ALLINEATI e COMPATTI

verso l'INFINITO

Le Pierangiolate n.3Le Pierangiolate n.3

Dipartimento di Ingegneria della Informazione e Scienze Matematiche

Luca Chiantini presenta

PROBLEMA

r

sA'

CBA

C'B'

Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s.

Analogamente, sia M il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N il punto d'incontro delle rette BC' e B'C.

Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B.

L

Il triangolo LMN:1) è sempre rettangolo,2) è sempre equilatero,3) ha sempre area 0,4) non è mai isoscele.

M

N

cioè i 3 punti sono sempre allineati

VA DIMOSTRATO!!

Siano r,s due rette parallele.

TEOREMA di PAPPO

Scegliamo 3 punti A,B,C su r e 3 punti A',B',C' su s. Sia L il punto di incontro delle rette AB' e A'B. e analogamente, sia M il punto di incontro delle rette AC' e A'C e sia N il punto d'incontro delle rette BC' e B'C.Allora i 3 punti L, M, N sono sempre allineati.

Siano r,s due rette paralelle.

Pappo di AlessandriaDa Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Pappo fu uno dei più importanti matematici del periodo tardo ellenistico.

Della sua vita si conosce ben poco e anche le date della sua nascita e della sua morte sono assai incerte. Sembra accertata solo la data del 320, anno intorno al quale egli ha scritto un commento all'Almagesto di Tolomeo. Si ritiene inoltre che fosse un insegnante. Le sue opere sono in gran parte andate perdute; l'unica pervenutaci è quella intitolata Synagoge, nota anche come Collectiones mathematicae.

TEOREMA di PAPPO

r

s

CBA

L

M

N

A' C'B'

dimostrazione

y = 0

y = 1

(a,0)

(c',1)(b',1)

(c,0)(b,0)

(a',1)

retta AB'x - a

y = b' - a

retta A'B y = a' - b

x - b{

aa' - bb'

a - b + a'- b'

a - bL =

a - b + a'- b',( )

analogamente ...

aa' - cc'

a - c + a'- c'

a - cM =

a - c + a'- c',( )

cc' - bb'

c - b + c'- b'

c - bN =

c - b + c'- b',( )

allineamento di tre punti

TEOREMA di PAPPO

r

s

CBA

L

M

N

A' C'B'

dimostrazione

y = 0

y = 1

(a,0)

(c',1)(b',1)

(c,0)(b,0)

(a',1)

aa' - bb'

a - b + a'- b'

a - bL =

a - b + a'- b',( )

aa' - cc'

a - c + a'- c'

a - cM =

a - c + a'- c',( )

cc' - bb'

c - b + c'- b'

c - bN =

c - b + c'- b',( )

allineamento di tre punti

aa' - bb' a - b + a'- b'

aa' - cc' a - c + a'- c'a - c

cc' - bb' c - b + c'- b'c - b

a - b

si calcola il determinante di

( )viene 0

TEOREMA di PAPPO

r

s

BA

A'B'

(2,0)

(6,1)

(5,0)

(9,1)

aa' - bb'

a - b + a' - b' = 2 - 5 + 9 - 6 = 0

a - bL =

a - b + a'- b',( )

aa' - cc'

a - c + a'- c'

a - cM =

a - c + a'- c',( )

cc' - bb'

c - b + c'- b'

c - bN =

c - b + c'- b',( )

dimostrato!

Tutto sistemato.O FORSE NO?

cosa succede se questodenominatore si annulla?

IL PUNTO L SPARISCE!

caso concreto:

a - b + a'- b'

le due rette sembrano parallele

TEOREMA di PAPPO

r

s

BA

A'B'

(a,0)

(b',1)

(b,0)

(a',1)

aa' - bb'

quando a - b + a' - b' = 0

a - bL =

a - b + a'- b',( )cosa succede se questo

denominatore si annulla? a - b + a'- b'

retta AB' x - y = b' - a

retta A'B

1b' - a

a

x - y = a' - b

1a' - b

b

cioè b' - a = a' - b

hanno lo stesso coefficiente angolare

C' (c',1)

C (c,0)

M

N

la retta MN è parallela alle precedenti(VERIFICARE!)

le due rette sono parallele

il punto L sparisce perchè le due rette diventano parallele

TEOREMA di PAPPO

r

s

BA

A'B'

(a,0)

(b',1)

(b,0)

(a',1)

aa' - bb'

quando a - b + a' - b' = 0

a - bL =

a - b + a'- b',( )cosa succede se questo

denominatore si annulla? a - b + a'- b'

cioè b' - a = a' - b

C' (c',1)

C (c,0)

M

N

la retta MN è parallela alle precedenti

il punto L sparisce perchè le due rette diventano parallele

due rette parallele si incontrano in unpunto all'infinito ...

va all'infinito

la retta MN passa ancora per il punto L!

ancora vale!

