Problema  1:  Il  campo  magnetico    • Si  espongano,  in  maniera  sintetica,  gli  elementi  fondamentali  relativi  ai  seguenti  argomenti:  Magnetismo.  Campi  magnetici  prodotti  da  correnti  elettriche.  Effetti  dei  campi  magnetici  sulle  cariche  in  moto.  Momento  torcente  su  una  spira  di  corrente.  Momenti  magnetici.  Orbite  di  particelle  cariche  in  campi  magnetici.  • Si  risolvano  i  seguenti  quesiti,  inerenti  agli  argomenti  di  cui  sopra:  1. Un  fascio  di  ioni  aventi  ciascuno  una  sola  carica  si  muove  in  una  regione  di  spazio  sede  di  un  campo  elettrico  uniforme  𝐸 = 10! !

!  e  di  un  campo  magnetico  uniforme  𝐵 = 2 ∙ 10!!𝑇.  

Il  campo  elettrico  e  quello  magnetico  sono  ortogonali  ed  entrambi  perpendicolari  al  fascio.  Qual  è  la  velocità  di  quegli  ioni  che  si  muovono  senza  deviare  attraverso  i  due  campi  incrociati?  Gli  ioni  non  deviati  entrano  attraverso  una  fenditura  in  un  campo  magnetico  uniforme  𝐵! = 0,09  𝑇  ,  perpendicolare  alla  direzione  del  loro  moto.  Se  si  tratta  di  una  miscela  di  ioni  neon  di  masse  20  e  22  UMA  rispettivamente,  a  quale  distanza  cadranno  le  due  specie  di  ioni  su  una  lastra  fotografica,  dopo  aver  percorso  una  semicirconferenza?  

𝑣 =𝐸𝐵 = 5 ∙ 10!  𝑚 𝑠 ;            ∆𝑅 =  

∆𝑚 ∙ 𝑣𝑒𝐵!

;            𝑑 = 2∆𝑅 = 2,31𝑐𝑚  

 2. Secondo  il  modello  di  Bohr,  nell’atomo  di  idrogeno  un  elettrone  ruota  attorno  ad  un  protone  in  un’orbita  circolare  di  raggio  𝑎! = 0,53 ∙ 10!!"𝑚  con  un  periodo  𝜏 = 1,523 ∙10!!"𝑠𝑒𝑐.  Si  calcoli  il  valore  del  campo  magnetico  B  al  centro  dell’orbita  dell’elettrone  e  il  valore  del  momento  magnetico  equivalente  𝜇!(“magnetone  di  Bohr”).  

𝐵 =𝜇!2  

𝑖𝑎!=𝜇!2

𝑒𝜏𝑎!

= 12,45𝑇;            𝜇! = 𝑖𝑆 =𝑒𝜏 𝜋𝑎!

! = 9,27 ∙ 10!!"  𝐽 𝑇  

 3. Una  spira  circolare  di  raggio  R,  percorsa  da  una  corrente  di  intensità  i,  genera  in  un  punto  P  sull’asse  della  spira  e  precisamente  ad  una  distanza  z  dal  centro  di  questa,  un  campo  magnetico  la  cui  intensità  B  è  data  da:  

𝐵 =𝜇!2  

𝑖𝑅!

𝑅! + 𝑧! !!  .  

   Si  studino  le  due  funzioni  𝐵 = 𝑓 𝑅      𝑒      𝐵 = 𝑓(𝑧)  e  si  commentino  i  grafici  ottenuti.    

𝑎)  𝐵 = 𝑓 𝑅            𝑚 0, 0          𝑀 𝑧 2,𝜇! 39  

𝑖𝑧      

𝐹! 0,434𝑧;…          𝐹!(2,305𝑧;… )  

𝑏)  𝐵 = 𝑓 𝑧        𝑀(  0,𝜇!2  

𝑖𝑅  )  

𝐹𝑅2 ,4𝜇! 525

𝑖𝑅  

   -­‐  Unità  di  massa  atomica                                                  1𝑈𝑀𝐴 = 1.6605 ∙ 10!!"𝑘𝑔        Carica  dell’elettrone                                                              𝑒 = 1,60 ∙ 10!!"𝐶        Permeabilità  magnetica  del  vuoto          𝜇! = 4𝜋 ∙ 10!!  𝐻 𝑚  .  

   

Problema  2:  La  relatività  ristretta.  • Si  espongano,  in  maniera  sintetica,  gli  elementi  fondamentali  relativi  ai  seguenti  argomenti:  Le  basi  della  relatività  ristretta.  I  postulati  di  Einstein.  Le  trasformazioni  di  Lorentz.  La  contrazione  della  lunghezza  e  la  dilatazione  del  tempo.  Variazione  della  massa  con  la  velocità.  Massa  ed  energia.  

• Si  risolvano  i  seguenti  quesiti,  inerenti  agli  argomenti  di  cui  sopra:  1. La  stella  più  vicina  alla  Terra  è  “  Proxima  Centauri  ”  (una  delle  componenti  della  stella  

tripla  “  Alpha  Centauri  “),  la  cui  distanza  è  4,3  anni  luce.  Se  un  astronauta  compisse  il  viaggio  dalla  Terra  a  “  Proxima  Centauri  “  con  una  velocità  uniforme  v  =  0,95  c,  quanto  tempo  impiegherebbe  secondo  un  orologio  situato  sulla  Terra?  Quanto  impiegherebbe  secondo  l’orologio  dell’astronauta?    

