Post on 01-May-2015
SimmetriaSimmetriaTraslazioni (Lattices)Traslazioni (Lattices)
Proprietà a scala atomica, non della forma Proprietà a scala atomica, non della forma cristallinacristallina
Traslazioni simmetriche riguardano distanze Traslazioni simmetriche riguardano distanze ripetuteripetute
L’L’origineorigine è è arbitrariaarbitraria
Traslazione 1-D = un Traslazione 1-D = un filarefilare
SimmetriaSimmetria
a
aa è il vettore che si ripete è il vettore che si ripete
Traslazioni (Lattices)Traslazioni (Lattices)Proprietà a scala atomica, non della forma Proprietà a scala atomica, non della forma
cristallinacristallina
Traslazioni simmetriche riguardano distanze Traslazioni simmetriche riguardano distanze ripetuteripetute
L’L’origineorigine è è arbitrariaarbitraria
Traslazione 1-D = un Traslazione 1-D = un filarefilare
SimmetriaSimmetriaTraslazioni (Lattices)Traslazioni (Lattices)
Traslazioni 2-D = una Traslazioni 2-D = una magliamaglia
a
b
SimmetriaSimmetriaTraslazioni (Lattices)Traslazioni (Lattices)
Traslazioni 2-D = una Traslazioni 2-D = una magliamaglia
a
b
Cella unitariaCella unitaria
Cella unitaria: L’unità base che, ripetuta Cella unitaria: L’unità base che, ripetuta solo per traslazionesolo per traslazione, genera l’intero pattern, genera l’intero pattern
Come si differenzia dal motivo ??Come si differenzia dal motivo ??
SimmetriaSimmetriaTraslazioni (Lattices)Traslazioni (Lattices)
Traslazioni 2-D = una Traslazioni 2-D = una magliamaglia
a
b
Scegliere un punto Scegliere un punto qualsiasiqualsiasi
Ogni punto a esattamente n ripetizioni da quel punto è un Ogni punto a esattamente n ripetizioni da quel punto è un equipuntoequipunto rispetto all’originale rispetto all’originale
TraslazioniTraslazioni
Esercizio: Stampe di EscherEsercizio: Stampe di Escher1. Qual’è il motivo ?1. Qual’è il motivo ?
2. Scegliere un punto qualsiasi e marcarlo con un segno 2. Scegliere un punto qualsiasi e marcarlo con un segno neronero
3. Segnare gli equipunti nello stesso modo3. Segnare gli equipunti nello stesso modo
4. Evidenziare la 4. Evidenziare la cella unitariacella unitaria basata sugli equipunti basata sugli equipunti
5. Qual’è 5. Qual’è il contenuto della cella unitaria (Z)il contenuto della cella unitaria (Z) ?? ??
Z = numero di motivi per cella unitariaZ = numero di motivi per cella unitaria
Z è sempre un numero intero ?Z è sempre un numero intero ?
TraslazioniTraslazioniQuale cella unitaria è Quale cella unitaria è corretta ??corretta ??
Convenzioni:Convenzioni:1. I bordi delle celle 1. I bordi delle celle
dovrebbero, quando dovrebbero, quando possibile, coincidere possibile, coincidere con assi di simmetria o con assi di simmetria o piano di simmetriapiano di simmetria
2. Se possibile, I bordi 2. Se possibile, I bordi dovrebbero essere in dovrebbero essere in relazione con simmetrie relazione con simmetrie traslazionali.traslazionali.
3. La cella più piccola 3. La cella più piccola (cella ridotta) che (cella ridotta) che soddisfa I requisiti 1 e 2 soddisfa I requisiti 1 e 2 dovrebbe essere sceltadovrebbe essere scelta
TraslazioniTraslazioni
The lattice and point group symmetry The lattice and point group symmetry interrelateinterrelate, because , because both are properties of the overall symmetry patternboth are properties of the overall symmetry pattern
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
TraslazioniTraslazioni
The lattice and point group symmetry The lattice and point group symmetry interrelateinterrelate, because , because both are properties of the overall symmetry patternboth are properties of the overall symmetry pattern
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
6
9
Buona scelta di cella unitaria. Perchè? Quant’è Z?Buona scelta di cella unitaria. Perchè? Quant’è Z?Ci sono altri elementi di simmetria ?Ci sono altri elementi di simmetria ?
