Post on 19-Nov-2020
1
1
2
Rappresentazione doppi bipoli
2
3
Introduzione
4
Cosa c’è nell’Unità 5
In questa sezione si affronteranno
introduzione alle rappresentazioni dei doppi bipolile sei rappresentazioni classiche
tabella di trasformazioneconnessioni doppi bipoli
3
5
Oggetto 1/2
In questa unità saranno considerate le rappresentazioni deidoppi bipoli nel dominio delle frequenze
Rappresentare un doppio bipolo significa precisare le sue due equazioni costitutive che legano le tensioni e le correnti delledue porte
6
Oggetto 2/2
I doppi bipoli che si considerano sono inerti:
assenza nel loro interno di generatori indipendentise le rappresentazioni sono nel dominio di Laplace gli elementiinterni si assumono inizialmente scarichi
È possibile avere la presenza di generatori pilotati nell’internodei doppi bipoli
4
7
Introduzione
8
Rappresentazione generale
11 1 12 2 11 1 12 2
21 1 22 2 21 1 22 2
A V A V B I B I
A V A V B I B I
+ = ++ = +
Qualsiasi doppio bipolo lineare ed inerte presenta sicuramente la rappresentazione
5
9
Esempio
1 2
1 2
010
V K V
I IK
− =
= +
⇓
Trasformatore ideale
11 12 11 12
21 22 11 12
1, , 0, 0
10, 0 , 1,
A A K B B
A A B BK
= = − = =
= = = =
10
Rappresentazione doppi bipoli
6
11
Le sei rappresentazioni classiche
12
Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 1/4
Le relazioni costitutive di un doppio bipolo sono due
Esse coinvolgono quattro grandezze elettriche V1, V2, I1, e I2
Nelle relazioni costitutive due grandezze possono essere vistecome variabili indipendenti (ingressi) e le altre due come variabili dipendenti (uscite)
7
13
Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 2/4
I modi diversi con cui possiamo assumere due delle quattrograndezze V1, V2, I1, e I2 come ingressi sono in tutto sei
Esistono sei rappresentazioni che consentono di scrivere le due equazioni di un doppio bipolo come equazioni di due uscite in funzione di due ingressi
14
Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 3/4
Le sei possibilità di scegliere uscite ed ingressi differenti, danno luogo alle sei rappresentazioni di un doppio bipolo
Non è assicurato che ogni doppio bipolo ammetta tutte e seile rappresentazioni. Sicuramente però ne ammette almenouna
8
15
Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 4/4
Le sei rappresentazioni sono classificate in tre gruppi di due elementi ciascuno:
gruppo delle impedenze ed ammettenze
gruppo ibridogruppo misto
16
Le sei rappresentazioni classiche
9
17
Generalità
Gruppo impedenze ed ammettenze
in questo gruppo le grandezze di ingresso e di uscita sono dellostesso tipo:
impedenze: gli ingressi sono le correnti I1 e I2 , le uscite le tensioni V1 e V 2
ammettenze: gli ingressi sono le tensioni V1 e V 2, le uscite le correnti I1 e I2
18
Le sei rappresentazioni classiche
10
19
Rappresentazione con impedenze 1/2
1
2
IVettore corrente
I
1
2
VVettore tensione
V
11 12
21 22
Z ZMatrice impedenze : Z
Z Z=
uscita
ingresso
20
Rappresentazione con impedenze 2/2
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V Z I Z I
V Z I Z I
= += +
oppure in forma
matricialeV Z I=
Quando essa è possibile, la rappresentazione con impedenze (a vuoto) è definita da:
11
21
Esempio
è impossibile rappresentare un trasformatore ideale con impedenze
Trasformatore ideale
11 12 11 12
21 22 11 12
1, , 0, 010, 0 , 1,
A A K B B
A A B BK
= = − = =
= = = =
22
Determinazione delle impedenze 1/2
11
21
Zcolonna
Z
2
2
111
1 0
221
1 0
I
I
VZ
I
VZI
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V Z I Z IV Z I Z I
= += +
Z11 è l’impedenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è aperta
12
23
Determinazione delle impedenze 2/2
12
22
Zcolonna
Z
1
1
112
2 0
222
2 0
I
I
VZ
I
VZI
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V Z I Z IV Z I Z I
= += +
Z22 è l’impedenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è aperta
24
Esempio con generatore pilotato 1/6
