lezione 1: Polinomi
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Polinomi
Corso di accompagnamento in matematica
Lezione 1
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Sommario
1 Insiemi numerici
2 Definizione di polinomio
3 Operazioni tra polinomi
4 Fattorizzazione
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Insiemi numerici
R, N, Z, QLavoreremo generalmente con i numeri reali , il cui insieme vieneindicato con R.
Nell’insieme dei numeri reali ci sono importanti sottoinsiemi:
i numeri naturali , indicati N = {1,2,3, ...};
i numeri interi relativi , indicati conZ = {. . .,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . };
i numeri razionali , indicati con Q:un razionale può essere scritto come quoziente m/n tra due interirelativi, con n 6= 0.
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Cos’è un polinomio
DefinizioneUn polinomio nella variabile x a coefficienti reali èun’espressione algebrica della forma
An (x) = a0 + a1x + ...+ anxn,
dove a0,a1, ...,an sono numeri reali (detti coefficienti delpolinomio) e an 6= 0.
I singoli addendi si dicono monomi .
Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi non nullipresenti
ProprietàDue polinomi sono uguali se hanno lo stesso grado e hannoordinatamente uguali i coefficienti dei monomi di uguale grado.
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Somma
Somma di polinomiIl polinomio somma di due polinomi si ottiene sommandoordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei duepolinomi
An (x) + Bm (x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (am + bm)xm
Esempio
(x2 + 2x − 5) + (x3 − x + 2) =
(0x3 + x2 + 2x − 5) + (x3 + 0x2 − x + 2) =
(0 + 1)x3 + (1 + 0)x2 + (2− 1)x + (−5 + 2) =
x3 + x2 + x − 3
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Somma
Somma di polinomiIl polinomio somma di due polinomi si ottiene sommandoordinatamente i coefficienti dei monomi dello stesso grado dei duepolinomi
An (x) + Bm (x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ...+ (am + bm)xm
Esempio
(x2 + 2x − 5) + (x3 − x + 2) =
(0x3 + x2 + 2x − 5) + (x3 + 0x2 − x + 2) =
(0 + 1)x3 + (1 + 0)x2 + (2− 1)x + (−5 + 2) =
x3 + x2 + x − 3
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Prodotto
Prodotto di polinomiIl polinomio prodotto è della forma
An (x) ∗ Bm (x) = Cn+m (x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxn+m,
dove i coefficienti sono dati da:
c0 = a0b0, c1 = a1b0 + a0b1,ck = a0bk + a1bk−1 + a2bk−2 + ....ak−1b1 + akb0.
Esempio
(x − 1)(x2 + x + 1) =
x2(x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
x3 − x2 + x2 − x + x − 1 =
x3 − 1Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 6 / 14
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Prodotto
Prodotto di polinomiIl polinomio prodotto è della forma
An (x) ∗ Bm (x) = Cn+m (x) = c0 + c1x + ...+ cn+mxn+m,
dove i coefficienti sono dati da:
c0 = a0b0, c1 = a1b0 + a0b1,ck = a0bk + a1bk−1 + a2bk−2 + ....ak−1b1 + akb0.
Esempio
(x − 1)(x2 + x + 1) =
x2(x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
x3 − x2 + x2 − x + x − 1 =
x3 − 1Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1 6 / 14
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Divisione (I)
Divisione tra polinomiDati due polinomi An (x) ,Bm (x), di grado n e m rispettivamente, con n ≥ m,esistono due polinomi Q (x) e R (x) detti quoziente e resto tali che:
il grado di R (x) è minore di m;
vale la relazione An (x) = Bm (x)Q (x) + R (x) .
DefinizioneSe R (x) = 0, allora si dice che An (x) è divisibile per Bm (x).
OsservazioneIl rapporto tra An (x) e Bm (x) può sempre essere scritto come
An (x)Bm (x)
= Q (x) +R (x)Bm (x)
dove deg R < deg Bm
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Divisione (I)
Divisione tra polinomiDati due polinomi An (x) ,Bm (x), di grado n e m rispettivamente, con n ≥ m,esistono due polinomi Q (x) e R (x) detti quoziente e resto tali che:
il grado di R (x) è minore di m;
vale la relazione An (x) = Bm (x)Q (x) + R (x) .
DefinizioneSe R (x) = 0, allora si dice che An (x) è divisibile per Bm (x).
