Post on 25-Apr-2020
Automazione 2
Dispositivi π·π°π« analogici e digitali
REX-C100 PID digitaleSiemens PID pneumatico(analogico)
Automazione 3
Sistema di controllo digitale
schema generale MIMO di controllo in feedback
(analogico = tempo continuo)
schema di controllo digitale- qui, caso scalare (SISO)- con passo di campionamento π%- con convertitori A/D e D/A- segnali a tempo continuo e discreto- utilizza un microprocessore (con codifica binaria) β digitale
Automazione 4
Campionamento e ricostruzione
conversione digitale-analogica (D/A):segnale ricostruito
da un organo di tenuta(qui, di ordine zero = ZOH)
ZOH = Zero-Order Hold
conversione analogico-digitale (A/D):segnale campionato ogni π%
e quantizzato in livelli(per troncamento o arrotondamento)
π₯( = π₯ ππ% [= π₯, ππ% ]
π‘ β [ππ%, π + 1 π%)π₯3 π‘ = π₯ ππ% ,
Automazione 5
Campionamento a impulsi
β’ campionamento = segnale a tempo continuo Γ treno di impulsi di Dirac
il tempo di campionamentoè un fattore di scala!
π₯β π‘ = π₯ π‘ πΏ67(π‘) πΏ67 π‘ = 9(:;
<
πΏ(π‘ β ππ%)
β’ dallo spettro X(jw) del segnale x(t) e dallo sviluppo in serie di Fourier del treno di impulsi di Dirac lβandamento spettrale del segnale campionato π₯β π‘ Γ¨
pulsazione di campionamento
πβ ππ =1π%
9A:B<
<
π(ππ β πππ%) π% = 2π/π%
Automazione 6
Teorema di Shannon e aliasingspettro di un segnale limitato in banda a πG
spettro del relativosegnale campionato componente
primariacomponenti complementari
campionamentoa pulsazioneπ% β₯ 2πG
ricostruzione del segnale (idealmente) perfetta...Teorema di Shannon
comportamentoapprossimato dallo ZOH (per π% piccoloa sufficienza)
campionamentoa pulsazioneπ% < 2πG
...ricostruzione del segnale (sempre) corrottaTeorema di Shannon
fenomeno dialiasing
conclusione: i segnali hanno sempre componenti a frequenza sufficientemente alta (rumore) β filtraggio anti-aliasing
anche se usassimo un filtro ricostruttoreideale...
filtro ricostruttore ideale (non realizzabile)
πΊK ππ = Lπ% π β€ π%/20 else
Automazione 7
Ricostruzione: Zero-Order Hold
risposta dello ZOHad un impulso unitarioin ingresso
β
β’ lo ZOH approssima il ricostruttore (recuperando la scala!) per π% sufficientemente piccolo
β’ lo ZOH introduce nellβanello di controllo un ritardo pari a π%/2, con problemi indotti di instabilitΓ
Scelta del passo di campionamentoβ’ π% sufficientemente piccolo β evita perdita di informazione e instabilitΓ β’ π% non troppo piccolo β cresce il costo computazionale (vincoli real time)
parametro di progettoπΌπG β€ πS β€ 10πΌπG
π5πΌπG
β€ π% β€2ππΌπG
πΌ β 5 Γ· 10
(differenza di due gradini unitari, con il secondo ritardato)
β; π‘ = πΏBW π‘ β πΏBW(π‘ β π%) β (nel dominio dellafrequenza) π»; ππ =
1ππ β
1ππ π
BZ[67 =1 β πBZ[67
ππ
βπ»; ππ =1ππ β
1ππ π
BZ[67 =πZ[67\ β πB
Z[67\
ππ πBZ[67\ = π%
sin ππ%/2ππ%/2
πBZ[67\ β π»; ππ = π%
sin ππ%/2ππ%/2
β π% per ππ% βͺ 1
Automazione 8
Specifiche nel progetto di controllo
β’ stabilitΓ asintotica !β’ prestazioni statiche
(errori a regime permanente)β’ prestazioni dinamiche
(sul transitorio)β’ spesso sulla risposta a gradino