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V Z I Z I
V Z I Z I
= += +
13
25
Esempio con generatore pilotato 2/6
Dalla maglia a sinistra:
11
21
Zcolonna
Z
2
111
1 0
1
I
VZ s
I s=
= = +1 1 1 11 1
11
V s I I s Is s
= × + = + ⇒ ×
26
Esempio con generatore pilotato 3/6
2
221
1 0
43
I
VZ s
I s=
= = +
11
21
Zcolonna
Z
Dalla maglia a destra:
2 1 1 1 11 1 1
3 31
V I V I s Is s s
= + = + + ⇒ ×
14
27
Esempio con generatore pilotato 4/6
Sul condensatore:
12
22
Zcolonna
Z
1
112
2 0
1
I
VZI s
=
= =1 2 2
1 11
V I Is s
= = ⇒×
28
Esempio con generatore pilotato 5/6
1
222
2 0
4
I
VZI s=
= =
Dalla maglia a destra:
2 1 1 2 2
1 13 3V V V I I
s s= + = + ⇒
12
22
Zcolonna
Z
15
29
Esempio con generatore pilotato 6/6
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V Z I Z I
V Z I Z I
= += +
1 1ss s Z 4 4
3ss s
+
=+
30
Le sei rappresentazioni classiche
16
31
Reciprocità
Si lavori nel dominio delle frequenze e si consideri lo stessomultipolo inserito in due reti diverse
nel primo inserimento siano Va ed Ia i vettori di tensione e corrente presenti sul multipolo
nel secondo inserimento siano Vb ed Ib i vettori di tensione e corrente presenti sul multipolo
t ta b b aV I V I⋅ = ⋅
Il multipolo si dice reciproco se per qualsiasi coppia di reti in cui il multipolo è inserito risulta:
32
Esempi di multipoli reciproci
Bipolo di impedenza
Trasformatori
Doppi bipoli inerti caratterizzati da matrici di impedenzasimmetriche
17
33
Esempi di multipoli non reciproci
Amplificatori operazionali
Doppi bipoli inerti caratterizzati da matrici di impedenza non simmetriche
34
Reti reciproche
Un rete si dice reciproca quando, resa inerte, contiene solo elementi costituiti da elementi reciproci
La presenza di generatori pilotati e/o amplificatorioperazionali in una rete implica in generale che la rete non è reciproca
18
35
Teoremi di reciprocità
Un multipolo costituito con una rete reciproca è un multipoloreciproco
Un multipolo reciproco non è necessariamente costituito dauna rete reciproca
36
Rappresentazione con circuito a T/1
1 11 12
2 23 12
3 12
Z Z Z
Z Z Z
Z Z
= −
= −
=
Un doppio bipolo reciproco e rappresentabile con impedenze, ammette una rappresentazione circuitale con un circuito a T
19
37
Rappresentazione con circuito a T/2
1 11 12
2 22 12
3 12
21 12 1ˆ ( )
Z Z Z
Z Z Z
Z Z
E Z Z I
= −
= −
=
= −
Un doppio bipolo non reciproco e rappresentabile con impedenze, ammette una rappresentazione circuitale con un circuito a T che presenta un generatore pilotato di tensione, su uno dei lati, per tenere conto della non reciprocità
38
Esempio con trasformatore 1/3
Determinare la matrice di impedenza di un trasformatore
Rappresentare il trasformatore con un circuito a T
20
39
Esempio con trasformatore 2/3
1 1 1 2
2 1 2 2
V sL I s M I
V sM I s L I
= +
= +⇒ 1
2
s L s MZ
s M s L=
Nel dominio delle frequenze risulta:
40
Esempio con trasformatore 3/3
1 1 1 2
2 1 2 2
V sL I s M I
V sM I s L I
= += +
⇒
Rappresentazione con circuito a T:
21
41
Le sei rappresentazioni classiche
42
Rappresentazione con ammettenze 1/2
1
2
IVettore corrente
I
1
2
VVettore tensione
V
11 12
21 22
Y YMatrice ammettenze : Y
Y Y =
ingresso
uscita
22
43
Rappresentazione con ammettenze 2/2
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I Y V Y V
I Y V Y V
= +
= +
oppure in forma
matricialeI Y V=
Quando essa è possibile, la rappresentazione con ammettenze (in corto circuito) è definita da:
44
Esempio
11 12 11 12
21 22 11 12
1, , 0, 010, 0 , 1,
A A K B B
A A B BK
= = − = =
= = = =
è impossibile rappresentare un trasformatore ideale con ammettenze
Trasformatore ideale
23
45
Determinazione delle ammettenze 1/2
11
21
Ycolonna
Y
2
2
111
1 0
221
1 0
V
V
IY
V
IY
V
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I Y V Y VI Y V Y V
= += +
Y11 è l’ammettenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è corto circuitata
46
Determinazione delle ammettenze 2/2
