Soluzioni caotiche dell’equazione di Einstein

Gabriele SicuroRelazione per il corso di Fisica dei Sistemi Dinamici

A.A. 2010/2011

Dunque, per primo fu Caos. . .

ESIODO, Teogonia, 116

Indice1 Premesse all’analisi 2

1.1 Misure invarianti ed ergodicità; mappa ergodica e mixing . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Entropia metrica di Kolmogorov ed entropia topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Il modello dinamico cosmologico 42.1 Modelli cosmologici omogenei e modello di Universo Mixmaster . . . . . . . . . . . . 42.2 Mappa di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Analisi del sistema dinamico 73.1 Misura invariante, entropia metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Shift di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Calcolo di alcune quantità cosmologicamente interessanti . . . . . . . . . . . 113.3 Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

A Nota sull’entropia di Kolmogorov e sui coefficienti caratteristici di Lyapunov 12

B Il modello di Kasner 14

C La mappa di Farey 14

D Codice Fortran90 17

Bibliografia 19

Sommario

Nella presente relazione abbiamo riassunto alcuni risultati noti in letteratura riguardosoluzioni caotiche in alcuni modelli cosmologici. Il principale lavoro di riferimento è statala pubblicazione di Barrow [2], che ha aperto questo tipo di indagini e introdotto i concet-ti della Fisica dei Sistemi Dinamici nel campo della Relatività [1]. La breve trattazione èpreceduta da richiami e complementi della teoria trattata a lezione. Il sistema dinamicoestratto dalle equazioni di Einstein si presta ad essere studiato mediante una mappa di Poin-caré unidimensionale f , detta mappa di Gauss, isomorfa ad uno shift di Bernoulli dotatodi caratteristiche peculiari e noto in letteratura, con forti legami con la Teoria dei Numeri.Ciò non sorprende alla luce del fatto che la funzione ζ di Riemann può essere riscritta comeζ(s)= 1

s−1 − s∫ 10 f (x)xs−1dx.

1

1 Premesse all’analisi

1.1 Misure invarianti ed ergodicità; mappa ergodica e mixingSupponiamo di disporre di una mappa di Poincaré

xn+1 = f (xn), xn ∈Σ superficie nello spazio delle fasi,

corrispondente ad una equazione ordinaria del tipo x= F(x), x ∈Rm. Se il sistema ha un qualchetipo di comportamento caotico, è plausibile supporre che, al limite per n → ∞, la mappa diPoincaré presenti una distribuzione di punti sulla sezione Σ che soddisfi ad una proprietà diinvarianza sotto l’azione della mappa (in quanto stazionaria rispetto alla variabile «temporale»n). Questo fatto è stato verificato per diverse mappe notevoli.

Consideriamo ad esempio la mappa logistica xn+1 = 4xn(1− xn) sull’intervallo [0,1]. Suppo-niamo che %(x)δx sia il numero di punti che, per n →∞, giace in (x, x+δx). Data l’espressionefunzionale di f (x) = 4x(1− x) si ha che, fissato xn+1, l’intervallo [0, xn+1] è immagine sia del-l’intervallo X− = [0, x−n ] sia dell’intervallo X+ = [x+n ,1], dove x±n = 1

2 ± 12p

1− xn+1. Se xn+1 6= 1i due intervalli sono disgiunti, altrimenti hanno un punto in comune. Indicando con δx−n unavariazione di x−n e con δx+n una variazione di x+n , dall’invarianza della misura

%(xn+1)δxn+1 = %(x+n )δx+n +%(x−n )δx−n = %(x+n )δxn+1

4p

1− xn+1− %(x−n )δxn+1

4p

1− xn+1⇔

%(y) =−%( 1

2 + 12

√1− y

)4√

1− y+ %

( 12 − 1

2

√1− y

)4√

1− y. (1)

Tramite calcolo diretto si verifica che %(x)= 1πp

x(1−x)è soluzione (opportunamente normalizzata)

dell’equazione funzionale precedente [12, 16].Supponendo dunque che possa essere trovata tale % normalizzata e che (X ,B,%) indichi una

σ-algebra B sullo spazio X secondo la misura %, allora si dice che l’applicazione f è misurabile seA ∈B⇒ f −1(A) ∈B, f −1(A) := {a : f (a) ∈ A}, e si dice che preserva la misura se %(A)= %

(f −1(A)

)per A ∈B. L’introduzione di una misura invariante è necessaria per la definizione di ergodicità(costituisce la misura di integrazione sullo spazio delle fasi): il teorema ergodico di Birkhoff sipuò scrivere, per i sistemi continui,

limT→∞

1T

∫ T

0g(Ttx)dt =

∫X

g(x)%(dx) a meno di un insieme di misura nulla,

per g sommabile rispetto a %, mentre per i sistemi discreti (come una mappa di Poincaré)

limn→∞

1n

n−1∑i=0

g(f i(x)

)=

∫X

g(x)%(dx) a meno di un insieme di misura nulla, (2)

avendo indicato con f la mappa.Richiamiamo per comodità alcune definizioni per le mappe:

Definizione (mappa ergodica) 1. Siano f e (X ,B,%) come sopra. La mappa f è detta ergodicase per due insiemi A,B ∈B, allora

limn

1n

n−1∑i=1

%(A∩ f i(B))= %(A)%(B),

ovvero, in termini probabilistici, dopo molte iterazioni A e B diventano, in media, indipendenti.

Proposizione 1. Sia f una mappa ergodica. Allora A è invariante se e solo se ha misura 1 o 0(indecomponibilità metrica).

Dimostrazione. Infatti da quanto detto sopra, se A = B, limn1n

∑n−1i=1 %(A∩ f i(A)) = [%(A)]2, ma

limn1n

∑n−1i=1 %(A∩ f i(A))= limn

1n

∑n−1i=1 %(A)= %(A), da cui la tesi.

2

Definizione (mixing forte) 2. Una mappa f si dice fortemente mixing se dati A,B ∈ B,limn%(A∩ f −n(B)) = %(A)%(B) ⇔ limn

%(A∩ f −n(B))%(A) = %(B). Tale proprietà è una richiesta più forte

dell’ergodicità (non è richiesto semplicemente che valga la convergenza in media1).

Infine generalizziamo quanto fatto con la mappa logistica e la dinamica simbolica introdu-cendo lo shift di Bernoulli (generalizzato): se lo spazio è partizionato in n parti, indicizzate conki, allora il moto può essere descritto con una successione di valori ki, (k1,k2,k3, . . . ). Ad ognipartizione associamo anche una probabilità pk che questa compaia durante l’evoluzione. Inquesto spazio lo shift di Bernoulli non è altro che l’equivalente della shift map.