(risposta indiciale), con legami da/per la risposta armonica
β’ specifiche riferimento-uscitaβ’ specifiche disturbo-uscitaβ’ sforzo di controlloβ’ limiti fisici (attuatori)β’ realizzazione digitale
(passo di campionamento e altro)
Automazione 9
Specifiche sulla risposta indiciale
β’ tempo di salita πa(da 10% al 90% del regime)
β’ tempo di assestamento πb(errore inferiore al 3-5%)
β’ massima sovraelongazione π
β’ istante di massima sovraelongazione πd
π =π¦ πd β π¦<
π¦<
Automazione
q Azione Proporzionale-Integrale-Derivativa (sullβerrore)β¨ soluzione industriale standard: oltre il 95% dei dispositivi di controllo in
uso, per lo piΓΉ di tipo digitale, hanno una legge di controllo ππΌπ·β¨ molteplici versioni e varietΓ di prodotti, differenti per feature aggiuntiveβ¨ semplice taratura dei parametri (tuning), ora spesso automaticaβ¨ facile interpretazione dei termini/effetti nella legge di controllo
10
Regolatore π·π°π«
due espressioniequivalenti del ππΌπ·(in forma analogica)
π π‘ = π¦3ij π‘ β π¦(π‘)
π’(π‘) = πΎm π π‘ +1πin;
o
π π ππ + πrππ(π‘)ππ‘
π’(π‘) = πΎmπ π‘ + πΎi n;
o
π π ππ + πΎrππ(π‘)ππ‘
πi =πΎmπΎi
πr =πΎrπΎm
tempo diintegrazione
tempo diderivazione
Automazione 11
Banda proporzionale
azione proporzionale
espressa in %
regolatore pneumatico
SiemensπΎm =
π’(π‘)π(π‘) =
Ξπ’(π‘)Ξπ(π‘)
πΎmπΎAt3d
=100π΅m
βπ πππ π π
senzaoffset(ππππππ = 0!)
0.2 V 5 Vπ
π’
1 bar
10 bar
π΅m = 50%
0.2 V 5 Vπ
π’
1 bar
10 bar
π΅m = 25%
πΎm =Ξπ’(π‘)/π’3bAοΏ½οΏ½Ξπ(π‘)/π3bAοΏ½οΏ½
οΏ½ πΎAt3d
βπΎAt3d =
π’3bAοΏ½οΏ½π3bAοΏ½οΏ½
=94.8 = 1.875
barV
q Guadagno e Banda proporzionaleβ¨ nella pratica industriale, si usa spesso il termine banda proporzionale π΅m al posto del
termine guadagno proporzionale πΎmβ¨ π΅m Γ¨ la minima variazione dellβingresso π (espressa in percentuale) che porta lβuscita π’
del regolatore dal valore minimo al valore di fondo scala (πππππ = πππππ π ππππ β ππππππ)
normalizzazione del guadagno πΎm(rispetto al range del dispositivo)
2.4 V 1.2 V
Automazione
q Funzione di trasferimento di un ππΌπ· (ideale)β¨ trascuriamo per il momento la non realizzabilitΓ dovuta alla presenza di
un derivatore (azione π·) idealeβ¨ trasformando nel dominio di Laplace si ottiene
β¨ con un polo in π = 0 e due zeri a parte reale negativa, reali se e solo se πi β₯ 4 πr (in particolare, coincidenti in β1/2πr se πi = 4πr βscelta spesso utile per semplificare il tuningβ¦)
β¨ in un progetto di controllo βanaliticoβ, gli zeri possono essere scelti per cancellare poli stabili del processo (magari troppo lenti)
12
Regolatore π·π°π« ideale
π’(π‘) = πΎm π π‘ +1πin;
o
π π ππ + πrππ(π‘)ππ‘
ππΌπ·ππππππ π =π’(π )π(π )
= πΎm 1 +1πiπ
+ πrπ =πΎmπi
πiπrπ \ + πiπ + 1π
β β β¦ β
Automazione
q Funzione di trasferimento di un ππΌπ· (reale)β¨ si aggiunge un polo in alta frequenza sullβazione derivatrice (derivata
in banda fino alla pulsazione di taglio del polo aggiunto)β¨ nel dominio di Laplace si ha
β¨ con lβaggiunta di un secondo polo in π = βπ/πr (con π intero grande) due zeri a parte reale negativa, certamente reali quando πi β₯ 4πr!
