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4 2. L’induzione elettromagnetica Nel 1821 il fisico danese Oersted aveva osservato come la corrente stazionaria in un filo generava un campo magnetico stazionario tutt’intorno. La parola stazionario indica che il vettore B , pur non avendo intensità e direzione costanti, fissato un punto dello spazio, il suo valore in quel punto non cambia nel tempo. Ad esempio, è stazionario il campo espresso dalla legge di Biot e Savart, che ha direzione e verso che variano nello spazio, ma non nel tempo. Negli anni immediatamente dopo il 1821 i fisici ritennero ragionevole supporre che, così come la corrente generava un campo B , il campo B stazionario avrebbe dovuto generare corrente. Questa ipotesi, per quanto verosimile, era errata, perché un campo B stazionario, come sappiamo, non compie lavoro sulle cariche, e non può quindi conferire loro l’energia che occorre per innescarne il movimento in un circuito. Nel 1831 il fisico inglese Michael Faraday scoprì che, affinché B potesse mettere in moto le cariche in un circuito, doveva attingere ad una sorgente esterna di energia, che facesse variare l’intensità oppure la direzione e il verso di B . Il campo magnetico variabile così prodotto, trasferiva l’energia dalla sorgente esterna alle cariche, riuscendo a metterle in movimento. In questo modo Faraday stabilì l’esistenza di una stretta connessione fra le variazioni del campo magnetico e l’apparire di un campo elettrico, un fenomeno fisico fondamentale detto induzione elettromagnetica. In particolare egli scoprì che le variazioni del flusso magnetico concatenato ad un circuito, generano corrente nel circuito stesso. Induzione elettromagnetica Quando il flusso magnetico concatenato ad un circuito chiuso subisce una variazione, appare una corrente elettrica nel circuito stesso, detta corrente indotta. Consideriamo la figura a lato come esempio. Abbiamo una spira quadrata di filo metallico, attraversata dalle linee di un campo magnetico uniforme 1 B . Se facciamo crescere il flusso del campo magnetico concatenato alla spira, aumentando il campo fino a 2 B , nella spira si genera la corrente indotta I , con il verso come nel disegno. Che cosa indica l’apparire di questa corrente? L’apparire di una corrente indica che la variazione del flusso magnetico concatenato produce nel circuito una forza elettromotrice f , detta forza elettromotrice indotta . Come sappiamo, “forza elettromotrice” è il nome che si usa per indicare il lavoro per unità di carica eseguito - in un percorso chiuso - dalle forze che producono la corrente. Se il circuito viene aperto, come in figura, il valore di f si manifesta come differenza di potenziale misurabile fra i capi A e B, dove si accumulano le cariche messe in moto nel circuito, impossibilitate a completare il percorso chiuso. Analogamente, la forza elettromotrice di una batteria è uguale alla differenza di potenziale che si misura fra i terminali della batteria. Trattando i circuiti elettrici abbiamo visto che il campo elettrostatico, cioè quello regolato dalla legge di Coulomb, è conservativo, cioè incapace di compiere lavoro su di un percorso chiuso. Pertanto, ogni volta che c’è corrente in un circuito, e quindi una forza elettromotrice, si produce nel circuito un particolare tipo di campo elettrico non conservativo , capace di innescare il moto delle cariche in un percorso chiuso. Questo campo originato dall’induzione elettromagnetica si dice campo elettrico indotto . Quindi, il campo magnetico e il campo elettrico appaiono connessi, giacché una variazione del flusso di B genera la comparsa di E indotto. Quali leggi regolano il fenomeno dell’induzione elettromagnetica? Gli esperimenti mostrano che la forza elettromotrice generata dall’induzione elettromagnetica in un circuito, non dipende dal modo in cui il cambiamento nel flusso 1 B 2 B I B A V V f A B
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2. L’induzione elettromagnetica
Nel 1821 il fisico danese Oersted aveva osservato come la corrente stazionaria in un filo generava un campo magnetico stazionario tutt’intorno. La parola stazionario indica che il vettore B
, pur non avendo intensità e direzione costanti, fissato un punto dello
spazio, il suo valore in quel punto non cambia nel tempo. Ad esempio, è stazionario il campo espresso dalla legge di Biot e Savart, che ha direzione e verso che variano nello spazio, ma non nel tempo. Negli anni immediatamente dopo il 1821 i fisici ritennero ragionevole supporre che, così come la corrente generava un campo B
, il campo B
stazionario avrebbe dovuto generare corrente. Questa ipotesi, per quanto verosimile, era errata, perché un campo B
stazionario, come sappiamo, non compie lavoro sulle
cariche, e non può quindi conferire loro l’energia che occorre per innescarne il movimento in un circuito. Nel 1831 il fisico inglese Michael Faraday scoprì che, affinché B
potesse mettere in moto le cariche in un circuito, doveva attingere ad una sorgente esterna di energia, che facesse variare l’intensità oppure la direzione e il verso di B
. Il
campo magnetico variabile così prodotto, trasferiva l’energia dalla sorgente esterna alle cariche, riuscendo a metterle in movimento. In questo modo Faraday stabilì l’esistenza di una stretta connessione fra le variazioni del campo magnetico e l’apparire di un campo elettrico, un fenomeno fisico fondamentale detto induzione elettromagnetica. In particolare egli scoprì che le variazioni del flusso magnetico concatenato ad un circuito, generano corrente nel circuito stesso.
Induzione elettromagnetica Quando il flusso magnetico concatenato ad un circuito chiuso subisce una variazione, appare una corrente elettrica nel circuito stesso, detta corrente indotta.
Consideriamo la figura a lato come esempio. Abbiamo una spira quadrata di filo metallico, attraversata dalle linee di un campo magnetico uniforme 1B
. Se facciamo
crescere il flusso del campo magnetico concatenato alla spira, aumentando il campo fino a 2B
, nella spira si genera la corrente indotta I , con il verso come nel disegno. Che cosa indica l’apparire di questa corrente? L’apparire di una corrente indica che la variazione del flusso magnetico concatenato produce nel circuito una forza elettromotrice f , detta forza elettromotrice indotta. Come sappiamo, “forza elettromotrice” è il nome che si usa per indicare il lavoro per unità di carica eseguito - in un percorso chiuso - dalle forze che producono la corrente. Se il circuito viene aperto, come in figura, il valore di f si manifesta come differenza di potenziale misurabile fra i capi A e B, dove si accumulano le cariche messe in moto nel circuito, impossibilitate a completare il percorso chiuso. Analogamente, la forza elettromotrice di una batteria è uguale alla differenza di potenziale che si misura fra i terminali della batteria. Trattando i circuiti elettrici abbiamo visto che il campo elettrostatico, cioè quello regolato dalla legge di Coulomb, è conservativo, cioè incapace di compiere lavoro su di un percorso chiuso. Pertanto, ogni volta che c’è corrente in un circuito, e quindi una forza elettromotrice, si produce nel circuito un particolare tipo di campo elettrico non conservativo, capace di innescare il moto delle cariche in un percorso chiuso. Questo campo originato dall’induzione elettromagnetica si dice campo elettrico indotto. Quindi, il campo magnetico e il campo elettrico appaiono connessi, giacché una variazione del flusso di B
genera la comparsa di E
indotto.
Quali leggi regolano il fenomeno dell’induzione elettromagnetica? Gli esperimenti mostrano che la forza elettromotrice generata dall’induzione elettromagnetica in un circuito, non dipende dal modo in cui il cambiamento nel flusso
1B
2B
I
B AV V f
AB
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magnetico viene prodotto, ma soltanto dalla rapidità con cui il flusso varia. Come sappiamo, il flusso magnetico concatenato a un circuito dipende da tre grandezze fisiche: l’intensità del campo, l’area delimitata dal circuito e l’angolo che il versore normale forma col campo. Quindi possiamo produrre una forza elettromotrice in un circuito in tre modi: (1) cambiando l’intensità del campo B
concatenato al circuito (ad esempio mentre gli
avviciniamo o allontaniamo un magnete); (2) variando l’area del circuito attraversata da B
(ad esempio schiacciando una spira
circolare facendole assumere una forma ovale molto stretta); (3) ruotando il circuito in modo che cambi la sua inclinazione rispetto al campo. La forza elettromotrice indotta in tutti questi casi è sempre regolata dalla seguente:
Legge di Faraday-Neumann La forza elettromotrice media indotta in un circuito in un intervallo t , è pari al rapporto fra la variazione ( )B
del flusso magnetico concatenato al circuito, e l’intervallo stesso,
cambiata di segno: ( )B
t
f
Quando l’intervallo t è così piccolo da chiudersi attorno ad un singolo istante, la forza elettromotrice indotta istantanea è la variazione istantanea del flusso magnetico concatenato - cioè la derivata rispetto al tempo di ( )B
- cambiata di segno:
( )d B
dt
f
Come si esprime la fem in una spira che ruota in un campo uniforme? Consideriamo una spira di area A che ruota con velocità angolare costante, mantenendo il suo asse di rotazione (tratteggiato in figura) perpendicolare a un campo magnetico uniforme B
. Il versore n̂ normale alla spira forma con B
un
angolo che in ogni istante si può scrivere t (proprio come nel moto rettilineo uniforme si scrive x vt ). Quindi il flusso concatenato al circuito all’istante t è:
( ) | | cost B A t
La derivata rispetto al tempo della funzione composta cos t è sin t , e quindi la forza elettromotrice istantanea in funzione del tempo ( )tf risulta:
( ) ( ) | | ( sin ) | | sint t B A t B A t f
Che come si vede è una funzione oscillante, il cui valore massimo | |B A
è tanto mag-giore quanto maggiore è , cioè quanto più rapidamente avviene la rotazione, (e quindi quanto più rapida è la variazione del flusso). Come si esprime la fem di un circuito che varia l’area attraversata dal campo B? In un piano orizzontale, consideriamo un circuito di filo metallico, a forma di qua-drato, di lato , che sta uscendo a velocità v da una regione in cui c’è un campo magnetico uniforme, B
, avente direzione verticale. Inizialmente quadrato è intera-
mente immerso nel campo, ma dall’istante in cui inizia ad uscire dalla regione, sola-mente una porzione della sua area è attraversata dalle linee del campo e contribuisce al flusso magnetico concatenato. La porzione di quadrato HKMN è la sola in cui il circuito ha flusso non nullo, ed essa diminuisce la sua area man mano che il circuito si porta fuori dal campo. La sua area è ( )A t MK HK . Indicando con ( )x t la lun-ghezza della porzione di quadrato già fuori dalla zona del campo al tempo t , il flus-so magnetico concatenato al circuito vale:
La Controfisica In realtà Faraday, pur essendo ilprimo ad aver dato notizia di aver rivelato l’effetto, vista la sua av-versione per la matematica, non scrisse mai la formula che lega la forza elettromotrice indotta alla variazione del flusso concatenato. Altri importanti esperimenti che condussero alla formulazione della legge dell’induzione, con-dotti quasi in contemporanea a quelli di Faraday, si devono al fisico statunitense Joseph Henry (1797-1878). La legge dell’in-duzione elettromagnetica venne stabilita matematicamente nel 1845 dal fisico tedesco Franz Ernst Neumann (1798–1895), e per questo è nota come legge di Faraday-Neumann.
