Hybrid Systems course - Intranet...

ESERCITAZIONE RIASSUNTIVA

ESERCIZIO 1

Si consideri il sistema lineare con funzione di trasferimento

controllato da un relè con zona morta come mostrato in figura

Noto che la funzione descrittiva dell’elemento non lineare è

valutare come deve essere scelto il parametro a in modo che il

metodo della funzione descrittiva non preveda alcuna oscillazione

permanente.

y y° u e N

a

-a

1

-1

e

u

ESERCIZIO 1: SOLUZIONE

Il metodo della funzione descrittiva (a singolo ingresso sinusoidale)

prevede che non ci siano oscillazioni permanenti se l’equazione di

bilancio armonico

non ammette soluzioni, cioè se il diagramma polare di G(s) non

interseca il luogo dei punti critici H(E) associato alla non linearità.

Osserviamo che

è una funzione che assume valori reali (positivi), è nulla per E = a e

tende a zero per E + , quindi il luogo dei punti critici sarà della

forma

Re

Im H(E)


Il metodo della funzione descrittiva (a singolo ingresso sinusoidale)

prevede che non ci siano oscillazioni permanenti se l’equazione di

bilancio armonico

non ammette soluzioni, cioè se il diagramma polare di G(s) non

interseca il luogo dei punti critici H(E) associato alla non linearità.

Osserviamo inoltre che

ha diagramma polare che attraversa il semiasse reale negativo


Dobbiamo quindi calcolare e imporre che quando G(j)

attraversa il semiasse reale negativo, il suo modulo sia inferiore a

Calcoliamo la derivata di D(E) per E>a:

essa si annulla per . Corrispondentemente


ha diagramma polare che interseca il semiasse reale negativo ad una

pulsazione (1,2). Essa può essere calcolata tramite

e vale quindi .

Corrispondentemente


Dobbiamo quindi trovare i valori di a che soddisfano

cioè

ESERCIZIO 2

Funzioni descrittive a duplice ingresso:

Funzione descrittiva (ad ingresso puramente sinusoidale)

Dati

e posto , determinare le eventuali oscillazioni

permanenti del sistema applicando il metodo della funzione

descrittiva a singolo e a duplice ingresso. Confrontare i risultati.

u e y N

v y° 1

-1

v

u

RIPASSO DA ESERCIZIO 3 DEL 13 GENNAIO 2014

e y N

v y° u

U

Bilancio dei valori medi

Bilancio delle prime armoniche


e y N

v y° u

U

Bilancio dei valori medi

Bilancio delle prime armoniche

Se si assume V0=0, allora dalla seconda equazione segue:

, dove

Metodo della funzione descrittiva a singolo ingresso sinusoidale


Metodo della funzione descrittiva ad ingresso puramente sinusoidale:

determiniamo tale che la fase di R(j)G(j) sia - e poi calcoliamo

il modulo di R(j)G(j), da cui ricaviamo V:

u e y N

v y° 1

-1

v

u

10

|R(j)G(j) | = 1



Metodo della funzione descrittiva ad ingresso puramente sinusoidale:

determiniamo tale che la fase di R(j)G(j) sia - e poi calcolo il

modulo di R(j)G(j), da cui ricavo V:

u e y N

v y° 1

-1

v

u


e y N

v y° u

U

Metodo della funzione descrittiva a duplice ingresso:

Nel nostro caso U = 0 e G0 =0, quindi la prima equazione diventa

da cui, sostituendo nella seconda e supponendo V1 0, si ottiene:


determiniamo tale che la fase di R(j)G(j) sia - e poi calcoliamo

il modulo di R(j)G(j), esattamente come prima, e poi ricaviamo V1:

10

|R(j)G(j) | = 1

ESERCIZIO 3

Si consideri il sistema in figura dove

1. Determinare U in modo che l’ipotesi di oscillazioni a valore medio

nullo per l’utilizzo della funzione descrittiva ad ingresso

puramente sinusoidale sia soddisfatta

2. Utilizzare il metodo della funzione descrittiva per valutare se il

sistema ammette un’oscillazione permanente al variare del livello

di saturazione k>0.

