1

La zeta di Fibonacci

ing. Rosario Turco

La zeta di Fibonacci

La zeta di Fibonacci è definita come:

1

1( )

( )sk

F sFib k

(1)

Dove s=a+jb.

Zeta di Fibonacci nel campo reale

Poniamo b=0, per cui s = a. Iniziamo a vedere il comportamento della serie di seguito:

1

1( )

( )ak

F aFib k

(2)

Esaminiamo valori di a>=0. Con a=0,

la (2) è una somma di 1 quindi diverge

(asintoto). Se esaminiamo

con PARI/GP con valori a=1, a=2, a=-1, a=-2 ad esempio con suminf(i=1,1.0/(Fibonacci(i))

^

a) si ottengono i seguenti valori irrazionali:

F(1)=3,3598856662431

F(2)=2,4263207511672411

In particolare all aumentare di a,

F(a) converge verso il valore 2

(asintoto), ovvero è:

lim ( ) 2a

F a

Esaminiamo ora i valori di a<0:

La successione di Fibonacci ha innumerevoli applicazioni: dall elettotecnica, all economia (Teoria delle onde di Elliott), dalla matematica alla statistica (vedi successione di Vibonacci o di Viswanath), dalla natura terreste all universo.

Lautore in questo articolo inizia ad indagare, invece, sulla zeta di Fibonacci, innanzitutto nel campo reale, poi nel campo complesso.

La zeta di Fibonacci potrebbe portare utili indizi alla comprensione definitiva della RH?

2

F(-1) diverge

F(-2) > F(-1)

diverge

Così il comportamento in campo reale della (2) è che per Re(s)>0

converge, per Re(s)<=0

diverge.

Confronto con la zeta di Eulero

La zeta di Eulero, senza operare nessuna estensione del dominio, è

definita solo per valori positivi di Re(s)>0; in

particolare per la zeta di Eulero,

s=1 è

un asintoto, come anche asintoto è il valore (1). La zeta di Fibonacci,

invece, ha asintoti ad a=0 e

ad F(a)=2.

Numero armonico di Fibonacci

Adesso usiamo

s al posto di a, presupponendo s

=

a ma sapendo che le formule avranno

validità anche nel campo complesso.

Se della (2) consideriamo solo n elementi,

si ottiene allora il

numero armonico di Fibonacci:

1

1( )

( )

n

F sk

H sFib k

(3)

Serie alternante F (eta di Fibonacci)

Se la successione di Fibonacci è:

1,1,2,3,5,8,13,21,

Allora

è:

1 1 1 1 1 1 1( ) ...

1 1 2 3 5 8 13s s s s s s sF s

1 1 1 1 1 1 1( ) ...

1 1 2 3 5 8 13F s s s s s s ss

Più in generale la eta di Fibonacci è:

1 1

1 1

1( ) ( 1) ( 1) ( )

( )k k s

F sk k

s Fib kFib k

(4)

Se s=1,

allora la F(s)

è convergente verso il valore irrazionale 0.2891446485706715831123055096

ottenibile,

ad esempio,

già anche con

100 elementi (all aumentare degli elementi aumenta la precisione del valore ottenibile) con PARI/GP con l istruzione sum(i=1,100,((-1)^(i+1)*1.0)/(Fibonacci (i))).

Se volessimo sfruttare la solita tecnica (vedi [1]) per esprimere la serie alternante attraverso F(s): A-B+C-D = A+B+C+D

2(B + D) ci renderemmo conto che non otterremo una semplice e fluida

formula di F(s) attraverso F(s)

perché gli elementi da mettere in evidenza non portano a semplificazioni immediate.

Per cui al momento ci accontentiamo della definizione della (4).

3

Forma chiusa delle costanti

Le costanti irrazionali viste prima si possono esprimere in forma chiusa? Cè un legame con ? E difficile trovare uno sviluppo in serie di Taylor che possa comprendere valori di denominatori, che siano sia pari che dispari, per intraprendere una dimostrazione analoga a quella di Eulero per (2) (vedi [1]). E un dilemma interessante, vedremo nel prossimo paragrafo una possibile forma chiusa alternativa,

attraverso il

produttorio

di Fibonacci.