TraslazioniTraslazioni
The lattice and point group symmetry The lattice and point group symmetry interrelateinterrelate, because , because both are properties of the overall symmetry patternboth are properties of the overall symmetry pattern
Questo spiega perchè assi di simmetria 5-fold e > 6-fold Questo spiega perchè assi di simmetria 5-fold e > 6-fold non esistono nei cristallinon esistono nei cristalli
TraslazioniTraslazioni
Vediamo ora nuovi operatori di simmetria 2-D, Vediamo ora nuovi operatori di simmetria 2-D, considerando le traslazioniconsiderando le traslazioni
Lo Lo Slittopiano:Slittopiano:
Una combinazione di riflessioneUna combinazione di riflessione
e traslazionee traslazione
Passo 1: riflessionePasso 1: riflessione(posizione temporanea)(posizione temporanea)
Passo 2: traslazionePasso 2: traslazione
ripetiripeti
TraslazioniTraslazioniVi sono 5 uniche maglie 2-D.Vi sono 5 uniche maglie 2-D.
Maglia vettori angoliSimmetria del Gruppo Puntuale compatibile*
Obliqua a b 90o 1, 2
Quadrata a = b = 90o 4, 2, m, 1, (g)
Esagonale a = b = 120o 3, 6, 2, m, 1, (g)
Rettangolare a b = 90o 2, m, 1, (g)
Primitiva (P) Centrata (C)* ogni rotazione implica anche una rotoinversione
Tipi di traslazioni 2-D
a
b
Maglia obliqua
a b 90o
p2 p2mm
Maglia rettangolare Pa b
= 90o
b
a
Maglia rettang- olare C
a b = 90o
p2mm
b
a
Maglia rombica
a =b 90o, 120o, 60o
a1a2
Maglia esagonalea1 = a2
= 60o
p6mm
Maglia quadrataa1 = a2
= 90o
p4mm
a
a1
a2
Ci sono anche 17 Ci sono anche 17 Gruppi PlanariGruppi Planari 2-D che combinano la traslazione con 2-D che combinano la traslazione con operazioni di simmetria compatibili. La parte di sotto dell’immagine riporta operazioni di simmetria compatibili. La parte di sotto dell’immagine riporta esempidi gruppi Planari che corrispondonoa ciascun tipo di magliaesempidi gruppi Planari che corrispondonoa ciascun tipo di maglia
Vi sono 5 uniche maglie 2-D.Vi sono 5 uniche maglie 2-D.
TraslazioniTraslazioni
Combina le traslazioni ed i gruppi puntualiCombina le traslazioni ed i gruppi puntualiSimmetria dei Gruppi PlanariSimmetria dei Gruppi Planari
p222p222
Simmetria dei Gruppi PlanariSimmetria dei Gruppi Planari
p3p3
p4gmp4gm
Tridimite: Cella ortorombica CTridimite: Cella ortorombica C
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices Modalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanariModalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanari
In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D gruppi puntuali (o classi cristalline)gruppi puntuali (o classi cristalline)
32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices Modalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanariModalità differenti di combinare 3 assi non-paralleli e non-coplanari
In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D In effetti si tratta di combinare le traslazioni compatibili con i 32 3-D gruppi puntuali (o classi cristalline)gruppi puntuali (o classi cristalline)
32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie32 Gruppi Puntuali ricadono in 6 categorie ++cc
++aa
++bb
Convenzione :Convenzione :““legge della mano destra”legge della mano destra”
Nome assi angoli
Triclino a b c 90o
Monoclino a b c = 90o 90
o
Ortorombico a b c = 90o
Tetragonale a1 = a2 c = 90o
Esagonale
Esagonale (4 assi) a1 = a2 = a3 c = 90o 120o
Romboedrico a1 = a2 = a3 90o
Cubico a1 = a2 = a3 = 90o
Tipologie 3-D Lattice
a
b
c
PMonoclino
abc
a
b
c
I = Ca
b
PTriclinoabc
c
c
aP
Ortorombicoabc
C F Ib
a1
c
PTetragonale
a1 = a2c
Ia2
a1
a3
PCubico
a1 = a2= a3
a2
F I
a1
c
P or C
a2
REsagonale Romboedrico
a1a2c
a1 = a2 = a3
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices
Triclino:Triclino:
No symmetry constraints.No symmetry constraints.Nessun motivo per scegliere C quando si può scegliere PNessun motivo per scegliere C quando si può scegliere PPer Per convenzioneconvenzione, tutti i mineralogisti fanno lo stesso, tutti i mineralogisti fanno lo stesso
Ortorombico:Ortorombico:
Perchè C e non A o B? Perchè C e non A o B?