n̂
B
wt
)tf(
| |A B
t
| |A B
v
B
( )x t
H
KM
N
6
2( ) | | ( ) cos 0 | | | | [ ( )] | | | | ( )t B A t B MK HK B x t B B x t
Calcolando la derivata rispetto al tempo, la quantità costante 2| |B scompare, e
ricordando che ( ) ( )x t v t , la forza elettromotrice istantanea in funzione del tempo ( )tf risulta:
( ) ( ) | | ( )t t B v t f
Se la velocità è costante, il di ( )tf si mantiene costante nel tempo finché il quadrato non è completamente uscito dal campo magnetico. La forza elettromotrice indotta dipende dal valore del flusso magnetico? È importante notare che la forza elettromotrice indotta non dipende dal valore del flusso magnetico concatenato, ma è legata alla rapidità del cambiamento di tale flusso. Infatti, rapporto /( )B t
è tanto più grande quanto più piccolo è l’intervallo in cui è
avvenuta la variazione. Sottolineiamo che questo rapporto fornisce solo un valore medio della forza elettromotrice indotta durante t . La formulazione rigorosa della legge di Faraday è quella tramite la derivata rispetto al tempo, che dà il valore di f istante per istante. Qual è il significato del segno meno nella legge di Faraday? Ricordiamo che si ha un flusso concatenato di segno positivo quando le linee del campo B
attraversano la superficie delimitata dal circuito nel senso indicato dal versore n̂ . E se il numero di linee di campo nel verso di n̂ aumenta, si ha / 0d dt . Invece, la forza elettromotrice f è positiva se produce corrente nel senso scelto come positivo per il circuito. Come abbiamo visto però, il verso di n̂ e l’orientamento del circuito non sono indipendenti, ma per convenzione si è stabilito che il versore normale deve sempre puntare ad un osservatore che vede antiorario l’orientamento del circuito. Oppure – che è lo stesso – i due versi sono legati dalla regola della mano destra. Avendo presente questa scelta degli orientamenti, il segno meno davanti alla variazione del flusso indica che le quantità f e /d dt hanno sempre segni opposti. Se aumenta il flusso in direzione di n̂ , la corrente indotta ha verso opposto all’orientamento del circuito, e se diminuisce il flusso in direzione di n̂ , la corrente indotta ha il verso dell’orientamento del circuito. Ciò significa che la corrente indotta è sempre diretta in modo da contrastare la variazione di flusso che l’ha generata. Infatti, essa produce un proprio campo magnetico, il cui verso è stabilito dalla regola della mano destra (come normalmente accade per tutti i campi prodotti da una spira). In base alla scelta degli orientamenti, il flusso di questo campo aggiuntivo ha lo stesso segno della corrente indotta. Esso, quindi, tende a riportare il flusso concatenato al valore che aveva prima che la corrente comparisse. In figura è riportata la sua direzione, con riferimento all’esempio di inizio paragrafo. Tale proprietà è un corollario della legge di Faraday-Neumann, ma per la sua importanza viene enunciata esplicitamente dalla seguente legge di Lenz.
Legge di Lenz La corrente indotta genera a sua volta un campo magnetico, con verso tale da contrastare la variazione del flusso magnetico che l’ha generata. Che cosa prevede la legge di Lenz quando un magnete si avvicina ad una spira? Come sappiamo, quanto più siamo vicini ad un magnete, tanto maggiore è l’intensità del campo B
. E tanto maggiore è anche il numero di linee di campo che attraversano l’unità
di superficie ortogonale, in accordo col criterio di Faraday. Quindi, in un moto relativo di avvicinamento fra il magnete e una spira di filo conduttore, aumenta il flusso magnetico concatenato alla spira stessa. Per effetto della legge dell’induzione di Faraday, nella spira compare una corrente indotta, con verso tale da generare un campo magnetico le cui
La Controfisica Se per legare il versore normale all’orientamento del percorso, avessimo scelto la convenzione della mano sinistra - anziché quel-la della mano destra - nella legge di Faraday-Neumann ci sarebbe stato un segno positivo.
2B
I
B
n̂
7
linee tendono a riportare il flusso al valore precedente l’avvicinamento. Un modo diverso di vedere il fenomeno è pensare che la spira in cui scorre la corrente indotta diviene un elettromagnete i cui poli sono orientati in modo da respingere quelli del magnete mentre avanza, esercitando su di esso una forza repulsiva. In figura il magnete in avvicinamento ha il polo nord verso la destra di chi legge, quindi la corrente indotta trasforma la spira. in un elettromagnete col nord a sinistra. Il fenomeno non dipende dal fatto che sia la spira a spostarsi verso il magnete, oppure che sia il magnete a spostarsi verso la spira, ma solo dall’esistenza di un moto relativo di avvicinamento. Viceversa, in un moto relativo di allontanamento fra magnete e spira, il flusso concatenato diminuisce, e fra i due oggetti si genera una forza attrattiva. Con riferimento alla figura, questa volta la corrente indotta trasforma la spira in un magnete col sud alla sinistra di chi legge. In cosa si trasforma l’energia cinetica del magnete che viene rallentato? La forza repulsiva che la legge di Lenz innesca fra la spira e il magnete che ad essa si avvicina, esegue un lavoro resistente che rallenta il magnete. Mentre il magnete perde velocità, la sua energia cinetica è convertita in energia cinetica degli elettroni che si mettono in moto all’interno della spira, formando la corrente indotta. La corrente indotta a sua volta produce un riscaldamento del circuito per effetto Joule, così che alla fine del processo, l’energia cinetica del magnete sulla scala degli oggetti si è trasformata in energia di agitazione termica sulla scala delle particelle. Sulla base di queste considerazioni, appare chiaro che le forze attivate dalla legge di Lenz non potrebbero mai far aumentare la velocità del magnete, perché altrimenti violerebbero la legge di conservazione dell’energia. Infatti, il contenuto energetico del sistema isolato costituito dal magnete e dalla spira, non può cambiare. Ad ogni diminuzione nell’energia cinetica in una parte di un sistema isolato, deve necessariamente accompagnarsi un incremento energetico in un'altra sua parte. Se, in assenza di azioni dall’esterno del sistema spira-magnete, il magnete aumentasse la propria velocità, e contemporaneamente il filo si riscaldasse per effetto Joule, avremmo incrementato l’energia complessiva del sistema senza attingere ad alcuna sorgente, violando i principi della fisica. Analogamente, anche il magnete in allontanamento dalla spira viene rallentato dal lavoro resistente delle forze innescate dal fenomeno dell’induzione magnetica, e la sua energia cinetica convertita in energia di agitazione termica al livello delle particelle. Per mantenere il magnete in moto a velocità costante, in allontanamento o avvicinamento, è necessario che una forza esterna al sistema compia lavoro sul magnete, in modo da mantenerne costante l’energia cinetica. Il lavoro di una forza esterna è necessario in tutti i casi d’induzione esaminati? Sì, in presenza di un campo magnetico uniforme, bisogna lavorare dall’esterno sia per far ruotare una spira con velocità angolare costante, sia per mantenere in moto la barretta mobile del circuito con le due rotaie collegate. In mancanza di lavoro esterno, la spira rotante e la barretta mobile si arresterebbero non appena tutta la loro energia cinetica iniziale fosse stata trasformata in energia di agitazione termica delle particelle cariche in moto. Uno dei modi in cui le centrali idroelettriche producono corrente è proprio quello di far lavorare la forza gravitazionale, facendo mantenere in rotazione una spira in un campo magnetico attraverso il flusso di acqua che, precipitando da una cascata colpisce delle pale solidali alla spira, simili a quelle di una ruota di mulino. Una legge di Lenz “al contrario”, produrrebbe una sorgente inesauribile di energia? Supponiamo che il verso della corrente indotta fosse opposto a quello stabilito dalla legge di Lenz. L’avvicinamento di un magnete ad una spira produrrebbe allora un ulteriore aumento di flusso magnetico dovuto al campo magnetico generatosi nella spira stessa. Tale campo, infatti, anziché contrastare l’incremento di flusso dovuto al movimento del magnete, contribuirebbe alla sua crescita. Con il risultato che la corrente indotta aumenterebbe ancora di più a causa del flusso aggiuntivo da essa stessa generato, e il fenomeno si sosterrebbe da solo, senza bisogno di compiere lavoro dall’esterno.
avvicinamento
v
INSF
v
INS
F
allontanamento
8
Avremmo un dispositivo che, violando le leggi della fisica, genererebbe corrente – e quindi energia – senza attingere ad una sorgente esterna. Che cosa s’intende per forza elettromotrice cinetica e come si calcola? Consideriamo un conduttore rettilineo, ad esempio una barretta metallica, che avanza con velocità v
, perpendicolarmente alle linee di un campo magnetico B
. Gli elettroni di conduzione, liberi di muoversi nel metallo, per effetto della forza di Lorentz si accumulano ad un estremo e svuotano l’altro: Si produce così una separazione di carica, che può fungere da forza elettromotrice se la barretta costituisce la parte mobile di un circuito più grande. Per calcolare il valore di questa fem cinetica si può applicare la legge di Faraday-Neumann, in modo opportuno collegando la barra ad un circuito e calcolando la variazione di flusso magnetico. Tuttavia riesce più semplice concentrarsi solo sulla barretta mobile, e calcolare il valore della fem cinetica attraverso la forza di Lorentz, seguendo un ragionamento che si basa sul raggiungimento di una situazione di equilibrio nella barretta. Le cariche nella barretta subiscono una forza qvB per effetto della quale si mettono in moto all’interno del conduttore, cioè perpendicolarmente al campo magnetico. Gli elettroni, non potendo lasciare il conduttore, si accumuleranno ad uno dei due capi, lasciando nell’altro un eccesso di carica positiva. La separazione di carica così prodotta, genera nella barretta un campo elettrico, che contrasta l’accumulo di carica negli estremi, fino ad arrestarlo del tutto quando si crea la condizione di equilibrio:
q | |E q
| || |v B
La forza elettromotrice ai capi di una barretta di lunghezza è il lavoro per unità di carica delle forze elettriche. Il suo modulo è dunque:
| | | | | | | |E B v fem
Ricordiamo ora che | |B
esprime le linee di campo per metro quadro di area ortogonale al campo, e osserviamo che / /| |v x t A t
è proprio l’area spazzata ogni
secondo nel piano dove si muove il conduttore, che in questo caso è ortogonale a B
. Come possiamo generalizzare la formula se
v,B ed non sono ortogonali fra loro?
In generale, il conduttore si può muovere su di un piano il cui versore n̂ forma un angolo qualsiasi con il campo. Inoltre, la velocità può non essere perpendicolare al conduttore stesso, se rettilineo. La formula della fem cinetica va modificata osservando che nel caso della barretta, la formula si può leggere:
| |componente di componente di distanza fra gli
v conduttore estremi del conduttoreB piano del moto
fem
Quindi nel caso generale, | |B
viene sostituito dalla quantità | | | | cosB B
, che è la
componente di B
lungo n̂ , e rappresenta le linee per metro quadro di superficie del piano dove si muove il conduttore. Il fattore | |v
va rimpiazzato con la quantità | |v ,
componente della velocità perpendicolare al conduttore. Allora, si vede bene come la quantità | || |v B
rappresenti il numero di linee tagliate dal conduttore ogni secondo:
2
| | | | | | | | | |
area spazzata nelnumero linee al mx A
piano del motov B B Bpiano del motot t
ogni secondo
fem
Se poi il moto è più complicato di un semplice moto piano di traslazione, occorrono gli strumenti del calcolo integrale per calcolare la fem. Vale però la proprietà generale:
B
v
LF
E
v
v
B
n̂ v
9
La forza elettromotrice indotta ai capi di un conduttore in moto è data dal numero di linee di campo magnetico che il conduttore taglia ogni secondo.