3. Per i valori di k in cui il metodo prevede l’esistenza di una

oscillazione, valutarne le caratteristiche (periodo e stabilità).

k

1 e

ESERCIZIO 3

D(E)/k



1. Determinare U in modo che l’ipotesi di oscillazioni a valore medio

nullo per l’utilizzo della funzione descrittiva ad ingresso

puramente sinusoidale sia soddisfatta

Bilancio dei valori medi:

Nel caso considerato:

Si può quindi porre U = 0

k

1 e



2. Utilizzare il metodo della funzione descrittiva per valutare se il

sistema ammette un’oscillazione permanente al variare del livello

di saturazione k>0.

Cerchiamo ed E tali che

k

1 e


D(E)/k

Re

Im

H(E) -1/k


Re

Im

H(E) -1/k

Determiniamo tale che la fase di G(j) sia - e poi calcoliamo il

modulo di G(j). Se |G(j)| 1/k, allora il metodo prevede

un’oscillazione, altrimenti non ne prevede nessuna.



3. Per i valori di k in cui il metodo prevede l’esistenza di una

oscillazione, valutarne le caratteristiche (periodo e stabilità).

è il periodo delle oscillazioni

Per la stabilità, utilizziamo il criterio di Cahen-Loeb. A tale scopo

tracciamo il diagramma polare di G(s).

k

1 e


Esiste un’intersezione tra il diagramma polare ed il luogo dei punti

critici e dato che essa è stabile per il criterio di Cahen-Loeb

N T

H(E)

ESERCIZIO 4

Con riferimento al sistema di Lur’e autonomo

dove L rappresenta un sistema lineare completamente raggiungibile

ed osservabile con funzione di trasferimento

valutare se la congettura di Aizerman relativamente ad un settore

[0,k] può ritenersi corretta.

L u e y

PROBLEMA DI LUR’E

u e

S : y

Problema di Lur’e

Data la funzione di trasferimento G(s) del sistema lineare L,

trovare condizioni necessarie e/o sufficienti di assoluta stabilità di S

in un settore [k1, k2].

Definizione

Il sistema S è assolutamente stabile nel settore [k1, k2] se x = 0 è uno

stato di equilibrio globalmente asintoticamente stabile di S, per ogni

UNA CONDIZIONE NECESSARIA

u e

S : y

Teorema (condizione necessaria)

Se S è assolutamente stabile nel settore [0, k],

allora il sistema L descritto da G(s) è asintoticamente stabile e il

diagramma di Nyquist di G(s) non compie nessun giro attorno a

in quanto non ci sono poli di G(s) con parte reale positiva.

Re

Im

G(jw)

G w

UNA CONDIZIONE NECESSARIA

u e

S : y

Teorema (condizione necessaria)

Se S è assolutamente stabile nel settore [0, k],

allora il sistema L descritto da G(s) è asintoticamente stabile e il

diagramma di Nyquist di G(s) non compie nessun giro attorno a

in quanto non ci sono poli di G(s) con parte reale positiva.

Congettura di Aizerman (1949):

La condizione necessaria è anche sufficiente.

CRITERIO DI POPOV

Teorema (condizione sufficiente per l’assoluta stabilità di S nel

settore [0, k], Criterio di Popov, 1962)

Il sistema S è assolutamente stabile nel settore [0, k] se il sistema L è

asintoticamente stabile (condizione necessaria), e se esiste un

numero reale q tale che sia soddisfatta la condizione di Popov:

CRITERIO DI POPOV

Re

Im

G*

retta di

Popov

diagramma di Popov

• stabilire se esiste una retta passante per -1/k (retta di Popov) che

lasci G* strettamente alla sua destra (tranne, al più, il punto di G*

corrispondente a w, che può appartenere alla retta di Popov).

• Il coefficiente angolare della retta è 1/q

VERIFICA DELLA VALIDITA’ DELLA CONGETTURA

Data G(s), indichiamo con

• KP il più alto valore di K tale che sia possibile garantire, mediante

il criterio di Popov, l’assoluta stabilità di S nel settore [0, k], per

ogni k [0, KP)

• KN il più alto valore di K tale che la condizione necessaria sia

soddisfatta per ogni k [0, KN).