4,526  anni;            1,413  anni    

2. Dal  superprotosincrotrone  (SPS)  del  CERN  di  Ginevra  emergono  protoni  la  cui  velocità  è  solo  di  822  m/sec  inferiore  a  quella  della  luce.  Quanto  sembra  lunga  a  questi  protoni  una  traiettoria  circolare  di  raggio  r=  1200  m  nel  laboratorio?  Qual  è  la  massa  di  questi  protoni?  E  la  loro  energia  cinetica?  

𝑆𝑒  𝛽 ≅ 1   𝑣 ≅ 𝑐 ∶   1− 𝛽!   = 1+ 𝛽 1− 𝛽  ≅   2 1− 𝛽   .  

1− 𝛽! ≅ 2,34 ∙ 10!!;    17,643  𝑚;    𝑚 ≅ 427  𝑚!;  𝐸! ≅ 400  𝐺𝑒𝑉    3. Dall’espressione  relativistica  dell’energia  cinetica  𝐸!  si  ricavi  𝑣!  in  funzione  di  𝐸! ,  

verificando  che  risulta:  

𝑣! =   𝑐! ∙𝐸!! + 2𝑚!𝑐!𝐸!𝐸! +𝑚!𝑐! !  .  

 Si  studi  la  funzione  𝑣! = 𝑓 𝐸!  e  si  commenti  il  grafico  ottenuto.  Si  scriva  infine  l’equazione  della  tangente  in  O  a  tale  grafico  e  la  si  confronti  con  l’espressione  classica  di  𝑣!  in  funzione  di  𝐸!  .  

𝐴.𝑂.      𝑣! = 𝑐! !;      𝑣! =2𝐸!𝑚!

 

 -­‐  Velocità  della  luce  nel  vuoto          𝑐 ≅ 3 ∙ 10!  𝑚/𝑠      Energia  a  riposo  del  protone        𝑚!𝑐! = 938,259  𝑀𝑒𝑉.  

   

Problema  3:  Capacità  elettrica  e  condensatori  • Si  espongano,  in  maniera  sintetica,  gli  elementi  fondamentali  relativi  ai  seguenti  argomenti:  Capacità  di  un  conduttore.  Capacità  di  un  conduttore  sferico.  Condensatori.  Condensatore  piano.  Condensatori  in  serie  e  in  parallelo.  Energia  di  un  condensatore  carico.  • Si  risolvano  i  seguenti  quesiti,  inerenti  agli  argomenti  di  cui  sopra:  1. Tra  le  armature  di  un  condensatore  piano  aventi  la  superficie  di  15  𝑐𝑚!  e  distanti  3  mm  sono  interposti  due  fogli,  uno  di  cartone  dello  spessore  𝑑! = 1,8  𝑚𝑚  (costante  dielettrica  relativa  𝜀! = 4  )  ed  uno  di  mica  (𝜀! = 6)  dello  spessore  𝑑! = 1,2  𝑚𝑚.  Si  determini  la  capacità  del  condensatore.  

𝐶 =𝜀!𝜀!𝜀!𝑆

𝜀!𝑑! + 𝜀!𝑑!= 20,42  𝑝𝐹  

 2. Si  ricavino  le  leggi  di  scarica  e  carica  di  un  condensatore  di  capacità  C  attraverso  una  resistenza  R  e  si  traccino  i  rispettivi  grafici;  in  entrambi  i  casi  si  calcoli  il  valor  medio  della  differenza  di  potenziale  V  nell’intervallo  di  tempo  [0, 𝜏],  essendo  𝜏 = 𝑅𝐶  la  costante  di  tempo.  

𝑠𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑎:  𝑅! + 𝑉 = 0;            𝑉 = 𝑉!𝑒!! !"  

𝑉 = 𝑉! 1−1𝑒 = 0,632  𝑉!  

𝑐𝑎𝑟𝑖𝑐𝑎:  𝑅! + 𝑉 = 𝑉!;        𝑉 = 𝑉! 1− 𝑒!! !"  

𝑉 =𝑉!𝑒 = 0,368  𝑉!  

 3. Un  condensatore  piano  con  le  armature,  ciascuna  di  superficie  𝑆 = 1𝑚!,  poste  a  distanza  

d  =  2  cm,  viene  caricato  con  una  d.d.p.  𝑉! = 500𝑉  ed  immagazzina  un’energia  𝑊 = 2,77 ∙10!!  𝐽.  Si  determini  la  costante  dielettrica  relativa  𝜀!  del  dielettrico  interposto.  Supposto  che  tale  dielettrico  abbia  resistività  𝜌 = 2 ∙ 10!"Ω ∙𝑚,  si  determini  il  tempo  necessario  perché  la  d.d.p.  tra  le  armature  si  riduca  a  𝑉! = 100  𝑉.    

𝜀! = 5;          𝑡 = 𝑅𝐶 ln𝑉!𝑉!=  𝜌𝜀! 𝜀! ln

𝑉!𝑉!= 14,24 ∙ 10! sec = 39,5  ℎ  

 -­‐  Costante  dielettrica  del  vuoto                    𝜀! = 8,85 ∙ 10!!" !

!