1.2 Entropia metrica di Kolmogorov ed entropia topologicaEntropia metrica L’entropia di Kolmogorov può essere introdotta in un modo intuitivo apartire dalla cosiddetta entropia di Shannon [16]

hS(x)=− ∑y∈ f −1(x)

π(y, x) log2π(y, x)=− ∑y∈ f −1(x)

π(y, x)I(y, x), (3)

dove π(y, x) è il contributo in probabilità del passaggio y−→f

x, che si può esprimere come

π(y, x)%(x) |dx| = %(y) |dy|⇒π(y, x)= %(y)%(x)

∣∣∣∣d ydx

∣∣∣∣= %(y)%(x)

1| f ′(x)| ;

per valutarne il valore di aspettazione rispetto a % calcoliamo∫hS(x)%(x)dx =−

∫ ∑y= f −1(x)

π(y, x) log2

(%(y)%(x)

1| f ′(x)|

)%(x)dx −−−−−−−−−−−−−−−−−−→

poiché∑

y= f −1(x)π(y, x)= 1

=−∫%(x)

∑y= f −1(x)

π(y, x) log2%(y)dx+∫%(x) log2

∣∣ f ′(x)∣∣ dx+

∫%(x) log2%(x)dx

eseguendo il cambio di variabile z = f (x) e richiamando dunque x la variabile z

=���������−

∫%(x) log2%(x)dx+

∫log2

∣∣ f ′(x)∣∣%(x)dx+

��������∫%(x) log2%(x)dx.

La quantità

h f ,% =∫

log2∣∣ f ′(x)

∣∣%(x)dx (4)

è detta entropia metrica, o entropia di Kolmogorov o entropia di Kolmogorov-Sinai. Formal-mente il caos è associato a valori di h%, f positivi2. Il fatto che entropie di Kolmogorov positivesiano associate inevitabilmente a sistemi in cui almeno un coefficiente di Lyapunov è positivo(vedi in appendice A), implica una sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali. Inoltre si puòprovare che se f e g sono due mappe topologicamente coniugate, esse hanno la stessa entropiadi Kolmogorov, purché, detto φ : X f → X g l’omeomorfismo, d% f (x)= ∣∣φ′(x)

∣∣d%g(φ(x)) [2].

Entropia topologica Oltre alla K-entropia può essere definito un secondo tipo di entropia,l’entropia topologica [5], che esprime una proprietà intrinseca di f e non dipende dalla metricascelta, ma piuttosto dal numero di orbite di f . Ovviamente tale numero è infinito, ma si consi-derano distinte le orbite di due punti x e y se ∃k ∈N �′

∣∣ f k(x)− f k(y)∣∣> ε ad ε fissato. Sia dunque

M f (n,ε) il numero di orbite per cui, ad ε fissato,∣∣ f k(x)− f k(y)

∣∣ > ε per un qualche n ≥ k ≥ 0; sidefinisce entropia topologica la quantità

H f ≡ limε→0

limn→∞

1n

log2 M f (n,ε).

1In tal caso si parla di mixing debole, richiedendo che limn1n

∑n−1i=0

[%(A∩ f −n(B))−%(A)%(B)

]= 0.2Eseguendo il calcolo con la mappa logistica si ottiene h = log2 2= 1.

3

I sistemi con H f > 0 sono detti caotici. Si prova che

H f = limn→∞

1n

log2 Nn, Nn numero di punti fissi di f n, (5)

ed inoltre sussiste la seguente relazione tra entropia topologica ed entropia metrica:

H f = sup%

h%, f .

Applicando la definizione alla dinamica simbolica, se il numero di simboli è m allora per uncerto n si hanno mn successioni distinte e quindi tali che

∣∣σkx−σk y∣∣ > ε per un certo 0 ≤ k ≤ n

(secondo la distanza sullo spazio delle sequenze definita in [8]). Perciò H = log2 m. Nel caso chem = 2 (topologicamente coniugato alla mappa logistica) si ottiene H = log2 2= 1, stesso risultatoottenuto per h, ovvero l’entropia metrica con la misura prima ricavata è massimale rispetto a %.

2 Il modello dinamico cosmologico

2.1 Modelli cosmologici omogenei e modello di Universo MixmasterLe equazioni di Einstein3

Rµν− 12

gµνR =−8πGTµν⇐⇒ Rµν =−8πG(Tµν− 1

2gµνTλ

λ

)nel vuoto−−−−−−→ Rµν = 0

esprimono una relazione di eguaglianza tra sedici componenti tensoriali, vincolate tuttavia dallarichiesta di simmetria del tensore stesso; pertanto si hanno 42 − 4(4−1)

2 = 10 equazioni differen-ziali accoppiate, non lineari e in quattro variabili spaziotemporali, in cui l’incognita è costituitadall’insieme delle componenti del tensore metrico. Si sono fatte varie semplificazioni, nel cor-so degli anni, che hanno permesso di risolvere casi molto particolari del problema: una dellepiù utili è costituita dalla metrica di Robertson e Walker [18, cap. 14], che ipotizza uno spazioomogeneo e a simmetria sferica (in accordo col principio cosmologico):

ds2 = dt2 −R2(t)(

dr2

1−kr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2)

dove si sono utilizzate le coordinate sferiche e occorre determinare k ed R(t), che assume ilsignificato di «raggio dell’Universo». Questo tipo di metriche si scrive in generale come

ds2 = dt2 −γab(t)eac (xi)eb

d(xi)dxcdxd ,

dove la dipendenza temporale è in un tensore a sei componenti indipendenti, mentre gli eab

forniscono un campo vettoriale che determina quella che si può definire «la geometria dell’omo-geneità» (nel caso della metrica di Robertson e Walker, ad esempio, determinavano il fatto che lospazio fosse omogeneo a simmetria sferica). Poiché supponiamo che la geometria della superficiein questione sia riemanniana, il campo deve soddisfare le relazioni di commutazione dei vettoridel fibrato tangente e quindi le varie componenti devono essere legate dalle costanti di struttura(che sono caratteristiche intrinseche): [ec

a, ecb]= Cc

d f eda e f

b (con [·, ·] indichiamo il prodotto di Lie).Se ora riparametrizziamo nella base (ortonormalizzata) di ea

b otteniamo come componenti deltensore di Ricci [2]

R00 =− 1

2 kaa − 1

4 kbaka

b, R0a =− 1

2 kca(Cb

ca −δbaCd

dc), Rab =− 1

2pγ˙(pγkb

a)−Pb

a , (6)

dove

γ= detγab, kab = γab, kba = γacγ

cb,

Pab =−αcadα

dbc −Cd

dcαcab, αc

ab = 12

(Cc

ab +C fbdγ f aγ

dc −C fdaγ f bγ

dc).

3Gli indici greci corrono sulle quattro variabili spaziotemporali, quelli latini sulle tre coordinate spaziali.

4

È evidente a questo punto che la scelta delle costanti di struttura imposta completamenteil problema. Esiste una classificazione, detta di Bianchi, dei dieci possibili modelli cosmologici4

ammessi, ma uno in particolare è oggetto di studi approfonditi ed è detto modello di tipo IX diBianchi o Universo Mixmaster. Questo gode di proprietà peculiari, il cui esame è dovuto perlo più a Misner: esso descrive infatti un universo che inizia ad espandersi in modo anisotropoper poi isotropizzarsi, cosa che spiegherebbe l’isotropia dell’Universo nonostante il big bang siastato (come si verifica dallo studio della CBR) un evento con anisotropie. Vi sono altre proprietànotevoli che ne favoriscono lo studio con tecniche standard (per questo modello Misner ha intro-dotto un formalismo hamiltoniano che può essere utilizzato per riallacciarsi direttamente allateoria dei Sitemi Dinamici).