Vale ovviamente la condizione KP KN

Se KP = KN

il sistema in esame verifica la congettura di Aizerman



dove L rappresenta un sistema lineare completamente raggiungibile

ed osservabile con funzione di trasferimento

valutare se la congettura di Aizerman relativamente ad un settore

[0,k] può ritenersi corretta.

Tracciamo il diagramma polare e il diagramma di Popov di G(s)

L u e y


La congettura di Aizerman è valida in questo caso perché KP = KN

G*

G


La congettura di Aizerman è valida in questo caso perché KP = KN

punto più a destra sul semiasse reale

negativo per il quale passa una retta

tangente a (ma non intersecante) G*

è -1/KP

G*

intersezione più a sinistra di G

(o G*) con l’asse reale è -1/KN

G

ESERCIZIO 5


dove

è la f.d.t. di un sistema completamente raggiungibile ed osservabile:

1. Valutare se il sistema di Lur’e è assolutamente stabile nel settore

[0,100]

2. Determinare il valore massimo di K>0 tale che il sistema è

assolutamente stabile nel settore [0,h] con 0<h<K

3. Determinare l’estremo superiore KM dei possibili k>0 tali che si

possa affermare l’assoluta stabilità nel settore [-k,k] con il criterio

del cerchio

u e y



dove


1. Valutare se il sistema di Lur’e è assolutamente stabile nel settore

[0,100]

Verifichiamo se è soddisfatta la condizione necessaria, cioè se è

soddisfatto il criterio di Nyquist quando la caratteristica statica è

lineare u=ke con k [0,100]. A tale scopo osserviamo

preliminarmente che il sistema è a.s. e quindi tracciamo il diagramma

polare di G(s).

u e y


> 0.1 margine di

guadagno

<10

fase -180°


-1/100

la condizione necessaria NON è soddisfatta

il sistema di Lur’e non è assolutamente stabile nel settore [0,100]



dove


2. Determinare il valore massimo di K>0 tale che il sistema è

assolutamente stabile nel settore [0,h] con 0<h<K

Basta trovare il margine di guadagno, cioè calcolare tale che

e poi calcolare K= 1/|G(j)|.

u e y

ESERCIZIO 5


dove


3. Determinare l’estremo superiore KM dei possibili k>0 tali che si

possa affermare l’assoluta stabilità nel settore [-k,k] con il criterio

del cerchio

u e y

CRITERIO DEL CERCHIO


settore [k1, k2], Criterio del cerchio)

Il sistema S è assolutamente stabile nel settore [k1, k2] se il numero di

giri che il diagramma di Nyquist di G(s) compie attorno al cerchio

O(k1, k2) è uguale al numero di poli di G(s) con parte reale positiva.

Re

Im

G

w

O[k1, k2]

0 k1 < k2


Re

Im

-1

k2

-1

k1

k1 < 0 < k2

Re

Im

k1 < k2 0

-1

k1

-1

k2

Re

Im

0 k1< k2


Re

Im

-1

k2

-1

k1

k1 < 0 < k2

Re

Im

k1 < k2 0

-1

k1

-1

k2

Re

Im

0 k1< k2

Nel caso di settore [-k,k], la condizione da verificare è che il diagramma

di Nyquist di G(s) sia strettamente contenuto nella circonferenza di raggio

1/k centrata nell’origine del piano complesso


Il diagramma del modulo è tutto sotto l’asse 0 dB |G(j )| 1, , e

G(j0)=1. Questo implica che il diagramma di Nyquist di G(s) è contenuto

nella circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine del piano complesso e

la interseca in un punto KM = 1

ESERCIZIO 6

Calcolare le norme e per i segnali:

a)

b)

c)

Dire quale tra di essi è:

1. ad energia limitata

2. uniformemente limitato

NORMA DI UN SEGNALE

• Segnale a tempo continuo

continuo a tratti

•

Segnali a norma finita:

p = 1 segnali assolutamente integrabili

p = 2 segnali ad energia finita

p = segnali uniformemente limitati


a)

•

•

Segnale uniformemente limitato, ma non ad energia limitata


b)

•

•

Segnale uniformemente limitato, ad energia finita


c)

