Proiezioni Stereografiche

Paolo Conti

CGT Centro di GeoTecnologie, Università degli Studi di SienaSan Giovanni Valdarno, Italy

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Edizione: Febbraio 2008

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Centro di Geotecnologie Università di Siena Proiezioni Stereografiche

Sommario

1 Introduzione e origine delle proiezioni stereografiche . . . . . . . . . 51.1 Uso delle proiezioni stereografiche . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Tipi di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Storia e applicazioni delle proiezioni stereografiche . . . . . . . . 8

1.3.1 Cartografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Mineralogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Proiezioni zenitali equiarea . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Misura di piani e linee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1 Misura di strutture planari . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Misura di strutture lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Principi di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1 Proiezione di linee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Proiezione di piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Proiezioni equiangolari ed equiarea. . . . . . . . . . . . . . 173.4 Proiezioni stereografiche in coordinate cartesiane . . . . . . . . . 243.5 Variazione della semisfera di proiezione . . . . . . . . . . . . 26

4 Metodi di proiezione di linee, piani e poli . . . . . . . . . . . . . 274.1 Proiezione di una linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Proiezione di un piano come traccia ciclografica . . . . . . . . . 294.3 Proiezione del polo di un piano . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Orientazione di un dato punto o traccia ciclografica . . . . . . . . 314.5 Proiezione di un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Operazioni con linee e piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1 Proiezione di una linea noto il pitch . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Piano contenente due linee . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Intersezione tra due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4 Inclinazione reale e inclinazione apparente . . . . . . . . . . . 415.5 Angolo tra due linee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.6 Angolo tra due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.7 Piano bisettore tra due piani . . . . . . . . . . . . . . . . 455.8 Proiezione di una linea su un piano . . . . . . . . . . . . . . 465.9 Angolo tra un piano e una linea . . . . . . . . . . . . . . . 475.10 Rotazioni attorno ad un asse . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.10.1 Rotazione attorno ad un asse verticale . . . . . . . . . . 485.10.2 Rotazione attorno ad un asse orizzontale . . . . . . . . . 485.10.3 Rotazione attorno ad un asse inclinato . . . . . . . . . . 50

Sommario 3

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6 Analisi statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

APPENDICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A Reticoli per proiezioni stereografiche . . . . . . . . . . . . . . . 63

B Proiezione di vettori e solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

C Programmi per proiezioni stereografiche . . . . . . . . . . . . . 77

D Rotazioni: restaurazione di strati inclinati, discordanze e paleocorrenti . . . 79D.1 Restaurazione di strati inclinati e discordanze . . . . . . . . . . 79D.2 Restaurazione di paleocorrenti . . . . . . . . . . . . . . . 79

D.2.1 Strati inclinati con asse orizzontale . . . . . . . . . . . 81D.2.2 Strati inclinati con asse inclinato . . . . . . . . . . . . 81

E Soluzione degli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Sommario

Centro di Geotecnologie Università di Siena Proiezioni Stereografiche

1 Introduzione e origine delle proiezioni stereografiche

1.1 Uso delle proiezioni stereografiche

Le proiezioni stereografiche sono strumenti fondamentali nelle scienze della terra perché per-mettono la risoluzione di numerosi problemi tridimensionali di geometria e di statistica me-diante elaborazioni in due dimensioni. In geologia l’orientazione della faccia di un cristallo, diuno strato, di una frattura, di una faglia, può essere rappresentata immaginando tale piano chepassa dal centro di una sfera, la sfera di proiezione. Dal centro della sfera la linea ortogonale alpiano intercetta la sfera in un punto, il polo del piano. Sulla sfera di proiezione il polo del pianoè caratterizzato da una latitudine e una longitudine.Rappresentare in due dimensioni l’orientazione di una struttura planare si riduce quindi ad unclassico problema di cartografia ed astronomia: rappresentare in due dimensioni un punto suuna sfera è infatti una necessità che in antichità avevano anche astronomi e cartografi per co-struire mappe del cielo e carte geografiche. Astronomi e cartografi per primi quindi introdusse-ro secoli fa i metodi di proiezione che sono poi diventati usuali in geologia [15].Le proiezioni stereografiche sono facili da usare sia in campagna che in laboratorio, mediantepoche costruzioni è possibile risolvere un gran numero di problemi. Il grado di precisione che sipuò tenere nelle elaborazioni è minore di 1° e quindi dell’ordine della precisione delle misureche generalmente il geologo riesce a eseguire in campagna. E’ inoltre possibile proiettare sullostesso diagramma un gran numero di misure. Il gran numero di dati permette interpretazionistatistiche con elevato grado di precisione. Non si deve dimenticare però che le proiezioni stere-ografiche consentono di analizzare le relazioni angolari tra gli elementi geometrici (piani e li-nee), ma non danno indicazioni sulla loro distribuzione spaziale.Vediamo con un esempio un tipico utilizzo delle proiezioni stereografiche in geologia. In cam-pagna abbiamo osservato una piega (Figura 1-1a) e vogliamo conoscere la geometria di questastruttura. In campagna non è facile misurare l’asse della piega (non sono presenti pieghe mino-ri) e l’unica cosa che si può fare è misurare la giacitura della stratificazione in vari punti dellapiega (Figura 1-1b). Tutte le misure raccolte sono scritte nel quaderno di campagna e riportatein una carta geologica (Figura 1-1c, d), ma con entrambi questi due tipi di elaborati rimane an-cora difficile il riconoscimento esatto dei vari elementi geometrici della piega. Se le solite infor-mazioni raccolte sono riportate anche in proiezione stereografiche (Figura 1-1e), per la piegasarà possibile ricavare: la direzione di immersione dell’asse (294), l’inclinazione dell’asse (12°),l’angolo di apertura della piega (100°), giacitura del piano assiale (20/66), eventuali orientazionioriginali di strutture sedimentarie ora ripiegate.

1.2 Tipi di proiezione

I vari tipi di proiezione che possono essere usati per rappresentare in due dimensioni una su-perficie sferica possono essere raggruppati in:a) proiezioni zenitali (o azimutali);b) proiezioni cilindriche;c) proiezioni coniche;in base all’orientazione del piano di proiezione rispetto alla sfera di riferimento. Nelle proiezio-ni zenitali il piano di proiezione è una superficie piana tangente la sfera di riferimento, nelle

1 Introduzione e origine delle proiezioni stereografiche 5

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Figura E-8 (a) Piani bisettori di coppie di piani, Esercizio 14. (b) Proiezione di linee su piani, Esercizio 15.

Figura E-9 (a) Angoli tra linee e piani, Esercizio 16. (b) Rotazione di linee attorno ad assi orizzontali,Esercizio 18.

(b)(a)

170/34

2/43

89/56

298/39

199/29

145/33

(b)(a)

22°

38°

36°15°

36/15

139/49

(b)

15°

36/15

139/49

62°

13/13

E Soluzione degli esercizi 87

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Figura E-10 Rotazione di linee attorno ad assi inclinati, Esercizio 20.

355/6126°

42°

144/6

50°

226/23

88 E Soluzione degli esercizi