12
22
Ycolonna
Y
1
1
112
2 0
222
2 0
V
V
IY
V
IYV
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I Y V Y V
I Y V Y V
= += +
Y22 è l’ammettenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è corto circuitata
24
47
Legame ammettenze - impedenze
1( )Y Z −=
Un doppio bipolo rappresentabile con impedenze e con determinante nullo di Z, non ha rappresentazione con ammettenze
Un doppio bipolo rappresentabile con ammettenze e con determinante nullo di Y, non ha rappresentazione con impedenze
1( )Z Y −=
Quando un doppio bipolo è rappresentabile con impedenzeed ammettenze risulta
48
Reciprocità
I doppi bipoli reciproci rappresentabili con ammettenzehanno una matrice di ammettenze simmetrica
12 21Y Y=
25
49
Esempio con trasformatore 1/6
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I Y V Y V
I Y V Y V
= += +
50
Esempio con trasformatore 2/6
Riportando il carico del secondario al primario
11
21
Ycolonna
Y
2
111
1 0
14( 1)
V
IYV s
=
= =+
21 1 12 ( 1 1) 4(1 )V s I s I= × + = + ⇒
26
51
Esempio con trasformatore 3/6
2
221
1 0
12(1 )
V
IY
V s=
= = −+
11
21
Ycolonna
Y
Dalla maglia a destra
1 12 2( 1 1) ( 1)
2V V
s I s Ik
= = − × + = − + ⇒
52
Esempio con trasformatore 4/6
Riportando il carico del secondario (corto circuito nella porta 1) al secondario
12
22
Ycolonna
Y
1
22
222 0
11
V
I s sY
V s=
+ += =
+2 2 22
1 1( 1 1)||
1s
V s I Is s s
+= × + = ⇒
+ +
27
53
Esempio con trasformatore 5/6
1
112 21
2 0
12(1 )
V
IY Y
V s=
= = − =+
12
22
Ycolonna
Y
Dalla maglia a destra
2 1 1( 1 1)( ) 2( 1)V s kI s I= − × + = − + ⇒
54
Esempio con trasformatore 6/6
2
1 14(1 ) 2(1 )
Y 1 1
2(1 ) 1
s s
s ss s
−+ +
=+ +
−+ +
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I Y V Y VI Y V Y V
= += +
28
55
Rappresentazione con circuito a Pi greca 1/2
Un doppio bipolo reciproco e rappresentabile con ammettenze, ammette una rappresentazione circuitalecon un circuito a Pi greca. Indicando con Y 11, Y12, Y 21, e Y22, le ammettenze risulta:
1 11 12
2 22 12
3 12
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
= +
= +
= −
56
Rappresentazione con circuito a Pi greca 2/2
1 11 12
2 23 12
3 12
21 12 1ˆ ( )
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
A Y Y V
= +
= +
= −
= −
Un doppio bipolo non reciproco e rappresentabile con ammettenze, ammette una rappresentazione circuitalecon un circuito a pi greca che presenta un generatorepilotato di corrente su uno dei lati, per tenere conto dellanon reciprocità
29
57
Esempio
2
1 2 32
1 14(1 ) 2(1 ) 1 2 1 1
Y Y , Y , Y2(1 ) 2(1 ) 2(1 )1 1
2(1 ) 1
s s s ss s ss s
s s
−+ + + +
= ⇒ = − = =+ + ++ +
−+ +
Rappresentare il doppio bipolo avente la matrice di ammettenza Y indicata con un circuito a Pi greca
58
Le sei rappresentazioni classiche
30
59
Generalità 1/2
Gruppi ibridi:
In questi due gruppi le grandezze di ingresso e di uscita non sono dello stesso tipo:
gruppo ibrido diretto: gli ingressi sono la corrente I1 e la tensione V2. Le uscite la tensione V1 e la corrente I2.
i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametri h
60
Generalità 2/2
gruppo ibrido inverso: gli ingressi sono la tensione V1 e la corrente I2, le uscite la corrente I1 e la tensione V2
i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametri g
31
61
Le sei rappresentazioni classiche
62
Parametri h 1/2
1
2
VVettore uscita
I
1
2
IVettore ingresso
V
11 12
21 22
h hMatrice ibrida :
h h h =
uscita
ingresso
32
63
Parametri h 2/2
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
= += +
oppure in forma
matriciale
1 1
2 2
V Ih
I V=
Per modellare transistori è molto utile la rappresentazione con parametri h
64
Esempio
11 12 11 12
21 22 11 12
1, , 0, 0
10, 0 , 1,
A A K B B
A A B BK
= = − = =
= = = =
0
0
Kh
K=
−
è possibile rappresentare un trasformatore ideale con parametri h:
Trasformatore ideale
33
65
Determinazione dei parametri h 1/2
11
21
hcolonna
h
2
2
111
1 0
221
1 0
V
V
Vh
I
Ih
I