Se ho A o B, semplicemente rinominare gli assi Se ho A o B, semplicemente rinominare gli assi C C
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices
Per visualizzare il resto, conviene farlo con le Per visualizzare il resto, conviene farlo con le proiezioniproiezioni
Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?
2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices
Per visualizzare il resto, conviene farlo con le Per visualizzare il resto, conviene farlo con le proiezioniproiezioni
Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?Se lo si guarda dalla prospettiva frontale ?
2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore2/3 0 1 0 2/3 = altezza verso l’osservatore
11
00
2/32/3
1/31/3
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices= 0, 1, 2...= 0, 1, 2...
= 0.5, 1.5, 2.5 ...= 0.5, 1.5, 2.5 ...
Cos’è questa?Cos’è questa?
= Cella I cubica o tetragonale (dipende dalla scala verticale)= Cella I cubica o tetragonale (dipende dalla scala verticale)
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices= 0, 1, 2...= 0, 1, 2...
= 0.5, 1.5, 2.5 ...= 0.5, 1.5, 2.5 ...
Cos’è questa?Cos’è questa?
Non è possibile. Perchè ?Non è possibile. Perchè ?
Non è una cella.Non è una cella.
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices= 0, 1, 2...= 0, 1, 2...
La cella tetragonale riporta solo La cella tetragonale riporta solo PP e e II, ma questa è , ma questa è CC
Perchè C non viene riportata ?Perchè C non viene riportata ?
E’ una cella tetragonale valida ?E’ una cella tetragonale valida ?
Si.Si.
aa
bb
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices= 0, 1, 2...= 0, 1, 2...
Possiamo scegliere una cella P primitiva dallo stesso patternPossiamo scegliere una cella P primitiva dallo stesso patternC e P sono C e P sono equivalentiequivalentiPer convenzione, scegliamo PPer convenzione, scegliamo PTetragonale A? B?Tetragonale A? B?The others work the same way: The others work the same way:
Exclusions are either incompatible with the system or Exclusions are either incompatible with the system or equivalent to one of the types listedequivalent to one of the types listed
aa
bb
Traslazioni 3-D e LatticesTraslazioni 3-D e Lattices
You can read conventions for axial choices for each system You can read conventions for axial choices for each system on pages 64 - 100 of your texton pages 64 - 100 of your text
Gruppi Spaziali 3-DGruppi Spaziali 3-D
Come per i Come per i 7 2-D Gruppi Planari7 2-D Gruppi Planari, le simmetrie dei gruppi , le simmetrie dei gruppi puntuali 3-D possono essere combinate con le traslazioni puntuali 3-D possono essere combinate con le traslazioni per creare i per creare i 230 Gruppi Spaziali230 Gruppi Spaziali
Anche in 2-D ci sono nuovi elementi di simmetria che Anche in 2-D ci sono nuovi elementi di simmetria che combinano la traslazione con altre operazionicombinano la traslazione con altre operazioni
Slittopiani:Slittopiani: Riflessione + traslazione Riflessione + traslazione 4 tipi. Fig. 3.24 in Klein e Hurlbut4 tipi. Fig. 3.24 in Klein e Hurlbut
Elicogire:Elicogire: Rotazione + traslazione Rotazione + traslazione Fig. 3.22 in Klein e HurlbutFig. 3.22 in Klein e Hurlbut