Il modello prevede di utilizzare la seguente base5 (x ∈ [0,4π], y ∈ [0,π], z ∈ [0,2π]):

e1 = (sin zsin y,cos z,0), e2 = (−cos zsin y,sin z,0), e3 = (cos y,0,1),

da cui γab(t) = diag(a2(t),b2(t), c2(t)

).

In assenza di materia, introducendo dτ= 1abc dt come nuova variabile temporale, le equazioni di

Einstein diventano [10]

d2 lna2

dτ2 = (b2 − c2)2 −a4, (7a)

d2 lnb2

dτ2 = (a2 − c2)2 −b4, (7b)

d2 lnb2

dτ2 = (a2 −b2)2 − c4, (7c)

d2 lna2b2c2

dτ2 = d lna2

dτd lnb2

dτ+ d lna2

dτd ln c2

dτ+ d ln c2

dτd lnb2

dτ. (7d)

2.2 Mappa di PoincaréSulla base dei risultati precedenti, Barrow [1] ha applicato la Teoria dei Sistemi Dinamici aduna mappa di Poincaré, ottenuta dalle equazioni (7), le cui soluzioni giacciono su un’ipersuper-ficie individuata dalla (7d) che funge da condizione hamiltoniana H = 0. Tuttavia Barrow nonha mosso la sua analisi a partire dalle equazioni nella forma presentata, ma da una ulterioresemplificazione, supponendo nell’istante iniziale (t → 0) a À b À c (forte anisotropia), per cui haottenuto come soluzioni [11]

a2 = Ausechθ, (8a)

b2 = AuB

e−θu coshθ, (8b)

c2 = AuC

e−θu coshθ, (8c)

con θ = Au(τ− τ0), u, A, C = a2

c2

∣∣∣a=0

e B = a2

b2

∣∣∣a=0

costanti. Evidenziamo qui che B e C sonovalutati dove la derivata di a rispetto al tempo t (e non rispetto al tempo τ) si annulla, e chenelle equazioni (7) ∂τ = abc∂t (solitamente abc ∼ t e dunque dalla definizione τ∼ ln t e per t → 0si ha una singolarità nelle equazioni e τ→ −∞). Le funzioni precedenti sono così definite inmodo implicito.

Ciò che si osserva è un andamento di tipo oscillante per lna2 e lnb2 come quello in figura 1,mentre lontano dalle oscillazioni le curve si devono comportare in un modello noto ai cosmologicome modello di Kasner (appendice B) in cui tutte le costanti di struttura sono identicamente

4Delle 3×3×3 componenti di Cabc solo sei rimangono indipendenti, dato che devono essere soddisfatte le tre identità

di Jacobi e le relazioni di antisimmetria delle costanti di struttura; i vari modelli derivano dal lasciare o meno libere uncerto numero di costanti di struttura [2, tabella 1].

5Ciò specifica le costanti di struttura, essendo, per l’ortonormalizzazione, Ccab = ed

a e fb[ec

d , ecf ].

5

Figura 1: Andamento di lna2, lnb2, ln c2 rispetto a − ln t. Per come è orientato l’asse delle ascisse, lasingolarità t = 0 si trova a +∞. Quindi nell’intervallo (0, t) vi sono in ogni caso infinite oscillazioni per lna2

e lnb2 mentre ln c2 tende a decrescere. Da [2, pag. 19].

nulle. Tuttavia nelle (8) compare il valore τ0 che definisce l’istante in cui si impongono le condi-zioni iniziali, trovando nell’intorno un massimo: passando da un un massimo ad un altro occorreperò raccordare la curva. Per capire come mai sorga questa necessità si può pensare a quantoaccade in meccanica quantistica quando si hanno diverse buche di potenziale: in effetti nelle (7)i termini a destra possono essere visti come il risultato dell’azione di un «potenziale» e si puòpensare ad una funzione d’onda che incida sulle barriere laterali dove compare una soluzionetipo onda evanescente, che però va immediatamente raccordata con le soluzioni relative a buchevicine. Il raccordo avviene mediante i gradi di libertà messi a disposizione dall’integrazione,ovvero dalle costanti di integrazione. Si trova che dopo una oscillazione un+1 = un−1 per un > 1,

An+1 = An, Bn+1 = 14

un−1un

(4Bn

un−1un

) unun−1 , Cn+1 = Cn

un−1un

(4Bn

un−1un

)une, come hanno mostrato

Belinskiı et al. [4]

un+1 = un −1, per un > 1 tra una oscillazione e l’altra, (9a)

un+1 = 1un

> 1, per un < 1, per cui termina un ciclo e ne inizia un altro. (9b)

Se quindi consideriamo la successione (estratta) dei valori di un tra un ciclo di oscillazioni el’altro, la relazione da utilizzare sarà

un+1 = 1un −bunc

, (10)

dove con bxc ∈ N0 è tale che bxc ≤ x < bxc+ 1. Questa successione ha le caratteristica di unamappa di Poincaré in cui la sezione Σ è data considerando la varietà descritta dalle soluzioni delmodello di Kasner: le tre equazioni (7) e la condizione di vincolo (7d) descrivono una evoluzionesu una varietà bidimensionale; d’altra parte il modello di Kasner consta di una varietà unidi-mensionale, in quanto le orbite sono individuate da un parametro che in questo caso coincideproprio con un tra un ciclo e l’altro (nella formulazione di Lifshitz e Khalatnikov [10], si vedaappendice B). Ne segue che la mappa di Poincaré è unidimensionale e ogni qualvolta le soluzionidel nostro modello attraversano detta superficie ne rileviamo il parametro u.

6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a) f 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(b) f 3

Figura 3: Grafico dell’iterata seconda e terza della mappa f . Come si vede i grafici delle iterate ulteriorisi infittiscono fortemente, rendendo visibile la topologica transitività della mappa (intervalli sempre piùpiccoli vengono mappati nell’intero intervallo unitario).

3 Analisi del sistema dinamico

Figura 2: Grafico di y= 1x−

⌊1x

⌋con eviden-

ziati gli intervalli(

1k+1 , 1

k

]ottenuto con

Mathematica.

La (10) mappa [1,+∞) in [1,+∞); possiamo passare aduna mappa equivalente (ponendo un = 1

xne compattifi-

cando l’intervallo) che indichiamo con f , detta mappadi Gauss, f : [0,1]→ [0,1], tale che

xn+1 = f (xn)≡ 1xn

−⌊

1xn

⌋, f (0)≡ 0. (11)

Come si vede dalla figura 2, il sistema dinamico con cuiabbiamo a che fare è associato ad una mappa che hainfinite discontinuità (in x = 1

n , n ≥ 2, n ∈N) sull’inter-vallo [0,1] pur essendo iniettiva e continua in ciascunintervallo

( 1n+1 , 1

n]

per n ∈N. I punti fissi della mappasi trovano per x = 1

x −⌊ 1

x⌋

da cui

xn =p

n2 +4−n2

, n ∈N, (12)

oltre all’origine che è fissa per costruzione. Abbiamo così una infinità numerabile di punti fissi.Tuttavia f ′(x) =− 1

x2 < 0 in tutto l’intervallo (nei punti di discontinuità si considera la derivatasinistra) per cui non esistono punti fissi attraenti (questo non significa che il bacino di attrazionedei punti fissi è vuoto, come vedremo in seguito); inoltre, λ(x) = ln

∣∣ f ′(x)∣∣ = −2ln x > 0 in (0,1),

ovvero il sistema dinamico può dirsi «espansivo». Nelle figure 4 riportiamo i grafici dell’iterataseconda e terza.