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
= +
= +
h11 è l’impedenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è corto circuitata
66
Determinazione dei parametri h 2/2
12
22
hcolonna
h
1
1
112
2 0
222
2 0
I
I
Vh
V
Ih
V
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
= +
= +
h22 è l’ammettenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è aperta
34
67
Reciprocità
I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo h hanno la seguente proprietà
12 21h h= −
essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà
68
Esempio 1/6
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
= += +
35
69
Esempio 2/6
h11 è l’impedenza vista dalla porta 1 con porta 2 cortocircuitata
11
21
hcolonna
h
2
111
1 0
10 5| |5 12.5V
Vh
I=
= = + = Ω
70
Esempio 3/6
2
221
1 0
10.5
2V
Ih
I=
= = − = −
11
21
hcolonna
h
Dal partitore di corrente
2 1 1
5 15 5 2
I I I= − = − ⇒+
36
71
Esempio 4/6
h22 è l’ammettenza vista dalla porta 2 con porta 1 aperta
12
22
hcolonna
h
1
222
2 0
1 10.1
5 5 10I
IY S
V=
= = = =+
72
Esempio 5/6
1
112 21
2 0
0.5I
Vh h
V=
= = = −
12
22
hcolonna
h
Dal partitore di tensione
1 2 2
5 15 5 2
V V V= = ⇒+
37
73
Esempio 6/6
12.5 0.5 h
0.5 0.1=
−1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
= += +
74
Rappresentazione con generatori pilotati
Un doppio bipolo definito dai parametri h è rappresentabilecon il doppio bipolo in figura
38
75
Le sei rappresentazioni classiche
76
Parametri ibridi g 1/2
1
2
VVettore ingresso
I
1
2
IVettore uscita
V
11 12
21 22
g gMatrice ibrida inversa : g
g g=
uscita
ingresso
39
77
Parametri ibridi g 2/2
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g IV g V g I
= += +
oppure in forma
matriciale
1 1
2 2
I Vg
V I=
La rappresentazione ibrida inversa è definita dai parametri g
78
Legame h-g
1( )g h −=
Un doppio bipolo rappresentabile con parametri ibridi h ed avente determinante di h nullo, non è rappresentabile con parametri g
Un doppio bipolo rappresentabile con parametri ibridi g ed avente determinante di g nullo, non è rappresentabile con parametri h
1( )h g −=
Quando un doppio bipolo è rappresentabile con parametriibridi h e g risulta:
40
79
Determinazione dei parametri g 1/2
11
21
gcolonna
g
2
2
111
1 0
221
1 0
I
I
Ig
V
Vg
V
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g I
V g V g I
= += +
g11 è l’ammettenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è aperta
80
Determinazione dei parametri g 2/2
12
22
gcolonna
g
1
1
112
2 0
222
2 0
V
V
Ig
I
Vg
I
=
=
=
=1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g IV g V g I
= += +
g22 è l’impedenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è corto circuitata
41
81
Reciprocità
I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo g hanno la seguente proprietà
12 21g g= −
essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà
82
Esempio con generatore pilotato 1/6
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g IV g V g I
= += +
42
83
Esempio con generatore pilotato 2/6
La corrente che percorre 1 ohm vale I1+2I1=3I1
11
21
gcolonna
g
2
111
1 0
13
I
Ig
V s=
= =+
2 1 1
1 1 2 1
1 3 3
1 ( 3)
V I I
V s I V s I
= × == × + = + ⇒
84
Esempio con generatore pilotato 3/6
2
221
1 0
33
I
Vg
V s=
= =+1 1 1 1
2 1
3 ( 3)
3
V sI I s I
V I
= + = + ⇒=
11
21
gcolonna
g
Dalla maglia a sinistra
43
85
Esempio con generatore pilotato 4/6
La corrente che percorre 1 ohm vale: I1+2I1+I2
La corrente che percorre 1 H vale: I1
12
22
gcolonna
g
1
112
2 0
13
V
Ig
I s=
= = −+
2 1 1 21 ( 2 )V I I I= × + +2 1, 1V s I= − ×
1 2
13
I Is
= −+
⇒
86
Esempio con generatore pilotato 5/6
1
222
2 03
V
V sg
I s=
= =+
2 1 1 2 1
1 2 2 2
1 ( 2 ) 1
13 3
V I I I s I
sI I V I
s s
= × + + = − ×
⇓ ⇓
= − =+ +
12
22
gcolonna
g
⇒
44
87
Esempio con generatore pilotato 6/6
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g I
V g V g I
= += +
1 13 3 g
33
3
s ss
s s
−+ +=
+ +
88
Le sei rappresentazioni classiche
45
89
Generalità 1/2