Produttorio

di Fibonacci

Se volessimo ottenere un espressione semplice ed analoga al produttorio di Eulero a partire dalla sommatoria

espressa in (1), la cosa apparentemente non è

fluida come nella zeta di Eulero;

il legame quindi con i numeri primi è

meno evidente,

però

esiste

e lo sappiamo dalla successione di Fibonacci.

Con un ragionamento analogo a quello della zeta di

Eulero, ma tenendo conto di avere a che fare qui con una

quantità di numeri primi minore rispetto ad essa

a parità di intervallo e

mettendo in evidenza l inverso dei numeri primi

disponibili nella successione di Fibonacci

(Fib nel produttorio) e scartando

i composti,

otteniamo che:

where Fib={1,1,2,3,5,8,13,21,...}

1

( )1( )

( )1

Fs

sk

p Fib

K sF s

Fib kp

(5)

Difatti nel caso della zeta di Fibonacci non possiamo prendere tutti i numeri primi fino all infinito in modo che rimanga 1 (vedi [1]), ma possiamo prendere solo i numeri primi disponibili della sequenza di Fibonacci. Per cui quello che rimane a destra non è 1, ma una espressione

fatta di frazioni i cui denominatori hanno esponente complesso s.

Se s=1, KF(1)

la definiamo come costante di Fibonacci ;

è un valore irrazionale:

KF(1)=0.8137065733851222067972544115

Se s=1 il valore della KF (1) è ottenibile considerando i numeri primi che si possono trovare in una lunghezza predefinita della successione di Fibonacci.

La (5) lega la zeta di Fibonacci al produttorio di Fibonacci . Anche qui è quindi possibile passare

da un problema additivo ad uno moltiplicativo, ma con qualche difficoltà in più.

In pratica è:

KF (1) ~ /2

(6)

Ovvero

KF(1) è leggermente superiore alla metà della sezione aurea

(vedi [2]).

Lerrore

è:

= KF (1) -

/2 = 0.004689579010174782694960994288

Questo risultato si ottiene già su

1000 termini considerati.

4

Per cui a questo punto siamo pronti ad una forma chiusa per F(1), ovvero è:

where Fib={1,1,3,5,8,13,21,...}

1

/ 2(1)

1p Fib

Fp

(7)

In APPENDICE un modo semplice per calcolare con un algoritmo il valore di KF(1).

Il logaritmo della zeta di Fibonacci

ed il Fiboriale

Sia F(s) la zeta di Fibonacci,

allora è:

( )ln ( )

ln( , dove Fib Fib kk

F sFib

s

(8)

Il simbolo Fib# è il Fiboriale ovvero il prodotto all infinito dei numeri di Fibonacci.

Dimostriamo la (8).

La (1) ad esempio la possiamo scrivere in altro modo:

( ) 1 1 2 3 5 8 ...

ln1 ln1 ln 2 ln3 ln5 ln8( ) ...

ln ( ) (ln1 ln1 ln 2 ln3 ln5 ln8 ...)

ln ( )ln ( ) ln( )

1

s s s s s sF s

s s s s s sF s e e e e e e

F s s

F sFib k Fib

s k

Sopra si è applicata la proprietà la somma dei logaritmi è il logaritmo del prodotto degli argomenti .

Spesso il Fiboriale lo si ritrova con altre rappresentazioni simboliche;

le più usate sono

Fib(k)# oppure (k!)F.

In altri termini è:

F

(k!) = ( ) ( )k

Fib k Fib ii

Il Fibonomiale

o binomiale di Fibonacci

Tenendo presente le solite regole dei coefficienti binomiali è:

( !)

( !) (( )!)F

F FF

kkj j k j

5

Generalizzazione della funzione Gamma

per diverse

sequenze

Se si vuole giungere ad una eventuale equazioni funzionale per la zeta di Fibonacci, allora occorre chiedersi prima come esprimere la funzione Gamma di Fibonacci .