•

•

Segnale uniformemente limitato, ad energia finita

ESERCIZIO 7

Si consideri il sistema lineare di ordine 2 descritto dalla funzione di

trasferimento

con

Determinare il guadagno 2(H) dell’operatore ingresso/uscita H ad

esso associato

OPERATORE DEBOLMENTE LIMITATO

H u y

causale

Definizione (operatore debolmente limitato):

L’operatore causale si dice debolmente limitato (o a

guadagno finito) se

Definizione (guadagno di un operatore debolmente limitato):

Dato causale debolmente limitato, si dice guadagno

Caso

In conclusione:

H è limitato e debolmente limitato con guadagno

ESEMPIO: SISTEMA DINAMICO LINEARE

ASINTOTICAMENTE STABILE

norma della f.d.t. F(s)


Si consideri il sistema lineare di ordine 2 descritto dalla funzione di

trasferimento

con

Determinare il guadagno 2(H) dell’operatore ingresso/uscita H ad

esso associato.

Si tratta di un sistema lineare asintoticamente stabile. Dobbiamo

valutare la norma di F(s).

È una f.d.t. con guadagno F(0)=1 a poli complessi coniugati se

con picco di risonanza presente solo se

Quindi:

•

•

ESERCIZIO 8

Con riferimento al sistema di Lur’e in figura

dove G(s) è la f.d.t. di un sistema lineare strettamente proprio,

completamente raggiungibile ed osservabile, e asintoticamente

stabile, mentre () è una non linearità settoriale

Si vuole valutare la stabilità L2 del sistema di Lur’e

1. Quali condizioni si devono imporre sulla non linearità statica per

poter applicare:

a) il criterio del cerchio

b) il teorema del piccolo guadagno

c) il teorema che lega passività e stabilità L2 nei sistemi

retroazionati?

()

u y G(s)


() G(s) e u y y°

w

S :

Teorema (Criterio del cerchio per la stabilità L2 del sistema di Lur’e)

il sistema S è L2-stabile per ogni se il numero di giri che il

diagramma di Nyquist di G(s) compie attorno a O(k1,k2) è uguale al

numero di poli di G(s) con parte reale positiva.

Settore [k1,k2] senza vincoli per l’applicabilità del criterio


Teorema del piccolo guadagno

Il sistema S (l’operatore H) è L2-stabile [qualunque sia la

caratteristica nel settore [-k, k] se

settore [-k,k] simmetrico (k è il guadagno della non linearità

statica)

()

z1

z2

u1 y1

H1

u2 y2

H2

H G(s)

S:


Teorema (passività e stabilità L2 nei sistemi retroazionati):

Supponiamo che l’operatore H sia ben posto e che gli operatori H1 e

H2 siano passivi, cioè:

con . Allora, l’operatore H è debolmente limitato, e

quindi L2-stabile, se:

Settore [k1,k2] nel I e III quadrante perchè l’operatore statico sia

passivo (strettamente passivo relativamente all’ingresso se k1>0,

strettamente passivo relativamente all’uscita se k2 < )

z1

z2

u1 y1 H1

u2 y2 H2

H


a) criterio del cerchio b) teorema del piccolo

guadagno

c) teorema che lega

passività e stabilità L2

ESERCIZIO 8

Con riferimento al sistema di Lur’e in figura

dove G(s) è la f.d.t. di un sistema lineare strettamente proprio,

completamente raggiungibile ed osservabile, e asintoticamente

stabile, mentre () è una non linearità settoriale

Si vuole valutare la stabilità L2 del sistema di Lur’e

2. Posto che le condizioni al punto precedente siano soddisfatte,

quali condizioni deve soddisfare il diagramma di Nyquist di G(s)

affinchè il sistema di Lur’e sia L2-stabile?

()

u y G(s)


() G(s) e u y y°

w

S :

Teorema (Criterio del cerchio per la stabilità L2 del sistema di Lur’e)

il sistema S è L2-stabile per ogni se il numero di giri che il

diagramma di Nyquist di G(s) compie attorno a O(k1,k2) è uguale al

numero di poli di G(s) con parte reale positiva.