Gruppi misti
in questi due gruppi le grandezze di ingresso e di uscitasono definite in porte separate
gruppo misto diretto: gli ingressi sono la tensione V2 e la corrente -I2 dellaporta 2. Le uscite la tensione V1 e la corrente I1 della porta 1
90
Generalità 2/2
i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametriA,B,C,D
gruppo misto inverso: gli ingressi sono la tensione V1 e la corrente -I1 della porta 1. Le uscite la tensione V2 e la corrente I2 della porta 2
i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametriA’,B’,C’,D’
46
91
Le sei rappresentazioni classiche
92
Parametri A,B,C,D 1/2
1
1
VVettore uscita
I
2
2
VVettore ingresso
-I
A BMatrice di trasmissione : T
C D=
47
93
Parametri A,B,C,D 2/2
1 2 2
1 2 2
( )
( )
V AV B I
I C V D I
= + −
= + −
oppure in forma
matriciale
1 2
1 2
V VT
I I=
−
Per modellare doppi bipoli è molto utile la rappresentazione con parametri A, B, C, D
94
Esempio
11 12 11 12
21 22 11 12
1, , 0, 0
10, 0 , 1,
A A K B B
A A B BK
= = − = =
= = = =
01
0
KA BT
C DK
= =
è possibile rappresentare un trasformatore ideale con parametri A, B, C, D
Trasformatore ideale
48
95
Determinazione dei parametri A, B, C, D 1/2
Acolonna
C
2
2
1
2 0
1
2 0
I
I
VA
V
IC
V
=
=
=
=
1 2 2
1 2 2
( )( )
V AV B II C V D I
= + −= + −
conviene alimentare dalla porta 1
96
Determinazione dei parametri A, B, C, D 2/2
Bcolonna
D
2
2
1
2 0
1
2 0
V
V
VB
I
ID
I
=
=
= −
= −
1 2 2
1 2 2
( )
( )
V AV B I
I C V D I
= + −
= + −
conviene alimentare dalla porta 1
49
97
Reciprocità
I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo mistohanno la seguente proprietà
det[ ] 1T AD BC= − =
essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà
98
Esempio con generatore pilotato 1/6
1 2 2
1 2 2
( )( )
V AV B II C V D I
= + −= + −
50
99
Esempio con generatore pilotato 2/6
Considerando il nodo B
Acolonna
C
2
1 2 2 2 11 1
2 0
12
2 3 3 3I
V V V V VV V A
V=
−+ = ⇒ = ⇒ = =
100
Esempio con generatore pilotato 3/6
2
1
2 0
0I
IC
V=
= =
Acolonna
C
Dal nodo A
1 1 2 2 2 21
(1/3)10
1 2 3 1 2V V V V V V
I− −
= + = + = ⇒
51
101
Esempio con generatore pilotato 4/6
V2=0 implica che la corrente sul resistore 3 è nulla. Dal nodo B
Bcolonna
D
2
1 2 1 1 11 2 1 2 2
2 0
22 2 0 52 2 2 5
V
V V V V VV I V I I BI
=
− + + = + + = ⇒ = − ⇒ = − =
102
Esempio con generatore pilotato 5/6
2
1
2 0
35
V
ID
I=
= − =
Bcolonna
D
Dal nodo A
1 1 2 1 11 1 2 2
3 3 2 3( )
1 2 1 2 2 2 5 5V V V V V
I V I I−
= + = + = = × − = − ⇒
52
103
Esempio con generatore pilotato 6/6
1 23 5 T
30
5
=1 2 2
1 2 2
( )( )
V AV B II C V D I
= + −= + −
104
Le sei rappresentazioni classiche
53
105
Parametri A’, B’, C’, D’ 1/2
2
2
VVettore uscita
I
1
1
VVettore ingresso
-I
' 'Matrice di trasmissione inversa '
' 'A B
TC D
=
106
Parametri A’, B’, C’, D’ 2/2
2 1 1
2 1 1
' '( )
' '( )
V A V B I
I C V D I
= + −
= + −oppure in
forma matriciale
2 1
2 1
'V V
TI I
=−
Nel gruppo misto inverso (parametri A’, B’, C’, D’) il ruolo delle porte è invertito
54
107
Esempio
11 12 11 12
21 22 11 12
1, , 0, 01
0, 0 , 1,
A A K B B
A A B BK
= = − = =
= = = =
1' ' 0'
' ' 0
A BT K
C D K= =
è possibile rappresentare un trasformatore ideale con parametri A’, B’, C’, D’
Trasformatore ideale
108
Legame T-T’
1' ' 1 0 1 0' ( )
' ' 0 1 0 1
A BT T
C D−= =
− −
11 0 1 0( ')
0 1 0 1A B
T TC D
−= =− −
Quando un doppio bipolo è rappresentabile con parametrimisti A, B, C, D e A’, B’, C’, D’ risulta
55
109
Determinazione dei parametri A’, B’, C’, D’ 1/2
A'colonna
C'
1
1
2
1 0
2
1 0
'
'
I
I
VA
V
IC
V
=
=
=
=
2 1 1
2 1 1
' '( )
' '( )
V A V B I
I C V D I
= + −
= + −
conviene alimentare dalla porta 2
110
Determinazione dei parametri A’, B’, C’, D’ 2/2
B'colonna
D'
1
1
2
1 0
2
1 0
'
'
V
V
VB
I
ID
I
=
=
= −
= −
2 1 1
2 1 1
' '( )' '( )
V A V B II C V D I
= + −= + −
conviene alimentare dalla porta 2
56
111
Reciprocità
I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo mistoinverso hanno la seguente proprietà
