1

4,....., 1

1,......

2 3 4 n

+

+

+

+

n

cioè ( )ann

n

= +

1

1.

Si ha:

lim 11

n

n

ne

→+∞+

=:

Si ricordi anche che, ∀ ∈a b, R,

lim 1n

bnaba

ne

→+∞+

=

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 3

ESEMPI

1. lim2 6 1

3 4n

n n

n→+∞

− −−

= +∞2

(si ricordi che lim2 6 1

3 4

2

x

x x

x→+∞

− −−

= +∞ )

2.

( )lim

1 2 3lim

1

2 lim2

1

22 2

2

2n n n

n

n

n n

n

n n

n→+∞ →+∞ →+∞

+ + + + =

+

= + =........

(si ricordi la formula: ( )

1 2 3 ......1

2+ + + + =

+. n

n n)

3. lim1

lim1

n nn

nn

n→+∞ →+∞+ = +

+ ∞

4. limsin

lim1

sin 0n n

n

n nn

→+∞ →+∞= =

(Si ricordi che il prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata è ancora una funzione infinitesima.)5. ( )lim 1 non esiste

n

n

→+∞− : . Infatti, se n è pari, an = 1 , mentre se n è dispari, an = −1. Poiché il limite di una successione, se esiste,

è unico, la successione non ha limite

6. ( )lim 11

lim 112 2

1 22n

n

n

n

n ne

e→+∞ →+∞

− ⋅−

= + −

= =( ) 1

7. ( )( )lim 12

n

nn n→+∞

+ −

Distinguiamo i due casi:Se n è pari:

( )( ) ( )lim 1 lim2 2

n

n

nn n n n

→+∞ →+∞+ − = + = +∞

Se n è dispari:

( )( ) ( ) ( )lim 1 lim lim 12 2

n

n

n nn n n n n n

→+∞ →+∞ →+∞+ − = − = − = +∞

Quindi, in ogni caso:

( )( )lim 12

n

nn n→+∞

+ − = +∞

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 4

2 Serie Numeriche

RICHIAMI

Una serie numerica è la somma di un’infinità di numeri reali:a a an0 1+ + + +...... ....

Si dice somma della serie il limite, se esiste della successione delle ridotte (o successione delle somme parziali):S a

S a a

S a a an n

0 0

1 0 1

0 1

== +

= + + +�

�

........

Si pone cioè:

a Snn

nn

=

∞

→∞∑ =0

: lim

Si afferma che la serie ann=

∞

∑0

converge, diverge, o è indeterminata se la successione ( )Sn converge, diverge o è indeterminata.

Si ricordano le serie:

geometrica: 1

se 1 è indeterminata

se 1 diverge

se 1 convergea1

1

+ + + + + =≤ −≥

< =−

=

∞

∑q q q q

q

q

q Sq

n k

k

2

0

...... .....

armonica: 11

2

1

3.....

1....+ + + + +

n : è divergente.

armonica generalizzata: 11

2

1

3.....

1... (con p )

se 1 converge

se 1 diverge++ + + + + = ∈>≤ ≤

=

∞

∑p p p pkn k

p

p.

101

R

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 5 Si ricordi la seguente importante proprietà generale delle serie:

Condizione necessaria di convergenza: Se una serie ann=

∞

∑0

converge, allora necessariamente il suo termine generale tende a 0.

In simboli: 0lim0

=⇒∈=∞→

∞

=∑ nnn

n aSa R .

Si osservi che la condizione 0lim =∞→ nn

a è necessaria, ma non sufficiente, affinché la serie converga.

Come controesempio si consideri la serie armonica ∑∞

=1

1n n

; il suo termine generale tende a zero, ma la serie diverge, come visto negli

esempi precedenti. La proprietà precedente si utilizza molto spesso per vedere se una serie non converge, cioè:

se il termine generale di una serie non tende a zero, la serie non può convergere. Per le serie a termini di segno costante (cioè o tutti positivi o tutti negativi, almeno da un certo indice in avanti), si ricordino i criteri del rapporto, della radice e del confronto. Criterio del rapporto

Data la serie ann=

∞

∑0

, con an > 0 (almeno da un certo n0 in poi)

(i) Se 1lim 1 <=+

∞→l

aa

n

n

n allora la serie converge

(ii) Se 1lim 1 >=+

∞→l

aa

n

n

n allora la serie diverge

Nulla si può dire se l = 1 Criterio della radice

Data la serie ann=

∞

∑0

, con an > 0 (almeno da un certo n0 in poi)

(i) Se lim 1n n

n a l→∞

= < allora la serie converge

(ii) Se lim 1n n

n a l→∞

= > allora la serie diverge

Nulla si può dire se l = 1

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 6 Criterio del confronto

Date le serie ann=

∞

∑0

e bnn=

∞

∑0

tali che a bn n≤ (almeno da un certo n0 in poi):

(i) Se bnn=

∞

∑0

converge, allora ann=

∞

∑0

converge;

(ii) Se ann=

∞

∑0

diverge, allora bnn=

∞

∑0

diverge.