Osserviamo, infine, che la mancanza di continuità nella (2) impedisce l’applicazione di im-portanti risultati riguardo la presenza e la natura delle orbite periodiche (come ad esempioquello di Sarkovskii).

3.1 Misura invariante, entropia metricaSull’intervallo [0,1] la misura usuale (di Lebesgue) implementa automaticamente una topologiae in particolare una σ-algebra. Sia ora % una misura invariante rispetto alla mappa (2); con lanotazione già adoperata, se A ∈B, allora % dev’essere tale che %

(f −1(A)

)= %(A)= ∫A %(x)dx. Un

generico intervallo I = (a,b)⊂ [0,1] ha immagine inversa f −1(I)=⋃∞n=1

( 1n+b , 1

n+a), che sono tutti

intervalli disgiunti, per cui

%(f −1(I)

)= ∞∑n=1

∫ 1n+a

1n+b

%(x)dx ≡∫ b

a%(x)dx = %(I), condizione di misura invariante.

7

In forma infinitesimale la precedente si può scrivere come %(x)dx =−∑k %(yk)dyk, dove yk = 1

x+k ,per cui

%(x)=−∑k%

(1

x+k

)d yk

dx=∑

k%

(1

x+k

)1

(x+k)2= 1

ln21

x+1(13)

è l’unica soluzione6 [3, risultato dovuto originariamente a Gauss] (il fattore 1ln2 normalizza la

misura). La funzione %(x) è, a differenza della mappa, una funzione continua.

Transfer operator L’espressione appena trovata ha un significato profondo e si lega ad unconcetto molto usato nei sistemi dinamici, ovvero quello di transfer operator o operatore di Ruelleo ancora operatore di Perron–Frobenius [3, 15]: se f : X → X è una mappa su un insieme arbi-trario X , allora l’operatore di Ruelle L opera sullo spazio delle funzioni φ : X →C ed è definitocome (

Lφ)(x)= ∑

y∈ f −1(x)g(y)φ(y),

dove g : X → C è una funzione ausiliaria che è solitamente (ma non sempre) l’inverso dellojacobiano di f . L’espressione precedente viene introdotta in analogia con il caso dei sistemihamiltoniani, ovvero partendo dall’idea che possa essere implementato un operatore L chefaccia evolvere il sistema come avviene nel caso continuo per mezzo di H , in particolare inriferimento alla formulazione del teorema di Liouville. Sia %n la densità al passo n, tale checonsiderati N0 valori iniziali, all’n-sima iterata in A ⊆ X vi siano NA,n delle N0 iterate

NA,n

N0=

∫A%n(x)dx qualsiasi sia A;

allora l’operatore di Ruelle è tale che

%n+1 =L %n.

Questa espressione tuttavia è difficilmente utilizzabile nel calcolo. Se imponiamo che il numerodi punti si conservi, ovvero che∫

A%n+1(x)dx =

∫f −1(A)

%n(x)dx,

dove f è la mappa in esame. Nel caso unidimensionale, se A = (a,b) è un aperto, allora l’im-magine inversa sarà costituita in generale da una unione numerabile di aperti, siano αi, conestremi f −1

i (a) ed f −1i (b), per cui∫ b

a%n+1(x)dx =∑

i

∣∣∣∣∣∫ f −1

i (b)

f −1i (a)

%n(x)dx

∣∣∣∣∣−−−−−−→y= f −1i (x)

∑i

∫ b

a

%n(f −1

i (y))∣∣ f ′

(f −1

i (y))∣∣dy,

che, dovendo valere per ogni intervallo (a,b), implica

%n+1(x)=∑i

%n(f −1

i (x))∣∣ f ′

(f −1

i (x))∣∣ = ∑

y= f −1(x)

%n (y)| f ′ (y)| ≡L %n(x), dove Lφ(x)= ∑

y= f −1(x)

φ(y)| f ′(y)| ,

Nel nostro caso f è la mappa di Gauss (2); abbiamo che∣∣ f ′(x)

∣∣= 1x2 ed inoltre, poiché x = f (y) =

y−1 − ⌊y−1⌋ = y−1 − n, y = f −1(x) = 1

x+n . L’operatore di Ruelle associato alla mappa di Gauss èallora(

Gφ)(x)=

∞∑n=1

1(x+n)2

φ

(1

x+n

)è detto operatore di Gauss-Kuzmin-Wirsing. L’equazione agli autovalori Gφ=λφ ammette comeautofunzione corrispondente all’autovalore 1 la % trovata sopra in (13).

6Per verifica, mediante calcolo diretto la somma di integrali a destra di destra diventa 1ln2

∑n ln

(n+a+1n+b+1

n+bn+a

)=

1ln2 ln

∏∞n=1

(n+a+1n+b+1

n+bn+a

)= 1

ln2 ln 1+b1+a che è uguale al primo integrale con la forma indicata di %(x).

8

Ergodicità Con la misura (13) f soddisfa la definizione 1. Infatti Lasota e Yorke hanno pro-vato che se f è di classe C2 a tratti, allora deve esistere una misura invariante liscia assolu-tamente continua rispetto alla misura di Lebesgue7, ed inoltre tale misura è ergodica se 1

f ′(x) èa variazione limitata, ovvero è una differenza di due funzioni monotone [20]. Tali ipotesi sonoentrambe soddisfatte da f . Possiamo dunque applicare il teorema di Birkhoff: indicando con guna funzione sommabile rispetto a %,

limn

1n

n−1∑i=1

g(f i(x)

)= 1

ln2

∫ 1

0

g(x)1+ x

dx.

Poiché ad ogni valore di x ∈ [0,1] corrisponde una soluzione del modello di Kasner che comparetra un ciclo e l’altro, ciò significa che il sistema Universo passa, nello spazio delle fasi, vicinoquanto si vuole ad una qualunque soluzione del modello di Kasner per t → 0.

L’entropia metrica è data dalla formula (4),

h%, f =− 2(ln2)2

∫ 1

0

ln x1+ x

dx = π2

6(ln2)2≈ 3.4237 · · · > 0. (14)

Un modello cosmologico si dice caotico se le soluzioni delle equazioni di Einstein hanno entropiametrica non nulla.

3.2 Shift di BernoulliIn modo analogo a quanto fatto tra mappa logistica e dinamica simbolica, possiamo trovare unoperatore σ f che opera su uno spazio di successioni di simboli equivalente al nostro sistemadinamico, tale ciò che sia soddisfatto il diagramma di commutazione

Sσ f−−−−−→ S

φ

y yφ[0,1]

f−−−−−→ [0,1]

con φ omeomorfismo. Poiché x ∈ [0,1] possiamo scriverlo come

x = 1

k1 +1

k2 +1

. . .

= [0;k1,k2, . . . ]−→k(x)= (k1,k2, . . . ).

