CAPITOLO 3• LA LEGGE DI GAUSS

Premessa

• TEOREMA DI GAUSS

• Formulazione equivalente alla legge di Coulomb

• Trae vantaggio dalle situazioni nelle quali vi è una SIMMETRIA nella

distribuzione delle cariche

• Mette in relazione i campi elettrici su superfici chiuse

(superfici gaussiane) e le cariche da esse racchiuse

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Flusso di un campo vettoriale

• Concetto di flusso ricavabile partendo dai FLUIDI:

• Si consideri un fluido in scorrimento

• Definizione di FLUSSO (attraverso una sezione del tubo):

«quantità in volume o portata volumetrica del fluido stesso»

• Flusso MASSIMO: tubo ortogonale alla velocità (o alle linee di corrente)

• Flusso MINIMO (nullo): tubo parallelo alla velocità

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Flusso di un campo vettoriale

• Si consideri la superficie infinitesima 𝒅𝜮, posta in una regione in cui è definito

un campo 𝒗

• Si calcoli il FLUSSO del campo 𝒗 ATTRAVERSO la superficie 𝒅𝜮

𝒅𝜱 𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒅𝜮

= 𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮

= 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜮

= 𝒗𝒏 𝒅𝜮

• Dove 𝒅𝜮 = vettore superficie infinitesima

• Modulo: 𝒅𝜮 = area della superficie infinitesima

• Direzione: ෝ𝒖𝒏 (perpendicolare al piano della superficie stessa)

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𝒗𝒗𝒏

ෝ𝒖𝒏

𝜽

𝒅𝚺

Flusso di un campo vettoriale

• Estendendo ad una superficie finita 𝜮

• Suddivisa in tanti elementi infinitesimi 𝒅𝜮𝒊

• Per ciascun elemento, si può calcolare il flusso infinitesimo:

𝒅𝜱 𝒗𝒊 = 𝒗𝒊 ∙ ෝ𝒖𝒊,𝒏 𝒅𝜮𝒊

• Sommando i contributi si ottiene

un INTEGRALE DI SUPERFICIE

𝜱 𝒗 = න𝚺

𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺

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ෝ𝒖𝒏

𝒗

𝜽

Flusso di un campo vettoriale

Estendendo ad una superficie CHIUSA

𝜱 𝒗 = ර𝚺

𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺

Per convenzione, ෝ𝒖𝒏 si orienta verso l’ESTERNO della superficie

• Se 𝒗 è diretto verso l’esterno contributi positivi (𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 > 𝟎)

FLUSSO «USCENTE»

• Se 𝒗 è diretto verso l’interno contributi negativi (𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 < 𝟎)

FLUSSO «ENTRANTE»

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ෝ𝒖𝒏

𝒗𝜽

Flusso del campo elettrostatico

• Il concetto introdotto si può definire per

QUALUNQUE CAMPO VETTORIALE

• La parola «FLUSSO» deriva dalle

applicazioni IDRODINAMICHE

• Flusso di materia attraverso una superficie

• Definizione di flusso di un campo vettoriale: CONCETTO MATEMATICO

Nel caso del campo ELETTROSTATICO si considerano sempre

superfici «GAUSSIANE», ovvero superfici chiuse

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La legge di Gauss

Relazione tra il flusso netto del campo elettrico attraverso

una superficie chiusa con la carica racchiusa al suo interno

𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝟏

𝜺𝟎

𝒊

𝒒𝒊

𝒊𝒏𝒕

• Il flusso del campo elettrico 𝑬 prodotto da un sistema di cariche 𝒒𝒊

attraverso una superficie chiusa 𝚺 è uguale alla SOMMA ALGEBRICA di

tutte le cariche (con segno) contenute ALL’INTERNO della superficie,

divisa per 𝜺𝟎.

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• Somma delle cariche negativa Flusso di 𝑬 negativo

• Somma delle cariche positiva Flusso di 𝑬 positivo

La legge di Gauss

• Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica:

𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝟏

𝜺𝟎න𝝉

𝒅𝒒

• Integrale esteso al volume 𝝉

racchiuso dalla superficie 𝜮

FORMULAZIONE GENERALE della LEGGE DI GAUSS

𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝒒

𝜺𝟎

Unità di misura per il flusso del campo elettrostatico:

[𝜱] = Volt ∙ metro

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ෝ𝒖𝒏

𝑬𝜽

𝝉 +++

+ ++

𝒒

UNITÀ

DI MISURA

Vm

Dimostrazione della legge di Gauss

• Si consideri la situazione di una carica puntiforme 𝒒

che produce un campo elettrostatico

𝑬 =𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐ෝ𝒖𝒓

• Ci interessa calcolare il contributo del

flusso infinitesimo 𝒅𝜱 𝑬 attraverso una

qualunque superficie orientata nello spazio 𝒅𝚺,

posta a distanza 𝒓 dalla carica

• 𝜽: angolo fra la direzione normale della superficie ෝ𝒖𝒏 e la direzione

ෝ𝒖𝒓 del campo elettrico 𝑬

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𝑬ෝ𝒖𝒏𝜽

𝒅𝚺

𝒒

Dimostrazione della legge di Gauss

• Occorre proiettare 𝒅𝚺 (in blu)

sul piano 𝒅𝚺𝟎 (in arancione)

• 𝒅𝚺𝟎 elemento infinitesimo di superficie

perpendicolare a ෝ𝒖𝒓

• ෝ𝒖𝒓 = versore di 𝒓, che descrive

la distanza della carica 𝒒 dal piano

• Si ottiene dunque:

𝒅𝜱 𝑬 = 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐ෝ𝒖𝒓 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐𝒅𝚺 𝒄𝒐𝒔𝜽

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎

𝒅𝚺𝟎𝒓𝟐

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𝒅𝚺

ෝ𝒖𝒏

ෝ𝒖𝒓 𝒅𝜮𝟎

𝑬𝜽

𝒒

Dimostrazione della legge di Gauss

• Definizione di ANGOLO SOLIDO

𝒅𝛀 ≡𝒅𝚺𝟎𝒓𝟐

Corrisponde all’estensione nello spazio del concetto di angolo piano

• Angolo piano:

Angolo sotteso da 𝒅𝒔 rispetto a 𝑶 è dato da

𝒅𝜽 =𝒅𝒔

𝒓

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𝑶

Dimostrazione della legge di Gauss

• Angolo solido

Misura della parte di spazio compresa entro un

fascio di semirette uscenti da 𝑶

• Si consideri l’area di un elemento

di calotta sferica in coordinate polari

𝒅𝜮𝟎 = 𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑫

= 𝒓 𝒅𝜽 𝒓 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝝓 = 𝒓𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓

• Quindi:

𝒅𝛀 ≡𝒅𝜮𝟎𝒓𝟐

= 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓

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𝑶

𝑶′ 𝒅𝝓

𝑨

𝑩

𝑫

𝑪

𝒅𝜽

𝜽

𝒅𝜮𝟎

𝒓

𝒅𝛀 NON DIPENDE dal RAGGIO 𝒓

𝑶𝑨 = 𝒓

𝑶′𝑨 = 𝒓𝒔𝒆𝒏 𝜽

Dimostrazione della legge di Gauss

• Per una superficie finita, l’angolo solido è dato dall’integrale:

𝛀 = න𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓

• Integro separatamente in 𝒅𝝓 e in 𝒅𝜽:

𝛀 = න𝟎

𝝅

𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 න𝟎

𝟐𝝅

𝒅𝝓 = 𝟐 ∙ 𝟐𝝅 = 𝟒𝝅

Risultato valido per una superficie di qualsiasi forma che contenga O

• L‘angolo solido sotto cui un punto interno ad una superficie chiusa

vede la superficie è sempre 4p , che è il valore massimo di 𝛀

• Unità di misura dell’angolo solido: STERADIANTE

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Dimostrazione della legge di Gauss

• Ritornando all’espressione del flusso del campo elettrico, si trova che:

𝒅𝜱 𝑬 =𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝒅𝛀

• Il flusso di una carica puntiforme

dipende solo dall’ANGOLO SOLIDO

• NON DIPENDE da superficie nè

dalla distanza dalla carica!

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𝒅𝚺𝟎

𝒅Σ

ෝ𝒖𝒏

𝑬

ෝ𝒖𝒏

𝒒

𝒓Tracciando delle semirette da 𝒒 che

definiscono un cono infinitesimo con vertice in

𝒒, il flusso di 𝑬 è lo stesso per qualsiasi

superficie il cui contorno si appoggi sulle

superfici laterali del cono stesso

Dimostrazione della legge di Gauss

• Flusso attraverso una superficie FINITA

𝜱 𝑬 = න𝜮

𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎න𝒅𝜴

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝜴

• 𝛀 = angolo solido sotto cui è visto

il contorno della superficie 𝜮

dalla carica 𝒒

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𝒒

𝜴

𝜮

𝑬ෝ𝒖𝒏

Dimostrazione della legge di Gauss

• Flusso attraverso una superficie CHIUSA

• Caso A: Carica INTERNA

𝜱 𝑬 =𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎ර 𝒅𝛀 =

𝒒

𝜺𝟎

• Caso B: Carica ESTERNA

𝒅𝜱𝟏 𝑬 = 𝑬𝟏 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮𝟏 = −𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒅𝜴

𝒅𝜱𝟐 𝑬 = 𝑬𝟐 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮𝟐 =𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒅𝜴

𝒅𝜱𝟏 𝑬 + 𝒅𝜱𝟐 𝑬 = 𝟎

𝚽 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝟎

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ෝ𝒖𝒏

𝑬𝜽

𝒒

ෝ𝒖𝒏𝑬𝟐

𝒒

ෝ𝒖𝒏

𝑬𝟏

A

B

𝒅𝜮𝟐

𝒅𝜮𝟏

Dimostrazione della legge di Gauss

• Estendendo al caso di più cariche puntiformi si ottiene:

𝜱 𝑬 =𝟏

𝜺𝟎

𝒊

𝒒𝒊

𝒊𝒏𝒕

• Somma estesa a tutte e sole le CARICHE INTERNE alla superficie 𝜮

• Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica:

𝜱 𝑬 =𝟏

𝜺𝟎න𝝉

𝒅𝒒

• Integrale esteso al volume 𝝉 racchiuso dalla superficie 𝜮

Rappresenta la CARICA TOTALE CONTENUTA ALL’INTERNO della

superficie 𝜮

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Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss

CONSIDERAZIONI:

1. Il campo 𝑬 è generato da TUTTE LE CARICHE, interne ed esterne alla

superficie 𝜮

2. Il flusso del campo attraverso 𝜮 dipende solo dalle cariche INTERNE

3. La dimostrazione della legge di Gauss si basa sul fatto che la dipendenza

del campo elettrico 𝑬 dalla distanza dalla carica va come 𝟏

𝒓𝟐

• La legge di Gauss = formulazione alternativa della legge di Coulomb

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Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss

APPLICAZIONI:

1. Con la legge di Gauss è possibile determinare il campo 𝑬

• Nei casi di ELEVATO GRADO DI SIMMETRIA della distribuzione di carica

(Es. sferica, cilindrica, pian) si individuano superfici chiuse nei cui punti il

campo è parallelo o ortogonale alla superficie stessa

1. Campo PARALLELO alla superficie: 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝟎

contributo nullo

2. Campo PERPENDICOLARE alla superficie: 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝑬 𝒅𝚺

𝜱 𝑬 = ׯ 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝑬ׯ 𝒅𝜮 = 𝑬 𝜮 =𝒒

𝜺𝟎

Nel caso della carica puntiforme si ricava 𝑬 =𝒒

𝜺𝟎 𝜮=

𝒒

𝜺𝟎 𝟒𝝅𝒓𝟐

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Esercizio 3.1

• Una carica 𝒒 è distribuita con densità superficiale 𝝈 costante su una superficie

sferica di raggio 𝑹.

1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti all’interno

(per 𝒓 < 𝑹) e all’esterno (per 𝒓 > 𝑹) della superficie.

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O r

𝑹 P

𝝈

Esercizio 3.2

• Una carica 𝒒 è distribuita con densità di carica volumetrica 𝝆 uniforme nel

volume di una sfera di raggio 𝑹.

1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti

all’interno (per 𝒓 < 𝑹) e all’esterno (per 𝒓 > 𝑹) della superficie.

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O r

𝑹 P

𝝆

Riepilogo campo elettrostatico

• Il campo elettrostatico può essere calcolato in 3 MODI DIFFERENTI:

1. Dalla definizione diretta

• Calcolo può implicare 3 integrali di volume

2. Come gradiente del potenziale elettrico

• Calcolo può implicare un integrale (per il calcolo del potenziale) ed

un’operazione di derivazione per ogni componente spaziale

3. Dal teorema di Gauss

• Calcolo più immediato, ma applicabile solo in condizioni

di un elevato grado di simmetria del sistema

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Esercizio 3.3

• Calcolare il campo elettrostatico e

il potenziale elettristatico

generato da una carica distribuita

con densità lineare 𝝀 su un filo

indefinito.

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Esercizio 3.4

• Calcolare il campo elettrostatico e il

potenziale elettrostatico

generato da una carica distribuita

con densità superficiale 𝝈

su una lamina isolante.

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Esercizio 3.5

• Si considerino due piani indefiniti paralleli, distanti tra loro 𝒅 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, carichi

con densità uniformi 𝝈𝟏 = 𝝈 = 𝟏𝟕. 𝟕 × 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 e 𝝈𝟐 = 𝝈/𝟐.

