Strumentazione per bioimmagini

Metodi di ricostruzione da proiezioni

Ricostruzione 3D

• Una funzione 3D f(x,y,z) viene ricostruita a partire da un numero P di proiezioni 2D p(x’,y’|,)

• Complessita’ teorica: ricostruire C=MxNxZ voxels occorrono P=C equazioni (es. risoluzione 200x200x200 voxel = 8 milioni di equazioni!!). Per ogni piano di scansione:

y

y

y

yNfNp

yNfNp

yNfNp

),()(

),1()1(

),()(

0

0

0

Coordinate cilindriche

• fascio parallelo e assenza di riflessioni (X-ray) riduzione della complessità

• stima di Z densita’ bidimensionali: riduzione a Z sistemi indipendenti di MxN equazioni

d(x,y,z)

p(x’,y’)

y’

x’

piani paralleli non interferiscono

p(x’,y’) e’ determinato solo dai voxel attraversati dal raggio incidente

il sistema e’ separabile

coordinate cilindriche r,,z

fascio parallelo di illuminazione

θ

x

y

z

r

piano di proiezione

– TA realizza “in hardware” il sistema di coordinate cilindriche

– proiezioni radiali bidimensionali: si puo’ usare la Radon Transform

linea di proiezione

fascio piano parallelo di illuminazione

f(x,y|z)p θ,z(x’)

Tomografia assiale (TA)

Risoluzione del problema inverso

• Risolvere numericamente le equazioni algebriche direttamente:

• Computazionalmente oneroso• Computazionalmente instabile al crescere delle equazioni

• Metodi alternativi:– Ricostruzione iterativa– Trasformata di Fourier– Retroproiezione– Retroproiezione filtrata

)'(,,

)'()'()'(

1*1

*

*1,

1

xeyxfyxf

N

xpxpxe

kkk

kk

Ricostruzione iterativa

• Data una stima f*(x,y) di f(x,y)

• Si calcolano le proiezioni p*(x’)

• Si calcola l’errore p(x’)-p*(x’)

• Si aggiorna f*(x,y)Data: proiezione a

Stima della proiezione a da

f*(x,y)

Aggiornamento della stima f*(x,y)

Ricostruzione iterativa: schema a blocchi

inizializzazione:f *(x,y)=0 dati: p θ(x’)

sottrai l’errore a tutti i pixel sulla linea di scansione

f*(x,y)xcos(q)+ysin(q)=x’

nuova direzione di proiezione θ=θk

Calcola p*θ(x’) dalla stima f*(x,y)

e(x’)

Ricostruzione iterativa:esempio

f1=5 f2=7

f3=6 f4=2

f(x,y)

Retroproiezione

Da ogni proiezione sappiamo solo che dei punti che sommano alla misura della proiezione sono da

qualche parte lungo la linea

Le misure di ogni proiezione sono riproiettate indietro sulla linea da

cui sono state ottenute, assegnando il valore misurato

x’

y’

Retroproiezione

0

* ),(),(

')')sin()cos(()'(),(

dyxbyxf

dxxyxxpyxb

Retroproiezione a

Ricostruzione a partire dalle retroproiezioni

Retroproiezione: risposta impulsiva

Dato un impulso unitario nell’origine

rdr

dxxrxdrh

xxp

b

1))cos((

')')cos(()'()(

)'()'(

Risposta impulsiva

Retropriezione filtrata

Calcolo del filtro

Ricostruzione

Radon Transform: Retro-proiezione filtrata• Proiezione di densita’ bidimensionali trasformata di Radon

• dalla trasformata Radon ricostruiamo la FFT polare della densita’ d(x,y)

• il reticolo polare non e’ uniforme trasformiamo in reticolo ortogonale (Jacobiano |w|) retroproiezione filtrata

RT FT(1D)

abs(P(w)|θ)

θ

x’

dxpdwPwFyxd filtered )()(, 1

w

|w|

w

FT-1

p(x’)|θ

x’

)(xp filtered

Ricostruzione da proiezioni in sintesi

• Il problema generale della ricostruzione da proiezioni e’ il problema inverso della proiezione di una distribuzione 3D su piani 2D. In generale, il problema e’ molto oneroso dal punto di vista computazionale

• Se il sistema di proiezione (problema diretto) segue una geometria cilindrica, il problema inverso 2D->3D diventa un piu’ semplice problema (1D->2D) x numero di piani sull’asse z.

• Il problema 1D->2D puo’ essere risolto attraverso metodi diretti (es. ART). i metodi diretti hanno problemi di convergenza.

• Il problema 1D->2D e’ piu’ agevolmente risolto utilizzando la trasformata inversa di Radon (non disponibile nel problema 2D->3D), risolvibile con una IFFT (teorema della sezione centrale).

• Per ottenere un campionamento cartesiano uniforme dello spettro attraverso la RT occorre utilizzare un filtro di retro-proiezione.

• La geometria a ventaglio permette un notevole risparmio nella costruzione della TAC in quanto puo’ essere usata una sorgente compatta di radiazione piuttosto che un array lineare. La geometria a ventaglio richiede un filtro di retro-proiezione piu’ complesso.