La successione di interi (k1,k2,k3, . . . ) non fa altro che individuare il «percorso» di x nell’in-tervallo unitario, in quanto 1

ki+1 < f i+1(x) ≤ 1ki

come si prova direttamente. Poiché inoltre gliintervalli

( 1n+1 , 1

n]

partizionano [0,1], lo spazio S delle successioni di naturali svolge un ruoloanalogo a quello dello spazio delle successioni di simboli 0 e 1 nel caso della mappa logistica.Lo shift di Bernoulli opera esattamente come nel caso della shift map: σ f k = σ f (k1,k2, . . . ) =(k2,k3, . . . ) mentre la coniugazione topologica è fornita da φ, che mappa le successioni di interinel corrispondente valore nell’itervallo unitario.

A questo punto occorre fare una fondamentale precisazione riguardo l’applicazione φ : S →[0,1], costituita dalla procedura che permette di ricostruire la rappresentazione decimale daquella in frazione continua: considerato l’insieme degli irrazionali [0,1]∩ (R\Q), ogni elemen-to ha un’unica rappresentazione in frazione continua, ma ciò non vale per i valori razionali[0,1]∩Q. Per chiarire questo fatto, osserviamo che, data una successione di interi, la costruzionedel corrispondente valore di x è unica: infatti, se la successione di interi è infinita, si costruisce

7Una misura si dice assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se ∀A ∈ B di misura nulla secondoLebesgue, %(A) = 0. Per il teorema di Radon-Nikodim, ciò equivale a dire che che, indicando con λ(A) la misura diLebesgue di A, λ(A) = ∫

A f d%, dove f è una funzione sommabile. Nel nostro caso, poiché operiamo su [0,1], bastaprendere f (x)= (x+1)ln2 che è sommabile sull’intervallo.

9

una successione di convergenti (vedi in seguito), che, come si vedrà dalla formula (15), convergein ogni caso ad un limite (unico, ovviamente). Tuttavia occorre considerare che, se è vero cheper ogni x si può costruire una sua rappresentazione in frazione continua, non è vero che essaè sempre unica. Gli elementi di [0,1]∩Q hanno infatti rappresentazione continua quasi uni-ca: ogni razionale può essere scritto come [0;k1,k2, . . . ,kn,1] oppure [0;k1,k2, . . . ,kn+1]. Questofatto, tuttavia, non ha grande importanza quando si effettua una analisi statistica, in quantol’insieme dei razionali nell’intervallo ha misura nulla (dunque non contribuisce alle varie gran-dezze calcolate per integrazione) ed in più i razionali risultano eventualmente fissi, in quantoper ognuno di essi esiste un m tale che σm

f k(x)= 0. Con questa avvertenza, l’applicazione è biu-nivoca «quasi ovunque» (in alcuni casi [9], si esclude esplicitamente il caso di un ultimo valoreunitario per i razionali, accettando sempre la seconda rappresentazione indicata in precedenza:questo tuttavia non è il nostro caso, in quanto le due scritture hanno un ben preciso e differentesignificato, vedi figura 4(d)).

Cicli nel modello cosmologico e rappresentazione in frazione continua Per costruzio-ne, se x è razionale allora ∃n ∈N tale che σn

f kx = (0) = 0, che corrisponde ad x = 0, punto fisso;viceversa, se x è irrazionale tale valore n non esiste. Poiché kn+1(x) = ⌊

x−1n

⌋ = bunc e poiché asua volta bunc è il numero di oscillazioni nell’n-esimo ciclo, se x è razionale vi sarà un n oltreil quale non ci saranno più cicli. D’altra parte ciò avviene per un dominio di misura nulla, chequindi non contribuisce, ad esempio, all’entropia del sistema. La rappresentazione in frazionicontinue ha l’ulteriore vantaggio di richiamare interamente la successione di cicli e il numerodi oscillazioni di ogni ciclo [10], ovvero se x0 7→ k(x0) = (k1,k2, . . . ), allora il primo ciclo avrà k1oscillazioni, il secondo ne avrà k2 e così via (per n crescente, ovvero man mano che ci si avvicinaalla singolarità iniziale).

Entropia topologica Per valutare l’entropia secondo questo modello, occorre introdurre ilconcetto di convergenza nello spazio S . Poiché un irrazionale è rappresentato da una sequenzainfinita di interi non nulli, un troncamento di questa successione costituisce un razionale che«approssima» l’irrazionale di partenza. In particolare se tronchiamo dal (k+1)-esimo termine(incluso) in poi, il razionale ottenuto pk

qk, pk, qk ∈N (pk, qk sono intesi coprimi), si dice il k-esimo

convergente della frazione continua di partenza. Si provano a questo punto [9] due risultatifondamentali: se ξ è l’irrazionale in esame,

qk ≥ 2k−1

2 per k ≥ 2,1

qk(qk+1 + qk)<

∣∣∣∣ξ− pk

qk

∣∣∣∣< 12q2

k. (15)

Fissato dunque un ε = 1qn(qn+1+qn) > 0, il numero di orbite distanti più di ε è dato da N(ε,n) =

1ε= qn(qn+1 + qn) (l’intervallo unitario è diviso in intervalli di ampiezza ε all’interno dei quali

cadono orbite non distinte nel senso indicato nel paragrafo 1.2), per cui

H f = limn

2log2 qn

n= 2

ln2lim

nln q

1nn = π2

6(ln2)2

dove si è adoperato l’importante risultato limn q1nn = e

π212ln2 dimostrato da Lévy. L’entropia topolo-

gica, dunque, coincide con quella metrica (come ci si poteva attendere essendo % l’unica misurainvariante).

Punti periodici Un punto periodico di periodo n nello spazio S è costituito da una successio-ne del tipo [0;k1, . . .kn] = (k1, . . .kn,k1, . . . ,kn, . . . ). Chiaramente ogni razionale è eventualmentefisso ed in particolare il bacino di attrazione dell’origine è costituito da tutti e soli i razionali(ovvero da un insieme di misura nulla). L’equivalenza trovata, inoltre, permette di stabilire cheesistono orbite periodiche di ogni periodo (basta considerare un irrazionale dotato, come frazio-ne continua, di una sequenza di interi della lunghezza desiderata che si ripete periodicamente).Lagrange ha dimostrato che il caso di rappresentazione di tipo periodico con un eventuale blocco

10

iniziale, ζ = [ζ0;ζ1, . . . ,ζm,ζm+1, . . . ,ζm+n], si verifica se e solo se il numero corrispondente è unirrazionale quadratico, ovvero ha la forma −b±

pb2−4ac

2a , dove a,b, c sono interi, ∆= b2 −4ac > 0,∆ 6= n2 per ogni n ∈N . Galois ha provato [14, pag. 45] che un irrazionale ha sviluppo periodicopuro, ovvero della forma ζ= [ζ0;ζ1ζ2, . . .ζn], se e solo se esso è un irrazionale quadratico ridotto,ovvero ζ = −b+

pb2−4ac

2a ≡ P+p∆Q > 1 e il suo coniugato η = P−p∆

Q ∈ [−1,0]8. Tali sono i punti di

nostro interesse, in quanto ζ= [ζ0;ζ1ζ2, . . .ζn]−ζ0 = [0;ζ1ζ2, . . .ζn,ζ0].Un particolare irrazionale che compare tra i punti fissi della mappa è φ−1 (che coincide col

valore ottenuto per n = 1 nella (12)): esso corrisponde alla rappresentazione in frazione continua[0;1,1,1, . . . ] e l’n-esimo convergente ha la particolare forma Fn

Fn+1, dove Fn è l’n-esimo numero

di Fibonacci (F0 = 0).Concludendo, abbiamo osservato che la mappa ha sensibile dipendenza dalle condizioni ini-

ziali, avendo un coefficiente caratteristico di Lyapunov positivo. È inoltre topologicamente tran-sitiva: basti pensare, infatti, che l’elemento in S con rappresentazione in frazione continua[0;1,2,3,4,5, . . . ] ha un’orbita che tocca tutti gli intervalli aperti a sinistra in cui è partizionato[0,1]. Per parlare propriamente di caos (nella definizione di Devaney [8]) occorrerebbe provareche i punti periodici sono densi in [0,1] (è noto comunque per altre vie che il sistema non solo ècaotico ma è addirittura mixing).