E noto che la funzione Gamma (x)

è una estensione del fattoriale,

da un intero k ad

un numero reale x. La

funzione Gamma fu studiata da Eulero (vedi [1]) ed ha una notevole importanza nella Teoria dei Numeri e nello studio della zeta di Riemann.

Affronteremo l argomento della generalizzazione come in [3].

La

funzione fattoriale è basata su una semplice sequenza 1, 2, 3, , k

ma

è possibile generalizzarla

per

varie

tipologie di sequenze

[4].

Il problema, quindi, da affrontare è che data una sequenza gk

> 0, k

= 1, 2, , con

estensione di g(x) ai numeri reali, si è interessati ad una generalizzazione della funzione

gamma che

estenda il

'g-fattoriale'

ai numeri reali.

Ad

esempio (vedi [4]) si potrebbero

estendere sia il Fiboriale

che il Fibonomiale

ai numeri reali.

In generale sappiamo che (x) gode di alcune delle seguenti proprietà:

1.

(k

+ 1) = k!, k

0;

2.

(1) = 1, (x

+ 1) = x

(x) e

(x) è l unica soluzione di questa equazioni funzionale per

x

> 0;

3.

, x

0, -1, -2 (forma di Eulero);

4.

(Forma di Weierstrass) dove

è la costante

di Eulero-

Mascheroni

definita

da

1

1lim logk

ki

ki ;

5.

(proprietà di riflessione),

(proprietà di estensione) e

(1/2)2

= .

Da sopra si intuisce che occorre esaminare nel seguito sia la forma di Eulero che quella di Weierstrass.

Forma generalizzata di Eulero

Consideriamo una sequenza

gk > 0, k

> 0 e una estensione

g(x) > 0, x > 0 con la proprietà che:

g(k) = gk e

esiste e non è zero.

Dalla proprietà 3 precedente è:

,

1

( ) lim ( ) ( )

( ) ( )lim ( ) , g(x+i) 0,i=0,1,2,...

( ) ( )

g g kk

x k

ki

x g x x

g k g ix

g x g x i

(9)

Dove (x) è da

determinare.

6

Quindi

Per cui

Scegliendo (x) tale che

Per esempio:

Si ottiene

( 1) ( ) ( )g gx g x x

(10)

Prendendo g(1) = 1 allora

come desiderato.

Inoltre dalla (9)

è:

Così che

.

Con questa restrizione, (k) può essere esteso a

(x) oppure per avere g(x) con ulteriori

proprietà desiderate.

Usando la

(2), g(x), x > 0 soddisfa la relazione

Esempio A

Una semplice generalizzazione di

gk

=

k

è

gk

= ak

+ b

con

a, b

scelti tale che

gk

> 0, k

> 0. In tal caso:

7

Prendendo (x) = 1 si ottiene:

con

.

La Figura 1 illustra il caso del prodotto di numeri dispari.

Figura 1

(a) mostra g(x), una estensione del prodotto

ai numeri reali, per

a

= 2, b

= -1. (b) mostra il confronto

con la normale funzione Gamma

(x).

Esempio B

Per i numeri di Fibonacci

è:

dove

e

c

= 5, e quindi:

e

.

La

più semplice ed efficace estensione è:

Da cui

8

( 1) / 2

1

( ) limx k

x x k iF

kix x i

F Fx

F F

(11)

dove

F (k

+ 1) = (k!)F.

La Figura 2 mostra

F(x).

Figura 2

F(x), una

estensione del Fiboriale

ai numeri reali con la proprietà

che

F(k + 1) = (k!)F. (a) mostra I valori per

-2 x 1 (b) mostra valori per 0 x 5.

Forma generalizzata di Weierstrass

Usando

la (9) e assumendo che (x) e

g(x) siano differenziabili, allora è:

1

' ( ) '( ) '( ) '( )lim ln ( )

( ) ( ) ( ) ( )

kg

xig

x x g x g x ig k

x x g x g x i

(12)

Il che suggerisce una costante generalizzata di Eulero-Mascheroni:

1

'( )lim ln ( )

( )

k

gx

i

g ig k

g i

(13)

In tal modo

diventa la costante associata alla sequenza

gk

= k.