det[ '] ' ' ' ' 1T A D B C= − =
essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà
112
Esempio 1/4
2 1 1
2 1 1
' '( )' '( )
V A V B II C V D I
= + −= + −
57
113
Esempio 2/4
Non c’è caduta di tensione sul resistore
1
2
1 0
'I
IC sV
=
= =1 2
1V I
s= ⇒
A'colonna
C'
1
21 2
1 0
' 1I
VV V AV
=
= ⇒ = =
Sul condensatore
114
Esempio 3/4
La tensione sul condensatore uguaglia quella sul resistore
1
2
1 0
' 1V
VBI
=
= − =2 1 11V I I= − × = − ⇒
B'colonna
D'
1
1 2 22 1 2 1
1 0
( 1) ' 1V
I I IV I I s I D ss I
=
+= = − ⇒ = − + ⇒ = − = +
La tensione sul resistore vale
58
115
Esempio 4/4
2 1 1
2 1 1
' '( )' '( )
V A V B II C V D I
= + −= + −
1 1 T'
1s s=
+
det[ '] 1T =
⇒
il doppio bipolo è composto di elementi reciproci quindi e reciproco
116
Rappresentazione doppi bipoli
59
117
Tabella di trasformazione
118
Le sei rappresentazioni 1/3
Gruppo impedenze ed ammettenze
impedenze
ammettenze
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V Z Z I IZ
V Z Z I I= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I Y Y V VY
I Y Y V V= =
60
119
Le sei rappresentazioni 2/3
Gruppi ibridi
diretto
inverso
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V h h I Ih
I h h V V= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I g g V Vg
V g g I I= =
120
Le sei rappresentazioni 3/3
1 2 2
1 2 2
V V VA BT
I I IC D= =
− −
2 1 1
2 1 1
' ''
' 'V V VA B
TI I IC D
= =− −
Gruppi misti
diretto
inverso
61
121
Tabella di trasformazione
122
Z in funzione di Y e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V Z Z I IZ
V Z Z I I= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I Y Y V VY
I Y Y V V= =
22 12
21 11
det[ ] det[ ]
det[ ] det[ ]
Y YY Y
ZY Y
Y Y
−=
−
22 12
21 11
det[ ] det[ ]
det[ ] det[ ]
Z ZZ Z
YZ Z
Z Z
−=
−
62
123
Z in funzione di h e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V Z Z I IZ
V Z Z I I= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V h h I Ih
I h h V V= =
12
22 22
21
22 22
det[ ]
1
hhh h
Zhh h
=−
12
22 22
21
22 22
det[ ]
1
ZZZ Z
hZZ Z
=−
124
Z in funzione di g e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V Z Z I IZ
V Z Z I I= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I g g V Vg
V g g I I= =
12
11 11
21
11 11
1
det[ ]
gg g
Zg gg g
−
=
12
11 11
21
11 11
1
det[ ]
ZZ Z
gZ ZZ Z
−
=
63
125
Z in funzione di T e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V Z Z I IZ
V Z Z I I= =
det[ ]
1
A TC CZ
DC C
=
1 2 2
1 2 2
V V VA BT
I I IC D= =
− −
11
21 21
22
21 21
det[ ]
1
Z ZZ Z
TZ
Z Z
=
126
Z in funzione di T’ e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V Z Z I IZ
V Z Z I I= =
' 1' '
det[ '] '' '
DC CZ
T AC C
=
22
12 12
12
12 12
det[ ]
'1
Z ZZ Z
TZ
Z Z
=
2 1 1
2 1 1
' ''
' 'V V VA B
TI I IC D
= =− −
64
127
Tabella di trasformazione
128
Y in funzione di h e viceversa
12
11 11
21
11 11
1
det[ ]
hh h
Yh hh h
−
=
12
11 11
21
11 11
1
det[ ]
YY Y
hY YY Y
−=
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I Y Y V VY
I Y Y V V= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V h h I Ih
I h h V V= =
65
129
Y in funzione di g e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I Y Y V VY
I Y Y V V= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I g g V Vg
V g g I I= =
12
22 22
21
22 22
det[ ]
1
ggg g
Ygg g
=−
12
22 22
21
22 22
det[ ]
1
YYY Y
gYY Y
=−
130
Y in funzione di T e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I Y Y V VY
I Y Y V V= =
1 2 2
1 2 2
V V VA BT
I I IC D= =
− −
det[ ]
1
D TB BY
AB B
−=
−
22
21 21
11
21 21
1
det[ ]
YY Y
TYY
Y Y
− −
=− −
66
131
Y in funzione di T’ e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I Y Y V VY
I Y Y V V= =
' 1' '
det[ '] '' '
AB BY
T DB B
−=
−
11
12 12
22
12 12
1
'det[ ]
YY Y
TYY
Y Y
− −
=− −
2 1 1
2 1 1
' ''
' '
V V VA BT
I I IC D= =
− −
132
Tabella di trasformazione
67
133
h in funzione di g e viceversa
22 12
21 11
det[ ] det[ ]
det[ ] det[ ]
h hh h
gh h
h h
−=
−