β¨ lβaggiunta di un polo in alta frequenza, per ottenere unβazione derivativa approssimata ma realizzabile, cambia di poco la posizione degli zeri rispetto al caso ideale
13
Regolatore π·π°π« reale
ππΌπ· π =π’(π )π(π ) = πΎm 1 +
1πiπ
+πrπ
1 + πrπ π =πΎmπi
πiπr 1 + 1π π \ + πi +
πrπ π + 1
π 1 + πrπ π
π§W,\ =β πr + ππi Β± ππi + πr \ β 4π(π + 1)πrπi
2πrπi π + 1π β β β β
12πr
Β±πi\ β 4πrπi
2πrπi
Automazione
Diagrammi di Bode di un ππΌπ· ideale vs reale
14
Confronto in risposta armonica
ππΌπ· π =πΎmπi
πiπr 1 + 1π π \ + πi +
πrπ π + 1
π 1 + πrπ π ππΌπ·ππππππ π =
πΎmπi
πiπrπ \ + πiπ + 1π
10
15
20
25
30
35
40
45
Mag
nitu
de (d
B)10-2 10-1 100 101 102 103
-90
-45
0
45
Phas
e (d
eg)
PID reale con Kp= 5, Ti= 5, Td= 0.5, N= 5
Frequency (rad/s)
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102-90
-45
0
45
90
Phas
e (d
eg)
PID ideale con Kp= 5, Ti= 5, Td= 0.5
Frequency (rad/s)
Automazione 15
Regolatore π·π°π« digitalediscretizzazione con passo π% delle azioni del ππΌπ· sullβerrore π π‘ = π¦3ij π‘ β π¦(π‘)
πΎmπ π‘ β πΎmπ ππ% = πΎm π(
integrazione rettangolare in avanti(detta anche di Eulero a sinistra)πΎm
1πin;
oπ π ππ β
πΎmπiπ%9
Z:;
(
πZ
derivazione allβindietro (backward)πΎmπrππ(π‘)ππ‘ β πΎmπr
π( β π(BWπ%
forma di posizione del ππΌπ· digitaleπ’( = πΎmπ( +πΎmπ%πi
9Z:;
(
πZ +πΎmπrπ%
π( β π(BW
implementazione ricorsiva della forma di posizione del ππΌπ· digitale
π’i,( = π’i,(BW +πΎmπ%πi
π(
π’( = πΎmπ( + π’i,( +πΎmπrπ%
π( β π(BW
Automazione 16
Regolatore π·π°π« digitale
forma di velocitΓ del ππΌπ· digitale
facendo la differenza di duecampioni di controllo successivi...
introducendo lβoperatore di ritardo π§BW = 1/π§ (di un passo π%) ...
espressionein π§BW utile per la realizzazione
π’(BW = πΎmπ(BW +πΎmπ%πi
9Z:;
(BW
πZ +πΎmπrπ%
π(BW β π(B\
π’( = πΎmπ( +πΎmπ%πi
9Z:;
(
πZ +πΎmπrπ%
π( β π(BW
Ξπ’( = π’( β π’(BW= πΎm π( β π(BW +
πΎmπ%πi
π( +πΎmπrπ%
π( β 2π(BW + π(B\
π’( = π’(BW + Ξπ’(π¦(BW = π§BW π¦(
= 1 β π§BW \1 β π§BW π’( = πΎm 1 β π§BW π( +πΎmπ%πi
π( +πΎmπrπ%
1 β 2π§BW + π§B\ π(
π’( = πΎm +πΎmπi
π%1 β π§BW +
πΎmπ%πr 1 β π§BW π( = ππΌπ·(π§)π(
Automazione 18
Derivata filtrata in banda...
come giΓ visto, il termine derivativo puro del ππΌπ· non Γ¨ realizzabileβ¦
realizzazione solocon blocchi βcausaliβ
nel passaggio dal tempo continuo al tempo discreto, si puΓ² interpretare come una media su π campioni (con 5 β€ π β€ 20)
+ β
πΎmππ π’r1
1 + πrπ π
β¦infatti la sua funzione di trasferimento Γ¨impropria (non causale)
π’ π = πΎm 1 +1πiπ
+ πrπ =πΎmπi
πiπrπ \ + πiπ + 1π π(π )
π’(π‘) = πΎm π π‘ +1πin;
o
π π ππ + πrππ(π‘)ππ‘
.. e si aggiunge un polo in alta frequenzaal termine derivativo (la derivazione delsegnale dβingresso Γ¨ filtrata in banda)
πΎmπrπ βΉ πΎmπrπ
1 + (πr/π)π
Automazione 19
...e sua realizzazione digitale
derivate realizzate con le differenze allβindietro
espressionein π§BW utile per la realizzazione
π’r(π ) = πΎmπrπ
1 + πrπ π π(π ) 1 +
πrππ π’r π = πΎmπrπ π(π )β
π’r,( +πrππ’r,( β π’r,(BW
π%= πΎmπr
π( β π(BWπ%
π’r,( =1
1 + πrπ π
πrππ%
π’r,(BW +πΎmπrπ%
π( βπΎmπrπ%
π(BW
insieme a π’i,( = π’i,(BW +οΏ½οΏ½676οΏ½
π( π’( = πΎmπ( + π’i,( + π’r,(
β usando lβoperatore di ritardo π§BW
1 +πrππ%
1 β π§BW π’r,( =πΎmπrπ%
1 β π§BW π(β
π’r,( =
πΎmπrπ%
1 β π§BW
1 + πrππ%
β πrππ%
π§BWπ(β
π’( = πΎm +πΎmπi
π%1 β π§BW +
πΎmπrπ%
1 β π§BW
1 + πrππ%
β πrππ%
π§BWπ(
= ππΌπ·β(π§)π(
β