Dato che il sistema è a.s., allora il diagramma di Nyquist di G(s) non

deve compiere alcun giro attorno a O(k1,k2), né attraversarlo


Teorema del piccolo guadagno

Il sistema S (l’operatore H) è L2-stabile [qualunque sia la

caratteristica nel settore [-k, k] se

Diagramma di Nyquist strettamente contenuto nella circonferenza

di raggio 1/k centrata nell’origine del piano complesso.

()

z1

z2

u1 y1

H1

u2 y2

H2

H G(s)

S:


Teorema (passività e stabilità L2 nei sistemi retroazionati):

Supponiamo che l’operatore H sia ben posto e che gli operatori H1 e

H2 siano passivi, cioè:

con . Allora, l’operatore H è debolmente limitato, e

quindi L2-stabile, se:

Sistema lineare passivo/strettamente passivo, dipende dal settore,

e questo si traduce in una condizione sul diagramma di Nyquist di

G(s) (vedi esempio dopo)

z1

z2

u1 y1 H1

u2 y2 H2

H

-s

Re

Im

Teorema (stabilità L2 nel settore [0,k]): Supponiamo che

• H1 corrisponda ad un sistema non dinamico tempo-invariante con

caratteristica ingresso-uscita ();

• H2 corrisponda ad un sistema dinamico lineare tempo-invariante

asintoticamente stabile con f.d.t. ed esista

tale che

Allora l’operatore H è debolmente limitato, e quindi L2-stabile, per

ogni con k >0 tale che

ESEMPIO: SISTEMA DI LUR’E

STABILITA’ L2 NEL SETTORE [0,k]

ESERCIZIO 9

Data A, matrice di Hurwitz, sia P=P’>0 la soluzione di

Si dimostri che il sistema con f.d.t.

è passivo.




è passivo.

Una possibile realizzazione in variabili di stato di G(s) è:

Per dimostrare che il sistema è passivo, basta trovare una storage

function

SISTEMA DINAMICO PASSIVO

Definizione (sistema dinamico passivo)

Il sistema S è passivo se esiste una funzione V(): Rn R semidefinita

positiva e continuamente differenziabile, detta funzione di accumulo

(“storage function”), tale che:

con e definita positiva.

In particolare, il sistema S è detto:

- strettamente passivo relativamente all’ingresso, se

- strettamente passivo relativamente all’uscita, se

- strettamente passivo relativamente allo stato, se




è passivo.

Una possibile realizzazione in variabili di stato di G(s) è:

Per dimostrare che il sistema è passivo, basta trovare una storage

function. Proviamo con

il sistema è strettamente passivo relativamente allo stato

ESERCIZIO 10

Si consideri il sistema descritto dalle equazioni

dove l’ingresso viene determinato dal controllore con stato z:

che agisce sul segnale y =z-.

1. Ricondurre il sistema retroazionato alla forma di Lur’e

2. Dimostrare che (t) e w(t) tendono a zero asintoticamente,

qualunque sia la condizione iniziale.

u e y






Posto scriviamo le equazioni del sistema

retroazionato nel modo seguente








u e y








asintoticamente stabile, completamente raggiungibile e osservabile

u e y





2. Dimostrare che (t) e w(t) tendono a zero asintoticamente,

qualunque sia la condizione iniziale.

Basta verificare che il sistema di Lur’e autonomo sia

assolutamente stabile nel settore [0,1]

CRITERIO DI POPOV


settore [0, k], Criterio di Popov, 1962)

Il sistema S è assolutamente stabile nel settore [0, k] se il sistema L è

asintoticamente stabile (condizione necessaria), e se esiste un

numero reale q tale che sia soddisfatta la condizione di Popov:

con q = 0 basta verificare che il diagramma polare stia a destra

dell’asse parallelo all’asse immaginario che interseca l’asse reale

in -1/k (stessa condizione con criterio del cerchio, ovviamente)

nel nostro caso -1/k = -1

ESERCIZIO 11

Dato un operatore H() passivo ed un segnale uc(t), mostrare che

l’operatore

da u ad y è passivo.

OPERATORE PASSIVO

Definizione (operatore passivo)

Un operatore causale è passivo se esistono

tali che:

In particolare, si ha:


Dato un operatore H() passivo ed un segnale uc(t), mostrare che

l’operatore

da u ad y è passivo.