Per le serie a termini di segno variabile si ricordi la seguente definizione:

Si dice che la serie ann=

∞

∑0

è assolutamente convergente se converge la serie nn

a∑∞

=0 dei valori assoluti dei suoi termini.

Si ricordi che la convergenza assoluta di una serie ne implica la convergenza, come stabilito dal seguente teorema: Criterio di assoluta convergenza: Se una serie è assolutamente convergente, allora converge.

In simboli: nn

a∑∞

=0 converge ⇒ an

n=

∞

∑0

converge.

Per le serie a termini di segno alterno si ricordi il criterio di Leibniz: Criterio di Leibniz

Data la serie ( )−=

∞

∑ 1 nn

n

a0

(con a nn > ∀ ∈0, N),

se a a a an0 1 2≥ ≥ ≥ ≥ ≥........ ..... e se limn na→∞

= 0

allora la serie converge.

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 7

ESEMPI 1. Dire se le seguenti serie convergono o divergono (usare la serie geometrica, armonica ed il teorema del confronto).

a) ( )

1log2 n

n=

∞

∑0

b) 210n

n=

∞

∑0

c) 1n nn=

∞

∑1

d) ( )nn

n

+=

∞

∑ 20

a) ( )

1log2 n

n=

∞

∑0

è una serie geometrica di ragione q =1

log2. Poiché log2 1, 1

log21< > ; dunque q>1 e la serie diverge.

b) 210

2 110n

n

n

n=

∞

=

∞

∑ ∑=

0 0

110

=

∞

∑n

n 0

è una serie geometrica di ragione q = <1

101; pertanto la serie converge.

La somma vale:

S =−

=2 1

1 110

209

c) 1 1n n nn n=

∞

=

∞

∑ ∑=1 1

32

è una serie armonica generalizzata con esponente p = >32

1, e dunque converge.

d) ( )nn

n

+=

∞

∑ 20

Si osservi che ( )n n+ > ∀ ≥2 2 1 .

Pertanto ( ) ( )nn n

+ >2 2 .

La serie ( )2n

n=

∞

∑0

è una serie geometrica di ragione 2 1> e dunque diverge. Pertanto anche la serie iniziale diverge (in quanto

maggiorante termine a termine di una serie divergente).

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 8 2. Provare che la seguente serie è convergente e calcolarne la somma:

1- sin62

+ π

=

∞

∑n

n

Si tratta di una serie geometrica di ragione

q = = = <1- sin6

1- 12

12

1π

Dunque converge. La serie

1- sin6

120

+ π

=

=

∞

=

+∞

∑ ∑n

n

n

n 0

ha come somma:

Sn

n

=

=

−=

=

∞

∑ 12

11

2120

+

Poiché: 12

12

12

12

1 122

+

0

+

0

1

0

+

=

−

=

− +

=

∞

=

∞

= =

∞

∑ ∑ ∑ ∑n

n

n

n

n

n

n

n

Si ha: 12

1 12

2 32

122

+

= − +

= − =

=

∞

∑n

n

S

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 9 3. Usando il criterio del confronto dimostrare che la serie 1

215

110

117

.... 11

....2+ + + + ++

+n

converge.

12

15

110

117

.... 11

....2+ + + + ++

+ ==

∞

∑nsn

n 1

Si consideri la serie 11

14

19

116

..... 1 ...2+ + + + + + ==

∞

∑nwn

n 1

Poiché ∀ <n s wn n, e poiché 1n

wnnn

211

==

∞

=

∞

∑∑ converge (in quanto serie armonica generalizzata con esponente 2>1), anche la serie da-

ta converge. 4. Usando il criterio del confronto (con la serie armonica) dimostrare che la seguente serie diverge:

13 1nn +=

∞

∑1

(confrontare con 14nn=

∞

∑1

)

14

17

110

113

..... 13 1

..... 14

18

112

..... 14

.....+ + + + ++

+ > + + + + +n n

Poiché 14

14

1n nn n=

∞

=

∞

∑ ∑=1 1

diverge, anche la serie data diverge.

5. Usando il criterio del rapporto, dimostrare che:

5n

n n !=

∞

∑0

converge.

( ) ( )lim 5

1 5lim 5 5

1 5lim 5

1

1

n

n

n n

n

n nnn n

n n n→+∞

+

→+∞ →+∞+⋅ =

⋅ ⋅+ ⋅ ⋅

=+

=!

! !!

0

Poiché 0<1, la serie converge.

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 10 6. Usando il criterio del rapporto, dimostrare che:

( )2

2

n

n n n +=

∞

∑1

diverge.

( )( )( ) ( )

( )( )lim 2

1 32

2lim

2 21 3

21

n

n

n nn nn n n n

n n→+∞

+

→+∞+ ++

=+

+ +=

Poiché 2>1 la serie diverge. 7. Usando il criterio del rapporto, dimostrare che:

( )n

nn

3

0 log 2=

∞

∑ diverge.