Automazione 20
Schema π·π°π«β digitale
controllore ππΌπ· digitale con derivata filtrata in banda = ππΌπ·β
π( π’(π’i,(
π’r,(
Automazione 21
π·π°π« digitale: forme analitiche in πBπ e πespressioni
in π§BW utili per le realizzazioni
(i due ππΌπ·coincidono per
π β β)
espressionirazionali in π§
che evidenzianopoli e zeri
(utili anche in una sintesi delcontrollore percancellazione)
π’( = πΎm +πΎmπi
π%1 β π§BW +
πΎmπrπ%
1 β π§BW
1 + πrππ%
β πrππ%
π§BWπ( = ππΌπ·β π§ π(
π’( = πΎm +πΎmπi
π%1 β π§BW +
πΎmπ%πr 1 β π§BW π( = ππΌπ·(π§)π(
moltiplicando num/den per π§ e riorganizzando
β’ 2 zeri nel cerchio unitario(controllore a fase minima)
β’ 1 polo in π§ = 0β’ 1 polo in π§ = 1β azione integrale
ππΌπ· π§ = πΎm1 + π%πi
+ πrπ%π§\ β 2πr + π%π%
π§ + πrπ%π§(π§ β 1)
ππΌπ·β π§ = πΎmπ\π§\ + πWπ§ + π;
(π§ β πrπr + ππ%
)(π§ β 1)
con π\ = 1 + 676οΏ½+ Β’6Β£
6£€’67, πW = β \Β’ 6£€67 Β€\6£€676Β£/6οΏ½
6£€’67, π; =
6£6£€’67
(π + 1 β 676οΏ½)
β’ 2 zeri sempre interni al cerchio unitario (criterio di Jury) β π; < π\,π; + πW + π\ > 0, π; β πW + π\ > 0
β’ 1 polo reale 'vicinoβ a π§ = 0 (per π ββ)β’ 1 polo in π§ = 1 β azione integrale
Automazione 22
Schemi realizzativi del π·π°π«
azione derivativa π« calcolata solo sullβuscita(per riferimento costante a lungo o a tratti):
evita βspikesβ dovuti a variazioni di π a gradino
schema standard con tutte le azioniπ·π°π« sullβerrore (π·β = derivata in banda)
quando π(π‘) β 0, a causa dei rumoridi misura π(π‘), il rapporto S/N peggiora
β
β
β
P(s)
PI P(s)
PD
I P(s)
LeadPIe(t) u(t)
P(s)
azione π·π« calcolata sullβuscita(il solo termine integrale recupererΓ lβerrore):
evita saturazioni da salto a gradino del riferimento(bumpless transfer)
β
π = πππ π‘ βππ(π‘)ππ‘ = β
ππ¦(π‘)ππ‘
azione derivativa assimilata a quella di unarete anticipatrice opportuna: facilita il tuning del ππΌπ·
con le regole del βloop shapingβ in frequenza
ππΌπ·β
ππΌπ·Β¦β
ππΌΒ¦π·Β¦β
Automazione 23
Esempio #1 β Confronto tra π·π°π«q confronto tra ππΌπ·β e ππΌπ·Β¦βq processo
q parametri del ππΌπ· (ideale)
β¦ Γ¨ una scelta semplificatrice
β¦ cancella due poli stabili del processoq risposta indiciale (gradino unitario a π‘ = 1)q sforzo di controllo tra ππΌπ·β e ππΌπ·Β¦β
q effetto della presenza anche di un disturbo in uscita (rumore bianco), al variare di π(polo in alta frequenza nel termine π·β)
π π =1
π + 1 Β§
πΎm = 2, πΎi = πΎr = 1 (π = 2, πΒ© = 0.5)
ππΌπ· π =π + 1 \
π
ππΌπ·β
ππΌπ·Β¦β
Automazione 24
Esempio #1 β Sforzo di controllo
0 2 4 6 8 10 12t
0
1
2
3
4
5
6
7
u
controllo con PID e PID*
0 2 4 6 8 10 12t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4y
uscita con PID e PID*
0 2 4 6 8 10 12t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
e
errore con PID e PID*
q confronto tra ππΌπ·β e ππΌπ·Β¦β (con π = πΒͺtΒ«)q a fronte di prestazioni simili nella risposta
indiciale (tempo di salita, tempo di assestamento, sovraelongazione) β¦
q β¦ sforzo di controllo molto ridotto con ππΌπ·Β¦β
q si evita il picco in corrispondenza della discontinuitΓ del riferimento (gradino a π‘ = 1)
Automazione 25
Esempio #1 β Effetto del rumore
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4y
uscita usando PID*, con N = 5 e N = 30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y
controllo usando PID*, con N = 30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y
controllo usando PID*, con N = 5