3.2.1 Calcolo di alcune quantità cosmologicamente interessanti

Alla luce di quanto presentato, l’ergodicità permette di calcolare in modo semplice la mediatemporale di grandezze altrimenti difficilmente valutabili. Ad esempio la frequenza ν(r) di ciclicon r oscillazioni può essere calcolata valutando la misura dell’intervallo

( 1r+1 , 1

r]

(ove dovrannoprima o poi cadere i punti che hanno nella loro orbita ki = r per un qualche i): pertanto lafunzione g(x) dell’equazione (2) è la funzione caratteristica del detto intervallo e

ν(r)= 1ln2

∫ 1r

1r+1

dx1+ x

= log2(r+1)2

r(r+2)−−−−−→r→+∞ log2

(1+ 1

r2 +2r

)≈ 1

r2 ,

ovvero son più frequenti i cicli con poche oscillazioni (ν(1) = 0.415, ovvero 41.5% dei cicli). Os-serviamo che ciò equivale a calcolare la probabilità di trovare l’intero r nello sviluppo di unrazionale, per cui la misura (13) fornisce una densità di probabilità anche in questo senso. Ladistribuzione ν(r)= log2

(r+1)2r(r+2) è detta distribuzione di Gauss-Kuzmin.

Se scegliamo g = ln⌊x−1⌋ = lnk1(x), g ∈ L1([0,1]), possiamo valutarne la media temporale

(numero di oscillazioni mediato nel tempo) adoperando ancora una volta l’ergodicità:

limn

1n

n∑i=1

ln⌊

1f i(x)

⌋= lim

n

1n

n∑i=1

lnki(x)= limn

n

√n∏

i=1ki(x)= 1

ln2

∫ 1

0ln

⌊1x

⌋dx

1+ x≡ lnκ.

Qui κ≈ 2.6854520010 . . . è una costante ed detta costante di Kinchin. La costante di Kinchin può

essere definita anche mediante la relazione κ=∏∞i=1

[(n+1)2n(n+2)

] lnnln2 (questo prodotto converge molto

lentamente: per ottenere le prime due cifre decimali di κ occorre arrivare a n = 500). Tuttaviaessa ha una importanza intrinseca che trascende questo contesto ed apre verso la Teoria deiNumeri. Applicando il logaritmo ad ambo i membri della produttoria, infatti, si può riscriverela relazione come [17]

ln2lnκ=∞∑

n=2ln

( nn−1

)ln

(n+1

n

)= sviluppando rispetto a

1n

=∞∑

n=2

1n2 + 1

2

(1− 1

2+ 1

3

) ∞∑n=2

1n4 + 1

3

(1− 1

2+ 1

3− 1

4+ 1

5

) ∞∑n=2

1n6 + . . .

=∞∑

n=1

ζ(2n)−1j

2n−1∑m=0

(−1)m

m, dove ζ(s)=

∞∑n=1

1ns è la funzione ζ di Riemann.

8Da questi risultati Legendre ha mostrato un risultato molto singolare: se r è un razionale e non è quadrato di unaltro razionale, allora

pr = [a0;a1a2, . . . ,a2,a1,2a0].

11

La costante di Kinchin è profondamente legata alla distribuzione di Gauss-Kuzmin. Un modoalternativo (ed estremamente sorprendente) di definire tale costante, è la seguente: consideratoun numero x = [a0;a1,a2, . . . ], si prova che [19]

κ= limn

(n∏

i=1ai

) 1n

, a meno di un insieme di misura nulla, indipendentemente da x. (16)

Non è noto se la costante di Khinchin sia o meno irrazionale, né tantomeno se sia un numerotrascendente.

Risulta così che la lunghezza media di un ciclo di questo modello cosmologico dipende soloda un numero universale.

3.3 MixingCome anticipato, per la mappa analizzata si può provare in realtà qualcosa in più dell’ergodi-cità, ed in particolare si può provare che la mappa è mixing. Non si è scesi nel dettaglio delladimostrazione (che richiede tecniche complesse, data la natura peculiare della mappa). Purtrop-po questo risultato non può essere osservato neppure con l’aiuto del calcolatore. Abbiamo vistoinfatti che tutti (e soli) i razionali appartengono al bacino di attrazione dell’origine, e di conse-guenza esiste un n per cui σn

f k(x) = 0. Il valore di n dipende dalla lunghezza dello sviluppo delrazionale in questione: più piccolo sarà il passo, più razionali in generale vi saranno con orbita«lunga» (si veda la figura 4).

A Nota sull’entropia di Kolmogorov e sui coefficienti ca-ratteristici di Lyapunov

Per introdurre l’entropia di Kolmogorov siamo ricorsi direttamente, nel paragrafo 1.2, alla de-finizione di entropia di Shannon. In realtà l’entropia di Kolmogorov è definita solitamente inmodo diverso [12]. Il punto di partenza rimane però la relazione (3). Consideriamo una regioneX limitata con misura normalizzata %, invariante sotto l’azione di f . Supponiamo che sia possi-bile partizionare X in modo che X = ⋃r

i=1 X i. Allora possiamo definire un funzionale entropicodipendente da tale partizione, h{X i} = −∑r

i=1%(X i) log2%(X i). Consideriamo ora la successione{X (n)

i

}di partizioni dove la partizione n-esima è ottenuta considerando gli elementi non vuoti

del tipo⋂n

i=0 f −1 (X j(i)

)per ogni j(i). L’entropia di Kolmogorov è dunque data da

h% = sup{X i}

limn

1n

h{X (n)

i

}.

