POLINOMI E FUNZIONIPOLINOMI E FUNZIONIPOLINOMI E FUNZIONIPOLINOMI E FUNZIONIFunzioni polinomialiFunzioni polinomiali

Lezione 1Lezione 1

Ad ogni polinomio F(x) è possibile associare una funzione: quella data dalla espressione y= F(x)

Il grafico della funzione y=F(x) ci permette di visualizzare e mettere in evidenza molte proprietà dei polinomi e viceversa, conoscere le proprietà dei polinomi può aiutarci a tracciare un grafico corretto.

Consideriamo i seguenti grafici

3 22 3y x x 4 32 1y x x

Due polinomi differenti danno sempre luogo a grafici differenti

I grafici corrispondenti a due polinomi diversi si incontrano solo in un numero finito di punti, al più in tanti punti quanto è il maggiore dei loro gradi

I grafici di y=F(x) e di y=G(x) si incontrano nel punto (a,b) se

b=F(a) e b=G(a) e quindi se a è una soluzione dell’equazione

polinomiale F(x) - G(x) = 0

Se i polinomi sono diversi, il polinomio F(x) - G(x) non è il polinomio nullo equindi ci sono solo un numero finito disoluzioni per l’equazione F(x) - G(x) = 0 questa proprietà è nota come PRINCIPIO DI IDENTITA’ DEI

POLINOMI

• Se G(x) è il polinomio nullo allora il grafico di y=F(x) incontra l’asse x soltanto un numero finito di volte, tante quante sono le radici reali di F(x)

osserviamo i seguenti grafici e proviamo a dedurre….

• n° di soluzioni………• molteplicità delle radice…• Grado del polinomio…..

si può dedurre:Grafico 1 : 3 soluzioni reali

molteplicità delle soluzioni dispari grado dispari

Grafico 2 : 2 soluzioni reali 1 soluzione con molteplicità pari grado dispariGrafico 3 : 2 soluzioni reali molteplicità di una delle soluzioni dispari

grado pariGrafico 4 : 2 soluzioni reali

molteplicità di una delle soluzioni pari grado pari

Se la molteplicità della radice a è k, il grafico attraversa l’asse x k volte nel punto (a ;0) e quindi passa dalla parte opposta oppure rimane dalla stessa parte a seconda che k sia pari o dispari

Grafico 1 Grafico 2 Grafico 3 Grafico 4 inoltre fissato un qualsiasi numero naturale n, il grafico di una funzione polinomiale ( non costante) esce da ogni “striscia” orizzontale per e per

21y x x

31y x x

42 2y x x

3 4y x x

n y n x x

• Se il grado di F(x) è pari il grafico sale al di sopra di ogni striscia sia per x grande sia per x piccolo, se il coefficiente direttivo di F(x) è positivo e scende al di sotto di ogni striscia da entrambe le parti se il coefficiente direttivo di F(x) è negativo

• Se il grado di F(x) è dispari e il coefficiente direttivo di F(x) è positivo il grafico sale al di sopra di ogni striscia per x grande e scende al di sotto di ogni striscia per x piccolo;l’andamento si rovescia se il coefficiente direttivo di F(x) è negativo

Attività al computer

Utilizzando derive

Sfida: dividetevi in due gruppi e a turno ogni gruppo propone il

grafico

di una funzione e l’altro gruppo deve

indovinare da quale polinomio è ottenuto motivando la scelta fatta

N.B. il polinomio utilizzato deve essere fattorizzato

22 4y x x x

2 2 3y x x x

31 1 2y x x

21 3 2y x x