TEOREMA di PAPPO

aa' - bb' a - bL =

a - b + a'- b',( )

aa' - cc'

a - c + a'- c'

a - cM =

a - c + a'- c',( )

cc' - bb'

c - b + c'- b'

c - bN =

c - b + c'- b',( )

cosa succede se DUEdenominatori si annullano?

a - b + a'- b'

a - b + a'- b' = 0

a - c + a'- c' = 0

sottraggo la seconda dalla prima c - b + c'- b' = 0

anche il terzo denominatore si annulla:

se due dei punti L,M,N "vanno all'infinito", anche il terzo "va all'infinito"

A

C'B' A'

C B

ABA'B' è un parallelogramma

CBC'B' è un parallelogramma

CAC'A' è un parallelogramma

XX

O

O

?

INTERSEZIONE E RETTE PARALLELE

r1

P1

r4

r3

r2

P5

P4

P3

P2

r5

r6

P6

non c'è, sul pianoè andato "all'infinito"

talvolta i punti di intersezione si "volatilizzano"

non c'è una "legge di conservazione dell'intersezione"

o forse di qua?

lassù

Il piano non è un ambiente compatto:

ci sono successioni di punti i cui limitisembrano uscire fuori dall'ambiente

ambiente compatto ogni successione ha una sottosuccessione che ha limite

0 1 0 1

intervallo aperto intervallo chiuso

non compatto compatto

retta reale (non compatta)

anche una sfera è compattauna circonferenza è compatta

negli ambienti compatti è possibile fare “ragionamenti al limite”

) ][(

che bello sarebbe poterli vedere questi punti all'infinito ...

Pappo, Pappo ...

ci penso io!

ECCOLO!il punto all'infinito

APPLAUSI

orizzonte

ma chi sarebbe questo tizio?

Piero della Francesca(Sansepolcro, 1416 circa – Sansepolcro, 12 ottobre 1492) pittore e matematico.

Tra le personalità più emblematiche del Rinascimento, le sue opere sono mirabilmente sospese tra arte, geometria. La sua attività può senz'altro essere caratterizzata come un processo che va dalla pratica pittorica, alla matematica e alla speculazione matematica astratta.

Il De prospectiva pingendi ("Della prospettiva del dipingere") è un trattato sulla prospettiva scritto da Piero. La datazione dell'opera è incerta e in ogni caso legata alla tarda maturità dell'autore, tra gli anni sessanta e ottanta del Quattrocento, entro il 1482. Il manoscritto originale, ricco di illustrazioni, è alla Biblioteca Ambrosiana di Milano.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Piero della Francesca è stato un precursore della Geometria Prospettica, oggi detta Geometria Proiettiva.Nella Geometria Proiettiva, una retta (quella dell'orizzonte) funziona come se sitrovasse “all'infinito”, per cui due rette parallele si incontrano in un punto della linea d'orizzonte.

orizzonte

visione dall'alto visione prospettica

Nel trattato di Piero della Francesca si spiega come le costruzioni geometriche delpiano normale si possono ripetere nel piano proiettivo, con la retta dell'orizzonte.

A

C'B' A'

C B

TEOREMA di PAPPO

orizzonte

A

C'

B' A'

C B

L M N

L, M, N sono ancora allineati!

? funziona

TEOREMA di PAPPO

orizzonte

A

C'

B' A'

C B

L M N

L, M, N sono ancora allineati!

funziona

Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamocompattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite. Se guardo

l'orizzonte del mare, però, più che una retta, mi sembra un cerchio ...

... ma è un cerchio di raggio infinito, quindi è come una retta.

LO SPEDALE DI S. MARIA DELLA SCALA

LO SPEDALE DI S. MARIA DELLA SCALA

Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamocompattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite.

è l'unica compattificazione possibile del piano? NO!