La formula | | | | | |B v fem
della forza elettromotrice cinetica vale anche se la velocità o la lunghezza del conduttore rettilineo cambiano nel tempo. Essa fornisce solo il modulo della forza elettromotrice, per avere il segno bisogna applicare la legge di Lenz o ragionare sull’accumulo di carica prodotto dalla forza di Lorentz. In che modo possiamo ottenere questo risultato tramite la legge di Faraday-Neumann? Consideriamo un circuito come quello in figura, formato da due rotaie collegate, e dalla una barra conduttrice mobile che scorre verso destra a velocità costante v . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico B
, perpendicolare al piano del cir-
cuito. Indichiamo con la lunghezza del tratto che unisce le rotaie, e con ( )x t la di-stanza della barra mobile da questo tratto. Scegliamo come versore normale quello che punta al lettore e, di conseguenza, verso di percorrenza positivo del circuito quello che il lettore vede antiorario. Il flusso magnetico concatenato vale:
( ) | | ( )t B x t
La fem istantanea ( )tf è la derivata rispetto al tempo del flusso, cambiata di segno. Come sappiamo dalla cinematica, ( ) ( )x t v t quindi:
( ) ( ) | | ( )t t B v t f
Il segno meno nella forza elettromotrice indica che la corrente indotta scorre in senso opposto al verso di percorrenza positivo del circuito. Va osservato che, se si desidera mantenere a velocità costante la barra, occorre l’azione di una forza esterna verso destra, altrimenti la barra rallenta per l’azione della forza magnetica verso sinistra, che il campo B
esercita sulla barra non appena inizia a scorrere la corrente indotta. Quanto spazio percorre la barretta prima di arrestarsi se non agisce la forza esterna? Se la forza esterna non è presente, la velocità della barretta diminuisce nel tempo. Applichiamo la formula della fem cinetica con un valore di velocità variabile ( )v t , nel caso in cui campo, velocità e barretta sono ortogonali fra loro:
| | | | ( )B v tfem
Possiamo calcolare lo spazio percorso prima di arrestarsi osservando che, se R è la resistenza complessiva del circuito, la forza magnetica ha intensità:
2 2| | ( )| | | | | || | | |M
B v tF IL B I B B
R R
fem
La forza magnetica agisce verso sinistra. Lungo un asse delle ascisse orientato verso destra possiamo scrivere la seconda legge della dinamica per la barretta, indicandone con m la massa:
2 2| |B vF ma
R
Scrivendo /a v t e /v x t , e semplificando t si ottiene la relazione:
2 2| |Bx m v
R
Lo spazio x necessario per far arrestare la barretta si calcola imponendo che il cambiamento di velocità v sia quello dal valore iniziale v finché non si ferma, cioè
0v v . Sostituendo si ottiene:
x
B
IM
F
v
B
( )x t
I
10
2 2| |
mvRx
B
Che succede alla velocità se invece continua ad agire una forza esterna costante? Supponiamo la barra inizialmente ferma. Per l’azione della estF
il conduttore si mette in
moto con una velocità che in una prima fase non è costante, ma il cui valore ( )v t
aumenta col tempo. Avendo già visto che /2 2| | | | ( )MF B v t R
, la legge di Newton si scrive:
2 2| | ( )est
B v tF ma
R
Ragionando sull’equazione ottenuta si vede la velocità v , inizialmente nulla, aumenta in modo uniforme a causa di estF
, ma l’aumento è contrastato dalla forza magnetica, tanto
maggiore quanto più grande è ( )v t . Non appena la velocità raggiunge quel valore per cui forza magnetica e forza di gravità sono uguali, l’accelerazione si annulla. Da quel momento in poi la velocità resterà costante. Indichiamo con Lv , questo valore costante, che viene detto velocità limite , e che si ricava imponendo 0a :
2 2| |est
L
RFv
B
Come si calcola la fem cinetica se il conduttore è di forma irregolare? Se il conduttore non è rettilineo, ma ha una forma irregolare, e si muove di sola traslazione, la forza elettromotrice cinetica che genera è uguale a quella prodotta da un conduttore rettilineo che unisce gli estremi di quello irregolare, perché i due tagliano lo stesso numero di linee ogni secondo. Infatti, il conduttore chiuso che si viene così a creare, non subisce alcuna variazione di flusso magnetico concatenato Quindi la forza elettromotrice ai capi del conduttore rettilineo che unisce gli estremi ha uguale valore (e senso opposto) rispetto a quella ai capi del conduttore irregolare. Ad esempio, per calcolare la fem cinetica ai capi H e K del filo metallico ricurvo in figura, non è necessario conoscere il dettaglio di ciò che accade in tutte le sue parti. Se conosciamo la velocità v alla quale esso spazza l’area, possiamo applicare la formula | | | | | |v B fem
con
HK , distanza fra gli estremi. Come si calcola la fem fra due contatti che strisciano contro un conduttore in moto? Consideriamo ora un conduttore esteso, detto disco di Faraday. Si tratta di un disco metallico che ruota con velocità angolare costante , immerso in un campo magnetico uniforme B
perpendicolare al piano del disco stesso. Ci proponiamo di calcolare la fem
che si produce fra due contatti striscianti fissi nello spazio, mentre il conduttore, scorrendo si strofina contro di essi. Che s’instauri una fem fra il contatto strisciante A, posto sul bordo del disco, e il contatto strisciante O, posto sull’asse centrale attorno a cui il disco ruota, si deduce osservando che gli elettroni, liberi di muoversi, sono spinti verso il bordo esterno perché, ruotando subiscono l’azione della forza di Lorentz LF qv B
, in direzione radiale. Con riferimento alla nostra figura, il punto O, è continuamente svuotato di elettroni, e quindi mantenuto a potenziale maggiore del punto A. Cambiando il senso di rotazione oppure verso del campo, la forza di Lorentz punta invece verso il centro. Anche effetti centrifughi contribuiscono, in misura molto minore, allo spostamento di elettroni in direzione radiale. Come abbiamo visto, la forza elettromotrice indotta fra due punti è data dal numero di linee di campo tagliate ogni secondo dal segmento che sul conduttore unisce i due punti. Si traccia allora segmento
V
CB
A
O
I
A
V
B
C
O
B
v
H
K
11
che unisce i contatti striscianti e si calcola il numero di linee di campo che ogni secondo questo segmento attraversa, mentre si sposta insieme al conduttore. Il percorso della corrente all’interno del disco non è noto, tuttavia, considerato il verso della rotazione, si può supporre un tragitto geometricamente semplice, come il tratto AC lungo il bordo, seguito dal raggio CO. Si individua così il circuito A-C-O-V-A, attraverso il quale calcolare la variazione del flusso magnetico concatenato, dove V indica un voltmetro che misura la differenza di potenziale fra i contatti striscianti. Poiché B
rimane costante e il
dispositivo è sempre fermo, il solo di cambiamento di flusso proviene dall’incremento di area da esso delimitata. Come abbiamo visto, il cambiamento di flusso può essere anche scritto come numero di linee di campo tagliate, ogni secondo, dalla parte mobile del circuito, cioè dal raggio OC. In un intervallo di tempo t , il raggio OC ruota di un angolo , spazzando il settore circolare AOC di area 21
2A r . L’area A è
attraversata ortogonalmente da un numero di linee di campo che si scrive | |B A
,
infatti, | |B
esprime il numero di linee per unità di superficie ortogonale ad esse. La forza elettromotrice fra A e O è quindi:
21
22| || | 1
| |2
B rB Alinee tagliate in tB r
t t t
fem
dove abbiamo usato la relazione / t . Osserviamo ora che qualunque altro percorso la corrente segua all’interno del disco per andare da A ad O, esso taglia un uguale numero di linee di campo nell’unità di tempo. Infatti, una curva nel disco può essere scomposta in tanti piccoli tratti radiali e tratti circolari consecutivi. Poiché i tratti circolari non tagliano alcuna linea di campo durante la rotazione, mentre la somma dei tratti radiali riproduce il raggio r del disco, spezzettato, il risultato che si ottiene per la fem è lo stesso, qualunque sia il percorso della corrente.
Esercizi 18. Un avvolgimento di 300N spire circolari di raggio cm3.60r , di resistenza
6.00R giace su un piano orizzontale, immerso in un campo magnetico uniforme verticale, diretto dal basso in alto, d’intensità T| | 0.500B
. Si calcoli la corrente indotta
media nell’avvolgimento se: (a) la spira viene ruotata di 180° in s0.150t ; (b) in un intervallo s0.150t le spire vengono schiacciate al punto che l’area racchiusa diviene nulla. (c) Calcolare la corrente indotta istantaneamente se le spire ruotano attorno al loro asse orizzontale passante per il centro, con una velocità angolare costante rad/s4.00 . (a) Calcoliamo il flusso magnetico concatenato inizialmente all’avvolgimento, quando il versore normale è parallelo al campo magnetico:
21( ) | | cos 0 | |B N B A N B r
Dopo che la spira è stata ruotata di 180 il flusso è diventato:
22( ) | | cos180 | |B N B A N B r
La forza elettromotrice media generata dal capovolgimento di 180° è:
2 2 22 1 ( | | | | ) 2 | |
a
N B r N B r N B r
t t t t
f
V22 300 0.500 3.14 0.0360
8.140.150
e la corrente indotta media vale:
A A8.141.36
6.00a
aI R
f
(b) La forza elettromotrice media, si calcola osservando che dopo lo schiacciamento
2( ) 0B
:
n̂
B
wt
B
n̂
e
v
B
LF
12
2 22 1 (0 | | ) | |
b
N B r N B r
t t t t
f
V2300 0.500 3.14 0.0360
4.070.150
e la corrente indotta media vale:
A A4.070.678
6.00b
bI R
f
(c) Mentre la spira ruota, il suo versore n̂ forma con il campo B
un angolo che all’istante t vale t . Quindi il flusso concatenato al circuito all’istante t è:
( ) | | cost N B A t
Calcolando la derivata di questa espressione abbiamo la forza elettromotrice istantanea in funzione del tempo: ( ) ( ) | | ( sin ) | | sint t N B A t N B A t f
24.00 300 0.500 3.14 0.0360 sin 4.00 2.44 sin 4.00t t Che come si vede è una funzione oscillante, il cui valore massimo V| | 2.44N B A
è
tanto maggiore quanto maggiore è , cioè quanto più rapidamente avviene la rotazione, (e quindi la variazione del flusso). La corrente indotta all’istante t vale:
(t) 2.44 sin 4.00( ) 0.407 sin 4.00
6.00
ti t t
R
f
19. Una barra metallica di massa 400gm scivola senz’attrito lungo un binario verticale. Le rotaie sono separate da una distanza cm90.0 , hanno resistenza trascurabile come la barretta, e sono collegate da un resistore 0.500R . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico uniforme, orizzontale, perpendicolare al piano del circuito, d’intensità T| | 0.600B
. Mostrare che l’accelerazione della barretta diviene
nulla dopo una fase iniziale, e calcolare la velocità costante alla quale essa scende. Nel circuito composto dai binari, dalla resistenza, e chiuso dalla barretta, deve scorrere corrente indotta I come in figura. Infatti, in questo modo l’aumento del flusso causato dallo scendere della barretta tende ad essere compensato dal campo magnetico generato dalla corrente indotta, che è entrante nel foglio e quindi di verso opposto a B
.