q confronto tra ππΌπ·Β¦β per due valori del polo in alta frequenza per lβazione derivativa
q in presenza di un disturbo in uscita in forma di rumore bianco (a spettro uniforme, con potenza 0.5 � 10B§)
q a paritΓ di comportamento in uscita β¦q β¦ lβandamento del controllo Γ¨ molto meno
sollecitato quando π Γ¨ ridotto
πΒͺtΒ« = 5, πΒ¬iοΏ½Β¬ = 30
Automazione 26
Schema π·π°π«πβ digitale sullβuscita
Controllore ππΌπ·Β¦β = ππΌπ· digitale con derivata (filtrata in banda) calcolata sullβuscitaβ
π( π’(π’i,(
π’r,(π¦(
Automazione 27
Schema π·π°π« con feedforward
aggiunta dellβazione di feedforward (ffw) (per inseguimento di riferimento variabile
e/o compensazione di disturbi)
schema equivalente,con sole azioni di feedback (fbk) (dallβerrore e dallβuscita misurata)
schema a due gradi di libertΓ (con parametri πΌ, π½)secondo lo standard ISA (Instrument Society of America)
r(t) y(t)u(t)+
β
+ β
da discretizzarecome prima per ottenere
un ππΌπ· + ffw digitale
a = 0 b = 0 β
a = 0 b = 1 β
a = 1 b = 1 β
0<a<1 0<b<1 ...vedi schemi in slide #22
πΌ + π½πrπ
πΎm π(π )1 +1πiπ
+ πrπ
r(t) y(t)u(t)
β
+ +
βπ π
πΌ + π½πrπ
πΎm1 β πΌ +1πiπ
+ 1 β π½ πrπ
Automazione 28
Saturazione dellβattuatore sotto π·π°π«
il comando attuato NON dipende piΓΉ dallβuscita del ππΌπ·(ossia dallβazione di controllo in feedbackcalcolata dallβerrore)
come fosse ad anello aperto(o con una riduzione dei guadagni)
la saturazione del comando di controllo Γ¨ criticase cβΓ¨ unβazione integrale che βaccumulaβ errore
anche quando lβattuatore Γ¨ in saturazione
π(π )
ad esempio, attuatore saturato al suo valore massimo
π(π )
saturazione fisicadellβattuatore
(di solito simmetrica rispetto allo 0,ma non necessariamente)
π’b π‘ = Β°π’Β±, π’Β± β€ π’(π‘)π’ π‘ , π’Β² β€ π’ π‘ β€ π’Β±π’Β², π’ π‘ β€ π’Β²
Automazione
0 5 10 15 20 25 30t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y
uscita nel caso lineare e con saturazione dell'attuatore
29
Esempio #2 β Saturazione da azione π°
0 5 10 15 20 25 30t
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
e, u
, u_a
errore, comando e comando saturato
q azione di controllo integrale, in presenza di una saturazione di attuazione
q risposta al gradino in π‘ = 1, con processo
q solo guadagno integrale: πΎi = 2q saturazione: π’Β± = βπ’Β² = 1.05 (simmetrica)
π π =1
π + 1
uscita in regime lineare e con saturazione errore, controllo e controllo saturato
lβerrore Γ¨ massimo inπ‘ = 1, poi decrescee diventa negativo da π‘ β 4.4
il controllo integrale Γ¨ perΓ²giΓ arrivato a valori elevati (accumulando lβerrore > 0) β¦
risultato: ritardata convergenzadellβuscita al valore desiderato rispetto al caso lineare β¦ ci vuole tempo per potere ββscaricareββ
lβintegratore (con il segnale dβerrore < 0) e uscire quindi dalla saturazione
Automazione 30
Esempio #3 β Saturazione da azione π·π°q azione di controllo π·π°, in presenza di una
saturazione di attuazione q risposta al gradino in π‘ = 1, con processo
q parametri del controllo PI: πΎm = 1, πΎi = 2q saturazione: π’Β± = βπ’Β² = 1.05 (simmetrica)
π π =1
π + 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
e, u
, u_a
errore, comando e comando saturato
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
uscita nel caso lineare e con saturazione dell'attuatore
uscita in regime lineare e con saturazione errore, controllo e controllo saturato