Per ottenere la relazione (4) bisogna muovere da un importante risultato di Pesin [13], che haprovato un’utile relazione che lega l’entropia di Kolmogorov ai coefficienti di Lyapunov per unsistema dinamico:

h%, f =∫

X

[ ∑λi(x)>0

λi(x)

]%(x)dx. (17)

Nel caso di una mappa n dimensionale, i valori degli n numeri caratteristici di Lyapunov χi(x)si ottengono dagli autovalori di limn [J(xn)J(xn−1) . . .J(x)]

1n , dove J(y) = ∂(y1,...,yn)

∂(x1,...,xn) è la matricejacobiana. Nel caso unidimensionale, il coefficiente di Lyapunov si può scrivere

λ(x)= lnχ(x)= lnlimn

∣∣ f ′( f n(x)) f ′( f n−1(x)) . . . f ′(x)∣∣ 1

n = lnlimn

∣∣∣( f n)′ (x)∣∣∣ 1

n = lnlimn

∣∣ f ′(xn)∣∣ 1

n

= lnlimn

∣∣∣∣∣ n∏i=1

dxi+1

dxi

∣∣∣∣xi=x

∣∣∣∣∣1n

= ln∣∣ f ′(x)

∣∣12

(a) Mappa Logistica (b) Mappa di Gauss

(c) Mappa di Gauss (d) Mappa di Gauss

Figura 4: Grafici ottenuto con il programma Fortran in appendice D, con (a,b) = (0.2,0.3), d = 100 eN = 4000 in 4(a); in 4(b) abbiamo scelto lo stesso intervallo N = 50, per evidenziare la rapidità con cui leorbite terminano nell’origine, mentre in 4(c) abbiamo utilizzato l’intervallo [0,1] diviso in d = 2000 conN = 100. Infine in 4(d) abbiamo indicato le orbite dei convergenti di 1−φ: con n abbiamo indicizzatol’n-esimo convergente Fn

Fn+1. Osserviamo che tali razionali hanno il comportamento «ambiguo» previsto

per i razionali ove si è discussa l’interpretazione della successione che li rappresenta (ovvero l’n-esimoconvergente si annulla al passo n o all’(n−1)-esimo).

13

dove con χ(x) abbiamo indicato il numero caratteristico di Lyapunov. Sostituendo nella formula(17) otteniamo

h%, f =∫

Xlnχ(x)%(x)dx =

∫X

ln∣∣ f ′(x)

∣∣%(x)dx

che è appunto la (4) (il fattore aggiuntivo 1ln2 è convenzionale ed è dovuto al fatto che in teoria

dell’informazione si ha a che fare con espressioni binarie dell’informazione stessa).

B Il modello di KasnerIl più semplice modello cosmologico tra quelli classificati da Bianchi è il cosiddetto modello ditipo I, o modello di Kasner, dove tutte le costanti di struttura sono poste eguali a zero, per cuinelle (6) Pab ≡ 0 e la soluzione delle equazioni di Einstein si prova essere eguale a

ds2 = dt2 −3∑

i=1t2νi dx2

i (spazio-tempo di Kasner)

con la clausola∑3

i=1νi = 1 e∑3

i=1ν2i = 1. Lifshitz e Khalatnikov [10] hanno parametrizzato la

precedente con la relazioneν1ν2ν3

= 1u2 +u+1

−u1+uu+u2

, u ∈ [1,+∞), (18)

dove u svolge esattamente lo stesso ruolo che lo si è visto svolgere nell’analisi della mappa diPoincaré del modello Mixmaster.

C La mappa di FareyCornish e Levin [6] hanno proposto una analisi alternativa del sistema fisico presentato, chesfrutta una mappa non unidimensionale ma bidimensionale, detta mappa di Farey. L’introdu-zione della mappa avviene a partire dalle relazioni (9), dove è evidente che la mappa ha unadiscontinuità in u = 1. Ci si chiede ora se è possibile eliminare tale discontinuità. Se indichiamocon un il valore di u dopo n oscillazioni, applicando prima la trasformazione u′ = u−1 e dunqueu′′ = 1

u′ la mappa si può riscrivere come

un+1 = f (un)={

O(un)= un −1 se u ≥ 2,K(un)= 1

un−1 se 1≤ u < 2.(19)

La mappa ottenuta è continua nel suo dominio. A questo punto introduciamo la mappa di Fareycome una mappa bidimensionale in cui la prima componente del vettore si trasforma come in(19), mentre la seconda si trasforma secondo la mappa inversa:

(un+1vn+1

)= F(un,vn)=

(un −1vn +1

)se u ≥ 2, oscillazioni,(

1un−11vn

+1

)se u < 2, ere Kasner.

(20)

Questa mappa può essere studiata secondo tecniche usuali; riportiamo brevemente i risultati.

Set invariante I punti periodici di periodo k saranno le soluzioni di Fk(uk,vk) = (uk vk

)ᵀ.Per k = 1 si avrà(

u1v1

)=

(u1 −1v1 +1

)se u1 ≥ 2⇒ nessuna soluzione,

(u1v1

)=

(1

u1−11v1

+1

)se u1 < 2⇒

(u1v1

)=ϕ

(11

),

14

dove ϕ = 1+p52 è la sezione aurea. Supponiamo ora di calcolare i punti periodici nel caso in

cui si abbiano k−1 oscillazioni seguite da un’era Kasner; allora per il primo termine Ok−1uk =K−1(uk), ovvero uk(uk −k)= 1⇔ uk =

pk2+4+k

2 (silver means).

Stabilità delle orbite periodiche Sia u = u0+δ0, dove u0 è un punto periodico di periodo n,e scriviamo f n(u)= u+δn = f n(u0+δ0), dove δn = d f n(x)

dx

∣∣∣x=u0

δ0 =∏n−1i=0 f ′(ui)δ0 ≡ cnδ0. Tuttavia,

poiché∣∣∣∣d f (u)du

∣∣∣∣={

1 se u ≥ 2,1

(u−1)2 se u < 2,

allora, poiché in un orbita periodica almeno un valore deve cadere tra 1 e 2, sia tale elementou∗, si ha |cn| ≥ 1

(u∗−1)2 > 1, ovvero l’orbita è instabile nella direzione u; analogamente si provache è stabile nella direzione v, ovvero le orbite periodiche sono un set invariante non attraente.

Chaos Poiché f k(u) = u definisce un punto fisso di periodo k, saranno in generale applicatim volte l’operatore O e k − m volte l’operatore K , in un ordine non indifferente, in quanto idue operatori non commutano. Vi saranno così

( km

)possibili combinazioni; così Nk =∑k−1

m=0( km

)=2k −1, per cui dalla (5), Hu

f = log2 2 = 1 > 0. Poiché si può ripetere lo stesso ragionamento per v,

vi saranno in totale Nk = (2k −1)(2k −1) punti fissi e quindi in totale HF = 2Huf = 2.

Figura 5: Soluzioni dell’equazione Fk(u,v) = (u,v) per 1 ≤ k ≤12; immagine da [6].

Repellore ed albero di FareyAbbiamo visto che i punti periodicidi F fanno parte di orbite repellen-ti, dunque il loro insieme costituisceun repellore. Graficando i punti pe-riodici nel quadrato [1,2]× [1,2] siosserva quanto in fig. 5. Intuitiva-mente si ha a che fare con un insie-me a dimensionalità frazionaria, unfrattale; Cornish e Levin [6] hannostimato numericamente la dimen-sione di informazione del frattale inesame, ottenendo D1 = 1.74± 0.02.La dimensione di ricoprimento, in-vece, è pari a D0 = 2, in quanto ipunti periodici sono degli irraziona-li quadratici che riempiono densa-mente l’intervallo: si ha a che fare,dunque, con un multifrattale. Talemultifrattale è costituito dagli irra-zionali periodici. Supponiamo infat-ti che u = [m0;m1,m2,m3, . . . ], mi ∈N0 sia lo sviluppo in frazioni conti-nue del nostro valore iniziale; sup-

poniamo altresì che esso sia periodico, ad esempio(Ol−1KOn−1K

)u = u: ciò significa che

u = [n; l], e così via. I punti periodici sono dunque degli irrazionali quadratici, per il già citatoteorema di Lagrange.