Scegliendo come versore normale quello uscente dal foglio, il verso di percorrenza positivo del circuito appare antiorario al lettore, e quindi ci aspettiamo che I abbia segno negativo. La velocità di caduta ( )v t non è costante, perché la barretta parte da ferma e accelera sotto l’azione della gravità, ed è frenata dalla forza magnetica. Indicando con ( )x t la distanza della barretta dalla resistenza R , risulta per il flusso concatenato:
| | ( )cos 0 | | ( )B x t B x t
Osservando che la sola quantità variabile nel flusso è ( )x t , la cui derivata vale: ( ) ( )x t v t
Abbiamo per la forza elettromotrice indotta e per la corrente:
| | ( )[ | | ( )] | | ( ) | | ( )
B v tdB x t B x t B v t I
dt R R
femfem
Il segno meno indica scorrimento contro il verso positivo del circuito, come ci aspettavamo. Come si vede, il risultato è lo stesso che si ottiene con la formula per la forza elettromotrice cinetica: | | | | | | | | | ( )|B v B v t fem
. Per calcolare il modulo della
forza magnetica inseriamo il modulo della corrente nella formula: 2 2| | ( ) | | ( )
| | | || || | sin 90 ( | | 1)M
B v t B v tF I L B B
R R
R
I
mg
MF
R
B
v(t)
( )x t
13
La MF
è diretta verso l’alto, a contrastare la forza peso, che esegue il lavoro necessario a far scendere la barretta. Dalla seconda legge della dinamica abbiamo:
2 2| | ( )
| |M
B v tF mg ma mg ma
R
Ponendo che la barretta sia lasciata andare da ferma, man mano che cresce la velocità di caduta ( )v t , aumenta anche la corrente, e con essa aumenta | |MF
. Al contrario, la forza
peso rimane costante. L’accelerazione prodotta dalla differenza fra queste due forze, diminuisce col tempo, finché non diviene nulla quando la forza magnetica uguaglia, in intensità, la forza peso. Da quel momento in poi la velocità non aumenta più ma si mantiene ad un valore costante Lv , che si trova imponendo 0a :
m/s m/s2 2
2 2 2 2
| | 0.500 0.400 9.810 6.73
| | 0.600 0.900L
L
B v Rmgmg v
R B
20. Sopra a un piano orizzontale, un filo di rame scorre senz’attrito, a velocità costante
m/s0.200v , a contatto con altri due fili saldati per il capo A . Si crea così un circuito a forma di triangolo equilatero come in figura, il cui lato ( )t aumenta nel tempo, ed è
immerso in un campo magnetico verticale uniforme, d’intensità T| | 0.280B
. Sapendo
che la resistività del rame è m81.69 10 , e che la sezione dei fili ha raggio mm0.600r , esprimere in funzione del tempo, la forza elettromotrice indotta nel
circuito dal campo B
. Calcolare la corrente nel circuito. L’altezza ( )h t del triangolo equilatero è pari alla distanza percorsa dal filo che avanza a velocità v , partendo dal vertice A dove sono saldati gli altri due fili: ( )h t vt
e quindi la misura del lato del triangolo in funzione del tempo vale:
3 2 2( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3h t t t h t vt
Scegliamo la normale orientata verso il lettore, e quindi verso positivo quello che al lettore appare antiorario. La forza elettromotrice e la corrente indotta valgono:
22| |1 1 2
( ) | | cos 0 | | ( ) ( ) 1 | |2 2 3 3
B vt B A B h t t B vt vt t
Indicando con R la resistenza del triangolo:
2 2| | 2 | |
( ) 23 3
B v B vt t I t
R R
femfem
In alternativa possiamo ritrovare questo risultato applicando la tecnica della forza elettromotrice cinetica. La porzione di conduttore mobile compresa nel circuito è lunga
/( ) (2 3)t vt , quindi ai suoi capi si stabilisce una forza elettromotrice:
22| | ( ) | |
3B v t B v t fem
Dalla seconda legge di Ohm possiamo calcolare R ed inserirla:
2 2
3 ( ) 3 2
3
triangolo
filo
L tR vt
S r r
2 2 222 | | 2 | | | |3
6 33 3
B v B v B v rrI t t
vtR
Il segno meno indica che la corrente indotta scorre contro il verso positivo di percorrenza del circuito, cioè in senso orario per il lettore. Calcoliamo la corrente, il cui valore è costante nel tempo:
( )t
v
B
A
14
A A3 2
8
0.280 0.200 3.14 (0.600 10 )1.25
3 1.69 10I
21. Una barretta metallica di massa m scivola senza attrito lungo un binario di resistenza elettrica trascurabile (come quella della barretta), inclinato di un angolo . Le rotaie sono separate fra loro da una distanza , e collegate elettricamente nel punto più alto da un condensatore di capacità C . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico uniformeB
, verticale, diretto in alto. Calcolare l’accelerazione con cui la barretta scende. Per ottenere l’accelerazione occorre conoscere l’intensità di tutte le forze che compiono lavoro sulla barretta. Oltre alla gravità, non appena si genera corrente indotta per effetto dell’aumento del flusso concatenato al circuito causato dal moto della barra, agisce la forza magnetica MF IL B
in direzione perpendicolare a B
e alla barretta, come in
figura. Proiettando lungo i binari queste due forze, dalla seconda legge della dinamica otteniamo il valore dell’accelerazione:
| | cos sinMF mg ma
Dobbiamo quindi ricavare l’intensità di MF
, per la quale ci occorre il valore della corrente. La corrente è la derivata della funzione ( )Q t , che a sua volta esprime la carica complessivamente passata attraverso una sezione della barretta, dall’istante iniziale fino al tempo t , e depositata sull’armatura del condensatore. Come sappiamo dalla definizione di capacità, la carica sul condensatore è legata in ogni istante alla differenza di potenziale ( )CV t fra le sue armature dalla relazione:
( ) ( )CQ t C V t E quindi sostituendo nella definizione di corrente, e osservando che, nella derivata rispetto al tempo, C è solo una costante moltiplicativa:
( ) ( )CI Q t CV t In base alla legge di Ohm, la differenza di potenziale fra le armature del condensatore è uguale alla forza elettromotrice indotta dovuta al moto della barretta. Indicando con ( )v t la velocità – crescente - con cui scende la barretta, la forza elettromotrice cinetica vale: | | | | | | cos ( ) ( )CB v B v t V t f
Ricordando ora che l’accelerazione è la derivata della velocità, ( )v t a abbiamo:
( ) | | cos ( ) | | cosCI CV t C B v t C B a
Il verso della corrente deve apparire orario ad un osservatore in alto, in modo che il campo magnetico da essa creato sia verso il basso, a compensare l’aumento del flusso verso l’alto, come previsto dalla legge di Lenz. Per calcolare il modulo della forza magnetica ci occorre solo il modulo della corrente:
2 2| | | || || | sin 90 ( | | cos )( | | 1) | | cosMF I L B C B a B C B a
Possiamo infine ricavare l’accelerazione sostituendo | |MF
nell’equazione impostata precedentemente a partire dalla seconda legge della dinamica:
2 2 2( | | )cos sina C B mg ma
2 2 2
sin
| | cos
mga
m C B
22. Una spira circolare di raggio cm60.0r è immersa in un campo magnetico uniforme T0 0.0900B , attraversata perpendicolarmente dalle linee di B
come in
figura. Ad un certo istante l’intensità del campo inizia a variare nel tempo, secondo la legge 2
0( ) 0.0400B t B t . Sapendo che la spira è costruita con un filo d’argento
B
n̂
C
n̂
B
M
F
mg
I
( )B t
r
15
m8( 1.62 10 ) di sezione mm21.20S , calcolare la corrente indotta al suo interno dopo s4.00 , e stabilirne il verso. [R: 2.26 A,oraria ] Scegliamo la normale orientata verso il lettore, e quindi verso positivo quello che al lettore appare antiorario. La forza elettromotrice e la corrente indotta valgono:
2 20( ) | ( )| cos 0 ( 0.0500 )t B t A B t r
2 2 2 2 20( ) ( 0.0400 ) 2 0.0400 0.0800
dt B r r t r t r t
dt fem
2 0.0800r tI
R R
fem
La resistenza della circonferenza è: 2L r
RS S
Per la corrente risulta: 2 0.0800 0.0800
2 2
r t rS tI
R rS
fem
E dopo s4.00 :
s A A6
8
0.600 1.20 10 0.0800 4.00(4.00 ) 2.26
6.28 1.62 10I
Il segno positivo indica uno scorrimento contro il verso di percorrenza, pertanto la corrente appare oraria al lettore. 23. In un piano orizzontale, si ha un filo piegato a forma di parabola, di equazione
2y kx , su cui scorre senz’attrito una barra conduttrice. La barra parte ferma dall’origine avanzando di moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle ordinate, con velocità ( )v t at . Esprimere la forza elettromotrice indotta nel circuito in funzione del tempo.
Suggerimento: in base al teorema di Archimede, l’area di un segmento parabolico è due
terzi dell’area del rettangolo HKLM in cui è inscritto. [R: 3 2(| | 2 / )B a k tfem
] L’area del circuito che si viene a creare è un segmento parabolico inscritto in un rettangolo di base 2x ed altezza 2y kx . L’area di tale segmento, in funzione di x , si scrive:
2 32 2 4( ) 2 2
3 3 3A x x y x kx kx
Per avere l’area in funzione del tempo osserviamo che nel moto rettilineo uniformemente accelerato, se la barra parte ferma dell’origine e la sua accelerazione è ya a :
0y y 0yv t 2 21 1
2 2ya t at
Considerato che tutte le quantità sono positive, risulta:
2
2
y atx
k k
32 3 6 2 3 6 3
33 3
4 4 1 16 1 2( )
3 2 3 3 38 8
at a t k a t aA t k k t
k kk k
Scegliamo la normale orientata verso il lettore, e quindi verso positivo quello che al lettore appare antiorario. La forza elettromotrice vale:
331 2
( ) | | ( )cos 0 | |3
at B A t B t
k
322
( ) | |a
t B tk
fem
v(t)
B
O x
y
H
K L
M
16
24. In un piano orizzontale, un filo di rame scorre senz’attrito, a velocità costante m/s0.300v , a contatto con altri due fili perpendicolari fra loro, saldati per il capo O .
Si crea così un circuito a forma di triangolo rettangolo con angolo alla base costante 30 , e la cui altezza ( )h t aumenta nel tempo. Il circuito è immerso in un campo
magnetico verticale uniforme, d’intensità T| | 0.180B
. Sapendo che la resistività del
rame è m81.69 10 , e che la sezione dei fili ha raggio mm0.800r , esprimere
in funzione del tempo, la corrente indotta nel circuito dal campo B
. Calcolare la corrente nel circuito. [R: 2.77 A ( )I oraria per chi legge ] L’altezza ( )h t del triangolo rettangolo è pari alla distanza percorsa dal filo che avanza a velocità v , partendo dal vertice O dove sono saldati gli altri due fili: ( )h t vt
e quindi le misure dei cateti del triangolo in funzione del tempo valgono:
/
( )sin ( ) 2
sin 30 1 2
h t vtOM h t OM vt
/
( ) 2sin(90 ) ( )
sin 60 3 2 3
h t vt vtOL h t OL
L’area ( )A t del triangolo rettangolo in funzione del tempo è: 2
21 1 2 2( ) sin 2
2 2 3 3
vt vA t OL OM vt t
Scegliamo la normale orientata verso il lettore, e quindi verso positivo quello che al lettore appare antiorario. La forza elettromotrice e la corrente indotta valgono:
222
( ) | | ( )cos 0 | |3
vt B A t B t
Indicando con R la resistenza del triangolo:
2 2| | 4 | |
( ) 43 3
B v B vt t I t
R R
femfem
Dalla seconda legge di Ohm possiamo calcolare R ed inserirla: 2
22 2
1 2 22 (2 )
3 3
triangolo
filo
L OL OM LMR vt vt vt vt
S r r
2 2
1 2 4 6 2 32
3 3 3
vtR vt vt vt
r r
2 2 224 | | 4 | | 4 | |3
3 3 (6 3) (6 3)
B v B v B vrrI t t
R vt
Il segno meno indica che la corrente indotta scorre contro il verso positivo di percorrenza del circuito, cioè in senso orario per il lettore. Calcoliamo la corrente:
A A3 2
8
4 0.180 0.300 3.14 (0.800 10 )3.32
(6 3) 1.69 10I
25. Una barretta metallica tirata da una forza costante F
, scivola senz’attrito, alla velocità
di m/s3.00 , lungo un binario orizzontale. Le rotaie sono separate da una distanza cm70.0 , hanno resistenza trascurabile come la barretta, e sono collegate da un
resistore 1.25R . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico perpendicolare al piano del circuito, d’intensità T| | 0.500B
. Nel circuito che si viene a formare, scorre
una corrente A2.00I come in figura. Calcolare l’intensità di F
. [R:0.294 N ]
( )h t
v
B
O
L
M
F
B I
R
17
La forza elettromotrice cinetica e la corrente indotta valgono:
| | | || | | |
B vB v I
R R
femfem
La corrente indotta scorre in senso orario, come in figura, perché il campo che essa crea dev’essere entrante nella pagina, per compensare l’aumento di flusso in direzione uscente causato dall’avanzare della barretta. Per calcolare il modulo della forza magnetica inseriamo modulo della corrente nella formula:
2 2| | | || | | || || | sin 90 ( | | 1)M
B v B vF I L B B
R R
La forza magnetica è diretta verso sinistra, e dalla seconda legge della dinamica abbiamo che per far avanzare la barretta a velocità costante (e quindi accelerazione nulla) occorre una forza F
verso destra, d’intensità e direzione uguali a quelle della forza magnetica.