OsservazioneIl rapporto tra An (x) e Bm (x) può sempre essere scritto come
An (x)Bm (x)
= Q (x) +R (x)Bm (x)
dove deg R < deg Bm
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Divisione (II)
Il metodo di calcolo del quoziente di due polinomi consiste nelladivisione secondo le potenze decrescenti
Divisione secondo le potenze decrescentiVogliamo calcolare il quoziente tra
A(x) = 2x4 + x3 − x + 2
e
B(x) = x2 + 3
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Esempio
2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3
Q (x)
R (x)
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Esempio
2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3
2x4 +6x2 2x2
+x3 −6x2 −x +2 ↑
Q (x)
← R (x)
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Example
2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3
2x4 +6x2 2x2 +x
+x3 −6x2 −x +2 ↑
+x3 +3x Q (x)
−6x2 −4x +2
← R (x)
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Example
2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3
2x4 +6x2 2x2 +x −6
+x3 −6x2 −x +2 ↑
+x3 +3x Q (x)
−6x2 −4x +2
−6x2 −18
−4x +20 ← R (x)
A (x)B (x)
= Q (x) +R (x)B (x)
= 2x2 + x − 6 +−4x + 20
x2 + 3
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Example
2x4 +x3 +0x2 −x +2 x2 +3
2x4 +6x2 2x2 +x −6
+x3 −6x2 −x +2 ↑
+x3 +3x Q (x)
−6x2 −4x +2
−6x2 −18
−4x +20 ← R (x)
A (x)B (x)
= Q (x) +R (x)B (x)
= 2x2 + x − 6 +−4x + 20
x2 + 3
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Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto .
Esempio
x2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile ;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado equelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utiliRaccoglimento a fattor comune
x4 − 3x3 + 5x2 = x2 (x2 − 3x + 5)
Raccoglimento a fattor parzialex4 + a2x2 + b2x2 + a2b2 = x2(x2 + a2) + b2(x2 + a2) =
(x2 + a2)(x2 + b2)
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Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto .
Esempio
x2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile ;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado equelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utiliRaccoglimento a fattor comune
x4 − 3x3 + 5x2 = x2 (x2 − 3x + 5)
Raccoglimento a fattor parzialex4 + a2x2 + b2x2 + a2b2 = x2(x2 + a2) + b2(x2 + a2) =
(x2 + a2)(x2 + b2)
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Fattorizzazione
Fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in un prodotto .
Esempio
x2 − 5x + 6 = (x − 3) (x − 2)
Se un polinomio non può essere fattorizzato si dice irriducibile ;
Esempi di polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di primo grado equelli di secondo grado a discriminante negativo.
Metodi utiliRaccoglimento a fattor comune
x4 − 3x3 + 5x2 = x2 (x2 − 3x + 5)
Raccoglimento a fattor parzialex4 + a2x2 + b2x2 + a2b2 = x2(x2 + a2) + b2(x2 + a2) =
(x2 + a2)(x2 + b2)
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Proprietà utili
Teorema(x − c) divide An(x) se e solo se An(c) = 0.
Proposizioni
Il binomio xn − an è sempre divisibile per x − a;
se n è pari è divisibile anche per x + a.
Il binomio xn + an è divisibile per x + a se n dispari;
se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x − a.
OsservazionePer polinomi a coefficienti interi :
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresal’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è unsottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine digrado massimo, compresa l’unità.
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Proprietà utili
Teorema(x − c) divide An(x) se e solo se An(c) = 0.
Proposizioni
Il binomio xn − an è sempre divisibile per x − a;
se n è pari è divisibile anche per x + a.
Il binomio xn + an è divisibile per x + a se n dispari;
se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x − a.
OsservazionePer polinomi a coefficienti interi :
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresal’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è unsottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine digrado massimo, compresa l’unità.
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Proprietà utili
Teorema(x − c) divide An(x) se e solo se An(c) = 0.
Proposizioni
Il binomio xn − an è sempre divisibile per x − a;
se n è pari è divisibile anche per x + a.
Il binomio xn + an è divisibile per x + a se n dispari;
se n è pari non è divisibile né per x + a, né per x − a.
OsservazionePer polinomi a coefficienti interi :
le eventuali radici intere sono da cercare tra i sottomultipli del termine noto, compresal’unità, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo;
le eventuali radici razionali sono da cercare tra i razionali della forma ±p/q, dove p è unsottomultiplo del termine noto, mentre q è un sottomultiplo del coefficiente del termine digrado massimo, compresa l’unità.
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