comportamentomolto simileal caso concontrollo π
Automazione 31
π·π°π« con anti-windup
q si usa un modello algebrico dellβattuatore con stessi valori di saturazione (oppure si conosce una βmisuraβ dellβeffettivo segnale attuato π’b β dal controllo calcolato)
q analisi
β¨ in linearitΓ :
β¨ in saturazione (con πΎm > 0): se π(π‘) > 0 per un poβ β π = π’Β³Β¨ = π’Β±; π§ π‘ β π’Β± (non viene piΓΉ integrato lβerrore!); quando poi π(π‘) < 0, anche π < 0 β π < π’Β± si esce dalla saturazione
possibile implementazione di unππΌπ·Β¦β con azione di anti-windup
azione derivativadallβuscita conbanda limitata
βcopiaβ dellasaturazione
π(π )
11 + π πi πΎmπ πr
1 + π πrπ
π’Β±
π’Β²πΎm
π’Β±
π’Β²
π¦π’bπ’+
β
+
β
+
+
ππ¦r
attuatore consaturazione
π’Β³Β¨
π’Β©β
π π
π§
π’Β³Β¨ π =1
1 β 11 + π πi
π π =1 + π πiπ πi
π π = πΎm1 + π πiπ πi
π π
azione PI quandonon in saturazione
π§ π =1
1 + π πiπ’Β³Β¨ π =
πΎmπ πi
π π β π§ π‘ azione integrale
β azione PI
Automazione 32
Effetto dellβanti-windup
simulazione di un controllo in retroazione di tipo ππΌπ·in presenza di saturazione dellβattuatore:
realizzazione standard (a-c)
uscitacontrollata
comandodi controllo(e versione
effettivamenteattuata)
con schemaanti-windup
e realizzazione anti-windup (b-d)
Automazione 33
Esempio #4 β Saturazione e anti-windupq azione di controllo π·π°, in presenza di una
saturazione di attuazione e anti-windupq risposta al gradino in π‘ = 1, con processo
q parametri del controllo ππΌ: πΎm = 1, πΎi = 2q saturazione: π’Β± = βπ’Β² = 1.05 (simmetrica)q schema della slide #28 (senza azione π·)
π π =1
π + 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y_d,
y, y
_s, y
_w
uscita nel caso lineare, con saturazione dell'attuatore, con anti-windup
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18t
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
e, e
_s, e
_w
errore nel caso lineare, con saturazione dell'attuatore, con anti-windup
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
u, u
_a, u
_aw
comando attuale nel caso lineare, con saturazione dell'attuatore, con anti-windup
regime linearecon saturazione con anti-windup
uscita
errore
comando
Automazione 34
π·π°π« digitale con anti-windup
ykek
w1,k
u1,kukwk
q in questo schema, due saturazioni: sulla sola azione ππ· e sul comando finaleq lβintegrazione dellβerrore viene bloccata automaticamente quando cβΓ¨ saturazioneq non evita saturazioni, ma solo lβinutile βaccumuloβ dellβazione integrale sullβerrore
β¨ andrebbe poi βscaricataβ quando lβerrore ha cambiato segno, prima di poter rientrare nel dominio di linearitΓ dellβattuatore
β¨ si rallenterebbe quindi il recupero della corretta azione del ππΌπ·
una possibile realizzazioneanti-windup di un regolatore
ππΌπ· digitale
azione separata ππ·, ππ·β, o ππ·Β¦β
Automazione 35
Analisi del π·π°π« digitale anti-windup
β’ entrambi i blocchi in saturazione (da almeno 1 passo di campionamento)
esegue lβazione ππ· + πΌ standard
NON integra piΓΉ!
yk
ek
w1,k
u1,kukwk
ad esempio, attuatore saturato al suo valore massimo
β’ nella regione di linearitΓ
azione separata ππ·, ππ·β, o ππ·Β¦β
π’((= π€() = π’W,( +οΏ½οΏ½676οΏ½
π( + π’(BW β π’W,(BW = 1 β π§BW π’W,( +οΏ½οΏ½676οΏ½
π( + π§BWπ’(
π’( = π’W,( +πΎmπ%πi
π(1 β π§BW
= π€W,(
π€( = π’Β± +πΎmπ%πi
π( + π’Β± β π’Β± = π’Β± +πΎmπ%πi
π(
π’(BW = π’Β± π’W,( = π’W,(BW = π’Β±
se π( < 0 β π€( < π’Β±!