Orientando un asse delle ascisse verso destra si ha: | | | | 0 | | | |x M x MF F F ma F F
N N2 2 2 2| | 0.500 0.700 3.00
| | | | 0.2941.25M
B vF F
R
26. Una barretta metallica scivola senz’attrito, alla velocità di m/s2.50 , lungo un binario orizzontale. Le rotaie sono separate da una distanza cm55.0 , hanno resistenza trascurabile, e sono collegate da un resistore 1 1.00R ai capi di sinistra, e da
2 3.00R ai capi di destra. Il dispositivo è immerso in un campo magnetico
perpendicolare al piano del circuito, d’intensità T| | 0.400B
. Calcolare la differenza di potenziale ai capi della barretta e la corrente che vi scorre, sapendo che la sua resistenza vale 2.00R . [R:0.550 V, 2.00 A ] Utilizzando la tecnica della forza elettromotrice cinetica, ai capi della barretta si stabilisce una forza elettromotrice:
| |B vfem
Si giunge allo stesso risultato scegliendo una qualunque delle due maglie che si formano, una per ogni resistenza, mentre scorre la barretta, e calcolando la forza elettromotrice come derivata del flusso in una di esse. Il circuito pertanto equivale allo schema rappresentato a lato. La resistenza equivalente si calcola considerando che 1R ed 2R sono
in parallelo, e la resistenza 12R ed esse equivalente è in serie ad R :
1 212
1 2
1.00 3.002.00 2.75
1.00 3.00E
R RR R R R
R R
V V| | (0.400 2.50 0.550) 0.550V B v fem
A A| | 0.400 2.50 0.5502.00
2.75E E
B vI
R R
fem
27. Una barretta metallica di resistenza trascurabile, scivola senz’attrito su un binario orizzontale lungo cm2 160 , seguendo un moto armonico di equazione ( ) sinx t t , con rad/s2.40 ed equilibro nel punto centrale del binario. Le rotaie
sono separate da una distanza cm80.0 , e sono dei fili di rame ( m81.69 10 ) la cui sezione ha raggio mm1.50r . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico perpendicolare al piano del circuito, d’intensità T| | 0.0130B
. Calcolare la differenza
di potenziale ai capi della barretta e la corrente che vi scorre, in funzione del tempo.
[R: 22
62.6 cos2.40( ) 2.00 10 cos2.40 V, ( ) A
5 4cos 2.40
tt t I t
t
f ]
v
B 1R 2R
R
f | |B lv
1R2R
B
( )x t
18
Utilizzando la tecnica della forza elettromotrice cinetica, ai capi della barretta si stabilisce una forza elettromotrice:
2| | ( ) | | ( ) | | cos 0.0130 0.800 0.800 2.40 cos 2.40B v t B x t B t t f
22.00 10 cos2.40t f
Il circuito equivale allo schema qui a lato, dove le resistenze dei due tratti di binario possono essere calcolate tramite la seconda legge di Ohm, e sono in parallelo fra loro:
1 2 2
2[ ( )] 3 2 sinx t tR
r r
2 2 2
2[ ( )] 3 2 sinx t tR
r r
Calcoliamo la resistenza equivalente:
1 22
1 2
[3 2 sin ] [3 2 sin ]
3 2 sin 3 2 sinE
R R t tR
R R t tr
2 2 22 2
2 2 2
9 4 sin[5 4(1 sin )] (5 4 cos )
6 6 6
tt t
r r r
Calcoliamo la corrente nella barretta: 2 2 2
2 2
6 | | cos 6 | | cos
(5 4 cos ) 5 4 cosE
r B t r B tI
R t t
f
3 2
8 2 2
6 3.14 (1.50 10 ) 0.0130 0.800 2.40 cos24.0 62.6 cos2.40
1.69 10 5 4 cos 24.0 5 4 cos 2.40
t t
t t
28. Una barretta metallica di resistenza 2.25R , scivola senz’attrito su di una circonferenza di raggio cm120r fatta di filo d’alluminio ( m82.75 10 ), la cui sezione ha diametro mm0.600d . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico perpendicolare al piano del circuito, d’intensità T| | 0.250B
. Fissato un riferimento in
cui il centro della circonferenza è nell’origine, e la barretta, parallela alle ordinate, parte dal punto A con velocità costante m/s3.00v , calcolare la forza elettromotrice indotta in funzione del tempo, e la corrente nella barretta quando passa per l’origine.
[R: 2 22 | | 2 , 0.600 AB v rvt v t
] Il tratto HK della barretta funziona da generatore per il circuito. Ai suoi capi si stabilisce la forza elettromotrice cinetica:
| | ( ) | | ( )B v t B v HK t |fem|
La circonferenza ha equazione 2 2 2x y r , pertanto esplicitandone l’equazione rispetto
alla y si ha 2 2y r x , che permette di trovare la lunghezza della corda HK in funzione della posizione x :
2 22H KHK y y r x L’ascissa della barretta, che parte dal punto ( , 0)A r ha una legge oraria: ( )x t r vt
E quindi, sostituendo: 2 2 2 2 2 2| | 2 2 | | ( ) 2 | | 2B v r x B v r r vt B v rvt v t |fem|
Per avere la differenza di potenziale ai capi della barretta nell’istante di attraversamento dell’origine, si impone ( ) 0x t :
V V2 20 ( 0) | | 2 0 2 | | (2 0.250 3.00 1.20) 1.80V x B v r B v r |fem |
In quell’istante il circuito è equivalente a due semicirconferenze, ciascuna di resistenza:
1R 2R
( )x t
f
A
v
BH
K
R
f | |B lv
cRcR
19
/
82 2 3 2
4 4 0.1202.75 10 1.47
( 2) (0.300 10 )c
r rR
d d
in parallelo fra loro, ed in serie alla resistenza R della barretta. Lo schema di principio del circuito è riportato in figura. La resistenza equivalente è:
1 1.472.25 3.00
2 2c c
E cc c
R RR R R R
R R
Calcoliamo la corrente:
A A0 1.800.600
3.00E
VI
R
29. In un piano orizzontale, una barretta metallica di argento ( m81.62 10 ),
avente sezione mm20.250S , scivola senz’attrito su di un’iperbole equilatera di equazione 2 2 1x y (lunghezze in metri), fatta di filo metallico. Il dispositivo è immerso in un campo magnetico perpendicolare al piano del circuito, d’intensità
T| | 0.400B
. La barretta parte dal punto A con velocità m/s2.60v , che si mantiene costante. Calcolare la forza elettromotrice indotta in funzione del tempo, il suo valore quando la barretta ha percorso un tratto m2.00d , e la resistenza dell’arco d’iperbole attraversato sapendo che in quell’istante vi scorre una corrente A2.80I .
[R: 2 22 | | 2 , 5.88V, 1.73 B v vt v t
] Il tratto HK della barretta funziona da generatore per il circuito. Ai suoi capi si stabilisce la forza elettromotrice cinetica:
| | ( ) | | ( )B v t B v HK t |fem|
Esplicitandone l’equazione dell’iperbole rispetto alla y si ha 2 1y x , che permette di trovare la lunghezza della corda HK in funzione della posizione x :
22 1H KHK y y x L’ascissa della barretta, che parte dal punto (1, 0)A ha una legge oraria: ( ) 1x t vt
E quindi, sostituendo: 2 2 2 2| | 2 1 | | 2 (1 ) 1 2 | | 2B v x B v vt B v vt v t |fem|
Per avere la differenza di potenziale ai capi della barretta nell’istante richiesto si impone m m( ) (1.00 2.00) 3.00x t :
V V2( 3.00) | | 2 3.00 1 2 | | 8 (2 0.400 2.60 2.828) 5.88x B v B v |fem |
In quell’istante il circuito è equivalente a due resistenze in serie alla forza elettromotrice, una delle quali è la R della barretta, e l’altra AR dell’arco di iperbole. Il verso della corrente è orario per il lettore, dovendo produrre un campo magnetico entrante, a compensare l’aumento di flusso uscente dal foglio. Lo schema di principio del circuito è riportato in figura. Calcoliamo R della barretta:
2
86
2 3.00 11.62 10 0.367
0.250 10
HKR
S
La resistenza equivalente è:
E AR R R Inserendo il valore di corrente fornito dal testo e la forza elettromotrice calcolata, abbiamo:
5.88( ) 0.367 1.73
2.80A AI R R R RI
ff
A
v
B
H
K
R
f | |B lv
AR
I
20
30. Una barra di metallo viene fatta scorrere con accelerazione costante a su di una semicirconferenza metallica con raggio r . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico B
perpendicolare al piano del circuito. Fissare un riferimento in cui il centro
della semicirconferenza è nell’origine, e la barretta, parallela alle ascisse, parte ferma dall’origine. Ricavare la forza elettromotrice nella barra in funzione della quota y .