Allora la passività del nuovo operatore segue da quella di H()

ESERCIZIO 12

Si consideri il sistema retroazionato in figura

dove G(s) è la f.d.t. di un sistema a.s.

Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false

• Il sistema è L2-stabile se è soddisfatto il criterio del piccolo

guadagno.

()

u y G(s)





• Il sistema è L2-stabile se è soddisfatto il criterio del piccolo

guadagno.

Vero. E’ una condizione sufficiente.

()

u y G(s)





• Il sistema non è L2-stabile se non sono soddisfatti il criterio del

piccolo guadagno, il criterio del cerchio, ed il teorema di passività.

Falso. Sono tutte condizioni sufficienti ma non necessarie.

()

u y G(s)





• Il sistema è L2-stabile se è soddisfatto il criterio del cerchio, anche

se non sono soddisfatti il teorema del piccolo guadagno e della

passività.

Vero. Basta che sia soddisfatta una delle condizioni sufficienti.

()

u y G(s)





• Se G(s) e () sono passivi, allora Il sistema è L2-stabile.

Falso. Non basta. Ci vuole la stretta passività. E’ sufficiente per

esempio che uno dei due sia strettamente passivo relativamente

all’ingresso e all’uscita.

()

u y G(s)





• Se il diagramma di Nyquist di sta all’interno del cerchio definito dai

punti -1/k1 e -1/k2 e () appartiene al settore [k1, k2] con k1<0<k2,

allora il sistema è L2-stabile.

Vero. Per il criterio del cerchio

()

u y G(s)

k1< 0 < k2

ESERCIZIO 13

Dato il sistema lineare completamente raggiungibile e osservabile

descritto dalla f.d.t.

1. Progettare il controllore sliding mode per risolvere il problema

della regolazione dell’uscita al set-point y°, preservando nella

dinamica di scivolamento, gli autovalori stabili del sistema

2. Valutare il tempo impiegato dal sistema a raggiungere la

superficie di scivolamento quando lo stato iniziale è 0 e y°=1.

Scriviamo il sistema nella forma canonica di controllo:


VARIABLE STRUCTURE CONTROL: THE BASICS

Design procedure:

1. Determine a switching function

such that S constrained on the sliding surface 𝑠 𝑥 = 0 converges to a (pseudo-)equilibrium with y = 𝑦°.

2. Determine a control law u = k x; 𝑦° such that all the state

trajectories starting from outside the sliding surface cross

that surface in finite time [reaching condition].

Scegliamo la funzione di commutazione della forma

La dinamica del sistema quando scivola lungo la superficie s(x)=0

sarà:

Il polinomio caratteristico della matrice dinamica del sistema ridotto è:

Come richiesto, manteniamo gli autovalori stabili di

nella dinamica di scivolamento cioè poniamo:


Scegliamo la funzione di commutazione della forma

La dinamica del sistema quando scivola lungo la superficie s(x)=0

sarà:

L’equilibrio di tale sistema stabile a fronte di ingresso costante è:

Inoltre , da cui l’uscita di equilibrio

Poniamo allora



Imponiamo alla funzione di commutazione la dinamica

𝑠 = −𝑞 𝑠𝑔𝑛 𝑠

In questo modo il sistema converge alla superficie di

scivolamento in un tempo finito:

𝑡𝑟 ≤𝑠(𝑥(0))

𝑞

Ora sappiamo che

facendo la derivata, si ottiene

Uguagliando con l’espressione sopra ed esplicitando rispetto ad u, si

ottiene:

ESERCIZIO 13

Dato il sistema lineare completamente raggiungibile e osservabile

descritto dalla f.d.t.

1. Progettare il controllore sliding mode per risolvere il problema

della regolazione dell’uscita al set-point y°, preservando nella

dinamica di scivolamento, gli autovalori stabili del sistema

2. Valutare il tempo impiegato dal sistema a raggiungere la

superficie di scivolamento quando lo stato iniziale è 0 e y°=1.


Imponiamo alla funzione di commutazione la dinamica

𝑠 = −𝑞 𝑠𝑔𝑛 𝑠

In questo modo il sistema converge alla superficie di

scivolamento in un tempo finito:

𝑡𝑟 ≤𝑠(𝑥(0))

𝑞

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