Quindi la forma generalizzata di Weierstrass

(vedi proprietà 4)

diventa:

'( )

( )

1

1 ( ) ( )exp

( ) ( ) ( )g

g ix

x g i

ig

g x g x ie

x x g i

(14)

Mentre la formula di riflessione generalizzata

diventa:

9

2

1

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )g gi

x x g ix x

g x g x g x i g x i

(15)

E poichè

g(1 -

x) = g(-x) g(-x),

2

1

( ) ( ) ( )( ) (1 )

( ) ( ) ( )g gi

x x g ix x

g x g x i g x i

(16)

2 2

1

1 1( ) ( )1 ( )2 21 12 (1 2) ( ) ( )2 2

gi

g i

g g i g i

(17)

Esempio A

Per

gk

= ak

+ b

come prima, la forma di Weierstrass è:

Dove

( 0

è la funzione digamma), e la

(17) da:

Lequazione funzionale g(x

+ 1) = (ax

+ b) g(x) allora diventa

10

Esempio B

Per i

numeri di Fibonacci

la

forma di Weierstrass è:

(18)

dove

F = 0.6676539532 , e

la (17) da

Poichè

per I intero,

Abbiamo che:

Alternativamente, potrebbe essere considerate

una forma chiusa per la costante del Fiboriale (Sloane's A062073

[4])

(Se rimpiazziamo F(1/2) con

g(1/2) dove

e

, c

s, il risultato precedente può fornire

una forma chiusa per il

prodotto infinito dove

> 1. Questo prodotto è legato alle funzioni partizioni e

le

q-serie)

Altre sequenze e generalizzazioni

Funzioni Gamma generalizzata

possono essere trovate anche per sequenze come:

,

and

etc (con restrizioni adatte sulle costanti

ci, ri

per garantire che

l(x) esista). La

costante generalizzata di Eulero-Mascheroni può

anche essere usata

per

introdurre

sequenze

ben note. Se

allora

(A constante) tale che:

Per esempio,

, z

> 0 da

con

, la zeta di Riemann.

11

può essere esteso ai numeri reali usando:

La funzione Beta

può anche essere generalizzata

a:

La derivata logaritmica, vista precedentemente, generalizza la funzione digamma

con

.

Quindi:

g(x

+ i) 0, i

= 0, 1, 2, , usando

la forma di Weierstrass.

Essa soddisfa anche altre

relazioni:

Considerando

,

dove

è

il k-mo numero armonico,

il numero 'g-armonico'

può essere definito come

.

In modo analogo, assumendo che g(x) è differenziabile, anche le proprietà della funzione

poligamma

possono essere considerate.

Ad esempio:

mentre

12

Così una 'g-zeta'

può essere definita

come

con k>1

Quando

g(i) = ai + b

esso dà

Che è estendibile ai reali, diventando la zeta di

Hurwitz:

Per la zeta di Fibonacci quindi prenderemo in considerazione la (11) o la (18).

13

APPENDICE SOFTWARE (PARI/GP)

KF(num)=local(F=0,P=1,i=1); {

F = sum(i=1, num, 1.0/fibonacci(i));

num=num+1;

while( i != num,

a = fibonacci(i);

b = 1.0/a;

if(isprime(a) == 1,

P = P * (1-b);

);

i=i+1;

);

return(F * P);

}

Riferimenti

[1] Sulle spalle dei giganti

-

Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di

Maria, Francesco Di Noto, Annarita Tulumello

[2]

Cè solo un acca tra pi e phi -

Rosario Turco, Maria Colonnese

[3] Gamma and related functions generalized for sequences -R. L. Ollerton

[4] Ward, M. (1936), un calcolo di sequenze. American Journal of Mathematics 58: 2, pp. 255-266.

[5] Sloane, NJA (2006) On-Line Encyclopedia of Integer Sequences -

Disponibile online all'indirizzo: www.research.att.com/ ~ njas / sequenze /

(accessed 23 giugno 2005)

[6] Andrews, GE, Askey, R. Ranjan, R. (1999) Funzioni speciali. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71 , Cambridge University Press, Cambridge

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