La successione di Fibonacci

Fibonacci numbers: F(n) = F(n-1) + F(n-2) with F(0) = 0 and F(1) = 1

Esistono alcune successioni in cui il termine an è calcolabile per mezzo dei termini precedenti a1, … , an-1; queste sono dette successioni definite per ricorrenza.

Tra queste la successione di Fibonacci la cui definizione matematica è:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811,

514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169

Definizione

In pratica si tratta di una successione di numeri in cui un numero è il risultato della somma dei due precedenti.

Proponiamo di seguito i primi numeri della successione

Biografia

Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192

del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia, più tardi chiamata Bougie,

e ora chiamata Bejaia. Bejaia è un porto sul Mediterraneo, nella parte nord-est dell'Algeria. La città giace alla foce del Wadi Soummam, vicino al Monte Gouraya e Capo Carbon.

A Bugia, Fibonacci imparò la matematica e viaggiò moltissimo con suo padre, riconoscendo gli enormi vantaggi dei sistemi matematici usati nei paesi che visitarono.

Il padre appunto, voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche,

che non erano ancora state introdotte in Europa. In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto,

Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni

L' origine della successione di FIBONACCI

L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli.

Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova

coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal

secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese; avremo che se partiamo con una singola coppia

dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente

avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in

questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.

Lo schema base sulla crescita della popolazione dei conigli

Fibonacci e il rapporto aureo il rapporto Fn / Fn-1, ossia tra un termine e il suo precedente, al tendere di n all'infinito tende al

numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea

Relazioni con il triangolo di Tartaglia

Consideriamo una proprietà interessante del triangolo di tartaglia di cui ricordiamo la struttura

Se si considerano le diagonali che da sinistra salgono verso destra nel triangolo di Tartaglia, e

se si sommano i numeri intercettati da tali diagonali, si individuano i numeri di Fibonacci.

Il prodotto di due numeri di Fibonacci separati da una posizione è pari al quadrato del numero di Fibonacci che si trova in mezzo ad essi diminuito o aumentato di un’unità:

F(n−1)F(n+1) = (Fn)2 + (−1)n

Tale proprietà è nota come Identità di Cassini, scoperta nel 1680 da Jean-Dominique Cassini.

ESEMPIO:

il quadrato del 5° numero di Fibonacci è 25, che differisce di +1 dal prodotto del 4° e del 6° numero che è 3*8=24

Un interessante proprietà della successione di Fibonacci

prendiamo un quadrato di lato 8 = F6 (o piu � in generale di lato Fn) e suddividiamolo in due triangoli rettangoli e in due trapezi rettangoli come indicato in figura (1.1).I due triangoli rettangoli

hanno cateti di lunghezza 8 e 3 = F4 (di lunghezza Fn e Fn−2) mentre i due trapezi rettangoli hanno

altezza 5 = F5 (cio è Fn−1) e basi di lunghezza 3 e 5. Sistemiamo ora i triangoli e i trapezi, accostandoli senza sovrapporli, in modo da ottenere un rettangolo di lato minore 5 e lato

maggiore 13. L’area di ciascun triangolo e trapezio non �e cambiata, per cui il quadrato e il rettangolo dovrebbero avere le stessa area, invece vale 82 = 64 (Fn)

2 per il quadrato e 13 · 5 = 65

(Fn−1*Fn+1) per il rettangolo!

La soluzione del paradosso consiste nel fatto che il trapezio e il triangolo rettangolo non sono disposti lungo la diagonale del rettangolo. In realtà fra i due triangoli rettangoli che formano il rettangolo c’è uno spazio vuoto

che è proprio l’unità mancante nell’area del quadrato.

Un paradosso che deriva da questa proprietà è:

Fibonacci oltre la matematicaLe falangi sono divisibili nella stessa unità di lunghezza (commensurabili)

in particolare questa unità è contenuta n volte nelle falangi dove n è un numero di fibonacci

Fibonacci e i frattaliUn frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo

stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento.

Riportiamo di seguito alcuni esempi di frattali

In natura molte cose sono strutturate in base ai numeri di Fibonacci: basta guardare con attenzione questo cavolo romanesco (Brassica Oleracea L. CV Brotytis Cimosa). I piccoli

bitorzoli che costituiscono una delle sue protuberanze sono disposti secondo linee a spirale: alcune mostrano una rotazione in senso orario, altre in senso antiorario. Ho

disegnato le spirali in senso orario in rosso, le altre in nero. Contandole, si scopre che le linee rosse sono 8, quelle nere 13: proprio due numeri consecutivi della successione di

Fibonacci!

Un esempio nella musica rock è il brano Firth of Fifth dei Genesis, è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, etc.

Béla Bartók (1881-1945) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica per Archi, Percussioni e Celesta) e Claude Debussy (1862-1918), il quale era particolarmente attratto dalla

successione di Fibonacci e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer (1905) e Cathédrale Engloutie.

Fibonacci e la musica

Sono stati molti i compositori che, nei secoli, hanno utilizzato la successione di Fibonacci nelle loro composizioni; dai compositori a cavallo tra il IX e il XX secolo fino a gruppi rock.

FINE