[R: 2 22| | 2 ( )B ay r y
] Il tratto HK della barretta funziona da generatore per il circuito. Ai suoi capi si stabilisce la forza elettromotrice cinetica:
| | ( ) ( ) | | ( ) ( )B v t HK t B v y HK y |fem|
Essendo il moto uniformemente accelerato, risulta che velocità e accelerazione sono legate allo spazio percorso y dall’equazione:
2 20v v 2 2ay v ay
La lunghezza della corda HK in funzione della quota y si trova osservando che:
2 2K H HHK x x x x
L’equazione della circonferenza è 2 2 2x y r , da cui, esplicitando rispetto alla x si ha 2 2x r y , che sostituita dà:
2 22 2HK x r y E quindi risulta:
2 2 2 2| | ( ) ( ) | | 2 2 2 | | 2 ( )B v y HK y B ay r y B ay r y |fem |
31. Una barretta metallica di massa m scivola senz’attrito su un binario di resistenza elettrica trascurabile (come quella della barretta), inclinato di un angolo . Le rotaie sono separate fra loro da una distanza , e collegate nel punto più alto da una resistenza R . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico uniformeB
, perpendicolare al piano dei
binari. Calcolare la velocità costante di caduta che la barretta, partendo ferma dal punto più alto, raggiunge dopo breve tempo, e la corrente nella barretta. [R: 2 2sin /| | , sin /| |v Rmg B I mg B
]
Fissiamo un asse delle ascisse sul piano di scivolamento. Lungo tale direzione agisce la componente della gravità sinmg , e non appena si genera corrente indotta per effetto dell’aumento del flusso concatenato al circuito causato dal moto della barra, la forza magnetica MF IL B
. Scegliendo come direzione del versore normale quella verso
l’alto, la corrente indotta sappiamo che ha verso orario se vista da un osservatore a cui punta n̂ . In un disegno che mostra la vista laterale, la corrente nella barretta è diretta verso il lettore (vedi figura) . La forza MF
ha direzione perpendicolare a B
e alla barretta,
quindi è diretta lungo il piano inclinato, e per la regola della mano destra punta verso la sommità. Proiettando lungo i binari queste due forze, dalla seconda legge della dinamica otteniamo il valore dell’accelerazione:
| | sinMF mg ma
La forza elettromotrice cinetica è | | | |f B v
, e la corrente vale:
| |B vI
R R
f
Per calcolare il modulo della forza magnetica ci occorre solo il modulo della corrente: 2 2| | | |
| | | || || | sin 90 ( )( | | 1)M
B v B vF I L B B
R R
Sostituendo nella seconda legge della dinamica si ha:
O
a
B
H K
B
R
n̂B
M
F
mg
I
21
2 2| |sin
B vmg ma
R
Mentre la forza di gravità rimane costante, la forza magnetica aumenta d’intensità, e quando eguaglia la gravità, l’accelerazione diviene nulla, e da quel momento non cambia più perché anche la forza magnetica rimane costante. Imponendo 0a si trova il valore costante di velocità richiesto:
2 2 2 2
2 2
| | | | sinsin 0 sin
| |
B v B v Rmgmg mg v
R R B
Calcoliamo la corrente:
2 2
| | | | sin sin
| || |
B v B Rmg mgI
R R BB
32. Un disco di metallo di raggio cm30.0r ruota con velocità angolare costante,
rad/s120 , immerso in un campo magnetico perpendicolare al piano del disco
stesso, d’intensità mT| | 4.00B
. Calcolare la differenza di potenziale O AV V che s’instaura fra il bordo del disco e il centro, misurata dal voltmetro V in figura, e stabilirne il segno utilizzando la forza di Lorentz. [R: 2.16 mV ] . La forza elettromotrice fra A e O è, in valore assoluto, data dal numero di linee tagliate dal raggio OA nell’unità di tempo:
21
22| || | 1
| |2
B rB Alinee tagliate in tB r
t t t
fem
V V mV3 2
30.400 10 0.300 1202.16 10 2.16
2
La forza di Lorentz sposta gli elettroni verso il bordo, quindi il potenziale a cui si A sul bordo, svuotato di carica negativa, è maggiore del potenziale a cui si trova O, dove gli elettroni si accumulano. Quindi:
mV2.16O AV V 33. Con riferimento al problema precedente, calcolare la differenza di potenziale O AV V
che in assenza del campo B
si produce per gli effetti centrifughi della rotazione. Suggerimento: considerare elettrone che dal centro raggiunge il bordo del disco, ed applicare la legge di conservazione dell’energia. Per l’elettrone assumere
C191.60 10e , kg319.11 10m . [R: 3.69 nV ] Sull’elettrone al centro del disco compiono lavoro solo forze interne al sistema:
( ) ( ) 0A O A OK U K K U U
21( 0) ( ) 02 A Omv qV qV
Ricordando che in un moto circolare uniforme v r : 2 2 21
2 2A Omv m r
V Vq e
Quindi:
V V nV2 2 31 2 2
1219
9.11 10 120 0.3003690 10 3.69
2 2 1.60 10O A
m rV V
e
34. Una semicirconferenza di raggio cm25.0r , realizzata con del filo di argento
m8( 1.62 10 ) ha il centro sul bordo di una regione dove c’è un campo magnetico
uniforme, d’intensità mT| | 6.00B
, perpendicolare alla superficie racchiusa dal filo. Il
circuito ruota con accelerazione angolare costante rad/s25.00 , partendo fermo
V
B
A
O
e
v
B
LF
B
r
22
quando l’angolo in figura è nullo. Calcolare la corrente nel circuito nell’istante in cui vale /2 , sapendo che la sezione del filo misura mm20.280S . Orientare il
versore normale verso il lettore. [R: | | / ( 2) 0.200 AI B Sr
] Scegliendo la normale orientata verso il lettore, il verso positivo di percorrenza è quello che al lettore appare antiorario. La forza elettromotrice e la corrente indotta valgono:
21( ) | | ( )cos 0 | | ( )
2t B A t B r t
L’area ( )A t è quella del settore circolare attraversato dal campo magnetico. La legge oraria del moto uniformemente accelerato per l’angolo ( )t si scrive:
0( )t 0t 2 21 12 2
t t
Sostituendo: 2 21
( ) | | ( )cos 0 | |2
t B A t B r t
2 21( ) | | (2 ) | |
2t B r t B r t fem
Indicando con R la resistenza della semicirconferenza: 2| |B r t
IR R
fem
Dalla seconda legge di Ohm possiamo calcolare R ed inserirla: 2
( 2)L r r r
RS S S
2| | | |
( 2)
B r t B SrI t
R
L’istante in cui /2 è:
/21( )
2 2t t t
Sostituendo abbiamo: | | | |
( 2) ( 2)
B Sr B SrI
A A A3 6
3 6 88
6.00 10 0.280 10 0.250 3.14 5.000.200 10 0.200
1.62 10 (3.14 2)
Il valore negativo indica che I scorre contro il verso scelto come positivo. Dunque la corrente ha verso orario per il lettore. 35. Una barretta OC gira con velocità angolare costante rad/s20.0 strisciando su
una circonferenza di raggio cm40.0r OC , entrambe di filo di rame m8( 1.69 10 ) con sezione mm20.320S . Perpendicolare al piano della
circonferenza si ha un campo magnetico uniforme, d’intensità mT| | 5.00B
. Il punto A ed il centro O della circonferenza sono collegati con dei contatti striscianti ed un circuito di resistenza trascurabile. Dopo aver osservato che per andare da A in O esistono due percorsi in parallelo, calcolare la differenza di potenziale A OV V ai capi della barretta, la
corrente nella barretta in funzione del tempo, e il suo valore quando /2AOC .
[R:8.00 mV, | | / [2 (2 )],0.174 AI S B r t t
] In un intervallo di tempo t , il raggio OC ruota di un angolo , spazzando il settore circolare AOC di area 21
2A r . L’area A è attraversata ortogonalmente da un
A
O
CB
23
numero di linee di campo che si scrive | |B A
, infatti, | |B
esprime il numero di linee per unità di superficie ortogonale ad esse. La forza elettromotrice fra A e O è quindi:
21
22| || | 1
| |2
B rB Alinee tagliate in tB r
t t t
fem
V V mV3 2
35.00 10 0.400 20.08.00 10 8.00
2
Per andare da A ad O, la corrente può scorrere lungo l’arco di circonferenza AC, di resistenza 1R , oppure lungo l’arco ADC, di resistenza 2R . Si tratta di due percorsi in parallelo, la cui resistenza equivalente è in serie alla resistenza presentata dalla barretta
3R . Il circuito è quindi equivalente allo schema qui a lato, di resistenza equivalente ER . La corrente nella barretta è la corrente nel generatore, cioè la corrente nella resistenza equivalente al circuito:
2| |
2E E
B rI
R R
fem
Calcoliamo la resistenza dei due archi di circonferenza osservando che all’istante t l’angolo ( )t spazzato dalla barretta OC, iniziando a misurare il tempo da quando passa per A, segue la legge oraria:
0( )t t t
Risulta ( )AC t e 2 ( )ADC t . Sostituendo si ha:
1AC ACL r r
R tS S S
2
(2 )ADC ADCL r r tR
S S S
Con la formula per le resistenze in parallelo:
1 212
1 2
(2 )(2 )
(2 )(2 ) (2 ) 2
r trtR R t tr rS SR t t
R R r t S t t Srt
S S
Calcoliamo la resistenza della barretta:
3OCL r
RS S
E quindi la resistenza equivalente al circuito è:
3 12 (2 ) [2 (2 )]2 2E
r r rR R R t t t t
S S S
Da cui: 2 2| | | | | |
2 [2 (2 )]2 [2 (2 )]
2E
B r B r S B rI
R r t tt t
S
Per /2t AOC risulta:
/ / /| | | |
[2 ( 2)(2 2)] [2 3 4]
S B r S B rI
A A A/
6 36 3 8
8
0.320 10 5.00 10 0.400 20.01.74 10 0.174
1.69 10 [2 3 3.14 4]
36. Un triangolo equilatero di filo metallico, privato della base, di lato cm50.0 viene fatto ruotare attorno ai due contatti girevoli A e C in figura, con velocità angolare costante
rad/s12.0 . Sapendo che la resistenza dell’intero circuito vale 2.00R , e che il
A
O
CB
D
3R
fem1R
2R
A
O
R
B
CA
24
dispositivo è immerso in un campo magnetico uniforme come in figura, d’intensità T| | 0.300B
calcolare la corrente nell’istante in cui è stato compiuto un quarto di giro.
[R:156 mA ]
L’area spazzata dal triangolo girevole è 234 , però il circuito completo comprende
anche l’area del rettangolo avente base AC. Tuttavia quest’area è fissa e il flusso magnetico 0 ad essa concatenato, non varia mai, ma si somma a quello attraverso il semicerchio, che è ora positivo, ora negativo a seconda dell’inclinazione.
2 20 0
3 34 4
| | cos | | cosB B t
Nel calcolare la forza elettromotrice come derivata del flusso, la parte costante scompare:
0dd
dt dt
fem 2 23 3
4 4( | | sin ) | | sinB t B t
e la corrente vale: 23 | |
sin4
r BVI t
R R R
fem
Il tempo necessario a percorrere un quarto di giro è un quarto del periodo, cioè:
11 2
4 4 2
Tt
A A mA2 2
1
3 | | 12.0 1.732 0.500 0.300( ) sin 1 0.156 156
4 2 4 2.50
r BI t
R
37. Un rettangolo di filo di metallo, aperto da un lato, con dimensioni cm40.0 ,
cm20.0a , viene fatto ruotare attorno ai due contatti girevoli A e C in figura, con velocità angolare costante rad/s18.0 . Sapendo che la resistenza dell’intero circuito vale 3.20R , e che il dispositivo è immerso in un campo magnetico uniforme come in figura, d’intensità T| | 0.500B
, calcolare la potenza media da esso dissipata in un
giro. Per il calcolo sfruttare il fatto che il valore medio della funzione 2sin t su di un periodo è ½. [R:162 mW ] L’area spazzata dal rettangolo girevole è a , mentre il circuito completo comprende anche l’area del rettangolo di base AC. Tuttavia quest’area è fissa e il flusso magnetico 0
ad essa concatenato, non varia mai, ma si somma a quello attraverso il rettangolo girevole aperto, che è ora positivo, ora negativo a seconda dell’inclinazione.