La mappa è associabile ad un albero o sequenza di Farey [7]. Un albero di Farey è un alberoche contiene tutti i razionali nell’intervallo [0,1]. Esso si sviluppa in modo analogo ad un alberogenealogico, in cui ogni generazione vi è un numero finito di razionali, detti vicini (Farey nei-ghbors), che generano dei figli (Farey children). Ogni figlio ha dei genitori (Farey parents) e la

15

'

&

$

%

12

13

14

15

27

25

38

37

23

35

47

58

34

57

45

Figura 6: Albero di Farey per l’intervallo [0,1] dalla seconda generazione.

generazione di un figlio da due genitori avviene tramite la somma di Farey,pq⊕ m

n= p+ q

q+n.

Nella costruzione dell’albero si parte da 01 e 1

1 . L’albero di Farey gode delle seguenti proprietà

1. ogni razionale in [0,1] appare una sola volta in qualche punto dell’albero;

2. un razionale pq = [0;m1, . . .mN ] che compare alla generazione k soddisfa la relazione

∑Ni=1 mi =

k.

Aggiungendo 1 si ottengono, ovviamente, tutti i razionali nell’intervallo [1,2], in cui le primegenerazioni saranno(

11

,21

)︸ ︷︷ ︸

k=1

,(

32

)︸︷︷︸k=2

,(

43

,53

)︸ ︷︷ ︸

k=3

,(

54

,75

,85

,74

)︸ ︷︷ ︸

k=4

, . . .

Alla k-esima generazione, k ≥ 2, si avranno 2k−2 elementi o foglie. Per mostrare ora che lamappa di Farey genera l’albero di Farey in [1,2], osserviamo che se u = [1;m1, . . . ,mN ], questorazionale corrisponderà all’orbita esemplificata dalla successione KOm1−1KOm2−1K · · ·OmN−1K ,che non è altro che la successione di operazioni da eseguirsi su u alla fine della quale si ottieneuna divergenza. Un valore di u infinito vuol dire (come si vede dalla formula (18)) che un assedel nostro universo si espande come t mentre gli altri due rimangono fissi. Avviene ora che, inconseguenza della proprietà 2, poiché ad ogni valore mi che compare nello sviluppo in frazionicontinue corrisponde una «parola» Omi−1K di mi operatori, i razionali che compaiono nellastessa generazione dell’albero di Farey hanno tutti lo stesso numero di punti al finito nella loroorbita. Un irrazionale, invece, è associato ad un’orbita che non va mai all’infinito. Ad esempiol’orbita di ϕ= [1] non prevede oscillazioni ed è il punto fisso della mappa. È possibile costruireun albero di Farey per gli irrazionali quadratici partendo da quello per i razionali, associandoad ogni razionale [1;m1, . . . ,mN ] l’irrazionale [1;m1, . . . ,mN ] che esprime un’orbita periodica.Poiché come abbiamo detto, però, ogni razionale ha una doppia rappresentazione in frazionecontinua, ad ogni razionale saranno associati due distinti irrazionali, ξ+ e ξ−, ξ− < p

q < ξ+,ciascuno dei quali soddisfa la relazione (15), per cui ξ+ < p

q + 12q2 e ξ− > p

q − 12q2 , ovvero ξ+ e

ξ− sono distanti al più 1q2 . Questo gap è coinvolto nella interpretazione delle strisce bianche

in figura 5. Alla k-esima generazione vi sono 2 · 2k−2 = 2k−1 irrazionali periodici, ovvero diNk = 2k −1 punti periodici di periodo k, circa la metà cadono nell’intervallo [1,2].

16

D Codice Fortran90

Riportiamo di seguito il codice Fortran utilizzato: specificando un intervallo [a.b] ⊂ [0,1], lo sisuddivide in d−1 intervalli e si valutata l’evoluzione dei d punti. Se la mappa è mixing, il risul-tato dopo N iterazioni manifesta la tendenza a sparpagliarsi sull’intero intervallo. I diagrammisono stati ottenuti con gnuplot. Osserviamo che edizioni precedenti al Fortran90 potrebbe-ro causare difficoltà in quanto la funzione floor è stata implementa solo da tale versione inpoi. Il programma può essere eventualmente utilizzato per valutare il comportamento di mappemeno peculiari di quella qui osservata modificando la funzione definita nell’apposito ambientefunction e variando le condizioni di controllo sugli estremi dell’intervallo. Inoltre deve essererimosso il controllo sull’overflow dovuto alla presenza di singolarità nella nostra mappa.

1 program gaussimplicit noneinteger , parameter : : d=2000real*8 : : x ( d ) , a , b , passo , aux , finteger : : N, i , j ,m, k

6 open ( unit=1 , f i l e= ’ gauss . dat ’ , action= ’ write ’ )write ( * , * ) " Scr iv i g l i estremi del l ’ i n te rva l l o 0 <= a < b <=1"read ( * , * ) a , bi f ( a<0 . or . a>1 . or . b<0 . or . b>1 . or . a>=b ) thenwrite ( * , * ) " Interva l lo non val ido ! "

11 elsewrite ( * , * ) " Scr iv i i l numero di i t e ra te "read ( * , * ) Npasso =(b−a ) / d

do m=1 ,d16 x (m)=a+(m−1)*passo

end dowrite ( 1 , * ) 0 ,xdo j =1 ,N

do i =1 ,d21 i f ( x ( i ) . eq . 0 ) then

continueelse

aux=f ( x ( i ) )i f ( aux < 1) then

26 x ( i )= f ( x ( i ) )elsex ( i )=0end i f

end i f31 end do

do k=1 ,dwrite ( 1 , * ) j , x (k )end do

end do36 write ( * , * ) " Fatto ! "

end i fend program gauss

! function f ( x )41 ! impl i c i t none

! real *8 : : f , x! f =1/x−f l o o r (1/x )! end function f

46 function f ( x )implicit nonereal*8 : : f , xf =3.7*x*(1−x )end function f

Il grafico 4(d) si è ottenuto con il seguente codice.

program aureaimplicit noneinteger , parameter : : d=100

17

real*8 : : x ( d ) , aux , f , f i bo ( 2 )5 integer : : N, i , j ,m, k

open ( unit=1 , f i l e= ’ aurea . dat ’ , action= ’ write ’ )write ( * , * ) " Scr iv i i l numero di i t e ra te "read ( * , * ) Nf ib o (1)=1

10 f i b o (2)=1do m=1 ,dx (m)= f ibo ( 1 ) / f i bo ( 2 )f i b o (2)= f i b o (2)+ f i bo ( 1 )f i b o (1)= f i b o (2)− f i b o ( 1 )

15 end dowrite ( 1 , * ) 0 ,xdo j =1 ,N

do i =1 ,daux=f ( x ( i ) )

20 i f ( aux < 1) thenx ( i )= f ( x ( i ) )elsex ( i )=0end i f

25 end dodo k=1 ,dwrite ( 1 , * ) j , xend do

end do30 write ( * , * ) " Fatto ! "

end program aurea

function f ( x )implicit none

35 real*8 : : f , xf =1/x−f l o o r ( 1 / x )end function f

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