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V h h I Ih
I h h V V= =
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I g g V Vg
V g g I I= =
22 12
21 11
det[ ] det[ ]
det[ ] det[ ]
g gg g
hg g
g g
−=
−
134
h in funzione di T e viceversa
11
21 21
22
21 21
det[ ]
1
hhh h
Thh h
− −=
− −
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V h h I Ih
I h h V V= =
1 2 2
1 2 2
V V VA BT
I I IC D= =
− −
det[ ]
1
B TD Dh
CD D
=−
68
135
h in funzione di T’ e viceversa
11
12 12
22
12 12
1
'det[ ]
hh h
Th hh h
=
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
V h h I Ih
I h h V V= =
2 1 1
2 1 1
' ''
' '
V V VA BT
I I IC D= =
− −
' 1' '
det[ '] '' '
BA Ah
T CA A
=−
136
Tabella di trasformazione
69
137
g in funzione di T e viceversa
22
21 21
11
21 21
1
det[ ]
gg g
Tg gg g
=
1 2 2
1 2 2
V V VA BT
I I IC D= =
− −
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I g g V Vg
V g g I I= =
det[ ]
1
C TA Ag
BA A
−=
138
g in funzione di T’ e viceversa
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
I g g V Vg
V g g I I= =
2 1 1
2 1 1
' ''
' '
V V VA BT
I I IC D= =
− −
22
12 12
11
12 12
det[ ]
'1
ggg g
Tgg g
− −=
− −
' 1' '
det[ '] '' '
CD Dg
T BD D
−=
70
139
Tabella di trasformazione
140
T in funzione di T’ e viceversa
2 1 1
2 1 1
' ''
' 'V V VA B
TI I IC D
= =− −
det[ ] det[ ]'
det[ ] det[ ]
D BT T
TC A
T T
=
1 2 2
1 2 2
V V VA BT
I I IC D= =
− −
' 'det[ '] det[ ]
' 'det[ ] det[ ]
D BT T
TC A
T T
=
71
141
Rappresentazione doppi bipoli
142
Connessioni doppi bipoli
72
143
Connessioni: Generalità
I bipoli hanno solo due possibilità di connessione:serieparallelo
Avendo due porte i doppi bipoli hanno una maggiore possibilità di connessioni
tuttavia, se le porte non sono intrinseche, è importanteverificare che le eventuali connessioni mantengano la proprietàdi porta
144
Connessioni: Generalità
Le possibili connessioni di doppi bipoli
connessioni serie su entrambe le porte (serie-serie)
connessioni parallelo su entrambe le porte (parallelo-parellelo)
connessioni ibride: serie sulle porte 1 e parallelo sulle porte 2 (serie-parallelo)parallelo sulle porte 1 e serie sulle porte 2 (parallelo-serie)
connessioni a cascata
73
145
Connessioni serie-serie
La porta 11’ del doppio bipolo A e la porta 11’ del doppio bipolo B sono percorse dalla stessa corrente
La porta 22’ del doppio bipolo A e la porta 22’ del doppio bipolo B sono percorse dalla stessa corrente
Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con impedenze ZA e Zb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessione serie-serie è rappresentabile con impedenze Z e si ha:
Z= ZA + Zb
146
Connessioni parallelo-parallelo
Sulla porta 11’ del doppio bipolo A e sulla porta 11’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione
Sulla porta 22’ del doppio bipolo A e sulla porta 22’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione
Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con ammettenze YA e Yb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessione parallelo-parallelo è rappresentabile con ammettenze Y e si ha:
Y= YA + Yb
74
147
Connessioni serie-parallelo
Sulla porta 11’ del doppio bipolo A e sulla porta 11’ del doppiobipolo B è applicata la stessa corrente
Sulla porta 22’ del doppio bipolo A e sulla porta 22’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione
Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con parametri ibrididiretti hA e hb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessioneserie-parallelo è rappresentabile con parametri h e si ha:
h= hA + hb
148
Connessioni parallelo-serie
Sulla porta 11’ del doppio bipolo A e sulla porta 11’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione
La porta 22’ del doppio bipolo A e la porta 22’ del doppio bipolo B sono percorse dalla stessa corrente
Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con parametri ibridiinversi gA e gb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessioneserie-parallelo è rappresentabile con parametri g e si ha:
g= gA + gb
75
149
Connessione in cascata 1/2
La porta 22’ del doppio bipolo A e connessa alla porta 11’ del doppio bipolo B
La porta 11’ del doppio bipolo A e la porta 22’ del doppio bipolo B sono le due porte accessibili del doppio bipolo ottenuto dallacascata del doppio bipolo A con il doppio bipolo B
150
Connessione in cascata 2/2
Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con matrici di trasmissione TA e Tb , anche il doppio bipolo ottenuto dallaconnessione a cascata è rappresentabile con matrice di trasmissione T e si ha:
La connessione a cascata tra doppi bipoli costituisce la più importante ed utilizzata connessione di doppi bipoli
T= TA x Tb
76
151
Connessioni doppi bipoli
152
Connessioni serie-serie esempio 1
Determinare i parametri Z del doppio bipolo indicato in figura
Determinare i parametri h dello stesso doppio bipolo
il doppio bipolo equivale alla connessione serie-serie dei due doppi bipoli indicati in figura
77
153
Connessioni serie-serie esempio 2
11
11aZ
s= + 21
1aZs
=
12
1aZs
= 22
1aZ ss
= +
1 11
1 1a s sZ
ss s
+=
+
Per il doppio bipolo in alto si ha:
154
Connessioni serie-serie esempio 3
11 1 2 3bZ = + = 21 1bZ =
12 1bZ =22 2 1 3bZ = + =
3 11 3
bZ =
Per il doppio bipolo in basso si ha:
78
155
Connessioni serie-serie esempio 4 1/2
1 14 1
1 11 3
a b s sZ Z Zs
s s
+ += + =
+ + +
Il doppio bipolo ottenuto dalla connessione serie-seriepresenta una matrice di impedenza che è la somma dellematrici di impedenza
156
Connessioni serie-serie esempio 4 2/2
212
2 222 22
212 2
22 22
det[ ] 4 12 5 13 1 3 1
1 13 1 3 1
ZZ s s sZ Z s s s shZ s sZ Z s s s s
+ + ++ + + += =
+− −+ + + +
Il gruppo misto h si ottiene con le formule di trasformazione
79
157
Connessioni parallelo-parallelo esempio 1
Determinare i parametri Y del doppio bipolo indicato in figuraDeterminare la matrice di trasmissione dello stesso doppio bipolo
il doppio bipolo equivale alla connessione parallelo-parallelo deidue doppi bipoli indicati a destra
158
Connessioni parallelo-parallelo esempio 2
1.5 2.5 (0.5 0.5 )(0.5 0.5 ) 2.5
a s sY
s s+ − +
=− + +
Per il doppio bipolo in alto si ha:
80
159
Connessioni parallelo-parallelo esempio 3
0 00
bYG
=
Per il doppio bipolo in basso si ha:
160
Connessioni parallelo-parallelo esempio 4 1/2
1.5 2.5 (0.5 0.5 )(0.5 0.5 ) 2.5
a b s sY Y Y
G s s+ − +
= + =− + +
Il doppio bipolo ottenuto dalla connessione parallelo-parallelo presenta una matrice di ammettenze che è la somma delle matrici di ammettenze
81
161
Connessioni parallelo-parallelo esempio 4 2/2
22
21 21
11
21 21
1
det[ ]
YY Y
TYY
Y Y
− −
= =− −
5 2 21 2 1 2
16 2 (1 ) 11 (3 ) 3 52(1 2 ) 1 2
sG s G s
G s s s sG s G s
− −−
+ + + ++ + + + − −
−+ + + +
La matrice di trasmissione si ottiene utilizzando le formule di trasformazione
162
Connessione in cascata esempio 1
20 55 10
bZ =
Il doppio bipolo complessivo ha i seguenti parametri di impedenza
25 55 10
Z =
Determinare i parametri di ammettenza e di impedenza del doppio bipolo A
I doppi bipoli A e B sono connessi in cascataIl doppio bipolo B ha i seguenti parametri di impedenza
82
163
Connessione in cascata esempio 2
11
21 21
22
21 21
det[ ] 20 20 10 5 5 4 355 5
11 10 2155 5
b
b bb
b
b b
Z ZZ Z
TZ
Z Z
× − ×
= = =
Matrice di trasmissione T del doppio bipolo complessivo
11
21 21
22
21 21
det[ ] 25 25 10 5 5 5 455 5
11 10 2155 5
a b
Z ZZ Z
T T TZ
Z Z
× − ×
= ⋅ = = =
Matrice di trasmissione Tb del doppio bipolo B
164
Connessione in cascata esempio 3
1
15 45 4 35 1 5
( ) 1 1 0 12 25 5
a bT T T
−
−= ⋅ = =
Matrice di trasmissione Ta del doppio bipolo A
83
165
Connessione in cascata esempio 4
1 1det[ ]5 51 115 5
a a
a aa
a
a a
D TB BY
AB B
−−= =
−−
non esis
det[ ]
1tono !
a a
a aa
a
a a
A TC CZ
DC C
∞ ∞= =
∞ ∞
1 50 1
aT =
Parametri Ya del doppio bipolo A
Parametri Za del doppio bipolo A