Automazione 36
Tuning del π·π°π« β 1o metodo di Z-N
esempi di deduzione per via grafica del modello di progetto πd(π ):processo del primo ordine (a) e processo di ordine superiore (b)
1o metodo di Z-N(Ziegler-Nichols)basato su unmodello semplice(guadagno, costante ditempo, ritardo finito)
che approssima ilprocesso fisico,ricavato da parametridella risposta ad ungradino Du
nel caso (b), a volte si preferisce definire π‘1 come lβistante in cuila risposta raggiunge il 63% del valore di regime
πd π =πΎπBΒΆa
1 + ππ
Automazione 37
Scelta dei parametri del π·π°π«
nel caso di ππΌπ· digitale, si tiene conto del passo di campionamento ππ e si pone
ππΌπ· analogico (e sue varianti piΓΉ semplici)
utilizzando nella tabella
1o metodo di
πΒ©
πβΉ per πΎπΎm, βπi π , βπr ππ β πΒ© = π +
π%2
Automazione 38
Esempio #5 β Parametri di Z-Nprocesso
da controllare(asintoticamente stabile)
Nota: il modello matematico del processo non Γ¨ dettoche sia perfettamente noto, anzi...
puΓ² essere rilevatasperimentalmente
(anche senza modello)
analisi grafica
risposta indiciale
πΎ = 1π = 1.46 π π = 3.34 [π ]
modello per il progettodel PID (uso delle tabelle) πd π =
πBW.ΒΌΒ½a
1 + 3.34π
π(π ) =1
(1 + 0.5π ) 1 + π \(1 + 2π )
ππ½
π²
Automazione 39
Esempio #5 β Prove con π·π°π«processo
da controllare
vediamo prima cosa succedecon delle leggi di controllo progettate per βtentativiβ...
con controllore solo proporzionale (qui πΎm = 2)
β’ tempo di salita piΓΉ rapido (ts β 3 s)β’ errore a regime permanente (β 33%)β’ sovraelongazione pronunciata (β 35%)β’ aumentando il guadagno, oscillazioni crescenti
con controllore π·π°π«πβ (con derivata in banda)
β’ dopo molte prove: πΎm = 3, πi = 5, πr = 0.1β’ spesso instabile (con guadagni molto simili!)β’ sovraelongazione eccessiva e molte oscillazioniβ’ tempo di assestamento troppo lungo (40Γ·50 s)
π(π ) =1
(1 + 0.5π ) 1 + π \(1 + 2π )
Automazione 40
Esempio #5 β π·π°π« βtunedβ con Z-Nprocesso
da controllare
β’ tempo di salita rapido (ts β 2,5 s)β’ errore a regime permanente nulloβ’ poche oscillazioniβ’ tempo di assestamento β 16 sβ’ sforzo di controllo limitato [vedi prossima slide]β’ sovraelongazione ancora elevata ...
controllore PID sintonizzato (βtunedβ)usando la tabella con il
1o metodo di Ziegler-Nichols
derivata limitata in banda
πΎm = 2.75, πi = 2.92, πr = 0.73, π = 5
ππΌπ·β π = πΎm 1 +1πiπ
+πrπ
1 + βπr π π
π(π ) =1
(1 + 0.5π ) 1 + π \(1 + 2π )
Automazione 41
Esempio #5 β Versione digitale del π·π°π«dallβanalisi grafica
della risposta indicialeprocesso da controllare modello per il progetto del PID (uso delle tabelle)
regolatore π·π°π« digitale con
dalla tabella (1o metodo di Ziegler-Nichols)
rispostaindiciale
(a tempo continuo)
uscita delregolatore ππΌπ·
digitale[dopo organo ditenuta (ZOH)]
sforzo di controllo limitato anche nel transitorio
π(π ) =1
(1 + 0.5π ) 1 + π \(1 + 2π ) πd π =πW.ΒΌΒ½a
1 + 3.34π
πΎ = 1π = 1.46 π π = 3.34 [π ]
π% = 0.3π πΒ© = π + βπ% 2 = 1.46 + 0.15 = 1.61 ββ πΒ© π = 0.482πΎπΎm = 2.4894, βπi π = 0.9461, βπr π = 0.241
β πΎm= 2.4894, πi= 3.22, πr= 0.805
Automazione 42
Esempio #6 β Ritardo finito
modello per il progettodel ππΌπ· (dalle tabelle) πd π =
5.5 πB\a
1 + 4π
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
0
1
2
3
4
5
6
y
risposta indiciale ad anello aperto
analisi grafica
risposta indiciale
πΎ = 5.5π = 2 π π = 4 [π ]
π²
π½
Supponiamo di rilevare sperimentalmente due risposte di un processo (avente un ritardo finito)
