“Da tempo immemorabile l'infinito ha suscitato le passioni

umane più di ogni altra questione. E' difficile trovare un'idea che abbia stimolato la

mente in modo altrettanto fruttuoso, tuttavia nessun altro

concetto ha più bisogno di chiarificazione"

(D. Hilbert). 

Il concetto di infinito ha ispirato teorie diverse tra i matematici di tutte le epoche e li ha costretti a

costruire ragionamenti che portavano a conclusioni talvolta

contrastanti con proprietà chiaramente intuitive;

tali ragionamenti o tesi vengono per questo motivo chiamati

paradossi.

IL PARADOSSO DI ZENONE

ACHILLE E LA TARTARUGA

Achille deve fare una gara di velocità con una tartaruga, ma, poichè è nettamente più veloce,

decide di darle un po' di vantaggio. Achille impiegherà un po' di tempo per raggiungere il punto da dove è partita la tartaruga, che nel frattempo avrà percorso un tratto di strada;

Achille raggiungerà allora il punto dove è arrivata la tartaruga, ma essa avrà di nuovo fatto un altro

tratto di strada. Quindi, dato che questo ragionamento si può ripetere all'infinito, Achille

non raggiungerà mai la tartaruga...

Ma c'è qualcosa di sbagliato nel ragionamento svolto...

Il ragionamento di Zenone

Achille non raggiunge la tartaruga.

Supponiamo che la velocità di Achille sia di 10 m/s e quella della tartaruga sia di 1 m/s . In 1/10 di secondo Achille raggiunge il punto in cui si trovava inizialmente la tartaruga: ma intanto essa si è mossa ed ha percorso uno spazio uguale ad 1/10 (in metri). Per raggiungere la nuova posizione della tartaruga, Achille dovrà impiegare un altro tempo, uguale a 1/10*1/10=0.01quindi, in tutto, avrà impiegato un tempot2=1/10+1/100=0.11 (in secondi).

Ma Achille non ha ancora raggiunto la tartaruga, perché nel tempo di 1/10 di secondo essa ha percorso 1/100 di metro. Achille arriverà a questa nuova posizione, ma impiegherà 1/1000 di secondo, e quindi un tempo complessivot3=1/10+1/100+1/1000=0.111 e così si

procede all'infinito.

Ciò che accade nella realtà

Achille raggiunge la tartaruga (e la supera...)..

Indichiamo con t il tempo necessario ad

Achille per raggiungere la tartaruga; lo spazio

percorso da Achille, dato da 10t, deve

risultare uguale alla somma del vantaggio

iniziale della tartaruga con lo spazio che essa

percorre.

Si ottiene così l’equazione :

10t=1+t

che sappiamo risolvere senza difficoltà :

10t-t=1 cioè 9t=1

e, infine, t=1/9 (in secondi).

L'errore nel paradosso di Zenone consiste nell'idea che

la somma di un numero infinito di intervalli finiti

di spazio e di tempo debba essere infinita.

In Achille e la tartaruga si tratta di sommare

una serie infinita di quantità sempre più piccole

ARISTOTELE

    L'infinito non è un Assoluto: è qualcosa che per la sua illimitatezza non può essere concepito

dal nostro pensiero nella sua totalità; esiste solo l’infinito potenziale

infinito in atto , entità infinita concepita nella sua interezza infinito potenziale , qualcosa che è sempre accrescibile, a cui ci si va avvicinando indefinitamente; in questa accezione si può pensare ad un processo infinito, ma non ad oggetti infiniti

per Aristotele dire che i numeri sono infiniti significa solo che,

qualunque numero si pensi, se ne può trovare uno maggiore,

ma solo i singoli numeri finiti sono pensabili, anche se non ne esiste  " il più grande".

    Aristotele respinge completamente la possibilità che l'infinito in atto possa essere utilizzato in matematica

"L'infinito  non è ciò al di fuori di cui non c'è nulla, ma ciò al di fuori di cui c' è sempre qualcosa".

Per duemila anni,

l'idea dominante

nel pensiero occidentale

sarà l'idea aristotelica

di un infinito potenziale

“1600”

E’ il secolo dell’analisi infinita (detta

analisi infinitesimale), cioè del calcolo di grandezze infinitamente

grandi ed infinitamente

piccole.