Oppure si può introdurre un UNICO punto all'infinito che vada bene per tutto(compattificazione di Alexandrov)

Ad esempio, si possono mandare all'infinito la x e la y separatamente.

sfera

Con l'introduzione dei punti della retta dell'orizzonte, i “punti all'infinito”, abbiamocompattificato il piano, e possiamo seguire i ragionamenti geometrici, con il procedimento del passaggio al limite.

punto all'infinito

PadreEterno

e quaggiù che c'è?

diavolo

o qua?

e qua?

SFERA: compattificazione di Alexandrov del piano

tutto tornerebbe meglio ...

un momento! Non correte troppo ...

... e le coordinate?

Renato Cartesio (Renè Descartes)

Nacque il 31 marzo 1596 a La Haye nella Touraine, da famiglia della nobiltà di toga. Fu educato nel collegio dei gesuiti a La Flèche. In seguito Cartesio poté viaggiare per tutta l'Europa, dedicandosi agli studi di matematica e di fisica. Nel 1628 si stabilì in Olanda per godervi di quella libertà filosofica e religiosa che era propria del paese.

La condanna di Galilei del 22 giugno 1633 lo sconsigliò dal pubblicare un'opera, nella quale egli sosteneva la dottrina copernicana. In seguito pensò di divulgare almeno alcuni risultati che aveva raggiunti; e così nacquero i tre saggi la Diottrica, le Meteore e la Geometria ai quali premise una prefazione intitolata Discorso del metodo, e che pubblicò a Leyda nel 1637.

INel 1649 egli cedette ai ripetuti inviti della regina Cristina di Svezia di andare a stabilirsi presso la sua corte. Nell'ottobre egli giungeva a Stoccolma; ma nel rigido inverno nordico si ammalò di polmonite e l'11 febbraio 1650 moriva.

Enciclopedia Multimediale delle Scienze Filosofiche

un momento! Non correte troppo ...

... e le coordinate?Come mettere coordinate ai punti all'infinito?

r

s

BA

A'B'

(a,0)

(b',1)

(b,0)

(a',1) C' (c',1)

C (c,0)

M

N

aa' - bb' a - bL =

a - b + a'- b',(se questo denominatore si

annulla, L va all'infinito. a - b + a'- b' )Anche se va all'infinito, il punto L può essere visualizzato nel piano proiettivo. Ma non possiamo dargli coordinate, perchè non si può dividere per zero.

Già: ma perchè non si può dividere per zero?

Una volta, 3 meno 5 non si poteva fare.

Poi hanno inventato i numeri negativi, e ora si può fare.

Una volta, 2 diviso 7 non si poteva fare.

Poi hanno inventato le frazioni, e ora si può fare.

Una volta, certi segmenti non si potevano misurare.

Poi hanno inventato i numeri reali, e ora tutti i segmenti possono essere misurati.

Una volta, la radice quadrata di -1 non si poteva fare.

Ma hanno inventato i numeri complessi, e ora si può fare.

Mettiamo una buona volta1/0 = ∞ , e non se ne parla più!

Allora: perchè non si può dividere per zero?

vogliamo 1/0

∞ si comporta male, come numero. In particolare, non si integra bene con le operazioni e la legge distributiva.

1= ∞

0 ∞ • 0 = 1

∞ • 0 + ∞ • 0 = ∞ • (0 + 0) = ∞ • 0 = 11 + 1 =

Allora: perchè non si può dividere per zero?

Dovendo necessariamente scegliere, preferiamo tenerci la legge distributivae buttiamo via ∞ dagli insiemi numerici.

Va bene.Ma allora, queste coordinate?

distributiva

2 =

Coordinate proiettive

(Schulpforta, 17 novembre 1790 – Lipsia, 26 settembre 1868) è stato un matematico e astronomo tedesco. Era discendente di Martin Lutero per parte di madre. Si iscrisse all'Università di Lipsia, all'inizio seguendo i corsi di legge secondo i desideri della famiglia, poi seguendo la sua inclinazione, frequentando corsi di matematica, astronomia e fisica. Nel 1813 si trasferì a Gottinga per studiare astronomia con Gauss nel suo osservatorio. Nel 1816 divenne, molto giovane, professore straordinario su una cattedra di astronomia e meccanica superiore all'Università di Lipsia. Möbius fu il primo matematico ad introdurre le coordinate omogenee in geometria proiettiva.

August Ferdinand Möbius

Coordinate proiettive

7

4

0 1

(7,4)(1,1)

1

... (1,0)

1

0

punto all'infinitoPROBLEMI.