β’ risposta indiciale ad anello aperto (gradino unitario allβistante π‘ = 1 s)β’ risposta indiciale ad anello chiuso con un controllore proporzionale (πΎm β 0.54, di prova)
π
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y
uscita e comando con controllo proporzionale con Kp=0.54545
uscita
comando π
ritardofinito
Automazione 43
Esempio #6 β Regolatori sintonizzatiProviamo in sequenza quattro regolatori: π, ππΌ, ππΌπ·β e ππΌπ·Β¦β (con derivata solo dallβuscita), in cui i guadagni sono dati dalla tabella di Ziegler-Nichols per βπ π = 0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y
uscita e comando con controllo proporzionale con Kp=0.36364
uscita πΓBΒ’
comando πΓBΒ’
regolatori ππΌπ·β e ππΌπ·Β¦β : πΎm = 0.4364, πi = 4, πi = 1, π = 20
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
y
uscita con P, PI, PID e PID*
ππΌ
ππΌπ·β
π
ππΌπ·Β¦β
regolatore π: πΎm = 0.3636 regolatore ππΌ: πΎm = 0.3273, πi = 6.66
uscite
Automazione 44
Esempio #6 β Sforzo di controllo
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
-2
0
2
4
6
8
10
y
comando con P, PI, PID e PID*
ππΌπ·β
Confronto tra sforzi di controllo con i quattro regolatori π, ππΌ, ππΌπ·β e ππΌπ·Β¦β (con derivata solo dallβuscita), in cui i guadagni sono dati dalla tabella di Ziegler-Nichols per βπ π = 0.5
gli altri tre regolatori sono fuori scala!
picco di controllo dovuto alla derivazione del gradino in π‘ = 1β¦
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
y
comando con P, PI e PID*
ππΌ
π
ππΌπ·Β¦βsforzi di controllo
in questo intervallo di βritardoβ, le azioni integraliaccumulano solo il valore del riferimento costante β¦
Automazione 45
Esempio #6 β π·π° e π·π°π«β βtunedβ con Z-NSchemi Simulink dei due migliori regolatori: ππΌ e ππΌπ·Β¦β
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
e
errore con PI e PID*
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
e
uscita con PI e PID*
uscite
errori
Automazione
(-1,j0)
w
.
46
Tuning del π·π°π« β 2o metodo di Z-N2o metodo di Ziegler-Nichols (ad anello chiuso)[posizione di tuning b] 1. si chiude lβanello di controllo con la sola azione proporzionale2. si aumenta il guadagno K fino al valore critico Kc che porta il sistema in oscillazione3. si ricava il periodo Pc dellβoscillazione critica[posizione di operazione a] ππΌπ· (o sue varianti), dopo la scelta dei guadagni come da tabella
interpretazionesul diagramma
di Nyquist
yd
βKPc = 2p/wc
Automazione 47
Esempio #7 β π·π°π« βtunedβ con 2o Z-Nprocesso
da controllare(lo stesso dellβEsempio #1)
β’ risultato molto simile al caso precedente (anche nella versione digitale)
controllore ππΌπ· sintonizzatousando la tabella con il
2o metodo di Ziegler-Nichols
β’ controllore π con guadagno critico πΎ% = 5β’ periodo di oscillazione (tra picchi) π% = 6.27 s
π(π ) =1
(1 + 0.5π ) 1 + π \(1 + 2π )
πΎm = 3, πi = 3.13, πr = 0.78, π = 5
ππΌπ·β π = πΎm 1 +1πiπ
+πrπ
1 + βπr π π
π%
Automazione 48
Tuning del π·π°π« β Variante del 2o metodo di Z-N2o metodo di Ziegler-Nichols (schema alternativo ad anello chiuso)[posizione di tuning b] 1. si chiude lβanello con una funzione a relΓ¨ di ampiezza d2. la retroazione non lineare innesca una oscillazione critica (ciclo limite) ... 3. dalla teoria delle funzioni descrittive (vedi anche appunti sul sito)
β’ il segnale di uscita a regime Γ¨ periodico quasi-sinusoidale di periodo Pcβ’ la prima armonica dellβuscita ha unβampiezza A = 4d/p
4. si misura il periodo Pc dellβoscillazione critica e dallβampiezza A dellβuscita si ricava Kc
[posizione di operazione a] ππΌπ· (o sue varianti), dopo la scelta dei guadagni come da tabella
ydπΎ% =
4πππ΄