0 0| | cos | | cosa B a B t
Nel calcolare la forza elettromotrice come derivata del flusso, la parte costante scompare:
0dd
dt dt
fem ( | | sin ) | | sina B t a B t
e la potenza dissipata vale: 2 2 2 22 2
2| |sin
a BVP t
R R R
fem
Il valore medio su di un periodo è quindi:
W W mW2 2 2 2 2 2 2| | 18.0 0.400 0.200 0.500
0.162 1622 2 3.20media
a BP
R
38. Un rettangolo di filo metallico, con dimensioni cm50.0 e b , di resistenza complessiva 25.0R , e massa g160m , avanza a velocità costante
cm/s| | 3.00v penetrando in una regione in cui si ha un campo magnetico uniforme,
perpendicolare al piano del rettangolo, d’intensità T| | 0.800B
. Sapendo che la regione
R
B
a CA
rB
t
B
b
v
25
si estende per una lunghezza maggiore di b , calcolare quanto lungo deve essere b affinché il circuito si fermi non appena è penetrato per intero nella regione del campo. [R:75.0 cm ] Non appena il rettangolo entra nella regione dove c’è il campo, sul lato davanti si esercita una forza frenante (verso sinistra rispetto alla figura) d’intensità:
2 2| | | || | | || || | sin 90 ( | | 1)M
B v B vF I L B B
R R
La forza agisce finché il rettangolo non è completamento entrato nella regione dove si ha il campo, perché da quel momento in poi, il flusso magnetico attraverso di esso non cambia più e la corrente cessa. L’accelerazione del circuito è verso sinistra come la forza. In un riferimento orientato con le ascisse verso destra vale:
2 2| | | |MF Ba v
m mR
Scrivendo /a v t e /v x t , e semplificando t si ottiene la relazione: 2 2| |B
x m vR
Imponiamo che lo spazio necessario per far arrestare la barretta sia x b e contemporaneamente imponendo che il cambiamento di velocità v sia quello dal valore iniziale v finché non si ferma, cioè 0v v . Sostituendo si ottiene:
2 2| |(0 )
Bb m v
R
m m cm2
2 2 2 2
0.160 3.00 10 25.00.750 75.0
| | 0.800 0.500
mvRb
B
39. Un quadrato di filo di argento m8( 1.62 10 ) , di lato cm0 25.0 è immerso in un campo magnetico perpendicolare al piano del circuito, d’intensità
mT| | 8.00B
. La sezione del filo è mm21.40S . Il campo è uniformemente distribuito in una regione anch’essa quadrata, e il filo avanza a velocità costante
cm/s| | 2.00v in modo che le diagonali dei due quadrati si mantengano sulla stessa
retta, come in figura. Ricavare l’andamento della corrente nel filo metallico in funzione del tempo durante la fase di uscita dal campo, e rappresentarlo in un grafico.
[R: ( ) 3.46 ( 2 0.0800 ) mAI t t ] Scegliamo un versore n̂ che punta al lettore, e di conseguenza un verso di percorrenza positivo che al lettore appare antiorario. Il flusso magnetico concatenato al circuito vale:
( ) | | ( )cos 0 | | ( )t B A t B A t
dove ( )A t è l’area della porzione di quadrato attraversata dalle linee di campo
all’istante t . Inizialmente 20( )A t , ma poi la porzione di circuito immersa nel
campo diviene un quadrato di lato sempre più piccolo, e pari a:
0( )2
vtt
Quindi il flusso vale: 2
20( ) | | ( ) | |
2
vtt B t B
Così che la forza elettromotrice indotta è:
v
0B
v
0B
( )t
26
22
0 0 0| | 2 | | | | ( 2 )2 2 2
d d vt vt vB B B v v t
dt dt
fem
La corrente nel quadrato di filo si trova calcolando la resistenza tramite la seconda legge di Ohm:
04LR
S S
20
0 0
2( ) | | | | ( 2 )
4 4
v v t vS vI t B S B t
R
fem
2 6 23
8
2.00 10 1.40 10 2.00 108.00 10 ( 2 )
0.2504 1.62 10t
A mA3 23.46 10 ( 2 8.00 10 ) 3.46 ( 2 0.0800 )t t 40. Un quadrato di filo metallico di lato cm0 45.0 ha un vertice coincidente col
vertice di una regione anch’essa quadrata di lato 0 , in cui c’è un campo magnetico
uniforme, d’intensità T| | 0.200B
, perpendicolare alla superficie racchiusa dal filo. Il circuito ruota con velocità angolare costante rad/s2.50 , partendo fermo quando i lati dei due quadrati coincidono. Ricavare l’andamento della fem nel circuito in funzione del tempo finché i due quadrati non sono esattamente sovrapposti. Calcolare il valore della resistenza R sapendo che nel momento della sovrapposizione la corrente vale mA55.0 . Scegliere il versore normale entrante nel foglio. [R: 2 2
0| | /2cos ( /2),1.84 B t ]
Scegliendo la normale orientata in modo da allontanarsi dal lettore, il verso positivo di percorrenza è quello che al lettore appare orario. La forza elettromotrice e la corrente indotta valgono:
( ) | | ( )cos180 | | ( )t B A t B A t
Chiamiamo ( )CAE t , per 0t si ha ( ) 0t . Misuriamo l’angolo in verso orario. Fintanto che i due quadrati non sono perfettamente sovrapposti per /( ) 2t , l’area
( )A t che contribuisce al flusso aumenta, ed è quella di due volte il triangolo rettangolo
ACD di cateto maggiore 0AC e cateto minore 10 2tan ( )CD t . La legge oraria
del moto uniformemente accelerato per l’angolo ( )t si scrive:
0( )t t t
Quindi: 21 1
0 0 02 2
1( ) 2 tan ( ) tan
2A t t t
Sostituendo: 2 10 2
( ) | | ( ) | | tan( )t B A t B t
Calcoliamo la derivata del flusso concatenato per avere la forza elettromotrice:
/
1 22 2 2 010 02 2 21
2
| |( ) | | tan( ) | |
cos ( ) 2 cos ( 2)
Bdt B t B
dt t t
fem
La corrente è legata alla forza elettromotrice dalla prima legge di Ohm:
/
20
2
| |
2 cos ( 2)
BI
R R t
fem
Quando i due quadrati sono sovrapposti, l’angolo è /( ) 2t t . Sostituiamo ed imponiamo il valore di corrente fornito, così da trovare R :
mA( ) [ ]I t
s[ ]t
3.46 2
0.277
0
B
0
R
A C
D
E
0
B
0
R
27
/ /
2 20
2 2
| | 0.200 0.450 2.501.84
2 cos ( 2) 2 0.0550 cos ( 4)
BR
I t
41. Una barretta metallica di lunghezza cm0 50.0 , scivola senz’attrito, alla velocità di
m/s2.50 , su di un binario orizzontale, mantenendo sempre un’inclinazione 60 . Le rotaie hanno resistenza trascurabile, e sono collegate da tre resistori come in figura, di valori 1 1.00R , 2 3.00R ed 3 6.00R . Il dispositivo è immerso in un campo
magnetico uniforme, perpendicolare al piano del circuito, d’intensità T| | 0.400B
.
Calcolare la differenza di potenziale ai capi della barretta e la corrente che scorre in 3R ,
sapendo che la resistenza della barretta vale 5.00BR . [R:433 mV(+in alto), 26.0 mA(dal basso in alto) ] Le due resistenze in serie possono essere sostituite dalla loro resistenza equivalente:
12 1 2 (1.00 3.00) 4.00R R R L’area ( )A t spazzata dalla barretta nel tempo t è un parallelogramma di base vt ed
altezza 0 032
sin 60h e pertanto vale:
032
( )A t vt
Scegliendo il versore normale che punta al lettore, il verso di percorrenza positivo è antiorario. Calcoliamo il flusso magnetico concatenato al circuito e la forza elettromotrice:
032
( ) | | ( )cos 0 | |t B A t B vt
0 03 32 2( ) | | | |
dt B vt B v
dt
fem
V V32(0.400 0.500 2.50) 0.433
Il valore negativo indica che la corrente prodotta da questa fem ha verso orario per il lettore. Il circuito equivale ad un generatore e tre resistenze disposte come in figura, e che sono il parallelo di 12R ed 3R , posto in serie ad BR . Calcoliamo dapprima la corrente in
BR , che è la stessa che scorre nella resistenza equivalente al circuito:
12 3
12 3
4.00 6.005.00 7.40
4.00 6.00E B
R RR R
R R
A A0.4330.0585
7.40BE
IR
f
Questa corrente entra nel partitore di corrente formato dal parallelo di 12R ed 3R , e si
separa in due correnti 12 3 BI I I inversamente proporzionali alle resistenze. Quindi:
3 12
12 3
I R
I R
Ricavando 12 3BI I I ed inserendo:
12 123 12 3
3 3
( )B
R RI I I I
R R 12 12
33 3
(1 ) B
R RI I
R R
A A mA123
3 12
4.000.0585 0.0260 26.0
5.00 4.00B
RI I
R R
Il segno meno in questo caso indica che la corrente rispetto alla figura è dal basso verso l’alto.