( )( )

( )lim1

log 2log 2

lim 1 1log 2

1log 2

13

1

3

n n

n

n

nn

nn→+∞ + →+∞

+=

+

= >3

Dunque la serie diverge. 8. Dimostrare che la seguente serie converge: 12

12 2

13 2

14 2

..... 12

..... 122 3 4+

⋅+

⋅+

⋅+ +

⋅+ =

⋅=

∞

∑n nn nn 0

Usiamo il criterio del rapporto

( ) ( )lim 1

1 22

1lim 2

1 2 2121n n

n

n

n

nnn n

n→+∞ + →+∞+⋅

=⋅

+ ⋅ ⋅=

Poiché 12 1< la serie converge.

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 11 9. Dimostrare la convergenza della serie:

1nn

n=

+∞

∑1

Usiamo il criterio della radice:

an

an nn n n

nn

n= = =1 dunque 1 1,

Poiché lim lim 1 0 < 1n n

nn

an→+∞ →+∞

= =

la serie converge. 10. Usando il criterio della radice, discutere la convergenza della serie:

0 + 1- 12

1- 13

1- 14

1- 1 1- 14 3 16

1

+2 2

+

+

+ +

+ =

=

∞

∑.... ...n k

n k

k

Si ha:

ann

n

= 1- 1

2

Dunque:

( )a an nn

nn

n nn

n

= =

=

12

1

1- 1 1- 1

lim lim 1- 1 1 11

n nn

n

n

an

ee→+∞ →+∞

−=

= = <

Dunque la serie converge.

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 12 11. Dimostrare che la seguente serie diverge:

( )( ) ( )( )2

1 33

2 44

3 55

4 6 1 1 1 1 12⋅+

⋅+

⋅+

⋅+ +

− ++ =

− +=

−=

∞

=

∞

∑ ∑.... ......nn n

nn n

nnn n1 1

Proviamo ad usare il criterio del rapporto:

( )( ) ( )

( )lim 1

1 11 lim

1 12

12

2 2

n n

nn

nn

n nn n→+∞ →+∞

++ −

−=

+ −+

=2

Dunque non possiamo concludere nulla. Proviamo a vedere se la serie data è una maggiorante di una serie divergente.

n nn n

nn

nn n

2 22 2 2 21 1

11

11

− < ⇒−

> ⇒−

> =

Dunque il termine generale della seria data a nnn = −2 1

è strettamente maggiore del termine generale 1n

della serie armonica, che di-

verge. Pertanto la serie data è divergente. ,,, 12. Dimostrare che la seguente serie converge

( )− +

=

∞

∑ 1 11n

n n1 (serie armonica alterna)

Si applica il criterio di Leibniz:

poiché 1 12

13

.... 1 ....> > > > >n

e lim 1n n→+∞

= 0

la serie converge (si dimostra che la somma vale log 2 ).

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 13 13. Dire se convergono le seguenti serie:

a) ∑∞

= +=+

++++++

1n 1nn....

1n....

54

43

32

21

n

b) ∑∞

=1

1

n

ne

c) ∑∞

=0)cos(

nnπ

d) ∑∞

=2 log1

n n

Le serie a), b), c) non possono convergere, in quanto non soddisfano la condizione necessaria per la loro convergenza. Infatti:

a) 011n

nlim ≠=+∞→n

b) 01lim1

≠=∞→

nn

e

c) ( ) ( )n

nnn 1limcoslim −=

∞→∞→π non esiste (e dunque non è nullo).

La serie d) soddisfa tale condizione (infatti 0log

1lim =∞→ nn

), ma questo non è sufficiente per concludere che la serie converga. In effet-

ti, applicando il criterio del confronto si trova che la serie diverge.

Si ha infatti, nnn <<≥∀ log0,2 e quindi nn1

log1

> ; dunque la serie ∑∞

=2 log1

n n diverge, in quanto maggiorante della serie armoni-

ca, che è divergente.

SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 14 14. Dire se convergono le seguenti serie:

a) ( )∑∞

=

−

12

1n

n

n

b) ∑∞

=12

cosn n

n

c) ( )∑∞

=

−

1

1n

n

n

Si tratta di serie a termini di segno variabile. Si applichi il criterio di convergenza assoluta.

a) Si ha ( )22

11nn

n

=− . Pertanto la serie ( )∑

∞

=

−

12

1n

n

n è assolutamente convergente e quindi converge.

b) Si ha 22

1cosnn

n≤ ; poiché la serie ∑

∞

=12

1n n

è convergente, per il criterio del confronto lo è anche la serie ∑∞

=12

cosn n

n .

Pertanto la serie ∑∞

=12

cosn n

n è assolutamente convergente e quindi converge.

c) Si ha ( )nn

n 11=

− . Poiché la serie ∑∞

=1

1n n

non converge (in quanto serie armonica generalizzata di esponente p = 121< ), la serie

( )∑∞

=

−

1

1n

n

n non è assolutamente convergente.

Questo non autorizza a concludere che la serie ( )∑∞

=

−

1

1n

n

n non converga. In effetti essa converge.

Infatti, si applichi il criterio di Leibniz:

....1....3

12

11 >>>>>n

0n

1lim =∞→n

Dunque si può concludere che la serie ( )∑∞

=

−

1

1n

n

n converge.