Leibniz e Newton introducono

l´infinitesimale nella definizione di derivata, come limite,

e l´infinito, in quella dell´integrale, come somma continua.

G Leibniz I. Newton

La fama di Leibniz come matematico è legata soprattutto alla prima sistemazione organica del «calcolo infinitesimale». Di essa egli diede notizia in due articoli pubblicati negli Acta Eruditorum .

I documenti storici sembrano far capire che entrambi giunsero indipendentemente alla stessa scoperta (formulata solo in termini differenti)!

Tale pubblicazione diede origine ad una violenta polemica a distanza con Isaac Newton, il quale rivendicò la priorità della scoperta e giunse praticamente ad accusare Leibniz di plagio.

In Newton l’invenzione fu dettata da preoccupazioni essenzialmente tecniche, in Leibniz essa scaturì da considerazioni di carattere filosofico.

Con Cauchy (1789 – 1857)

il calcolo infinitesimale trova la sua sistemazione poggiandosi sulla definizione di limite di una funzione.

Egli formulò una definizione, relativamente precisa, di limite:

"Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri". .

Cauchy

“1800”

L’ottocento è il secolo della revisione logica e rigorosa di quanto detto in precedenza.

Il matematico Weierstrass formalizza,con il concetto di limite, il fatto che:

una serie infinita di termini può “tendere” a un numero finito.

L’ultima parola nell’opera di consolidamento delle fondamenta dell’analisi matematica la scrissero il matematico tedesco Karl Weierstrass (1815 -1897) e i suoi allievi.

Su queste fondamenta , Weierstrass costruì l’edificio dell’analisi matematica che resiste ancora ai nostri giorni.

Weierstrass

GRANDE RIVOLUZIONE NEL MONDO MATEMATICO

CANTOR e DEDEKIND

TEORIA DEGLI INSIEMI

G. Cantor L’ infinito attuale viene concepito R. Dedekind

come una grandezza sui generis e quindi definibile chiaramente.

Un insieme è infinito quando è in corrispondenza biunivoca

con una sua parte propria.

L'insieme N dei numeri interi, ad esempio, è infinito. Infatti è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme N di tutti i numeri interi e l'insieme P dei numeri interi pari, che è certamente una parte propria di N ;

Questo infinito viene detto numerabile e indicato

con il simbolo ;

Cantor dimostra che l'infinito numerabile non è l'unico infinito; il secondo, quello di R, viene

chiamato continuo.

Il dibattito sul ruolo dell'infinito nella

matematica non può dirsi concluso ….

l'ambito della verità è più ampio

di quello del sapere deduttivo

Leibniz fonda il suo calcolo sugli infinitesimi.

Una concezione attuale

Una concezione potenziale

gli infinitesimi sono enti matematici effettivi

gli infinitesimi esprimono semplicemente un avvicinamento infinito allo zero

Sembra oscillare tra

Qual è il coefficiente angolare della retta tangente in un punto di ascissa x1 ad una curva

y = f(x) ?

Qual è l'area del trapezoide delimitato dai due assi, dalla retta

x = x' e dalla curva y = f(x)?

Il problema della tangente venne risolto con quello che Leibniz chiamò «calcolo differenziale».

Esso permette di ricavare dalla funzione data una funzione dy/dx , «rapporto differenziale»

La d è un operatore che indica il «differenziale» ovvero l'«incremento infinitesimo» delle variabili.

Tale funzione esprime dunque il

coefficiente angolare della retta tangente

al punto di ascissa x1 della funzione originaria.

rapporto differenziale y'

differenziare

derivata

derivare

TERMINI USATI DA LEIBNIZ TERMINI MODERNI

PROBLEMA DELL'AREA

Il procedimento introdotto venne chiamato da Leibniz «calcolo integrale».

Esso permette di ricavare dalla funzione data f(x) una funzione ∫ f(x) dx , «integrale»

Il simbolo ∫ rappresenta la somma degli infiniti prodotti degli infinitesimi incrementi dell'ascissa per le ordinate corrispondenti.

La scoperta forse più importante di Leibniz

I due problemi considerati sono strettamente legati

Questo venne chiamato il «teorema fondamentale del calcolo integrale”.

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differenziazione e integrazione sono operazioni inverse