1) Ogni punto della retta proiettiva ha due coordinate.

2) Poiché 7/4 = 14/8, i punti (7,4) e (14,8) coincidono. Più in generale, tutti i punti della forma (7k, 4k) coincidono.

3) Poiché (-1,0) = -(1,0), il punto all'infinito dalla parte negativa coincide con quello della parte positiva.

punto all'infinito

e sul piano?

P = ( , 1 )5

2 = ( , )

5

2

2

2= ( 5, 2, 2 )

equazione della retta y= mx + q y

z

x

z= m + q

y = mx + qz

punti all'infinito z = 0

Ex. Punto all'infinito della retta y= 3x + 6z

pongo z = 0 ottengo y = 3x cioè il punto (x, 3x, 0) = x ( 1, 3, 0)

y = 2x + 2z

y = 2x + z

rette parallele { z = 0

y = 2x

{ punto all'infinitox (1, 2, 0)

intersezione

è una retta!!!OK

equazione della retta proiettiva

TEOREMA di PAPPO dimostrazione

aa' - bb'

a - b + a'- b'

a - bL =

a - b + a'- b',( )

aa' - cc'

a - c + a'- c'

a - cM =

a - c + a'- c',( )

cc' - bb'

c - b + c'- b'

c - bN =

c - b + c'- b',( )

allineamento di tre puntinel piano proiettivo

aa' - bb' a - b + a'- b'

aa' - cc' a - c + a'- c'a - c

cc' - bb' c - b + c'- b'c - b

a - b

si calcola il determinante di

( ) viene 0

= (aa' - bb', a - b, a - b + a' - b')

= (cc' - bb', c - b, c - b + c' - b')

= (aa' - cc', a - c, a - c + a' - c')

punti allineati

dimostrazione valida anche per rette parallele

r

s

A'

C

B

A

C'

B'

L

M

N

TEOREMA di PAPPO

vale qualunque siano le rette di partenza

A'B

A

C'B' C

punti generici

punti su conica

Pappo non vale

Pappo vale

cosa hanno in comune?

equazione di secondo gradoAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

y = mx + q

y = m'x + q'(y - mx - q)(y - m'x - q') = 0

ancora un'equazione di secondo grado

unione

coniche

orizzonte

iperbole

parabola

ellisse

xy = 1

xy = 0

xy =

xy =1

2

1

10

insieme di tutte le coniche

coppia di rette

coppia di rette

non è compatto

sta nella compattifi-cazione

iperbole

Il Teorema di Pappo vale quando i 6 punti stanno su una conica, comprese le coniche spezzate in due rette, che stanno nel bordo della compattificazione

fine della storia? MAGARI!

in realtà siamo solo a metà strada

cosa succede al teorema di Pappo, quando due punti vanno a coincidere?

punti su conica

A

B'

A'

C'

C

B

per esempio quando B' va a coincidere con A?

che fine fa la retta AB'?

= B'retta tangente

Pappo vale

ma ho barato!

0

0

un numero tale che, moltiplicato per 0, mi dà 0

MA TUTTI I NUMERI, moltiplicati per 0, DANNO 0!!!

0

0è una FORMA INDETERMINATA

mancano i dati sufficienti per una risoluzione del problema

e la sostanza cambia!

A = B'x - a

y = b' - aretta AB'

il coefficiente angolare viene

Quando due dei sei punti coincidono, ce la possiamo cavare specificando che devono stare su una conica

Ma quando 3 o più punti coincidono, anche la conica diventa indeterminata, e stavolta mancano dati per davvero

ABBIAMO COMPATTIFICATO TROPPO!

Stavolta il problema consiste nel DECOMPATTIFICARE il problema, per poi RICOMPATTIFICARLO in maniera meno stretta.

caso super-limite

A = B = C = A' = B' = C'

???

pensate che capire come descrivere le collisioni di puntisia un aspetto marginale della Matematica?

I Fisici studiano cosa avviene nella collisione di atomi, per capire la strutttura della materia

Gli esseri viventi come noi originano dalla collisione di due frammenti di DNA

Ma tutto l'Universo nasce da una grande decompattificazione di un punto: il Big Bang

Italo Calvino - Le Cosmicomiche“Tutto in un punto”

Isaac Asimov - Il meglio di Asimov“Palla da biliardo”

All'alta fantasia, qui mancò possa

hic sunt leones

confine della Matematica

GRAZIE PER L'ATTENZIONE