Determinare:

1. Il campo elettrico nello spazio compreso tra i due piani e nello spazio

esterno ai piani;

2. Il potenziale in un punto a distanza 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 dall’origine 𝑶 (posta

nel punto di mezzo tra i due piani), assumendo 𝑽𝑶 = 𝟎.

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Esercizio 3.6

• Si consideri un guscio sferico di raggio interno 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e raggio esterno

𝒃 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, caricato con densità uniforme 𝝆 = 𝟏 𝝁𝑪/𝒎𝟑.

1. Determinare l’andamento del campo elettrostatico in tutti I punti dello

spazio, quindi per 𝒓 < 𝒂, 𝒂 < 𝒓 < 𝒃 e 𝒓 > 𝒃, assumento nullo il

potenziale all’infinito.

2. Calcolare il valore del campo elettrostatico per 𝒓 = 𝒃 e per

𝒓 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎.

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𝒃

𝝆

O r

𝒂

Esercizio 3.7

• Si considerino due cariche 𝒒𝟏 = 𝟐 𝝁𝑪, posta nell’origine, e 𝒒𝟐 = −𝟔 𝝁𝑪,

posta ad una distanza di 𝟑𝒎 lungo l’asse 𝒚, come in figura.

Determinare:

1. Il potenziale elettrico totale nel punto 𝑷 posto a 𝟒𝒎 lungo l’asse 𝒙.

2. Il lavoro svolto dal campo per portare una carica di prova 𝒒𝟎 = 𝟑 𝝁𝑪

dall’infinito al punto 𝑷.

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Esercizio 3.8

• Si consideri una distribuzione rettilinea di carica infinita che genera un campo

di 𝑬 = 𝟒. 𝟓 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 ad una distanza di 𝒅 = 𝟐𝒎, come in figura.

1. Si calcoli la densità di carica lineare 𝝀 della distribuzione.

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𝑬

𝒅𝑷

𝝀

Esercizio 3.9

• Si consideri un cubo carico di lato 𝑳 = 𝟏. 𝟒 𝒎 il cui centro sia posto nell’origine

del sistema di riferimento, che genera un campo che vale rispettivamente (a)

𝑬 𝒚 = 𝒃 𝒚 ෝ𝒖𝒚 e (b) 𝑬 𝒙, 𝒚 = −𝒂 ෝ𝒖𝒙 + 𝒄 + 𝒃𝒚 ෝ𝒖𝒚 , con 𝒂 = 𝟒 𝑵/𝑪, 𝒃 =

𝟑 𝑵/𝑪𝒎 e 𝒄 = 𝟔 𝑵/𝑪.

Determinare:

1. Il flusso del campo elettrico attraverso le pareti del cubo nei due casi;

2. La carica racchiusa all’interno del cubo per ciascuno dei due casi.

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𝒛

𝒙

𝒚

Esercizio 3.10

• Si considerino due lunghi cilindri coassiali carichi con raggi 𝑹𝟏 = 𝟑 𝒄𝒎 e 𝑹𝟐 =

𝟔 𝒄𝒎. La densità di carica lineare è 𝝀𝟏 = 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎 sul cilindro interno e

𝝀𝟐 = −𝟕 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎 su quello esterno.

1. Determinare il valore del campo elettrico ad una distanza radiale

(a) 𝒓 = 𝟒 𝒄𝒎 e (b) 𝒓 = 𝟖 𝒄𝒎 dall’asse centrale.

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Esercizio 3.11

• Una particella dotata di carica 𝒒 e massa 𝒎 si trova in prossimità di un piano

orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme 𝝈 in cui è praticato

un foro circolare di raggio 𝑹 e centro 𝑪.

1. Si calcoli l’altezza 𝒉𝟎 rispetto a 𝑪 del

punto lungo l’asse del foro in cui

la particella è in equilibrio.

2. Se la particella è inizialmente ferma

lungo l’asse ad un’altezza 𝒉𝟎

𝟐rispetto

a 𝑪, osservando che la particella

attraversa il centro del foro,

quale sarà la sua velocità?

(𝒒 = 𝟏 𝒏𝑪, 𝒎 = 𝟏𝒎𝒈, 𝝈 = 𝟏𝝁𝑪

𝒎𝟐, 𝑹 = 𝟏𝒎)

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𝑪𝑹

𝒒

𝝈

Esercizio 3.12

• Nel modello di Bohr dell’atomo di Idrogeno, l’elettrone compie un’orbita

circolare di raggio 𝒓 = 𝟎. 𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟎𝒎 attorno al protone.

1. Calcolare quanta energia è richiesta per ionizzare l’atomo di idrogeno,

cioè per rimuovere l’elettrone dal nucleo in modo che la separazione sia

effettivamente infinita.

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