B
2R
v01R 3R
B
vt
012R 3R
12R
BR
f
3R
28
42. Una barretta metallica di lunghezza cm75.0 , e massa g250m scivola senz’attrito su di un binario orizzontale, tirata verso destra da una forza costante d’intensità N| | 3.00F
, muovendosi di moto uniformemente accelerato nel verso della
forza. Le rotaie hanno resistenza trascurabile, e sono collegate fra loro da un condensatore di capacità a tre resistori come in figura, di valori mF800C . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico uniforme, perpendicolare al piano del circuito, d’intensità
T| | 0.900B
. Calcolare l’accelerazione della barretta. Spiegare in cosa si trasforma il
lavoro della forza F
. [R: 24.88 m/s , barra CK e U ] Come sappiamo dalla definizione di capacità, la carica sul condensatore è legata in ogni istante alla differenza di potenziale ( )CV t fra le sue armature dalla relazione:
( ) ( )CQ t C V t E quindi sostituendo nella definizione di corrente ( )I Q t e osservando che, nella derivata rispetto al tempo, C è solo una costante moltiplicativa:
( ) ( )CI Q t CV t In base alla legge di Ohm, la differenza di potenziale fra le armature del condensatore è uguale alla forza elettromotrice indotta dovuta al moto della barretta. La forza elettromotrice cinetica vale: | | | | ( ) ( )CB v t V t fem
Ricordando ora che l’accelerazione è la derivata della velocità, abbiamo: ( ) | | | |CI CV t C B v C B a
Per calcolare il modulo della forza magnetica ci occorre solo il modulo della corrente: 2 2| | | || || | sin 90 ( | | )( | | 1) | |MF I L B C B a B C B a
Possiamo infine ricavare l’accelerazione sostituendo | |MF
nella seconda legge della dinamica:
| | | |MF F ma
2 2( | | ) | |a C B F ma
m/s m/s2 22 2 2 2
| | 3.004.88
| | 0.250 0.800 0.900 0.750
Fa
m C B
Il lavoro della forza viene convertito in energia cinetica della barretta ed energia potenziale elettrostatica accumulata nel condensatore. 43. In un campo magnetico verticale uniforme, d’intensità T| | 0.300B
, avanza con
velocità costante m/s| | 1.20v lungo un piano orizzontale un anello metallico
semicircolare, di raggio cm25.0r . Calcolare la differenza di potenziale fra i capi A e C, stabilendo quale dei due è a potenziale maggiore. [R: 0.180 VC AV V ] La differenza di potenziale A CV V è uguale alla forza elettromotrice cinetica generata in una barretta conduttrice immaginaria, che unisce A con B. Sappiamo, infatti, che la barretta e la semicirconferenza tagliano lo stesso numero di linee di campo al secondo, perché si mantiene costante il flusso magnetico attraverso il conduttore chiuso formato dal semi-anello e dalla barretta. Così come lo stesso numero di linee al secondo è tagliato da un conduttore di qualunque forma che unisca A e B. La forza di Lorentz sugli elettroni della barretta è diretta verso A, dove si ha quindi un accumulo di carica negativa. Pertanto 0C AV V e inoltre:
V V| | | | | | | | 2 (0.300 1.20 2 0.250) 0.180C AV V B v AC B v R fem
F
B
C
B
v
A
C
L
F
B
v
e
29
44. Un quadrato di filo metallico di lato cm90.0HK , massa g75.0m e resistenza 4.00R , cade lungo un piano verticale, in una zona di campo magnetico orizzontale. Orientando le y come in figura, l’intensità del campo cresce procedendo verso il basso, seguendo la legge 0( )B y B y , con T/m0 0.800B . Rappresentare un circuito equivalente al dispositivo, e individuare il verso della corrente indotta e della forza magnetica complessiva. Mostrare che dopo una fase iniziale, l’accelerazione del circuito diviene nulla, ed esso cade ad una velocità limite, costante, di cui si chiede il valore. Calcolare la corrente indotta e la forza magnetica in questa situazione. [R: 2 2 4 2 4
0 0 0/ , | | / , / 7.00 m/s, 0.736 N, 1.42 AM LI B v R F B v R v Rmg B
] Durante la caduta, solo i lati HK ed MN tagliano le linee del campo. Solo essi pertanto generano due forze elettromotrici cinetiche, aventi lo stesso verso, cioè con il positivo a destra. Infatti, gli elettroni nel tratto HK ed MN hanno velocità in basso e quindi subiscono una forza di Lorentz verso sinistra. Il verso della corrente prodotta da questi due generatori contrastanti, si può dedurre prima di fare il calcolo, osservando che il flusso entrante nel piano del foglio aumenta man mano che il quadrato si sposta in basso. Occorre quindi una corrente indotta che produca un campo magnetico uscente dal foglio, cioè antioraria vista dal lettore. Questa deduzione trova conferma nel fatto che la forza elettromotrice indotta nel tratto MN è maggiore di quella indotta nel tratto HK. Infatti:
0| | | | ( )HK HB v HK B y v t f
0| | | | ( )MN MB v MN B y v t f
Scegliendo come positivo il verso della corrente che appare antiorario al lettore, si ha
0MN f perché tende a far scorrere la corrente in tale verso, e 0HK f . La forza elettromotrice complessivamente indotta nel quadrato è allora:
20 0 0 0| | | | ( )MN HK M H M M HB v HK B v y y B v y B v y y B v f f
Avendo sfruttato che nel nostro riferimento si ha M Hy y . Per la corrente si ha: 2
0MN HK B vI
R R
f f
La forza magnetica su HK è quindi diretta in basso (positiva nel nostro riferimento), quella su MN in alto (negativa). Su tratti HM e KN le due forze magnetiche sono uguali ed opposte, data la simmetria del campo in direzione orizzontale, e si annullano. Sommando i due contributi si ha:
2 2 40 0
0 0| | | | ( ) ( )HK MN H M H M
B v B vF F I B I B I B y y B
R R
Il segno meno indica che la forza magnetica risultante complessiva è diretta in basso. Scrivendo la seconda legge della dinamica abbiamo: | | | |HK MNF F mg ma
2 40B
v mg maR
Ragionando sull’equazione ottenuta si vede la velocità v , inizialmente nulla, aumenta in modo uniforme a causa della gravità, ma l’aumento è contrastato dalla forza magnetica, tanto maggiore quanto più grande è v . Non appena la velocità raggiunge quel valore per cui forza magnetica e forza di gravità sono uguali, l’accelerazione si annulla. Da quel momento la velocità resterà costante. Indichiamo con Lv , questo valore, detto velocità limite. Imponendo 0a si trova:
m/s m/s2 4 2 40
4.00 0.0750 9.817.00
0.800 0.900L
Rmgv
B
A cui corrisponde:
y v
H K
M N
x
HKf
I R
H K
M NMNf
eL
F
B
H K
v
M N
eL
F
v
HKF
B
H K
M N
MNF
I
I
30
N N2 40
2 40
| | | | (0.0750 9.81) 0.736HK MN
B RmgF F mg
R B
Cioè la forza magnetica diviene uguale alla gravità, nel caso limite, e per la corrente:
A A2
02 4 2 2 20 0
0.0750 9.811.42
0.800 0.900
B Rmg mgI
R B B
45. Una barretta di lunghezza m1.20 , di massa e resistenza trascurabili, scorre senz’attrito in un piano orizzontale, sopra a due rotaie conduttrici di resistenza trascurabile, collegate da un resistore 2.00R . La barretta è tirata da un filo ideale, che passa per la gola di una puleggia ed ha una massa pendente g150m agganciata all’altro estremo. Il dispositivo è immerso in un campo magnetico uniforme, verticale, d’intensità T| | 0.700B
. Ricavare la tensione del filo in funzione della velocità ( )v t della
barretta. Mostrare che, dopo una fase iniziale, l’accelerazione della barretta diviene nulla, e viene raggiunta una velocità limite Lv , costante, di cui si chiede il valore.
[R: 2 2| | | | ( )/ , 4.17 m/sT B v t R
] La barretta è tirata verso destra dalla tensione del filo T
e verso sinistra dalla forza
magnetica. Le intensità delle due forze sono uguali, essendo nulla la massa della barretta: | | | | 0 0 | | | |M x x MF T ma a T F
La forze elettromotrice cinetica generata dalla barretta, e la corrente nella resistenza sono:
| | ( )| | ( )
B v tB v t I
R R
ff
La forza magnetica (verso sinistra), e quindi la tensione (verso destra), valgono: 2 2| | ( ) | | ( )
| | | | | | | |M
B v t B v tF I B B T
R R
Per trovare l’accelerazione dobbiamo scrivere le equazioni della dinamica per la massa pendente: | |T mg ma
Ragionando sull’equazione ottenuta si vede la velocità v , inizialmente nulla, aumenta in modo uniforme a causa della gravità, ma l’aumento è contrastato dalla forza magnetica, tanto maggiore quanto più grande è v . Non appena la velocità raggiunge quel valore per cui forza magnetica e forza di gravità sono uguali, l’accelerazione si annulla. Da quel momento la velocità resterà costante. Indichiamo con Lv , questo valore, detto velocità limite. Imponendo 0a si trova:
2 2| |
| | 0 | | LB vT mg T mg mg
R
m/s m/s2 2 2 2
0.150 9.81 2.004.17
| | 0.700 1.20L
mgRv
B
46. Una barretta orizzontale HK ha resistenza trascurabile, lunghezza m1.30 , e massa g150m . Essa scorre senz’attrito lungo due rotaie conduttrici, verticali, AE e
CD, di resistenza trascurabile, collegate ai due estremi dalle resistenze 1 2.00R ,
2 3.00R come in figura. Il dispositivo è immerso in un campo magnetico orizzontale,
perpendicolare al piano del circuito, d’intensità T| | 0.800B
. Rappresentare il dispositivo con un circuito equivalente, e calcolare la velocità limite e la potenza dissipata quando la discesa avviene alla velocità limite. [R:1.77 m/s,2.81 W ] La fem cinetica indotta nella barretta alla velocità limite vale:
m
B
R
2R
1R
v
BH K
A C
E D
31
| | | |LB vf
Il dispositivo equivale ad un circuito come quello rappresentato qui a lato. Il polo positivo del generatore è dalla parte di K perché la forza di Lorentz sposta gli elettroni verso H. Le due resistenze sono fra loro in parallelo, quindi la corrente I nella barretta vale:
1 2
1 2
2.00 3.001.20
2.00 3.00E
R RR
R R
| | | |L
E E
B vI
R R
f
La velocità limite si raggiunge quando la forza magnetica sulla barretta | | | |MF I B
uguaglia la forza di gravità. Da questa condizione possiamo ricavare la corrente nella barretta:
2 2
| | | || | | | | |
| |L E
LE
B v mgRI B mg B mg v
R B
m/s m/s2 2 2 2
0.150 9.81 1.20| | 1.766
| | 0.800 1.30E
L
mgRv
B
Quindi possiamo ora calcolare la potenza dissipata dal circuito:
W W2 2 22 2 2 2| | | | 0.800 1.766 1.30
2.811.20
L
E E
B v
R R
f
P
47. Un rettangolo ACDE è fatto di un filo metallico, avente base cm75.0ED ,
altezza 23
AE , diviso da un collegamento FG in modo che /3EG . Il tratto di
filo ED ha resistenza 1.00R . Il dispositivo è immerso in un campo magnetico ( )B t
perpendicolare al piano del rettangolo, d’intensità uniforme, ma crescente nel tempo in ragione di mT/s50.0 . Ricavare la forza elettromotrice in ciascuna delle maglie FAEG e FGDC, disegnare il circuito equivalente e calcolare la corrente nei rami FAEG, FG, FCDG. [R:4.99 mA,6.07 mA,1.08 mA ] Scegliamo la normale verso il lettore, e quindi il verso di percorrenza positivo del circuito è in senso antiorario per chi legge. Il flusso 1 concatenato alle maglie AFGE e il flusso
2 concatenato alle maglie FCDG valgono rispettivamente: 21 2 2
1 3 3 9| ( )| cos180 | ( )| | ( )|EG AE B t B t B t
22 2 4
2 13 3 9| ( )| cos180 | ( )| | ( )| 2GD AE B t B t B t
Per il calcolo della forza elettromagnetica osserviamo che il dato del testo sulla velocità di variazione del campo magnetico equivale a:
mT/s T/s3| ( )|50.0 50.0 10
d B t
dt
Dalla legge di Faraday-Neumann:
V mV2 3
221 1 1 9
| ( )| 2 0.750 50.0 106.25
9
d B t
dt
fem
mV2 2 12 12.5 fem Il verso delle correnti in entrambe le maglie FAEG e FCDG dev’essere antiorario per il lettore, in quanto deve produrre un campo uscente dalla pagina, per compensare l’aumento del flusso magnetico entrante nella pagina. Pertanto il dispositivo equivale al circuito qui a lato raffigurato. Calcoliamo ora le resistenze di ciascun tratto. Se chiamiamo
2R
1R
H K
A C
E D
f
I
1R
2f
A C
E D
F
G
1f
2R
3R
A C
E D
F
G
( )B t
1I
A C
E D
F
G
2I
32
1R la resistenza dell’intero ramo FAEG, 2R la resistenza dell’intero ramo FCDG, ed 3R quella del ramo FG, si ha:
14
3R R , 2 2R R , 3
1
3R R
Indicando con 3I la corrente nel ramo FG, supponendola da F verso G, possiamo risolvere il circuito applicando i principi di Kirchhoff. Maglia FAEG percorsa in senso antiorario, cadute di potenziale:
1 1 1 3 3 0 (1)R I R I f Maglia FGDC percorsa in senso antiorario, cadute di potenziale:
3 3 2 2 2 0 (2)R I R I f Nodo F:
2 1 3 (3)I I I
Ricavando 3 2 1I I I dall’equazione (3) ed inserendola nella (2) e nella (1) si ha il sistema:
1 1 1 3 2 1
3 2 1 2 2 2
( ) 0
( ) 0
R I R I I
R I I R I
ff
1 1 3 3 2 1
3 1 2 2 3 2
( ) 0
( ) 0
I R R R I
R I I R R
ff
Sostituendo i valori delle resistenze: / / /
/ /
5 11 2 1 2 2 2 11 2 13 3
711 2 2 1 2 21 2 23 3
5 3 5(7 3 ) 3
7 3 7 3
I I R I R I RRI RI
I I R I I RRI RI
f f fff ff
)/ )// /
2 1 2 2 1 2
1 2 2 1 2 2
34 3( 5 3( 5 34
7 3 7 3
I R I R
I I R I I R
f f f ff f
)/ / mA mA/ mA mA
2 1 2
1 2 2
3( 5 34 [3(6.25 5 12.5) 34] 6.07
7 3 (7 6.07 3 12.5) 4.99
I R
I I R
f ff
mA mA3 2 1 (6.07 4.99) 1.08I I I
1R
2f
A C
E D
F
G
1f
2R
3R
1I2I
3I
